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MESTRADO EM ESTRUTURAS

Disciplina: Anlise No Linear de Estruturas

Professor: Mrcio Andr Arajo Cavalcante

Universidade Federal de Alagoas UFAL

Centro de Tecnologia CTEC

Programa de Ps-graduao em Engenharia Civil - PPGEC

Macei - Alagoas

2012

Introduo Anlise No Linearde Estruturas


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CARACTERSTICAS DE UMA ANLISELINEAR ELSTICA:

Relaes Cinemticas que desprezam os

Movimentos de Corpo Rgido: Relaes Constitutivas Lineares (Lei de Hooke

Generalizada): Condies de contorno que no mudam com a mudana de forma

do corpo:

Imposio do Equilbrio utilizando a Configurao Inicial ou

Indeformada:

onde xjso coordenadas referentes configurao inicial

ou indeformada do corpo.

onde njso componentes do vetor unitrio normal superfcie

do corpo indeformado.


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CARACTERSTICAS DE UMA ANLISELINEAR ELSTICA:

e


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FONTES DE NO LINEARIDADE:

e

No linearidade

fsica

No linearidade

geomtrica

No linearidade nas

Condies de

Contorno Essenciais

No linearidade

nas Condies

de Contorno

Naturais


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DESCRIES LAGRANGIANA E EULERIANADO MOVIMENTO:

Ct

= Configurao do corpo no tempo t

Descrio Lagrangiana do Movimento:

Xjso denominadas coordenadas materiais

ou Lagrangianas.

xiso pontos do espao ocupados pelapartcula Xjdurante o movimento.

C0 = Configurao inicial do corpo


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DESCRIES LAGRANGIANA E EULERIANADO MOVIMENTO:

C0 = Configurao inicial do corpoC

t= Configurao do corpo no tempo t

Descrio Euleriana do Movimento:

xjso denominadas coordenadas espaciais

ou Eulerianas.

Xiso as partculas que passam pelo pontoxjdurante o movimento.


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MEDIDAS DE DEFORMAO DA MECNICADO CONTNUO:

onde:

Deformao do elemento inf initesimal

dX:

Tensor Gradiente de Deformao:

Movimento do pontoP:

Movimento do pontoQ(vizinho ao

ponto P):


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Densidade do Material e Variao de Volume:

Conservao da massa (Fsica Newtoniana):

onde:

Tempo 0

Tempo t


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O material do corpo no pode penetrar ele mesmo, e o volume final

no pode ser comprimido a um ponto ou expandido para um volume

inf ini to durante o movimento.

Matematicamente isso implica em:


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Decomposio polar do tensor gradiente de deformao:

ondeU, VeRexistem e so nicos.

UeVso tensores simtricos positivo-definidos:

Rum tensor ortogonal prprio:

A deformao pode ser decomposta em duas par tes:


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Como U um tensor simtr ico positivo-definido, existe um

conjunto de eixos, denominadoseixos principais, para os quaisU

diagonal. Para estes eixos, tem-se:

Ui so denominadosalongamentos principais, onde:

(representa umalongamento simplesna direoXi)

(r epresenta umencurtamento simplesna direoXi)(representanenhuma mudanana direoXi)

Rikrepresenta umarotao de corpo rgidodo elementodypara o

elementodx:


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Decomposio do movimento do elementodX:

1) Translao deXparax

2) Deformao (alongamentoouencurtamento) def inida porU

3) Rotao de corpo rgido definida porR


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Para a decomposio:

A rotaovem antes doalongamentoouencurtamento.Os tensoresUeVso conhecidos comotensores de alongamento

di reita e esquerda, respectivamente.

Emboramuito teis, o clculo dos tensoresUeVpode serbastante

tedioso, mesmo para as deformaes mais simples.

Por esta razo, outr as medidas dedeformao puraso propostas.


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Tensores de deformao de Cauchy-Green:

Tensor de deformao de Cauchy-Green direita:

Relao com o tensor de alongamento di reita:

Caractersticas dos tensores de deformao de Cauchy-Green:

1) So tensores simtricos e positi vo definidos.

2) Resultam em um tensor identidade para movimentos de corpo

rgido.

Tensor de deformao de Cauchy-Green esquerda:

Relao com o tensor de alongamento esquerda:


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I nterpretao al ternati vado tensor de deformao de Cauchy-

Green direita:

Comprimento do vetor l inhadX:

Comprimento do vetor l inhadx:

Desta forma:


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I nterpretao al ternati vado tensor de deformao de Cauchy-

Green esquerda:

Desta forma:

Onde:


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Tensor de deformao de Green-Lagrange:

Definio:

Caractersticas do tensor de deformao de Green-Lagrange:

1) um tensor simtrico.

2) Resulta em um tensor nulo para movimentos de corpo rgido.

I nterpretao alternati va:


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Componentes de deslocamento para uma descrio Lagrangiana

do movimento:

I sso implica em:


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Tensores de deformao em termos das componentes de

deslocamento:

Tensor de Deformao de Cauchy-Green direita:

Tensor de Deformao de Green-Lagrange:

Tensor de Deformao de Engenhar ia (Infinitesimal):

Despreza os termos de segunda ordem do tensor

de deformao de Green-Lagrange!


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Exemplo de Aplicao:

Encontre os tensoresF, C, B, U, V, R, Eee para a seguintedeformao:

ondea >0uma constante, e interprete a deformao como umasequncia dealongamentos/encurtamentose umarotao, fazendoa = tan(q) (0 < q < p/2) , que representa uma rotao definida pelo

nguloq em torno doeixo-1.


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MEDIDAS DE TENSO DA MECNICA DOCONTNUO:

Foras de Superfcie e Foras de Corpo:

Anlise do volumeVt l imi tado pela superfcieStna conf igurao

deformada do corpo:

1) Na mecnica do contnuo ns consideramos a interao entre

pores vizinhasdo corpo deformvel de formabastante simplif icada.

2) Na realidade, tais interaes ocorrem de maneirabastante complexa

por meio deforas in teratmicas.


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Na mecnica do contnuo o efeito de todas asforas interatmicas

atravs de uma dada super fcieStrepresentado por um simples

campo vetorialt(x,n)def inido emSt.

Alm disso, o efeito deforas externastal como agravidade

representado por um outro campo vetorialb(x)def inido no volumeVt.

Em pontos ondeStest no interior do corpo, t(x,n)representa afora

por unidade de reaemStexercida pelo mater ial fora do volumeVt.

Em pontos ondeSt coincide com a superfcie do corpo, t(x,n)pode

representar umafora por unidade de reaexercida emStpor umagente

externo.

b(x)representa umafora distr ibuda por unidade de volumecausada

por umagente externo, normalmente agravidade.


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onde:

t(x,n)= vetor de tenso ou fora de superfcie;

b(x)= fora de corpo e

n= vetor unitrio saindo da superfcie S.

Desta forma:

(Fora resultante no volume Vt )

(Momento resultante em relao origem no volume Vt )


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Princpio do momento linear:

A resultante das foras externas atuando num sistema igual taxa

de var iao total do momento l inear do sistema.

Densidade de momento l inear:

Momento l inear total no volume Vt:

Onde:


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Interao entre partes do corpo deformado:

Suponha o volumeVtsendo cortado por uma superf icieStem duas

partes:


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Desta forma:

Como e

Tem-se:

O que resul ta em:

Uma vez que Vte Stso arbi trrios!

Interao entre partes do corpo deformado:


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Frmula de Cauchy:

Considere um tetraedro inf initesimal com trs faces paralelas aos

planos de coordenadas e passando por um ponto arbitrrioP. A quarta

face tem readA te vetor normal unitrion.


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Frmula de Cauchy:

Relaes geomtricas uti l izadas:

ondedha altura do tetraedro def inida pela distncia dePata quar tafacedA t.

Do pr incpio do momento l inear, tem-se:


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Frmula de Cauchy:

Ondes i j so as componentes de um tensor de segunda ordemconhecido comotensor de tenso de Cauchy.

s i j representa a componente na direojda fora por unidade derea atuando no elemento de superfcie da conf igurao deformada que

tem normal na direoi.

Frmula de Cauchy:

Fazendo-se:

Tem-se:


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Frmula de Cauchy:

Representao no cubo inf ini tesimal dascomponentes do tensor de

tenso de Cauchy, tambm conhecido como tensor das tenses

verdadeiras, por ser definido utilizando a configurao final ou

deformada do corpo:


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Obrigado a todos pela ateno.

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