MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL I

FORÇA ELÁSTICA

Relatório de aula prática,

apresentado como pré-requisito à

obtenção parcial de nota referente à

disciplina de Física Experimental I,

da Universidade Federal de

Roraima.

Orientador: Roberto Ferreira.

BOA VISTA, RR.

Outubro/2014

ADLER F. PEREIRA FILHO

ADRIANO J. PIMENTEL DO NASCIMENTO

JONAS LEITE PORTELA

NATHAN V. BORGES DO NASCIMENTO

TALITA HELLEN GONÇAVES LOPES

1

Sumário

1. RESUMO .................................................................................................................. 2

2. FORÇA ELÁSTICA ................................................................................................. 3

3. OBJETIVOS.............................................................................................................. 4

4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL .................................................................... 4

4.1. MATERIAIS UTILIZADOS ............................................................................ 4

4.2. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS ........................................................ 4

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO .............................................................................. 5

5.1. EXPERIMENTO 1 – UMA MOLA ................................................................. 5

GRÁFICO .................................................................................................. 6

EQUAÇÃO DA RETA .............................................................................. 7

5.2. EXPERIMENTO 2 –MOLAS EM SÉRIE ..................................................... 10

5.3. EXPERIMENTO 3 – MOLAS EM PARALELO .......................................... 12

6. CONCLUSÃO ........................................................................................................ 15

7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................... 16

8. ANEXOS ................................................................................................................. 17

LISTA DE FIGURAS

Pág.

FIGURA 2-1 - Gráfico do coeficiente angular da reta................................................. 3

FIGURA 2-2 – Gráfico da área hachurada.................................................................... 4

FIGURA 5-1: Esquema do sistema massa mola............................................................ 5

FIGURA 5.1.2 - 1– Cálculo da constante elástica através do gráfico (α)..................... 7

FIGURA 5.1.2 -2 – Gráfico da equação da Reta do experimento 1.............................. 8

FIGURA 5.1.2 -2 – Gráfico do cálculo da área............................................................. 9

FIGURA 5.2-1 - Sistema massa mola em associação em série.................................... 10

FIGURA 5.2-2 - Sistema massa mola em associação em série.................................... 11

FIGURA 5.3-1 - Sistema massa mola em associação em paralelo................................ 12

FIGURA 5.3-2 - Sistema massa mola em associação em paralelo............................... 13

LISTAS DE GRÁFICOS

Pág.

TABELA 5 -1: Medidas dos pesos................................................................................ 5

TABELA 5-2: Medidas de comprimento das molas..................................................... 5

TABELA 5.1-1: Medidas obtidas para o sistema de uma mola.................................... 6

TABELA 5.1-2: Medidas obtidas das constantes K para uma mola............................. 6

TABELA 5.1.1-1: Medidas de conversão de escala do gráfico ................................... 6

TABELA 5.1.2 – Equivalência dos pontos do gráfico.................................................. 7

TABELA 5.2-1: Medidas obtidas para o sistema de molas em associação em série.... 10

TABELA 5.2-2: Medidas obtidas das constantes K em associação em série............... 10

TABELA 5.3-1: Medidas obtidas para o sistema de molas em associação paralelo..... 13

TABELA 5.3-2: Medidas obtidas das constantes K em associação em paralelo.......... 13

2

1. RESUMO

Este relatório apresenta os resultados experimentais obtidos em laboratório para

determinar a constante elástica em um sistema massa mola em associação em série e paralelo.

Utilizando conceitos da lei de Hooke, conservação de energia e do trabalho realizado por uma

força, possibilitando encontrar a constante elástica em um sistema de uma e mais molas.

3

2. FORÇA ELÁSTICA

Um sistema massa-mola é constituído por uma massa acoplada a uma mola que se

encontra fixa a um suporte. A deformação da mola e proporcional à força aplicada para

comprimir e/ou esticar a mola, a qual é dada pela Lei de Hooke: A intensidade da força

elástica (Fel) é proporcional à deformação (x):

F = - k . x

Onde:

F é a força aplicada;

X é a deformação sofrida pela mola e;

k é a constante elástica da mola.

O sinal negativo na equação acima indica que a força exercida pela mola tem sempre o

sentido oposto do deslocamento da sua extremidade livre. A constante elástica da mola

depende de suas características físicas, de ser mais ou menos rígida e a unidade dessa

constante é Newton por metro (N/m).

Pela lei de Hooke, a cada esforço F realizado numa mola helicoidal cilíndrica fixa por

uma das extremidades corresponde uma deformação proporcional y.A partir do momento que

deformamos a mola, isto é, conhecemos o vetor deformação X, conhecemos também a forca

restauradora, e vice versa. Essa propriedade possibilita a construção de um medidor de forças.

Examinando o gráfico abaixo podemos verificar:

FIGURA 2-1 - Gráfico do coeficiente angular da reta

𝛼 = 𝑘 =𝐹2 − 𝐹2

𝑋2 − 𝑋1

tan 𝛼 =�⃗�

�⃗�= 𝑘

4

Calculando a área hachurada do gráfico teremos:

FIGURA 2-2 – Gráfico da área hachurada

Área = (𝑏𝑎𝑠𝑒).(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

2=

(𝑥).(𝑘𝑥)

2=

1

2𝑘𝑥2

3. OBJETIVOS

Conhecer a força elástica;

Determinar a constante elástica em função da elongação;

Interpretar o significado da área hachurada do gráfico da força em função da

elongação;

Verificar a associação de molas em série;

Verificar a associação de molas em paralelo.

4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

4.1. MATERIAIS UTILIZADOS

Duas molas;

Pesos de chumbo;

Uma régua;

Um suporte;

Papel Milímetrado.

Uma balança

4.2. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS

Inicialmente posicione a mola como mostrado na figura abaixo, e coloque suspenso

um peso. Posicionando a régua de modo que o pequeno anel inferior da mola coincida com o

traço da régua, deve-se olhar para o painel e a régua horizontalmente. Logo em seguida anote

5

na tabela especificado o valor suspenso do peso P e a correspondente deformação X, repita o

procedimento para três massas diferentes.

Em seguida, repita o procedimento anterior, mas agora colocando duas molas juntas,

em associação em série e anote os resultados. Repita novamente os procedimentos anteriores,

desta vez a mola deve estar em associação em paralelo.

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Conforme especificado nos procedimentos experimentais obtivemos as seguintes

medidas para os pesos:

TABELA 5 -1: Medidas dos pesos

Corpos de prova Gramas (g) ±0,1𝑔 Kg ±10−4 Força Peso Fp (Fp = m.g)

PESO 1 64,2 0,0642 0,630

PESO 2 91,3 0,0913 0,895

PESO 3 118,6 0,1120 1,120

A massa especificada acima já consta a massa da haste e dos corpos de prova

usados em laboratório. Medindo o comprimento das molas A e B sem a ação de nenhuma força,

apresentaram as seguintes medidas:

TABELA 5-2: Medidas de comprimento das molas

MOLAS Comprimento da mola (cm) Comprimento da mola (m) ±10−3m

A 11,1 ±0,1 cm 0,111

B 11,0±0,1 cm 0,110

A+B 22,1 ±0,1 cm 0,211

5.1. EXPERIMENTO 1 – UMA MOLA

Montou-se o seguinte sistema ajustando a mola que suspendia um corpo livre até

atingir um equilíbrio, conforme a figura abaixo:

FIGURA 5-1: Esquema do sistema massa mola

6

Desta forma foi possível obter as seguintes medidas:

TABELA 5.1-1: Medidas obtidas para o sistema de uma mola

PESOS X(cm)

±0,1 cm

X (m) Comprimento da

mola A (m) ∆𝑥 (m)

Peso 1 14,9 0,149 0,111 m 0,149 - 0,111 = 0,038

Peso 2 16,0 0,160 0,111 m 0,160 - 0,111 = 0,049

Peso 3 17,5 0,175 0,111 m 0,175 - 0,111 = 0,064

Assim é possível calcular a constante elástica através da fórmula:

𝐹 = −𝑘𝑥 → 𝑘 =𝐹

𝑥

TABELA 5.1-2: Medidas obtidas das constantes K para uma mola

PESOS Força Peso (N) ∆𝑥 (m) K (N/m)

Peso 1 0,630 0,038 16,580

Peso 2 0,895 0,049 18,265

Peso 3 1,120 0,064 17,500

Calculando a média da constante elástica (K), obtivemos:

�̅� =16,580 + 18,265 + 17,500

3= 17,450 (𝑁/𝑚)

GRÁFICO

Faça um gráfico F em uma função de X, e determine, a partir de gráfico, qual o valor

da constante elástica k da mola.

Como se pede um gráfico da força em função da deformação é necessário escolher

uma variável dependente, neste caso a força, e uma variável independente que é a

deformação. Assim determinamos que a força F vai ser expressa ao longo do eixo (Y) e a

deformação no eixo (X).

Antes de tudo, é necessário calcular a escala tanto da força quanto da deformação,

como é mostrado na tabela abaixo:

TABELA 5.1.1-1: Medidas de conversão de escala do gráfico

Fazendo as proporções para eixo X

Deformação (X)

Fazendo as proporções para eixo Y

Força (N)

0,064 140mm X=0,038x140/0,064 1,120 140 mm Y = 0,630x140/1,120

0,038 x X = 83,1 mm 0,630 Y Y = 78,7 mm

0,064 140mm X=0,049x140/0,064 1,120 140 mm Y = 0,895x140/1,120

0,049 x X = 107,1 mm 0,895 Y Y = 111,9 mm

0,064 140mm X=0,064x140/0,064 1,120 140 mm Y = 1,120x140/1,120

0,064 x X = 140 mm 1,120 Y Y = 140 mm

7

O gráfico consta no anexo 1 deste relatório.

Verificando o, temos que a tangente do ângulo formado pela reta da função linear F(x)

com o eixo X é igual a:

tan 𝜃 =�⃗�

�⃗�= 𝑘 (𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎)

Assim vemos que a força em função da deformação nos dá que tan θ = k, desta forma

as coordenadas (x, y) de qualquer ponto da reta podem ser utilizadas para encontrar a constante

elástica (K) da mola.

Escolhendo um ponto do gráfico teremos: P(0,064 ; 1,120) temos:

K = 1,120

0,064= 17,5 (𝑁/𝑚)

EQUAÇÃO DA RETA

Escolhendo dois pontos da reta do gráfico temos os seguintes potnos: P1(91,90) e

P2(138,140), convertendo este pontos que estão dados em centímetro (cm) teremos o seguinte

processo:

TABELA 5.1.2 – Equivalência dos pontos do gráfico

Fazendo as proporções para eixo X

Deformação (X)

Fazendo as proporções para eixo Y

Força (N)

0,064 140mm 0,064x91/140 1,120 140 mm 1,120x90/140

X 91 X = 0,0416 Y 90 Y = 0,720

0,064 140mm 0,064x138/140 1,120 140 mm 1,120x140/140

X 138 X = 0,063 Y 140 Y = 1,120

Assim teremos os seguintes pontos: P1(0,0416 ; 0,720) e P2(0,063 ; 1,120). Estes

pontos agora estão relacionados com os pontos correspondentes as força F e a deformação X

do gráfico. Desta forma é possível calcular, conforme a figura abaixo, α:

FIGURA 5.1.2 - 1– Cálculo da constante elástica através do gráfico (α)

8

𝛼 =𝐹2 − 𝐹1

𝑋2 − 𝑋1= 𝐾

𝛼 =1,120 − 0,720

0,063 − 0,0416=

0,4

0,0214= 18,691 (𝑁/𝑚)

Quando calculamos α encontramos o valor da constante elástica (k), que é coeficiente

angular da reta. Em posse disto podemos calcular a equação da reta dado por:

Y – Y0 = α (X – X0)

Y – 0,720 = 18,691(X – 0,0416)

Y = 18,691X – 0,7775 + 0,720

Y = 18,691X – 0,055

Para verificar nossos cálculos, foram colocados os pontos das forças em relação a

deformação no Excel e produzidos o gráfico e a equação da reta.

FIGURA 5.1.2 -2 – Gráfico da equação da Reta do experimento 1

O trabalho total WS realizado pela mola Xi a Xf é a soma de todos esses trabalhos:

WS = ∑ - Fxj∆Xi

Onde j = 1,2,3,... é o número de ordem de cada segmento. No limite em que ∆Xi tenda

zero, a Eq. acima se torna:

y = 18,62x - 0,0556

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

Forç

a F

(N)

ΔX (m)

9

WS = ∫ −𝐹𝑥 𝑑𝑥𝑓

𝑥𝑖𝑥

De acordo com a lei de Hooke F = -kx, o módulo da força é igual a kx, logo:

WS = ∫ −𝑘𝑥 𝑑𝑥𝑓

𝑥𝑖𝑥 = -K∫ 𝑥 𝑑

𝑥𝑓

𝑥𝑖𝑥

WS = 1

2𝐾𝑥𝑖

2 −1

2𝐾𝑥𝑓

2 (𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎)

Assim é possível calcular o trabalho realizado pela mola utilizando a área do gráfico e

equação acima. Desta forma, conforme o gráfico em anexo (Apêndice 1), segue:

FIGURA 5.1.2 -2 – Gráfico do cálculo da área

Área = (𝑏𝑎𝑠𝑒).(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

2=

(𝑥).(𝑘𝑥)

2=

1

2𝑘𝑥2

Área = (0,064).(1.120)

2=

1

2(17.45)(0.026)2 ~ 0,006 J

Utilizando a integral especificado acima, segue:

WS = ∫ −𝑘𝑥 𝑑𝑥𝑓

𝑥𝑖𝑥 = -K∫ 𝑥 𝑑

𝑥𝑓

𝑥𝑖𝑥 = −17,45 ∫ 𝑥 𝑑

0,026

0𝑥 = −17.45

(0.026)2−(0)2

2

WS ~ 0.006 J

Assim verifica-se que a área do gráfico é o trabalho total realizado pela mola em

questão.

10

5.2. EXPERIMENTO 2 –MOLAS EM SÉRIE

Repetindo o procedimento anterior mas agora utilizando duas molas que encontravam-

se em associação em série, conforme mostra FIGURA 5.2-1 logo abaixo, obtivemos os

seguintes resultados:

TABELA 5.2-1: Medidas obtidas para o sistema de molas em associação em série

PESOS X(cm)

±0,1 cm

X (m) ±10−3m

Comprimento total

das molas (m) ∆𝑥 (m)

Peso 1 30,7 0,307 0,211 0,307 - 0,211 = 0,096

Peso 2 33,5 0,335 0,211 0,335 - 0,211 = 0,124

Peso 3 36,4 0,364 0,211 0,364 - 0,211 = 0,153

Observação: para calcular o comprimento da mola total, fizemos a soma da mola A

com a mola B, conforme especificado na TABELA 5-2: Medidas de comprimento das molas

FIGURA 5.2-1 - Sistema massa mola em associação em série

Utilizando a equação abaixo para encontrar a constante elástica obtivemos a tabela:

𝐹 = −𝑘𝑥 → 𝑘 =𝐹

𝑥

TABELA 5.2-2: Medidas obtidas das constantes K em associação em série

PESOS Força Peso (N) ∆𝑥 (m) K (N/m)

Peso 1 0,630 0,096 6,563

Peso 2 0,895 0,124 7,218

Peso 3 1,120 0,153 7,320

Calculando a média da constante elástica (K), obtemos:

�̅� =6,563 + 7,218 + 7,320

3= 7,034 (𝑁/𝑚)

Qual a relação entre o valor de k obtido no experimento anterior com o k deste

experimento?

11

FIGURA 5.2-2 - Sistema massa mola em associação em série

Duas molas em associação em série possui uma única forca equivalente que atua sobre

elas, mas cada uma tem uma constante elástica, k1 e k2.

F1 = F2 = Feq (Feq =força equivalente) (1)

Existirá também uma deformação Xeq dado pela soma deformação da mola A com a

mola B:

Xeq = X1 + X2 (2)

X = 𝐹

𝑋 → 𝑋1 =

𝐹1

𝐾1 𝑒 𝑋2 =

𝐹2

𝐾2 (3)

Da mesma forma teremos uma constante elástica equivalente:

Keq = 𝐹𝑒𝑞

𝑋𝑒𝑞 (4)

Tomando (2) e (3) teremos:

Xeq = 𝐹1

𝐾1 +

𝐹2

𝐾2 (5)

Substituindo (5) na equação (4), temos:

Keq = Feq

Xeq=

FeqF1K1

+F2K2

(6)

Como F1 = F2 = Feq segue:

Keq = Feq

Xeq=

FeqFeq

K1+

Feq

K2

(7)

Manipulando a equação (7) obtemos:

Feq = 𝑘𝑒𝑞 . (Feq

k1+

Feq

k2) →

Feq

𝑘𝑒𝑞= (

Feq

k1+

Feq

k2) x

1

Feq

1

𝑘𝑒𝑞= (

1

k1+

1

k2) (8)

Portanto em uma associação em série de duas molas o inverso da constante elástica da

mola equivalente (𝑘𝑒𝑞) é igual à soma dos inversos das constantes elásticas das duas molas

em questão.

12

No experimento obtivemos uma constante elástica equivalente para o sistema em

associação em série das molas A e B, assim Keq = 7,034 (𝑁/𝑚), e no experimento anterior

encontramos a constante elástica para a mola A, logo K1 = 17,450 (𝑁/𝑚). Substituindo na

equação (8) teremos:

1

𝑘𝑒𝑞= (

1

k1+

1

k2) →

1

7,034= (

1

17,450+

1

k2) →

1

7,034=

17,450 + k2

17,450 k2

17,450 k2 = (7,034)(17,450 + k2)

17,450 k2 = 122,743 + 7,034k2

17,450 k2 − 7,034k2 = 122,743

10,416k2 = 122,743 → k2 = 122,743

10,416= 11,784 (𝑁/𝑚)

Portanto temos que K1 = 17,450 (𝑁/𝑚), K2 = 11,784 (𝑁/𝑚) e a constante

equivalente desta associação é igual Keq = 7,034 (𝑁/𝑚).

5.3. EXPERIMENTO 3 – MOLAS EM PARALELO

Repetindo o procedimento, desta vez utilizando duas molas em associação em

paralelo, conforme mostra FIGURA 5.3-1 logo abaixo, obtivemos os resultados mostrados na

TABELA 5.3-1.

FIGURA 5.3-1 - Sistema massa mola em associação em paralelo.

13

TABELA 5.3-1: Medidas obtidas para o sistema de molas em associação paralelo

PESOS X(cm)

±0,1 cm

X (m) ±10−3m

Comprimento total

das molas (m) ∆𝑥 (m)

Peso 1 12,4 0,124 0,1105 0,124 - 0,1105= 0,0135

Peso 2 13,5 0,135 0,1105 0,135 - 0,1105 = 0,0245

Peso 3 14,3 0,143 0,1105 0,143 - 0,1105= 0,0325

Observação: Como o comprimento das molas possuía uma pequena variação, para

calcular o comprimento da mola total em paralelo, com o intuito de não alterar o resultado

final, utilizamos a média da mola A com a mola B, medidas de comprimento conforme

especificado na TABELA 5-2.

A constante elástica é obtida pela equação:

𝐹 = −𝑘𝑥 → 𝑘 =𝐹

𝑥

TABELA 5.3-2: Medidas obtidas das constantes K em associação em paralelo

PESOS Força Peso (N) ∆𝑥 (m) K (N/m)

Peso 1 0,630 0,0135 46,67

Peso 2 0,895 0,0245 36,53

Peso 3 1,120 0,0325 34,47

A média da constante elástica K é dado por:

�̅� =46,67 + 36,53 + 34,47

3= 39,22 (𝑁/𝑚)

Qual a relação entre o calor de K obtido no primeiro experimento e com o segundo?

FIGURA 5.3-2 - Sistema massa mola em associação em paralelo

Diferente da associação em série, a força exercida em uma associação paralela entre

duas molas A e B é divindade ambas as molas, e a deformação é a mesma para as duas.

Assim:

X1 = X2 = Xeq (Xeq = deformação equivalente) (1)

14

Existirá também uma força equivalente Feq dado pela soma de forças aplicados na

mola A com a mola B:

Feq = F1 + F2 (2)

𝐹 = 𝑘. 𝑥 → F1 = K1.X1 e F2 = K2.X2 (3)

Da mesma forma teremos uma constante elástica equivalente:

𝑘𝑒𝑞 =𝐹𝑒𝑞

𝑋𝑒𝑞 → 𝑘𝑒𝑞 =

𝐹1 + 𝐹2

𝑋𝑒𝑞→ 𝑘𝑒𝑞 =

𝐾1𝑋1 + 𝐾2𝑋2

𝑋𝑒𝑞 (4)

De acordo com equação (1) X1 = X2 = Xeq, Keq pode ser reescrita da seguinte forma:

𝑘𝑒𝑞 =𝐾1𝑋𝑒𝑞 + 𝐾2𝑋𝑒𝑞

𝑋𝑒𝑞 → 𝑘𝑒𝑞 =

𝑋𝑒𝑞(𝐾1 + 𝐾2)

𝑋𝑒𝑞

𝑘𝑒𝑞 = 𝐾1 + 𝐾2 (5)

Portanto em uma associação em que duas molas está em paralelo a constante elástica

equivalente (𝑘𝑒𝑞), é obtido pela soma das constantes elásticas das duas molas A e B.

Tomando este princípio e sabendo que Keq = 39,22 (𝑁/𝑚), obtido neste experimento

e K1 = 17,450 (𝑁/𝑚), obtido no primeiro experimento com a mola A, podemos calcular a

constante elástica da mola B utilizando a equação (5), de modo que:

𝑘𝑒𝑞 = 𝐾1 + 𝐾2 (5)

𝐾2 = 𝑘𝑒𝑞 − 𝐾1

𝐾2 = 39,22 (𝑁/𝑚) − 17,45 (𝑁/𝑚)

𝐾2 = 21.77 (𝑁/𝑚)

Portanto temos que K1 = 17,450 (𝑁/𝑚), 𝐾2 = 21.77 (𝑁/𝑚) e a constante

equivalente desta associação é igual Keq = 39,22 (𝑁/𝑚).

15

6. CONCLUSÃO

Por meio deste experimento e análise dos resultados obtidos em laboratório e

discutidos aqui, concluímos que as molas, tanto as que estavam em um sistema de uma mola,

em série e paralelo, seguem a Lei de Hooke, já que a deformação da mola é proporcional à

força exercida sobre a mesma.

Verifica-se que a maior diferença encontrada nas medidas de deformação ocorreu nos

maiores pesos, sendo que a mola não ultrapassou seu limite de elasticidade, uma vez que, ao

serem retirados os pesos, as molas retornaram para a posição inicial.

Utilizando a lei Hooke foi possível calcular as constantes envolvidas e verificar que o

experimento mostra à realidade da mola. Com os dados obtidos, foi possível estabelecer uma

relação entre os experimentos onde as molas encontrava-se em associação em série e paralelo.

Comparando ambas as associações, em série e paralelo, é possível visualizar que a

constante elástica do sistema de molas em série é menor que as constantes elásticas de cada

mola, e para no sistema de molas que se encontra em paralelo é maior que as outras

constantes das molas. Vale ressaltar que, quando é cessada a força deformadora da mola, ela

volta à posição inicial, assim ela possui uma força restauradora.

Podem ter aparecido algumas diferenças nos resultados aqui expressados e são

ocasionados pela precisão de medida da régua, bem como na realização das medidas das

molas.

16

7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

SILVA, Angela Maria Moreira. Normas para apresentação dos trabalhos técnico-científicos

da UFRR. Roraima: Ed. da UFRR, 2007. 108p.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física 1: mecânica. Livros

Técnicos e Científico.

17

8. ANEXOS