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UFABC – Prof. Dr. Claudio F. André - Disciplina: Práticas de Ensino de Matemática – 1º. Quadrimestre/2016 1

Universidade Federal do ABC

CMCCCentro de Matemática, Computação e Cognição

DISCIPLINAPráticas de Ensino de Matemática

Ensino Fundamental

Álgebra: uma introdução às generalizações

ALUNODiego Medeiros de Aguiar

Bacharelado em Ciência e TecnologiaMatrícula 21002613

ORIENTAÇÃOProf. Dr. Claudio F. André

Santo André – SP

1º. Quadrimestre de 2016


SUMÁRIO

DADOS GERAIS....................................................................................................................................3

1. PERGUNTA(S) PROBLEMATIZADORA(S)............................................................................................4

2. PROPÓSITOS....................................................................................................................................52.1. Conceituais.......................................................................................................................52.2. Procedimentais.................................................................................................................52.3. Atitudinais........................................................................................................................5

3. PLANEJAMENTO................................................................................................................................63.1. Prazo................................................................................................................................63.2. Produtos...........................................................................................................................6 3.2.1 Critérios de avaliação dos produtos........................................................................63.3. Exercícios de fixação........................................................................................................63.4. Funções dos alunos..........................................................................................................63.5. Conteúdo/Conhecimento formal/Fundamentos................................................................7 3.5.1 Introdução...............................................................................................................7 3.5.2 Contexto histórico...................................................................................................7 3.5.3 Representação algébrica.........................................................................................8 3.5.4 Utilização.................................................................................................................8 3.5.5 Valor numérico........................................................................................................9 3.5.6 Expressões algébricas equivalentes......................................................................103.6. Matemático (Breve Biografia).........................................................................................11

4. PESQUISA.......................................................................................................................................12

5. PRODUÇÃO....................................................................................................................................125.1 Professores - Procedimentos/Ações/Atividades...............................................................125.2 Produções - Alunos - Procedimentos/Ações/Atividades...................................................13

6. PUBLICAÇÃO..................................................................................................................................146.1. Produtos.........................................................................................................................14

7. PROCESSO.....................................................................................................................................147.1. Autoavaliação dos Alunos - Registro das lições aprendidas...........................................147.2. Avaliação - Exercícios de fixação....................................................................................157.3. Avaliação - Rubricas.......................................................................................................17

REFERÊNCIAS.....................................................................................................................................18


DADOS GERAIS

DisciplinaMatemática

Nível de EnsinoEnsino Fundamental

Ano7º ano / 6ª série

Eixo

Tema III: Números e operações/álgebra e funçõesTítuloÁlgebra: uma introdução às generalizações

Sinopse

Esta aula compõe uma visão inicial sobre a Álgebra e seus desdobramentos na construção de um novo pensamento lógico-matemático através de uma situação diferenciada, no caso, a descoberta de padrões em charadas matemáticas.

Recursos e Materiais de apoio

1. Softwares / Aplicativos Processador de texto: MS Word Software de apresentação: Microsoft PowerPoint Ferramenta de pesquisa na internet: Google Software de matemática dinâmica: Geogebra Software para notação matemátca: MathType

2. Hardware Microcomputador ou tablet

Glossário (05 palavras / termos)

1. Álgebra: é o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinômios e estruturas algébricas. (Wikipedia, versão em português)

2. Expressão algébrica: é uma expressão matemática que apresenta números e (ou somente) quantidades desconhecidas ou generalizadas. (definição do autor)

3. Variável: é o nome dado à quantidade desconhecida ou generalizada em uma expressão algébrica. (definição do autor)

4. Valor numérico: é o valor obtido ao substituir as variáveis de uma expressão algébrica por números e a efetuação dos cálculos indicados (GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 1996)

5. Número literal: é o uso das letras do alfabeto para representar números. (GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 1996)


1. PERGUNTA(S) - PROBLEMATIZADORA(S)

Como você faria para expressar relações entre quantidades que você não conhece?

Como eu sei as propriedades de uma operação sem ter que testar todos os casos?

Como você consegue descobrir quantidades desconhecidas em um problema?


2. PROPÓSITOS

2.1. Conceituais

1. Conceituais

D30-EF2-MAT – Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.

D32-EF2-MAT – Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras (padrões).

2.2. Procedimentais

Aplicar conhecimentos existentes para gerar novas ideias, produtos ou processos. Desenvolver trabalhos originais como um meio de expressão individual e coletiva. Identificar e definir problemas autênticos e questões significativas para investigação. Usar os principais recursos dispositivos digitais e móveis, tais como: computador, notebook,

netbook, filmadora digital, câmera fotográfica, impressora, scanner, pendrive, smartphones e tablets;

Encontrar e utilizar tecnologias, soluções e ferramentas gratuitas na internet.

2.3. Atitudinais

Produzir conteúdos de acordo com as orientações, escopo e regras estabelecidas para cada tipo de gênero.

Trabalhar colaborativamente e cooperativamente, de acordo com regras de convivência que contribuam para ambientes harmoniosos.


3. PLANEJAMENTO

3.1. Prazo

2 aulas de 50 minutos

3.2. Produto(s)

Atividade escrita individual

3.2.1. Critérios de avaliação dos produtos

Clareza na situação problema avaliada, complexidade do raciocínio indutivo observado e organização das informações.

3.3. Exercícios de fixação

De 85% até 100% de acertos – Ótimo De 65% até 85% de acertos – Bom De 50% até 64,9% de acertos – Regular De 0% até 49,9% de acertos – Precisa melhorar

3.4. Funções dos Alunos

Investigar relações, padrões e propriedades partindo do mundo aritmético para o algébrico, além de proporcionar a criação de charadas matemáticas como introdução ao formalismo algébrico.


3.5. Conteúdo/Conhecimento formal / Fundamentos

Álgebra – uma introdução às generalidades

3.5.1. INTRODUÇÃO

Vamos tomar a seguinte situação:

Clara é uma confeiteira. Para produzir 12 bolos, o custo de cada bolo é de R$ 15,00 e ela sempre tem um custo fixo, independente da quantidade produzida, de R$ 20,00. Quanto custou a produção?

Naturalmente, se serão produzidos 12 bolos a um custo de 15 reais, a resposta será dada pelo produto de 15 por 12, isto é, Temos ainda que adicionar o custo fixo de R$ 20,00, portanto, o custo será de ou seja, R$ 200,00.

Mas e se ao invés de 12 fossem 15 bolos?

O problema seria resolvido multiplicando o mesmo custo de R$ 15,00 para 15 bolos e somando o custo fixo de R$ 20,00, isto é, ou seja, R$ 245,00.

Será que é possível expressar o custo de Clara através de uma expressão que seja válida para qualquer que seja a quantidade de bolos?

3.5.2. CONTEXTO HISTÓRICO

Na Antiguidade, a falta de símbolos para indicar as operações e expressar os cálculos necessários à resolução de um problema levou o homem a recorrer ao uso das palavras. Isso tornava o cálculo longo, cansativo e complicado.

O filósofo grego Aristóteles (384 – 322 a.C.) e o matemático grego Euclides (século III a.C.) foram os primeiros a usar letras e símbolos, embora de forma muito limitada, para indicar números e expressar a solução de um problema.

Em seguida, foi utilizado o recurso da abreviação para sintetizar de maneira mais racional o cálculo. Foi, porém, o matemático e astrônomo François Viète (1540 – 1603) o introdutor do uso de letras para indicar números e dos atuais símbolos das operações que usamos até hoje. Por esse motivo, Viète é considerado o pai da Álgebra. O uso das letras e o cálculo literal trouxeram enormes progressos para a Matemática, que assumiu a forma atual ao longo do tempo.

A palavra álgebra deriva da expressão árabe al-jabr (reunir), usada no título do livro Al-jabr w’al mugabalah ou, em português, A arte de reunir desconhecidos para igualar uma quantidade conhecida, escrito no século IX por Al-Khwarizmi, o mesmo que levou os atuais algarismos (nota alguma semelhança entre o nome e a palavra algarismo?) indoarábicos juntamente ao sistema decimal para a Europa. Este estudo de Al-Khwarizmi foi traduzido para o latim e então a álgebra passou a ser utilizada pelos matemáticos europeus.


3.5.3. REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA

Cada símbolo matemático corresponde a um conceito. Com regras apropriadas, relacionamos uns aos outros e com os demais elementos da linguagem matemática para exprimir uma ideia. Vamos a alguns exemplos:

Frase na linguagem comum Expressão na linguagem matemática

Oito adicionado a sete.Expressões aritméticas

O quadrado de três multiplicado por cinco.

O dobro de um número qualquer adicionado a outro número qualquer.

Expressões literaisO dobro da soma de dois números quaisquer

Um número ímpar qualquer

As expressões aritméticas que contém somente símbolos numéricos são denominadas expressões aritméticas, e aquelas que contêm letras são denominadas expressões literais.

Note que, nos três últimos casos da tabela, nós temos termos que designam números de forma vaga (um número qualquer, o dobro de um número qualquer...). Nesses casos, quando não sabemos que número é esse, ou seja, é um número que pode, naquela circunstância assumir diversos valores, representamos o dito número por uma letra qualquer, que em Matemática chamamos de variável.

Obs.: A multiplicação entre variáveis ou entre números e variáveis não precisa ser indicada, isto é, se tivermos uma expressão (dois vezes um número qualquer), podemos reduzi-la a

3.5.4. UTILIZAÇÃO

As expressões literais são muito úteis quando tratamos de explicar um evento de forma genérica, porque se escrevemos sentenças ou expressões em função de variáveis, o que soubermos ser válido para essas variáveis será válido para qualquer outro número que seja colocado no lugar da variável.

Por exemplo, a propriedade comutativa da adição (a ordem das parcelas não altera a soma) pode ser reescrita como:

“Sejam a e b dois números quaisquer. Então ”.

Note que a e b são variáveis. Se a propriedade vale para qualquer a e b, então vale para quaisquer outros números que colocarmos no lugar de a e de b:

a b a + b b + a

2 3

4 12


Ela também nos permite expressar padrões reconhecíveis para sequências de números. Por exemplo:

Coluna 1 Coluna 2

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

Podemos verificar nessa sequência de números que a relação entre os números da coluna 1 e da coluna 2 é que os números da coluna 2 são os quadrados dos números da coluna 1. Mas como eu posso expressar esse padrão de forma matemática?

Se chamarmos de n um número qualquer da coluna 1, temos que o correspondente dele na coluna 2 é o quadrado de n, isto é, . Então temos na tabela:

Coluna 1 Coluna 2

1 1

2 4

... ...

n n2

3.5.5. VALOR NUMÉRICO

Dada uma expressão algébrica, podemos atribuir a ela um valor numérico, isto é, substituímos a variável por um número bem definido e fazemos os cálculos necessários. Por exemplo:

Expressão algébrica

Valor para a variável x

Valor para a variável y

Valor para a variável z

Como fica a expressão?

Valor numérico

2 Não há Não há 17

-1 1 Não há 1

2 3 -6


3.5.6. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS EQUIVALENTES

Vejamos o seguinte exemplo:

Podemos expressar o perímetro deste triângulo com lados medindo x, e 2x através da soma desses termos:

No entanto, há algumas propriedades das operações que nós já conhecemos que podemos aplicar nesta expressão:

Entretanto, as expressões e significam a mesma coisa: o perímetro do triângulo Δ ABC. Dizemos que as expressões são equivalentes. Podemos obter expressões equivalentes conforme a nossa necessidade.

Fonte:DANTE, Luís Roberto. Tudo é matemática – 6ª série. São Paulo: Ática, 2002, 1ª ediçãoGIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI Jr., José Ruy. A conquista da matemática de acordo com a proposta curricular de São Paulo: 6ª série. São Paulo: FTD, 1996, edição renovada.BONJORNO, José Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; OLIVARES, Ayrton. Matemática: fazendo a diferença – 6ª série/7º ano. São Paulo: FTD, 2006, 1ª edição.


3.6. Matemático (Breve Biografia)

François Viète1540 – 1603

Apesar de ser mais conhecido como matemático, esta área era um passatempo para ele, que era advogado

Serviu o governo inglês em guerra com a Espanha em decodificação de cartas

In artem analyticum isagoge foi seu grande e decisivo trabalho sobre matemática simbólica utilizado até hoje


4. PESQUISA

1. Acesse o site http://www.somatematica.com.br/algebra.php, e obtenha uma descrição mais

detalhada e precisa sobre a história da álgebra pelos árabes, babilônios, gregos até se

popularizar na Europa.

2. Acesse o site https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra para rever os

tópicos de álgebra. Atenção, pode conter alguns vídeos em inglês.

5. PRODUÇÃO

5.1. Professores - Procedimentos/Ações/Atividades

Caro professor, seguem algumas orientações e atividades possíveis de serem realizadas nas aulas introdutórias de álgebra:

Sabemos que o aparecimento de letras para representar quantidades é algo que pode chocar os alunos logo de início. É importante, antes de introduzir o caráter literal, se os alunos têm bom conhecimento das propriedades da adição e da subtração.

Exercício 1: Cheque se os alunos conhecem as propriedades que envolvem a adição e a multiplicação. Vá listando vários exemplos para depois enunciar o nome técnico, inclusive ao dar os exemplos, se essas propriedades valem para a subtração e a divisão. Ao citar os exemplos, aproveite para checar se os alunos tem domínio das operações envolvendo números inteiros e fracionários.

É importante ressaltar aos alunos qual é o significado de variável e qual a sua função na expressão. Muitos livros didáticos definem expressão algébrica (ou literal) como aquela que contém letras. Essa definição, embora não totalmente incorreta, é incompleta, pois não elucida a razão pela qual as letras são utilizadas naquele contexto.

Exercício 2: Comece a discutir situações bem simples onde os valores podem variar, como por exemplo o número de quadradinhos em uma malha, o quanto uma pessoa irá receber em uma venda dependendo do número de produtos comercializados, entre outros. Possivelmente os alunos irão compreender que há termos que não mudam nos cálculos e outros que tem a natural característica de variarem

Exercício 3: Reforce que as letras tem a função de substituir uma quantidade desconhecida ou ignorada, e além disso, que qualquer letra pode ser escolhida dependendo da necessidade e do que facilitar o entendimento. Por exemplo, se quisermos falar de como descrever uma operação onde a variável seja o número de pessoas, a natural escolha para a letra que representa a variável é p.

Exercício 4: Esta é a hora de deixar os alunos investigarem padrões. Apresente listas de tabelas e peça aos alunos para identificarem o padrão que está envolvido e para que descrevam esse padrão em português mesmo. Feito isso, convide os alunos a vir à lousa, e com sugestões da classe e a sua ajuda, a construir as expressões algébricas que descrevam adequadamente os padrões.


5.2. Produção - Alunos - Procedimentos/Ações/Atividades

Para começar...

A álgebra que você começou a estudar agora irá mudar completamente a maneira sobre a qual você conhece a Matemática. Você passará a investigar padrões e resolver problemas sob uma ótica muito mais organizada e simplificada, o que poderá ajudá-lo a entender melhor essa área magnífica do conhecimento.

Missão

Para este estudo você precisará investigar alguns jogos de adivinhação de números. Como você deve saber, não há nenhuma mágica nesses jogos, e claramente deve haver algum padrão que explique porque eles sempre dão certo.

Etapas

1. Leia com atenção essas três charadas matemáticas. Para facilitar, treine com seus amigos várias vezes para ver se identifica, ainda que de maneira não formal.

1 - Pense em um número de 1 a 9.

2 - Multiplique por 2.

3 - Some 10.

4 - Divida o resultado por 2.

5 - Subtraia esse resultado pelo número que você pensou no passo 1.

1 – Peça para que seu amigo pense em um número, de preferência de 1 a 10.

2 – Diga para que ele multiplique esse número por 2

3 – Depois, que some 3 a esse resultado

4 – Então, peça para que ele triplique esse valor

5 – Depois, subtraia 9

6 – Peça para que ele diga quanto deu. Dado esse resultado, divida-o por 6 e pronto, você descobriu o valor.

1 – Escolha um número

2 – Adicione 5 a esse número

3 – Multiplique o resultado por 2

4 – Subtraia 6

5 – Divida por 2

6 – Subtraia o número que você pensou.

2. Tente, para cada um dos casos, a formular expressões matemáticas que descrevam o porquê de sempre ser possível adivinhar ou poder fazer alguma afirmação através de algum dado oferecido por seu amigo(a).

3. Após isso, é a sua vez de criar uma charada matemática. Ao criá-la, descreva de maneira matemática utilizando a álgebra para explicar porque ela funciona. Utilize livros didáticos e consulte o professor em caso de dúvidas.


6. PUBLICAÇÃO

6.1. Produtos

Uma pequena composição escrita com a descrição de três charadas matemáticas citadas no item anterior e a liberdade de criação de uma charada com a devida demonstração algébrica.

7. PROCESSO (DE AVALIAÇÃO)

7.1. Autoavaliação dos Alunos - Registro das Lições Aprendidas

Critérios Desempenho

Avançado

Desempenho

Médio

Desempenho Iniciante

Consegui compreender a funcionalidade de se expressar situações matemáticas de forma literal.

Consegui compreender os conceitos de variável, expressão literal, valor numérico e expressão

equivalente.

Consegui fornecer explicação algébrica para as três charadas de maneira satisfatória e

compreensível

Consegui criar uma charada matemática de modo que ele pudesse ter fundamentação algébrica

satisfatória


7.2. Avaliação - Exercícios de Fixação – Prova Brasil, ENEM, PISA, OBMEP,...

Exercícios para avaliação

1. (Prova Brasil) Uma prefeitura aplicou R$ 850 mil na construção de 3 creches e um parque infantil. O custo de cada creche foi de R$ 250 mil. A expressão que representa o custo do parque, em mil reais, é:

a)

b)

c)

d)

Resolução: O parque custou no total R$ 850,00 e esse custo foi dividido para o parque e as três creches

2. (Prova Brasil) As figuras mostradas a seguir estão organizadas dentro de um padrão que se repete:

Mantendo essa disposição, a expressão algébrica que representa o total de pontos T em função da ordem n ( ):

a)

b)

c)

d)

Resolução: Para cada ordem, notamos que há um quadrado cuja quantidade de pontos por lado é da mesma ordem (3º na ordem, 3 pontos no lado). Portanto, calculamos a quantidade de pontos por , e em cada um deles tem um ponto fora do quadrado. Então, .

3. (Prova Brasil) Paulo é dono de uma fábrica de móveis. Para calcular o preço V de venda, em reais, de cada móvel que fabrica, ele usa a seguinte fórmula: , sendo C o preço de custo em reais desse móvel. Considere que o preço de custo de um móvel que Paulo fabrica é R$ 100,00.

Então, ele vende esse móvel por:

a) R$ 110,00

b) R$ 150,00

c) R$ 160,00

d) R$ 210,00

Resolução: Basta calcular o valor numérico trocando C por R$ 100,00:


4. (Caderno de questões OBMEP) A expressão , onde , é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução: Temos uma série de manipulações algébricas que devem obedecer ao que foi visto nas propriedades de potências:

5. (Caderno de questões OBMEP) Se então é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução: Aplicamos a regra da proporcionalidade


7.3. Avaliação - Rubricas

Rubrica para avaliação da produção da atividade

Iniciante Insatisfatório Aceitável Avançado

Categoria e Peso Abaixo dos padrões esperados

Desempenho aceitável Demonstra desempenho excelente

1 Organização(50%)

A distribuição dos elementos (texto e linguagem matemática) está confusa.

A distribuição dos elementos (texto e linguagem matemática) é satisfatória.

A distribuição dos elementos (texto e linguagem matemática) é correta, clara e permite o entendimento de qualquer leitor.

2 Mensagem / Conteúdo(50%)

Conteúdo pouco claro ou demonstração incorreta por erros conceituais ou operatórios e/ou não conseguiu criar uma charada com demonstração correta.

Conteúdo com alguma clareza, mas apresenta alguns erros conceituais que podem comprometer o entendimento.

Demonstrações claras e notável criatividade na criação da charada com fundamentação matemática.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DANTE, Luís Roberto. Tudo é matemática – 6ª série. São Paulo: Ática, 2002, 1ª edição

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI Jr., José Ruy. A conquista da matemática de acordo com a proposta curricular de São Paulo: 6ª série. São Paulo: FTD, 1996, edição renovada.

BONJORNO, José Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; OLIVARES, Ayrton. Matemática: fazendo a diferença – 6ª série/7º ano. São Paulo: FTD, 2006, 1ª edição.

matematicaprofdiego.files.wordpress.com · web view... procedimentos/ações/atividades 12. 5.2...

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