Cálculo e Instrumentos FinanceirosTaxa de Juro, Capitalização e Desconto

Pedro Cosme da Costa VieiraFaculdade de Economia da Universidade do Porto, Portugal

2015

2 P. C. C. Vieira

Preâmbulo O Cálculo Financeira (ou Matemática Financeira) desenvolve e aplica ferramentas

matemáticas para modelizar o comportamento das variáveis financeiras onde se inclui o

comportamento do preço dos intrumentos financeiros transaccionados em mercados sem se

preocupar com os fundamentais económicos desses activos.

A Ciência Economica preocupa-se com a afectação dos recursos escassos. Assim,

começando na exploração dos recursos naturais, a Ciência Economica preocupa-se com a sua

transformação, produção de bens e serviços e a sua distribuição pelos indivíduos seja através

dos salários, dos lucros e rendas ou das transferências. Numa economia de mercado, os bens e

serviços são transaccionados no mercado mediante um preço. A existência de concorrência

nos mercados de bens e serviços é fundamental para a produção (para que as pessoas se

possam especializar nas actividades em que têm vantagens comparativas e para que possa ser

ultrapassada a escala mínima de produção e aproveitadas as economias de escala) e para a

distribuição (permite que as pessoas revelem os seus gostos e preferências).

A Finança não trata dos recursos escassos no sentido considerado pela Economia mas

trata no sentido de estudar e desenvolver intrumentos que “titularizam” os recursos escassos.

Assim, os instrumentos financeiros não são recursos escassos per si mas podem ser

transformados em recursos escassos (e noutros instrumentos financeiros). A grande inovação

da Finança é que os instrumentos financeiros, apesar de não serem um recurso escasso, ao

serem transaccionados em mercado (e.g., na bolsa de valores mobiliários) que têm baixos

custos de transacção e de diversificação do risco, levam à mudança de titularidade dos

recursos escassos que dão base aos instrumentos financeiros.

O Cálculo Financeiro tem como axiomas fundamentais que i) não é possível obter

ganhos por arbitragem (i.e., não é possível realizar um ganho sem investimento inicial e sem

risco de perda) e que ii) os mercados são completos (i.e., um indivíduo que tenha um dado

activo no instante de tempo T, pode transferi-lo para qualquer outro instante de tempo M

mediante uma taxa de juro R de transformação, VM =VT.(1 + R)M–T).

Em termos de organização do texto, vou considerar, modelos sem risco aplicaveis a

depósitos bancários e a obrigações e, depois, modelos com risco aplicáveis a seguros e a

acções. Ainda dentro dos activos com risco, apresentarei instrumentos derivados (opções de

compra e opções de venda) usando modelos de simulação.

MFIG 3

Em termos mais detalhados, na primeira parte deste texto abordo conceitos básicos

como taxa de juro e suas componentes, capitalização simples e composta, desconto. Depois,

apresento instrumentos financeiros denominados sem risco, i.e., os depósitos e créditos

bancários e as obrigações. Como a inflação é uma componente importante da taxa de juro,

considero ainda o conceito de Índice de Preços, Taxa de Inflação, Preços Correntes e Preços

Constantes.

Na segunda parte do texto apresento sucintamente as ferramentas da folha de cálculo

Excel. Apesar da generalidade dos alunos iniciar os seus estudos universitários com razoáveis

conhecimentos de informática, a capacidade de utilizar uma folha de cálculo é muito reduzida.

Está diponível um ficheiro Excel com os exemplos algébricos apresentados neste texto

http://www.fep.up.pt/docentes/pcosme/CIF_1EC101/CIF2015_parte1.xls).

4 P. C. C. Vieira

Índice

Capítulo 1. Taxa de juro, capitalização e desconto 51.0. Introdução 5

1.1. Taxa de juro 8

Componentes da taxa de juro 15

i) Taxa de inflação

ii) Remuneração real

iii) Compensação de potenciais perdas – risco

Taxas de referência (EURIBOR, LIBOR, Taxa de Desconto do BCE) 19

1.2. Capitalização – Valor Futuro 25

Capitalização simples

Capitalização composta

1.3. Desconto – Valor Actual ou Valor Presente 34

1.4. Pagamento da dívida – Rendas 37

Expressão Algébrica da Renda perpétua

Expressão Algébrica da Renda de duração limitada

TAEG implícita num contrato

1.5. Preços correntes e preços constantes 49

Taxa de inflação

Compatibilização de tramos da série com diferentes bases

1.6. Contrato de Mútuo – Enquadramento legal 58

Capítulo 2. Folha de Cálculo – Ferramentas básicas 61Expressões algébricas

Ferramenta Data + Goal Seek

Ferramenta Data + Solver

Bibliografia 68

MFIG 5

Taxa de juro, capitalização e desconto

1.0 IntroduçãoA Ciencia Económica trata da afectação dos recursos escassos. Quer isto dizer que

numa economia à Robinson Crusoé (em que não há comércio porque cada indivíduo produz

tudo o que consome), partindo de uma porção de terra e de trabalho, a Ciência Económia trata

da decisão do indivíduo quanto à produção de milho, trigo, couves ou feijão, da

transformação dos produtos agrícolas produzidos em galinhas, porcos ou tortilhas e de que

parte da produção vai para consumo e para investimento. Mas como não vivemos isolados, a

Ciência Economica trata também da troca entre os diversos agentes económicos e de como

essa troca aumenta o bem estar dos individuos.

Uma economia pode ser vista como um circuito aberto que começa nos Recursos

Naturais e acaba na Lixeira tendo dois circuitos fechados no seu interior (o circuito do

trabalho Consumo e o circuito do Capital Investimento).

Fig. 1.1 – A economia vista como um circuito aberto que começa nos Recursos Naturais e

termina na Lixeira

6 P. C. C. Vieira

O mercado induz ganhos no bem-estar das populações porque as trocas permitem que

os individuos se especializem nas actividades em que têm vantagens comparativas, permitem

o explorar das economias de escala e que sejam compatibilizados os gostos e preferências

individuais com as possibilidades de produção. As interacções no mercado resultam na

afixação de um preço (a relaçãi de troca, por exemplo, um kg de galinha por 6kg de milho)

que vai ser incorporado no processo de compatibilizar das possibilidades de produção com as

necessidades (gostos e preferências) dos individuos de forma a que a economia como um todo

funcione no ponto óptimo (ou próximo desse ponto).

A Finança não trata directamente dos recursos escassos porque trata apenas da

“titularização” dos recursos escassos que existem na economia. Assim, cria um sistema de

contabilização dos recursos escassos que materializa em “títulos”. Depois, esses títulos

autonomizam-se e passam a ser considerados como se fossem recursos escassos.

O instrumento financeiro com o qual temos mais contacto é a Moeda. Quando, por

exemplo, eu trabalho 10 horas (que é um recurso escasso) em troca de uma nota de 100€ (que,

no fundamento, não é um recursos escasso pois não pode ser consumida e podem ser

produzidas mais notas), estou apenas a titularizar o valor do meu trabalho. Apenas aceito

esses titulos (sem valor intrínseco) em troca do meu trabalho (com valor intrínseco) porque

acredito que existem bens e serviços na economia que eu posso adquirir em troca dos títulos

que obtive como pagamento do meu trabalho. Assim, quando tenho na carteira a nota de 100€

o seu valor já não resultar de originalmente o meu trabalho ter valor mas apenas de, com esse

título, poder adquirir os bens e serviços escassos que quero consumir.

O “título” que traduz a nota de 100€ está autonomizada não só relativamente ao valor

do meu trabalho e dos demais bens e serviços produzidos na economia como pode ser trocado

por outros “títulos”, por exemplo, posso trocar a nota de 100€ por 5 notas de 20€ ou trocar

(emprestado) por 3 notas de 50€ de daqui a 10 anos (recebendo 50€ de juros).

Além das notas (actualmente, todas as economias têm moeda), existem outros

instrumentos financeiros capazes de titularizar recursos escassos. Por exemplo, posso

titularizar uma casa (cujo preço de hoje é 100000€, permite ter uma renda de 300€/mês e

receber 60000€ daqui a 25 anos) em 100 “obrigações” de 1000€ cada que paga uma

mensalidade de 3,00€/mês e ainda 600€ ao fim de 25 anos. Agora, estas obrigações podem ser

vendidas de forma independente da casa e podem mesmo ser transformadas (por exemplo,

separado o pagamento final que vendo por 32650€, do valor da mensalidade que vendo por

67350€) ou combinados com outros títulos na construção de novos activos financeiros.

MFIG 7

Vamos supor que um empreendedor cria uma empresa na qual investe em máquinas,

conhecimento e organização um total de 100 mil € e da qual se prevê um lucro anual entre

5mil€ e 25mil€ durante um horizonte temporal de 10 anos findo o qual a empresa será

vendida por 50mil€. Esta empresa pode ser titularizada em 50 obrigações de 1000€ que

pagam um cupão anual de 100€ e um valor final de 1000€ (uma taxa de juro de 10%/ano) e

ainda 50 acções em que cada uma terá direito a um lucro anual entre 0€ e 400€ de que resulta

que cada uma das acções terá, para uma taxa de juro de 15%/ano, um valor financeiro de

1000€/cada. Criados estes títulos, estes podem ser comprados e vendidos e podem ser criados

fundos de investimento (uma mistura de títulos correspondentes a obrigações e acções de

várias empresas) que, por sua vez, também podem ser transformados em obrigações e acções

(estes títulos são denominados “títulos de participação em produtos estruturados”) e vendidos.

Como os activos financeiros têm menores custos de transacção e estão em suporte

virtual (maioritariamente), actualmente o volume de transacções de intrumentos financeiros é

muito superior ao volume de transacções dos bens e serviços que lhes são subjacentes.

Apesar de a titularização cria um activo financeiro que se autonomiza do recurso

escasso subjacente, nunca nos devemos esquecer que o “título” não é um recurso escasso pelo

que a “poupança de títulos” não traduz verdadeiramente uma poupança de recursos escassos

da economia como um todo.

Nos modelos que vamos tratar será assumido que os mercados financeiros são

completos o que traduz que são transaccionados no mercado títulos referentes a todos os

instantes de tempo desde hoje até a um horizonte temporal distante. Quer isto dizer que se

tenho recursos hoje, posso usar activos financeiros para transformar esses recursos noutros

recursos disponíveis num instante futuro qualquer mediante uma relação de transformação

que está dependente da taxa de juro de mercado e do tempo que medeia entre o intante

presente e esse instante futuro. Por exemplo, posso “enviar” 100€ para daqui a 25 anos

(emprestando hoje os 100€) recebendo em 2040 um total de 200€. Para eu poder realizar esta

troca tem que haver no mercado uma cadeia de individuos que materializem a minha vontade

realizando operações contrárias (“trazem” 200€ de daqui a 25 anos para o presente

transformando-os em 100€). Assim sendo, a minha vontade de “levar” o dinheiro apra o

futuro é a Oferta do Mercado (eu sou o produtor de poupança) e a resposta dos outros

indivíduos é a Procura do Mercado (os outros são os consumidores da minha poupança).

8 P. C. C. Vieira

1.1 Taxa de juroEm termos económicos, do lado de quem empresta, o juro é a recompensa que a

pessoa recebe por adiar o consumo. Do lado de quem pede emprestado, o juro é o preço que a

pessoa paga por poder antecipar o consumo. Assim, o juro é o preço do crédito. Em termos

relativos, obtemos a taxa de juro dividindo os juros pelo montante emprestado, (e.g., se pedi

2000€ emrepstados e devolvi, decorrido um determinado intervalo de tempo, 2100€, então, a

taxa de juro foi de 5%). Normalmente, a taxa de juro refere-se a um período de tempo, e.g.,

5% por ano.

O juro também pode ser entendido como a “taxa de câmbio” entre recursos

disponíveis em 2 instantes de tempo diferentes (considerando que o tempo em que o recurso

escasso está disponível é uma característica do recurso, a taxa de juro será o termo de troca

entre dinheiro disponível no presente e dinheiro disponível no futuro). Por exemplo, posso

trocar 10kg de frango de agora por 11 kg de frango de daqui a um ano (uma taxa de juro de

10%/ano).. Em termos conceptuais, o juro refere-se a um bem fungível sendo pago no mesmo

bem que o activo, por exemplo, um lavrador empresta 100kg de milho e, ao fim de um

trimestre, recebe 101kg de milho de volta (é milho na mesma mas não são os mesmos grãos),

caso em que teremos uma taxa de juro de 1% por trimestre.

Se aplicado a instrumentos financeiros denominados em euros (de que as notas são um

caso particular) ou a qualquer bem fungível, a taxa de juro vai ser uma percentagem (uma

grandeza sem dimensões). A remuneração da utilização durante um período de tempo é uma

taxa de juro se o bem emprestado é fungível (i.e., indistinto de outras unidades, e.g., trigo

duro), senão é uma renda (bem imóvel) ou um aluguer (bem móvel).

Ex.1.1. Empresto 10 galinhas a um vizinho que me dá 11 galinhas daqui a um ano. i)

Determine a taxa de juro anual ii) Determine quanto receberia se, à mesma taxa de juro,

emprestasse 20 galinhas.

R. i) Sendo V0 o capital inicial, Vf o capital final e r a taxa de juro anual, teremos a

relação Vf = V0 + V0 * r = V0 * (1 + r). No exemplo, a taxa de juro resolve 11 = 10×(1 + r)

r = 10%/ano.

ii) Assumido que a taxa de juro de 10%/ano se mantém quando empresto 20 galinhas,

receberia = 20 * (1 + 10%) = 22 galinhas.

MFIG 9

Se eu entregasse as 10 galinhas para o vizinho produzir ovos com o encargo de me

devolver as mesmas galinhas mais 2 ovos por dia, já seria um aluguer (em termos anglo-

saxónicos, seria um contrato de leasing ou de renting).

A poupança individual.

A principal motivação para haver poupança é o ciclo de vida humana: o indivíduo tem

necessidade de consumir durante todos os, aproximadamente, 80 anos da sua vida mas apenas

é produtivo entre os 25 anos e os 65 anos de idade (ver, Fig. 1.2). Então, o individuo vai

precisar de guardar parte do que produz enquanto trabalha para ter recursos quando for

incapaz de trabalhar. Pode parecer estranho, mas o individuo também tem que ser capaz de

enviar recursos para o passado para pagar as despesas que teve enquanto era criança.

Fig. 1.2 – Relação entre o rendimento e o consumo ao longo da vida

Mandar dinheiro para o passado traduz que na infância e juventude o indivíduo se

endividou para poder consumir e estudar (o trabalho da criança não tem valor, i.e., não produz

bens ou serviços). Na meia-idade, o indivíduo é produtivo pelo que amortiza a dívida

contraída na infância e juventude (envia recursos para o passado pagando às pessoas que lhe

emprestaram o dinheiro quando era criança), consome e constitui uma poupança (i.e.,

empresta a outras crianças e jovens) para a reforma em que vai consomir a poupança

constituída durante a meia-idade (i.e., gasta o que poupou mediante o pagamento das crianças

a quem emrpestou no passado, ver, Fig. 1.3). Em termos financeiros, podemos imaginar que a

pessoa quando é criança e jovem pede emprestados 175000€ (aos pais e ao Estado) para

gastar em consumo e investir no desenvolvimento da sua capacidade produtiva

(principalmente na escolarização); na meia-idade trabalha para consumir, pagar a dívida

10 P. C. C. Vieira

contraída em criança e jovem mais os juros (aos pais e ao Estado) e poupar 100000 Euros

(e.g., emprestar aos filhos, adquirir uma casa, activos financeiros ou emprestar ao Estado); e

que, quando se reforma, recebe (dos filhos, por vender os activos e do Estado) o dinheiro

poupado na meia-idade mais os juros para gastar em consumo.

Fig. 1.3. – Rendimento, consumo, endividamento e poupança ao longo da vida

Outra motivação importante para haver poupança é o indivíduo precaver-se face ao

risco quer da diminuição do rendimento (e.g., por ficar desemprego) quer do aumento da

despesa (e.g., por ter um acidente automóvel). O indivíduo pode poupar 10% do seu

rendimento que empresta a alguém de confiança de forma que, em caso de ter um azar, possa

recuperar essas poupança para poder continuar a consumir normalmente.

Outra razão para haver poupança é a existência de empreendedores. Assim, os

individuos além de emprestarem a outros individuos (para consumo ou compra de bens

duradouros) também podem emprestar a empreendedores para investirem em nova capacidade

produtivas. Como o aumento do stock de capital (máquinas, estradas, escolaridade, etc.)

aumenta a produtividade do trabalho (e de outros factores de produção), os empreendedores

apropriando-se de parte desse ganho conseguem pagar os juros e o capital inicial ainda tendo

um lucro. Então, os empreendedores competem pela poupança das pessoas pagando-lhe um

juro que é determinado no mercado.

Por exemplo, um agricultor produz 20 ton/ano de milho (que vende por 3000€) mas

fazendo um investimento em canais de irrigação (de 15000€) passa a produzir com o mesmo

trabalho 30ton/ano (que vende por 4500€) ao longo de 25 anos. Então, é lucrativo o agricultor

pedir os 15000€ emprestados e pagar 5%/ano de taxa de juro (porteriormente, iremos

MFIG 11

aprender a calcular que, a 5%/ano, este aumento na produção tem um valor de 21141€ que é

maior que os 15000€ do investimento).

Como a escolaridade induz um aumento nos salários futuros da pessoa, será positivo a

criança adedicar o seu tempo (custo de oportunidade) e aplicar recursos a estudar (custo

financeiro que tem que pedir emprestados) para que o seu salário venha aumentado no futuro

(podendo mais do que pagar o crédito).

Mas para poupar não é obrigatório haver uma tansacção no mercado pois também

existe poupança (de recursos escassos) quando se adquirem bens que duram vários períodos,

e.g., uma máquina de lavar louça, um frigorífico ou uma casa (i.e., bens duradouros).

Como vivemos numa economia com moeda, os empréstimos são denominados em

numerário. No exemplo, o agricultor vende as 10 galinhas (a 2€ cada) e empresta os 20€ ao

vizinho que lhos devolve no futuro acrescidos de 10% de juros (i.e., um total de 22€) com os

quais o agricultor poderá adquirir 11 galinhas (a 2€ cada).

Ex.1.2. Um capitalista tem 100 ovelhas que vai emprestar em troca de 750kg de queijo

mais 100 ovelhas ao fim de um ano. Supondo que o preço de cada ovelha é 250€ e que o

preço do queijo é 5€/kg, determine a taxa de juro anual deste contrato.

R. Empresto 25000€ (que obtenho da valoração das 100 ovelhas ao preço de mercado)

e recebo 28750€ por ano (da valoração do queijo, 3750€, e das ovelhas, 25000€, ao preço de

mercado). A taxa de juro resolve a expressão seguinte:

Vf = V0 * (1 + r) r = (Vf – V0)/V0 = Vf / V0 – 1 r = 28750/25000 – 1 = 15%.

O juro também pode ser entendido como a “taxa de câmbio” entre bens disponíveis

em dois instantes de tempo diferentes (ou o termo de troca entre estes dois bens). Por

exemplo, posso trocar 10kg de “frango de agora” por 11 kg de “frango de daqui a um ano”

(uma taxa de juro de 10%/ano) sendo que esta troca é feita no presente. É estranho eu estar a

comprar e vender hoje bens que ainda não existem mas, no conceito de mercado completo,

todos os bens que possam vir a existir no futuro podem ser transaccionados no presente. A

existência de mercado completos é importante porque, muitas das vezes, apenas o bem é

produzido no futuro se já tiver sido vendido no passado.

Por exemplo, uma companhia de actores tem em projecto levar à cena daqui a 6 meses

um espectáculo para o qual precisa pelo menos de uma facturação de 10000€ (2500€ para o

aluguer da sala, 2500€ para os adereços e 5000€ para a remuneração do trabalho). A sala tem

capacidade para 2500 lugares que, normalmente, são vendidos na bilheteira a 6 € cada. Como

12 P. C. C. Vieira

é arriscado avançar com o projecto, a companhia lançou um crowdfunding no qual vai vender

previamente bilhetes a 5€ por lugar e só leva à cena o espectáculo se conseguir vender nos

próximos 2 meses pelo menos 1500 bilhetes (o dinheiro será devolvido no caso de o projecto

não avançar) que corresponde a 75% do break even point.

A poupança agregada.

A pessoa apenas pode emprestar recursos se poupar mas isto não garante que, no

agregado da economia, exista poupança. O agregado traduz a soma da poupança de todos os

individuos da economia. Se umas pessoas pouparem recursos hoje para que outras os possam

consumir hoje, então, não haverá poupança agregada. Assim, a poupança financeira individual

não tem necessariamente efeito económico agregado se o que uns poupam for imediatamente

consumido por outros (haverá apenas uma redistribuição do rendimento disponível). Para

haver poupança agregada a quantidade de capital da economia (seja capital produtivo ou

stocks) tem que aumentar ao longo do tempo.

Supondo uma economia com 2 tipos de agentes económicos, os credores, c, e os

devedores, d, e que no instante 0 e 1 estão disponíveis na economia um total de bens e

serviços Y0 e Y1, respectivamente. Sem crédito teremos (Yc0 quantifica a quantidade de bens

disponíveis para os credores no intante 0):

Y0 = Yc0 + Yd0 e Y1 = Yc1 + Yd1.

Com crédito V0 à taxa de juro r, os credores passam a ter disponível no presente (Yc0 –

V0) e os devedores (Yd0 + V0) mantendo-se Y0 = (Yc0 – V0) + (Yd0 + V0) = Yc0 + Yd0.

No futuro, os credores terão rendimento disponível aumentado, [Yc1 + V0 (1+r)], e o

devedores diminuído, [Yd0 – V0 (1+r)], mas mantendo-se Y1 = Y0:

Y1 = [Yc1 + V0 (1+r)] + [Yd0 – V0 (1+r)] = Yc1 + Yd1 = Y0.

Assim, neste exemplo, a existência de poupança dos credores não se traduziu em

poupança agregada porque essa poupança foi canalizada para consumo dos devedores.

Apenas haverá impacto económico se a poupança for encaminhada para investimento

que induza um aumento do produto futuro, Y1.

Em termos agregados, no futuro apenas serão consumidos os recursos disponíveis

nesse instante de tempo independentemente do valor nominal da poupança financeira

existente: Se houver mais activos (em termos nominais) que bens e serviços disponíveis

então, o valor nominal dos activos diminui.

Imaginemos uma aldeia onde há 1000 terrenos idênticos e onde a única forma de

poupar para a velhice é adquirindo um desses terrenos. Quando alguém compra um terreno

MFIG 13

por 1000 kg de milho está a poupar esse recurso (pois deixa de consumir o milho) mas, como

o número de terrenos é fixo, essa poupança individual não traduz uma poupança agregada

pois quem vende o terreno estará a “despoupar” na exacta quantidade (vai consumir os

1000kg de milho). Vamos supor que na aldeia, em termos individuais, as pessoas querem

poupar o dobro do que poupavam. Como o número de terrenos é fixo, a economia ajusta

fazendo o preço relativo dos terrenos aumentar para 2000kg de milho. Quando a quantidade

de “activos financeiros” na economia é fixo, a duplicação da propensão à poupança dos

individuos não faz aumentar a poupança agregada mas apenas faz duplicar o preço do “activo

financeiro”. A poupança em termos agregados obrigaria a que os 1000kg fossem armazenados

(para os tempos de seca) ou que fossem utilizados para pagar a pessoas que arroteassen novos

terrenos ou para melhorar o sistema de rega (o que induziria um aumento do total de capital

na economia).

A poupança de uma economia face ao exterior é condensada na Balança Corrente.

Relativamente à Zona Euro onde estamos integrados, nos últimos anos a situação tem sido

positiva face ao exterior (globalmente, a Zona Euro está a emprestar recursos escassos ao

exterior).

-4,0%

-3,0%

-2,0%

-1,0%

0,0%

1,0%

2,0%

3,0%

2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016

Poupança

Endividamento

Fig. 1.4 – Saldo da balança corrente da Zona Euro em percentagem do PIB (BCE)

Já relativamente a Portugal, no período 1995-2012 houve um endividamento face ao

exterior de 177 mil milhões de euros (ver, Fig. 1.5).

14 P. C. C. Vieira

-12,0%

-10,0%

-8,0%

-6,0%

-4,0%

-2,0%

0,0%

2,0%

4,0%

1995 2000 2005 2010 2015

Endividamento de 177E6 €

Poupança

Fig. 1.5 – Saldo da Balança Corrente portuguesa em percentagem do PIB (INE e BP)

Intermediários financeiros. O problema de emprestar activos é que o devedor pode

não cumprir a sua obrigação (devolver o que lhe entregamos mais os juros). No sentido de

diminuir este risco, nas economias desenvolvidas, existem intermediários financeiros (bancos,

seguradoras, gestores de património, etc.) que captam os recursos dos aforradores e os

emprestam a agentes económicos que desconhecemos. A maior escala do intermediário

financeiro faz com que sejam mais eficientes na avaliação do risco dos devedores, na

cobrança coerciva dos créditos e na diversificação do risco (ponto a tratar na parte 2) o que

permite aumentar a garantia de que os recursos emprestados nos serão devolvidos.

Nas economias desenvolvidas os créditos são em dinheiro que não é um recurso

escasso (podem ser impressas mais notas a um custo muito menor que o valor facial das

notas). No entanto, em termos económicso, como o Banco Central mantém o número de notas

fixo, mantém-se que quem empresta dinheiro está a prejudicar o seu consumo presente (pois

poderia adquirir e consumir bens ou serviços e não o faz) e a favorecer o seu consumo futuro

(vai adquirir e consumir bens e serviços com o dinheiro devolvido mais os juros) e quem pede

dinheiro emprestado favorece o consumo presente (adquire e consume bens e serviços que

não poderia adquirir) mas prejudica o seu consumo futuro (para pagar a dívida, não poderá

consumir no futuro). Assim, um empréstimo em moeda também está a transferir recursos do

presente para o futuro (do aforrador) e do futuro para o presente (do devedor).

No sentido de aumentar a capacidade produtiva do país, até aos anos 1980, os bancos

portugueses estavam limitados quanto a conceder crédito às famílias (crédito para aquisição

de bens de consumo, automóveis, imóveis habitacionais, férias, etc.). Depois da liberalização

MFIG 15

da actividade bancária, o crédito às famílias tornou-se a principal fatia do negócio dos bancos

comerciais.

Mercado de valores mobiliários. Os aforradores também podem aplicar as suas poupanças

directamente em empresas usando a Bolsa de Valores Mobiliários. Neste caso, como não há

intermediários financeiros que garantam os valores entregues, o aforrador assume o risco de

incumprimento do devedor por causa, por exemplo, da empresa da qual comprou activos vir a

falir. Exemplo actual de grande dimensão é a falência do Banco Espirito Santo e das empresas

do Grupo Espirito Santo.

Componentes da taxa de juro

Taxa de juro nominal.

Quando o empréstimo é em numerário (em moeda ou denominado em euros), a taxa

de juro escrita no contrato como percentagem do valor emrpestado é denominada por taxa de

juro nominal. Por exemplo, emprestando 25mil€ durante um ano com uma taxa de juro

nominal de 4,0% ao ano, no fim do prazo contratado receberei 26mil€.

Em termos económicos, a taxa nominal engloba três componentes.

i) Taxa de inflação. Os preços dos bens e serviços variam ao longo do tempo, uns

aumentando e outros diminuindo. O aumento do preço médio (que se traduz num aumento do

Nível Geral de Preços) denomina-se por inflação e quantifica-se como uma taxa anual. Se, por

exemplo, a taxa de inflação prevista para os próximos 12 meses for de 2,8%/ano, se eu

adquiro hoje um cabaz por 100€, para poder comprar o mesmo cabaz daqui a um ano terei que

desembolsar 102,80€.

Os preços dos bens e serviços aumentando acontece ao mesmo tempo uma diminuição

do valor da moeda (desvalorização).

Tendo eu uma soma de dinheiro que permite comprar um cabaz de bens e serviços, se

emprestar essa soma, havendo inflação, quando for reembolsado preciso de uma soma maior

para poder comprar um cabaz idêntico. Então, a taxa de juro terá que incorporar a taxa de

inflação para corrigir a desvalorização da moeda.

A teoria económica e a evidência empírica afiançam que a subida média dos preços

(i.e., a inflação) não tem relevância na afectação dos recursos escassos o que justifica que as

políticas monetárias da Zona Euro (e de quase todas as zonas monetárias do mundo) sejam no

sentido de, em média, haver um aumento do nível geral dos preços na ordem dos 2,0%/ano. O

16 P. C. C. Vieira

concenso está nas vizinhanças de 2,0%/ano mas também poderia ser outro valor, por exemplo

1,0%/ano ou 2,5%/ano.

Comparando Julho de 1999 (ano de fixação dos câmbios de transformação das moedas

locais em euros) e Julho de 2015, a taxa de inflação média na Zona Euro foi de 1,90%/ano.

-1,0%

0,0%

1,0%

2,0%

3,0%

4,0%

1995 2000 2005 2010 2015

Fig. 1.6 – Evolução da taxa de inflação anual na Zona Euro (dados: BCE)

ii) Remuneração real. Se o contrato é em euros, a taxa de juro real quantifica a

variação no poder aquisitivo dos euros que se emprestam. Assim, traduz, em percentagem,

quanto vai aumentar (no futuro e relativamente ao que poderia comprar no presente) o recheio

do cabaz do credor. Denomina-se por taxa de juro real porque quantifica a variação de

quantidades reais (i.e., com importância económica real). A existência da componente real

tem, principalmente, 3 origens:

a) Ser preferível consumir hoje a consumir no futuro. Na microeconomia, quando

estudamos a influência da taxa de juro na poupança, é aceite o princípio de que o ser humano

prefere consumir no presente. Então, o agente económico para adiar o consumo vai exigir no

futuro o reembolso de uma quantidade de dinheiro que lhe permita consumir um cabaz melhor

que o que poderia consumir no presente. Este princípio tem como efeito que a taxa de juro

real seja tendencialmente positiva.

b) O capital ser produtivo. O capital é um conjunto de bens que tornam o factor

trabalho (e demais factores) mais produtivo. Por exemplo, um agricultor se utilizar uma

enxada em vez das mãos consegue cultivar mais terra e produzir mais bens. Assim, quem

pedir emprestado dinheiro para comprar bens de capital, pode devolver o dinheiro acrescido

MFIG 17

de uma parcela e ainda ter uma vantagem. Este princípio tem como efeito que os investidores

remunerem a poupança com uma taxa de juro real positiva.

c) O PIB aumentar ao longo do tempo. Motivado pelo progresso tecnológico e pela

acumulação de capital, no futuro cada indivíduo será mais produtivo do que nós somos agora,

i.e., há ganhos de produtividade ao longo do tempo. Nos últimos 100 anos, os ganhos de

produtividade por trabalhador foram cerca de 1,5%/ano. Como haverá no futuro maior

abundância de bens e serviços, quem antecipa o consumo está disponível para devolver uma

quantidade maior de bens e serviços. Este princípio justifica uma tendência secular positiva

para taxa de juro real. No entanto, este princípio faz com que em períodos em que se prevê

uma diminuição do produto, a taxa de juro real seja negativa (e.g., quando há períodos de

crise de que uma guerra é um caso particular).

iii) Compensação por potenciais perdas (risco). A taxa de juro também compensa

não existir conhecimento perfeito sobre o que vai acontecer no futuro. Então, o agente

económico tem que acautelar as contingências futuras adversas. Por exemplo, os automóveis

têm uma roda sobresselente porque existe a probabilidade de acontecer um furo num pneu.

Como ao longo do tempo o risco de furo tem diminuido, a roda sobresselente tem piorados

nas suas características.

a) Incumprimento do devedor. Quem empresta hoje tem a convicção de que o

devedor vai cumprir no futuro as obrigações assumidas. Isto é, que o dinheiro emprestado no

presente será devolvido no futuro acrescido dos juros negociados. No entanto, nem sempre

isso acontece (e.g., mesmo que o devedor seja sério, quando o seu principal activo é o

trabalho, se morrer ou ficar inválido não poderá cumprir as suas obrigações).

Em termos simples, podemos modelizar o risco como a probabilidade de o capital

mais os juros nunca serem devolvidos. Neste modelo “tudo ou nada” que é denominado por

lotaria, existe a probabilidade p de o devedor não cumprir o acordo (havendo perda total do

capital e dos juros) e a probabilidade complementar (1–p) de o cumprir na totalidade. Sendo

que se pretende uma taxa de juro sem risco de r, (e.g., taxa de juro da dívida pública alemã),

teremos que emprestar o capital V0 à taxa de juro i de forma a recebermos, em média (em

termos esperados), a quantidade Vf:

Como o valor recebido é, em média, zero vezes a probabilidade de perda total, 0.p,

mais o capital, V0, com juros contratados, taxa i, vezes a probabilidade de cumprimento total,

Vi*(1+i)*(1–p). Desta forma, temos a seguinte expressão:

18 P. C. C. Vieira

Vf = 0*p+V0*(1-i)*(1-p)

A taxa i tem que ser maior que a soma da taxa de inflação mais a taxa de juro real

para, assim, compensar em termos estatísticos o risco de o contrato não ser cumprido. Assim,

a taxa de juro sem risco, r, terá que ser acrescido de uma componente de forma a que o capital

recebido Vf seja, em média, igual ao que receberíamos sem risco. No caso da lotaria em que o

risco de incumprimento total é p teremos:

Vf = 0*p+V0*(1-i)*(1-p) (1+i) = (1+r) / (1-p) i = (1+r) / (1-p) - 1

Por exemplo, se pretendermos uma taxa de juro nominal sem risco de 2,0%/ano e

houver uma probabilidade de 2,5%/ano de o dinheiro e juros não serem devolvidos no fim do

prazo, a taxa de juro exigida no contrato para cobrir este risco terá que ser de 4,615%/ano.

i = (1+r) / (1-p) – 1 = (1+ 2,0%)/(1-2,5%)-1 = 4,615%

Em termos correntes falaríamos de um Spread de 2,615 pontos percentuais, pp,

relativamente à taxa de juro sem risco.

Vejamos outro exemplo. Um indivíduo empresta 1€ e, decorrido um mês, recebe uma

determinada soma de dinheiro que antecipa só ser paga se uma carta retirada do baralho for

um Rei. Qual a taxa de juro do contrato que faz com que o aforrador receba, em média, o euro

que emrpestou?

Como a probabilidade de não sair esse tipo de carta é 12/13 = 92,31%, a taxa de juro

acordada resolve 1€ = 0*92,31 + A*(1+R)*(1-92,31%) R = 1/(1-92,31%)-1 = 1200%/mês

(i.e., um contrato “equilibrado” terá que garantir que, em caso de sucesso, o aforrador recebe

1€ + 12€ = 13€).

b) Erro na previsão da inflação. Quando num contrato é prevista uma taxa de juro

nominal, apesar de apenas a componente real ter relevância económica, ao existir erro na

previsão da taxa de inflação então, existe o risco de a taxa de juro real ser diferente da

antecipada. Por exemplo, se a taxa nominal é de 10,00%/ano, para uma inflação antecipada de

5,00%/ano, a taxa de juro real será de (1+10,00%)/(1+5,00%) – 1 = 4,76%/ano. No entanto,

se no futuro se verificar que a inflação efectiva foi de 7,00%/ano, a taxa de juro real virá a

posteriori = (1+10%)/(1+7%) – 1 = 2,80%/ano, menor que o valor previsto na data de

assinatura do contrato o que prejudica o aforrador (e beneficia o devedor). Se, pelo contrário,

a taxa de inflação for menor, quem fica prejudicado é o devedor (e o aforrador é beneficiado).

Este risco tem um efeito negativo na economia (“Barro, 1995, estimates that a 10 percentage

point rise in inflation will reduce the growth rate of real per capita GDP by 0,2–0,3 percentage

MFIG 19

points per year, leading to output being lowered by between 4% to 7% after 30 years”, Issing,

2000, “Why price stability?”, pp.84).

Para melhorar a previsibilidade da taxa de inflação, os bancos centrais anunciam uma

meta para a inflação de longo prazo e, utilizando instrumentos de política monetária,

procuram fazer com que a inflação seja o mais estável possível em torno dessa meta que, na

generalidade das zonaas monetárias, é na ordem dos 2,00%/ano.

Uma forma de ultrapassar o risco de previsão da taxa de inflação é a taxa de juro

contratada ser variável. Por exemplo, contrata-se a taxa de juro real (mais a taxa de risco) e

deixa-se para o fim do contrato a determinação da “correcção monetária” que será feita a

posteriori.

Taxa de referência EURIBOR.

Como as condições de mercado podem obrigar a alterações na taxa de juro real, outra

modalidade é usar uma taxa de juro variável em função de um índice que traduz a taxa de juro

de mercado, índice esse que, no caso português, é a EURIBOR média do mês anterior mais

um Spread que traduz a taxa de risco do cliente (normalmente indicada em pontos percentuais

acima da EURIBOR).

EURIBOR é uma sigla (Euro Interbank Offered Rate) que representa a taxa de juro a

que os bancos sem risco (first class credit standing) emprestam euros entre si (operações

também denominadas por “cedência de liquidez”). A informação é recolhida (pelas 10h45)

por um painel de 44 bancos representativos do mercado do Euro sendo a Caixa Geral de

Depósitos membro desse painel. Apesar de o prazo dos empréstimos interbancários ser de 1, 2

ou 3 semanas, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ou 12 meses, a EURIBOR é uma taxa anualizada

(i.e., x% ao ano), havendo uma para cada prazo. Os bancos são livres de fazer contratos para

outros prazos que não serão usados no cálculo da EURIBOR.

Ver http://www.euribor.org/euribor-org/euribor-rates.html.

A Euribor a 6 meses é a mais usada nos contratos de crédito à habitação. Até meados

de 2008, data do início visivel da Crise do Subprime, a EURIBOR 6M oscilava em torno dos

3,5%/ano, no intervalo 2,0%/ano e 5,0% mas, desde então, caiu para quase zero, evolução que

apresento na Fig 1.7 (EURIBOR média diária para o prazo de 6 meses, entre 1 de Janeiro de

2000 e 30 de Julho de 2015, média mensal a azul e média móvel exponencial de 24 meses a

castanho).

20 P. C. C. Vieira

0%

1%

2%

3%

4%

5%

2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016

EURIBOR a 6 meses - média mensal

Média móvel

Fig. 1.7 – Evolução da EURIBOR a 6 meses entre Jan2000 e Jun2015 (www.euribor-rats.eu)

Como a EURIBOR quantifica a taxa de juro de empréstimos entre instituições sem

risco, esta taxa apenas incorpora a taxa de inflação prevista pelos agentes económicos para os

próximos 6 meses (no caso da EURIBOR 6M) e a taxa de juro real de mercado para o mesmo

prazo, razão pela qual nos contratos indexados à EURIBOR com agentes económicos com

risco é acrescentada a esta taxa de referencia uma parcela para cobertura do risco denominada

por Spread, e.g., 1,25 pontos percentuais. Para valores pequenos de Spread temos os pontos

base como partes por 10000, e.g., dizer que o Spread é 75 pontos base é equivalente a dizer

que é 0,75 pontos percentuais.

Taxa de referência LIBOR.

ICE LIBOR é uma sigla (Intercontinental Exchange London Interbank Offered Rate)

que representa uma taxa de juro de referência em 5 moedas (USD - U.S. dollar; EUR – Euro;

GBP - pound sterling, JPY - Japanese yen e CHF - Swiss franc) para 7 prazos (overnight, uma

semana e 1, 2, 3, 6 e 12 meses). Assim são diariamente calculadas 35 taxas de juro. Tem por

base apenas os grandes bancos internacionais sendo, por isso, um painel muito mais pequeno

que o usado no cálculo da EURIBOR (o painel tem apenas 20 bancos sendo que nem todos

são elegíveis para entrar nos cálculos da taxa de juro de todas as moedas, ver painel).

Se, por exemplo, uma empresa faz uma entrega pela qual recebe 1 milhão de yens

daqui a 3 anos. Então, para anular o risco cambial, a empresa pede agora 900 mil yens pelos

quais vai pagar a LIBOR 3M + 2 pp (em yens) para comprar as materias primas e pagar os

salários (em Euros) necessários para executar a encomenda.

MFIG 21

Taxa de desconto do Banco Central Europeu.

A quantidade de moeda em circulação e a sua taxa anual de aumento são decisões

política que afectam o nível geral de peços e a sua taxa de variação, respectivamente. Quando

aumenta a quantidade de moeda em circulação não existe nenhum efeito positivo na economia

mas apenas um aumento dos preços, i.e., ocorre inflação. É a superneutralidade da moeda.

Teoria Quantitativa da Moeda.

Referente a um ano, a quantidade de bens e serviços produzidos, Y, vezes o preço, P,

(i.e., o produto nominal Y.P) é igual à quantidade de moeda em circulação, M, vezes a

velocidade média de circulação da moeda, V, (i.e., em quantas transacções uma nota

intermedeia):

Y*P = M*V

Na Zona Euro, em Junho de 2015, a quantidade de notas em circulação é de 1017 mil

milhões € (cerca de 10% do PIB) a que, em termos de meios de pagamento, se somam 5340

mil milhões € em depósitos à ordem. Desta forma, na Zona Euro existe um total de 6357 mil

milhões € em meios de pagamento (cerca de 67% do PIB), ECB.

Resulta directamente da teoria quantitativa da moeda que a taxa de inflação é igual à

taxa de crescimento da quantidade de moeda, M/M, mais a taxa de crescimento da

velocidade de circulação, V/V, menos a taxa de crescimento do produto real, Y/Y:

ΔPP

= ΔMM

+ ΔVV

− ΔYY

Esta relação obtém-se diferenciando e dividindo por Y.P = M.V:

Δ (Y . P)=Δ(M .V )⇔ ΔY .P+ΔP .Y=ΔM .V +M . ΔV ⇔ ΔY . P+ΔP .YP . Y

= ΔM .V +M . ΔVM .V

ΔY . PP .Y

+ ΔP . YP . Y

= ΔM .VM .V

+M . ΔVM . V

⇔ ΔYY

+ ΔPP

= ΔMM

+ ΔVV

⇔ ΔPP

=ΔMM

+ ΔVV

−ΔYY

No longo prazo, a velocidade de circulação da moeda é, a médio/longo prazo, estável.

Sendo a política do BCE uma taxa de inflação de 1,95%/ano, sendo a taxa de crescimento do

PIB de 2,40% por ano, então, a quantidade de moeda em circulação terá que aumentar de

forma definitiva =(1+1,95%)*(1+2,40%)-1 = 4,40%/ano.

Como a moeda emitida tem um custo de produção que é relativamente pequeno em

comparação com o valor facial das notas, o banco central tem lucro que se denomina por

direito de senhoriagem que é entregue ao Estado na forma de dividendos.

22 P. C. C. Vieira

Apresento na Fig. 1.8 o trajecto da taxa de inflação portuguesa no processo de

ajustamento de um período de inflação elevada (a taxa média de 22,1%/ano da década 1974-

1984) para o objectivo de 2%/ano da Zona Euro. Na década 1985-1995 (governação do Prof.

Cavaco Silva), a trajectória de desinflação induz a ideia de que o objectivo traçado foi a taxa

de inflação diminuir, em média, a uma proporção de 20% por ano (linha a castanho).

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1960 1970 1980 1990 2000 2010

Fig. 1.8 – Taxa de inflação portuguesa, 1960-2015 (homóloga mensal com alisamento

exponencial de 12 meses, dados: INE, a linha a castanho diminui 20%/ano)

Depois de um período de taxa de inflação elevada os agentes económicos não

acreditam que o Banco Central, BC, tenha força política suficiente para garantir a anunciada

diminuição da taxa de inflação (os trabalhadores continuam a exigir subidas periódicas de

salários) pelo que, o BC terá que, parcialmente, acomodar a taxa de inflação do ano anterior

para neutralizar os aumentos nominais dos salários. A não acomodação levará a um aumento

incomportável do salário real e a uma queda abrupta de liquidez na economia o que terá

efeitos negativos no emprego e no produto. Outro problema são os contratos com taxa de juro

fixa (elevada) que, quando a inflação diminui, ficam desfavoráveis para os devedores.

Quando ocorrem mudanças da denominação da moeda a diminuição da taxa de

inflação pode ser mais rápida como, e.g., no Brasil que passou de 29,3%/mês em 1994 para

1,2%/mês em 1996 mantendo-se desde então inferior a 0.5%/mês (dados do Banco Mundial).

No curto prazo, a velocidade de circulação da moeda oscila de forma significativa o

que torna insuficiente usar a tendência de longo prazo para manter a taxa de inflação próxima

da meta. Então, no curto prazo, o Banco Central tem que usar intrumentos de cedência e

absorção de liquidez mais rápidos e provisórios que a emissão defenitiva de moeda. Um

MFIG 23

instrumento de política é o banco central da zona monetária (por exemplo, o BCE para a Zona

Euro) pode absorver liquidez (i.e., aceitar depósitos) ou ceder liquidez (i.e., emprestar

dinheiro) aos bancos comerciais que, como intermediários, a transmitem a toda a economia.

Para desincentivar os bancos de recorrer ao BCE como fonte de financiamento de longo prazo

(e não por ser um spread para cobrir o risco), o BCE tem uma janela de desconto com um

spread de 1 ponto percentual (podendo ser ligeiramente menor): se, por exemplo, o BCE fixar

a taxa de juro (que denomina como taxa de desconto) em 3,00%/ano, então aceita depósitos à

taxa de 2,50%/ano e empresta dinheiro à taxa de 3,50%/ano garantido por “activos bons” (os

activos usados como colaterais terão que ter pelo menos A de rating). Além disso, os bancos

não podem usar sistematicamente o BCE para a obtenção de liquidez porque, num sistema

LIFO (last in, first out) de contabilização dos créditos, ao fim de um determinado prazo, a

taxa de juro aumenta. Somando estas duas razões (a necessidade de dar garantias boas e a taxa

de juro ser crescente com o prazo), a taxa de juro do BC é normalmente inferior à EURIBOR

não sendo usada como indexador do mercado de crédito.

Em vez de mudar a taxa de juro e esperar que os bancos aceitem ou cedam liquidez, o BC

pode ainda fazer operações de mercado aberto (open market) em que, para aumentar a

liquidez da economia, compra de obrigações (com rating superior a A) “vendendo” euros e,

para diminuir a liquidez, vende obrigações “comprando” euros.

Agência N.º de classes Melhor classe Pior classeFitch Ratings 9 AAA DMoody's 21 Aaa CStandard & Poor's 10 AAA D

Tabela 1.1 – Notações de rating para obrigações de longo prazo

Resumindo

A taxa de juro nominal, r, resulta da composição de três parcelas:

A taxa de juro real, R,

A taxa de inflação, , e

A taxa de incumprimento, p.

r = (1 + R)*(1 + )/(1 - p) -1

Por exemplo, para uma taxa de juro real de 2,00%/ano, uma taxa de inflação prevista

de 1,60%/ano e um risco de incumprimento previsto de 3,00%/ano, teremos no contrato uma

taxa de juro nominal de r =1,02*1,016/0,97-1 = 6,837%/ano. A taxa de juro sem risco seria de

24 P. C. C. Vieira

r = 1,02*1,016-1 = 3,63%/ano, e o spread para cobertura do risco seria de = 6,84% - 3,63% =

3,21 pontos percentuais.

Para valores de r, R, e p pequenos (i.e., próximos de zero), é aceitável aproximar a

taxa de juro nominal pela soma das parcelas (a taxa de juro real mais a taxa de inflação mais a

taxa de incumprimento), r = R + + p. No exemplo, teríamos r = 2,00%+1,60%+3,00% =

6,60%/ano, ligeiramente menor que o “verdadeiro valor” de 6,84%/ano.

Ex.1.2. Determine a taxa de juro a cobrar quando a taxa de juro real pretendida é de

1,80%/ano, a taxa de inflação prevista é de 2,80%/ano, e a probabilidade de incumprimento

prevista é de 3,50%/ano.

R. Seria aproximadamente = 1,80% + 2,80% + 3,50% = 8,100%/ano e, em temos

exactos, = (1 + 1,80%) * (1 + 2,80%) / (1 - 3.50%) – 1 = 8,446%/ano.

Quando somamos taxas de juro, falamos em termos de pontos percentuais. Neste

exemplo, a taxa de juro real é 1,800 por cento ao ano a que se acrescentam 2,850 pontos

percentuais para corrigir a inflação e um Spread de 3,796 pontos percentuais para compensar

o risco de perda.

Ex.1.3. Uma determinada instituição de crédito usa a técnica de Credit Scoring na

determinar do spread da taxa de juro do crédito bancário relativamente à EURIBOR 6M.

Somando o efeito das três variáveis mais relevantes (ver tabela abaixo), se o score ≤ 80, o

spread será de 0,75 p.p. (i.e., pontos percentuais), se 80 < score ≤ 120, o spread será de 1,75

p.p. enquanto que se score > 130, o banco não concede crédito. Determine o spread para um

casal que ganha 2000€/mês, tem um património de 100M€, um tem 26 anos e outro 30 anos, e

pretende pedir 175M€ para comprar uma casa avaliada em 250M€ (que custa 225M€). No

cálculo do risco assume-se uma prestação mensal de 6,00€ por cada mil€ de empréstimo.

Variável Score

PJA: Proporção dos juros e amortizações no rendimento mensal p = 100PJA

PDP: Proporção das dívidas no património p = 25PDP

IM: Idade média do casal p = IM

R. Como o Score = 100*6*175/2000 + 25*(175/(50 + 250)) + 28 = 95,1 está no intervalo ]80,

130], o Spread será de 1,75p.p.

MFIG 25

A personalização das condições do crédito (usando um spread diferente para cada

cliente em função do seu scoring) é um instrumento de gestão de risco muito utilizada nos

contratos de crédito sendo calculado com base na opinião de peritos e históricos de clientes

passados. Partindo de milhares de históricos, as instituições de crédito conseguem relacionar

as variáveis socio-económicas dos clientes com a probabilidade de virem a incumprir.

Também é possível calcular quanto será, em caso de incumprimento, a perda média para a

instituição de crédito. Como estes históricos são importantes na gestão do risco (no cálculo

dos spreads), as instituições de crédito mantêm-na confidencial mesmo em termos agregados.

1.2 Capitalização As taxas de variação (de que a taxa de juro é um exemplo) são referidas a uma unidade

de tempo, normalmente um ano, por exemplo, uma taxa de juro de 5,00%/ano ou uma taxa de

crescimento do PIB de 1,60%/ano. Se a duração do contrato for de vários anos mas os juros

forem pagos no final de cada ano, como estamos sempre a voltar à situação inicial, não há

qualquer problema algébrico. Esta é a situação dita normal.

Por exemplo, num crédito de 150000€ com uma taxa de juro de 2,657%/ano, no final

de cada ano, o devedor terá que pagar =150000€ * 2,657% = 3985,50€ de juros.

Se os juros são pagos apenas no fim do contrato, no fim de cada ano o devedor passará

a acrescer à sua dívida os juros que não são pagos, capitalizando-os. Neste caso, ao fim de

cada ano, acrescentam-se os juros ao capital em dívida. Estamos em presença da situação

dita capitalizada.

No cálculo da capitalização teremos que considerar duas situações, a capitalização simples e a

capitalização composta.

i) Capitalização simples

Apesar de os juros irem ficando em dívida, não se consideram explicitamente os juros

sobre os juros vencidos no fim de cada ano e não pagos, sendo, portanto, uma simplificação

que terá de ser tida em conta aquando da negociação da taxa de juro. Em termos algébricos é

semelhante à situação dita normal (em que os juros são pagos no fim de cada ano) mas em

que vamos somando os juros até ao pagamento final. Apesar de ser uma aproximação por não

considerar explicitamente os juros dos juros, faz sentido a sua utilização por ser simples de

compreender e calcular para pessoas com baixa literacia financeira e, para taxas de juro e

26 P. C. C. Vieira

prazos pequenos, faz uma diferença diminuta para a correcta capitalização em que os juros em

dívida vencem juros.

Sendo que é acordado um empréstimo de V0 euros durante n períodos a uma taxa de

juro r (por cento) por cada período, com capitalização simples apenas no fim do tempo

contratado é que se calculam os juros multiplicando o número de anos pela taxa de juro anual:

j = n*r. No final do prazo a dívida será, V0*(1 + n*r). Podemos verificar no quadro seguinte

que o “1” na expressão se refere ao capital inicial.

Ano Capital inicial Juros do ano Capital final1 V0 +V0*r =V0 + V0*r = V0*(1 + r)2 V0*(1+r) +V0*r =V0*(1+r) + V0*r= V0*(1 + 2*r)3 V0*(1 + 2*r) +V0*r =V0*(1 + 2*r)+ V0*r = V0*(1 + 3*r)... ... ... ...N V0*(1+(n–1)*r) +V0*r =V*(1 + n*r)

Tabela 1.2. – Capitalização dita simples

Ex.1.4. Foi acordado um empréstimo de 15 mil € a 3 anos à taxa nominal fixa de

2,50%/ano e que os juros seriam pagos no fim do prazo acordado, capitalizados de forma

simples. Determine qual a quantia total a pagar no fim do contrato.

R. Serão pagos =15000 * (1 + 3 * 2,50%) = 16125€.

Ex.1.5. Foi acordado um empréstimo de 15 mil €, a 3 anos à taxa média EURIBOR a

6 meses acrescida de um spread de 2 pontos percentuais e que os juros seriam pagos no fim

do prazo acordado, capitalizados de forma simples. Sendo que durante a vigência do contrato

a média da EURIBOR foi 0,754%/ano, 0,617%/ano e 0,465%/ano, respectivamente,

determine qual a quantia total a pagar no fim do contrato.

R. Serão pagos =15000*(1 + 2,754% + 2,617% + 2,465%) = 16175,40€.

Ex.1.6. Foi acordado um empréstimo de 25000€ a 3 meses à taxa de 3,760%/ano,

capitalização simples, determine qual a quantia a pagar no fim do contrato.

R. Os juros serão =25000 * (1+3,760%*0,25) = 25235,00€.

ii) Capitalização composta

Esta forma inclui os juros dos juros capitalizados (o que é denominado por

anatocismo, wiki). Sendo que o contrato prevê que os juros apenas são pagos no final do

MFIG 27

período do contrato, então o cálculo correcto dos juros deve incluir os juros dos juros que

entretanto passaram a estar em dívida (e que passaram a ser capital). Se é acordado um

empréstimo de V0 euros que será devolvido ao fim de n períodos acrescido de um juro à taxa

de r (por cento) por cada ano, então o capital em dívida aumenta a cada ano. Para o caso da

taxa de juro ser igual em todos os anos (taxa de juro constante), teremos:

Ano Capital inicial Juros do ano Capital final Taxa de juroacumulada

1 V + V*r = V*(1 + r) (1+ r) – 12 V*(1 + r) + V*(1 + r)*r = V*(1 + r)*(1 + r) (1 + r)^2 – 13 V*(1 + r)^2 + V*(1 + r)^2*r = V*(1 + r)*(1 + r) *(1 + r) (1 + r)^3 – 1… … … … …n V*(1 + r)^(n-1) = V*(1 + r)^n (1 + r)^n – 1

Tabela 1.3 – Capitalização composta com taxa de juro anual constante

Ex.1.7. Foi acordado um empréstimo de 15 mil €, a 3 anos, à taxa nominal fixa de

2,50%/ano e que os juros seriam pagos no fim do prazo acordado, capitalizados de forma

composta. Determine qual a quantia a pagar no fim do contrato.

R. Serão pagos =15000 * (1 + 2,50%)^3 = 16153,36€ (que compara com 16175,40€ da

capitalização simples do Ex. 1.5).

Para resultar da capitalização simples o mesmo valor fical que com a capitalização composta,

a taxa de juro do contrato teria que ser = (16153,36/15000 -1)/3 = 2,563%/ano.

Ex.1.8. Calcule o total a pagar num empréstimo a 5 anos em que o capital emprestado

é de 25000€, a 5,0%/ano, juros a pagar no fim do período com capitalização composta.

i) Determine a taxa de juro dos 5 anos e ii) determine qual teria que ser a taxa de juro para que

da capitalização simples resultasse o mesmo valor final.

R. i) O valor final a pagar será de =25000*(1 + 5%)^5 = 31907,04€. A taxa de juro da

duração total do contrato será (1+5%)^5 -1 = 27,628%. ii) Com capitalização simples a taxa

de juro do contrato teria que ser =((1+5%)^5 -1)/5 = 5,526%/ano e não 5,000%/ano.

Ex.1.9. Calcule, com o auxílio do Excel o Ex.1.5 mas com capitalização simples e

composta e determine o valor dos juros dos juros.

R. Capitalização simples, B1: =15000*(1+0,02754+0,02617+0,02465)

Também posso escrever em percentagem, B1: =15000*(1+2,754%+2,617%+2,465%)

28 P. C. C. Vieira

Capitalização composta, B2: =15000*(1+0,02754)*(1+0,02617)*(1+0,02465) que também

posso escrever em percentagem, B2: =15000*(1+2,754%)*(1+2,617%)*(1+2,465%)

Calculo os juros de juros subtraindo o capital final da capitalização composta ao capital final

da capitalização simples fazendo uma expressão com referências, B3: =B2-B1.

Expressões no Excel com referências (fixas e livres).

No exemplo anterior utilizamos o Excel digitando as expressões praticamente como se

estivessemos a usar uma máquina de calcular. No entanto, vimos no cálculo do valor dos

juros dos juros que o uso de referências dentro de expressões (na expressão de B3) permite

usar valores que estão em células (cálculos intermédios ou variáveis e parâmetros do modelo).

O uso de referências e cálculos intermédios é importante porque permite identificar

mais facilmente eventuais erros de concepção do modelo. Assim, torna-se possível resolver

problemas mais complexos. Vamos agora resolver o mesmo Ex. 1.9 com “variáveis” e

explicitando os cálculos intermédios.

Cópia de expressões com referências.

Uma das principais ferramentas do Excel é poderem-se copiar expressões de umas células

para as outras. Neste caso, o Excel vai alterar as referências que estão “livres” mantendo as

que estão “amarradas”. Nas referencias “livres”, ao copiar para a direita, a letra das

referências aumenta e, ao copiar para baixo, o número da referência aumenta (e vice-versa).

Amarra-se uma referência com o simnolo $ quando rpecisamos evitar que isso aconteça.

Vejamos então o exemplo 1.9:

MFIG 29

R. C9: =B9+B$7/100; D9: = C9; E9: = 1+C9 e copio as 3 células em coluna para

baixo o que faz B9 passar a B10 e B11 mantendo-se B$7 e C9 passa para C10 e C11.

Em D12:= B6*(1+ D9+D10+D11)) e em E7: =B6*E9*E10*E11.

D13: =D12-$B6 e copio em linha para a direita o que faz D12 passar a E12 mantendo-se $B6.

Finalmente, faço E14: =E13-D13.

Se alterarmos o valor de uma das células “variável”, por exemplo, de B7 de 2,0 para 1,5, os

valores serão automaticamente recalculados (950,40€; 970,58€ e 20,18€, respectivamente).

Uso de uma conta corrente.

Na capitalização composta podemos fazer uma conta corrente onde capitalizamos os

juros no instante de vencimento. Esta forma de cálculo é importante de ser feita porque

permite que o cliente veja a evolução ao longo do tempo da sua situação financeira e, por se

basear em operações simples, é menos sensivel a erros de concepção. Em caso de dúvida,

deve ser ser realizada como “prova dos 9”.

Ex.1.10. Quando entrou na universidade, um estudante recebeu de umas tias um

empréstimo no valor de 20000€ remunerados à taxa de juro de 2,50%/ano a capitalizar de

forma composta. O capital e os juros serão pagos apenas ao fim de 10 anos. i) Determine

numa conta corrente o valor final a pagar. ii) Detremine a taxa de juro que deveria estar

escrita no contrato se a capitalização fosse simples. iii) Se tivesse sido acordado que, no fim

dos 10 anos, o estudante pagaria 25mil € qual seria a taxa de juro?

R. i) Em termos de expressões, escrevo B5: =B1; C5: =B5*B$2 e D5: =B5+C5.

Depois, para calcular a capitalização composta, no inicio do ano 2, o capital vai ser o capital

final do ano 1, faço então B6: =D5.

30 P. C. C. Vieira

Depois, passo às cópias das expressões. Copio B6 até B15, C5 até C14 e D5 até D14.

Escrevo ainda a expressão B16: =B15-B5.

ii) para calcular a taxa de juro que deveria estar escrita no contrato se a capitalização fosse

simples e pretendessemos receber a mesma quantidade de juros, escrevia B17: = B16/B5/A14.

iii) Agora, alteravamos o valor da célula B2 até obtermos em B15 o valor de 25000€

(tentativa e erro). Podemos também utilizar a ferramenta Data + Goal Seek (Atingir

Objectivo). Resulta uma taxa de juro de 2,257% que traduz a “verdadeira” taxa de juro

quando temos 2,50%/ano mas com capitalizaçõ simples.

Ex.1.11. Durante 5 anos, um indivíduo emprestou 1000€ no início de cada um ano e

recebeu 7500€ no fim do ano 10 (i.e., início do ano 11). Calcule, com o auxílio do Excel, qual

a taxa de juro implícita no contrato (capitalização composta).

R. Em termos capitalizados, teria que resolver a equação implícita seguinte:

{r: 1000*(1+r)10 + 1000*(1+r)9 + 1000*(1+r)8 + 1000*(1+r)7 + 1000*(1+r)6 – 7500 = 0}.

No Excel, existe a ferramenta Data + Goal Seek para o resolver este problema (na ferramenta,

o Excel amarra a referência das células mas sem significado).

Metia em A1 uma taxa de juro qualquer, A1: = 3%.

Fazia em B1: =1000*(1+A1)^10 + 1000*(1+A1)^9 + (1+A1)^8 + 1000*(1+A1)^7 +

1000*(1+A1)^6 – 7500 e, agora, aplicava a ferramenta Goal Seek fazendo a célula B1 (Set

cell B1) igual a zero (value to 0) pela alteração da célula A1 (By changing cell A1).

Podemos também fazer uma conta corrente.

Notar que as entregas são num determinado instante de tempo (inicio do ano) e os juros são

referentes a um período de tempo (o ano inteiro, entre o inicio do ano 1 e o início do ano 2).

Aparentemente, a construção deste modelo é mais exisgente em termos de trabalho que

excrever apenas a expressão numa célula mas, de facto, não é por duas razões. Primeiro, em

MFIG 31

termos de expressões só precisamos escrever C4: =B4+E3; D4: =C4*B$1; E4: =C4+D4 pois

depois copio estas expressões (todas de uma só vez) até à linha 14. Segundo, é muito mais

fácil identificar eventuais erros de concepção, o que poupa tempo de verificação.

Ex.1.12. Num plano reforma a 40 anos, um indivíduo deposita 250€ no início de cada

meses durante 480 meses. Para uma taxa de juro de 0,25%/mês (capitalização composta

mensal), determine numa conta corrente o saldo no final dos 40 anos.

R. Uso a ferramenta “Series” para preencher os meses de 1 até 480. Em termos de

expressões, escrevo B5: =B$2; C5: =B5+E4; D5: =C5*B$1 e E5: =C5+D5 e copio as

expressões até à linha 484. O resultado capitalizado está na célula E484 (que formatei).

Referência para uma taxa de juro de longo prazo.

Na Economia é necessário haver uma referência para uma taxa de juro constante de

longo prazo. Se no curto prazo podemos usar a EURIBOR e a LIBOR, no longo prazo

podemos usar a dívida pública de um país com baixo risco.

País \ Prazo (anos) 10 15 20 25 30 50Austria (Euros) 0,946% 1,043% 1,441% 1,504% 1,728%France (Euros) 0,976% 1,455% 1,656% 1,949% 2,112%Germany (Euros) 0,678% 1,056% 1,180% 1,393%Netherlands (Euros) 0,847% 1,256% 1,526%Portugal (Euros) 2,414% 2,879% 3,179%UK (Libras) 1,885% 2,242% 2,385% 2,466% 2,499% 2,376%US (Dólares) 2,164% 2,838%

Tabela 1.3. – Taxas de juro de longo prazo que podem ser usadas como referência

para contratos com taxa de juro fixa (10 de Agosto 2015, www.investing.com).

32 P. C. C. Vieira

Ex.1.13. A empresa Hidra-E vai construir uma barragem para a produção de

electricidade que, posteriormente, vai arrendar a uma distribuidora de energia. Determine o

valor da anualidade supondo que o investimento é de 200M€, que o arrendamento é uma

anualidade paga em euros no fim de cada ano e crescente à taxa de inflação prevista pelo BCE

(1,90%/ano), que o contrato tem a duração de 50 anos e que a taxa de juro é a taxa austriaca a

50 anos mais um spread de 2,0 pontos percentuais.

R. Vou construir uma conta corrente no Excel. Na área B1 até B4 estão os parâmetros

do modelo e na célula C8 está a prestação que, depois, vou determinar com a ferramenta

Data+ Goal Seek de forma a barragem fique totalmente amortizada ao fim dos 50 anos. Nas

células a verde estão as expressões, B5: =B2+B3; D8: =B8*B$5; E8: =B8-C8+D8; B9: =E8 e

C9: =C8*(1+B$4), que copio para baixo. Finalmente, uso a ferramenta Goal Seek.

Obtemos que a primeira anualidade é 6,208M€ e a última de 15,613M€.

Período de tempo fraccionado.

Na tabela 1.3, obtemos a expressão da taxa de juro capitalizada de forma composta

usando um número inteiro de anos. No entanto, como a função potência é uma função real de

variável real, em termos matemáticos, podemos extrapolar o conceito de capitalização de n

anos para apenas uma fracção do ano. Por exemplo, sendo a taxa de juro de 5,0%/ano, se o

empréstimo durar apenas 3 meses (ou os juros forem capitalizado de forma composta a cada 3

meses), a taxa de juro do contrato será =(1 + 5,0%)^0,25 – 1 = 1,227% por trimestre (supondo

que 3 meses correspondem a 0,25 anos). Neste exemplo de capitalização composta trimestral,

a taxa de juro trimestral capitalizada =(1 + 1,227%)^4 tem que dar =(1 + 5,0%).

MFIG 33

Ex.1.14. Num empréstimo de 100K€ foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa

média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital apenas no fim do prazo acordado.

Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 0,237%/ano, quanto foi pago de juros?

R. Como a EURIBOR é uma taxa de juro anual, termos que calcular a taxa de juro

mensal, =(1 + 0,237%)^(1/12) – 1 = 0,019729%. Agora, multiplicando por 100K€, obtemos

os juros do mês, 19,73€ de juros.

Ex.1.15. Num empréstimo a 5 anos, foi acordada uma taxa de juro total de 25% o que

corresponderia a uma taxa trimestral de 1,250% se a capitalização fosse simples. Supondo que

a capitalização é composta e que os juros são pagos trimestralmente, qual será a taxa de juro

trimestral?

R. Um trimestre será 1/20 do período total do contrato pelo que a taxa de juro

trimestral será dada por =(1 + 25,0%)^(1/20) – 1 = 1,122%/trimestre.

Valor Futuro.

Quando se empresta uma soma a uma determinada taxa de juro anual (e.g., 1000€ a

4,0%/ano), no futuro (e.g., daqui a 10 anos), essa soma estará maior (no exemplo, =1000*

(1+4%)^10 = 1480,24€). Mas o conceito de taxa de juro também pode ser aplicado ao

princípio micro-económico de que os agentes económicos preferem o presente ao futuro.

Assim, ter hoje 10 galinhas é melhor que ter as mesmas 10 galinhas daqui a 10 anos e, por

maioria de razão por causa da inflação, é preferivel ter hoje 100€ a ter 100€ daqui a 10 anos.

Desta forma, existe um valor que torna a pessoa indiferente entre ter uma soma no futuro e ter

uma soma no presente. Se, a pessoa estiver indiferente entre ter 1000€ agora ou 1480,24€

daqui a 10 anos esntão, a pessoa “capitaliza a utilidade” à taxa de 4,0%/ano.

Nos valores que entram na comparação de indiferença (1000€ e 1480,24€) os 1000€

denominam-se por Valor Presente ou Valor Actual e os 1480,24€ denominam-se por Valor

Futuro.

O Valor Futuro, para agentes económicos que preferem o presente (i.e., taxas de juro

positivas), será maior que o Valor Presente.

O conceito micro-económico de “indiferença” entre recursos escassos disponíveis em

instantes de tempo diferente é importante porque permite comparar (e somar) recursos

financeiros que são disponibilizados em instantes de tempo diferentes. Neste caso, apesar de

não podemos comparar os valores directamente, usando a taxa de juro é possível “levá-los”

todos para um mesmo instante de tempo e, emtão, compará-los e somá-los.

34 P. C. C. Vieira

Ex.1.16. Uma tias solteiras propõem-se a darem-vos agora 10000€ ou 12000€ quando,

daqui a 3 anos, acabarem a licenciatura e entrarem no mestrado. Supondo que estão

indiferentes (indecisos) entre estas duas somas, qual será a taxa de juro a que capitaliza a

vossa utilidade?

R. Como as duas somas serem equivalentes, o valor futuro dos actuais 10000€ daqui a

3 anos terá que ser igual aos 12000€ disponíveis no futuro pelo que temos que determinar a

taxa de juro {r: 10000*(1+r)^3 = 12000} (1+r)^3 = 12000/10000 r = 1,2^(1/3)-1 =

6,266%.

Ex.1.17. No sentido de comprar um apartamento daqui a 5 anos, um indivíduo fez

hoje um plano de poupança em que deposita no início de cada mês 1000€ durante 60 meses.

Supondo que a taxa de juro é de 4,0%/ano, determine o valor futuro daqui a 5 anos deste

plano de poupança (i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60 meses)?

R. Vou no Excel calcular o valor futuro (i.e.,

capitalizado) de cada entrega para, depois, poder somá-las

todas.

Inserir a série dos meses na coluna A escrevendo 1 em

A4, seleccionar A4 e usando o comando Fill (Série, Série nas

colunas, tipo linear, incremento 1, limite 60).

B1: = 4%; B2: =(1+B1)^(1/12)-1

C4: =B2*(1+B$2)^(61-A4) e copiar em coluna;

C62: = Soma(B4:B63)

Como exercício em casa, podem fazer uma conta corrente.

1.3 Desconto – Valor Actual ou Valor Presente

Nas expressões de cálculo da capitalização composta e do Valor Futuro (o Vf) de uma

soma de um capital inicial (o V0) é considerado que o número de períodos, n, é um número

real positivo.

Cf = C0*(1 + r)^n

Quando o n é positivo, temos uma distância temporal entre o instante zero, presente,

em que é feito o empréstimo/depósito e o instante futuro, f, em que é pago o reembolso do

capital mais os juros.

MFIG 35

Por exemplo, se emprestamos 100€ em 1-Jan-2015 a uma taxa de juro 5,0%/ano com

os juros e o capital pagos em 1-Jan-2035 (n igual a 20), com capitalização composta iremos

receber 100*1,05^20 = 265,33€. Se emprestamos 500€ em 1-Jan-2016 a uma taxa de juro

4,0%/ano, em 1-Abr-2016 (n igual a 0,25 anos) com capitalização composta iremos receber

500*1,04^0,25 = 504,93€.

No entanto, pelo menos em termos matemáticos, as expressões algébricas aceitam que

o número de períodos seja negativo. Neste ponto vou explicar qual o significado económico

de consideramos um período de tempo negativo.

Quando o n é negativo, representa a distância temporal entre o presente (em que é

pago o reembolso do capital mais os juros) e o instante passado em que foi feito o

empréstimo.

Cf = C0 * (1 + r) ^ n C0 = Cf / (1 + r) ^ n C0 = Cf * (1 + r) ^ -n.

Pro exemplo, recebi 100€ em 1-Jan-2015 como capital final de uma soma que tinha

emprestado em 1-Jan-1995. Se a taxa de juro foi de 5,0%/ano e a capitalização composta, o

montante que emprestei foi de =100*1,05^–20 = 37,69€ (ou 100 / 1,05^20 = 37,69€).

Quando tenho tempo negativo é normal denominar a taxa de juro (ou taxa de

capitalização) por taxa de desconto (por o resultado vir mais pequeno). Assim, levar uma

soma do presente para o futuro denomina-se por Capitalizar enquanto que trazer uma soma do

futuro para o presente denomina-se por descontar.

Ex.1.18. Numa linha de crédito LTRO (Long Term Refinancing Operation) do BCE

com taxa de juro de 1,0%/ano, um banco pediu um crédito a 3 anos para o qual usa como

garantia um conjunto de créditos imobiliários no valor de 100M€. Supondo que, por questões

de precaução, o BCE usa nos créditos imobiliários deste tipo uma taxa de desconto de

10%/ano, determine o valor máximo que o banco conseguirá obter de crédito.

R. Os 100M€ vão ter que ser descontados (aos presente) à taxa de 10%/ano. Assim,

teremos C0 = 100*(1+10%)^-3 = 75,131M€, pelo que o banco conseguirá, no máximo, um

crédito de 75,131M€ (um desconto de quase 25%). No final dos 3 anos, se o Banco no

entretanto, falir, os activos ficam para o BCE (poderão estar desvalorizados).

O n negativo também permite encontrar uma equivalência entre o capital que vou ter

disponível no futuro e o que teria que ter no tempo presente para ficar indiferente entre as

duas situações (sem necessidade de haver empréstimo da soma de dinheiro).

No meu emprego, vou receber daqui a dez anos 100€ de prémio de bom desempenho.

Supondo que eu desconto a utilizade do dinheiro à taxa de 6,0% ao ano, em termos de valor

36 P. C. C. Vieira

presente, esses 100€ são equivalente a ter agora =100€ * 1,06^-10 = 55,84€. Então, se alguém

me oferecer agora 56,00€ em troca dos prometidos 100€ daqui a 10 anos, eu preferiro os

56,00€ agora.

O Valor Actual (ou presente) tem a mesma potencialidade que o Valor Futuro quanto

à comparação de valores que estão disponíveis em instantes de tempo diferentes.

Ex.1.19. Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio

de 10K€. Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa de desconto é

de 5,0%/ano, i) qual será o valor descontado ao presente (i.e., o valor actual) dessa soma de

dinheiro? ii) Supondo que alguém oferece ao estudante 2,5K€ hoje em troca dos 10K€

futuros, qual é a taxa de juro implícita neste contrato?

R. i) Os 10K€ valem no presente V0 =10000*(1+5%)^-30 = 2313,77€.

ii) 2500€ * (1+r)^30 = 10000 r = (10000/2500)^(1/30) -1 = 4,729%/ano

Ex.1.20. Deram-me a escolher receber 1000€ agora ou receber 675€ daqui a 3 anos

mais 675€ daqui a 10 anos. Para uma taxa de desconto de 5,0%/ano, o que será preferível?

R. Para comparar as verbas tenho que as colocar no mesmo instante de tempo, e.g.,

calcular o valor actual das duas parcelas que é =675*(1+5%)^-3 + 675*(1+5%)^-10 =

997,48€. Como o valor actual dos recebimentos futuros (997,48€) é menor que o recebimento

presente (1000€), vou optar por receber os 1000€ agora.

Ex.1.21. Um sortudo ganhou numa lotaria um prémio e deram-lhe a escolher entre

receber 350K€ agora ou 1000€ no fim de cada mês dos próximos 50 anos. i) Determine a taxa

de juro implícita a opção das mensalidades. ii) Se o sortudo descontar a utilidade do dinheiro

à taxa de 3,0%/ ano, qual será a opção que irá preferir?

R. i) Vou descontar cada um dos 1000€ ao presente, somá-las e aplicar a ferramenta

atingir objectivo para determinar a taxa de juro implícita.

B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3; C6: =B6*(1+B$2)^-A6; C4: =SOMA(C6:C605)

MFIG 37

O resultado é 2,415%/ano. Se adoptasse outro instante de tempo qualquer e

descontasse/capitalizasse cada uma das parcelas a esse instante de tempo (incluindo a

capitalização/desconto dos 350K€), o resultado seria o mesmo.

ii) Escrevendo 3,0% na célula B1, obtemos 312979,92 € para valor descontados ao

presente das 600 mensalidades que, por ser menor que os 350K€, traduz que o sortudo

preferiria receber o prémio de 350K€ agora.

Em termos conceptuais, a capitalização e o desconto são economicamente idênticos. A

diferença é que na capitalização andamos para a frente no tempo enquanto que no desconto

andamos para trás no tempo. Assim, trata-se da mesma expressão da capitalização composta

mas explicitada em ordem ao capital inicial:

Vf=V 0×(1+r )n ⇔ Vi=V 0 /(1+r )n ⇔ V 0=Vf×(1+r )−n

Ex.1.22. Uma vítima do regíme nazi depositou em 1940 todo o seu dinheiro num

banco. Sendo que decorridos 68 anos esse banco foi obrigado a devolver o capital depositado

acrescido de juros à taxa de 3.5%/ano, o que somou 1M€, qual terá sido o capital depositado?

R. Descontamos 68 anos o capital final de 1M€, resulta como capital inicial a soma

C0 = 1E6*(1+3,5%)^-68 = 96395,38€

1.4 Rendas

Os conceitos que apresentei (taxa de juro, capitalização e desconto) são suficientes

para, com a ajuda do Excel, resolver todos os problemas colocados pela “economia

financeira”. No entanto, ainda é preciso apresentar alguma terminologia e expressões

algébricas que detalharão os conceitos já apreendidos e enriquecerão a liguagem. Conceito

importante é o conceito de Renda.

Quando temos uma dívida, podemos pagá-la pela entrega de prestações periódicas

correspondentes aos juros de cada fracção de tempo mais o capital inicial no fim do prazo.

Esta situação é dita normal. Por exemplo, empresto 10000€ a 3% ao ano, recebendo 300€ no

fim de cada ano mais 10000€ no fim do prazo contrato (mais 300€ de juros).

Segundo, considerei que os juros são capitalizados o que traduz que o capital mais os

juros são pagos apenas no final do prazo contrato, seja a capitalização simples ou composta

(com juros de juros). Por exemplo, empresto 10000€ a 3% ao ano e recebo ao fim de 5 anos

11592,74€ (capitalização composta).

38 P. C. C. Vieira

Também considerei, no Excel, casos mais complexos em que são pagas prestações ao

longo do tempo. Agora, vou considerar as Rendas em que uma soma de dinheiro é

transformada num fluxo de rendimento (e vice-versa). Por exemplo, entregando hoje 10000€,

a pessoa vai receber uma mensalidade de 100€/mês no fim de cada um dos próximos 120

meses.

Na Renda cada uma das prestações inclui juros da fracção de tempo considerado e

uma amortização de parte do capital de forma a que no final do prazo não sobre nenhum

capital para pagar.

As prestações da renda podem ser constantes ou variáveis no valor, regulares ou

irregulares no tempo, podem começar a ser pagas imediatamente ou haver diferimento de

alguns períodos, podem ter duração limitada ou serem perpétuas.

O tempo.

Em termos conceptuais, para compararmos activos temos que referir todos os valores

ao mesmo instante de tempo (descontando ou capitalizando), por exemplo, às 0h do dia 1 de

Janeiro de 2015. Depois, entre o instante de tempo onde o recurso está disponível e o instante

de tempo para o qual o queremos “levar” existe um período de tempo. Assim, a escala do

tempo é uma linha contínua em que cada ponto é um instante de tempo, e.g., às 12h00 do dia

15 de Janeiro de 2015, e em que um intervalo de tempo é o segmento que medeia dois

instantes de tempo, e.g., o semestre que medeia entre as 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2015 e

as 12h00 do dia 15 de Julho de 2015. O instante final de um período é sempre o instante

inicial do período seguinte (pagar no fim de 2010 é igual a pagar no início de 2011).

Fig. 1.9 – Contabilização do Tempo

Se a prestação é paga no início de cada período, denomina-se a renda por antecipada.

Se é paga no fim do período denomina-se a renda por postcipada. A existência de

classificação quando a prestação é paga no início ou no fim do período indicia que não sendo

nada dito, a prestação será paga no meio do período.

MFIG 39

Como poderemos ver nos exemplo seguintes, o cálculo das rendas não acrescenta nada

de importante aos conceitos apresentados nos pontos 1.2 e 1.3.

Ex.1.23. (Transformação de um stock num fluxo) Uma pessoa comprou um activo

pelo qual vai receber 500,00€ no fim de cada um dos próximos 300 meses. Sabendo que no

final do prazo o valor do activo será zero e que a taxa de juro de mercado para activos

identicos é de 2,50%/ano, determine qual deverá ter sido o preço de compra do activo (rever,

o Ex. 1.21 do qual usei a mesma folha de cálculo que adaptei para apenas 300 mensalidades).

R. Descontando cada uma das 300 prestações futuras ao instante presente, resulta que

o preço deverá ter sido de 111807,29€.

B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3; C6: =B6*(1+B$2)^-A6 e copio B6 e C6 até à linha 305.

C4: =SUM(C6:C305)

G6: =B$3; H6: =F6*B$2; I6: =F6+G6+H6; F7: =I6 e copio até à linha 305.

I4: =I305*(1+$B$2)^-300

Ex.1.24. (Transformação de um fluxo num stock) No sentido de no futuro comprar um

barco, uma pessoa entrega no inicio de cada mês 300€ durante 60 meses. Supondo uma taxa

de juro de 2,0%/ano, utilize o Excel para calcular quanto a pessoa terá na conta ao fim dos 60

meses.

R. Vou referir todos os recebimentos ao

instante temporal zero (início do período 1). Por

exemplo, a prestação do 3º mês, por ser antecipada,

precisa ser descontada 2 meses.

B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B5: =B$3;

C5: =B4*(1+B$2)^-((A4-1)) e copiava até C64;

C65: =SUM(C5:C64); C66: = C65*(1+B1)^5.

O aforrador terá 20427,01€ na conta ao fim de 60 meses.

40 P. C. C. Vieira

Ex.1.25. (Transformação de um fluxo noutro fluxo) Parte do salário dos trabalhadores

é entregue à Segurança Social para que, no futuro, a pessoa possa receber uma pensão.

Supondo um salário de 1000€/mês, que 20% são descontados para o sistema de pensões, que

a pessoa trabalha entre os 25 anos (inicio) e os 65 anos (durante 40 anos), que a taxa de juro é

1,0%/ano e que a pessoa está 20 anos reformada, determine qual será a percentagem do

salário que o trabalhador vai receber de pensão (valor de substituição).

R. Os meses vão de 300 até 1020 em que, supondo 1000€, nos primeiros 480 meses

desconta 200€/mês e nos restantes 240 meses recebe (valor menos) a pensão que coloco em

C3 (para depois utilizar a ferramenta Data + Goal Seek. Os descontos só dão para uma pensão

de 54% do salário (1,35% do salário por cada ano de descontos).

C2: = B1*B2; B3: = C3/B1; E2: = (1+E1)^(1/12)-1

B6: = C$2 e copio até à célula B485; B486: = C$3 e copio até à célula B725;

C726: =Sum(C6:C725)

i) Expressão algébrica da Renda perpétua.

Se a renda durar para todo sempre (i.e., recebem-se sempre prestações mas nunca mais

se recebe o capital) então, em qualquer período, a renda vale sempre o mesmo (pois

receberemos sempre o mesmo número de pagamentos futuros, infinito). Nesta renda, em

termos algébricos, estamos numa situação idêntica a um empréstimo em que, no fim de cada

período (i.e., postecipada), são pagos apenas os juros.

Como num emprestimo os juros pagos no fim do ano são dados por:

P = VA * r

Numa renda em que a anual é P e a taxa de juro anual r, teremos VA como valor actual

da obrigação (i.e., o valor actual da soma de todas as prestações):

VA = P / r

Em termos algébricos, podemos confirmar este resultado descontando as infinitas

prestações ao presente que é uma série geométrica de razão (1 + r):

MFIG 41

VA = P*(1+r)^-1+ P*(1+r)^-2 + ...

Apesar de a renda perpétua parecer não fazer sentido, podemos pensá-la como um

capital que paga uma prestação a cada intervalo de tempo e que o devedor tem a opção de,

quando o entender, devolver exactamente o capital inicial. Assim, a renda perpétua pode ser

usada como um intrumento flexível de financiamento das empresas.

No exemplo seguinte, usando um capital inicial de 40000€, uma mensalidade postecipada de

100€ e um pagamento final de 40000€ (uma taxa de juro implícita de 0,25%/mês), podemos

verificar que a prestação corresponde exactamente ao valor dos juros =400000*2,5% = 1000.

Reparar que no instante 120, é pago o capital mais a última prestação por as pretações serem

postecipadas.

Prestação antecipada.

Apesar de a renda ser perpétua (ter um número infinito de prestações), teremos que

somar mais uma prestação, a inicial. Assim, o valor actual da renda antecipada, Vant, fica

maior que o valor actual da renda postecipada, Vpost, exactamente no valor de uma prestação

o que é equivalente a capitalizar a renda perpétua postecipada um período:

Vant=P+Vpost=P+Pr= P×r+P

r=P

r×(1+r )=Vpost×(1+r )

Ex.1.26. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre, pagos no fim

do mês (renda postecipada). Supondo uma taxa de juro de 2,50%/ano, qual será o valor

presente do terreno? E se a prestação for antecipada?

R. Calculo a taxa de juro mensal, =(1+2,5%)^(1/12)-1 = 0,205984%/mês, e aplico essa

taxa na expressão da renda perpétua postecipada: VA = 50/0,205984% = 24273,77€. Se for

antecipada vale mais 50€: Vant = 50/0,205984%(1 + 0,205984%) = 24323,77€.

Ex.1.27. Um eucaliptal produz 12kg/m2 de madeira a cada 10 anos. Supondo o preço

da madeira é de 0,03€/kg e que a taxa de juro de mercado para investimentos deste tipo é

3,0%/ano (motivado pelo risco de incêndio), i) qual será o valor actual do eucaliptal? ii)

42 P. C. C. Vieira

Calcule o valor do terreno se a redução do risco de incêndio levar a uma diminuição da taxa

de juro para 1,5%/ano.

R. Calculo a taxa de juro referente a 10 anos (frequência de produção), =(1+3%)^10-1

= 34,392%, e aplico essa taxa na expressão da renda perpétua postecipada:

i) VA = (12*0,03)/34,392% = 1,05€/m2.

ii) VA = (12*0,03)/((1+1,5%)^10-1) = 2,24€/m2 ( o valor mais que duplica).

Prestação diferida.

Como a expressão da renda perpétua antecipada (quando a primeira prestação é paga

no instante zero) é dada por, VAant = P/r * (1+r), quando a primeira prestação é paga

decorridos n períodos de tempo desde o instante zero, teremos então que descontar a

expressão da renda perpétua antecipada o número de períodos de deferimento de que resulta a

expressão seguinte:

VAdef(n) = P/r * (1 + r) * (1 + r)^-n = P/r * (1 + r)^-(n-1)

A renda antecipada (n = 0), a paga no meio do primeiro período (n = 0,5) e a

postecipada (n = 1) são casos particulares desta expressão.

VAmeio = VAdef(0,5) = P/r * (1 + r)^-(0,5-1) = P/r * (1 + r)^0,5

Ex.1.28. Uma empresa procura financiar-se através da venda de rendas perpétuas que

pagam uma anualidade de 100€ e em que a primeira prestação é paga decorridos 10 anos da

realização do investimento. Para uma taxa de juro de 6,0%/ano, qual deverá ser o valor actual

da renda?

R. Se é decorridos 10 anos, temos uma renda antecipada no período 10, 100/6% * (1 +

6%), que temos que descontar 10 anos para o presente ficando:

V = 100/6% * (1 + 6%)^-9 = 986,50€.

ii) Expressão algébrica da Renda de duração limitada.

Com o conhecimento da expressão algébrica da renda perpétua podemos agora

determinar o valor de uma renda de duração limitada compondo duas rendas perpétuas, uma a

somar e outra, diferida, a subtrair os anos que faltam até infinito.

Por exemplo, obtenho uma renda postecipada com uma prestação anual de 100€,

limitada a 5 anos, sobtraindo à renda perpétua “Renda +” a renda perpétua diferida “Renda–”.

MFIG 43

Instante => 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Renda + 100€ 100€ 100€ 100€ 100€ 100€ 100€ 100€ 100€ ...Renda - -100€ -100€ -100€ -100€ ...Renda limitada 100€ 100€ 100€ 100€ 100€ 0€ 0€ 0€ 0€ ...

Para uma taxa de juro de 5%, teremos:

“Renda +” = 100/5% = 2000,00€

“Renda –” = 100/5% * (1+5%)^ - 5 = 1567,05€

Renda limitada =100/5% - 100/5% * (1+5%)^ - 5 = 100/5%*(1-(1+5%)^-5) =

= 2000,00€ - 1567,05€ = 432,95€

Em termos algébricos, para uma renda postecipada de duração de n períodos teremos

“V +” = P / r

“V –” = P / r (1 + r)^–n

V = “V +” - “V –” = P / r - P / r (1 + r)^–n = P / r *(1- (1 + r)^–n)

Sendo n o número de prestações, o valor actual da soma das n prestações será então

dado por:

VA = P / r *(1- (1 + r)^–n)

Ex.1.29. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês

(postecipado), até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa

de juro de 5,0%/ano, qual será o valor actual do terreno?

R. Taxa de juro mensal = (1+5%)^(1/12)–1 = 0,407%/mês

VA = 50/0,407% * (1 – 1,00407^–300) = 12278,58€ * 0,7047 = 8648,45€

Se a renda fosse perpétua, valeria 12278,58€.

Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada), teremos que somar a

prestação inicial e subtrair a prestação final que é equivalente a capitalizar um período, i.e.,

multiplicar por (1 + r):

V=P+ Pr

(1−(1+r )−(N−1) )=P (1+r )−(1+r )−( N−1)

r= P

r(1−(1+r )−N ) (1+r )

Assim, da mesma forma que na expressão da Renda Perpétua, a renda antecipada

aparece multiplicada por (1+r) mas a diferença já não é igual a uma prestação.

Ex.1.30. (Transformar um fluxo noutro fluxo) Suponha que o Figo, entre os 25 e os 35

anos, depositou 100K€ no início de cada mês (i.e., 120 prestações antecipadas). Para uma taxa

de juro de 3%/ano, i) qual o valor que terá na conta aos 35 anos? ii) Suponha que o Figo, com

44 P. C. C. Vieira

essa poupança, pretende receber uma reforma de prestações iguais entre os 35 anos e os 85

anos (600 prestações postecipadas e diferidas 10 anos), de quanto vai ser a prestação?

R. Vamos calcular o valor presente da renda e depois determinar o seu valor futuro

daqui a 10 anos (capitalizá-la). Sendo r = 1,03^(1/12) – 1 = 0,246627%/mês, vem:

VA = 100/0,246627%*(1-(1+0,246627%)^-120) *(1+0,246627%) = 10401,83K€

VF = VA * (1+r)^10 = 10401,83K * (1+3%)^10 = 13979,19K€

ii) Se fizermos a conta em relação ao instante zero, teremos uma renda defirida 10

anos:

10401,83 = P/0,246627%*(1-(1+0,246627%)^-600)*(1+3%)^-10

P = 10401,83*0,246627%/(1-(1+0,246627%)^-600)/(1+3%)^-10

P = 44,665K€

Se fizermos em relação ao instante “10 anos” (em que começa a pensão), obteremos

exactamente o mesmo resultado para a pensão:

10401,83*(1+3%)^10 = P/0,246627%*(1-(1+0,246627%)^-600)

13979,19 = P/0,246627%*(1-(1+0,246627%)^-600)

P = 13979,19*0,246627%/(1-(1+0,246627%)^-600)

P = 44,665K€

Ex.1.31. (Transformar fluxos noutro fluxo) Um aforrador deposita no início de cada

mês uma quantia numa conta que remunera a poupança à taxa de juro fixa de 2,0%/ano.

i) Suponha que já depositou 250€/mês durante 120 meses, quanto dinheiro tem

capitalizado na conta ao fim dos 120 meses?

ii) Fazendo mais 120 depósitos de 300€/mês quanto ficará capitalizado aos fim dos

240 meses?

iii) Para dividir o valor capitalizado numa renda antecipada com duração de 180 meses

a começar a receber depois dos 240 meses, qual a prestação mensal que irá receberá?

R. i) Calculo a taxa de juro mensal rm = (1+2%)^(1/12)-1 = 0,165158% e aplico-a à

expressão do valor actual da renda antecipada com a taxa fixa:

VA=Pr (1−(1+r )−N ) (1+r )

V0 = 250/0,165158%*(1-(1+0,165158%)^-120)*(1+0,165158%) = 27238,81

Para saber o saldo da conta, capitalizo este valor para o fim do prazo (120 meses ou 10 anos)

V120 = 27238,81 * (1+0,165158%)^120 = 33203,95€

ii) Aplico o mesmo raciocínio mais 120 meses e somo o capital que já tinha em t = 120 meses.

MFIG 45

V120 = 33203,95 + 300/0,165158%*(1-(1+0,165158%)^-120)*(1+0,165158%) = 65890,52€

V240 = V120 *(1+0,165158%)^120 = 65890,52 *(1+0,165158%)^120 = 80320,16

iib) Também podia somar uma renda de 250€/mês durante 240 meses mais uma renda de

50€/mês durante 120 meses, diferida 10 anos.

V240 = (250/0,165158%*(1-(1+0,165158%)^-240)*(1+0,165158%) + 50/0,165158%*(1-

(1+0,165158%)^-120)*(1+0,165158%)*(1+0,165158%)^-120)* (1+0,165158%)^240

iii) Vou fazer o cálculo da prestação no instante em que começa a reforma:

P/0,165158%*(1-(1+0,165158%)^-180)*(1+0,165158%) = 80320,16

P = 80320,16*0,165158%/(1-(1+0,165158%)^-180)/(1+0,165158%)

P = 515,35 €/mês

Ex.1.32. (Transformar fluxos num stock) Um agricultor deposita no fim de cada trimestre

uma média de 1000€ que varia por causa da sazonalidade. Assim, no 1T deposita 70%, no 2T

deposita 80%, no 3T deposita 100% e no 4T deposita 150% relativamente à média. Para uma

taxa de juro de 2,50%/ano capitalizada de forma composta e 30 anos de poupança, i)

determine a equivalência da soma final que o agricultor terá no banco em termos de dinheiro

do instante inicial, V0, e ii) quanto é a soma final, V30.

R. i) Vou começar por considerar 4 rendas anuais (cada trimestre é uma renda

independente) antecipadas para diferi-las trimestres inteiros.

V1T0 = 700/2,5%*(1-(1+2,5%)^-30)*(1+2,5%)*(1+2,5%)^-0,25 =14925,07€

V2T0 = 800/2,5%*(1-(1+2,5%)^-30)*(1+2,5%)*(1+2,5%)^-0,50 =16952,24€

V3T0 = 1000/2,5%*(1-(1+2,5%)^-30)*(1+2,5%)*(1+2,5%)^-0,75 =21059,90€

V4T0 = 1500/2,5%*(1-(1+2,5%)^-30)*(1+2,5%)*(1+2,5%)^-1 = 31395,44€

V0 = V1T + V2T + V3T + V4T =14925,07+ 16952,24+ 21059,90+ 31395,44= 84332,65€

ii) V30 = V0 * (1+2,5%) ^30 = 84332,65€* (1+2,5%) ^30 = 176893,43€

Obrigações com taxa de juro fixa

Uma obrigação é um instrumento financeiro que condensa uma entrega inicial (o

preços de aquisição) contra vários recebimentos futuros. A obrigação tem um valor nominal

(o par), um prazo (a maturidade), paga prestações (o cupão) e, atingindo a maturidade,

devolve o par (o valor de remissão). O preço da obrigação pode ser maior ou menor que o par

dependendo da taxa de juro de mercado, do risco particular da entidade emissora e do valor do

cupão.

Denomina-se por “imparidade” quando o valor da obrigação cai abaixo do par.

46 P. C. C. Vieira

A remissão da obrigação ocorre com o pagamento, normalmente do par, e pode

acontecer em data certa ou em data a sortear. Quando a data de remissão é sorteada, para

diminuir o risco da obrigação (i.e.m haver estabilidade da rentabilidade da obrigação) é

necessário que o cupão seja semelhante à taxa de juro de mercado corrigida do risco da

entidade emissora. As condições do sorteio são descritas no contrato, por exemplo, que são

emitidas 1 milhão de obrigações com cupão trimestral e que, no fim de cada trimestre, são

sorteadas 50 mil obrigações que serão remidas ao par no dia do pagamento do cupão. O

sorteio facilita à entidade emissora a amortização das obrigações em dívida sem a

complexidade de ter emissões com prazos de maturidade diferentes.

Apesar de no momento em que se faz a entrega inicial serem conhecidas todas as

características do contrato, o preço da obrigação altera-se no decurso do tempo. As principais

razões para a alteração do preço da obrigação são i) uma valorização por o tempo ir

decorrendo (equivalente à capitalização dos juros); ii) uma desvalorização pelos recebimentos

que aconteçam (no dia de pagamento do cupão); iii) (no caso da taxa contratada ser fixa) uma

valorização (ou desvalorização) por a taxa de juro de mercado para o remanescente do prazo

contratado diminuir (ou aumentar) e iv) uma valorização (ou desvalorização) pela diminuição

(ou aumento) do risco de incumprimento (i.e., falência) da entidade emitente das obrigações.

Notar que, contrariamente à generalidade dos depósitos a prazo em que o Banco

Comercial permite levantar o dinheiro antes do prazo contratado (com ou sem penalização),

nas obrigações não se pode obter do emissor o dinheiro antes da maturidade. No entanto,

existe a possibilidade de vender a obrigação a outra pessoa (mercado secundário de

obrigações) pelo preço que der.

Ex.1.33. Uma obrigação de valor nominal de 100€, com maturidade de 10 anos,

reembolsável ao par e com cupão de 5€ no fim de cada ano vai ser vendida em leilão.

i) Supondo um investidor que quer ser remunerado a uma taxa de juro de 7.5%/ano, determine

o preço máximo que o investidor está disponível para pagar pela obrigação.

ii) Passados 5 anos, qual será o valor da obrigação?

iii) Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em um ponto percentual, qual a

desvalorização da obrigação?

R. i) Vamos descontar os 100€ da remissão ao presente e somar-lhe o valor actual da

renda que o cupão representa V0 = 100*1,075^-10 + 5/7,5%*(1-(1+7,5%)^-10) = 82,84€.

MFIG 47

ii) Decorridos 5 anos, só faltam outros 5 anos para o recebimento pelo que a obrigação

terá menor número de cupões a receber mas os 100€ da remissão só serão descontados 5 anos

o que faz valorizar a obrigação: V5 = 100*1,075^-5 + 5/7,5%*(1- (1+7,5%)^-5) = 89,89€

iii) A taxa de juro passa a ser 7,5% + 1% = 8,5% pelo que o aumento da taxa de juro

de mercado induz ima desvaloriza instantânea da obrigação de 89,89€ para V5 = 100*1,075^-

5 + 5/7,5%*(1-(1+7,5%)^-5) = 86,21€, em termos relativos, = 86,21/ 89,89 - 1 = -4,09%

iii) TAEG implícita no contrato

TAEG: Taxa de juro anual efectiva global

Normalmente, nos contratos de compra a crédito (e.g., de electrodomésticos, carros e

férias) é acordado não tanto o preço do bem ou a taxa de juro mas qual o plano de pagamento

das prestações e de outros custos. No sentido de informar o cliente, o vendedor tem que

obrigatoriamente afixar, além do valor das prestações, o preço a pronto pagamento, o total

pago pelo cliente e ainda a taxa de juro efectiva implícita no contrato incluídas todas as

despesas que o comprador irá ter (prestações + comissões + taxas + etc.).

Poderá haver diferenças subtis entre pagamento a dinheiro, à vista e a pronto

pagamento. Pagamento a dinheiro (ou a contado) é em simultâneo com a transacção e em

moeda. Pagamento à vista poderá ir até 3 dias desde a data da transacção. A pronto

pagamento quer dizer que é pago de uma só vez (em oposição ao pagamento em prestações) e,

geralmente, é pago na hora mas pode haver um pequeno prazo, e.g., 10 dias (será a pronto

pagamento mas diferido) sendo que, no caso de se usar cheque, o deferimento é de 3 dias.

A taxa de juro efectiva opõe-se a taxa de juro nominal (não no sentido que já vimos

mas) no sentido de que não corresponde verdadeiramente à taxa de juro que efectivamente é

paga. A diferença prende-se com usar-se capitalização simples. Por exemplo, se pagamos

mensalmente 0,5%/mês de juros, em termos nominais (i.e., usando capitalização simples), a

taxa de juro será 0,5%/mês12meses = 6,0%/ano mas, em termos efectivos (i.e., usando

capitalização composta), será (1 + 0,5%)^12–1 = 6,17%/ano.

Ex.1.33. iv) Se o investidor adquiriu a obrigação a 75€, qual a taxa de juro efectiva do

meu negócio?

R. iv) Tenho uma equação implícita 100*(1 +r) ^-10 + 5/r*(1-(1+r)^-10) = 75€ o que

será fácil de resolver usando a ferramenta do Excel Data+Goal Seek: A1: = um valor

qualquer; A2: =100*(1+A1)^-10 + 5/A1*(1-(1+A1)^-10) - 75€ e faço a célula A2 igual a zero

pela alteração da célula A1 resultando 8,874%/ano.

48 P. C. C. Vieira

Ex.1.34. Uma obrigação soberana (i.e., emitida por um Estado) a 50 anos emitida em

2010 cujo par é 1000€ paga um cupão de 30€ no fim de cada ano e o par mais o cupão no fim

do prazo. Qual a taxa de juro da obrigação se for adquirida por 1010€?

R. Terei que resolver 1010 = 30/r*(1-(1+r)^-50)+1000*(1+r)^50 com a ferramenta

Data+Goal Seek do Excel fazemos A2: =30/A1*(1-(1+A1)^-50)+1000*(1+A1)^-50 - 1010

igual a 0 por alteração de A1 de que resulta r = 2,961%/ano.

Ex.1.35. Um televisor Tal-Tal tem o preço a pronto pagamento de 1190 Euros mas o

comprador pode comprar a crédito “pagando 119€ na entrega do bem mais 12 prestações

trimestrais de 100€”. i) Determine a TAEG deste contrato de crédito. ii) Se a taxa de juro de

mercado sem risco for de 2,0%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita no

contrato de crédito?

R. Resolvemos este problema no Excel.

Primeiro, construímos o modelo.

B2: = 1190-119; B3: 100 e copio até B14

C2: =B2*(1+E$2)^(-A2) e copio em coluna.

C15: =Soma(C2:C14)

Depois, com a ferramenta Data+ Goal Seek,

defino a célula C15 para o valor 0 alterando E2.

Resulta que a TAEG é de 7,374%/ano.

ii) A probabilidade implícita de incumprimento

resolve a diferença entre a taxa contratada, r, e a

taxa de juro sem risco, i:

(1 + r) = (1 + i) / (1 - risco) (1 - risco) = (1 + i) / (1 + r) risco = 1- (1 + i) / (1 + r)

E5: =1-(1+E4)/(1+E3) = 5,005%/ano

Ex.1.36. Um anúncio dizia “Telefone que lhe emprestamos 5000€ por apenas 150€

mensais (durante 60 meses, TAEG=29,28%/ano, encargos totais do crédito de 9000€)”.

Confirme a TAEG.

R. A norma das compras a crédito é que a prestação seja postecipada (paga no fim do

mês) pelo que teremos que resolver a expressão da renda postecipada no Excel usando a

ferramenta Data + Goal Seek:

MFIG 49

V= Pr (1−(1+r )−N )⇔5000=150

r (1−(1+r )−60 )⇒ r = 2,175%/mês r = 29,461%/ano

A1: 5%; A2: =150/A1*(1-(1+A1)^-60), fazer A2 igual a 5000 pela mudança de A1.

A TAEG é 29,461%/ano, ligeiramente superior ao anunciado.

1.5 Preços correntes e preços constantes

A fectação dos recursos escassos tem em atenção os preços relativos. Então, a inflação

(i.e., a subida generalizada dos preços e dos salários) não tem consequência significativa na

afectação dos recursos escassos, que apenas sofre alteração quando ocorrerem mudanças nos

preços relativos. Em termos de cálculo financeiro, interessará retirar a inflação (uma previsão)

dos preços e dos rendimentos para que a análise dos activos disponíveis em instantes de

tempo diferentes tenha em consideração apenas o seu poder aquisitivo real. Por exemplo,

sabermos que em 1960 uma determinada pessoa tinha activos no valor de mil contos (5000€)

não nos permite dizer até que ponto essa soma era importante.

Os preços dos bens ou serviços observados no dia a dia denominam-se por preços

corrente ou preços nominais e variam ao longo do tempo. Por exemplo, na Fig. 1,10 mostro

a evolução do preço da gasolina sem inflação (a preços de 2014) onde podemos ver que hoje

pagamos um preço semelhate ao preço de 1960 e inferior ao preço de 1980.

1,00 €

1,25 €

1,50 €

1,75 €

2,00 €

2,25 €

1960 1970 1980 1990 2000 2010

Fig. 1.10 Evolução do preço da gasolina sem chumbo a preços de 2014 (dados: Pordata).

Nível Geral de Preços.

Apesar de a evolução do preço de um bem ou serviço particular não ser representativo

da evolução do poder de compra do dinheiro, o Nivel Geral de Preços calculado como o

“preço médio” dos bens e serviços já pode ser utilizado com este fim. Então, uma vez

calculado o NGP, podemos calcular a taxa de inflação como a subida percentual do i´ndice de

50 P. C. C. Vieira

preços em cada período de tempo, normalmente um ano. O nível geral de preços obriga a

considerar um cabaz de bens que, por exemplo, no consumidor, refere-se ao cabaz médio de

bens e serviços que as família adquirem. O cabaz é obtido por inquéritos às famílias a

intervalos de aproximadamente 10 anos denominando-se o ano do inquérito por ano base e o

Índice de Preços fica escalado nesse ano base normalmente com o valor 100. Nas famílias o

preço médio denomina-se por Índice de Preços no Consumo, IPC. Apresento na figura 1.11

um exemplo ilustrativo (simulado) de construção no Excel de um IPC que segue a

metodologia de Laspeyres (i.e., cabaz fixo) em que o ano base é 2005.

Apesar de o índice de preços dever ser referido a um instante de tempo (porque os

preços referem-se a um isntante de tempo), por dificuldades de medida, é referido a um

intervalo de tempo, normalmente, um mês, e.g., Jan 2014, ou, em períodos passados ou em

paises com deficientes institutos de estatística, a um ano.

Fig. 1.11 – Exemplo da construção de um índice Laspeyres de preços

C10: =$B3*C3+$B4*C4+$B5*C5+$B6*C6+$B7*C7+$B8*C8+$B9*C9

C11: =C10/$C$10*100

Preços Constantes.

Quando retiramos ao preço corrente a subida média dos preços (i.e., a inflação)

obtemos o preço em termos reais do bem ou serviço em análise (ou o rendimento real) que

também se denomina por preço em preços constantes.

Para transformar preços correntes em preços constantes utilizamos o índice de preços

como deflator (andar para trás no tempo) ou inflacionador (andar para a frente no tempo) do

preço corrente.

MFIG 51

Em termos de notação, vou adoptar PTJ para referir um preço do ano J em preços

constantes do ano T. Como caso particular teremos PJJ como o preço corrente do ano J que

pode ser simplificado a PJ.

Se precisarmos transformar os preços correntes do período J, PJ.J, em preços reais

com base no ano T, PTJ, teremos que multiplicar o preço corrente pelo índice de preços do

período T, IPXT, e dividir pelo índice de preços do período J, IPXJ, (Adopto o anos base X

porque não interessa qual o ano base do IP já que vai “cortar”):

PT J=PJ J×IPX TIPX J

Podemos agora “cortar” termos na expressão para verificarmos que é a correcta. Esta técnica

visual deve ser sempre usada para verificar se o raciocínio está correcto.

Ex. 1.37. Um indivíduo tinha 5000€ em 1960 (a preços correntes de 1960). Sabendo

que o IP20141960 valia 1,83 (e IP20142014 = 100) determine quanto era essa soma em termos de

preços de 2014.

R. Vou multiplicar a soma pelo IP20142014, 100, e dividir pelo IP20141960:

Soma20141960 = Soma19601960 * IP20142014 / IP20141960

Soma20141960 =5000 * 100/1,83 = 273K€.

Em 1960 essa pessoa tinha 273 mil € (a preços constantes de 2014). Notar o tempo verbal

“tinha” pois, apesar de o preço ser constante de 2014, os 273 mil € a preços de 2014 estavam

disponível em 1960.

Ex.1.37. O preço de um frigorífico era 179,90€ em 2006 que se manteve em 2014.

Sabendo que o IP20142006 vale 89,50, qual foi a variação em termos reais do preço?

O preço termos reais, Preço20142006 = Preço20062006 * IP20142014 / IP20142006

Preço20142006 = 179,90 * 100 / 89,50 = 201,01€

Então, o preço desceu em termos reais: =179,90/201,01 -1 = -10,50%.

Ex.1.38. O salário mínimo em 1974 era de 16,46€/mês e em 2014 de 485,00€/mês.

Sabendo que o índice de preços no consumidor era IP20001974 = 4,793 e IP20002014 = 136,78,

compare, em termos reais, o poder aquisitivos do SM nesses dois anos e a taxa de variação

anual em termos nominais e reais.

52 P. C. C. Vieira

R. Em termos nominais, o SMN aumentou =(485/14,46)^(1/40)-1 = 9,18%/ano.

Em termos reais, vamos, primeiro, calcular SM20101974 = 16,46* 136,78 / 4,793 =

469,73€/mês. Então, em termos reais, o SMN aumentou =(485/469,73)^(1/40)-1 = 0,08%/ano.

A Taxa de Inflação.

A taxa de inflação é calculada com base no índice de preços no consumidor, IPC, que,

como referido, traduz um preço médio de um cabaz de bens e serviços representativo das

compras dos consumidores (índice de cabaz fixo, Laspeyres). O IPC é calculado pelo Instituto

Nacional de Estatística, INE, com periodicidade mensal.

Uma vez calculado o índice de preços mensal, já podemos calcular a taxa de inflação que tem

várias leituras.

i) A taxa de inflação homóloga é a variação percentual entre o IPC do mês corrente e o IPC

corrente no mês homólogo do ano anterior. Assim, traduza quanto os preços considerados na

proporção do cabaz aumentaram nos últimos 365 dias, estando por construção livre de

sazonalidade.

Inflação Jan2015 = IPCX Jan2015 / IPCX Jan2014 -1

ii) A taxa de inflação anual é a média das 12 taxas de inflação homóloga referentes a todos

os meses do ano.

Inflação 2015 = (Inflação Jan2015 + ... + Inflação Dez2015)/12

iii) A taxa de inflação em cadeia é o aumento no IPC num mês relativamente ao mês

anterior. Assim, refere-se ao aumento nos preços do último mês.

Inflação Mensal Jul2015 = IPCJul2015/ IPCJun2015 -1

iv) A taxa de inflação acumulada é a variação percentual entre o IPC de Dezembro do ano

anterior e o IPC do mês em referência do ano actual.

Inflação Ac Jul2015 = IPCJul2015/ IPCDez2014 -1

v) A taxa de inflação mensal anualizada é a variação percentual entre o IPC no mês anterior

e o IPC no mês actual mas capitalizado 12 meses para ficar na unidade %/ano.

Inflação Med An Jul2015 = (IPCJul2015/ IPCJun2015)^12 -1

MFIG 53

As taxas de inflação em cadeia, acumulada e mensal anualizada só podem ser calculadas em

países (e regiões) em que o IPC seja calculado com periodicidade mensal e sofrem de

sazonalidade.

Ex.1.39. Conhecido o índice de preços no consumo mensal entre Janeiro de 2009 e

Dezembro de 2010, determine a taxa de inflação homóloga, acumulada, mensal em cadeia e

mensal anualizada para todos os meses de 2010. Determine ainda o IPC para 2009, 2010 e a

taxa de inflação no ano de 2010.

R. Apresento na figura seguinte a construção no Excel onde usei o artifício gráfico

(impossível de fazer na folha) de apresentar três paineis.

C2: = AVERAGE (B2:B13) C14: = AVERAGE (B14:B25) C26: =C14/C2-1

D14: =B14/B2-1 E14: =B14/B$13-1 F14: =B14/B13-1 G14: =(B14/B13)^12-1

D26: =AVERAGE(D14:D25)

O índice de preços de um ano é obtido como a média dos índices de preços mensais.

Desta forma, podemos obter a taxa de inflação média de um ano usando os IPC anuais mas dá

ligeiramente diferente da média das taxas de inflação homólogas. No entanto, para taxas de

inflação menores que 5%/ano, a diferença é menor que 1 pontos base (ver o Ex.1.39 onde a

diferença é de 0,3 pontos base).

Ex.1.40. Supondo que o IPC20052000 vale 79,41 e IPC20052010 vale 107,93, determine

a taxa de inflação média anual na década de 2000.

R. Neste caso, vamos calcular a inflação total e “dividi-la” pelos anos que medeia

estes dois “instantes” de tempo.

Tx.Inflação(2000-2010) = (107,93/79,41)^(1/10)-1 = 3,12%/ano

Como a taxa de inflação é calculada com o IPC, podemos utilizá-la na reconstrução do

IPC

54 P. C. C. Vieira

Análise a preços constantes.

Como a inflação não tem impacto (significativo) nas decisões quanto à afectação dos

recursos escassos, na análise das decisões futuras é conveniente fazer uma análise em termos

de preços constantes. Se, por exemplo, vou nos próximos 40 anos poupar para nos últimos 20

anos da minha vida ter uma pensão, para efeito de comparação com a realidade actual, é

conveniente saber o valor da pensão em termos de poder de compra, i.e., em termos de preços

constantes.

Fazer uma análise a “preços contantes” é mais fácil que a “preços correntes” porque

podemos assumir que a maioria das variáveis (por exemplo, os salários,) se vai manter

constante.

Ex.1.41. Um jovem ganhou 120K€ na raspadinha que pretende transformar numa

renda postecipada com duração de 50 anos, com mensalidade que mantenham o seu poder de

compra (a pensão vai crescer à taxa de inflação prevista). Supondo uma taxa de juro nominal

de 3,0%/ano e uma taxa de inflação de 1,9%/ano, determine o valor da i) prestação em preços

constantes do instante zero o valor e, em rpeços correntes, ii) o valor da primeira prestação e

iii) o valor da última prestação.

R. Este exercício é simples de fazer no Excel bastando, a partir da prestação a preços

do instante zero (que vamos determinar com a ferramenta Data+Goal Seek), aumentamos a

essa prestação de mês para mês à taxa mensal (1+1,9%)^(1/12)-1.

D1: =(1+B1)^(1/12)-1 e copiava para D2; B7: =B$4*(1+D$2)^A7 e C7: =B7*(1 + D$1)^-A7

e copiava ambas as expressões até à linha 606; D7: =Sum(C7:C606).

i) Em termos de preços constantes do instante zero, as prestações vão ser de 258,58€/mês.

ii) Em termos de preços correntes, a primeira prestação vai ser de 258,99€ e ii) a última

prestação vai ser de 662,68€.

MFIG 55

Fazer uma análise a “preços contantes” é mais fácil que a “preços correntes” porque

podemos assumir que a maioria das variáveis (por exemplo, os salários,) se vai manter

constante.

O uso da expressão da renda de duração limitada na análise a preços constantes.

Se, no exercício 1.41, repararmos nas expressões da linha 7 (e que vão ser copiadas

para as outras linhas), temos uma capitalização da prestação do instante zero, P0, até ao

instante t, Pt, à taxa de inflação seguida de um desconto dessa prestação novamente ao

instante zero, VaPt, à taxa de juro nominal:

Pt = P0*(1+inf)^t e VaPt = Pt*(1 + r)^-t

Se juntarmos as duas expressões temos a expressão seguinte:

VaPt = P0*(1+inf)^t *(1 + r)^-t

Que pode ser simplificada:

VaPt = P0*((1 + r)/ (1+inf))^-t

Agora, ao fazermos R = (1 + r)/ (1+inf) -1, esta expressão pode ser resolvida usando a

expressão da renda limitada:

Va = P/R*(1-(1 + R)^-n)

Apliquemos então esta expressão ao Ex. 1.41.

R = (1+ 3,0%)/(1+1,9%)-1 = 1,079%/ano

Rm = (1+1,079%)^(1/12)-1 = 0,08952%/mês

P0 = 120000*0,08952%/(1-(1+0,08952%)^-600) = 258,58 €

P1 = 258,58 € * (1+1,9%)^(1/12) = 258,99€

P600 = 258,58 € * (1+1,9%)^50 = 662,68€

Confirma-se que os resultados são os obtidos no Excel.

O sistema de pensões.

Os sistemas de pensões públicos têm como filosofia a transferência de recursos entre

as pessoas que estão a trabalhar e as que estão reformadas: quem trabalha hoje contribui com

uma percentagem do seu salário directamente para o pagamento dos que estão hoje

reformados. Assim, no cálculo da pensão, o sistema não precisa calcular o valor capitalizado

dos descontos de cada contribuinte mas apenas saber se as contribuições de hoje são

suficientes para pagar as pensões de hoje. No entanto, porque os jovens de hoje precisam

saber qual poderá ser a sua pensão de reforma daqui a muitos anos, é preciso identificar o

critério que faz com que as regras de cálculo das pensões (por exemplo, 2,0% do salário de

56 P. C. C. Vieira

cada ano de trabalho) se pode manter ao longo do tempo. Em termos matemáticos, o

equilíbrio do sistema de pensões (i.e., de uma regra de cálculo do valor da pensão) é calculado

como se fosse um sistema de capitalização em que a taxa de capitalização das contribuições é

à taxa prevista de crescimento das contribuições. Se não houver alterações nos descontos

contributivos nem na esperança de vida, em termos de preços constantes, uma boa estimativa

para a taxa de crescimento das contribuições é a taxa de crescimento do Produto Interno

Bruto.

Ex.1.42. Num sistema de pensões pretende-se desenhar uma regra para o cálculo do

valor das pensões (uma percentagem do salário de anual) que torne o sistema sustentável no

longo prazo. Supondo como cenário que a pessoa, desconta durante 40 anos, tem um salário

constante (análise a preços constantes), desconta 20% do seu salário e que vai estar reformado

20 anos, determine a regra no caso de i) a taxa de crescimento do PIB ser de 3,0%/ano e ii) de

ser 1,0%/ano.

R. Como no fim de um sistema equilibrado o saldo é zero, teremos que resolver a

expressão seguinte (para o caso de 100€/mês):

P/Rm*(1-(1 + Rm)^-240)* (1 + Rm)^-480 = 20/Rm*(1-(1 + Rm)^-480)

P = 20*(1-(1 + Rm)^-480)/(1-(1 + Rm)^-240)/ (1 + Rm)^-480

i) Rm = (1+3,0%)^(1/12) = 0,246627% => P = 101,36% do salário. Dividindo por 40

anos, será sustentável atrivuir de pensão 2,53% do salário de cada ano de trabalho.

ii) Rm = (1+1,0%)^(1/12) = 0,082954% => P = 54,18% do salário. Dividindo por 40

anos, a pensão sustentável reduz-se a 1,35% do salário de cada ano de trabalho.

O sistema de pensões português.

No caso português, as pensões calculam-se, grosso modo, como 2,00% do salário de

cada ano de trabalho o que tem implícito uma taxa de crescimento do PIB média de

2,35%/ano o que, atendendo à evolução da nossa economia (ver, fig. 1.11), parece

exageradamente optimista (i.e., o sitema tem défice). O uso de uma taxa de de 2,35%/ano

deve-se ao facto de até ao ano 2000 termos tido taxas de crescimento superior a este valor, nas

décadas de 1960 e 1970 a nossa economia teve um crescimento médio de 5,3%/ano e nas

décadas 1980 e 1990 um crescimento médio de 3,5%/ano. O problema é que, desde então, o

crescimento parou, nos últimos 12 anos, 2001-2014, ficamo-nos por um crescimento de

0,05%/ano (ver, Fig. 1.11).

MFIG 57

-5%

0%

5%

10%

1960 1970 1980 1990 2000 2010 Ano

5,3%/ano3,3%/ano

0,05%/ano

Fig. 1.11 – Taxa de crescimento do PIB e tendência de evolução (dados: Pordata)

Como deveria ser a regra de cálculo das pensões.

Para não haver necessidade de constante alteração das regras de cálculo, deveria ser

introduzido no cálculo da pensão não uma percentagem fixa (no caso, 2,0% do salário médio

de cada ano) mas uma percentagem variável com a taxa de crescimento do PIB de cada ano.

Usando o modelo usado na resolução do Ex. 1.42, uma regra simples poderia ser:

Percentagem do ano = 1% + Taxa de Crescimento do PIB / 2

1% <= Percentagem do ano <= 2,5%

Compatibilização de tramos da série com diferentes bases

Com o acesso a diferentes fontes de informação e com o decorrer do tempo, as séries

mudam de base. Nas mudanças, o índice sofre uma quebra porque salta do valor do antigo

tramo da série para 100 e são alterados os pesos relativos dos grupos agregados no índice (no

caso do IPC, a importância de cada grupo de bens e serviços na despesa das famílias).

Quando é preciso utilizar o número índice ao longo de todos os períodos, torna-se

necessário compatibilizar os vários tramos da série à mesma base. A redução não é

verdadeiramente uma mudança para a mesma base porque não se tem em consideração que

existem alterações dos ponderadores dos preços (i.e., da composição do cabaz) mas, mesmo

com limitações, anulando os saltos nos tramos da série (e não a alteração dos ponderadores)

construi-se uma série utilizável num período de tempo mais longo.

No sentido de tornar possível a compatibilização dos tramos, estes sobrepõem-se (pelo

menos) durante um período. Este período de sobreposição é que permite calcular o valor do

salto relativo entre as séries e, depois, reduzi-lo a zero. Temos que considerar o salto relativo

58 P. C. C. Vieira

para que a taxa de inflação (em termos genéricos, a taxa de variação da série) se mantenha

consistente com os dois tramos.

Ex.1.43. Temos uma série com três tramos: o Tramo 1 tem como base o ano 2000 e é

calculado até ao ano 2005, o Tramo 2 tem como base o ano 2005 e é calculado entre o ano

2005 e o ano 2010 (existe sobreposição no ano 2005) e o Tramo 2 tem como base o ano 2010

e é calculado entre o ano 2010 e o ano 2015 (existe sobreposição no ano 2010). Pretende-se

construir uma série que tenha por base o ano 2000.

Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Tramo1 100 101,8 106,7 107,4 112,6 124,6                    Tramo2           100 103,6 109,8 109,7 112,1 118          

Tramo2                     100 103,6 109,8 109,7 112,1 118

Série 100 101,8 106,7 107,4 112,6 124,6 129,1 136,8 136,7 139,7147,0 152,3 161,4 161,3 164,8

173,5

Salto 1,2461,47

0

Média3,74

%

R. Vamos “corrigir” a mudança de base multiplicando o Tramo 2 pelo rácio da

descontinuidade do ano sobreposto (que salta de 124,6 para 100) e corrige-se o tramo 2

multiplicando todos os valores por 1,246. Depois, multiplicamos o Tramo 3 pelo salto entre o

Tramos 1 já extendido em 2010 (salto de 147,0 para 100).

G6: = G2/G3; G5: =G3*$G$6 e copio até ao ano 2010, L5. L6: =L5/L4, L5: =L3*$G6 e

copio até ao ano 215, Q5. B7: =(Q5/B5)^(1/15)-1.

1.6 Contrato de Mútuo – Enquadramento legal Relativamente ao contrato de empréstimo entre particulares (o credor empresta e

devedor pede emprestado), existe um enquadramento legal que interessa um gestor conhecer

pelo menos sucintamente. A esse tipo de contrato chama-se Contrato de Mútuo e está

regulado pelo capítulo VII, art.º 1142 até art.º 1151 do Código Civil. Quem empresta

denomina-se por Mutuante e quem pede emprestado denomina-se por mutuário. O mutuário

(i.e., o devedor) pode ter fiadores que são solidários no cumprimento do contrato (i.e., no

pagamento da dívida mais juros). Como o contrato apenas impõe obrigações ao mutuário e

aos fiadores (de devolver o capital e pagar os juros), o documento fica com o mutuante que

pode dar fotocópia ao mutuado e aos fiadores.

O mútuo pode ser de dinheiro ou de outra coisa fungível ficando o mutuário obrigado

a restituir outro tanto do mesmo género e qualidade (art.º 1142) da coisa emprestada.

MFIG 59

Em termos formais, para valores elevados (>25000€) é necessário uma escritura

pública ou documento particular autenticado, para valores médios (>2500€ e 25000€) é

necessário um documento escrito e assinado pelo devedor. Cumprida a forma legal exigida

(cujos valores limite são actualizados ao longo dos anos), o contrato de mútuo é um título

executivo, podendo o credor passar à execução dos activos do devedor (e dos fiadores) sem

necessidade de uma prévia acção declarativa de dívida.

Apesar da lei não o abrigar para contratos de valor inferior a 25000€, convém que o

documento particular tenha as assinaturas reconhecidas presencialmente num notário (i.e., o

documento seja autenticado) porque faz prova plena quanto ao declarado no documento (art.

376º do CC) invertendo-se o ónus da prova (art. 375º do CC). Quando alguém alega em juízo

um facto (e.g., que alguém nos deve dinheiro) tem que fazer prova disso (art. 342º do CC),

e.g., com fotocópia do cheque e testemunhas. Havendo inversão do ónus da prova, a outra

parte é que tem que fazer prova de que o facto não é verdadeiro (e.g., mostrar que o cheque do

Mutuante daquele valor e naquela data não tinha cobertura, um recibo de pagamento ou

testemunhas em como já pagou).

Nos contratos com vários mutuários solidários, qualquer um deles pode ser

demandado pelo Mutuante a pagar a totalidade da dívida (art.ºs 519 e 520 do CC).

Também pode haver fiadores que garantem o cumprimento da dívida (art. 627º do CC)

tendo a finança que ter a forma prevista para o contrato de mútuo, i.e., assumida por escrito

(art. 628º do CC). É conveniente que fique claro no documento que o fiador tem consciência

de que está a assumir uma responsabilidade para depois não poder alegar vícios da vontade.

Podem ser acordados juros (art. 1145) mas nunca poderão ser superiores em 3% (se

houver garantia legal) ou em 5% (se não houver) ao juro máximo legal (art. 1145).

Se o empréstimo for sem juros e sem prazo, o Mutuante é devedor de juros à taxa de

juro legal desde a data em que lhe for exigida a devolução do objecto do contrato ( i.e., entra

em mora), havendo necessidade de fazer prova em como o objecto foi pedido (e.g., com

testemunhas). No caso de haver prazo, o devedor entra em mora no fim do prazo acordado.

No caso de haver nulidade do contrato de mútuo por falta de forma, o mutuante tem

que entregar a coisa emprestada ao mutuário (art. 289º/1 do CC).

Os mutuários podem entregar um bem móvel como penhor (art. 669º do CC) que

confere ao mutuante o direito à satisfação do seu crédito com preferência sobre os demais

credores (art. 666º do CC). Pode também constituir uma hipoteca voluntária sobre um bem

imóvel (art. 712º do CC) que terá que ser constituída por escritura pública (art. 714º do CC) e

ser obrigatoriamente registada (art. 687º do CC) passando a conferir ao credor o direito de ser

60 P. C. C. Vieira

pago com preferência sobre os demais credores que não gozem de privilégio especial ou de

prioridade de registo (art. 686º do CC).

====================CONTRATO DE MÚTUO====================

Mutuante: João das Regras, Solteiro, Maior, NIF 111111111, NBI 6666666 – Lisboa

válido até 17-03-2015, morador na R. Santos da Casa, 345, 2ºEsq, V.N. de Gaia. ===========

Mutuários: Américo Vespaniano e Amélia dos Olhos, casados entre si em comunhão de

adquiridos, NIF 2222222 e 33333333, NBI 7777777 – Lisboa valido até 11-07-2012 e 8888888

– Lisboa válido até 03-09-2011, respectivamente, ambos moradores na R. Espeto de Pau, 254,

3.º Drt, Póvoa do Rio. ====================================================

Fiador: Joaquim Furriel da Silva, NIF 444444444, NBI 999999999 – Lisboa válido até

30-11-2017, morador na R. Torre e Espada, 30, 1º, Terracota de Baixo. =================

O Mutuante entrega aos Mutuários nesta data pelo cheque n.º 54738 da conta 45833345320

do BPT em que o Mutuante é titular 30000€ (trinta mil Euros) como empréstimo pelo prazo de 5

anos a uma taxa de juro anual de 3% ao ano em que os juros vencidos terão que ser pagos até ao

dia 30 de Maio de cada ano. Os Mutuários aceitam os 30000€ nas condições do presente

contrato. ============================================================

O fiador está consciente e aceita que, em caso de incumprimento dos Mutuários, passa a ter

a obrigação de pagar os juros e o capital em dívida. ===============================

Vila Nova de Gaia, 25 de Maio de 2009 ==================================

Assinatura do Mutuante

Assinatura dos Mutuários

Assinatura do Fiador

Todas as assinaturas reconhecidas presencialmente num cartório notarial

MFIG 61

Capítulo 2. Folha de Cálculo – Ferramentas básicas

Este capítulo será de condensação das ferramentas básicas usadas na disciplina. Assim, será

um texto de apoio e de consulta do aluno.

A Folha de Cálculo

É formada por uma grelha cartesiana de células

endereçadas. O endereço de cada célula é a sua coluna

(designada por uma letra) e a sua linha (designada por

um número). Por exemplo, na figura do lado estou com

o cursor na célula B5 que está vazia.

Existe uma célula em uso onde posso escrever ou alterar o que lá tem escrito, apenas

uma de cada vez. Posso mover a célula em uso com as setas ou deslocando o cursor do rato e

clicando na nova célula que quero. Se precisar seleccionar mais do que uma célula, uso a tecla

Shift, , ou a tecla Ctrl mas mantém-se apenas uma célula em edição.

Expressões algébricas

Na célula posso escrever valores sejam eles palavras ou números e expressões que vão

ser cálculadas.

No Excel, as expressões de cálculo começam pelo símbolo = e podem conter números,

operadores algébricos da soma, +, subtracção, -, divisão, /, multiplicação, *, potenciação ^ e

ainda parênteses curvos para controlar a precedência das operações e referências a outras

células.

Por exemplo, se quizer transformar a taxa de juro anual de 5%/ano na taxa de juro

mensal correspondente, escreverei numa célula a expressão =(1+5%)^(1/12)-1.

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Referências a células

Nas expressões algébricas também posso incluir referências a outras células como se e

funcionará como o valor que está nessa célula estivesse escrito na expressão.

Se, por exemplo, na célula B1 tiver escrito 5%, ao escrever e B2: = (1+A1)^(1/12)-1,

resultará a taxa de juro mensal efectiva correspondente aos 5%/ano.

A1: Dívida B1: 10000€

A2: Taxa de juro B2: 5% C2: por ano

B3: =(1+B2)^(1/12)-1C3: por mês

A vantagem de usar nas expressões referênciuas a células é que estas vão funcionar

como variáveis ou parametros da expressão. Assim, se eu alterar o conteúdo de uma célula

(e.g., B2) as expressões que a usam, (e.g., B3: =(1+B2)^(1/12)-1) são recalculadas

automaticamente. O uso de referências tem ainda a vantagem de podermos encadear as

expressões e assim transformar expressões extensas (e mais sujeitas a erro de sintaxe) em

expressões mais simples (e onde os erros são mais fáceis de identificar).

Ex.4.1. Pretendo saber a prestação mensal antecipada para pagar um empréstimo de

10000€ à taxa de juro de 5%/ano durante 5 anos, P= V×r

(1−(1+r )−n)×(1+r ) .

R. Vou fazer cálculos auxiliar (da taxa de juro mensal e de 1 + r) e usá-los numa

expressão da expressão da prestação mensal que, assim, fica

mais simples.

A4: =1+r B4: =1+B3B6: =12*B4B7: =B1*B3/((1-B4^-B6)*B4)

Copia de expressões

Ao copiar as expressões de umas células para outras, as referências às células vai

sofrer alterações. Assim, se eu copiar na horizontal para a direita, a letra das referências vai

aumentar e vice-versa. Por exemplo, se eu copiasse a expressão que está na célula B7:

=B1*B3/((1-B4^-B6)*B4) para a célula C7, a expressão copiada não seria a original mas

haveria o incremento de uma letra C7: =C1* C 3/((1- C 4^- C 6)* C4). O incremento na letra

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é correspondente à distancia entre a célula original e a célula de destino. Na folha de cáculo

seguinte vou explorar a copia para calcular a mensalidade para várias taxas de juro.

Ex.4.2. Sobre o problema do Ex4.1, pretendo visualizar o efeito da alteração da taxa

de juro em torno dos 5%/anos. Reorganize a folha de cálculo de forma a utilizar a

potencialidade de copiar e colar.

R. Para simplificar, copiei os rótulos da coluna C para a coluna G. Depois, seleccionei

a área B1 até B7, fiz Editar+Copiar, Ctrl+C, seleccionei C1 e fiz Editar+Colar, Ctrl+V,

repetindo para D1, D2, etc.

No colar, podia ter seleccionado directamente C1:F1 e feito Enter.

Ao copiarmos para outra coluna denomina-se “copiar ao longo da linha” e as

referências alteram-se. Assim, tendo B7: =B1*B3/((1-B4^-B6)*B4) ao copiar esta expressão

para, por exemplo, F7 ela transforma-se para =F1*F3/((1-F4^-F6)*F4). A coluna das

referências altera-se tantas letras quantas as colunas que eu andar, mantendo um desenho de

referenciação idêntico.

Se copiar ao longo das colunas, o número que refere a linha da referência vai ser alterado.

Fixar referências.

Quando escrevo a expressão, posso explicitar que, quando a for copiar, uma referência

é para manter tal e qual. Se assim o fizesse, no Ex.4.2 não precisava de repetir o valor em

dívida nem o prazo. A indicação é feita colocando o cifrão, $, antes da letra (se for copiar em

linha e não quiser que a coluna se altere) ou do número (se for copiar em coluna e não quiser

que a linha se altere). Tanto posso fixar a coluna (para quando copiar em linha), a linha (para

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quando copiar em coluna) ou ambos. Além de poder excrever $ na expressão, também posso

usar a tecla F4 para colocar os cifrões (repetidamente, vai trocando os locais onde estão os

cifrões).

Ex.4.3. Refaça o exercício Ex4.2 indicando que a referência ao valor da dívida e ao

prazo de amortização são para manter fixos.

R. Alterei as posições (com cut + past) de forma a simplificar o aspecto da folha de

cálculo. Na expressão da célula B7, amarrei a coluna das referências B1 e B3.

B7: =$B1*B5/((1-B6^-$B3)*B6)

Ao utilitar o cut + Past (cortar + colar) posso mover as células de local, alterando o

aspecto da folha de cálculo, sem me preocupar com as expressões pois estas são

automaticamente re-escritas, estejam ou não fixadas. Enquanto que ao copiar se alteram as

referências da expressão colocada na célula copiada, ao mover (i.e., cortar e colar), as

referências da célula movida não se alteram mas alteram-se as das células a jusante (que usam

a célula movida).

Ex.4.4. Pretendo construir um quadro para estudar em simultâneo o efeito do prazo e

da taxa de juro na prestação. Reorganize a folha de cálculo para construir o quadro.

R. Reorganizei como mostro na figura e amarrei a dívida, $B$1, a linha da taxa de

juro, D$3 e D$4 e a coluna do prazo, $C5, ficando D5: =$B$1*D$3/((1-D$4^-$C5)*D$4)

Por uma questão estética, uni as células A5:A7 e as células D1:H1, fiz uma grelha na área dos

resultados, D5:H7, e sombreei as células com as taxas de juro, os prazos e os resultados

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Ferramenta Data + Goal Seek.

Em termos matemáticos, partindo de uma função na forma implícita g(x, y) = 0, quero

obter a forma explícita y = f(x). E.g., partindo de (x^2+4)/(y-1) -2 = 0 obtenho y = 0,5*x^2+3.

Quando temos uma função algebricamente não explicitável, o Excel permite-nos obter

um valor y para cada valor particular x. No exemplo, faço B3: =(B1^2+4)/( B2-1) -2 e uso a

ferramenta Data+Goal Seek para,

considerando um valor para x, calcular um

valor de y que verifica a função na forma

implícita. se precisar de saber vários pontos

da função (para vários valores de x), repito o

procedimento alterando o valor da célula B1.

Ex.4.5. Suponha a função implícita 5 + y – 0,2y2 + x = 0. Determine a solução para a

abcissa x = 1.

R. Como sei que para cada valor de x existe uma solução positiva e outra negativa,

para descobrir a negativa coloco 1 em A2 e –5 em B2. Em C2 calculo o erro de assumir que –

5 é a solução. Uso a ferramenta Data + Gool Seek para determinar o valor de C2 que faz o

erro igual a zero.

A solução encontrada, -3,52085, é aproximada pelo que se mantém a existência de um

(pequeno) erro. Se quisermos garantir que as casa decimais (no caso, 5) são certas, multiplicar

o valor da célula C2 por uma constante, e.g., 1000, e tornamos a calcular.

Para encontrar a solução positiva, colocava um valor inicial para y diferente, e.g.,

1000, resultando como solução 8,5208. Se desse o mesmo, teria que experimentar outros

valores iniciais para y.

Se precisasse de mapear a função, teria que experimentar vários valores para x,

reaplicando a ferramenta Data+Goal Seek e copiando o resultado para o lado (colar

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especial+valores) para cada valor do x. Como tem duas soluções, teria que descobri-las

experimentando diferentes valores iniciais para y.

-5

0

5

10

-6 -4 -2 0 2

Y+

Y-

X

Ex.4.6. Uma instituição financeira propõe-lhe um plano de poupança em que, por cada

100€ aplicado no início de cada mês, ao fim de 40 anos capitaliza 80000€. Determine a taxa

de juro implícita neste produto financeiro.

R. O valor actual de uma renda antecipada é

Pr (1−(1+r )−n)

que depois teremos que

capitalizar n períodos. Para o caso teremos

100r

×(1−(1+r )−480 )× (1+r )480−80000=0 em que

r é a taxa de juro mensal, D4: =(1+B4)^(1/12)-1. A solução encontrada pelo Excel é

2.401%/ano.

Ferramenta Data + Solver.

O Solver é uma ferramenta muito mais sofisticada e flexível que a ferramenta Data + Goal

Seek e permite não só resolver uma função implícita como fazer maximizações ou

minimizações com restrições. Assim, podemos ter um modelo com várias variáveis e várias

restrições de igualdade ou de desigualdade sobre quaisquer células do modelo (mesmo,

cálculos itnermédios). Aleém disso, fica gravado juntamente com a folha de cálculo o que

facilita quanto pretendemos utilizar repetidamente o mesmo Solver. Por ser um suplemento,

para se poder utilizar o Solver é necessário instalá-la (em no Excel 2003 ir a

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Ferramentas+Suplementos, e no Excel 2007 ir ao Office Button+ Excel Options + Add-ins

category +no Manage cliacar em Go…, +Solver Add In).

Ex.4.7. A quantidade de artigos vendidos por um pequeno feirante, V, depende da área

de exposição da furgoneta, A, do esforço dispendido, E, e da quantidade de folhetos

publicitários distribuídos, F, segundo a função de produção da actividade de vendas:

V = 100*(A-3)^0,4*(E-2)^0,4*(F-2)^0,2+0,4*A+0,4*E+0,2E

Supondo que os preços são PA = 125€/u., PE = 5€/u. e PF = 1€/u. e o preço unitário de

comrpa das mercadorias é PC = 2,5€/u., determine as quantidades óptimas de cada factor

sujeitas às restrições A 10, 2 E 8; 2500 F 0.

E2: =B2*D2 B5: =100*(B2-3)^C2*(B3-2)^C3*(B4-2)^C4+C2*B2+C3*B3+C4*B4

B6: =E5-SOMA(E2:E4)

Verificamos que no ponto calculado estão activas duas das restrições, B3<=8 e B4<=2500.

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Bibliografia Complementar

Brandão, Elísio, 2002, Finanças, Porto Editora: Porto.

Buchanan, J Robert, 2008, An Undergraduate Introduction to Financial Mathematics, World

Scientific Publishing: London.

Cadilhe, Miguel J. R. e Carlos A. R. Lago, 1994, Matemática Financeira Aplicada, Edições

Asa: Porto.

Dickson, David C. M.; Mary R. Hardy & Howard R. Waters, 2009, Actuarial Mathematics

for Life Contingent Risks, Cambridge University Press: Cambridge.

Kohn, Meir, 1994, Financial Institutions and Markets, McGraw-Hill International: NY

Levasseur, Michel e Aimable Quintart, 1998, Finance, Económica: Paris.

Murteira, Bento, Carlos S. Ribeiro, João A. Silva e Carlos Pimenta, 2001, Introdução à

Estatística, McGraw-Hill, Lisboa.