07-solidos

Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Slidos I - 1

7

SLIDOS I

Neste captulo mostra-se como se representam pirmides, prismas, cones e

cilindros em diferentes circunstncias, recorrendo ou no a processos auxilia-

res. Mostra-se tambm como se traam e determinam planos e retas tangentes

a esses slidos e esfera.

Sumrio:

2. Nomenclatura de slidos

3, 4 e 5. Representao de pirmides e de prismas com bases

projetantes

6 e 7. Representao de pirmides e de prismas com bases no

projetantes

8, 9 e 10. Representao de cones e de cilindros com bases projetantes

11 e 12. Representao de slidos mediante condies especficas

13 e 14. Representao de pontos e de linhas nas superfcies dos

slidos

15. Planos e retas tangentes aos slidos no espao

16 e 17. Planos e retas tangentes a prismas e a pirmides

18, 19, 20 e 21. Planos e retas tangentes a cilindros, a cones e esfera

22, 23 e 24. Exerccios


Nomenclatura de slidos

Para que os termos utilizados nas pginas que se seguem no constituam impasse compreenso

dos contedos nelas expostos, apresenta-se aqui a nomenclatura empregue no estudo dos slidos.

Nomenclatura da pirmide, do prisma, do cone, do cilindro e da esfera Junto a cada slido apresentam-se os termos relativos a estes slidos, que convm conhecer.

V

A

B

C

V - Vrtice da pirmide

A, B e C - Vrtices da base

[ABC] - Base

[AB] - Aresta da base

[ABV] - Face (lateral)

[AV] - Aresta lateral

[PV] - Geratriz

[DEFG] e [DEFG] - Bases infe-

rior e superior

D, E, F, G e D, E, F, G - Vrti-

ces das bases inferior e superior

[DEED] - Face (lateral)

[DE] e [DE] - Arestas das bases

[DD] - Aresta lateral

[PP] - Geratriz

D E

F G

D

G F

E

V

[b]

O

A

B

V - Vrtice

[b] - Base

O - Centro da base

[VO] - Eixo

[VA] - Geratriz

[VB] - Geratriz de contorno

O

O

[b]

[b]

A

A B

B

[b] - Base inferior

[b] - Base superior

O e O - Centros das bases

[OO] - Eixo

[AA] - Geratriz

[BB] - Geratriz de contorno

O - Centro

[c] e [c] - Crculos mximos

[a] e [a] - Crculos menores

O

[c]

[c] [a]

[a]

P

P

P


Representao de pirmides e de prismas com bases projetantes

Nesta pgina esto representadas pirmides e prismas com bases horizontais e frontais. Mostram-

se slidos regulares e slidos oblquos.

x

E1

G1 F1

A1

B1

C1

D1

A2 D2 B2 C2

K1K1

H2 I2

J2

V2

V1

G2

V1

V2

E2 F2

L1L1

H1H1

I1I1

J1J1

H2 J2 I2

L2

L2 K2

K2

Pirmides e prisma com bases horizontais Esto aqui representadas duas pirmides, uma quadrangular regular, outra triangular oblqua, e um prisma pen-tagonal regular. As arestas invisveis em cada projeo esto representadas a trao interrompido.

Prismas e pirmide com bases frontais Aqui esto dois prismas, um oblquo, outro reto, e uma pirmide hexagonal oblqua. As arestas invisveis em cada projeo esto representadas a trao interrompido. Quando h sobreposio de arestas invisveis com visveis prevalecem, em termos de traado, as visveis.

x E1

A2

B2

C2

D1

C1 B1 A1

D2D2

F1 G1 V1

J2

M2

A2

B2

C2

B1 A1 C1

E2E2

F2F2

G2G2

G1 D1 F1 E1 H1M1 I1L1 J1K1

V2

K2

L2

H2

I2


Nesta pgina esto representadas pirmides e prismas com bases horizontais e frontais. Mostram-

se slidos regulares, irregulares, retos e oblquos. comum, quando se representam slidos nestas

posies, representar o ou um dos planos onde se situa a sua ou uma das suas bases. Esses pla-

nos so rebatidos quando no se consegue representar diretamente a base nele contida.

Nos casos em que h rebatimento de polgonos, estes so construdos atravs da diviso da circun-

ferncia ou de outro processo, mostrados no incio do captulo Figuras Planas. Para no sobrecarre-

gar o traado, no se representam esses processos.

Prisma reto com bases de topo

Partindo do princpio de que as bases deste prisma so tringulos irregula-res, podem ser traados diretamente. Assim sendo, temos uma base sobre o plano e outra ao lado desta, obti-da na perpendicular a esse plano, por se tratar de um slido reto.

x

B1

Pirmide oblqua com base vertical

Tratando-se de uma base regular, pentagonal neste caso, necessrio rebater o plano que a contm para que esta seja representada nas pro-jees. Partindo do princpio de que o vrtice principal dado, basta uni-lo aos vrtices da base para obter o slido.

xhR

h

ffR

A2

B2

C2 D2

E2

AR

ER

DR

BR

CR

A1

E1

B1 C1

D1

h

f

C1

A1

A2

B2

B1

C1

A1

C2

C2

A2

B2

V2

V1


Nesta pgina mostram-se slidos de bases poligonais em planos de perfil, num caso com represen-

tao direta da base, noutro caso com recurso a rebatimento.

Seja nos casos mostrados nesta pgina, na anterior ou nas que se seguem, os procedimentos

necessrios para a representao de um slido dependem tambm do modo como um enunciado

apresentado. Assim sendo, no so aqui abordadas algumas possibilidades que, de um modo geral,

no trazem dificuldade maior representao dos slidos.

x

Prisma oblquo com bases de perfil Parte-se aqui do princpio de que os vrtices da base do lado esquerdo foram dados dire-tamente, pelo que no houve necessidade de proceder a rebatimento. Dados tero sido tambm os ngulos das projees das arestas laterais, tal como a altura do slido.

Q1

P1

R1

R2

P2

Q2

Q1

P1

R1

R2

P2

Q2

Pirmide regular com base de perfil

A base desta pirmide um quadrado, construdo em reba-timento. Tratando-se de um slido reto, foi determinado o centro da base, ponto M, a partir do qual se traou o eixo, fronto-horizontal, para determi-nao do vrtice da pirmide.

A2

B2

C2

fhfR

xhR

AR

BR

CR

DR

B1

C1

A1

D1

D2

V2

V1

MR M2

M1


Prisma regular com bases oblquas

Aps representado o tringulo equil-tero no plano rebatido, foram traadas as arestas laterais na perpendicular a esse plano, determinando-se assim a outra base. No foi aqui atribuda uma altura especfica ao slido.

f

hhR

F2

F1

n1

n2

A2

A1

FR

AR

nR

CR

fR

C2

C1

BRB1

B2 x

C1

A1

B1

A2

C2

B2

Cubo com uma face num plano passante

Parte-se aqui do princpio de que dado o ponto A, e que a partir dele se constri o quadrado rebatido [ABCD], situado no plano passante. Depois de colocar esse quadrado nas projees (com recurso ao rebatimento auxiliar do plano e da reta de perfil que con-tm o ponto A), procede-se marca-o das restantes arestas do cubo, o que se faz a partir do ponto ER, mar-cado na perpendicular a pR, tendo esse segmento a medida do lado do quadrado.

Representao de pirmides e de prismas com bases no projetantes

Nesta pgina observam-se dois prismas, um com bases oblquas, outro com bases de rampa, estan-

do uma delas num plano passante. Recorre-se ao rebatimento para as representar.

xhffR

A2

A1

AR

BR

AR

B1

B2

C2

CR

C1

DR

D1

D2

hfhRp1p2pR

pR

ER

E2

F2

G2

H2

E1

F1

G1

H1


Aqui observa-se a representao de uma pirmide regular com uma base num plano de rampa

comum, com a particularidade de ser dada a altura do slido. Recorre-se ao rebatimento para repre-

sentar a base e projeo lateral para representar a altura.

x

f

hhR

P1

P2 A2

A1

fR

PR

PR

BR

AR

B1

B2 C2

CR

C1

yz

l

MR

M2

M1

M3

V2 V3

V1

Pirmide regular com base de rampa Aps representado o tringulo equiltero da base, atravs do rebatimento do plano, foi determinado o seu cen-tro, ponto M, tambm no rebatimento. Sendo dada a altura da pirmide, determinou-se o trao lateral do plano para marcar a medida [M3V3], que corresponde a essa altura.


Representao de cones e de cilindros com bases projetantes

Aqui esto representados cones e cilindros com bases horizontais e frontais, uns retos, outros obl-

quos. Os cones e cilindros retos designam-se tambm por slidos de revoluo. Os pontos mais

esquerda e mais direita das circunferncias so utilizados para unirem uma projeo outra.

x

A1 B1

A2 B2

V2

V1O1 A1A1 B1B1

Cones e cilindro com bases horizontais Esto aqui representados dois cones, um reto, outro oblquo, e um cilindro reto. A parte invisvel da circunfern-cia da base do segundo cone est representada a trao interrompido.

Cone e cilindros com bases frontais Aqui est um cone oblquo e dois cilindros, um reto, o outro oblquo. A parte invisvel da circunferncia da base do segundo cilindro est representada a trao interrompido.

O2

O1O1

B2 A2

B1 A1

V2

V1

O2

O1

O2

O2 B2 A2

A2 B2

A2 O2

x

A1 B1

V1

O1

B2

V2

B2B2 A2A2

O2O2

O1

O1 A1 B1

A1 B1

A2 O2 B2

A2

O2 B2

O1 A1 B1

O1 A1 B1


Nesta pgina representa-se um cilindro oblquo com bases de perfil e outro de revoluo com bases

de topo.

Cilindro de revoluo com bases de topo Aps representada a circunferncia da base que est no plano, com recurso a oito pontos que resultaram da diviso da circunferncia em partes iguais, procedeu-se representao da outra base. Para isso marcou-se a altura do slido na perpendicular ao trao frontal do plano, assim como as geratrizes que contm os oito pontos.

hRh

xfR

f

AR

BR

CR

DR

ER

FR

B1

C1

E1

D1 F1

A1

A2E2O2

G2

C2

GR

HR

G1

H1

H2F2

B2D2

G1

G2

C1

C2

D1

F1

A1

E1

B1 H1

A2E2O2

H2F2

B2D2

O1

O1

OR

Cilindro oblquo com bases de perfil

Para representar um cilindro com as bases de perfil basta unir as projees dessas bases, cujo traado so segmentos de reta perpendiculares ao eixo x. No entanto, comum haver necessidade de rebater uma das bases quando se pretende algo mais do que apenas representar o slido. Tratando-se de um cilindro de revoluo, as suas projees seriam retangulares.

x

A1

B1

C1D1O1

D2

C2

A1

B1

D2

C2

O1C1D1

A2B2O2

O1A2B2


Aqui representam-se dois cones, um com base de perfil, outro com base vertical.

Cone oblquo com base de perfil

Um cone com bases de perfil tem sempre projees triangulares. Para o representar basta unir as projees do vrtice s da base, cujo traado so segmentos de reta perpendiculares ao eixo x. No entanto, comum haver necessidade de rebater uma das bases quando se pretende algo mais do que apenas representar o slido. Tratando-se de um cone de revoluo, as suas projees seriam tringulos issceles.

Cone de revoluo com base vertical Na projeo frontal deste cone h que saber com rigor os pontos de tangncia, T e T, entre as geratrizes de contorno e a elipse. Esses pontos determinam-se no rebatimento, por meio do ponto I, que resulta da intersec-o da reta de topo t (projetante frontal contendo o vrtice) com o plano da base. Os pontos de tangncia so aqueles em que a elipse passa de visvel a invisvel.

x

A1

B1

C1D1O1

D2

C2

V1

V2

A2B2O2

ffR

xhR

h

AR

BR

CR

DR

ER

FR

B2

C2

E2

D2

F2

A2

A1E1O1

G1

C1

GR

HR

G2

H2

H1F1

B1D1

O2 OR V2(t2)I2

V1

t1

IR

M

T1T1

T2

T2 I1

TR

TR


Pirmide pentagonal oblqua sendo dados a inclinao

e o tamanho do eixo dado o tamanho do eixo do slido, que 6cm, e os ngulos das suas projees frontal e horizontal, que so 60ae e 40ae, respetivamente. Traa-se a linha auxiliar s, cujas proje-es tm as aberturas do eixo, nela se marcando um ponto qualquer. De seguida rebate-se o plano de topo que contm essa linha. no rebatimento que se mar-ca a VG do tamanho do eixo, entre OR e VR. Com o contrarrebatimento obtm-se as projees do vrtice do slido.

Representao de slidos mediante condies especficas

Os dados dum enunciado podem obrigar a procedimentos particulares aquando da representao

de um slido, no permitindo que este se represente de forma to imediata como sucede nas pgi-

nas anteriores. Nesta pgina observa-se como isso se processa numa pirmide e num prisma.

xfR

C1

E2 A2O2 B2

D1

E1

A1

B1

D2 C2

O1OR

P1

V1

PR

P2

VR

sR

s1

s2f

V2

hhR

Prisma quadrangular oblquo sendo dados a inclinao

e a medida das arestas laterais Aqui dado o tamanho do eixo do slido, que 4cm, e as arestas late-rais, que so de perfil, fazendo 70 com o PFP. Sendo as arestas de perfil, utiliza-se aqui o rebatimento do plano de perfil, neste caso aquele que contm a ares-ta situada mais esquerda. No rebati-mento traa-se a VG do tamanho e o ngulo da aresta [KK] sobre a reta de perfil que os contm. Para a resoluo deste tipo de situa-es tambm recomendvel o recur-so s projees laterais.

K1 L1 M1 N1

K1 L1 N1 M1

K2

L2

M2

N2

KR

KR K2

L2

M2

N2

hffRp1p2

xhR

pR


Nesta pgina observa-se um cilindro e um cone que tambm no se conseguem representar direta-

mente. Aqui, como na pgina anterior, observam-se estas situaes com slidos de bases horizon-

tais e frontais, mas os procedimentos seriam idnticos caso as bases estivessem noutras posies.

Cone oblquo sendo dados a inclinao e o tamanho do eixo

O vrtice deste cone tem 4cm de afasta-mento, situa-se 1cm para a direita do ponto O e sabe-se que a sua geratriz de contorno frontal situada mais esquerda mede 5,5cm. Aqui optou-se por utilizar uma mudana de plano, colocando o eixo x paralelo ao seg-mento de reta [A1V1], para que a geratriz fique frontal. A partir de V1 traou-se uma linha de chamada perpendicular a x, com um tamanho qualquer, sobre a qual se mar-cou V4 a partir de A4, com o tamanho de 5,5cm. Passando a cota de V4 para a proje-o principal fica-se a conhecer V2.

Cilindro oblquo sendo dados a inclinao e o tamanho

das geratrizes Traou-se a reta auxiliar b, com a mes-ma inclinao das projees frontal e horizontal das geratrizes, que de 60ae e 70ad, respetivamente. Aqui optou-se por aplicar uma rotao da geratriz situada mais direita, colo-cando-a frontal com recurso a um eixo vertical que contm o ponto B. Os 4cm correspondentes medida das geratri-zes esto marcados em VG na reta b rodada, correspondendo medida [Br2Br2].

A2 O2 Br2B2

A2 O2

B2

O1 A1 B1(e1)Br1

O1 A1 B1

e2

Br2

Br1

x

A2

A4

V4

V1

V2

B2

B1 O1 A1

O2

x

x

=

=

P2

P1

Pr2

Pr1

b2

b1

br2

br1


Marcao de pontos e de linhas

em pirmides e em prismas

Pirmide: ponto P, com 1,5cm de cota, situado na aresta [AV]; geratriz frontal [EV], situada na face [BCV]; segmento de reta horizontal [QR], com 2,5cm de cota, situado na face [ADV]. Prisma triangular: ponto S, com 2,5cm de cota, situado na diagonal [AB]; ponto T, com -2cm de abcissa e 3,5cm de afastamento, situado na base superior; segmento de reta horizontal, com 3cm de cota, situado na face [ACCA]. Prisma quadrangular: ponto K, com 3cm de cota, situado na diagonal [DF]; ponto J, situado no cen-tro da face [EFFE]; segmento de reta frontal, com 2,5cm de afastamento e situado na face [FGGF].

Representao de pontos e de linhas nas superfcies dos slidos

Nesta pgina representam-se pontos e linhas nas superfcies de pirmides e de prismas. Para

representar pontos muitas vezes necessrio utilizar linhas auxiliares.

x

A1

B1

C1

D1

A2

D2

B2 C2

V2

V1

A1

B1

C1

C2 B2 A2

A1

B1

C1

B2 A2 C2

E1 D1

D2D2

F1 G1

E2E2

F2F2I2

G2G2H2

G1 D1 F1 E1

x

P2

P1 E1

E2

Q2

Q1

R1

R2 D2 E2

E1

D1

S2

S1

T2

T1

K1

K2

H1 I1 J1

J2


Nesta pgina representam-se pontos e linhas nas superfcies de um cone, de um cilindro e de uma

esfera. Tambm aqui muitas vezes necessrio utilizar linhas auxiliares para representar pontos.

x

Marcao de pontos e de linhas

num cilindro, numa esfera e num cone

Cilindro: geratriz [CC], invisvel em ambas as projees; ponto S, com 2cm de afastamento, situado na geratriz que une os pontos de menor cota das bases; ponto T, com 2,5cm de cota, situado na geratriz de contorno frontal situada mais esquerda; Esfera: ponto J, com 4cm de cota, situado no cr-culo mximo frontal esquerda de O; ponto K, com 1cm de afastamento, situado no crculo mxi-mo horizontal direita de O; ponto L(4;1,5), situa-do esquerda de O. Cone: aresta [CV], que faz 40ad em projeo horizontal, sendo invisvel em projeo frontal; ponto P, com 4cm de abcissa e 3cm de cota; pon-to R, com 4cm de cota, situado na aresta de perfil [EV]. Para marcar este ponto procedeu-se ao rebatimento do plano de perfil que contm essa aresta.

xhR

O2

O1

A2 B2

A1 B1

J2

J1

K1

K2

L1

L2

A1 B1

A2 B2

V2

V1O1

O2E2

VR

fhfR

RR

R2

R1

C1

C2

D1

P2

P1

D2

ER

E1

A2 O2 B2

A2 O2 B2

O1D1 A1 B1

O1D1 A1 B1

S1

S2

T2

T1

C2

C2

C1

C1

D2

D2


Planos e retas tangentes aos slidos no espao

Para que, nas pginas seguintes, se tenha uma perceo correta de planos e de retas tangentes a

slidos, apresentam-se aqui essas situaes no espao.

Planos e retas tangentes a slidos

Um plano tangente a um cone ou a um cilindro contm uma gera-triz. O plano contm a geratriz [TV], o plano contm [TT]. Designam-se por tangentes as retas que os planos de tangncia tm nos planos da bases, que so t e t; estas retas so tangen-tes s bases nos pontos T e T e perpendiculares aos raios [OT] e [OT]. Tangentes so tambm as retas r, que pertencem ao plano tangente e tocam a superfcie num ponto. Um plano tangente a uma esfera toca a sua superfcie num ponto, designado por ponto de tangn-cia, aqui T. O raio [OT] perpen-dicular ao plano e a qualquer reta tangente superfcie nesse ponto. Existem dois tipos de planos tangentes s pirmides e aos prismas: os que contm uma aresta e os que contm uma face (ou seja, contm duas ares-tas). Os planos e contm uma aresta; os planos e con-tm duas, isto , uma face late-ral. As retas r representadas nas pirmides e nos prismas podem ser traadas diretamente, sem necessidade de as colocar num plano de tangncia.

B

V

A C

D E

F G

D

G F

E

V

[b]

O

T

O

O

O

[b]

[b]

T

T

T

V

C

B

A

D

G

D

G F

E

F

E

t t

t

t

t

t

t

t

t

r R

R r

r

R

r

R R

r r R

R R

r


Planos e retas tangentes a prismas e a pirmides

Podemos considerar a existncia de dois tipos de planos tangentes a prismas e a pirmides: aque-

les que contm uma face e aqueles que contm apenas uma aresta. As retas tangentes a estes sli-

dos podem ser traadas diretamente, mas aqui so representadas dentro de planos tangentes.

Planos e retas tangentes

a um prisma reto

Esto aqui representados dois planos e duas retas tangentes aos slidos. O plano frontal e contm a face [KLLK]; a reta f frontal, est contida nesse plano e cruza as arestas nos pon-tos Q e R. O plano vertical e contm a aresta [KK]; a reta r oblqua, est contida nesse pla-no e cruza a aresta no ponto P.

x

K1K1P1R1

H2 I2

J2

L1L1Q1

H1H1

I1I1

J1J1

H2 J2 I2

L2

L2 K2

K2

P2 Q2

R2

hr1

f

r2 f2

(h)f1


a um prisma oblquo

Aqui temos um prisma oblquo, dois pla-nos e duas retas que lhes so tangentes. O plano vertical e contm a aresta [CC]; a reta v vertical, est contida nes-se plano e cruza a aresta no ponto P. O plano oblquo e contm a face [AABB]; a reta r oblqua, est contida nesse plano e cruza as arestas nos pon-tos Q e R. A determinao dos traos do plano oblquo foi feita com recurso s retas a e f que contm, respetivamente, as arestas [BB] e [AB].

A2

B2

C2

C1 B1 A1

A2

B2

C2

B1 A1 C1

f

f

h

x

v2

H2

H1

F2

F1

f2

f1

h

a2

a1

r2 P2

(v2)P1

Q2

R2

R1

Q1


Na pgina anterior observam-se planos e retas tangentes a prismas, nesta observam-se planos e

retas tangentes a pirmides. Tambm aqui as retas tangentes podem ser traadas sem os planos.


a uma pirmide reta

O plano de topo contm a aresta [CV], dentro dele foi traada a tangente frontal f, que cruza a aresta no ponto P. O plano oblquo contm a face [ADV], dentro dele foi traada a tangente de perfil p, que cruza a face nos pontos Q e R. Para determinar o trao frontal do plano utilizou-se a reta horizontal n, que contm V e paralela aresta [AD]. O trao horizontal do plano oblquo contm essa aresta, uma vez que a base se situa no PHP.

V2

x

A1

B1

C1

D1

A2 D2 B2 C2

V1

F2

F1

n2

n1

h

ff2

f

h

f1

P1

P2

Q2

R2

Q1

R1

p1p2

Plano e retas tangentes

a uma pirmide oblqua

Aqui optou-se por representar apenas um plano tangente, que contm a face [ABV]. Sendo a aresta [AB] fronto-horizontal, o face de rampa, assim como o plano que a contm, tendo os seus traos sido determinados com auxlio da reta a, que contm a aresta [AV]. Dentro do pla-no foram traadas duas retas tangentes, uma fronto-horizontal, que contm os pontos P e Q, e outra oblqua, que contm os pontos P e R. Foram indicados tambm os traos desta reta.

H1

x F1

H2

V1

F2

V2

A2

A1

B2

C2

B1 C1

H2

H1

F2

F1

s2

s1

R2

P2 Q2

P1

Q1

R1

h2

h1

h

f

a2

a1


Planos e retas tangentes a cilindros, a cones e esfera

Planos tangentes a cilindros e a cones tocam estes slidos numa geratriz; as retas tangentes situam

-se nesses planos e cruzam essa geratriz. Nesta pgina observam-se dois cilindros.

x

x

A2A2 B2B2

O1C1

S1

A1

B1


a um cilindro reto

O plano de topo contm a geratriz de topo [DD] e a reta tangente r, que se cruza com ela no ponto T. O plano horizontal contm a geratriz [CC] e a reta tangente n, que se cruza com ela no ponto S. T e S so os pontos de tangncia de cada uma das retas na superfcie do cilindro.

C2C2S2

D2D2T2

O1C1 A1 B1

D1

D1

T1 r1

n1

(f)n2

fr2

h

O2O2

Plano e reta tangentes a um cilindro oblquo, paralelo a uma reta dada

O caso de baixo envolve maior complexidade, pois pretende-se encontrar um plano e uma reta tangen-tes ao cilindro, ambos paralelos a uma reta dada. Para encontrar os traos desse plano fez-se cruzar pela reta dada r a reta g, paralela s geratrizes. O plano da resultante paralelo aos planos tangen-tes (h a possibilidade de traar dois, paralelos entre si, com essas caractersticas). O plano tan-gente contm a geratriz [CC]; a reta t paralela a r e tangente ao slido no ponto T dessa geratriz. De notar que, obviamente, a reta t pertence ao plano .

A2

T2

I2

r2 F2 g2

I1

A1

A2

O2 Br2B2

A2 O2 B2

O1

A1

B1

O1 A1 B1

C2

C2

C1

C1

T1

g1

r1

F1

H2

H1

F2

F1

f

h

f

h

t2

t1

g // [OO] t // r //

F2

F1


Nesta pgina observam-se tangncias de planos e de retas a cones, um reto, outro oblquo.


a um cone reto

O plano de topo contm a geratriz frontal [BV] e a reta tangente t, de topo, que se cru-za com ela no ponto T. O plano oblquo con-tm a geratriz [CV] e a reta tangente r, obl-qua que se cruza com ela no ponto P. T e P so os pontos de tangncia das retas na superfcie do cilindro. Os traos do plano oblquo foram determinados com auxlio das retas horizontais n e n, contendo respetiva-mente os pontos C e V, e sendo perpendicu-lares ao segmento formando por esses pon-tos.

x

A1 B1

A2 B2

V2

V1O1

O2

T1

n1

C1

C2

F1

P2

(t2)T2

t1

F2

F2

F1

H1

H2

P1

n1

h

f

n2

n2

r2

r1

f

h

Plano e retas tangentes

a um cone oblquo

Aqui representa-se apenas um plano de rampa tangente ao cilindro, mas dentro dele duas retas tangentes. Como a base do slido se situa no PFP, o trao frontal do plano foi traado diretamente; o trao hori-zontal foi traado com recurso reta s, que contm o segmento de tangncia [CV]. A reta r, oblqua, tangente ao slido no pon-to Z desse segmento, tendo H e F como traos; a reta h, fronto-horizontal, tangen-te no ponto X.

x A1

B1

A2 B2

V2

O2

X2

C2

C1O1 H2

H1

F2

F1

V1

X1 Z1

Z2

h

f

r2

h2

h1

H2

H1

s2

s1

r1


Aqui observam-se mais situaes de planos tangentes a cones, desta vez mediante condies

especficas.

x

A1 B1

A2 B2

V2

V1O1

O2

T1

T2

P2

(f)t2t2

t1

P1

h

r2

Planos e retas tangentes a um cone reto, contendo um ponto dado

Sendo dado o ponto P, faz-se passar por ele e pelo vrtice a reta r. Os planos tangentes que contm essa reta, contm tambm o ponto. No trao horizontal da recta r encontram-se os traos horizontais desses planos. O ponto I o trao da reta no plano da base, a partir do qual se traaram as retas t e t, tangentes circunfern-cia. Essas retas so paralelas aos traos horizontais dos planos. O trao frontal do plano foi determinado com recurso ao trao da tangente t. O trao frontal do plano fica fora dos limites do papel. As geratrizes de tan-gncia so [VT] e [VT]. Se a base do slido se situasse no PHP, as tangentes e os traos dos planos seriam coincidentes.

Planos e retas tangentes a um cone reto, paralelos a uma reta dada

No se apresenta o traado relativo a esta situao por ser muito parecido com o da anterior. Se for dada uma reta, basta fazer passar pelo vrtice uma paralela a essa. Em tudo o resto o procedimento ser igual ao ante-rior.

I2

I1

H2

H1

r1

F2

F1

T1

T2

t1

f

h


Planos tangentes a esferas tocam o slido num ponto; as retas tangentes situam-se nesses planos e

contm o mesmo ponto.

O2

O1

A2 B2

A1 B1

r1

R2 Planos projetantes e retas tangentes a uma esfera

O plano de topo toca a esfera no ponto R e contm a reta r, tangente nesse ponto; o plano vertical toca a esfera no ponto S e contm a reta s, tangente nesse ponto. De notar que os raios [OR] e [OS] so perpendiculares aos planos. Optou-se aqui por representar retas oblquas, mas nestes planos outras retas tangentes nos mesmos pontos seriam possveis: frontal e de topo no plano de topo, horizontal e vertical no plano vertical.

x

R1

S1

S2

fr2

h

s2

hs1

f

Plano oblquo e retas tangentes a uma esfera

Parte-se aqui do princpio de que dado o ponto de tangncia T. Por esse ponto traaram-se duas retas tangentes, n e f, respetivamente horizontal e frontal. Os traos dessas retas permitiram encontrar os traos do plano tangente no mesmo ponto. O raio [OT] perpendicular s retas n e f, e tambm perpendicular ao plano tangente.

O2

O1

A2 B2

A1 B1

x

T2

f2

f

T1 f1

n2 F2

F1

H1

H2

n1 h


Representao de pontos e de linhas nas superfcies de pirmides e de prismas 1. Representar uma pirmide regular com 7cm de altura, cuja base o tringulo horizontal [ABC], conhecendo os vrtices A(4;2;0) e B(-2;2;0). Deter-minar os seguintes elementos que lhe pertencem: - P, com 4cm de cota, situado na aresta mais esquerda; - Q, com 2,5cm de afastamento e 2cm de abcissa, situado na face [ABV]; - geratriz [DV], que faz 45ae na projeco horizontal, visvel em ambas as projeces. 2. Representar uma pirmide com vrtice principal em V(-3;8;6), cuja base o quadrado frontal [ABCD], conhecendo os vrtices opostos A(2;2;1) e C(0;2;7). Determinar os seguintes elementos que lhe pertencem: - geratriz [EV], horizontal; - F, com 4cm de cota, situado na aresta da base invisvel em projeco frontal; - G, com 1cm de abcissa e 3,5cm de cota, situado na face que contm o vrtice mais esquerda. 3. Representar uma pirmide pentagonal regular, com 7cm de altura, cuja base [ABCDE] se situa no plano de topo , que cruza o eixo x num ponto com -1cm de abcissa e faz 55ad. Essa base est inscri-ta numa circunferncia de 3,5cm de raio com centro em O(4;3), sendo frontal o seu lado de maior afasta-mento [CD]. Determinar os seguintes elementos que lhe pertencem: - P, com 5cm de cota, situado na aresta de menor cota; - geratriz [EV], invisvel em projeo frontal, tendo E 4cm de cota. 4. Representar um prisma hexagonal regular, com 5cm de altura e bases frontais, sendo [PQRSTU] a de menor afastamento e P(2;1;6) e S(-4;1;5) dois vrtices opostos dessa base. Determinar os seguin-tes elementos que lhe pertencem: - segmento [AB], de topo, com 1cm de abcissa, invisvel em projeo horizontal; - D, com -3cm de abcissa e 4cm de afastamento, situado numa face invisvel. - segmento frontal com 2,5cm de afastamen- to, situado na base de menor cota. 5. Representar um prisma oblquo de bases quadra-das horizontais, sendo A(-3;0;0) e D(1;1,5;0) dois vrtices consecutivos da base de menor cota. O slido tem 6cm de altura, fazendo as projees fron-tais e horizontais das arestas laterais 65ae e 50ae, respetivamente. Determinar os seguintes elementos que lhe pertencem: - P, com 2cm de abcissa e 4cm de cota; - R, com 2cm de cota, na aresta do ponto A; - Diagonal da face lateral que tem um extremo no vrtice situado mais direita.

6. Representar um prisma reto de bases retangula-res com 5cm de altura, sendo [PQRS] a base situa-da no plano vertical , que cruza o eixo x num pon-to com 2cm de abcissa e faz 45ae. P(4;0) e R(4;3) so dois vrtices opostos. O lado [PQ] mede 3,5cm sendo Q o vrtice me de menor cota. Determinar os seguintes elementos que lhe pertencem: - segmento vertical [AB], que contm o centro da base situada direita; - M, ponto mdio da face que contm P, sendo invisvel em projeo horizontal; 7. Representar uma pirmide reta com 5cm de altu-ra e base quadrada de perfil [ABCD], sendo A(0;0;3) e B(0;5;1) dois vrtices consecutivos da base e tendo o vrtice V abcissa positiva. Determinar os seguintes elementos que lhe pertencem: - geratriz [GV], horizontal, visvel em proje- o frontal; - segmento [AB], com 2cm de abcissa, paralelo a [AB]; - P, com 5,5cm de cota e 1cm de abcissa, situado, invisvel em projeo frontal. 8. Representar um prisma com bases de perfil, ten-do a base direita os vrtices P(-2;2;2), Q(-2;4;6) e R(-2;7;3). A aresta [PP] frontal e mede 6cm, ten-do P cota nula. Determinar os seguintes pontos que lhe pertencem: - A, com 2cm de abcissa e 3cm de cota, invisvel em projeo frontal; - B, com 1cm de abcissa, situado na diagonal que tem um extremo em R e invisvel em projeo horizontal. 9. Representar uma pirmide triangular regular cuja base [ABC], situada no plano oblquo , perpendi-cular ao 1/3, cujo trao frontal faz 50ae, cruzando o eixo x num ponto com -2cm de abcissa. Conhecem-se os pontos A(2;1) e B(5;1) e sabe-se que o vrtice V tem -3cm de abcissa. Determinar os seguintes elementos que lhe pertencem: - segmento de perfil [AE], visvel em proje- o horizontal; - segmento [JK], paralelo ao lado [AB], com 3cm de cota; - P, com 2,5cm de cota e 2cm de abcissa, situado na face invisvel em projeo horizontal. 10. Representar um cubo com 6cm de lado, sendo os pontos A(3;4;0) e C(5;0;3) dois vrtices opostos da base que se situa no plano de rampa . Determi-nar os seguintes elementos que lhe pertencem: - K, com 6cm de abcissa e 5cm de afastamento, invisvel em projeo horizontal; - L, com 4cm de afastamento, situado na aresta de menor abcissa; - segmento fronto-horizontal [MN], que mede 3cm e invisvel em ambas as projees.

Slidos I Exerccios


Representao de pontos e de linhas nas superfcies de cones, cilindros e esferas 11. Representar um cone de revoluo com 7cm de altura e base frontal, com 3cm de raio e centro em O(1;0;4). Determinar os seguintes pontos que lhe pertencem: - P, com abcissa nula e 2,5cm de cota; - Q, com 1cm de abcissa e 6cm de cota; 12. Representar um cone oblquo de base horizontal com 3cm de raio e centro em O(2;6;6), e vrtice em V(-3;0;0). Determinar os seguintes elementos que lhe pertencem: - geratriz [CV], invisvel em projeco frontal, tendo C abcissa nula; - R, com 3cm de abcissa e 5cm de cota, invisvel em projeco horizontal. 13. Representar um cone de revoluo com base de perfil com 3cm de raio e centro em Q(5;4;5) cujo vrtice tem abcissa nula. Determinar os seguintes elementos que lhe pertencem: - geratriz [EV], que faz 30ae em projeo frontal, sendo visvel em ambas as projees; - F, com dois centmetros de cota, situado na circunferncia da base, com afastamento superior ao do ponto Q. 14. Representar um cilindro oblquo com 5cm de altura e bases horizontais com 3cm de raio, sendo a de menor cota a que tem centro em Q(4;9;1). As geratrizes so paralelas ao 2/4, fazendo as suas projees frontais 50ad. Representar os seguintes pontos que lhe pertencem: - J, com 4cm de cota, situado na geratriz de contorno esquerdo em projeo horizontal; - K, com 3cm de afastamento, situado na geratriz de menor afastamento; - L, com 5cm de abcissa e 2,5cm de cota, visvel em ambas as projees. 15. Representar um cilindro de revoluo com 4cm de altura e bases frontais com 3,5cm de raio, sendo a de maior afastamento a que tem centro em X(2;6;4). Determinar os seguintes elementos que lhe pertencem: - geratriz [CC], de topo, com 6cm de cota, visvel em projeo horizontal; - geratriz [DD], oposta anterior; - P, com abcissa nula e 5cm de afastamento, invisvel em projeo horizontal. 16. Representar o cilindro de revoluo com 5cm de altura e bases de perfil com 3cm de raio, tendo a da direita centro em O(-4;4;4). Determinar os seguintes elementos que lhe pertencem: - geratriz [GG], com 2cm de cota, sendo visvel em projeo frontal; - R, com 5cm de cota e -2cm de abcissa, visvel em ambas as projees. - S, com 2cm de cota, situado na circunferncia da base esquerda, com afastamento superior ao de O.

17. Representar a esfera com centro em O(2;4;5), com 3cm de raio. Determinar os seguintes pontos que lhe pertencem: - P(1;?;7), visvel em projeo frontal; - R(3;3;?), invisvel em projeo frontal.

18. Representar a esfera com centro em Q(-1;3;4), com 3cm de raio. Determinar os seguintes pontos que lhe pertencem: - S e R, com abcissa nula e 5,5cm de cota; - T e U, com -2 de abcissa e situados no 1/3.

Representao de slidos mediante condi-es especficas 19. Representar uma pirmide pentagonal oblqua de base frontal, inscrita numa circunferncia com 3cm de raio e centro em X(3;1;4), sendo fronto-horizontal o seu lado de menor cota. A aresta lateral mais direita mede 7cm, fazendo as suas proje-es frontal e horizontal 20ad e 65ad, respetiva-mente. 20. Representar um prisma hexagonal oblquo de bases horizontais, estando a de maior cota inscrita numa circunferncia com 3cm de raio e centro em O(-4;7;3). Duas faces do prisma so de topo. As arestas laterais medem 8cm e so paralelas ao 2/4, fazendo as suas projees frontais 70ad. 21. Representar um cone oblquo com base hori-zontal com 3cm de raio e centro em Q(5;3;6). A geratriz de contorno direito de perfil e mede 7,5cm, situando-se o vrtice V no PHP. 22. Representar um cilindro oblquo de bases fron-tais com 2,5cm de raio, tendo a de menor afasta-mento centro em O(-1;0;3). A de maior afastamento tem centro em O, com 3cm de abcissa e 4,5cm de cota. O eixo [OO] mede 7cm. 23. Representar uma pirmide com a base no plano vertical , que cruza o eixo x num ponto com -4cm de abcissa, fazendo 60ae. A(1;6), B(3;1) e C(6;3) so os vrtices da base. O vrtice V tem afastamen-to nulo e 4cm de abcissa. A aresta [BV] mede 7,5cm. 24. Representar um cilindro oblquo de bases de perfil com 2cm de raio, tendo a da esquerda centro em O(5;4;3). As geratrizes medem 6cm e so para-lelas ao 1/3, fazendo as projees frontais 35ad. 25. Representar uma pirmide regular com 8cm de altura, cuja base o quadrado [ABCD], com 4cm de lado, situada no plano oblquo , que cruza o eixo x no ponto de abcissa nula, fazendo os seus traos frontal e horizontal 45ae e 55ae, respetivamente. Conhece-se A(0;2) e sabe-se que B se situa no trao horizontal do plano. 26. Representar a pirmide com 7cm de altura, cuja base o tringulo equiltero de rampa [ABC], conhecendo A(2;0;4) e B(2;2;0) e sabendo que C tem abcissa positiva. O eixo do slido de perfil e paralelo ao 1/3.


(Continuao)

27. Representar um cilindro com 6cm de altura e bases com 2,5cm de raio, uma delas com centro em Q(4;3;2), situada no plano de rampa cujo trao frontal tem 4,5cm de cota. A geratriz de menor afas-tamento est contida numa reta passante de perfil. 28. Representar uma pirmide cuja base o trin-gulo equiltero [ABC] situado no plano passante , conhecendo A(6;1;2) e B(0;1;2). A geratriz [MV] de perfil e mede 7cm, sendo M o ponto mdio do lado [AB] e estando V situado no PHP. Planos e retas tangentes a pirmides e a prismas 29. Representar uma pirmide regular com 7cm de altura, cuja base o tringulo horizontal [ABC], conhecendo os vrtices A(4;2;0) e B(-2;2;0). Deter-minar: - traos do plano de topo , que contm a aresta mais esquerda; - reta r, paralela ao 2/4, tangente no ponto T, com 3cm de afastamento, situado nessa aresta. 30. Representar a pirmide do exerccio anterior. Determinar: - traos do plano oblquo , que contm a face [BCV]; - reta frontal f, desse plano, com 3cm de afastamento, indicando os pontos R e S onde a reta cruza as arestas do slido. 31. Representar uma pirmide com vrtice principal em V(-3;8;6), cuja base o quadrado frontal [ABCD], conhecendo os vrtices opostos A(2;2;1) e C(0;2;7). Determinar: - reta vertical v com 1cm de abcissa, tangente numa aresta lateral do slido no ponto P; - traos do plano , que contm a face lateral mais esquerda. 32. Representar um prisma hexagonal regular, com 5cm de altura e bases frontais, sendo [PQRSTU] a de menor afastamento e P(2;1;6) e S(-4;1;5) dois vrtices opostos. Determinar: - reta s, cuja projeo horizontal faz 45ad, contendo o ponto P e cruzando a aresta lateral de maior cota no ponto Z; - reta p, de perfil, que cruza a aresta situada mais direita no ponto K, com 3cm de afastamento, fazendo 35 com o PHP. 33. Representar uma pirmide reta com 5cm de altura e base quadrada de perfil [ABCD], sendo A(0;0;3) e B(0;5;1) dois vrtices consecutivos da base e tendo o vrtice V abcissa positiva. Determi-nar: - traos do plano de topo , contendo a aresta lateral [BV]; - reta a, passante e contida em , tangente ao slido no ponto T com 3cm de abcissa; - reta n, horizontal, que contm D e cruza a aresta de maior cota no ponto U.

Planos e retas tangentes a cones, a cilin-dros e esfera 34. Representar um cone de revoluo com 7cm de altura e base frontal, com 3cm de raio e centro em O(1;0;4). Determinar: - reta fronto-horizontal h, tangente ao slido no ponto E, com 6cm de cota, situado na geratriz de perfil com maior cota - traos do plano tangente , que contm a geratriz [FV], cuja projeo frontal faz 40ae e visvel em ambas as projees. 35. Representar o cone do exerccio anterior. Deter-minar: - traos (que caibam no espao do desenho) dos planos e , tangentes ao cone e contendo P(-3;3;6); - geratrizes de tangncia desses planos. 36. Representar um cone oblquo de base horizontal com 3cm de raio e centro em O(2;6;6), sendo V(-3;0;0). Determinar: - recta vertical v, com abcissa nula, tangente em P numa geratriz de contorno horizontal; - recta horizontal n, tangente em T, com 4cm de cota, situado na geratriz de contorno esquerdo em projeco frontal. 37. Representar um cilindro oblquo com 6cm de altura e bases horizontais com 3cm de raio, sendo a de menor cota a que tem centro em Q(4;9;0). As geratrizes so paralelas ao 2/4, fazendo as suas projees frontais 50ad. Determinar: - traos dos planos e , tangentes ao slidos, contendo P(-3;2;2); - geratrizes de tangncia desses planos. 38. Representar o cilindro do exerccio anterior. Determinar: - traos dos planos e , tangentes ao slidos, contendo a reta frontal f, que contm P(-6;4;3) e faz 70ae; - geratrizes de tangncia desses planos. 39. Representar a esfera com 3 cm de raio e centro em O(2;4;3,5). Determinar: - retas horizontal e frontal n e f, tangentes ao slido em T(1;?;5,5), visvel em projeo frontal; - traos do plano , que contm esse ponto; - reta r, tangente em T, cuja projeo horizontal faz 60ae.

40. Representar a esfera com 3cm de raio e centro em Q(-1;3;4). Determinar: - traos do plano de rampa , perpendicular ao 1/3 e tangente ao slido no ponto T, visvel em ambas as projees; - reta fronto horizontal h, tangente em T; - reta s, tangente em T, cuja projeo horizontal faz 50ad; - projees e traos da reta de perfil p, tangente ao slido no ponto S(1,5;4;?), visvel em ambas as projees.

07-solidos

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