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1. INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS EM MOVIMENTO
1.1. IntroduçãoOs movimentos dos fluidos se manifestam de várias maneiras diferentes; alguns podem ser descritos facilmente ao passo que outros, para sua descrição, necessitam de equações físicas complexas.
Nas aplicações de engenharia é importante descrever os movimentos dos fluidos do modo mais simples que se possa justificar.
Muitas vezes precisões de ± 10% são aceitáveis, embora em algumas aplicações, precisões maiores devam ser alcançadas.
As equações gerais do movimento fluido são muito difíceis de se resolver.
Sendo assim, é da responsabilidade do engenheiro saber quais passos de simplificação podem ser empregados; o que requer experiência e mais importante, compreensão da física envolvida.
Algumas hipóteses comuns usadas para simplificar uma dada situação do escoamento são relacionadas às propriedades do fluido.
a) Inviscito.
b) Incompressível.
É sabido que a compressibilidade de um gás em movimento deve ser levada em conta, se as velocidades são muito elevadas.
As velocidades do vento, simplesmente, não são altas o suficiente.
1.2. Descrição do Movimento dos Fluidos
Tem como objetivo procura uma formulação matemática mais simples.
1.2.1. Descrições lagrangiana e euleriana
Fluido meio contínuo
Discretização do fluido em partículas isoladas de volume d (muito pequeno, mas com um grande número de moléculas)
No estudo da mecânica das partículas, no qual a atenção é focalizada nas partículas individuais, o movimento é observado em função do tempo.
)t,z,y,x(ss 000
posição da partícula
)t,z,y,x(VV 000
velocidade da partícula
)t,z,y,x(aa 000
aceleração da partícula
)z,y,x(ss 00000
ponto inicial (“rótulo” = nome da partícula)
Esta descrição é conhecida como descrição lagrangiana.
Joseph L. Lagrange (1736-1813)
Na descrição lagrangiana as partículas individuais são acompanhadas ao longo do escoamento como função do tempo.
Esta tarefa torna-se difícil uma vez que o número de partículas é muito grande, no escoamento de um fluido.
Uma alternativa é fixar pontos no espaço e observar a evolução das propriedades do escoamento, nestes pontos, em função do tempo.
)t,z,y,x(VV
velocidade do escoamento
)t,z,y,x( massa específica do fluido
A região do escoamento que está sendo observada é chamada de “campo de escoamento”.
Esta descrição é conhecida como descrição euleriana.
Leonard Euler (1707 – 1789).
Se:
.etc0t
;0tp;0
tV
O escoamento é dito permanente.
Neste escoamento as propriedades não variam com o tempo em um mesmo ponto.
Contudo, podem variar de um ponto a outro do escoamento.
1.2.2. Trajetória, linha de emissão e linha de corrente
• Trajetória – caminho percorrido por uma partícula ao longo do escoamento.
• Linha de emissão – linha instantânea, formada pela união de partículas que passaram sucessivamente, por um mesmo ponto no escoamento.
• Linha de corrente – é uma linha no escoamento que possui a seguinte propriedade: o vetor velocidade de cada partícula que ocupa um ponto na linha de corrente é tangente à LC.
X
Y
Z
posiçãovetorS
velocidadevetorV
LCdeelementord
LC
senrV0rdV
• Tubo de corrente – é um tubo (imaginário), cujas paredes são formadas por LC.
1.2.3. Aceleração
X
Y
Z
)t(V
Trajetória)tt(V
Partícula noInstante t.
Partícula noInstante t + t.
A aceleração é dada pela derivada temporal da velocidade.
dtVda
Sendo o vetor velocidade,
kwjviu)t,z,y,x(VV
dttVdz
zVdy
yVdx
xVVd
Considerando a regra da cadeia para a derivação,
Ou seja:
,udtdx
tV
dtdz
zV
dtdy
yV
dtdx
xVa
dtVd
Mas:
vdtdy ,w
dtdze desta forma:
tV
zVw
yVv
xVua
tu
zuw
yuv
xuuax
tw
zww
ywv
xwuaz
tv
zvw
yvv
xvuay
Esta é uma equação vetorial e corresponde a três equações escalares. Ou seja:
aceleração convectiva (alterações associadas à mudança de posição)
Por sua vez, com:
kz
jy
ix
então:
zw
yv
xuV
Usando esta notação vetorial, a expressão para o cálculo da aceleração passa a ser escrita de uma forma mais compacta.
V)V(tVa
ponto de vista euleriano.
tV
aceleração local [(x, y, z) = fixo; posição fixa]V)V(
Trajetória
Partícula noInstante t.
Partícula noInstante t + t.
DtVDa
Observe que esta é uma derivada especial, uma vez que é tomada acompanhando o movimento da partícula ao longo de sua trajetória.
Esta derivada recebe um nome especial, ou seja, “derivada substancial”, sendo denotada pela letra D (maiúsculo).
Assim, a aceleração passa a ser escrita como:
obtida diretamente no ponto de vista lagrangiano.
A derivada substancial, também conhecida por derivada material, é calculado no ponto de vista euleriano, pela expressão:
A derivada substancial representa a relação entre a formulação lagrangiana, na qual a quantidade depende do tempo (t) e a formulação euleriana, na qual a quantidade depende da posição (x, y, z,) e do tempo (t).
A derivada substancial pode ser usada com outras variáveis dependentes, diferentes da velocidade.
tzw
yv
xu
DtD
P
Movimento relativo a um referencial não inercialConsidere [X,Y,Z] como sendo as coordenadas de um referencial inercial e [x,y,z] as coordenadas de um referencial não inercial.
Uma partícula P pode ser observada destes dois referenciais.
Assim:
X
Y
Z
x
y
z
R
r
S
V
rSR
DtrD
DtSD
DtRD
IVRDtRD
SDt
SD Referencial
inercial
Referencial
não inercial
)k(z)j(y)i(xkwjviuDt
rD
rV)kzjyix(VDt
rD
rSVVI
Teorema de composição de velocidades.
)kzjyix(DtD
DtrD
DtkDz
DtjDy
DtiDxk
DtDzj
DtDyi
DtDx
DtrD
fixokfixojfixoi
Para se chegar ao teorema de composição de acelerações, basta derivar mais uma vez a Eq. anterior. Assim:
)r(DtD
DtSD
DtVD
DtVD I
ARVDtVD
II
Aceleração da partícula vista do referencial inercial (absoluta)
SDt
SDDt
SD2
2 Aceleração absoluta da origem do referencial
não inercial
)kwjviu(DtD
DtVD
DtkDw
DtjDv
DtiDuk
DtDwj
DtDvi
DtDu
DtVD
fixokfixojfixoi
)k(w)j(v)i(ukajaiaDtVD
zyx
Va)kwjviu(aDtVD
rDtVDa
Aceleração da partícula vista do referencial não
inercial
DtrDr
DtD)r(
DtD
rrDtD
Aceleração tangencial
)r(V)rV(Dt
rD
V2
)r(
Aceleração de Coriolis
Aceleração normal
Finalmente, tem-se o teorema de composição de acelerações.
arDtD)V(r2
DtSDA 2
2
rDtD)V(r2
DtSD*a 2
2
Aceleração aparente
De modo que:
a*aA
1.2.4. Velocidade angular e vorticidade
O movimento geral de uma partícula fluida, pode ser decomposto em movimentos mais simples. Ou seja:
• Movimento de translação (trivial);
• Movimento de rotação;
• Movimento de deformação angular;
• Movimento de deformação volumétrica.
Considere uma partícula pequena de fluido que ocupa um volume infinitesimal, cuja face no plano xy é mostrada na Figura 3.6.
u
v2dx
xvv
2dx
xvv
2dy
yuu
2dy
yuu
dx
dyA B
C
D
x
y
Figura 3.6 Partícula fluida elementar
A velocidade angular de rotação é definida como sendo a média entre a velocidade angular de dois seguimentos de reta ortogonais entre si, passando pela partícula.
O sentido positivo é dado pela regra da mão direita.
Ou seja, de x para y.
Para o seguimento AB
xvdx)
2dx
xvv(
2dx
xvv
dxvv AB
AB
Já, para o seguimento CD, fica:
yudy)
2dy
yuu(
2dy
yuu
dyuu CD
CD
A B
C
D
Sendo o vetor velocidade angular escrito como:
Logo, o componente da velocidade angular em z, será:
yu
xv
21
z
Com procedimento análogo, chega-se aos componentes em x e y.
x
y
z
xw
zu
21
y
zv
yw
21
x
kji zyx
Por sua vez, a vorticidade é definida como sendo duas vezes a velocidade angular, de modo que:
A deformação angular é a taxa de variação do ângulo que o segmento AB faz com o segmento CD.
Sua componente no plano xy é dada por:
yu
xv
21
21
CDABxy
Um escoamento é dito irrotacional se: 0
xw
zu
y;zv
yw
x
yu
xve z
yv
yy
Os componentes para os planos xz e yz, ficam:
zu
xw
21
xz
zv
yw
21e yz
A partícula fluida também pode ser esticada ou comprimida (deformação volumétrica).
Se o ponto B está se movendo mais rapidamente que o A, a partícula está esticando na direção x. Então:
xudx)
2dx
xuu(
2dx
xuu
dxuu AB
xx
Nas direções y e z, vem:
zwe zz
O tensor deformação pode ser escrito como:
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
Os termos da diagonal principal correspondem à deformação volumétrica, ao passo que os termos fora desta diagonal correspondem aos termos de deformação angular.
Para meios não polares, prova-se que o tensor deformação é simétrico. Assim,
zyyzzxxzyxxy e;
Exemplo 3.1O campo de velocidade é dado por m/s, em que x e y estão em metros e t está em segundos. Encontre a equação da linha de corrente, passando por (2, -1) e o vetor unitário normal à linha de corrente em (2, -1) em t = 4 s.
jytix2V
Solução:O vetor velocidade é tangente à linha de corrente, de modo que:
0rdV
No instante t = 4 s, vem:
0k)dxy4dyx2()jdyidx()jy4ix2(
kji
Clnxln2yln
x
y
z
ij
k
kij
0jjii
OBS.
Como o vetor unitário não é nulo, resulta:
dxy4dyx2 xdx2
ydy
Integrando, vem:
Esta equação pode ser reescrita como:
Cyx2
Portanto:
4yx2
No ponto (2, -1), C = -4, resultando para a Eq. da LC que passa por esse ponto,
)Cxln(Clnxlnyln 22
O vetor unitário normal a LC é perpendicular ao vetor velocidade neste ponto. Assim,
0)jnin()j4i4(nV yx
De modo que:
yxyx nn0n4n4
vetor unitário, então:n
2x
2y
2x n21nn
22
21nx
Portanto, o vetor unitário normal à LC no ponto (2, -1) é,
)ji(22n
Exemplo 3.2Um campo de velocidade num escoamento particular é dado por m/s. Calcule a aceleração, a velocidade angular, o vetor vorticidade e quaisquer componentes da taxa de deformação não nulas no ponto (1, -1, 2).
Solução:
jxy20iy20V 2
tV
zVw
yVv
xVua
= 0 = 0
)jx20iy40(xy20)jy20(y20a 2
j)yxy(400ixy800a 232
jxy20iy20V 2
A aceleração pode ser calculada a partir de:
A aceleração no ponto (1, -1, 2) é:
s/mi800a 2
A velocidade angular no ponto (1, -1, 2) é calculada.
.s/rad30)y40y20(21
yu
xv
21
z
0xw
zu
21
y
0zv
yw
21
x
= 0 = 0
= 0 = 0
jxy20iy20V 2
O vetor velocidade angular no ponto (1, -1, 2) é então:
s/radk30
A vorticidade, como é o dobro da velocidade angular, é dada por:
s/radk60
Os componentes não nulos da taxa de deformação, são:
s/rad10)y40y20(21
yu
xv
21
xy
s/rad20x20yv
yy
1.3. Classificação de Escoamentos
1.3.1. Escoamentos uni, bi e tridimensionais
Na descrição euleriana o vetor velocidade, em geral, depende das três coordenadas espaciais e do tempo, ou seja:
)t,z,y,x(VV
Observa-se que a velocidade depende das três coordenadas espaciais, portanto, trata-se de um escoamento tridimensional.
Como depende do tempo é ainda, variado ou não permanente.
)z,y,x(VV
Neste caso o escoamento é tridimensional e permanente.
A Fig. 3.7 mostra um exemplo de escoamento tridimensional.
Figura 3.7 Escoamento com ponto de estagnação
ensionaisdimbisescoamento),y,x(VV
)t,y,x(VV
Por sua vez, escoamento unidimensional é aquele no qual o vetor velocidade depende de apenas uma coordenada espacial.
Tais escoamentos ocorrem em tubulações longas e retas, ou entre placas paralelas, como mostrado na Fig. 3.8.
Figura 3.8 Escoamento unidimensional
a) em uma tubulação b) entre placas paralelas
u = u(r) escoamento em tubos
u = u(y) escoamento entre placas paralelas.
Escoamento uniforme
Quando a velocidade e outras propriedades do fluido são constantes em uma mesma seção, como ilustra a Fig. 3.9.
Figura 3.9 Perfis de velocidades uniformes
Esta simplificação é feita quando a velocidade é, essencialmente, constante em uma seção, fato que ocorre com muita freqüência na engenharia.
1.3.2. Escoamentos viscosos e não viscosos
Os escoamento são classificados em:
Viscosos e
Não viscosos.
Em um escoamento viscoso os efeitos da viscosidade são importantes e não podem ser desprezados.
Já em um escoamento não viscoso os efeitos da viscosidade podem ser desprezados.
Com base em experiências, foi descoberto que a classe primária de escoamentos que podem ser modelados como escoamentos não viscosos é a de escoamentos externos, ou seja, escoamentos que ocorrem fora de um corpo.
A Fig. 3.10 ilustra um escoamento externo.
Figura 3.10 Escoamento ao redor de um aerofólio
Camada limite
x
y
V = Cte.
u = u(y)
V
Efeitos viscosos preponderantes(escoamento viscoso)
Efeitos viscosos desprezíveis
= espessura da CL (99% da variação de u).
Lei da viscosidade de Newton
dydu
.0pequenodydupara
Camada Limite (CL)
1.3.3. Escoamentos laminares e turbulentos
laminar eEscoamento viscoso
turbulento.
microscópica eAgitação mistura
macroscópica.
Microscópica nível de moléculas.
Macroscópica nível de partículas.
Escoamento laminar: a agitação em nível macroscópico não se faz presente.As tensões de cisalhamento viscoso sempre influem em um escoamento laminar.O escoamento laminar pode ser dependente do tempo, como o que ocorre na saída de uma bomba a pistão Fig. 3.11a, ou pode ser constante Fig. 3.11b.
Figura 3.11 Velocidade em função do temo num escoamento laminara) Escoamento não permanente b) Escoamento permanente
Escoamento turbulento: ocorre grande troca de partículas entre camadas adjacentes.No escoamento turbulento quantidades como velocidade e pressão, variam aleatoriamente com o tempo.As quantidades físicas são, em muitas das vezes, descritas por médias estatísticas, Fig. 3.12.
Figura 3.11 Velocidade em função do temo num escoamento turbulentoa) Escoamento não permanente b) Escoamento permanente
O regime de escoamento é identificado em função de um parâmetro adimensional conhecido por número de Reynolds.
Osborne Reynolds (1842 – 1912).
LVLVRe
V – velocidade característica (m/s).
L – comprimento característico (m).
– massa específica (kg/m3).
– viscosidade dinâmica [kg/(ms)].
– viscosidade cinemática (m2/s).
Número de Reynolds crítico Recrít
Re < Recrít escoamento laminar.
Escoamento em tubos:V = velocidade médiaL = D = diâmetro do tuboRecrít 2000.
Placas planas paralelas:L = h = distância entre as placasRecrít 1500.
Escoamento na camada limite (Fig. 3.16).
Figura 3.16 Escoamento na LC sobre uma placa plana
L = x = distância sobre a placa (medida a partir do bordo de ataque)
Re = Rex
Placa plana:Recrít 5105 (rugosa) a 106 (lisa).
T
Exemplo 3.3A tubulação de 2 cm de diâmetro da Fig. E3.3 é usada para transportar água a 20º C. Qual a máxima velocidade média que pode ocorrer na tubulação, garantindo um escoamento laminar?
Figura E3.3
Solução:Água a 20º C, logo = 10-6 m2/s.
Escoamento em tubos Recrít 2000.
DVRe .s/m100,002,0102000
DReV
6
Velocidades tão pequenas, raramente são encontradas em situações reais; portanto, o escoamento laminar é raramente de interesse na engenharia, quando do escoamento de fluidos de baixa viscosidade.
1.3.4. Escoamentos incompressíveis e compressíveis
Um dado escoamento é dito incompressível se, ao se acompanhar o movimento de uma partícula ao longo de sua trajetória, o seu volume não mudar com o tempo (ponto de vista lagrangiano).
0DtD
Como msis =Cte. e,
ddm
então:
0DtD
escoamento incompressível.
Escoamentos incompressíveis:
• líquidos e
• gases a baixa velocidade.
Portanto, em um escoamento incompressível a massa específica se conserva ao longo da trajetória, escoamento conservativo.
O que não obriga que a massa específica seja constante em todo o campo (constancia da massa específica).
Exemplo: escoamento estratificado.
Número de Mach. - Ernest Mach (1838 – 1916).
cVM número de Mach
c velocidade de propagação do som (perturbação) no meio fluido
Para gases (perfeitos).
TRkc
R constante do gás
T temperatura termodinâmica
v
p
cc
k constante adiabática
Se M < 0,30 escoamento incompressível.
Escoamentos incompressíveis com gás:• ventilação;• ar condicionado;• escoamentos atmosféricos; etc.
1.4. Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli decorre da aplicação da 2ª Lei de Newton a uma partícula fluida.
admFd
Lembrar que esta aceleração é uma aceleração inercial.
1a hipótese simplificadora:
Efeitos viscosos desprezíveis escoamento inviscito (forças de cisalhamento nulas)
Considere-se uma partícula infinitesimal cilíndrica, como mostra a Fig. 3.17.
Figura 3.17 Partícula movendo-se ao longo de uma LC
Considerando a Eq. do movimento de Newton na direção da LC,
sadsdAcosdAgdA)dsspp(dAp
tV
sVV
DtDVa
ss
com:
vem:
2a hipótese simplificadora:
Escoamento permanente, então:
e a aceleração resulta:0tV
sV
21
sVVa
2
s
ds
shdh
ds
Observando a figura,
dsshcosdsdh
shcos
Na Eq. de Newton,
sV
21
shg
sp 2
3a hipótese simplificadora:
Escoamento incompressível = Cte.
0)hg2
Vp(s
2
4a hipótese simplificadora:
Escoamento em uma mesma LC. Assim,
.Ctehg2
Vp 2
Eq. de Bernoulli.
Daniel Bernoulli (1700 – 1782).
A constante de integração (conhecida por constante de Bernoulli), varia, em geral, de uma a outra LC; permanecendo constante quando o escoamento de dá ao longo de uma mesma LC.
Dividindo por g e aplicando entre os pontos 1 e 2, vem:
.Ctehg2
Vphg2
Vp2
222
1
211
Eq. de Bernoulli.
p
g2V2
h
carga de pressão (m)
carga de velocidade ou dinâmica (m)
carga de posição (m)
hp
carga piezométrica (m)
hg2
Vp 2
carga total (m)
Em termos de pressão,
.Ctehg2
Vphg2
Vp 2
22
21
21
1 Eq. de Bernoulli.
p
2V2
hg
pressão estática (N/m2)
pressão dinâmica (N/m2)
pressão de posição (N/m2)
2Vp
2
pressão de estagnação (N/m2)
A Fig. 3.18 mostra alguns medidores de pressão.
(Pressão de estagnação)
Figura 3.18 Medidores de pressão:a) Tubo piezométrico;b) Tubo de pitot;c) Tubo pitot estático.
A velocidade no ponto 1 pode ser determinada com a Eq. de Bernoulli. Ou seja:
2
222
1
211 h
g2Vph
g2Vp
)pp(2V 121
= 0
Os efeitos viscosos são geralmente muito pequenos e necessitam de grandes distâncias para que se tornem significativos; portanto, em situações como as mostradas na Fig. 3.19, os efeitos viscosos podem ser desprezados.
Figura 3.19 Escoamentos interno não viscosos:a) Escoamento em uma contração;b) Escoamento a partir de um tanque pressurizado.
Não é sempre que escoamentos não viscosos apresentam uma boa aproximação ao escoamento real. Considere o escoamento não viscoso ao redor da esfera mostrada na Fig. 3.20.
Figura 3.19 Escoamento ao redor de uma esfera:a) Escoamento não viscoso;b) Escoamento real.
Exemplo 3.4Em uma tempestade, a velocidade do vento atinge 100 km/h. Calcule a força agindo na janela de 0,90 m x 1,8 m de frente para a tormenta, mostrada na Fig. E3.4. A janela está num edifício alto, tal que a velocidade do vento não é reduzida pelos efeitos do solo. Use = 1,20 kg/m3.
Figura E3.4
V = 100 km/h
Solução:
A janela de frente para a tormenta está em uma região de estagnação, onde a velocidade do vento é reduzida a zero.Trabalhando com pressões efetivas, a pressão no vento, em um ponto à montante é zero (pressão atmosférica). A Eq. de Bernoulli pode ser aplicada.
V b h
100,0 0,600 1,800 1,200km/h m m kg/m3
27,78 m/s
Dados:
2
222
1
211 z
g2Vpz
g2Vp
= 0= 0
.m/N0,4632
78,2720,12Vp 2
221
2
Conhecida a pressão na janela (estagnação), a força pode ser calculada.
.N0,75080,190,00,463ApF
Exemplo 3.5A carga de pressão estática em uma tubulação de ar (Fig. E3.5) é medida com um tubo piezométrico e acusa 16 mm de água. Um tubo de pitot na mesma localização indica 24 mm de água. Calcule a velocidade do ar a 20º C. Calcule também o número de Mach e comente quanto a compressibilidade do escoamento.
Figura E3.5
Dados:
Solução:
De inicio, a partir da relação pressão altura, as pressões nos pontos 1 e 2, devem ser determinadas.
h1 h2 T água g16,00 24,00 20° 1000 9,81mm ca mm ca C kg/m3 m/s2
Pa0,157016,01081,9hp 311
Pa4,235024,01081,9hp 322
Considerando a Eq. de estado para um gás perfeito, a massa específica do ar é calculada. Lembrar que em sendo esta uma Eq. termodinâmica, a pressão e temperatura devem estar em escalas absolutas.
3ar m/kg203,1
)0,27320(2871010000,157
TRp
Aplicando a Eq. de Bernoulli e tendo em conta que o ponto 2 é um ponto de estagnação, vem:
2
222
1
211 z
g2Vpz
g2Vp
= 0= 0
Com pb = 101000 Pa (pressão barométrica – escala absoluta)
Com o objetivo de calcular o número de Mach, a velocidade de propagação do som é calculada.A relação de calores específicos para o ar é 1,40.Já a constante do ar é 287,0 m2/s2/K.
.s/m1,343)27320(0,28740,1TRkc
O número de Mach é calculado.
03329,01,343
42,11cVM
M < 0,3. Logo o escoamento é incompressível.
s/m42,11)0,1574,235(203,12)pp(2V 12
ar1
Exemplo 3.7Explique por que uma rebarba disposta junto ao orifício de entrada do tubo piezométrico da Fig. 3.18a e situada à montante do escoamento, resultará em uma leitura baixa da pressão.
Figura 3.18 Medidores de pressão:a) Tubo piezométrico;b) Tubo de pitot;c) Tubo pitot estático.
(Pressão de estagnação)
Solução:
Uma rebarba no lado anterior da abertura do tubo piezométrico, resultará em um escoamento na vizinhança da abertura, semelhante àquele mostrado na Fig. E3.7.
Figura E3.7
Esta rebarba irá causar um descolamento na entrada do tubo piezométrico.
Na face de montante da rebarba, haverá um ponto de estagnação, com o conseqüente aumento de pressão.
Já, na face de jusante, haverá uma região de escoamento descolado, causando uma diminuição da pressão na entrada do orifício.
Assim, à entrada do orifício se terá uma pressão menor que a pressão reinante na tubulação, fazendo com que a pressão lida fique mais baixa.