03 flexão assimetrica e esforços combinados.pdf
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Resistência dos Materiais II
Flexão Assimétrica
e
Esforços combinados
Prof. Esp. Douglas José de Sousa
Introdução
O que é Flexão?
É aquilo que adquire um formato curvo quando sujeito a uma carga
aplicada.
O que é Assimetria?
É aquilo que não possui simetria, que não é divisível em metade por um
eixo de forma que ambos os lados tenham o mesmo valor.
Introdução
Na fórmula da flexão, impusemos a condição de que a área da seção
transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao eixo
neutro e também que o momento interno resultante M agisse ao
longo do eixo neutro.
Flexão Assimétrica
No entanto, agora iremos ver que a fórmula da flexão também pode
ser aplicada tanto a uma viga com área de seção transversal de
qualquer formato, como a uma viga com momento interno resultante
que aja em qualquer direção.
Momento aplicado ao longo do eixo
principal
Considere que a seção transversal da viga tem a forma assimétrica
mostrada na Figura abaixo. As coordenadas x y z tem origem no
centroide C da seção transversal. A distribuição de tensão que age sobre
toda a área deve ter: FR nula, MR em torno do eixo y nulo e MR em
torno do eixo z igual a M.
Momento aplicado ao longo do eixo
principal
Como já adotado o eixo z passe pelo centroide da área da seção
transversal. Além disso, z representa o eixo neutro para a seção
transversal, a deformação normal variará de zero no eixo neutro a
máxima em um ponto y localizado à maior distância y = c do eixo
neutro.
Momentos Aplicados Arbitrariamente
Um elemento pode ser carregado de tal modo que o momento interno
resultante não aja em torno de um dos eixos principais da seção
transversal (y e z). Quando isso ocorre, em primeiro lugar, o
momento deve ser decomposto em componentes dirigidas ao longo
dos eixos principais. Assim, a fórmula da flexão pode ser usada para
determinar a tensão normal provocada por cada componente do
momento.
Momentos Aplicados Arbitrariamente
Considere a viga abaixo
Aqui o M forma um ângulo 𝜃 com o eixo principal z. considerando que
𝜃 é positivo quando esta direcionado do eixo +Z para o eixo + Y,
decompondo M em componentes ao longo dos eixos Z e Y, temos:
Mz=M cos 𝜃;
My= M sen 𝜃.
Momentos Aplicados Arbitrariamente
Representação das componentes em torno dos eixos Z e Y
Momentos Aplicados Arbitrariamente Aplicando a fórmula da flexão a cada componente do momento nas figuras
anteriores, podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer
ponto na seção transversal em termos gerais, como:
𝜎 = −𝑀𝑍𝑌
𝐼𝑍+
𝑀𝑌𝑍
𝐼𝑌Equação 1
• 𝜎 é tensão normal em um ponto;
• Y e Z representam os eixos principais dos momentos de inercia mínimo e
máximo para a área.
• MY e MZ são as componentes do momento interno resultante direcionadas ao longo dos eixo principais Y e Z.
• IY e IZ são momentos principais de inercia calculados em torno dos eixos Y e Z.
Para a figura abaixo temos a orientação do eixo neutro.
=
O ângulo 𝛼 do eixo neutro pode ser determinado através da equação 1 e admitindo
𝜎 = 0, umas vez que, nenhuma tensão normal age no eixo neutro, assim:
Y=𝑀𝑌 𝐼𝑍
𝑀𝑍 𝐼𝑌𝑧 ; como MZ= M cos 𝜃 e My sen 𝜃, temos:
Y= 𝐼𝑍
𝐼𝑌𝑡𝑔 𝜃 𝑧
Esta equação define o eixo neutro para a seção transversal, como inclinação da reta
e tg𝛼 = 𝑦/𝑧 temo que a orientação do eixo neutro é:
o ângulo 𝛼 pode é determinado pela seguinte expressão:
𝛼 é o ângulo entre o eixo z e o eixo neutro. 𝜃 é ângulo entre o eixo z
e o momento aplicado.
Exercício 01
Para a figura abaixo com seção transversal mostrada, encontre a tensão
de flexão em cada ponto e a orientação do eixo neutro.
Mz=M cos 𝜃 e My= M sen 𝜃.
𝜎 = −𝑀𝑧𝑌
𝐼𝑧+
𝑀𝑦𝑍
𝐼𝑦
𝜎𝑏 = 2,25 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑐 = −4,95 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑒 = 4,95 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑑 = −2,25 𝑀𝑃𝑎
Exercício 02.
A viga em seção T está submetida ao momento fletor de 15 kN.m como mostra a
figura abaixo. Determinar a tensão normal máxima na viga e a direção do eixo neutro.
𝜎𝑏 = 74,8 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑐 = −90,3 𝑀𝑃𝑎
Exercício 03
A viga da seção abaixo esta sujeita a um momento M = 3500 Nm.
Determine a tensão de flexão nos pontos A e B da viga e a orientação do
eixo neutro.