ÁLGEBRA E ARITMÉTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL: UM ESTU DO DE COMO ENSINÁ-LAS DE FORMA INTEGRADA E COM BASE EM SI GNIFICADOS

Rondinele Nunes da Silva 1

Orientador: Vilmondes Rocha RESUMO Esse estudo buscou compreender como álgebra e aritmética podem ser ensinadas conjuntamente no ensino fundamental conferindo ao aluno legitimidade no seu aprendizado. Para isso foi realizada uma pesquisa com alunos do 6º ano do ensino fundamental, com o objetivo de testar uma seqüência didática elaborada sob o ponto de vista da produção de significados para álgebra e aritmética escolar. Palavras-chave: Educação Aritmética, Educação Algébrica, Significados, Seqüência Didática.

1 INTRODUÇÃO Existem várias formas de ensinar matemática, no entanto a mais utilizada é aquela em que o professor explica um conteúdo, enfatiza suas regras e aplica uma série de exercícios para “fixar” a técnica ensinada. Ele faz tudo para o aluno. Surge uma dúvida na resolução de um determinado problema ou exercício, o professor resolve todo o problema e aluno apenas copia o que o professor faz sem, muitas vezes, entender o significado daqueles procedimentos realizados pelo professor. Sobre isso os PCN destacam que:

É importante destacar que as situações de aprendizagem precisam estar centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na resolução de problemas em que o aluno desenvolve processos importantes como intuição, analogia, indução e dedução, e não atividades voltadas para a memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que privilegie uma formalização precoce dos conceitos (PCN, 1998, p. 63).

Não obstante esse ensino é quase sempre norteado pelos livros didáticos nos quais se verifica uma predominância de exercícios para aplicação de técnicas (Cruz, 2005) que não são suficientes para o desenvolvimento do pensamento algébrico ou mesmo para a ampliação da noção de números. Além disso, e talvez mais grave, não há nos livros uma articulação entre os conteúdos de aritmética e álgebra que dê ao aluno a oportunidade de construir conexões entre as letras e os números e por isso não concebem a álgebra como ferramenta para provar regras e relações numéricas (Cruz, 2005). Contudo, como mudar essa perspectiva mecânica do processo de ensino aprendizagem em relação ao ensino da aritmética e da álgebra no ensino fundamental, de modo que ambas sejam desenvolvidas juntas e com vistas ao desenvolvimento do sentido numérico e de um pensamento algébrico autônomo, de forma articulada e significativa?

1 Licenciando no curso de Matemática da Universidade Católica de Brasília.

Um primeiro passo para isso foi buscar compreender como se desenvolvem os pensamentos algébricos e aritméticos, como se processa a transição da aritmética para a álgebra e o que há em comum ente elas. Assim, com o objetivo de desenvolver e testar uma seqüência didática capaz de desenvolver o pensamento algébrico inicial atrelado ao sentido numérico, para pelo menos complementar o trabalho das técnicas rotineiras de ensino, é que se justifica essa pesquisa. Para atingir tal objetivo acredita-se que no caminho haverá a apreensão de métodos de ensino, de concepções mais claras a respeito das atividades aritméticas e algébricas e o crescimento em termos pessoais e profissionais da essência e do alcance da educação matemática.

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 EDUCAÇÃO ARITMÉTICA

A aritmética é uma ciência de todos os tempos, provêm do vocábulo ARITHMOS, que significa número (GROENWALD et tal, 2006). Os números naturais foram se formando pouco a pouco pela prática diária de contagens (ROSA et al, 2007). Isto é, o homem primitivo conhecia de forma intuitiva uma série de conceitos que aplicava em sua vida prática, e desta forma chegou a formalizar a representação de quantidades. Na escolarização básica a aritmética é desenvolvida desde os primeiros anos, o trabalho com números e operações juntamente com o ensino do espaço e das formas, integram os primeiros conteúdos vistos pela criança. Além disso, é preciso lembrar que quando esta chega à escola já existe nela certa noção de número, construída a partir de atitudes naturais de agrupamento e seriação. Mas, o que é a aritmética e o que o seu ensino deve proporcionar aos alunos? Parece fácil responder a essa pergunta, pois se pode dizer, sem medo de errar, que aritmética são os números e suas operações: somar, subtrair, multiplicar, dividir e outras. Mas, segundo Lins e Gimenez (1996), a educação aritmética é muito mais que isso, ela inclui também representações e significações diversas, pontos de referencias e núcleos, que ampliam a idéia simples do manipulativo (técnicas e algoritmos). Eles são importantes, mas precisam ser revestidos de significados que justifiquem o seu uso e torne esse uso adequado e racional. Dessa maneira o ensino da aritmética deve proporcionar aos alunos o desenvolvimento de um sentido numérico através de um processo extenso em que se trabalhe o raciocínio figurativo e intuitivo (conservação de quantidades), pensamento relativo e absoluto (percepção de quantidade), raciocínio estruturado aditivo (mudança de estado, combinação) e pensamento proporcional (comparação em forma multiplicativa), de forma que todo esse trabalho dê ao aluno condições de produzir afirmações aritméticas com significados, sendo capazes de construir justificações.

2.2 EDUCAÇÃO ALGÉBRICA

Os conteúdos sobre álgebra começam a ser ensinados nas escolas por volta da 7ª ou 8ª séries do ensino fundamental, e não há dúvida quando coloca-se que: equações, cálculo literal e funções são os elementos da álgebra. Para Linz e Gimenes (1996), não há um consenso a respeito do que seja pensar algebricamente, e o problema que surge em decorrência disso é uma caracterização da álgebra como “fazer ou usar álgebra” e uma descrição da atividade algébrica como “calcular com letras”, reduzindo o ensino da álgebra aos seus aspectos lingüísticos e transformistas, ou seja, dando mais ênfase a sintaxe da linguagem algébrica que ao pensamento algébrico. Para Vygotsky (1998), pensamento e linguagem são interdependentes, um promovendo o desenvolvimento do outro e vice-versa. Ou seja, no processo ensino-aprendizagem, a linguagem não antecede necessariamente o pensamento, embora a apropriação da linguagem possa potencializar e promover o desenvolvimento do pensamento algébrico. Existe uma grande dificuldade em ensinar álgebra, primeiro porque os alunos demoram a aceitar que letras agora são “números”, ou seja, correspondem a quantidades, e isso por si só já causa certo bloqueio e segundo, que o material mais utilizado pelos professores é o livro didático que, em sua maioria, introduz a álgebra por meio de uma linguagem formal, falando de: equações, primeiro membro, segundo membro, operação inversa, enfim conceitos desprovidos de significados para o aluno. Outro aspecto interessante que dificulta o ensino da álgebra é que a atividade algébrica só seria possível de forma tardia, em termos de idade. Essa idéia, segundo Lins e Gimenez (op. Cit.), é equivocada e indesejável. A partir dessa afirmação podemos pensar no desenvolvimento do pensamento algébrico em crianças da educação infantil, utilizando para isso dispositivos como diagramas e outras atividades didáticas que dessem base para o pensamento algébrico no futuro, facilitando sua formalização nas séries finais do ensino fundamental. 2.3 ARTICULAÇÃO ENTRE ÁLGEBRA E ARITMÉTICA

A educação matemática brasileira em geral é estruturada de tal forma a viabilizar que seus diferentes ramos (aritmética, álgebra, geometria e trigonometria) sejam ensinados pouco a pouco, seriadamente e atingindo níveis cada vez mais complexos no decorrer da escolarização básica (fundamental e média). Tal estruturação deve-se principalmente aos movimentos de reforma do ensino das matemáticas, ocorridos em vários países no fim do século XIX, que propunham a unificação de seus ramos numa única disciplina, a matemática. Mas foi somente na década de 1930, seguindo princípios orientadores dos movimentos revolucionários nos EUA em relação à educação matemática, que ocorreu a mudança estrutural no currículo brasileiro.

Um novo momento histórico, pós-revolucionário, fará emergir, a partir das polêmicas e discordâncias relativamente à fusão dos ramos matemáticos, forças que ativamente participarão de uma nova reforma do ensino nacional. Igreja, Estado e Sociedade civil, coordenadas pelo novo ministro da Educação, Gustavo Capanema, produzirão um novo texto, por meio de seus representantes, para a educação brasileira. A Reforma Capanema, de 1942, irá sepultar o ideário de Euclides Roxo de fusão completa da Aritmética, Álgebra e Geometria. No entanto, esses ramos permanecerão sob o mesmo manto da denominação Matemática, sendo eliminadas as cadeiras separadas de Aritmética, Álgebra, Geometria e Trigonometria (MIRANDA, 2003).

Segundo Marilene Miranda (op. Cit.), nos EUA, verdadeiramente, houve uma discussão nacional relativamente à unificação. O grupo vencedor, encabeçado por David Smith, barrou a proposta que vinha sendo desenvolvida por Myers e Breslich, redefinindo o papel da Matemática no ensino norte-americano. No Brasil, a proposta de unificação constituiu uma empreitada solitária de Euclides Roxo que, ungido pela revolução, acreditou ser possível alterar práticas pedagógicas centenariamente estabelecidas sem trazer para junto de si os professores e o meio educacional. Mesmo com o fracasso na tentativa de unificação de seus ramos, a matemática passou a constituir-se no Brasil em uma só disciplina. O que se pretendia era agregar esses ramos de forma que cada um pudesse facilitar e tornar mais eficiente o ensino e aprendizado do outro no nível da escola básica. Atualmente aritmética e álgebra, no ensino fundamental, são ensinadas separadamente. Nas séries iniciais é ensinada somente a aritmética e apesar de saber que para o desenvolvimento do pensamento aritmético trabalha-se intuitivamente noções de álgebra, o ensino dessa última, em geral, é efetivado somente nas séries finais do ensino fundamental. Assim, para favorecer o ensino da álgebra e da aritmética, poderia haver um esforço entre os educadores matemáticos para que ambas pudessem ser concebidas como complementares, uma ajudando no desenvolvimento da outra. Para Lins e Gimenez (1997), na comunidade da Educação Matemática, há poucas noções tão enraizadas como a de que aprender aritmética deve vir antes do aprendizado da álgebra. Mais ainda, para uma discussão como essa, optam por inserí-la em um quadro mais amplo, no qual examinam algumas características do processo de produção de significados para a álgebra e para a aritmética. Isso para poder explicar de que modo elas se relacionam de forma diferente das leituras tradicionais, do tipo, “álgebra é aritmética generalizada” ou “álgebra é a estrutura da aritmética”. Infelizmente o ensino tradicional da matemática, caracterizado pela transmissão de informação, treina os alunos por meio de seqüências que enfatizam o uso de técnicas e processos exaustivos sem a preocupação de produzir significados e dar sentido a essas técnicas. As crianças não são encorajadas a pensar autonomamente. Os professores usam de recompensas e punição também no domínio intelectual para que as crianças dêem resposta “correta” (Kamii, 1995).

Nesse contexto, segundo Zenere (2005), é imprescindível reconhecer que diferentes propostas selecionadas para sala de aula expressam as visões ou idéias que queremos promover através do ensino. Isso nos mostra que é preciso mudar a forma como os professores desenvolvem suas aulas, pois o ensino de manipulações rotinizadas e de algoritmos aprendidos não garante sozinho o sucesso dos alunos. Talvez o maior indicador da ineficiência do sistema educacional seja a incapacidade de transferir conhecimento para uma situação nova. Embora seja mais evidente com a matemática, vale para todas (D’ AMBRÓSIO, 2003).

Uma ação pedagógica que vise à produção de significados matemáticos e de sentido a suas aplicações práticas na vida cotidiana parece ser legitimada no desejo natural de compreensão que cada criança traz em si. Para Bianchini e Silva (2005) o professor precisa investigar e considerar os conhecimentos espontâneos das crianças para a partir daí elaborar situações de aprendizagem de forma significativa. Uma aprendizagem significativa parece ser o meio que a escola deve utilizar para que os alunos se envolvam e apreendam novos conteúdos, elaborando significados aos saberes matemáticos. Gimenez e Lins explicitam que:

A escola é, sim, lugar de tematizações. De formalizações, esse é papel importante que ela deve cumprir. O de introduzir as crianças em sistemas de significados o que Vygotsky chamou de conceitos científicos, e que correspondem a um corpo de noções sistematizadas. [...] conceitos científicos são parte do processo de organização da atividade humana. (1997, p. 23).

Assim, Lins e Gimenez (op. Cit.), dizem que, em ambos os casos, o da aritmética e o da álgebra, a mudança de perspectiva mais importante refere-se a passarmos a pensar em termos de significados sendo produzidos no interior de atividades, e não, como até aqui, pensamos em termos de técnicas ou conteúdos.

3 A PESQUISA 3.1 METODOLOGIA

Considerando que o problema da pesquisa caracteriza-se pela análise da eficiência de uma seqüência didática que contemple ao mesmo tempo, aspectos aritméticos e algébricos na construção do conhecimento lógico-matemático, foi realizada uma experiência científico-didática, caracterizada pela abordagem metodológica empírico-analítica, com alunos do ensino fundamental. Nesse sentido para melhor compreender as etapas que constituem todo o processo optou-se por inserir os princípios metodológicos da Engenharia Didática2 para pesquisas no campo da educação matemática.

A engenharia didática possibilita uma sistematização metodológica para a realização da pesquisa, levando em consideração as relações de

2 Uma das metodologias de pesquisa em educação matemática desenvolvidas na França durante a década de 1980. ARTIGUE, Michèle. Ingénierie Didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques , vol 9,n. 3, Grenoble, França, 1988.

dependência entre teoria e pratica. Esse é um dos argumentos que valoriza sua escolha na conduta de investigação do fenômeno didático, pois sem articulação entre a pesquisa e a ação pedagógica, cada uma destas dimensões tem seu significado reduzido. (PANTOJA, 2006 apud PAIS, 2006, p. 99)

Segundo Pantoja (2006, p. 7) a engenharia didática se caracteriza como uma forma particular de organizar os procedimentos metodológicos de pesquisas desenvolvidas no contexto de sala de aula. Assim sendo seu principal objetivo é o de desenvolver uma seqüência didática e avaliá-la mediante sua aplicação em sala de aula. Para o uso da engenharia didática enquanto abordagem metodológica em trabalhos de pesquisas em educação matemática é necessária a compreensão das fases que dividem o seu desenvolvimento. Segundo Artigue (1988) são elas:

� Análise preliminar, � Concepção e análise a priori, � Experimentação de uma seqüência didática e � Análise a posteriori.

A análise preliminar caracterizou-se pelo estudo sobre o assunto em questão, foram consultadas bibliografias para saber como vem sendo desenvolvido o ensino atual de álgebra e aritmética e a possibilidade de um trabalho em que ambas fossem desenvolvidas de forma articulada e com base em significados. Assim foram selecionados para a pesquisa 20 alunos do 6º ano do ensino fundamental (antiga 5ª série) de uma escola pública de Águas Lindas de Goiás. Todos os alunos foram orientados a preencher um termo de consentimento, assinado pelos seus pais ou responsáveis, autorizando a participação deles na pesquisa. Estes alunos foram então divididos em dois grupos, um de controle (GC) e outro experimental (GE), e em seguida aplicou-se a ambos os grupos um mesmo pré-teste, com o objetivo de verificar a homogeneidade e a concepção dos mesmos quanto ao objeto de estudo, configurando dessa maneira a segunda fase da engenharia didática, a análise a priori. Nessa fase, por se tratar de alunos que ainda não haviam estudado formalmente álgebra, foi feita a escolha pela alfabetização algébrica como objeto de ensino e aprendizagem. Tendo como hipótese, que uma seqüência didática, tratada sob a perspectiva da produção de significados para álgebra e aritmética, pode melhorar a competência dos alunos em relação ao amplo desenvolvimento do sentido numérico e de um pensamento algébrico autônomo. Após a realização de uma análise preliminar seguida de uma análise a priori é que foi possível então a elaboração de duas seqüências didáticas que seriam os objetos de investigação. Uma tradicional e outra preparada sob ponto de vista da articulação e produção de significados para objetos aritméticos e algébricos. Tal elaboração exige toda uma preparação em que é definido certo número de atividades e a quantidade de aulas necessárias para efetuar a observação das situações de aprendizagem.

Aos grupos foram apresentados os objetivos e condições de realização da pesquisa. Assim, explicou-se que ambos os grupos iriam aprender álgebra, um conhecimento novo para eles, e que todas as aulas seriam realizadas no turno vespertino, no laboratório de ciências da escola e que seriam 10 encontros, sendo no final aplicada uma avaliação sobre o assunto. Para o estabelecimento do contrato didático foi realizada uma socialização para que cada um falasse do seu sentimento em relação às aulas de matemática e suas principais dificuldades, após esse momento foi explicado como seria a relação entre os alunos e o professor e a responsabilidade de cada um na pesquisa. A seqüência didática utilizada pelo grupo de controle foi baseada no livro didático: Praticando Matemática dos autores Álvaro Andrini e Maria José Vasconcelos, publicado em 2002 pela Editora do Brasil. Esse livro didático destinado a alunos da 6ª série do ensino fundamental foi aprovado pelo Programa Nacional do Livro Didático, realizado pelo Ministério da Educação em 2005. A escolha do livro deu-se primeiramente tendo em vista a introdução da álgebra no ensino fundamental, tanto pelos aspectos teóricos, quanto práticos do conteúdo que trata de equações. Tal escolha ainda levou em consideração aspectos relevantes à construção do conhecimento por parte do aluno, a produção de significados, e a contribuição na formação da cidadania. Além disso, é preciso deixar claro que todas as atividades (teoria, exemplos e exercícios) do livro foram adaptadas para o nível de conhecimento dos alunos em relação aos conjuntos numéricos. No grupo experimental, a seqüência didática foi elaborada a partir de atividades proposta por vários autores de trabalhos científicos referentes ao ensino articulado da álgebra e aritmética, com a preocupação de produzir significados legítimos para a realidade dos alunos. As atividades utilizadas nessa seqüência dirigem-se centralmente a criar situações nas quais os alunos podem tomar como legítimo certo modo de produzir significados, qual seja, o de pensar em relação aos núcleos das situações apresentadas justificando-as através da lógica das operações subjacentes. A fase de experimentação das seqüências didáticas iniciou-se no dia 09 de outubro de 2007, sendo finalizada no dia 01 de novembro de 2007 com a aplicação do pós-teste seguida de uma confraternização em agradecimento aos alunos e a toda a equipe de apoio da escola. 3.2 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

A análise de todos os dados obtidos durante a fase de experimentação das seqüências didáticas aplicadas configura a quarta fase da engenharia didática. Essa análise apóia-se sobre todas as observações realizadas durante cada sessão de ensino bem como das produções dos alunos nas atividades desenvolvidas.

Na engenharia didática a fase de validação da seqüência didática é feita durante todo o processo de desenvolvimento da proposta em meio a uma constante confrontação entre os dados obtidos na análise a priori e na análise a posteriori, onde é verificado se as hipóteses feitas no inicio da pesquisa foram confirmadas. (PANTOJA, 2006)

Na análise a priore, através da aplicação do pré-teste, foi constatado que nenhum dos alunos justificou a escolha pela alternativa marcada, demonstrando o não conhecimento de álgebra. Os escores obtidos pelos alunos nesse pré-teste referem-se praticamente a duas, dentre as cinco questões presente no pré-teste, que poderiam ser resolvidas utilizando apenas conhecimentos aritméticos. Durante a fase de experimentação, todas as atividades desenvolvidas por ambos os grupos foram analisadas em relação ao desempenho individual dos alunos. Cada atividade possuía certo número de tarefas propostas que eram corrigidas segundo os critérios: autonomia na resolução, uso do pensamento aritmético e uso do pensamento algébrico. A partir das análises feitas em todas as atividades para ambos os grupos, foi montado um quadro geral de desempenho nas mesmas, com o objetivo de comparar as duas seqüências didáticas para proceder na validação ou não da seqüência experimental. Analisando os dados da tabela 1 percebe-se o baixo desempenho dos alunos do grupo de controle, exceto pela atividade 4 que teve um índice maior. A explicação para esse resultado na atividade 4 dá-se em virtude do tipo tarefa, que utilizava na sua consecução o pensamento algébrico na forma intuitiva, através do cálculo mental. Por exemplo:

“Agrego um número ao número 300 e obtenho 1000. Que número agreguei?”

Tabela 1: Desempenho geral do Grupo de Controle. (%)

Aluno Pré-teste Atividade 1 Atividade 2 Atividade 3 Atividade 4 Pós-teste

a 20 0 50 100 55

b 20 0 85

c 40 26 93 63 85 11

d 40 14 30 20 28 16

e 40 42 90 40 92 55

f 40 42 30 100 11

g 0 28

h 20

i 20 28 15

Média 26,67 22,50 58,60 34,50 81,67 29,60

σ 14,14 16,55 31,14 21,86 27,13 23,28

Percebe-se na tabela 2, que indica os escores do grupo experimental, um desempenho um pouco melhor do que o grupo de controle em relação às seis

atividades desenvolvidas durante o experimento. Lembrando que nesse grupo o objetivo das atividades era produzir significados através da lógica das operações realizadas para justificar as afirmações feitas em relação ao núcleo da atividade. Por exemplo: “Em um estacionamento, há motos e carros. Ambos são chamados veículos, certo? Posso escrever V, para representar veículos; C, para carros; e M, para motos.” O objetivo dessa atividade era criar significados para afirmações do tipo:

“V – C = M” Outra informação importante é o índice de participação nas atividades. Verifica-se, conforme a tabela 3, que no GC os alunos faltavam muito às aulas, enquanto que no GE quase não houve faltas. Uma resposta para essa observação, obtida por questionamentos constantes aos alunos sobre a visão deles em relação às aulas, é que no GC as atividades desenvolvidas eram consideradas muito, além de não diferenciarem-se em nada das aulas habituais freqüentadas na escola. Opondo-se a isso, as atividades do GE eram sempre diferentes e desenvolvidas sob a perspectiva da contextualização para produção de significados e da articulação entre o pensamento aritmético e algébrico, proporcionando aulas mais interessantes e despertando nos alunos, maior desejo de participar das atividades.

Tabela 2: Desempenho do Grupo Experimental (GE). (%)

Aluno Pré-teste Atividade 1 Atividade 2 Atividade 3 Atividade 4 Atividade 5 Atividade 6 Pós-teste

a 40 68 10 10 50 50 22 b 0 100 63 30 100 100 100 55 c 0 0 68 30 40 75 22 d 60 100 100 85 100 100 100 44 e 60 100 50 90 80 80 100 66 f 40 100 81 65 70 80 100 77 g 20 50 50 50 50 50 50 42 h 20 50 70 50 70 50 100 42 i 20 100 75 35 50 30 28 j 20 100 69 60 80 100 61 l 20 100 92 80 20 45 100 55

Media 27,27 80,00 71,45 55,00 58,18 64,09 87,50 46,73 σ 20,54 34,96 15,38 27,27 29,94 24,58 21,25 18,04

A tabela 3 mostra o índice de freqüência nas sessões de ensino-aprendizagem de ambos os grupos durante a fase de experimentação. A justificativa para algumas faltas foi o fato de ter havido dois dias de chuva forte, o que impediu que alguns alunos fossem a escola.

Tabela 3: Freqüência dos Grupos de Controle (GC) e Experimental (GE). (%)

Sessões 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média GC 100 100 78 56 44 44 67 44 67 56 66 GE 100 100 91 100 91 91 100 100 100 100 97

Pelos índices contidos na tabela 4, observamos que o pré-teste revela grupos com distribuição normal, ou seja, seus elementos estão aproximadamente no mesmo nível. O desempenho medido pela análise de todas as atividades mostra uma considerável diferença de aproximadamente 20% na Média em favor do GE, o que mostra que as atividades desenvolvidas na seqüência didática para esse grupo atenderam aos objetivos de: produzir significados para álgebra e aritmética através de um processo em que haja articulação entre as mesmas. O pós-teste, que consiste de uma mesma avaliação aplicada a ambos os grupos, resultou numa diferença, em favor do GE, de aproximadamente 17% com desempenho mais regular para o GE, medido pelo Desvio padrão (σ). A ilustração 1 faz um paralelo entre os escores obtidos nos dois grupos e serve para visualizar melhor os dados tabelados.

Tabela 4: Medidas estatísticas para comparação de desempenho dos grupos. (%)

Pré-teste Atividades Pós-teste Média σ Média σ Média σ

GC 26,7 14,1 49,3 26,3 29,6 23,3 GE 27,3 20,5 69,4 12,7 46,7 18,0

49,3

29,6

69,4

46,7

26,7 27,3

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

Pré-teste Atividades Pós-teste

Observações

Méd

ia (%

)

Grupo de Controle

Grupo Experimental

Ilustração 1: Gráfico de comparação dos desempenhos dos grupos.

Contudo, é preciso comparar os escores alcançados pelos dois grupos com mais especificidade. Assim para saber se o desempenho médio dos dois grupos foi realmente diferente, realizou-se o Teste de Mann-Whitney, usado para testar se duas amostras independentes foram retiradas de populações com médias iguais. Utilizando os dados da tabela 5, um conjunto resumido de estatísticas calculadas pelo referido teste, ao nível de 5% de probabilidade para região critica (negação de hipótese), levantamos as seguintes hipóteses:

H0: as médias dos dois grupos são iguais. H1: as médias são diferentes. Verifica-se para todas as médias da tabela 5, que -1,96 ≤ Zcal ≤ 1,96, ou seja, a variável está fora da região crítica. Com isso não se pode rejeitar H0 e concluímos que ambos os grupos tiveram desempenhos médios iguais.

Tabela 5: Teste de hipóteses de Mann-Whitney para comparação de médias.

Grupo de Controle Grupo Experimental

n1 Média (%) R 1 U1 n2 Média (%) R 2 U2 Pré-teste 9 26,7 94 50 11 27,3 113 57,5

Atividades 4 49,3 17 17 6 69,4 49 -1 Pós-teste 5 29,6 29 41 11 46,7 107 19,5

Pré-teste Atividades Pós-teste

µ(U): 49,5 µ(U): 12,0 µ(U): 27,5 σ(U): 13,2 σ(U): 4,7 σ(U): 8,8 Zcal: 0,0 Zcal: 1,1 Zcal: 1,5

Embora se tenha chegado à conclusão de que ambos os grupos tiveram desempenhos médios iguais, não se pode dizer que privilegiar a compreensão, evidenciando os significados e os porquês no ensino da matemática, seja uma atitude neutra em relação ao ensino mecanizado. Pois como lembra Lorenzato (2006), tal atitude resultará em um ensino que dá condições ao aluno de construir seu próprio conhecimento. A seqüência didática experimental apresentada nesse trabalho é passível de reprodução em qualquer sala de aula, uma vez que requer para sua aplicação apenas o interesse do professor em criar atividades para melhorar o aprendizado dos alunos. Além disso, a mesma é constituída de atividades que articula bem a álgebra e a aritmética, uma vez que trabalha com relações quantitativas referentes aos núcleos dessas atividades.

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS A falta de compreensão dos alunos em situações de ensino aprendizagem na educação matemática faz com que muitos deles acreditem que a matemática é difícil e em grande parte inútil. Essa situação é evidenciada em muitas pesquisas atuais e antigas por todo o mundo, e muitas delas apontam como fator principal, o trabalho do professor. Seja por má formação profissional, ou mesmo por acomodação em virtude de: péssimas condições de trabalho, baixa remuneração ou perspectivas de ascensão profissional, o professor é quem carrega essa culpa, ao lado é claro do Estado e sua forma de governar.

Durante esse trabalho percebeu-se, que a Engenharia Didática constitui-se um referencial metodológico importante e viável para o processo de ensino e aprendizagem já que permite a compreensão dos efeitos causados pelas práticas docentes desenvolvidas em sala de aula (PANTOJA, 2006). Utilizando a Engenharia didática e pensando a educação aritmética e algébrica em temos de significados verificou-se a possibilidade de criar condições para que os alunos se motivem e desejem, cada vez mais, para aprender matemática. Além disso, possibilitou o desenvolvimento de um sentido numérico adequado e um pensamento algébrico autônomo, favorecendo assim a formação intelectual, cultural e social dos alunos. O trabalho realizado durante essa pesquisa não foi fácil, dificuldades de várias ordens surgiram, mas foram todas superadas. Ao interagir com os alunos através de situações didáticas metodologicamente preparadas para atingir um determinado objetivo para o aprendizado, esse pesquisador percebeu o grande desafio que constitui o trabalho de um professor determinado a ensinar verdadeiramente. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASIMOV, Isaac. No mundo da álgebra . 2. ed. Rio de Janeiro: F. Alves, 1989. 186p. BIANCHINI, B. L. ; SILVA, Maria Helena da. Análise do Primeiro Ciclo do PCN de Matemática do Ensino Fundamental em relação a Númer os e Operações . In: IX EBRAPEM, 2005, São Paulo. Anais do IX Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática. São Paulo : FE - USP, 2005. BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1998. _______. Ministério da Educação e do Desporto. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais. SAEB 2005 : novas perspectivas. Brasília, DF: INEP, 2005. CRUZ, Eliana da Silva. A noção de variável em livros didáticos de ensino fundamental: um estudo sob a ótica da organização p raxeológica. São Paulo (SP): PUC-SP, 2005. 46f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Orientador: Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud. FONSECA, Maria da Conceição Ferreira Reis; D'AMBROSIO, Ubiratan (Org.). Letramento no Brasil : Habilidades matemáticas . Reflexões a partir do INAF 2002. São Paulo: Global, 2004. 224 p. GROENWALD, Claudia Oliveira et al. Teoria dos Números e suas aplicações no processo de Ensino e Aprendizagem. Disponível em: < http://ccet.ucs.br/ eventos/ outros/egem/cientificos/cc79.pdf >. Acesso em: 5 jun 2007. LINS, Rômulo; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o Século XXI . Campinas: Papyrus, 1997. (Coleção Perspectivas em Educação Matemática). KAMII, Constance. Desvendando a Aritmética: Implicações da Teoria de Piaget . São Paulo. Papirus. 1995. p. 91-99. Programa Internacional de Avaliação de Alunos: Pisa . Disponível em <http://www.inep.gov.br/internacional/pisa/>. Acesso em: 27 maio 2007.

MARTINS, Gilberto de Andrade. Estaitstica Geral e Aplicada. 3ª Edição. São Paulo: Atlas, 2006. 421 p. MIRANDA, Marilene Moussa. A experiência Norte-Americana de fusão da Aritmética, Álgebra e Geometria e sua apropriação p ela educação matemática brasileira . Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – PUC/SP. São Paulo. 2003. Disponível em: http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/. Acesso em: 14 nov. 2006. PANTOJA, Lígia Françoise Lemos. Engenharia Didática: Articulando um Referencial Metodológico para o Ensino de Matemátic a na EJA. (Programa de Pós Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas). Universidade Federal do Pará – UFPA. 2006. ROSA, Jocélia et al. História da Matemática no Ensino da Matemática. Disponível em: <http://educacaomatematica.vilabol.uol.com.br/histmat/texto1.htm>. Acesso em: 5 jun. 2007. VIGOTSKI, Lev Semenovitch. Pensamento e Linguagem . São Paulo: Martins Fontes. 2003. 194 p. ZENERE, Liziane Cristine Sonda. Álgebra: Como encontrar o X da questão?. . (Especialização em Educação Matemática) – UNIVATES/Lajeado/RS. Rio Grande do Sul. 2005. Disponível em: <http://ccet.ucs.br/eventos/outros/egem/relatos/re03>. Acesso em 13 nov. 2007. ANEXOS A - SEQUÊNCIA DIDÁTICA APLICADA AO GRUPO EXPERIMENT AL ATIVIDADE 1 A lógica do todo e das partes Em um estacionamento, há motos e carros. Ambos são chamados veículos, certo? Posso escrever V, para representar veículos; C, para carros; e M, para motos.

ESTACIONAMENTO

O objetivo dessa atividade foi fazer o grupo entender a relação que existe entre o todo e as partes de um determinado conjunto de objetos e também o de dá os

Ilustração 2: Carros e motos. Fonte: http://images.google.com.br.

primeiros indícios do sentido de representação que as letras assumem. Para isso apresentou-se para o grupo a seguinte representação dessa situação:

Ilustração 3: Diagrama todo partes.

A partir dessa representação criaram-se junto com os alunos as seguintes afirmações:

� se juntarmos as motos e os carros, temos os veículos. M+C=V � Se dos veículos tirarmos os carros, restam as motos. V-C=M � E se dos veículos subtrairmos as motos, sobram os carros. V-M=C

Essas três frases tornam-se parâmetros para o pensamento algébrico da criança. Elas se referem a uma única situação e representam todas as relações possíveis dentro dela.

Após terminar as explicações foi passado um exercício para os alunos para ver se haviam assimilado as explicações. Tal exercício consistiu em criar afirmações como as vistas anteriormente para a seguinte situação: no meu guarda-roupas tenho bermudas, calças e camisetas. ATIVIDADE 2 Representação por diagramas O objetivo dessa atividade foi introduzir a representação simbólica de uma dada situação, mostrando a eles novas formas de se resolver um problema. A atividade caracterizou-se pela apresentação da seguinte situação:

1. Joãozinho tinha 5 bolas de gude, ganhou algumas e ficou com 15. Quantas bolinhas ganhou?

2. Joãozinho tinha 15 bolinhas de gude, perdeu algumas e ficou com 5. Quantas

bolinhas perdeu? Foi pedido aos alunos como primeira tarefa dessa atividade para que eles analisassem os dois problemas e respondessem se eram de “mais” ou de “menos”, ou seja, que identificassem se usariam adição ou subtração na resolução do problema. Após a tarefa apresentou-se para alunos os seguintes diagramas:

1.

2.

Dessa maneira, fica evidente que, nos dois casos, a resposta é 10 e a operação necessária é a subtração 15-5. Após as explicações e de responder as duvidas dos alunos foi apresentada a segunda tarefa para essa atividade de representação por diagramas. Tal tarefa consistiu na resolução de uma lista de problemas preparados sob a perspectiva do campo aditivo, para fazer os alunos perceberem que diferentes situações podem ser resolvidas pelo uso de uma mesma operação. A segunda tarefa então consistiu na resolução da seguinte lista de problemas:

1. Marina tinha 20 figurinhas e ganhou 15 num jogo. Quantas figurinhas ela tem agora?

2. Aline tinha algumas figurinhas. Ganhou algumas e focou com 45. quantas figurinhas ela ganhou?

3. Pedro tinha 37 bolinhas, mas perdeu 12. quantas bolinhas ele tem agora? 4. Kairo tinha varias bolinhas, perdeu 8 e agora tem 51. Quantas bolinhas ele

tinha antes? 5. Numa classe, há 15 meninos e 13 meninas. Quantas crianças há ao todo? 6. Em uma classe de 47 alunos, 15 são meninos. Quantas são as meninas?

A terceira tarefa para essa atividade teve como principal objetivo o de introduzir o conceito de incógnita sendo construído no interior de atividades envolvendo operações do campo aditivo. Para essa tarefa apresentou-se dois quadros, um com problemas de composição de medidas com incógnita em uma das medidas e outro com problemas de comparação e de combinação de medidas com incógnita na composição. São eles:

SESSÃO DE CINEMA Completem a tabela com base na seguinte informação: no Cinema Central há 150 poltronas. Quantas ficam ocupadas e quantas ficaram vazias na última sessão de cada dia da semana?

ULTIMA SESSÃO POLTRONAS OCUPADAS POLTRONAS VAZIAS Domingo 95 Segunda-feira 37 Terça-feira 104 Quarta-feira 131 Quinta-feira 83 Sexta-feira 29 Sábado 8

ATIVIDADE 3 A balança de dois pratos Para introduzir o conceito de equação para o grupo utilizou-se a metáfora da balança de dois pratos. Apresentou-se aos alunos uma serie de desenhos de uma balança de dois pratos, vários sacos de pesos desconhecidos marcados com a letra X e pesos diversos, e problemas sobre o equilíbrio entre os pesos e os sacos na balança. Mesmo sabendo que tal atividade possui limitações quanto à produção de significados para as situações em que apare como resposta números negativos, ela foi escolhida pelo fato de poder ser modelada com uma equação linear, uma vez que seu equilíbrio corresponde a uma equação, ou seja, a uma igualdade no sentido de uma equivalência que compara os conteúdos dos dois pratos. Para explicação inicial apresentou ao grupo a seguinte situação:

Explicou-se aos alunos que para que a balança permanecesse em equilíbrio a somas dos sacos com os pesos de ambos os pratos deveriam ser iguais, sugerindo em seguida que realizassem alguns testes atribuindo valores iguais aos sacos com pesos desconhecidos e fazendo a comparação entre os resultados. Após os alunos descobrirem o valor de “X” através dos testes, o professor então modelou a situação para uma equação escrevendo e explicando a seguinte igualdade:

“5 + X = 3 + X + X”

QUEM VENCEU?

EQUIPES JOGADAS

1ª 2ª 3ª 4ª

AZUL 11 100 9 700 4 200 3 100

VERMELHA 2 700 5 200 12 000 5 500

VERDE 20 000 11 300 9 000 2 700

AMARELA 2 100 6000 12 000 6 800

ROSA 3 200 17 000 3 000 2 000 Você é da equipe azul. Ela ganhou? Qual é a diferença de pontos entre a equipe vencedora e a perdedora? Quantos pontos deveria ter feito a equipe vermelha na ultima rodada ara atingir o vencedor?

Problema: Quanto deve pesar cada saco para que a balança permaneça em equilíbrio?

Seguindo a explicação, utilizou-se como procedimento para a resolução da equação o principio aditivo, no sentido de isolar a incógnita em um dos lados da igualdade efetuando operações em ambos os lados sempre com o cuidado de garantir o equilíbrio da balança representada pela equação. Por fim distribui-se ao grupo uma lista de outras 4 situações envolvendo a balança de dois pratos. Vamos descobrir qual o valor de cada saco para que a balança permaneça em equilíbrio?

Nesse exercício permitiu-se que os alunos resolvessem os problemas testando hipóteses para os valores das incógnitas para dá-lhes familiaridade com o comportamento da balança e suas relações com a matemática. Os alunos foram Incentivados a escreverem equações sobre o comportamento das balanças, mesmo eles tendo encontrado os resultados pelo testes de hipóteses, uma estratégia essencialmente aritmética. Foram registrados todos os tipos de expressões produzidas, mesmos as erradas e sem símbolos algébricos, e feita uma discussão sobre a validade delas em relação ao núcleo das balanças para criar oportunidades de os alunos aprenderem a construir argumentos matemáticos para problemas e situações engajando-os em atividade algébrica. ATIVIDADE 4 TANQUES A finalidade dessa atividade foi de fazer os alunos criarem afirmações a cerca do núcleo “tanques” produzindo significados aos objetos matemáticos criados para justificar suas afirmações sobre a situação.

Feita então a leitura da situação apresentado o professor incentivou os alunos a falarem sobre a situação. A primeira afirmação foi a de que no tanque da esquerda havia menos água que no da direita, e então foi perguntado: “o que é que garante que o que vocês sabem que podem dizer isso?” E surgiram as seguintes justificações: Aluno A: “dá pra ver no desenho dos baldes.” Aluno B: “porque faltam mais baldes para encher o tanque da esquerda e eles são iguais”. Seguindo as discussões, o professor tratou das notações, introduzindo letras pra designar o tanto de água em cada tanque. Os alunos usaram diversas letras para representar o tanto de água de cada tanque. O professor usou “X” para o tanque da esquerda, “Y” para o da direita e “b” para baldes. Não houve nesse momento dificuldades de entendimento. Introduzidas as notações, tratou-se de se criar outras afirmações sobre a situação dos tanques de água, sempre com o cuidado de produzir significados através da justificação pela lógica das operações. Algumas afirmações selecionadas com suas justificações são: “Se juntarmos 4 baldes a X, ficarão faltando 5 baldes do lado esquerdo, que é o mesmo que falta do lado direito.”

“X + 4b = Y” “Se retirarmos 4 baldes de Y, ficarão faltando 9 baldes do lado direito, que é o mesmo que falta do lado esquerdo.”

“Y – 4b = X” Essas afirmações visaram estabelecer que a diferença entre os dois tanques era de 4 baldes. Tal afirmação foi justificada através da seguinte operação: retire um balde do tanque esquerdo e um do tanque direito. Quando o tanque esquerdo for esgotado, sobrarão 4 baldes no tanque direito. Utilizou-se a seguinte equação para ilustrar a operação:

“X + 9 = Y + 5” Essa afirmação, produzida por alguns alunos, significa a situação em que os tanques ficam com o mesmo nível de água. Logo retirando-se um balde de cada vez em ambos os tanques, quando o 1º membro zerar o segundo ainda terá 4 baldes.

Como exercício envolvendo grandezas desconhecidas foi distribuída para os alunos uma lista contendo duas tarefas. São elas: 1. Seja a seguinte situação-problema: Um grupo de pedreiros de Águas Lindas é capaz de construir uma certa quantidade de casas em um mês, enquanto outro grupo de pedreiros de Ceilândia constrói uma outra quantidade de casas ao mesmo tempo. Vamos chamar de A esse tanto de casas que o grupo de pedreiros de Águas Lindas constrói e vamos chamar de C o tanto de casas construídas pelo grupo de pedreiros de Ceilândia . Nós sabemos que A é maior do que B. O que poderíamos sugerir fazer para que número de casas construídas pelo segundo grupo de pedreiros se tornasse igual ao número de casas construídas pelo primeiro grupo? 2. Coloque o sinal que você acha certo:

V = L X > Y a) V – X _____ L – Y b) V + Y _____L + X c) V – L = ______ ATIVIDADE 5 Introdução ao Processo de generalização A finalidade dessa atividade foi a de trabalhar com seqüências numéricas que seguem um padrão simples de formação. O objetivo foi produzir junto com os alunos a expressão algébrica para generalizar padrões aritméticos.

Apresentou-se a seguinte tabela:

Tabela 1 1 3 2 6 3 9 4 12 5 ? 6 ?

A primeira orientação foi para que eles observassem o comportamento de cada coluna. Todos perceberam que a coluna da esquerda começava com 1 que a seqüência era formada pela soma de uma unidade, e que a coluna da direita era de 3 em 3. O professor então mostrou como as duas colunas se relacionavam e qual era a operação empregada na formação da coluna da direita. Escreveu no quadro as seguintes expressões: 3 x 1 = 3, 3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9. Em seguida, percebendo que todos já haviam entendido, introduziu-se as notações, estabelecendo que os números da coluna da esquerda seriam representados pela letra “E” e os da direita

pela letra “D”. Com isso foi possível representar, de forma que todos entendessem, que a expressão: 3 x E = D, relacionava os elementos da coluna direita sendo então possível calcular os dois valores desconhecidos da tabela e qualquer outro que se quisesse. Como exercício para essa atividade foram propostas as seguintes tabelas:

Tabela 2 2 20 3 30 4 40 5 50 6 ? 7 ?

Tabela 3

3 5 4 6 5 7 6 8 7 ? 8 ?