-versão do método de galerkin descontínuo aplicado para ... · aplicado para equações em...

Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Pós-Graduação em M atem ática e

Computação Científica

hp -Versão do M étodo de Galerkin Descontínuo Aplicado Para

Equações em Derivadas Parciais

Paulo Rafael Bösing Orientador: Prof. Dr. Igor E. M ozolevski

Florianópolis Fevereiro de 2002

Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Pós-Graduação em M atem ática e

Computação Científica

hp -Versão do M étodo de Galerkin Descontínuo Aplicado Para Equações em Derivadas Parciais

Dissertação apresentada ao Curso de Pós- Graduação em M atem ática e Com putação Científica, do Centro de Ciências Físicas e M atem áticas da U niversidade Federal de Santa Catarina, para a obtenção do grau*de M estre em M atem ática, com Area de Concentração em M atem ática Aplicada.

Paulo Rafael Bösing Florianópolis

Fevereiro de 2002

hp -Versão do M étodo de Galerkin Descontínuo Aplicado Para Equações em Derivadas Parciais

por

Paulo Rafael Bösing

Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do Título de “Mestre” , Área de Concentração em Matemática Aplicada, e aprovada em sua forma

final pelo Curso de Pós-Graduação em Matemática e

Comissão Examinadora

Prof. Dr. Igor E. Mozolevsk^ (UFSC-Orientador)

JUJLProf. Dra. Liliane arichello (UFRGS)

Prof. Dr. Mário Cesar Zambaldi (UFSC)

Prof. Dr. Daniel Nobert(/Kozakevich (UFSC)

Florianópolis, fevereiro de 2002.

A Deus.Ao meu pai Arnildo (in memoriam).

A minha mãe Agnes, por orientar o meu caminho, feito de lutas e incertezas mas também

de muitas esperanças e sonhos. A minha noiva Marta, pela dedicação,

generosidade e amor.

Agradecimentos

Primeiramente agradeço a minha família, que me acompanhou nessa jornada, dando-me muita força e apoio. Em especial a Marta, pelas tantas vezes que me ergueu, quando ao chão estava.

A Nadir, Delícia e família pelas tantas “hospedagens” em vossa casa, proporcionando dias agradáveis de descanso.

A Myriam, Jandir e seus filhos Jandir D. e Raquel Irene, por terem me cuidado quando doente estive, e pelos conselhos recebidos.

Aos meus grandes amigos, Jacks, Marquinho, Antônio, Gilmar, Lu- ciano, Aloísio, Ademir, Vilmar e Eleani, companheiros por muitas vezes de almoços, jantas, jogos, filmes, festas, farras e trilhas. Vocês são minha família da capital.

Aos amigos(as) que as salas de aula me trouxeram, Gilmar. Roberta. Anderson B., Vanderlei, Mara, Danieli, Anderson M., Stefan e Quelin, pelas horas agradáveis passadas juntos e pelos grupos de estudos realizados.

Ao amigo Rafael M. Casali pelo suporte em Latex.

Aos demais amigos e colegas de Pós-Graduação, Alcides, Patrícia, Di- vane, Edson, Jeison, Claires, Lucicléia, Juliano, Gilberto, Airton, Danilo, Graziela, Janice, Milton e Christian pela agradável companhia.

Ao professor Ruy Charão, pela amizade e apoio recebido. E aos demais professores que contribuíram com a minha formação. Agradeço também a Elisa, secretária da PG, que sempre nos atendeu prontamente.

Ao CNPq, pelo suporte financeiro.

Por último, mas de forma especial, agradeço a meu orientador, IgorMozolevski...

Palavras são poucas próximas de atos.Seus atos muito me ajudaram, e com todo carinho venho te agradecer por isto.Muito obrigado por sua ajuda.Foi de grande valor.

Sumário

Lista de figuras vi

R esum o vii

A bstract viii

Introdução 1

1 C onceitos básicos 41.1 Espaços de fu n ç õ e s ........................................................................................ 4

1.1.1 Espaços de funções contínuas ....................................................... 41.1.2 Espaços de funções inlegráveis....................................................... 51.1.3 Espaços de Sobolev . ........................................................................ 6

1.2 Existência e unicidade de solução fraca para a equação hiperbólica . . 101.3 Método de Galerkin descontínuo aplicado a equação hiperbólica . . . 17

1.3.1 Aproximação polinomial de Galerkin d e sco n tín u o ................ 191.3.2 Enumeração dos elementos da m a l h a .......................................... 21

2 Estim ativas a priori para a equação difusão-advecção-reação 262.1 Prelim inares..................................................................................................... 27

2.1.1 Problema m o d e lo .................................................... ,......................... 272.1.2 Existência e unicidade de solução f r a c a ....................................... 282.1.3 hp-espaços de elementos finitos .................................................... 35

2.2 Equação de advecção com parâmetro de estabilidade .......................... 372.2.1 Formulação estabilizada do método de Galerkin descontínuo

para a equação de a d v e c ç ã o ........................................................... 392.2.2 Estimativas a priori para o erro do método de Galerkin des

contínuo estabilizado para a equação de a d v e c ç ã o ................... 452.2.3 Resultados num éricos....................................................................... 592.2.4 Método “streamline diffusion” ....................................................... 62

2.3 Equação de advecção sem parâmetro de estabilidade............................. 662.3.1 Formulação padrão do método de Galerkin descontínuo para a

equação de a d v e c ç ã o ....................................................................... 662.3.2 Estimativas a priori para o erro do método de Galerkin des

contínuo padrão para a equação de advecção............................. 70

v

2.3.3 Resultados num éricos........................................................................ 792.4 Equação de difusão sem parâmetro de estabilidade................................. 81

2.4.1 Formulação padrão do método de Galerkin descontínuo para a equação de d ifu s ã o ........................................................................... 82

2.4.2 Estimativas a priori para o erro do método de Galerkin descontínuo padrão para a equação de d ifu são ................................. 83

2.5 Equação de difusão-advecção-reação sem parâmetro de estabilidade . 942.5.1 Formulação padrão do método de Galerkin descontínuo para a

equação de difusão-advecção-reação.............................................. 942.5.2 Estimativas a priori para o erro do método de Galerkin des

contínuo padrão para a equação de difusão-advecção-reação . . 95

3 Estim ativas a posteriori 973.1 Operador diferencial linear ........................................................................ 97

3.2 O problema modelo em uma d im e n sã o .................................................... 102

Conclusões 108

A Algum as desigualdades 110

Referências Bibliográficas 112

vi

Lista de Figuras

1.1 Um ponto x tal que x € d - K e x 6 d+K ' ....................... .......................... 181.2 Malha no caso trian g u la r.............................................................................. 221.3 Enumeração dos elementos de fro n te ira .................................................... 221.4 O último elemento de fronteira ..................................................................... 23

2.1 (a) malha regular; (b) malha 1-irregular ................................................. 352.2 (a) O elemento P e sua malha 7p; (b) o retalho P e sua malha Tp 372.3 As aplicações A F p e FK ........................................................................ 382.4 Enumeração dos elementos da malha para im plem entação................... 592.5 Exemplo 2.11. Convergência do/ip-DGFEM com/i-refinamento . . . 602.6 Exemplo 2.11. Convergência do hp-DGFEM sobre p-enriquecimento 612.7 Exemplo 2.12. Convergência do hp-DGFEM com /i-refinamento . . . 612.8 Exemplo 2.12. Convergência do hp-DGFEM sobre p-enriquecimento 622.9 Exemplo 2.29. Convergência do /ip-DGFEM com /i-refinamento . . . 802.10 Exemplo 2.29. Convergência do /ip-DGFEM sobre p-enriquecimento 802.11 Exemplo 2.30. Convergência do hp-DGFEM com /i-refinamento . . . 812.12 Exemplo 2.30. Convergência do /ip-DGFEM sobre p-enriquecimento 81

vii

Resumo

Neste trabalho faz-se uma análise da hp-versão do método de elementos finitos de Galerkin descontínuo (/ip-DGFEM) aplicado a um problema de valor de fronteira para equações diferenciais parciais de segunda ordem com forma característica não negativa, que sobre certas condições tem uma única solução fraca. Especial atenção é dada para estimativas “a priori” do erro para o /ip-DGFEM que são estudadas com e sem a adição de um parâmetro de estabilidade, para o caso de pura advecção, e sem parâmetro de estabilidade para pura difusão. Assim, obtém-se uma estimativa “a priori” (sem parâmetro de estabilidade) para o problema de difusão-advecção-reação. Estimativas “a posteriori” de erro do hp-DGFEM também são consideradas para operadores diferenciais lineares. Resultados numéricos são obtidos para alguns problemas de teste, os quais, confirmam as estimativas acima.

Abstract

In this work an analysis of the hp-version of the discontinuous Galerkin finite element method (hp-DGFEM) is considered for a boundary value problem for second-order partial differential equations with nonnegative characteristic form. One gives special attention to “a priori” error estimates for the hp-DGFEM. The method have been studied with and without the addition of stabilization parameter for the case of pure advection, and without stabilization parameter in the pure diffusion equation. Then “a priori” estimates (without stabilization parameter) to the diffusion-advection-reaction problem are obtained. “A posteriori” error estimates for the /ip-DGFEM to linear differential operator also have been considerate. Numerical experiments, that confirm the above mentioned estimates, have been realized to some test’s problems.

ix

Introdução

O estudo de métodos para resolução numérica de equações diferenciais parciais - por suas inúmeras aplicações em diversas áreas da ciência e pelos avanços tecnológicos - recebeu um tratamento especial nos últimos anos. Em particular, o método de Galerkin descontínuo teve grande destaque.

O método de Galerkin descontínuo foi introduzido em 1973 por W.H. Reed e T. R. Hill [19] para solução da equação de transporte de nêutrons. No ano seguinte foi publicado a primeira análise do método, no clássico artigo de P. Lesaint e P. A. Raviart [15], o qual apresenta a primeira estimativa de convergência do método. Nesta mesma década foi introduzido o método de Galerkin para equações elípticas e parabólicas, usando elementos finitos descontínuos. Estes métodos são geralmente chamados de métodos de penalização interior, e tiveram desenvolvimento independente do método de Galerkin descontínuo para equações hiperbólicas.

O clássico método de elementos finitos é baseado na construção de soluções aproximadas por meio de refinamentos na malha, de maneira que o diâmetro da partição h converge para zero, para uma ordem espectral de aproximação fixa (baixa). Esta estratégia é chamada de h-versão de convergência. Nos últimos anos emergiram os métodos espectrais em que a ordem de aproximação polinomial p é variada de modo a conseguir uma melhor aproximação, processo este, chamado de p-versão de convergência. Naturalmente, quando a solução do problema considerado é regular, os métodos espectrais tem grande eficiência.

Afim de obter uma maior eficiência, se combina as idéias apresentadas acima, isto é, aumenta-se a ordem espectral em regiões que a solução é regular, e faz- se um refinamento mais detalhado em regiões que a solução é irregular, resultando na hp-versão do método de elementos finitos.

Em [15], P. Lesaint e P. A. Raviart apresentaram a primeira h-versão

de convergência do método de Galerkin descontínuo em L 2 , para a solução de um problema escalar hiperbólico. Eles obtiveram para um p fixo a sub-ótima estimativa “a priori” de erro, \\u — Uh\\L2(n) < em que U(, é a aproximação

1

para uma solução exata do problema u 6 H s(Cl). Mais tarde, C. Johnson e J. P itkáranta [13] apresentaram uma análise mais detalhada da h-versão do método de Galerkin descontínuo, para leis de conservação hiperbólicas lineares. Neste trabalho foi demonstrado, com o uso de uma norma dependente da malha, a quase-ótima estimativa “a priori” de erro, ||u — Uh\\h,p < C'/ri - 1/,2||« ||tfs(n)-

A /ip-versão do método de elementos finitos de Galerkin descontínuo (/ip-DGFEM) foi introduzida por K. S. Bey e J. T. Oden [4], em que obtiveram estimativas “a priori” e “a posteriori” de erro para malhas compostas de quadriláteros, para uma versão estabilizada do método. Usando o parâmetro de estabilização hi</p2K, foi demonstrado uma estimativa “a priori” de erro, que para um p fixo e h —» 0 , se reduz a estimativa apresentada por C. Johnson e J. Pitkáranta [13], e também indicaram convergência quando h é fixo e p —> oo.

Estes resultados foram generalizados por P. Houston, C. Schwab e E. Süli em [11], que usando parâmetro de estabilidade da ordem o(h/p), provaram taxas de convergência sobre malhas retangulares mais gerais, para o hp-DGFEM (discontinuous Galerkin finite element method) e para o /ip-SDMEF (streamline- diífusion finite element method), independente da regularidade da solução. Para soluções analíticas foi deduzida convergência exponencial sobre malhas composta de quadriláteros.

Uma extensão destes resultados para a equação difusão-advecção-reação foi apresentada por P. Houston, C. Schwab e E. Süli [8], em que são apresentadas estimativas hp-ótimas para a equação puramente hiperbólica, ótimas em h mas sub- ótimas em p (pela potência 1/2 em p) para a equação puramente difusiva, e por último, estimativas ótimas em h mas sub-ótimas em p (pela potência 1 em p) para a equação de difusão-advecção-reação.

O objetivo deste trabalho é apresentar a hp-versão do DGFEM para a equação de difusão-advecção-reação, as principais estimativas “a priori” e “a posteriori” de erro, tanto para a versão estabilizada como para a versão padrão (sem parâmetro de estabilidade) do método e implementar os algoritmos de DGFEM afim de comprovar numericamente as taxas de convergência “a priori” acima mencionadas.

O presente trabalho está organizado do seguinte modo:No capítulo 1, apresentamos na seção 1.1 os espaços de funções que

serão usados no decorrer do trabalho. Na seção 1.2 mostramos a existência e unicidade de solução fraca para a equação hiperbólica. E por último, na seção 1.3, apresentamos o método de Galerkin descontínuo para a equação hiperbólica, sua

2

[15] sobre a existência de uma enumeração dos elementos da malha, que permite a resolução numérica do método.

No capítulo 2, apresentamos na primeira seção a equação difusão-advecção-reação, resultados sobre a existência e unicidade da solução fraca para a mesma, e introduzimos os espaços de elementos finitos. Na seção 2.2 consideramos a equação puramente advectiva e formulamos a versão estabilizada do hp- DGFEM. Em seguida, obtemos a estimativa “a priori” de erro para essa formulação, a qual, é confirmada com alguns resultados numéricos. Por último, introduzimos brevemente o hp-SDFEM para a equação advectiva. Na seção 2.3, consideremos novamente a equação puramente advectiva, porém, com a formulação padrão do método. Então, obtemos a estimativa “a priori” de erro, a qual é confirmada com resultados numéricos. Na seção 2.4, tratamos o problema puramente difusivo com a formulação padrão, e obtemos a estimava “a priori” de erro para esse caso. Na última seção consideremos a equação de difusão-advecção-reação com a formulação padrão do hp-DGFEM. Então, unificando os resultados das seções 2.3 e 2.4, temos a estimava “a priori” de erro para este caso. Todos os resultados numéricos apresentados neste capítulo foram realizados usando a linguagem de programação C++.

Para finalizar, no capítulo 3 apresentamos na seção 3.1 uma estimativa “a posteriori” de erro para um operador diferencial linear genérico e discutimos estratégias adaptativas baseadas nestas estimativas. E na seção 3.2, mostramos explicitamente essa estimativa para a equação de difusão-advecção-reação em uma dimensão.

3

Capítulo 1

Conceitos básicos

Neste capítulo apresentaremos inicialmente uma breve introdução dos espaços de funções que serão usados no decorrer desta dissertação. Em seguida, conforme [22], provaremos a existência e unicidade da solução fraca para a equação hiperbólica de primeira ordem, e então, apresentaremos a hp-versão do Discontinuous Galerkin Finite Element Method1 (hp-DGFEM) para um problema de valor de contorno para esta equação e a existência de solução para tal formulação. Por último, demostraremos o clássico teorema apresentado por P. Lasaint e P. A. Raviart em [15] que garante a existência de uma enumeração dos elementos da malha que permite obter a solução numérica do hp-DGFEM de maneira explícita, pois a matriz de rigidez que corresponde a esta enumeração fica bloco-triangular.

1.1 Espaços de funções

1.1.1 Espaços de funções contínuas

Seja N o conjunto dos números inteiros positivos. Uma n-úpla a = (a i, « 2,. • ■ , an) e m f f é chamado um multi-índice, e |a | = a x + a2 + . . . + a n é o comprimento de a. Assim, definimos dQ = d±1 . . . <9“n em que dj = d /dx j para

j = 1, . . . ,n.Seja um conjunto aberto em Rn e k € N, então denotamos que:

1. Ck(Q.) é o conjunto de todas as funções u definidas em Q, com valores reais, tal que, dau é contínua para todo a com |a | < k.

2. C°°(fi) comoMétodo de Elementos Finitos de Galerkin Descontínuo

4

3. Ch(Cl) é o conjunto de todas as u € C k(Q), tal que, dau pode ser estendida continuamente de Í2 para Í2, para todo a com |a | < k.

4. C°°(r2) como n fc>0C fc(í2).

Assumindo que ü é um conjunto aberto limitado em E", então Cfc(f2) equipado com a norma

Mlc*(íi) = i sup \9au(x)\ > , |a|<fc J

é um espaço de Banach.Para uma função contínua u definida sobre algum conjunto Q em Mn ,

definimos o suporte de u como sendo o fecho em Q do conjunto {x £ Q/u(x) ^ 0}. Se este conjunto é compacto e é um subconjunto do interior de Q, então u é dita ter suporte compacto com respeito a íí.

Usa-se a notação supp u para designar o suporte de u.

D efinição 1.1. Seja Q, um domínio em Rn para k = 1 , , Cq(Q) denota o conjunto das funções u € C k(Q) com suporte compacto em Cl.

No caso de k = oo, Cg°(Q) = V(Q).

1.1.2 Espaços de funções integráveis

Vamos considerar aqui funções de valores reais definidas sobre um domínio £1 C Rn que são mensuráveis a Lebesgue, e denotamos que:

f (x )dx

a integral de Lebesgue de / sobre Cl.Para 1 < p < oo definimos o espaço de Lebesgue Lp(ü) como o con

junto de todas as u definidas em Q., tal que, \u\p é integrável a Lebesgue sobreO espaço LP(Í2) com a norma

\ i/pM U P ( f i ) = ( ^ J j u i x ^ d x ^ j ,

5

é um espaço de Banach. Em particular quando p = 2, LP(Q) é um espaço de Hilbert com produto interno dado por,

D efinição 1.2. 0 supremo essencial deu é o ínfimo do conjunto de todos os números reais M, tal que, |u| < M quase sempre em 0,, e denota-se por ess.sup u(x).

Assim, quando p = oo o espaço L ^Q ,) denota o conjunto das funções de valores reais u definidas sobre £1 que são mensuráveis a Lebesgue, tal que, |u| tem supremo essencial finito.

IMUoo(n) = ess.supxen\u{x)\,

é um espaço de Banach. '"x,,,.

1.1.3 Espaços de Sobolev

D efinição 1.3. Seja u ,v € Li(íí) e a um multi-índice, então, v é a a-ésima derivada fraca de u se, e somente se,

O espaço -Loo(^) equipado com a norma

Como no caso de derivadas clássicas escrevemos v — D au.Nota: A definição de derivada fraca estende a de derivada clássica.

Seja Q um conjunto aberto do Mn , então, para 1 < p < oo, o espaço de Sobolev W£ (Í2) é definido como sendo

= { u £ Lp(íí); dau e LP(Í2), \a\ < k}

e, equipamos esse espaço com a norma de Sobolev dada por,

6

quando 1 < p < oo, e por,

IMIw&(n) = m a x | |ô Qw|Uoo(n),\ a \ < k

quando p = oo.Para cada espaço acima, define-se a semi-norma de Sobolev,

M%‘(n) = ( £\N=*'

quando 1 < p < oo, e

Mw*,(n) = m ax||5Qu ||Loo(n),

oo.Todos os espaços de Sobolev com suas respectivas normas são espaços

Quando p = 2 também é um espaço de Hilbert com o produto interno

(u ,v)Wk{n] = {dau ,d av),|q | <fc

em que (.,.) é o produto interno de L2(fi). Nesse caso designamos W%(Vi) por H k(Q).

Espaços de Sobolev fracionários

Dado s > 0 e s £ N escrevemos s = m + a sendo 0 < a < 1 e m = [s] é a parte inteira de s. Então, W* (fi) é o conjunto de todas as u € W™{VL), tal que,

Mvrçífi)I dau(x) — dau(y)\p

\x — y \n+<TP

i/p

dxdy < oo,

quando p —

de Banach. dado por,

7

para 1 = ( M l í ^ n , + I “ Ü r ç o ) ) 1"

quando 1 < p < oo, e

IMIw^ín) = + M w ^n),

para p = oo.Nota: Maiores informações sobre esses espaços ver [1],

A seguinte definição garante a regularidade da fronteira de um domínio Q,. Se a dCl satisfaz essa definição, ela é dita ser uma Fronteira Contínua Lipschitz.

Definição 1.4. Supomos que Q, é um conjunto aberto em Rn , então, a dQ é Contínua Lipschitz, se para todo x G dQ, existe:

1. um conjunto aberto O C R " com x € O ;

2. um sistema ortogonal de coordenadas locais Ç = (£i,---,Çn) = (CtCn) e um a G Rn , tal que, O = {Ç; — aj < < Oj, 1 < j < n};

3. existe uma função contínua Lipschitz <p definida sobre

Õ = {C G M"_1; - a j < (j < dj, 1 < j < n - 1}

com

M C ) l < y , C € Ó ,

f t n O = {C; C n < ^ ( Õ , C e õ }

e

d ü n 0 = {C; C» = v(Ó, C s Õ}.

Um conjunto aberto limitado com fronteira contínua Lipschitz é chamado Domínio Lipschitz (D.L.).

8

P ro p o sição 1.5. Seja Q um D.L. e seja 1 0.

A demonstração desta proposição pode ser encontrada em [16] pg. 14. Nota: Cq°(Q) é denso em WpS(fi) para 0 < s < l/p .

Referente a definição de Fronteira Contínua Lipschitz, temos que, <9f2, existe uma função contínua Lipschitz,

ip : Õ C R n_1 — > M

tal que,d Q n O = {C; C = (C.¥>(C)); C e Õ}.

Podemos então definir a aplicação 0 por,

H Õ = (C,v?(C))-

Percebemos que (f)~l existe e é contínua Lipschitz sobre 4>(0) permitindo a seguinte definição:

D efinição 1.6. Seja Í7 um D.L. em R n , para 0 < s < l e l < p < o o denotamos que W*(dÇÍ) é o conjunto de todas as u € Lp(dQ,), tal que, a composição u o $ pertence à Wp(Õ n 4 PI O)) para todos os possíveis Õ e que satisfazem a condição da definição anterior.

Para equipar Wps (dCl) com uma norma, consideramos o atlas (Oj , <Pj)j=i da dfi, tal que, Oj e <pj, j = 1,..., J satisfazem a definição 1.4. Assim,

IMIvys(afi) = í llU ° ó\\\ j = 1

em que <f>j(Ç) = ( Ç, <Pj { Ç) ) para Ç € Õ j , j = 1,..., J .

Noção de Traço

Seja ip G C°°(Í2), então, o seu traço é definido como,

l o W = ^isn. ( l- l-1)

9

e pode-se demonstrar que existe uma constante C > 0 tal que

Sendo C°°(Q) denso em H x(Çl), a aplicação 70 prolonga-se por continuidade à uma aplicação linear e contínua que também denominamos 70 de H l (Q) em H l/2(dQ,), a qual chamamos de traço.

Para u E H 1(Q), 70u denomina-se o traço de u sobre d£l. Assim, podemos enunciar o teorema do traço.

Teorem a 1.7. A função traço aplica H x(íí) sobre H x/2{dQ) e 0 núcleo de j 0 é 0

espaço H q(Q).

A demonstração pode ser encontrada por exemplo na pg. 81 de [17].

1.2 Existência e unicidade de solução fraca para a equação hiperbólica

Consideramos 0 seguinte problema hiperbólico de valor de fronteira.

div{bu) + cu = / em Q(1.2.1}

u = 0 sobre d- f l

sendo,

1. Í2 é um domínio Lipschitz em Rn ;

2. b = (bi, ..., bn) é uma função vetorial de valor real continuamente diferenciável definida sobre Q que representa 0 fluxo em Q;

3. c é uma função contínua definida sobre £1 de valor real;

4. f é uma função de valor real, tal que, / € L2(Çí);

Designamos por n(x) 0 vetor normal unitário exterior a dVt no ponto x. Então, divide-se a dfl em d-Q, = { 1 6 dQ\ n(x ) ■ b(x) < 0} que representa a parte da fronteira de Q onde o fluxo entra, e d+Vl = dQ. \ d-Q que corresponde a parte de

saída.

10

Associamos a (1.2.1) o espaço de funções,

H-(Cl) — {u G L2(Q.); div(bu) -I- cu G X2(fi), 7n(bv) = 0 sobre <9_Í2}

onde a solução do problema é procurada. Aqui ‘j n(bv) = (bv) ■ n\d_n significa 0 traço normal do campo vetorial bv sobre <9_fü.

Vamos agora justificar mais formalmente a condição de fronteira e a definição de ií_(í2). Para esse fim, lembramos que (pg. 355 em [20]) 0 operador traço, 7n(-), ® contínuo e sobrejetivo de

H(div, Í2) = {u G [L2(fi)]n; div(v) e L2(£l)},

em H ~1 2(dQ) = (H l/2(dQ))' onde ' representa o espaço dual.Supomos que T é um subconjunto relativamente aberto e conexo de

dQ com medida (em (n — l)-dimensão) positiva. Denotamos por H q(T) 0 fecho de Co°(r) em na norma do espaço de Sobolev H 1(r ) . Além disso, definimosH qq2(T), usando interpolação de espaços de funções (para uma introdução ver pg. 356 em [20]) como sendo o espaço entre L2(T) e H q(T).

O operador de extensão trivial s0 de T para a dQ, que é dado por,

L2(ÔÜ)

{v(x) se x G T0 se i G 9 f i \ T

é um operador linear e contínuo de L2(T) em L2(dQ) e de H q(T) em H 1(dQ). Portanto, deduzimos por interpolação de espaços de funções que ele também é um operador linear e contínuo de i?oo2(r) em H ll2[dCl) (ver teorema B.3, pg. 358 em [20]).

Conclui-se então, (ver teorema 02, pg. 195 em [24]) que 0 operadordual de ê0,

é um operador linear e contínuo. Este operador é chamado a restrição de dQ. para T (para nosso propósito F = <9_f2).

Supondo que v G L2{Cl) e div(bv) + cv G L 2(£l), temos que, bv G H(div,Q), e segue que 7n(bv) G H ~l/2(dQ). Então a restrição de 7n(bv) para d-Q, pertence para (Hqq2(d-ti))1. Assim a definição de H-(í l) é essencial.

i o : ^ ( r )

v(x)

11

Nota-se que H_(Q) é um espaço de Hilbert com a norma

I M I j m d = ( I M I L m + I M I Í ! ( n ) ) 1 / 2 .

sendo que, L : if_(£2) — > L 2(Q) denota o operador linear definido por Cv = div(bv) + cv.

Com essa notação o problema (1.2.1) pode ser formulado da seguinteforma:

Encontre u € ií_ (fi), tal que, Cu = / .E a formulação variacional para (1.2.1) fica:Encontre u £ #_(£2) satisfazendo

(div(bu) + cu,q) = (f,q), V q e L 2(Q). (1.2.2)

A solução de (1.2.2) pode ser vista como uma solução fraca ou generalizada de (1.2.1), em que a equação diferencial satisfaz uma igualdade em L 2(Vl) e a condição de fronteira obedece uma igualdade em (Hq ÇT))'.

H ip ó tese 1.8. Vamos supor que as componentes do vetor b pertencem a C 1^ ) e são funções estritamente positivas sobre Q.

Para demonstrar a existência e unicidade da solução fraca para (1.2.2), vamos precisar do Teorema da Imagem Fechada de Banach, cuja demonstração pode ser encontrada, por exemplo, em [24], pg. 205.

T eorem a 1.9. Seja X e Y espaços de Banach, e A um operador linear fechado, tal que, A : X - > Y com D(A) = X , então, as seguintes proposições são equivalentes:

- 1Z(A) é fechada em Y,

- 7l(A') é fechada em X ' ,

- K { A ) = N { A ! ) x ,

- n(A!) = A Í{Á )L.

T eorem a 1.10. Vamos supor que f 6 L2(Q) , c € C(Í2) e é válida a Hipótese 1.8. Então, o problema (1.2.2) tem única solução fraca u £ i7_(fi). Além disso, o operador linear £ definido acima é uma bijeção contínua de H-(Q) em L 2(P) com uma inversa contínua C~l : L2{ 1) H-(Q) .

12

Demonstração:

Designamos por C i ^ ) o conjunto de todas as funções de que se anulamem <9_f2, e seja, £ um vetor de n-componentes, demonstraremos inicialmente que:

(div(bv) + cv, e~2*'xv) = (c + ^ div(b) + b • £, \e~^'xv\2)Zá

(1.2.3)

+ ^ f (b ■ n)\e~S'xv\2ds, V v £ C i(fi).2 Ja+n

Como é fácil verificar, esta igualdade é equivalente a seguinte igualdade:

í div(bv)ve~2 'xdx — í div(b)\ve~^'x \2dx + f (b ■ Ç)\ve~^'x\2dx Jn 2 Jn Jn

+ ^ [ (b • n)\ve~^'x\2ds, V v £ C i(ft).2 J d+n

Para provar esta última, consideremos a i-esima componente,i = 1, . . . ,n,

[ ? ^ v e - * * d x = í 2d i + f p - b i v e - ^ d x . ( 1 .2 .4 )&xi Jn dx i Jn @xi

Aplicando a fórmula de Green no último termo a direita,

f p - biVe- ^ dx = - [ | b± \ ve^ x\2d x - f p - blve - 2 d x Jn dx i Jn dx i Jn &xi

+ 2 í biÇi\ve~ 'x\2dx + í biTii\ve~ x\2ds.Jn Jan

Concluímos disso que,

[ ^ - b i v e ~ 2 xdx = —- [ ^ - \ve~* 'x\2dx + [ bi^i\ve~^'x\2dx Jn dxi 2 Jn dxi J n

+ \ í birii\ve~tx\2ds.* Ja+n

13

Substituindo esta expressão em (1.2.4) temos que,

í - ^ - - ve~2Z'xdx = j- f ^ - \ v e~ ^ 'x\2dx + [ bi^i\ve~^'x\2dx +Já oxi 2 J n dxi Jn

+ i [ bini\ve~^'x\2ds.2 7a+f2

Assim, (1.2.3) segue por soma de todas as componentes.Agora, notemos que sempre se pode tomar £, tal que, a constante

M0 = i^f(c + ^(divb) + b ■ £),

seja positiva (isso é possível pois Q é limitado e todas as componentes de b são por hipótese estritamente positivas). E sejam M\ e M2 dois números reais, tais que,

Mi < e" 2«’1 < M2, (1.2.5)

Omitindo o segundo termo do lado direito de (1.2.3) sendo ele positivo, e notando que Ci(f2) é denso em H - ( f2), segue que,

(Cv, e ^ v ) > V v e H . (Í2).

Então, usando (1.2.5) temos que,

Assim,

M 2 l|£v||i,(n) > IMU,<n> V u s f f . ( f i ) ,M0 Mi

logo, elevando ao quadrado e adicionando | |£ ^ | | |2(n) resulta que,

1 + J I I ^ I I U ) > M l l w + IM Ii,« !) V V e

14

e elevando a potência 1/ 2,

^ + ( M 0M i ) ) H ^ l U a í « ) - IMIff-(n) v v e

ou

II^u IU2(íí) - C|Hltf-(n) V u € H-(Q), (1.2.6)

em que C é uma constante positiva.A desigualdade (1.2.6) permite-nos provar os seguintes resultados:

1 . £ é um operador injetivo.De fato, para v G N ( £ ) temos Lv — 0 =>

0 = \\£v \\L2(q) > C|M|ff_(n) ^ v = 0 £ é injetivo de H-(Q) na sua imagem 1Z(£).

2. £ tem inversa contínua.Sendo £ injetiva => £ é bijetiva (com base em TZ(jC))=£• 3 £ -1 : TZ{£) -> if_(í2)Então, V w Ç. 7£(£) =>3! v G H-(Q), tal que, £v = w => v — C~xw

logo, ||w ||l2(íí) = I|£u|U2(íí) ^ Cy^lU-tn) = C ||£ _1ti;||ií_(n)Assim, | |£ _1u>||tf-(fi) < èlM tacn)

£ _1 é contínua.

3. £ é um isomorfismo de i/_(f2) na sua imagem 1Z(C).

4. 7l(£) é um subespaço fechado de L^iP).Seja w G 7Z(£) => 3 wn G 7£(£), tal que, wn —>■ wSendo £ injetivo, => 3 vn G H_(Q), tal que, Cvn = wn V wn G 7£(£)Como wn converge =£■ wn é de Cauchy.Demonstraremos que vn também é de Cauchy.

H n 5: — ^m)||L2(fí) = _= ±\\wn - w m\\L2[ü) -> 0Assim, {wn} é de Cauchy em H -(ü) que é um espaço de Banach.Logo, 3 v G H-(Q), tal que, vn -» v.

jC*vSendo £ contínuo temos que, n => Cv = w => w € 7£(£)

wn -> w7l{£) é fechado.

15

Calculamos agora C. Para tanto consideramos

H+(Q) = {v G L2{ü)- C!v G L2(Q), ttn{bv) = 0 sobre

Sendo que,

(Cu , v ) = Cuvdx = / div(bu)vdx + / cuvdxJ q Jn Jn

= — u(b ■ Vv)dx + / cuvdx + (b ■ n)vuds J n ./n ./a+n

e tomando £'?; = —b ■ S/v + cv, então, se v G H +(Q), temos que, (Cu, v ) = (u, C'v), em que £ : Li{Çl) (H-(Í2))'. Assim, o problema dual para (1.2.1) é:

C'z = —b • Vz -I- cz = ib em Q1.2.7

2 = 0 sobre 3+íl

Usamos o Método das Características em (1.2.7) para mostrar queaa o = {o}.

Então, seja z G N { £ ) um elemento arbitrário. Assim, z é uma solução do problema de contorno seguinte:

—b ■ Vz + cz = 0 em Q.2 = 0 sobre d+Q.

Seja x(t) — {x\(t) , . . . , x n(t)) uma característica da equação

- b - V z + cz = 0, (1.2.8)

quer dizer, x(t) é uma solução do sistema de EDO seguinte:

i i{t) = - h ( x i , . . . , x n) x2(t) = - b 2(x i , . . . , x n)

h xn(t) = - 6n(x i , . . . , x n) .

Vamos procurar 2 na forma 2 = z (x i ( t ) , . . . , x n(t)).

16

Sendo que,

dz dz . . . dz . . . , „«r = ã - ®i(i) + • • • + ®n(i) = - b ■ Vz ,u t U X i C/£n

então, a equação (1.2.8) toma forma seguinte:

| f + cz = 0 t > t0

z\t=t0 = 0

sendo ta, tal que, z(t0) G 9+Í2.Por fator integrante, temos que,

d ( z e l cdt) dt ~ °

=> z = ce~ f cdt,

como z(t0) = 0 => c = 0=> z = 0

: . W ) = {0}.

Aplicando o Teorema 1.9 para C, temos que, TZ(C) = A/’’(£')-L = {O}-1 = L2(Í2). Assim, C é um isomorfismo de H-(Q) em L2(Cl), sendo que, / G L 2(Çl) (por hipótese), existe única solução fraca u G H-(Q.) para (1.2.2).

□

1.3 M étodo de Galerkin descontínuo aplicado a equação hiperbólica

D efinição 1.11. Uma subdivisão/partição/malha Ph{ty de um domínio Q é uma coleção finita N(Ph(£l)) de conjuntos abertos {Ki}, tal que,

1. K i í ) Kj = 0 se i ^ j e

2. i M = n.Dizemos que uma partição P^(íí) é regular se ^ < C para

1 < i < N(Ph(Çl)), em que pi = sup{diam(s) / s é uma esfera C Ki}, hi = diam(Ki) e C é uma constante positiva.

17

Seja P = {Ph(ty}h>o uma família de partições regulares de Í2 C Mn em N = N(Ph(£l)) subdomínios K. Assumimos que cada K G Ph(Q) possui d K contínua Lipschitz e designamos por u k o vetor normal unitário exterior a d K . Definimos d - K e d+K de modo análogo as definições de d-Q e d+Q, porém, substituindo Q por K.

Objetivando introduzir a formulação de Galerkin descontínua para (1.2.1), definimos o seguinte espaço de funções:

K(íi) = {v G L2(Q); div(bv) G L2(Q)}, (1.3.1)

o qual estendemos sobre a partição de usando espaços quebrados, i.é.,

v(Pk) = v(P„(a))= v(K),K e P h(ü)

sendo V(K) = V{K) L 3 '2^

em que V(K) = {uG L2(/íT); div(bv) G L 2(K)}.

Para cada K G Ph{ty e qualquer v G H l {K) designa-se por v+ o traço interior de v sobre d K (o traço tomado “de dentro de K”). Seja um elemento K, tal que, o conjunto d - K \ d-Q é não vazio; então para cada x G d - K \ d-Q. existe um elemento K ' dependendo de x, tal que, x G d+K' como na Figura 1.1 para o caso de n = 2.

Figura 1.1: Um ponto x tal que x G d - K e x G d+K1

Supomos que v G H l (K) para cada K G P^(0). Se d - K \ d-Q. é não vazia para algum K G P/i(0), também podemos considerar o traço exterior v~ de v

18

sobre d - K \ d - Q relativamente para K , como o traço interior v+ relativo ao elemento K', para o qual d+K' tem intersecção com d - K \ d-Q de (n — l)-medida positiva. Também introduzimos o salto de v através de d - K \ d-Q por,

[v] = v+ — V .

Consideremos agora um problema não homogêneo, isto é, u = g sobre d-Q sendo g G L 2 (d-Q). Então, a formulação variacional ou formulação fraca do método de elementos finitos de Galerkin descontínuo para (1.2.1) é:

Encontre u G V(Ph), tal que,

/ v (V ■ (bu) + cu — f )d x — / (u+ — u~)v+(b ■ n K)dsJ k J d - K \ d - Q

— í (u+ — g)v+(b • riK)ds = 0, (1.3.3)J d - K n d - O .

v t; g v ( P h), v K e Ph(Q)-

1.3.1 Aproximação polinomial de Galerkin descontínuo

Supomos que cada K G Ph{Q) é imagem de um elemento mestre K por uma aplicação afim Fk , i.e., K = Fk (K), V J Í G Ph(Q), em que K é um cubo canônico K = Q = (—1, l ) n ou, um simplex unitário

K = S = | i G Mn; £i > 0, < 1| ‘

Sobre o elemento mestre consideramos os espaços de polinómios de grau p > 0 conforme segue:

Qp = span{xa; 0 < a, < p, 1 < i < n}

Pp = span{xa\ 0 < |a | < p}.

Neste caso Qp é o conjunto de todos os produtos tensoriais de polinómios definidos sobre o elemento mestre de grau < p e m cada direção coordenada.

19

Definimos, então,

H « m = L € I 2(ÍJ); " = 1 * ° e se K Z p l>M é quadrilátero,| ü = ü|/f o € PPií se K E Ph.(Q) é triangular

e introduzimos o subespaço de dimensão finita de V (P/J assim,

VP(Ph) = { v e V(Phy, v\K G RpK(K), V K g PA(Í2)}.

Logo, a formulação da ap rox im ação p o lin o m ia l de G a le rk in descon tínuo para o problema (1.2.1) fica:

Encontre uma função uph G Vp(Ph) de acordo com a seguinte regra: Para K G -P/i(f2), dado sobre d - K achar uph = up,K G RpK{K ), tal

que,

í (V • (ò<) + cuj>cfcr - í (uph+ - uph )v+{nK ■ b)ds JK J d-K

= I fvdx , V «G RPk {K).JK

(1.3.4)

Tomando (w , v)k — f K wvdx , (v ,w )7 = f^wv\b-n7\ds e upb = V-(bu%) a equação (1.3.4) fica

(uphb + cuph, v )K + ([up\ ,v +)d_K = { f , v )K, V v G RPk {K). (1.3.5)

Podemos escrever agora a equação (1.3.5) da seguinte forma:

B k (up, v) = L k (v), V uG RPí<(K),

sendo B K(w,v) = (wb + cw,v)K + (H>v+)õ-K e l k{v) = { f , v ) K. Logo, a a- proximação polinomial de Galerkin descontínuo para (1.2.1) pode ser formulada da seguinte maneira:

Encontre uph G Vp(Ph), tal que,

B ( u l v ) = L(v), (1.3.6)

20

sendo

B(w,v) = B k (w, v ) e L(v) = L K(v)KePh K€Ph

e uph~ = g sobre d-Q.

1.3.2 Enumeração dos elem entos da malha

A formulação (1.3.4) supõe que se conheça v?h~ sobre d - K para então encontrar a solução aproximada uph. Isso é possível desde que se enumere adequadamente os elementos de Ph{Q). O próximo teorema mostra que existe tal enumeração K i , K 2, . . . ,Ki que permite a resolução de (1.3.4), para o caso de elementos triangulares ou quadriláteros (n = 2).

D efinição 1.12. K é dito ser um elemento de fronteira se pelo menos um dos lados da d K for um subconjunto da dQ.

D efinição 1.13. K é dito ser um elemento de semi-fronteira se um e somente um vértice de K pertence a dQ.

T eo rem a 1.14. Supomos que í] C R2 é um domínio poliedral convexo limitado, então, existe uma ordem K i , K 2 , . . . ,Ki dos elementos de Ph(fl), tal que, parai = 1, . . . ,1, cada lado de d-K{ é um subconjunto de d-Q ou de d+Kj para algum j < i.

Demonstração:

Consideremos na d-Q uma enumeração K l , K 2, . . . , K s dos elementos de fronteira obtida no sentido horário. Para essa enumeração, dois elementos K l e K %+1 podem ter um lado em comum ou não. Para o último caso (conforme Figura 1.2), existe pelo menos um elemento de semi-fronteira entre K l e K l+l, então, dizemos que um lado de K l ( resp. K t+1) é semi-comum com K l+1 (resp. K l ) se ele é um subconjunto da união dos elementos de semi-fronteiras localizados entre K x e K l+l.

Mostramos agora que existe pelo menos um elemento de fronteira K, tal que, d - K C d-Q. Para isso, vamos assumir o contrário, i.e., d - K \ $£ d-Q parai = 1, . . . , s, e chegaremos a uma contradição.

21

Figura 1.2: Malha no caso triangular

Figura 1.3: Enumeração dos elementos de fronteira

Tomando o elemento K l e usando a notação da Figura 1.3 para o caso triangular (resp. quadrilátero) o lado [a1? a3] (resp. [oi, a4]) de K 1, é um subconjunto de d+K1. Do contrário, K l não poderia ser o primeiro elemento da d-Q, então, o lado [02, 03] de K l que é comum ou semi-comum com K 2 pertence para d - K 1. De outro modo, teríamos que d - K l = [ai,a2] C d-Q que foi excluído. Portanto, 0 lado de K 2 que é comum ou semi-comum com K l pertence a d+K2. Similarmente obtemos para todo i = l , . . . , s — 1 a seguinte propriedade: o lado de K 1 que é comum ou semi-comum com K l+1 é um subconjunto de d - K \ e portanto, o lado de K l+1 que é comum ou semi-comum com K l ê um subconjunto de d+Kl+1. Agora considerando o último elemento de fronteira K s e usando a notação da Figura 1.4 para 0 caso triangular (resp. quadriláteros), 0 lado [01, 03] (resp. [01, 04]) de K s é um subconjunto de d+K3. Além disso, 0 lado [02, 03] é um subconjunto de d+Ks. Do contrário, K s não poderia ser 0 último elemento de d-íl , então, obtemos que d ^ K 3 = [oi,o2] C que foi excluído. Assim, existe um elemento K , tal que, d ^ K C d-ü .

22

Figura 1.4: O último elemento de fronteira

Agora, escolhemos para K\ o elemento de fronteira de d-Q, tal que, d - K i C d-Q e definimos Í2i = Q,\Ki. Notamos que cada lado de é, ou um subconjunto de cLfi, ou um subconjunto de d+K\. Aplicando o mesmo argumento acima para f^ , existe um elemento de fronteira K 2 de f2l5 tal que, d - K 2 C

e repetindo esse processo, levamos em conta todos os elementos de Ph{Cl), obtendo uma ordem K i , K z , . . . , Ki dos elementos de P/,(ft), tal que, a propriedade desejada vale.

□

O próximo lema é uma condição necessária para obter a unicidade de solução da aproximação polinomial de Galerkin descontínuo descrita em (1.3.6).

À (T t=n Xi L em a 1.15. Com a substituição u = e v^i=l biJw a equação (1.2.1) torna-se

div(bw) + (c + nX)w = e *$)f em Q,w = 0 sobre d-Q..

(1.3.7)

Demonstração:

Note que:

. A(Vi=n^V d{biWeÁ(E ' -1 tf)) v-A d(biw) £i')d i v ( h ü e k ^ - ' O ) = Y d x .--------- - = (

i= 1

dé

1 = 1

i=n

dxi biiv = div(bw)eX& i- 1 tf) + X ^ 7~eA^ ' -1 w1=1

23

= div(bw)eX^-‘i~l + ^ A e A í_1i - 1

= div(bw)ex(?-‘i=1 *<’) + nÀeA( ^ í=1 b w

Substituindo isso em (1.2.1) obtemos o resultado.

□Desta forma, substituindo c por c + nX é coerente fazer a seguinte

hipótese:

H ip ó tese 1.16. Assumimos que existe a > 0, tal que,

0 < a < c(x) < M q.s. em (1.3.8)

H ip ó tese 1.17. Vamos supor que as componentes do vetor b são constantes positivas sobre Q,.

T eo rem a 1.18. Assumindo que f G L 2 ÍSÍ), g = 0, e que são válidas as Hipótese1.16 e 1.17, então, existe única função uph G Vp(Ph) que satisfaz (1.3.6) V K G Ph{íí).

Demonstração:

Sendo que Vv(Ph) tem dimensão finita, (1.3.6) é equivalente a um sistema linear N x N de equações com N = dim(Vh(Ph)). Assim, é suficiente provar a unicidade da solução up(cf. pg. 97 em [21]). Assumindo que / = 0 mostraremos por indução que necessariamente uph = 0. Para tanto, seja K\, K 2, . . . ,Ki a ordem dos elementos de P/i(fi), oferecida pelo Teorema 1.14.

P H Pela Hipótese 1.17 temos que para o elemento K x (1.3.4) fica:

í (b ■ Vii£) + cuph)vdx - í (uph+)v+(nK • b)ds = 0, V v G RpKi (Ki).JKy. J d - K 1

Tomando v = up e notando que (usando a fórmula de Green),

[ (b ■ Vuph)uphdx = \ í (up+)2(nK ■ b)ds,J K i L J d K 1

24

temos que,

- [ (uh+)2(n K-b)ds + f (uph+)2{nK -b)ds + í c{up)2dx = 0. J d - K i z J d K i J K i

Assim,

í (uh+)2(n K ■ b)ds + ]■ í (uph+)2(nK ■ b)ds + f c(up)2dx = 0 . z L J d + K i J K i

Usando (1.3.8) e notando que a Hipótese 1.17 implica que (nx-b) > 0 em d+K\ e (rix • b) < 0 em d -K \ , obtemos que up = 0 em K\.

H l Supomos que uph = 0 em K\ U K 2 U . . . U x.

T H Usando Hl temos que v~ = 0 sobre d-K i então a equação (1.3.4) fica,

í (b ■ V u ph + cuph)vdx - í (uph+)v+(nK ■ b)ds = 0, V v € RpK (Ki).J Ki J d - K i

Tomando v = uph e repetindo o processo feito em PI temos que uph = 0 em Ki. Portanto obtemos que uph = 0 em Q. Logo, existe única solução uph G Vv(Ph) que satisfaz (1.3.6).

□

25

Capítulo 2

Estimativas a pr ior i para a equação difusão-advecção-reação

0 objetivo principal deste capítulo é provar estimativas de erro a priori para a equação difusão-advecção-reação. Faremos isto, dividindo tal equação em duas, uma puramente advectiva e outra puramente difusiva. Então, obtemos estimativas de erro a priori para cada uma dessas equações e consequentemente temos a estimativa procurada.

Inicialmente apresentamos o problema modelo, os hp-espaços de elementos finitos e, conforme [8], demonstramos a existência e unicidade de solução fraca para a equação difusão-advecção-reação com condições de fronteiras nulas. Na seção2.2 consideramos o problema puramente advectivo com uma formulação fraca que inclui a adição de um parâmetro de estabilidade. Essa formulação foi primeiramente estudada por K. S. Bey e J. T. Oden em [4] com um parâmetro da ordem o(h/p2). No entanto, seguiremos aqui as idéias apresentadas por P. Houston, C. Schwab e E. Süli em [11], em que o parâmetro de estabilidade é da ordem o(h/p) e a malha é composta de quadriláteros que pode ser constituída de elementos 1-irregulares.

As estimativas de erro sem a adição de parâmetro de estabilidade parao problema advectivo e difusivo tem por base o artigo [8] de P. Houston, C. Schwab e E. Süli , e são consideradas nas seções 2.3 e 2.4 respectivamente. Para este caso, um trabalho mais “refinado” será feito para obter estimativas de erro ótimas e m p e

h.Por último, agrupando os resultados das seções 2.3 e 2.4, temos a

estimativa de erro para a equação difusão-advecção-reação, que apresentaremos na

seção 2.5.

26

2.1 Preliminares

2.1.1 Problem a modelo

Seja Q um domínio poliedral limitado em Rn , n > 2, a equação de difusão-advecção-reação sobre Í2 é dada por,

£'u ~ ~ dj(a,ij(x)diu) + ^ bi(x)diU + c(x)u = f ( x ) V x G Í2, (2.1.1)

• / G L2(£l)]

• c G C(íí);

• b = {&i}"=1 uma função vetorial de valor real, tal que, bi G C 1(íí), i = 1 , . . . ,n.

• a = uma matriz simétrica cujas entradas são funções de valoresreais contínuas por partes definidas sobre Í2 e limitadas, com

Com estas hipóteses, a equação (2.1.1) é uma equação d iferencial p a rc ia l com fo rm a ca ra c te r ís tic a não negativa.

Denotamos por T a união das faces abertas (de (n — l)-dimensão) de Q, e por n(x) = {n;}"=1 o vetor normal exterior unitário para T em x G T e consideremos uma divisão de T do seguinte modo,

n n

i,j=1

sendo,

CTa(x)C > 0 V ( G M", q.s. x e Q. (2 .1 .2 )

Fo = {x G T ; n(x)Ta(x)n(x) > 0} (2.1.3)

r_ = {x G r \ F0 ; b(x) ■ n(x) < 0}(2.1.4)

r + = {x G r \ r 0 ; b(x) ■ n(x) > 0}

Obviamente, F = r o U r _ L i r +

277

Quando r 0 não é vazio, também o dividimos em dois subconjuntos disjuntos Tn e T o com To ^ 0 e relativamente aberto em I \

Complementamos (2.1.1) com as condições de fronteira

u = gn sobre r 0 u r _(2.1.5)

n ■ (a V u ) = çn sobre TN

sendo go e L2(Td U T_) e gN e L2(IV ), e seguindo [8], adotamos a hipótese que b ■ n > 0 sobre Tn quando TN ± 0.

Notação: Para simplificar escrevemos:

S p = S P(Q,T, F) (será definido adiante);

|| - ||k em vez de || • | | l 2(í<-);

|| • \\ttK em vez de || • ||ff. (/f);

I • La- 6m vez de | • |í/3(íc);

|| • \\dK em vez de || • ||Li{aK) sendo \\vfL2(dK) = f gK \b • n\\v\2ds.

2.1.2 Existência e unicidade de solução fraca

Mostraremos aqui a existência e unicidade da solução fraca para a seguinte versão homogênea do problema (2.1.1) e (2.1.5).

Cu = —V • (aVu) + b ■ Vit + cu = f em H

u = 0 sobre r ^ u T - (2.1.6)

n ■ (aVu) = 0 sobre TN

Nosso primeiro passo é construir a formulação variacional (ou generalizada) para o problema (2.1.6), i.é., multiplicar a equação por uma função teste (pertencente a um espaço teste) e integrar sobre Í2 para então, definir uma forma bilinear e um funcional linear. Iniciamos com o seguinte resultado.

Lem a 2.1. Seja M uma m a tr iznxn simétrica definida não-negativa. Se ÇTMÇ = 0, para um ( 6 1 ", então, M ( = 0.

28

n

^ 2 aij(x)ninj = 0 para x € T \ r 0. (2.1.7)i,j=i

Sendo que (<2 (0;)) é simétrica definida não-negativa, então, para i E T \ r 0, chegamos por (2.1.7) e Lema 2.1 com M = a e £ = n que

n

' ^ 2 a ij(x)nj = 0 para x e T \ r 0 i = l ,2 , (2.1.8)j = 1

Seja,

H}j(Cl) = {«Ç H 1^ ) ; v(x) = 0 para x e Td }

o espaço teste, então, se (2.1.6) tem uma solução u E H 2{ÇÍ) temos através de (2.1.8) que,

Oij(x)rij——vdx = 0 para V v 6 i7^(íl). (2.1.9)

Note que:

a) sobre To a integral é nula pela definição de H q (í2);

b) sobre FN é por (2.1.6);

c) sobre T \ r 0 é por (2.1.8).

Notação: Usamos (•,■) para denotar o produto interno em L2(fi), e introduzimos o produto interno em L ^ ) , dado por: < v ,w > 7= f \b ■ n\vwds , sendo 7 C T um conjunto aberto.

Multiplicando a equação (2.1.6) por v € H}j(Q,) e integrando sobreobtemos,

(—V • (aVu), v) + (b • Vu, v) + (ctt, v) = ( /, v) V v € H } j(Q). (2.1.10)

Integrando o primeiro termo por partes

( - V - ( a V u ) , v ) = (aVu,Vv) + J ( a V u • n)vds 2= 9 (aVu, Vu), (2.1.11)

Segue da definição de To que

29

em que o lado direito deve ser visto como a integral sobre Í2 do produto interno em Rn de üVíí por Vv.

Integrando agora o segundo termo de (2.1.10) por partes

(b • Vu, v) = — (u, V • (bv)) + / uvb • nds 2= 6 — (u, V • (bv)) + / uvb ■ ndsjt j t 4-ur n

= — (u, V ■ (bv)) + / uv\b ■ n\ds, •/rvuivr+ur

(2 .1.12)

sendo a últim a igualdade válida pela definição de T+ e pela hipótese que b ■ n é não negativo sobre

Substituindo (2.1.11) e (2.1.12) em (2.1.10) temos que,

(aVu, Vv) - (u, V • (bv)) + (cu, u)+ r+urN= (/, v) V v G H lD(Q).

Consideramos agora o espaço teste 'H(fi) como sendo o fecho de -ff^(Q) em L2(íl) com respeito a norma || • ||-H(n) definida por ||u;||W(n) = y/(w, w)u(n) sendo ('■> ')n(n) o produto interno em 9í(Q) dado por,

(w, v)u{Q.) = (aVw, Vv) + (w , v)+ < w, v >r+urwur.

Como H(Q) é um subespaço do espaço de Hilbert L2(Í2), também é um espaço de Hilbert.

Para w G %(f2) e v G H q (Q) consideramos a forma bilinear B ( •, •) : H(£l) x H q (Q,) —► R dada por

B ( w , i;) = (aVw, Vv) - (w, V • (bv)) -I- (cw, u)+ < w , v >r,vur+

e para v G H q (Q,), o funcional linear l : H q (Q) —> R dado por,

Kv) = (/> v).

Então, a formulação variacional para (2.1.6) é:

30

Encontre u G %(íl), tal que,

A solução u de (2.1.13) é a solução fraca (ou generalizada) de (2.1.6). Vamos supor que existe a > 0, tal que,

c(x) - • b(x) > a q.s. x G Cl. (2.1.14)

T eorem a 2.2. Vamos supor que (2.1.14) é válido e que aij são constantesV i , j = 1, . . . , n. Então, para cada f G L 2 ÍCÍ), existe u G 'H (f i) , tal que, (2.1.13) vale. Além disso, existe um subespaço de Hilbert T-L'(VL) de %(Q), tal que, existe único u G W(Q) que satisfaz (2.1.13).

Demonstração:

Da definição da forma bilinear

B(w, v) = (aVw, Vu) - (w, V ■ (bv)) + (cw, v)+ < w, v > r jVur+ •

Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz(C.S.) para o primeiro termo, temos que,

r c.s. c c.s.(aVw,Vv) = / a V w - V v d x < / \aVw\\Vv\dx < ||aVu;||n||Vu||q.

Jn Ja.

Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz também nos demais termos, resulta que,

B(w, v) < ||aVu;||n||Vu||n + |M |n ||V • (Hl ln

+ ]|cH|nlM|n + lk l |r A,ur+lk l|rNur+-

Aplicando a desigualdade de Holder, obtemos que,

B(w ,v) < (||aVw||n + H l n + IM In + |h l l r JvUr+) 1/2(2.1.15)

x ( l |v * C + ||V • ( M i a + \\v\\l + IM|?wur+) 1/2 •

B(u,v) = l(v) V v e H ^ ( Q ) . (2.1.13)

31

||aViü||n = f \àVw\2dx = í \ \ fã \ /aV w\2 dx < í \y/ã\2\y/ãVw\2dxJçi Ja J n

= ãçi / |\/ãV u;|2cía: = õn / a V w -V w d x ,Ju J n

sendo ãn < J27,j=i lav?l2 e é a raiz quadrada matricial de a, i.é., a = ,/ãy/ã, então,

IlaVtuHn < C(aVw, Vu/). (2.1.16)

Substituindo (2.1.16) em (2.1.15), tomando o sup em c(x), b(x) e aplicando a desigualdade do traço

IMIan ^ C'dlVulInll^Hn + cT^MIn), (2.1.17)

no termo IM Ir^urv temos Que>

1 /OB(w, v) < C ((áVw, Vw) + (w, w)+ < w , w >r,vur+ur_) x

(2| |v t,|Ê + i K + | |v t,||I1||1,||„ + | | , i a ) , /2 .

Aplicando agora a desigualdade aritmética geométrica (A.G.), resulta que,

A.G. ( 1 1 \ ^!2B{w,v) < C |M k (n ) (l|V u||n + 2 |H ß + - | |V ü |ß + - |M ß J .

Assim,

B(w,v) < C ||iü||7í(n)||u||ffi(n).

Conclui-se então que B(-,v) é um funcional linear limitado sobre

Pelo teorema da Representação de Riesz, existe único elemento T(v) € H{£1), tal que,

B(w,v) = (w,T(v))mn) V w € (2.1.18)

Sendo B uma forma bilinear, segue que o operador T : H lD(Cl) —> %(Çt)

Para o primeiro termo da última desigualdade vale que,

32

que aplica v >— > T (v ) é um operador linear. Mostraremos agora que T é injetivo.

B{v, v ) = (aVv, V v ) — (v, V • (bv)) 4- (cv, u)+ < v ,v >rN ur+ v v e H lD{ü)(2.1.19)

Para o segundo termo, temos que,

( v ,V ■ (bv)) = Í v ^ - { b iv )d x = V í v2^ - d x + y 2 f v b i ^ - d x

= y~' f v2^ - d x — [ v-^—(biv)dx + [ (b-ri)v2ds ,

sendo que a última igualdade foi obtida usando fórmula de Green. Assim,

- (u , V • (6u)) = - V ] í v-^-(biv)dx = í v2^ - d x ~ ] - f (b -n )v 2dsJn Jn uxi 2 yôn

= ^ - h) - \ í (b- n)v2ds.z z 7an

(2 .1.20)

Substituindo (2.1.20) em (2.1.19), temos que,

1 1 /*5 (u , w) = (aVu, Vu) + (c — -V • b, v2) — - / (6 • n)v2ds2 2

+ < u, u > rwur+ V v € H^(Q)

Usando a hipótese que b • n ê não negativo sobre T/v, e as definições de e # d (0 ) resulta que,

— í (b • n)v2ds = - ] - f \b • n\v2ds — ^ f \b • n\v2ds2 Jaó. 2 JTn 2 yr+

II»Somando (2.1.21) com o termo < v ,v >rNur+ e usando a hipótese (2.1.14) chegamos

rN(2 .1.21)

+ r / |6 • nlt^ds.

33

a,

B(v, v) > (oVv, Vv) + a ||u ||n + ^ < v, v >rNur+ur.(2.1.22)

>C 1M & (n) V v e H ^ ( Q ) ,

em que C = m in(a, 1/ 2). Aplicando (2.1.18) em (2.1.22),

v v z b 1d(ü ) (2.1.23)

e pela desigualdade de Cauchy-Schwarz no lado esquerdo de (2.1.23),

\\T(v)\\H(n) > C |M |* (n) V t; € H lD(Q). (2.1.24)

Conclui-se assim, que T é um operador injetivo de H lD(Q) em sua imagem 7Z(T) contida em Seja 7i'(Q.) = 7Z(T) com o fecho na norma de

Da definição de l(v) temos que,

\l(v)\ < j|/||n ||v |tn < ll/l|nlMlw(n)

(2.1.24)

< C ^ H / l l n l T O I U n ) V v e H } , ( n ) . (2.1.25)

Dado w € T-L'(Q.) existe wn G 7Z(T), tal que, wn —t w em H (0), então,define-se

g(w) = lim l(T~1wn). (2.1.26)n—>00

Por (2.1.25), a definição de g(w) é correta e independe da seqüência wn, sendo que

lim ^oo |K lk (n ) = JMI«(n)> P°r (2.1.26) e (2.1.25) temos que,

|0 (w)| < lim C 1||/||n||^n||-H(n) < C 1| |/ | |n lim IKIk( n)71—>00 •*—k- .

= C | | / | | n l M I « ( n ) -

Então, g é um funcional linear limitado sobre 1-L'(Q). Como éfechado na norma de 'H(fi), é um subespaço de Hilbert de 7í{Cl). Novamente pelo teo-

34

rema da Representação de Riesz, existe único u G tal que,g(w) = (u, V w G em particular

g(T(v)) = (u ,T(v))n{n) V v - e H lD(Q) (2.1.27)

Como g não depende da seqüência, tomamos wn = T(v), n = 1,2, . . . que converge para w = T(v). Segue de (2.1.26) que

g(T(v)) = g(w) = lim l (T~lwn) = l{v) V v G H ^ í l ) . (2.1.28)n—>oo

Dê (2.1.27) e (2.1.28) temos que l(v) = ( u , T ( v ) ) ^ n) para todo v G Hp(Q), então demonstramos que exite único u G tal que,

B(u,v) = {u,T(v))n(n) = l(v) V v G H lD(Q).

□

2.1.3 hp-espaços de elem entos finitos

M alha

No capitulo 1 definimos uma malha (partição) regular Ph{&) composta de elementos abertos K , tal que, Q. = UKePh(n)K- Vamos agora designar por T uma malha que pode ser regular ou 1-irregular, i.é., as faces de cada K G T podem ter no máximo um nódulo “pendurado” . Aqui também cada K é imagem por uma aplicação afim de um elemento mestre K, sendo K um hipercubo unitário aberto ou um simplex unitário aberto em Rn (definidos na seção 1.3.1) (ver Figura 2.1).

(a) (b)

Figura 2.1: (a) malha regular; (b) malha 1-irregular

35

Seja tf o conjunto de todas as faces abertas ((n — l)-dimensão) de todos os elementos K E T. Denotamos por tfint o conjunto de todos e € $ que estão contidos em Cl. Além disso, seja

r int = { í 6 fi; x E e para algum e E tf irit}

etfD = {e e tf; e C T D }

Nota: Está implícito nestas definições que T respeita as divisões de T.

Espaços de polinóm ios

Sobre o elemento de referência, consideramos os espaços de polinómios Qp, Pp (definidos na seção 1.3.1) de grau p > 0. Supomos que cada K E T é imagem de um elemento mestre K por uma aplicação afim FK, i.e., K = Fk (K), V K E T. Assim, para cada K E T associamos o inteiro não negativo Pk (grau dos polinómios locais) e o inteiro não negativo s% (índice local de Sobolev), e coletamos os p^, s k

e Fk nos vetores p = {pk\ K E T}, s = {s^; K E T } e F = {FK\ K E T}, e consideramos o espaço de elementos finitos

S P(Q,T, F) = {u£ L2(Cl)\ v\k o Fk G RPk { K )},

sendo que R é Q ou P (veja seção 1.3.1).Associamos a T o espaço de Sobolev quebrado

H s{ü ,T ) = { v E L 2(Sl)- u \K E H Sk(K) V K E T } ,

o qual equipamos com a seguinte norma e semi-norma

1/2 / \ 1/2

M k r — í I M I í í sk-(k) ] i M s , r — í \v \2h sk { k ) \ K e T / \ K e T

respectivamente.Para u E H l (Cl,T) definimos o gradiente quebrado V j u de u por

(V t u )\k = V(w|/<-), para K e T.

36

2.2 Equação de advecção com parâmetro de estabilidade

Desenvolveremos nesta seção as estimativas “a priori” para a parte £ 0 do operador £ responsável pela advecção-reação, i.é., para

Cqu = b • Vu + cu = f em

u = go sobre r_ .(2.2.1)

A malha com que vamos trabalhar aqui é mais geral que a considerada na seção anterior, mas, por outro lado, as estimativas de erro serão desenvolvidas para o caso particular de n = 2.

M alhas

Seja V uma partição em retalhos de Í2 em abertos P que são imagem de um domínio de referência P por uma aplicação bijetiva Fp, i.é.,

V P G V , P = Fp(P)

sendo que P é um hipercubo (Q) ou um simplex unitário (S) definidos na seção 1.3.2.

-1 . 1)

( -1 , -1)

(a)

(1.1)

A

K

(1.-D

Figura 2.2: (a) O elemento P e sua malha Tp\ (b) o retalho P e sua malha 7p

Uma malha T de Q vai ser construída subdividindo os retalhos P. Para cada P , construímos uma malha Tp subdividindo P em elementos K (ver Figura 2.2 para o caso de P = Q) que são equivalentes afim com Q ou S, essa malha em P é

37

chamada Tp. A malha Tp para P Ç.V é obtida aplicando Tp para P usando Fp , i.e.,

V P e ? : Tp : = { K ; K = FP(K), K e t P}

então, a malha T de Q. é a coleção de todos os elementos, i.e.,

T = \ j T r .Pev

A Am k

D K

Figura 2.3: As aplicações A k , FP e FK

Aqui, cada K € T é imagem do domínio de referência P via uma aplicação Fk : se K e P para algum P e ? ,

K = Fk (P), FK ~ F P o A k

sendo A ^ : P K E Tp afim (ver Figura 2.3).Vamos assumir que existem constantes positivas c\ e c2, tal que,

V K e í

(2 .2 .2 )

em que h,K = diam(K) e = diam(K).Nota: Adaptamos o espaço de elementos finitos acima para essa malha tomando

F = {Fp; F e ? } .

38

2.2.1 Formulação estabilizada do m étodo de Galerkin descontínuo para a equação de advecção

Seja 8 € H l (K) uma função positiva para cada K e T , e seja w, v G suprimindo os subíndices K, consideramos a forma bilinear dadapor,

B dg(w , v) = y j / Cqw(v + 6£ov)dx — / (ò • n)[u;]?;+ds^ J k k Jd-K\r_

(2.2.3)

— í (b ■ n)w+v+ds „ Jd-Knr_K

e o funcional linear dado por,

Idg(v) = Y f ( v + ôC0v ) d x ~ y 2 (b-n)gDv+ds.K J k k Jd-Knr_

A aproximação /ip-DGFEM com parâmetro de estabilidade para (2.2.1) é definida da seguinte forma:

Encontre uug £ S P(Q, T, F ), tal que,

B DG(uDG,v) = lDG(v) V v e S p(Q ,T ,F ) (2.2.4)

Esta formulação difere do original /ip-DGFEM pela adição de um parâmetro de estabilidade quando S > 0. Uma análise desta formulação foi feita por K. S. Bey e J. T. Oden em [4].

Seja a função co{x) definida assim,

cl(x) := c(x) — • b(x), x e Cl (2.2.5)

de (2.1.14), cq ( x ) > a quase sempre em Cl. Com isso, mostramos no próximo lema a estabilidade do problema discreto (2.2.4).

Lema 2.3. Supomos que existe a > 0, tal que, (2.1.14) va e- Então, uqg satisfaz a

39

seguinte estimativa:

Y { \ \ ^ ^ 0 u D g \ \2K + Ol \\u D G \\2K + \\u~DQ - U~D G \\2d _ K \ T _ + -K

+ i i ^ Giii+^n r+} < £ { n>^/ii k + ^ii/ii k + m \

u DGlla_/ínr_

2d - K n r _

(2.2.6)

K

Demonstração:

Tomando v = uDG em (2.2.4)

B dg{udg, udg) = Idg{udg) (2.2.7)

sendo que,

B d g ( u d G , u D g ) = S ( C o U D c ) 2 d x + J £ o u £>G u ^ c d x

K

- / (ò-n)[uOG]u£Gd s - / (ò-n) (u£G)2ds.J d - K \ r _ J S _ K n r _

Para cada o segundo termo do lado direito fica,

/ £ 0“ d g w d g c í x = / (6 • V u DG)uDGdx + / c(uDG)2dx J k J k J k

Aplicando a fórmula de Green no primeiro termo do segundo membro, temos que,

[ {b ■ V u DG)uDGdx = —^ [ (V -b)(uDG)2dx + \ í (n ■ b){u^G)2ds.J K 1 J K 1 J d K

Logo,

[ C,qUDG u DGdx = —— [ (V ■b)(uDG)2d x + [ c{uDG)2d x + \ í (n • b)(u+DG)2ds. J k 1 J k J k 1 J d K

40

Assim,

B dgÍ^dg-, udg) — ^ 2 | j 8(£ouDG)2dx + j (c — - V • b)(uDG)2dx

+ (n ' b)(uDG)2ds- I (6 • n)[uDG}upGds (2.2.8)K J dK J d - K \ T -

~ Í (b - n ) ( u l G)2ds .Jd-Kn r_

Decompomos as integrais sobre a fronteira de da seguinte forma:

]- f (n ■ b)(u^G)2ds — ^ í (n ' b)(upG)2ds + ]- í (n ■ b){u+DG)2ds 6 J dK z Jd+Knr+ L Jd+K\r+

+1 í (n ' b)(u+DG)2ds + i f {n-b)(u+DGf d s1 J d - K V \ V - 1 J d - K \ r _

(2.2.9)

e notemos que,

- [ (b ■ n)[uDG}u lGds = - i [ (b ■ n)(u^G)2ds J d - K \ T - z J d - K \ T -

I {b-n){u^G - u - DG)2ds + )- í (b-n)(u~DG)2ds .1 J d - K \ r _ * J d - K \ T -

(2 .2.10)

.íc\r_ í J d - K \ r.

Assim, substituindo (2.2.9) e (2.2.10) em (2.2.8) e usando o fato que

2 í (b-n)\ulG\2ds + 2 í (b-n)\u~DG\2ds = 0,X Jd +K \T + x

os três últimos termos (2.2.8) podem ser escritos como,

Í - ( b -n)\UDG\2ds+ l Y l Í ~(b ■ n)\Uí>G - UDg\2(Ís* K Jd - K r iT - Z K J d - K \ T -

Í (Ò'n)l UDG* K J d + K r r +

Substituindo (2.2.11) em (2.2.8) e lembrando de (2.2.5) junto com a definição de

(2.2.11)

+ r Y ^ I (b ■ n) \u tn \2ds.

41

d - K , obtemos,

Bdg(udg, udg) = 5 3 { W ^ ^ o udg\\2k + ||co«dg||a: + ^ II^Sg IIÍ-/cnr_2K v

l|2 , IlL,+ 112(2.2.12)

+ 2 " U DG ~ ^ D G l I a - ^ r - + 2 \ \ u DG \ \a+ K r \ T + | •

Limitamos agora o lado direito de (2.2.7)

K(«dg)| < {II/IUII^ogIIa: + l l v f r l k l l V S w i l ,

+ IM|d_ícnr_ ||«d g II3-k c \ T - }

<0 £ { f ii“ o < * + ^ \m % + í i i ^ / i i

(2.2.13)A.G. x--V , ,» j- .. r- ,|2

£ LU. L

+ 2 II ' / õ £ o u d g \ \k + ^ll«DGllô_A-nr_ + I M l L / r n r _

Usando (2.1.14) em (2.2.12) e comparando o resultado com (2.2.13) por meio de (2.2.7), obtemos (2.2.6).

□

Para fazer uma análise de erro do hp-DGFEM, escrevemos

u - uDg = (u - riu) + (IIu - uDg) = V + £> (2.2.14)

em que u é a única solução fraca de (2.2.1), u^ g é a solução da aproximação descontínua de Galerkin e Ilu é um projetor adequado de u em S P(Q,,T, F), que será escolhido posteriormente.

42

Y | l l v ^ o £ H 2* + Hco£||k + l l í + lli_ATir_ + 2 ll^+ Hô+A'nr+ + 2 ^ + — ^ U i - /c\r_K ^

L em a 2.4. Se (2.1.14) vate s u G H l (K ) para cada K € T , temos que,

y / f+ 4||co77|||- + 2||77+| | |+/fnr+ + 2||?7 |||_K-\r _

K

(2.2.15)

Demonstração:

De (2.2.14) temos que,

B d g (Ç, 0 = B d g ÍTIu — u D g , 0 = B d g { u — u d g — u -(- I I u , £ )

(2.2.16)

= B dg(u - uDG, £) - B dg{V, 0 = - B dgÍVi 0 -

Aqui B dg{u — udg,Ç) = 0 pelo fato que sendo u a solução de (2.2.1), u também satisfaz (2.2.4). Logo,

B dg(u — udgiO — B dg(u,Ç) — B dg(udgiQ — B dg{u,Ç) — ÍdgÍO = 0-

Vamos limitar B dgÍVi O-

B d g(v , 0 = Y , \ Í ô£oV£oÇdx+ í (b-Vr))Çdx+ í crjÇdx ^ W iC J K J K

— f (ò • n)[r]]Ç+ds — í (b ■ n)r]+^+ds jJ d - K \ r _ J d - K n T - J

e lembrando que

f (b • Vrj)Çdx = - í (b • V£,)r]dx - f (V • b)r]^dx + í (b • n)r]+^+ds J k J k J k J d K

43

deduzimos que,

BdgÍV, 0 “ £ I / 8'£oriCoÇdx - [ r}£0Çdx + 2 í cqÇdxk w K J k j k

— f (V • b)rjÇdx + f (b ■ n)r]+Ç+dsJ K J d K

— f (b ■ n)[r]}Ç+ds — f (b ■ n)r]+Ç+d s \ . Jd-K\r- Jd-Kn r_ J

Manipulando os termos sobre K , obtemos,

^ { / ( ^ ;C°?7 “ ) ^ C° dx + 2 f K(c ~K

= { / - ^ 0 VôCoÇdx + 2 J clrjÇdx^ ,

e sobre a fronteira com 6n := (ò • n) temos que,

Ç H+ c-bnr)+Ç+d s + [ bnr) ds - í bnr]+Ç

K\T- Jd-K\r_ ^5_/cnr_

+ í bnT)+Ç+ds + f bnr]+ç+ds + í bnr)+Ç+ds + í J d - K n r _ J d - K \ r _ ~ /a + /c n r+ J a + K \ r +

Simplificando, obtemos

y ~ ] \ f bnT]+^+ ds + í bnr}+Ç+ds + f bnr]~^+ ds K {Ja+Knr + Ja+K\r+ Ja-K \T-

e notando que,

Í bnr]+Ç+d s + f bnr] Ç+ds K { J a + K \ r + J d - K \ r _

y z \ - í bnr}~Ç~ds + í òn77- £+cís) K L J d - K \ T - J d - K \ r_ J

X I í bnT]-(Ç+ - Ç -)d s .Jd— ic\r_

(2.2.17)

(2.2.18)

¥ds

bnT)+Í+ds^ .

(2.2.19)

(2.2 .20)

44

Substituindo (2.2.19) e (2.2.18) em (2.2.17) e usando (2.2.20) obtemos

\ B d g { v , £ ) \ < { JK V S C o Ç d x + 2 J ^ r j ^ d x

+ \ [ M ~ ( f + - Ç~)ds + [ bnr)+Ç+ds "1 . \ J d - K \ r - Jd+K n r+ J

(2.2.21)

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz em (2.2.21) chegamos a seguinte desigualdade:

K

VSCov - J L W ^ C oZWk + 2||c077||í<-||co || KK

+ \ \ v | | â - / f \ r _ l l£+ ~ £ | | a _ K - \ r _ + ||77+ ' | |a+ K -nr+ | | í + | | a + / f n r + | -

Aplicando agóra a desigualdade aritmética geométrica temos que,

}-E?d g (77,Ç)I < " + + 2 ||coí7||k + 2 ll^oí ll/>K

+ \ \ v í l L i c \ r _ + 4 ^ + _ ^ l l L / r \ r _ + ll77+ lla+/£'nr+ + ^l l^+ lla+/<'nr+

De (2.2.16), (2.2.12) com udq = £ e (2.2.22) temos provado (2.2.15).

(2.2.22)

□

2.2.2 Estim ativas a p r io r i para o erro do m étodo de Galerkin descontínuo estabilizado para a equação de advecção

As estimativas que desenvolveremos aqui são baseadas no produto tensorial, por isso, iniciamos com alguns resultados em uma dimensão. Para tanto, seja / = (—1, 1) e SP(I) o conjunto dos polinómios de grau p definidos sobre /.

Teorema 2.5. Seja u € H k+1(I ) para algum k > 0. Então, para todo p > 1, existe

45

l l i / — ( i r 7 f V I I ? . < ”

(p + s)\ s+l'1

7Tpu £ SP(I), tal que,

v! (nPuy\ \ f< | J i l u ls+ il (2.2.23)

para qualquer 0 < s < min(p, k) e, tal que,

IIu - 7Tpu||'- < 1 ^ — ITtMLi ? (2.2.24)1 p(p + 1) (p + t )• + ’

para qualquer 0 < t < min(p, k). Além disso,

lT pU (± l ) = 1i(±l).

Para demonstração ver pg. 75 em [20].

C oro lário 2.6. O projetor ttp, cuja existência é assegurada no Teorema 2.5, satisfaz as seguintes estimativas:

I K v O ' 11? < 2|K ||f (2.2.25)

lbv*llr< (2.2.26)

V p > 1 e todo u G H l (I).

Demonstração:

A desigualdade (2.2.25) é obtida da desigualdade triangular e de (2.2.23) com s — 0, i.é.,

I K v O l l f = U^pu)1 - u ’ + u ' \ \ j < \\(^pu)' — u' \ \ j -+ | | í / | | j - < 2 | | u , | l / -

(2.2.26) é obtida de modo análogo, porém usando (2.2.24), i.é.,

K pU ||/= H W - U + U\\T < \\lTpU ~ u | |f + \ \u \ \ f < / 7 ----- ^ 11 11/ + INI/-1

V p (p + 1)

□

Vamos usar esses resultados sobre (—1,1) para construir aproximações

46

para Q = (—1,1) . Para tanto denotamos por n lpu o projetor de u na i-ésima coordenada.

Seja v(x) e w(y) funções de uma variável, tais que, ambas pertencem a H k(I ), então, para as funções do tipo v(x)w(y) definimos o operador

Up :V (U p) c H k{Q) — ► SP(Q)U l-----> I I p U = ITpVlTpW

em que u(x,y) = v(x)w(y). Sendo que o conjunto das funções v(x)w(y) é denso em H k(Q), podemos estender o operador IIP = para todas as funções u £ H k(Q).

Teorema 2.7. Seja Q = (—1,1)2 e supomos que p > 1 e que u G H k+l(Q) para algum k > 1. Então, vale as seguintes estimativas:

H - M I & * p (p + i ) ( p T s f + 2 lla^ ‘" " l }

4 ( p _ S + 1)' | |a 1 » | | | , (2.2.27)p2(p + l )2 (p + s — 1)!

8 (p - s + 1)! + (|a1ô|«|||}(2.2.28)p(p + 1) (p + s - 1)!

para qualquer 0 < s < min(p, k).

Nota: E suficiente provar essas desigualdades para as funções do tipo u(x,y) = v(x)w(y), pelo fato da densidade.Demonstração:

u - n p u | | | < 2 | | u - 7 r j u | | | + 2\\irlp{u - t t 2u ) | | | = 2A + 2B'Q Q

47

Agora,

A = j J \vw — TTpVw\2dxdy = j \w \2 J \v — ^ v ^ d x d y

1 f e z f H [ ' r H m ^ d y = f ^ ..f - ^ n a r -- p í p + í ) (p + s )\ y _ i y _ i p (p + 1) (p + 5)!

e,

B = j J \TTp(vw - vir2w)\2dxdy = j \w - ir2w\2 J \-Klpv\2dxdy

{ < ] j \ w ~ r f w \2( y 2\v\2dx + p Q 2+ {j j \div\2dx^jdy

u

(2.2^24) 2 ( p - s ) !

PiP+l)(P+s U X ^ lwWixdy2 (p í")| J j j ^ r + i w \2\dlV\2dx dy+

p2(p + l )2 (p + r)\

2 (p 3) - n y 1u | | | + „ 2, „ 2 t . 2 £ - - ^ 1 u a a r 1p(p + 1) (p + s)! Q p2(p + l )2 (p + r)!

tomando r = s — 1 temos que,

1 n 112 __ 2 ( P ~ SY-\U — I l p t i s < —:-------- -T -,----------TT

Q p ( p + l ) ( p + s)!

I_____ 4 (p S -f- 1)! l lags l|2p2(p + l )2 (p + s - 1)! 2 Q

o que prova (2.2.27).Mostraremos agora (2.2.28).

II v (tx - n pu ) | | | = i i^ íu - n pu ) | | | + \\d2(u - n pu ) | | | = a + b

48

Aqui,

A < 2\\di(u - 7 T » | | | + 211^(7r j ( u - t t J u ) ) | | | = 21 + 211

sendo

/ = y J \d\{vw — TTpVw)\2dxdy = J \w \2 J \d\(v —-KpV)\2 dxdy

(2.2.23) ( p _ s ) | [1 ^ L .j 2 m s + U . | 2 j ^ _ ( P - S ) !

(p + s)!

e,

// = I J \di(TTpVW — irpVTTpW ))\2 d x d y = J \w - t 2 w \2 J |Ô17Tpu|2da:cíy

(2.2.25) r l „ r 1 „ „< 4 J \div\ J \w — iTpW\ dydx

(2.<4) 4 r \dxv\2 r I d ^ w f d y d x = 4 ^ l l | g i ^ +1« l l | ,- p(p + l ) ( p + í ) ! y _ ! 1 1 1 7-1 2 p ( p + l ) ( p - M ) ! n

tomando t = s — 1 temos que,

4 ~ S^ H9a+1n||2 -I____ -___(P ~ s + *)' l i a ^u l l lA - 2 (p + a)!M ^ + p(p + 1) (p + S - 1)!

Da mesma forma se obtém uma estimativa análoga para B, e juntando as duas a estimativa (2.2.28) segue.

□

Para um domínio geral Q, com diâmetro d, definimos = { :r; i 6 Q}.>*s

Se u € W™(ti), seja u(y) = u(dy), é natural que u € W™(ft). Por uma mudança de variável, temos que,

l“lw»*(n) = dh~nlP\«kpm(íí) Para 0 <k<m

Para um retângulo K com diâmetro h x e com um lado 7 existe um

49

sistema de coordenadas locais (i.é., uma Fk , tal que, K = Fk (K)) de maneira que K = (—1, l )2 e consequentemente 7 = (—1,1) e segue que para u G H k(K) vale

u \s,K < C h lK S\u \sK (2.2.29)

| |s,7 < (2.2.30)

U \s,K< ChSx l \u\s,K (2.2.31)

|w|«,7 < Chs~1/2\u\s,7 (2.2.32)

para V s , tal que, 0 < s < k.

Teorema 2.8. Seja P G V com malha Tp regular composta de quadriláteros (possivelmente 1-irregulares). Assumimos que V K G Tp u \k G H kK+1(K) para algum k x > 1 e definimos I Iu G S P(P, Tp) elemento a elemento por

(Uu)\K o Fp : = U Vk (u \K o FP) V K G Tp ,

então, para Pk > 1 e para 0 < sk < min(pK,kx) vale a seguinte estimativa:

/ íj \ 2s/c+2 ,11« - nu\\% < c £ ( t ) P f K — f {PK' (2'2'33)

sendo u = u o Fp e

0(p,,j = ^ 4 + 1 0< . < P (2.2.34)(p + s)! p(p + 1) (p + s - 1)!

E, além disso,

' h y ' 2SK| | V ( u - n U)||Jp < C £ (2.2.35)

K eT p ' '

em que C é uma constante positiva que depende de Fp, mas independe de hj<, p k e

s k -

Notação: Aqui dz representa a unidade de área, i.é., dz = dxdy e usamos essa mesma notação quando aplicamos alguma mudança de variável.

Demonstração:

= V Í i s -

|w — Uu\\2P = llu — n u |& - í |u — n u\2dzK eT p K J k

(2.2.29) . __ , r h22/o j _ ^ r * \ I i„. „ Z7 „ /i . rr ~ rr „ /i i 2 / t K

Ç /aw — I L , „ i i | C d z < C > / |m o jPp o A c - n o„ u o F p o A o l — dz/ / 1“ ■‘■■‘P/c “ I ^ lxPkm, .X </«■■ /<-

h2— ~£~WU° - n PKM0| | | sendo u0 = u o F P o A ^ .

Aplicando agora o Teorema 2.7 temos que,

11« - Uul\2p < C £ p y(p ^ + (2 2-36)KeTp

Majorando a semi-norma em (2.2.36) com (2.2.31) chegamos a,

/<■

, n ..2 ^ v - 1 ,h 2K ( hK \ 2(SK + l~l) ^I . - I I « 1 |P < c ç ?^ - T T Í $(pff, SK) T ( T ) |U 2s/C + l.^ ’K e T p t' I" t' n ■ - v /

do qual resulta (2.2.33).Demonstraremos agora (2.2.35)

||V(u - nu)|||, < C(Fp)||V((u - nu) o F P)\\2p . (2.2.37)

Para o lado direito de (2.2.37).

||V((u - nu) = F p ) ||| = ||â ,(s - n«)||% + ||â2(u - n s ) ||2p

= £ {l|âl ( s - n K s) ||2s + ||â2( 3 - n p„ 8 ) | | |} = Y , {A + B).Refp k ^tp

Denotamos por hi o comprimento do lado i de K. Então, por uma mudança de

(2.2.38)

variável

ho hi _ -2 - ií 2 r 2 - (2.2.30) i [ 2 r 1 ~

A = / |<9i(íríí; - < C — / . / |di(u0íu - n p*t;0íu)| dzdy

1 1 ^< ) c è f [ \di(v0w0 - U PKv0w0)\2dxdy = C ^-\\d i{u0 - U PKu0)\\2õ .

h i J - i J - i hx *

De maneira semelhante para B, obtemos,

/ l < c ^ | | 5 1( i i „ - n pi(a0) | | | e B < C ^-\\d2(u0 - n P(ci>„)|||. hi h2

Substituido isso em (2.2.38) temos que,

I | v ( S - i k ) | | í = V c 4 i ^ { l l ã i K - n PK«„)||| + ||ã2K - n M «„)|| |} « f , ^ h '

Aplicando (2.2.28),

I |V (S - n a ) | | | = £ c Á - { j j £ ^ j | (llã;K+1« J | + mKtTp

(" 5*-»&+ }

r +i“ .n j

(2.2.39)

Limitamos agora cada norma do lado direito de (2.2.39) usando a densidade,

A := \\d[K+lu0\\\ = J 1 | < f \d[K+lv\2dxdy

(2'< 2) ChlSK+l J \M2 J l \d{K+1v\2dxdy

52

(2 .2.32) h 2 S K + 1 r~2 r 2< C-Kz — / / \w\2\d lK+ v\2dxdy

|2T2s/e+l ^ 2 ^ + 1

= ^ — i i5 r +iu i i^ < c - ± — |ui h2 1 - h2 1 sk+i’k

de modo semelhante, obtemos,

'7'2s k +1b ■■= l l< r+1«„íl| < cA *— |S |^ +lií

c - l l ã r ^ l l l < chl‘*-'h2\ü\lK+lit

D : = 1 1 5 , 5 ^ « o l l | < C h ? * - % \ Ú \ ]k + u - k

Assim,

i é - ( A + B ) = c Í £ - i s ; s'í è - + / ; ^ f e i i s p M i M i \ /12 fcij s,c+1-'f

= c i t í 1 IBI* . . . < c i t í } K ,.h-Jh { IJ,, j n ‘K*i,ít ÂjÂ, | Â,Â, j

. t l K t 2 « i f l - l 2

S jÂ ^ Â i K w ~1', r

Sendo que por hipótese

** < ch2h\

temos que,

h2hX ~ SK + l'K ~ \ 2 I 'SX + 1’K'

53

Agora,

& - ( c + d ) = + Â ^ - , S , } |S |; gh<ih\ K }

% U2sKh2 , T2sKh A ^ 2 _ ^ 2 hlSK , h2SK= & / ^ + / ^ * = <7% . f l -, _ /ia/i! V . ^ M K l ^ J * ’

= c h \ {(Âí)'*"1 + f ô ) ' " “1} 1 ^ « , * < ch% (hl + hl)“<~1 |s 2s k + 1 , K

= C h \ P ^ \û\ïK +a.

Assim,

2 sK

ã - ( C + D) < C%*\ufíK+a < c ( ^ f j ISIU,*. (2.2.41)

Substituindo (2.2.41) e (2.2.40) (lembrando de como A, B, C e D foram definidos) em (2.2.39) chegamos a

I |V (S - n s ) | | i < Y . c ( t ) * (p * ’s* )I«I«+i,»•í i e f p ' /

Usando que os “tamanhos” dos elementos K 6 Tp são comparáveis com o “tamanho” dos elementos K € Tp (pela hipótese (2.2.2) ) temos provado o teorema.

□Com esse resultado temos condições de provar uma estimativa de erro

na norma dependente da malha dada por

I I M I I J d g := ] C { l l ^ l l 2* + \\c0u \\2k + | | u + | | L t f n r _ + \ \ W + Wd+K n r +KeT ^

+ ^ \ \ u + ~ u lia_/c\r1

54

T eo rem a 2.9. Seja Q C M2 e T , V definidos anteriormente. Supomos que Tp para P E V é regular e constituída de elementos quadriláteros (possivelmente 1-irregular) com grau de polinómios p x > 1- Então, para u G H kK+1(K), V K € T com k k > 1, tomando

5\K = ÕK = hK/PK V K e T ,

temos que,

2sk + 1P ip ie i Sk ) ,^12 u

PK Sff + l.K’ (2.2.42)

para qualquer 1 < s# < min(p/<-, em gue C é uma constante positiva que depende da regularidade de T e dos coeficientes b e c, mas independe de p k , s k , hk e sendo $(Pk , s k ) definido por (2.2.34)-

Demonstração:Usando a desigualdade triangular, (2.2.14) e a definição de ||| • | | | d g

(2.2.15) e de f . í /___ _ \\u ~ UDG\\\pDG < IIMIIpCG + |||£|||p£>G < C j í W ^ ^ o V W k J

Y 1 I M I ^ j + l i ^ l l ô - K n r - j Wrl+ \\d+ K n r + j

+7 i (Ç ~ , "lll-'í'r-) + (Ç l h £o" - tH L )

+ 2 ^ I M H x j + v^2 llí7+ llô+A'nr+^ + ^ Wv ! l i_/c\r_

1/2

Assim,

y / f111« - UdgIWpDG < C I X ( h ^ ^ I I k + l l ^ l l 2, + IMI* +

*■ K

+ Y . ( l l 77+ lla+A:nr+ + ll77+llô_/cnr_ + I I ^ I l L ^ r . + II7? l l L / r \ r _ ) |is '

K

1/2

)

55

111“ — u d g \\\pDG = C ( A + B ) 1/ 2. (2.2.43)

Para facilitar escrevemos,

Sendo que 77 = u — IIu com II como no Teorema 2.8 temos,

e notando que para 8k pequeno Ôk + 1 + ô j / < C ô Kl , chegamos a,

(if) {SK + s«'fê) (2-2-44)

P ara estim ar B , usaremos novamente o Teorema 2.8 com a desigualdade do traço (2.1.17) aplicada ao elemento K , i.e.,

I M I I k < C ( | | V v | U | | b | U + h-K' [ \ v \ \ \ ) , ( 2 . 2 . 4 5 )

assim,

* < c ç { ( t ) ' ^ ( ¥ ) " + * {pk'sk)1'2t Í ^ k ^ *

Então,

( t ) ® {p k ’ Sk ) ^ 2sk +i ,k } - (2.2.46)

56

Substituindo (2.2.46) e (2.2.44) em (2.2.43) e usando a definição de 8k

o que prova o teorema.

□O bservação 2.10. Note que:

a) Se p x = p é fixo, e hx = h — 0, a estimativa (2.2.42) é ótima em h.

b) Se s é fixo e pk = p ^ 1, usando a fórmula de Stirling (n\ — Cnn+1 2e~n)(S.)temos que,

${p,s) < C(s)p~2s

e (2 .2 .4 2 ) se reduz a,

2 s k + 1(h \ ir)P K JKZT

Assim, a estimativa (2.2.42) também é ótima em p.

Convergência Exponencial

Afim de determinar uma convergência exponencial supomos que u é uma função analítica sobre todos os retalhos. Então,

V K e T 3 dK > 1, C > 0 V s > 0 ; \u\s R < C {d K)ssl\K \1/2,

em que \K\ denota a medida de K.Tomando s = ep, em que 0 < e < 1 será selecionado abaixo, e notando

57

que $(p, s) < junto com a fórmula de Stirling temos,

*(p.»)i=i;+a í c ( d K)2- « ( ( S + i)!)2| ^ | | i ^ i

< C(dK)2"‘*2(tV + l)^«P+3e-2.p-2 (P ~ eP)| |g |(p + ep)\

< C(dKf ‘^ ( v + ^ (1+„ ^ i /2eHi+„? |g |

C(d )2ep+2(-D I i')2£p+3 ~ e (1 e)N\ ^ 1 e)p (■*■ ~~ e)1/2 c-2 i 7 1< C ( ^ ) (ep+1) ^ (1 + cj (r+e)J p(1+e)P(1 + e)i/2e 1*1

< C(dK) ^ d \ ( V + l ) 2"(ep + D3

Sendo que < 1, (ep + l ) 2fp < (ep)2ep e {ep + l ) 3 < (ep)3 temos que,

í < v ? m -

Definindo,

e notando que,

min F(d,e) = F(d,emin) < 1, emin =m x n j. W — o, ^ '-rmn — /---------=sri0<e<l VI + d2

segue-se tomando 2bK = |log F(dK,emin)\ que

í {p k ,€Pk ) K „ » , k í C p l e - ^ l K l

e obtemos de (2.2.42) a seguinte convergência exponencial estimada com respeito

58

para p sobre T.

\u - udg\w2vdg ^ c y iK e T

h>K2

2 s k + \

p2Ke~2bKPK\K\ (2.2.47)

2.2.3 Resultados numéricos

Apresentamos nesta seção, exemplos numéricos que confirmam os resultados teóricos da seção anterior, i.é., o Teorema 2.9 e (2.2.47).

Os problemas de valores de contorno que vamos aproximar numericamente nesta dissertação estão todos definidos sobre o quadrado unitário, i.é., Í2 = (—1, l ) 2. Como será observado posteriormente, a parte da fronteira que corresponde a entrada de fluxo r _ é y = — l e x = — 1. Desta forma, trabalhamos com uma malha constituída de quadrados uniformemente distribuídos, os quais foram enumerados conforme a Figura 2.4.

r_

+

b = (61,62)

(-1 .-1)

Kn CCM

; : :

k 2 Kn+2

Ki Kn+1

(1 . 1 )

r _(1 .-1 )

Figura 2.4: Enumeração dos elementos da malha para implementação

Sobre o elemento de referência, usamos o espaço Qp para 1 < p < 7, gerado pelo produto tensorial dos polinómios de Legendre. Para integração numérica usamos quadratura de Gauss com 20 pontos, e na resolução do sistema linear local foi usado decomposição LU. Toda implementação for realizada na linguagem de programação C++.

Exemplo 2.11. Consideremos 0 problema de valor de contorno (2.2.1), com os seguintes dados: Q, = (—1,1)2, b = (8/10,6/10), c — 1, go = 1 e a parte direita f é

59

escolhida de forma que a solução analítica para (2.2.1) seja dada por,

u(x, y) = 1 + sin (7r(l + z )(l '+ y)2/8) . (2.2.48)

Então, calculamos a solução numérica udg usando o algoritmo definido por (2.2.4) com ô = h/p.

Observe que a direção do campo de fluxo na fronteira F_ deste exemplo, confere com a indicada na Figura 2.4.

Primeiro analisamos o comportamento do hp-DGFEM sobre uma seqüência de refinamentos da malha para diferentes valores de p.

Figura 2.5: Exemplo 2.11. Convergência do hp-DGFEM com /i-refinamento

A Figura 2.5 apresenta o comportamento do erro \\\u — udg\\\pDG em escala logarítmica, como uma função de h para valores de p entre 1 e 7.

Aqui, para cada p , a linha pontilhada tem a propriedade de passar pelo “primeiro” ponto (quando h = 1) com uma inclinação p + 1/2 (que corresponde hp+1/2 em escala linear), que por conveniência foi levemente deslocada para cima. Como se pode ver na Figura 2.5, de fato, o erro |||w — u d g \ \ \p d g converge na ordem de /ip+1/2, quando h tende a zero para cada p (fixo).

O comportamento do hp-DGFEM com p-enriquecimento para valores de h fixos, é apresentado na Figura 2.6. Aqui para cada gráfico é indicado a malha usada. Sendo que a solução (2.2.48) é uma função analítica, espera-se taxas de convergência exponencial (como foi notado em (2.2.47) ), o que de fato é observado: pois sobre uma escala linear-logarítmica, a convergência para cada malha é aproximadamente uma linha reta.

No próximo exemplo mostramos o comportamento do método para um problema com coeficientes variáveis.

60

Figura 2.6: Exemplo 2.11. Convergência do hp-DGFEM sobre p-enriquecimento

E xem plo 2.12. Consideremos o problema de valor de contorno (2.2.1) com os seguintes dados: = ( —1, l ) 2 , b = (2 — y2, 2 — x), c = 1 + (1 + x)( l + y)2, gD = 1 e

a parte direita f é escolhida de forma que a solução analítica para (2.2.1) seja dada por

u(x, y) — 1 4- sin (7r(l + i)(1 + y)2/&) . (2.2.49)

Então, calculamos a solução numérica udg usando o algoritmo definido por (2.2.4) com 5 = h/p.

A direção do campo de fluxo na fronteira T_ deste exemplo, está “indicada” na Figura 2.4 e na Figura 2.7 o comportamento do erro |||tt — udg\\\pDG como uma função de h para valores de p entre 1 e 7.

Assim como no exemplo anterior, temos que |||u — udg\\\pDG converge na ordem de hp+1/2 quando h tende a zero para cada p (fixo).

Figura 2.7: Exemplo 2.12. Convergência do hp-DGFEM com /i-refinamento

A convergência do hp-DGFEM com p-enriquecimento para valores de

61

h fixos, é observada na Figura 2.8. E aqui, novamente se pode observar uma convergência exponencial.


2.2.4 M étodo “streamline diffusion”

Abordaremos brevemente a hp-versão do método “streamline diffusion” (hp-SDFEM) para a equação (2.2.1).

Espaços de polinómios

Sobre o elemento de referência consideramos agora os hp-espaços de elementos finitos contínuos. Assumimos que T é regular ou 1-irregular e que o grau dos polinómios pk são uniformes, i.é., Pk = P V K . Então para p > 1 definimos

s?-1 ( a r, F) = s p( a r, f ) n h 1 (a)

Nota: Aqui a continuidade entre as fronteiras dos elementos K é agora forçada.Se o grau dos polinómios não é uniforme, precisamos forçar a con

tinuidade sobre as fronteiras. Podemos fazer isso de duas formas; supondo que K ' e K tem uma fronteira em comum e que pk < Pk '> então podemos enriquecer o espaço em K ou enfraquecer o espaço em K'. Nesse caso,

S p'ï {Ü ,T ,F ) = S p{ n , T , F ) n H l (Q).

62

O hp-SDFEM para a equação (2.2.1) é definido como segue:Encontre usd £ <S'P’1 = 5 P,1(Í2, T , F), tal que,

{C0uSD,v + 6£0v) + ( u SD , v ) r _ = ( f , v + ôCqv) + {g,v)r_ V v e S 9,1. (2.2.50)

A estabilidade do método está expressa no próximo lema.

L em a 2.13. Supondo que (2.1.14) vale, então, usd satisfaz a seguinte estimativa:

| | \ / í £ 0ws£>||n + ^ll^solln + llu5D|lr+ +

a

Demonstração:

Selecionando v = usd em (2.2.50) e suprimindo o subíndice Í2 temosque,

\ \ \ Í 5 C qUs d \\2 + (b • V u s d , u s d ) + {c u s d , u s d ) + («se, u s d ) r_

= ||\/á£oUso||2 + ((c - • b)uSD, U S D ) + \ f dn(b • n)u 2SDds + (uSD, uSD)r _

== ||\/á£oZis£)||2 + ||coUsr>||2 + |l luS£)|lr_ + 2llU5Z?llr+ (2.2.51)

(2.1.14) ,

< ||n/5£0msd||2 + a||«s£>||2 + 2llU5DHr_ + 2 Hr+ -

Para o lado direito,

(/) usd + ^£0 usd) + (g 7 usd)t_

< Í I I / I I< * | |u s d | | + | | ^ / I I I I ^ W | | + ||5l l r_ ||ws£i||r_

A.G

hp- SD F E M

< è l l / l l 2 + f I Iu5dII2 + \ m \ ? + 1\\Vô c 0u s d \\2 + HtflIL + i l t o l l f

63

Agrupando os termos semelhantes chegamos a,

1 ~ 2) ^ ous d \\ü + ^1 - 2 ^ a ll“ 5£i||n + ^2 ~ í ) + 2 ^ s d ^2r+

e multiplicando por 2 temos o resultado.

□Com a decomposição u — u s d — ( u — nu) + (Ehx — u s d ) = V+Ç obtemos

0 seguinte resultado.

L em a 2.14. Assumindo que (2.1.14) va e e Que u £ H l (Q). Então, vale a seguinte estimativa:

llv'i ÍIIJ + M i a + llfllL + sllfll?* <V s n

+ M M \ 2Q + m \ h

em que c0 é definida por (2.2.5).

Demonstração:

Para v, w G H 1^ ) definimos a forma bilinear

B(w, v) = {Cqw, v + 8Cqv) + (w, v)r_

e 0 funcional linear

l(v) = ( f , v + 6C0v) + (g, v)r_

Por (2.2.16)

64

| | \ / < 5 £ o í í S£>||2 + | |c0u s d ||2 + ^ l l ^ s ^ l l r - + 2llWsDHr+ = (2.2.52)

Repetindo o cálculo feito na demonstração do Lema 2.4, obtemos que (ver (2.2.22))

e por (2.2.51)

1 1 2 -B(r],Ç) < -

2V ôC qTI - - jz T ) + + - | | c t f | | 2 + 2j|c077Í|2 + ||??||r+ + — IKHr2 " ' ” ' 2" ’ Ir'" 1+ ’ 4 ">"r+ '

(2.2.53)

Substituindo (2.2.53) em (2.2.52) e multiplicando o resultado por 2 temos provado o Lema 2.14.

□Usando os resultados da seção 2.2.2 mostra-se o seguinte teorema

“equivalente” ao Teorema 2.8 para os caso de aproximação contínua.

T eorem a 2.15. Seja íí C R2 e seja P £ V com malha regular ou 1-irregular constituída de quadriláteros K com diâmetro hk - Supondo que o grau de polinómios é uniforme, i.é., Pk = P > 1> e u\k € H kK+1(K) para algum kK > 1 com u € H 2(P). Então, existe um projetor Uu € S P,1(Q,,T, F), tal que, as seguintes estimativas de erro valem:

l|M - s “ ^ 5 c r i f n ) i { p ' s) £ ( t T * 2 |S|* k + « (2Z54>

2 sK2S K + 1 , £ ’

K 6 T

para 0 < < min(p, kx), em que C é uma constante positiva que depende somente de Fp e independe de s, p, hk - Se Tp tem nódulos pendurados perde-se o fator l/p

em (2.2.54)-

Ver prova na pg. 1631 em [11].Assim, obtém-se uma estimativa de erro para o hp-SDFEM que é

análoga ao Teorema 2.9.

65

Teorema 2.16. Seja Q C K2 e T ,V como definidos anteriormente com uma malha 1-irregular composta de elementos quadriláteros com grau de polinómios pk — p > 1 .

Selecionando,

à\K = &K- = hK/PK V K e T .

Então, na ausência de nódulos pendurados, vale a seguinte estimativa de erro,

ui« - ^ H i i o < c • £ ( f r +iKer ' ' F

em que

I I M I l L := \\VôCqw\\2 + \\c0w\\2 + . ^ | | t f | | r + + M l r _

e

0 < sk < p V K 6 T , u = u o FP se K g Tp,

sendo § {p k , s k ) definida por (2.2.34)- Se a malha tem nódulos pendurados, o fator p é suprimido do denominador de (2.2.55).

2.3 Equação de advecção sem parâmetro de estabilidade

Consideramos novamente o problema (2.2.1), porém, com a formulação variacional de Galerkin padrão.

2.3.1 Formulação padrão do m étodo de Galerkin descontínuo para a equação de advecção

Suprimindo os subíndices K , para v, w € H l (Q ,T) definimos a formabilinear

A(tu, u) = s / Cowvdx — / (b ■ n)[w]v+ds — / (b • n)w+v+ds > ,[ J k Jd-K\r_ Jd-Knr_ J

(2.3.1)

66

e o funcional linear

lA (v) = \ fv d x - (b- n)gDv+dsL J k Jd-Knr_

A aproximação hp-DGFEM padrão para (2.2.1) é definida assim:Encontre udg € S P(Q, T , F), tal que,

A (ud g ,v) = Ia ( v ) V t; 6 S p( n ,T ,F ) . (2.3.2)

O lema seguinte caracteriza a estabilidade do problema discreto (2.3.2).

L em a 2.17. A solução udg de (2.3.2) satisfaz a seguinte estimativa:

| ||Co«£>g||a- + 2 ^ U D G \ \ d - K n r - + \\U DG ~ U D G \ \ d - K \ T + llU D G llô + n r K '•

— ^ { Hc ° + 2 l l ^ | I Í _ A - n r _ } -K

A demonstração segue do Lema 2.3 quando <5 = 0.Como a solução de (2.2.1), pode somente apresentar descontinuidades

através das hipersuperfícies características, então, para qualquer hipersuperfície S C Q, com vetor normal n o fluxo normal da solução bu ■ n é uma função contínua através de 5, mesmo se u tem uma descontinuidade em S (para esse último caso b • n = 0 sobre S). Assim, (ò • n)[u] = [bu] ■ n = 0 sobre S e o método (2.3.2) é consistente. Por isso, a solução u de (2.2.1) satisfaz (2.3.2) e temos a propriedade da ortogonalidade de Galerkin, i.é.,

A(u - udg, v ) = 0 V v £ S p.

H ip ó tese 2.18. Vamos supor que

b - V Tv G 5 P V v e S p. (2.3.3)

Decompomos o erro global u - udg como,

u - udg = {u - ripix) + (IIpU - uDG) = rj + Ç,

em que n p denota o projetor ortogonal de 1 * 2 sobre o espaço S p, i.é., dado

67

L em a 2.19. Assume (2.3.3) e (2.2.5) e seja 71 = ess. supien |ci(x)| em que d{x) = (c{x) — (V-ò)(x))/(co(x))2, então, as funções £ e 77 satisfazem a desigualdade,

{llcoe tl^ + lk + llL /cn r_ + 2 ^ + ~ ^ ila_ísr\r + ^ H ^ l^ + n r }

^ \2k + 2 h + \\2d+K n r + 2 | | j r | |L * \ r } -K

Demonstração:

Por (2.2.16)

A ( ^ 0 = ~ M v , 0 , (2-3.6)

então, integrando por partes e usando a definição de Co assim como feito no Lema 2.3 com 5 = 0 temos que (ver (2.2.12) )

^ ( £ > 0 = ^ 2 { l l c t f * + - I I^ I lL /c n r - + 2 ^ + ~ ^ + 2 ll£+ IIÍ+/('nr+ j •K

(2.3.7)

Sendo que, (77, v) = (u — IIu, v) = 0 V v € S p usando (2.3.3) chegamos que,

[ T](b-V0dx = 0 V K e T , (2.3.8)J k

u 6 £ 2(^)5 n pu é definido por,

(u - n pu, u) = 0 V v e S p. (2.3.4)

68

Y ] [ £ 0r}Çdx = V í (b -V r j^d x + y ] f crjÇdx K JK k k

= Y ] í ( -6 • - (V • b)Ç + cÇ)rjdx + Y ] [ (b ■ n)r)+Ç+ds jç J K K ^

,2Í 8> £ / + f ( 6 - n ) , V *J K C0 jç J Qj{

= V í c ic l ^ d x + Y . [ (b-n)rj+Ç+ds . (2.3.9)jÇ K K

e para as integrais sobre d K temos,

T Í {b ■ n)r]+Ç+ds — í {b ■ n)[r)]Ç+ds - f (b-n)r]+Ç+ds k J d K u J d - K \ r _ . /d _ . fc n r_

então, para os termos sobre K em ^ ( 77, £)

< f (b • n)rj+^+ds** 0-j-iCnF+

+ 2 Í (b-n)rj (£+ - f )ds K Jd-K\T-

(2.3.10)

sendo a última desigualdade válida por (2.2.19) e (2.2.20). Então, de (2.3.9) e (2.3.10) chegamos a,

A{ri,Ç) < { i l M I * + + ^ + IIÍ+Knr + lb + ll!+nrK **

(2.3.11)

+ ^ll£+ ~ £ lla_K\r + II7? llL if \r_ |

Combinando (2.3.11), (2.3.6) e (2.3.7) temos (2.3.5).

Por (2.3.7), definimos a DG-norma ||| ■ |||a£>G por

WHWIdg í 2M i + I M l L / c n r - + I K - ™ 'l lL jc \ r + ll^ ^ ili+ z c n r} •

□

K

69

2.3.2 Estim ativas a pr io r i para o erro do m étodo de Galerkin descontínuo padrão para a equação de advecção

Afim de usar o produto tensorial vamos assumir que V K 6 T , K é um n-paralelepípedo, i.é., K = (—1,1)" e iniciamos com o seguinte resultado apresentado na pg. 72 em [20].

Lem a 2.20. Seja I = (—1,1) e u 6 H k(I ) para algum k > 1. Então, vale a seguinte estimativa de erro para qualquer inteiro s, 0 < s < min(p + 1,/c), com W = W{x) = (1 - x 2)1/2.

I | s - 0 ' a i l ? 5 s ( 2 - 3 - 1 2 >

/»-s.

em que n p denota o projetor de L2(I) em Pp{I), p > 0.

Usaremos o produto tensorial para que estimativas semelhantes a (2.3.12), sejam válidas para K = (—1,1)". Para tanto, definimos por n p (u- sando a mesma notação, o contexto deixa claro qual projetor se trata) o projetor de L2(K) sobre QP{K ) com n p = n^Il2 . . . II” , sendo que, üj, é o projetor de L2(I) sobre o espaço de polinómios de grau p na variável x

Assim, para n > 1 podemos obter estimativas para u — Upu sobre K de (2.3.12). Por exemplo para n = 2 temos que,

u - U pu — u - IlpIIpU = u — Yilvu + üp(u - n 2u),

e lembrando que IIp tem norma 1, chegamos que,

lis - npw|lK 11“ - nju||2 + ||u - nju|| . (2.3.13)

Para n > 2, inteirando (2.3.13) temos que,

n

l | B - n , s | | g < X ; i l 8 - n j s | | g . (2.3.14)2=1

De (2.3.12) e (2.3.14) chegamos ao seguinte resultado.

Lem a 2.21. Seja K = (—1,1)", n > 1 e u € H k(K) para algum k > 1. Então, vale a seguinte estimativa para qualquer inteiro s, 0 < s < min(p + 1 ,k ) , com

70

Wi = Wi(xi) = ( l - x f ) 1/2,

Iu n pu\\z < T(p + 2 - s ) \ 1/2 ^ ^ n i \ ^ — s) ^ i~i(p + 2 + s ) J l l \ \ W i di u \\K < C (n ) ( r (p + 2 + s ) J l 0.

Desde que T é regular, K = F k(K ) com FK afim e sendo u = u o Fk em (2.3.15) e pelo fato que (np:u)(x) = (n pu)(F^-(x)) V x G K , encontramos de (2.2.29) e (2.2.31) que V K e T e u G H S(K), vale a seguinte estimativa:

||u - n p«| U < C(n)h- ' l“ U . (2.3.16)

sendo 0 < s < min(p + 1, k) e Yip definido por (2.3.4).Para obtermos uma estimativa de erro da solução aproximada udg

precisamos limitar ||w—n pu|| a- e também \\u—Upu\\dK ■ Na seção anterior conseguimos limitações para essa última norma usando a desigualdade do traço, que é ótima em h mas sub-ótima em p. Para fugir deste “inconveniente” vamos estimá-la diretamente. Com este fim, primeiro aplicamos K sobre o elemento mestre K e consideramos sem perda de generalidade o traço de u — IIpu sobre a face X\ — 1, então, usando argumentos de produto tensorial conseguimos uma estimativa para ||u — Tlpu\\dK que é ótima em h e também em p.

L em a 2.22. Seja I = (—1,1) e u 6 H k(I) para algum k > 1 , e seja n p o projetor de L2{I) em Pp(I), p > 0, então, vale a seguinte estimativa:

< 1 r (P+ 1 ~ * ) |a|2- 2p + iT {p + i + t y lí+1,/’

(2.3.17)

para qualquer inteiro t, 0 < t < min(p, k - 1), sendo W = W (x) = (1 - í 2) 1/2.

Demonstração:

Se p = 0 segue. Vamos supor que p > 1. Sendo que u' ç. L2{I) vamos

escrevê-la em série de Legendre como uma função de x em /.

v? = y ^ b i L i , bi = 1 f u ( x ) L i ( x ) d x ,1 Ji=o

então,

OO çxu(x) = u ( - l ) + ^ 2 b i Li(QdÇ,

i=o - '- 1

e usando a propriedade dos polinómios de Legendre (ver pg. 360 em [20]) que,

r m W + , ( g ) - £ - - . ( ? » ; > 1

^ ' 2i +1 ~ ’

encontramos que,

Li+1(x) - Li_i{x)/X1 Li(C)dC = , i > 1 .

2i + 1

Assim,

Li-\-\{x) Lí—i (x)/ X wLo{Ç)dÇ + ^ b ,

■X i2í + 1

1= 1

OO t OO r

= S ( - l ) . l + b0(x + 1) + £ b i ^ j - ] T1=1 2=1

OO , OO |

= (6 0 + w ( - l ) ) L 0 + 60^1 + 2 i - TLi ~ ^ 2/ + 3 ^ *i=2 i= 0

e comparando os coeficientes com u = UjLi temos que,

^ bi-i í>i+i n Ui = ------------------------------- , i > 2 .

1 2 * — 1 2 i + 3

72

Então, para r > 2,

OO OOH +\s t "' ~ _ S T ' I b j - i _______ bj+ 1 \ b j - i ^

2_^ui - 2 ^ \ 2 i - l 2i + 3 j ~ ^ 2 i - l ^ 2 i + 3- ' ' t— r 1 —Ti= r i= r

°° bi. ^ bi 6r_! + brE Ui O i 4 - 12i + 1 ' 2i + 1 2r — 1 2r + 1

i = r — 1 i = r + l

e,

E Wi =bj- __ j òj*

+ < +2r — 1 2r + 1 / “ (2r - l ) 2 (2r + l ) 2

<— £

l — T -

A última desigualdade vale pois,

2 r - 1 ^ 2z 4 -1 1 “ ~ 2r - 1i= r — 1

f P í °° 00 \ p OO OO

/ | s f <e = / v kL „ v (.j L j <e = / V N 2|£ii2<e = V ■" ■" Vfeo / i=0 (=0 2i + 1

Assim,

| ( û - n pû)(i) | =i=0 i=0

Seja agora v := u — Ppu, em que o projetor Pp é definido por,

(Ppw)(x) = w ( - l ) + J (Up-i(w'))(C)dC p > 1, w e H l (I),

73

então, de (2.3.12) aplicado com s = t e p —> p — 1 temos que,

|(B - n pâ)(i)l2 = l»(i) - A « ) « + (-PpS)(i) - ( f i p « ) ( i ) l 2

= |(s - p p e ) ( i ) - n p ( « - p ps ) ( i ) | 2 = | « ( i ) - n „ ( t O ( i ) l 3

S 2 ? T T « = 2 ? T l " s ' - fi- a ' llí

- 2p + ir(p + i + t)u UI

i r (p + i - t ) lifri2- 2p + i r ( p + i + í ) 1 lt+1,/

para 0 < t < min(p, k — 1).

Com esse resultado vamos agora estimar ||u — Ylpu\\dR.

□

,L em a 2.23. Vamos supor que u G H (K) para algum k > 1, e seja s um inteiro com 1 < s < min(p + 1, k), com p > 0; então vale a seguinte estimativa:

11« “ n pu ||ô/? < C (n )$ i(s ,p ) |u |Si , (2.3.18)

sendo,

,l(. P) = J f + fflp+3-.r1/2s ' p) r(p + s ) ) Vr(p + i + s)

(2.3.19)

( T{p + 2 - s ) \ 1/4 / r (p + 3 - a ) \ 1/4 / r (p + 2 - 5) \ 1/2 V r(p + 2 + s )^ ^ r ( p + i + s ) ; Vr(p + 2 + s ) ;

Demonstração:

Escrevemos K — 1 ^ x 1 ^ x . . . x I^n\ e x = ( x i ,x 2 , . . . , x n) = (x\, x1) em que 1 ^ = (—1,1) na z-ésima direção. Definimos K ’ C d K via K = x K ' e

74

X-- >*s.

dividimos n p em ITpIIp. Então,

ll(u - n pu )( i , . ) | |* < ||(n - n j 2)(i, - ) lb + lin jís - % m , -)ll*(2.3.20)

= Ti + T 2.

Vendo as variáveis (z2,X3, • • • , x n) = x' como parâmetros temos que,

para 1 < s < min(p + l ,k ) , k > 1. Então, integrando sobre todas as variáveis (x2, x 3, . . . , x n) nos respectivos I 1 = (—1,1) chegamos a,

1 /2Tl- l l ( s _ < - ^ = , ( 1 ^ 1 ^ ) ) |sU , (2.3.21)

para 1 < s < min(p + 1, k), k > 1.>»«■

Definindo w := u — Ii'pu , e notando que,

t 2 = | |n > ( i , .) ||* < M i , .) | |* + \\(w - n » ( i , -)\\R, =.Tn + r22. (2.3.22)

Para T22 temos que,

(2-3.17) XT22 = l l ( t o - n » ( l , - ) l l r < (2.3.23)

e.

Il^tòllg = I i â s - n ;(â ,s ) | | í (2<15>C(n) + 1/2l^s i.- i , if

(2.3.24)

/ r ( p + 3 - s ) V / 2 lí;l - ( * Vr(p + i + s)j 1 l'*

substituindo (2.3.24) em (2.3.23) resulta que,

r“ = C(n) T r ( F Í T T 4 ) ,/2|B|- ’ ( 2 ' 3 ' 2 5 )

75

para 1 < s < min(p + 1, k), k > 1.Usando a desigualdade do traço na direção X\, e integrando sobre

x 1 e K ', temos que,

T2 i = IH 1 , Ollfr < C ( l M I ~ 2p i w | | ~/2 + IMIj?) • (2.3.26)

Sendo que,

^ (2.3.15) / r f o 2 - 1/2\\w U = \ \u -U 'pu\\R < C(n) ( 2T 7) J l&U>

temos inserindo (2.3.27) e (2.3.24) em (2.3.26) que,

r , , T (p + 2 - s) V /4 / r (p + 3 - s) V /4 , ( T(p + 2 - s )21 1 1 ' 1 r ( P + 2 + s ) J ^ r ( p + i + s ) J U ( p + 2 + s )

(2.3.27)

1/2 '

M s ,K ’

(2.3.28)

para 1 < s < min(p + 1, A:), k > 1.Agora, substituindo (2.3.28) e (2.3.25) em (2.3.22) e inserindo a desigualdade resultante e (2.3.21) em (2.3.20) obtemos que,

11(2- i y i ) ( l , 011* < C (n) \/2 p + 1r(p + 2 - s ) \ 1/2 m P + 3 - s )

T(p + s) ) \ r (p + 1 + s)

1/ 2 '

m P + 2 - s ) y /4 / r(p + 3 - s ) V /4 + U ( p + 2 + s )7 V r ( p + i + s )y

H”T (p + 2 - s ) T{p + 2 + s)

1/ 2 '

\U s,K C{n)$x{p, s ) |u |s ^,

para 1 < 5 < min(p + 1, k), k > 1.Um argumento idêntico para cada uma das outras faces de K vale.

Unindo as limitações resultantes completamos a prova.

□O bservação 2.24. Os resultado desta seção foram firmados supondo que u = u o Fk pertence a um espaço de Sobolev de ordem inteira, porém, usando o

76

K-método de interpolação de espaços de funções, esses resultados podem ser estendidos para espaços de Sobolev de ordem fracionária.

Observando que Rpu(x) = (Upu)(Fk (x )) para x € K , deduzimos o próximo lema.

L em a 2.25. Seja K € T e supondo que u € H k(K) para algum k > 1, então, para qualquer inteiro s com 1 < s < min(p 4-1, k), e p > 0, vale a seguinte estimativa:

11« ~ ripulla/c < C (n )^ 1(s,p)hs 2\u\SjK, (2.3.29)

sendo (s,p) definida por (2.3.19).

Demonstração:

(2.2.30) . ^ (2.3.18) ,

\ \ u - U pu\\dK < C h ^ \ \ u - U pu\\dR < C<èi(s,p)h£ \ü\s£

(2 2 31)< C ^ p ^ f h ^ u U = C ^ ( s ,p ) h s- l/2\u\s<K.

□O bservação 2.26. Para um s > 1 fixo, pela fórmula de Stirling resulta que

~ (p+Í)s-l /2>

consequentemente (2.3.29) é ótima também em p > 0.

T eo rem a 2.27. Supondo que Í2 C K" é um domínio poligonal limitado e T = {K } é regular e composta por n-paralelepípedos K com diâmetro Hk , e seja, udg £ S P(Ç2, T , F ) a aproximação descontínua de Galerkin para u definida por(2.3.2) e supondo que u\k € H kK{K ) para cada K € T e para inteiros kk > 1. Então, assumindo que (2.3.3) e (2.1.14) s^° válidas, a seguinte estimativa de erro se verifica:

|||u - UdgIWIdg < C ^ 2 ti.KK 1 {Pk $Í(PK, Sk ) + Sk )) \u\2sk,KiKeT

(2.3.30)

77

para qualquer inteiro s k , 1 < s k < min(pj<- + 1, Hk) e P k > 0- Sendo,

Pk = I I&IUooW e = (1 + 7 i ) l l c o l l L m

em que Cq e 71 são definidos em (2.2.5) e Lema 2.19, respectivamente, com

x / r(p + 2 - s ) V /22(P,S) \T { p + 2 + s )J ’

e C sendo uma constante positiva que depende somente de n e da regularidade de T .

Demonstração:

(2.3.5) .

í \ T .K

Iko7?!!!- + 2 I I ^ I lL í f n r - + 2 lla_/c\r + H^Hô+zcnr

1/2

1/2

K

\\coV\\2K + h \ v + \\l_Knr- + h \ v + - V llL * \r +I K

+ £ W llCo7?H^ + 2||^7+ Ila+A:nr + 2||rç Ila_ic\r]

2 M / + ll9+/('nr

1/2

K1/2

< £ [ t á + i j i m i L í/o N i2* +K

1/2

K

(2316, | (2-3'29)C / Y b K h % * * l K,SK)} \U\1,K1/2

De onde segue (2.3.30).

□

78

O bservação 2.28. Quando pk = P > 1, sk = s, 1 < s < min(p + l , k ) , k > 1 e h = temos aplicando a fórmula de Stirling em $ i(p , s) e $ 2(p,s ) aseguinte estimativa:

( h \ 3-1/2 111« — «£>g|1|odg < C ( ^ 1 Ms,r-

2.3.3 R esultados numéricos

Refazemos agora os exemplos apresentados na seção 2.2.3, usando a formulação padrão do /ip-DGFEM definida em (2.3.2). Observamos que estes e- xemplos numéricos confirmam os resultados teóricos das seções anteriores, i.é., o Teorema 2.27 e a convergência exponencial.Nota:a) Veja seção 2.2.3 para detalhes sobre a implementação do método;b) A direção do campo de fluxo na fronteira T_ dos exemplos seguintes esta indicada na Figura 2.4.

E xem plo 2.29. Consideremos 0 problema de valor de contorno (2.2,1) com os seguintes dados: Q, = (—1, l )2, b = (8/10,6/10), c = 1, gu = 1 e a parte direita f é escolhida de forma que a solução analítica para (2.2.1) seja dada por

u(x, y) — 1 + sin (7r(l + x)(l + y)2/8) . (2.3.31)

Então, calculamos a solução numérica udg usando 0 algoritmo definido por (2.3.2).

Uma análise do comportamento do /ip-DGFEM sobre uma seqüência de refinamentos da malha para valores de p entre 1 e 7 é apresentada na Figura 2.9, em que o erro |||ií — udgIWüDG está como uma função de h.

Se pode observar na Figura 2.9 que de fato o erro l||u — udgIWüDG converge na ordem de hp+1/2, quando h tende a zero para cada p (fixo). Apresentamos na Figura 2.10 o comportamento do hp-DGFEM com p-enriquecimento para valores de h fixos, e como a solução (2.3.31) é uma função analítica, espera-se taxas de convergência exponencial, o que de fato é observado, pois sobre uma escala linear- logarítmica, a convergência para cada malha é aproximadamente uma linha reta.

No próximo exemplo, verificamos o comportamento do método para um problema com coeficientes variáveis quando a Hipótese 2.18 não é satisfeita.

79

Figura 2.9: Exemplo 2.29. Convergência do /ip-DGFEM com /i-refinamento


E xem plo 2.30. Consideremos o problema de valor de contorno (2.2.1) com os seguintes dados: Çl = ( — 1, l ) 2, b = (2 — t/2, 2 — x), c = 1 + (1 + x)(l + y)2, gD = 1 e a parte direita f é escolhida de forma que a solução analítica para (2.2.1) seja dada por

u(x, y) = 1 + sin (7r(l + x)(l + y)2/ 8) . (2.3.32)

Então, calculamos a solução numérica uqg usando o algoritmo definido por (2.3.2).

Na Figura 2.11 plotamos o comportamento do erro |||u — udgIWciDG como uma função de h para valores de p entre 1 e 7.

Assim como no exemplo anterior, |||u — UDcWlaDG converge na ordem de hp+l!2 quando h tende a zero, para cada p (fixo).

A convergência do hp-DGFEM com p-enriquecimento para valores de h fixos, é apresentada na Figura 2.12, onde se observa mais uma vez a convergência exponencial. Notamos que o Teorema 2.27 é novamente confirmado neste caso, mesmo que o vetor b tem coeficientes variáveis que não satisfazem a Hipótese 2.18.

80

1 2 3 4 p 5 6 7


2.4 Equação de difusão sem parâmetro de estabilidade

Considerando agora a parte do operador C definido em (2.1.1) responsável pela difusão, dada por:

n

Cau = - ^ dj (aij(x)diu) = f(x ) , x € Q. (2.4.1)i,j=1

Vamos supor que (2.4.1) é elíptico em cada x G Q, i.é.,

( Ta ( x ) ( > 0 V C € R n \{0}, x e a (2.4.2)

Desta forma segue de (2.1.3) que T \ T0 = 0 em (2.1.4) e completamos (2.4.1) com as condições de fronteiras (2.1.5), porém, agora com F_ = 0.

81

Assumimos que aij são constantes sobre cada elemento K € T , i.é.,

a 6 [ s » ( í í , r , í ’) ] ; ; ; . (2.4.3)

Lembramos que para uma matriz A positiva definida existe única matriz B positiva definida, tal que, A = B B . Nesse caso diz-se que B = \ÍA . Então, de (2.4.3) e (2.4.2) a admite única y/a G [S°(íí, T , F)]™*™ que satisfaz de novo (2.4.2).

2.4.1 Formulação padrão do m étodo de Galerkin descontínuo para a equação de difusão

Escrevemos õ = \^/ã\l ^ ^ l , j - 1 layl2 sen^o | • I2 a norma de matriz subordinada a l2, ãK = ã\K e por ã ^ denotamos a média aritmética dos valores de ãx< sobre esses elementos K ' (incluindo K ) que partilham de uma face com K.

Dado um e G $ int, existe um índice i e j , tal que, i > j e existe Ki e Kj que partilham a face e. Definimos o salto de v G H 1(Q, T ) através de e e o valor médio de v em e por,

\ y \ e = V\dKiC\e — V\dKjHe e ( v ) e = 2 {V\dK ine + V \dK jr\e) >

respectivamente, e com cada face e G $ int associamos o vetor normal unitário u de Ki para Kj.

Nota: Em geral [uj distingue-se de [d] pois o último é independente da enumeração dos elementos.

Com essa notação introduzimos a forma bilinear

D(w,v) - B a(w,v) + B s(w,v),

em que,

B a(w,v) = / aVw •V vdx +

+ [ { L^J {(aVv) • u) — [i/J {(aVw) • u) (2.4.4)Jrint

/ {w((aVv) • n) — ((aVw) • n)v}ds

82

B s(w,v) = / awvds + / a[w \[v \ds (2.4.5)JrD Jvint

e o funcional linear,

b ( v ) = la{v) + l s(v),

em que,

la(v ) = X / f vdx + / 9 d{(o,Vv) ■ n)ds + / gNvdsKç-T JTd

ls(v) = / agDvds.J t d

Aqui cr é chamado de parâmetro de penalização descontínua, e é definido por a\e = <7e para e 6 U 'ío sendo ae uma constante não negativa.

O hp-DGFEM para (2.4.1), (2.1.5) é:Encontre udg £ S P(Q ,T ,F ) , tal que,

D ( u d g , v ) = l D ( v ) , V v € 5 p ( f i , T , F ) ( 2 . 4 . 6 )

Para que (2.4.6) seja significativo vamos supor q u e p k > 1 V K £ T , e para assegurar a ortogonalidade de Galerkin ( D { u — u d g > u ) = 0 V v € S ^ ) supomos que a solução u do problema de valor de fronteira acima é suficientemente regular (■u G H 2(Q, T)) para garantir que as funções u e (aVw • v) são contínuas através de

cada face e € ''ffmt-

2.4.2 Estim ativas a pr ior i para o erro do m étodo de Galerkin descontínuo padrão para a equação de difusão

T eorem a 2.31. Supondo que (2.4-2) e (2.4-3) valem, então, para todo w € H 2(Çt, T), temos que,

MlldDG = D (w ,w ) = ||y/ãVw||fl- + / aw2d s+ / a [w \2ds. (2.4.7)KçT JrD JFint

83

Além disso, se a for positivo sobre Tint U Td então o hp-DGFEM (2.4-6) tem única solução uqg £ S p(Cl,T, F).

Demonstração:

(2.4.7) segue de (2.4.4) e (2.4.5). Se a é positivo sobre r ^ u r ^ í então, sendo a(x) positiva definida sobre Í2 segue de (2.4.7) que D(w, w) > 0 V v £ 5,p\{0}) o que implica na unicidade da solução udg■ Como S p é um espaço de dimensão finita e (2.4.6) é um problema linear, a existência da solução para (2.4.6) segue do fato queo problema homogêneo tem única solução udg — 0.

□L em a 2.32. Seja T uma subdivisão regular de Q e assuma que o parâmetro a é positivo sobre Tint U Tp, então, a seguinte desigualdade vale com C > 0 dependente somente de n e T-

dDG < c | í a\rj\2ds + í cr[r]\2ds + ^ ||\/qV^I1 [ J td int K£T

+ 2d K n v D + 4

K e T

Vr]dKnrD) (2.4.8)

( l I v^Wi l l Knr^ + a :K€T

1 _ -j=Vri V ã d K n r,;

/— 2\sendo T\e = h e he o diâmetro da face e € int U \&£>, com a convenção que para

a contribuição exterior a Cl na definição de re é zero.

Nota: Novamente

u - u DG = (u - IIpu) + (IIpU - u Dg ) = V + £ (2.4.9)

sendo n p o projetor ortogonal de L 2(Çl) sobre S p. Demonstração:

Pela hipótese da regularidade de u temos que,

lIlÉlIldDG = = D{{u - udg) - ?7,0 = ~ D (v ,0 -

84

Desta forma,

\ \m \2dDG<\Ba(V,0\ + \Bs(V,0\, (2.4.10)

e,

í crqÇds + íJTo KTint

C.S.< l l v ^ l I r J v ^ l l r D + l lv ^ L ^ J llr intllv^L^J llr i;

H.< (\\y/êv\\rD + l l v ^ W l l r ínJ 1/2 x ( l l v ^ l l r B + I I l l r . J

Assim,

\Bs(ri,Ç )\< \\\Ç \\\dD G ^ cr\r]\2ds + a[r)\2d s . (2.4.11)

Limitaremos B a(rj,Ç) termo a termo,

K&TaVr] • V£cte + Í {v{{a^O -n) - ((aVr/) ■ n)Ç}ds

JrD

+ í { l v \ ((aVO • v ) - L£J ((aVrç) • v ) }di Jrint

= 1 + 11 + I I I .

(2.4.12)

Para 7,

1 = f y/ãVr) ■ y/ãVÇdx < ^ í |\/ãVr]\ | \/ã V £ | dx KeT'*K k & t^ k

1/2

c< E II^ L ll víiu < ( E ll^ u E ll^ll1/2

KK € T \Kç.T \K € T

85

Desta forma,

I < 11KlIIdJDG ( ^ 2 I|v^Vt7||2J\KeT )

1/2

Limitando II,

/ r?((\/õV£) • \/ãn)ds + / ((aVrç) ■ n)^ds Jvo JrD

< [ \v\ |\/Õ V ^ |\y/ãn\ds + / |ûVt7| |n| \Ç\dsJTp J V o

C.S.< IIV ã n ||r J V ã V £ ||r D + l|aV77||r J n f | | r D

< I M I r D | \ / ã n | | | y ã V £ | | r D + J | v W ã V 7 7 | | r D | n | | | f | | r D ,.

o que pode ser escrito como:

I I < ^ 2 [ll^ll^nrolv^^lllv^V^Hô/irnrD + \ \ ^ ' / ^ 7l\\dKnrD\'<rA\\^\\aKr\rD\

1

K

í EK

IhIlaífnrflI-v/ãlInlllVaVÇlIa/fnro + Iv^H v^lM V 77 llVcr^llô/cnrod K n r D

sendo que \n\ = 1, e \y/ã\ = a ^ 2 resulta que,

K—-p=\\v\\dKCÏTDaK2 y/^\\\/ãVíi\\dKr\TD + aK y J l K

V 77 d K n r Dd K n r D

< < Ç * i1/2

\ d K n r D ^2 7idl\/õV£|| dKnrD

1/2

K

K

V?72 ï 1/2 1/2

dKnToj |y l lv^ l l lynrn ( )

86

para qualquer 7K G R.Como a é uma matriz constante sobre cada elemento K € T, usamos

o Teorema 4.76 de [20], para obter que,

lla/cnr0 < C ^ - | | - \ /ã V £ ||^ , (2.4.13)

em que, C depende somente de T . Usando (2.4.13) junto com 7K — Hk /Pk temos que,

/ - 2 \ 1 / 2 / l 2 \ 1 / 2

KV77

dKntDj

1 / 2 / x 1 / 2

Il's/tf'f lli/cnro

definindo re =

/ /< C |||e ||U G V 77

1/2 '

ô / c n r D

Assim,

/ / < C M I U > o

De um modo similar,

£ IIVvj|lLnrD + à;K \

*2AT

1 2 y-7=V77Vã aKnrD/ _

1 1/2

J / J < C-lllellUzPG -2K

1 2 VV<x ôKnrD / _

1/2

Das limitações / , I I e I I I obtemos uma para (2.4.12), a qual junto

87

com (2.4.11) nos fornece a seguinte estimativa para |||£|||ãz>G Por (2-4.10):

I I I £ I I I L g < C l I l^ l l ld ö G I ( Í a\v\2d s + í <j[ri}2ds) + ( J Z \ \ ^ Vr \\I \ J vd J vint / \ k e t

1/2

+ --2Y 1 1 Te \\V \\d K n r D + “ k

+ E l I l ^ L o J I l W a + aL K

12 V 1/2

“7=V?7V ã d/<nrD / _

1 _ -7=VryV ã

2 V 1/2

d K c r D)

de onde obtemos (2.4.8).

□Assumimos que o vetor p (com os p k > 1 para cada K G T ) tenha

variação local limitada, i.é., que existe uma constante p > 1, tal que, para qualquer par de elementos K e K ' que tem uma face ((n — l)-dimensão) em comum, vale

P~l < Pk / pk ' < P-

L em a 2.33. Vamos supor que:

a) K G T é um n-simplex ou um n-paralelepípedo com diâmetro h x i

b ) u\k G H kK(K), kK > 0, para K G T.

Então, existe uma seqüência z ^ ( u ) G RpK(K), pk = 1 ,2 , . . . , tal que, para

0 < q < kK vale,

hSK~q\ u - 4 ^ { u ) \ \ qtK < C - ^ i \ \ u \ \ kK,K ,

P k

(2.4.14)

sendo sk = nun(p/<- + 1 , &*-) e C uma constante independente de u, hK e Pk , mas

dependente de k = m a x ie r &k ■

Para u G H 2(ü, T) definimos U^u G S p por

(U*u)\K = z%k (u\K) , K z T .

88

T eorem a 2.34. Seja £2 C Kn um domínio poliedral limitado, T uma subdivisão regular de £2 em n-paralelepípedos, e supomos ainda que p tenha variação local limitada. Associamos a cada face o número real positivo

, (2.4.15)Hg

sendo he o diâmetro de e, com a convenção que para e G 'I 'd a> contribuição exterior a Q na definição de ae é zero. Então, assumindo que u\k £ H kK{K), k x > 2, para K G T , a solução uqg £ S p(Cl,T, F) de (2.4-6) obedece a seguinte estimativa de erro:

l2sk~2|||u — UDG\\\dDG ^ C '^2 a K 2fcK-4 IMIfc*-,.fO (2.4.16)

K e T P k

com 1 < s k < min(pK + l, kK), pK > 1, = ãg para K G T em que C é uma constante positiva dependendo de n, do parâmetro p, k = max^-€7- k k e da regularidade d e T .

Demonstração:

Com o objetivo de aproveitar as limitações do Lema anterior vamos decompor 77 definido em (2.4.9) da seguinte forma,

rj = u - IlpU = ( u - IIpU) + IIp(u - Ilpti) = 771 + 772. (2,4.17)

Estimativas para 771 são obtidas diretamente de (2.4.14) e da desigualdade do traço (2.2.45), i.é.,

7 2 s k ~ 2

ll\/ãV77i|||- < CüK 2kK'~2 \\U\\Ik ,K' (2.4.18)Pk

u 2 s k - 1 l 2 s k — 3

HWIk < c-$fc=iMlK* e \ \ v V l \\ lK < \\u\\1K íK . (2.4.19)P k P k

Por outro lado, as normas para 772 são majoradas por ||t72||k usando as

89

seguintes desigualdades inversas.

IIVSViuII*- < C5* j ; f i t e i s , (2-4.20)K

Ú Í k < C ^ \ M \ 1 e IIVThllljf < c £ f \\r,2\\2K. (2.4.21) riK nK

Agora \\t]2 \\k é limitada por,

hSKü lk = linj(u - n pU) k < c\\u - nru\\K < c - * \u\,k<k,

P k

para 1 < sk < min{pK + 1, &*-), em que a segunda desigualdade segue de (2.3.16). Então,

hSK*11* < C ^ \ \ u \ \ kK,K (2.4.22)

Pk

Substituindo (2.4.22) em (2.4.20) e (2.4.21) temos que

_2sff-2-K

P k

h11 x/ãV77211 < C ük 2kK- i (2.4.23)

l 2s /c - 1 j,2 s * --3

I M l L < C % ^ 2 M I k , k e HVitelI^ < (2.4.24)P k P k

E substituindo em (2.4.17) as limitações (2.4.18), (2.4.19), (2.4.23) e

(2.4.24) temos que,

L 2s/<--2I I V S V * < C f l l v ^ f e + l lv /S V ,* ) < C ã K- ^ M l K,K, (2.4.25)

Pk

h2sk~1Wv Wõk < C ( IMIsk + IMIajc) < C-£^p2\\u\\2kl< K, (2.4.26)

Pk

l 2 s k ~ 3

m \ Í K < C (||V77illl^ + ||Vr/2||gK) < C - ^ z^\\u\\\k K. (2.4.27)Pk

90

Sendo que,

e da definição de ||| • 11|dz?G resulta que,

3G= \\y/ãVri\\2K + í ar]2d s+ í a\rj\2ds = I + I I + / / / , (2.4.29) TS /— 'T' JVn

111« - UDcWldDG < IIMHdDG + 11 |f 11 |<Z£>Gi (2.4.28)

e como I, I I e I I I aparecem no lado direito de (2.4.8), é suficiente limitar cada um de seus termos para obter uma estimativa do erro global.

Primeiro termo:

í v\r,\2ds = £ || y^vW hnro = £ IMIknr»JrD K k e

- £ k ('**) II*™. <2'í6> ç ( I r f S ) N IU .

segue que,

r _ /j2síc-2/ cr\v\2ds < C ^ 2 ã R 2fc J M I (2.4.30)

■/rD K PK

Segundo termo:

í a[r]\2ds = 'K^S HVaK'ne ~ VdKnJ r<„t is e

< Õ/T ( a K 'p2K' + {WVdhCneWdKCVint + \\rfdK ne\\dK nrint) I2 he K e

assim,

/ • ( 2 .4 .2 6 ) T___ . A 2 s / f - 2

/ <7LuJ2<fa < C ^ - ^ M I Í , , * . (2.4.31)•'rint K Pk

• Terceiro termo:

____ _ ( 2 .4 .2 5 ) ..___ . / j 2 « i f —2

£ IIV^VíjII^ < (2-4.32)K e r k P k

91

Quarto termo:

K e T

desta forma,

K e T K e T V l P l < Pk nkK,K’

u2sk -2y~! W V^VW dKnro ^ 2fc^-4 l^llfcy.A--K e T k ^

Quinto termo:

E *K e T

-2K V77

/ 2/ie

ôKnrD

( 2 .4 .2 7 ) / 2he

ÿ?T "

segue que,

E *K e r

- 2K V 77

dKnrD“ 2*^=4 ll“ ll

A-

Sexto termo:

Y llv^L^JIIaK nr^t — £ r ell lv\ IIÍK-nrintK e T K e T

= ^ ( a K 'P2K' + a KP2K ) ( I I^ K 'n e| |L n r int + 11Î7a/cne11i/cnr^t)K

( 2 .4 .2 6 )

< c EKer

/$ * ~ 2 hK - h ^ K~2 h0-K' n 2kK - 4 h + a K ' 2kK - i u

P k íe P k / l '

Kfc*,K>

assim,

__ 2

Y , llv^WIIlícnrint < IL "2K e T

K „2kK - 4 llUllkK ,K- K P k

Sétimo termo: (repetindo 0 cálculo feito no quinto termo)

1E áK e T

V 77d K n r int

( 2 .4 .2 7 ) h2sK~2 u ..on2A/f—4 i-K"

K P K

92

u2s k ~2

HlflIlLrc < (2.4.33)K P K

para 1 < sk < m i n ^ + 1, kK), K e T.Substituindo (2.4.30), (2.4.31) e (2.4.32) em (2.4.29) resulta que,

u2sk-21117?!!!dDG — (2.4.34)

K P K

e substituindo (2.4.33) e (2.4.34) em (2.4.28) temos que,

f l 2 s k - 2 ) 1/2 f h2sK~2 1 1/2\\\u - UDG\\\dDG < < C ^ 2 a K 2kK~4\\U\\lK,K f + < C ^ a / c - 2kK-4\\U\\lK,K f >

l K Pk ) { k Pk )

Obtemos destas sete limitações usando (2.4.8) que,

de onde segue o resultado.

□Se o projetor n p é tomado como sendo ( definido em (2.4.14)), vale

o seguinte teorema em que temos uma melhora da ordem de p 1 2 na convergência em relação ao teorema anterior.

T eo rem a 2.35. Seja C Mn um domínio poliedral limitado, T uma subdivisão regular de Q, em n-paralelepípedos, e supomos ainda que p tenha variação local limitada. Associamos a cada face e G Í o l l >int o número real positivo

ae = (2.4.35)h*e

sendo he o diâmetro de e, com a convenção que para e € a contribuição exterior aVL na definição de ae é zero. Então, assumindo que u\k € H kK(K), kj< > 2, para K £ T , a solução u^ g € Sp(f2 ,T ,F) de (2.4-6) obedece a seguinte estimativa de erro:

lj2sff —2IIIu - udgWIIdg ^ C ^ 2 aK ~2kK-z IMIfcff.ffj (2.4.36)

K € T P k

93

com 1 < s k < min(pK: + 1,/ck); Pk > 1 para K € T , sendo cc# = ã^ em gue C

é uma constante positiva dependendo de n, do parâmetro p, k = max/<-£7- k x e da

regularidade de T.

Nota: A demonstração é semelhante a feita no teorema anterior.

2.5 Equação de difusão-advecção-reação sem parâmetro de estabilidade

2.5.1 Formulação padrão do m étodo de Galerkin descontínuo para a equação de difusão-advecção-reação

Consideramos agora o problema geral (2.1.1) e (2.1.5). Para este o àp-D G FEM é definido como:

Encontre udg € S p, tal que,

B d g (u d g , v) = Id g {v ) V v E S p, (2.5.1)

sendo,

B D g { w , v) = a'\7w -V vd x + J (b ■ Ww + cw)vdx

— / (b - n )w +v+d s — / (b ■ n)[w]v+ ds >Jd-Kn(V-.urD) J d - K \r J

+ / { w ((a V v ) ■ n) - ((aVw ) ■ n )v }d s + / awvdsJ r D JVd

+ / {[w\ ((aVu) • u) - [uj ({aVw) ■ v) }<2s + / cr[w\[v\ds,J v int

94

+ / 0£>((aVu) • n)ds + / gNvds + / crgDvds, JrD JrN JTd

em que a é um parâmetro positivo que será dado adiante.

2.5.2 Estim ativas a pr io r i para o erro do m étodo de Galerkin descontínuo padrão para a equação de difusão-advecção- reação

Assumindo (2.1.14) e lembrando da definição (2.2.5), introduzimos anorma,

\W \\\DG2>g = { l l v ^ V H I 2* + \\cq w \\2k + J ||w + ||L .K n (r-u rD) KeT ^

Por (2.3.1) e (2.3.7), temos que,

\ + aw2ds + / a[w \2ds.J JTd

(2.5.2)

< / (b • Vtu + cw)wdx — / (b ■ n)[w]w+ds — / {b ■ n)\w+\2dsK \ J k Jd-K\r Jd-Kn(r-urD)

= { | M I 2k + 2Üu;+ll9-/ín(r_urD) + 2 ^ + ~~ W + 2 ^ +^ + Knr} ’

segue então que (ver (2.4.7) ),

M I I o g = B d g { w , w ) V w e H { Q , T ) .

Para assegurar a propriedade ortogonal de Galerkin para V v € S p, supomos que a solução u para o problema de valor de fronteira considerado pertence

ao espaço H 2(Çl,T), e as funções u e (aVu) • n são contínuas através de cada face e G ^int que intercepta o subdomínio de elipcidade {x G Cl ; CT°C > 0 V Ç G K n }.

aplicado a equação de advecção-difusão-reação combinamos os resultados das seções 2.3.2 e 2.4.2 no próximo teorema.

T eorem a 2.36. Seja f i C 1™ um domínio poligonal limitado e T = {K } uma partição regular de Í2 composta de n-paralelepípedos K com diâmetro h k , e seja, p um vetor de variação local limitada. Vamos supor que sobre cada face e G ' í int U 'Üd

o parâmetro ae é definido como em (2.4-15). Se (2.1.14), (2-3.3) e (2-4-3) valem, e U]k G H kl<(K) com k,K > 2 para cada K G 7”. Então, a solução u ^ g G S p(Q ,T, F) de (2.5.1) satisfaz a seguinte estimativas de erro:

para 1 < s k < min(pK + l) k k ) e P k > 1 V K G T . Sendo olk = ^ e 7# como no Teorema 2.27 e C uma constante positiva que depende de n, p, k = max# k ^ e da regularidade de T .

Demonstração:

Afim de obter uma estimativa “a priori” de erro para 0 hp-DGFEM

) M l2 (2.5.3)

Sendo que,

> $ 2( p , s ) < ^ ^ 1 < s < min(p + l,fc)

(2.5.3) segue de (2.4.16) e (2.3.30).

□

96

Capítulo 3

Estimativas a posteriori

O estudo de estimativas “a posteriori” é fundamental para elaborar estratégias de algoritmos adaptativos. Estas estimativas podem ser feitas tanto para minimizar o erro ||u — uDq || (ver [22]) como para minimizar o erro de funcionais lineares de solução (ver [9, 10]), i.é., |J ( u ) — J ( u d g ) \ ■ Para ambos os casos, a idéia é majorar o erro por constantes calculáveis multiplicadas pelo resíduo de elementos finitos. O que em geral requer hipóteses fortes sobre o problema em que se trabalha.

As estimativas a posteriori estão diretamente ligadas com o problema dual, mais precisamente com estimativas da solução do mesmo. Assim, para criar um algoritmo adaptativo, precisamos calcular uma solução dual aproximada (usando método de Galerkin descontínuo) quando o problema dual não tem solução analítica. Neste caso, todo a técnica empregada para obter a aproximação da solução primai é usada.

O estudo aqui apresentado segue as idéias inicialmente desenvolvidas por C. Johnson e colaboradores que posteriormente foram aprimoradas por E. Siili em [22]. Na seção 3.1 desenvolvemos a teoria para um operador qualquer £ (linear) e na seção 3.2 aplicamos essa teoria para o problema (2.1.1) no caso de Q = (0,1), isto é, para o problema de difusão-advecção-reação em uma dimensão.

3.1 Operador diferencial linear

Seja £ um operador linear, tal que, £ : V(C) C Y —> Y sendo Y um espaço de Hilbert com produto interno (•,•) e norma || • ||, e V {£) é o domínio do

97

operador C. Dado / e Y , nosso problema é encontrar u € T>(£), tal que,

Cu = f . (3.1.1)

Designamos por h um parâmetro positivo de discretização. Vamos aproximar esse problema tomando uma seqüência de espaços de dimensão finita {X/!}, tal que, Xh C D(C ) V h, e simultaneamente consideremos uma seqüência de espaços de dimensão finita {Y^} com YJ, C Y V h chamados espaços de testes.

Denotamos por o projetor ortogonal de Y em Y h. Então, podemos formular o método de elementos finitos de Galerkin descontínuo como:

Encontre Uh ■ X h —> tal que,

TlhCuh = Tlhf,

ou equivalentemente, podemos escrever isto como segue:Encontre Uh € Yh , tal que,

(Cuh,vh) = ( f , vh) V vh e Y h.

Nota: Aqui os espaços finitos Xh podem ser “pensados” como uma partição do D(C) e os Yh como os espaços de polinómios por partes.

Definimos o resíduo de elementos finitos por,

Th = f -

e notamos, devido a propriedade ortogonal de Galerkin que,

(fh,vh) = o v Yh.

Por necessidades posteriores vamos considerar o seguinte problema auxiliar, chamado de problema dual:

Encontre z € 'D(C'), tal que,

C!z — u — uh-

A análise do erro “a posteriori” é baseada no seguinte argumento de

98

dualidade:

11« - Uh\\2 = ( u - u h, u - uh) = (u - uh, C'z) = (C(u - Uh), z)

= (Cu - Cuh, z) = ( / - Cuh, z) = (rh, z).

Pela ortogonalidade de Galerkin, (rh, Zh) = 0 V Zh G Yh, resultandoque

11« - « J 2 = {rh, z - z h) = (hsrh, h~s(z - zh)),

e pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,

l | u - « * | | 2 < | | /» ' r fc| | | | ^ ' ( z - z fc)||. (3.1.2)

Aqui, o primeiro termo do lado direito é calculável, enquanto o segundo é desconhecido, então, precisamos substituí-lo em termos de u — uh multiplicado por constantes adequadas.

Vamos supor que {Wí}í>0 é uma “escala” de espaços de Hilbert com norma correspondente || • ||;, tal que, WQ = Y e Wi2 ê continuamente imerso em W tl para > l\.

Supomos a seguinte propriedade de aproximação: para cada z 6 W s existe Z h ^ Y h e uma constante Ca > 0 que independe de z e h, tal que,

\\h~s( z - z h)\\ < £«11*11,.

Para métodos de elementos finitos essa hipótese é facilmente cumprida escolhendo Ws = H s(ü) para um apropriado s = sa > 0 e refere-se as propriedades de aproximação padrão de funções polinomial por partes em espaços de Sobolev, com Zh £ Yh tomado como 0 interpolante, quase-interpolante ou a projeção de z. Então, chegamos a estimativa,

11«-« /.II2 < Ca\\hsrh\\\\z\\s. (3.1.3)

Para proceder, supomos que £ é inversível e que (£ ') _1 é um operador

99

linear e limitado de Y em W s para algum s G [0, sa], então,

\\z\\t = | | ( £ r l (w - Uh)\\3 < Cs\\u - Ufcll, (3.1.4)

em que Cs > 0 é de maneira que Cs > |j(^;)_1ll-Combinando (3.1.3) e (3.1.4) chegamos a desejada estimativa a poste

riori sobre o erro global u — Uh em termos do resíduo de elementos finitos r h e as constantes Ca e Cs,

||tt - uh\\ < CaCs\\hsrh\\. (3.1.5)

Sendo conhecida Uh é fácil calcular r* e então, 1111. Portanto, a desigualdade (3.1.5) será usada somente se Ca e Cs forem calculáveis. Cálculos para Ca, como já mencionado acima, usa-se resultados da teoria de aproximação. Por outro lado, o cálculo de Cs é mais difícil e envolve o estudo do problema dual (como p.e. se ele é bem-posto), sendo que qualquer estimativa que se chegue através do uso de argumentos analíticos para Cs é limitado inferiormente por ||2:||s/ ||it — Uh\\. Essa constante é na prática determinada computacionalmente “a mão” para o problema específico que se trabalha.

Resta-nos ainda determinar o valor de s. Se s = 0 não nos beneficiamos da ortogonalidade de Galerkin e tomando Zh = 0 teriamos,

11« - u h || < c ^ im i .

Agregado a isto, gostaríamos que s fosse o maior possível, para refletir as propriedades de aproximação do espaço Y^. Então, teríamos que escolher s = sa. Por outro lado, para problemas hiperbólicos, (£ ')_1 tem pouca regularidade, o que nos impõe uma limitação para escolher o valor de s. Assim, a melhor escolha de s depende de uma “criteriosa” análise do problema que se trabalha.

Algoritmo Adaptativo

Como mencionado acima, a análise de erro a posteriori é realizada também para funcionais lineares de solução J(-), que podem ser valores pontuais,

médias locais ou integrais de fluxo. Desse modo, obtém-se estimativas do tipo (ver

100

[9]):

| J(u) - J{uh)| < E (uh, h , p , z - zh), (3.1.6)

em que o lado direito é semelhante a parte direita de (3.1.2). E quando não se conhece a solução analítica z para o problema dual, esta é aproximada numericamente. Assim, denotando por zdg a aproximação de Galerkin descontínua para z, a equação (3.1.6) pode ser rescrita como:

| J(u) - J{uh)| < \E(uh, h,p, zDG - Zh)I + \En{uh, h,p, z - zDG)\ = E P + E D,

em que Ep é uma ordem de grandeza maior que E d conforme [9]. Desta forma, E d pode ser absorvido por E P sem que seja comprometida a estimativa acima.

Como qualquer algoritmo adaptativo está baseando na idéia que: Dado um funcional linear J(-) e uma tolerância positiva TOL, deve-se calcular Uh, tal que, | J(u) — J(uh) | < TOL. Temos que este algoritmo adaptativo não será comprometido se o critério de parada for, EP < TOL.

Eqüidistribuindo o erro do critério de parada sobre todos os elementos da malha, precisamos que

EP]k < (3.1.7)

em que N é o número de elementos da malha.Assim, cada elemento da malha é “testado” e passa por um h-refi

namento ou p-enriquecimento para assegurar que o princípio da eqüidistribuição(3.1.7) seja válido. Uma vez que um elemento K é testado, uma decisão precisa ser feita sobre alterar o tamanho ou o grau local p x da aproximação polinomial. Quando E d é maior que T O L /N , e a solução primai u e dual z forem regulares, um /^-enriquecimento vai ser mais eficiente que A-refinamento. Entretanto, se u ou z tem baixa regularidade no elemento K , então, /i-refinamento vai ser mais adequado. E repete-se este processo até que a condição (3.1.7) seja válida.

Desta forma, fica garantido que o erro entre a solução exata (ou funcional linear da solução exata) e a solução aproximada (e o funcional linear da solução aproximada) é menor que TOL.

101

3.2 O problema m odelo em uma dimensão

Desenvolvemos aqui (na integra) a teoria apresentada na seção anteriorpara o problema (2.1.1) no caso de Q, = (0,1) e com condições de fronteiras nulas, conseguindo assim, exibir explicitamente o “tamanho” do erro ||u — Uh,\\.

Inicialmente enunciamos dois resultados que serão usados no decorrer do proposto, cuja as demonstrações vão ser omitidas.

L em a 3.1. (Desigualdade de Poincaré-Friedrichs) Supomos que f i c R " é um conjunto aberto limitado com fronteira suficientemente regular (p. e. um domínio poligonal) e seja u £ Então, existe uma constante C *(íl), independente de u, tal que,

O bservação 3.2. Se Q = (0, l ) 2 C R2, então, C+ = similarmente, se Çl = (0,1) C R, então, C* =

Consideramos a subdivisão não uniforme de (0,1) dada por,

sendo os pontos da malha Xi, i = 0 , . . . , N, não necessariamente igualmente espaçados. Vamos supor que N > 2 para termos ao menos um ponto (nódulo) na malha. Designamos por hi = Xi — Xj-i para i = 1, • .. , iV e por h — max, hi. Para essa subdivisão, consideramos a função base de elementos finitos

para i = 1 , . . . , iV — 1. Tomamos agora V*. = span{(j)i , . . . , 4>n - i}5 temos que, 14 é um subespaço de dimensão N — 1 do espaço Hq(0, 1).

D efinição 3.3. O in te rp o la n te de u designado por IhU € Vh é a função contínua linear por partes definida sobre a subdivisão acima que coincide com u nos pontos Xi

(3.2.1)

0 = Xq < X i < X2 < ■ ■ ■ < X n - \ - < X h = 1,

0 se x < Xi- i

(x — Xi-i)/hi se Xi-1 < x < Xi(xj+i - x ) /h i+x se Xi < x < x i+i

0 se Xi+i < x\

102

da malha, i.é.,

N - 1

Xhu{x) = y ' j u(xi)(j)i(x).i=1

L em a 3.4. Supomos que u G H 2(0,1) e seja 1 h.u o interpolante de u pertencente ao espaço Vh■ Então, as seguintes estimativas de erro valem:

hW - (Ihu)'\\L2(0 ,i) < j | | |u /,||L2(0,i)) (3.2.3)

Nosso problema modelo é:

—u" + bu' + cu — f para 0 < x < 1 u(0) - u( 1) = 0,

sendo b G ^ ^ (0 ,1 ) , c G L 0o(0,1) e / G L2(0,1).Consideremos a forma bilinear,

B(ui, v ) = [w'v' + bw'v + cwv\dx, J o

e o funcional linear,

r 1f v d x ,

Jo

(3.2.4)

então, a formulação fraca para (3.2.4) é:Encontre u G # o(0, <lue>

B( u , v ) =l ( v ) V v G #o(0> !)•

Como visto na seção 2.1.3 com a hipótese (2.1.14) o problema (3.2.4) tem única solução fraca u G Hq(0, 1).

O problema aproximando para (3.2.4) é:

103

Encontre Uh € Vh, tal que,

Notação: Por simplicidade vamos escrever || • || em vez de || • | | l2(o,i)-

Notamos que o problema dual para (3.2.4) é dado por,

—z" — ( bzy + cz = u — Uh para 0 < a; < 1(3.2.5)

2(0) = z(l) = 0,

então,

||u - uhII2 = (u - uh, u - uh) = [ u - uh, - z " + (bz)' + cz) = B (u - uh, z),

pois (u - uh){0) = (it - Ufc)(l) = 0.Pela ortogonalidade de Galerkin B(u — Uh, Zh) = 0 V zh e Vh e

tomando Zh como o interpolante de 2 associado a partição definida acima, temos que,

||tt — Uh\\2 = B(u — Uh, z — Xz) = B(u, z — Xz) — B(uh , 2 — Xz)(3.2.6)

= ( f , z - Xz) - B(uh, z - X z ) .

Como,

rxi

B (u h, z - X z ) = ^ 2 / u'h(z - l z ) 'd xi = 1 • 'Z i - l

N f Xi N ' rxi

+ ^ / bu'h(z - Xz ) d x + ^ 2 / cuh( z - X z ) d x ,1=1 ■'*<-1 t=l ' Xí- 1

integrando por partes o primeiro termo em cada N — 1 intervalos (note que (z - X z ) ( x í ) = 0, i = 0 , . . . , N) resulta que,

»Xi

B(uh, z - Xz) = 2 2 / Wh + bu'h + cuh]{z - Xz)dx. i=i •'*<-1

B{uh,vh) = l{vh) V vh e Vh

104

Além disso,

N

( /, z - l z ) = ^ 2 f f {x) ( z - l z )d x . i=i 1<-i

Substituindo isto em (3.2.6), deduzimos que,

N Xi= R(uh) { z - l z ) d x , (3.2.7)

i=i

para i — 1 , . . . , N sendo R(uh) = f + u'h~ bu'h - cuh a função resíduo de elemento finito. Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz em (3.2.7) temos que,

N

||w — W/l|| = y ] ||-R('^/i)||l2(ií_1,I>)II'2: ~ ^ 'Z||l2(i>-1,Xí)- 1=1

De (3.2.2),

1 Nllu - “*l|2 II^K )llL 2(xi_Ilx,)|k/,||L2(xi_1,x,)n2 z

1 = 1

1/2 / ff \ 1/2

^ h ( ê ^ l l ^ * ) H W . « ) ) ( E l l ^ l l i 2(x, -1,x,)

Assim,

■ / N \ l *2

1 1 « ( 3 - 2 . 8 )

Nos concentramos agora em substituir ||z"|| na desigualdade acima por constantes calculáveis. Por (3.2.5), ^

z" — Uh — u — (bz)' + cz = Uh — u — bz' + (c — b')z,

logo,

11*1 < ! k - “ II + IHIwo,i)lk' ll + l l c - b'\\Loo(0,1)114. (3.2.9)

Vamos mostrar que ||z|| e ||z'|| podem ser estimadas em termos de

105

||u — Uh\\, então, o mesmo vale para \\z"\\. Com este fim, note que,

( - z " - (bz)' + cz, z) = (u - uh, z).

Integrando por partes e notando que 2(0) = z( 1) = 0,

{—z" — (bz)' 4- cz, z) = (z', z') + (bz, z') 4- (cz, z)

= llz1|2 + [ b[z2]'dx + f c[z2]dx,2 J 0 J 0

integrando por partes o segundo termo, resulta que,

(—z" — (bz)' + cz,z) = II^H2 — 7: [ b'[z2]dx 4- í c[z2]dx2 J 0 J 0

Assim,

= llz'll2 + Jo ( c - h j \ z 2dx.

„ (2.1.14) C.S.\z'II < ( u - u h,z) < \ \ u - u h\\\\z\

Por (3.2.1) e Observação 3.2,

então de (3.2.10),

Wl2 < jlk'112,

M l < \ h - u h\\,

e substituindo isso no lado direito de (3.2.10) deduzimos que,

M l < ^ 1 1 » - « * 1 1 ,

e inserindo (3.2.11) e (3.2.13) em (3.2.9) resulta que,

ll*"|| < K \\u “

106

(3.2.10)

(3.2.11)

(3.2.12)

(3.2.13)

sendo K = 1 + ^11611^(0,1) + \\\c ~ &1Uco(o,i) uma quantidade calculável.Substituindo (3.2.13) em (3.2.8) chegamos ao resultado final do cálculo

da estimativa a posteriori de erro

IIw-m^II < K 0 [ ^ h í \ \ R ( u h)\\l2{Xl_uXt)\ i= 1

sendo K 0 =

107

Conclusões

A análise “a priori” da hp-versão do método descontínuo de Galerkin apresentado nesta dissertação foi realizada, primeiramente, para a equação puramente hiperbólica, e então, para a equação de difusão. Para o primeiro caso, as estimativas “a priori” forneceram a convergência esperada do método, a qual, foi confirmada com alguns resultados numéricos, assim, podemos concluir que o método descontínuo de Galerkin é muito eficiente, independente de usar a formulação padrão ou estabilizada.

Para o caso da equação com o termo difusivo, a implementação é bem mais delicada, uma vez que, o método descontínuo de Galerkin deixa de ser local e passa a ser um método global. Conseqüentemente, na resolução numérica, é necessário levar outros fatores em conta, pois a dimensão do sistema global pode ser relativamente grande, pois depende diretamente do número de elementos que a malha possui. Ainda neste caso, um estudo mais detalhado pode ser realizado afim de obter uma estimativa “a priori” de erro que seja ótima em p e h, uma vez que, as apresentadas aqui foram sub-ótimas em p.

As estratégias adaptativas são outro ponto para se estudar, pois podem ser um diferencial muito grande na aplicação do hp-DGFEM, tanto no custo computacional como na “qualidade” da solução aproximada, uma vez que, para o hp-DGFEM é necessário tra tar de maneira diferente as regiões onde a solução é descontínua das demais regiões. No caso de um elemento que pertença a região descontínua, o adequado é fazer um /i-refinamento, isso não só melhora a solução aproximada, como também, em alguns casos, evita que o sistema global seja muito grande. Por outro lado, se a ordem de aproximação polinomial é grande, é mais conveniente que o elemento tenha uma tamanho maior.

Quanto as estimativas de erro “a posteriori” , nota-se que no argumento de dualidade (feito na seção 3.1), a hipótese do operador C ser inversível e ter inversa limitada é razoavelmente forte, e agregado a isto, a determinação das constantes Cs e Ca, em muitos casos, é bastante complexa, o que impõe muita restrição no uso

108

desta teoria.Já para o caso em que as estimativas “a posteriori” de erro são reali

zadas para os funcionais lineares de soluções, a maior dificuldade também está no problema dual. Entretanto, esta estratégia se apresenta como uma alternativa, pois não precisa de hipóteses fortes como as usadas no argumento de dualidade.

109

Apêndice A

Algumas desigualdades

Desigualdade Aritmética Geométrica (A.G.)

Para qualquer número real a e b vale que,

ab < - ( a 2 + b2). - 2 \ )

Uma versão mais sofisticada desta desigualdade é obtida da seguinteforma,

e substituindo e2 por 5, deduzimos que,

, 5 o 1 ,22° + Tsb

para qualquer 5 > 0.

Desigualdade de Hõlder(B..)

Se 1 < p, q < oo, tal que, 1 = l /p -f- l /q e u € LP(Q) e u £

então uv € Za(fi) e,

No caso particular d e p = 2 = » ç = 2 e a desigualdade de Holder se

110

apresenta como,

\{u,v)\ < ||u|U2(n)l|v||L2(n),

e é conhecida como desigualdade de Cauchy-Schwarz (C.S.).A desigualdade de Hõlder também vale para somas finitas ou infinitas

e é dada por,

i/p / \ 1/i N 9

k \ k J \ k

111

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114

-versão do método de galerkin descontínuo aplicado para ... · aplicado para equações em...

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