determinantes - matematicaprofdiego.files.wordpress.com · determinantes prof. diego medeiros...

40

Determinantes

Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

Até agora nós estudamos vários tipos de matrizes e

suas mais diversas ordens. Em especial, vimos a

matriz quadrada, que tinha o mesmo número de

linhas e colunas. Toda matriz quadrada tem

associado a ela um número, que nós chamamos de

determinante. Os determinantes apareceram há

cerca de 300 anos, embora haja registros de

“esboços” de determinantes na matemática chinesa

há mais de 2000 anos, geralmente associados à

resolução de sistemas lineares, que veremos no

próximo capítulo. Junto com as matrizes, é uma

importantíssima ferramenta matemática com

diversas aplicações.

ATENÇÃO INICIAL: Não existe determinante se a

matriz não é quadrada!

Vamos então aprender como calcular estes

determinantes. Vale ressaltar que para matrizes

quadradas de ordem maior que 4 o cálculo do

determinante torna-se muito demorado e

dispendioso.

Uma matriz de ordem 1 nada mais é do que a matriz

com um único elemento, o elemento 11a . Logo, ela

se apresenta da seguinte forma: 11A a .

Por definição, o determinante de A é igual ao

número 11a , ou seja, det A = 11a

Por exemplo, se temos A = [5] e B = [ 4], então

det A = 5 e det B = 4.

Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, o

determinante é calculado através do produto dos

elementos da diagonal principal menos o

produto dos elementos da diagonal secundária.

Dada a matriz 11 12

21 22

a aA

a a

, calculamos o

determinante da seguinte forma:

det A = 11 22 12 21a a a a ou até mesmo

11 12

21 22

a a

a a= 11 22 12 21a a a a .

Por exemplo, o determinante da matriz A (det A),

sendo 6 3

2 4A

, é dado por:

6 3

det 6 ( 4) 3 2 302 4

A

Vamos considerar uma matriz quadrada genérica

de ordem 3:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

O determinante de uma matriz de ordem 3 é

calculado por:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

det

a a a

A a a a

a a a

= 11 22 33 12 23 31a a a a a a +

13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33a a a a a a a a a a a a .

Complicado? Sim. Precisamos decorar? Não!

Para calcularmos o determinante de uma matriz de

ordem 3 usamos uma regra chamada Regra de

Sarrus. Vamos a ela:

1 Introdução

2 determinante de matriz

quadrada de ordem 1


quadrada de ordem 2


quadrada de ordem 3

41

Capítulo 4 – Determinantes Álgebra II


Repetimos as duas primeiras colunas e as

colocamos ao lado da terceira coluna.

Efetuamos as multiplicações no sentido

diagonal;

Os produtos obtidos na direção da diagonal

principal permanecem com o mesmo sinal;

Os produtos obtidos na direção da diagonal

secundária invertem de sinal;

O determinante é a soma dos valores

obtidos.

Para explicar passo a passo, vamos a um exemplo:

Vamos calcular o determinante da matriz

3 1 5

2 0 2

1 4 3

A

.

+ + +

3 1 5 3 1

2 0 2 2 0

1 4 3 1 4

0 24 6 +0 +2 +40

As duas primeiras colunas foram repetidas e as

multiplicações foram feitas no sentido diagonal. As

diagonais rosas foram feitas no sentido da diagonal

principal (mantendo o sinal) e as azuis no sentido

da diagonal secundária (invertendo o sinal).

Multiplicando os elementos no sentido das setas e

somando-os no final, temos:

0 ( 24) ( 6) + 0 + 2 + 40 = 72 det A = 72

Mas tem outro jeito de fazer sem repetir as colunas?

Sim, tem!

Vamos pegar a mesma matriz acima:

3 1 5

2 0 2

1 4 3

Começamos multiplicando a diagonal principal

como já fazemos habitualmente.

3 1 5

2 0 2

1 4 3

Vamos agora pra próxima coluna. Mas se

multiplicarmos na diagonal, só teremos dois

elementos na diagonal. Precisamos de mais um.

Este elemento que precisamos está na ponta

inferior esquerda da matriz.

3 1 5

2 0 2

1 4 3

Avançamos para a próxima coluna. Mas essa só tem

um elemento. Precisamos de dois para completar.

Para isso, usamos os dois elementos que não foram

multiplicados que estão logo abaixo da diagonal

principal.

3 1 5

2 0 2

1 4 3

O processo então se repete no sentido da diagonal

secundária, tomando o cuidado de inverter os

sinais, e somando tudo no final. Pode conferir que o

resultado é o mesmo. Importante lembrar que em

matemática há vários jeitos para se chegar no

mesmo resultado.

O cálculo de determinantes também podem

envolver problemas mais complexos. Vamos a um

exemplo:

Determine x para que det A = det B, dadas as

matrizes 2

3 9

xA

e

1 1 0

2 3

1 2 1

B x

.

Por mais que as matrizes tenham ordens diferentes,

o determinante é um número. Portanto diversas

matrizes podem resultar no mesmo determinante.

A é matriz de ordem 2: logo det A =

2 9 3 18 3x x .

42



B é matriz de ordem 3: usamos a regra de

Sarrus:

1 1 0 1 1

2 3 2 3

1 2 1 1 2

x

0 2x ( 2) 3 x 0

det 5B x

Resta agora igualar os dois determinantes:

det det

18 3 5

2 13

6

5

A B

x x

x

x

Logo, 6

5x .

O cálculo do determinante de matriz de ordem 3

pode parecer um tanto trabalhoso a princípio. Mas

como em qualquer parte da Matemática, é questão

de treino.

Exercícios de treino

1. Calcule os determinantes:

a) 6 2

4 3

b) 3 8

1 2

c) 6 10

3 5

d) 1 5 10

3 1 5

e)2 4

8 0

2. Resolva as equações:

a) 2 6

23 5

x

b) 3 5

01 1

x

x


a)

3 2 1

5 0 4

2 3 1

b)

2 1 2

3 1 0

4 1 3

c)

3 5 1

0 4 2

0 0 2

d)

3 0 8

0 7 7

4 9 0

Estudar as propriedades dos determinantes pode

nos economizar esforço e tempo na hora de calcular

os determinantes, principalmente em ordens

maiores do que 3. Todas as propriedades abaixo

serão admitidas sem demonstração. Lembre-se que

todas as matrizes descritas nas propriedades

devem ser quadradas.

1. FILA DE ZEROS

Se todos os elementos de uma linha ou coluna de

uma matriz M forem iguais a zero, então o

determinante será igual a zero, isto é, det M = 0.

Exemplos:

3 0 0

0 7 0

4 9 0

= 0 0 0

1 2 = 0

5 propriedades dos determinantes

43



2. FILAS IGUAIS

Se os elementos correspondentes de duas linhas ou

duas colunas de uma matriz M forem iguais, seu

determinante será nulo, isto é, det M = 0.

Exemplos:

4 5 5 6

1 8 7 8

1 8 7 8

2 1 9 0

= 0 (2ª e 3ª linhas iguais)

1 1 0

1 1 0

4 4 6

= 0 (1ª e 2ª colunas iguais)

3. FILAS PROPORCIONAIS

Se uma matriz M possui duas linhas ou duas

colunas proporcionais, seu determinante será nulo,

isto é, det M = 0.

Exemplo:

3 1 4

6 2 8

4 5 6

= 0 (2ª linha é o dobro da 1ª)

4. MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR CONSTANTE

Se todos os elementos de uma linha ou de uma

coluna de uma matriz são multiplicados por um

mesmo número real k, então seu determinante fica

multiplicado por k.

Exemplos:

21 35

4 9

=

3 57

4 9

(A 1ª linha foi multiplicada

por 7, logo, o determinante é multiplicado por 7).

3 6 7

9 8 5

4 2 9

=

3 3 7

2 9 4 5

4 1 9

(A 2ª linha foi

multiplicada por 2, logo o determinante fica

multiplicado por 2).

5. MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UMA

CONSTANTE

Se uma matriz M de ordem n é multiplicada por um

número real k, o seu determinante fica multiplicado

por nk , isto é, det( ) detn

n nkM k M .

Exemplo:

3 4det 15 8 7

2 5

15 205 det(5 ) 375 200 175 5² 7

10 25

A A

A A

6. DETERMINANTE DA TRANSPOSTA

O determinante de uma matriz M é igual ao

determinante de sua transposta, isto é,

det det tM M .

Exemplo:

2 3det 2

4 5

2 4det 2

3 5

t t

A A

A A

7. TROCA DE FILAS PARALELAS

Se trocarmos de posição duas linhas ou duas

colunas de uma matriz M, o determinante da nova

matriz obtida é o oposto do determinante da matriz

anterior.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

A

e

2 1 3

5 4 6

8 7 9

B

.

A matriz B foi obtida a partir de A, trocando a 1ª e a

2ª colunas.

detA 45 84 96 105 72– 48 258

detB 72 48 105 96 84 45 258

8. DETERMINANTE DA MATRIZ TRIANGULAR

O determinante da matriz triangular é igual ao

produto dos elementos da diagonal principal.

44



Exemplo:

2 0 0

3 4 0

1 7 6

2 4 6 0 0 0 0 3 7 1 4 0 7 0 2 6 3 0 48

Somente a multiplicação feita pelos termos da

diagonal principal possui termos não nulos.

9. TEOREMA DE BINET

Sendo A e B duas matrizes de mesma ordem e AB a

matriz-produto, então det (AB) = (det A)(det B).

Exemplo:

3 2

5 1A

e

0 2

3 4B

.

6 14det( ) 36 42 78

3 6AB AB

det det ( 13) ( 6) 78A B

10. TEOREMA DE JACOBI

Seja A uma matriz. Se multiplicarmos todos os

elementos de uma linha ou coluna pelo mesmo

número e somarmos os resultados aos elementos

correspondentes de outra linha ou coluna,

formando a matriz B, então det A = det B.

Este é mais complicado. Vamos por partes.

Exemplo:

1 5det 9 20 11

4 9A A

Multiplicando a primeira linha por 2 e somando os

resultados à segunda linha, obtemos:

2 1 51 5 1 5

( 2) 1 4 ( 2) 1 4 2 14 9

1 5det 1 10 11

2 1B B

ou seja, det A = det B.

Podemos indicar por:

1 5 1 52

4 9 2 1

11. DETERMINANTE DA INVERSA

Seja M uma matriz invertível e M 1 a sua inversa.

Então 1 1

detdet

AA

.

Exemplo:

Se 1 1

,2 0

A

então 1

102

112

A

.

1

1

det 0 2 2

1 1det 0

2 2

1 1 1det

det 2 2

A

A

AA

Desta propriedade extraímos algo bastante

importante: uma matriz não possui inversa se o

determinante dela for igual a zero.


4. Se det A = 20, calcule det At.

5. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 tal que

det A = m. Calcule det (2A) em função de m.

6. Dentre as seis matrizes abaixo, cinco delas tem o

determinante nulo. Descubra quais são elas,

justificando através das propriedades:

a)

5 4 10 1

3 9 6 6

1 5 2 3

2 3 4 2

b)

3 2 9 6

2 9 1 8

6 7 4 0

6 7 4 0

c)

8 0 0 0

1 4 0 0

2 1 3 0

3 2 1 5

d)

3 0 2 4

2 0 6 8

1 0 3 6

4 0 1 5

45



e)

2 9 3 4

0 5 2 2

0 0 0 3

0 0 0 7

f)

4 5 0 2

3 1 2 5

4 5 0 2

6 8 3 5

7. Sendo

2 5 1 3

0 3 0 1

0 0 5 1

0 0 0 10

A

, calcule det A.

8. Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma

ordem. Sabendo que det A = 6 e det B = 4, calcule

det (AB)

9. Seja M uma matriz quadrada de segunda orem tal

que det M = D. A partir dela constrói-se uma nova

matriz N em que cada elemento é igual ao triplo dos

elementos da matriz M. Calcule det N.

10. Sendo 1 2

1 3A

, calcule det A1

.

11. Dada a matriz

1 2

3 2 2

0 1 1

a

A

, calcule a para

que A seja invertível.

O teorema de Laplace é o mais abrangente na

resolução de determinantes de ordem maior do que

3. Para tanto, utilizaremos o conceito do cofator.

COFATOR

Dada uma certa linha ou coluna numa matriz

quadrada de ordem n, cofator é equivalente a:

( 1)i j

ij ijA D

No qual ijD é o determinante da matriz quadrada

de ordem n – 1 que exclui a linha i e a coluna j de

sua formação.

O teorema de Laplace se baseia em:

Escolher uma linha ou coluna qualquer (de

preferência uma que tenha o maior número

de zeros).

Para cada elemento dessa linha ou coluna ,

deve se calcular o produto desse elemento

pelo seu respectivo cofator.

Somar todos os elementos no final. Este será

o valor do determinante.

Para ficar mais claro, vamos a um exemplo:

Seja

1 2 0 1

1 3 6 9

4 1 2 0

2 2 3 4

M

.

Nesse caso, escolhemos a 3ª coluna (lembrando que

o processo funciona com qualquer linha e qualquer

coluna):

1 2 0 1

1 3 6 9

4 1 2 0

2 2 3 4

M

Agora, multiplicamos cada um dos elementos pelos

seus respectivos cofatores:

13 13 23 23 33 33 33 33 43 43det M a A a A a A a A a A 1 3

13

2 3

23 23

3 3

33 33

4 3

43 43

0 ( 1) 0

6 ( 1) 6

2 ( 1) 2

3 ( 1) 3

D

D D

D D

D D

13D será a nova matriz quadrada sem a 1ª linha e a

3ª coluna e por aí vai. Montando as novas matrizes,

teremos o nosso esquema para calcular o

determinante:

1 2 1 1 2 1 1 2 1

6 4 1 0 2 1 3 9 3 1 3 9

2 2 4 2 2 4 4 1 0

Sabemos calcular determinantes de ordem 3. Então

temos:

6 teorema de laplace

46



1 2 1 1 2

4 1 0 4 1

2 2 4 2 2

2 0 +32 4 +0 8 = 18

1 2 1 1 2

1 3 9 1 3

2 2 4 2 2

6 18 +8 12 36 2 = 66

1 2 1 1 2

1 3 9 1 3

4 1 0 4 1

+12 9 0 +0 +72 1 = 74

Então temos: det 6 18 2 ( 66) 3 74

det 108 132 222

M

M

Logo, det M = 462

Esta é outra regra interessante. Ela permite que

possa se calcular o determinante de qualquer

matriz quadrada de ordem n usando uma matriz de

ordem n – 1. A regra de Chió é muito prática quando

o elemento 11a é igual a 1. Assim:

Sendo 11a =1, suprime-se a 1ª linha e a

primeira coluna.

De cada elemento restante, subtrai-se o

produto dos dois elementos suprimidos, na

linha e na coluna de cada elemento restante.

Com os resultados das subtrações, obtém-se

uma matriz uma ordem menor que a

primeira, mas com o mesmo determinante.

Complicado? Vamos ao mesmo exemplo usado no

teorema de Laplace:

Seja

1 2 0 1

1 3 6 9

4 1 2 0

2 2 3 4

M

.

Já que 11a =1, simplesmente suprimimos a primeira

linha e a primeira coluna.

1 2 0 1

1 3 6 9

4 1 2 0

2 2 3 4

Para cada um dos termos que não foi suprimido

subtraímos o produto dos termos que foram

suprimidos, na linha e coluna correspondente.

Exemplificamos com o termo 33a .

1 2 0 1

1 3 6 9

4 1 2 0

2 2 3 4

3 2 1 6 0 1 9 ( 1)1

1 2 4 2 0 4 0 ( 1)4

2 2( 2) 3 0( 2) 4 ( 1)( 2)

Chegamos então à matriz quadrada de ordem 3 que

tem o mesmo determinante que a matriz inicial.

Podemos então calcular o determinante usanto a

regra de Sarrus.

1 6 10

7 2 4

6 3 6

1 6 10 1 6

7 2 4 7 2

6 3 6 6 3

120 12 252 12 +144 210

Logo, det M = 462.

Você pode estar se perguntando: mas e se o

primeiro elemento não for igual a 1? Nesse caso

cabe utilizar as propriedades que acabamos de ver.

Se houver algum elemento com valor 1 na

matriz podemos fazer trocas de linhas e

7 regra de chió

47



colunas, sempre se preocupando com a

troca de sinal quando trocamos de linha ou

coluna.

Exemplo:

3 5 3 9

5 3 8 2

5 6 1 0

9 3 8 4

=

5 6 1 0

5 3 8 2

3 5 3 9

9 3 8 4

=

1 6 5 0

8 3 5 2

3 5 3 9

8 3 9 4

Fizemos duas mudanças de sinal porque fizemos

duas trocas - de positivo pra negativo e depois para

positivo

Outro jeito é colocar um número em

evidência (4ª propriedade)

0 6 7 0 0 6 7 0

5 3 8 2 5 3 8 23

3 6 3 9 1 2 1 3

6 3 8 4 6 3 8 4

1 2 1 3

5 3 8 23

0 6 7 0

6 3 8 4

.

Colocamos 3 em evidência na 3ª linha, depois

trocamos a 1ª com a 3ª linha, atentando-se à

mudança de sinal.

Outra saída é utilizar o teorema de Jacobi

3 2 0 1

2 3 6 9 ( 1)

4 5 2 0

2 2 3 4

=

1 1 6 10

2 3 6 9

4 5 2 0

2 2 3 4



a)

2 1 3 1

1 2 5 1

4 1 3 4

0 0 2 1

b)

1 1 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 2 3 4

c)

1 2 0 0

2 3 0 0

0 0 3 1

0 0 1 1

d)

2 1 3 2

3 0 0 0

4 1 5 1

10 3 2 2

e)

3 2 4 6

2 1 2 0

2 1 1 2

5 3 3 2

LISTA DE EXERCÍCIOS

1. (UECE) Sabe-se que M é uma matriz quadrada de

ordem 3 e que det(M) = 2. Então det (3M) é igual a:

a) 2

b) 6

c) 18

d) 27

e) 54

2. (UFSM) Sejam as matrizes A, de ordem 3 e

2 1 4

1 0 2

0 1 6

B

. Se o det A = 6 e C = A B, o det C

vale:

a) 24

b) 12

48



c) 6

d) 12

e) 24

3. (SANTA CASA) Dadas as matrizes A e B tais que:

1 5 1 3

0 2 2 4

0 0 3 1

0 0 0 4

A

e

1 0 0 0

3 4 0 0

1 2 1 0

2 1 3 2

B

, o

determinante de A B é:

a) 192

b) 32

c) 16

d) 0

e) 16

4. (PUC-MG) Dadas as matrizes 1 3

2 4A

e

1 2

3 1B

, o determinante do produto A B será

igual a:

a) l

b) 6

c) 10

d) 12

e) 14

5. (PUC-SP) Se

1 2 3

2 3 4

x y z

= 4, 6 9 12

1 2 3

x y z

vale:

a) 12

b) 12

c) 4

d) 3

4

e) 3

4

6. (CEFET-MG) O(s) valor(es) de x para que

1 2

0 1 8

2 3

x

x

x

é (são):

a) 1

b) 1

c) 3

d) 1 e 1

e) 1 e 3

7. (UFPB) Se a matriz 2 5

5

x x

x

não é

invertível, o valor de x é igual a:

a) 10

b) 10

c) 5

d) 5

e) 25

8. (Mackenzie-SP) O valor de um determinante é 42.

Se dividirmos a primeira linha por 7 e

multiplicarmos a primeira coluna por 3, o valor do

novo determinante será:

a) 42

b) 21

c) 14

d) 18

e) 6

9. Se o determinante da matriz

2 2

4 4

4 1

p

p

p

é igual a

18, o determinante da matriz

1 2

2 4

2 1

p

p

p

é:

a) 9

b) 6

c) 6

d) 9

e) 0

49



10. Seja

1 2 0

0 1 1

0 0 1

0 0 0

x

xY

x

x

e det Y = y . Qual(is)

é(são) o(s) valor(es) de x para que ² 2 1 0y y ?

a) 1 e 1

b) 2

c) 2

d) 0

e) 1

11. Em 1773, Lagrange, em um trabalho sobre

Mecânica mostrou que o volume de um tetraedro

ABCD de vértices A , ,a a ax y z , B , ,b b bx y z , C

, ,c c cx y z e D , ,d d dx y z é dado por 1

6V D em

que D é o módulo do determinante a seguir:

1

1

1

1

a a a

b b b

c c c

d d d

x y z

x y z

x y z

x y z

Determine o volume do tetraedro ABCD de vértices

A(1, 0, 0), B(2, 3, 1), C( 1, 2, 3) e D(5, 1, 2).

12. (Unirio) A soma das raízes da equação

1 1

1 0

x

x x

x x x

é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

13. (UFSC) O valor de m para que a equação do 2º

grau

2

1 1 0

2 0 1

x m

x , admita raízes iguais, é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

14. (Unitau) O valor do determinante

a a a

a b b

a b c

,

como produto de 3 fatores, é:

a) abc

b) a(b + c)c

c) a(a b)(b c)

d) (a + c)(a b)c

e) (a + b)(b + c)(a + c)

15. (UFRN) Seja

a b c

A d e f

g h i

uma matriz 33.

Se det 6

a b c

A d e f

g h i

, então:

a b c a b c g h i g h i

d e f g h i a b c d e f

g h i d e f d e f a b c

é igual a:

a) 18

b) 12

c) 6

d) 0

e) -6

determinantes - matematicaprofdiego.files.wordpress.com · determinantes prof. diego medeiros...

Documents