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PLATÃOPLATÃO

ZENOZENO

PTOLOMEUPTOLOMEU

Cubo

Terra

Tetraedro

Fogo

Octaedro

Ar

Icosaedro

Água

Dodecaedro

O Universo

DUALIDADEDUALIDADE

Qualquer um dos cinco poliedros regulares pode ser Qualquer um dos cinco poliedros regulares pode ser inscrito numa superfície esférica. O fato surpreendente é que, ao inscrito numa superfície esférica. O fato surpreendente é que, ao imaginarmos o plano tangente à respectiva superfície esférica em imaginarmos o plano tangente à respectiva superfície esférica em cada um dos vértices e tomarmos esses planos como os planos cada um dos vértices e tomarmos esses planos como os planos das faces de um novo poliedro, este será também platônico. Logo, das faces de um novo poliedro, este será também platônico. Logo, podemos verificar que, ao partirmos de um tetraedro, obtemos um podemos verificar que, ao partirmos de um tetraedro, obtemos um novo tetraedro. Se partirmos de um cubo, obtemos um octaedro e novo tetraedro. Se partirmos de um cubo, obtemos um octaedro e vice-versa. Finalmente, partindo de um dodecaedro, obtemos um vice-versa. Finalmente, partindo de um dodecaedro, obtemos um icosaedro e vice-versa. Dizemos então que o cubo e o octaedro, icosaedro e vice-versa. Dizemos então que o cubo e o octaedro, assim como o dodecaedro e o icosaedro, são assim como o dodecaedro e o icosaedro, são poliedros duaispoliedros duais. . Além disso, o tetraedro é dual de si próprio.Além disso, o tetraedro é dual de si próprio.

tetraedro truncadotetraedro truncado

cubo truncadocubo truncado

POLIEDROS DE ARQUIMEDESPOLIEDROS DE ARQUIMEDES

octaedro truncadooctaedro truncado

dodecaedro truncadododecaedro truncado

icosaedro truncadoicosaedro truncado

cuboctaedrocuboctaedro

IcosidodaedroIcosidodaedro

cuboctaedro truncadocuboctaedro truncado

Icosidodaedro truncadoIcosidodaedro truncado

RombicuboctaedroRombicuboctaedro

RombicosidodecaedroRombicosidodecaedro

Da mesma forma, se aplicarmos esse "truncamento modificado" Da mesma forma, se aplicarmos esse "truncamento modificado" (ou seja, truncar e depois substituir os retângulos por quadrados) (ou seja, truncar e depois substituir os retângulos por quadrados) aos dois últimos sólidos que apresentamos, obteremos os aos dois últimos sólidos que apresentamos, obteremos os seguintes poliedros: seguintes poliedros:

Cubo achatadoCubo achatado Dodecaedro achatadoDodecaedro achatado

Estes não podem ser obtidos por truncamentos desse tipo. A característica mais Estes não podem ser obtidos por truncamentos desse tipo. A característica mais surpreendente desses dois poliedros é que eles não têm planos de simetria. Por surpreendente desses dois poliedros é que eles não têm planos de simetria. Por outro lado, cada um deles possui duas formas, onde cada uma é imagem de outro lado, cada um deles possui duas formas, onde cada uma é imagem de espelho da outra. espelho da outra.

Sólidos de Arquimedes v a f3 f4 f5 f6 f8 f10

Tetraedro truncado 12 18 4 - - 4 - -

Cubo truncado 24 36 8 - - - 6 -

Octaedro truncado 24 36 - 6 - 8 - -

Cuboctaedro 12 24 8 6 - - - -

Rombicuboctaedro 24 48 8 18 - - - -

Cuboctaedro truncado 48 72 - 12 - 8 6 -

Cubo achatado 24 60 32 6 - - - -

Dodecaedro truncado 60 90 20 - - - - 12

Icosaedro truncado 60 90 - - 12 20 - -

Icosidodecaedro 30 60 20 - 12 - - -

Rombicosidodecaedro 60 120 20 30 12 - - -

Icosidodecaedro truncado 120 180 - 30 - 20 - 12

Dodecaedro achatado 60 150 80 - 12 - - -