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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATURAIS E

MATEMÁTICA

SUZANY CECÍLIA DA SILVA MEDEIROS

ELABORAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA SOBRE OS CONCEITOS

GEOMÉTRICOS PRELIMINARES AO ESTUDO DA TRIGONOMETRIA

NATAL – RN

2011

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SUZANY CECÍLIA DA SILVA MEDEIROS

ELABORAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA SOBRE OS CONCEITOS

GEOMÉTRICOS PRELIMINARES AO ESTUDO DA TRIGONOMETRIA

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Ensino de Ciências Naturais e

Matemática da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como exigência parcial para

a obtenção do título de Mestre em Ensino de

Matemática.

Orientadora: Profª Dra. Bernadete Barbosa

Morey.

NATAL – RN

2011

2

SUZANY CECÍLIA DA SILVA MEDEIROS

ELABORAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA SOBRE OS CONCEITOS

GEOMÉTRICOS PRELIMINARES AO ESTUDO DA TRIGONOMETRIA

Banca Examinadora

_______________________________________________________

Profª. Dra. Bernadete Barbosa Morey

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Orientadora

_______________________________________________________

Profª. Dra. Lígia Arantes Sad

Universidade Federal do Espírito Santo

Examinador Externo

_______________________________________________________

Prof. Dr. John Andrew Fossa

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Examinador Interno

3

À mainha,

a quem eu não sei chamar de outro forma, senão amor.

4

AGRADECIMENTOS

“Sempre tem gente pra chamar de nós, sejam milhares, centenas ou dois. Ficam no tempo os

torneios da voz: não foi só ontem, é hoje e depois.

São momentos lá dentro de nós, são outros ventos que vêm do pulmão, e ganham cores na

altura da voz. E os que viverem verão.”

À professora Bernadete Morey por sua orientação competente, incentivo, compreensão,

paciência e generosidade;

À Mainha e Painho porque não era obrigação, mas amor: pelo constante incentivo e

dedicação. Pelo zelo irretocável e infinita doação;

À voinha Salete, voinho Antão, titia Célia, titio Suel, tio Manoel, Artur e Beatriz, pelo apoio,

carinho e, especialmente por compreenderem as minhas ausências e pressas.

“Éramos célebres, líricos, éramos sãos. Lúcidos, céticos, Cínicos: não! Músicos práticos só

de canção. Nada didáticos, nem na intenção. Tímidos típicos, sem solução. Davam-nos

rótulos todos em vão. Éramos únicos na geração. Éramos nós dessa vez.

Sempre tem gente pra chamar de nós, sejam milhares, centenas ou dois.”

Aos meus fieis escudeiros, Maria Maroni Lopes e Severino Carlos Gomes, pela estimada

amizade, pela ajuda, pelos momentos ímpares, das dúvidas e angústias às gargalhadas e

almoços.

Às amigas Suzana da Silva Macedo, Ana Suzana Pereira de Medeiros e Tereza d’Ávila

Fernandes de Carvalho e suas respectivas famílias por me acolherem em suas casas, pelo

cuidado, por bagunçarem minha rotina de estudos e, principalmente pela amizade leal.

Aos amigos de Mestrado Fernando, Andréia, Albino, Franceliza, Elaine pelas ideias

compartilhadas e momentos inusitados de construção de conhecimento.

5

À Iguaracy Medeiros e Daniel Carvalho pela solicitude e apoio.

Aos professores do programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e

Matemática pelos momentos de aprendizado e contribuições para este trabalho.

Aos professores Vicente Garnica, Rosa Baroni, Sergio Nobre e Marcos Teixeira pela acolhida

durante estágio do PROCAD, além das contribuições durante as etapas (projeto e

qualificação) da elaboração dessa dissertação.

“Tínhamos dúvidas clássicas, muita aflição! Críticas lógicas, ácidas, não.

Pérolas ótimas, cartas na mão. Eram recados pra toda a nação, viu?

Éramos súditos da rebelião. Símbolos plácidos, cândidos.

Não! Ídolos mínimos. Múltipla ação.

Sempre tem gente pra chamar de nós, sejam milhares, centenas ou dois...”

Aos queridos amigos, conhecidos e reconhecidos na Residência de Pós-Graduação Thiago,

Rosenilson, Renata, Hugo, Leidiane, Fátima, Ana, Janaína, Iberê, Luis, Gabriel, Ivan, João

Mário, João Batista, Michele, Pedro e, mais recentemente, Lucília, Alane, Nestor pela

convivência, sentimentos compartilhados, cafés notívagos, gargalhadas e amizade peculiar.

“Fomos serenos num mundo veloz

Nunca entendemos então por que nós

Só mais ou menos”

Marcelo Jeneci

6

RESUMO

Este trabalho tem caráter qualitativo, incluindo pesquisa bibliográfica e elaboração de

material didático. Seu objetivo é relatar o estudo das dificuldades de caráter geométrico

apresentadas na aplicação de trabalhos de trigonometria e relatar a elaboração de um caderno

de atividades que ajudem na superação dessas dificuldades. Para isso, fizemos a leitura de

alguns trabalhos sobre o ensino e aprendizagem de trigonometria com a finalidade de

identificar as dificuldades surgidas durante o seu percurso. Em seguida, separamos as

dificuldades de caráter geométrico e elaboramos uma lista dos conteúdos geométricos e

procedimentos associados a elas. Assim, pudemos organizar um caderno com atividades que

abordasse a maioria desses conceitos. Por fim apresentamos o caderno de atividades

denominado Atividades sobre os conceitos introdutórios ao estudo de trigonometria.

Palavras-chave: Geometria; Trigonometria; Ensino.

7

ABSTRACT

This study is qualitative, including literature search and preparation of teaching materials.

Your goal is to report the study of geometric problems of character presented in the

application of trigonometry and work on the preparation of detailed activities that help in

overcoming these difficulties. For this, we read some papers on teaching and learning of

trigonometry in order to identify the difficulties encountered during their journey. Then

separate the geometric difficulties of character and prepare a list of geometric content and

procedures associated with them. Thus, we can organize a notebook with activities that would

address most of these concepts. Finally we present the specification of activities called

Activity on introductory concepts to the study of trigonometry.

Keywords: Geometry, Trigonometry, Education.

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LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 Indicação do arco e da corda de uma circunferência de raio

R e ângulo central α 13

FIGURA 2 Triângulo retângulo 14

FIGURA 3 Relações trigonométricas no círculo trigonométrico 14

FIGURA 4 Trabalhos analisados e características que definiram a

escolha 20

FIGURA 5 Relação entre corda e seno 24

FIGURA 6 Texto da Atividade 2: Semelhança de triângulos 27

FIGURA 7 Soluções possíveis para a atividade 2.1 28

FIGURA 8 Esquema de um rio com um ponto em cada lado 28

FIGURA 9 Possível construção para a solução da questão 28

FIGURA 10 Figura da atividade 2.4. 29

FIGURA 11 Tabelas da atividade 2.4. 30

FIGURA 12 Representação da construção para o cálculo da corda de 45° 32

FIGURA 13 Representação da construção para o cálculo da corda de 60° 33

FIGURA 14 Representação da construção para o cálculo da corda de 36° 34

FIGURA 15 Teorema de Ptolomeu para a questão 4.4 35

FIGURA 16 Ilustrações para medição da altura da árvore 38

FIGURA 17 Distâncias do segmentos do ponto A à reta r. 39

FIGURA 18 Distâncias dos ponto B à reta a e R à e s. 39

FIGURA 19 Triângulos diversos para exercício da altura. 40

FIGURA 20 Triângulo obtuso para exercício da altura. 40

FIGURA 21 Quebra-cabeça em forma de casinha com telhado. 41

FIGURA 22 Figura desenhada na malha n° 2 42

FIGURA 23 Tabela de relações trigonométricas. 44

FIGURA 24 Fragmento do texto O compasso e seu uso. 50

FIGURA 25 Construção da bissetriz 51

FIGURA 26 Orientações para a construção do pentágono regular inscrito

na circunferência

52

FIGURA 27 Questionamentos para a revisão dos elementos da

circunferência 53

FIGURA 28 Dica para a resolução da atividade 2 53

9

FIGURA 29 Dicas úteis para usar o transferidor 54

FIGURA 30 Figura para a medição dos ângulos 54

FIGURA 31 Triângulo a ser reproduzido com papel de seda 56

FIGURA 32 Triângulos na malha quadriculada 57

10

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 11

2 TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA: CONCEITOS CONECTADOS 13

3 DIFICULDADES APONTADAS NAS FONTES PUBLICADAS 21

3.1 Dificuldades surgidas no ensino de trigonometria por meio da construção

da tabela de cordas 21

3.2 Dificuldades surgidas no ensino de trigonometria por meio da construção

da tabela trigonométrica 25

3.3 Dificuldades surgidas no ensino de trigonometria por meio da formação de

professores 36

3.4 Síntese da análise dos trabalhos lidos: conteúdos geométricos e

procedimentos manipulativos 46

4 ELABORAÇÃO DO CADERNO DE ATIVIDADES 49

4.1 Processo de construção do caderno de atividade 49

4.2 Considerações Finais 57

REFERÊNCIAS 60

APÊNDICE – Produto educacional (Caderno de atividades com os conceitos

introdutórios ao estudo de trigonometria) 63

11

INTRODUÇÃO

Ao exercer o papel de professor de matemática, percebemos que o ensino da

matemática, muitas vezes, aparece sem sentido para o aluno. Este vazio de significados

conceituais reflete, em alguns casos, a ausência de ligações com o cotidiano do aluno, em

outros, a falta de material didático adequado para o ensino ou ainda a relação entre os próprios

conceitos da matemática.

Por exemplo, conteúdos da disciplina de matemática, como a geometria, as frações,

as potências, são imprescindíveis ao entendimento de outros conceitos matemáticos como as

equações, as funções, ou a trigonometria, respectivamente. Contudo, não é raro que o seu

ensino seja desligado um dos outros. Desta forma, o professor de matemática necessita

identificar quais conceitos os alunos precisarão ter aprendido previamente para compreender

outros assunto em questão, na sala de aula.

Em relação à trigonometria um dos obstáculos apresentados no seu ensino é a

formação dos professores, deficiente no que diz respeito ao próprio conteúdo de trigonometria

e o desinteresse dos alunos. Preocupados com a forma como esse conceito está sendo

apresentado pelos professores em sala de aula, e interessados em melhorar o ensino e a

aprendizagem de trigonometria no ensino básico, propomos um estudo que discute o uso de

atividades de geometria que auxiliem o trabalho no professor em uma fase pré-trigonométrica,

e viabilizem uma aprendizagem significativa.

Outro fator que limita o ensino e a aprendizagem de trigonometria é a falta de

conhecimento de alguns conceitos geométricos e algébricos que são base fundamental para

compreender conceitos trigonométricos. É comum encontrarmos alunos que apresentam

dificuldades na resolução de questões de trigonometria em virtude do desconhecimento de

propriedades referentes a conceitos geométricos de construção, por exemplo.

Assim, através da leitura e análise de alguns trabalhos sobre o ensino e a

aprendizagem de trigonometria, delineamos o ponto central do nosso problema de pesquisa. A

partir dessas leituras, investigamos quais conceitos geométricos são introdutórios ao ensino e

à aprendizagem da trigonometria e, deste modo, imprescindíveis ao estudo da trigonometria e

de que forma poderemos integrá-los às atividades de trigonometria.

Esta análise tem como principal objetivo a organização de uma sequência didática,

com atividades voltadas ao ensino e à aprendizagem dos conceitos introdutórios ao estudo dos

12

conceitos trigonométricos. Estas atividades, além de fomentar o ensino e a aprendizagem,

renderão um caderno de atividades, que poderá ser usado por professores em formação, por

professores que estão em sala de aula, mas que não tiveram aulas de geometria e/ou

trigonometria durante sua formação, por alunos do ensino médio com dificuldades em

trigonometria e, ainda, por alunos do ensino fundamental que estão iniciando seus estudos em

geometria. O uso desse caderno de atividades em sala de aula propõe a discussão e a

construção de conceitos necessários à resolução de atividades de trigonometria.

Desta forma, este estudo tem como objetivo principal organizar e publicar uma

sequência didática de atividades direcionadas ao desenvolvimento das habilidades matemática

e conceitos geométricos que venham a facilitar o estudo da trigonometria.

Dentre os objetivos específicos, podemos destacar

• Investigar quais habilidades matemáticas e conceitos geométricos exercem o papel

de pré-requisito ao ensino e a aprendizagem da trigonometria;

• Organizar uma sequência didática de atividades que tenha como objetivo o

desenvolvimento das habilidades matemáticas e a aprendizagem dos conceitos que facilitem o

aprendizado da trigonometria;

• Tornar acessível para os professores, na forma impressa ou digital, todo o material

didático produzido.

Assim sendo, o trabalho está estruturado da seguinte forma:

O primeiro capítulo discorre sobre a conexão entre os conceitos de trigonometria e

geometria a partir das diversas formas de se introduzir o estudo da trigonometria.

Discorremos também sobre o caminho que percorremos para conceber este trabalho.

No segundo capítulo, analisamos as dificuldades do ensino e da aprendizagem

trigonometria. Partimos do estudo de três trabalhos (Gomes (2011), Nascimento (2005), Brito

e Morey (2004, p. 9-33)) que abordam a trigonometria através da construção da tabela de

cordas de Ptolomeu, da construção de uma tabela trigonométrica e, das dificuldades dos

professores do Ensino Fundamental, respectivamente. Também neste capítulo elaboramos

uma lista dos conteúdos geométricos que irão orientar o nosso caderno de atividades.

No terceiro e último capítulo, escrevemos sobre o processo de elaboração e

organização do caderno de atividades. São apresentados os objetivos das atividades e

discutidas as suas possíveis formas de aplicação. Nele também fazemos as considerações

finais.

13

2 TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA: CONCEITOS CONECTADOS

Este trabalho teve início com um projeto de ensino de trigonometria, que também fez

parte dos trabalhos escolhidos para a análise das dificuldades, intitulado Trigonometria numa

Abordagem Histórica1. Este referido projeto tinha como objetivo a elaboração, aplicação e

disponibilização de uma apostila que servisse de suporte aos professores do ensino básico em

suas aulas de trigonometria. A apostila foi elaborada sob a forma de atividades que

utilizassem a História da Matemática como recurso pedagógico.

No processo de elaboração e validação das atividades do projeto Trigonometria

numa abordagem histórica foram percebidas dificuldades na compreensão dos conceitos de

trigonometria, dificuldades estas advindas de um aprendizado insuficiente da geometria. A

partir disso fomos motivados a mergulhar mais profundamente nesta questão e nos

dispusemos a buscar outros trabalhos que apontassem as dificuldades que os alunos têm em

geometria que podem, por sua vez, dificultar o aprendizado da trigonometria.

Há mais de um modo de se introduzir o ensino de trigonometria e alguns deles serão

aqui enumerados.

Pode-se introduzir a trigonometria a partir do conceito de comprimento de cordas de

um arco, o que exigirá bons conhecimentos prévios de geometria principalmente aqueles

relacionados ao círculo.

FIGURA 1 – Indicação do arco e da corda de uma

circunferência de raio R e ângulo central α.

1 Esse projeto de um trabalho do qual eu participei e que resultou na dissertação: GOMES, Severino Carlos.

Elaboração e aplicação de uma sequência de atividades para o ensino de trigonometria numa abordagem

histórica. 2011. 61 f. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2011.

14

Pode-se introduzir a trigonometria a partir do triângulo retângulo, o que exigirá que

se tenha previamente assimilado os conceitos de semelhança de triângulos.

FIGURA 2 – Triângulo retângulo.

A trigonometria pode ainda ser introduzida a partir do círculo trigonométrico, sendo

aqui os conhecimentos prévios necessários aqueles referentes aos números relativos, à noção

de ângulo de giro, etc.

FIGURA 3: Relações trigonométricas no círculo trigonométrico.

Já o desenvolvimento posterior do conteúdo de trigonometria pode ser feito

utilizando mais ou menos manipulações algébricas dependendo de qual objetivo se persegue:

15

resolver identidades e equações trigonométricas ou construir tabelas trigonométricas e

resolver problemas.

Sendo assim, as dificuldades no processo de ensino e aprendizagem da trigonometria

podem ser de caráter variado, ou seja, geométrico, algébrico ou aritmético. Obviamente,

nenhum dos tipos de dificuldades apontados aparece sozinho. A ênfase pode ser num tipo de

dificuldade, mas os outros tipos sempre acompanham com mais ou menos intensidade.

Além disso, convém ressaltar que não estamos considerando aqui as dificuldades não

conceituais como: dificuldades afetivas, sociais, motoras e outras.

Deste modo, nossa intenção é fazer inicialmente uma busca na literatura pertinente à

cata de indicações de dificuldades no aprendizado de trigonometria, sendo o nosso objetivo

final destacar as dificuldades de caráter geométrico.

Há vários trabalhos que sugerem o ensino de trigonometria, sob diferentes

abordagens, buscando aperfeiçoar o trabalho do professor e contribuir para a formação dos

alunos. Algumas características presentes nesses trabalhos são o uso da tecnologia através de

softwares, a manipulação de modelos experimentais envolvidos em situações problema e a

história da trigonometria como fonte de atividades de reconstrução do conhecimento

trigonométrico.

São dissertações, teses, artigos, livros. Seus textos destacam as concepções de

diversos pesquisadores para uma aprendizagem trigonométrica centrada na investigação, na

discussão, na formulação de atitudes, na reconstrução de fatos históricos essenciais à

compreensão do desenvolvimento do conhecimento trigonométrico como um campo

científico necessário ao desenvolvimento da vida em sociedade e dos recursos a modificam.

A seguir comentaremos os trabalhos lidos inicialmente:

Em dissertação apresentada à PUC – SP, Costa (1997) investiga como os recursos

tecnológicos podem propiciar a construção dos conceitos da trigonometria. Para isto, elaborou

uma sequência de ensino com o objetivo de investigar a introdução das funções seno e

cosseno em três contextos: o do computador usando os softwares outro que chamou de mundo

experimental, com atividades construídas com materiais manipulativos; e o terceiro, a sala de

aula. Desenvolveu sua pesquisa com três grupos de estudantes do ensino médio, cada grupo

com uma dinâmica distinta combinando os contextos trabalhados. A pesquisa tem como

fundamentos teóricos a didática da Matemática e a psicologia cognitiva e, nas suas conclusões

após análise do desempenho dos grupos, a autora afirma que os alunos que apresentaram

16

melhor aprendizagem foram aqueles cujo grupo trabalhou inicialmente com as atividades do

mundo experimental, e só após no ambiente computacional.

Outro trabalho que estuda as implicações do uso de um software no ensino de

trigonometria é a dissertação, apresentada à PUC – SP, por Martins (2003). A autora

apresenta uma sequência didática que tem a finalidade de investigar a aprendizagem das

funções seno e cosseno, com alunos (do 2º ano do ensino médio) já familiarizados com o

conceito de seno e cosseno no triângulo retângulo e no ciclo trigonométrico. Sua base teórica

para elaboração e avaliação da proposta reside na dialética ferramenta-objeto e na interação

entre domínios de Régine Douady visando sempre a aprendizagem a partir de conhecimentos

anteriores. Conclui, ressaltando a importância do uso do software na comprovação da relação

entre os conceitos de seno e cosseno tanto no triângulo retângulo quanto no ciclo

trigonométrico e nos gráficos das funções.

Sormani (2006), em dissertação apresentada à UNESP (Bauru), dá os resultados de

um estudo exploratório sobre o uso de recursos tecnológicos na resolução de problemas

trigonométricos dentro de uma abordagem qualitativa. Observou quatro alunos da segunda

série do ensino médio na resolução de problemas de trigonometria usando um software de

geometria. Este trabalho teve como objetivos obter informações sobre como o uso de recursos

tecnológicos poderia influenciar no processo de resolução das questões, assim como fornecer

subsídios para a elaboração de estratégias educacionais que contemplassem o uso de

tecnologia. Sua fundamentação teórica está embasada na teoria da formação de conceitos de

Klausmeier e Goodwin, na teoria de Sternberg sobre a resolução de problemas e na teoria de

Ausubel no que se refere à aprendizagem significativa. Na sua análise, o autor, chega à

conclusão de que o uso do software, em atividades planejadas pelo professor, conduz a uma

aprendizagem expressiva.

Em sua tese apresentada à UFRN, Mendes (2001) propõe uma abordagem

metodológica para o ensino de trigonometria através do uso de atividades construtivistas

informadas pela história da matemática. Discutiu os resultados de uma experiência realizada

com estudantes do ensino médio de uma escola pública de Natal (RN). A elaboração e

testagem das atividades usadas nesta experiência levaram o autor a refletir mais

profundamente acerca do valor da aliança entre as ideias construtivistas e as pressuposições

envolvendo o uso da história da matemática no ensino. Tais reflexões são discutidas

detalhadamente com a finalidade de contribuir no refinamento da proposta e seu uso efetivo

em salas de aula.

17

Nascimento (2005), em seu trabalho exposto à PUC – SP, objetiva reconstruir

historicamente os passos de Ptolomeu e outros matemáticos gregos como Eratóstenes de

Cirene e Hiparco de Nicéia, na construção de uma tabela trigonométrica. Através da história

da trigonometria, a autora propõe que os alunos do 1º ano do ensino médio consigam entender

os conceitos das razões trigonométricas no triângulo retângulo de forma eficaz. Utilizando

pressupostos teóricos de Vygotsky e Vernaud e Parzysz (relativo ao ensino de geometria),

apresenta resultados que apontam para uma dificuldade em relação à aprendizagem de

conceitos básicos da geometria e da álgebra necessários para o desenvolvimento satisfatório

do aprendizado trigonométrico. Nascimento conclui que, apesar desses empecilhos, as

situações de ensino por ela sugeridas podem despertar no aluno situações de favorecimento de

sua aprendizagem, assim como desfazer concepções incorretas.

Para o VIII Seminário Nacional de História da Matemática, Morey e Faria (2009)

publicam estudo referente às contribuições de Ptolomeu, Copérnico e al-Kashi referentes ao

cálculo do seno de 1º. A interpolação utilizada por Ptolomeu, a proporcionalidade entre

cordas e arcos (para arcos muito pequenos) apresentada por Copérnico, e a abordagem

algébrica (por métodos iterativos) de al-Kashi são acompanhadas de contextualizações

históricas de cada época. Por fim, algumas atividades são apresentadas onde reflexões e

cálculos aproximam a trigonometria de sua própria história.

Ainda, como publicação para o seminário citado anteriormente, Mendes e Rocha

(2009) procuram resgatar os caminhos que levaram a trigonometria a ter um caráter

fundamental no estudo astronômico desde épocas remotas. Com atividades diversas, sempre

enfocando a história da trigonometria, enfatiza o desenvolvimento atingido pelo

conhecimento trigonométrico com a construção das primeiras tabelas trigonométricas (tabelas

de cordas). Utiliza artifícios geométricos para enfocar a trigonometria meramente geométrica

das tabelas de cordas e une a história à inovação tecnológica ao utilizar calculadoras como

auxiliares na comparação entre as medidas das cordas e o valor do seno utilizado atualmente.

Brighenti (2003) apresenta uma sequência de ensino de trigonometria por atividades

sugerindo modificações na ordem de apresentação dos conteúdos. Fundamentada na teoria

cognitiva de Ausubel (o novo conhecimento deve ser fundamentado em conhecimentos já

solidificados) comenta e justifica a sua ordem de apresentação dos conceitos trigonométricos

através de mapa conceitual. As atividades são elaboradas partindo de condições cotidianas,

quando possível, e de situações indutoras referentes à construção de conhecimento pela

descoberta dos próprios alunos orientados pelas atividades e mediação do professor.

18

Lindegger (2000), em dissertação apresentada à PUC – SP, propôs uma sequência

didática a partir da manipulação de modelos, criando situações de ensino de trigonometria no

triângulo retângulo, priorizando principalmente os conceitos das razões trigonométricas (seno,

cosseno e tangente). Sob pressupostos teóricos do construtivismo, da didática francesa de

Brousseau, e da psicologia cognitiva de Vergnaud e Vygotsky, trabalhou com duas turmas,

ambas da 8ª série do ensino fundamental (hoje 9° ano). As questões propostas nos testes

avaliativos apresentam como ponto de partida situações-problema, fazendo uma articulação

com a História da Trigonometria. Nas suas conclusões, o autor comprova que o grupo

experimental obteve um desempenho superior ao do grupo de referência. Este fato demonstra

a importância da inclusão de situações da realidade nas atividades de sala de aula.

Em dissertação apresentada à PUC – SP, Silva (2005) propõe, através de situações-

problema, uma articulação entre construções geométricas e tratamento figural na abordagem

das relações trigonométricas. Utilizando princípios da engenharia didática, elabora e valida

uma sequência de ensino onde construções e transformações geométricas possam

proporcionar aprendizagem eficaz dos conceitos trigonométricos no triângulo retângulo.

Articulando entre a dialética ferramenta-objeto de Douady e os registros de representação de

Duval, desenvolveu a pesquisa junto a uma turma com 13 alunos em uma escola pública de

São Paulo. A partir da análise dos erros ou dificuldades apresentadas na resolução de cada

atividade, a conclusão apresentada é que, mesmo com dificuldades de manipulação dos

elementos geométricos e suas propriedades, houve um avanço cognitivo dos conceitos

trigonométricos em questão.

Em dissertação apresenta ao programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências

Naturais e Matemática da UFRN, Oliveira (2006) analisa dificuldades apresentadas por

alunos de matemática do ensino médio relativo à explanação de conteúdos da trigonometria.

Fundamentado pela metodologia da engenharia didática de Artigue, uma intervenção

pedagógica, através de uma sequência didática, é elaborada e aplicada em uma turma de 2ª

série do ensino médio de uma escola pública de Natal (RN). As dificuldades encontradas

durante o processo de aplicação das atividades são analisadas e sugestões são apresentadas

como possíveis minimizadoras dos problemas encontrados pelo pesquisador.

Uma investigação sobre o processo de construção de uma abordagem histórico-

filosófica, através da reconstrução da história da trigonometria, foi o trabalho dissertativo

desenvolvido por Sampaio (2008) e apresentado à Universidade Estadual de Londrina – UEL.

O trabalho inclui uma pesquisa documental sobre a história da trigonometria nos livros

19

didáticos e a construção de uma sequência didática para o ensino das funções trigonométricas.

A sequência foi aplicada com alunos do ensino médio de uma escola pública em Londrina –

PR fundamentada pela Engenharia Didática. A elaboração e a validação das atividades se

desenvolveram segundo análise proposicional de conceitos (método avaliativo da Teoria da

Aprendizagem Significativa) de Novak e Gowin.

Após curso de extensão para professores de escolas públicas do Rio Grande do

Norte, Brito e Morey (2004, p. 65-70) apresentam um artigo com um estudo realizado com

professores do Ensino Fundamental acerca das dificuldades encontradas no ensino dos

conceitos básicos de geometria e de trigonometria, e de como o ensino desses conceitos foi

sendo proposto nos livros didáticos nas últimas quatro décadas do século XX. Com esta

análise, concluem que as dificuldades dos professores estão intimamente relacionadas a uma

negligência com o ensino de trigonometria e geometria na sua formação escolar. Dessa forma,

este estudo aponta a necessidade de ações que proporcionem a formação continuada destes

professores visando a reflexão destes conceitos e da prática docente.

Por último, a dissertação de Gomes (2011) se constitui em uma proposta para o

ensino de trigonometria, aliando matemática e história da matemática. As atividades

elaboradas por Gomes abordam conceitos que vão desde o círculo, a construção de tabela de

cordas dentre vários outros conceitos trigonométricos conduzidos pela história da matemática

e juntas formam um caderno destinado a professores e futuros professores de matemática.

Após a leitura desses trabalhos, com a pretensão de direcionar especificamente a

nossa visão quanto aos tipos de dificuldades possíveis de ocorrer, resolvemos selecionar

alguns dentre estes apresentados. Por entendemos que o caráter variado na abordagem do

ensino da trigonometria poderia atender aos nossos objetivos, escolhemos aqueles que além

de apresentarem características distintas entre si, são semelhantes ao que nós propomos. A

forma de organizar e conduzir as atividades propostas por cada trabalho e o público que

participou das pesquisas foram fatores que estabeleceram a eleição desses textos,

especificamente.

Dessa forma, além do fato de serem trabalhos ligados ao ensino e à aprendizagem de

trigonometria, outro fator que motivou a escolha de Gomes (2011), Nascimento (2005), Brito

e Morey (2004, p. 9-33), como base para o nosso estudo foi a diversidade da natureza de cada

um deles.

20

Assim, podemos caracterizar os trabalhos de Gomes (2011), Nascimento (2005),

Brito e Morey (2004, p. 9-33), em relação à organização e ao público alvo, respectivamente,

como:

FIGURA 4: Trabalhos analisados e características que definiram escolha.

Após leitura e análise desses trabalhos e definidas as dificuldades geométricas, o

nosso objetivo é organizar um conjunto de atividades que ajudem na superação dessas

dificuldades.

Gomes, 2011.

• Atividades para o ensino de trigonometria, usando a História da Matemática.

• Professores e futuros professores de matemática.

Nascimento, 2005.

• Atividades para a construção de uma tabela trigonométrica usando a História da Trigonometria.

• Alunos do 1° ano do Ensino Médio.

Brito e Morey,

2004.

• Atividades para o ensino de geometria e trigonometria.

• Professores de Matemática.

21

3. DIFICULDADES APONTADAS NAS FONTES PUBLICADAS

Dentre as publicações sobre o ensino de matemática há diversos trabalhos que

abordam o ensino de trigonometria. Em busca de indicações das dificuldades no ensino e na

aprendizagem deste conceito fizemos leituras de vários trabalhos e, nesse sentido,

selecionamos Gomes (2011), Nascimento (2005), Brito e Morey (2004), aos quais demos

maior atenção. Das dificuldades indicadas por esses autores, separamos as que apresentaram

natureza geométrica para, posteriormente, elaborarmos o nosso conjunto de atividades.

Analisar tais dificuldades serviu como base para escolher o caminho para

organizarmos o nosso caderno de atividades e, nessa perspectiva, as dificuldades de natureza

geométrica apresentadas na resolução das atividades propostas por esses trabalhos poderão ser

superadas se forem conectadas às atividades propostas pelo nosso caderno. Sendo assim, o

nosso trabalho adquire status de complementar às questões (de trigonometria) sugeridas nos

trabalhos lidos.

3.1 Dificuldades surgidas no ensino de trigonometria por meio da construção da tabela de

cordas

O trabalho de Gomes (2011) se constitui em uma proposta para o ensino de

trigonometria fazendo um percurso que se inicia a partir dos conceitos relacionados ao círculo

passando pela construção de uma tabela de comprimento de cordas e o desenvolvimento de

outros conceitos trigonométricos. O autor elaborou um caderno de atividades para o ensino de

trigonometria destinado aos professores e futuros professores de matemática para servir de

apoio às aulas de trigonometria. As atividades abordam conceitos que vão desde os de

polígonos regulares até os de seno e cosseno no círculo trigonométrico.

No processo de validação as atividades foram aplicadas em diversos minicursos2

ministrados aos professores de modo que o autor pudesse, baseado em suas observações,

relatar não só o percurso de elaboração das atividades, mas também quais os entraves e as

dificuldades percebidas no seu processo de aplicação.

2 O autor realizou quatro experiências piloto com o objetivo de validar as atividades e, posteriormente, ministrou

um minicurso final.

22

É possível perceber que nesse trabalho o conteúdo de trigonometria se direciona para

um enfoque geométrico. Por esse motivo parte inicial do seu curso final3 foi voltada para a

discussão de conceitos básicos de geometria. No entanto, mesmo com essa preparação inicial,

os professores e futuros professores participantes do curso ainda sofreram com dificuldades

principalmente de caráter geométrico.

Segundo o autor as dificuldades de aprendizagem são de caráter variado. Abarcam

desde a leitura e a interpretação dos enunciados das questões propostas até a manipulação de

técnicas algébricas essenciais à construção dos conceitos trigonométricos. Gomes (2011)

também aponta dificuldades que os professores apresentaram na resolução de atividades de

trigonometria, dificuldades estas relacionadas à falta de conhecimento prévio de conceitos

básicos de geometria. Outro tipo de dificuldade relatado por Gomes está relacionado à

manipulação dos instrumentos de desenho como o compasso, a régua e o transferidor.

De forma mais minuciosa, nos concentraremos nas atividades cuja resolução

apresentou dificuldades relacionadas ao aprendizado prévio da geometria. Isso nos permite

tomar a geometria como fundamental para os estudos trigonométricos.

A primeira atividade, chamada Explorando polígonos inscritos na circunferência, se

referia à relação entre a medida da corda e a variação do ângulo central correspondente, de

acordo com cada polígono trabalhado (hexágono, pentágono e octógono). Esperava-se que o

aluno pudesse observar que o comprimento da corda diminui à medida que o ângulo central

cresce, considerando a corda como o lado do polígono regular inscrito em uma circunferência.

Porém, houve uma dificuldade em reconhecer que o ângulo central pode aumentar para além

de 180° até 360°. Tal dificuldade pode ter origem em outra dificuldade: aquela de reconhecer

os elementos da circunferência, como a corda, o raio, o ângulo central.

Ainda nessa atividade Gomes sugere que os alunos generalizem este caso para um

polígono de n lados. Embora tenha sido realizada uma preparação preliminar para a resolução

dessas atividades, os participantes do curso não conseguiram abstrair a resolução dessa

questão ao nível da generalização. Deste modo, o autor apresentou este cálculo para os

polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, e 20 lados, com o objetivo de auxiliar no

aprendizado dos alunos e ajudar a superar tal dificuldade.

3 Realizado no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte (IFRN), campus Natal-Zona Norte, no período de outubro e novembro de 2010. O público participante foi de professores e

futuros professores de Matemática.

23

Podemos considerar esta a primeira dificuldade geométrica encontrada. Conhecer e

identificar os elementos da circunferência como a corda de uma circunferência, além do

conceito de ângulo central, é fundamental para que se resolva essa atividade.

A segunda atividade, intitulada Calculando os comprimentos de algumas cordas,

usou construções geométricas na sua resolução. Com a régua e o compasso, os alunos

construíram polígonos regulares inscritos em circunferências, cujas cordas correspondiam

àquelas pedidas na questão. Inicialmente, Gomes solicitou o cálculo do comprimento das

cordas e 90° e 120°. Nesses casos, os procedimentos eram realizados através do triângulo

retângulo associado ao teorema de Pitágoras, para a corda de 90° e; a construção do ângulo

suplementar, triângulos e teorema de Pitágoras para a corda de 120°.

A atividade segue com o cálculo do comprimento das cordas de 180°, 60° e 72°.

Dessas, apenas o cálculo para a corda de 180° não apresentou dificuldade. Das demais,

metade dos participantes acertou o cálculo para a corda de 60° e nenhum acertou para a corda

de 72°. Sabendo que a corda de 60° corresponde ao lado do hexágono regular, para que o

aluno obtivesse êxito nessa questão ele deveria conhecer a propriedade do hexágono regular

inscrito na circunferência, que diz que a medida do seu lado é igual à medida do raio da

circunferência a que está inscrito. Apesar de esta propriedade ter sido discutida na primeira

parte do curso, ainda houve casos de erros para esse cálculo. No caso do comprimento da

corda de 72° (que corresponde ao lado de um pentágono regular inscrito na circunferência), os

erros são reincidentes. Ninguém conseguiu acertar a questão e podemos atribuir esse fato ao

grau de dificuldade da construção do pentágono regular inscrito na circunferência

(procedimento que viabiliza a resolução dessa questão). Essa tarefa exige certa maturidade em

alguns procedimentos de construções geométricas.

Outra limitação apresentada pelos alunos foi o uso dos materiais de desenho

utilizados nas construções geométricas. O manuseio do compasso e da régua dificultou o

desenvolvimento da atividade na medida em que os participantes não tinham familiaridade

para executar tarefas como regular o compasso a certa medida na régua, ou até a forma como

segurá-lo para traçar a figura.

Nesse sentido, podemos considerar as construções geométricas imprescindíveis à

resolução dessa atividade, desde o manuseio dos instrumentos de desenho até as propriedades

que constituem as figuras que serão construídas. A não familiaridade com um desses fatores

se constitui em uma dificuldade que impossibilita ou atrasa o desenvolvimento da

aprendizagem.

24

Na terceira atividade, A transformação da corda em seno, foram abordados os

procedimentos de conversão de medida da corda para seno. Esse processo foi efetuado a partir

da conversão da corda grega, para a meia corda e, em seguida, para o seno indiano. Gomes

discutiu a equivalência entre o seno da metade de um ângulo central e a metade da corda

subentendida por esse ângulo. Para exercitar essa relação, foram calculados os senos de 36°,

45°, 60° e 90° a partir do exemplo do seno de 30° usando a corda de 60° e uma tabela de foi

preenchida com esses valores.

Para a conferência e comparação dos valores obtidos nesses cálculos, os participantes

usaram uma calculadora científica. No entanto, para o cálculo do seno de 36° pela corda de

72° os alunos apresentaram dificuldades por não conseguirem trabalhar com os números

irracionais.

Nessa atividade não constatamos dificuldades de caráter geométrico. O seno foi

calculado algebricamente pela relação (FIG. 5):

FIGURA 5 – Relação entre corda e seno

Fonte: Produção própria.

Na quarta atividade, O radiano como unidade de medida angular inicia-se o estudo

sobre o radiano como medida angular e a sua relação com o ângulo para, posteriormente,

conceituar o radiano. Outro ponto importante explorado nessa atividade é o estudo da

circunferência de raio unitário. Essa é outra atividade que não suscitou dificuldades. Embora

se tenha usado a circunferência para estudar o radiano, não foram percebidas maiores

dificuldades.

Na última atividade, O seno na circunferência unitária, o seno deixou de ser

estudado através das cordas e passou a ser visto pelo do estudo da circunferência de raio

unitário. Gomes introduziu a ideia de circunferência trigonométrica e seus elementos e

conceitos como o de função foram trabalhados nessa atividade, quando o seno foi tomado

como uma função.

Nessa etapa, questionava-se sobre o seno maior que 2 radianos. Isso requer o

conhecimento sobre a divisão da circunferência em partes iguais graduada em radiano. Os

alunos demonstraram muitas dúvidas a respeito do radiano, o que não foi percebido quando a

25

unidade de medida dos arcos era o grau. Gomes ainda relata dificuldades envolvendo a

construção do gráfico do seno.

A partir dessa análise, organizando exclusivamente as dificuldades da classe

geométrica, podemos compor a seguinte lista:

Manipulação dos instrumentos de desenho geométrico (compasso, régua);

Compreensão de conceitos geométricos básicos como reconhecer a circunferência e

distinguir os seus elementos como a corda, o raio, o ângulo central;

Conhecimento dos polígonos regulares e a assimilação de algumas de suas

propriedades.

Gomes aconselha que, para um bom desempenho na resolução do caderno de

atividades proposto por ele, o aluno tenha, como pré-requisitos conceituais, aprendido

conceitos básicos de geometria, como o estudo dos ângulos, dos triângulos e dos

quadriláteros, etc., domine cálculos algébricos e com números irracionais e, consiga utilizar o

compasso e o transferidor, com a finalidade de poder construir figuras geométricas, como

polígonos regulares. O autor dá um maior destaque à aprendizagem da geometria como

condição necessária ao aprendizado da trigonometria, e enfatiza que a geometria é básica para

o seu trabalho. Segundo ele, o conteúdo trigonométrico apresentado em nosso estudo prioriza

o enfoque geométrico. Com isso, além de seguir o percurso histórico, tratamos a geometria

como fundamental para estudos trigonométricos.

3.2 Dificuldades surgidas no ensino de trigonometria por meio da construção da tabela

trigonométrica

O trabalho de Nascimento (2005) tem como objetivo construir uma tabela

trigonométrica seguindo os passos de Ptolomeu e outros matemáticos gregos como

Eratóstenes de Cirene e Hiparco de Nicéia. A autora elaborou uma sequência de atividades

para alunos do 1º ano do Ensino Médio, utilizando a História da Trigonometria. Nascimento

propõe atividades que atribuam significado aos conceitos das razões trigonométricas no

triângulo retângulo. É importante lembrar que a metodologia utilizada neste trabalho foi a

26

Engenharia Didática4 e, portanto, as atividades tiveram análise a priori e a posteriori. Na

análise a priori a autora descreve as atividades e quais os objetivos pretende alcançar. Após as

aplicações das atividades, a descrição compara e analisa os resultados obtidos durante os

encontros com os alunos e faz um quadro comparativo com as ideias apreciadas na análise

primeira.

As atividades englobam conceitos desde a semelhança de triângulos, homotetia, até

as significados de seno, cosseno e tangente para a construção da tabela trigonométrica.

Nascimento considera que o conhecimento de vários conceitos geométricos como a

semelhança de triângulos serão úteis para a resolução de algumas atividades de sua sequência.

Nas duas primeiras questões foram revisados os conceitos de semelhança de

triângulos, propriedades dos ângulos e o conceito de seno, cosseno e tangente de um ângulo

agudo para posteriormente, utilizá-los na construção da tabela trigonométrica.

A primeira atividade, chamada Comparando e investigando triângulos, buscava

perceber a regularidade entre triângulos dados. A atividade propunha que os estudantes

comparassem diversos triângulos (fornecidos pelo professor) e anotassem as suas

características em relação aos ângulos e lados e, assim, identificassem as que eram comuns a

todos os triângulos. Para essa investigação, os alunos poderiam usar régua, compasso,

transferidor, esquadro, etc., ou qualquer outra técnica que julgassem adequada. Porém, o

professor preparou alguns questionamentos para o caso de os alunos não conseguirem

desenvolver a atividade como esperado e perceber a igualdade entre os triângulos.

Embora muitos alunos tenham registrado, nesta atividade, bons conhecimentos de

geometria – a soma dos ângulos internos do triângulo mede 180º, dois triângulos retângulos

iguais formam um retângulo – em outros casos, observações com erros foram anotadas.

Nascimento relata em seu texto que os alunos confundiram lados dos triângulos com

dimensões, demonstraram-se equivocados na denominação da figura geométrica que

utilizavam, comparando o triângulo a uma estrela e, em contraposição aos grupos que

acertaram a propriedade que diz que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180°, outros

alunos disseram que somando todos os lados e todos os ângulos do triângulo é que somariam

180°. Ainda que não tenham demonstrado completa segurança no que diziam, poucos alunos

conseguiram responder à questão proposta, sobre a semelhança dos triângulos.

4 Consiste em uma metodologia de pesquisa voltada ao trabalho com sequências didáticas. Basicamente suas fases são a análise a priori da sequência didática, experimentação, e análise a posteriori e validação das

atividades. A francesa Michèle Artigue se destaca no estudo dessa metodologia.

27

Na segunda atividade, Semelhança de triângulos, com os instrumentos de desenho

geométrico (régua, compasso, esquadro e transferidor) o aluno representaria graficamente os

triângulos e assim distinguiria suas propriedades. Semelhança de triângulos, altura, seno,

cosseno e tangente pelo triângulo retângulo, homotetia, foram conceitos abordados nessa

atividade. A atividade está dividida em cinco partes, sendo a última reservada ao estudo da

homotetia.

A primeira parte da atividade é uma continuação da atividade 1 e explora a

sobreposição dos triângulos como forma de estudo da semelhança dos triângulos. Alguns

alunos tiveram dificuldades para interpretar o texto da atividade, que denominava os

triângulos por T1, T2, T3 e T4 (Figura 6 e Figura 7). No mais, neste procedimento não houve

nenhuma dificuldade e, pode-se atribuir esse avanço à discussão da atividade 1.

FIGURA 6: Texto da Atividade 2: Semelhança de triângulos

Fonte: Nascimento (2005, p. 81)

28

FIGURA 7: Soluções possíveis para a atividade 2.1. Fonte: Nascimento (2005. p. 82)

Na segunda parte da atividade 2, os alunos teriam que construir triângulos

sobrepostos, indicados por uma situação prática supondo a travessia de um rio (Figuras 8 e 9).

Os alunos construiriam os triângulos usando os materiais de desenho geométrico como a

régua, o compasso, o transferidor e esquadro para construir os triângulos, em seguida,

realizariam medições dos seus lados e preencheriam uma tabela que solicitava essas medidas

e as razões entre elas. A manipulação e a observação não seriam suficientes para a resolução

dessa atividade. Os alunos precisariam desenvolver habilidades de desenho para representar

as figuras e enxergar as suas propriedades.

FIGURA 8: Esquema de um rio com um

ponto em cada lado. Fonte: Fonte: Nascimento (2005. p. 82)

A questão central desse momento era perceber a similaridade entre os resultados

obtidos através do cálculo das razões dos lados. Para construir os triângulos os alunos usaram

as mais diferentes estratégias, mas não usaram o esquadro e quase não o fizeram com o

FIGURA 9: Possível construção para a

dxx v cv cv csolução da questão

Fonte: Fonte: Nascimento (2005. p. 84)

29

compasso e assim houve uma diversidade de ângulos obtidos. Isso proporcionou uma

discussão sobre a coincidência nos resultados das razões e daí o surgimento dos

conhecimentos das propriedades dos triângulos e, intuitivamente, dos conceitos do seno, do

cosseno e da tangente. Durante as discussões, muitos alunos recorreram à atividade 1 para

justificar os resultados encontrados com os triângulos construídos por eles.

As dificuldades percebidas por Nascimento giram em torno da interpretação dos

textos e, consequentemente na construção dos triângulos. O uso apenas da régua e do

transferidor, identifica a falta de habilidade de manipulação do compasso e do esquadro o que

caracteriza mais uma dificuldade para construir a figura geométrica. A respeito dos textos,

consideramos que as dificuldades podem estar pautadas no excessivo uso de caracteres

(letras) na denominação das figuras e seus elementos, e da ausência orientação de como

iniciar a construção, ou analogia com outra figura semelhante/parecida.

As terceira e quarta partes dessa atividade têm como objetivo identificar, a partir das

relações métricas do triângulo, as definições dos conceitos de seno, cosseno e tangente e

aplicá-las a uma figura dada (FIG. 10). Esperava-se que os alunos percebessem, preenchendo

uma tabela semelhante à da parte dois e observando a figura dada (um triângulo semelhante

ao construído na segunda parte), que o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo são

razões constantes, isto é, o seno de 45°, por exemplo, tem o mesmo valor em qualquer

triângulo. No entanto, vários alunos não perceberam essa constância imediatamente, pois

apenas preocuparam-se em completar a tabela (FIG. 11).

FIGURA 10: Figura da atividade 2.4. Fonte: Nascimento (2005. p. 86).

30

FIGURA 11: Tabelas da atividade 2.4.

Fonte: Nascimento (2005. p. 86).

Nesta atividade havia a necessidade de uma reflexão acerca dos valores encontrados

nos cálculos das razões dos lados do triângulo. Para esses procedimentos os alunos também

demonstraram pouca experiência e maturidade para retirar do texto da questão as informações

para executá-la. Mais uma vez, consideramos que a linguagem do texto dificulta a sua

compreensão.

Na última parte da atividade, o conceito de homotetia buscou auxiliar na

compreensão do conceito de semelhança de triângulos. O enunciado da atividade mencionava

elementos como reta, semirreta e ponto que os alunos não conheciam e, portanto, o professor

precisou destinar um tempo para prepará-los para trabalhar com esses conceitos. Segundo a

autora, essa dificuldade advém do abandono da geometria, na sala de aula. A régua e o

compasso também foram utilizados para as construções das figuras geométricas. A elaboração

dos desenhos permite reflexões sobre a importância dos desenhos geométricos, tanto na

definição de um conceito, na interpretação e compreensão do problema e até na sua própria (e

singular) solução.

A atividade 3, Os instrumentos e a resolução de problemas, consiste na construção

de um teodolito5 e um astrolábio

6 utilizando materiais de sucata como copo de plástico,

papelão, arame, etc. A finalidade de construir esses instrumentos é usá-los na resolução de

5 É um instrumento destinado para realizar medidas tanto verticais quanto horizontais (perpendiculares ou

paralelos ao chão), muito utilizado na engenharia civil. Com ele é possível medir a altura de um poste, por exemplo. 6 É um instrumento antigo, usando na navegação, para medir a altura dos astros celestes.

31

problemas propostos na atividade, como a construção de triângulos semelhantes, comparar

medidas e medir alturas e, aliados à aplicação do conceito de tangente, resolver a atividade.

Propondo uma situação em que os alunos teriam que atravessar um rio de um

determinado ponto a outro ponto (como na atividade 2.2) a autora incentivou a escolha de um

dos instrumentos construídos para a solução da questão. Os alunos escolheram o teodolito por

este permitir calcular distâncias no sentido horizontal. Alguns dos conceitos que estão

relacionados são o de tangente e, consequentemente, a relação entre os catetos oposto e

adjacente ao ângulo agudo; triângulo retângulo; semelhança de triângulo.

Outra situação proposta para o uso do astrolábio e do teodolito foi calcular a medida

da altura do prédio da escola. Neste caso, os alunos perceberam que ambos os instrumentos

poderiam ser utilizados nessa atividade, pois admitem o cálculo de distâncias no sentido

vertical. Além da escolha do instrumento adequado e dos conceitos de seno, cosseno e

tangente, o aluno deveria conseguir a melhor localização para utilizar o instrumento e calcular

a altura do prédio.

A última etapa da atividade 3 marca a transição entre as atividades de preparação

para e a construção da tabela trigonométrica propriamente dita. Nesse momento Nascimento

solicitou que os alunos calculassem o raio da Terra usando a linha do horizonte. Espera-se que

os alunos empreguem o conceito de semelhança de triângulos e escolham o melhor

instrumento a ser utilizado nesse cálculo. As principais dificuldades estiveram relacionadas à

tentativa de representar esse modelo no papel, pela tridimensionalidade da figura.

Segundo Nascimento (p. 102, 2005), um dos motivos pelos quais escolheu propor

questões práticas na sua sequência de ensino é que, embora os livros didáticos de matemática

destinem muitas páginas ao ensino de trigonometria, as aplicações práticas não são incluídas

nas listas de exercícios.

Na atividade 4, A construção de uma tabela trigonométrica por Ptolomeu, a autora

substituiu o uso da medida das cordas, como feito por Ptolomeu, pelos valores de seno,

cosseno e tangente. Entretanto, refez os seus passos para deduzir o seno de 1°, assim como

para a construção da tabela trigonométrica de 0° a 90° de 1° em 1° (Figuras 12 e 13). Nesses

procedimentos as construções geométricas de polígonos inscritos em circunferências foram

usadas para obter os resultados da tabela. Os resultados que não puderam ser calculados por

meio das construções geométricas contaram com o auxílio das identidades trigonométricas

para terminar de preencher a tabela.

32

A tabela começou a ser preenchida pelo ângulo de 45°, por meio da construção do

quadrado inscrito na circunferência, passando pelos ângulos de 30° e 60°, pela construção do

hexágono regular inscrito na circunferência, até o ângulo de 18°, pelo decágono regular

inscrito na circunferência (seu lado é igual à corda do ângulo de 36°). Para calcular os valores

do seno, do cosseno e da tangente por meio dessas figuras, o aluno precisaria conseguir traçar

bissetrizes de ângulos. Os cálculos mais extensos ou que necessitariam de algum

procedimento mais complexo foram efetuados com a calculadora.

FIGURA 12: Representação da construção para o cálculo da

corda de 45° Fonte: Nascimento (2005. p. 108).

33

FIGURA 13: Representação da construção para o cálculo da corda de 60°

Fonte: Nascimento (2005. p. 109).

Uma das dificuldades percebidas nesse nível da atividade estava relacionada ao

manuseio dos instrumentos de desenho. Os alunos não entenderam que o compasso pode ser

usado para o transporte de ângulos, medindo assim todos os ângulos, repetidamente, com o

transferidor. Também foram notadas dificuldades ligadas às propriedades dos polígonos

inscritos na circunferência, principalmente a do hexágono regular que diz que a medida do

lado do polígono é igual à medida do raio da circunferência.

Na construção do decágono regular inscrito (FIG. 14), os alunos tiveram que traçar

bissetrizes, no entanto, as dificuldades estiveram no uso do compasso para realizar esse

exercício. A maioria dos alunos usou o transferidor embora traçar esse segmento com o

compasso seja um procedimento simples.

34

FIGURA 14: Representação da construção para o cálculo da corda de 36°.

Fonte: Nascimento (2005. p. 112).

A busca da construção da tabela trigonométrica continuou com o estudo do Teorema

de Ptolomeu, e a sua aplicação a polígonos inscritos para, assim, encontrar as fórmulas como

a do seno da diferença de arcos, do arco metade, etc. Fórmulas como essas permitirão calcular

outros valores para preencher totalmente a tabela (Figura 15). Nesse nível da atividade os

alunos já demonstravam maior familiaridade com as construções geométricas e seus

elementos e na interpretação dos textos das questões. Isso se deve ao exercício dessas

habilidades e ao estudo minucioso dos conceitos básicos de construções geométricas

exercitados desde o início do projeto.

35

FIGURA 15: Teorema de Ptolomeu para a questão de 4.4

Fonte: Nascimento (2005. p. 112).

Outras dificuldades de caráter algébrico e de generalização foram percebidas nessas

atividades. Resoluções pelo Teorema de Pitágoras, por diversas vezes, estiveram diretamente

ligadas a alguma dificuldade, por exigir que o aluno entenda um pouco de álgebra para

desenvolver a questão até o final. Segundo Nascimento os alunos não entendem bem os

processos algébricos dos cálculos.

A quinta atividade, Situação de reinvestimento, é uma atividade para avaliar se o

aluno realmente compreendeu os conhecimentos trabalhados na sequência de atividades

proposta. A abordagem histórica foi abandonada nesta atividade com o objetivo de verificar

se o aluno aplicaria os conceitos aprendidos com o auxílio da história da trigonometria em

uma situação diferente daquela tratada nas atividades da sequência.

Entre algumas atividades há sessões de leitura para a discussão da importância da

trigonometria e os motivos do seu desenvolvimento. Em outros casos, a leitura tinha como

objetivo motivar os alunos ao estudo da tabela trigonométrica e dos trabalhos de Ptolomeu.

Algumas informações históricas fazem parte dessas leituras.

Com o fim desta análise pudemos perceber dificuldades de diversas naturezas –

algébrica, geométrica, interpretativa, etc. – porém iremos separar, aqui, aquela de natureza

geométrica.

BC.AD + AB.CD = CE.BD + AE.BD

36

Manuseio dos instrumentos de desenho (compasso, esquadro, transferidor, régua);

Distinção dos polígonos e compreensão das suas propriedades entre si;

Identificação de elementos como reta, semi-reta, ponto;

Ao final, a autora sugere o desenvolvimento de atividades de álgebra e que explorem

mais a fundo a geometria básica. Outra recomendação importante é a adequação dessa mesma

sequência de atividades a um software de geometria dinâmica, o que proporcionaria uma nova

experiência a ser analisada e avaliada.

3.3 Dificuldades surgidas no ensino de trigonometria por meio da formação de professores.

Após curso de extensão para professores de escolas públicas do Rio Grande do

Norte, Brito e Morey (2004, p. 65-70) apresentam o artigo Geometria e Trigonometria:

dificuldades dos professores de matemática do ensino fundamental. O trabalho apresenta o

estudo realizado com professores do Ensino Fundamental acerca das dificuldades encontradas

no ensino dos conceitos básicos de geometria e de trigonometria, e de como o ensino desses

conceitos estava proposto nos livros didáticos nas últimas quatro décadas do século XX.

Nesta análise iremos nos deter apenas às questões do ensino de trigonometria e geometria.

Buscando uma relação entre a aparente resistência dos professores para ensinar

trigonometria e a sua formação inicial, as autoras elaboraram e ministraram um curso de

extensão cujo objetivo principal era investigar as dificuldades que os professores

apresentavam acerca dos conceitos geométricos e trigonométricos. Da análise dos resultados

desse curso, Brito e Morey chegaram à conclusão de que os professores desconheciam muitos

desses conceitos de trigonometria e geometria por não terem estudado na escola. Além disso,

as dificuldades não eram uma consequência apenas da falta desses conhecimentos, mas

também da sua apreensão errônea, ocorrida durante a formação desses professores.

Das dificuldades advindas da formação dos professores participantes, podemos dizer

que tiveram a sua formação em uma época em que o ensino de geometria e trigonometria foi

desprivilegiado nas escolas. Esses conceitos, quando não eram retirados do currículo, eram

deixados para o final do ano letivo, o que frequentemente implicava que não seriam ensinados

por falta de tempo. Outro fator que provocou o abandono do ensino de geometria e

37

trigonometria foram as políticas educacionais das décadas de 1960 e 1970 que, dentre outras

coisas, permitiam ao professor escolher que conteúdos iria ministrar em suas aulas7. Segundo

Martins

O Movimento da Matemática Moderna (início da década de 60) preocupava-

se com as Estruturas Algébricas e com a utilização da linguagem simbólica

da Teoria dos Conjuntos. O ensino de Geometria adota uma abordagem dedutiva com destaque nas Transformações.

Como muitos professores não dominavam o conteúdo sobre Transformações

e o enfoque nesse conteúdo não atingiu de modo significativo os livros didáticos da época no Brasil, muitos passaram a deixar de ensinar

Geometria. (MARTINS, 2005, p.9)

Não devemos atribuir esse desamparo à falta de contribuições da geometria e da

trigonometria para a ciência ou para a formação do aluno, ou ao desenvolvimento de outros

campos da matemática. Ao contrário disso: os conceitos geométricos, desde a antiguidade,

têm auxiliado no desenvolvimento de técnicas que melhoram a vida em sociedade, como é o

exemplo das tabelas de corda, que ajudavam na localização, na predição de eventos celestes,

etc. há mais de dois mil anos.

Atualmente muitos professores acabam não incluindo a geometria nos seus

planejamentos por falta de conhecimento dos conceitos geométricos. Em outros casos, quando

a geometria aparece no final do livro didático, os professores continuam alegando que o

seguem e os conteúdos que ficam no final do livro acabam sendo vítimas da fala de tempo.

No que diz respeito às dificuldades conceituais dos professores, podemos dividir a

nossa análise por conceitos, pois não tivemos acesso a todas as atividades desse curso. As

autoras propuseram atividades de geometria e, em seguida, atividades de trigonometria.

Nas atividades que tinham como objetivo construir o conceito de altura, outros

conceitos estiveram incluídos na sua resolução: distância de um ponto a outro ponto, distância

de um ponto a uma reta e distância entre retas paralelas. Na primeira questão, para traçar a

altura de uma árvore, as figuras estavam distribuídas em vários sentidos (Figura 16). As

dificuldades surgiram a partir da figura disposta um tanto inclinada.

7 Lei 5692/71 que concedia às escolas o direito e a autonomia de escolherem os conteúdos a serem ministrados

em cada disciplina.

38

Figura16: Ilustrações para medição da altura da árvore.

Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 18).

Para a figura da árvore inclinada alguns participantes não conseguiram compreender

que a altura poderia ser traçada a partir de uma base (segmento traçado na horizontal) e de

uma perpendicular até o topo da árvore.

Para a figura da árvore disposta na horizontal (deitada) a dificuldade esteve na

compreensão e aceitação de que a altura poderia ser um segmento paralelo à uma base traçada

horizontalmente.

Nessa atividade percebemos que o conceito de altura está ligado ao conceito de

comprimento e não de um segmento perpendicular a uma base escolhida. Para os alunos, a

altura só poderia ser comparada à mesma posição de quando eles estão de pé, em relação ao

solo.

Em outro caso de exploração do conceito de altura, as autoras pediram que se

calculasse distância de um ponto a uma reta sendo que, três segmentos diferentes ligavam esse

ponto à reta (FIG. 17). Alguns alunos responderam que os três segmentos poderiam

caracterizar a distância, sem se preocuparem com medida entre o ponto e a reta, ou se existia

perpendicularidade ou não na figura.

39

Figura 17: Distâncias do segmento do ponto A à reta r.

Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 20).

Continuando, uma atividade semelhante à anterior foi proposta, mas dessa vez pedia-

se para determinar a distância do ponto à reta sem segmentos para orientar (Figura 18). Para

um dos pontos a resposta foi dada sem dificuldades, pois podia se traçar uma reta

perpendicular dele até a reta dada. Para o outro ponto, não se podia traçar um segmento

perpendicular até a reta dada. Então, alguns alunos traçaram quaisquer segmentos de reta, sem

se preocupar com a perpendicularidade. Os que sabiam que era preciso traçar uma

perpendicular do ponto até a reta não o fizeram por não compreender que poderiam prolongar

a reta dada.

Figura 18: Distâncias dos ponto B à reta a e R à e s. Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 20).

40

Nessas atividades percebe-se que as dificuldades dos alunos estão no conceito de

distância de um ponto a uma reta e, também, da noção de infinitude de uma reta, nesta última

atividade.

Outra atividade que relacionava a altura dava vários triângulos (retângulos, obtusos e

agudos) e pedia que traçasse a sua altura, em relação a uma base p dada (Figura 19 e 20). Em

relação aos triângulos retângulos e agudos os professores não demonstraram dificuldades. No

entanto, em relação aos triângulos obtusos, os professores não conseguiram traçar a altura em

relação à base dada. Aqueles que realizaram a tarefa desconsideraram a base dada e traçaram

a altura interna dos triângulos. Em relação a essa resposta errada, uma resistência para

entender que a altura poderia ser um segmento externo aos triângulos.

Figura 19: Triângulos diversos para exercício da altura.

Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 21).

Figura 20: Triângulo obtuso para exercício da altura.

Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 21).

41

O conceito de semelhança também foi abordado por Brito e Morey. Em uma das

atividades, as autoras distribuíram entre os participantes um quebra-cabeça em forma de uma

casinha com telhado (FIG. 21). Os participantes teriam que montá-lo e, em seguida, ampliar a

figura e, com essas novas peças, montar uma nova casa.

Figura 21: Quebra-cabeça em forma de casinha com telhado. Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 23).

A primeira dificuldade percebida estava ligada ao senso comum, que denomina como

semelhantes figuras que são parecidas. A respeito da proporcionalidade entre os lados e a

congruência entre os ângulos, percebeu-se que, para ampliar a figura os participantes:

Usaram a proporcionalidade dos lados, sem se preocupar em manter a congruência

dos ângulos; ou

Usaram o processo aditivo, mas não tinham noção de como continuar a tarefa.

Os participantes notaram a necessidade de se preocupar tanto com a

proporcionalidade dos lados quanto com a estabilidade da medida dos ângulos apenas no

momento de montar o quebra-cabeça novamente.

Outra atividade sobre semelhança consistia na ampliação de um hexágono regular

sem o auxílio do círculo dividido em setores congruentes e tinha como objetivo destacar que a

proporção dos lados e os ângulos congruentes, nas figuras semelhantes, são independentes. Na

resolução da tarefa, novamente os professores deram atenção à proporcionalidade dos lados e

esqueceram a congruência dos ângulos. Isso resultou em hexágonos não regulares.

A dificuldade dos professores persiste por eles não conseguirem perceber que a

congruência dos ângulos e a proporcionalidade dos lados ocorrem independentemente uma da

42

outra. Ou que, para que uma figura seja semelhante os lados têm que ser proporcionais e os

ângulos mantidos. A origem dessa dificuldade pode estar atrelada à prática dos professores

em sala de aula, pois muitos utilizam apenas do triângulo para ensinar semelhança, pois nessa

figura a proporcionalidade dos lados pode ser configurada pela congruência dos ângulos.

Percebidas tais dificuldades, Brito e Morey propuseram outra atividade que não

demonstrou dificuldades em sua execução e, facilitou a compreensão das dúvidas sobre a

ligação entre ângulos congruentes e lados proporcionais expressas nas atividades anteriores.

Para essa atividade, os professores receberam um quadrilátero formado por varetas unidas por

tachinhas, formando os vértices e, mais algumas tachinhas e varetas separadamente. As

tachinhas e varetas sobressalentes serviriam para formar um quadrilátero semelhante ao

recebido. Essa atividade demonstra claramente que aumentar (ou diminuir) os lados de um

quadrilátero proporcionalmente pode, em alguns casos, modificar os ângulos.

Outra atividade de simetria consistia em reconhecer figuras semelhantes. As figuras

distribuídas estavam desenhadas sobre malhas quadriculadas (Figura 22) sendo,

A malha nº 1era quadriculada, as malhas nº2, nº3 e nº4 eram compostas por

retângulos, sendo que somente em duas delas os retângulos eram semelhantes. A quinta malha era formada por paralelogramos (não

retângulos) cujas medidas dos lados eram as mesmas da malha nº2. (BRITO

E MOREY, 2004, p.25).

Figura 22: Figura desenhada na malha n° 2. Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 25).

43

A atividade foi resolvida quando, após discussões, os professores perceberam que

comparando apenas uma parte de cada figura, a semelhança poderia ser definida. Dessa

forma, consideraram a bandeira do barco para tal procedimento. Para alguns dos professores,

só o fato de a bandeira ter a forma de um triângulo retângulo já decidiria a sua semelhança

com as demais. Para outros, as figuras eram semelhantes nas malhas retangulares. Essas

colocações estavam baseadas em hipóteses como: figuras parecidas são semelhantes e; a

congruência de dois ângulos correspondentes em dois triângulos garante a proporcionalidade

dos lados.

Apesar de as autoras terem levantado uma discussão para debater essas hipóteses,

não tiveram sucesso.

Outras atividades sobre conceitos trigonométricos foram trabalhadas no curso. Para

elaborar tais atividades Brito e Morey consideraram algumas hipóteses:

a. relacionar semelhança e trigonometria;

b. entender espressões como “cateto oposto” e “cateto adjacente” como

uma relação entre lados e os ângulos do triângulo retângulo; c. compreender por que no círculo trigonométrico a medida do raio é a

unidade;

transferir os conceitos sobre semelhança e simetria ao círculo

trigonométrico. (BRITO E MOREY, 2004, p.26).

Com o objetivo de retomar o conceito de semelhança de triângulos, as autoras

pediram que os professores construíssem dois triângulos retângulos semelhantes e que

justificassem porque eram semelhantes. Indo de encontro com os resultados não satisfatórios

obtidos nas atividades anteriores, os professores justificaram que os triângulos construídos

eram semelhantes por terem, ambos, um ângulo reto.

Para estudar as relações entre os catetos e os ângulos do triângulo foram dados vários

triângulos (com tamanhos, medidas e posições variadas) com ângulos α e β demarcados. Os

participantes deveriam identificar qual lado era cateto oposto e qual era cateto adjacente a

cada um dos ângulos destacados. Os professores demonstraram grande surpresa ao entender

que as denominações “cateto oposto” e “cateto adjacente” estão relacionadas a um

determinado ângulo e não à posição do triângulo. Isto é, que “cateto oposto ao ângulo α” quer

dizer que este lado do triângulo está em lugar contrário (de frente) ao ângulo α; ou que “cateto

adjacente ao ângulo β” implica que este cateto está “próximo” ao ângulo β. Segundo Brito e

Morey o que atrapalha o entendimento dessas relações é a posição que os livros didáticos

44

apresentam os catetos, em que, na grande maioria das vezes o um dos catetos situa-se na

posição vertical e o outro na posição horizontal.

As atividades que buscavam construir o conceito de círculo trigonométrico incluíam,

em seus procedimentos, a construção de triângulos retângulos no círculo trigonométrico, cujo

vértice seria a origem e seu ângulo variaria de 10° em 10°, um dos catetos estaria sempre

sobre o eixo Ox e o cateto adjacente seria sempre perpendicular a esse eixo. Após a

construção desse triângulo, os professores teriam que preencher uma tabela como a da figura a

seguir (FIG. 23):

Figura 23: Tabela de relações trigonométricas.

Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 29).

Os professores perceberam que a última coluna da tabela estava ligada ao Teorema

de Pitágoras e, a partir dessa atividade foi construído o círculo trigonométrico. Surgiram

discussões a respeito da conveniência de se adotar o raio unitário e da orientação no círculo

trigonométrico.

Dos obstáculos situados nesta atividade, podemos ressaltar o manuseio dos

instrumentos de desenho – compasso e transferidor. Segundo Brito e Morey, isso decorre do

fato de os livros didáticos não proporem atividades com o uso desses instrumentos e de a

disciplina de desenho geométrico ter sido confundida, e por isso ministrada, como educação

artística, durante muito tempo, na época da formação inicial dos professores estudados. Ainda

no que diz respeito ao uso do compasso e do transferidor, as autoras perceberam que os

professores não conseguiram compreender o grau de precisão da medida em função desses

instrumentos.

α sen α cos α (sen α)2 + (cos α)2

0°

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

80°

90°

45

A última atividade buscava lembrar os conceitos de simetria, semelhança e estudar os

valores do seno e do cosseno no círculo trigonométrico. Além disso, tinha como objetivo

ressaltar as relações entre esses conceitos. Para isso, as autoras pediram que os professores

construíssem um ângulo agudo n círculo trigonométrico e destacassem o triângulo retângulo

correspondente. Em seguida, fizessem a reflexão desse triângulo em relação ao eixo vertical,

utilizando os conceitos de simetria estudados anteriormente. Pra finalizar, sugeria que

analisassem os sinais do seno e do cosseno do ângulo.

A maior dificuldade em realizar essa atividade foi a utilização do conceito de

simetria. Em relação ao círculo trigonométrico as dificuldades percebidas estiveram em torno

da noção de orientação do círculo trigonométrico e da razão de o raio ser unitário. Conceitos

como os de simetria, semelhança, ângulo orientado, eixos orientados, seno e cosseno de um

ângulo atuaram como dificuldades freqüentes na experiência de Brito e Morey; o fato de os

professores estarem estudando pela primeira vez esses conteúdos e, consequentemente, nunca

o terem lecionado.

Assim, sintetizando as dificuldades evidenciadas no trabalho de Brito e Morey,

podemos elencar:

Conceituar razões trigonométricas fundamentais, polígonos regulares inscritos (ou

não) em uma circunferência, altura de um polígono, movimento de rotação e simetria,

circuncentro e centro de triângulos, mediatriz e bissetriz;

Na formação do conceito de semelhança notou-se que os professores consideram

semelhantes aquelas figuras que são parecidas, deixando de lado a independência entre a

proporcionalidade dos lados e a congruência dos ângulos.

Segundo a análise das autoras, essas dificuldades são provenientes de fatores como a

formação dos professores, ocorrida nas décadas de 70 e 80, quando os conceitos de

trigonometria não eram incluídos junto àqueles ensinados nas escolas; a formalização precoce

de conceitos de geometria e de trigonometria dos livros didáticos e; pela memorização

desvinculada da compreensão desses procedimentos de uso desses conceitos e suas

propriedades. Da mesma forma, na aplicação desse curso, muitos professores estavam

estudando conceitos como os de trigonometria pela primeira vez e, portanto nunca o tinham

lecionado. Algumas atividades do próprio curso, pela sua natureza investigativa em relação às

dificuldades e formativa em relação à formação do professor, facilitaram o aprendizado dos

conceitos explorados em outras.

46

Com esta análise, Brito e Morey concluem que as dificuldades dos professores estão

intimamente relacionadas a uma negligência com o ensino de trigonometria e geometria na

sua formação escolar. Dessa forma, este estudo aponta que os professores poderão superar

essas dificuldades através de ações que proporcionem a formação continuada destes

professores visando a reflexão destes conceitos e da prática docente.

3.4 Síntese da análise dos trabalhos lidos: conteúdos geométricos e procedimentos

manipulativos

Muitas foram as dificuldades encontradas na resolução das atividades, nos trabalhos

lidos. Elas tinham caráter variado: algébrico, geométrico, aritmético, afetivos, etc. Essas

dificuldades emergiam, algumas vezes de forma independente, porém, em outros casos, as

dificuldades surgiam sob um efeito dominó. Ou seja, a falta de compreensão de um

determinado conceito impedia a boa resolução de algum exercício que exigisse o seu domínio.

Consequentemente, outras atividades posteriores, se abordassem esse conteúdo, teriam a

solução comprometida.

Cada trabalho teve sua particularidade em relação ao método de aplicação das

atividades. O público alvo foi desde alunos do ensino básico a professores de matemática e

alunos de licenciatura em matemática, mas todos convergiram seu foco para o ensino e a

aprendizagem de trigonometria. Assim, muitas vezes, as dificuldades que surgiam em um dos

trabalhos se repetiam nos demais. Algumas com maior intensidade em uns, e outras, com

menor ênfase em outro, dependendo da importância que a atividade tinha para o trabalho em

si.

É válido ressaltar que a heterogeneidade do público escolhido para a aplicação de

cada um dos trabalhos analisados nos proporcionou uma diversidade de abordagens para cada

atividade e, consequentemente uma gama maior de respostas a essas formas de agir. Além

disso, esse fator nos motivou a escolher o público alvo para o qual direcionamos o nosso

caderno de atividades: professores de matemática, professores de matemática em formação,

alunos do ensino médio que necessitam de reforço para as aulas de trigonometria, e alunos do

ensino fundamental, que estão iniciando seus estudos em geometria; assim como em situações

em que se observe dificuldades semelhantes àquelas indicadas nos trabalhos analisados.

47

Em relação à natureza desses obstáculos analisados, o nosso direcionamento

principal se voltará às dificuldades de caráter geométrico, as quais iremos comentar mais

detalhadamente.

A análise das dificuldades observadas nos trabalhos lidos resultou em uma lista de

conteúdos matemáticos e procedimentos manipulativos que estão associados à boa resolução

das suas atividades de trigonometria. A lista poderá servir de apoio para a elaboração de

outras atividades que tenham a finalidade de superar essas dificuldades e proporcionar um

bom aprendizado de trigonometria. Assim, para a resolução dos cadernos de atividades

analisados nas sessões anteriores é fundamental o conhecimento de alguns conceitos

geométricos básicos.

Durante a aplicação das atividades foram percebidos diversos entraves no seu

desenvolvimento. A natureza dessas dificuldades percorria desde a interpretação dos

enunciados, passando pelo manuseio dos instrumentos de desenho até a associação de

conceitos e propriedades básicas de geometria com as soluções das atividades.

Cada uma das atividades, de forma implícita, carrega um grupo de conceitos,

definições ou procedimentos geométricos indispensáveis ao seu estudo e que denominaremos

de preliminares ao estudo da trigonometria. Dessa forma, acreditamos que aprender esses

grupo de conceitos, definições, procedimentos preliminares poderá promover o êxito da

resolução das atividades de trigonometria.

Buscamos uma intersecção entre as dificuldades encontradas e procuramos associá-

las às atividades do nosso caderno que, se estudadas previamente, podem ajudar a superá-las.

Chamamos os conteúdos abordados de conteúdos preliminares ou conteúdos pré-requisitos ao

estudo da trigonometria:

conceito de corda,

cálculo da medida da corda de uma circunferência,

relação entre o comprimento da corda e o seu respectivo arco,

divisão da circunferência em partes iguais,

relação entre corda de uma circunferência, lado do polígono inscrito e medida do

ângulo central desse polígono,

procedimentos de construção de figuras geométricas com régua e compasso,

o manuseio dos instrumentos de desenho,

os polígonos regulares e a sua construção com régua e compasso,

48

o dentre esses polígonos, os triângulos e sua classificação quanto aos seus lados

e quanto aos seus ângulos,

o traçar bissetrizes e mediatrizes,

unidades de medidas de arcos: conceitos de grau e de radiano.

Foi a partir desta lista que elaboramos o nosso caderno de atividades. Reunimos os

conceitos mais próximos e, de acordo com a sua natureza, procuramos atividades que

pudessem exercitar esses conceitos e assim promover uma aprendizagem significativa.

49

4. ELABORAÇÃO DO CADERNO DE ATIVIDADES

Ao analisarmos os trabalhos de Gomes (2011), Nascimento (2005) e Brito e Morey,

(2004), que propõem atividades para o ensino de trigonometria, percebemos que muitas

dificuldades de aprendizagem permearam o seu percurso. Preocupados com o ensino e a

aprendizagem de trigonometria, e com a forma como esse conteúdo é trabalhado em sala de

aula, resolvemos elaborar uma sequência de atividades que contemplasse especialmente

aqueles conceitos que, diante da sua deficiência ou falta, resultaram nas dificuldades

encontradas. Segundo Zabala (1998, p. 18), sequência de atividades “são um conjunto de

atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos

educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos, tanto pelos professores, como pelos

alunos”

Essa sequência de atividades (ver apêndice) tem o objetivo de auxiliar o professor

(e/ou o aluno) na construção dos conceitos preliminares ao ensino e à aprendizagem de

trigonometria. Tem como público alvo professores de matemática, principalmente aqueles que

não estudaram geometria e trigonometria na sua formação, e alunos das últimas séries do

Ensino Fundamental.

Entendemos que, para um ensino e aprendizagem efetivo de trigonometria é

necessário a compreensão e domínio dos conceitos de geometria abordados na sequência de

ensino.

4.1 Processo de construção do caderno de atividades

No processo de organização do caderno de atividades nos orientamos pela lista de

conteúdos matemáticos e procedimentos manipulativos preliminares ao estudo e

aprendizagem da trigonometria, resultado da análise das dificuldades apresentadas nos

trabalhos de Gomes (2011), Nascimento (2005) e Brito e Morey, (2004).

A atividade 1, Compassos, construções geométricas e polígonos tem como objetivos

exercitar o manuseio dos instrumentos de desenho como a régua, o compasso e o transferidor

e a construção figuras geométricas; investigar os conceitos de arco, ângulo e corda;

reconhecer os polígonos regulares.

50

Partindo desses objetivos elaboramos um texto sobre o uso do compasso, mostrando

sua estrutura e as algumas possibilidades para o seu uso (Figura 24). Propomos a construção

de um compasso rudimentar em sala para discutir uma das finalidades do compasso: traçar

círculos.

Figura 24: Fragmento do texto O compasso e seu uso.

Fonte: Produção própria.

Para a resolução desta atividade, o professor poderá pedir aos alunos que peguem

compassos antes da leitura do texto. Realizar a leitura de posse do compasso permitirá que o

aluno compare o seu instrumento com o texto, reconheça a sua estrutura e manuseie

livremente antes da atividade proposta.

Aliando ao uso dos instrumentos de desenho a conceitos de geometria, propomos

ainda na atividade 1 que o aluno observe um ângulo dado dividido por uma bissetriz e

refletisse como ele poderia construir aquele segmento. Ou seja, construísse uma bissetriz a um

determinado ângulo (Figura 25). Uma vez que os alunos têm pouca (ou nenhuma)

familiaridade com o uso dos instrumentos de desenho incluímos algumas orientações para a

construção da bissetriz.

51

Figura 25: Construção da bissetriz

Fonte: Produção própria

Para o exercício das construções, e aprofundamento do conceito de bissetriz,

acrescentamos a essa atividade a tarefa de dividir a circunferência em 2, 4 e 8 partes iguais. O

aluno terá que perceber que, uma vez realizada uma dessas construções, as outras emergiriam

a partir da bissetriz. Para a divisão da circunferência em 8 lados iguais, propomos o exercício

como um desafio.

Ao final dessa parte da atividade, levantamos a discussão sobre a relação entre essas

construções. Esperamos que, terminada essa parte, os alunos não apresentem mais

dificuldades para manusear o compasso e a régua.

A segunda parte da atividade tem a finalidade exercitar as construções geométricas e

preparar os alunos para o estudo dos polígonos regulares inscritos, dos conceitos de ângulo

central e corda e suas relações. A sua proposta é continuar dividindo a circunferência em

partes iguais, mas sem a relação apenas da bissetriz.

Pedimos para que dividissem a circunferência em 6 partes iguais, e posteriormente

em 3 e em 5. O motivo de termos iniciado com a divisão em 6 partes iguais é relembrar a

propriedade do hexágono regular inscrito que diz que a medida do seu lado é igual à medida

do seu raio.

A divisão em 5 partes se constitui na parte mais complexa de toda essa atividade. Ela

demanda uma maturidade para ser construída e requer que o aluno tenha conhecimentos de

ponto médio e, principalmente, entenda que o compasso pode ser usado para o transporte de

medidas. Dessa forma, achamos conveniente elaborar algumas orientações para que o aluno

pudesse se orientar (FIG. 26).

52

Figura 26: Orientações para a construção do pentágono regular inscrito na circunferência.

Fonte: Produção própria.

Como finalização dessa parte da atividade, apresentamos alguns polígonos regulares

(triângulo eqüilátero, quadrado, pentágono regular, hexágono regular, heptágono regular e

octógono regular), e pedimos para que os alunos comparassem aquelas figuras às construções

que tinham acabado de fazer. Como resultado dessa comparação, espera-se que os alunos

conseguissem entender que, ligando os pontos das circunferências divididas, conseguirão

obter os polígonos e, dessa forma, reconstruí-los em local adequado.

A última parte dessa atividade consiste em revisar os elementos da circunferência,

assim como exercitar o trabalho com a régua, com exercícios de visualização e medição. São

discutidos os conceitos de corda, raio, diâmetro, como medi-los e as relações entre corda e

lado do polígono, lado e ângulo central. Ao final permite-se o uso do compasso para comparar

esses segmentos (FIG. 27).

53

Figura 27: Questionamentos para a revisão dos elementos da circunferência.

Fonte: Produção própria.

A atividade 2, Medindo ângulos, tem como o objetivo estudar o conceito de ângulos,

a disposição das suas medidas na circunferência e exercitar o uso do transferidor para medi-

los. Iniciamos com uma atividade de comparação entre ângulos, com o intuito de estimular a

observação e desenvolver a percepção de uma abertura em relação a outras. Detivemo-nos a

ângulos de 0° a 90°. Para esse exercício, incluímos uma sugestão de como o aluno pode

responder à questão, sem a ajuda do transferidor ou do compasso para medir esses ângulos

(FIG. 28).

Figura 28: Dica para a resolução da atividade 2.

Fonte: Produção própria.

Sabendo da falta de prática para o uso do transferidor, indicamos algumas dicas úteis

para o seu uso (Figura 29).

54

Figura 29: Dicas úteis para usar o transferidor. Fonte: Produção própria.

Essa atividade é terminada com um exercício de medição de ângulos com o

compasso. Dada uma figura, os alunos irão reconhecer o ângulo segundo suas partes (lados e

origem/vértice) (Figura 30).

Figura 30: Figura para a medição dos ângulos.

Fonte: Produção própria.

55

A atividade 3, Triângulos: seus lados e seus ângulos, refere-se ao estudo dos

triângulos. Sua finalidade é classificar os triângulos em relação aos seus lados (eqüilátero,

isósceles, escaleno) e aos seus ângulos (agudo, reto, obtuso). A princípio pedimos que os

alunos meçam os lados de vários triângulos e registrem essas medidas. De acordo com um

quadro proposto, os alunos iriam conhecer a classificação dos triângulos em equilátero,

escaleno e isósceles.

Em relação à classificação pelos ângulos, fizemos uma atividade semelhante. Mas,

nesse caso, o aluno iria medir os ângulos, usando o transferidor. A partir de outro quadro,

como na atividade anterior, os alunos iriam conhecer a classificação dos triângulos quanto à

medida dos seus ângulos em agudo, obtuso e reto. Em seguida, para finalizar, os alunos

usariam a habilidade da percepção para classificar outros triângulos dados, quanto aos

ângulos.

Retomando conceitos estudados anteriormente, a atividade 4 conta com um exercício

de medição de ângulos com o transferidor, seguida do registro da medida e da classificação

desse ângulo em reto, agudo ou obtuso.

Ao final da atividade, propomos um desafio com o objetivo testar os conhecimentos

de triângulos estudados até esse nível e preparar o aluno para o estudo de semelhança de

triângulos (FIG. 31).

56

Figura 31: Triângulo a ser reproduzido com papel de seda

Fonte: Produção própria.

Na atividade 4, Semelhança nos triângulos retângulos, o objetivo é estudar o

conceito de semelhança de triângulos retângulos e estabelecer relações entre os lados e os

ângulos de dois ou mais triângulos.

Para realizar essa tarefa desenhamos alguns triângulos em papel quadriculado e

pedimos para os alunos que medissem os seus lados e verificassem os seus ângulos (Figura

32). Os registros dessas medidas foram feitos em tabelas, onde o aluno poderia perceber,

posteriormente, se havia alguma característica comum aos triângulos.

57

Figura 32: Triângulos na malha quadriculada. Fonte: Produção própria.

Na atividade 5, Onde está a altura?, o nosso objetivo é identificar o conceito de

altura de um triângulo através do reconhecimento de uma base dada. Para tanto, pedimos que

os alunos observassem os triângulos variados e, assim, reconhecessem o lado marcado como a

base a ser considerada. Dessa forma, esperamos que os alunos que tracem a altura de cada

triângulo independente da sua posição, mas de acordo com a base dada.

4.2 Considerações Finais

Existem vários tipos de publicações visando a melhoria e do ensino e da

aprendizagem de conceitos matemáticos. Essas estratégias são dispostas em livros, artigos,

cadernos de atividades, apostilas, vídeo-aulas, sites, etc. e são desenvolvidas através da

História da Matemática, da modelagem matemática, do uso de softwares e outros recursos

tecnológicos, da resolução de problemas, da Etnomatematica, etc. Geralmente são voltadas

tanto para os alunos quanto para os professores, sejam do Ensino Médio ou do Ensino

Fundamental.

No entanto, para que essas propostas sejam viabilizadas para o uso em sala de aula e

assim os alunos apreendam os conceitos abordados, é necessário que o professor esteja

preparado para utilizá-las em sala de aula e orientar com segurança as atividades durante o seu

percurso de aplicação.

58

Nesse sentido, os Mestrados Profissionalizantes, que têm como um dos seus

objetivos priorizar as iniciativas que visem a prática em sala de aula, surgem como uma

alternativa para a produção de meios para a melhoria do trabalho do professor em sala de aula

associado à um nível elevado de formação do docente. Dessa forma, o Mestrado Profissional

é a designação do Mestrado que enfatiza estudos e técnicas diretamente

voltadas ao desempenho de um alto nível de qualificação profissional. Esta

ênfase é a única diferença em relação ao acadêmico. Confere, pois, idênticos grau e prerrogativas, inclusive para o exercício da docência, e, como todo

programa de pós-graduação stricto sensu, tem a validade nacional do

diploma condicionada ao reconhecimento prévio do curso (Parecer CNE/CES 0079/2002).

Diferente do Mestrado Acadêmico, que visa as pesquisas teóricas, resultando em

trabalhos predominantemente teóricos, a dissertação do Mestrado Profissionalizante tem

caráter prático e propõe, de forma explícita, a produção de um produto educacional. Este

produto educacional deve estar voltado para o trabalho do professor, ou do professor com os

alunos, na sala de aula. Ele pode estar na forma de caderno de atividades, sites, programas

computacionais, livros, experimentos, etc. de forma que o professor possa usá-lo

separadamente do corpo da dissertação, cotidianamente, nas suas aulas.

Segundo Ficher (apud. Gomes, 2011, p. 55) “o trabalho de conclusão do mestrado

profissional configura-se como dissertação que demonstre domínio do objeto de estudo, além

da investigação aplicada à solução de problemas que possa tem impacto no sistema a que se

dirige”.

Nessa perspectiva, organizamos um caderno de atividades, abordando os conceitos

de geometria que são necessários para o ensino e a aprendizagem de trigonometria, visando

contribuir para a diminuição das dificuldades no estudo da trigonometria.

Gomes (2011), a respeito do seu produto educacional8 diz que

Para que a utilização desse produto (ou parte dele) seja viável em sala de

aula, os professores interessados devem se deter a alguns requisitos básicos:

ter conhecimentos em geometria, domínio de cálculos algébricos e com números irracionais, familiaridade com construções geométricas e com o

estudo das funções. Sem uma preparação prévia dos participantes com

relação a esses conceitos matemáticos mencionados, nossa proposta ficará bastante limitada. (GOMES, 2011, p. 56)

8 Sequência de ensino e trigonometria através da abordagem histórica.

59

O nosso trabalho, então, após o processo de revisão bibliográfica e organização e

elaboração de um grupo de atividades sobre os conceitos introdutórios ao estudo da

trigonometria, culminou em um produto educacional que poderá ser utilizado tanto

separadamente, sozinho de forma independente de outro material, quanto como um momento

de preparação das atividades de trigonometria. Além disso, ganha status de complementar ao

trabalho de Gomes (2011), dentre outros de mesma natureza.

Entendemos também que é possível aprofundar a sequência de ensino apresentada,

dando continuidade aos estudos sobre triângulos e a inserção de textos reflexivos sobre alguns

conceitos como o de radiano. Outra alternativa seria aprofundar os exercícios de construção

geométrica com o uso de um software de geometria dinâmica.

60

REFERÊNCIAS

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aprendizagem de conceitos trigonométricos. – Bauru, SP: EDUSC, 2003.

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MENDES, Maria José de Freitas. ROCHA, Maria Lúcia Pessoa Chaves. Problematizando os

caminhos que levam à tabela trigonométrica; Belém: SBHMat, 2009.

MOREY, Bernadete B. Tópicos de história da trigonometria. Natal: SBHMat, 2001.

__________. Geometria e Trigonometria na Índia e nos Países Árabes. Rio Claro:

SBHMat, 2003.

__________. FARIA, Paulo Cézar de. Abordagens no cálculo do seno de 1º: as

contribuições de Ptolomeu, Al-Kashi e Copérnico. Belém: SBHMt, 2009

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presentes no ensino de trigonometria no Brasil: uma abordagem histórica. In: MENDES,

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conhecimento. São Paulo: Musa Editora, 2007.

NASCIMENTO, Alessandra Z. do. Uma sequência de ensino para a construção de uma

tabela trigonométrica. 228 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática)

– Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005.

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trigonometria por meio de atividades. 74 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências

Naturais e Matemática) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2006.

SAMPAIO, Helenara R. Uma abordagem histórico-filosófica na educação matemática:

contribuições ao processo de aprendizagem em trigonometria no ensino médio. 190 f.

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aprendizagem significativa. 198 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) –

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005.

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de problemas trigonométricos. 2006. 226 f. Dissertação (Pós-Graduação em Educação Para

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TROTTA, Fernando. JAKUBOVIC, José. IMENES, Luiz M. P. Matemática aplicada. Vol.

1. São Paulo: Moderna, 1979.

__________. Matemática aplicada. Vol. 2. São Paulo: Moderna, 1979.

63

APÊNDICE – Produto educacional (Caderno de atividades com os conceitos introdutórios ao

estudo da trigonometria).

1

Caderno de atividades Atividades sobre os conceitos

introdutórios ao estudo da

trigonometria

Suzany Cecília da Silva Medeiros

UFRN – PPGECNM 2011

2

MEDEIROS, Suzany Cecília da Silva Medeiros. Caderno de

atividades: Atividades sobre os conceitos introdutórios ao

estudo de trigonometria. UFRN (PPGECNM): Natal, 2011.

(Orientadora - Profª Bernadete Barbosa Morey)

3

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO 4

Atividade 1 Compassos, construções geométricas e polígonos 5

Atividade 2 Medindo os ângulos 17

Atividade 3 O triângulo: seus lados e seus ângulos 20

Atividade 4 Semelhança nos triângulos retângulos 24

Atividade 5 Onde está a altura? 25

4

APRESENTAÇÃO

Com o objetivo de auxiliar professores e futuros professores de Matemática no seu

trabalho em sala de aula, apresentamos esse caderno de atividades que intitulamos de

Atividades sobre os conceitos introdutórios ao estudo de trigonometria.

Procuramos desenvolver os conceitos geométricos ligados ao ensino e a

aprendizagem da trigonometria através de atividades que buscam tocar no ponto principal de

cada conceito para ligá-lo ao posterior estudo da trigonometria. São cinco atividades que

abordam os conceitos de círculo e seus elementos, construções geométricas, triângulos e suas

classificações e o conceito de altura.

Cada uma das atividades, de forma implícita, carrega um grupo de conceitos ou

procedimentos geométricos indispensável ao seu estudo e que denominamos de preliminares

ao estudo da trigonometria. Dessa forma, acreditamos que aprender esses conceitos

preliminares poderá promover o êxito da resolução das atividades de trigonometria.

Esperamos que esse caderno contribua para o formação continuada do professor, do

seu trabalho em sala de aula, e consequentemente, para um aprendizado significativo dos

conceitos básicos de geometria e de trigonometria.

5

Atividade 1: Compassos, construções geométricas e polígonos

1.1 Texto para leitura: O compasso e seu uso

Você já experimentou desenhar um círculo apenas com lápis e papel?

O compasso é um instrumento de desenho que serve

para desenhar segmentos circulares como arcos,

circunferências, entre outras figuras circulares.

Também é utilizado para encontrar o centro de uma

circunferência e auxiliar na construção de polígonos

como hexágonos e pentágonos. Além das figuras

circulares, podemos usar o compasso para resolver

alguns problemas geométricos como marcar

segmentos de retas iguais a outros.

Ele possui em uma de suas pontas, que

chamamos de ponta seca, uma agulha, que é

usada para firmar o compasso no papel. Na

outra ponta há um lápis, ou uma ponta de

grafite, para traçar as curvas no papel. No caso

do desenho da circunferência, a ponta seca

marca o centro da circunferência, enquanto a

outra ponta, sob uma abertura determinada por

quem segura o topo do compasso, faz uma

volta suave em torno deste centro, delineando

a figura.

6

Figura: Construindo uma circunferência com o compasso.

A distância entre o centro da circunferência e um ponto no seu comprimento é

chamada de raio. Dessa forma, concluímos que a distância entre a ponta seca e a fixa é o raio

da circunferência.

Dicas úteis para usar um compasso

Veja como o carpinteiro faz.

Fixe bem a ponta seca, para evitar que

ela escorregue durante o seu trabalho.

Atenção! Deixe a ponta de grafite leve

para deslizar suavemente.

Se você não conseguiu dar a

volta toda de uma só vez, não se

preocupe! Se os braços do compasso

permanecerem à mesma distância,

você poderá recomeçar de onde parou.

7

Desafio 1: Agora imagine se você tivesse que improvisar um compasso aqui na sala de aula

usando tachinhas, barbante e grafite. Como você faria?

1.2 Usando os instrumentos de desenho

Desafio 2: Veja a figura abaixo. É um ângulo dividido ao meio por uma linha reta. Esta

linha é chamada de bissetriz de um ângulo. Observe atentamente o desenho e descubra como

se faz para traçar a bissetriz de um ângulo.

:

Caso você não tenha conseguido resolver o desafio anterior não desanime. Veja uma solução:

Coloque a ponta seca do compasso em A e com uma abertura conveniente, trace um

arco CB.

Com a ponta seca do compasso em C, trace um arco.

Faça o mesmo com o compasso em B.

Marque o ponto D interseção dos arcos.

Trace a semireta AD. Ela é a bissetriz desejada.

Agora, trace você mesmo a bissetriz do ângulo dado abaixo.

8

Observe agora a circunferência de centro O, na qual se destaca o arco AB. Você poderia,

usando régua e compasso, dividir o arco AB em duas partes iguais?

Conseguiu realizar o desafio? Houve algo em comum nos desenhos? Que tal explicar os

seus procedimentos para realizar cada etapa do desafio?

9

A partir de agora podemos tentar dividir a circunferência em partes iguais? Iniciemos

dividindo em 2 partes iguais.

Em seguida, divida a circunferência em 4 partes iguais

10

Desafio 3: A partir do exercício anterior, construa uma circunferência e divida-a em 8

partes iguais.

Conseguiu? Que tal usar os conhecimentos sobre bissetriz que você aprendeu

anteriormente para dividir cada uma das quatro partes ao meio?

E agora? Consegue perceber algo que relacione a construção dessas três figuras? Vamos

continuar fazendo divisão de circunferência? Mas agora não é simplesmente dividir os arcos

ao meio.

Divida a circunferência em 6 partes iguais.

11

Divida a circunferência em 3 partes iguais.

Divida a circunferência em 5 partes iguais.

Se você não conseguiu resolver essa questão proposta, não desanime. Essa é uma tarefa

bem difícil que exige maturidade. É necessário que você conheça procedimentos relativos às

construções geométricas: a construção do pentágono regular inscrito numa circunferência.

12

Você já viu um pentágono inscrito em uma circunferência? Então observe a figura abaixo

atentamente.

Figura - Pentágono regular inscrito na circunferência

Nela, F é o ponto médio do segmento OH, os segmentos AF e FG são congruentes e os

segmentos AG e AB também são congruentes. Esses dados fazem parte dos procedimentos

geométricos para construção do pentágono regular inscrito numa circunferência. O que você

acha de reproduzí-los para realizar a tarefa?

13

1.3 Polígonos regulares

Observe as figuras abaixo. São polígonos regulares. Isto quer dizer que são figuras que

têm os lados de mesmo comprimento e os ângulos de mesma medida. Alguns polígonos

regulares têm nomes especiais.

Usando o que você aprendeu sobre divisão da circunferência, como você poderia

desenhar estas figuras?

Polígono regular de 3 lados

Triângulo equilátero

Polígono regular de 4 lados

Quadrado

Polígono regular de 5 lados

Pentágono regular

Polígono regular de 6 lados

Hexágono regular

Polígono regular de 7 lados

Heptágono regular

Polígono regular de 8 lados

Octógono regular

14

Triângulo equilátero

Quadrado

Pentágono regular

15

Hexágono regular

Heptágono regular

Octógono regular

16

Desafio 4 – Como você chegou a esses desenhos? As construções foram simples? Você

atingiu o resultado esperado? Como um desafio, escreva argumentos para que

as suas construções sejam aceitas como válidas!

1.4 Exercícios de visualização

A partir de agora vamos relembrar os elementos da circunferência:

RAIO: É um segmento de

reta com uma extremidade

no centro O da

circunferência e a outra

extremidade em qualquer

ponto da circunferência

CORDA: É um segmento

de reta que tem as

extremidades dois pontos

da circunferência.

DIÂMETRO: É uma corda

que passa pelo centro da

circunferência.

Então, pegue uma régua e vamos observar e fazer medições.

a. Nos polígonos que você desenhou você consegue destacar uma corda? Há algo em

especial no segmento que você destacou? O quê?

b. Agora, compare a corda com o raio da circunferência na qual o polígono está

inscrito. O que você observou? Eles têm medidas diferentes? São maiores, iguais,

menores? Se você sentir dificuldades para observar use uma régua para medir os

segmentos.

17

c. Nessas observações, você conseguiu perceber alguma relação entre o lado do

polígono e uma corda? E entre o lado do polígono e o ângulo central do polígono?

Ficou mais difícil? Então tente usar a régua e o transferidor para compará-los

18

Atividade 2: Medindo os ângulos

3.1 Ângulos

As partes que constituem um ângulo são os lados e o vértice ou origem. Além disso,

uma característica fundamental do ângulo é a sua abertura, que pode ser medida. A medida

usada para isso é o grau, ou seja,

° da circunferência. Sendo assim, uma circunferência

completa mede 360°.

Observemos a tabela abaixo:

1 volta completa de circunferência

360°

Meia volta de circunferência 180°

¼ de volta de circunferência 90°

1/8 de volta de circunferência 45°

19

Veja os ângulos abaixo. Marque o intervalo de medidas referente a cada um deles,

respectivamente.

Dica: Se tiver necessidade, você pode construir uma circunferência de papel, dobrá-la em 4 ou

mais partes iguais e sobrepor nos ângulos para fazer as medições.

Para saber com mais precisão a

medida de um ângulo usa-se o transferidor.

Geralmente o transferidor é um semicírculo

graduado de 0° a 180°. Com ele é possível

construir ângulos ou medir ângulos de

medidas desconhecidas.

Dicas úteis para usar o transferidor

Colocamos o transferidor de modo que o seu centro coincida com o vértice do ângulo

e a escala correspondente ao zero fique sobre um dos lados do ângulo.

Identifique na escala do transferidor o número interceptado pelo outro lado que forma

o ângulo

a. Entre 45° e 90°

b. Entre 180° e 360°

c. Entre 0° e 45°

d. Igual a 90°

a. Entre 90° e 180°

b. Entre 45° e 90°

c. Entre 180° e 360°

d. Entre 0° e 45°

a. Entre 0° e 45°

b. Entre 90° e 45°

c. Entre 180° e 360°

d. Entre 90° e 180°

a. Igual a 90°

b. Entre 90° e 180°

c. Igual a 45°

d. Entre 45° e 90°

.

20

Veja a figura abaixo:

Primeiro, vamos visualizar a figura. Você consegue perceber se há ângulos? Se sim,

indique-os com uma letra maiúscula.

Quanto será que eles medem? Usando um transferidor nós poderíamos conhecer esses

ângulos? Será que você consegue fazer essas medidas e escrevê-las na própria figura?

21

Atividade 3 – O triângulo: seus lados e seus ângulos

Umas das figuras geométricas mais interessantes é o triângulo. Para estudá-lo é

preciso conhecer os seus vários tipos, classificando-os de acordo com os seus lados.

Observe as figuras abaixo. Quanto mede os seus lados?

Agora, preencha a tabela abaixo de acordo com a sua classificação. Note que, de acordo com o

tamanho dos lados, os triângulos têm uma classificação.

Todos os lados congruentes

Equilátero

Dois lados congruentes

Isósceles

Todos os lados não congruentes

Escaleno

22

Lembra que nós aprendemos a medir ângulos usando transferidor? Então, usando os mesmos

triângulos que você mediu os lados, e meça os seus ângulos. Depois de fazer isso, preencha a nova

tabela.

Todos os ângulos menores

que 90° Acutângulo

Um dos ângulos é igual a 90°

Triângulo Retângulo

Um dos ângulos é maior que

90° Obtusângulo.

Agora, sem usar o transferidor tente classificar os triângulos abaixo em acutângulo, retângulo

ou obtusângulo.

23

Anteriormente nós aprendemos a usar o transferidor. Agora, use-o para medir os

seguintes ângulos e classificá-los em agudos, obtusos ou retos. Complete as lacunas a

seguir:

a).

Medida: ______________________

Classificação:__________________

b).

Medida: ______________________

Classificação:__________________

c).

Medida: ______________________

Classificação:__________________

d).

Medida: ______________________

Classificação:__________________

24

Desafio 4: Veja o triângulo abaixo.

Sem usar o transferidor, siga os passos a seguir:

1. Com papel de seda, régua, lápis e tesoura reproduza esse triângulo duas vezes.

2. Cole em uma folha um dos triângulos. Meça seus lados. E classifique-o em relação aos

seus lados e aos seus ângulos.

3. Pegue o outro triângulo e dobre-o de modo que um dos vértices recaia sobre outro

vértice. Corte-o na dobra e cole uma das partes no caderno. Meça os seus lados, e estime a

medida dos seus ângulos. Para isso, tome como base o ângulo de 90°.

4. Pegue a outra parte do triângulo obtida no item 2. Faça uma dobra para obter a bissetriz

do menor ângulo. Corte-a na dobra e cole o triângulo que ficar maior no caderno. Meça os

seus lados e os seus ângulos, e classifique-o.

5. Você conseguiu terminar o desafio? O que você percebeu?

25

Atividade 4 - Semelhança nos triângulos retângulos

Alguns triângulos têm formas parecidas, embora seus tamanhos sejam bem diferentes.

Observe os triângulos desenhados no papel quadriculado. Usando o compasso ou o

transferidor, meça os ângulos anote as medidas na tabela abaixo. Faça o mesmo para os lados.

Triângulo Ângulo a Ângulo b Ângulo c

I

II

III

IV

Triângulo Cateto Cateto Hipotenusa

I

II

III

IV

Você consegue perceber alguma lógica nas medidas de alguns desses triângulos. Será que

poderia separá-los par a par?

26

Atividade 5 – Onde está a altura?

Observe os triângulos abaixo. Note que eles são de tipos variados: equiláteros, isósceles

e escalenos, e dessa forma, acutângulos, retângulos e obtusângulos. Observe também que um

dos lados está marcado: é a base do triângulo. Conhecendo todos esses elementos, você

consegue encontrar a altura de cada um desses triângulos? Então, pegue um lápis de cor e

trace a altura de cada triângulo.

b

b

b

b

b

b

b

b

27

REFERÊNCIAS

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aprendizagem de conceitos trigonométricos. – Bauru, SP: EDUSC, 2003.

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ensino de trigonometria numa abordagem histórica. 2011. 61 f. Dissertação (Mestrado) -

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Educação de Portugal, 1997.

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MOREY, Bernadete B. Tópicos de história da trigonometria. Natal: SBHMat, 2001.

__________. FARIA, Paulo Cézar de. Abordagens no cálculo do seno de 1º: as

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NASCIMENTO, Alessandra Z. do. Uma sequência de ensino para a construção de uma

tabela trigonométrica. 228 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática)

– Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005.