048_ita iv - prova

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICAVESTIBULAR SIMULADO / 2007

PROVA DE LÍNGUA PORTUGUESAINSTRUÇÕES

1. Esta prova tem duração de quatro horas.

2. Não é permitido deixar o local de exame antes de decorridas duas horas do início da prova.

3. Você poderá usar apenas lápis (ou lapiseira), caneta, borracha e régua. É proibido portar qualquer outro materialescolar.

4. Esta prova é composta de 20 questões de múltipla escolha (numeradas de 01 a 20).

5. As 20 questões de múltipla escolha correspondem a 50% do valor da prova e as questões dissertativas aos 50% restantes.

6. Você recebeu este caderno de questões e um caderno de soluções com duas folhas de rascunho. Verifique se ocaderno de questões está completo.

7. Numere seqüencialmente de 21 a 30, a partir do verso da capa, cada página do caderno de soluções. número atribuído acada página corresponde ao da questão a ser resolvida. Não escreva no verso da parte superior da capa (região sombreada)do caderno de soluções. As folhas centrais coloridas deverão ser utilizadas apenas como rascunho e, portanto, nãodevem ser numeradas e nem destacadas pelo candidato.

8. Cada questão de múltipla escolha admite uma única resposta.

9. As resoluções das questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, podem ser feitas a lápis e de ser apresentadas de formaclara, concisa e completa. Respeite a ordem e o espaço disponível no caderno de soluções. Sempre que possível, usedesenhos e gráficos.

10. Antes do final da prova, você receberá uma folha de leitura óptica, destinada à transcrição das respostas dasquestões numeradas de 01 a 20. Usando caneta preta, assinale a opção correspondente à resposta de cada uma dasquestões de múltipla escolha. Você deve preencher todo o campo disponível para a resposta, sem extrapolar-lhe oslimites.

11. Cuidado para não errar no preenchimento da folha de leitura óptica. Se isso ocorrer, avise o fiscal, que lhe fornecerá umafolha extra com o cabeçalho devidamente preenchido.

12. Não haverá tempo suplementar para o preenchimento da folha de leitura óptica.

13. Na última página do caderno de soluções, existe uma reprodução da folha de leitura óptica, que deverá ser preenchidacom um simples traço a lápis, durante a realização da prova.

14. A não devolução do caderno de soluções e/ou da folha de leitura óptica implicará a desclassificação do candidato.

15. Aguarde o aviso para iniciar a prova. Ao terminá-la, avise o fiscal e aguarde-o no seu lugar.

CEARÁ

TURNO: MANHÃ DATA: 30/08/2007 No QUESTÕES: 30PROFESSORES: MAX e ONOFRE ETAPA: 3a

D: 2007 018 3º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela

PROVA DE MATEMÁTICA – IV SIMULADO ITA

COLÉGIO 7 DE SETEMBRO

O Colégio que ensina o aluno a estudarFUNDADOR PROF. EDILSON BRASIL SOÁREZ

ALUNO(A):_______________________________________________________ No: ______ TURMA: ______

3oEnsinoMédio

Central deAtendimento: 4006.7777

CEARÁ

SEDE EDNILDO GOMES DE SOÁREZAv. do Imperador, 1055

SEDE EDILSON BRASIL SOÁREZRua Henriqueta Galeno, 1011

SEDE NILA GOMES DE SOÁREZAv. do Imperador, 1330


2COLÉGIO7 DE SETEMBRO

PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/2007Professores: Max e Onofre - 3o Ensino Médio

2CEARÁ

QUESTÕES OBJETIVAS

QUESTÃO 01Considere o subconjunto P, do conjunto dos números complexos C, dado por: P = {z ∈ C; z = x + i · y, com y2 = x + 4}. Se exatamente trêsdas raízes da equação x5 – 7x3 + 20x2 – 44x + 80 = 0 estão em P, duas das quais são números imaginários puros (parte real nula), o produtodas raízes desta equação que NÃO pertencem a P é:A) – 1B) 3C) 3iD) 5E) 4 – i

QUESTÃO 02Sabendo-se que as abscissas r1 e r2 dos focos da hipérbole x2 – y2 = 1 são as raízes do polinômio P(t) = t3 + at2 + bt + c com a, b e c ∈ R e

que a terceira raiz r3 do polinômio verifica a igualdade r3 = 3

2− · r1 · r2.

Pode-se concluir que a + b + c é:

A) 3 2+

B) 2 3+

C) 3 2−

D) 2 3− −

E) 2 3+

QUESTÃO 03

Sabendo-se que no desenvolvimento do binômio 6

1mx

4x +

o termo independente de x é igual a distância focal relativa à hipérbole

2 2y x1,

9 16− = pode-se concluir que a equação da reta que passa pelo ponto m

1,2

e com coeficiente angular m é:

A) 3 3y 2 · 4 · x 4 0− + =

B) 3 3y 4 · 4 · x 4 0− + =

C) 3y x ( 4 1) 0− + − =

D) 3y 2x ( 4 2) 0− + − =

E) 3y 4x ( 4 4) 0− + − =




3CEARÁ

QUESTÃO 04

Um corpo se movimenta obedecendo à função horária S(t) = t4 – 21 · t ,3 9

λ λ+ +

λ > 0, onde S é dado em metros e t em segundos.

Sabendo-se que o corpo passa pela origem das posições exatamente em dois instantes distintos t1 e t2, o valor do parâmetro λ para o qualt2 = 3t1 é:

A)4925

B)8164

C)8149

D)3625

E)169

QUESTÃO 05A equação de uma determinada elipse pode ser obtida usando as seguintes informações:I. Seu centro é o foco da parábola x = y2.II. Seu eixo menor tem comprimento igual à distância entre as retas y – x = 1 e x – y = 1.III. Seu eixo maior está sob o eixo das abscissas e tem comprimento igual ao perímetro do quadrilátero formado pelas raízes do polinômio

P(z) = z4 + 2z3 + 23z2: – 50z + 58, o qual tem z = 1 + i como uma de suas raízes.Com bases nessas informações, pode-se concluir que a equação da elipse é:A) 7(x – 4)2 + 180y2 = 420

B)2

1x

4 −

+ 242y2 = 121

C) x2 + 16y2 = 80

D)2

29 x

3 −

+ 12y2 = 1

E) 4 · (x – 1)2 + 3 · (y – 1)2 = 12

QUESTÃO 06O número de raízes reais da equação

25x 6 x4 x · 4 (x 2) · 1 (x 5) · (x 7)

2− −

− − − + − − =

é igual a:A) 0B) 1C) 2D) 3E) 4




4CEARÁ

QUESTÃO 07Considere o polinômioP(x) = (1 + x)1000 + x · (1 + x)999 + x2 · (1 + x)998 + ... + x1000

Determine o coeficiente de x50 no polinômio P(x).

A)1001

50

B)1001

51

C)1000

50

D)1000

51

E)99950

QUESTÃO 08Determine o valor da expressão E = sec 40o + sec 80o + sec 160o.A) 0B) 1C) 6

D) 3

E) 3−

QUESTÃO 09

Seja x um número complexo, tal que 1

x 1.x

+ = −

Calculando x2008 + x–2008, obtemos:A) 0B) 1C) – 1

D) i 3

E) i 3−

QUESTÃO 10O produto de duas das quatro raízes da equação x4 – 18x3 + k · x2 + 200x – 1984 = 0 é – 32. Determine o valor de k.A) 78B) 86C) 95D) 84E) 76




5CEARÁ

QUESTÃO 11Considere as seguintes afirmações sobre os conjuntos A = {0, 1, 2, 4} e B = {1, 3, 5}:I. A\B = {0, 2, 4}.II. n(A x B) é um número primo.III. B\A é um conjunto unitário.Pode-se dizer, então, que é(são) verdadeira(s):A) Apenas I.B) Apenas II.C) Apenas II e III.D) Apenas I e III.E) Todas as armações.

QUESTÃO 12Sejam f, g : R → R funções definidas por ƒ(x) = x3 e g(x) = 103cos5x. Podemos afirmar que:A) ƒ é injetora e par e g é ímpar.B) g é sobrejetora e g o ƒ é par.C) ƒ é bijetora e g o ƒ é ímpar.D) g é par e g o ƒ é ímpar.E) ƒ é ímpar e g o ƒ é par.

QUESTÃO 13Seja A um conjunto finito de números reais cujo número de elementos é igual a k. Seja S = {(x; y) ∈ A x A; x > y}. O número de elementosde S é igual a:

A)2k k

3−

B) (k2 – k)2

C) k(k – 1) (k – 2)

D)k(k 1)

2−

E)2k k

2+

QUESTÃO 14Seja ƒ uma função real que satisfaz ƒ(x) . x2 + [ƒ(x)]2 . x + 2 = 0. A imagem de ƒ está contida no conjunto:A) RB) {y ∈ R; y ≤ 0 ou y ≥ 2}C) {y ∈ R; y ≤ 2}D) {y ∈ R; y ≥ 2}E) {y ∈ R; 0 ≤ y ≤ 2}

QUESTÃO 15

Se x é um número real positivo, com x ≠ 1/3, 1, satisfazendo 3 xx

x 2 3

2 log x log (x 2)log (x 2),

log x 1 log x+

+ +− = +

+ então x pertence ao intervalo I,

onde:A) I = (0, 1/9)B) I = (0, 1/3)C) I = (1/2, 1)D) I = (1, 3/2)E) I = (3/2, 2)




6CEARÁ

QUESTÃO 16No triângulo ABC, temos AC = 10 cm e BC = 6 cm. Seja D um ponto sobre o lado BC tal que CD = 3 cm. A circunferência circunscrita aotriângulo ABD corta o lado AC em um ponto interior E. Se a área do triângulo CDE é igual 4 cm2, a área do quadrilátero ABDE é igual a:

A)354

9

B)364

9

C)374

9

D)384

9

E)394

9

QUESTÃO 17Sejam D, E e F pontos sobre os lados AB, BC e AC, respectivamente, do triângulo ABC tais que AD/AB = α, BE/BC = β e CF/CA =λ.

Sabendo que α + β + λ = 2/3 e α2 + β2 + λ2 = 2/5, determine [DEF]

.[ABC]

Obs: [ ] denota área.

A)1645

B)2649

C)23

D)35

E)2749

QUESTÃO 18No paralelogramo ABCD, AB < AD. A bissetriz interna do ângulo ∠ABC intersecta AD em P. Se PD = 5 e BP = CP = 6, quanto mede o ladoAB?A) 5B) 17/3C) 18/5D) 19/7E) 4

QUESTÃO 19

Seja α = 1 log 2

· .2 log3 log5−

O conjunto solução da desigualdade 2sen x ≤ 35

α

no intervalo [0, 2π) é:

A) [0, π/3] ∪ [2π/3, 2π)B) [0, 7π/6] ∪ [11π/6, 2π)C) [0, 4π/3] ∪ [5π/3, 2π)D) [0, π/6] ∪ [5π/6, 2π)E) [π/6, 5π/6] ∪ [7π/6, 11π/6]




7CEARÁ

QUESTÃO 20Se a e b são números reais positivos tais que as equações x2 + ax + 2b = 0 e x2 + 2bx + a = 0 possuem soluções reais, então o menor valorpossível de a + b é:A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

QUESTÕES SUBJETIVAS

QUESTÃO 21Se tg 3a = tg 3b = tg 3c. Determine o valor deM = (tg a + tg g + tg c) · (cot ga + cot gb + cot gc)

QUESTÃO 22

Determine o valor da expressão E = 4 4 42 3sec sec sec

7 7 7π π π + +

.




8CEARÁ

QUESTÃO 23Considere os seguintes conjuntos de números complexos:A = {z ∈ C| |z| = 1, Im(z) > 0} e B = {z ∈ C | Re(z) = 1, Im(z) > 0},onde Re(z) e Im(z) são as partes real e imaginária do número complexo z, respectivamente.

A) Mostre que para cada z ∈ A, o número 2z

z 1+ pertence a B.

B) Mostre que cada ω ∈ B pode ser escrito da forma 2z

z 1+ para algum z ∈ A.

QUESTÃO 24Sobre os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC consideram-se, respectivamente, 3 pontos, 4 pontos e 5 pontos, distintos e nãocoincidentes com os vértices. Quantos segmentos podem ser traçados cujas extremidades sejam os centros das circunferências determi-nadas pelos 12 pontos?

QUESTÃO 25A soma das idades atuais de Maria e Ana é 44 anos. Atualmente a idade de Maria é o dobro da idade que Ana tinha quando Maria tinha ametade da idade que Ana terá quando a idade desta for o triplo da idade que Maria tinha quando Maria tinha o triplo da idade de Ana. Combase nessas informações calcule a idade de Ana.




9CEARÁ

QUESTÃO 26Mostre que não existe função ƒ: Z → Z tal que ƒ(ƒ(x)) = x + 1, para todo x ∈ Z.

QUESTÃO 27No trapézio ABCD, as bases medem AB = a e CD = b. As diagonais encontram-se em O. Ache a razão entre a área do triângulo ABO e a áreado trapézio.

QUESTÃO 28

Resolva a equação ( ) ( )x x

7 48 7 48 14.− + + =




10CEARÁ

QUESTÃO 29

Seja ƒ uma função real definida por ƒ(x) = ln 2xx

1e .

e −

A) Ache o domínio da função ƒ.B) Ache a imagem da função ƒ.

QUESTÃO 30Seja ABCDE um pentágono convexo tal que AB = BC, CD = DE, ∠ABC = 150o, ∠CDE = 30o e BD = 2. Determine a área do pentágonoABCDE.

048_ita iv - prova

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