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Programação Programação LinearLinear

IntroduçãoProf. Antonio Carlos Coelho

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Por Que Modelos de Por Que Modelos de Programação MatemáticaProgramação Matemática

Constatação básica: Recursos limitados e escassos

exemplos: tempo, dinheiro, recursos naturais, capacidade instalada

Necessidades ilimitadas e crescentes princípios de eficiência e eficácia

Objetivo do modelo: Possibilitar aos agentes econômicos decidir sobre o

melhor uso dos recursos limitados Proporcionar a otimização da alocação de recursos

escassos de modo a maximizar lucros e minimizar custos

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Alocação de recursos Alocação de recursos com restrição únicacom restrição única

Uma indústria automobilística fabrica 2 Uma indústria automobilística fabrica 2 modelos de veículos com as seguintes modelos de veículos com as seguintes características:características: MC unitáriaMC unitária

$ 55.000$ 55.000$ 54.000$ 54.000

Preço dePreço devendavenda

$ 260.000$ 260.000$ 258.000$ 258.000

Custo Custo variávelvariável

$ 205.000$ 205.000$ 204.000$ 204.000

Modelo 4 portasModelo 4 portasModelo 2 portasModelo 2 portas

Cada porta possui uma maçaneta, que é igual para Cada porta possui uma maçaneta, que é igual para

todas as portas. todas as portas. Num determinado mês, há uma restrição de 8.000 Num determinado mês, há uma restrição de 8.000

maçanetas. maçanetas. Quanto devo produzir de cada modelo para maximizar Quanto devo produzir de cada modelo para maximizar

a Margem de Contribuição para a empresa no período?a Margem de Contribuição para a empresa no período?

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Alocação de recursos Alocação de recursos com restrição únicacom restrição única

Princípio geral: fabricar o produto que proporciona maior MC

por fator limitativo: 4 portas: $ 55.000/4 maçanetas = $ 13.750/ maçaneta 2 portas: $ 54.000/2 maçanetas = $ 27.000/ maçaneta

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Alocação de recursos Alocação de recursos com restrição únicacom restrição única

Solução: produzir modelo de 2 portas

4.000 veículos (8.000 maçanetas / 2 portas) • MC total: 4.000u X $ 54.000 = $ 216.000.000

Se produzir modelo de 4 portas 2.000 veículos (8.000 maçanetas / 4 portas)

• MC total: 2.000u X $ 55.000 = $ 110.000.000

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Aplicam-se modelos de Programação: Linear Linear Inteira Multiobjetiva (goal programming)

Não LinearOutros modelos:

Simulação Análise da Decisão

E quando há mais E quando há mais restrições?restrições?

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É uma técnica matemática que auxilia na determinação da melhor utilização dos recursos limitados de uma organização em problemas com relações lineares

Programação LinearProgramação Linear

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Programação LinearProgramação Linear

APLICAÇÕES USUAIS APLICAÇÕES USUAIS Planejamento OperacionalPlanejamento Operacional

Determinar o mix de produtos que maximiza Determinar o mix de produtos que maximiza o lucro da empresao lucro da empresa

Determinar logística e rotas que minimizam Determinar logística e rotas que minimizam o custo de transporteo custo de transporte

Planejamento Financeiro:Planejamento Financeiro: Determinar a alocação de recursos em Determinar a alocação de recursos em

carteiras de investimento que maximizem o carteiras de investimento que maximizem o retorno e/ou minimizem o riscoretorno e/ou minimizem o risco

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Desenvolvendo o Desenvolvendo o ModeloModelo

Características Características Envolve uma Envolve uma decisão decisão a ser tomadaa ser tomada Existem Existem restrições restrições a serem consideradas a serem consideradas

nas alternativas de decisãonas alternativas de decisão Existe uma meta ou Existe uma meta ou objetivoobjetivo a ser a ser

maximizado ou minimizadomaximizado ou minimizado

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Desenvolvendo o ModeloDesenvolvendo o Modelo

1) Análise e Compreensão do problema

2) Montagem do Modelo1) identificação das variáveis de decisão

2) definição das restrições

3) formulação da função objetivo

3) Solução do Modelo

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Expressando Expressando MatematicamenteMatematicamente

A A decisão decisão é representada pelas é representada pelas variáveis de variáveis de decisão decisão

• XX11, X, X22, ... , X, ... , Xnn

OO objetivo objetivo é representado por uma é representado por uma função-função-objetivoobjetivo do tipo do tipo

• MAX (MIN) MAX (MIN) VV = = f f (X(X11, X, X22, ... , X, ... , Xnn))

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Expressando Expressando MatematicamenteMatematicamente

As As restrições restrições são representadas pelo parâmetro b, são representadas pelo parâmetro b, expressas de 3 maneiras possíveis:expressas de 3 maneiras possíveis:

menor ou igualmenor ou igual

• f f (X(X11, X, X22, ... , X, ... , Xnn) ) bb maior ou igual maior ou igual

• f f (X(X11, X, X22, ... , X, ... , Xnn) ) bb igualigual

• f f (X(X11, X, X22, ... , X, ... , Xnn) = ) = bb

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Fórmula Geral Fórmula Geral MAX (MIN) V = cMAX (MIN) V = c11XX11 + c + c22XX22 + ... + c + ... + cnnXXnn

Sujeito a:Sujeito a:

aa1111XX1 1 + a+ a1212XX2 2 + ... + a+ ... + a1n1nXXnn b b11

aak1k1XX1 1 + a+ ak2k2XX2 2 + ... + a+ ... + aknknXXnn b bkk

aam1m1XX1 1 + a+ am2m2XX2 2 + ... + a+ ... + amnmnXXnn == b bmm

...

...Onde:Onde:cc1, 1, cc22, ... , c, ... , cnn = margem de contribuição; medida de = margem de contribuição; medida de

custo; taxa de retorno, etc.custo; taxa de retorno, etc.

aaijij = quantidade do fator de restrição consumido em = quantidade do fator de restrição consumido em cada unidade produzida ou disponível para utilizar, cada unidade produzida ou disponível para utilizar, etc.etc.

bbi i = valor máximo ou mínimo do recurso escasso= valor máximo ou mínimo do recurso escasso

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Resolvendo o ModeloResolvendo o Modelo

Solução GráficaSolução GráficaSolução MatricialSolução MatricialMétodo SimplexMétodo SimplexSolução ComputacionalSolução Computacional

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ExemploExemplo

Variáveis de decisão Dois tipos de banheira Margens diferentes de Contribuição

Restrições Disponibilidade de Mão de Obra Disponibilidade de Canos Disponibilidade de Bombas

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ExemploExemploFunção Objetivo

MAX: 350x1 + 300x2

Sujeito a:

Fatores de Produção → Limitação

Bombas 1x1 + 1x2 200

Horas de Mão de Obra 9x1 + 6x2 1.566

Canos (metros) 12x1 + 16x2 2.880

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ExemploExemploFunção Objetivo

MAX: 350x1 + 300x2

Sujeito a:

1x1 + 1x2 200

9x1 + 6x2 1.566

12x1 + 16x2 2.880

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

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Solução GráficaSolução Gráfica

x1

x2

Restrição de tubos

Restrição de trabalho

Restrição de bombas

Função Objetivo

Solução ótima

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Solução GráficaSolução Gráfica

Como determinar a solução ótima?

A) A partir da visualização do encontro das curvas de nível com as retas de restrição

B) A partir da comparação dos diversos pontos extremos, para escolher o maior (menor) valor

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Solução GráficaSolução GráficaSumário da Solução Gráfica

• Desenhe a reta de cada restrição no gráfico

• Identifique a área de soluções factíveis, isto é, a área do gráfico que simultaneamente satisfaz a todas as restrições

• Encontre a solução ótima por um dos métodos a seguir descritos

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Métodos GráficosMétodos Gráficos

a) Desenhe uma ou mais curvas de nível da função objetivo e determine a direção na qual curvas paralelas resultam em aumentos no valor da função objetivo

b) Desenhe curvas paralelas na direção do crescimento até que a curva toque a área de soluções em um único ponto

c) Encontre às coordenadas deste ponto

a) Identifique as coordenadas de todos os pontos extremos da área de soluções factíveis e calcule os respectivos valores da função objetivo.

b) O ponto com o maior valor da função-objetivo é a solução ótima

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Solução MatricialSolução Matricial

A resolução de um problema de programação linear consiste em resolver sistemas algébricos lineares e

calcular o valor da função-objetivo

Escolher dentre os diversos resultados obtidos para a função-objetivo, aquele que fornece o maior (menor) valor

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Método SimplexMétodo Simplex

Baseia-se nas variáveis de FOLGABase para os relatórios de Sensibilidade

do software SOLVERSistema com n variáveis e m equações

Seleciona m variáveis (BÁSICAS) As demais assumem valor = 0 (NÃO BÁSICAS) Calcula Função Objetivo para cada rodada Escolhe a de maior valor

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Solução ComputacionalSolução Computacional

Para Problemas mais ComplexosSolução via Excel

Ferramenta Solver

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Condições EspeciaisCondições Especiais

1. Alternância de Soluções Ótimas

2. Restrições Redundantes

3. Soluções Ilimitadas

4. Soluções de Impossibilidade

As duas primeiras não impossibilitam o modelo As duas últimas impossibilitam o uso do modelo

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Condições EspeciaisCondições Especiais

Alternância de Soluções Ótimas: Ocorre quando há mais de um ponto que maximiza (ou

minimiza) o valor da função objetivo A existência de mais de uma solução possível não

inviabiliza o uso da ferramenta Programação Linear

Restrições Redundantes: Ocorre quando uma restrição não faz diferença na

determinação da área de soluções factíveis

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Soluções IlimitadasSoluções Ilimitadas

MAX: x1 + x2

Sujeito a: x1 + x2 400

- x1 + 2x2 400

x1 0

x2 0

Ocorre quando são encontradas soluções nas quais a função objetivo é infinitamente grande (maximização) ou infinitamente pequena (minimização)

Exemplo:

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Soluções IlimitadasSoluções Ilimitadas

x1

x2

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Solução ImpossívelSolução Impossível

Exemplo:

MAX: x1 + x2

Sujeito a:

x1 + x2 150

x1 + 2x2 200

x1 0

x2 0