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Medidas Alternativas de Custo de Vida

Análise Comparativa de duas Metodologias Factíveis para o Cálculo de IPCs com a Utilização de Microdados do IPC-FIPE

Prof. Dr. Heron Carlos Esvael do Carmo

Janeiro de 2011

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Objetivo

Analisar duas metodologias factíveis para cálculo de Índices de Preços ao Consumidor baseadas nas fórmulas de Laspeyres e de Konüs-Byushgens.

Os índices são considerados, "measure-estimators" na acepção de Allen (1975) e, assim, a cada índice mensal estimado serão associadas duas estatísticas de variabilidade:

Calculada a partir de cotações de preços de produtos elementares nas amostras de locais e

Calculada a partir da variabilidade de preços relativos de produtos.

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Introdução

“Accurately measuring prices and their rate of change, inflation, is central to almost every economic issue” (Boskin et al.-1998)

Do ponto de vista teórico o conceito de ICV - Índice de Custo de Vida do qual o IPC é o “measure-estimator” vem se tornando menos restritivo, para dar embasamento à solução de questões de ordem prática- índices sociais, índices em cadeia, p. ex.

Assim, IPCs podem ser tratados como uma estatística por intervalo e não apenas uma “medida com teoria”.

De outro lado, o avanço da econometria e os aprimoramentos na coleta e processamento de dados têm tornado factível a aplicação de fórmulas superlativas, entre as quais a de Theil-Tornqvist.

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Introdução

As várias vertentes desenvolvidas desde a segunda metade do século XIX, segundo Diewert (1993 e 2003) e Samuelson e Swamy (1974), podem ser assimilados por três enfoques teóricos: teoria econômica, axiomático e estocástico.

O primeira busca definir a fórmula ideal - "o verdadeiro índice" - a partir de categorias relativas à teoria econômica, como a teoria do consumidor, no caso.

A segunda parte de um conjunto de critérios lógicos, que podem ser apresentados matematicamente, para estabelecer uma ordenação de fórmulas.

O enfoque estocástico toma por base a distribuição de probabilidades de relativos de preços para determinar a fórmula adequada. Esta corresponderia ao estimador de máxima verossimilhança de uma medida de tendência central da distribuição.

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Introdução

O texto está organizado em quatro seções, além da introdução

A segunda seção é dedicada ao enfoque da teoria econômica com uma breve consideração sobre a aproximação axiomática.

Na seção seguinte é feita uma síntese do enfoque estocástico aplicado ao cálculo de índices de preços.

Na quarta seção são especificados e estimados dois modelos factíveis, para as fórmulas de Laspeyres e de Konüs-Byushgens.

Na última seção os resultados obtidos são analisados e feitos alguns comentários sobre aspectos práticos importantes do cálculo de IPCs que não foram discutidos no texto.

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Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático

A referência fundamental é o artigo do economista russo Alexander Alexandrovich Konüs (1924)

Konüs parte do problema de otimização clássico em que um consumidor (unidade de consumo) individual visa maximizar uma função utilidade , considerados dois períodos - período base (anterior), em que t= 0, e referência (atual), em que t=1.

Assim, dado um vetor de preços , o vetor correspondente de quantidades é a solução de um problema de minimização de custo, que é a outra face do problema de maximização a seguir:

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1

1

1

: ( )

: ' ;

,......, ' 0 ;

,....., ' 0 ; 0

t

nt t t t t

i ii

t t tn n

t t t tn n

Max f q

Suj p q p q y

q q q

p p p y

8


Função custo unitário resultado da otimização e índice de preços de Konüs

1 1

, min { : ( ) ( )} ; 0,1n n

t t t t t t tq i i i i

i i

C u p p q f q u f q p q t

10 1

0

( ( ), )( , , )

( ( ), )K

C f q pP p p q

C f q p

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Enfoque Axiomático

Na literatura sobre números-índices é destacada, em geral, a correspondência deste enfoque, também denominado de lógico-matemático e dos "testes de Fisher", ao da teoria econômica.

A origem dessa abordagem de busca de solução para o "problema dos números-índice” é o texto clássico de Fisher (1922). Os testes de Fisher são relacionados, a seguir:

i)Teste de Identidade;ii)Teste de Proporcionalidadeiii)Teste de Homogeneidade (invariância a mudança de unidade)

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iv) Teste de reversão Temporal

v) Teste Circular: isto é, o número-índice entre quaisquer dois períodos de uma série deve ser independente de como os preços evoluíram, ao longo do tempo, nos períodos intermediários;

vi)Teste de reversão de Fatores ou decomposição das Causas: o produto de um número-índice de preços por um número-índice de quantidade deve ser igual ao número-índice de valor.

Fisher (1922) propôs um ranking das fórmulas discutidas, conforme o "viés" relativamente à fórmula considerada por ele ideal uma fórmula supostamente ideal: worthless, poor, fair, good, very good, excellent e superlative.

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Quanto aos testes, os mais restritivos são os de reversão de fatores e o circular. No entanto esses testes podem ser contornados permitindo-se, no primeiro caso, a adoção de fórmulas diferentes para preços e quantidades e, no segundo, utilizando-se o conceito de índice encadeado.

No caso prático de de IPCs em que as ponderações-base são mantidas fixas, por anos, os axiomas relevantes levam em consideração apenas vetores de preços para cada período (p0, p1,...., pt).

Em vista disso, os axiomas relevantes para IPCs são apresentados, a seguir.

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T1: Positividade: P(pt-1, pt)>0 se todos os preços são positivos.

T2: Continuidade: P(pt-1, pt) é uma função contínua dos preços.

T3: Identidade: P(pt, pt)=1.

T4: Homogeneidade para os preços do período t: P(pt-1, pt)= P(pt-1, pt) para todo>0.

T5: Homogeneidade para os preços do período t-1: P(pt-1, pt)= -1 P(pt-1, pt) para todo>0.

T6: Invariância ao sistema de classificação adotado, mantida a composição do índice: P(pt-1, pt)= P(p’t-1, p’t)= em que os vetores p’t, p’t-1 têm seus elementos permutados da mesma forma relativamente a pt, p0.

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T7: Comensurabilidade ou invariância a mudanças nas unidades de medida ou padrão monetário

T8: Reversão temporal: P(pt, pt-1)=1/ P(pt-1, pt).

T9: Circularidade ou Transitividade: P(p0, p2)= P(p0, p1)P(p1, p2).T10: Valor médio:

T11: Monotonicidade com relação aos preços no período t: P(pt-1, pt)< P(pt-1, pt’) se pt< pt’.

T12: Monotonicidade com relação aos preços no período t-1: P(pt-1, pt)> P(pt-1’, pt) se pt-1< pt-1’.

.

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De acordo com Eichhorn e Voeller (1976) um índice elementar de preços P(p0, p1) é uma função de 2n variáveis, que satisfaz T1, T2, T3, T4, T5, T7, T11 e T12. Essas propriedades fundamentais são atendidas pelas fórmulas elementares mais utilizadas que são:

Fórmula de Dutot:

Fórmula de Jevons

1

0 1 1

0

1

1( )

( , )1( )

n

ii

DU n

ii

pnP p p

pn

11/

01

( )n

niJE

i i

pP

p

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Na prática, séries de números-índice de preços, como os IPCs, são calculados por um processo de encadeamento de índices bissituacionais

a elaboração de séries encadeadas pode ser ancorada no conceito de subíndice, desde que válida a hipótese de a função utilidade ser separável no tempo e/ou no conceito de índice integral de Divisia.

Uma série de índice seria a correspondente aproximação discreta ao índice integral. Divisia (1926) tomou como ponto de partida a Teoria Quantitativa da Moeda, que pode ser colocada em correspondência com o teste de decomposição das causas ou reversão de fatores de Fisher.

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Diferenciando

Dividindo pelo valor em t

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

V t P t Q t p t q t

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

i i i ii i

dV t Q t dP t P t dQ t q t dp t p t dq t

1

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

n n

i i i ii i

t t

q t dp t p t dq tdV t

V t v v

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Assim,

Dividindo e multiplicando o numerador por pi(t)

1

1

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

n

i iin

i ii

q t dp tdP t

P t p t q t

1

( )[ln ( )] [ln ( )]

( )

n

it ii

dP td P t w d p t

P t

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Como as fórmulas utilizadas na prática para cálculo de IPCs são aplicadas para períodos discretos e depois encadeadas, constituem-se em aproximações discretas à Integral de Divisa. Mostraremos isto para o caso do índice Laspeyres-preço.

0 0 0 1 0

1 0 1 1 1

0 0 0 0 0 00 0 0

1 1 1

[ ]1 1

n n n

i i i i i i ii i i

Pn n n

i i i i i ii i i

p q p p q p qP P P P

LP P P p q p q p q

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as expressões apresentadas, a seguir, nota-se que o "Índice integral de Divisia" pode ser interpretado como uma média ponderada das taxas de variação instantânea de cada componente, onde os pesos correspondem à participação destes no orçamento a cada instante t.

.

11

ln ( ) ln ( 1) { [ln ( )]}t n

is iit

P t P t w d p s ds

11

( ) / ( 1) exp[ { [ ln ( )]} ]nt

is iti

P t P t w d p s ds

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O conceito ICV de Konüs para um consumidor individual pode ser utilizado como referência para a definição de índices para um grupo de consumidores (sociedade) nos moldes estabelecidos por Pollak (1989).

Esse autor discutiu dois conceitos de índice- plutocrático e democrático.

A ponderação do bem i para o grupo de consumidores g, o peso de cada grupo nos gastos totais de consumo e a ponderação de bem no total das despesas do conjunto de consumidores, no período t, são definidas, respectivamente, como,

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1

, 0,1; 1,2,..., ; 1,2,...,t tgi git

gi nt tgi gi

i

p qw t g G i n

p q

1

1 1 1

nt t

t tgi gig gt i

g G n Gt t t tik ik k k

k i k

p qp q

wp q p q

1 1

1

1 1

G Gt t t t tgi gi gi g g G

g gt t ti gi gG G

t t t t gk k k k

k k

p q w p q

w w wp q p q

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Adotando-se Se adotarmos a hipótese de que os preços são iguais para todas as classes de consumidores, que não é uma hipótese irrealista se considerarmos que, na maioria das transações, os consumidores são tomadores de preços, as fórmulas de Laspeyres e Konüs-Byushgens podem ser simplificadas para:

:1 1

0 0 00 0

1 1 1

( ) ( )G n n

i iPL g gi i L

g i ii i

p pP w w w P

p p

1 10 0 0

0 01 1 1

exp( (ln( ))) exp( (ln( ))G n n

i iPKB g gi i KB

g i ii i

p pP w w w P

p p

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O enfoque estocástico parte da hipótese de que a variação de O enfoque estocástico parte da hipótese de que a variação de preço uma mercadoria, ou o equivalente relativo de preço, pode preço uma mercadoria, ou o equivalente relativo de preço, pode ser decomposto em dois componentes, um de tendência comum, a ser decomposto em dois componentes, um de tendência comum, a inflação e outro de choque aleatórioinflação e outro de choque aleatório

O primeiro componente, representaria uma variação proporcional O primeiro componente, representaria uma variação proporcional do nível de preços (quantidades), enquanto os desvios, em termos do nível de preços (quantidades), enquanto os desvios, em termos de relativos de preços (quantidades) de cada bem ou serviço de relativos de preços (quantidades) de cada bem ou serviço relativamente à inflação, corresponderiam a choques aleatórios, relativamente à inflação, corresponderiam a choques aleatórios, que poderiam ser tratados de forma análoga aos erros de que poderiam ser tratados de forma análoga aos erros de observação.observação.

Este enfoque se fundamenta a utilização de amostragem Este enfoque se fundamenta a utilização de amostragem probabilística na escolha de amostras de produtos e de probabilística na escolha de amostras de produtos e de informantes e na determinação de estruturas de ponderações.informantes e na determinação de estruturas de ponderações.

Enfoque Estocástico

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Modelos para as fórmulas de Carli e Jevons, supondo distribuição normal para os termos aleatórios:

Carli

Jevons

ln( ) ; 1,2,...,i ir i n

1

0; 1, 2,....,i

i ii

pr i n

p

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variância do estimador e o estimador da variância do termo aleatório são apresentados a seguir:

Os modelos podem ser estimados por MQO

21ˆvar

n 2 2

1

1ˆ ˆ( )

1

n

ii

rn

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Para as fórmulas que utilizam ponderações para os componentes, o melhor estimador deixa de ser o de MQO e passa a ser o de Mínimos Quadrados Generalizados (MQG), que por sua vez pode ser considerado um caso especial do GMM

No caso de Laspeyres, tem-se:

( ) 0;iE 2

0cov( , )i

i

jw

0 00

0 0

1

i ii n

i ii

p qw

p q

i i iy x

0 0 0; ;i i i i i i i iy r w x w w

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Enfoque estocástico

O estimador de MQG é :

No caso de Konüs-Byushgens, tem-se:

1 0

01 1

2 0 01

1 1

ˆ ; 0,1

n n

i i i ini i

i in ni

i i ii i

y x p qw r t

x p q

2 22 2 2 0 2

2 0 1 1

1 1

1 1ˆˆ ˆ ˆvar( ) ; ( ) ( )1 1

n n

i i i in ni i

i ii i

y x w rn nx w

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O modelo que tem como estimador a fórmula de Konüs-Byushgens pode ser obtido como um caso particular do modelo mais geral apresentado a seguir.

01 01 01ln( ) ; 1,2,..., ; 0,1i i ir Dp i n t t

22

01 01 01 0101

( ) 0;var( ) ;cov( , ) 0;i i i ji

E kw

0 101 ( ) / 2i i iw w w

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O estimador de MQG é :

Este tem como estimador de MQG a fórmula superlativa de Theil- Tornqvist. No caso particular estruturas de ponderações fixas o estimador corresponde ao “índice geométrico”, também denominado de “índice de elasticidades unitárias” e que Diewert (2003) atribuiu a Konüs e Byushgens.

0101 01 01 01 01

1 1

ˆ ( ) i

nnwT

i i ii i

w Dp I r

2 2 201 01 01 01

1

1ˆ ˆ ˆvar( ) ; ( )

n

i ii

w Dpn

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Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB

Os dois modelos a serem comparados foram especificados tomando como referência o conceito de média ponderada de ordem de relativos de preços (Hansenkamp, 1976).

Isto permite obter fórmulas considerados os três enfoques teóricos discutidos, desde se acrescente a cada modelo um termo aleatório :

1/01

1

( ) [ ( ) ]n

i ii

I w r

1

0 1; 1n

i ii

w w

0;

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A fórmula de Laspeyres, exata para funções de utilidade à “Leontief”, corresponde a uma média aritmética ponderada é obtida para

Por sua vez a fórmula de Konüs-Byushgens, exata para uma função custo homogênea linear a “Cobb-Douglas”, corresponde a uma média geométrica ponderada é obtida para:

A fórmula de Theil- Tornqvist, exata para funções translog, é obtida para e ponderações médias dos períodos 1 e 0

1

0 00

0 0

1

i ii n

i ii

p qw

p q

0 1

i ii n

i ii

p qw

p q

0

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A dificuldade de aplicação de fórmulas superlativas ao cálculo de IPCs reside no fato de demandarem atualização do sistema de ponderações a cada etapa do cálculo.

Isto também ocorre no caso de séries de números-índice em que a cada elo da cadeia é alterada a estrutura de ponderações, que incluiria além das fórmulas citadas as de Laspeyres e o de Konüs-Byushgens.

Assim, todos os modelos analisados não são factíveis no caso de IPCs, sendo necessário aplicar adaptações

As fórmulas adaptadas de Laspeyres, conhecida como Laspeyres-BLS, e de Konüs-Byushgens, utilizada no IPC-FIPE, são mostradas a seguir.

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Laspeyres BLS

Konüs-Byushgens

*1, 1 1,

1

( ); 1, 2,..., 1,n

i it t t t t

i

L w r t s s t t

*

1 0 0, 1 0, 1[ / ]i i it t tw w r L

0

1, 1,1

( ) ; 0,1,...., 1, ,..., 1,i

nwi

t t t ti

KB r t s s t t

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Na fórmula de Laspeyres modificado está implícita a hipótese de que o “quantum” de cada subitem é mantido fixo nos intervalos entre duas estruturas de ponderação.

Isto só é compatível com demanda perfeitamente inelástica a preço do bem composto representado pelo “produto”.

Por sua vez, o índice Konüs-Byushgens, ou índice geométrico, assume implicitamente a hipótese de elasticidade-preço da demanda unitária para cada subitem.

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Evidentemente se o preço relativo não se altera ou se altera muito pouco as diferenças entre os dois índices serão nulas ou muito reduzidas.

Mas, quando a estrutura de ponderação básica não é atualizada por anos e a variância de preços relativos dos produtos é elevada, as diferenças entre índices calculados por essas duas fórmulas tendem a se tornar mais significativas.

Na mesma linha de argumentação é importante avaliar a implicação de utilizar a fórmula de Dutot ou a de Jevons para o cálculo dos índices elementares

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Com relação às fórmulas elementares Vartia(1978) e Diewert (1995 e 2003) associam as diferenças de resultados à dispersão de relativos de preços e demonstram que as fórmulas de Dutot e Jevons se aproximam à segunda ordem

Considerando que o principal fator de divergência pode ser atribuído a opção de fórmula agregativa, mostraremos como esta divergência está relacionada ao padrão de dispersão de preços relativos. O primeiro passo é apresentar as duas fórmulas como médias de relativos de preços, como segue:

*0, 0

1

(1 ); 1n

it i i i

i

L w a a r

00,

1

(1 )i

nw

t ii

KB a

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Expandindo a função em uma série de potências pelo procedimento de MacLaurin, ou seja, para ai =0, e truncando no

segundo termo, obtém-se

Como o peso da maioria dos subitens é inferior a 1% e, salvo casos de hiperinflações, a taxa de variação de preço de cada subitem é próxima de zero, as parcelas de grau 2 podem ser desprezadas. Assim

0 20

0,1

(1 )2

ni i

t i ii

w aKB w a

0 0 2 0 0 2 0 0 20,

1 1 1 1 1

1 1 11 1 ( 1) ( 1) ( 1)

2 2 2

n n n n n

t i i i i i i i i i i i ii i i i i

KB w a w a w r w r w r w r

* 0 20, 0,

1

1( 1)

2

n

t t i ii

KB L w r

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Assumindo que cada relativo foi deflacionado pelo índice geral, de modo que sua média é igual à unidade, podemos interpretar o termo à direita como uma medida de dispersão de preços relativos.

Assim, quanto maior a dispersão maior seria a diferença entre os dois índices.

Uma vez especificados os dois modelos estatísticos, com a inclusão de um termo aleatório, é possível estimá-los como “measure-estimators” para obter índices mensais e as respectivas medidas de dispersão

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O grau de precisão do índice é obtido a partir do erro padrão de cada especificação de produto estimado a partir de cotações de preços nos períodos de referência e base de cálculo.

Por sua vez, para estimar a dispersão entre produtos, que é relacionada a diferença de resultados entre as duas fórmulas factíveis analisadas será utilizada a “variância de preço de Divisia”

A base de dados de preços e ponderações foi a do IPC-FIPE em que foram selecionados, mensalmente de janeiro de 2000 a novembro de 2010, amostras de especificações de produtos representativas de todos os grupos de despesa do IPC-FIPE.

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Para facilitar o processamento só foram incluídos os produtos que compõem atualmente o índice

Assim, devido às substituições de produtos ao longo do tempo, a amostra variou de 446 produtos elementares (especificações de produtos) e cerca de 27000 cotações, em janeiro de 2000, até atingir 774 especificações e cerca de 50.000 cotações em novembro de 2010.

Devido a peculiaridades das amostras de produtos elementares em parte associadas ao processo de formação de preços estes foram divididos em quatro grupos.

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Alimentos não Industrializados com participação de 10,95%

Industrializados com participação de 38,01%

Serviços Indexados com participação de 20,99%

Serviços de Mercado com participação de 30,05%

No grupo dos Serviços Indexados foram incluídos aqueles com indexação sazonal, ou seja, cuja alteração de preços se concentra em determinados períodos e como ocorre, por exemplo, com as tarifas de transporte público

Serviços como aluguéis residenciais foram incluídos no grupo de Serviços de Mercado

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Além da divergência explicada pela utilização de fórmulas diferentes, a estimação de IPCs envolve outras fontes de erro, classificados por Hansen e Lucas (1984) como erros amostrais e de mensuração.

Os erros amostrais dependeriam da variabilidade intrínseca dos dados, do tamanho da amostra e do processo de amostragem utilizado. Os erros de mensuração são relacionados à aos métodos de coleta de preços

Um estimador do erro amostral, que pode ser aplicado aos dois modelos, baseado na proposta de Banerjee (1975) é o da média ponderada de erros-padrão dos produtos elementares para cada mês, ou seja

1, 0 1,1

( ) ( )n

i it t t t

i

s I w s r

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O problema passa a ser de como calcular o coeficiente de variação de cada produto elementar a cada mês. Tomando como referência a fórmula de Dutot que apresenta resultados próximos a de Jevons, o erro-padrão amostral pode ser estimado segundo Cochran (1988) por:

12

22 2( ) 1 121

1( ) ( ( ) 2 cov( , ))i

t

i i i iiis tt t t ttt

fs p s p p pr rr

n p

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Outra medida de dispersão importante é a variância de preços relativos,.

Evidências empíricas indicam que fórmulas superlativas tendem a apresentar resultados próximos; em conjunturas inflacionárias a fórmula de Laspeyres tende a apresentar índices superestimados, relativamente aos superlativos, enquanto a fórmula de Konüs-Byusgens tende a apresentar subestimação, se bem que de menor magnitude.

Uma medida dessa dispersão, segundo Selvanathan e Rao (1994), é dada por:

201

var( ) log( ) logn

ii i

t t tiwI I I

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Considerações Finais

Nas tabelas de resultados mostradas em anexo duas questões são merecedoras de atenção especial:

o fato da fórmula de Laspeyres-BLS ter apresentado uma variação acumulada de 95.31% e a de Konüs-Byushgens de 85,76%, quando aplicadas a mesma base de dados

o grau elevado de dispersão medido pelo erro-padrão.

Uma implicação importante dos resultados obtidos na comparação entre fórmulas diz respeito à utilização de IPCs como deflatores e inflatores de valores.

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Do ponto de vista restrito de sua utilização para a construção de variáveis utilizadas em modelos econométricos a diferença obtida dá uma medida do erro em variáveis deflacionadas que pode se constituir em fator de viés, correspondente ao viés de erro nas variáveis.

Finalmente no que se refere ao erro-padrão, observa-se que em geral foi afetado pelos valores estimados para o grupo de serviços de mercado, que inclui o aluguel e planos de saúde, cujos erros-padrão devem estar superestimados devido ao modo como é constituída a amostra para fins de cálculo dos índices mensais

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Além disso, a fórmula utilizada não considerou a possibilidade de correlação entre os relativos de preços de produtos elementares, como por exemplo, os cortes de carne de primeira.

Assim, o refinamento da modelagem com relação ao termo idiossincrático, no enfoque estatístico, nos modelos especificados para a estimação de índices para produtos elementares, tenderá a levar à redução dos valores obtidos para medidas de dispersão em IPCs.

FIPE - Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas 49

1 medidas alternativas de custo de vida análise comparativa de duas metodologias factíveis para o...

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