02-movimento uni bi tridimensional vetores

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FSICA

Prof. Anderson Coser Gaudio

Departamento de Fsica Centro de Cincias Exatas Universidade Federal do Esprito Santo

http://www.profanderson.net

[email protected] ltima atualizao: 08/04/2008 10:47 H

2 Movimento Uni, Bi, Tridimensional e Vetores

Fundamentos de Fsica 1 Halliday, Resnick, Walker

4 Edio, LTC, 1996

Fsica 1 Resnick, Halliday, Krane

4 Edio, LTC, 1996

Fsica 1 Resnick, Halliday, Krane

5 Edio, LTC, 2003 Cap. 2 Movimento

Retilneo Cap. 2 Movimento

Unidimensional Cap. 2 Movimento em

Uma Dimenso Cap. 3 Vetores em

Duas e Trs Dimenses Cap. 3 Vetores

Cap. 4 Movimento em Duas e Trs Dimenses

Cap. 4 Movimento Bi e Tridimensional

Cap. 4 Movimento em Duas e Trs Dimenses

Prof. Anderson (Itacar, BA - Fev/2006)

Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES

________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4

a Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 Movimento Retilneo

2

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FSICA 1

CAPTULO 2 MOVIMENTO RETILNEO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99

[Incio documento]

[Incio seo] [Incio documento]



a Ed. - LTC - 1996. Cap. 03 Vetores em Duas e Trs Dimenses

3



CAPTULO 3 VETORES EM DUAS E TRS DIMENSES

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63

[Incio documento]




a Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 Movimento em Duas e Trs Dimenses

4



CAPTULO 4 MOVIMENTO EM DUAS E TRS DIMENSES

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

[Incio documento]



________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 2 - 4

a Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 Movimento Unidimensional

5

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FSICA 1

CAPTULO 2 MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75

[Incio documento]

01. Que distncia seu carro percorre, a 88 km/h, durante 1 s em que voc olha um acidente

margem da estrada?

(Pg. 28)

Soluo.

Como o problema trata de um movimento que ocorre com velocidade constante, deve-se utilizar a

Eq. (1).

tvxx x0 (1)

A distncia procurada corresponde ao deslocamento x = x x0.

0 xx x x v t

1 m/s

(88 km/h) (0,50 s) 12,222 m3,6 km/h

x

A resposta deve ser expressa com apenas um algarismo significativo:

10 mx


02. Um jogador de beisebol consegue lanar a bola com velocidade horizontal de 160 km/h, medida

por um radar porttil. Em quanto tempo a bola atingir o alvo, situado a 18,4 m?

(Pg. 28)

Soluo.

Apesar do movimento da bola ser bidimensional (ao mesmo tempo em que a bola viaja at a base

horizontalmente, ela sofre ao da gravidade e cai verticalmente) s precisamos nos preocupar com

o seu movimento horizontal. Isto devido a esse movimento ser o responsvel pela situao exposta

no enunciado. O movimento horizontal da bola no est sujeito acelerao da gravidade ou a

qualquer outra acelerao (exceto, claro, acelerao causada pela fora de resistncia do ar, que desprezada) e deve ser tratado como movimento com velocidade constante.




6

vtxx 0

0(18,4 m)

1 m/s(160 km/h)

3,6 km/h

x x xt

v v

s 414,0t


08. Um avio a jato pratica manobras para evitar deteco pelo radar e est 35 m acima do solo

plano (veja fig. abaixo). Repentinamente ele encontra uma rampa levemente inclinada de 4,3o, o

que difcil de detetar. De que tempo dispe o piloto para efetuar uma correo que evite um

choque com o solo? A velocidade em relao ao ar de 1.300 km/h.

(Pg. 28)

Soluo.

O avio desloca-se em movimento retilneo com velocidade constante. Considere o esquema abaixo para a resoluo do problema.

h0 x

d

v

Analisando o movimento do avio no eixo x, temos:

0x x vt

0 d vt

dt

v (1)

Como o valor de d no foi dado, preciso calcul-lo.

tan

h

d

tan

hd

(2)

Substituindo-se (2) em (1):

o

(35 m)1,289035... s

tan 1.300 km/h tan 4,3

3,6

ht

v

1,3 st





7

11. Calcule sua velocidade escalar mdia nos dois casos seguintes. (a) Voc caminha 72 m razo

de 1,2 m/s e depois corre 72 m a 3,0 m/s numa reta. (b) Voc caminha durante 1,0 min a 1,2 m/s

e depois corre durante 1,0 min a 3,0 m/s numa reta.

(Pg. 28)

Soluo.

(a) Precisamos lembrar que a velocidade escalar mdia a razo entre a distncia percorrida (no o

deslocamento) e o intervalo de tempo decorrido no percurso.

1 2 1 2

1 11 2

1 1

72 m 72 m 21,714 m/s

1 172 m 72 m

1,2 m/s 3,0 m/s1,2 m/s 3,0 m/s

em

s s s sv

s st t

v v

1,7 m/semv

(b)

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

1,2 m/s 60 s 3,0 m/s 60 s 1,2 m/s 3,0 m/s

60 s 60 s 2em

s s v t v tv

t t t t

2,1 m/semv


12. Dois trens, cada um com a velocidade escalar de 34 km/h, aproximam-se um do outro na mesma

linha. Um pssaro que pode voar a 58 km/h parte de um dos trens quando eles esto distantes

102 km e dirige-se diretamente ao outro. Ao alcan-lo, o pssaro retorna diretamente para o

primeiro trem e assim sucessivamente. (a) Quantas viagens o pssaro pode fazer de um trem ao

outro antes de eles se chocarem? (b) Qual a distncia total que o pssaro percorre?

(Pg. 28)

Soluo.

Neste problema vamos resolver primeiro o item (b) e em seguida o item (a).

vA vB

Trem A Trem B

d

vP

d/2 d/2

1 Encontroo

2d/34d/9

2 Encontroo

x0

(b) Como os trens viajam mesma velocidade, porm em sentidos contrrios, o choque dar-se- na

coordenada d/2. O tempo ( t) do percurso de cada trem ser igual ao tempo de vo do pssaro. Logo, para o trem A:

t

d

t

xvA

2/

Av

dt

2

Para o pssaro:




8

t

sv p

A

Av

dvs

22

ds

Portanto, o pssaro percorre uma distncia igual separao inicial dos trens, ou seja:

102 kms

(a) Em primeiro lugar, vamos calcular a coordenada x do primeiro encontro (x1).

1 0P Px x v t (1)

tvxx BB01 (2)

Nestas equaes, x0p = 0 e x0B = d so as posies do pssaro e do trem B no instante zero e vP = 2

vB e vB so as velocidades do pssaro e do trem B. Como no momento do primeiro encontro o pssaro e o trem B estaro na mesma coordenada (x1), podemos igualar (1) e (2).

0 0B B P Px v t x v t

tvtvd BB )2(0

Bv

dt

3 (3)


1 0 0 ( 2 )

3P P B

B

dx x v v

v

3

21

dx

De maneira semelhante, pode-se demonstrar que o segundo encontro se dar na coordenada 4d/9.

Como conseqncia, do primeiro para o segundo encontro o pssaro percorre uma distncia igual a

2d/3 4d/9 = 2d/9, que igual a 2/3 de d/3. Tambm pode ser demonstrado que do segundo para o

terceiro encontro ele percorre uma distncia igual a 2/3 de 1/3 de d/3, e assim por diante. Em

resumo:

Viagem do pssaro Distncia percorrida

1 2/3 d = 2/3 d

2 2/3 . 1/3 . d = 2/32 d

3 2/3 . 1/3. 1/3 . d = 2/33 d

n 2/3 . 1/3 . . 1/3 . d = 2/3n d

A soma das distncias percorridas em cada trecho de ida e vinda do pssaro deve ser igual a d

(resposta do item b):

dddddn3

2

3

2

3

2

3

232

Ou seja:

2

1

3

1

3

1

3

1

3

132 n




9

2

1

3

1

1

n

ii

(4)

Pode-se demonstrar que (4) somente ser verdadeira se n = (Utilize sua calculadora para verificar

esta afirmao). Portanto, em teoria, o pssaro far um nmero infinito de viagens.


14. Que distncia percorre em 16 s um corredor cujo grfico velocidade-tempo o da figura

abaixo?

(Pg. 28)

Soluo.

Conhecendo-se a funo x(t) que descreve a posio x de um objeto em qualquer instante de tempo t, pode-se calcular sua velocidade em qualquer instante a partir da derivada de x(t) em relao a t.

( )

( )

t

t

dxv

dt

No caso inverso, conhecendo-se a velocidade v(t) de um objeto em qualquer instante t, pode-se

determinar sua posio x em qualquer instante, bem como seu deslocamento, no intervalo de tempo considerado.

( ) ( )t tdx v dt

0 0( ) ( )

x v

t tx v

dx v dt

00 ( )

v

tv

x x v dt

De acordo com esta, o deslocamento x x0 corresponde rea sob a curva do grfico v(t) = f(t). Cada

quadrado mostrado no grfico possui rea equivalente a (2 m/s) (2 s) = 4 m. Portanto, contabilizando toda a rea sob a curva mostrada no grfico, chegaremos ao seguinte resultado:

t (s) x (m)

0 2 8

2 10 64

10 12 12

12 16 16

Total 88

Portanto:




10

(16) (0)98 mx x


29. Para decolar, um avio a jato necessita alcanar no final da pista a velocidade de 360 km/h.

Supondo que a acelerao seja constante e a pista tenha 1,8 km, qual a acelerao mnima

necessria, a partir do repouso?

(Pg. 29)

Soluo.

Trata-se de movimento retilneo com acelerao constante. O clculo pode ser feito por meio da Eq.

(1).

xavv 2202 (1)

2

2

2 220

3

1 m/s360 km/h 0

3,6 km/h2,7777 m/s

2 2 (1,80 10 m)

v va

x

2m/s 78,2a


31. A cabea de uma cascavel pode acelerar 50 m/s2 ao atacar uma vtima. Se um carro pudesse

fazer o mesmo, em quanto tempo ele alcanaria a velocidade escalar de 100 km/h a partir do

repouso?

(Pg. 29)

Soluo.

Trata-se, naturalmente, de movimento retilneo com acelerao constante. A velocidade inicial, v0,

igual a zero. O clculo do tempo (t) feito atravs da Eq. 1.

atvv 0 (1)

02

1 m/s(100 km/h) 0

3,6 km/h0,55556 s

(50 m/s )

v vt

a

s 56,0t


33. Um eltron, com velocidade inicial v0 = 1,5 105 m/s, entra numa regio com 1,2 cm de

comprimento, onde ele eletricamente acelerado (veja Fig. 29). O eltron emerge com

velocidade de 5,8 106 m/s. Qual a sua acelerao, suposta constante? (Tal processo ocorre no

canho de eltrons de um tubo de raios catdicos, utilizado em receptores de televiso e

terminais de vdeo.)




11

(Pg. 30)

Soluo.

Trata-se de movimento retilneo com acelerao constante. O clculo pode ser feito atravs da Eq.

(1).

xavv 2202 (1)

2 2 6 2 5 2

15 20

-2

(5,8 10 m/s) -(1,5 10 m/s)1,4007 10 m/s

2 2(1,2 10 m)

v va

x

15 21,4 10 m/sa


34. A maior velocidade em terra j registrada foi de 1.020 km/h, alcanado pelo coronel John P.

Stapp em 19 de maro de 1954, tripulando um assento jato-propulsado. Ele e o veculo foram

parados em 1,4 s; veja a Fig. 30. Que acelerao ele experimentou? Exprima sua resposta em

termos da acelerao da gravidade g = 9,8 m/s2. (Note que o corpo do militar atua como um

acelermetro, no como um velocmetro.)

(Pg. 30)

Soluo.

Trata-se de movimento retilneo com acelerao (negativa ou desacelerao) constante. O clculo pode ser feito atravs da Eq. (1).




12

atvv 0 (1)

20

1 m/s0 (1.020 km/h)

3,6 km/h202,38095 m/s

(1,4 s)

v va

t

Para obter a acelerao em termos de unidades g, basta dividir a acelerao obtida pelo valor da acelerao da gravidade.

2

2

( 202,38095 m/s )20,6511

(9,8 m/s )

a

g

ga 21


41. Um trem de metr acelera a partir do repouso a 1,20 m/s2 em uma estao para percorrer a

primeira metade da distncia at a estao seguinte e depois desacelera a 1,20 m/s2 na segunda

metade da distncia de 1,10 km entre as estaes. Determine: (a) o tempo de viagem entre as

estaes e (b) a velocidade escalar mxima do trem.

(Pg. 30)

Soluo.

Considere o esquema abaixo para auxiliar a resoluo:

x = 0 0xx = d/21

-aa

x = d2

(a) Sabendo-se que o tempo gasto na primeira metade do caminho (acelerado) igual ao tempo

gasto para percorrer a segunda metade do caminho (desacelerado), o tempo de viagem entre as

estaes pode ser calculado da seguinte forma (trecho x0 x1):

2 2

0 0 0 1 1

1 1

2 2x x v t at v t at

21

0 02 2 2

d ta

3

2

4 4(1,10 10 m)60,553... s

(1,2 m/s )

dt

a

60,6 st

(b) A velocidade escalar mxima do trem (v1), que atingida em x1 = d/2, pode ser calculada da

seguinte forma (trecho x0 x1):

2 2

0 02 ( )v v a x x

2 2

1 0 1 02 ( )v v a x x

2

1 0 2 ( 0)2

dv a

2 31 (1,20 m/s )(1,10 10 m) 36,331... m/sv ad

136,3 m/sv




13


45. No momento em que a luz de um semforo fica verde, um automvel arranca com acelerao de

2,2 m/s2. No mesmo instante um caminho, movendo-se velocidade constante de 9,5 m/s,

alcana e ultrapassa o automvel. (a) A que distncia, alm do ponto de partida, o automvel

alcana o caminho? (b) Qual ser a velocidade do carro nesse instante? ( instrutivo desenhar

um grfico qualitativo de x(t) para cada veculo.).

(Pg. 31)

Soluo.

Considere o esquema abaixo para a resoluo do problema. Observe que tanto o caminho quanto o automvel percorrem a mesma distncia em tempos iguais.

x = 0 0 xx = d = ?

a

vC vC

v = 0A 0 v =A ?

d

(a) O movimento do caminho (C) ocorre com velocidade constante.

0x x vt

0 Cx x v t

Cx v t (1)

O movimento do automvel ocorre com acelerao constante, partindo do repouso em x0 = 0.

20 01

2x x v t at

20 01

2Cx x v t at

21

02

d at

21

2d at (2)

Substituindo-se o valor de t de (1) em (2):

22

2

1

2 2c c

d a dd a

v v

2 2

2

2 2(9,5 m/s)82,045045... m

(2,2 m/s )

cvda

82 md

(a) A velocidade com que o automvel alcana o caminho (vA) vale:

2 20 02 ( )v v a x x

2 20 02 ( )A Av v a x x




14

2 0 2Av ad

22 2(2,2 m/s )(82,04545... m) 18,999... m/sAv ad

19 m/sAv


49. No manual de motorista diz que um automvel com bons freios e movendo-se a 80 km/h pode

parar na distncia de 56 m. Para a velocidade de 48 km/h a distncia correspondente 24

m.Suponha que sejam iguais, nas duas velocidades, tanto o tempo de reao do motorista,

durante o qual a acelerao nula, como a acelerao quando aplicados os freios. Calcule (a) o

tempo de reao do motorista e (b) a acelerao.

(Pg. 31)

Soluo.

Considere o seguinte esquema para a resoluo do problema:

x = 0 0 x

Situao A

Situao BTempo dereao (B)

Tempo dereao (A)

Frenagem (A)

Frenagem (B)

x1B x1A x2B x2A

v0A v1A = v0A v = 2A 0

v0B v = v1B 0B v = 2B 0

(a) Vamos inicialmente analisar a situao A. Durante o tempo de reao, o carro desloca-se com

velocidade constante.

0x x vt

1 0 0A A A Rx x v t

Mas:

0 0Ax

Logo:

1 0A A Rx v t (1)

Anlise do movimento de frenagem na situao A.

2 2

0 02 ( )v v a x x

2 2

2 1 2 12 ( )A A A Av v a x x

Mas:

1 0A Av v

Logo:

2

0 2 10 2 ( )A A Av a x x (2)




15


22 0 02 ( )A A R Aa x v t v (3)

A anlise da situao B atravs do caminho seguido pelas Eqs. (1) a (3) conduz ao seguinte resultado:

22 0 02 ( )B B R Ba x v t v (4)

Dividindo-se (3) por (4):

2

2 0 0

2

2 0 0

A A R A

B B R B

x v t v

x v t v

Logo:

2 2

0 2 0 2

0 0 0 0( )

A B B AR

A B A B

v x v xt

v v v v (5)

0,72 sRt

(b) Substituindo-se (5) em (3):

2

20

2 0

6,17284... m/s2( )

A

A A R

va

x v t

26,2 m/sa


54. Uma rocha despenca de um penhasco de 100 m de altura. Quanto tempo leva para cair (a) os

primeiros 50 m e (b) os 50 m restantes?

(Pg. 31)

Soluo.

(a) Considere o seguinte esquema para a situao:

y

y1 = 50 m

y2 = 100 m

y0 = 0

g

Trata-se de movimento retilneo (vertical) com acelerao constante. O clculo do tempo de queda

nos primeiros 50 m pode ser feito atravs da Eq. (1). De acordo com o esquema ao lado, a

acelerao da gravidade tem o mesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal positivo.




16

210012

1tatvyy yy (1)

Como v0y = 0:

1 0 1 01

2( ) 2( )

y

y y y yt

a g

21 2

2[(50 m) 0)10,20408 s 3,19438 s

(9,81 m/s )t

s 2,31t

(b) Para calcular o tempo de queda dos 50 m seguintes (y1 = 50 m a y2 = 100m), primeiramente

vamos calcular o tempo de queda de y0 = 0 a y2 = 100m.

2

20022

1tatvyy yy

2 022( )y y

tg

22 2

2[(100 m) 0)20,40816 s 4,51753 s

(9,81 m/s )t

O clculo do tempo de queda y1 a y2 (t12) feito por diferena:

s 32315,1)s 19438,3()s 51753,4(1212 ttt

s 3,112t


59. Enquanto pensava em Isaac Newton, uma pessoa em p sobre uma passarela inadvertidamente

deixa cair uma ma por cima do parapeito justamente quando a frente de um caminho passa

exatamente por baixo dele. O veculo move-se a 55 km/h e tem 12 m de comprimento. A que

altura, acima do caminho, est o parapeito, se a ma passa rente traseira do caminho?

(Pg. 31)

Soluo.

Considere o seguinte esquema da situao:




17

Inicial

Final

y

l

v1

x

x0 = 0 x l1=

y h0 =

y1 = 0

v0 = 0

vC

vC

h

A soluo deste problema consiste em analisar as equaes do movimento horizontal do caminho e vertical da ma e combin-las, pois so sincronizadas no tempo. Movimento do caminhoem x:

0 xx x v t

0 Cl v t

C

lt

v (1)

Movimento da ma em y:

2

0 0

1

2y y v t at

210 0 ( )

2h g t

21

2h gt (2)


2

2

212 m1 1

9,81 m/s 3,026 mm/s2 2

55 km/h 3,6 km/h

C

lh g

v

3,0 mh


61. Um jogador de basquete, no momento de enterrar a bola, salta 76 cm verticalmente. Que tempo passa o jogador (a) nos 15 cm mais altos do pulo e (b) nos 15 cm mais baixos? Isso

explica por que esses jogadores parecem suspensos no ar no topo de seus pulos.

(Pg. 32)




18

Soluo.

Considere o seguinte esquema para a resoluo do problema.

yD

y = yA G = 0

a = -g

y

15 cm maisaltos

15 cm maisbaixosA

B

C

D

E

F

G

y yC E=

y yB F=

Como a acelerao a mesma na subida e na descida, temos que:

AB FGt t 15 2B ABt t 15

2

BAB

tt

CD DEt t 15 2A CDt t 15

2

ACD

tt

onde tAB o tempo para ir de do ponto A ao ponto B e t15A e t15B so os tempos em que o jogador passa nos 15 cm mais altos e mais baixos, respectivamente.

A velocidade inicial do jogador (vA) pode ser calculada pela anlise do movimento no trecho AD.

2 20 02 ( )v v a y y

2 2 2( )( )D A D Av v g y y 1)

20 2 ( 0)A Dv g y

22 2(9,81 m/s )(0,76 m) 3,8615022... m/sA Dv gy

(a) Anlise do movimento no trecho CD.

2

0

1

2y y vt at

21 ( )

2D C D CD CDy y v t g t

2

151(0,15 m) 02 2

Atg

15 2

8(0,15 m)0,3497... s

(9,81 m/s )At

15 0,35 sAt

(b) Anlise do movimento no trecho AB.

2

0 0

1

2y y v t at

21 ( )

2B A A AB ABy y v t g t

2

15 151(0,15 m)2 2 2

B BA

t tv g




19

2

15 15

(9,81 m/s ) (3,8615022... m/s)(0,15 m) 0

8 2B Bt t (1)

A Eq. (1) uma equao do segundo grau cujas razes so:

15

15

' 1, 492560... s

'' 0,081955... s

B

B

t

t

Como t15B deve ser menor do que t15A:

15 0,082 sBt


64. O laboratrio de pesquisa da gravidade nula do Centro de Pesquisa Lewis da NASA (EUA) tem

uma torre de queda de 145 m. Trata-se de um dispositivo vertical onde se fez vcuo e que, entre

outras possibilidades, permite estudar a queda de uma esfera com dimetro de 1 m, que contm

equipamentos. (a) Qual o tempo de queda do equipamento? Qual sua velocidade ao p da torre?

(c) Ao p da torre a esfera tem uma acelerao mdia de 25 g quando sua velocidade reduzida

a zero. Que distncia ela percorre at parar?

(Pg. 32)

Soluo.

(a) Considere o seguinte esquema da situao:

Acel.

Desacel.y2

y0 = 0

y1 = 145 m

g

y

Trata-se de movimento retilneo (vertical) com acelerao constante. O clculo do tempo de queda

livre pode ser feito atravs da Eq. (1). De acordo com o esquema, a acelerao da gravidade tem o mesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal positivo.

2

10012

1tatvyy yy (1)

Como v0y = 0:

1 012( )

y

y yt

a

1 012( )y y

tg




20

1 2

2[(145 m) 0)5,43706 s

(9,81 m/s )t

s 44,51t

(b) O clculo da velocidade de chegada da esfera base da torre tambm direto.

101 tavv yyy

21 0 (9,81 m/s )(5,43706 s) 53,337604 m/syv

m/s 3,531yv

(c) A desacelerao ocorre entre as posies y1 e y2.

)(2 12

1

2

2 yyavv yyyy

2 2 2 2 2 22 1 2 1

2

0 (53,337604 m/s)5,8 m

2 2 25 2 (25 9,81 m/s )

y y y y

y

v v v vy

a g

5,8 my

Obs.: O dimetro da esfera no tem utilidade na resoluo dos itens pedidos. Ele s foi dado para ilustrar a situao.


70. Um balo est subindo a 12,4 m/s altura de 81,3 m acima do solo quando larga um pacote. (a)

Qual a velocidade do pacote ao atingir o solo? (b) Quanto tempo ele leva para chegar ao solo?

(Pg. 32)

Soluo.

O balo desloca-se em movimento retilneo para cima, com velocidade constante. Considere o

esquema abaixo para a resoluo do problema. Como o balo est em movimento, a velocidade inicial do pacote a mesma do balo.

y = h0

y = 0

a = -g

v = 0 vBy

(a) A velocidade (v) do pacote ao atingir o cho pode ser calculada da seguinte forma:

2 2

0 02 ( )v v a y y

2 2 2( )(0 )Bv v g h

2 2 2Bv v gh

2 2 2(12,4 m/s) 2(9,81 m/s )(81,3 m)v

41,819445... mv




21

41,8 mv

(a) O tempo (t) gasto para o pacote atingir o cho pode ser calculado da seguinte forma:

0 01

( )2

y y v v t

1

0 ( )2

Bh v v t

2

B

ht

v v

2(81,3 m)

5,5269567... s(12,4 m/s) (41,819445... m/s)

t

5,53 st


73. No Laboratrio Nacional de Fsica da Inglaterra (o equivalente ao nosso Instituto Nacional de

Pesos e Medidas) foi realizada uma medio de g atirando verticalmente para cima uma bola de

vidro em um tubo sem ar e deixando-a retornar. A figura 35 o grfico da altura da bola em

funo do tempo. Seja tL o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas da bola pelo

nvel inferior, tU o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas pelo nvel superior e

H a distncia entre os dois nveis. Prove que

2 2

8

L U

Hg

t t.

(Pg. 32)

Soluo.

Considere o seguinte esquema para a resoluo do problema.

A

BC

yA

0

y

yByC

Movimento do ponto A ao ponto C dado por:




22

201

2y y vt at

21

( )2

C A Cy y v t g t

No ponto C a velocidade da bola (vC) zero.

21

02 2

LC A

ty y g

21

8C A Ly y g t (1)

De maneira idntica, o movimento do ponto B ao ponto C dado por:

21

8C B Uy y g t (2)

Subtraindo-se (2) de (1):

2 21( ) ( ) ( )

8C A C B B A L Uy y y y y y H g t t

Portanto:

2 2

8

L U

Hg

t t


74. Uma bola de ao de rolamento largada do teto de um edifcio com velocidade inicial nula. Um

observador em p diante de uma janela com 120 cm de altura nota que a bola gasta 0,125 s para

ir do topo da janela ao parapeito. A bola continua a cair, chocando-se elasticamente com uma

calada horizontal e reaparece no parapeito da janela 2,0 s aps passar por ela ao descer. Qual a

altura do edifcio? (Aps uma coliso elstica, a velocidade escalar da bola em dado ponto a

mesma ao subir e ao descer.)

(Pg. 33)

Soluo.





23

y1

v0 = 0

y

y2 = y4a j = g

y = H0

H

h

y = 3 0

v1

v2

v3

v3

v4 = v3t1

t3

t2

Vamos analisar o movimento de queda livre da esfera entre os pontos 0 (topo do edifcio) e 2 (parapeito da janela):

2 20 02v v a y y

2 22 0 22v v g y H

22 20 2v g y H

2

22

2

vH y

g (1)

Agora vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 1 (topo da janela) e 2 (parapeito da janela):

2

0

1

2y y vt at

2

2 1 2 2 2

1

2y y v t g t

2

2 2 2

1

2h v t g t

2 2 2

2

1,20 m1 1 m9,81 0,125 s

2 0,125 s 2 s

hv g t

t

2 10,213125 m/sv

Finalmente, vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 2 (parapeito da janela) e 3 (solo).

Note que o tempo requerido para a esfera ir do parapeito ao solo e retornar ao parapeito de 2,0 s.

Logo, o tempo para ir do parapeito ao solo de t3 = 1,0 s.

2

0 0

1

2y y v t at

2

3 2 2 3 3

1

2y y v t g t




24

22 2 3 31

02

y v t g t

2 22

2 3 2 3 2

1 1 m9,81 1,0 s 10,213125 m/s 1,0 s

2 2 sy g t v t

2 15,118125 my

Substituindo-se os valores de v2 e y2 em (1), teremos a resposta do problema:

2

2

10,213125 m/s15,118125 m 20,434532 m

2 9,81 m/sH

20 mH


75. Um cachorro avista um pote de flores passar subindo e a seguir descendo por uma janela com

1,1 m de altura. O tempo total durante o qual o pote visto de 0,74 s. Determine a altura

alcanada pelo pote acima do topo da janela.

(Pg. 33)

Soluo.

O tempo no qual o vaso visto subindo (tS) igual ao tempo no qual ele visto descendo (tD).

Portanto:

2S D St t t t

0,34 s2

S

tt

Considere o esquema abaixo para a resoluo do problema.

y1

y = 0 0

y

y2

a = -g

Clculo da velocidade do vaso na coordenada y1 (v1):

2

0

1

2y y vt at

2

1 0 1

1( )

2S Sy y v t g t




25

2

1 0

1

1

2S

S

y y gt

vt

2 2

1

1(1,1 m) 0 (9,81 m/s )(0,37 s)

2

(0,37 s)v

1 1,15812297... m/sv

Clculo da distncia acima da janela atingida pelo vaso (y2 y1):

2 20 02 ( )v v a y y

2 22 1 2 12( )( )v v g y y

2 2

1 22 1

2

v vy y

g

2

2 1 2

(1,15812297... m/s) 00,068361... m

2(9,81 m/s )y y

2 1 6,8 cmy y




a Ed. - LTC - 1996. Cap. 03 Vetores

26


FSICA 1

CAPTULO 3 VETORES

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53

[Incio documento]

16. Uma roda com raio de 45 cm rola sem deslizar ao longo de uma superfcie horizontal, como

mostra a Fig. 25. P um ponto pintado no aro da roda. No instante t1, P o ponto de contato

entre a roda e o cho. No instante t2 posterior, a roda girou de meia revoluo. Qual o

deslocamento de P nesse intervalo de tempo?

(Pg. 46)

Soluo.

Considere o esquema a seguir:

P

r

x

y

P

x

y

O deslocamento do ponto P corresponde ao vetor r, que dado por:

x yr i j

Analisando-se o esquema acima, podemos concluir que x corresponde a meia volta da

circunferncia da roda ( R) e y igual a 2R. Logo, o vetor deslocamento vale:

2 1,4137 m 0,90 mR Rr i j i j




27

1,4 m 0,90 mr i j

O mdulo do deslocamento vale:

2 2 2,2237 mr x y

2,2 mr


24. Uma estao de radar detecta um mssil que se aproxima do leste. Ao primeiro contacto, a

distncia do mssil 3.200 m, a 40,0o acima do horizonte. O mssil seguido por 123

o no plano

leste-oeste, e a distncia no contacto final era de 7.800 m; veja a Fig. 27. Ache o deslocamento

do mssil durante o perodo de contacto com o radar.

(Pg. 46)

Soluo.


r0r

r

x

y

A posio inicial do mssil dada por:

0 0 0x yr rr i j

0 0 0cos senr rr i j

A posio final do mssil dada por:

x yr rr i j

cos senr rr i j

O vetor deslocamento do mssil dado por:

x yr i j

0 0cos cos sen senr r r rr i j

10.216,9370 m 33,5360 mr i j

10 km 33 mr i j

O mdulo do deslocamento :




28

2 2 10.216,9921 mx yr r r

10 kmr




a Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 Movimento Bi e Tridimensional

29


FSICA 1

CAPTULO 4 MOVIMENTO BI E TRIDIMENSIONAL

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87

[Incio documento]

02. A posio de uma partcula que se move em um plano xy dada por r = (2t3 5t)i + (6 7t

4)j,

com r em metros e t em segundos. Calcule (a) r, (b) v e (c) a quando t = 2 s.

(Pg. 64)

Soluo.

(a) Em t = 2,00 s a posio (r) da partcula vale:

3 4[2 (2) 5 (2)] [6 7 (2) ]r i j

(16 10) (6 112)r i j

(6 106 ) mr i j

(b) A velocidade instantnea v derivada primeira de r em relao ao tempo:

3 4[(2 5 ) (6 7 ) ]

d dt t t

dt dt

rv i j

2 3(6 5) 28t tv i j

Substituindo-se o valor de t = 2 s:

2 3[6 (2) 5] [28 (2) ]v i j

(21 224 ) m/sv i j

(c) A acelerao instantnea a derivada primeira de v em relao ao tempo:

2 3[(6 5) 28 ]

d dt t

dt dt

va i j

212 84t ta i j

Substituindo-se o valor de t = 2 s:

212 (2) 84 (2)a i j

2(24 336 ) m/sa i j




30


44. Um canho posicionado para atirar projteis com velocidade inicial v0 diretamente acima de

uma elevao de ngulo , como mostrado na Fig. 33. Que ngulo o canho deve fazer com a

horizontal de forma a ter o alcance mximo possvel acima da elevao?

(Pg. 67)

Soluo.

Anlise do movimento no eixo horizontal (x), onde o ngulo de inclinao do canho em relao horizontal:

0 xx x v t

0cos 0 cosR v t

0

cos

cos

Rt

v (1)

Anlise do movimento no eixo vertical (y):

2

0 0

1

2yy y v t at

2

0

1sin 0 sin

2R v t gt (2)


2 2

0 2 2

0 0

cos 1 cossin sin

cos 2 cos

R RR v g

v v

2

2 2

0

cos 1 cossin sin

cos 2 cos

Rg

v

2

2 2

0

cossin tan cos

2 cos

gR

v

2 2

0

2

2 costan cos sin

cos

vR

g (3)

Como R( ) uma funo cujo ponto de mximo deve ser localizado, devemos identificar o valor de

tal que dR/d = 0.

2 2

02 cos( 2 )sec 0vdR

d g (4)

Resolvendo-se (4) para encontramos duas possveis solues:




31

1(2 )

4

1(2 )

4

Como 0 /2 (ver figura), a resposta mais coerente :

1

(2 )4

claro que resta demonstrar que d2R/d

2 0, equao (3), pois como se trata de um ponto de

mximo, a concavidade da curva nesse ponto deve ser voltada para baixo.


48. Um foguete lanado do repouso e se move em uma linha reta inclinada de 70,0o acima da

horizontal, com acelerao de 46,0 m/s2. Depois de 30,0 s de vo com o empuxo mximo, os

motores so desligados e o foguete segue uma trajetria parablica de volta Terra; veja a Fig.

36. (a) Ache o tempo de vo desde o lanamento ao impacto. (b) Qual a altitude mxima

alcanada? (c) Qual a distncia da plataforma de lanamento ao ponto de impacto? (Ignore as

variaes de g com a altitude.)

(Pg. 68)

Soluo.





32

y1

v0 = 0

y

y2 = H

a j = g

H

x0 = 0

v1

v2

v3

0

xx1

R

0

x2 x3

y0 = = 0y3

a0

(a) O clculo do tempo total de vo, t03, a soma do tempo de acelerao em linha reta com os

foguetes, t01 = 30,0 s, e o tempo de queda livre, t13, que precisa ser calculado.

03 01 13t t t (1)

Para o clculo de t13, precisamos de y1 e v1. Clculo de y1:

2

0 0

1

2y yy y v t a t

2

1 0 0 01 0 01

1

2y yy y v t a t

2

1 0 0 01

10 0 sen

2y a t

22 2 o

1 0 0 01

1 1sen 46,0 m/s sen 70,0 30,0 s

2 2y a t

1 19.451,63 my (2)

Clculo de v1:

0y y yv v a t

1 0 0 01y y yv v a t

1 0 0 0 01sen 0 senv a t

2

1 0 01 46,0 m/s 30,0 sv a t

1 1.380 m/sv (3)

Agora podemos determinar t13, com a ajuda dos valores obtidos em (2) e (3):

2

0 0

1

2y yy y v t a t




33

23 1 1 13 131

2yy y v t g t

21 1 0 13 13

1 20 sen

2y v t g t

g

2 1 0 113 132 sen 2

0v y

t tg g

o

2

13 132 2

2 1.380 m/s sen 70,0 2 19.451,63 m0

9,81 m/s 9,81 m/st t

2 213 13264,3783 s 3.965,6752 s 0t t

As razes da equao acima so:

'

13

''

13

278,6120 s

14,2336 s

t

t

Logo:

13 278,6120 st (4)


03 30,0 s 278,6120 s 308,6120 st

03 309 st

(b) A altitude mxima de vo do foguete pode ser obtida pela anlise do movimento na coordenada y do ponto 1, o incio da queda livre, ao ponto 2, que corresponde ao topo da trajetria.

2 20 02y y yv v a y y

2 22 1 2 12y yv v g y y

2 21 0 10 sen 2v g H y

2 2 o2 2

1 01 2

1.380 m/s sen 70,0sen19.451,63 m 105.161,50 m

2 2 9,81 m/s

vH y

g

105 kmH

(c) Para determinarmos a distncia pedida, precisamos apenas analisar o movimento horizontal

entre os pontos 1 e 3, que ocorre com velocidade horizontal constante.

0 xx x v t

3 1 1 13xx x v t

1 1 0 13cosR x v t

Lembremos que x1 pode ser obtido pela relao:

101

tany

x

Logo:

o1

1 0 13 o0

19.451,63 mcos 1.380 m/s cos 70,0 278,6120 s

tan tan 70,0

yR v t




34

138.581,29 mR

139 kmR


49. Um canho antitanque est localizado na borda de um plat a 60,0 m acima de uma plancie,

conforme a Fig. 37. A equipe do canho avista um tanque inimigo parado na plancie distncia

de 2,20 km do canho. No mesmo instante a equipe do tanque avista o canho e comea a se

mover em linha reta para longe deste, com acelerao de 0,900 m/s2. Se o canho antitanque

dispara um obus com velocidade de disparo de 240 m/s e com elevao de 10,0o acima da

horizontal, quanto tempo a equipe do canho teria de esperar antes de atirar, se quiser acertar o

tanque?

(Pg. 68)

Soluo.

A estratgia que vamos adotar consiste em calcular o tempo que o obus leva para atingir o solo da

plancie (tb) e o tempo que o tanque leva para chegar ao local onde o obus cai (tt), que fica a uma distncia horizontal R do canho. O tempo de espera ser:

b tt t t (1)

Em primeiro lugar vamos analisar o movimento do obus. Em x o movimento se d com velocidade constante:

0 xx x v t

00 cos bR v t

0 cos

b

Rt

v (2)

Movimento do obus em y:

2

0 0

1

2y yy y v t a t

2

0

10 sen

2bh v t gt (3)


2

0

0 0

1sen

cos 2 cos

R Rh v g

v v

22 2

0

tan 02 cos

gR R h

v

Daqui para adiante no h vantagem em continuar a solucionar o problema literalmente. As razes desta equao do 2

o grau so:




35

1

2

2.306,775 m

296,5345 m

R

R

Como R corresponde a uma coordenada positiva no eixo x, temos:

2.306,775 mR (4)


9,7598 sbt (5)

Agora vamos analisar o movimento do tanque, que se d com acelerao constante:

2

0 0

1

2x xx x v t a t

2

0

10

2t tR d a t

02

15,4038 stt

R dt

a (6)

Substituindo-se (5) e (6) em (1):

5,6440 st

5,64 st


60. Uma criana gira uma pedra em um crculo horizontal a 1,9 m acima do cho, por meio de uma

corda de 1,4 m de comprimento. A corda arrebenta e a pedra sai horizontalmente, caindo no

cho a 11 m de distncia. Qual era a acelerao centrpeta enquanto estava em movimento

circular?

(Pg. 68)

Soluo.

Considere o seguinte esquema:

r

d

h

x

yv

A acelerao centrpeta procurada dada por:

2

c

va

r (1)

Anlise do movimento no eixo horizontal (x):

0 xx x v t

0d vt




36

d

tv

(2)

Anlise do movimento no eixo vertical (y):

20 01

2yy y v t at

210 0

2h gt

21

2h gt (3)


2

2

1

2

dh g

v

2

2

2

gdv

h (4)


2

2c

gda

rh

222(9,81 m/s )(11 m) 223,1221... m/s

2(1,4 m)(1,9 m)ca

3 22,2 10 m/sca


70. A neve est caindo verticalmente velocidade escalar constante de 7,8 m/s. (a) A que ngulo

com a vertical e (b)com qual velocidade os flocos de neve parecem estar caindo para o

motorista de um carro que viaja numa estrada reta velocidade escalar de 55 km/h?

(Pg. 69)

Soluo.

Considere o seguinte esquema vetorial de velocidades, onde vC a velocidade do carro em relao

ao solo, vN a velocidade da neve em relao ao solo e vNC a velocidade da neve em relao ao carro:

vNCvN

vC

x

y

(a) O ngulo que a neve faz com a vertical vale:

tan C

N

v

v

1tan 27,0463C

N

v

v

27




37

(b) A velocidade escalar da neve dada por:

2 2 61,7534 km/hNC C Nv v v

62 km/hNCv

Obs. Apenas como curiosidade, vamos mostrar o vetor vNC. Os vetores vN e vC so definidos como:

C Cvv i

N Nvv j

De acordo com o esquema, temos:

N C NCv v v

NC N Cv v v

Logo:

NC C Nv vv i j


71. Um trem viaja para o Sul a 28 m/s (relativamente ao cho), sob uma chuva que est sendo

soprada para o sul pelo vento. A trajetria de cada gota de chuva faz um ngulo de 64o com a

vertical, medida por um observador parado em relao Terra. Um observador no trem,

entretanto, observa traos perfeitamente verticais das gotas na janela do trem. Determine a

velocidade das gotas em relao Terra.

(Pg. 69)

Soluo.

Considere o seguinte esquema vetorial de velocidades, onde vT a velocidade do trem em relao

Terra, vG a velocidade das gotas de chuva em relao Terra e vGT a velocidade das gotas de chuva em relao aotrem:

vGTvG

vT

x

y

Os vetores vT e vGT so definidos como:

T Tvv i (1)

cosGT Gvv j (2)

De acordo com o esquema, temos:

G T GTv v v (3)

Substituindo-se (1) e (2) em (3):

cosG T Gv vv i j (4)

O esquema mostra que vG definido por:

sen cosG G Gv vv i j (5)

Comparando-se (4 e (5), conclui-se que:

senG Tv v




38

sen

TG

vv (6)


tan

TG T

vvv i j

O mdulo de vG dado por:

2

2 31,1528 m/stan

TNC T

vv v

31 m/sNCv


81. Um homem quer atravessar um rio de 500 m de largura. A velocidade escalar com que consegue

remar (relativamente gua) de 3,0 km/h. O rio desce velocidade de 2,0 km/h. A velocidade

com que o homem caminha em terra de 5,0 km/h. (a) Ache o trajeto (combinando andar e

remar) que ele deve tomar para chegar ao ponto diretamente oposto ao seu ponto de partida no

menor tempo. (b) Quanto tempo ele gasta?

(Pg. 70)

Soluo.

(a) O trajeto procurado definido pelo ngulo que o remador deve adotar para direcionar o barco

durante a travessia, de forma que a soma dos tempos gastos remando (t1) e andando (t2) deve ser o

menor possvel. Logo, a soluo deste item consiste em construir uma funo matemtica t1 + t2 =

f( ) e, em seguida, achar o valor de onde t1 + t2 tem seu valor mnimo, ou seja, d(t1 + t2)/d = 0. Considere o seguinte esquema para a situao:

t1 ,d1

t2 ,d2

A

BC

v

vA

vHAvH

l

x

y

A velocidade do homem em relao gua (vHA) deve fazer um ngulo em relao margem. A

velocidade da gua (vA) far com que o barco percorra a trajetria retilnea AB, que faz um ngulo

em relao margem. O trajeto AB mede d1 e ser percorrido num tempo t1. Ao chegar ao ponto

B, o homem ir caminhando at C num tempo t2 atravs de uma distncia d2. Seja o esquema

vetorial de velocidades:

vHAvH

vA

De acordo com o esquema acima:




39

HAAH vvv (1)

Mas:

iv aA v (2)

cos senHA HA HAv vv i j (3)

Logo, substituindo-se (2) e (3) em (1):

( cos ) senH a HA HAv v vv i j

Movimento do ponto A ao ponto B:

tvrr 0

1tHAB vrr

Considerando-se um sistema de coordenadas cartesianas com origem no ponto A, temos:

jir 2 ldB

Logo:

2 1 0 [( cos ) sen ]A HA HAd l v v v ti j i j (4)

A equao (4) somente verdadeira se e somente se:

2 1( cos )A HAd v v t

e

1 senHAl v t (5)

Logo, de acordo com (10):

1

senHA

lt

v

Mas, de acordo com o esquema principal acima:

tan

2

ld (6)

Tambm podemos dizer que:

jiv HyHxH vv

Onde:

)cos(

sentan

HAA

HA

Hx

Hy

vv

v

v

v (7)


sen

)cos(2

HA

HAA

v

vvld (8)

Movimento de B at C:

tvxx x0

22 0 vtd

v

dt 22 (9)





40

sen

)cos(2

HA

HAA

vv

vvlt

Agora podemos construir a funo t1 + t2 = f( ):

sen

)cos(

sen21

HA

HAA

HA vv

vvl

v

ltt

sen

)cos(21

HA

HAA

vv

vvvltt (10)

O mnimo da funo (10) agora pode ser encontrado.

2

1 2

2

( ) [( )sen ( cos )cos ]0

sen

HA A HA

HA

d t t v v v vl

d vv (11)

A equao (11) somente verdadeira se:

0cos)cos(sen2 HAAHA vvvv

Logo:

cos)()cos(sen 22 AHA vvv

A

HA

vv

vcos

A

HA

vv

v1cos

o1 3769,115)]km 0,2()km 0,5[(

)km 0,3(cos

o115

(b) Da equao (10):

o

1 2 o

(0,500 km)[(5,0 km/h) (2,0 km/h) (3,0 km/h)cos115,3769 )

(5,0 km/h)(3,0 km/h)sen115,3769t t

h 2108,021 tt

h 21,021 tt


82. Um navio de guerra navega para leste a 24 km/h. Um submarino a 4,0 km de distncia atira um

torpedo que tem a velocidade escalar de 50 km/h. Se a posio do navio, visto do submarino,

est 20o a nordeste (a) em qual direo o torpedo deve ser lanado para acertar o navio, e (b)

que tempo decorrer at o torpedo alcanar o navio?

(Pg. 70)

Soluo.

(a) Considere o seguinte esquema da situao:




41

x

yvN

v TN

v T

Pelo esquema acima, temos:

T N TNv v v

TN T Nv v v

onde vTN o vetor velocidade do torpedo em relao ao navio. Os vetores vN e vT so assim

definidos:

N Nvv i (1)

sin cosT T Tv vv i j (2)

onde o ngulo procurado no item (b) do enunciado.

sin cos sin cosTN T T N T N Tv v v v v vv i j i i j (3)

Mas:

sin cosTN TN TNv vv i j (4)

Como os vetores (3) e (4) so iguais, suas componentes tambm so iguais.

sin sinT N TNv v v (5)

cos cosT TNv v (6)

Dividindo-se (5) por (6):

sin

tancos

T N

T

v v

v (7)

Resolvendo-se (7) :

4 4 2 2 2

1

2 2

tan tansec

N T T T N T

T N

v v v v v v

v v

So duas as solues possveis:

173,89...

46,8112...

o

o

Pelo esquema inicial, conclui-se que a resposta mais coerente a segunda opo:

47o

(b) Equao de movimento do navio e do torpedo:

0N N Ntr r v

0T T T tr r v

Como no instante t da coliso entre o torpedo e o navio ambos estaro na mesma posio, temos:

N Tr r




42

0 0N N T Tt tr v r v

Mas:

0 0Tr

Logo:

0N N Tt tr v v (8)

Porm:

0 sin cosN d dr i j (9)

Substituindo-se (1), (2) e (9) em (8):

sin cos sin cosN T Td d v t v t v ti j i i j

( sin ) cos sin cosN T Td v t d v t v ti j i j (10)

Como os vetores descritos em ambos os membros de (10) so iguais, suas componentes tambm so

iguais. Igualando-se as componentes y desses vetores:

cos cosTd v t

cos

cosT

dt

v

o

(4,0 km)cos(20 )0,109838... h

(50 km/h)cos(46,8112... )

o

t

0,11 ht




a Ed. - LTC - 2003. Cap. 02 Movimento em Uma Dimenso

43


FSICA 1

CAPTULO 2 MOVIMENTO EM UMA DIMENSO

EXERCCIOS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61

PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33

[Incio documento]




a Ed. - LTC - 2003. Cap. 04 Movimento em Duas e Trs Dimenses

44


FSICA 1

CAPTULO 4 MOVIMENTO EM DUAS E TRS DIMENSES

EXERCCIOS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45

PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28

[Incio documento]


02-movimento uni bi tridimensional vetores

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