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CMCC Centro de Matemática, Computação e Cognição

DISCIPLINAPráticas de Ensino de Matemática II

Ensino Médio2º Ano

O Mágico Equilíbrio do Mundo

ALUNOBeatriz Cristine Gomes de Lima

Licenciatura em MatemáticaMatrícula 11112312

ORIENTAÇÃOProf. Dr. Claudio F. André

UFABC – Prof. Dr. Claudio F. André - Disciplina: Práticas de Ensino de Matemática II – 3º. Quadrimestre/2016 2

Santo André – SP3º. Quadrimestre de 2016

SUMÁRIO

1. PREPARAÇÃO E PROBLEMATIZAÇÃO..............................................................................................2

2. PESQUISA E PROPÓSITO.................................................................................................................6

2.1. Conceituais............................................................................................................................... 7

2.2. Procedimentais.........................................................................................................................7

2.3. Atitudinais................................................................................................................................ 7

2.4. Pesquisa....................................................................................................................................7

3. PLANEJAMENTO E PROTOTIPAÇÃO................................................................................................9

3.1. Prazo.........................................................................................................................................9

3.2. Produtos................................................................................................................................... 9

3.2.1. Critérios de avaliação dos produtos...................................................................................9

3.3. Exercícios de fixação.................................................................................................................9

3.4. Responsabilidades e Funções dos Alunos...............................................................................10

3.5. Fundamentação Teórica.........................................................................................................11

3.6. Biografias dos principais nomes relacionados ao tema..........................................................24

4. PRODUÇÃO E PARCERIAS............................................................................................................. 28

4.1. Professores – Procedimentos em Sala....................................................................................28

4.2. Alunos – Procedimentos para Atividades...............................................................................30

5. PUBLICIDADE E PROPAGANDA.....................................................................................................32

5.1. Produtos................................................................................................................................. 32

6. PROCESSO E PERSONALIZAÇÃO....................................................................................................33

6.1. Auto-avaliação dos Alunos - Registro das Lições Aprendidas.................................................33

6.2. Avaliação - Exercícios de Fixação............................................................................................34

6.3. Avaliação - Exercícios no Geogebra........................................................................................38

6.4. Avaliação - Rubricas................................................................................................................46

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................................................49


1. PREPARAÇÃO E PROBLEMATIZAÇÃO

DisciplinaMatemática

Nível de EnsinoEnsino Médio

Ano2º ano

EixoEspaço e Forma

TítuloO Mágico Equilíbrio do Mundo

Sinopse

Na natureza, a simetria é um fenômeno que remete ao equilíbrio e proporção, ao padrão e regularidade, harmonia e beleza, ordem e perfeição. Podemos encontrar simetrias sob as mais variadas, diferentes e fascinantes formas e locais, tais como no corpo humano, na arte, no espelho, na geometria, na arquitetura, dentre outros.

Este conteúdo tem o intuito de definir simetria, abordando temas relacionados a diversos conteúdos de matemática, à geometria plana e espacial e aos números, mas também à arte, à natureza, à arquitetura, dentre outros temas. Haverá diversos exercícios/problemas e atividades utilizando softwares como o Geogebra, sólidos geométricos, e aplicação construtiva do conteúdo para elaboração de um aplicativo.

Recursos e Materiais de apoio

1. Softwares / Aplicativos Processador de texto: Word Software de apresentação: PowerPoint Ferramenta de pesquisa na internet: Google Software de matemática dinâmica: Geogebra Software de gravação de vídeos: Apowersoft, PowerPoint, MovieMaker e câmera fotográfica ou filmadora Plataforma para criação de blog: Wordpress

2. Materiais de Apoio Câmera fotográfica ou smartphone Materiais para demonstração de sólidos geométricos (lápis, caneta, papel, régua, ec)

Glossário (05 palavras / termos)

1. Simetria: Fenômeno que remete ao equilíbrio e proporção, ao padrão e regularidade, harmonia e beleza, ordem e perfeição. Podemos encontrar simetrias sob as mais variadas, diferentes e fascinantes formas e locais. Na geometria plana, uma figura é dita simétrica se for possível dividi-la por uma reta, de forma que as duas partes obtidas possam ser sobrepostas ao dobrar a imagem ao meio.

Fonte: http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2013/12/simetria-na-natureza.html

http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2013/12/simetria-na-natureza.html


2. Transformações no Plano: Uma transformação T no plano é uma função que associa a cada ponto P do plano, outro ponto P1, tal que T(P) = P1 . O ponto P1 é dito a imagem de P pela transformação T.

Fonte: http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap54.html

3. Arquitetura: Trata destacadamente da organização do espaço e de seus elementos. A arquitetura enquanto atividade é um campo multidisciplinar, incluindo em sua base a matemática, as ciências, as artes, a tecnologia, as ciências sociais, a política, a história, a filosofia, entre outros. Fonte: Wikipedia.

4. Fractais Geométricos: objetos geométricos que podem ser divididos em partes, cada uma das quais semelhantes ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e de escala. Em muitos casos, um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo. Fonte: Wikipedia.

5. Visagismo: é a arte de criar uma imagem pessoal equilibrada que revela as qualidades interiores de uma pessoa de acordo com suas características físicas e os princípios da linguagem visual (harmonia e estética). A geometria está relacionada com o visagismo pois são utilizados conceitos de ângulos, forma, tamanho, etc para obter as características faciais harmônicas.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADtica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncias_sociais

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tecnologia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap54.html


1.1. Perguntas Problematizadoras

Você gosta de se olhar no espelho? Sabe qual a relação do espelho com a matemática?

O que é simetria?


Onde mais podemos observar a simetria em nosso cotidiano?

Como podemos relacionar a simetria com a arte e a arquitetura?


2. PESQUISA E PROPÓSITO

2.1. Conceituais

D1 - Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas. D2 - Identificar a localização de pontos no plano cartesiano. D3 - Reconhecer que as imagens de uma figura construída por uma transformação homotética são

semelhantes, identificando propriedades e/ou medidas que se modificam ou não se alteram.

2.2. Procedimentais

P1 - Usar aplicativos/softwares e demais materiais de produtividade (processadores de texto, planilhas de cálculo, programas de apresentação, mapas conceituais, aplicativo de construção de formas geométricas, entre outros), blog, para criar e editar conteúdos.

P2 - Utilizar dispositivos digitais e móveis, tais como: computador, notebook, pendrive, smartphones e tablets para produção de conteúdo digital.

P3 - Encontrar e utilizar tecnologias, soluções e ferramentas gratuitas na internet.

2.3. Atitudinais

AT1 - Produzir conteúdo de acordo com as orientações, escopo e regras estabelecidas para cada tipo de gênero.

AT2 - Ser capaz de construir conhecimento, demonstrando interesse e refletindo criticamente sobre os temas abordados.

AT3 - Exercitar a atenção, memória, criatividade e pensamento crítico, e utilizar essas competências para apresentar soluções por meio da argumentação e demonstração.

AT4 - Ser capaz de trabalhar colaborativamente e conviver de forma interativa a fim de promover um ambiente harmonioso.

AT5 - Ter organização e responsabilidade para atender aos pré-requisitos dentro do prazo estipulado.


2.4. Pesquisa

1. Acesse o link https://www.geogebra.org/b/75828#material/4025 para exibir pelo software Geogebra os fractais geométricos.

2. Acesse o link https://www.geogebra.org/b/137477# para exibir pelo software Geogebra alguns dos trabalhos de Maurits Escher sendo construídos utilizando conceitos de simetria, rotação, reflexão, etc.

3. Acesse o link https://www.youtube.com/watch?v=IKi_ZU7NuOw&noredirect=1 para ilustração de uma aula pelo Geogebra para criação de mosaicos.

4. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/singing/v/doodle-music para vídeo sobre a simetria relacionada à música.

5. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/hexaflexagons/v/hexaflexagons para vídeo sobre hexaflexágonos e como construí-los.

6. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/science/organic-chemistry/stereochemistry-topic/chirality-r-s-system/v/introduction-to-chirality para vídeo sobre quiralidade, relacionando a simetria com a Química.

7. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/mobius-strips/v/math-improv-fruit-by-the-foot para vídeo sobre a fita de Mobius e como construí-la.

8. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/math/enem/conhecimentos-geometricos/simetrias-figuras-planas-espaciais para vídeos sobre simetrias no plano.

9. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/snowflakes-starflakes-and-swirlflakes para vídeo sobre como construir flocos de neve utilizando conceitos de simetria. E também https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/snowflakes-starflakes-and-swirlflakes para vídeos de flocos de neve redondos.

10. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/math/geometry/transformations/transformations-symmetry/v/axis-of-symmetry para vídeos sobre simetria reflexiva e rotacional e outros.

11. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/fractal-fractions para vídeo sobre a utilização dos conceitos de fractais em frações.

12. Acesse o link https://www.youtube.com/watch?v=CZAQ_b2rzAA para vídeo sobre como desenhar um cubo de Escher e os links https://www.youtube.com/watch?v=MBBmv1Vsjjs e https://www.youtube.com/watch?v=PvNOHcih_L0 e para buraco 3D.

13. Acesse os links https://www.youtube.com/watch?v=hkCakDslpXM e https://www.youtube.com/watch?v=vkgGgflSwHE para vídeos com construções usando compasso.

14. Acesse o link http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/ para algumas atividades em laboratório de informática para prática de conceitos de simetria.

15. Acesse o link https://www.youtube.com/watch?v=BTiZD7p_oTc&ebc=ANyPxKqEzjtBX641b-hjHP6TxjtGgJfIyYMW3hLi44zVzSMs64b7udcSjbgeH6OLR_JLUP4JZxFLEr-zxAwkTJjE82IFbCHMkQ&spfreload=10 para vídeo de fractais geométricos.


3. PLANEJAMENTO E PROTOTIPAÇÃO

3.1. Prazo

1 Bimestre (30 aulas de 50 minutos)

3.2. Produtos

Deverão ser entregues, ao final das aulas (em grupos de 4 alunos): um aplicativo do conteúdo de matemática escolhido com apoio do Canal Matemática com Aplicativos (MIT App Inventor), blog de divulgação do conteúdo e demonstração de exercício utilizando o Geogebra.

3.2.1. Critérios de avaliação dos produtos

(x) Entrega no prazo

Aplicativo(x) Estrutura(x) Gravação da elaboração (vídeo)(x) Tópicos(x) Conteúdo

Blog(x) Mínimo de 10 postagens(x) Clareza(x) Conteúdo(x) Organização(x) Estrutura Demonstração em Geogebra(x) Produto final em Geogebra(x) Passo a passo para construção(x) Gravação dos passos (vídeo)(x) Clareza(x) Mínimo de 1 exercício

Relatório(x) Organização(x) Descrição das atividades(x) Passo a passo de cada produto(x) Formato

3.3. Exercícios de fixação

Entrega dos exercícios solicitados por aula. O conceito será dado pela quantidade de exercícios entregues e não pela correção.

Cópias idênticas serão desconsideradas.


3.4. Responsabilidades e Funções dos Alunos

Funções Atribuições

Equipe de Engenharia e Arquitetura

Responsável pela estruturação, planejamento, cronograma, escopo das atividades de todos os componentes do projeto (aplicativo,

exercício e blog).

Equipe de Produção

Responsável pela construção do aplicativo e do vídeo com o passo a passo para construção. Além de estruturar o exercício em

Geogebra.

Revisor

Responsável por coordenar a equipe de produção, por elaborar o relatório final e garantir toda a revisão teórica e prática dos

componentes do projeto, além de ser o responsável pela publicação dos conteúdos no blog.

Coordenador Tecnológico

Responsável pela criação do blog segundo a estrutura planejada, além de demonstrar exercício em Geogebra e formatar todo o

conteúdo com os passo a passo em formato de vídeo.


3.5. Fundamentação Teórica

Simetria

1) Simetria na Natureza

A civilização tem se esforçado por milhares de anos para entender a geometria perfeita que existe nas formas da Natureza. Nessa busca, o homem passou a procurar padrões até mesmo onde antes imaginava só existir o caos. Os "Fractais", por exemplo, são figuras que repetem sua estrutura infinitamente em escalas cada vez menores. Ou seja, cada pedacinho é igual ao todo.

Na natureza, a simetria é um fenômeno que remete ao equilíbrio e proporção, ao padrão e regularidade, harmonia e beleza, ordem e perfeição. Podemos encontrar simetrias sob as mais variadas, diferentes e fascinantes formas e locais.

Podemos encontrar simetrias sob as mais diversas formas em diferentes locais, olhe para o seu corpo, olhe para as imagens em um espelho, olhe as asas de uma borboleta, as pétalas de uma flor ou uma concha do mar, os flocos de neve, as estruturas de muitas plantas, etc.

O primeiro filósofo a se ocupar do assunto foi Platão (427 a.C / 347 a.C). Para ele, belo é tudo aquilo em que as partes se agrupam de modo coerente para compor a harmonia do conjunto. Aristóteles, (384 a.C / 322 a.C), introduziu a ideia chave da simetria. Ela tanto podia ser entendida de uma forma estrita, em que os lados opostos de uma figura dividida por um eixo central são exatamente iguais, quanto num sentido amplo, de proporções e equilíbrio entre as partes. Galileu Galilei em seu "Segundo Saggiatore" escreveu: "O Universo está escrito na linguagem da Matemática e seus personagens são triângulos, círculos e outras figuras geométricas".

Na geometria plana, uma figura é dita simétrica se for possível dividi-la por uma reta, de forma que as duas partes obtidas possam ser sobrepostas ao dobrar a imagem ao meio. As retas que levam a esse tipo de divisão chamam-se eixos de simetria da figura. Um exemplo disso, na natureza, está na borboleta, que apresenta um único eixo de simetria.

Assim como na borboleta, podemos visualizar a simetria na cabeça de uma coruja e também o padrão simétrico, regular, nos favos das colmeias de abelhas, onde os ângulos e os lados dos hexágonos são iguais.


Além disso, muitos animais escolhem os seus parceiros baseando sua escolha na presença de simetrias ou na falta de características assimétricas. Os biólogos acreditam que a falta de assimetrias é um indicador de bom estado ou de bons genes, pois somente organismos saudáveis podem manter um desenvolvimento simétrico frente às pressões do ambiente, tais como, doenças ou falta de alimento. Um animal simétrico é, em geral, um animal saudável. O mesmo vale para seres humanos.

2) Os Quase Cristais

Os quase cristais são elementos que possuem uma estrutura ordenada, porém não periódica como os cristais convencionais, que foram descobertos em 1982 na Rússia, por Daniel Shechtman, vencedor do Prêmio Nobel de Química em 2011 graças a eles.

Até dois anos atrás, os quase-cristais eram encontrados apenas em laboratórios quando, em 2009, foram encontrados pela primeira vez na natureza, nas montanhas Koryak, na Rússia, local com condições nada favoráveis à formação das pedras. A análise do material, feita pela Universidade de Princenton, mostra que os quase-cristais encontrados possuem em sua composição elementos que apontam uma origem extraterrestre. Segundo o estudo, publicado no “Reports on Progress in Physics”, por Paul Steinhardt e Luca Bindi, as pedras podem ter vindo por meio de meteoritos que atingiram a Terra há cerca de 15 mil anos.

Fonte: http://www.quimica.com.br/pquimica/15925/o-curioso-caso-dos-quase-cristais/

3) Simetria na Arte

Nossas ideias de beleza estão intimamente relacionadas a princípios de simetria e simetrias são encontradas por toda a parte no mundo que nos rodeia. A simetria é encontrada com frequência no corpo humano, na arte, no espelho, etc.

http://www.quimica.com.br/pquimica/15925/o-curioso-caso-dos-quase-cristais/


A isometria tem sido usada pelo homem nas suas criações desde os tempos mais primitivos. Povos antigos utilizaram figuras geométricas como elementos decorativos e, com o desenvolvimento das civilizações, as figuras adquiriram disposições mais complexas. Surgiram assim os ornamentos com repetições de uma mesma figura geométrica, tais como rosáceas, frisos ou pavimentações. Os azulejos do palácio de Alhambra (Espanha) são uma referência mundial, bem como os trabalhos do artista gráfico holandês Maurits Cornelis Escher (1898-1972) – trataremos dele mais para a frente.

4) Fractais Geométricos

Benoit Mandelbrot introduziu o termo “Fractal” em 1975 para denominar uma classe especial de curvas definidas recursivamente que produziam imagens reais e surreais. Uma estrutura geométrica ou física tendo uma forma irregular ou fragmentada em todas as escalas de medição. O objeto é composto por partes reduzidas dele próprio.

Os fractais são figuras geométricas produzidas por meio de equações matemáticas que podem ser interpretadas como formas e cores por programas de computador. Sua principal característica é a autossimilaridade. Os fractais estão ligados a áreas da física e da matemática chamadas Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos, porque suas equações são usadas para descrever fenômenos que, apesar de parecerem aleatórios, obedecem a certas regras - como o fluxo dos rios. Outra característica é que possuem complexidade infinita: um zoom em um detalhe da imagem revela novos detalhes.

É possível encontra-los na medicina, a estrutura do pulmão e as ramificações dos neurônios remetem a essas


figuras. Entre outros benefícios, a compreensão do desenvolvimento dos fractais pode ajudar a prever a evolução de doenças como o câncer, facilitando diagnósticos precoces; na computação gráfica, alguns tipos têm sido utilizados como base de animações digitais. Eles ajudam a criar texturas, simular vegetação ou construir paisagens complexas; na geografia, os dobramentos das camadas de rocha que formam o solo são criados por dobramentos ainda menores, como um fractal. Ao se definir, por computador, esses padrões, pode-se estudar a instabilidade dos solos e prevenir catástrofes; na economia, o conceito de fractal é usado no entendimento do comportamento da Bolsa de Valores. A variação do valor da ação em um dia de pregão é similar à variação de uma semana, um mês, um ano ou uma década. Com isso, é possível fazer estatísticas mais precisas.

Curva de Peano, também chamada de "curva de Hilbert".

Fractal Floco de Neve, proposta por Von Koch em 1904.

Primeiros 4 passos da curva de Koch.

Triângulo de Sierpinski.

Os passos para realizar as iterações podem ser verificados analisando a tabela abaixo.


Passos Área Perímetro0 A P1 A1 = A X 3/4 P1 = P X 3/22 A2 = A X (3/4)^2 P2 = P X (3/2)^23 A3 = A X (3/4)^3 P3 = P X (3/2)^3

Os fractais são formados por um processo recursivo aplicado indefinidamente. Quanto maior for o número de iterações deste processo, mais detalhes serão apresentados e assim, nunca obteremos uma “imagem final”. Daí a expressão complexidade infinita. Na figura abaixo temos exemplos de fractais gerados por computador, usando o programa Fractree.

5) Mas afinal o que é simetria?

Isometria é uma palavra de origem grega que significa mesma medida (Isos = igual e metria = medida) e é definida como sendo uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura geométrica, mantém as distâncias entre pontos. Ou seja, os segmentos da figura transformada são geometricamente iguais aos da figura original, podendo variar a direção e o sentido, mantendo também a amplitude do ângulo.

Uma das primeiras coisas que notamos a respeito de simetrias é que elas podem ser de diferentes tipos. Os dois tipos principais são as simetrias axiais e as simetrias centrais.

Simetrias axiais ou em relação a retas são aquelas onde pontos, objetos ou partes de objetos são a imagem espelhada um do outro em relação à reta dada, chamada eixo de simetria. O eixo de simetria é a mediatriz do segmento que une os pontos correspondentes.

Simetrias centrais ou rotacionais são aquelas em que um ponto, objeto ou parte de um objeto pode ser girado em relação a um ponto fixo, central, chamado centro da simetria, de tal maneira que essas partes ou objetos coincidam um com o outro um determinado número de vezes.


Repare que qualquer reta que passe pelo centro de simetria divide o objeto em duas imagens espelhadas e que o centro de simetria é o ponto médio dos segmentos une os pontos correspondentes.

5.1) Simetria no Plano

Existem quatro tipos de isometrias no plano: rotações, translações, reflexões e reflexões deslizantes.

TranslaçãoUma translação é uma transformação geométrica associada a um vetor que desloca a figura original, segundo uma direção, um sentido e um comprimento. A translação transforma uma figura noutra figura. As figuras são geometricamente iguais. As translações conservam a direção e o comprimento de segmentos de reta, e as amplitudes dos ângulos.

RotaçãoNuma rotação a figura inicial vai rodando em diferentes ângulos segundo um ponto central, o centro de rotação, ou seja, a figura final é obtida através de uma figura inicial, onde é mantido fixo um ponto (o centro da rotação) e todos os outros sofrem deslocações ao longo de ângulos de uma certa amplitude e em torno do ponto fixo. Pode ser positiva, quando se move ao contrário do sentido dos ponteiros do relógio, ou negativa, quando se move no mesmo sentido dos ponteiros dos relógios.

ReflexãoNuma reflexão, cada ponto da figura original e o correspondente da figura refletida estão sobre uma reta perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo.


Reflexão DeslizanteAs reflexões deslizantes são a composição de uma reflexão com uma translação por meio de um vetor com a mesma direção da reta de reflexão, ou seja, uma reflexão segundo um eixo, seguida de um deslocamento com a direção desse eixo.

Na matemática, a ideia da simetria dá-nos uma maneira precisa de pensar sobre este assunto. Nós trabalharemos aqui só com simetrias planas, aquelas que ocorrem em um plano liso, mas as ideias generalizam às simetrias espaciais.

A simetria plana consiste em mover todos os pontos sobre o plano de modo que suas posições relativas permaneçam as mesmas, embora suas posições absolutas possam mudar. Distâncias, ângulos, tamanhos, e forma são preservadas por simetrias.

6) Escher

O arquiteto Maurits Cornelis Escher (1898 — 1972), artista gráfico holandês nascido numa família de alta burguesia, conhecido pela execução de transformações geométricas (isometrias) nas suas obras.

A partir de uma malha de polígonos, regulares ou não, Escher fazia mudanças, mas sem alterar a área do polígono original. Assim surgiam figuras de homens, peixes, aves, lagartos, todos envolvidos de tal forma que nenhum poderia mais se mexer. Tudo representado num plano bidimensional.

Bastante intrigante é tentar entender como um pássaro pode se transformar em peixe, em uma única obra, como esta apresentada abaixo.

“Céu e água”, de Escher.

Mas Escher também explorou o espaço em seus trabalhos, brincando com o fato de ter que representar o espaço, que é tridimensional, num plano bidimensional, como a folha de papel. Com isto ele criava figuras impossíveis, representações distorcidas e paradoxais. Tudo o que nelas está representado nunca é o que parece ser.


“Relatividade”, de Escher.

Escher era um gênio da imaginação lúdica e um artesão habilidoso nas artes gráficas, mas a chave para muitos dos seus efeitos surpreendentes é a matemática. Não a matemática dos números e das fórmulas, mas a geometria em todos os seus aspectos. Escher podia imaginar os efeitos fantásticos, mas a geometria era uma ferramenta necessária para capturar esses efeitos. Também tratava da relatividade de forma agradável, obrigando-nos a perguntar: “O que eu percebo é realmente o que parece ser?”

As imagens de Escher não aparentam usar quaisquer polígonos. Aqui está o erro! Se repararmos com mais atenção, verificamos que este desenhador decidiu usar a Arte para ludibriar a Matemática. Pegou num quadrado e, recortando aqui e ali, conseguiu transformá-lo num peixe com a mesma área. Deste modo, as figuras encaixam perfeitamente nas pavimentações do plano e são bastante mais atraentes do que um simples quadrado.

Do mesmo modo, Escher pegou num triângulo equilátero e transformou-o noutra imagem mais apelativa. Como um hexágono regular é constituído por seis triângulos equiláteros, depois de modificado o triângulo, facilmente se constata que o hexágono também se altera. Aqui vemos a função apelativa da comunicação visual. Escher criou imagens sempre a pensar nesta ideia de atuar sobre os destinatários, de os cativar, daí o uso da cor e de figuras mais agradáveis.


O mundo de M. C. Escher é descompromissado, combina objetos incompatíveis. O artista sempre nos propõe a mesma questão: “Por que o mundo – ao menos o mundo retratado na arte – não pode ser uma combinação de diferentes realidades? ”

Escher põe em evidência os vínculos entre tempo e espaço, entre eternidade e infinitude, na superfície plana do desenho. Durante toda a vida ele se mostrou maravilhado e encantado por essas possibilidades. Suas xilogravuras e litografias são a visão desse encanto.

Foi a proximidade com a ciência que deixou os críticos de arte da época de cabelo em pé. Afinal, como classificar o trabalho de Escher? Era "artístico" o que ele fazia ou puramente "racional"? Na dúvida, preferiram silenciar sobre sua obra durante vários anos. Enquanto isso, o artista foi ganhando a admiração de matemáticos, físicos, cristalógrafos e eruditos em geral. Mas essa é outra faceta surpreendente de Escher, o que mais intriga na sua obra é que ele não tinha quase nenhum conhecimento de matemática, de geometria, de isometria. No entanto, criou obras fantásticas, que servem de análise e discussão para pesquisadores de várias áreas, seja no campo artístico ou no de arquitetura. E ele, como algumas pessoas que ficam bailando nas fronteiras das chamadas “áreas do conhecimento”, sentia dificuldade em se auto classificar.

São palavras de Escher: “Apesar de não possuir qualquer conhecimento ou treino nas ciências exatas, sinto muitas vezes que tenho mais em comum com os matemáticos do que com os meus colegas artistas”. E ele estava certo, até aqui conseguimos observar e verificar que a arte, em especial as obras de Escher, tem muito a ver com a matemática, até mais do que com a arte, por usar conceitos implícitos de isometria.

Fonte: http://galileu.globo.com/edic/88/conhecimento2.htm e http://www.bb.com.br/docs/pub/inst/img/EscherCatalogo.pdf

6.1) Escher e a Tira de Mobius

O matemático alemão Moebius criou uma superfície não orientável, isto é, sem frente nem costas. O fato foi considerado um feito no mundo científico e constituiu uma fonte de inspiração para o artista holandês Mauritius Escher.

Em 1960, um matemático inglês sugeriu que Escher fizesse uma gravura de uma tira de Moebius. O resultado foram duas gravuras que se tornaram famosas, a “Tira de Moebius I” e a “Tira de Moebius II”, que aqui reproduzimos. Na primeira dessas gravuras, que parece retratar três serpentes mordendo as caudas umas das outras, Escher desafia-nos a seguir o percurso das serpentes e a verificar, naturalmente com surpresa, que os três répteis estão alinhados num percurso único, apesar de parecerem seguir duas órbitas distintas. Na segunda dessas gravuras, em que nove formigas se passeiam, caminhando sempre no mesmo sentido, Escher desafia-nos a seguir o seu percurso e a verificar que é um percurso sem fim, pois de onde quer que se parta volta-se sempre ao mesmo lugar. As formigas passeiam-se, ao que parece, em dois lados diferentes de uma superfície, mas cada uma delas percorre, afinal, toda a superfície em que se passeia. Tanto numa como noutra gravura, o caminho não tem fim.

August Ferdinand Moebius nasceu em 7 de novembro de 1790 em Schulpforta, na Saxónia, perto de Leipzig e

http://www.bb.com.br/docs/pub/inst/img/EscherCatalogo.pdf

http://galileu.globo.com/edic/88/conhecimento2.htm


de Iena. Quando nasceu, era difícil encontrar um único matemático alemão de estatura internacional. Quando morreu, a Alemanha era um dos principais centros de investigação e de ensino da matemática, de onde partia uma influência decisiva para a ciência de todo o mundo. Moebius participou nesse extraordinário desenvolvimento, que não é estranho à transformação política e social então operada nesse país.

Entre os matemáticos, Moebius é sobretudo conhecido pela transformação que tem o seu nome, e que desempenha um papel relevante em análise complexa. É também conhecido por vários trabalhos de geometria e topologia, um ramo das matemáticas que é, em muitos aspectos, uma generalização da geometria.

Nos seus estudos de topologia, Moebius estava interessado numa propriedade das superfícies, que é a da possibilidade ou impossibilidade de orientação e construiu a superfície não orientável que se veio a chamar tira de Moebius. Para o fazer, teve literalmente de trocar as voltas a uma superfície.

Uma folha de papel tem dois lados e uma única borda, constituída pelas arestas. Será que uma folha de papel pode ter um único lado e uma única borda, de tal maneira que uma formiga possa passar de um lado para o outro, sem nunca cruzar a borda? Sabe-se hoje que sim, que basta dar meia volta numa das extremidades da folha e colar essa aresta à aresta oposta, tal como se mostra na caixa abaixo. Na superfície resultante, a tira de Moebius, as formigas podem passear-se continuamente, parecendo que percorrem as duas faces da tira, passando da frente para as costas, quando, afinal, apenas percorrem a face única deste estranho objeto. A tira de Moebius não tem frente nem costas.

Fonte: http://nautilus.fis.uc.pt/cec/arquivo/Nuno%20Crato/1999/19990220%20Escher%20e%20a%20tira%20de%20Moebius.pdf

7) Visagismo

Os homens são naturalmente atraídos por simetrias. Muito frequentemente, consideramos um rosto bonito quando as suas características são simetricamente combinadas. Somos atraídos por proporções equilibradas e nós, humanos, não somos os únicos, na natureza, a obedecer a este princípio. Muitos animais escolhem os seus parceiros baseando sua escolha na presença de simetrias ou na falta de características assimétricas.

Os biólogos acreditam que a falta de assimetrias é um indicador de bom estado ou de bons genes, pois somente organismos saudáveis podem manter um desenvolvimento simétrico frente às pressões do ambiente, tais como, doenças ou falta de alimento. Um animal simétrico é, em geral, um animal saudável. O mesmo vale para seres humanos.

Formas simétricas podem ser achadas no mundo inanimado, também. Os planetas com pequenas variações de forma, exibem simetria radial, isto é, são simétricos em relação às retas que passam pelo seu centro. Flocos de neve também apresentam simetria radial. Todos os flocos de neve apresentam uma simetria hexagonal em relação a qualquer reta que passe pelo seu centro. Cada revolução de 60 graus ao redor deste eixo produz um desenho idêntico ao original. Este fato é explicado fisicamente, pelo modo como as moléculas de água se combinam ao congelar.

Estes e outros exemplos servem para nos lembrar que simetria é parte integrante da estrutura do mundo matemático e do mundo que nos rodeia.

http://nautilus.fis.uc.pt/cec/arquivo/Nuno%20Crato/1999/19990220%20Escher%20e%20a%20tira%20de%20Moebius.pdf


O conjunto de técnicas usadas para valorizar a beleza de um rosto pela concepção harmônica entre a maquiagem e o penteado, denominado visagismo é utilizado em diversas áreas da estética, como por exemplo ortodontia e salões de beleza. O mesmo engloba diversos aspectos faciais e identifica, por exemplo, qual o formato de rosto de cada pessoa, qual corte de cabelo seria ideal para a mesma, quais as maneiras de utilizar maquiagens e iluminação para manter um rosto mais harmônico e inclusive o formato de um dente para um formato de boca específico podendo ser modificado em tratamentos estéticos ortodônticos.

Visagismo para sobrancelhas.Fonte: Adaptado de (HALLAWELL, 2008; VALENÇA; LIMA; ZUNETTI, 2000)

Tratando especificamente do visagismo dental, podemos conceituá-lo como uma análise individual de todas as proporções do rosto de uma pessoa e assim como toda a simetria de sua face e dentes. Aspectos como forma, posição são observados e estes parâmetros devem ser analisados juntamente com o formato do rosto, idade e sexo do indivíduo. Depois de toda a análise é possível então mensurar proporções ideais para cada paciente e reconstruir um sorriso harmônico.


Visagismo dental.Podemos apresentar, por fim, uma máscara de proporções, de autor desconhecido, mas que é extremamente

citada quando os tópicos são proporções faciais, visagismo e beleza. As pessoas que melhor “encaixam-se” nesta máscara tendem a ser bonitas para um senso comum.

Máscara modelo para conceito de beleza.

7.1) O Homem Vitruviano

O “Homem Vitruviano” é uma obra de 1490 e que foi primeiramente baseada numa obra mais antiga sobre arquitetura do famoso Vitrúvio e que faz menção às proporções divinas perfeitas, portanto este homem seria o ideal humano; toda a obra tem proporções baseadas no número ‘phi’ (1,618) que os gregos difundiram.

A figura humana está totalmente integrada a estas figuras geométricas, demonstrando a relação do homem com o universo, o macrocosmo aqui como o universo e o microcosmo como o homem totalmente integrados.

A imagem é curiosa em função de sua precisão matemática. A cabeça é calculada como sendo um oitavo da altura total. O desenho tenta expressar a beleza humana. Ele apresenta as posições dos braços e das pernas como quatro posturas diferenciadas inscritas num círculo, sendo que o umbigo é o centro da figura. Aqui, podemos citar também algumas das proporções envolvidas na obra descrita:

1. O comprimento dos braços abertos de um homem (envergadura dos braços) é igual à sua altura; 2. A distância entre a linha de cabelo na testa e o fundo do queixo é um décimo da altura de um homem; 3. A distância entre o topo da cabeça e o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem; 4. A distância entre o fundo do pescoço e a linha de cabelo na testa é um sexto da altura de um homem.

Dentre outras demais proporções Vitrúvio já havia tentado encaixar as proporções do corpo humano dentro da figura de um quadrado e um círculo, mas suas tentativas ficaram imperfeitas. Foi apenas com Leonardo que o encaixe saiu corretamente perfeito dentro dos padrões matemáticos esperados.


O Homem Vitruviano.

Fonte: http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap21s3.htmlhttp://www.art.net/Studios/Visual/Coffin/WRITINGS/BEAUTY/beauty.html#Subject1

http://www.art.net/Studios/Visual/Coffin/WRITINGS/BEAUTY/beauty.html#Subject1

http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap21s3.html


3.6. Biografias dos principais nomes relacionados ao tema


4. PRODUÇÃO E PARCERIAS


4.1. Professores – Procedimentos em Sala


Caro professor, abaixo segue algumas sugestões de atividades que podem ser realizadas nas aulas de simetria:

1ª AULA

Introduzir com as perguntas problematizadoras e, em seguida, começar a explicar o que é simetria com base na simetria na natureza.

Professor, inicie a primeira aula com as questões-problema, perguntando se os alunos reconhecem a relação entre um espelho e a matemática, se enxergam elementos de simetria no cotidiano, se eles sabem o que é simetria, quais as relações da simetria com a arte, arquitetura, corpo humano, etc.

Após as discussões iniciais, explicar aos alunos as propostas das aulas, dos exercícios que serão propostos e devem ser entregues, dos critérios de avaliação e dos objetivos que se pretende alcançar quanto ao aprendizado e desenvolvimento individual e coletivo, e também o projeto que irão realizar e orientar os alunos a se dividirem em duplas.

Ler junto com os alunos o roteiro de atividades proposto para o projeto, esclarecendo possíveis dúvidas sobre as funções que deverão ser desempenhadas e divulgue os critérios de avaliação para orientá-los na realização das suas tarefas. Devem ser definidas as funções que serão desempenhadas por cada um, avaliando as dificuldades na realização das atribuições de cada uma das funções.

Ao final da aula, em um momento de descontração, promover uma brincadeira entre os alunos com a atividade Espelho Humano, seguindo os passos:

1) Forme equipes de quatro alunos. Essas equipes devem escolher dois representantes. Um será a imagem e o outro deverá fazer movimentos para serem acompanhados pela imagem.

2) As equipes devem disputar entre si, tendo o professor como juiz.3) O intuito é que as equipes procurem conseguir representar melhor a imagem em relação ao espelho

(eixo de simetria, cuja posição é perpendicular ao chão e simbolizada por uma marca de giz no chão).Obs: Além de imitar bem, os alunos que farão os movimentos devem ser criativos para dificultar o movimento dos outros.

2ª AULA

Professor, inicie a aula relembrando o que foi discutido sobre simetria na aula anterior e as respostas dadas pelos alunos para as questões-problema. Em seguida, dê uma breve introdução sobre onde podemos encontrar a simetria no cotidiano, tais como na natureza, na arte, no corpo humano. Fale sobre os fractais geométricos, sobre as obras de Escher, para então introduzir o conteúdo de simetria no plano.

Para isso, use basicamente o power point, utilizando-se de uma aula mais expositiva, porém procurando fazer com que os alunos participem da aula dando mais exemplos e debatendo sobre o conteúdo.

Os conteúdos teóricos podem ser encontrados no capítulo 3.5 – Fundamentação Teórica deste plano de aula. E, ao final, peça que os alunos tentem resolver alguns exercícios do capítulo 7.2 – Exercícios de Fixação para a próxima aula. Relembre que os exercícios deverão ser entregues ao final das 6 aulas e que serão considerados na nota final.

3ª AULA

Professor, esta aula será utilizada para que os alunos realizem a atividade de construção dos sólidos geométricos. Peça que os alunos se dividam nas duplas determinadas para o projeto e distribua os materiais necessários (papel sulfite branco e colorido, lápis, borracha, régua, compasso, tesoura, fita adesiva, papel quadriculado, e demais que se façam necessários). Antes que eles comecem a trabalhar, mostre exemplos de sólidos geométricos e instrua-os sobre o que deverá ser feito.

Os alunos terão o espaço da aula para montar os sólidos, usando conceitos de geometria e simetria. Os sólidos poderão ser finalizados em casa e deverão ser entregues na semana seguinte (2 aulas depois). Deverão


ser montados no mínimo 3 sólidos diferentes, e características como criatividade, limpeza, capricho, serão considerados na avaliação.

4ª AULA

Professor, tendo finalizado a fundamentação teórica, é hora de aprofundarmos os assuntos e passarmos a relacionar as aulas com as atividades e o projeto a serem entregues.

Comece mostrando como as obras de Escher estão relacionadas com os conceitos de simetria no plano (translação, rotação, reflexão, etc), é possível fundamentar-se no Catálogo O Mundo Mágico de Escher do Banco do Brasil, uma exposição da vida e obras do autor que contém explicações de algumas de suas obras. Nesse momento, é importante incentivar os alunos a identificarem as figuras padrões em cada imagem e quais os tipos de simetrias presentes.

Em seguida, em laboratório, mostrar aos alunos alguns vídeos sobre construções das obras de Escher, por exemplo do cubo de Escher (vídeo disponível em https://www.youtube.com/watch?v=CZAQ_b2rzAA) e discutir brevemente a ilusão óptica presente nele. Mostrar as construções no Geogebra de algumas das obras e discutir como a simetria está presente nelas. Para isso, utilizar as construções presentes no link https://www.geogebra.org/b/137477#. Caso sobre tempo, também, no link http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=23463 há um exemplo de atividade que pode ser aplicada.

E, ao final, peça que os alunos tentem resolver alguns exercícios do capítulo 7.2 – Exercícios de Fixação para a próxima aula. Relembre que os exercícios deverão ser entregues ao final das 6 aulas e que serão considerados na nota final.

Para os alunos mais interessados, indicar o documentário Metamorfose disponível em https://www.youtube.com/watch?v=pVwrUUwzBRo que retrata com mais profundidade o tema.

5ª AULA

Professor, no início da aula, recolher os sólidos geométricos dos alunos e aproveitar para lembra-los da entrega dos exercícios de fixação e do projeto na próxima aula.

A ideia é fazer uma aula mais descontraída, com atividades diversas relacionadas a diversas áreas do conhecimento para mostrar a interdisciplinaridade existente entre a matemática e as outras áreas do saber e mostrar aos alunos como os conceitos aprendidos nas aulas podem ser aplicados no cotidiano.

Diversas são as atividades que podem ser aplicadas aqui, dentre atividades em sala de aula, em campo, em laboratório de informática, individuais ou em grupo. É importante que incentive o interesse e participação dos alunos, mantenha a sala em ordem e procure perceber quais atividades estão dando mais resultado para guiar a continuidade da aula.

Abaixo estão alguns links de atividades: Tira de Mobius: explicação breve do que é e como construí-la. Essa atividade vai auxiliar os alunos na

atividade do projeto que precisa ser entregue. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/mobius-strips/v/math-improv-fruit-by-the-foot

Hexaflexágonos: o que são e como podem ser construídos. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/hexaflexagons/v/hexaflexagons

Vídeos e exercícios de simetria no plano. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/enem/conhecimentos-geometricos/simetrias-figuras-planas-espaciais

Flocos de neve: como construir com papel flocos de neve e como construí flocos de neve redondos. Disponíveis em: https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/snowflakes-starflakes-and-swirlflakes e https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/sphereflakes

Cantar e barulhos: uma expressão musical e visual de grupos matemáticos de simetria. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/singing/v/doodle-music

Geogebra: atividades envolvendo simetria no plano para construção de figuras no software. Disponível

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=23463


em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=43137 Desenhos em perspectiva: simetria e perspectiva do livro “Alice no país das maravilhas”. Disponível em:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=52292 Estudo da geometria com casas enxaimel. Disponível em: http://rede.novaescolaclube.org.br/planos-de-

aula/estudo-da-geometria-com-casas-enxaimel Atividades diversas – MD Mat. Disponível em: http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/

6ª AULA

Professor, esta é a última aula dedicada ao conteúdo de simetria. Portanto, será uma aula de fechamento e, para tal, algumas coisas são necessárias. Primeiramente, ao início da aula, recolher os exercícios de fixação (individual) e os projetos (cartaz, trabalho escrito, vídeo e fita de Mobius). Em seguida, relembrar o que foi visto nas aulas anteriores e verificar o que os alunos acharam dos conteúdos.

Em seguida, para finalizar o tema, mostrar alguns vídeos e imagens de fractais geométricos. Segue abaixo: Vídeo com zoom em diversos tipos de fractais. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?

v=BTiZD7p_oTc&ebc=ANyPxKqEzjtBX641b-hjHP6TxjtGgJfIyYMW3hLi44zVzSMs64b7udcSjbgeH6OLR_JLUP4JZxFLEr-zxAwkTJjE82IFbCHMkQ&spfreload=10

Vídeo explicando frações fractais. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/fractal-fractions

Geogebra: construções de fractais geométricos. Disponível em: https://www.geogebra.org/b/75828#Ao final da aula, distribuir as folhas de auto-avaliações.

4.2. Alunos – Procedimentos para Atividades

Início da Conversa

Conhecer um pouco da simetria presente no cotidiano e como ela pode ser aplicada e buscar alternativas de aplicação da simetria de forma a otimizar tempo e trabalho.

Portanto, através de nossos recursos tecnológicos, exploremos nossa criatividade e aproveitemos esse projeto para desenvolver nossa noção geométrica, na elaboração e representação de modelos já existentes, além de desenvolver a comunicação por meio do diálogo e apresentação.

Missão

Neste projeto a sua missão e de sua equipe será preparar um cartaz de divulgação da simetria no mundo, que deve conter todas as suas descrições, imagens das obras de Escher, como elas estão relacionadas a simetria, além da tira de Mobius, de algumas atividades diversas e de vídeos sobre o processo de elaboração do projeto.

Com esse objetivo, vocês terão que fazer pesquisas sobre simetria na natureza, na arte, sobre as obras do artista Escher e Mobius, bem como elaborar um trabalho escrito e um cartaz sobre os conteúdos pesquisados, e um vídeo ilustrando as etapas dos processos de construção. Além disso, produzir sólidos geométricos de papel, tira de Mobius e exercícios.

Etapas

1) 1) Inicie o projeto com as divisões de tarefas. Com esse planejamento formado, é preciso definir os recursos tecnológicos que serão utilizados para a sua realização: softwares, hardwares, etc. Depois de tudo definido, os membros do grupo já saberão quais serão suas tarefas, pois já sabem quais são as suas funções e atribuições no projeto.

2) Utilizando ferramentas de busca Google (www.google.com.br), pesquise na Internet informações sobre a simetria, qual a sua influência e aplicações, selecione exemplos de onde podemos encontrar a simetria na


natureza, na arte, na química, na biologia, etc.

3) O coordenador tecnológico juntamente com a equipe de engenharia deverá confeccionar as formas geométricas, a tira de Mobius e o vídeo, que deverão ser enviados por e-mail para todos os membros da equipe de orçamento.

4) Após um levantamento com o conteúdo teórico do trabalho, é hora de elaborar o trabalho escrito. Este não precisa ser muito longo, faça algo sucinto, com poucas páginas, mas que tenha uma fundamentação adequada.

5) Prepare-se para fazer, junto com seu grupo, uma apresentação do cartaz para seu professor e colegas de classe, destacando os principais conceitos de simetria e as principais aplicações no cotidiano desse conteúdo, e também reserve um espaço para falar sobre a simetria na arte e os trabalhos de Escher. Neste momento, tanto o professor quanto os colegas, podem sugerir melhorias nos cartazes.

6) Depois de prontos, os produtos precisam ser divulgados e compartilhados. Sugerimos que a divulgação desse material seja feita em uma exposição, em espaço público da escola, ou no Blog do professor ou da própria escola. Não deixe de fazer o acompanhamento dos comentários, reflexões e observações que serão publicados.

5. PUBLICIDADE E PROPAGANDA


5.1. Produtos

Aplicativo.

Blog.

Demonstração de exercício em Geogebra.

Gravação das construções e demonstrações.

Relatório Final.

6. PROCESSO E PERSONALIZAÇÃO


6.1. Auto-avaliação dos Alunos - Registro das Lições Aprendidas

CritériosDesempenho

MínimoDesempenho

MédioDesempenho

Alto

Consegui confeccionar as formas geométricas.

Consegui encontrar a relação entre área e volume das formas geométricas.

Consegui pesquisar na internet, utilizando termos de refinamento de busca em bancos de informações, sites e

bibliotecas virtuais.

Consegui usar os principais recursos dispositivos digitais e móveis, tais como: computador, notebook, filmadora digital,

câmera fotográfica, pendrive, smartphones e tablets.

Consegui produzir conteúdos de acordo com as orientações, escopo e regras estabelecidas para cada tipo de gênero.

Consegui trabalhar colaborativamente e cooperativamente, de acordo com regras de convivência que contribuíram para

favorecer ambientes harmoniosos.


6.2. Avaliação - Exercícios de Fixação

Exercícios – Um dia no museu

1) Quantos eixos de simetria existem na figura abaixo?

a) 5b) 4c) 6d) 7

2) Quantos eixos de simetria existem nessa flor do Gerânio (Geronium robertianum)?

(Geranium robertianum)

a) 3b) 4c) 5d) 6


a) 4b) 5c) 6d) 7



a) 4 b) 5c) 6d) 8

Exercícios OBMEP 2011

1) O Tio Mané é torcedor doente do Coco da Selva Futebol Clube e resolveu fazer uma bandeira para apoiar seu time no jogo contra o Desportivo Quixajuba. Para isso, comprou um tecido branco retangular com 100 cm de largura e 60 cm de altura. Dividiu dois de seus lados em 5 partes iguais e os outros dois em 3 partes iguais, marcou o centro do retângulo e pintou o tecido da forma indicada na figura abaixo. Qual é a área do tecido que Tio Mané pintou?

Sugestão: Trace as diagonais do retângulo e calcule a área das quatro partes determinadas.

2) O jardineiro Jacinto decidiu ajardinar um canteiro retangular com 10 m2 de área. Dividiu o canteiro traçando uma diagonal e unindo cada um dos pontos médios dos lados maiores com um vértice do lado oposto, como indicado na figura. Na região sombreada plantou jasmins. Qual a área dessa região?

Sugestão: Trace um segmento de reta ligando os pontos médios relatados no problema.

3) Considere um tabuleiro com 11 linhas e 11 colunas.

a) Quantas casas formam este tabuleiro?


b) A diagonal cujas casas estão sombreadas separa o tabuleiro em duas regiões: uma acima e outra abaixo. Quantas casas formam cada região? É possível calcular esse número sem contar casa por casa?c) Com a ajuda do tabuleiro, é possível calcular a soma 1 + 2 + ... + 10. Explique como.d) Com a ajuda de outro tabuleiro, com o raciocínio semelhante ao do item anterior, é possível calcular a soma 1 + 2 + ... + 100. Qual deve ser a quantidade de linhas e colunas do tabuleiro? Qual o valor da soma?

Sugestão: Observe que as duas regiões formadas são iguais. No item (c), conte as casas de cada peça por linha.

4) Doze pontos são marcados sobre uma grade de pontos, como mostrado na figura abaixo.

Quantos quadrados podem ser formados ligando quatro desses pontos?

Sugestão: Verifique que existem quadrados inclinados, de dois tamanhos diferentes.

Exercício Seduc – Prova Brasil 2009

1) Os desenhos a seguir representam o formato de um jardim que será construído em uma praça da cidade. Inicialmente pensou-se num jardim pequeno, mas devido ao grande entusiasmo que causou na população da cidade, o prefeito solicitou que fizessem um novo projeto, com desenho maior. O novo projeto terá área:

a) 2 vezes maior que o primeiro.b) 3 vezes maior que o primeiro.c) 4 vezes maior que o primeiro.d) 6 vezes maior que o primeiro.

Exercícios PISA 2012

1) Um fazendeiro planta macieiras em uma área quadrada. Para protegê-las contra o vento, ele planta coníferas ao redor do pomar. O diagrama abaixo mostra essa situação, na qual se pode ver as macieiras e as coníferas, para um número (n) de filas de macieiras.


Complete a tabela abaixo:n Número de macieiras Número de coníferas1 1 82 4345

Sugestão: Resposta usando desenho para n = 5, para encontrar os números na tabela OU Resposta usando regularidades na tabela para preencher os números que faltavam

Resolução:n Número de macieiras Número de coníferas1 1 82 4 163 9 244 16 325 25 40

2) Suponha que o fazendeiro queira fazer um pomar muito maior com muitas fileiras de árvores. À medida que o fazendeiro aumenta o pomar o que crescerá mais rápido: o número de macieiras ou o número de coníferas? Explique como você encontrou a sua resposta.

Sugestão: Macieiras = n x n e coníferas = 8 x n. Em ambas as fórmulas temos o fator n, mas as macieiras têm outro fator n que aumentará mais rápido enquanto o fator 8 permanece o mesmo. O número de macieiras aumentará mais depressa. A resposta correta poderia conter a afirmação de que o número de macieiras cresce mais rápido para n maior ou igual a 8 (ou maior ou igual a 4, o que é mais correto).

Exercícios Prova Brasil 9º ano

1) Observe a figura abaixo.


Considere o lado de cada quadradinho como unidade de medida de comprimento.Para que o perímetro do retângulo seja reduzido à metade, a medida de cada lado deverá sera) dividida por 2.b) multiplicada por 2.c) aumentada em 2 unidades.d) dividida por 3.

6.3. Avaliação - Exercícios no Geogebra

Antes da resolução de exercícios, vamos abordar a construção de polígonos com utilização do mouse e por meio da digitação de comandos na Entrada. Acesse o Geogebra (online ou app no computador).Vamos trabalhar a ferramenta Polígono:

A ferramenta Polígono possibilita construir polígonos a partir de pontos já construídos na Janela de Visualização ou mesmo a partir de pontos criados no momento do uso da ferramenta. Assim, para construir um polígono basta clicar na ferramenta Polígono e clicar em pontos a sua escolha na Janela de Visualização. A construção deve ser finalizada clicando novamente no ponto em que a construção foi iniciada.

É possível ainda construir um polígono digitando comandos na Entrada. Para isso, utiliza-se uma das seguintes sintaxes: Polígono[ <Ponto>, ..., <Ponto>]

Esse comando constrói um polígono a partir de um conjunto de pontos específicos, por exemplo, Polígono[(0,0), (2,3), (1,5)] constrói um polígono de vértices (0,0), (2,3) e (1,5) que são os parâmetros do comando. Supondo que os pontos A = (0,0), B=(2,3) e C=(1,5) estivessem construídos no GeoGebra. Nesse caso, digitando Polígono[A, B, C] na Entrada obtemos o mesmo resultado descrito anteriormente.

Polígono[ <Lista de Pontos> ]


Com essa sintaxe é possível construir um polígono a partir de uma lista de pontos. Assim, dada uma lista de pontos L = {(0,0), (2,3), (1,5)}, basta digitar Polígono [L] na Entrada para obter um polígono.

Polígono RegularCom a ferramenta Polígono Regular obtemos polígonos a partir de dois pontos e de um número natural que indica a quantidade de lados ou vértices. Para construir um polígono regular basta clicar em Polígono Regular, escolher dois pontos e, em seguida, o GeoGebra carrega uma janela em que deve-se digitar um número ou o nome de uma variável que representa a quantidade de vértices.

Após digitar o número de vértices, ou a variável, clicando-se em OK obtém-se um polígono regular.

O mesmo resultado pode ser obtido usando a seguinte sintaxe na Entrada:Polígono[ <Ponto>, <Ponto>, <Número de Vértices>]

Polígonos RígidosO GeoGebra possui uma ferramenta com a qual é possível construir polígonos não deformáveis, ou seja, polígonos cuja forma não é afetada ao movimentar um vértice ou um lado. Essa ferramenta é chamada Polígono Rígido. Clicando na ferramenta Polígono Rígido podemos construir um polígono de cinco lados conforme exibido abaixo.


Como podemos observar o GeoGebra retornou apenas os dois primeiros pontos clicados, A e B, e um polígono rígido. Nesse caso se movermos o ponto A todo o polígono é movido juntamente. Se movermos o ponto B, o polígono é girado em torno do ponto A. Portanto, em nenhum dos casos o polígono é deformado.

1) Construa no Geogebra as figuras abaixo.

1) Polígono


2) Polígono Estrelado

3) Mosaico

Vamos fazer um experimento prático que visa auxiliar o estudante a desenvolver a noção de espaço, localização espacial e direção. Trabalha com as noções de translação por um vetor. O que auxilia o aluno a se familiarizar com tais conceitos de direção e sentido de um vetor.Siga o passo a passo para construção de um mosaico no Geogebra.

1) Construção de um quadrado.

Precisamos construir um quadrado, para facilitar os procedimentos terá uma sequência de imagens.


Após escolhida a opção de construção de polígono regular, marque um ponto qualquer no plano, a sua escolha. E como já estamos falando em um polígono regular, basta só definir a quantidade de lado da figura, que no nosso caso será um quadrado, e com isso 4 vértices.

Para retirar o plano cartesiano, não só apenas para esta atividade, mas também para as outras, basta selecionar Exibir Eixos, quando selecionada esta opção, os eixos desaparecem.

2) Construção do modelo

Partindo de um quadrado e utilizando a opção Polígono, vamos retirar uma figura ou parte de um lado, seleciona-se um ponto de início e para o término da construção, o ponto de início e final é o mesmo. Por exemplo, se começarmos a construção do nosso novo polígono no ponto A, para completar esta figura, devemos terminar no mesmo.


A parte foi construída, devemos deslocar para o seu lado oposto, por exemplo, se retiramos a figura do lado direito, ela deverá ir par ao lado esquerdo. Aqui é uma parte em que podemos abordar a questão de como fazer com que a figura construída passe para o outro lado? Basta simplesmente “colar” do outro lado? Se você tivesse que “ensinar” este caminho, como faria?Depois destas explorações cabe ao professor informar que esse deslocamento se deve a um vetor, do qual tem direção, sentido e tamanho, no nosso caso, deslocaremos a figura do ponto A para o ponto B, criando um vetor que vai auxiliar nesse movimento.

3) Construindo vetor

Seja a figura construída, para seguirmos a construção do mosaico, devemos estipular um agente que execute esta movimentação para o lado oposto, de tal maneira que a figura se desloque do ponto A até o ponto B, e um vetor serve exatamente para o que queremos.

Criando um vetor:Na mesma figura construída, clique na opção de reta, em seguida vá em vetor definido entre Dois Pontos, como queremos deslocar a figura de A para B, aconselhamos a criar o vetor.

Pronto, temos o vetor construído e com isso podemos continuar nossa atividade para a construção do mosaico.

4) Construção do mosaico

Depois de construída a figura, o vetor, agora é hora de iniciarmos a construção do mosaico. Clicando na opção de simetria, em seguida em translação por um vetor, vemos no canto direito do software as indicações para utilizar este recurso, da seguinte maneira, selecione o objeto e em seguida o vetor. Segue indicações abaixo:


Selecione, primeiramente, a figura formada e em seguida o vetor. Em seguida, selecione a nova figura formada.

Utilize a opção translação por um vetor novamente, mas agora com o polígono novo formado e o vetor.

Repete-se este procedimento de translação o polígono novo formado e o vetor. Quando utilizamos esta ferramenta, só vamos completando os polígonos lada a lado, mas e se quiséssemos completar embaixo ou em cima? Espera-se que com esta pergunta, os alunos consigam relacionar com o que foi trabalho até este ponto, e respondam que deve-se criar vetores indicando qual sentido devem seguir, que se quiser ir para baixo, devem criar um vetor que os leve para baixo.


4) Polígonos Estrelados

Tente desenhar os polígonos abaixo no Geogebra.


6.4. Avaliação - Rubricas

Rubrica para avaliação da produção das atividades.

Insatisfatório Aceitável Avançado

Categoria e PesoAbaixo dos padrões esperados.

Desempenho aceitável.Demonstra desempenho excelente.

1Organização (30%)

A distribuição dos elementos (texto e imagens) está confusa.

A distribuição dos elemen-tos (texto e imagens) é satisfatória.

A distribuição dos elementos (texto e imagens) é criativa e colabora para o bom entendimento da mensagem.

2Mensagem / Conteúdo (40%)

Mensagem pouco clara ou divergente das principais ideias do projeto.

Mensagem clara e memorável.Reflete com precisão as principais ideias do projeto.

Mensagem clara e memorável.Reflete com precisão as principais ideias do projeto.Conteúdo criativo e envolvente.

3

Técnicas de propaganda de distração (30%)

Não usa atrativos e técnicas de distração.

Usa atrativos e técnicas de distração.

Usa atrativos e técnicas de distração que persuadem o público.

Rubrica para avaliação da apresentação oral

Iniciante Regular Proficiente Exemplar

A apresentação está em fase inicial.

A apresentação inclui momentos de qualidade, mas poderia ser aperfeiçoada em vários aspectos importantes.

A apresentação é aceitável, mas poderia ser aperfeiçoada em alguns aspectos importantes.

A apresentação é exemplar.

Conteúdo

1

A apresentação não inclui informações sobre pontos importantes.

Informações importantes estão ausentes, ou existem poucos detalhes de apoio.

Informações completas com detalhes básicos de apoio, aumentando o conhecimento do público pelo menos em certa medida.

Informações completas e bem apoiadas em detalhes aumentando significante o conhecimento do público sobre o assunto.

Pensamento e comunicação

2

A apresentação não expressa os principais pontos de forma clara, completa ou persuasiva.

A apresentação parece comunicar apenas uma compreensão limitada do assunto.Os principais pontos não são apresentados com clareza ou de modo persuasivo.

A apresentação demonstra boa compreensão do assunto, com alguns lapsos.As principais ideias do apresentador são claras, mas não persuasivas.

A apresentação demonstra compreensão profunda e completa do assunto.As principais ideias do apresentador são lógicas e conclusivas.

Organização, mecânica e vocabulário


3

Não há introdução para prender a atenção da plateia.O corpo da apresentação precisa de organização e detalhes de apoio.Um fechamento adequado está faltando.O apresentador não domina palavras e expressões fundamentais relacionadas ao assunto.

A introdução não é clara ou não prende a atenção da plateia.O corpo da apresentação está confuso com dados de apoio limitados.O fechamento não é claro ou não inclui muitos dos principais pontos.O vocabulário do apresentador sobre o assunto é limitado.

A introdução apresenta a finalidade, mas não prende a atenção da plateia.A principal parte da apresentação é organizada e sequencial com alguns detalhes de apoio.O fechamento fornece uma síntese das principais ideias.O vocabulário é adequado para o assunto, com alguns lapsos.

A introdução prende a atenção da plateia e apresenta a finalidade com clareza.A principal parte da apresentação é organizada, sequencial e bem embasada com detalhes.O fechamento fornece uma síntese completa das principais ideias.O apresentador demonstra vocabulário rico e adequado ao assunto.

Ilustrações / Imagens

4

Ausência de imagens ilustrativas na apresentação.

As ilustrações não contribuem para a compreensão da plateia ou são confusas.

As ilustrações são adequadas aos tópicos, mas não estão bem integradas à apresentação como um todo.

As ilustrações têm clara relação com os demais conteúdos. São bem informativas para o público.

Apresentação

5

Não há evidência de controle de tom, clareza e volume de voz.Não há evidência de criatividade.O apresentador está visivelmente nervoso e não demonstra interesse pelo assunto.O apresentador não faz contato visual com a plateia.Gestos e expressão facial estão ausentes.

A clareza da fala é irregular. Momentos de hesitação na apresentação.Evidências limitadas de criatividade.O apresentador não está totalmente seguro sobre o assunto.Parece nervoso ou alheio.Contato limitado ou esporádico com a plateia.Uso limitado ou inadequado de gestos físicos ou expressões faciais.

Bom tom de voz. Recupera-se facilmente de erros de linguagem.Criatividade aparente, mas pouco integrada à apresentação.O apresentador demonstra domínio do assunto, mas parece ligeiramente nervoso na apresentação.Bom contato visual com a plateia durante a maior parte da apresentação.O uso de gestos e expressões faciais é bom, mas às vezes parece forçado ou artificial.

Os recursos de apresentação têm clara relação com o material, são bem executados e informativos para o público.Voz clara e facilmente compreendida pela plateia.O uso da criatividade mantem a atenção da plateia.O uso de gestos e expressões faciais demonstra energia e entusiasmo.

Rubrica para avaliação da cooperação entre colegas e trabalho em equipe

Insatisfatório Proficiente Avançado

Critérios e iniciativa

Abaixo dos padrões esperados.

Desempenho aceitável.Demonstra desempenho excelente.


1

Liderança e iniciativa(25%)

O membro do grupo desempenhou papel passivo, gerando poucas ideias, gerando poucas ideias novas.Inclinava-se a fazer apenas o que lhe diziam para fazer ou não buscou ajuda quando necessário.

O membro do grupo desempenhou papel ativo na geração de novas ideias.Tomou a iniciativa para organizar e concluir as tarefas e buscou ajuda quando necessário.

O membro do grupo proporcionou liderança ao grupo organizando e dividindo criteriosamente as tarefas, verificando o progresso ou focando e direcionando o projeto.

2

Facilitação e apoio(25%)

O membro do grupo pareceu incapaz ou indisposto a ajudar os outros.Fez críticas não construtivas ao projeto ou a outros membros do grupo ou distraiu outros membros.

O membro do grupo mostrou-se disposto a ajudar os outros membros quando solicitado, ouviu atentamente as ideias dos outros e ajudou a criar um ambiente de trabalho favorável.

O membro do grupo verificou diligentemente como cada participante estava progredindo e como poderia ajudar.

3

Contribuições e ética de trabalho(50%)

O membro do grupo muitas vezes não participava do trabalho, não cumpria tarefas ou obrigações, ou tinha problemas de frequência que significativamente prejudicavam o progresso do projeto. Pode ter trabalhado arduamente, mas em partes relativamente pouco importante do projeto.

O membro do grupo estava preparado para trabalhar todos os dias, concluía tarefas / obrigações dentro do prazo e trabalhou arduamente no projeto na maior parte do tempo.Se ausente, outros membros do grupo sabiam o motivo e o progresso não foi significativamente prejudicado.

O membro do grupo compensou o trabalho que outros deixaram de fazer e mostrou-se disposto a dedicar tempo significativo fora do horário de aula / escola para concluir o projeto.


7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Um tesouro a descobrir. Os 4 pilares da educação. UNESCO. Cap 4, p-31. 2010. Disponível em: http://unesdoc.unesco.org/images/0010/001095/109590por.pdf. Acessado em: 09 de março de 2016.

Competências Socioemocionais. Porvir. Disponível em: http://porvir.org/especiais/socioemocionais/. Acessado em: 09 de março de 2016.

Exemplos de questões – INEP. Disponível em: http://portal.inep.gov.br/web/saeb/exemplos-de-questoes2

Exemplos de questões – OBMEP. Disponível em: http://www.obmep.org.br/banco.htm

Transformações do plano – Pré-cálculo UFRJ. Disponível em: http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap26.html

O Geogebra – divulgação do software. Disponível em: http://ogeogebra.com.br/site/

Geogebra Online. Disponível em: https://web.geogebra.org/

Matemática Multimídia – Unicamp. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/

Planos de Aula – Portal do Professor. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html

Khan Academy – Passando tempo com a matemática e muito mais. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart

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