1. matematica oscar 2012

PROF. OSCAR QUEIROZ MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA

Prof. Oscar Queiroz

[email protected] www.facebook.com/oscar.queiroz

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

1. Álgebra linear 1.1 Conjunto numérico: operações com números inteiros, fracionários e decimais......................... 01

2. Proporções e divisão proporcional, Regras de três simples e composta........................................................... 06 3. Porcentagem................................................................. 12

4. Juros simples e compostos; capitalização e descontos...........................................................................16

5. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente........................................... 21 6. Revisão geral CESPE.....................................................26 GABARITOS ..................................................................... 32

CAPÍTULO 1

Álgebra Linear

(Conjuntos Numéricos)

NÚMEROS NATURAIS

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} N* = N – {0} (Naturais não-nulos)

NÚMEROS INTEIROS

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4,...} (inteiros não negativos) Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} (inteiros não positivos) Z

* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} (inteiros não nulos)

OPERAÇÕES:

1) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO:

Sinais iguais Soma-se os valores

absolutos dos números e repete o sinal.

Sinais diferentes

Subtrai-se os valores absolutos dos números e repete o sinal do maior

módulo.

Ex.: – 5 – 6 = – 11 – 8 + 5 = – 3 Obs.: Módulo de um número = Valor de um número sem o sinal.

2) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO:

Sinais iguais Resultado: (+)

Sinais diferentes Resultado: (–)

Ex.: (–20) . (–7) = +140 (–70) : (+14) = –5

Obs.: Algoritmo da divisão: D = d . q + r

D = Dividendo; d = divisor; q = quociente; r = resto 3) POTENCIAÇÃO:

Definição: Potenciação significa multiplicar um número real (base) por ele mesmo ―n‖ vezes, onde n é chamado de expoente. Ou seja:

Ex.: 3

3 = 3 . 3 . 3 = 27

25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

Propriedades: 1 - Multiplicação de potências de bases iguais:

m n m + na . a = a

2 - Divisão de potências de bases iguais:

0)(a ;a

a

a nnm

n

m

3 - Potência de potência:

m n m . n(a ) = a

OBS: nn

m ma a

Ex: 2

3 2 3 . 2 6

3 9

(2 ) = 2 = 2 = 64

2 = 2 = 512

4 - Potência de um produto:

n n na . b = a . b

Potência de número negativo:

n

nn

n

a > 0 a = positivo (+)

n é par a = positivo (+) a a < 0

n é ímpar a = negativo (-)

Ex.: (-2)3 = -8

(-3)2 = 9

OBS: Cuidado com os parênteses, pois faz muita diferença. Ex.: (-3)

2 = 9

- 32 = - 9

O sinal de negativo ( – ) na frente do três, só fará parte da potenciação quando estiver dentro de

n

n fatores

a = a . a . a . ... . a

OBS: Algumas potências importantes a

1 = a a

0 = 1, a ≠ 0

1n = 1 0

n = 0

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um parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no resultado. NÚMEROS RACIONAIS (FRAÇÕES)

Número racional é todo aquele que pode ser

escrito na forma de fração.

Q = {x = p

q / p Z e q 0}

FRAÇÕES: Denominamos representação fracionária ou simplesmente fração à expressão de um número racional na forma a/b. EXEMPLOS:

NÚMEROS DECIMAIS: São números obtidos através das divisões em frações decimais. EXEMPLOS: 5 / 10 = 0,5 17 / 100 = 0,17 34 / 1000 = 0,034

DÍZIMAS: Há frações que não possuem representações

decimal exata. Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. EXEMPLO:

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima. As dízimas periódicas classificam-se em dízimas simples e compostas.

Simples Periódicas Composta Dízimas Não-Periódicas EXEMPLOS: 0,343434... Dízima Periódica Simples 0,53727272... Dízima Periódica Composta Geratriz de uma dízima periódica: É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

CÁLCULO DA GERATRIZ DE UMA DÍZIMA: Dízima simples: A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para

denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. EXEMPLOS:

0,7 = 0,777... = 7 / 9

0,23 = 0,2323... = 23 / 99

0,548 = 0,548548... = 548 / 999

DEMONSTRAÇÃO 1: x = 0,777... (multiplicando ambos os lados por 10) 10x = 7,777... 10x = 7 + 0,777... 10x = 7 + x 9x = 7 x = 7 / 9

DEMONSTRAÇÃO 2: x = 0,2323... (multipl. ambos os lados por 100) 100x = 23,2323... 100x = 23 + 0,2323... 100x = 23 + x 99x = 23 x = 23 / 99 Dízima Composta:

A geratriz de uma dízima composta é uma

fração da forma n

d, onde n é a parte não periódica

seguida do período, menos a parte não periódica e d significa tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica que está depois da vírgula. EXEMPLOS:

0,47 = 0,4777... = 47 - 4

90 =

43

90

0,625 = 0,62525... = 625 - 6

990 =

619

990

3,532 = 3,532532... = 3532 - 3

999 =

3529

999

2,532 = 2,53232... = 2532 - 25

990 =

2507

990

DEMONSTRAÇÃO: 0,62525... = x Multiplicando ambos os lados por 10: 10 . 0,62525... = x . 10 6,2525... = 10x (I) Agora multiplicando ambos os lados por 100: 100 . 6,2525... = 10x . 100 625,2525... = 1000x (II) Agora subtraindo I de II temos: 625,2525... = 1000x (II) - 6,2525... = 10x (I) 619 = 990x

x = 619

990


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Parte inteira diferente de zero:

EXEMPLO: Ache a fração geratriz da dízima 2,02777... SOLUÇÃO: Primeiramente devemos separar a parte inteira da parte periódica e só então transformar a dízima em fração. Logo: 2,02777... = = 2 + 0,2777...= = 2 + (027 – 02) / 900 = = 2 + 25/900 = = 2 + 1/36 = = 73/36

MÚLTIPLOS E DIVISORES

MÚLTIPLO: o conjunto dos múltiplos de um número Natural não-nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números Naturais. EXEMPLO: M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,...} M(3)= {0,3,6,9,12,15,18,...} Infinito! Se calcularmos 36 : 9 obtemos 4, e a divisão é exata. Então concluímos que 36 é divisível por 9, ou que 9 é divisor de 36, ou que 36 é múltiplo de 9. Assim: DIVISOR: um número b (b ≠ 0) é divisor de um número a, se a divisão a : b for exata. EXEMPLO: D(15) = {1,3,5,15} Finito! D(20) = {1,2,4,5,10,20} ATENÇÃO!!

REGRAS DE DIVISIBILIDADE

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Por 2 : Um número é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou

2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. EXEMPLO: 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Por 3 : Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores

absolutos dos seus algarismos for divisível por três. EXEMPLO: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

Por 4 : Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou

quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. EXEMPLO: 1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 50 não é divisível por 4.

Por 5 : Um número é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou

5. EXEMPLO: 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem 5.

Por 6 : Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e

por 3. EXEMPLO: 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma = 6). 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma = 12). 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).

Por 7 : Separa-se o algarismo das unidades do restante, então a

diferença entre o que sobrou do número e o dobro do algarismo das unidades, deve ser divisível por 7. EXEMPLO: 27720 é divisível por 7? 2772 – 2 . 0 = 2772 277 – 2 . 2 = 273 27 – 2 . 3 = 21 , que é divisível por 7.

Por 8 : Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou

quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. EXEMPLO: 7000 é divisível por 8, pois termina em 000. 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.

Por 9 : Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores

absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. EXEMPLO: 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

Por 10 : Um número é divisível por 10 quando ele termina em 0.

EXEMPLO: 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Por 11 : Um número é divisível por 11 quando

Si – Sp = 0 ou 11, onde: Si = soma dos algarismos de ordem ímpar. Sp = soma dos algarismos de ordem par. EXEMPLO: 87549 Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si - Sp = 22 - 11 = 11 Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

Os múltiplos de um número formam um conjunto infinito.

O menor múltiplo natural de um número é sempre o número 0.

O menor divisor natural de um número é sempre o número 1.

O maior divisor de um número é o próprio número.

O zero não é divisor de nenhum número.

Os divisores de um número formam um conjunto finito.


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Divisibilidade Simultânea : Se um número é divisível por dois ou

mais números ao mesmo tempo, então ele será divisível, também, pelo mmc destes números. EXEMPLO: Se um número é divisível por 3 e por 5 (por exemplo o 90), então ele é divisível pelo mmc (3, 5) que é 15. Obs: o m.m.c. será visto mais adiante, em tópico próprio.

NÚMEROS PRIMOS

Um número Natural é um número Primo quando ele só tem dois divisores distintos, o um e ele mesmo. Os 100 primeiros números primos positivos são: DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS:

Decompor um número composto em fatores primos significa expressar este número como produto de outros que sejam primos.

200 2 100 2 50 2 25 5 5 5 1 2 . 2 . 2 . 5 . 5 = 2

3 . 5

2

Ou seja, 200 = 2

3 . 5

2

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)

O máximo divisor comum de dois ou mais números Naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns desses números. Cálculo do MDC de dois ou mais números: Para calcular o M.D.C. de dois ou mais números, devemos seguir uma série de etapas:

Decompomos os números em fatores primos.

Tomamos os fatores comuns com o menor expoente.

Multiplicamos esses fatores entre si. EXEMPLO1: Calcule o máximo divisor comum (MDC) de 54 e 36: SOLUÇÃO: Fatorados, os dois números ficam: 54 = 2 . 3

3

36 = 22 . 3

2

Tomando os fatores comuns com o menor expoente, temos: MDC (54, 36) = 2 . 3

2

MDC (54, 36) = 2 . 9 MDC (54, 36) = 18 OBS: Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1. E, consequentemente, o mínimo múltiplo comum será o produto deles.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

É o menor número, diferente de zero, que é múltiplo comum desses números. Cálculo do MMC de dois ou mais números: 1º Modo: Para calcular o M.M.C. de dois ou mais números, devemos seguir as seguintes etapas:

Decompomos os números em fatores primos.

Tomamos os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente.

Multiplicamos esses fatores entre si. EXEMPLO: Calcule o MMC de 100 e 150: SOLUÇÃO: Fatorados, os dois números ficam: 100 = 2

2 . 5

2

150= 2 . 3 . 52

Tomando os fatores comuns com o maior expoente e não-comuns, temos: MMC (100,150) = 2

2 . 3 . 5

2

MMC (100,150) = 4 . 3 . 25 MMC (100,150) = 300 2º Modo: Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, dividindo-os sempre pelos menores números primos possíveis. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o M.M.C. desses números. EXEMPLO: Calcule o MMC de 15, 24 e 60:

Com isso, o MMC (15, 24 e 60) = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 120. MMC X MDC:

Sejam dois ou mais números quaisquer (a, b, c, ...), o produto do mínimo múltiplo comum pelo

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547,...

b . a = b) (a, MMC

1 = b) (a, MDC si entre primos b e a


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máximo divisor comum desses números é igual ao produto destes.

EXEMPLO: O produto do mmc pelo mdc dos números 12 e 20 é: mmc (12, 20) . mdc (12, 20) = 12 . 20 = 240

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01. (FCC) A expressão N ÷ 0,0125 é equivalente ao produto de N por: a) 1,25. b) 12,5. c)1/80 d) 80. e) 125/100 02. (CESGRANRIO) As opções abaixo apresentam números racionais, EXCETO em: a) 0,1 b) 0,111... c) 0,1222...

d) 12

75

e) 21/2

03. (CESPE) Um gestor público, ao estudar a situação econômica da população de uma cidade onde residem 4.774 famílias, classificou essas famílias de acordo com sua renda familiar, como pertencentes às classes A, B ou C. Foi observado que o número de famílias da classe A é 51/341 do total de famílias dessa cidade e que 17/58 das famílias restantes são da classe B. A partir dessas informações, julgue o item subsequente. O número de famílias na classe A era superior a 700. ( ) Certo ( ) Errado 04. (FCC) Dos números que aparecem nas alternativas, o que mais se aproxima do valor da expressão (0,619

2 – 0,599

2) x 0,75 é:

a) 0,0018. b) 0,015. c) 0,018. d) 0,15. e) 0,18. 05. (ACEP) Sejam x e y números reais dados por suas representações decimais

...999999,0

...111111,0

y

x

Pode-se afirmar que: a) x + y = 1 b) x - y = 8 / 9 c) xy = 0,9 d) 1 / ( x + y ) = 0,9 e) xy = 1

06. (TRT) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho decorridos 5/18 de um dia e retornou à sua casa decorridos 13/16 do mesmo dia. Permaneceu fora de casa durante um período de: a) 14 horas e 10 minutos. b) 13 horas e 50 minutos. c) 13 horas e 30 minutos. d) 13 horas e 10 minutos. e) 12 horas e 50 minutos. 07. (CESGRANRIO) No primeiro dia de trabalho, João construiu 1/3 de um muro e, no segundo dia, 1/5 do mesmo muro, totalizando 24m

2. Quantos metros

quadrados terá esse muro? a) 21 b) 36 c) 42 d) 45 e) 48 08. (BNDES) Quantos são os números inteiros, compreendidos entre 100 e 200, que são múltiplos de 3 e, simultaneamente, não são múltiplos de 5? a) 13 b) 16 c) 21 d) 26 e) 27 09. (TRT) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132 comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico. Deverá distribuí-los em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade possível de um único tipo de medicamento. Considerando que todos os recipientes deverão receber a mesma quantidade de medicamento, o número de recipientes necessários para essa distribuição é: a) 24 b) 16 c) 12 d) 8 e) 4 10. (ESAF) Qual a fração que dá origem à dízima 2,54646... em representação decimal? a) 2.521 / 990 b) 2.546 / 999 c) 2.546 / 990 d) 2.546 / 900 e) 2.521 / 999 11. (FCC) Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a um mesmo restaurante: Fábio a cada 15 dias e Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 ambos estiveram em tal restaurante, outro provável encontro dos dois nesse restaurante ocorrerá em a) 9 de dezembro de 2004. b) 10 de dezembro de 2004. c) 8 de janeiro de 2005. d) 9 de janeiro de 2005. e) 10 de janeiro de 2005.

MMC (a, b, c) . MDC (a, b, c) = a . b . c


6

12. (FCC) Suponha que, sistematicamente, três grandes instituições − X , Y e Z − realizam concursos para preenchimento de vagas: X de 1,5 em 1,5 anos, Y de 2 em 2 anos e Z de 3 em 3 anos. Considerando que em janeiro de 2006 as três realizaram concursos, é correto concluir que uma nova coincidência ocorrerá em a) julho de 2015. b) junho de 2014. c) julho de 2013. d) janeiro de 2012. e) fevereiro de 2011. 13. (B. do Brasil) Uma pessoa tem duas folhas de cartolina, ambas quadradas e com superfície de 2304cm

2 e 1296cm

2. Ela deseja recortá-las em

pequenos quadrados todos iguais e de maior área possível. O lado de cada quadradinho, em centímetros, medirá: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 14. Três rolos de fio medem, respectivamente, 24m, 84m, 90m. Eles foram cortados em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então, o comprimento de cada pedaço é: a) 8m b) 3m c) 6m d) 2m e) 4m 15. (FCC) Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar? a) 33 b) 48 c) 75 d) 99 e) 165 16. O produto de dois números é 1.176 e o mínimo múltiplo comum é 84. O máximo divisor comum desses mesmos números é: a) 84 b) 42 c) 14 d) 28

CAPÍTULO 2

PROPORÇÕES, DIVISÃO

PROPORCIONAL E REGRA DE TRÊS

RAZÕES

Definição: Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero) o quociente a / b ou a : b. EXEMPLO: Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. A razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

SOLUÇÃO:

75 375 : 100 =

100 4

Observe a razão:

Na razão a : b ou a/b, o número a é denominado antecedente e o número b é denominado conseqüente. Veja o exemplo:

Ex:

econsequent7

eantecedent 4

7

4

RAZÕES FREQUENTES EM CONCURSOS:

1. VELOCIDADE MÉDIA:

Vm = s

t

Razão entre a distância e o tempo. Unidade de Medida: Km/h ou m/s. 2. CONCORRÊNCIA DE UM CONCURSO:

Nº de CandidatosC =

Nº de Vagas

Razão entre o número de candidatos e o de vagas. Unidade de Medida: candidatos/vaga 3. DENSIDADE DE UM CORPO:

md =

V

Razão entre a massa do corpo e seu volume. Unidade de medida: Kg/m

3 ou g/cm

3.

4. DENSIDADE DEMOGRÁFICA:

aa : b =

b (lê-se "a está para b" ou "a para b").


7

p

Nº de HabitantesD =

Área

Razão entre o número de habitantes e a Área do local. Unidade de Medida: Hab/Km

2 ou Hab/m

2.

5. ESCALA:

dE =

D

Razão entre a distância no mapa (d) e a distância real (D). OBS: A escala não tem unidade de medida. A escala gráfica vem expressa no mapa e cada graduação representa 1cm de comprimento no mapa ou desenho. EXEMPLO: Considerando o desenho abaixo, calcule a escala utilizada, sabendo que cada divisão equivale a 1cm.

SOLUÇÃO:

1cm 1cmE = = = 1 : 150.000.000

150Km 150.000.000cm

QUESTÃO CLÁSSICA DAS TORNEIRAS:

Sejam duas torneiras A e B e os tempos que cada uma leva para encher um tanque sozinha, TA e T B , respectivamente. Se as duas torneiras forem ligadas juntas, o tempo T que as duas levam para encher o tanque será dado pela expressão:

BA T

1

T

1

T

1

DEMONSTRAÇÃO: A vazão é dada por V = 1 / T, com isso: V = Va + Vb 1/T = 1/Ta + 1/Tb Esta é apenas uma ilustração sobre este tipo de questão, podendo ser aplicado não só para torneiras e líquidos mas também em situações que envolvam pessoas, trabalho, dinheiro, etc. E também serve para mais de dois objetos, basta acrescentar os valores ao final da fórmula!

EXEMPLO: Um pedreiro poderia fazer um muro em 40 dias e outro pedreiro faria o mesmo muro em 60 dias. Trabalhando os dois juntos, em quantos dias concluiriam o muro? SOLUÇÃO: Este problema é equivalente ao das torneiras, portanto vale a expressão:

BA T

1

T

1

T

1

Substituindo o tempo de cada pedreiro:

120

5

T

1

120

2 3

T

1

60

1

40

1

T

1

dias 24 T

5

120 T

PROPORÇÕES

Definição: Proporção é uma igualdade entre duas ou mais razões.

Dados quatro números racionais a, b, c, d, diferentes de, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre 1º e o 2º for igual à razão entre 3º e o 4º. Representamos da seguinte forma:

(lê-se: "a está para b assim como c está para d") TERMOS DA PROPORÇÃO:

Temos ainda na proporçãoa

b

c

d que os

termos a e b são chamados de extremos e os termos c e d são chamados de meios.

ou

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

1ª Propriedade Fundamental: Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

a c = a . d = b . c

b d

2ª Propriedade: Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

a b

c

d ou a : b = c : d


8

a + b c + d =

a ca c

= oub d

a + b c + d =

b d

3ª Propriedade: Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

a - b c - d =

a ca c

= oub d

a - b c - d =

b d

4ª Propriedade: Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

a c a + c = =

b d b + d

QUARTA PROPORCIONAL

Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que:

PROPORÇÕES CONTÍNUAS

Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais. De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

TERCEIRA PROPORCIONAL

Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:

PROPORÇÃO MÚLTIPLA

Denominamos proporção múltipla uma proporção que contém três ou mais razões.

DIVISÃO PROPORCIONAL

NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando aumentando os valores da primeira grandeza, os valores correspondentes da segunda também aumentam. Podemos dizer também que quando diminuirmos uma grandeza, a outra também diminuir, elas são diretamente proporcionais. Em se tratando de números, uma seqüência de números (a1, a,2, a3, ..., an) será diretamente proporcional a uma outra seqüência numérica (b1, b2, b3, ..., bn) quando as razões entre os termos correspondentes forem iguais, ou seja:

O termo ―k‖ é chamado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade.

NÚM. INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando aumentando os valores da primeira grandeza, os valores correspondentes da segunda diminuem. Se tivermos uma seqüência de números (a1, a,2 a3, ..., an) ela será inversamente proporcional a uma outra seqüência numérica (b1, b2, b3, ..., bn) quando o produto entre os termos correspondentes forem iguais ou quando a razão entre os valores da primeira sequência e o inverso dos valores correspondentes da segunda são iguais, ou seja:

ou

DICA!!!

A grandeza “a” é diretamente proporcional a “b” e diretamente proporcional a “c”:

)c ..., ,c ,c ,(c :a Prop. eDiretament

)b ..., ,b ,b ,(b :a Prop. eDiretament )a ..., ,a ,a ,(a

n321

n321

n321

Então:

A grandeza “a” é inversamente proporcional a “b” e inversamente proporcional a “c”:

...f

e

d

c

b

a

x

c

b

a

c

b

b

a

x

b

b

a

k b

a ...

b

a

b

a

b

a

n

n

3

3

2

2

1

1

k ba ... ba ba ba nn332211

k

b

1

a ...

b

1

a

b

1

a

b

1

a

n

n

3

3

2

2

1

1

nn

n

33

3

22

2

11

1

.cb

a...

.cb

a

.cb

a

.cb

a


9

)c ..., ,c ,c ,(c :a Prop. teInversamen

)b ..., ,b ,b ,(b :a Prop. teInversamen )a ..., ,a ,a ,(a

n321

n321

n321

Com isso:

A grandeza “a” é diretamente proporcional a “b” e inversamente proporcional a “c”:

)c ..., ,c ,c ,(c :a Prop. teInversamen

)b ..., ,b ,b ,(b :a Prop. eDiretament )a ..., ,a ,a ,(a

n321

n321

n321

Então podemos dizer que:

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos para a resolução de uma regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. EXEMPLO: Na extremidade de uma mola colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola? SOLUÇÃO: Construa uma tabela relacionando as duas grandezas, ou seja, o comprimento da mola e a massa do objeto pendurado e verifique se as duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais:

Massa do Corpo Deslocamento da mola 10 kg 54cm 15kg x Como as grandezas são diretamente proporcionais, as setas ficam no mesmo sentido, isto significa que: quanto mais pesado for o objeto maior o deslocamento da mola. Então:

81 x 10

54 . 15 x

x

54

15

10

R: Se colocarmos um objeto de 15Kg o deslocamento da mola será de 81cm.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Passos para a resolução de uma regra de três composta: 1º) Montar uma tabela com uma coluna para cada grandeza e com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação. 2º) Escolhe-se uma grandeza para servir de referência. 3º) Comparamos cada uma das outras grandezas com a grandeza de referência isoladamente para sabermos se são diretamente proporcionais (setas no mesmo sentido) ou inversamente proporcionais (setas invertidas). 4º) Isolamos no 1º membro a razão da grandeza de referência e no 2º membro multiplicamos as razões as outras grandezas invertendo aquelas que são inversamente proporcionais e mantendo aquelas que são diretamente proporcionais. EXEMPLO: Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m

3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões

serão necessários para descarregar 125m3?

SOLUÇÃO: Vamos montar a tabela e tomar como referência o número de caminhões:

Caminhões Horas Volume 20 8 160 x 5 125 Logo:

25 x 160 . 5

20 . 125 . 8 x

125

160

8

5

x

20

R: Portanto, são necessários 25 caminhões para realizar o serviço.


01. (ACEP) Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário, 60 não foram vacinadas e 92 vacinadas morreram. Entre as galinhas vacinadas, qual a razão do número de mortas para o número de vivas? a) 3 b) 1/4 c) 5 d) 2/3 e) 2

nn

n

33

3

22

2

11

1

.bb

1

a...

.cb

1

a

.cb

1

a

.cb

1

a

n

n

n

3

3

3

2

2

2

1

1

1

b

b

a...

c

b

a

c

b

a

c

b

a


10

02. Os índios Baniwa fazem parte do complexo cultural de 22 povos indígenas da Amazônia brasileira. Somam cerca de 12 mil pessoas, das quais 4 mil vivem no Brasil e o restante, na Colômbia e na Venezuela. A razão entre o número de índios Baniwa que vivem no Brasil e que vivem no exterior é: a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 2/3 e) 3/4

03. (CESPE) O mapa do estado do Pará ilustrado acima está desenhado na escala 1:17.000.000, ou seja, uma distância de 1 cm no mapa corresponde à distância real, em linha reta, de 17 milhões de centímetros. Ao medir, com a régua, a distância no mapa entre Jacareacanga e Belém, um estudante encontrou 6,7 cm. Com base apenas nessas informações, é correto o estudante concluir que a distância real, em linha reta, entre essas duas cidades é a) inferior a 1.000 km. b) superior a 1.000 km e inferior a 1.080 km. c) superior a 1.080 km e inferior a 1.150 km. d) superior a 1.150 km.

04. (FCC) Uma certa mistura contém álcool e gasolina na razão de 1 para 5, respectivamente. Quantos centímetros cúbicos de gasolina há em 162 litros dessa mistura? a) 135.000 b) 32.400 c) 1.350 d) 324 e) 135 05. (TJE) A distância entre duas cidades é de 24 Km. Em um mapa, a distância mede 15 cm. Pode-se afirmar que a escala utilizada é: a) 1 : 160.000 b) 1 : 175.000 c) 1 : 150.000 d) 1 : 170.000 e) 1 : 165.000

06. (CESPE) Dividiu-se a quantia de R$ 5.850,00 em três partes R, S e T, proporcionais respectivamente a 8, 10 e 12. O valor correspondente à parte R é igual a a) R$ 1.560,00. b) R$ 1.950,00. c) R$ 2.340,00. d) R$ 1.760,00. e) R$ 2.160,00. 07. (FCC) Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciários arquivaram um lote de processos em 4 horas. Se, sozinho, um deles realizasse essa tarefa em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o outro fosse capaz de realizá-la sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um período de: a) 6 horas. b) 6 horas e 10 minutos. c) 6 horas e 54 minutos. d) 7 horas e 12 minutos. 08. O faxineiro A limpa um certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito? a) 2 horas e 7 minutos b) 2 horas e 5 minutos c) 1 horas e 57 minutos d) 1 horas e 43 minutos e) 1 horas e 36 minutos 09. (FCC) Dois técnicos judiciários deveriam redigir 45 minutas e resolveram dividir esta quantidade em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se o primeiro, que tem 28 anos, redige 25 delas, a idade do segundo, em anos, é: a) 35 b) 33 c) 32 d) 31 e) 30 10. (CEF) Curiosamente, dois técnicos bancários observaram que, durante o expediente de certo dia os números de clientes que haviam atendido eram inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 36 e 48 anos. Se um deles atendeu 4 clientes a mais que o outro, então o total de pessoas atendidas pelo mais velho foi: a) 20 b) 18 c) 16 d) 14 e) 12 11. (CESPE) A secretaria de administração de um estado contratou profissionais dos níveis superior, médio e fundamental, com salários mensais que são números diretamente proporcionais a 6, 2 e 1, respectivamente. Sabe-se que o salário mensal para profissionais de nível médio é de R$ 700,00. Nessa situação, a soma dos salários mensais de um profissional de nível fundamental e de um profissional de nível superior é igual a


11

a) R$ 2.450,00. b) R$ 2.400,00. c) R$ 2.350,00. d) R$ 2.300,00. 12. (TJ PB) Dois produtores de soja receberam um prêmio de produtividade no valor de R$4.200,00, e decidiram dividi-lo em partes inversamente proporcionais aos seus gastos com herbicidas por hectare. Considerando que esses gastos com herbicidas foram de R$160,00 para o produtor A e de R$240,00 para o produtor B, os produtores A e B receberam, respectivamente: a) R$1.680,00; R$2.520,00. b) R$1.820,00; R$2.380,00. c) R$2.200,00; R$2.000,00. d) R$2.260,00; R$1.940,00. e) R$2.520,00; R$1.680,00. 13. (CESGRANRIO) A divisão do número de vereadores de uma determinada cidade é proporcional ao número de votos que cada partido recebe. Na última eleição nesta cidade, concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que receberam a seguinte votação: A teve 10.000 votos, B teve 20.000 e C 40.000. Se o número de vereadores dessa cidade é 21, quantos deles são do partido B? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 14. (CESPE) Uma empresa de transporte coletivo serve 3 localidades de uma cidade. Para atender às 3 localidades, os veículos da empresa são divididos em 3 grupos, em quantidades que são diretamente proporcionais aos números 5, 7 e 11. O produto das quantidades de veículos dos dois grupos menores é igual a 140. Nessa situação, a frota dessa empresa é composta de a) 44 veículos. b) 46 veículos. c) 48 veículos. d) 50 veículos. 15. (TRT) Três funcionários, A, B e C, decidem dividir entre si a tarefa de conferir o preenchimento de 420 formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço no Tribunal. Se A, B e C trabalham no Tribunal há 3, 5 e 6 anos, respectivamente, o número de formulários que B deverá conferir é: a) 100 b) 120 c) 200 d) 240 e) 250 16. (FCC) Três Técnicos Judiciários – Alberico, Benivaldo e Corifeu – devem arquivar 340 processos e, para executar esta tarefa, decidiram dividir o total entre si, em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Sabe-se que:

– Alberico tem 36 anos; – Benivaldo é o mais velho dos três e sua idade excede a de Corifeu, o mais jovem, em 12 anos; – caberá a Corifeu arquivar 90 processos. Nessas condições, é correto afirmar que a) as idades dos três somam 105 anos. b) Benivaldo deverá arquivar 110 processos. c) Corifeu tem 28 anos. d) Alberico deverá arquivar 120 processos. e) Benivaldo tem 35 anos. 17. (ESAF) Divide-se 315 em três partes A, B e C que são ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 3, 2, e 5, e inversamente proporcionais a 5, 3 e 6, respectivamente. O maior valor dessas partes é: a) 225 b) 156 c) 145 d) 100 e) 125 18. (FCC) Suponha que apenas um dentre 12 Técnicos Judiciários se aposenta e é substituído por um concursado que tem 24 anos de idade e, como consequência, a média das idades dos Técnicos diminui de 3,5 anos. Assim sendo, a idade do Técnico que se aposentou é um número a) menor que 65. b) quadrado perfeito. c) primo. d) divisível por 4. e) múltiplo de 11. 19. (CESGRANRIO) Um motorista parou em um posto para abastecer seu caminhão com óleo diesel. Ele pagou com uma nota de R$ 100,00 e recebeu R$ 5,75 de troco. Se o litro do óleo diesel custava R$ 1,45, quantos litros ele comprou? a) 55 b) 58 c) 65 d) 75 e) 78 20 (CESGRANRIO) Andando a 6km/h, Paulo vai de sua casa ao trabalho em 15 minutos. Quanto tempo levaria se andasse a 4km/h? a) 10min b) 17min c) 20min d) 22min 30s e) 24min 30s 21. (ESAF) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6 horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia, a estrada será concluída em: a) 90 dias b) 84 dias c) 72 dias d) 128 dias e) 60 dias


12

22. Trabalhando 6 horas, 4 homens constroem 7 metros de um muro. O tempo necessário para 6 homens, trabalhando no mesmo ritmo, construírem 14 metros do mesmo muro é: a) 7 horas. b) 8 horas. c) 9 horas. d) 10 horas. e) 10 horas e 15 minutos. 23. (FCC) Em uma gráfica, foram impressos 1 200 panfletos referentes à direção defensiva de veículos oficiais. Esse material foi impresso por três máquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia de funcionamento. Para imprimir 5 000 desses panfletos, duas dessas máquinas deveriam funcionar durante 15 horas, a) 10 minutos e 40 segundos. b) 24 minutos e 20 segundos. c) 37 minutos e 30 segundos. d) 42 minutos e 20 segundos. e) 58 minutos e 30 segundos. 24. (FCC) Suponha que 8 máquinas de terraplanagem, todas com a mesma capacidade operacional, sejam capazes de nivelar uma superfície de 8000 metros quadrados em 8 dias, se funcionarem ininterruptamente 8 horas por dia. Nas mesmas condições, quantos metros quadrados poderiam ser nivelados por 16 daquelas máquinas, em 16 dias de trabalho e 16 horas por dia de funcionamento ininterrupto? a) 16000 b) 20000 c) 64000 d) 78000 e) 84000 25. (SEFAZ) Um agricultor sabe que 1.200 frangos consomem 9.000kg de ração em 30 dias. Admitindo-se que ele tenha adquirido 1.500 frangos e 16.500kg de ração, essa quantidade será suficiente para alimentar as aves por: a) 42 dias b) 44 dias c) 45 dias d) 46 dias e) 48 dias

CAPÍTULO 3

PORCENTAGEM

DEFINIÇÃO

Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e

quer dizer por cem. É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo

denominador é 100. Ou seja é dividir um número por 100. RAZÃO CENTESIMAL

Toda a razão que tem o consequente igual a 100 denomina-se razão centesimal.

EXEMPLO: 100

117,

100

14,

100

7

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

cento por vinte e cento 120% 1,20 100

120

cento por quatorze 14% 0,14 100

14

cento por sete 7% 0,07 100

7

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas

taxas centesimais ou taxas percentuais. PORCENTAGEM DE UM NÚMERO

É o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Ex1: Sabendo que X% de 4 = 3, então ao calcular o valor de X encontramos: SOLUÇÃO:

75% x 4

300 x 300 4x 34

100

x

Ex2: Num laboratório, 32% das cobaias são brancas e as outras 204 são cinzas. Quantas cobaias há neste laboratório? SOLUÇÃO: O total de cobaias corresponde a 100%:

brancas (32%) + cinzas (x%) = total (100%) x% = 100% - 32% = 68%

Então, as 204 cobaias cinzas são 68% do total. Chamando o total de cobaias de C, poderemos escrever:

68% de C = 204 68/100 . C = 204 C = 20400/68 C = 300

Portanto, há 300 cobaias no laboratório. AUMENTOS ( + )

No dia a dia fazemos muitos cálculos de aumento percentual. O exemplo mais conhecido é o da comissão de serviço (10% do garçom).

Se, por exemplo, há um aumento (acréscimo) de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante.


13

Aumento Fator de

Multiplicação

10% 1,10

23% 1,23

35% 1,35

56% 1,56

73% 1,73

EXEMPLO1: Calcule o valor total (com o aumento) nas situações abaixo: 1) Aumento de 10% sobre R$ 180,00. 2) Aumento de 26% sobre R$ 250,00. 3) Aumento de 42% sobre R$ 380,00. SOLUÇÃO: 1) Valor final = 180 . 1,10 = 198,00. 2) Valor final = 250 . 1,26 = 315,00 3) Valor final = 380 . 1,42 = 539,60 EXEMPLO2: A conta de um restaurante indicava uma despesa de R$ 26,00 e trazia a seguinte observação: "Não incluímos os 10% de serviço". Quanto representam, em dinheiro, os 10% de serviço e quanto fica o total da despesa se nela incluirmos a porcentagem referente ao serviço? SOLUÇÃO: 10% de 26,00 = 10/100 . 26 = 2,60 Portanto, os 10% de serviço representam R$ 2,60. Incluindo esta porcentagem na despesa original, teremos:

26,00 + 2,60 = 28,60 Assim, o total da despesa passa a ser de R$ 28,60. DESCONTOS ( - )

São comuns também no dia a dia as operações de desconto, chamado muitas vezes de liquidação,

saldão, etc, em que há uma diminuição percentual do valor do objeto a ser vendido. As operações de desconto não necessariamente acontecem em situações de vendas, elas ocorrem, por exemplo quando o

governo retira a porcentagem equivalente à contribuição para a seguridade social. No caso de haver um desconto (decréscimo), o fator de multiplicação será:

Fator M. = 1 – taxa de desconto (na forma decimal)

Desconto Fator de

Multiplicação

10% 0,90

25% 0,75

40% 0,60

63% 0,37

80% 0,20

EXEMPLOS: Calcule o valor total (com o desconto) nas situações abaixo: 1) Desconto de 20% sobre R$ 150,00. 2) Desconto de 35% sobre R$ 200,00.

3) Desconto de 74% sobre R$ 450,00. SOLUÇÃO: 1) Valor final = 150 . 0,8 = 120,00. 2) Valor final = 200 . 0,65 = 130,00. 3) Valor final = 450 . 0,26 = 117,00. AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS

Dois aumentos sucessivos de 10% e 20% é equivalente a um único aumento de quantos por cento? 30? Não! Atribuindo um valor qualquer inicial, 100 por exemplo, temos:

1º Aumento: 100 + 10%.100 = 110 2º Aumento: 110 + 20%.110 = 132 Aumento total: 132 – 100 = 32

Ou seja, o aumento total foi de 32%. (note que o valor inicial é irrelevante neste cálculo) LUCRO SOBRE UMA MERCADORIA

L V > C

Então:

L = V – C

L Lucro

C Preço de compra ou Custo

V Preço de venda

Lucro percentual (iL):

Sobre C L = C . iL

Sobre V L = V . iL EXEMPLO: Uma mercadoria foi vendida com um lucro de 20% sobre a venda. Qual o preço de venda desta mercadoria se o seu preço de custo foi de R$ 160,00? SOLUÇÃO: (sem usar fórmula!)

A expressão "lucro sobre a venda" significa que o valor de referência para o cálculo do percentual de lucro é o preço de venda (ao contrário do que é comum!). Portanto, devemos fazer o preço de venda corresponder a 100%. Observe, então, o esquema:

logo: x% = 80% (correspondente ao preço de custo) Temos, agora, uma regra de três simples: 80% --------- 160,00 (preço de custo) 100% -------- V = ? (preço de venda)


14

Resolvendo, nos dá: V = (160 . 100) / 80 = 200 Então, o preço de venda foi de R$ 200,00. PREJUÍZO SOBRE UMA MERCADORIA

P V < C Então:

P = C – V

P Prejuízo

C Preço de compra ou Custo

V Preço de venda

Prejuízo percentual (iP):

Sobre C P= C . iP

Sobre V P = V . iP EXEMPLO: Para atrair fregueses, um supermercado anuncia por R$ 10,00 um determinado produto que lhe custou R$ 13,00. Determine a taxa porcentual de prejuízo sobre o preço de venda. SOLUÇÃO: (sem usar fórmula!) A expressão "prejuízo sobre o preço de venda" significa que o valor de referência para o cálculo da taxa porcentual deverá ser o preço de venda. Observe o esquema:

O prejuízo de R$ 3,00 foi determinado pela diferença entre os preços de custo e de venda: 13,00 - 10,00 = 3,00 Temos, outra vez, uma regra de três simples: (preço de venda) 10,00 -------- 100% (prejuízo) 3,00 ------------------ x%. Resolvendo, encontramos: X% = (100 . 3) / 10 = 30% Então, a taxa de prejuízo sobre a venda é de 30%.


01. (FCC) Calculando os 38% de vinte e cinco milésimos obtém-se a) 95 décimos de milésimos. b) 19 milésimos. c) 95 milésimos. d) 19 centésimos. e) 95 centésimos.

02. (CEF) Certo dia, do total de pessoas atendidas no período da tarde em quatro caixas de um banco, sabe-se que o: - caixa 1 atendeu a 30%, - caixa 2 não atendeu a 79% e - caixa 3 não atendeu a 75% O número de pessoas atendidas pelo caixa 4 correspondeu a que porcentagem do total? a) 21% b) 22% c) 23% d) 24% e) 25% 03. (FCC) Suponha que, para entregar cilindros de CO2 do Sistema de Detecção de Incêndio nas estações de certa Linha do Metrô de São Paulo, um funcionário usa um caminhão da empresa e, ao longo do percurso gasta, em média, 5 horas e 50 minutos. Considerando desprezível o tempo gasto para descarregar os cilindros em cada estação, então, se ele aumentar a velocidade média do caminhão em 40%, o esperado é que o mesmo percurso seja feito em a) 4 horas e 30 minutos. b) 4 horas e 20 minutos. c) 4 horas e 10 minutos. d) 4 horas e 40 minutos. e) 4 horas e 50 minutos. 04. O valor do produto (5%)

2 . (10%)

2 é:

a) 0,25% b) 0,0025% c) 0,000025% d) 2500% e) 1% 05. (FCC) Certo dia, devido a fortes chuvas, 40% do total de funcionários de certo setor de uma Unidade do Tribunal Regional Federal faltaram ao serviço. No dia seguinte, devido a uma greve dos ônibus, compareceram ao trabalho apenas 30% do total de funcionários desse setor. Se no segundo desses dias faltaram ao serviço 21 pessoas, o número de funcionários que compareceram ao serviço no dia da chuva foi: a) 18 b) 17 c) 15 d) 13 e) 12 06. (FCC) Costuma-se dizer que em dias de jogos do Brasil na Copa do Mundo de Futebol o país literalmente ―para‖. Suponha que durante um jogo do Brasil na última Copa houve uma diminuição do fluxo de veículos que passaram por uma praça de pedágio de certa rodovia: a média habitual de 50 veículos por minuto passou a ser de 57 veículos por hora. Considerando esses dados, no momento de tal jogo o fluxo de veículos nessa praça foi reduzido em a) 98,1%. b) 98,4%. c) 98,6%.


15

d) 981%. e) 984%. 07. (CESGRANRIO) Um retângulo tem área igual a 120 dm

2. Esse retângulo sofre redução de 20% em

sua altura. A fim de que a área do retângulo permaneça inalterada, a base sofre acréscimo.

É correto afirmar que esse acréscimo corresponde a: a) 15% b) 20% c) 25% d) 30% e) 35% 08. (CESGRANRIO) O preço de capa de uma revista semanal é de R$ 5,00. Na assinatura anual, com direito a 12 edições dessa revista, há um desconto de 12%. O preço da assinatura, em reais, é: a) 51,20 b) 51,80 c) 52,20 d) 52,40 e) 52,80 09. (CESGRANRIO)

―Petrobrás deverá ter superávit de U$3 bi este ano Pela primeira vez na história, a Petrobrás terá um superávit comercial na balança de petróleo e derivados em 2006. O saldo deverá ficar em U$3 bilhões, (...) a estimativa inicial era de um saldo de U$2 bilhões. (...) O diretor financeiro da Petrobrás (...) disse que a tendência é de superávits crescentes a partir da auto-suficiência e que a produção

deverá aumentar 9% ao ano até 2010.‖ Jornal O Globo, 03 fev. 2006. (adaptado).

Se o saldo chegar aos U$3 bilhões acima previstos, o aumento, em relação ao saldo inicialmente estimado, será de: a) 10% b) 50% c) 75% d) 100% e) 150% 10. (FCC) Em uma prova com X questões a nota máxima é 10,0 e todas elas têm o mesmo valor. Suponha que um aluno acerte 18 das 32 primeiras questões e, das restantes, ele acerte 40%. Assim sendo, se esse aluno tirou nota 5,0 nessa prova, então X é um número a) múltiplo de 4 b) divisível por 17 c) menor que 50 d) primo e) quadrado perfeito 11. Um automóvel, após 5 meses de uso, foi vendido com uma depreciação de 18%. Sabendo que seu proprietário o vendeu por R$ 21.730,00, qual foi o preço de compra?

a) R$ 26.500,00 b) R$ 37.200,00 c) R$ 30.700,00 d) R$ 25.300,00 e) R$ 28.100,00 12. (FCC) Uma pessoa comprou um microcomputador de valor X reais, pagando por ele 85% do seu valor. Tempos depois, vendeu-o com lucro de 20% sobre o preço pago e nas seguintes condições: 40% do total como entrada e o restante em 4 parcelas iguais de R$ 306,00 cada. O número X é igual a a) 2 200 b) 2 150 c) 2 100 d) 2 050 e) 2 000 13. Um objeto foi vendido por R$ 460,00. Qual a taxa de prejuízo, sabendo-se que foi comprado por R$ 500,00? a) 37% b) 8% c) 20% d) 40% e) 15% 14. (ECT) Um senhor recebeu uma comunicação de sua seguradora informando que a mensalidade de seu plano de saúde subira 140% em função da mudança de faixa etária. Ele procurou o Procon, que analisando o caso, concluiu que a mensalidade, que antes era de R$300,00 deveria passar para R$432,00. Quantos por cento o Procon reduziu o valor que a seguradora iria cobrar? a) 96% b) 4% c) 20% d) 40% e) 14% 15. (ESAF) Em 2006, o dólar sofreu uma valorização de 5%, passando a custar R$ 2,40. Um turista havia comprado 1000 dólares para sair do Brasil antes dessa valorização. Ele gastou, aproximadamente, R$ a) 2.286,00 b) 2.386,00 c) 2.486,00 d) 2.496,00 e) 2.596,00

16. (FCC) Sobre os 55 técnicos e auxiliares judiciários que trabalham em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, é verdade que: I. 60% dos técnicos são casados; II. 40% dos auxiliares não são casados; III. o número de técnicos não casados é 12. Nessas condições, o total de a) auxiliares casados é 10. b) pessoas não casadas é 30. c) técnicos é 35. d) técnicos casados é 20. e) auxiliares é 25.


16

17. (FCC) Uma pesquisa revelou que, nos anos de 2006, 2007 e 2008, os totais de processos que deram entrada em uma Unidade do TRT aumentaram, respectivamente, 10%, 5% e 10%, cada qual em relação ao ano anterior. Isso equivale a dizer que, nessa Unidade, o aumento cumulativo das quantidades de processos nos três anos foi de a) 25% b) 25,25% c) 26,15% d) 26,45% e) 27,05% 18. (FCC) Certo mês, um técnico em informática instalou 78 programas nos computadores de um Tribunal. Sabe-se que: na primeira semana, ele instalou 16 programas; na segunda, houve um aumento de 25% em relação à semana anterior; na terceira semana houve um aumento de 20% em relação à semana anterior. Assim sendo, se a tarefa foi concluída na quarta semana, o número de programas que foram instalados ao longo dela foi a) 28 b) 24 c) 22 d) 20 e) 18 19. (FCC) Considere que, do custo de produção de determinado produto, uma empresa gasta 25% com mão de obra e 75% com matéria-prima. Se o gasto com a mão de obra subir 10% e o de matéria-prima baixar 6%, o custo do produto a) baixará de 2%. b) aumentará de 3,2%. c) baixará de 1,8%. d) aumentará de 1,2%. e) permanecerá inalterado.

CAPÍTULO 4

JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

(CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS)

JUROS

Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em

juros, devemos considerar: 1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital. 2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo ―aluguel‖ do dinheiro é denominada taxa de juros. 3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida à taxa, e em caso

contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade. 4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominado montante. JUROS SIMPLES

É aquele em que calculamos o juro sobre o capital inicial. Para calcular os juros simples (J) de um capital (C), durante ―n‖ períodos com a taxa de i% ao período, basta usar a fórmula:

J = Juros. C = capital aplicado ou emprestado. i = taxa de juros ao período (ao mês, ao dia, ao ano,...). n = tempo de aplicação ou empréstimo. OBS1: Utilizando a fórmula da esquerda, a taxa deve estar na forma unitária (5% = 0,05). Ao utilizar a fórmula da direita, a taxa de juros deve ser colocada na fórmula como estiver (5% = 5). EXEMPLO1: Um capital de R$ 600,00 foi aplicado por 3 meses à taxa de 2% de juros simples ao mês. Qual o juro produzido por esse capital no intervalo de tempo considerado? SOLUÇÃO: Do enunciado temos: C = 600,00 i = 2% am = 0,02 a.m. (ao mês) n = 3 meses O valor do juro produzido por esse capital foi de: J = C.i.n J = 600 . 0,02 . 3 J = 36,00 OBS2: Juro exato 1 ano = 365 dias Juro comercial 1 ano = 360 dias / 1 mês = 30 dias MONTANTE: o Montante é a soma do capital inicial com o juro. Montante = Capital + Juros M = C + J M = C + C . i . n

OBS3: Lembre-se sempre que : A unidade de tempo da taxa ―i‖ deve ser sempre a mesma do ―n‖! EXEMPLO2: Alfredo aplicou um capital de R$ 500,00, a juros simples, à taxa de 4% a.m. Qual o montante obtido após 3 bimestres de aplicação? SOLUÇÃO:

C.i.nJ ou 100

C.i.nJ

i.n) (1 . C M


17

Muito cuidado! Lembre-se que: A unidade de tempo da taxa ―i‖ deve ser sempre a mesma do ―n‖! Logo, do enunciado temos: i = 4% am = 0,04 am (ao mês) n = 3 bimestres = 6 meses C = 500,00 Portanto, aplicando a fórmula do montante simples obteremos: M = C . (1 + i.n) M = 500 . (1 + 0,04 . 6) M = 500 . 1,24 M = 620,00 EXEMPLO3: Se, desta vez, Alfredo aplicar um capital qualquer, a juros simples, à taxa de 4% a.m. Quanto tempo, no mínimo, esse capital deverá ficar aplicado para que Alfredo resgate o triplo da quantia que aplicou? SOLUÇÃO: Da leitura do enunciado temos: C = x M = 3x i = 4% am = 0,04 am Daí, aplicando o montante simples, tem-se que: M = C . (1 + i.n) 3x = x . (1 + 0,04 . n) 3x / x = 1 + 0,04n 3 = 1 + 0,04n 2 = 0,04n n = 2 / 0,04 n = 50 meses (a resposta será em meses, pois a taxa utilizada está ao mês!) TAXAS EQUIVALENTES: São taxas que quando aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período, geram um mesmo montante no final do prazo.

ia = taxa anual; is = taxa semestral; iq = taxa quadrimestral; it = taxa trimestral; ib = taxa bimestral; im = taxa mensal; id = taxa diária. EXEMPLO4: Uma taxa de juros de 5% aa (ao ano) equivale a que taxa mensal de juros? SOLUÇÃO: Esta é fácil! Para achar a taxa mensal (im) basta pegar a taxa anual (ia) e dividir por 12, já que um ano tem 12 meses. Portanto: ia = 12.im 5 = 12.im im = 5/12 = 0,42% am. JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao capital para o cálculo dos juros do período seguinte, ou seja, os juros são calculados sobre o montante do

período anterior e não sobre o capital inicial, como no juros simples. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao capital. Por exemplo após três meses de capitalização, temos: 1º mês:

M1 = C + C.i = C.(1 + i) colocando C em evidência 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M2 = C . (1 + i) . (1 + i) = C . (1 + i)

2

3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M3 = C . (1 + i)

2 . (1 + i) = C . (1 + i)

3

E assim por diante... Daí, concluímos então que o montante composto, para ―n‖ períodos, é dado por:

O juro composto pode ser calculado apenas subtraindo-se o capital inicial do montante, pois: M = C + J

EXEMPLO5: No regime de juros compostos, quanto rende um capital de R$ 5.000,00 aplicado durante 2 anos à taxa de 10% ao semestre? SOLUÇÃO: Temos os seguintes dados: C = 5.000,00 n = 2 anos i = 10% ao semestre . 2 = 20% ao ano (pois um ano tem 2 semestres) = 0,2 a.a. Calculando o montante, obtemos: M = C . (1 + i)

n

M = 5000 . (1 + 0,2)2

M = 5000 . 1,22

M = 5000 . 1,44 M = 7.200,00 Como rendimentos = juros, então: J = 7200 – 5000 J = 2.200,00 EXEMPLO6: Marcelo aplicou R$ 15.000,00 a juros compostos de 3% a.m. Que quantia será obtida após 10 meses de aplicação? SOLUÇÃO: Aplicando diretamente a fórmula do montante composto (pois não temos nada a transformar), obteremos: M = C . (1 + i)

n

M = 15000 . (1 + 0,03)10

M = 15000 . 1,03

10

Mas professor, como vou calcular 1,0310

? Não se preocupe! Teremos duas possibilidades: Ou ele dará o valor de 1,03

10 no próprio enunciado da questão ou

dará uma tabela como a que está logo abaixo:

ni) (1 . C M

CMJ

dmbtqsa 360i 12i 6.i 4.i 3.i 2.i i


18

Se a taxa é de 3% am e o período é de 10 meses, então devemos percorrer a coluna 3% e a linha n = 10, e pegar a interseção delas. Logo, o valor de 1,03

10 é:

Portanto, substituindo este valor na fórmula, teremos: M = 15000 . 1,03

10

M = 15000 . 1,3439 M = 20.158,50 JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS

O capital (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades: Juros Simples e Juros Compostos. O crescimento do montante segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, e portanto tem um crescimento muito mais ―rápido‖. Veja no exemplo o cálculo dos montantes para cada período no regime de juros simples e composto:

O crescimento do montante com o tempo nos

dois regimes poderia ser representado graficamente da seguinte forma:

Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos NÃO ESQUEÇA!!!

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado sobre o montante do período anterior. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. CAI EM PROVA!!!

Os valores dos montantes obtidos ao final de cada período, no regime de Juros Simples, formam uma Progressão Aritmética (PA).

Os valores dos montantes obtidos ao final de cada período, no regime de Juros Compostos, formam uma Progressão Geométrica (PG).

DESCONTOS

Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data do seu vencimento.

O documento que atesta a dívida é denominado

genericamente por título de crédito. São exemplos de títulos de crédito as notas

promissórias, as duplicatas e as letras de câmbio. Valor Nominal, ou valor de face é o valor do título de crédito, ou seja, aquele que está escrito no título e que seria pago na data de vencimento do título. Valor Líquido é o valor pelo qual o título acabou sendo negociado antes da data de vencimento do mesmo. É sempre menor que o valor nominal pois o título sofreu um desconto. O valor líquido também é chamado de valor atual, valor descontado (que sofreu desconto - não confundir com "valor do desconto"), valor pago.


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Prazo de Antecipação é o intervalo de tempo entre a data em que o título é negociado e a data de vencimento do mesmo. O desconto simples é calculado da seguinte forma:

Onde: D = desconto N = valor nominal ou montante V = valor atual ou valor descontado Existem duas modalidades de desconto nas operações financeiras: o desconto comercial (ou por fora) e o desconto racional (ou por dentro). DESCONTO SIMPLES

Valor atual:

Valor Atual Racional: Vrs = N / (1 + in) Valor Atual Comercial: Vcs = N . (1 – in)

Desconto:

Desconto Racional: Drs = N.i.n / (1 + in) Desconto Comercial: Dcs = N.i.n

EXEMPLO1: Determinar o desconto por dentro sofrido por um título de R$ 650,00, descontado 2 meses antes do vencimento à taxa de 15% a. m. SOLUÇÃO: Do enunciado temos: N = 650,00 n = 2 meses i = 15% am = 0,15 am Usando a equação do desconto racional, obtemos: D = N.i.n / (1 + in) D = 650 . 0,15 . 2 / (1 + 0,15 . 2) D = 195 / 1,30 D = 150,00 Portanto, o desconto foi de R$ 150,00. EXEMPLO2: Determinar o valor nominal de um título que, descontado comercialmente, 60 dias antes do vencimento e à taxa de 12% ao mês, resultou um valor descontado de R$ 608,00. SOLUÇÃO: Temos que: n = 60 dias = 2 meses i = 12% am = 0,12 am Vcs = 608,00 O valor descontado comercial é dado por: Vcs = N . (1 – in) 608 = N . (1 – 0,12 . 2) 608 = N . 0,76 N = 608/0,76 N = 800,00 Então, o valor nominal foi de R$ 800,00.

DESCONTO COMPOSTO

Valor atual:

Valor Atual Racional: Vrc = N / (1 + i)n

Valor Atual Comercial: Vcc = N . (1 – i)n

Desconto:

Desconto Racional: Drc = N – Vrc Desconto Comercial: Dcc = N – Vcc

OBS: Os valores de (1 - i )

n normalmente são

tabelados. Assim se as questões relativas a desconto comercial composto não fornecerem a tabela, será dado o resultado da potência na própria questão. EXEMPLO1: Determinar o desconto racional composto sofrido por um título cujo valor nominal é de R$16.872,90, se a taxa de juros compostos for de 4% a.m. e ele for descontado 3 meses antes do seu vencimento. SOLUÇÃO: Do enunciado temos que: N = 16.872,90 i = 4% a.m. = 0,04 a.m. n = 3 meses Temos que o valor atual racional composto é dado por: Vrc = N / (1 + i)

n

Vrc = 16.872,90 / (1 +0,04)3

Usando a tabela dos valores de (1 + i)n, temos que (1

+0,04)3 = 1,12486, logo:

Vrc = 16.872,90 / 1,12486 Vrc = 15.000,00 Com isso o desconto fica: Drc = N – Vrc Drc = 16.872,90 - 15.000,00 Drc = 1.872,90 Portanto, o desconto é de R$ 1.872,90. EXEMPLO2: Um título foi pago dois meses antes do seu vencimento, obtendo, assim, um desconto comercial composto à taxa de 20% a.m. Sendo de R$1.728,00 o valor nominal do título, quanto foi pago por ele? SOLUÇÃO: A questão nos dá: N = 1.728,00 i = 20% a.m. = 0,2 a.m. n = 2 meses O valor atual composto é dado por: Vcc = N . (1 – i)

n

Vcc = 1728 . (1 – 0,2)2

Vcc = 1728 . 0,64 Vcc = 1105,92 Portanto, o valor pago pelo título foi de R$1105,92.

VND


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ATENÇÃO: Para a resolução de algumas das questões deste capítulo foram usadas duas tabelas que constam do final da apostila.

01. (ECT) Um investidor aplica R$ 35.600,00 durante cinco dias a uma taxa de juros simples de 0,017 % ao dia. Ao final do período citado, o montante será a) R$ 35.330,26. b) R$ 35.830,26. c) R$ 35.630,26. d) R$ 35.730,26. e) R$ 35.230,26. 02. (ESAF) Calcular os juros simples que um capital de R$ 10.000,00 rende em um ano e meio, aplicado à taxa de 6% a.a. , os juros serão de: a) R$ 700,00 b) R$ 1.000,00 c) R$ 1.600,00 d) R$ 600,00 e) R$ 900,00 03. (ECT) Altair aplicou um capital, a juros simples, à taxa de 4% a.m. Quanto tempo, no mínimo, esse capital deverá ficar aplicado para que Altair resgate o triplo da quantia que aplicou? a) 30 meses. b) 50 meses. c) 25 meses. d) 40 meses. e) 15 meses. 04. (BANERJ) O capital que, aplicado a juros simples de 2,5% a.m. , atinge em três meses o montante de R$ 12.900,00; é a) R$ 10.000,00 b) R$ 10.500,00 c) R$ 50.800,00 d) R$ 11.400,00 e) R$ 12.000,00 05. José emprestou R$ 500,00 a João por 5 meses, no sistema de juros simples, a uma taxa de juros fixa e mensal. Se no final dos 5 meses José recebeu um total de R$ 600,00, então a taxa fixa mensal aplicada foi de: a) 0,2% b) 0,4% ) 2% d) 4% e) 6% 06. Marcelo aplicou R$ 15.000,00 a juros compostos de 8%am. Que quantia terá após 6 meses de aplicação: a) R$ 25.582,27 b) R$ 18.803,11 c) R$ 23.803,11 d) R$ 19.435,42 e) R$ 28.134,25

07. Qual a taxa anual que o capital de R$ 600,00 transforma-se em R$ 760,00 em 2 anos, capitalizados anualmente? a) 10% aa b) 4% aa c) 12% aa d) 9%aa e) 16% aa 08. (SEFAZ) O montante correspondente a um capital de R$ 500.000,00 colocados a juros compostos à taxa de 5%aa, capitalizados anualmente, durante 7 anos é de: a) R$ 703.450,00 b) R$ 703.550,00 c) R$ 703.650,00 d) R$ 703.750,00 09. Um capital aplicado a juros compostos à taxa nominal de 36% aa com capitalização mensal atingiu um montante de R$ 10.800,00, ao fim de um trimestre. Desprezando os centavos, o capital aplicado foi de: a) R$ 9.800,00 b) R$ 9.889,00 c) R$ 9.919,00 d) R$ 9.975,00 e) R$ 10.000,00 10. (TJE) No regime de juros compostos, quanto rende um capital de R$ 5.000,00 aplicado durante 2 anos à taxa de 10% ao semestre? a) R$ 2329,10 b) R$ 2320,50 c) R$ 2432,00 d) R$ 2575,00 e) R$ 2400,20 11. (CEF) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de: a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 e) R$ 617,40 12. (CEB) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m. De quanto foi o valor pago pelo título? a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.520,00 c) R$ 2.800,00 d) R$ 2.400,00 e) R$ 2.740,00 13. (METRÔ) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um


21

desconto racional simples à taxa de 20% a.m. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título? a) R$ 5.300,00 b) R$ 5.500,00 c) R$ 5.800,00 d) R$ 5.400,00 e) R$ 5.000,00 14. O valor atual racional de um título é igual a 4/5 de seu valor nominal. Calcular a taxa anual de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 6 meses. a) 10% aa b) 4% aa c) 50% aa d) 9%aa e) 16% aa 15. Descontado por fora, à taxa de 4% a.m., três meses antes do vencimento, um título sofreu um desconto de R$ 24.000,00. Qual era o valor nominal desse título? a) R$ 210.000,00 b) R$ 200.500,00 c) R$ 250.800,00 d) R$ 200.000,00 e) R$ 212.000,00 16. Uma nota promissória de R$ 1.800,00, tem valor líquido de R$ 1.200,00 quando descontada por fora três meses antes do seu vencimento. Qual é a taxa mensal do desconto? a) 20,3% b) 11,11% c) 2,22% d) 8,4% e) 6,53% 17. (ESAF) Um "comercial paper" com valor de face de US$ 1,000,000.00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate. a) US$ 751,314.80 b) US$ 750,000.00 c) US$ 748,573.00 d) US$ 729,000.00 e) US$ 700,000.00 18. Uma empresa estabelece uni contrato de "leasing" para o arrendamento de um equipamento e recebe como pagamento uma promissória no valor nominal de $ 1.166.400,00, descontada dois meses antes de seu vencimento, à taxa de 8% a.m. Admitindo-se que foi utilizado o sistema de capitalização composta, o valor do desconto racional será de: a) $194.089,00 b) $186.624,00 c) $ 166.400,00 d) $ 116.640,00 19. Um título de R$ 5.000,00 será descontado 2 meses antes do vencimento pelo critério de desconto

comercial à taxa de 60% a.a. com capitalização mensal. O valor do desconto será: a) R$ 487,50 b) R$464,85 c) R$ 512,50 d) R$ 4.512,50 e) R$4.535,15 20. Uma duplicata de R$ 3.000,00 deverá ser descontada 3 anos antes do seu vencimento a uma taxa de 25% a.a. pelo critério do desconto racional composto. Qual seria a taxa anual a ser adotada para obter-se um desconto igual pelo critério de desconto comercial composto? a) 33,3% a.a. b) 28% a.a. c) 25% a.a. d) 20% a.a. e) 18% a.a. 21. (CESPE) Uma duplicata, no valor de R$ 2.000,00, é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, o valor descontado e o valor do desconto são, respectivamente, de: a) R$ 1.600,00 e R$ 400,00 b) R$ 1.620,00 e R$ 380,00 c) R$ 1.640,00 e R$ 360,00 d) R$ 1.653,00 e R$ 360,00 e) R$ 1.666,67 e R$ 333,33

CAPÍTULO 5

TAXAS DE JUROS

TAXAS PROPORCIONAIS

Duas ou mais taxas são proporcionais quando, ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzem um mesmo montante no final do prazo, em regime de juros simples.

ou Para facilitar, o conceito de taxas proporcionais funciona assim: Taxa ao mês ---- x 12 ---- > Taxa ao ano Taxa ao bimestre ---- x 6 ---- > Taxa ao ano Taxa ao ano ---- ÷ 12 ---- > Taxa ao mês Taxa ao semestre ---- ÷ 3 ---- > Taxa ao bimestre E assim por diante! EXEMPLO:

12

i

6

i

3

i

2

i

1

i ASTBM

360

i

180

i

90

i

60

i

30

i

1

i ASTBMD


22

5% a.m. = 10% a.b. = 15% a.t. = 30% a.s. = 60%

a.a.

2% a.d. = 60% a.m. = 720% a.a.

36% a.a. = 18% a.s. = 9% a.t. = 6% a.b. = 3% a.m.

TAXAS EQUIVALENTES

Duas ou mais taxas são proporcionais quando, ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzem um mesmo montante no final do prazo, sob regime de juros compostos.

Quando estivermos resolvendo uma questão de Juros Simples, trabalhando, portanto, no Regime Simples, e a questão falar sobre ―Taxas Equivalentes‖, entenderemos esse conceito como sinônimo de Taxas Proporcionais! Ou seja: no Regime Simples (questões de juros simples, de desconto simples e de equivalência simples de capitais), se o enunciado falar em Taxas Equivalentes, entenderemos como se estivesse falando em Taxas Proporcionais. Logo: No regime de Juros Compostos, as taxas são equivalentes quando: C.(1 + ia)

1 = C.(1 + is)

2 = C.(1 + it)

4 = C.(1 + im)

12 = C.(1

+ id)360

Com isso,

Genericamente podemos escrever: I = taxa de período maior. i = taxa de período menor. n = número de vezes que o período maior contém o menor. Podemos escrever então que:

ATENÇÃO!!!

A exceção de que trata o esquema acima, e que veremos novamente no tópico sobre Taxa Nominal e Efetiva, é que: ―para transformar uma taxa nominal em taxa efetiva, no regime simples ou composto, não utilizaremos Taxas Equivalentes e sim o conceito de Taxas Proporcionais‖. EXEMPLO:

Qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês? SOLUÇÃO: Nesta questão, Equivalente = Proporcional, por se tratar de juros simples. 5% a.m. ------- x (12) ------ > 60% a.a. Mas a questão pediu na forma unitária que é: 60% a.a. = (60/100) a.a. = 0,6 a.a. EXEMPLO: Que taxa mensal é equivalente à taxa de juros de 42,58% a.a.? SOLUÇÃO: Note que, nesta questão, que versa sobre taxas equivalentes, o enunciado é ―omisso‖ quanto ao regime de juros. Então utilizaremos juros compostos. Logo: (1 + iM)

12 = (1 + iA)

1

(1 + iM)12

= (1 + 0,4258) (1 + iM)

12 = 1,4258

Consultando a tabela financeira dos valores de (1 + i)

n, na linha n = 12, a taxa que mais se aproxima do

valor 1,4258 é em i = 3%. Logo, a taxa equivalente a 42,58% a.a., é 3% a.m. TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA

A taxa nominal é aquela em que a sua

unidade de tempo não é igual ao tempo dos períodos de capitalização. Geralmente a taxa nominal é anual e os períodos de capitalização podem ser mensais, bimestrais, ou qualquer outro período inferior ao da taxa. A taxa efetiva é aquela em que a sua unidade de tempo não é igual ao tempo dos períodos de capitalização. EXEMPLOS:

15% a.a. capitalizados mensalmente Nominal.

27% a.s. capitalizados trimestralmente Nominal.

32% a.m. capitalizados mensalmente Efetiva.

18% a.s. capitalizados semestralmente Efetiva. DICA SÓ O FILÉ!!!

EXEMPLO: 48% a.a com capitalização mensal. (Taxa Nominal)

a.m. 4%meses 12

a.a 48% (Taxa Efetiva embutida na Taxa

Nominal)

Juros Simples: Taxas Proporcionais = Taxas Equivalentes Juros Compostos: Taxas Proporcionais ≠ Taxas Equivalentes

(1 + iA) = (1 + iS)2 = (1 + iT)

4 = (1 + iM)

12 = (1 + iD)

360

(1 + i)n = (1 + I)

A Taxa Nominal, apesar de ser bastante difundida na matemática financeira, bem como no mercado financeiro, não é utilizada para os cálculos. Na resolução das questões. O que nos interessa é a Taxa Efetiva que está embutida na Taxa Nominal. Pois é ela (Taxa Efetiva) que será efetivamente aplicada em cada período da capitalização.

Com isso, em questões sobre taxas equivalentes, quando o enunciado for ―omisso” em relação ao regime de juros adotado, saberemos que se trata de juros compostos.


23

TRANSFORMAÇÃO DA TAXA NOMINAL EM TAXA EFETIVA

Como visto no exemplo acima, para achar a taxa efetiva a partir de uma taxa nominal, usa-se o conceito de Taxas Proporcionais.

ATENÇÃO:

RESUMINDO:

MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DE TAXAS EQUIVALENTES:

EXEMPLO: Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 72% a.a capitalizado trimestralmente? SOLUÇÃO: Antes de acharmos a taxa equivalente, precisamos, transformar a taxa nominal em efetiva. Com isso: iEF = (72%) / 4

iEF = 18% a.t. (capitalizado trimestralmente) Porém, a questão quer uma taxa anual equivalente a esta. Como na questão aparece taxa Nominal, trata-se de Regime composto. Outra forma de percebermos que o regime é composto é o fato de ser uma questão de taxas equivalentes. Portanto: (1 + iA) = (1 + 18%)

4 → Consultando a tabela

Financeira. (1 + iA) = 1,938778 iA = 0,938778 iA = 93,88% a.a. TAXA REAL X TAXA APARENTE X TAXA DE INFLAÇÃO

A existência da taxa real e da taxa aparente está condicionada à existência da INFLAÇÃO, que é a queda do valor de mercado ou poder de compra do dinheiro. Isso é equivalente ao aumento no nível geral de preços. Numa situação em que a inflação é levada em consideração, a taxa de juros i aplicada sobre um capital é aparente, pois o montante produzido será influenciado pela inflação. A Taxa Real de juros é o verdadeiro ganho financeiro, considerando os efeitos da inflação, enquanto que a Taxa Aparente é a taxa que se obtém numa operação financeira sem se considerar os efeitos da inflação.

Sabendo que o montante, no final de um período, sem considerar a inflação é dado por C.(1 + iR) e que o montante, considerando apenas a inflação,

será C.(1 + iINF). Sabendo também que o montante gerado, quando se consideram os juros reais e a inflação, é dado por C.(1 + iR).(1 + iINF).

Como o montante gerado por uma taxa aparente iA, produz o mesmo montante obtido pelas taxas de inflação iINF e real iR, aplicadas uma sobre a outra, obtemos:

C.(1 + iA) = C.(1 + iR).(1 + iINF) Portanto: Onde: iA – Taxa Aparente iINF – Taxa de Inflação iR – Taxa Real EXEMPLO: Com uma inflação anual de 12%, admitindo-se que o salário foi corrigido em 8%, a variação real do poder de compra de um assalariado é de? SOLUÇÃO: Dados da questão: iAPARENTE = 8% = 0,08 iINFLAÇÃO = 12% = 0,12 iREAL = ? Com isso,

(1 + iA) = (1 + iR).(1 + iINF) (1 + 0,08) = (1

+ iR).(1 + 0,12) (1 + iR) = 1,08/1,12

1 + iR = 0,9643 iR = 0,9643 – 1

iR = – 0,03751 iR = – 3,75%. Logo, o assalariado teve uma “perda” no poder de compra de 3,75%.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Qual a taxa semestral equivalente a 8% a.a.? SOLUÇÃO:

Aqui adotaremos o regime de juros compostos, porque o enunciado foi ―omisso‖ em relação ao regime de juros adotado. Como a capitalização o enunciado também não informa, fica implícito que a taxa é efetiva, ou seja, que a capitalização é anual, já que a taxa é anual. Logo: (1 + is)

2 = (1 + iA)

1

(1 + is)2 = (1 + 1,08)

1

(1 + is)2 = 1,08

Consultando a tabela, obtemos (aproximadamente): is = 4% a.s. 02. Qual a taxa bimestral equivalente à taxa de juros de 41,85% ao ano? SOLUÇÃO:

Adotaremos novamente o regime de juros compostos, pois o enunciado não fala sobre o regime de juros adotado. Quanto à capitalização, como o enunciado também não fala, subentende-se que a taxa é efetiva, ou seja, a capitalização, neste caso, é anual. Portanto:

n

ii NOMINALEFETIVA

No caso de taxas efetivas, costuma-se escrever apenas o valor da taxa e o tempo referente a ela, como por exemplo: 13% a.m., 24% a.t., 18% a.s. e etc, omitindo-se o período da capitalização.

(1 + iA) = (1 + iR).(1 + iINF)


24

(1 + iB)6 = (1 + iA)

1

(1 + iB)6 = (1 + 0, 4185)

1

(1 + iB)6 = 1,4185

Consultando a tabela financeira, na linha n = 6, achamos a taxa 6%. Portanto, 41,85% a.a. é equivalente a 6% a.b. 03. Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 84% a.a capitalizado mensalmente? SOLUÇÃO: Precisamos, primeiramente, achar a taxa efetiva. Com os dados da questão temos que:

iEF = 84%a.a./12 iEF = 7% a.m. (Taxa Efetiva!) Porém, a questão quer uma taxa anual equivalente a esta. Portanto: (1 + iA) = (1 + 7%)

12 → Consultando a tabela

Financeira. (1 + iA) = 2,2522 iA = 1,2522 iA = 125,22% a.a. 04. Um capital de R$1.000,00 é aplicado durante um prazo de 8 meses, a uma taxa de 60% ao ano, com capitalização mensal. Qual o valor do Montante e dos Juros obtidos nesta operação? SOLUÇÃO: Como esta taxa é nominal, transformemo-na em efetiva! Com isso:

iEF = 60% a.a. /12 iEF = 5% a.m. (Taxa Efetiva!) Note que o fato de a taxa ser nominal nos diz que a questão é de juros compostos, então:

1) M = C.(1 + i)n M = 1000.(1 + 0,05)

8 M =

1000. 1,477455 M = 1.477,45.

2) J = M – C J = 1.477,45 – 1000 J = 477,45. 05. Um capital unitário é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses. SOLUÇÃO: Antes de mais nada, capital unitário significa C = 1. O fornece também uma taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal, o que nos diz que a questão é de juros compostos! Imediatamente, transformaremos essa taxa nominal em taxa efetiva, por meio do conceito de taxas proporcionais. Teremos:

iEF = 24% a.a. /12 iEF = 2% a.m. (Taxa Efetiva!)

Com isso, o montante será: C = 1 i = 2% ao mês (juros compostos) n = 18 meses

Portanto, M = C.(1 + i)

n

M = 1.(1 + 0,02)18

→ Tabela Financeira! M = 1,428246 06. Um capital de R$ 14.400,00, aplicado a 22% ao ano, rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado? a) 3 meses e 3 dias b) 3 meses e 8 dias c) 2 meses e 23 dias d) 3 meses e 10 dias e) 27 dias SOLUÇÃO: Para acharmos o tempo, neste caso, é melhor transformarmos a taxa para uma taxa diária. Neste caso usaremos Taxas Proporcionais porque esta taxa da questão é nominal, pois rende juros (capitalização) em um tempo diferente do tempo da taxa e queremos uma Efetiva. Portanto:

iEF = 22% a.a. /360 iEF = (22/360)% a.m. (Taxa Efetiva!) Logo, como o enunciado foi omisso em relação ao regime, adota-se o regime de juros simples. Então: J = C.i.n 880 = 14400.(0,22/360).n 880 = 8,8.n

n = 100 dias Que transformando em meses ficam: n = 3 meses e 10 dias 07. Um capital foi aplicado em uma conta popança por um ano à taxa de juros de 21% ao ano. No mesmo período, a inflação registrada foi de 11%. Qual a taxa real de juros? SOLUÇÃO: Sabemos que: (1 + iA) = (1 + iR).(1 + iINF) E que:

iA = 21% em um ano iINF = 11% neste mesmo ano

Com isso, (1 + 21%) = (1 + iR).(1 + 11%)

1,11

1,21i1 R

iR = 1,09 – 1 iR = 0,09 = 9% acima da inflação!


01. Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês: a) 60,0 b) 1,0 c) 12,0 d) 0,6 e) 5,0


25

02. Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano, com capitalização semestral. a) 8,20% b) 8,16% c) 8,10% d) 8,05% e) 8,00% 03. Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. a) 12,3600% b) 12,6825% c) 12,4864% d) 12,6162% e) 12,5508% 04. (ESAF) Um financiamento externo é contratado a uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalização semestral. Obtenha a taxa efetiva anual desse financiamento. a) 12,36% b) 11,66% c) 10,80% d) 12,44% e) 12,55% 05. (ESAF) A taxa nominal de 12% ao semestre com capitalização mensal é equivalente à taxa de a) 6% ao trimestre. b) 26,82% ao ano. c) 6,4% ao trimestre. d) 11,8% ao semestre. e) 30% ao ano. 06. (ESAF) A taxa equivalente à taxa nominal de 18% ao semestre com capitalização mensal é de a) 26,82% ao ano. b) 36% ao ano. c) 9% ao trimestre. d) 18% ao semestre. e) 9,2727% ao trimestre. 07. (ESAF) Um capital é aplicado à taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Qual a taxa anual efetiva de aplicação desse capital, em porcentagem, aproximada até centésimos? a) 26,82% b) 26,53% c) 26,25% d) 25,97% e) 25,44% 08. Um capital de R$1.000,00 é aplicado durante um prazo de 3 meses, a uma taxa de 42% ao quadrimestre, com capitalização bimestral. Qual o valor do Montante obtido nesta operação? a) R$ 1.331,00 b) R$ 1.452,00 c) R$ 1.568,00 d) R$ 1.773,00 e) R$ 1.928,00

09. Um capital de R$1.000,00 é aplicado a uma taxa de juros compostos de 21% ao bimestre, durante um período de tempo de 5 meses. Qual o valor do montante e dos juros obtidos nesta operação? a) R$ 1.453,31 b) R$ 1.329,22 c) R$ 1.610,51 d) R$ 1.587,47 e) R$ 1.498,31 10. (ESAF) O capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. a) R$ 27.200,00 b) R$ 27.616,11 c) R$ 28.098,56 d) R$ 28.370,38 e) R$ 28.564,92 11. (ESAF) Usando a taxa de juros efetiva anual que corresponde à taxa de juros nominal de 24% a.a. com capitalização trimestral, obtenha o montante obtido com a aplicação de um capital de R$ 10.000,00 ao fim de um ano de aplicação. a) R$ 12.400,00 b) R$ 12.544,00 c) R$ 12.624,76 d) R$ 12.653,19 e) R$ 12.682,42 12. Um capital de R$1.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 10%a.a., por um período de 3 anos e 6 meses. Determine o valor do montante e dos juros obtidos nesta operação, usando a Convenção Linear. a) R$ 1.275,91 b) R$ 1.162,47 c) R$ 1.359,46 d) R$ 1.227,82 e) R$ 1.397,55 13. No ano passado, uma TV de 29‖ custava R$ 1.000,00 e hoje está custando R$ 1.340,00. Sabendo que nesse período a inflação foi de 25%, calcule a taxa real de aumento no preço da TV. a) 6,3% b) 4,8% c) 3,5% d) 7,2% e) 5,4% 14. Em certo país uma aplicação rendeu num determinado ano, 230%. Sabendo que a taxa de inflação no período considerado foi de 200%, calcule o ganho real desta aplicação. a) 8% b) 10% c) 25% d) 30% e) 35%


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CAPÍTULO 6

REVISÃO GERAL CESPE

BRB – ESCRITURÁRIO 2011

O gerente de um banco formou uma equipe de escriturários para efetivar a abertura das contas-correntes dos 1.920 empregados de uma empresa. Sabe-se que, nessa equipe, cada escriturário efetiva a abertura da conta de um empregado da empresa em 5 minutos, que todos os escriturários trabalham no mesmo ritmo, e que esse trabalho será concluído em 2 dias, trabalhando-se 8 horas em cada dia. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 01. (CESPE) Com os elementos dessa equipe de escriturários poderão ser formados 45 grupos distintos, compostos, cada um, por 2 escriturários. ( ) Certo ( ) Errado 02. (CESPE) Em 9 horas e 10 minutos de trabalho, 6 escriturários efetivarão a abertura das contas-correntes de 660 empregados da empresa. ( ) Certo ( ) Errado 03. (CESPE) Para abrir as contas-correntes de 312 empregados da empresa, 8 escriturários precisarão trabalhar durante mais de 3 horas e 25 minutos. ( ) Certo ( ) Errado

Uma empresa contratou 16 novos

profissionais, para as áreas I e II. Para os profissionais da área I, o salário mensal é de R$ 2.250,00, e de R$ 1.650,00, para os da área II. Com esses novos profissionais, a despesa mensal de salários será superior a R$ 29.700,00 e inferior a R$ 30.300,00. A respeito dessa situação, julgue os itens subsequentes. 04. (CESPE) Os números que representam as despesas mensais da empresa com os salários dos novos profissionais das áreas I e II são diretamente proporcionais a 9 e 11. ( ) Certo ( ) Errado 05. (CESPE) Da despesa mensal para o pagamento dos salários desses novos profissionais, mais da metade será destinada aos da área I. ( ) Certo ( ) Errado

06. (CESPE) Se o capital de R$ 5.000,00 for aplicado por 3 anos, à taxa de juros compostos de 12% ao ano com capitalização trimestral, o juro auferido por essa aplicação, em reais, ao final do período, será igual a 5.000 × (1,04

12 – 1).

( ) Certo ( ) Errado

07. (CESPE) No regime de juros simples, as taxas de 3% ao mês e 36% ao ano, aplicadas sobre o capital de R$ 100,00 e pelo prazo de dois anos, são proporcionais, pois ambas produzem o montante de R$ 172,00. ( ) Certo ( ) Errado 08. (CESPE) Se um investidor aplicar a quantia de R$ 500,00 em uma instituição financeira, pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros simples de 4% ao ano, e, ao final desse prazo, ele reinvestir todo o montante recebido na mesma aplicação, por mais 2 anos e nas mesmas condições iniciais, então, ao final desses 4 anos, esse investidor receberá o montante de R$ 580,00. ( ) Certo ( ) Errado 09. (CESPE) Se uma aplicação de R$ 10.000,00 pelo período de um ano produzir juros no valor de R$ 3.200,00, e se a inflação nesse período for de 20%, então a taxa de juros real da aplicação nesse período será inferior a 11%. ( ) Certo ( ) Errado 10. (CESPE) O montante produzido pela aplicação de R$ 1.000,00 em uma instituição financeira, em 2 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, será de R$ 1.210,00 na data do resgate. ( ) Certo ( ) Errado

GABARITO 01. C 02. C 03. E 04. C 05. E 06. E 07. C 08. E 09. C 10. C

POLÍCIA CIVIL ES – ESCRIVÃO 2011

Os policiais da delegacia de defesa do consumidor apreenderam, em um supermercado, 19,5 kg de mercadorias impróprias para o consumo: potes de 150 g de queijo e peças de 160 g de salaminho. Com base nessa situação, julgue os itens a seguir. 01. (CESPE) Suponha que os potes de queijo tenham a forma de um tronco de cone de 7 cm de altura, em que o raio da base maior meça 4 cm e o da base menor, 3 cm. Nesse caso, tomando 3,14 como valor aproximado para B, é correto afirmar que essas embalagens têm capacidade para, no máximo, 250 mL. ( ) Certo ( ) Errado 02. (CESPE) Se cada pote de queijo era vendido a R$ 9,80 e cada peça de salaminho era vendida a R$ 12,50, e se o prejuízo do supermercado decorrente do impedimento da venda desses produtos foi calculado em R$ 1.427,50, então foram apreendidos 50 potes de queijo e 75 peças de salaminho. ( ) Certo ( ) Errado


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03. (CESPE) Se 80 potes de queijo foram apreendidos, então foram apreendidos menos de 8 kg de salaminho. ( ) Certo ( ) Errado

Uma pesquisa de rua feita no centro de Vitória constatou que, das pessoas entrevistadas, 60 não sabiam que a polícia civil do Espírito Santo possui delegacia com sistema online para registro ou denúncia de certos tipos de ocorrência e 85 não sabiam que uma denúncia caluniosa pode levar o denunciante à prisão por 2 a 8 anos, além do pagamento de multa. A partir dessas informações, julgue o item seguinte. 04. (CESPE) Considerando-se que também foi constatado que 10 dos entrevistados não sabiam do canal de comunicação online nem das penalidades cabíveis a denúncias caluniosas, é correto concluir que 135 pessoas não tinham conhecimento de pelo menos uma dessas questões. ( ) Certo ( ) Errado

GABARITO 01. E 02. C 03. C 04. C

CORREIOS – OPERADOR DE TRIAGEM E TRANSBORDO 2011

Texto para as questões 01 e 02

Em 2010, entre 2% e 6% da população de uma cidade com 30.000 habitantes enviaram, por ocasião das festividades natalinas, cartões de felicitações a parentes e amigos. Sabe-se que cada habitante enviou, no máximo, um cartão. 01. (CESPE) Considerando-se que 25% dos referidos cartões tenham sido enviados a moradores de cidades do estado de São Paulo, é correto afirmar que o número que expressa a quantidade de cartões enviada a esse estado está entre a) 900 e 1.300. b) 1.300 e 1.700. c) 1.700 e 2.100. d) 100 e 500. e) 500 e 900. 02. (CESPE) Considerando-se que 45 dos cartões enviados pela população da referida cidade tenham sido devolvidos ao remetente, por erro no endereçamento, e que esse número corresponda a 5% dos cartões enviados, é correto afirmar que a porcentagem de habitantes que enviaram cartões de felicitações é igual a a) 6%. b) 2%. c) 3%. d) 4%. e) 5%.

03. (CESPE) Se 4 selos do tipo A e 4 selos do tipo B custam R$ 7,00 e se um selo do tipo A custa 50% a mais que um selo do tipo B, então 8 selos do tipo A custam a) R$ 9,00. b) R$ 10,50. c) R$ 12,00. d) R$ 12,60. e) R$ 8,40.


Uma empresa confeccionou catálogos dos tipos A e B para presentear seus clientes. Um catálogo do tipo A pesa 240 g e um do tipo B, 350 g. Os catálogos foram organizados em pacotes, contendo cada um deles apenas catálogos de um mesmo tipo. 04. (CESPE) Com base nas informações do texto, é correto afirmar que, se todos os pacotes tiverem o mesmo peso e se esse peso for inferior a 10 kg, então cada pacote pesará a) 8,3 kg. b) 8,4 kg. c) 8 kg. d) 8,1 kg. e) 8,2 kg. 05. (CESPE) Se 540 catálogos do tipo A e 340 do tipo B forem separados em lotes, de modo que cada lote contenha catálogos dos dois tipos e a mesma quantidade de catálogos de cada tipo, então a quantidade máxima de lotes em que poderão ser separados esses catálogos será igual a a) 20. b) 34. c) 54. d) 10. e) 17. 06. (CESPE) Considere que, das correspondências que um carteiro deveria entregar em determinado dia, 5/8 foram entregues pela manhã, 1/5 à tarde e 14 ficaram para ser entregues no dia seguinte. Nessa situação, a quantidade de correspondências entregue pelo carteiro naquele dia foi igual a a) 98. b) 112. c) 26. d) 66. e) 82. 07. (CESPE) Estima-se que, em uma agência dos Correios, um grupo de 6 funcionários igualmente eficientes atenda 100 clientes em 45 minutos. Nessa situação, se outros 4 funcionários, com a mesma eficiência dos primeiros, forem adicionados ao grupo, então essas 100 pessoas serão atendidas em a) 27 minutos. b) 30 minutos. c) 35 minutos.


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d) 40 minutos. e) 18 minutos. 08. (CESPE) Considerando-se que duas caixas, A e B, tenham, ambas, a forma de um paralelepípedo retângulo, que a caixa A tenha arestas que meçam 27 cm, 18 cm e 9 cm, e a caixa B tenha arestas medindo o dobro das arestas da caixa A, é correto afirmar que o volume da caixa B corresponde a a) 8 vezes o volume da caixa A. b) 2 vezes o volume da caixa A. c) 3 vezes o volume da caixa A. d) 4 vezes o volume da caixa A. e) 6 vezes o volume da caixa A.


Em convênio firmado com o Banco Postal, uma rede de lojas autorizou esse estabelecimento a receber pagamentos de boletos de clientes da rede. Nos termos do referido convênio, o banco deve cobrar juros simples de 1% a cada dia útil de atraso no pagamento e usar essa mesma taxa para desconto sobre o valor no boleto, denominado valor de face, para cada dia útil de pagamento antecipado. 09. (CESPE) Com base na situação descrita no texto, é correto afirmar que, se um boleto da referida rede de lojas, com valor de face de R$ 650,00, for pago com 10 dias úteis de atraso, o valor a ser pago será igual a a) R$ 660,00. b) R$ 715,00. c) R$ 718,00. d) R$ 651,00. e) R$ 656,50. 10. (CESPE) De acordo com as informações do texto, se um boleto com valor de face de R$ 150,00 for pago 6 dias úteis antes do vencimento, o valor a ser pago será igual a a) R$ 141,00. b) R$ 141,50. c) R$ 144,00. d) R$ 149,00. e) R$ 138,00. QUESTÃO 34

11. (CESPE) Em determinado dia, todas as correspondências recebidas na agência dos Correios da cidade Alfa destinavam-se apenas a moradores dos bairros X, Y e Z. Ao bairro X foi destinada metade das correspondências recebidas na agência menos 30 correspondências; ao bairro Y foi destinada a terça parte das correspondências restantes, isto é, depois de retiradas as do bairro X, e mais 70 correspondências; o bairro Z recebeu 180 correspondências. O total de correspondências recebidas, nesse dia, na agência dos Correios da cidade Alfa foi a) superior a 680 e inferior a 700. b) superior a 700 e inferior a 720. c) superior a 720.

d) inferior a 660. e) superior a 660 e inferior a 680. 12. (CESPE) Na compra de 2 frascos de tira-manchas, cada um deles ao custo de R$ 9,00; 6 frascos de limpador multiuso, cada um deles ao custo de R$ 2,00; 4 litros de desinfetante, cada um deles ao custo de R$ 1,50; e de 6 unidades de esponja dupla face, cada uma delas ao custo de R$ 2,00; um cliente pagou com 3 notas de R$ 20,00, tendo recebido R$ 19,20 de troco. Nesse caso, o cliente recebeu desconto de a) 13%. b) 14%. c) 15%. d) 16%. e) 12%. 13. (CESPE) Vários jornais e revistas anunciaram, nos últimos meses, que o preço do quilo de picanha, corte preferido para o preparo de um bom churrasco, subiu 42%. Nesse caso, se um consumidor de picanha decidir manter o mesmo gasto mensal com a compra desse alimento, ele deverá diminuir o consumo em a) mais de 40% e menos de 44%. b) mais de 44% e menos de 48%. c) mais de 28% e menos de 32%. d) mais de 32% e menos de 36%. e) mais de 36% e menos de 40%. 14. (CESPE) Considere que, em um investimento em caderneta de poupança, a taxa de juros seja de 0,6% ao mês. Nesse caso, se uma pessoa depositar R$ 1.000,00 em uma conta de poupança no dia 1º/6/2011 e não fizer nenhuma retirada, o montante, no aniversário de dois meses desse depósito, será a) superior a R$ 1.014,00 e inferior a R$ 1.015,00. b) superior a R$ 1.015,00 e inferior a R$ 1.016,00. c) superior a R$ 1.016,00. d) inferior a R$ 1.013,00. e) superior a R$ 1.013,00 e inferior a R$ 1.014,00. 15. (CESPE) Considere que sejam cobrados R$ 5,00 para o envio de uma carta comercial simples e uma carta comercial registrada, ambas de até 20 g, e R$ 11,10 para o envio de 3 cartas comerciais simples e 2 registradas, todas de até 20 g. Nessa situação, a diferença entre o preço cobrado para o envio de uma carta comercial registrada e o cobrado para o envio de uma carta comercial simples, ambas de até 20 g, é de a) R$ 2,60. b) R$ 2,70. c) R$ 2,80. d) R$ 2,90. e) R$ 2,50. 16. (CESPE) As remunerações brutas mensais — isto é, sem qualquer desconto — dos empregados de determinada empresa são calculadas com base na soma das seguintes quantidades: • salário fixo, no valor de R$ 2.400,00, correspondente a 160 horas trabalhadas no mês;


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• horas extras, definidas como a remuneração correspondente à quantidade de horas e(ou) fração de hora que ultrapassar as 160 horas exigidas, multiplicada pelo valor de cada hora completa, que é igual a R$ 15,00. Com base nessa situação hipotética e considerando-se que, em determinado mês, a remuneração bruta de um empregado dessa empresa foi igual a R$ 2.750,00, é correto afirmar que, nesse mês, esse empregado trabalhou durante 183 horas e a) 20 minutos. b) 25 minutos. c) 30 minutos. d) 10 minutos. e) 15 minutos.

GABARITO 01. D 02. C 03. E 04. B 05. A 06. D 07. A 08. A 09. B 10. A 11. A 12. C 13. C 14. D 15. C

16. A

PM CE 2008 – CESPE

Turismo no Brasil: tomado pela informalidade O turismo brasileiro atravessa um período de

franca expansão. Entre 2002 e 2006, o número de pessoas que trabalham nesse setor aumentou 14% e chegou a 1,869 milhão. Cerca de 60% desse contingente de trabalhadores está no mercado informal, sem carteira assinada. A estatística faz parte de um estudo realizado pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA). O quadro abaixo mostra a distribuição espacial da ocupação do setor de turismo no Brasil, no ano de 2006.

Segundo o estudo, as atividades ligadas ao

turismo com maior índice de trabalhadores formais são as de hotelaria, pousadas e locação de veículos, enquanto alimentação, cultura e lazer são as atividades com maior índice de trabalhadores informais.

Veja. Ed. n.º 2.065, 18/6/2008, p. 59 (com adaptações).

Tendo o texto acima como referência, julgue os itens que se seguem. 01. (CESPE) Infere-se do texto que em 2002 havia mais de 1,65 milhão de trabalhadores no setor de turismo no Brasil. ( ) Certo ( ) Errado

02. (CESPE) Em termos percentuais, se 25% dos trabalhadores informais do setor de turismo no Nordeste deixarem a informalidade, a porcentagem dos informais no Nordeste será inferior à porcentagem dos informais no Sudeste. ( ) Certo ( ) Errado 03. (CESPE) Considerando que, na região Norte, em 2007, a quantidade de trabalhadores ligados ao turismo tenha crescido 10% com relação a 2006 e que as quantidades totais desses trabalhadores com empregos informais e formais sejam números diretamente proporcionais àqueles de 2006, nessa situação, em 2007, na região Norte, havia mais de 38.000 trabalhadores ligados ao turismo com emprego formal e menos de 110.000 com emprego informal. ( ) Certo ( ) Errado 04. (CESPE) Das 5 regiões brasileiras, aquela que apresenta a maior diferença percentual entre o número de trabalhadores do setor de turismo com emprego informal e o número de trabalhadores com emprego formal é a região Nordeste.

Texto para os itens de 05 a 11:

A lei da tolerância (quase) zero

O governo decidiu endurecer as penas aplicadas aos irresponsáveis que insistem em dirigir depois de beber. A partir de agora, motoristas flagrados excedendo o limite de 0,2 grama de álcool por litro de sangue pagarão multa de R$ 957,00 e perderão a habilitação. Esse valor-limite é atingido por quem bebe uma única lata de cerveja ou uma taça de vinho. Quem for apanhado pelo bafômetro com mais de 0,6 grama de álcool por litro de sangue — marca alcançada após o consumo de três latas de cerveja — poderá até ser preso.

Veja. Ed. n.º 2.067, 2/7/2008, p. 53 (com adaptações).

Com relação às informações apresentadas no texto acima, julgue os itens seguintes. 05. (CESPE) Se determinado bombom de chocolate recheado com licor, após ingerido, produzir no organismo do indivíduo 0,25 decigrama de álcool por litro de sangue, para que seja excedido o limite


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tolerado no Brasil para aplicação de multa, será necessário que o indivíduo ingira mais de 8 bombons. ( ) Certo ( ) Errado 06. (CESPE) Considerando-se que uma lata e uma garrafa de cerveja tenham capacidades para 350 mL e 600 mL, respectivamente, então, com o conteúdo de uma garrafa de cerveja, pode-se encher uma lata e mais de 70% de outra lata. ( ) Certo ( ) Errado 07. (CESPE) Se 3/2 do limite de tolerância, em gramas de álcool por litro de sangue, do país Y for igual à soma de 25% do limite dos EUA com 2/3 do limite da França, o limite de tolerância do país Y será inferior ao da Rússia. ( ) Certo ( ) Errado 08. (CESPE) Caso a população de homens de Teresina seja o dobro da população de homens de Boa Vista, nessa situação, em Teresina, o número de homens que admitem dirigir depois de beber mais de cinco latas de cerveja será superior ao triplo do número desses homens em Boa Vista.

Ainda com relação ao texto A lei da tolerância (quase) zero, julgue os itens que se seguem. 09. (CESPE) Se, para cada homem de Palmas que admite dirigir depois de beber mais de cinco latas de cerveja, quatro homens de Brasília fizessem a mesma declaração, a população de homens de Brasília seria superior a seis vezes a população de homens de Palmas. ( ) Certo ( ) Errado 10. (CESPE) Considere a seguinte lei de tolerância acerca do consumo de bebida alcoólica por motorista. O motorista flagrado no teste do bafômetro com 0,3 grama de álcool por litro de sangue pagará o valor básico de R$ 957,00 de multa. Para cada decigrama de álcool por litro de sangue que exceder esse valor, será acrescido 10% do valor básico a título de multa. Nessa situação, se um motorista for flagrado com excesso de álcool no sangue e a ele for aplicada uma multa superior a R$ 1.532,00, então a quantidade de álcool detectada no sangue desse motorista ultrapassará o limite legal da Inglaterra. ( ) Certo ( ) Errado 11. (CESPE) Considere a seguinte situação hipotética.

Na Colômbia, em que o limite de tolerância é 0 grama de álcool por litro de sangue, a multa para motoristas embriagados é linear, isto é, é uma quantidade fixa de pesos colombianos multiplicada pela quantidade de decigramas de álcool por litro de sangue constatada no organismo do motorista por meio do bafômetro. Determinado motorista foi multado em 2.800 pesos colombianos pela quantidade de álcool no sangue. No exame de contraprova, realizado no Instituto de Medicinal Legal,

foram constatados 3 decigramas a menos que a registrada pelo bafômetro, fazendo que o valor de sua multa caísse para 1.600 pesos.

Nessa situação, o bafômetro constatou no organismo do motorista menos de 6 decigramas por litro de sangue e a quantidade fixa de pesos colombianos que serve de base para o cálculo de multas é superior a 420. ( ) Certo ( ) Errado

Com relação a juros simples e compostos, julgue os itens subseqüentes. 12. (CESPE) No regime de juros simples, R$ 10.000,00 investidos durante 45 meses à taxa de 15% ao semestre produzirão um montante inferior a R$ 21.000,00. ( ) Certo ( ) Errado 13. (CESPE) Caso um título de R$ 15.000,00 seja resgatado 3 meses antes de seu vencimento, sob o regime de juros simples e à taxa de juros de 12% ao ano, então o valor do desconto racional, ou por dentro, será superior a R$ 450,00. ( ) Certo ( ) Errado 14. (CESPE) Considerando-se 1,16 como valor aproximado para 1,03

5, é correto afirmar que, no

regime de juros compostos, R$ 6.000,00 investidos durante 10 meses à taxa de juros de 3% ao mês produzirão um montante superior a R$ 8.000,00. ( ) Certo ( ) Errado 15. (CESPE) Considerando-se 0,94 como valor aproximando para 1,03

-2, é correto afirmar que o valor

do desconto racional obtido ao se quitar um título de R$ 12.000,00, 4 meses antes do vencimento e à taxa de juros de 3% ao mês, no regime de juros compostos, será superior a R$ 1.300,00. ( ) Certo ( ) Errado

GABARITO 01. E 02. E 03. C 04. E 05. C 06. C 07. E 08. E 09. E 10. C 11. E 12. E 13. E 14. C 15. C

+ QUESTÕES CESPE

Considere as equações que representam cada uma das sentenças a seguir.

I A soma de 64,24 com o quadrado de um número é igual a 70. II A multiplicação de um número subtraído de 7 pelo mesmo número adicionado a 7 é igual a 576. III O triplo de um número somado a 1/3 é igual a 2/3.

01. (CESPE/MMA/Médio/2008) Todas as soluções das equações que representam as sentenças I, II e III são números positivos. ( ) Certo ( ) Errado


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02. (CESPE/MMA/Médio/2008) Todas as soluções das equações que representam as sentenças II e III são números racionais. ( ) Certo ( ) Errado

03. (CESPE/FUB/Médio/2011) Considere que, em um concurso público, para cada três candidatos inscritos aos cargos de nível superior, haja sete candidatos inscritos aos cargos de nível médio, totalizando 5.800 candidatos. Nessa situação, é correto afirmar que há 2.320 candidatos aos cargos de nível médio a mais que os candidatos aos cargos de nível superior. ( ) Certo ( ) Errado Para controlar 3 focos de incêndio, foram selecionados 3 grupos de bombeiros. Os números correspondentes à quantidade de bombeiros de cada um dos 3 grupos são diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 7. Considerando que os 2 grupos menores têm juntos 48 bombeiros, julgue os itens a seguir. 04. (CESPE/CBM-ES/Oficial/2011) O grupo com número intermediário de bombeiros tem menos de 28 bombeiros. ( ) Certo ( ) Errado 05. (CESPE/CBM-ES/Oficial/2011) A média aritmética dos números de bombeiros dos 3 grupos é maior que 25. ( ) Certo ( ) Errado

O gerente de um banco formou uma equipe

de escriturários para efetivar a abertura das contas-correntes dos 1.920 empregados de uma empresa. Sabe-se que, nessa equipe, cada escriturário efetiva a abertura da conta de um empregado da empresa em 5 minutos, que todos os escriturários trabalham no mesmo ritmo, e que esse trabalho será concluído em 2 dias, trabalhando-se 8 horas em cada dia. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 06. (CESPE/BRB/Técnico/2011) Em 9 horas e 10 minutos de trabalho, 6 escriturários efetivarão a abertura das contas-correntes de 660 empregados da empresa. ( ) Certo ( ) Errado 07. (CESPE/BRB/Técnico/2011) Para abrir as contas-correntes de 312 empregados da empresa, 8 escriturários precisarão trabalhar durante mais de 3 horas e 25 minutos. ( ) Certo ( ) Errado

Apesar da pressão sobre os parlamentares para diminuir ou não aprovar o percentual de reajuste dos

seus próprios salários, deputados e senadores aprovaram proposta de aumento de 62%. Com isso, eles passarão a ganhar R$ 26,7 mil, fora os valores de verbas de gabinete, indenizatórias, de cotas de passagens, telefone e despesas médicas, que, somados, ultrapassam R$ 100 mil por mês.

Internet: (com adaptações).

Tendo como referência o texto acima, julgue os itens que se seguem. 08. (CESPE/TRE-ES/Analista/2011) O salário dos parlamentares, antes do reajuste referido no texto, era superior a R$ 16,5 mil. ( ) Certo ( ) Errado De acordo com relatório da Organização Mundial de Saúde (OMS) acerca do avanço da gripe A ou influenza A, provocada pelo vírus H1N1, inicialmente denominada gripe suína, os dados de maio de 2009, no mundo, eram os seguintes.

I. O México, considerado o epicentro da epidemia, era o país mais afetado, com 590 casos confirmados, dos quais 25 resultaram na morte dos pacientes. II. Nos Estados Unidos da América (EUA), segundo país do mundo em número de casos, 226 pessoas tiveram testes com resultado positivo para o vírus H1N1. III. Outros países com casos confirmados da doença, sem nenhuma morte, eram: Canadá (85), Espanha (40), Reino Unido (15), Alemanha (8), Nova Zelândia (4), Israel (3), El Salvador (2), França (2), Áustria (1), China (1), Hong Kong (1), Colômbia (1), Coreia do Sul (1), Costa Rica (1), Dinamarca (1), Irlanda (1), Itália (1), Holanda (1) e Suíça (1).

Com base nos dados do relatório da OMS transcritos acima, julgue os itens a seguir. 09. (CESPE/SEJUS-ES/Agente Penitenc./2009) No México, o número de mortes representa mais de 5% dos casos confirmados da doença em todo o mundo. ( ) Certo ( ) Errado 10. (CESPE/SEJUS-ES/Agente Penitenc./2009) Os países em que foi confirmado apenas um caso da doença representam menos de 2% do número de casos mencionados no relatório. ( ) Certo ( ) Errado

Considere que um capital de R$ 10.000,00 tenha sido aplicado em determinado investimento, em regime de juros simples, pelo período de 5 meses. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 11. (CESPE/CBM-ES/Oficial/2011) Obtendo-se a quantia de R$ 13.000,00 ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da aplicação foi de 6%. ( ) Certo ( ) Errado


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12. (CESPE/CETURB/2009) Para saldar hoje uma duplicata no valor de R$ 52.800,00, uma empresa assumiu um compromisso para 60 dias, à taxa corrente de 12% ao ano, sob o regime de juros compostos. Caso a financeira cobrasse 1,5% de taxa de serviço, o valor a ser pago seria superior a R$ 57.000,00 ( ) Certo ( ) Errado 13. (CESPE/TRE-BA/Técnico/2010) Para o investidor, é mais rentável aplicar R$ 5.000,00 por 3 meses, a juros compostos de 3% ao mês, do que aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês. ( ) Certo ( ) Errado 14. (CESPE/CETURB/2009) Ao descontar um título, uma empresa verificou que a taxa de desconto utilizada foi de 24% ao ano, sob o critério do desconto comercial simples, com o valor do desconto igual a R$ 780,00. Se, nessa operação, fosse adotado o desconto racional simples, o valor do desconto seria reduzido em R$ 180,00. Nessas condições, o prazo do desconto seria superior a 1 ano. ( ) Certo ( ) Errado 15. (CESPE/PM-CE/Policial/2008) Considerando-se 0,94 como valor aproximando para 1,03

-2, é correto

afirmar que o valor do desconto racional obtido ao se quitar um título de R$ 12.000,00, 4 meses antes do vencimento e à taxa de juros de 3% ao mês, no regime de juros compostos, será superior a R$ 1.300,00. ( ) Certo ( ) Errado

GABARITO 01. E 02. C 03. E 04. E 05. C 06. C 07. E 08. E 09. E 10. C 11. C 12. E 13. E 14. C 15. C .

GABARITOS DOS EXERCÍCIOS

PROPOSTOS

CAPÍTULO 01 – ÁLGEBRA LINEAR (CONJ NUMÉRICOS)

1. D 5. D 9. A 13. B

2. E 6. E 10. A 14. C

3. C 7. D 11. C 15. A

4. C 8. E 12. D 16. C

CAPÍTULO 02 – PROPORÇÕES E REGRA DE TRÊS

1. B 6. A 11. A 16. D 21. D

2. A 7. D 12. E 17. E 22. B

3. C 8. D 13. A 18. E 23. C

4. A 9. A 14. B 19. C 24. C

5. A 10. E 15. B 20. A 25. B

CAPÍTULO 03 – PORCENTAGEM

1. A 2. D 3. C 4. C 5. A

6. A 7. C 8. E 9. B 10. A

11. A 12. E 13. B 14. D 15. A

16. E 17. E 18. E 19. A

CAPÍTULO 04 – JUROS E DESCONTOS

1. C 2. E 3. C 4. E 5. D

6. C 7. A 8. B 9. A 10. D

11. E 12. E 13. A 14. C 15. D

16. B 17. A 18. C 19. A 20. D

21. A

CAPÍTULO 05 – TAXAS DE JUROS

1. D 2. B 3. B 4. A 5. B

6. E 7. A 8. A 9. C 10. D

11. C 12. E 13. D 14. B

1. matematica oscar 2012

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