1 matemática financeira e informática de gestão faculdade de economia da universidade do porto...

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Matemática Financeira eInformática de Gestão

Faculdade de Economia da

Universidade do Porto

2011/2012

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Primeira Aula

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Equipa Docente

• Pedro Cosme Vieira (Responsável)– Turmas 1 e 2– E-mail: [email protected]

• Jorge Cerdeira– Turma 3– E-mail: [email protected]

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Objectivos da Disciplina

• 1ª Parte (12 aulas)– Taxa de juro, capitalização e desconto– Instrumentos financeiros sem risco: depósitos

e créditos bancários; obrigações – Transformação de stocks financeiros em

fluxos financeiros (rendas / amortizações)– Medidas de desempenho de um investimento – os preços correntes e preços constantes

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• 2ª Parte (6 aulas)– Risco do negócio. Modelos estatísticos.– Instrumentos financeiros com risco: seguros,

acções e obrigações com risco de falha– Carteiras de activos: diversificação e

alavancagem

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• 3ª Parte (6 aulas)– Programação em R– Aplicações retiradas das primeira e segunda

partes do texto.– A linguagem de programação desenvolve a

capacidade de análise e é uma poderosa ferramenta na modelização dos problemas da Matemática Financeira.

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Avaliação

• Avaliação por Exame (2 épocas)• Avaliação Distribuída

– Um teste sobre a 1ª parte (45%) – 2 Dezembro– Um teste sobre as 2ª e 3ª partes (45%)– Um trabalho individual (10%) – entrega: 21 Outubro– Para fazer avaliação contínua têm que frequentar

75% das aulas– O segundo teste é parte do exame– Mesmo fazendo o 1º teste, pode deitar fora e fazer o

exame contando a melhor nota

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Avaliação

• Cálculo da Nota da Avaliação Distribuída:– Nota dos testes / exame normal:

0.5 max {teste 1; parte 1 do exame} + 0.5*teste 2

– Nota final:

max {0.9 Nota dos testes/exame + 0.1 trabalho; Nota dos testes/exame}

• Aplica-se a mesma fórmula no exame de recurso (mesmo para melhoria de nota)

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Material de estudo

• Existem disponíveis em formato digital– Uma página

www.fep.up.pt/docentes/pcosme/MFIG.G106.2011

– um texto que segue as aulas– Um ficheiro excel com os exercícios do texto– As apresentações das aulas em Power Point– Cadernos de exercícios resolvidos

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Os contratos de débito/crédito=

contratos de mútuo

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O contrato de débito/crédito

• Existem três razões principais para a haver contratos de crédito.– O ciclo de vida das pessoas– Poder ocorrer um período de “desemprego”

ou de despesas acrescidas (e.g., doença)– O capital ser produtivo

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O ciclo de vida

• Uma das mais obvias razões para a existência de empréstimos é o ciclo de vida das pessoas.

– As pessoas precisam de consumir sempre– Existem longos períodos em que não têm

rendimento (quando crianças e “velhos”)

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O ciclo de vida

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O ciclo de vida

• As pessoas, quando crianças, não têm rendimento suficiente para sobreviver, pedindo recursos emprestados– Em média, é-se “criança” durante 20 anos

• Quando trabalham, pagam as dívidas (de criança) e poupam alguns recursos (para a velhice)– Em média, é-se activo durante 45 anos

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O ciclo de vida

• Quando reformados, não geram rendimento suficiente para sobreviver, mas têm os recursos que emprestaram– Em média, a reforma dura 15 anos

• Esses recursos vão-se esgotando

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O desemprego

• O trabalho é a fonte mais importante de rendimento das famílias

• E, de repente, qualquer pessoa pode ficar desempregada.– A probabilidade será de 10%/ano

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O desemprego

• E, depois, demora alguns meses a encontrar novo emprego– Em média, 12 meses

• E o salário é menor que o anterior – Inicialmente ganha-se menos 15%

• Será necessário poupar recursos para essa eventualidade. – Deverão ter uma poupança 12 salários.

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Cataclismos• Podem ocorrer imponderáveis

– O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder trabalhar e necessitando de tratamento médico.

– Pode ter um acidente de automóvel, necessitando de pagar a reparação.

– Pode ter um incêndio em casa.

• É necessário ter uns activos de lado ou pedir emprestado na adversidade

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O capital ser produtivo

• O trabalho torna-se mais produtivo se for auxiliado por capital– máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc.

• Se um indivíduo pedir emprestado dinheiro, pode comprar bens de capital e aumentar o seu rendimento– Mais tarde, pode devolver o capital pedido

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O capital ser produtivo

• Também existem bens que custam “muito dinheiro” e duram muito tempo– Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc.

• Estes bens “produzem” utilidade– As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis

para pedir empréstimos e pagar um pouco todos os meses.

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O empréstimo em dinheiro

• Numa sociedade “atrasada”, – Armazenam-se bens– Emprestam-se bens e serviços

• Numa sociedade com moeda, empresta-se dinheiro

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• O armazenamento de recursos tem custos muito elevados– A roupa passa de moda– A comida estraga-se– Os carros enferrujam

• É vantajoso emprestar dinheiro e mais tarde tê-lo de volta para comprar bens e serviços

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• Poupar dinheiro não é o mesmo que poupar recursos escassos

• Se poupamos dinheiro, nós deixamos de consumir recursos (bens e serviços)

• Mas, a quem emprestamos, vai consumir esses recursos que poupamos.

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• Como as pessoas são heterogéneas, haverá sempre algumas que precisam de pedir dinheiro emprestado– As crianças, os desempregados e as vítimas

de acidentes– Os empreendedores

• Outras que precisam de guardar dinheiro– Os indivíduos activos e empregados.

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A taxa de juro

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A taxa de juro

• Quando eu empresto uma quantidade de dinheiro, não vou receber a mesma quantidade– A diferença denomina-se por JURO

• O Juro pode ser entendido como a remuneração de eu adiar o consumo, o custo de antecipar o consumo

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A taxa de juro

• Por exemplo, eu empresto 5000€ a um familiar e recebo daqui a 10 anos 7500€.

• Recebo o capital que são 5000€ mais os juros que são 2500€.

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A taxa de juro

• O juro, em tese, tanto poderá ser positivo como negativo.

• Há razões para justificar ser positivos e razões para justificar ser negativo

• Historicamente é positivo

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Taxa de juro

• Hoje faço anos e deram-me 1000€– Hipótese 1: entregam-mos agora.– Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos.

• Qual das hipóteses será preferível?

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Taxa de juro positiva

• Se for preferível a hipótese 1 então aceitamos uma taxa de juro positiva

– Podia depositá-lo, recebendo juros– O dinheiro vai desvalorizar– O doador pode morrer (e a oferta falhar)

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A taxa de juro

• É positiva por três razões– Existe uma remuneração real

• As pessoas preferem o presente ao futuro• O capital é produtivo: existem empreendedores• Há concorrência pelo capital escasso

– Há inflação• Os preços aumentam havendo necessidade de

corrigir esta perda de poder de compra

– Há risco de incumprimento• É uma lotaria

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Juro real

• Podia receber um juro real– O capital é produtivo.

• E.g., um agricultor se cavar com uma enxada consegue produzir mais do que se o fizer com apenas um pau.

– O capital é escasso– Quem precisar de capital estará disponível a

pagar uma remuneração positiva pelo empréstimo do capital.

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Juro real

– É preferível consumir hoje. – As pessoas preferem o Presente ao Futuro

• No Futuro estamos mortos• No Futuro estamos velhos pelo que não retiramos

tanta utilidade do consumo

– Quem faz o sacrifício de não consumir no presente precisa ser “remunerado”.

– Quem tem o benefício de consumir o que não tem (ainda) tem que “pagar”.

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Juro real

• Inicialmente tenho V0 euros

– Supondo que os preços se mantêm e que não existe risco, para uma taxa de juro r%

– Terei no fim do período

V1 = V0(1+ r)

Ex., para V0 = 10000€ e r = 10%, terei

V1 = 10000(1+ 10%)=11000€

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Inflação

• O dinheiro vai desvalorizando

• O valor do dinheiro resulta de podermos comprar bens e serviços.– Como existe inflação (i.e., o preço dos bens

e serviços aumenta com o tempo), a quantidade de bens que posso comprar com um Euro diminui com o tempo.

– O valor do dinheiro diminui com o tempo

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Inflação

• Inicialmente tenho V0 euros

• Os preços, em média, aumentam %.

• Para no fim do período poder comprar os mesmos bens e serviços terei que ter

V1 = V0(1+ )

Considerando o duplo efeito virá

V1 = [V0(1+ r)](1+ )

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Inflação

• Por exemplo, quero uma remuneração real de 7.5% e uma correcção da inflação que é de 5%. Emprestando 5000€ quero receber

V1 = [5000(1+ 7.5%)](1+ 5%)

=5643.75€

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Segunda Aula

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Risco de incumprimento

– O Futuro é incerto. – Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar

receber o dinheiro mais os juros– Mas posso não receber nenhum deles

• Ou receber apenas parte

– A obrigação pode não ser cumprida

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– Vamos supor que eu emprestei V0 euros e vou receber (penso eu) V1 euros.

– Existindo a probabilidade p de eu não receber nada, para, em média, ficar equivalente, terei que contratar uma taxa que corrija este risco

V0 = 0 x p + V1 x (1 - p)

V1 = V0 / (1 - p)

p>0 V1 > V0

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• O risco acresce à taxa de juro real e à correcção da taxa de inflação

V1 = {[V0(1+ r)](1+ )}/(1- p)

• Então, a taxa de juro contratada será

i = (1+ r)(1+ ) / (1- p) - 1

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• Vamos supor que eu empresto – 1000€– pretendo uma taxa de juro real de 6%– a inflação prevista será de 8% – o risco de incumprimento é de 10%.

• Qual deverá que ser a soma prometida no fim do prazo?

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V1 = 1000 (1+ 6%)(1+ 8%) / (1- 10%)

= 1272€

A taxa de juro será 27.2%

44

A taxa de juro

• Haverá razões para que a taxa de juro seja negativa?– O dinheiro que guardo em casa pode ser

roubado– Se houver poucas criancinhas e poucos

empresários, não há a quem emprestar dinheiro

• i.e., se não houver crescimento económico

45

A taxa de juro

• Historicamente, os efeitos “negativos” são menores que os efeitos “positivos”– Há uma tendência secular de crescimento

económico

• Historicamente, a taxa de juro é positiva

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A taxa de juro

• Evolução da taxa de crescimento do PIB português 1910/2010 (fonte: Freitas, Miguel Lebre, 2004, “Acumulação de capital e crescimento económico em

Portugal: 1910-2000”, UA-WP, 20, Quadro 1)

0%1%

2%3%4%5%

6%7%

11/20 21/30 31/40 41/50 51/60 61/70 71/80 81/90 91/00 00/10

Tx.Cresc.PIB

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A taxa de juro

• As unidades de juro são em termos de unidades de capital por unidades de tempo.

• e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano– Seria uma taxa de juro de 10% por ano

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A taxa de juro

• Como o juro incorpora 3 elementos– A remuneração do capital (o juro real)– A inflação– O risco de não cobrança

• Em termos de taxas temos, num anoVfinal = Vinicial x (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)

1+ i = (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)

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A taxa de juro

• Para valores de r, e p pequenos, é aceitável somas as 3 parcelas:

pri

pLnLnrLn

p

rLniLn

)1()1()1(

)1(

)1)(1()1(

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A taxa de juro

• Supondo que eu empresto 1000€, durante 1 ano.– A inflação (prevista) é de 5% ao ano– O juro real (acordado) é de 2% ao ano– O risco de não cobrança é de 3% ao ano

• Qual deve ser a taxa de juro?

• Quanto dinheiro devo acordar receber?

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A taxa de juro

A taxa de juro deve ser de10.41%:

1+i = (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03)

i =10.412%

Devo exigir receber (daqui a um ano)

V1 = 1000 x (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03)

V1 = 1104.12€

Os juros serão 104.12€.

52

A taxa de juro

A soma das parcelas daria 10%

0.05 + 0.02 + 0.03

A taxa calculada é 10.412%

Quanto mais pequenas forem as parcelas, menor é a diferença

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A taxa de juro

• Assumir um juro proporcional à duração do tempo e à quantidade emprestada tem problemas– O risco de grandes somas é mais que

proporcional ao risco das pequenas somas• Por causa da diversificação do risco

– O risco de longos prazos é mais que proporcional ao risco dos curtos prazos

• O futuro distante é menos previsível

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A taxa de juro

• Mesmo assim, usa-se como referência para o juro uma taxa por unidade de tempo, normalmente o ano.– E.g. 4.47%/ano

• Podendo haver ajustamentos ao prazo e ao valor

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A taxa de juro

• Taxa EURIBOR– É a taxa de juro por ano que os bancos sem

risco (first class credit standing) emprestam euros entre si

– É uma referência nos contratos com taxa de juro variável (e.g., crédito à habitação).

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A taxa de juroEURIBOR a 6 meses entre 1-1-2008 e 30-4-2010

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A taxa de juroEURIBOR dependendo do prazo do contrato(Escalas: 30-06-2008 esquerda; 30-04-2010 direita)

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A taxa de juro

• Taxa EURIBOR

– Como é uma taxa sem risco, os particulares acrescem um Spread à sua taxa que é a previsão que o credor tem do risco de não cobrança de cada cliente.

– Os depositantes recebem menos que a EURIBOR – “pagam” os serviços bancários

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A taxa de juro

• Taxa de desconto do Banco Central– O BC controla a quantidade de papel moeda

em circulação,– i.e, controla o nível médio de preços– Não tem qualquer efeito real (monetaristas)

– Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a 4.5%/ano – denomina-se janela de desconto

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A taxa de juro

• Taxa de desconto do Banco Central não é uma boa medida da taxa de mercado sem risco– A cedência de liquidez é de “último recurso”.– Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1

ponto percentual– Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 p.p.

(actualmente este aumento está suspenso)

61

A taxa de juro

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Terceira Aula

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A taxa de juro

• O Credit Scoring é uma técnica de estimação da probabilidade de incumprimento.

• O Score é um índice que resulta de somar os efeitos de várias variáveis

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A taxa de juro

• Ex.1.3: assuma o seguinte score:– PJA: Proporção dos juros e amortizações no

rendimento mensal– PDP: Proporção das dívidas no património– IM: Idade média do casal

• Score = 100PJA + 25PDP + IM

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A taxa de juro

• score ≤ 80, o spread será de 0.75 pp• 80 < score ≤ 130, o spread será 1.75 pp • score > 130, o banco não concede crédito.

• Qual o spread de um casal, com 2M€/mês, património de 100M€, 26 + 30 anos, e que pedem 175M€ para comprar uma casa avaliada em 250M€?– Assuma uma prestação mensal de 6€/1M€.

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A taxa de juro

• Como o Score

• p = 100x6x175/2000

+ 25.[175/(100 + 250)]

+ 28 = 95.1

está no intervalo ]80, 130],

o spread será de 1.75pp.

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Capitalização e Desconto

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Capitalização

• A taxa de juro é referida a uma unidade de tempo, normalmente um ano. – Se a duração do contrato for de vários anos

mas os juros forem pagos no final de cada ano

– Estamos sempre a voltar à situação inicial.

• Esta é a situação dita normal.

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Capitalização

• Se os juros forem pagos apenas no fim do prazo contratado (de vários anos)

• Cada ano, o capital aumentará– Haverá lugar a juros dos juros não pagos.

• Esta é a situação capitalizada.

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Capitalização dita simples

• Neste caso, desprezamos os juros dos juros.• Cada ano, os juros são o capital inicial a

multiplicar pela taxa de juro anualJ = Vinicial i

• No final de n anos, receberemos Jtotal = Vinicial ni

Vfinal= Vinicial +Jtotal = Vinicial (1+ ni)

itotal = n i

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Exercício

• Ex.1.4. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são pagos no fim do período, capitalização simples. – Spread de 2 pontos percentuais

• A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente.

• Qual a quantia a pagar?

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Exercício

• R. Os juros serão

J = 10M€(5.754% + 6.217% + 6.765%)

= 1873.60€

O capital final será

V = 10000€ + 1873.60€

=11873.60€.

73

Exercício

C3: =B3*B$1C6: =SUM(C3:C5)C7: =C6 + B1

74

Exercício

O saldo corrente de uma conta é remunerado à taxa de 2%/ano, capitalização simples, a creditar em 1Jan do ano seguinte.

Calcule o total dos juros para uma situação concreta.

75

Exercício

76

Exercício

E5: =A6-A5 F5:=D5*E5/B$2*B$1

D6:=C6+D5

C15: =SOMA(F5:F14)

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Capitalização Composta

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Capitalização Composta• Neste caso, vamos considerar os juros dos

juros.• Cada ano, os juros acrescem ao capital

Jt+1 = Vt i

Vt+1 = Vt + Vt i = Vt (1+ i)

• No final de n anos, receberemos Vfinal=Vinicial (1 + itotal) = Vinicial (1 + i)n,

Vinicial (1 + itotal) = Vinicial (1 + i)n,

itotal = (1 + i)n - 1

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Exercício

• Ex.1.6. Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fim do período com capitalização composta.

i) Qual o capital final a receber

ii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e compare com a capitalização simples.

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Exercício

• i) O capital final a receber será de

25000 (1 + 5%)5 = 31907.04€

• ii) A taxa de juro do contrato será

(1+5%)5 –1 = 27.628%

com capitalização simples seria menor

= 5x5% = 25%

81

Exercício

• Ex.1.7. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são postecipados, capitalização composta.

• A taxa de juro foi 5.754%/ano; 6.217%/ano e 6.765%/ano, respectivamente.

• Qual a quantia a pagar?

82

Exercício

• O valor a receber será

V(1+ 0.05754)(1+ 0.06217)(1+0.06765)

=11992.78€

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Quarta Aula

84

Exercício

• Ex.1.8. Durante o ano, um indivíduo no início de cada mês fez os seguintes movimento bancário: +250; +100; –50; +125;– 150; +250; –350; –25; –10; +50; 0; 200. Para uma taxa de juro constante de 0.165%/mês, determine o saldo da conta no fim do ano com capitalização mensal composta.

85

Exercício

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Exercício

• B1: =(1+B2)^12-1• C4: =B4; D4: =C4*B$2; E4: =C4+D4 e copiava• C5: = B5+E4 e copiava• F4: = =B4*(1+B$2)^(13-A4) e copiava• F16: =sum(F4:F15).

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Exercício

• B1: =(1+B2)^12-1• A taxa anual é a capitalização 12 meses da

taxa mensal

• Se fizesse =12* B2 tinha a taxa nominal– Capitalização simples

• Assim é a taxa efectiva– Com capitalização composta, os cálculos fazem-

se sempre com a taxa efectiva.

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Período de tempo fraccionário

• Na expressão da taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1

• O número de anos é inteiro.

• No entanto, podemos extrapolar o conceito de capitalização a fracções do ano.

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• Sendo que empresto 1000€ durante 3 meses a uma taxa anual de 5%/ ano, quanto vou receber de juros (c. composta):

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i = (1 + 5%)0.25 – 1 = 1,227% – 3 meses correspondem a 0.25 anos.

• Vou receber 12,27€ de juros

• Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha os 5%

(1 + 1.227%)4 – 1 = 5%

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• Ex.1.11. Num empréstimo de 100M€ foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital no fim do prazo acordado.

• Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?

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• R. A taxa mensal será

(1 + 5.735%)1/12 – 1 = 0.465796% – Um mês corresponde a 1/12 anos

465.80€ de juros referentes ao mês

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• Ex.1.12. Num empréstimo a 5 anos, foi acordada uma taxa de juro total de 25%. Supondo que os juros são pagos trimestralmente, qual será a taxa de juro trimestral?

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• R. Um trimestre será 1/20 do período total do contrato pelo que a taxa de juro trimestral será dada por

(1 + 25%)^(1/20) – 1 = 1.122%/trimestre.

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Valor Futuro = Valor capitalizado

• O valor que uma soma de dinheiro do presente terá no futuro

• Traduz o total a pagar pelo devedor no final do prazo acordado: – valor futuro do capital emprestado.

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Valor Futuro

• Ex.1.13. Umas tias propõem-se a dar-vos agora 1000€ ou 1200€ quando acabarem a licenciatura. Supondo uma taxa de juro de 10%/ano, qual a soma de dinheiro mais apetecível?

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Valor Futuro

• R. O valor futuro dos actuais 1000€ daqui a 3 anos será

1000(1+10%)^3 = 1331€

que é maior que os 1200€ que então receberão

• Então, será melhor receber os 1000€ já.

98

Valor Futuro

• Ex.1.14. Foram colocadas à venda obrigação do SCP de valor nominal de 5.00€ por 4.05€. Sabendo que o SCP resgata a obrigação ao par (i.e., paga os 5€) daqui a 3 anos com cupão zero, qual a taxa de juro desta aplicação?

99

Valor Futuro

• R. O valor futuro dos 4.05€ do presente serão 5.00€ pelo que a taxa de juro resolve:

• será 7.277%/ano:

1)05.4/5(5)1(05.4 3/13 ii

100

Quinta Aula

101

Valor Futuro

Ex.1.15. Um indivíduo deposita no início de cada mês 1000€ durante 60 meses.– As prestações são antecipadas

Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano, determine o valor futuro total das parcelas poupadas (i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60 meses)?

102

Valor Futuro

O valor futuro de 1000€ depositados no início do mês i é

O valor futuro total valerá

que, resolvido no Excel, resulta em 66395.68 €.

12/)160(%)41.(1000 iiVF

60

1

12/)160(%)41(1000i

iVF

103

Valor Futuro

C2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copiava em coluna

C62: =Soma(B2:B61)]

104

Desconto

• Sendo que capitalizar é andar para a frente no tempo

• Descontar é andar no tempo para trás

• É, na taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1, assumir um número negativo de anos

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Desconto = Valor passado

• Em termos económicos, pode traduzir o valor passado de uma quantidade de dinheiro presente

– Eu recebi hoje 1000€ de um valor que emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o capital que eu emprestei?

106

Desconto = Valor actual

• Também pode traduzir o valor actual (no presente) de uma quantidade de dinheiro que vou ter disponível no futuro

€56.675

%)41.(1000%)41.(1000 1010

V

VV

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• No meu emprego, vão-me dar de prémio 100€, pagos daqui a 10 anos.

• Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses 100€ de daqui a 10 anos valem no presente

100€ x 1.06–10 = 55.84€.

108


• Ex.1.16. Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio de 10000€. Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa de desconto é de 5% ao ano, qual será o seu valor actual?

109


• Posso “vender” este activo e receber no presente 2313.77€ (a outra pessoa que tenha uma taxa de desconto <=5%).

€77.2313

%)51.(10000 30

V

V

110


• Ex.1.19. Um indivíduo depositou num banco em 1940 uma soma. Sendo que esse banco devolveu 1milhão€ em 2008, qual terá sido a soma depositada?

111

Desconto – Valor actual

• R. Descontando 1milhão€ para 1940, temos = 96395.38€.

€38.96395

%)5.31.(1000000 68

V

V

112


• Ex.1.18. Um sortudo ganhou numa lotaria um prémio e deram-lhe a escolher receber 350k€ agora ou 1000€ no fim de cada mês dos próximos 50 anos.

• Determine a taxa de juro implícita nesta opção

113


R. Vou descontar cada um dos 1000€ ao presente, somá-las todas e aplicar a ferramenta atingir objectivo.

114


B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3;

C6: =B6*(1+B$2)^-A6; C4: =SOMA(C6:C605)

115


Goal Seek = Atingir Objectivo

Menu Data+ Data Tools + what if analysis

116

Sexta Aula

117

Pagamento da dívida Rendas / amortizações

118

Rendas

• Já consideramos duas possibilidades para o pagamento da dívida.

• 1) Os juros são pagos periodicamente e o capital é pago no fim do prazo contrato.

• 2) O capital mais os juros são pagos no fim do prazo contrato.

119

Rendas

• Vamos explorar uma outra possibilidade

• É paga uma prestação em cada período

• No final do prazo não há mais nada a pagar– Cada prestação contêm juros e amortização do

capital

• Denominamos este plano como uma Renda

120

Rendas

• Uma renda transforma uma determinada soma de dinheiro num rendimento.

• Um stock num fluxo

121

Rendas

• As prestações podem ser

– regulares ou irregulares no tempo

– constantes ou variáveis no valor

– haver ou não diferimento de alguns períodos

– terem duração limitada ou serem perpétua

122

Rendas• Emprestamos um capital que recuperamos na forma

de uma renda – e.g., saiu-nos a lotaria e queremos um rendimento mensal

• Pedimos um capital que pagamos na forma de uma renda – e.g., um crédito à habitação que amortizamos mensalmente

• Pagamos uma renda que recebemos no final na forma de um capital – e.g., depositamos uma quantia mensal para comprar um barco

a pronto no futuro

123

Rendas

• Recebemos uma renda que pagamos no fim na forma de um capital – e.g., termos um rendimento mensal à custa de uma

herança que vamos receber no futuro

• Receber uma renda que pagamos na forma de renda – e.g., pagamos os estudos com um financiamento

mensal que amortizamos no futuro com uma prestação mensal.

124

Rendas

• Obtemos o valor actual da renda descontando todos os recebimentos ao instante de tempo presente.

• Para efeito de comparação, podemos usar outro instante de tempo qualquer mas tem que ser o mesmo para todas as prestações

125

Rendas

• Temos que clarificar o que é – um instante de tempo e – um período de tempo

• O tempo é uma linha contínua

126

Rendas

• Cada ponto é um instante de tempo– e.g., às 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2010.

• Um intervalo de tempo é o segmento que medeia dois instantes de tempo, – e.g., o semestre que medeia entre as 12h00 do dia

15 de Janeiro de 2010 e as 12h00 do dia 15 de Julho de 2010.

• O instante final de um período é sempre o instante inicial do período seguinte. – e.g. o fim de 2010 é igual ao início de 2011.

127

Rendas• Ex.1.21.No sentido de se licenciar, um

estudante necessita uma renda antecipada cuja prestação mensal é de 300€/mês e a duração de 36 meses. Supondo uma taxa de juro de 5%/ano, utilize o Excel para calcular o valor actual dessa renda

128

Rendas

B4: =B$2 C4: =B4*(1+B$1)^-((A4-1)/12) e copiava

C40: =SUM(C2:C37).

Em vez de calcular a taxa de juro mensal, utilizei partes fraccionadas nos anos, (A4-1)/12.

129

Rendas

• Ex.1.22. O Jardel, aos 26 anos de idade, ganhava 300mil€ por mês.

• Poderia ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e

• Receber, a partir dos 35 anos, 600 prestações mensais de 5000€ cada.

• Determine a taxa de juro implícita.

130

Rendas

• F2: =(1+F1)^(1/12)-1• C2: =B2*(1+$F$2)^-(A2-A$2) e copiava até C602; • F3: =Soma(C2:C602). • Definir F3 para atingir o valor 0 por alteração da

célula F1.

131

Rendas

• Ex.1.23. Uma família adquiriu uma habitação mediante um empréstimo bancário de 150mil€ à taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação mensal a pagar?

720.29€ / mês

132

Rendas

133

Rendas

• Na coluna A estão os meses, na B as quantias recebidas, na C as quantias descontadas ao presente

• B3: =E$3; C3: =B3/(1+$E$1)^A3 e depois copiamos ambas em coluna.

• C603: =Soma(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1.• Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo

C603 para 0 por alteração de E3.

134

Conta corrente

• Ex.1.25. Uns comerciantes de frutas e legumes numas alturas podem poupar e noutras não. Como, em média, conseguem poupar 325€/mês, quando o filho fez 15 anos, pensando que precisará de 750€/mês quando for para a universidade, decidiram constituir uma conta poupança.

• Numa folha de Excel lancei a data e os movimentos (colunas A e B).

• A taxa de juro quando o saldo é negativo (taxa de juro activa) é de 5%/ano e quando os saldo é positivo (taxa de juro passiva) é de 2%/ano.

135

Conta corrente

C2: =B2 D2: =(A3-A2)/365 E2: =C2*((1+SE(C2>0;J$3;J$2))^D2-1)F2: =C2+E2 C3: =B3+F2 e copiava em coluna B84=-F83

136

Sétima Aula

137

Renda perpétua

• Numa renda perpétua, recebe-se uma prestação para sempre.

• Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim de cada período (i.e., postecipada), é uma situação idêntica a um depósito em que no fim de cada período, são pagos apenas os juros

138

Renda perpétua

• Como os juros de cada período valeriam

J = Vi

Com P e i podemos determinar o valor da renda (ou da taxa de juro implícita com P e V)

P = prestação, i = tx.juro, V = valor actual da renda

V

Pi

i

PViVP

139

Renda perpétua

• Ex.1.26. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre. Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano, qual será o valor presente do terreno?

140

Renda perpétua

• R.mensal = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%• V = 50 / 0.407% = 12278.58€

141

Renda perpétua

• Ex.1.27. Um eucaliptal produz, a cada 10 anos, 12kg/m2 de madeira. Supondo um preço de 0.03€/kg de madeira e uma taxa de juro de 3%/ano, qual será o valor actual do eucaliptal?

142

Renda perpétua

• R. Calculo a taxa de juro por 10 anos, (1+3%)^10–1= 34.392%, e aplico essa taxa na expressão da renda perpétua postecipada:

• V = (120.03)/34.392% = 1.05€/m2.

143

Renda perpétua

• Se a renda for antecipada (a prestação é paga no princípio do período), teremos que somar a prestação inicial

)1( ii

PV

i

PPV

144

Renda perpétua

• Se houver deferimento de n períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada

• Só se começa a receber daqui a n+1 períodos pois a expressão p/i é para a renda postecipada

nii

PV )1(

145

Renda de duração limitada

• Com o conhecimento da expressão da renda perpétua– Há quem lhe chame perpetualidade

• Podemos calcular o valor de uma renda de duração limitada

• Compondo duas rendas perpétuas: uma a somar e outra a subtrair

146


• Recebemos a prestação R entre o presente e o período N (postecipada).

• É equivalente a receber uma renda perpétua a começar agora e

• pagar uma renda perpétua a começar no período N,

• Descontado tudo ao presente.

147


])1(1[)1( NN ii

Pi

i

P

i

PV

Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada)?

Teremos que somar uma parcela.

Descontar menos um período

148


)1()1(1

)1()1(

)1(1

)1(

)1(

iii

Pi

iiP

ii

PPV

N

N

N

149


• Ex.1.30. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês, até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%, qual será o valor presente do terreno?

150


• Já não preciso do Excel

r = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%

V = 50/0.407% x (1 – 1.00407–300)

= 12278.58€ x 0.7047 = 8648.45€

• Mas podemos usá-lo para verificar

151


C2: =B2*(1+$D$2)^-A2 C302=sum(C2:C301)

152


• Ex.1.29. Uma obrigação com o valor nominal de 100€ paga trimestralmente 1€ de cupão e o par (i.e., os 100€) mais o cupão do trimestre final ao fim de 10 anos. Determine a taxa de juro desta obrigação.

153


R. No trimestre final recebemos não só o cupão mas também o par, logo

Donde resulta i = 1%/trimestre e

i = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano

4040 )1(100])1(1[100 iii

P

154


Alternativamente, como no fim do prazo recebemos o par, aplicamos simplesmente

V = P/i i = P/V = 1/100 = 1%/trimestre i = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano

Podemos confirmar no Excel que receber o Par no fim do prazo permite utilizar a expressão da Renda Perpétua

155

Oitava Aula

156


• Ex.1.31. o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações).

• Com essa poupança vai receber uma renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações).

• Para uma taxa de juro anual de 3%, quanto vai receber por mês?

157


• Vamos usar como instante de referência os 25 anos (acabados de fazer)

• Vamos somar – Duas rendas de duração limitada– Ou quadro rendas perpétuas

Nota: Sem perda, vou usar anos para descontar e meses para a renda

158


mês

milx

x

mil

/€44603

600%)^247.01(1

120%)^247.01(120%)^247.01(1100

600%)^247.01(1%247.0

120%)^247.01(120%)^247.01(1%247.0

100

159

Obrigações a taxa fixa

• Uma obrigação de taxa fixa consiste num activo que condensa uma entrega inicial e recebimentos futuro.

• Recebe-se o “cupão” ao longo do tempo e o “par”) na remissão

• O valor da obrigação é o valor actual dos recebimentos futuros– Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr

de mercado

160


• Ex.1.33. Uma obrigação a 10 anos de valor nominal de 100€ reembolsável ao par (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10 anos) cupão sero, vai ser vendida em leilão.

• Para uma remunerado a uma taxa média de 7.5%/ano, qual o preço máximo que o investidor está disponível a pagar?

161


• Vamos descontar os 100€ ao presente:

€52.48075.1100 10 V

162


• Passados 5 anos, qual será o valor da obrigação?

• Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em um ponto percentual, qual a desvalorização da obrigação?

163


• Já só faltam 5 anos para receber os 100€

• O aumento da taxa de juro desvaloriza a obrigação em 4.5%

€66.69075.1100 5 V

€50.66085.1100 5 V

164


• Se o investidor adquiriu a obrigação a 45€, qual a taxa de juro que pensava receber?

• E qual será se vender a obrigação depois da desvalorização?

165


• A taxa de juro prevista era

• E passou a ser

%31.8€45)1(100 10 iiV

%13.81)45/50.66(

)1(45/50.66

€45)1(50.66

5/1

5

5

i

i

iV

166

Nona Aula

167


• Ex.1.34. Uma obrigação soberana (i.e., emitida por um Estado) a 50 anos emitida em 2010 cujo par é 1000€ paga um cupão anual de 25€ postecipado e o par mais o cupão no fim do prazo.

• Qual a taxa de juro da obrigação se for adquirida ao par?

168


• Podemos simplificar a expressão obtendo uma renda perpétua:

100011000)1(125 5050 rrr

1000

25)1(11000)1(1

25 5050 rrrr

169

TAEG implícita no contrato

• TAEG – Taxa anual efectiva global

• Actualmente, é obrigatório nos anúncios (de venda a crédito) que seja afixado o preço a pronto pagamento e a taxa de juro implícita efectiva calculada com todas as despesas a incorrer pelo cliente (global)

170


• Ex.1.34. Um televisor (ppp de 1190€), a crédito “paga na entrega 119€ mais 12 prestações trimestrais de 100€. Tem que pagar no fim do primeiro ano mais 50€”.

• Determine a TAEG deste contrato de crédito.

171


• Podemos indicar algebricamente o resultado

• Mas o mais fácil é determina-lo no Excel

0)1(50))1(1(

1001191190 412

ii

i

172


173


B2: = 1190-119; B3: 100; B6: -150C2: =B2*(1+E$2)^(-A2) e copiar em coluna. C15: =Soma(C2:C14)Definimos a célula C15 para o valor 0

alterando E2.

• Se a EURIBOR for 5.5%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita neste contrato de crédito?

174


%879.4

%)386.101/(%)5.51()1(

)1/(%)5.51(%386.101

p

p

p

175


• Ex.1.36. Um anúncio dizia

“Telefone que lhe emprestamos 5000€ por apenas 150€ mensais (durante 60 meses, TAEG=29.28%)”.

• Confirme a TAEG.

176


0])1(1[150

5000

])1(1[150

5000

])1(1[

60

60

ii

ii

ii

RV N

Tem que se determinar no Excel

177


%46.291)1(%175.2 12 iii anual

178

Preços correntes e constantes

179


• A inflação (i.e., a subida generalizada dos preços dos bens e serviços) não tem efeito na afectação dos recursos escassos.

• Apenas a alteração dos preços relativos tem efeito.

180


• O aumento dos preços é calculado para um cabaz de bens e serviços, sendo um valor médio (pesos de 2005).

B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$5

Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 PesosHabitação 345 € 367 € 389 € 372 € 339 € 40%Alimentação 641 € 654 € 663 € 669 € 652 € 21%Vestuário 245 € 240 € 243 € 247 € 251 € 22%Transportes 145 € 162 € 178 € 182 € 163 € 17%Preço médio 351 € 364 € 379 € 375 € 355 €

181


• Nesse sentido, calcula-se quanto o cabaz custava então e compara-se com quanto custa agora.

• Esse preço é normalizado a valer 100 no ano base (ou 1 ou 1000). B7: =B6/$B$6*100

• Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 PesosHabitação 345 € 367 € 389 € 372 € 339 € 40%Alimentação 641 € 654 € 663 € 669 € 652 € 21%Vestuário 245 € 240 € 243 € 247 € 251 € 22%Transportes 145 € 162 € 178 € 182 € 163 € 17%Preços 351 € 364 € 379 € 375 € 355 €IPC 100,00 103,79 107,80 106,67 101,22

182


• Em teoria, o índice de preços refere-se a um instante de tempo

• Mas não é possível medir todos os preços no mesmo instante

• Então, é um valor médio do período IP20002010 = preço médio em 2010 na base 2000

183


• O “preço médio” normalizado denomina-se por Índice de Preços no Consumo, havendo outros índices de preços– índice de preços na produção– índice de preços dos mais pobres– índice de preços do interior norte– índice de preços na construção– Etc.

184


• Os preços dos bens ou serviços observados no dia a dia denominam-se de “preços correntes” (ou “preços nominais”) e variam ao longo do tempo.

• E.g., há um ano a gasolina tinha um preço diferente do preço que actualmente vigora.

185


• Os preços corrigidos da inflação denominam-se de “preços constantes” ou “preços reais”.

186


• Para transformar preços correntes em preços reais utilizamos o índice de preços.

• Temos os preços correntes do período J, PJ, que queremos em preços reais com base no ano T, PTJ

• PJ PTJ

187


• PJ T, PTJ

• Teremos os índices de preços dos períodos na mesma base (e.g., T)

• IP período T no ano base T, IPTT e

• IP período J no ano base T, IPTJ

188


• Transformamos PJ PTJ• multiplicando o preço corrente pelo índice

de preços do período T, IPTT, e dividindo pelo índice de preços do período J, IPTJ:

• Não interessa a base do IP pois dá-se uma mudança de base.

JIP

TIPPJJP

T

TT

189

Décima Aula

190


• Ex.1.37. O preço de um frigorífico diminuiu de 178.50€ em 2006 para 169.90€ em 2010. Com

IP20052006 = 101.61

IP20052010 = 102.86 Quais os preços na base 2005?Qual o preço de 2006 na base 2010?Qual foi a variação em termos nominais e

reais do preço?

191


• R. em 2005 o IP vale 100 porque é o ano base

• P20052006 =178.50100/101.61 = 175.67€• P20052010 =169.90100/102.82 = 165.24€

• Para 2010 ocorre mudança da base• P20102006 =178.50102.82/101.61 = 180.73€

192


• Em termos nominais temos 169.90/178.50 –1 = – 4.77% (169.90 – 178.50)/178.50 = – 4.77%

Em termos reais temosVariação = 165.24/175.77 –1 = –5.98%Var. média anual (1–5.98%)^(1/4) –1 = –1.53%/ano

193


• Podíamos usar outro ano base qualquer

• E.g, 2010

Variação = 169.90/180.73 –1 = –5.98%

194


• Ex.1.38. O salário mínimo em 1974 era de 16,46€ e em 2010 é de 475,00€.

• IPC20001974 é 4.003 e

• IPC20002010 é 126,62.

• compare, em termos reais (de 2010), o poder aquisitivos do SM nesses dois anos e a taxa de variação anual em termos nominais e reais.

195


• Se quiséssemos comparar em termos de preços reais do ano 2010 fazemos

• os 16.46€ de 1974 valem a preços de 2010

• SM20101974= = 520,65€

• Que é maior que os actuais

• SM20102010 = 475€

003.4

62,12646.16

196


• R. Relativamente à taxa de variação, no espaço de 36 anos, em termos nominais o SM aumentou

(475/16.46)^(1/36)–1 = 9,79%/ano

• em termos reais, diminuiu

(15.02/16.46)^(1/36) –1 = –0,25%/ano.

197


• A taxa de inflação é calculada pelo INE com base no IPC e tem periodicidade mensal.

• Taxa de inflação homóloga – compara o IPC do mês corrente com o IPC do mês igual do ano anterior.

• Taxa de inflação média – é a média das 12 taxas de inflação homóloga.

•

198


• Taxa de inflação acumulada – é a variação percentual do IPC desde o princípio do ano.

• A taxa de inflação mensal anualizada – é a variação percentual entre o IPC no mês anterior e o IPC no mês actual anualizada: (1+π)12-1.

• A taxa de inflação em cadeia – é a taxa de inflação mensal (ou trimestral) sem anualizar

199


• Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPC valia 128.7 e em Março 2006 passou a valer 131.4,

• então a taxa de inflação homóloga de Março entre estes dois “instantes” foi de 131.4/128.7 – 1 = 2.1%.

200


• Interessará retirar a inflação da análise de equivalência das somas de valores dinheiro obtidas em instantes de tempo diferentes.

• E.g., precisamos saber se a renda de 60mil€ mensais dará ou não para comprar alguma coisa quando o Figo tiver 85 anos.

201

Taxa de inflação

• Como a taxa de inflação é calculada com o índice de preços, podemos utilizá-la na transformação de preços correntes em preços reais

• Ou mesmo refazer o IPC

11

11

11 1...11

nTTTT

TnT pp

202

Taxa de inflação

• Sendo IPT e, IPT+1

os índice de preços no período T e T+1, respectivamente

• Também calculamos a taxa de inflação durante o período T+1, T+1 , por:

1111

T

T

T

TTT IP

IP

IP

IPIP

203

Taxa de inflação

• Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia 128.7 e em 2006 valia 131.4, então a taxa de inflação em 2005 foi de

131.4/128.7 – 1 = 2.1%.

Neste exemplo, 128.7 refere-se à média do IPC de Jan., Fev., …, Dez. de 2005

204

Décima primeira Aula

205


• Se o preço corrente de um bem em 2006 foi de 150€, podemos saber a quanto correspondia em 2005 em termos reais (constantes) descontando este preço com a taxa de inflação

• O preço do bem, a preços de 2005, seria

€92.146%1.21150 12005

2006 p

206


• O preço de um bem era p2005 = 1.25€ e passou para p2006 = 1.30€.

Sendo que em 2005 a inflação foi de 2.1%, em termos reais, será que o preço deste bem aumentou (em termos reais)?

207


• O preço, em termos reais, aumentou 1.86%:

%86.11250.1/273.1

€273.1%1.2130.12006 12005

p

208


• Para transformar preços correntes do período T+n em preços constantes em referência ao período T, sabida a taxa de inflação para cada um dos n–1 períodos, temos:

111 1...1)()(

nTTT nTpnTp

209


• Como a taxa de inflação é calculada “em cadeia”, a partir do Índice de Preços:

• Memorizar que se o IPC aumenta, o preço real diminui.

J

TJTJ

IP

IPpp

210

Salário Mínimo NacionalA preços correntes e constantes

211

Salário Mínimo NacionalA preços correntes e constantes

E3: =C4*$B$4/B4;

F3: =D4*$B$36/B4

E copiava ambas as expressões em coluna

212


• Ex.1.42. No exercício 1.31, vimos que o planeamento da reforma do Figo se traduz numa prestação mensal a preços correntes de 44603€ até aos 85 anos.

• Prevendo-se uma taxa de inflação de 2% ano,

• i) Determine a preços constantes de agora, qual será o valor desse prestação (faltam 50 anos).

213


• Vamos descontar 44603€ ao presente com a taxa de inflação de 2%/ano como taxa de desconto:

• Em termos reais, corresponde a apenas 37% do valor nominal.

€16571%)21(44603 50 R

214


• Ex.1.42.ii) Supondo as mesmas entregas, determine um plano de reforma que mantenha o poder aquisitivo (igual em termos reais).

215


• Posso fazer a análise

• a “preços correntes” aumentando as prestações na taxa de inflação prevista

• Ou a “preços constantes” retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal

• Este “nominal” não é o mesmo conceito de quando falamos de capitalização

216


• Fazemos a análise a preços reais retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal. A taxa de juro real mensal é 0.0813%= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.

€05,29453000813.11

000813.013945

13945)000813.11(0008135.0

600

600

xx

x

217


• A “preços correntes”, uso o Excel:

218


• B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3;

• C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois copiamos em coluna;

• C603: =Soma(C2:C602) e usamos a ferramenta “Atingir objectivo”, definir a célula C603 para o valor 0 por alteração da célula E1

219


• Retirada a taxa de inflação à taxa de juro nominal (“preços constantes”), deu o mesmo resultado

220

Compatibilização de tramos da série com diferentes bases

• Com o acesso a fontes diferentes de informação e com o decorrer do tempo, as séries de preços mudam de base.

• Nessa alturas, o índice sofre uma quebra porque salta do valor do antigo tramo da série para 100 e são alterados os pesos relativos dos grupos agregados no índice (a representatividade de cada grupo no índice).

221


• Quando é preciso utilizar o número índice ao longo de todos os períodos, torna-se necessário compatibilizar os vários tramos da série à mesma base.

• A redução não é uma mudança para a mesma base porque não se tem em consideração que existem alterações dos ponderadores mas permite fazer uma transição suave entre os vários tramos da série.

222


• No sentido de tornar possível a compatibilização dos tramos, estes sobrepõem-se (pelo menos) durante um período.

• Temos que usar os períodos de sobreposição para calcular o valor do “salto” em termos relativo entre as séries e reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de uma mudança de base.

223


224


• Ex.1.46. A série do IPC do banco mundial WB2008 (base o ano 2000) vale 4.00 para 1974 e vale 108.10 para 2002, e

• a série do INE (base o ano 2002) vale 116.187 para 2009 (media até abril), compare, em termos reais, o salário mínimo de 1974 (16.46€/mês) com o SM actual (450.00€/mês).

225


• R. Há uma salto em 2002 entre as séries pelo que o valor da série do INE compatibilizado ao da série do Banco Mundial será 116.19108.10/100 = 125.60. O valor a preços de 2009 dos 16.46€/mês será 16.46125.60/4.00 = 516.84€/mês.

226

Décima segunda Aula

227

Análise de investimentos

228


• um investimento é uma entrega de recursos em períodos mais próximos do presente que permite ter recebimentos mais afastados para o futuro

229


• Teremos uma contabilização das entregas e dos recebimentos

• com referência a um mesmo instante de tempo.

• Será necessário capitalizar uns valores e descontar outros

230


• Sendo que a análise é financeira, interessa saber as entregas e os recebimentos em dinheiro (i.e., saber o cash flow)

231

Valor actual líquido

• No Valor Actual

• Agregar todas as parcelas ao instante presente, descontadas ao presente

• É Liquido porque se amortiza o Capital

232


• Apesar de não haver um horizonte temporal de encerramento

• O risco aconselha a usarmos um horizonte temporal limitado.– 5 anos – 10 anos– 25 anos– 50 anos

233


• Ex.1.50. Num investimento são previstas entregas e recebimentos (k€):

i) Somando as entregas e os recebimentos qual o saldo do investimento?

234


• O saldo seria de 175 mil€

• ii) Determine, para uma taxa de remuneração do capital de 10%, qual será o Valor Actual Líquido deste investimento

235


• O VAL será de 2921€

• B5: =B4-B3; B6: =B5*(1+$B$1)^-B2 e depois copiar em linha; B7: =Soma(B6:L6).

236


• A taxa de juro usada é elevada porque – os recebimentos são incertos – as entregas são certas

• A taxa de juro contém o risco do negócio– o VAL do investimento é comparável a um

activo sem risco (e.g., depósito a prazo).

• Para investimentos diferente, a taxa de juro será diferente.

237

Taxa interna de rentabilidade

• Quantifica a taxa que torna o VAL igual a zero.

• Estando o modelo implementado no Excel, determina-se a TIR facilmente com a ferramenta “Atingir objectivo”.

238

Taxa interna de rentabilidade

239

Q de Tobin

• O q de Tobin é uma medida relativa que incorpora o risco de cada investimento– Uma mistura de VAL com TIR

• Calcula-se pelo quociente entre o valor actual dos recebimentos e o valor actual dos investimentos– Terá que ser maior ou igual a 1

240

Q de Tobin

• B8: =B3*(1+$B$1)^-B$2 e copiava

• B10: =SOMA(B9:L9)/SOMA(B8:L8)

241

Exercícios de recapitulaçãoe

Dúvidas

242

Exercício -1

• Suponha que empresto 1000€.– A inflação (prevista) é de 2.5% / ano– O juro real (acordado) é de 2.0% / ano– O risco de não cobrança é de 7.0% / ano

• i) Quanto devo pedir de taxa de juro?

243

Exercício -1

A taxa de juro seria de10.41%:

i = (1+ 0.025) x (1 + 0.02) / (1 – 0.07)

i =11.869%

ii) Se acordar receber os 1000€ em 12 prestações trimestrais caindo a primeira depois de decorridos 2 anos do empréstimo, de quanto deve ser a prestação?

244

Exercício -1

A renda é antecipada

E começa daqui a dois anos

A taxa de juro trimestral é (1+11.869)0.25 -1 = 2.8435%

)1.()1(1. iii

P N

8)1).(1.()1(1. iiii

P N

245

Exercício -1

€11.121

1000028435.1028435.11028435.0

712

P

P

246

Exercício -1

247

Exercício -2

• Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 4% / ano. A meio do prazo, recebo 5 M€.

Qual o capital final que vou receber?

248

Exercício -2

• O capital final a receber será de

25000.(1 + 4%)5 - 5000 .(1 + 4%)2.5 =

= 24901,22€.

[25000.(1 + 4%)2.5 - 5000] .(1 + 4%)2.5 =

= 24901,22€.

249

Exercício -3

• Vou receber 1000€ daqui a 10 anos. Para uma taxa de juro de 4€/ano, qual o valor actual dessa soma?

250

Exercício -3

• R. O valor dos 1000€ no presente resolve:

€56.675%)41(1000 10

251

Exercício -4

Um indivíduo deposita, durante 40 anos, 100€/mês para receber uma reforma mensal durante 15 anos.

Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano e a inflação de 2.5%, determine o valor da reforma a preços correntes e a preços constantes de agora.

252

Exercício -4

480180

480

)1()1(1

)1(1.100

ii

iR

0)1()1(1.)1(1.100 480180480 ii

i

Ri

i

Vou somar quatro rendas perpétuas ou duas de duração limitada:

253

Exercício -4

A preços correntes, i = 0,327%/mês

R = 854.67€ /mês

A preços reais, i = [(1+4%)/(1+2.5%)]1/12 -1

i = 0,0125%/mês

R = 277.90€/mês

254

Exercício -5

• Num investimento de 1000€ prevê-se que as vendas aumentem 25% ao ano e que o custo das vendas sejam 60%.

• As amortizações são constantes a 5 anos

• Calcule o VAL e a TIR

255

Exercício -5

256

Exercício -5

257

Exercício -5

D6: =C6*(1+$B$1)

C7: =C6*$B$2

C8: =C6-C7

C9: =$B$3/5

C10: =C8-C9

C11: =C10*25%

C12: =C10-C11

C13: =C12+C9

C14: =C13*(1+$B$4)^(-C5)

B15: =SOMA(B14:G14)

258

Exercício -5

• Aplico agora o modelo para determinar a TIR

1 matemática financeira e informática de gestão faculdade de economia da universidade do porto...

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