1 normal u

Estatística

Profª Josefa A . Alvarez 1

1Gauss

Distribuição Normal

(D´Moivre) 2


1. Curva em forma de “sino”

2. Média =Moda=Mediana

3. A variável aleatória assume infinitos valores

4. A distribuição normal de de dois parâmetros que são média e desvio padrão

Média Mediana Moda

x

f(x)

3

12 15 1810 11 13 14 16 17 19 20

Média e Desvio Padrão

Curvas com médias diferentes e mesmo desvio padrão

Curvas com médias e desvios padrões diferentes

4

Efeitos Modificando a Média e o Desvio Padrão ( e )

f(x)

x

CA

B

5

68% da área está compreendia entre um desvio padrão da média

95% da área está compreendia

entre dois desvio padrão da média

99,7% da área está compreendia

entre três desvio padrão da média

68%

2 2 3 3

6

Estatística


7 8

9

μ 3σ μ + σμ 2σ μ σ μ μ + 2σ μ + 3σx

Pontos de Infleção

10

Probabilidade na Distribuição Normal

Probabilidade é a área sob a curva

a b x

f(x)

?b

adx)x(f)bXa(P

11

Tabelas da Distribuição Normal


Diferentes médias e diferentes desvios padrões

Cada distribuição normal requer uma tabela.

Existem infinitos valores!x

f(x)

12

x

padrãodesviomédia - valorz

A variável z- escores z

A variável Z equivale à distância entre X e a média medida em desvios padrões. Valores positivos de Z indicarão que X está à direita da média; valores negativos indicarão que X está à esquerda da média.

Estatística


13

TABELA DA NORMAL PADRÃO zP(Zz)=A(z)

z

P(Zz)probabilidade

2º decimal

Parte inteira e 1º decimal

14

= 0 Z

Distribuição Normal Padrão

tabela

Distribuição Normal Distribuição Normal

Padrão

x

xZ

1

15

1 - F(z)=1-A(z)

z

Propriedade para uso da tabela:

A(-z)=F(-z)

F(-z) = ?

0-z

16Z

=0

0,12

Distribuição NormalDistribuição

Normal Padrão

80,6 X

)5,80(n:X Seja

Exemplo

=80

Determine P(X<80,6)?

12,05

806,80xz

17

0,12

Z 0 1

0,0 0,5000 0,5040 0,5080

0,5398 0,5438

0,2 0,5793 0,5832 0,5871

0,3 0,6179 0,6217 0,6255

Tabela da Distribuição Normal Padrão

2

0,1 0,5478

Probabilidades

Z

0,5478

Área a esquerda

18


Determine P(80,6<X<81)

P(x1<X< x2)=P(X< x2)-P(X< x1)

P(80,6<X<81)=P(X<81)-P(X<80,6)

20,05

8081xz

12,05

806,80xz

Estatística


19

0,12


Z


80,6

0,20X

81

0,0315

xZ

20

0,20

Z

0,5793Z

0,12

0,5478

0,0315

0,12

0,20 Z


21Z

0,32

Distribuição NormalDistribuição Normal

Padrão

=80

X

81,6

Determine P( X 81,6)

0,3745

P(X 81,6)=1-(X<81,6)=

22


80 x

81,6

Determine P(X81,6)

P(X 81,6)=1-(X<81,6)=

z0,32

,

,

XZ

Z

Z

81 6 805

0 32

23

0,32 Z

0,6255

Daí temos

P(X 81,6)=1-(X<81,6)=1-(Z<0,32)=

1-0,6255=0,3745

6255,0)32,0Z(P

24

TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO INVERSA

prob

z abscissaParte inteira 1ºe 2º decimal

3º decimal

Estatística


25

Z=0

=1

-3,0

902

Distribuição normal padrão inversa

0,001

Determine z tal queP(Z<z) = 0,001?

Tabela

p 0 2

0,00 -3,0902 -2,8782

0,01 -2,3263

0,02

1

0,03 -1,8663

-2,2904 -2,2571

-2,0537 -2,0335 -2,0141

-1,8808 -1,8522

26

z

=1

x=80

?

Determine o valor de x para uma determinada probabilidade

Distribuição

Normal


inversa

549,645)0902,3(80zx

=0

0,001 0,001

-3,0

902

270z7

152152z

29,1z7

152161z

57,0z7

152148z

Exemplo

Em uma empresa o salário semanal dos funcionários pode ser considerado uma variável normalmente distribuída, com média $152,00 e desvio padrão $7,00. Determine a probabilidade do salário ser: a) inferior a $161,00; b) superior a $148,00; c) entre $152,00 e $161,00

a) P(X<161)=P(Z<1,29)=A(1,29)=0,9015b) P(X<148)=P(Z<-0,57)=A(-0,57)=0,2843

c) P(152<X<161)= P(X<161)-P(X<152)= P(Z<1,29)- P(Z<0)= =A(1,29)-A(0)=0,9015-0,5000=0,4015

28

x

padrãodesviomédia - valorz

A variável z- escores z

A variável Z equivale à distância entre X e a média medida em desvios padrões. Valores positivos de Z indicarão que X está à direita da média; valores negativos indicarão que X está à esquerda da média.

29

TABELA DA NORMAL PADRÃO zP(Zz)=A(z)

z

P(Zz)probabilidade

2º decimal

Parte inteira e 1º decimal

30

TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO INVERSA

prob

z abscissaParte inteira 1ºe 2º decimal

3º decimal

Estatística


31

Z=0

=1

-3,0

902

Distribuição normal padrão inversa

0,001

Determine z tal queP(Z<z) = 0,001?

Tabela

p 0 2

0,00 -3,0902 -2,8782

0,01 -2,3263

0,02

1

0,03 -1,8663

-2,2904 -2,2571

-2,0537 -2,0335 -2,0141

-1,8808 -1,8522

32

Probabilidades e distribuições normais

115100

Pontuações de QI são normalmente distribuídas, com uma média de 100 e um desvio padrão de 15. Determine a probabilidade de que uma pessoa selecionada aleatoriamente tenha uma pontuação de QI inferior a 115.

Para determinar a área nesse intervalo, primeiro encontre o escore z correspondente a x = 115.

10

P(z < 1) = 0,8413, logo P(x < 115) = 0,8413

P(x < 115) = P(z < 1)

115

100115

z

33

As contas mensais de serviços públicos em determinada cidade são normalmente distribuídas, com média de US$ 100 e desvio padrão de US$ 12. Uma conta é escolhida aleatoriamente. Determine a probabilidade de ela estar entre US$ 80 e US$ 115.

P(80 < x < 115)Distribuição normal

P(80<X<115)=P(–1,67 < z < 1,25)=P(Z<1,25)-P(Z<_1,67)=0,8944-0,0475= 0,8469

A probabilidade de uma conta estar entre US$ 80 e US$ 115 é 0,8469.

Aplicação

67,112

10080

z 25,1

12100150

z

34

z

Da área ao escore z

Localize 0,980 na tabela. Leia os valores no início da linha e no alto da coluna correspondentes. O escore z será 2,054.

Determine o escore z correspondente a uma área acumulada de 0,980.

z = 2,054 correspondemais ou menos ao

98%.

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

35

Determinando escores za partir de áreas

Determine o escore z correspondente a áreaacumulada de 90%.

z0

0,90

Na tabela, isso corresponde a z = 1,282.

Um escore z de 1,282 corresponde a área acumuladade 90%.

36

Determinando percentis ou valores de corte

As contas mensais de serviços públicos em determinada cidade são normalmente distribuídas, com média de US$ 100 e desvio padrão de US$ 12. Qual é o valor mais baixo entre os 10% mais altos?

10%90%

Determine, na tabela, (o 90º percentil); 90%corresponde a um escore z de 1,286.

x = 100 + 1,28(12) = 115,36.

US$ 115,36 é o valor mais baixo entre os 10% mais altos.

z

Para determinar o valor x correspondente, use:

Estatística


37

De escores z a escores brutos

As pontuações em um concurso público estão normalmente distribuídas, com média de 152 e desvio padrão de 7. Determine a pontuação de um candidato com escore z:i) P 99% ii) P 3% iii) P 50%

Para determinar um valor x a partir de um escore z:

xz

i) x = 152 + (2,326)(7) = 168,282ii) x = 152 + ( -1,881)(7) = 138,833

iii) x = 152 + (0)(7) = 152

zx zx

38

Exemplo:Calcule a probabilidade de um variável aleatória com

distribuição normal com = 3 e = 2 apresentar valores entre 2 e 5.

= 2

= 3

30 2 5

50,02

32z

5328,03085,08413,0)5,0(A)1(A

)2X(P)5X(P)5X2(P

00,12

35z

39

Um teste psicológico (introvertido x extrovertido)mostra que as notas possuem n(80; 10). Conclui-seque 10% daqueles que tem maiores notas sãoextrovertidos. Qual é a nota a partir da qual a pessoapode ser considerada extrovertido?

Exemplo

10)282,1(80 zx

X Z

0,90

0,90

z0,90

0,10

40

O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente emtorno de uma média de R$1800,00 com desvio padrão de R$200,00. Pede-se:

a) encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entreR$1500,00 e R$1900,00.

b) determine o intervalo simétrico que cairão 96% dos salários?

P(x1X x2)=P(X x2)-P(X x1)

P(1500 X 1900)=P(X1900)-P(X 1500)

=0,6915-0,0668=0,6247

Exemplo

41

6915,0)50,0Z(P)1900X(P

0668,0)50,1Z(P)1500X(P

50,0200

18001900xz

50,1200

18001500xz

42

Z

0,96

Z0,98Z0,02

P(1389,26X 2210,74)=0,96

74,2210200.054,218002

26,1389200.054,218001

zX

zX

Estatística


43

A distribuição dos pesos de coelhos criados em uma granja pode muito bem ser representada por uma distribuição normal, com média de 5 kg e desvio padrão de 0,8 kg. Um abatedouro comprará 5000 coelhos e pretende classifica-los de acordo com o peso, do seguinte modo: 20% dos leves como pequenos, os 55% seguintes como médios, os 15% seguintes como grandes e os 10% mais pesados como extras. Quais os limites de pesos para cada classificação?

Exemplo

44

0,55

z0,20 z0,75 z0,90

0,20

0,10

0,15

Z

33,48,0).842,0(520,0 za

53,58,0).675,0(575,0 zb

03,68,0)282,1(590,0 zc

45

Os depósitos mensais na caderneta de poupança tem distribuição normal com média igual a R$ 500,00 e desvio padrão R$ 150,00. Se um depositante realizar um depósito, pede-se calcular as seguintes probabilidades:a) de que esse depósito seja: a1) igual ou menor que R$ 650,00. a2) igual ou maior que R$ 650,00. a3) seja um valor entre R$ 250,00 e R$ 650,00.b) Determine os quartis: Q1 Q2 e Q3 interprete. c) Calcule P(- X + )d) determine o intervalo simétrico para o qual corresponda a probabilidade de 0,90

46

Solução:a1) P(X 650)= P(Z<1)=0,8413

1150

500650

xz

a2) P(X> 650)= 1-0,8413=0,1587

a3) P(250 X 650)= P(Z<1)=0,8413 0,8413-0,0475=0,7938

P(X 250)= P(Z<-1,67)=0,0475

67,1150

500250

xz

47

b) Q1 =+z 0,25 = 500 -0,675.150=398,825Q2 =+z 0,50 =500Q3 =+z 0,75 =500+0,675.150=601,175

c) P(- X + )= P(X + ) -P(X - )= P(Z 1 ) -P(Z -1 )=0,8413-0,1587=0,6826

48

1xz

1xz

d) a=+z 0,05 = 500 -1,645.150=253,265b =+z 0,95 =500+1,645.150=746,735

1 normal u

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