01 circuitos reativos
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CAPTULO 1 CIRCUITOS REATIVOS CIRCUITO REATIVO EM SRIE Para que os equipamentos eletrnicos (rdio, radar etc.) possam desempenhar suas funes, os circuitos resistivos, indutivos e capacitivos so combinados em associaes RL, RC e RLC. Em virtude de tais associaes conterem reatncias, as mesmas so chamadas de circuitos reativos. Todo circuito constitudo por resistores e que no contenham quantidades apreciveis de indutncia ou capacitncia, so considerados como circuitos resistivos. Quando uma corrente alternada (CA) aplicada a um circuito resistivo, a corrente e a tenso do circuito estaro em fase, conforme figura 1-1 Desse modo, pode-se ver que a presena do indutor no circuito, resulta uma defasagem de 90 entre as tenses. A tenso resultante de qualquer circuito RL pode ser determinada por meio de vetores. Assim sendo, por intermdio do grfico da figura 1-3, podemos achar a tenso resultante, que vem a ser a prpria tenso aplicada.
Figura 1-1 Ao se ligar um indutor em srie com um resistor, a queda de tenso no resistor (ER) estar em fase com a corrente (IR); porm, a tenso no indutor (EL) est adiantada de 90. A figura 1-2A nos mostra um circuito RL em srie e a figura 1-2B, a relao de fase entre a corrente e a tenso no indutor e resistor.
Figura 1-3 A tenso no resistor tomada sobre o vetor horizontal e a tenso no indutor, sobre o vetor vertical: como as tenses esto defasadas de 90, o ngulo entre elas ser reto. Traando um paralelogramo baseado nestes dois vetores, teremos um vetor resultante (Ea) que a hipotenusa de um tringulo retngulo. Segundo o teorema de Pitgoras o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos; logo:2 E 2 = E + E 2 a R L 2 R 2 L
ou
E
a
=
E
+ E
Impedncia Quando um resistor e um indutor esto ligados em srie, a oposio total passagem da corrente no uma simples soma aritmtica, mas sim uma soma vetorial, em virtude da defasagem de 90 existente entre as tenses no circuito. Suponha-se, por exemplo, que um resistor de 400 ohms esteja ligado em srie com um indutor, cuja reatncia indutiva seja de 300 ohms. A oposio total passagem da corrente no ser de 700 ohms mas sim de 500 ohms.
A
Figura 1-2
1-1
Clculo da Impedncia Por intermdio da lei de Ohm, a queda de tenso num resistor (ER) o produto da resistncia (R) pela corrente (IT), ou seja:ER
Assim, podemos traar o diagrama vetorial, conforme figura 1-4, uma vez que ZT corresponde hipotenusa e R + XL , soma dos quadrados dos catetos. ngulo de Fase2 2
= R x I
T
Como XL representa a oposio ao fluxo da corrente, a tenso no indutor (EL) ser:EL = X L I T
J que, a tenso aplicada (Ea) no circuito o produto da corrente (IT) pela oposio total (ZT), logo:E a = Z T I T
Uma vez que:Ea = 2 2 ER + EL
Denomina-se ngulo de fase (), ao ngulo formado pelo vetor da tenso aplicada ao circuito (Ea), com o vetor da tenso (ER), conforme a figura 1-5. Tomando-se por base o valor da corrente, o ngulo de fase ser positivo, contando no sentido inverso dos ponteiros do relgio, a partir dessa referncia. Uma vez conhecido o ngulo podemos, tambm determinar se o circuito resistivo, indutivo ou capacitivo, da seguinte forma: o circuito ser resistivo quando , for igual a zero, indutivo quando for positivo e capacitivo quando for negativo.
Logo teremos: E =a
(R I ) + ( X I )T L T
2
2
Figura 1-5Z T IT = 2 2 2 IT (R + XL ) R 2 2 + XL
O ngulo de fase poder ser determinado por meio das funes trigonomtricas dos diagramas das figuras 1-6 e 1-7
Z T IT = IT ZT = R 2
2 + XL
Desse modo, a impedncia de um circuito RL em srie, igual a raiz quadrada da soma dos quadrados da resistncia e da reatncia indutiva. Logo: tg =
Figura 1-6
E
L
ER
cos =
E
R E a
Figura 1-41-2
Figura 1-7
Logo: tg = Potncia Eltrica
XL R
cos =
R ZT
resistor, a qual ser o produto da tenso no resistor (E R ) pela corrente (IT ) , ou seja:P = E .I R R T
No estudo dos circuitos resistivos, a potncia dissipada por um resistor, foi determinada pelo produto de tenso (E a ) pela corrente (IT ) , ou seja: P T = E a . IT isto, porm no acontece num circuito de CA que contenha resistncia e indutncia. A corrente no circuito fluir, sendo limitada pela impedncia, mas a energia utilizada para produzir o campo magntico ser desenvolvida fonte no desenvolvimento do mesmo. Portanto, num circuito de CA que contenha resistncia, parte da potncia dissipada no resistor sob a forma de calor e parte devolvida fonte. Assim sendo, o produto, PT = E a . IT no s d a potncia que realmente est sendo consumida pelo circuito, mas sim uma potncia que aparenta estar sendo absorvida. Este produto chamado de potncia aparente (PA ) , sendo expresso volt/ampre (VA), e no em watts, para diferenciar da potncia real. A potncia aparente (PA ) , poder ser calculada por qualquer uma das equaes abaixo:P =E . I A a T 2 P =I .Z A T T E P = A Z 2 T
Uma vez que: Logo:E
cos =
E
R E a
R
=E
a
. cos .I . cos
Portanto: P
R
=E
a
T
Fator de Potncia: O fator de potncia de um circuito, muito importante, porque ele nos permite converter a potncia aparente, em potncia real ou efetiva. Define-se como fator de potncia ( fp ) , a relao entre a potncia real (Pr ) e a potncia aparente (Pa ) de um circuito.f P = R p P A
Como:P =E .I . cos e P = E . I R a T A a TE I . cos a T E I a TR Z T
Logo: f =p f = cos p
Porm, como: cos = Logo: fp =R Z
T
Sempre que a corrente circula num circuito que contenha resistncia e reatncia, haver sempre por parte do resistor, uma dissipao de potncia, que chamada potncia real (PR ) , verdadeira ou efetiva do circuito, sendo expressa em watts. Portanto, para se achar a potncia real de um circuito que contenha resistncia e reatncia, basta calcular apenas a potncia dissipada pelo
Em conseqncia, o fator de potncia poder ser calculado por qualquer um das trs equaes apresentadas. O fator de potncia usualmente expresso em frao decimal ou percentagem. Exerccio resolvido: Calcular o fator de potncia de um circuito, sabendo-se que a potncia aparente de 400 VA (Volt/Ampre) e a potncia real de 200 Watts.
1-3
P = 400 VA a
P = 200 W R P
Logo: I
T
=
100 100
I
T
= 1A
Como: f = Rp P A
Freqncia de Corte Qualquer circuito que contenha reatncia, no responder igualmente a todas as freqncias. Ao analisarmos um circuito RL, vimos que seu comportamento foi diferente nas altas freqncias em relao s baixas. No processo de anlise, somente uma simples freqncia de cada vez foi aplicada ao circuito. Contudo, se um sinal contendo uma faixa de freqncias aplicado ao circuito srie RL, a reao do circuito ser diferente para cada freqncia individual contida neste sinal. Por exemplo, conforme a freqncia diminui, a corrente total aumenta. Haver mais corrente circulando para as baixas freqncias do que para as altas freqncias. O valor da resistncia de um circuito, todavia no afetada por uma variao de freqncia, mas XL uma funo direta da freqncia. Portanto, num circuito de CC, a oposio da bobina desprezvel e o circuito considerado resistivo; o ngulo de fase zero e a potncia real estar no seu mximo valor. Exemplo: Considere o circuito srie consistindo de um resistor de 80 ohms e uma bobina de 12,73 mH, com uma tenso aplicada de 100 vcc. Desde que o ngulo de fase zero, a impedncia do circuito ser igual a 80 ohms. A corrente ser:IT = Ea ZTIT
Logo: f = p
200 400
f = 0,5 ou 50 % p
Lei de Ohm A lei de ohm para circuitos de CA, diz que, a corrente (IT ) diretamente proporcional tenso(E )
a
e inversamente proporcional
impedncia ( Z T ) . Logo, teremos:I
T
=
E Z
a T
Exerccio resolvido Calcule a corrente total do circuito da figura 1-8. Dados: R = 60 ohmsE
a = 100 V
X L = 80 ohms
Figura 1-8 Uma vez que: Logo:ZZ =
=
100 80
IT = 1, 25 A
T
R2 + X2 L
A potncia real do circuito ter como valor:P
R = E a x IT x cos R = 100 x 1,25 x 1 R = 125 W
T
=
60
2
+ 80
2
Z
T
= 100ohms
P
P
E
Como: I
T
=
a T
Z
A fonte de CC substituda por uma fonte de CA de freqncia varivel, com 100v RMS de sada. Ao se aumentar a freqncia de sada da fonte, a reatncia indutiva ( XL) aumentar,
1-4
enquanto o valor do resistor permanecer em 80 ohms. Quando a freqncia atingir a 500Hz, XL ter aumentando para 40 ohms. Calculando os valores teremos:Z I
T = 89,4 ohms
O termo freqncia de corte usado porque, para freqncias abaixo do ponto de corte, a resposta do circuito considerada (em muitos casos) abaixo de um valor utilizvel. Na freqncia de corte, a tenso de corte (E co ) assim como a corrente de corte (Ico ) , sero respectivamente:E co = E a x 0,707 Ico = IM x 0,707
cos = 0,89
T = 1,1 A
Usando os valores acima observaremos que a potncia real do circuito diminui com o aumento da freqncia: PR = Ea x I T x cosP
Uma frmula pode ser deduzida para determinar a freqncia de corte ( fco ) da seguinte maneira: Na freqncia de corte:R = XL
R
= 100 x 11 x 0,89 ,
Como:XL = 2 x f x L
P
R = 97,9 W
Conforme a freqncia aumentada ainda mais, a corrente continuar a diminuir e XL continuar a aumentar. Eventualmente atingiremos uma freqncia na qual XL ser igual a resistncia. Por exemplo em 1 KHz:XL = 2 x f x LXL = 6,28 x 10 3 x 12,73 x 103
Ento: Teremos:fco =
R=2xf xL R = 2 x fco x L
R 2 xL
Onde:fco = freqncia de corte (Hertz)
R L
= Resistncia (Ohms) = indutncia em (Henry)
XL = 79,94 ohms
Portanto em 1 K H , XL = R. O ngulo de z fase do circuito de 45 e a impedncia total de 113 ohms. Desde que XL = R, as tensesEL e ER tambm so iguais.
CIRCUITO RC EM SRIE As consideraes bsicas feitas para o circuito RL em srie continuam a ter valor para o circuito RC em srie que agora vamos estudar e no qual temos um resistor e um capacitor associados, como mostra a figura 1-9.
A potncia real do circuito :PR = E a x IT cos PR = 100 x 0,884 x 0,707 PR = 62,5 W
Nota-se que a potncia real foi diminuda para a metade de seu valor mximo de 125W. A freqncia em que XL = R EL = ER e a potncia real foi diminuda para metade de seu valor mximo, denominada de freqncia de corte, ponte de meia potncia, ou ponto 0,707.1-5
Figura 1-9
Num circuito srie contendo resistor e capacitor, a queda de tenso no resistor (ER ) est em fase com a corrente; porm, a queda de tenso no capacitor (E C ) est atrasada de 90, em relao a ER , conforme nos mostra a figura 1-10.
De acordo com o grfico da figura 1-12, a impedncia ou oposio total ao fluxo da corrente no circuito, ser expressa pela equao:ZT =2 R2 + X C
Figura 1-12 ngulo de Fase Figura 1-10 Assim, por intermdio do grfico da figura 1-11, podemos achar a tenso resultante (E a ) que vem a ser a prpria tenso aplicada, atravs da composio vetorial entre ER e E C . O ngulo de fase , como j vimos, o ngulo formado pelo vetor da tenso aplicada (E ) com o vetor da tenso (E ) , conformea T
nos mostra a figura 1-13. fcil de se verificar que o ngulo de fase negativo.
Figura 1-11 Do grfico, tiramos a seguinte equao para o clculo da tenso aplicada (E a ) ao circuito:E a=
Figura 1-13 O ngulo de fase poder ser determinado por meio das funes trigonomtricas dos diagramas das figuras 1-14 e 1-15. Como:
E
2 2 +E R C
Ainda, podemos concluir que a tenso resultante (E a ) est atrasada em relao a ER de um ngulo 0 negativo. Impedncia Num circuito contendo resistor e capacitor, a oposio passagem da corrente no uma soma aritmtica, mas sim uma soma vetorial semelhante ao circuito RL em srie.1-6
Figura 1-14 Logo: t =g E E C R cos = E R E a
Como:
de um circuito. O fator de potncia ( f ) poderp
ser calculado por qualquer uma das equaes seguintes:P f = R p P A f = cos pR f = p Z T
Freqncia de Corte Figura 1-15 Logo: t =g X C R cos = R Z T
Potncia Eltrica Todo circuito que contenha resistncia e reatncia, parte de potncia dissipada no resistor sob a forma de calor e parte devolvida fonte. Portanto, o produto P = E x I , noT a T
nos d a potncia que est sendo consumida pelo circuito. Este produto chamado de potncia aparente (P ) .A
Um circuito srie RC apresentar uma discriminao de freqncia similar, em muitos aspectos, quela encontrada em um circuito srie RL. Os termos freqncia de corte, ponto de meia potncia e freqncia crtica tm o mesmo significado, conforme previamente definidos. Nos circuitos sries, a tenso desenvolvida nos componentes reativos, depende da reatncia do componente a qual, por sua vez, depende da freqncia. uma funo inversa da Como XC
A potncia aparente poder ser calculada por qualquer umas das equaes abaixo:P = E x I A a T 2 P = I xZ A T T
freqncia, logo, medida que a freqncia for aumentada, a reatncia do capacitor diminuir e a tenso ser dividida entre o resistor e o capacitor. A freqncia de corte ser atingida quando a tenso estiver dividida igualmente entre R e C. A freqncia de corte de um circuito srie RC pode ser determinada da seguinte maneira: Desde que a freqncia de corte ( f ocorre quando: R = XC C co )
E PA = a ZT
2
Sempre que a corrente circule num circuito que contenha resistncia e reatncia, haver sempre por parte do resistor, uma dissipao de potncia, que chamada de potncia real, verdadeira ou efetiva do circuito. Podemos calcular a potncia real de um circuito, por intermdio das equaes abaixo:P = E x I R R T P = E x I x cos R a T
Substituindo a equao para X , teremos:R = 1 2 xf x C co
Substituindo f por f
, teremos:
e
R=
1 2 x f CO x C1 2xRxC
Logo: fco =
Fator de Potncia Fator de potncia a relao entre a potncia real (P ) e a potncia aparente (P )R A
Onde:FCO = frequncia de corte (Hertz)
R = resistncia (ohms) C = capacitncia (Farad )
1-7
CIRCUITO RCL EM SRIE
Quando se aplica uma CA em um circuito srie contendo resistor, capacitor e indutor, conforme figura 1-16, necessrio levar em considerao o fato de que os ngulos de fase entre a corrente e a tenso diferem em todos os trs elementos.
soma vetorial das tenses E , E e E e igual tenso aplicada (E )R L C a
A
ao circuito. Como a tenso no capacitor E tenso no indutor EL C L
C
ea
esto defasadas 180,
logo, a tenso resultante da composio vetorial entre E e E a diferena, j que so vetores diretamente opostos entre si. Esta tenso resultante ser somada vetorialmente com a queda de tenso no resistor (E ) , para aR
determinao
da
tenso
aplicada
(E ) ao a
circuito. Isto expresso pelo grfico da figura 118. Figura 1-16 Tomando-se a corrente de um circuito srie como referncia, temos: No resistor, a tenso (E ) est em fase; no indutor, a tensoR
Pelo teorema de Pitgoras, teremos:E a
=
E
2 R
+ (E
L
2 E ) ) C
(EL) est adiantada de 90 e no capacitor, a tenso (E ) est atrasada de 90. Como emC
qualquer circuito srie, a corrente a mesma, atravs de todos seus componentes, podemos concluir que E est adiantada de 90 de E eL R E , atrasada de 90 de E , conforme nos C R
mostra a figura 1-17A. Logo, podemos compor o diagrama vetorial, conforme figura 1-17B: Figura 1-18Impedncia
A
O raciocnio para o clculo da impedncia de um circuito RCL em srie de CA semelhante ao que foi visto para o clculo da Assim tenso aplicada., a primeira operao ser a diferena entre X e X , emL C
B
virtude de serem vetores diretamente opostos entre si, conforme nos mostra a figura 1-19. Este resultado ser composto vetorialmente com o valor da impedncia. Pelo teorema de Pitgoras, teremos:
Figura 1-17
Z
T
=
R
2
+ (X X ) L C
2
1-8
cos =
R Z T
Classificao dos Circuitos RCL em Srie:a) Quando X for maior que X ou E L C L temos: positivo, maior que E C
circuito RL; Figura 1-19ngulo de Faseb) Quando XC C
for maior que XL
L
ou
E maior que E temos: negativo,
circuito RC;c) QuandoL
O ngulo de fase , como j vimos, o ngulo formado pelo vetor da tenso aplicada (E ) , com o vetor da tenso (E ) e poder sera R
X
L C
for igual a
X
C
ou
E igual a E temos: igual a zero,
determinado por meio das funes trigonomtricas dos diagramas das figuras 1-20 e 1-21. Como:
circuito resistivo.Potncia aparente, real e fator de potncia
Empregam-se as mesmas equaes j vistas nos circuitos RL ou RC, ou seja:PA
=E
a
xI
T
P
A
=I 2 x ZT
T
E 2 P PA
=
a
Z
T
Figura 1-20 Logo: E EC tg = L ERcos = E R E a
R
=E P
R
x I
T
P = ER
a
x I
T
x cos
f
p
=
R A
P
f p = cos
f =p
R Z
T
Como:
Exerccio resolvido: Determine no circuito da figura 1-22, a impedncia, o fator de potncia, a intensidade da corrente, a potncia aparente, real e a tenso em cada um dos elementos. Dados:X XL C
= 900 ohms = 500 0hms
Figura 1-21 Logo: tg =X L
XR
R = 300 ohms
C
E
a
= 125 V
1-9
E300 500 900
R
= 75 V
Clculo da tenso no indutor:E = XL L
125 V
x I
T
E
L
= 900 x 0,25
E
Figura 1-22 Clculo da impednciaZT
L
= 225 V
Clculo da tenso no capacitor:E2C C
=X
=
R
2
+ (X2
L
X )C
C
x I
T
E
C
= 500 x 0,25
E2
= 125 V
Z Z
T T
=
300
+ (900 500 )
= 500
RESSONNCIA EM SRIE
Clculo do fator de potncia:cos = R Z cos = 300 500
T
cos = 0,6
Como: f = cos p
Logo: f = 0,6 ou 60%p
Os fenmenos de um circuito ressonante constituem uma caracterstica muito significativa dos circuitos eletrnicos. So encontrados em rdio, radar, televiso, aplicaes em projteis teleguiados, etc. A forma que um aparelho de rdio pode sintonizar uma estao desejada, encontra sua resposta no estudo dos circuitos ressonantes. Quando estabelecida a igualdade entre a reatncia indutiva e a reatncia capacitiva ( X = X ) , a qual determina a igualdade entreL C
Clculo da intensidade da corrente: E IT = a ZTIT
as tenses E
125 I = T 500
L
= E , dizemos que o circuitoC
= 0,25 A ou 250 mA
Clculo da potncia aparente:PA A
= E
a
x I
T
P
A
= 125 x 0,25
P
= 31,25 VA
Clculo da potncia real:PR = E a x I T x cos
P
R R
= 125 x 0,25 x 0,6 = 18,75 W
P
Clculo da tenso no resistor:ER
= Rx I
T
E
R
= 300 x 0,25
est em ressonncia. Esta condio desejvel em vrios circuitos usados em eletrnica, mas pode trazer conseqncias desagradveis, com danos para os elementos de um circuito, quando no prevista. Sabemos que a reatncia indutiva diretamente proporcional freqncia e que a reatncia capacitiva inversamente proporcional mesma. Assim, quando aplicamos uma CA a um circuito RCL em srie e fazemos a freqncia variar desde um valor praticamente nulo a um valor alto, podemos observar o crescimento da reatncia indutiva e a queda da reatncia capacitiva. Numa determinada freqncia as duas grandezas tornam-se iguais, veja a figura 1-23, e o circuito apresenta caractersticas que correspondem condio denominada ressonncia.
1-10
Figura 1-23Impedncia
Na figura 1-24, temos circuito RCL em srie, em que podemos calcular a tenso, a corrente e a impedncia. A freqncia do gerador pode ser variada de 100 a 600 K HZ , permitindo dessa maneira que se observe a conduta do circuito ao entrar e ao sair de ressonncia. A corrente do circuito calculada para as diversas freqncias do gerador. Empregando-se as equaes j conhecidas, para 100 K HZ , temse:X =2f xLL
Quando o circuito RCL em srie entra em ressonncia, a reatncia total do circuito zero, uma vez que X L e XC se anulam mutuamente porque esto 180 defasadas. claro, portanto, que quando XL = XC a impedncia ( Z ) doT
X = 6,28 x 2 x 10L
2
X
LL
= 6,28 x 10
5
x 2 x 10
3
circuito ser a prpria resistncia (R), uma vez que:ZT
X = 1256 ohms
=
R
2
+ (X = X = R
L
X )C
2
Como: X C =X XC
1 2f x C
Como: X Logo: Z
L
C
= 6,28 x 10
15
x 8 x 10
11
T
Do exposto, evidente, que quando um circuito RCL em srie entra em ressonncia, a corrente do circuito mxima, uma vez que a impedncia mnima, pois a nica oposio que o circuito oferece deve-se somente sua resistncia. Portanto, a corrente de um circuito RCL em srie atinge seu maior valor no ponto de ressonncia.Anlise do Circuito Ressonante
C
= 19890 ohms
A reatncia efetiva ou total do circuito (X) pode ento ser calculada:X= XC
X
L
X = 19890 1256 X = 18634
O estudo feito at agora registra as condies de um circuito sintonizado no ponto de ressonncia; contudo, para que se possa entender melhor o comportamento do circuito, necessrio analisar as condies que nele existem, em ambos os lados da ressonncia.
A impedncia do circuito ser:ZT
=
R
2
+ X
2
Como X 200 vezes maior que R, a impedncia pode ser considerada, na prtica, igual prpria reatncia.R = 100
Ento, ter-se-:T
Z
T
= 18634
A corrente I , calcula-se pela Lei de Ohm, logo teremos: IT =1-11
E Z
a T
Figura 1-24
3000 I = 16 mA T 18634 Em uma anlise do comportamento do circuito, podem-se calcular os valores acima determinados entre os limites de trabalho do equipamento (100 a 600KHz). A tabela abaixo (figura 1-25) relaciona os valores das reatncias, a diferena entre elas, a impedncia e a corrente no circuito, para cada freqncia de operao.
IT =
No circuito da figura 27, temos o circuito RCL em ressonncia, onde os medidores nos mostram as leituras das tenses e correntes.
FREQ. KHz
x
l
x
c
xxi-xc
ROHM
ZOHM
EVOLT
IAMPERE
OHM
OHM
100 200 398 500 600
1256 2512 5000 6280 7536
19890 18634 9945 7433 5000 ZERO 3978 2302 3315 4221
100 100 100 100 100
18634 7433 100 2302 4221
300 300 300 300 300
0,016 0,04 3 0,13 0,071
Figura 1-27E =IL T
x X
L
= 3 x 5000 = 15000 v = 3 x 5000 = 15000 v
E
Figura 1-25 A figura 1-26 apresenta o grfico da variao da corrente em funo da freqncia. O conjunto grfico e tabela mostra claramente que, na freqncia de ressonncia (398), a impedncia mnima (igual a R), a corrente mxima e as reatncias so iguais. Portanto, um circuito srie ressonante RCL atua como se fora um circuito simples, unicamente resistivo. O fluxo da corrente limitado exclusivamente pela resistncia.
C
= I
T
x X
C
A tenso em L ou C igual a 50 vezes a tenso aplicada. A tenso reativa depende da corrente que percorre o circuito a qual, por sua vez, depende da resistncia hmica. Desta forma, um circuito ressonante de resistncia pequena capaz de gerar tenses elevadas atravs das reatncias. Isto se aplica a circuitos que necessitam de um ganho de tenso, embora lhes seja aplicada uma baixa tenso.Freqncia de Ressonncia
A freqncia em que um circuito RCL em srie entra em ressonncia pode ser determinada da seguinte maneira: Como:X =XL C
Logo teremos:2 f x L = 42
1 2f x c
xf
2
x C xL =1 1
Figura 1-26 Todavia, as tenses nos elementos reativos, embora iguais e opostas, podem atingir valores bastante elevados. Essas tenses so determinadas pela corrente que percorre o circuito multiplicado pela reatncia do elemento (Lei de Ohm).
f
2
= 4
2
xLxC 1
f =r
2
LxC
Onde:
1-12
f = freqncia de ressonncia (Hertz )r
L = indutncia (Henry) C = Capacitncia (Farad)
Um exame da equao em apreo faz-nos concluir que a resistncia do circuito no influi na sua freqncia de ressonncia e que esta s depende do produto LC. Isto significa que circuitos com valores diferentes para L e para C podem entrar em ressonncia na mesma freqncia, desde que os produtos LC sejam iguais. Por isto, podem-se fazer num circuito, vrias combinaes de L e C, obtendo-se o mesmo produto. Sendo constante o produto, constante ser tambm a freqncia de ressonncia. Exemplo: uma indutncia de 0,5 mH e uma capacitncia de 32 F iro ressonar na mesma freqncia (398HZ que uma bobina de 2 mH e uma capacitncia de 80 F.Curvas de Ressonncia
I
f = freqncia ressonanter
Figura 1-28 Assim, o circuito perde a vantagem de seletividade de freqncia.O Q e a seletividade
Como j foi visto, a freqncia de ressonncia independe do valor da resistncia do circuito. Um circuito que tenha uma resistncia de 100 ohms ter a mesma freqncia de ressonncia que um circuito com 1 ohm de resistncia, desde que o produto LC seja constante, em ambos os casos. Entretanto, a intensidade da corrente no circuito cresce medida que a resistncia diminui. Se fosse possvel montar um circuito com resistncia nula, a corrente na ressonncia seria infinitamente grande. Na prtica, a resistncia nunca nula, mas pode ser elevada e dentro dos limites finitos. Na figura 1-28, temos algumas curvas tpicas de ressonncia para um circuito que tenha os mesmos valores L de e C, mas valores diferentes para a resistncia. A diferena entre os valores de pico de cada um das curvas deve-se ao fato das resistncias possurem valores diferentes. Observe-se tambm que medida que a resistncia R aumenta, as curvas de respostas tornam-se mais achatadas e mais largas nas proximidades da freqncia de ressonncia. Se a resistncia de um circuito ressonante for muito grande, o circuito perde sua utilidade como seletor de freqncia, por ser diminuta a discriminao do fluxo de corrente entre as freqncias que so e as que no o so.
A fim de que os receptores de rdio possam desempenhar suas funes, necessrio que este selecione uma estreita faixa de freqncia, rejeitando as demais. S assim se conseguir separar emissoras que se acham muito prximas no dial do rdio. Quanto mais estreita for a faixa de freqncia, maior ser sua seletividade. Portanto, seletividade a aptido que tem um receptor de selecionar um sinal, entre muitos outros de freqncias prximas. A seletividade de um aparelho determinada pelos seus circuitos sintonizados. Quanto menor possamos fazer a resistncia de uma bobina, com respeito sua reatncia, maior ser a seletividade. A seletividade de uma bobina medida pela relao Q que igual sua reatncia dividida pela sua resistncia. Como a resistncia de um capacitor mais baixa do que a resistncia de uma bobina, esta constitui o elo mais fraco do circuito sintonizado. O Q do circuito sintonizado o Q da bobina.Q= XL
R
Como:X =L
E I
L
e
R=
E I
a
T
T
1-13
E
L
Largura de FaixaQ= E IL
Logo: Q =
I E
T
a
T
I x T E
a
I T Q = E EL a
Portanto, o Q de um circuito srie ressonante vem a ser tambm a relao que existe entre a tenso no indutor ou no capacitor (E = E ) e a tenso aplicada (E ) ao circuito.L C a
A expresso anterior indica que o Q varia inversamente com a resistncia do circuito; quanto mais baixa a resistncia, maior ser o Q. As curvas de ressonncia indicam que, quanto mais baixa for a resistncia do circuito, maior ser sua discriminao de freqncia. Por isto, o Q indica a capacidade de um circuito ressonante para selecionar ou rejeitar uma determinada faixa de freqncia, sendo por isso, conhecido como fator de qualidade ou mrito de um circuito. Quanto maior for o Q de um circuito ressonante em srie, maior ser seu valor como seletor de freqncia.Influncia do Q no Ganho de Tenso
Largura de faixa (Band Width) ou faixa de passagem de um circuito uma faixa de freqncia na qual a variao da tenso aplicada, produz resposta que no difere muito da obtida na freqncia de ressonncia. Os limites mnimos da resposta em geral, so tomadas na curva de ressonncia a 0,707 do valor mximo da corrente ou tenso, conforme o que se esteja calculando. Na figura 1-29, a rea sombreada representa a faixa de freqncia para a qual a corrente maior que 0,707 do valor de pico. Observe-se que a metade desta faixa fica acima da freqncia de ressonncia ( f at f ) e ar 2
outra metade abaixo ( f at f ) .r 1
As duas freqncias, uma acima e outra abaixo da ressonncia, nas quais so obtidas respostas mnimas, formam os limites da largura da faixa aceita do circuito. Os pontos f e f so chamados pontos1 2
de meia potncia, em virtude desses pontos corresponderem a 50% da potncia mxima. A largura da faixa de passagem, tambm conhecida como passa banda (ban pass), pode ser determinada pela seguinte equao:Bw = f2
f
1
No circuito da figura 1-27, as tenses nas reatncias por ocasio da ressonncia so de 15000 volts, ao passo que a tenso aplicada (que a mesma da resistncia) de 300 volts. Esta alta tenso depende diretamente da corrente que percorre o circuito, a qual, por sua vez, depende da tenso aplicada e da resistncia. Comparando-se a tenso em uma das reatncias com a tenso aplicada, tem-se uma idia exata da qualidade do circuito ressonante. O circuito ressonante em srie amplifica a tenso aplicada na freqncia de ressonncia. Se as perdas do circuito so baixas, o Q do circuito ser alto e a amplificao de tenso ser relativamente grande. A amplificao de tenso do circuito da figura 1-27, ser de:E Q= L E
Em que:Bw = faixa de passagem (Hertz ) f = freqncia mais alta que passa pelo2
circuito (Hertz)f = freqncia mais baixa que passa pelo1
circuito (Hertz) Todavia, como o Q do circuito determina a largura total da curva de ressonncia, a faixa de passagem tambm pode ser calculada baseando-se na freqncia de ressonncia ( f ) e no Q do circuito, ou seja:r
Bw =
a
fr Q
15000 Q= 300
Em que:Q = 50 Bw
= faixa de passagem (Hertz)
1-14
f = freqncia de ressonncia (Hertz)r
Q = qualidade ou ganho Nesta frmula, permite ver-se que quanto maior for o Q, menor ser a faixa de passagem e, inversamente, quanto menor for o Q, maior ser a faixa de passagem. A freqncia mais baixa que passa pelo circuito ( f ) assim como a mais alta ( f ) podem1 2
XC = 400
ser calculadas da seguinte maneira:
Figura 1-30 Clculo da corrente:
I =
E R
I =
50 5400 5
I = 10 A
Clculo do Q:Q = XL
Q =
Q = 80
Clculo da Faixa de Passagem: Faixa de passagem:r = 160000 = 2000 Hz 80 Q f
Figura 1-29 Como:f fr 1
Para a Curva de Ressonncia, teremos:
=
Bw 2
e
f
2
f =r
Bw 2
Logo:f1
= f r
Bw 2
f
2
= f
r
+
Bw 2
Exerccio resolvido: Calcule a faixa de passagem do circuito da figura 1-30, sabendo-se que sua freqncia de ressonncia de 160HZ e monte sua curva de ressonncia. Dados: X = 400 ohmsL
Figura 1-31 No rdio, da mesma forma que nos outros equipamentos eletrnicos, muito freqente o uso e a aplicao dos circuitos reativos em paralelo. A importncia dos circuitos reativos em paralelo deve-se ao fato de que eles aparecem no estudo dos amplificadores eletrnicos e, devido a isso, essencial a compreenso das relaes existentes entre tenses, intensidade de corrente, impedncia e potncia nesses circuitos.1-15
X
C
= 400 ohms
f = 160000 Hzr
R = 5 ohms
E = 50va
CIRCUITO RL EM PARALELO
Vimos que, no circuito reativo em srie, por ser a corrente um elemento constante em todos os pontos do circuito, tomvamos seu vetor como referncia, para representao grfica e clculos. No circuito reativo em paralelo, porm, o elemento constante a tenso, ou seja, a tenso aplicada a mesma em todos os ramos do circuito. Alm de terem o mesmo valor esto em fase. Da a razo porque a tomaremos como vetor referncia.Intensidade de corrente
Figura 1-33 No grfico da figura 1-34, a corrente no resistor I representada pelo vetor horizontal eR
Ao se ligar um indutor em paralelo com um resistor, a tenso no indutor (E ) e noL
a corrente no indutor I , pelo vetor vertical. OL
resistor (E ) idntica tenso aplicada eR
vetor I orientado no sentido negativo porqueL
esto em fase entre si. Todavia, a corrente atravs do indutor est atrasada de 90 em relao tenso aplicada, e a corrente atravs do resistor est em fase com a tenso aplicada. Logo, podemos concluir que a corrente no indutor (I ) est atrasada de 90 emL
est atrasado em relao a I .R
I
T =
I
2
R
+I
2
L
relao a corrente no resistor (I ) .R
A figura 1-32, nos mostra um circuito RL em paralelo e a figura 1-33, sua relao de fase. A corrente total de qualquer circuito RL em paralelo no pode ser determinada pela soma aritmtica das correntes nos vrios ramais, por causa da diferena de fase. Figura 1-34 O mdulo do vetor da corrente de linha I sempre maior do que IR L T
ou I , porque ele a
hipotenusa de um tringulo retngulo. Para se calcular a corrente no resistor e no indutor, emprega-se a Lei de Ohm: E E IR = R IL = L R XL Como: Logo: Figura 1-32IR
E
a
=E
R
= E
L
=
E
a
R
IL =
Ea XL
1-16
Em que:E E Ea
= tenso aplicada (volts)
Logo: tg =
I I
L
R
R =L
tenso no resistor (volts)
Como: IL =
E X
a L
e
I
R
=
E
a
= tenso no indutor (volts)
R
Clculo da Impedncia
A impedncia de um circuito RL em paralelo pode ser determinada pela Lei de Ohm, ou seja:ZT
=
E I
a
T
Todavia, nos circuitos CC, vimos que, para efetuar o clculo da resistncia equivalente entre dois resistores no circuito, empregvamos a seguinte frmula:RT
Figura 1-36Ea L a
Logo: tg =
X E
=
R
1 1
x R + R
2
R tg = E Xa L
R
2
Analogamente, nos circuitos reativos em paralelo, podemos calcular a impedncia por intermdio de uma frmula semelhante a esta. Donde, por analogia, teremos:ZT
x
R E
tg =
a
R X
L
Em funo do diagrama da figura 1-36 temos que, o cos =IR T
=
R x X R2 x
L
I
X
2 L
Como:
I
ngulo de Fase
R
=
E
a
R
e
I
T
=
E Z
a T
Denomina-se ngulo de fase () , ao ngulo que a corrente de linha (I ) forma com aT
tenso aplicada (E ) . Veja a figura 1-35.a
Ea Logo: cos = R Ea ZTcos = Ea
R
x
Z E
T a
cos =
Z
T
R
Potncia Eltrica
Figura 1-35 O ngulo de fase () poder ser determinado por meio das funes trigonomtricas do diagrama vetorial da figura 1-36.
Todo circuito que contenha resistncia e reatncia, parte da potncia dissipada no resistor sob a forma de calor e parte devolvida fonte. O produto PT = Ea x I T , chamado de potncia aparente, (P ) sendo sua unidade oa
Volt Ampre (VA).
1-17
A potncia aparente poder ser calculada por qualquer uma das equaes abaixo:PA
O fator de potncia usualmente expresso em frao decimal ou percentagem.CIRCUITO RC EM PARALELO
= E = I
a
x I
T
P
2 Ta
a
x Z
T
P
a
=
E 2 ZT
A potncia dissipada pelo resistor chamada de potncia real, verdadeira ou efetiva do circuito, sendo sua unidade o Watt. Podemos calcular a potncia real ( PR ) de um circuito por intermdio da seguinte equao:PR
= E
a
x I
R
Como:I cos = R IT
As consideraes bsicas, feitas para o circuito RL em paralelo, continuam a ter valor para o circuito RC em paralelo que agora vamos estudar e no qual temos um resistor e um capacitor associados, como mostra a figura 137. Tratando-se de um circuito em paralelo, a tenso a mesma em qualquer ponto do circuito e esto em fase entre si. Contudo, a corrente que atravessa o capacitor est adiantada de 90 em relao tenso aplicada e a corrente que percorre o resistor est em fase com a mesma tenso, conforme nos mostra a figura 1-38. Isto quer dizer que a corrente capacitiva se apresenta defasada de 90, em avano sobre a corrente resistiva.
Logo::PR
= E
a
x I
T
x cos
Fator de Potncia Defini-se como fator de potncia ( f ) , ap
relao entre a potncia real (P ) e a potnciaR
aparente (P ) de um circuito.A
f
p
=
P P
Figura 1-37
R A
Como:PR
= E
a
x I
R
ex IR T
P
A
= E
a
x I
T
Logo: fp =
E E
a a
x I
f I
I = R p IT
Porm, como cos = Logo: f= cos
R T
I
p
Figura 1-38 No grfico da figura 1-39, a corrente I no indutor I pelo vetor vertical. O vetor IR
Em conseqncia, o fator de potncia poder ser calculado por qualquer uma das equaes apresentadas.
representada pelo vetor horizontal e a correnteC
C
1-18
orientado no sentido positivo porque est adiantado em relao a I .R
Figura 1-40 Figura 1-39 A corrente resultante (I ) ou de linha aT
O ngulo de fase poder ser determinado por meio das funes trigonomtricas do diagrama vetorial da figura 1-41. Como:
soma vetorial destas duas correntes, ou seja: IT =2 2 I R + IC
O mdulo do vetor da corrente de linha (IT) sempre maior do que I ou I , porque eleR C
a hipotenusa de um tringulo retngulo. Para se calcular a corrente no resistor e no capacitor, emprega-se a Lei de Ohm:Ea
I
R
=
R
IC
=
Ea XC
Figura 1-41 Logo: tg =IC
Clculo da Impedncia
I
R
A impedncia de um circuito RC em paralelo pode ser determinada pela lei de Ohm, ou seja:
Porm, como: IC =Ea C a
E X
a
C
e IR =
E
a
R
E ZT = a ITOu atravs da seguinte equao:Z = R x X R2 C 2 C
Logo: tg =
X E
tg =
E X
a C
x
R E
a
R tg = R X
+ X
C
ngulo de Fase
Em funo do diagrama da figura 1-41, I temos que, o cos = R IT Como: IR =Ea
O ngulo de fase , como j vimos, o ngulo formado pelo vetor da corrente de linha (I ) com o vetor da tenso aplicada (E ) .T a
R
e IT =
E Z
a T
1-19
Logo:Ea
corrente (I ) est atrasada de 90 e no capacitor,L
a corrente (I ) est adiantada de 90.cos = Ea
cos = R E Z cos = ZT
a
R
x
Z E
C
T a
T
R
Potncia aparente e real
Figura 1-42a
Para se calcular a potncia aparente (P ) e a potncia real (P ) , empregam-se as mesmasR
equaes j vistas no circuito RL em paralelo, ou seja:Pa
Como em qualquer circuito em paralelo, a tenso a mesma em qualquer ponto do circuito e esto em fase entre si, podemos concluir que I est atrasada de 90 de I e I adiantada deL R C
90 de I , conforme nos mostra a figura 1-43.R
=E
a a
x I
T
P
a
= I
2 T
x Z
T
Logo, podemos compor o diagrama vetorial, conforme figura 1-44.
P
a
=
E 2 ZT
P x I
R
= E
a
x I
R
P
R
= E
a
T
x cos
Fator de Potncia
Para o clculo do fator de potncia empregam-se as mesmas equaes vistas no circuito RL em paralelo, em que:f =p
P
Figura 1-43
R a
P
f f
I = R p IT p
= cos
CIRCUITO RCL EM PARALELO
Figura 1-44 Quando se aplica uma CA em um circuito paralelo contendo resistor, capacitor e indutor, conforme mostra a figura 1-42, necessrio levar em considerao o fato de que os ngulos de fase entre a corrente e a tenso diferem nos trs elementos. Tomando-se a tenso de um circuito paralelo como referncia, temos: no resistor, a corrente (I ) est em fase: no indutor, aR
AI , IR L
soma vetorial das correntes e I igual a corrente total ou de linhaC C
do circuito. Como a corrente no capacitor IL
ea
corrente no indutor I esto defasadas de 180, logo, a corrente resultante da composio vetorial entre I e I a diferena, j que soC L
1-20
vetores diretamente apostos entre si. Esta corrente resultante ser somada vetorialmente, com a corrente do resistor I , para aR
I
C
=
E X E X
a C
determinao da corrente total ou de linha do circuito. Isto expresso pelo grfico da figura 145.
I
L
=
a L
Clculo da Impedncia
A impedncia de um circuito RCL em paralelo pode ser determinada pela Lei de Ohm, em que:ZT
=
E I
a
Figura 1-45 Pelo teorema de Pitgoras, teremos:
T
ou atravs da seguinte equao:
ZT = IT = I R + ( IC I L )2 2
R x Z1 R 2 + Z12
Onde:
Neste tipo de circuito existe uma corrente circulatria que vem a ser a menor entre as duas correntes I e I . Esta corrente circula apenasL C
ZT =
X L x XC XC X L
no circuito formado por L e C. Depois da carga inicial do capacitor, ele descarrega atravs da bobina. O fluxo da corrente atravs da bobina produz um campo magntico que se mantm, enquanto a corrente estiver fluindo. Quando a corrente se reduz a zero, o campo magntico se desvanece, induzindo uma corrente que carrega o capacitor, mas com polaridade oposta original. A o capacitor se descarrega em sentido oposto.
ngulo de Fase
O ngulo de fase poder ser determinado por meio das funes trigonomtricas do diagrama da figura 1-47. Como:
Figura 1-46 Os ciclos se repetem e o capacitor volta a se carregar ao seu estado original. Esses ciclos se repetem periodicamente e a sua ao d origem a corrente circulatria, veja a figura 146.Para se calcular a corrente no resistor, capacitor e indutor, emprega-se a Lei de Ohm.IR
Figura 1-47 Logo:I I L tg = C IR
=
E
a
cos =
I
R T
R1-21
I
ou
Z
T
R
Classificao dos circuitos RCL em paralelo:
a) Quando XL
L
for menor que X ouC C
I
C
=
E X E X
a C
I
C
=
100 V 20 100 V 12,5
I
C
= 5A
I maior que I , temos: negativo,
circuito R .L
IL
L
=
a L
I
L
=
I = 8AL
b) Quando X for menor que X ouC
I maior que I temos: positivo,C L
A corrente total ou de linha:I I IT
circuito R .C
c) Quando X for igual a X ou I igualL C L
= = =
I
2
R
+ (I2
L
I )C
2
a I , temos: igual a zero, circuitoC
RESISTIVO.Potncia aparente, real e fator de potncia
T T
4
+ (8 5 )
2
16 + 9
I
T
= 5A
Para o clculo, empregam-se as mesmas equaes j vistas nos circuitos R ou RC emL
A impedncia total do circuito:ZT
paralelo, ou seja:PA
=
E I
a
Z
= E
a a
x I
T
P
A
= I
2 T
T
T
=
100 V 5A
x Z
T
Z
T
= 20
P
A
=
E 2 ZT
O fator de potncia:f x IR
P P f
R
= E = E =
p
=
I
R T
I
f =p
4A 5A
a
R
a
x I
T
x cos = cos Z
f
p
= 0,8 ou 80%
P P
A potncia real:fp
R A
p
P P
R R R
= E
a
x I
T
x cos
f
I = R p IT
f
p
=
T
= 100 x 5 x 0,8 = 400 W
R
P
Dado determinar:
o
circuito
da
figura
1-48,
A potncia aparente:P PA A A
= E
a
x I
T
= 100 x 5 = 500 VA
P
Figura 1-48 As intensidades de corrente I , IR C
A corrente circulante no tanque:e I :L
A corrente circulatria a menor entre as duas correntes I ou I .L C
I
R
=
E
a
R
I
R
=
100 25
I
R
= 4A
Como I
corrente circulatria ser de 5A..
C
a menor corrente, logo, a
1-22
RESSONNCIA EM PARALELO CIRCUITO TANQUE IDEAL Ressonncia em paralelo
E
O circuito sintonizado em paralelo um dos mais importantes da eletrnica, sendo amplamente empregado em transmissores, radio, radar, etc. O fenmeno da ressonncia em srie, tambm se presta a uma anlise nos circuitos em paralelo, entretanto, sua aplicao revela condies diferentes de operao. Um circuito em paralelo encontra-se em ressonncia quando estabelecida a igualdade entre a reatncia indutiva e a reatncia capacitiva ( X = X ) a qual determina aL C
Para uma determinada freqncia a reatncia indutiva ser igual reatncia capacitiva ( X L = X C ) , logo, o circuito entra em ressonncia. A figura 1-51 mostra o grfico da variao da reatncia indutiva e capacitiva em funo da freqncia.
igualdade entre as correntes ICircuito Tanque Ideal
L
= I .C
Figura 1-50
Chama-se comumente tanque a qualquer associao LC, particularmente quando as reatncias so ligadas, conforme a figura 1-49.
Figura 1-49 A designao tanque resulta da capacidade que tm os circuitos LC de armazenar energia. Embora o circuito tanque ideal no seja exeqvel na prtica, uma anlise de seu comportamento instrutiva. A figura 1-50 representa o esquema de um circuito tanque ideal (R = 0) em que um indutor e um capacitor esto associados em paralelo e ligados a uma fonte de CA de freqncia varivel. H, portanto, dois caminhos por onde a corrente pode circular; um pelo indutor e outro pelo capacitor. Se a fonte de CA operar em baixa freqncia, a maior parte da corrente circular pelo indutor do que pelo capacitor, porque X L
Figura 1-51 Uma vez estando o circuito em ressonncia, a corrente atravs do indutor e do capacitor so iguais (I = I ) , pormL C
defasadas de 180. Assim sendo, a corrente total ou de linha que a soma vetorial de I e I , L C
menor que X . Se, porm, a fonte de CAC
operar em alta freqncia, a maior parte da corrente circular pelo capacitor porque X C
menor que X .L
igual a zero. Este fato mostrado por intermdio do diagrama vetorial da figura 1-52. Assim, nesse circuito ressonante em paralelo hipottico, a impedncia do circuito ser infinita e no haver corrente de linha. Todavia, haver uma corrente circulatria no tanque apesar de nenhuma corrente ser fornecida pela fonte. Depois da carga inicial do capacitor, ele descarrega sobre o indutor, isto , a energia armazenada no capacitor fornece a corrente que percorre o indutor. O campo magntico resultante em torno do indutor age como fonte de energia para recarregar o capacitor.
1-23
Essa transferncia de energia entre os dois elementos continua na freqncia de ressonncia sem qualquer perda. O sistema est em estado oscilatrio e pode ser comparado com um pndulo em que, no havendo atrito, oscila continuamente, desde que tenha recebido um deslocamento inicial devido a uma fonte de energia. IL = I C e XL = XC Figura 1-53
Figura 1-52 Mas, da mesma maneira que o pndulo real nunca totalmente desprovido de atrito e dissipa alguma energia durante a oscilao, os circuitos ressonantes em paralelo, na prtica, incluem alguma resistncia que absorve energia da fonte original. Conseqentemente apesar da impedncia do circuito ser mxima na ressonncia, tem valor finito, e no infinito e a corrente de linha, apesar de ser mnima e estar em fase com a tenso aplicada, no igual a zero. Na figura 1-53, temos o grfico representativo da impedncia e corrente em relao variao de freqncia. A corrente circulatria no tanque tem o mesmo sentido e mxima quando o circuito encontra-se em ressonncia. Veja a figura 1-54. A corrente circulatria, considerada como sendo a corrente do capacitor I ou doC
Figura 1-54 A ressonncia nos circuitos paralelos chamada de anti-ressonante, por serem seus efeitos exatamente opostos aos observados nos circuitos em srie.Freqncia Anti-ressonante
Aplica-se a expresso de freqncia antiressonante ao circuito em paralelo e freqncia de ressonncia ao circuito em srie. Em qualquer caso, uma combinao LC tem uma freqncia ressonante, qualquer que seja o nome que esta receba. A freqncia anti-ressonante de um circuito paralelo determinada da mesma maneira que num circuito em srie, ou seja:fr = 2 1 L x C
indutor I , uma vez que IL
L
= I e pode serC
facilmente determinada pela Lei de Ohm:E X E X
Impedncia no circuito tanque ideal
I
C
=
a C
e
I
L
=
a L
No circuito ressonante em paralelo a tenso a mesma e as correntes em cada ramo e na linha so determinadas pela impedncia total da linha. Assim, a corrente no ramo indutivo ou capacitivo em qualquer instante :
1-24
I
L
=
E X
a L
I
C
=
E X
a C
verstil. Pode ser usado para substituir um capacitor ou um indutor. Exerccio resolvido A figura 1-55 mostra o esquema de um circuito RC em paralelo. O gerador de freqncia varivel entrega 300V. A freqncia anti-ressonante ser:
A corrente total I Ohm, :IT
T
na linha, pela Lei de
=
E Z
a T
Alm disso, como j foi visto, a corrente total igual soma vetorial das correntes nos ramos. Como essas correntes esto defasadas de 180 e X convencionalmente negativo, temC
se:IT
= I
L
I
C
Donde:IL
I
C
=
E ZE
a T
Z
T
=
E IL
Figura 1-55a C
I
fr =f =
2
1 L x C13 11
Z
T
=
a
E X
a L
E X
a C
r
6,28
4 x 10
x 4 x 10
Z
T
=
X X
L C
x X
f r = 398000 Hz
C L
X
A impedncia de um circuito em paralelo difere de um circuito em srie. Uma reatncia indutiva grande em um circuito em srie faz com que este haja indutivamente, porm, uma grande reatncia indutiva num circuito em paralelo faz este agir capacitivamente, pois passa mais corrente pelo ramo capacitivo. Um circuito tanque ideal apresenta as seguintes caractersticas: a) Na ressonncia, a impedncia infinita; b) medida que a freqncia se afasta da freqncia de ressonncia, a impedncia se aproxima de zero; c) O circuito se aproxima indutivamente para as freqncias inferiores de ressonncia e, capacitivamente, para as freqncias maiores que a de ressonncia. Os pontos precedentes indicam que o circuito tanque muito
A corrente em qualquer um dos ramos determinada pela reatncia nesse ramo. Como I igual a I , qualquer reatncia pode serL C
usada.X L = 2 x f x LX = 6,28 x 398 x 10L 3
x 4 x 10
3
Logo:IL
=
E X
a L
I I
L
=
300 10000
X
L
= 10000 ohms
L
= 0,03 A
Assim, a corrente circulatria no tanque de 0,03A, mas a corrente na linha praticamente nula; como j sabemos, a freqncia de ressonncia oferece o mximo de impedncia linha. Se a freqncia do gerador for mudada para 200 KHz a corrente nos ramos diferir:XL = 2 x f x L
1-25
X
L
= 6,28 398 x 10 I = E Xa L
3
x 4 x 10
3
I
T
= 0,059 0,015
T = 0,044AT
Logo:I =L
L
L
300 10000
Assim, a corrente na linha de 44 mA, atrasada de 90 em relao tenso aplicada. A figura 1-56, mostra o diagrama vetorial deste circuito na freqncia de 200 KHz.
X IL
= 10000ohms = 0,03 A
Assim, a corrente circulatria no tanque de 0,03A, mas a corrente na linha praticamente nula; como j sabemos, a freqncia de ressonncia oferece o mximo de impedncia linha. Se a freqncia do gerador for mudada para 200 KHz a corrente nos ramos diferir:X L = 2 x f x L
Figura 1-56 Empregando-se a frmula da impedncia, tem-se:ZT
=
X X
L C
x X
C L
X
X L = 6,28 x 2 x 105 x 4 x 103XL
Z Z
T T
=
= 5024 ohms
5024 x 19900 19900 5024
= 6720 ohms
Logo:I IL
=
E X
a L
I =L
300 5024
L
= 0,059 A
CIRCUITO TANQUE REAL E CIRCUITO TANQUE COM RESISTOR EM DERIVAO Circuito Tanque Real
Como:X =
XC
1 = 2 x f x c1511
C
6,28 x 2 10 X
x 4 x 10
106 XC = 50,24
C
= 19900 ohms
Logo:I IC
=
E X
a C
I
C
=
300 19900
C
= 0,015 A
Como a corrente indutiva maior que a capacitiva, o circuito se conduz indutivamente. A corrente de linha :IT
= I
L
I
C
As concluses obtidas no estudo do circuito tanque ideal e os resultados da anlise do circuito anterior foram baseados na hiptese da resistncia nos ramos em paralelo ser nula ou desprezvel. A figura 1-57 apresenta um diagrama esquemtico equivalente a um circuito real. O ramo capacitivo contm uma resistncia desprezvel, enquanto que o ramo indutivo inclui toda a resistncia do circuito. A presena da resistncia no circuito em paralelo significa que as correntes dos respectivos ramos no esto exatamente defasadas de 180 na ressonncia. A resistncia altera o ngulo de fase de cada ramo, como visto na figura 1-58. Assim as correntes dos ramos no se anulam completamente e resulta disso uma corrente de linha.
1-26
Dessa forma, o valor da corrente de linha na ressonncia , pois um indicativo da quantidade de resistncia presente no circuito. medida que a resistncia diminui, a corrente de linha tende para uma amplitude mnima e a entrar em fase com a tenso aplicada.
Como a corrente ressonante do tanque igual corrente de menor valor, I ou I e emC L
virtude de I ser menor que I teremos:L C
Q =
I
tan que
IEa L a T L
I Q= L I
T
Q =
X E Z
Q =
Z
T L
X
Como: X Figura 1-57
= Z XT C
X
C
Logo: Q =
Obs.: esta equao, somente deve ser empregada quando o valor de R for muito baixo em relao a XL. Assim, o Q de um circuito ressonante em paralelo tambm considerado como sendo a relao entre a impedncia e a reatncia indutiva ou capacitiva. Os circuitos de Q elevados so, como j vimos, muito teis nos circuitos eletrnicos seletivos. Quanto maior for o Q, maior ser a seletividade do circuito.Curvas de Ressonncia
Figura 1-58Fator de Qualidade
O fator de qualidade ou Q de um circuito ressonante em paralelo igual ao de um circuito ressonante em srie, em que:Q= XL
Nos circuitos ressonantes em paralelo, a curva de impedncia a curva caracterstica de ressonncia (figura 1-59). Como j foi visto, a freqncia de ressonncia independe do valor da resistncia do circuito.
R
Porm, no circuito ressonante em srie, a qualidade ou Q do circuito tambm determinada pela relao entre a tenso em cada reatncia e a tenso aplicada. Como a tenso a mesma no circuito ressonante em paralelo, o Q do circuito tambm determinado pela relao entre a corrente no tanque e a corrente na linha, ou seja:Q = Itan que
I
linha
Figura 1-591-27
A agudeza da curva depende do Q do circuito e pode ser aumentada ou diminuda, respectivamente com o acrscimo ou decrscimo do valor da resistncia. Se a resistncia do circuito ressonante for muito grande, o circuito perde sua utilidade como seletor de freqncia.Largura de Faixa
figura 1-61. O resistor R chamado de resistor de amortecimento e aumenta efetivamente a largura de faixa de um circuito, porque ele ser responsvel por uma parte da corrente de linha que a ressonncia no pode cancelar. O amortecimento de derivao faz diminuir o Q do circuito e portanto o circuito fica menos seletivo.
A largura de faixa do circuito ressonante em paralelo, segue as especificaes para a largura de faixa do circuito ressonante em srie. Portanto, os limites efetivos da faixa de passagem so tomados nos pontos da curva de ressonncia a 0,707 do valor de pico. Assim, as duas freqncias, uma acima e outra abaixo da ressonncia (pontos de meia potncia), formam os limites da largura de faixa. Veja a figura 160.f Bw = r Q
Figura 1-61 Exerccio resolvido Estando o circuito da figura 1-62 em ressonncia, calcular: Q =Itan que
Z = =
I =T
P
R
=
Figura 1-60 A largura de faixa de um circuito sintonizado pode ser determinada por meio da frmula:Bw = r Q f
Figura 1-62 Clculo do Q:Q = XL
R
Q =
10000 200
Onde: Bw = largura de faixa (hertz) Fr = freqncia anti-ressonante (hertz) Q = QualidadeCircuito Tanque com resistor em derivao
Q = 50 Clculo da impedncia:Z = Q x XL
Z = 50 x 10000
Z = 500 K
Clculo da corrente de linha:IT
Outro caso que deve ser mencionado o que acontece quando um resistor est ligado em paralelo com o circuito tanque, conforme a
=
E Z
a T
I
T
=
300 500000
1-28
I
T
= 0,6 mA
Clculo da corrente no tanque: Itanque = Q x IT Itanque = 50 x 0,0006f r Q
Itanque = 30 mA
O filtro corta-faixa barra as freqncias que ficam dentro de uma faixa, deixando passar todas as demais. O ponto de corte em um circuito de filtro pode ser facilmente determinado pelas equaes abaixo:Pco
Clculo da largura de faixa: Bw =Bw =
= E = I
a
x 0,707 ou x 0,707
P
co
T
100000 502
Em que:Pco a
= ponto de corte = tenso aplicada = corrente total
Bw = 2 KHzPR RR
E I
= I
R
x R2
T
P P
= 0,03
x 200
= 0,18 W
FILTROS DE FREQNCIA
Comumente, a corrente em um circuito de rdio contm vrios componentes de freqncia. A funo de um circuito de filtro efetuar uma determinada separao destes componentes. Assim, um filtro pode ser usado para separar os componentes de corrente contnua dos de corrente alternada ou para separar grupos de componentes de corrente alternada por faixas de freqncia. Para conseguir esta finalidade, o filtro deve apresentar baixa atenuao (oposio) para componentes de freqncia dentro de uma faixa particular, a faixa de passagem, e alta atenuao em freqncias dentro de outras faixas atenuadas.Caractersticas dos circuitos de filtros
Desde que, idealmente, um filtro deve deixar passar freqncias escolhidas sem atenuao, as perdas de energia devem ser baixas. Em conseqncia, os componentes de um circuito de filtro consistem comumente em elementos reativos. Pela disposio conveniente de indutores e capacitores, os filtros podem ser construdos de maneira a permitir qualquer caracterstica de seleo de freqncia.Filtro Passa-Baixa
Os filtros so comumente classificados de acordo com as suas caractersticas de seletividade: o filtro passa-baixa transmite todas as freqncias abaixo de uma freqncia limite, chamada freqncia de corte ( f ) , eco
barra as freqncias mais altas que a freqncia de corte e o filtro passa-alta faz exatamente o contrrio. O filtro passa-faixa deixa passar as freqncias contidas numa faixa entre duas freqncias de corte e elimina as freqncias que ficarem acima e abaixo dos limites da faixa.1-29
A figura 1-63 ilustra um filtro passabaixa. Na entrada, as altas freqncias encontram uma reatncia indutiva relativamente elevada em L e uma baixa reatncia capacitiva em C. Assim, as altas freqncias so detidas por L e postas em curto circuito, por C. As freqncias baixas encontram fraca oposio em L e alta oposio em C. Por conseguinte, as baixas freqncias passam da entrada para a sada. Portanto, um filtro pass-baixa destina-se a conduzir todas as freqncias abaixo de uma freqncia crtica pr-determinada ou freqncia de corte e a reduzir ou atenuar consideravelmente as correntes de todas as freqncias acima desta freqncia. Nesse filtro passar tambm a freqncia que se encontra no ponto de corte. Na figura 1-64 vemos o grfico caracterstico de seu ponto de corte.
Figura 1-63
Figura 1-66 As figuras 1-67 e 1-68 mostram respectivamente filtros passa-baixa e passa-alta e do tipo , assim designados por causa de sua semelhana com a letra pi. Os elementos mais perto da entrada caracterizam o filtro. Assim, as figuras 1-69 e 170, mostram respectivamente, filtros passabaixa com entrada a indutor e passa-alta com entrada a capacitor. Todavia, para que estes filtros possam desempenhar satisfatoriamente suas funes, os componentes reativos, devem eL = L ser iguais, ou seja: C = C1 2 1 2
Figura 1-64Filtro Passa-alta
Na figura 1-65 , temos um filtro passaalta. As baixas freqncias deparam com uma reatncia capacitiva relativamente alta em C e uma reatncia indutiva baixa em L. As altas freqncias encontram diminuta oposio em C e alta oposio em L. Por conseguinte, as altas freqncias passam da entrada para a sada. Portanto, um filtro desse tipo destina-se a deixar passar correntes de todas as freqncias acima do ponto de corte e atenuar todas as freqncias abaixo desse ponto. Neste filtro passar tambm a freqncia que se encontra no ponto de corte. Na figura 1-66, vemos o grfico caracterstico de seu ponto de corte. Para melhor a ao seletiva dos filtros passa-alta e passa-baixa, eles so projetados com duas ou mais seces.
Figura 1-67
Figura 1-68
Figura 1-65
Figura 1-69
1-30
Figura 1-72 Figura 1-70Filtros de circuitos sintonizados
Os circuitos ressonantes (sintonizados) possuem caractersticas que os tornam ideais para filtros, quando se deseja, grande seletividade. O circuito ressonante em srie oferece baixa impedncia corrente de freqncia em que est sintonizado e uma impedncia relativamente grande s correntes das demais freqncias. O circuito ressonante em paralelo oferece uma impedncia muito grande corrente de sua freqncia ressonante e uma impedncia relativamente baixa s outras.Filtro passa-faixa
Os circuitos sintonizados em srie oferecem dentro dessa faixa, uma pequena impedncia s correntes dessas freqncias e fora dela uma alta impedncia. Assim, as correntes dessas freqncias desejadas dentro da faixa circularo pelo circuito sem serem afetadas, mas as correntes de freqncias indesejadas, isto , fora da faixa, encontraro grande impedncia e no podero passar. Na figura 1-73, temos um circuito ressonante em paralelo como filtro passa-faixa.
Os filtros passa-faixa ou passa-banda destina-se a deixar passar correntes dentro dos limites de uma faixa contnua, limitada por uma alta e por uma baixa freqncia de corte e para reduzir ou atenuar todas as freqncias acima e abaixo desta faixa. Na figura 1-71, utiliza-se um circuito ressonante em srie como filtro passa-faixa. Na figura 1-72 vemos o grfico que ilustra a faixa de freqncia desejada.
Figura 1-73 Os circuitos sintonizados em paralelo oferecem, dentro dessa faixa, uma alta impedncia s correntes dessas freqncias e fora dela uma baixa impedncia. De modo que as correntes das freqncias fora da faixa sero desviadas pelo tanque, ao passo que as correntes das freqncias dentro da faixa circularo pelo circuito sem serem afetadas pelo tanque.Filtro corta-faixa
Figura 1-711-31
Os filtros corta-faixa so destinados a suprimir as correntes de todas as freqncias dentro de uma faixa contnua limitada por duas freqncias de corte, um mais alta e outra mais baixa, e a deixar passar todas as freqncias acima e abaixo dessa faixa. Na figura 1-74, temos um circuito ressonante em paralelo com filtro corta-faixa e, na figura 1-75, temos o seu grfico caracterstico.
O circuito ressonante em paralelo sintonizado na freqncia do sinal que no se deseja. Logo, o filtro apresenta alta impedncia s correntes dessa freqncia e permite a passagem de todas as outras freqncias. A figura 1-76 ilustra um circuito ressonante em srie como filtro corta-faixa.
Figura 1-74
Figura 1-76 O circuito ressonante em srie sintonizado tambm, na freqncia do sinal indesejado, e estas correntes indesejadas sero eficazmente desviadas, geralmente, para a terra; porm, as demais freqncias no sero afetadas.
Figura 1-75
1-32