aplicaÇÃo do mÉtodo de galerkin descontÍnuo...

APLICAÇÃO DO MÉTODO DE GALERKIN DESCONTÍNUO AOS SISTEMAS DE

EQUAÇÕES DE TRAÇADO DE RAIOS CINEMÁTICO COM ENRIQUECIMENTO

DIFERENCIADO NOS GRAUS DE LIBERDADE

Raphael da Silva Corrêa

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-Graduação em Engenharia

Civil, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Civil.

Orientadores: Webe João Mansur

Eduardo Gomes Dutra do Carmo

Rio de Janeiro

Junho de 2011





DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA

(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Examinada por:

P

r

o

f

.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

JUNHO DE 2011

iii

Corrêa, Raphael da Silva

Aplicação do método de Galerkin descontínuo aos

sistemas de equações de traçado de raios cinemático com

enriquecimento diferenciado nos graus de liberdade/Raphael

da Silva Corrêa. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011.

X, 90 p.: il.; 29,7 cm.



Dissertação (mestrado) – UFRJ/COPPE/Programa de

Engenharia Civil, 2011.

Referências Bibliográficas: p. 72-75.

1. Teoria do Raio. 2. Sistema de Equações de Traçado de

Raios Cinemático 3. Método de Galerkin Descontínuo. I.

Mansur, Webe João et al. II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Título.

iv

Aos meus pais,

José Luiz Lemos Corrêa e

Marisa Maria da Silva Corrêa.

v

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, por guiar sempre meus passos aonde quer que eu vá.

Aos meus orientadores, prof. Webe João Mansur e, sobretudo, ao prof. Eduardo

Gomes Dutra do Carmo, pelos ensinamentos que vou carregar por toda minha vida.

Aos meus mestres, desde minha professora de classe de alfabetização até os pro-

fessores de pós-graduação. Em especial, os professores que contribuíram muito para

minha formação com seus ensinamentos e conselhos: Carlos Andrés Reyna

Vera-Tudela, José Antonio Fontes Santiago, Maria Teresa Carneiro Cunha, Roberto

Fernandes de Oliveira e Rosane Ferreira de Oliveira.

Ao pesquisador Luiz Alberto Santos por ter apresentado o problema de traçado

de raios, tema desenvolvido neste trabalho, e por dispor seu tempo para incontáveis

explicações sobre a Teoria do Raio. Obrigado Luiz Alberto!

Aos meus amigos presentes em todos os momentos. Especialmente a Alex

Moreira, Edilmo Gabriel, Aline Tavares, Gilmar Teixeira e Wilson Duarte, sem o apoio

de vocês dificilmente conseguiria chegar até aqui.

Aos Amigos do LAMEC, pelo prazer da companhia. Em especial: Rodrigo Dias,

Viviane Ferreira, Jorge Rebelo, Wilian Santos, Edivaldo Júnior, Marlucio Barbosa,

Elias Conceição, Israel Nunes, Marco Túlio, Wellington Pereira, Álvaro Vieira, Pablo

Higuera, Franciane Peters, Cid Monteiro, Cleberson Dors e Edmundo Guimarães.

Agradeço a Ivone, que me tratou como um filho durante os dois últimos anos,

fazendo sempre o possível e muita das vezes o impossível para que eu concluísse este

trabalho. Não existem palavras para expressar o quanto sou grato por tudo que você fez

e faz por mim.

Agradeço toda minha família. Em especial: minha madrinha Marinete da Silva

por todo carinho e amor, e também minha tia Marli Cipriano que pagou minha inscrição

no vestibular da UFRRJ quando meus pais estavam desempregados.

Agradeço meu irmão, Jeferson Corrêa, por todas as discussões, brigas, mas, so-

bretudo, pelo incentivo em todos os momentos da minha vida.

Agradeço meus pais, José Luiz Lemos Corrêa e Marisa Maria da Silva Corrêa,

que fizeram o possível e lutaram pelo impossível para que eu chegasse até aqui. Eu amo

vocês!

Por fim, agradeço a CAPES pelo apoio financeiro.

vi

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)





Junho/2011



Programa: Engenharia Civil

Este trabalho introduz uma nova metodologia de resolução dos sistemas de

equações de traçado de raios cinemático, baseada no método de elementos finitos de

Galerkin descontínuo com enriquecimento diferenciado nos graus de liberdade, isto é,

aproximações com polinômios de graus diferentes em cada variável do sistema. O foco

do trabalho é a obtenção dos raios e os respectivos tempos de trânsito a partir da solução

destes sistemas oriundos da equação eiconal, parte cinemática da equação da onda, que

possuem um amplo campo de aplicação na sismologia e prospecção sísmica, de extrema

importância para indústria do petróleo. A metodologia é aplicada em modelos bidimen-

sionais isotrópicos e heterogêneos regidos por distribuições de velocidade contínua ou

descontínua.

vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

APPLICATION OF DISCONTINUOUS GALERKIN METHOD TO SYSTEMS OF

KINEMATIC RAY TRACING EQUATIONS WITH DIFFERENTIATED

ENRICHMENT IN DEGREES OF FREEDOM


June/2011

Advisors: Webe João Mansur


Department: Civil Engineering

This work introduces a new methodology for solving systems of kinematic ray

tracing equations, based on the Discontinuous Galerkin Finite Element Method with

differentiated enrichment in degrees of freedom, i.e., approximations with polynomials

of different degrees in each variable of the system. The focus of the work is to obtain

the rays and their traveltimes from the solution of these systems which have a wide

range of applications in seismology and seismic prospecting, extremely important for

petroleum industry. The methodology is applied on two-dimensional isotropic and hete-

rogeneous models governed by continuous or discontinuous distributions of velocity.

viii

SUMÁRIO

1 - INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 1

1.1 Considerações Preliminares ............................................................................... 1

1.2 Revisão Bibliográfica ........................................................................................ 3

1.3 Objetivo e Estrutura da Dissertação ................................................................... 5

2 - TEORIA DO RAIO: OS SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE TRAÇADO DE

RAIOS CINEMÁTICO .................................................................................................. 7

2.1 Teoria do Raio: Noções Gerais .......................................................................... 8

2.2 A Equação Eiconal ............................................................................................. 9

2.3 Sistemas de Equações de Traçado de Raios Cinemático ................................. 13

2.4 Condições Iniciais para um Raio ..................................................................... 18

3 - MODELOS DE VELOCIDADE PARA TRAÇAMENTO DE RAIOS ............. 20

3.1 Geração de Modelos ........................................................................................ 21

3.1.1 Modelo Contínuo ...................................................................................... 22

3.1.2 Modelo Descontínuo ................................................................................ 24

3.1.3 Modelo Analítico ...................................................................................... 26

3.1.3.1 Modelos Homogêneos ........................................................................... 26

3.1.3.2 Modelos Heterogêneos ......................................................................... 27

ix

4 - FORMULAÇÃO GALERKIN DESCONTÍNUO PARA SISTEMAS

LINEARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM .. 30

4.1 Espaços Matemáticos ....................................................................................... 31

4.1.1 Produto interno e Norma do Espaço Euclidiano ................................ 31

4.1.2 Os Espaços de Hilbert e ..................................................... 31

4.2 O Sistema de Equações de Traçado de Raios Cinemático Linearizado........... 32

4.3 Características do Método de Elementos Finitos de Galerkin Descontínuo .... 33

4.4 Formulação Variacional Descontínua para o Sistema Linear de EDO de 1ª

Ordem ......................................................................................................................... 34

4.5 Formulação Aproximada pelo Método de Elementos Finitos Galerkin

Descontínuo ................................................................................................................ 38

5 - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ............................................................. 46

5.1 Traçando Raios em Modelos Analíticos .......................................................... 47

5.1.1 Modelo Homogêneo ................................................................................. 47

5.1.2 Modelo Heterogêneo ................................................................................ 50

5.1.3 Modelo com Interfaces Planas .................................................................. 60

5.2 Traçando Raios em Modelos Não-Analíticos .................................................. 64

6 - CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 68

6.1 Conclusões ....................................................................................................... 68

6.2 Trabalhos Futuros ............................................................................................ 70

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 72

APÊNDICE A - LINEARIZAÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES DE

TRAÇADO DE RAIO CINEMÁTICO ...................................................................... 76

A.1 Linearização do Sistema de Traçado de Raios em Função do Comprimento de

Arco ......................................................................................................................... 76

A.1.1 Distribuição de Velocidade dependendo linearmente de e ................. 78

A.1.2 Distribuição de Velocidade Analítica ....................................................... 79

x

A.2 Linearização do Sistema de Traçado de Raios em Função do Tempo de

Trânsito .................................................................................................................... 80

APÊNDICE B - PRINCÍPIO DE FERMAT E LEI DE SNELL .............................. 82

B.1 Princípio de Fermat .......................................................................................... 82

B.2 Lei de Snell ...................................................................................................... 83

APÊNDICE C - SOLUÇÕES DE REFERÊNCIA .................................................... 88

C.1 Simulador Traçado de Raios CREWES ........................................................... 88

1

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 Considerações Preliminares

A teoria do raio desempenha um papel fundamental em diversos ramos da física,

por esta razão, é comum encontrar diferentes abordagens na literatura para defini-la. Na

geofísica, a teoria do raio é baseada na aproximação de soluções da equação da onda

acústica, eletromagnética ou elástica através da inserção de uma expansão assintótica

em alta frequência (solução aproximada) na mesma. Embora a teoria do raio utilize uma

solução aproximada em alta frequência, sua precisão é suficiente para resolver diversos

problemas de propagação de ondas de grande interesse prático na sismologia e explora-

ção sísmica, que são extremamente difíceis quando tratados de outra maneira.

A teoria do raio na sísmica consiste na decomposição do campo de onda em con-

tribuições independentes que se propagam ao longo do raio. De modo geral, a teoria do

raio sísmico se resume nos equacionamentos cinemático e dinâmico da equação da on-

da. A parte cinemática da equação da onda, representada pela equação eiconal, trata do

cálculo dos tempos de trânsito, enquanto a parte dinâmica, regida pela equação do

transporte, aborda a obtenção das amplitudes (ČERVENÝ, 1985).

A equação eiconal é resolvida basicamente através de duas abordagens clássicas

identificadas na literatura. A primeira utiliza a solução numérica, por exemplo, pelo

método das diferenças finitas, da própria equação eiconal, fornecendo assim apenas os

tempos de trânsito dos primeiros eventos, ou seja, ao longo das frentes de ondas

(VIDALE, 1988). A segunda abordagem resolve a equação eiconal por meio dos raios

(ČERVENÝ, 1987; BLEISTEIN, 1984), que são determinados pela solução do sistema

2

de equações de traçados de raios cinemático (um sistema de equações diferenciais ordi-

nárias de 1ª ordem), chamado também de sistema de traçado de raios de valor inicial.

Neste sistema, o tempo de trânsito é calculado ao longo dos raios, e os raios por sua vez,

são obtidos a partir de uma dada posição e de vários ângulos de saída, e considera-se a

trajetória que mais se aproxima do receptor desejado (ponto de chegada do raio),

caracterizando um problema de valor inicial.

O cálculo do tempo de trânsito e da trajetória do raio ao longo do meio em es-

tudo são importantíssimos para a indústria do petróleo, necessários em diversos

processos sísmicos, como na migração reversa no tempo (BAYSAL et al., 1983;

SILVA, 2002), para que seja possível melhor imagear o campo de velocidades sísmicas,

e nos métodos de migração e modelagem sísmica do tipo Kirchhoff, que necessitam do

cálculo do tempo do trajeto entre as posições de registro na superfície e os pontos em

profundidade do modelo de velocidade para o cálculo da função de Green utilizada nes-

tes métodos.

Para a obtenção da trajetória do raio e o tempo de trânsito ao longo do mesmo

em modelos com distribuição de velocidade arbitrária, descontínua e discreta, é empre-

gada tradicionalmente a abordagem de resolver o sistema de equações traçado de raios

cinemático oriundo da equação eiconal por meio de algum método numérico, como por

exemplo, Runge-Kutta (PRESS, 2002), apresentado por MARGRAVE (2003) e utili-

zado no simulador de traçado de raios CREWES (2011). Este sistema de equações

diferenciais representa a forma diferencial da lei de Snell, portanto aplicáveis somente

em meios onde a variação de velocidade é suave (SCHNEIDER et al, 1992). Assim, em

cada descontinuidade da velocidade entre as interfaces estruturais do meio (camadas do

modelo), deve-se completar a definição do sistema de traçado de raios com a lei de

Snell, para que novas condições iniciais apropriadas sejam impostas.

Este trabalho utiliza somente a parte cinemática da equação da onda, ou seja, as

equações cinemáticas. O foco é a obtenção dos raios e os respectivos tempos de trânsito

a partir do sistema de equações de traçado de raios cinemático (solução da equação ei-

conal) via uma nova metodologia de resolução, baseada no método de elementos finitos

de Galerkin descontínuo. A metodologia desenvolvida neste presente trabalho será apli-

cada em modelos bidimensionais isotrópicos e heterogêneos regidos por distribuições

de velocidade contínua ou descontínua (modelos com interfaces planas, em que cada

camada gerada é regida por distribuição de velocidade).

3

A implementação computacional é via C++ (DEITEL, 2006), que segue a fi-

losofia de orientação a objetos (RUMBAUGH, 1991), possuindo, portanto, vantagens

importantes em relação à programação procedural1, tais como: o gerenciamento do có-

digo e à sua reutilização, tornando o trabalho de implementação consideravelmente

reduzido.

A seguir, faz-se uma breve revisão bibliográfica destacando algumas dificulda-

des encontradas na obtenção do tempo de trânsito e do próprio traçamento do raio, e

também uma revisão sobre a aplicação do método de elementos finitos de Galerkin des-

contínuo em sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem.

1.2 Revisão Bibliográfica

Em sua pesquisa SCHNEIDER et al. (1992) afirmam que em modelos de velo-

cidade complicados, as trajetórias dos raios que conectam o ponto fonte ao receptor são

dificilmente determinadas mesmo que muitos raios sejam lançados, o que muitas das

vezes é inviável devido ao elevado custo computacional. Além disso, segundo

PESTANA e PIMENTEL (1996), quando o método de traçado de raios é aplicado em

modelos de velocidade complicados, isto é, com muitas interfaces estruturais com forte

variação de velocidade entre elas, o caminho do raio pode se tornar complicado gerando

regiões onde os raios se cruzam (caminhos múltiplos - multipath) e/ou não penetram

(zonas de sombra - shadow zones). Vale ressaltar que através da técnica feixes gaussia-

nos (Gaussian Beams) introduzida por POPOV (2002), já é possível resolver problemas

envolvendo caminhos múltiplos.

Na tentativa de obter melhores resultados, vários autores, entre eles RESHEF e

KOSLOFF (1986), VIDALE (1988), VAN TRIER e SYMES (1991), PODVIN e

LECOMTE (1991) e SCHNEIDER et al. (1992), têm introduzido métodos para cal-

cular os tempos de trânsito diretamente sobre uma malha regular (geralmente

calculando apenas o tempo de chegada dos primeiros eventos a partir da solução da

equação eiconal por diferenças finitas), evitando deste modo o processo de interpolação

gerado pelo métodos numéricos tradicionais quando aplicados ao sistema de equações

de traçado de raios cinemático. No entanto, resultados obtidos em experimentos mos-

1 Programação procedural comum em linguagens científicas como PASCAL, C e FORTRAN.

4

tram que algoritmos baseados nessa abordagem também apresentam algumas dificulda-

des de estabilidade, quando aplicados a modelos de velocidade com grandes

descontinuidades. De acordo com ČERVENÝ (2001), uma das justificativas para o sur-

gimento dessas dificuldades é dada pelas próprias restrições impostas pela teoria do

raio, como a aproximação de alta freqüência e a premissa de que as variações de veloci-

dade não sejam bruscas em relação ao comprimento de onda da fonte.

Sabendo das dificuldades existentes, surgiu a proposta de aplicar um método

mais robusto que os atuais, o método de elementos finitos de Galerkin descontínuo

(MEFGD) para resolver o sistema de equações de traçado de raios cinemático.

São várias as vantagens do método de Galerkin descontínuo, entre elas

COCKBURN (2003) ressalta: ser método localmente conservativo, estável, paralelizá-

vel; apresenta uma alta ordem de precisão; adapta-se facilmente a geometrias complexas

e malhas irregulares, sendo possível refinar ou desrefinar as malhas; suportam aproxi-

mações com polinômios de diferentes graus em diferentes elementos construídos.

O MEFGD é uma variante do método de elementos finitos, em que as funções de

aproximação são descontínuas entre dois elementos, logo o grau de liberdade em cada

elemento é independente do elemento adjacente. A continuidade da solução deve ser

imposta de maneira fraca na formulação variacional, por meio de termos integrais sobre

a fronteira dos elementos. O cálculo necessário para cada elemento é realizado da mes-

ma forma que no método de elementos finitos contínuo. Além disso, semelhantemente

ao caso contínuo, a formulação Galerkin descontínuo é obtida quando as funções de

interpolação utilizadas são as mesmas tanto para solução aproximada quanto para as

funções de ponderação.

A introdução do MEFGD surgiu com a finalidade de resolver numericamente

problemas da mecânica dos fluidos, onde as soluções apresentam gradientes muito ele-

vados ou descontinuidades. Este método foi inserido pela primeira vez por REED e

HILL (1973) para resolver a equação de transporte de nêutrons. Desde então, uma varie-

dade de métodos de Galerkin descontínuo foram propostos, principalmente para

resolução de problemas hiperbólicos e quase-hiperbólicos. Em especial, COCKBURN

et al. (2000) apresentam em sua pesquisa uma revisão histórica e uma extensa lista de

referências sobre os métodos de Galerkin descontínuo.

Para problemas envolvendo sistemas de equações diferenciais ordinárias (EDO),

o MEFGD foi analisado pela primeira vez por LESAINT e RAVIART (1974), que mos-

traram que o método é fortemente estável para esse tipo de problema e que possui uma

5

ordem de aproximação de nos pontos da malha quando polinômios de grau

são usados. É importante destacar que HULME (1972a e 1972b) estudou um método

para sistema de EDO que usava a mesma formulação fraca empregada no método de

Galerkin descontínuo, no entanto a solução aproximada utilizada era contínua.

DELFOUR et al. (1981), apresentaram um trabalho muito interessante sobre mé-

todos de Galerkin descontínuo para sistemas de EDOs, onde introduziram uma nova

classe de métodos Galerkin descontínuos capazes de dar uma ordem de precisão de até

nos pontos da malha quando são utilizados polinômios de grau .

JOHNSON (1988) realizou uma análise de controle de erro para o método de

Galerkin descontínuo em sistemas de EDOs do tipo“Stiff” (duras). Alguns anos depois,

ESTEP e FRENCH (1994) apresentaram um estudo de controle de erro global para mé-

todo de Galerkin descontínuo em sistemas de EDOs. Um ano depois, ESTEP (1995)

estendeu sua análise de controle de erro para um sistema geral de EDOs não-autônomo.

Uma nova técnica de controle adaptativa de erro para sistemas de EDO foi intro-

duzida através do método de Galerkin descontínuo por BOTTCHER e RANNACHER

(1996). Mais recentemente, SCHOTZAU e SCHWAB (2000 e 2001) apresentaram uma

análise definitiva das versões -adaptativas dos métodos de Galerkin descontínuos.

1.3 Objetivo e Estrutura da Dissertação

O objetivo desta dissertação é o desenvolvimento de uma formulação Galerkin

descontínuo com enriquecimento diferenciado nos graus de liberdade para resolver nu-

mericamente o sistema de equações de traçado de raios cinemático oriundo da solução

da equação eiconal, com finalidade de obter os tempos de trânsito e o próprio traça-

mento do raio tão importantes em diversos processos sísmicos utilizados pela indústria

do petróleo.

O texto está estruturado da seguinte maneira:

No capítulo , é realizada uma breve introdução sobre os fundamentos teóricos da

teoria do raio de ordem zero, com enfoque à parte cinemática da equação da onda. Neste

capítulo serão apresentados os sistemas de traçado de raios cinemático, utilizados para

obtenção dos tempos de trânsito e a trajetória do raio.

6

No capítulo , são descritos alguns modelos de velocidades bidimensionais contí-

nuos e descontínuos, onde serão aplicados os sistemas de equações de traçado de raios

definidos no capítulo .

No capítulo , é desenvolvida a formulação de elementos finitos de Galerkin des-

contínuo para resolver numericamente os sistemas de equações de traçado de raios

cinemático definidos no capítulo , aplicados em modelos de velocidade contínuos

apresentados no capítulo .

No capítulo , serão apresentados os resultados e as respectivas análises do mé-

todo de Galerkin descontínuo, desenvolvido no capítulo , aplicado nos sistemas de

traçado de raios cinemático definidos no capítulo , em alguns modelos de velocidade

expostos no capítulo . Inicialmente, serão realizadas comparações com soluções analí-

ticas, com intuito de analisar a influência de alguns parâmetros do método. Em seguida,

serão feitas comparações com os resultados obtidos pelo simulador de traçado de raios

do consórcio CREWES (2011) que utiliza o método de Runge-Kutta de 4ª ordem.

No capítulo , são apresentadas as considerações finais do trabalho, as conclusões

e alguns comentários, e também sugestões de trabalhos futuros, envolvendo a metodo-

logia desenvolvida neste presente trabalho.

Ao final deste trabalho, são apresentados três apêndices: no apêndice , é descrita

a técnica de linearização de alguns sistemas não lineares de equações de traçado de raios

cinemático; no apêndice , é apresentado o princípio de Fermat e a Lei de Snell, impor-

tantes para compreender alguns conceitos desenvolvidos no capítulo ; no apêndice , é

apresentado o simulador de traçado de raios do consórcio CREWES, utilizado com in-

tuito de comparar com os resultados obtidos pela aplicação do método de Galerkin des-

contínuo ao sistema de traçado de raios.

7

CAPÍTULO 2

TEORIA DO RAIO: OS SISTEMAS DE

EQUAÇÕES DE TRAÇADO DE RAIOS

CINEMÁTICO

Neste capítulo serão introduzidos os fundamentos teóricos da teoria do raio de

ordem zero, com enfoque às equações de traçado de raios cinemático, que são aquelas

de real interesse do presente trabalho. As seções apresentam de maneira construtiva a

obtenção do sistema de equações de traçados de raios cinemático, mostrando que o

mesmo é uma solução encontrada através da aplicação do método das características à

equação eiconal, que por sua vez é uma das equações encontradas quando se substitui,

por hipótese, uma solução assintótica em alta frequência na equação da onda acústica ou

elastodinâmica.

O texto foi organizado de forma bem objetiva, baseado em conhecimentos dis-

poníveis na literatura, não apresentando, portanto, detalhadamente todas as contas e

teorias matemáticas. Descrições completas e detalhadas da teoria de raios podem ser

encontradas, por exemplo, em ĈERVENÝ (2001), CHAPMAN (2004) e SHEARER

(2009).

8

2.1 Teoria do Raio: Noções Gerais

A técnica do método do raio é uma das mais utilizadas no estudo de fenômenos

de propagação de ondas, exploração geofísica, etc. A teoria do raio na geofísica é base-

ada na aproximação de soluções da equação da onda acústica, eletromagnética ou elás-

tica através da inserção de uma solução tentativa, uma expansão de alta frequência

(pequenos comprimentos de onda) na mesma. De modo geral, a teoria do raio sísmico

se resume nos equacionamentos cinemático e dinâmico da equação da onda. A parte

cinemática trata do cálculo dos tempos de trânsito, frentes de onda e do traçado dos rai-

os e a parte dinâmica na obtenção das amplitudes. Neste trabalho, o método do raio

sísmico será aplicado em meios bidimensionais isotrópicos heterogêneos.

Enfatiza-se que o método do raio é somente aproximado, isto é, aplicável apenas

para altas frequências. No entanto, sua precisão é suficiente para resolver diversos pro-

blemas de propagação de ondas de grande interesse prático na sismologia e exploração

sísmica, que se tornam extremamente difíceis quando tratados de outra forma. Na litera-

tura não existe um valor determinado para a frequência de modo que a teoria do raio

seja validada. Existem sim, três importantes condições de validade para aplicar o

método do raio, que segundo ĈERVENÝ (2001) são

i) O comprimento de onda precisa ser consideravelmente menor do que

qualquer característica de dimensão no problema considerado, isto é,

ii) O método do raio falha em algumas proximidades de superfícies , como

por exemplo, superfícies de cáustica e os limites das zonas de sombra, ao

longo das quais o campo de raio considerado não é regular. Dessa forma,

a condição de validade deve ser

onde é a distância até a superfície .

iii) O método do raio não é aplicável quando a distância entre a fonte e o re-

ceptor é muito grande. Estimativas baseadas no teorema do valor mí-

nimo levam à condição

onde tem o mesmo significado de da condição i).

9

Portanto, de modo geral, a técnica do método do raio apresenta resultados melho-

res quando é aplicada em meios em que o comprimento de onda seja consideravelmente

menor que as dimensões características de todas as não-homogeneidades do modelo.

Para tentar eliminar ou pelo menos reduzir essas restrições citadas anteriormente,

várias modificações e extensões do método do raio têm sido propostas na literatura.

Entretanto, as restrições apresentadas pelas condições de validade i) e iii) ainda não fo-

ram resolvidas (ĈERVENÝ, 2001). Para a condição ii), algumas variações e extensões

do método do raio têm dado bons resultados em certas regiões de singularidades, onde o

método do raio falha. No entanto, o problema das singularidades continua sendo um dos

problemas mais graves na aplicação do método do raio.

2.2 A Equação Eiconal

Não é surpreendente que sejam encontradas diversas abordagens para definir

raios e a derivação do sistema de traçado de raios na literatura, já que os mesmos estão

presentes em diversos ramos da física. Em especial, CUNHA (2005) apresenta em sua

tese de doutorado diferentes formas de deduzir tais equações.

Uma abordagem mais geral para derivar sistemas sísmicos de traçados de raios,

segundo ĈERVENÝ (2001), é através da solução assintótica para altas frequências da

equação elastodinâmica em meios isotrópicos heterogêneos, no entanto, por mera sim-

plificação, serão obtidas aqui soluções aproximadas de alta frequência apenas para

equação da onda acústica, sem o termo fonte.

Seja a equação da onda acústica bidimensional

onde é o campo de velocidade da onda no meio em função do vetor posição

; é o tempo e representa um sinal tal como pressão.

Como as aproximações assintóticas são realizadas na frequência, optou-se utili-

zar a equação da onda reduzida, chamada também de equação de Helmholtz, obtida

através da transformada de Fourier no tempo aplicada na equação da onda acústica

, isto é,

10

Pela propriedade de diferenciação da transformada Fourier, sabe-se que:

e

onde é o operador transformada de Fourier, e considerando

tem-se a equação de Helmholtz:

De acordo com BOTELHO (1986), a teoria assintótica do raio é baseada na so-

lução aproximada da equação na forma

onde representa a frequência que, por hipótese, assume valores altos; repre-

senta a unidade imaginária; é a função tempo de trânsito e é o

k-ésimo coeficiente da série relacionados à função amplitude.

Para uma solução aproximada em alta frequência será considerado somente o

primeiro termo da série assintótica

Quando a solução é assumida, a aproximação realizada é chamada de aproxima-

ção de ordem zero, onde foi adotado por economia de notação.

11

Inserindo a solução aproximada na equação de Helmholtz , obtem-se

Após realizar algumas manipulações algébricas, a equação pode ser rees-

crita da seguinte forma

onde o operador é o gradiente, definido por

e é a norma do vetor definida por

Da parte imaginária de , obtem-se a equação de transporte

Por outro lado, a partir da parte real de , tem-se

A equação ainda pode ser simplificada, uma vez que é assumida uma apro-

ximação de alta frequência, isto é, é suficientemente grande para que o termo

possa ser ignorado. Logo, baseado nesta hipótese, encontra-se a importante equação

eiconal

Observe que a equação eiconal apresenta apenas informações sobre os tempos de

trânsito , ou seja, representa a parte cinemática da teoria do raio. Por outro lado, a

equação de transporte aborda a parte dinâmica da teoria do raio, fazendo uma relação

entre tempos de trânsito e as amplitudes , indicando como estas quantidades

12

são transportadas. Assim, para encontrar a solução geral do problema, é preciso pri-

meiro encontrar a solução da eiconal e, em seguida, substituí-la na equação de trans-

porte para encontrar a solução para as amplitudes (PORTUGAL 2002).

A utilização dessas duas equações, transporte e eiconal, para descrever a propa-

gação de ondas é chamada teoria dos raios. Neste trabalho, será utilizada somente a

parte cinemática do problema, portanto não serão apresentados mais detalhes sobre a

parte dinâmica do mesmo. Nas próximas seções será dado enfoque à parte cinemática,

ou seja, ao cálculo dos tempos de trânsito e do traçamento de raios.

Em princípio, segundo ĈERVENÝ (2001), a derivação das equações e

para alta frequência de ondas de corpo sísmicas, que se propagam em meios iso-

trópicos suavemente heterogêneos, permanecem as mesmas como no caso acústico. A

aplicação da teoria assintótica do raio à equação elastodinâmica isotrópica produz a se-

paração do campo de onda em duas ondas, que podem se propagar separadamente:

ondas compressionais (ondas primarias) e ondas cisalhantes (ondas secundárias), ou

ondas e ondas . Os tempos de trânsito e o traçamento dos raios para ondas e

ondas são controlados por equações semelhantes à eiconal ), respectivamente,

dadas por

onde as velocidades são dadas por

Aqui e são os parâmetros de Lame e a densidade do meio.

Em gases e líquidos ideais o parâmetro . Logo, pelas equações

observa-se que as ondas cisalhantes não se propagam em fluidos. Este tipo de onda só

ocorre em meios sólidos.

Assim, será utilizada formalmente a mesma equação eiconal

13

tanto para meios acústicos quanto para meios elásticos isotrópicos (ĈERVENÝ, 2001),

onde para o caso acústico, para as ondas no meio elástico, e

para as ondas no meio elástico.

2.3 Sistemas de Equações de Traçado de Raios Cinemático

A equação eiconal representada pela equação é uma equação diferencial

parcial (EDP) não linear, não-homogênea de 1ª ordem para , que pode ser reescrita

em função do vetor , perpendicular à frente onda, definido por

isto é,

O vetor , chamado de vetor vagarosidade, é tangente à trajetória do raio e con-

tém as componentes de vagarosidade ( ) nas direções dos eixos cartesianos

Observam-se na figura as frentes de onda, definidas pelas curvas

para cada instante de tempo (que variando representa o movimento da frente

de onda), e as linhas perpendiculares a (paralelo à ) definindo os raios.

Figura : O caminho do raio na direção do vetor vagarosidade, , ortogonal as frentes

de onda, .

14

A equação pode ser expressa em várias formas alternativas. De modo ge-

ral, a equação eiconal pode ser reescrita da seguinte maneira (ĈERVENÝ, 2001)

onde a função , chamada de Hamiltoniano, pode ser expressa de diferentes modos,

como por exemplo,

A equação pode ser resolvida matematicamente, segundo BLEISTEN

(1984), através do método das características. As características da equação , ou

raios, são curvas ( é algum parâmetro ao longo da trajetória do raio) ao lon-

go do qual é satisfeita, de modo que ao longo de cada raio os tempos de

trânsitos ficam determinados. Estes raios são determinados como solução de um sistema

não linear de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1ª ordem, que podem ser resol-

vidos por diversos procedimentos numéricos. A curva característica é uma solução

chamada de sistema característico de equações diferenciais parciais de 1ª ordem. Esse

sistema característico da equação é dado, segundo ĈERVENÝ (2001), por

O sistema de equações diferenciais ordinárias apresentado em pode ser

utilizado para determinar a trajetoria dos raios e do tempo de trânsito ao longo dos

mesmos. Aqui, este sistema é chamado de sistema de equações de traçado de raios

cinemático ou em algumas ocasiões, por mera simplificação, de sistema de traçado de

raios.

Em um meio bidimensional, o sistema é composto por cinco equações:

quatro equações para e , que geralmente são resolvidas de maneira conjunta;

e mais uma quinta equação, que pode ser resolvida de maneira independente, que forne-

ce o tempo de trânsito . Dependendo da forma específica da função em ,

o parâmetro ao longo da curva característica é modificado, não podendo assim, ser

escolhido arbitrariamente.

15

Em observa-se que é possível expressar a equação eiconal em diferentes

tipos de Hamiltonianos. Uma forma bastante geral do Hamiltoniano, que inclui muitas

outras opções, pode ser dada por

onde teoricamente admite um valor real, mas para aplicações, deve-se considerar

sendo um número inteiro. Note que, para , o Hamiltoniano pode ser

expresso utilizando a regra de L’Hospital por

Portanto, substituindo o hamiltoniano no sistema , para ,

obtem-se

Para cada valor inteiro de no sistema de equações , é encontrado

um diferente sistema de traçado de raios com distintos tipos do parâmetro ao longo

dos raios, o que pode tornar o sistema mais simples ou não, dependendo do tipo de

estudo realizado. A seguir, serão apresentados os principais sistemas de traçado de raios

utilizados na literatura (ĈERVENÝ, 2001), gerados quando assume os valores

inteiros: e .

Para em encontra-se

onde o parâmetro ao longo do raio é denotado por , que é representado da seguinte

maneira

Portanto, o sistema de traçado de raio será completado com as seguintes duas equações

16

Quando , obtem-se substituindo em

isto é, o parâmetro é o próprio tempo de trânsito , portanto o sistema de traçado de

raios fica reescrito a partir das seguintes equações somente

No caso que em , obtem-se

Dessa forma, o parâmetro ao longo do raio será representado pelo comprimento de

arco , que é dado por

Portanto, o sistema de traçado de raios é completado com as duas seguintes equações

Quando é utilizado em , obtem-se o sistema de traçado de

raios na forma aparentemente mais simples, isto é,

onde o parâmetro ao longo do raio é denotado por , que é representado da seguinte

forma

17

Assim, o sistema de traçado de raios fica completo com as equações

Apesar dos diferentes tipos de sistemas de traçados de raios, será dado um pouco

mais de ênfase no caso em que , isto é, no sistema de equações de traçado de raios

cinemático

O sistema de equações diferenciais ordinárias fornece os tempos de trân-

sito ao longo do caminho do raio, diferentemente do que faz a equação eiconal que

fornece os tempos de trânsito ao longo das frentes de onda.

Neste sistema, os raios são definidos pelas quatro primeiras equações de

A quinta equação de rege a propagação do tempo de trânsito ao longo

dos raios

É importante notar que a equação pode ser resolvida junto com o sistema

ou de maneira independente, depois que os raios forem determinados.

Ressalta-se que teoricamente a função velocidade em pode ser de-

finida como qualquer função dependente do vetor posição . Impondo

somente a condição de que seja uma função estritamente positiva, ou seja,

18

. Uma escolha muito comum na literatura é adotar a função velocidade de-

pendendo linearmente de . Isto é,

onde , e são valores constantes.

Destaca-se que neste caso, a distribuição de velocidade é uma função

contínua, ou seja, não apresenta nenhum tipo de descontinuidade, gerado normalmente

por interfaces em alguns modelos de velocidades. No próximo capítulo, serão apresen-

tados mais detalhes sobre modelos de velocidade para aplicação do sistema de traçado

de raios.

2.4 Condições Iniciais para um Raio

Para a obtenção da solução completa dos sistemas de equações de traçados de

raios cinemático, em particular o sistema , são necessárias condições iniciais. Em

geral, as condições iniciais podem ser quaisquer desde que respeitem as unidades.

Neste trabalho, será utilizada a seguinte notação para as condições iniciais do

sistema

Para :

As componentes do vetor vagarosidade inicial não são independentes, elas

devem satisfazer a equação eiconal ) em :

onde .

Se a direção do raio em é especificada em função do ângulo , então as

componentes do vetor vagarosidade podem ser expressas da seguinte forma:

19

Neste caso o parâmetro transversal é interpretado como o ângulo que o vetor

vagarosidade faz com o eixo positivo, veja a figura .

Figura : Condições iniciais do problema

Deste modo, o primeiro conjunto de condições iniciais , , especifica

a posição inicial do raio, o segundo conjunto , , definido em coordenadas

polares em , especifica a direção inicial do raio, e o último , , representa o

tempo de trânsito inicial. Assim, uma vez determinado o conjunto de condições iniciais

para o sistema de equações de traçado de raios cinemático , é possível então

resolvê-lo para obter ao longo do comprimento de arco :

i) A trajetória que descreve o raio sísmico;

ii) O vetor vagarosidade indicando a direção do raio sísmico;

iii) O tempo de trânsito do raio sísmico .

20

CAPÍTULO 3

MODELOS DE VELOCIDADE PARA

TRAÇAMENTO DE RAIOS

Este presente capítulo tem o objetivo de apresentar alguns modelos de velocida-

de bidimensionais onde serão aplicados os sistemas de equações de traçado de raios

cinemático definidos no capítulo anterior. Basicamente, serão tratados dois tipos de mo-

delos (meios) neste trabalho: contínuo e o descontínuo. O meio contínuo é regido

somente por uma função velocidade dependendo das direções e , que representam,

respectivamente, distância e profundidade do modelo. Aqui um meio é chamado de des-

contínuo quando o modelo de velocidade é dividido em camadas, cada uma com

diferentes velocidades. Neste caso, quando uma onda sísmica incide em uma interface

que separa dois meios com propriedades distintas gera-se até quatro ondas (uma refleti-

da e uma refratada para, respectivamente, onda e onda ), portanto se um raio incide

em uma interface sua direção é alterada descontinuamente. Para encontrar as novas di-

reções dos raios, é necessário determinar as novas componentes do vetor vagarosidade

- que indica a direção do raio sísmico - definidas no capítulo anterior,

que são obtidas através da aplicação da Lei de Snell (vide apêndice ) naqueles pontos

onde o raio tem contato com a interface estrutural. Dependendo da escolha do meio con-

tínuo ou descontínuo, mostra-se que é possível encontrar soluções analíticas fechadas

para os sistemas de equações de traçado de raios cinemático.

21

3.1 Geração de Modelos

Os modelos são definidos fundamentalmente a partir da descrição da geometria e

do número de interfaces que o compõem, e também na escolha da função velocidade,

utilizada nos sistemas de equações de traçado de raios cinemático para o cálculo do

tempo de trânsito e do traçamento dos raios. A escolha desses modelos pode ser feita de

maneira bem diversificada, podendo ter um número elevado de interfaces, dobras, fa-

lhas, com elevadas variações de velocidade, etc. Os modelos bidimensionais propostos

para este trabalho serão heterogêneos e isotrópicos, onde o eixo vertical representa a

profundidade, que aumenta no sentido de cima para baixo, e o eixo horizontal represen-

ta a superfície do modelo onde normalmente são posicionados os pontos de tiro.

Uma vez escolhido o modelo de velocidade, é preciso especificar em qual posi-

ção serão inseridos os pontos de tiro (ponto de partida do raio) e de receptores (pontos

de chegada dos raios), em termos dos parâmetros do modelo. Neste trabalho, optou-se

por posicionar o ponto de tiro acima dos pontos receptores (localizados no limite máxi-

mo de profundidade do modelo), mas dependendo do estudo que se deseja realizar,

pode-se posicionar o ponto de tiro abaixo das estações receptoras (localizadas na super-

fície do modelo).

Foi elaborada uma rotina que permite traçar raios tanto com modelos regidos

somente por uma distribuição de velocidade quanto em modelos com interfaces planas

utilizando uma distribuição de velocidade diferente em cada uma das camadas geradas.

É importante ressaltar que os sistemas de equações de traçado de raios cinemático, de-

terminados no capitulo anterior, representam a lei de Snell na forma diferencial e são

aplicáveis somente quando a distribuição de velocidade é continua (SCHNEIDER et al.,

1992). Portanto, em modelos onde a distribuição velocidade é descontínua (devido à

inserção de camadas) deve-se interromper a resolução numérica do sistema de traçado

de raios nos pontos onde o raio tem contato com uma interface do modelo, necessitando

assim, completar a definição desses sistemas com a lei de Snell apresentada no apêndice

em , para encontrar novas condições iniciais para o sistema de traçado de raios.

Em diversas situações é comum que determinado raio atinja alguma das bordas

do modelo. Neste caso o raio não é descartado, o seu traçamento somente será interrom-

pido quando o mesmo entrar em contato com alguma borda.

22

Nas próximas seções serão descritos os tipos de modelos de velocidade utiliza-

dos neste trabalho para o traçamento dos raios e o cálculo do tempo de trânsito dos

mesmos.

3.1.1 Modelo Contínuo

Os modelos contínuos são definidos a partir de uma distribuição de velocidade

contínua dependente das direções (distância) e (profundidade) do modelo.

Teoricamente é possível escolher qualquer distribuição de velocidade dependente do

vetor , entretanto para aplicações práticas, deve-se impor a condição de que seja

uma função estritamente positiva, ou seja, .

Uma escolha muito comum é adotar a distribuição de velocidade dependendo li-

nearmente de . Isto é,

onde , e são valores constantes. Uma vez que simula de maneira bem simples di-

versas situações geológicas, logo será dada ênfase aos modelos contínuos regidos por

distribuições de velocidade desta forma.

A título de ilustração, observa-se na figura a representação de um meio con-

tínuo regido pela função velocidade .

Figura Ilustrando um meio contínuo com distribuição de velocidade

.

23

Considere agora o sistema de equações de traçado de raios cinemático definido

em , dado por

com as seguintes condições iniciais apresentadas na seção :

onde, e .

Tomando uma distribuição de velocidade como em , pode-se reescrever o

sistema como um sistema não-linear de equações diferenciais ordinárias de 1ª

ordem, dado por

com as condições iniciais,

24

Tradicionalmente, a solução do sistema de EDO de 1ª ordem é en-

contrada através de métodos numéricos como o método de Euler e o método de Runge-

Kutta. Todavia, estes métodos em algumas situações, são incapazes de representar des-

continuidades, pois possuem dificuldades de representar uma forte variação no

gradiente de velocidade, gerando assim oscilações numéricas, não presentes na solução

real do problema.

Para diferentes distribuições de velocidade, o sistema não-linear de equações

diferenciais ordinárias pode ser linearizado, conforme é apresentado no Apêndice

. Em particular, linearizando o sistema , é possível reescrevê-lo como um

sistema linear de EDO de 1ª ordem, definido por

onde, e ;

e são matrizes de ordem com elementos constantes reais e vetor constante

. No sistema , as variáveis estão

diretamente relacionadas com as variáveis do sistema

do traçado de raio dado em .

Neste presente trabalho para resolver o sistema será utilizado o método de

Galerkin descontínuo, baseado na formulação de elementos finitos. No próximo capítu-

lo, serão introduzidos mais detalhes sobre este importante método numérico.

3.1.2 Modelo Descontínuo

Até esse momento foi considerado que tanto o raio quanto o tempo de trânsito

são determinados pela resolução do sistema de equações de traçado de raios cinemático

, ou seja, está sendo resolvido um problema de valor inicial, em que o raio é uma

curva que parte de uma posição inicial com uma conhecida direção num determinado

tempo e se propaga em meio sem nenhum impedimento. Contudo, em uma situação

real, quando uma onda sísmica se propaga na terra existe uma complexidade maior,

devido à descontinuidade da velocidade sobre cada interface. Assim, quando a raio (ou

onda) sísmico incide em uma interface que separa dois meios com velocidades distintas,

a mesma pode refletir ou refratar conforme a Lei de Snell (Apêndice ). Logo, a direção

25

do raio é alterada descontinuamente. É necessário, portanto, interromper a resolução

numérica do sistema de traçado de raios e inserir novas condições ao problema aplican-

do a Lei de Snell (condições de contorno do problema) nos pontos onde o raio tem

contato com a interface do modelo, para determinar as novas componentes do vetor va-

garosidade que controlam a direção do raio.

O tipo de meio descontínuo que será tratado neste trabalho é composto por vá-

rias camadas limitadas por interfaces planas (horizontais). A figura ilustra um meio

descontínuo com camadas paralelas de modo geral. Para cada camada do modelo pode-

se utilizar distribuições de velocidade ( ) distintas dependendo da profun-

didade e da distância do modelo.

Figura : Exemplo de um modelo composto por camadas e interfaces; em

cada camada está adotada uma distribuição de velocidade ( ).

Para determinar o vetor vagarosidade da onda refratada (transmitida) será utili-

zada a fórmula

oriunda da Lei de Snell (definida no apêndice ), descartando o caso em que um raio

incide sobre uma interface com um ângulo maior do que a condição do ângulo crítico

, isto é

26

Uma vez que quando essa condição não é satisfeita, não existe raio transmitido2

(pois o mesmo se tornará imaginário) e, por este motivo, será considerado apenas o raio

refletido.

3.1.3 Modelo Analítico

Os sistemas de equações de traçado de raios cinemático definidos no capítulo 2

em serão resolvidos neste trabalho através do método de elementos finitos de

Galerkin descontínuo que será formulado no próximo capítulo. Entretanto, dependendo

da escolha das distribuições de velocidade, estes sistemas de traçados de raios admitem

soluções analíticas (ĈERVENÝ, 2001).

As soluções analíticas para os sistemas de traçado de raios possuem uma grande

importância, principalmente pela facilidade de traçar raios de maneira rápida e precisa.

A seguir serão apresentadas algumas situações em que esses sistemas admitem soluções

analíticas fechadas.

3.1.3.1 Modelos Homogêneos

Um modelo é chamado de homogêneo quando a distribuição de velocidade do

meio é constante, isto é,

onde é constante.

Os sistemas de traçado de raios definidos em para meios homogêneos

admitem uma solução muito simples para qualquer parâmetro ao longo do raio. Em

particular, para a velocidade pode-se escrever solução analítica de , em fun-

ção do comprimento de arco , com as condições iniciais ), como

2 Fisicamente existe raio transmitido, entretanto não consideramos aqui.

27

Note que pela equação é facil verificar que o traçamento dos raios são li-

nhas retas para os meios homogêneos. Observe na ilustração na figura , o traçamento

de raios analíticos para um meio homogêneo com distribuição de velocidade constante

.

Figura : Traçamento de 10 raios a partir da solução analítica com ponto de

tiro . Cada raio possui um ângulo de partida

; e .

3.1.3.2 Modelos Heterogêneos

Os sistemas de traçado de raios definidos em para meios heterogêneos,

admitem uma solução analítica para qualquer parâmetro ao longo do raio, quando é

utilizada uma distribuição de velocidade do tipo

onde é um número inteiro definido no Hamiltoniano ; é um

vetor constante e é vetor posição.

28

Segundo ĈERVENÝ (2001), é possível escrever soluções analíticas para os

sistemas de traçado de raios gerados quando no Hamiltoniano definido em

, por meio da seguinte expressão

onde,

Por outro lado, soluções analíticas para sistema de traçado de raios gerado pelo

Hamiltoniano em com (parâmetro é o próprio tempo de trânsito ), são

dadas por

onde,

Note que as integrais em , e podem ser resolvidas analiti-

camente para qualquer , soluções das mesmas podem ser encontradas em livros de

fórmulas matemáticas, como por exemplo, SPIEGEL e LIU (2004).

Em particular, para a velocidade e , a solução analítica de em

função do comprimento de arco , com as condições iniciais , é escrita da seguinte

maneira

29

onde,

A figura ilustra o traçamento de raios analíticos para um meio heterogêneo

com distribuição de velocidade variando apenas com profundidade

Figura : Traçamento de 10 raios a partir da solução analítica com ponto de

tiro ; cada raio possui um ângulo de partida

; e .

30

CAPÍTULO 4

FORMULAÇÃO GALERKIN

DESCONTÍNUO PARA SISTEMAS

LINEARES DE EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE

1ª ORDEM

Neste capítulo será descrita a metodologia utilizada para resolver numericamente

os sistemas de traçado de raios cinemático apresentados no capítulo . Em particular, é

desenvolvida uma formulação de elementos finitos de Galerkin descontínuo para o sis-

tema de equações de traçado de raios cinemático definido no capítulo em

, linearizado e reescrito como um sistema linear de equações diferenciais ordiná-

rias (EDO) de 1ª ordem. Primeiramente será feita uma breve descrição dos espaços

matemáticos onde a formulação é baseada. Em seguida, é apresentada a formulação

variacional descontínua para sistemas lineares de EDO de 1ª ordem. Por último, a for-

mulação Galerkin descontínuo associada ao mesmo.

Toda a teoria descrita neste capítulo é desenvolvida para o sistema linear de

equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem com as cinco variáveis ( e )

associado ao sistema , no entanto, sem perda de generalidade, é aplicável a qual-

quer sistema linear de EDO de 1ª ordem com variáveis.

O texto foi organizado de maneira bem objetiva, para maiores detalhes sobre o

método de Galerkin descontínuo consulte, por exemplo, JOHNSON (1995).

31

4.1 Espaços Matemáticos

Nesta seção serão definidos alguns espaços matemáticos onde a formulação de

elementos finitos descontínuo é fundamentada.

4.1.1 Produto interno e Norma do Espaço Euclidiano

Dado o espaço Euclidiano , o produto interno e a norma de dois veto-

res e são definidos, respectivamente, por

e

onde e são as coordenadas cartesianas de um ponto qualquer pertencente ao espa-

ço .

4.1.2 Os Espaços de Hilbert e

Seja o subconjunto aberto o espaço das funções de quadrado integrável

em é definido como

onde o espaço é um espaço de Hilbert com produto escalar definido por

com a correspondente norma

32

Seja o subconjunto aberto o espaço das funções de quadrado integrável

com derivadas também quadrado integráveis em é definido por

Este espaço tem produto escalar definido como

com a correspondente norma

4.2 O Sistema de Equações de Traçado de Raios Cinemático

Linearizado

Considere o sistema de traçado de raios cinemático definido em com as

condições iniciais . Uma vez que as equações desse sistema são não lineares, um

esquema iterativo foi desenvolvido para resolver o sistema não-linear como um

sistema linear em cada iteração. Esta não linearidade do sistema é recuperada quando o

número de iterações tende ao infinito (JOHNSON, 1995).

Assim, através de um processo de linearização (veja Apêndice deste trabalho)

é possível reescrever o sistema como um sistema linear de EDO de 1ª

ordem, um problema de valor inicial definido por

onde, e ; é

uma matriz identidade; uma matriz com elementos constantes reais de ordem e

um vetor constante, respectivamente, dados por

33

No sistema , as variáveis estão di-

retamente relacionadas com as variáveis do sistema

do traçado de raio dado em .

Para resolver o sistema linear em cada iteração, será aplicado o método de

Galerkin descontínuo, baseado na formulação de elementos finitos. Nas próximas se-

ções será desenvolvida a formulação do método de Galerkin descontínuo, mas antes,

serão destacadas algumas características deste rico método numérico.

4.3 Características do Método de Elementos Finitos de Ga-

lerkin Descontínuo

O método de elementos finitos de Galerkin descontínuo é uma variação do mé-

todo de elementos finitos, onde as funções de aproximação utilizadas são descontínuas

entre os elementos adjacentes, consequentemente, os graus de liberdade de cada ele-

mento são independentes do elemento vizinho. A continuidade da solução entre os

elementos é imposta de maneira fraca na formulação variacional, por meio de termos

integrais sobre a fronteira dos elementos. Portanto, o método de Galerkin descontínuo é

um método local, ou seja, permite que as soluções sejam obtidas elemento por

elemento. O cálculo necessário para cada elemento é essencialmente feito da mesma

forma que no método elementos finitos contínuo. Além disso, de modo análogo ao caso

contínuo, a formulação de Galerkin descontínuo é obtida quando as funções de

interpolação são as mesmas usadas tanto para solução aproximada quanto para as

funções de ponderação.

34

Basicamente, o método de elementos finitos de Galerkin descontínuo utiliza os

mesmos princípios do método de elementos finitos contínuo, as diferenças se apresen-

tam na construção de formulação variacional, onde não é assumida a continuidade entre

os elementos, e na definição do espaço de aproximação utilizado. A seguir são apresen-

tados os principais passos utilizados na aplicação deste método.

i) Construção de uma formulação variacional descontínua;

ii) Definição dos espaços de aproximação;

iii) Aplicação de uma aproximação Galerkin Descontinuo;

iv) Resolução do sistema algébrico construído;

v) Análise dos resultados obtidos.

O método de Galerkin descontínuo possui diversas vantagens, pois é um método

localmente conservativo, estável, paralelizável, apresenta também uma alta ordem de

precisão, que depende apenas da solução exata do problema, adapta-se facilmente a

geometria complexas e malhas irregulares, podendo-se refinar ou desrefinar as malhas

com certa facilidade, e ainda suportam aproximações com polinômios de diferentes

graus em diferentes elementos construídos (COCKBURN, 2003).

4.4 Formulação Variacional Descontínua para o Sistema Li-

near de EDO de 1ª Ordem

Seja o problema de valor inicial sobre um domínio , para , de-

finido pelo sistema linear de EDO de 1ª ordem e suas condições iniciais , também

conhecido como forma forte.

Discretizando o domínio de modo que

Considera-se cada subdivisão de em intervalos , chamados

também de elementos, vide figura , com tamanho , onde

.

35

Figura : Esboço da malha de elementos finitos com definição dos nós e numeração

dos elementos.

Antes de apresentar a formulação variacional do sistema proposto, é necessário

definir o operador de descontinuidade espacial de uma função , também conhecido

como operador de salto (JOHNSON, 1995), dado por

ou seja,

onde, para :

e

A figura , ilustra esquematicamente o operador de salto para funções lineares

. Observe que as funções são continuas apenas dentro dos intervalos

, , sendo descontínuas somente entre dois intervalos con-

secutivos.

36

Figura : Operador de salto de uma função .

Seja o conjunto dos polinômios definido em , com grau

no máximo , tal que

onde as coordenadas locais são definidas como

e, portanto, . Essa relação equivale a transformação de da coordenada

para a coordenada como observa-se na figura .

Figura : Parametrização de um elemento definido sobre para um

elemento local definido sobre .

Considere também como sendo o espaço polinomial definido por

A formulação variacional ou forma fraca pode ser obtida através da aplicação do

Método de Resíduos Ponderados ao sistema , onde é admitido um vetor de funções

de ponderação , resultando em:

37

Encontrar o vetor para cada ( ), tal que:

onde, “ ” é o produto escalar apresentado na seção e é o espaço definido por

e é um vetor definido como

em que é uma matriz de ordem qualquer, e assume na linha e zero nas

outras linhas. Para exemplificar essa definição, considere o caso em que linha ,

portanto, tem-se o vetor assumindo a seguinte forma

Diferentemente do método de elementos finitos contínuo, onde a continuidade do

elemento é forçada, o método descontínuo relaxa esta exigência, impondo a

continuidade de maneira fraca.

Aplicando integração por partes em , encontra-se

Admitindo que seja descontínuo nos limites do intervalo e conside-

rando os termos de descontinuidade definidos em , aplica-se a seguinte condição

de contorno natural (fraca) na fronteira de (HULSEN, 1991):

38

Assim, substituindo em ), tem-se

Por outro lado, aplicando integração por partes em , encontra-se

Utilizando novamente a condição de contorno fraca na fronteira , ou seja,

e substituindo em ), chega-se a seguinte formulação variacional descontí-

nua para o sistema , para cada ( ):

A seção a seguir é dedicada à solução numérica via elementos finitos Galerkin

descontínuo.

4.5 Formulação Aproximada pelo Método de Elementos

Finitos Galerkin Descontínuo

Seja o conjunto de todas as funções admissíveis de dimensão finita, defini-

do por

39

consequentemente, é definido também

Aqui, é denotado como sendo a restrição de sobre .

Para cada elemento , , da formulação variacional ob-

tida em , são aproximados

por

e

por

Ressalta-se que a aproximação é descontínua apenas nas fronteiras do intervalo

. Desse modo, substituindo e na equação apresentada em

, a seguinte formulação é obtida:

Encontrar o vetor para cada ( ), tal que:

ou ainda, passando para o lado direito os termos conhecidos

Através da parametrização do elemento da coordenada global

para a coordenada local definidas em , são obtidos

Assim, pode-se reescrever a formulação do seguinte modo

40

Observe na figura que para os elementos , pertence ao elemen-

to “ ”, enquanto, ao elemento “ ”, portanto, em coordenadas locais, deve-se

tomar e

.

Figura : Representação esquemática de um elemento em coordenadas

locais.

Note que, para o primeiro elemento , não existe elemento antecessor,

veja figura . Logo, deve-se considerar as condições iniciais do problema, isto é,

Figura : Representação esquemática para o primeiro elemento em coordena-

das locais.

41

Logo, o processo para resolução do problema é dado da seguinte forma:

i) Para o primeiro elemento , considera-se , assim é

calculado em . Daí obtém-se ;

ii) Em seguida, utilizando , é calculado em . Daí encontra-se

;

iii) Aplica-se então o procedimento anterior para todos os intervalos consequen-

tes até o cálculo de em .

Considerando em , definido como

onde cada é dado por

Portanto,

fica determinado por

Aqui, simboliza o número total de pontos utilizados para o elemento

em relação à variável , veja figura . Os termos

representam as funções de

interpolação determinadas por polinômios de Lagrange de grau , nas

coordenadas locais , definidos por

42

onde,

Note que,

Figura : Número total de pontos utilizados para o elemento em relação à variável .

Considerando o vetor definido como

onde

em que assume na linha e zero nas outras linhas.

Assim, substituindo os vetores e na equação , pode-se rees-

crever o sistema de uma maneira que a formulação de elementos finitos Galerkin

descontínuo consiste em:

43

Encontrar

onde , tal que

44

Vale ressaltar no sistema a flexibilidade do método de Galerkin descontí-

nuo, onde para cada intervalo , com tamanho , é

possível utilizar uma aproximação com polinômios de graus diferentes. Portanto, pode-

se desenvolver uma malha adequada com graus de polinômios.

Note também que o método de Galerkin descontínuo permite realizar uma apro-

ximação multi-grau, isto é, para cada elemento , pode-se usar uma

aproximação polinomial diferente em cada grau de liberdade do sistema (variáveis

,

, do sistema ).

Figura : Esquematização da aproximação com polinômios de diferentes graus para

cada uma das variáveis do sistema.

45

Deste modo, se algum grau de liberdade do sistema tende a variar mais lentamente

do que os outros, será possível utilizar uma interpolação com polinômios com grau me-

nor do que os demais. Por outro lado, se um grau de liberdade varia mais rapidamente, o

grau dos polinômios de interpolação do mesmo pode ser aumentado. Consequentemen-

te, por meio deste enriquecimento diferenciado nos graus de liberdade é possível se

obter uma boa economia computacional sem perdas de precisão dos resultados.

A flexibilidade do enriquecimento diferenciado nos graus de liberdade (possibili-

dade de trabalhar conjugando a malha, igualando o polinômio de acordo com a

necessidade dos graus de liberdade) permitida pelo método de Galerkin descontínuo,

pode ser observada na figura , onde são apresentadas esquematicamente algumas

situações na qual se pode trabalhar: em cada elemento será possível utili-

zar aproximações com polinômios de graus diferentes para cada variável do sistema

. No caso apresentado na figura , estão sendo utilizadas para as variáveis

e

, aproximações com funções polinomiais de grau

e , respectivamente. Isto sugere a possibilidade de diversas pesquisas para se estabe-

lecer qual deve ser o grau do polinômio adequado para interpolar cada variável do

problema usando intervalos de espaço maiores.

46

CAPÍTULO 5

APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS

Neste capítulo serão apresentados os resultados e as respectivas análises da apli-

cação do método de Galerkin descontínuo aos sistemas de traçado de raios cinemático

definidos no capítulo em alguns modelos de velocidade expostos no capítulo .

Inicialmente, visando avaliar a precisão dos resultados numéricos obtidos, serão utiliza-

dos modelos de velocidade que admitem solução analítica fechada. Dessa forma, será

possível analisar a influência de alguns parâmetros do método, como refinamento ou

não da malha e\ou a escolha do melhor grau de polinômio interpolação para cada grau

de liberdade do sistema. No fim, para modelos de velocidade que não possuem solução

analítica, será realizada uma comparação com resultados alcançados pelo simulador de

traçado de raios (MARGRAVE, 2003), criado a partir do consórcio CREWES (2011)

(The Consortium for Research in Elastic Wave Exploration Seismology at the Univer-

sity of Calgary), que utiliza método de Runge-Kutta de quarta ordem (PRESS et al.,

1992), maiores detalhes sobre este simulador de traçado de raios são apresentados no

apêndice deste trabalho.

47

5.1 Traçando Raios em Modelos Analíticos

Os exemplos seguintes tratam do traçamento dos raios e da obtenção dos tempos

de trânsito a partir do sistema de equações de traçado de raios cinemático em relação ao

comprimento de arco em modelos regidos por distribuições de velocidades que

possibilitam obter soluções analíticas fechadas, com intuito de validar a metodologia

proposta para o trabalho. Serão analisados dois tipos de modelo analítico: contínuo

(modelo homogêneo e heterogêneo) e o descontínuo (modelo heterogêneo composto por

camadas) expostos no capítulo deste trabalho.

5.1.1 Modelo Homogêneo

O primeiro exemplo destaca o modelo de velocidade mais simples, o modelo

homogêneo, o mesmo empregado na seção , regido por uma função de velocida-

de constante dada por

Este exemplo tem a finalidade avaliar a precisão do método de Galerkin descontínuo na

obtenção dos raios e os respectivos tempos de trânsito.

Parâmetro Valor Descrição

(10,10) Posição inicial do raio

46 Número de raios lançados

Ângulo inicial de cada raio lançado

Incremento do comprimento de arco

Número de pontos por elemento para variável





Tabela : Parâmetros utilizados na implementação do método de Galerkin descontí-

nuo para o modelo com distribuição de velocidade dada por .

48

A tabela descreve os parâmetros empregados na implementação do método.

Neste caso, é utilizado um intervalo de espaço ( ) e os mesmos números de

pontos ( ) para cada variável do sistema. A figura ilustra o traçamento dos

raios a partir dos parâmetros expostos na tabela .

Figura 5.1: Traçamento de raios obtidos pelo método de Galerkin descontínuo com os

parâmetros descritos na tabela com distribuição de velocidade dada em .

Figura : Traçamento do raio obtido pelo método de Galerkin descontínuo do raio

, com ângulo inicial

, e distribuição de velocidade dada por .

49

(a) Variável (b) Variável

(c) Variável (d) Variável

(e) Variável

Figura : Erro absoluto entre a solução analítica e a solução numérica obtida pelo mé-

todo de Galerkin descontínuo para o raio com ângulo inicial

.

Na figura são apresentados esquematicamente os gráficos que representam

para cada uma das variáveis do sistema de traçado de raios os erros absolutos entre a

solução analítica, definidas na seção , e a solução numérica obtida pelo método

de Galerkin descontínuo com os parâmetros informados na tabela para o raio ,

50

com ângulo inicial , e distribuição de velocidade dada em , ilustrado na

figura . Observa-se que para variável tempo de trânsito, , o erro é nulo, de modo

semelhante, o erro é praticamente zero para as variáveis responsáveis pela direção do

raio, e , que são limitadas somente pela aproximação numérica das funções trigo-

nométricas seno e cosseno de realizada pelo programa implementado. Apesar de o

erro ser um pouco maior, as variáveis e também são aproximadas de maneira bas-

tante significativa.

5.1.2 Modelo Heterogêneo

O sistema para meios com distribuições de velocidades analíticas, defini-

dos na seção , será reescrito como um sistema linear de equações diferenciais

ordinárias (Apêndice ) e resolvido numericamente através da metodologia desenvolvi-

da no capítulo . Para o modelo heterogêneo será utilizada a seguinte distribuição de

velocidade

Na tabela estão contidos os parâmetros utilizados na implementação do mé-

todo, enquanto a figura ilustra o modelo de velocidade gerado pela função e o

traçamento de raios a partir destes parâmetros.





Incremento do comprimento de arco






Tabela : Parâmetros utilizados no método de Galerkin descontínuo para o modelo

com distribuição de velocidade dada por .

51

Figura : Traçamento de raios obtidos pelo método de Galerkin descontínuo com pa-

râmetros descritos na tabela com distribuição de velocidade dada por .




A seguir são apresentados na figura os gráficos representando para cada

uma das cinco variáveis do sistema de traçado de raios, os erros absolutos entre a solu-

ção analítica, definidas na seção , e a solução numérica obtida pelo método de

Galerkin descontínuo com os parâmetros dados na tabela para o raio , com

52

ângulo inicial

, e distribuição de velocidade dada por , ilustrado na figura

.



(e) Variável


todo de Galerkin descontínuo para o raio , com ângulo inicial

.

53

Pela figura , novamente pode-se observar que o método de Galerkin descon-

tínuo aproxima mais precisamente as variáveis , e do que as variáveis e do

sistema de traçado de raios. Pode-se concluir que as variáveis referentes à direção do

raio e o tempo de trânsito são “menos sensíveis” do que o par responsável pelo

traçamento dos raios. Com intuito de validar esta hipótese, será proposto um modelo de

velocidade hipotético, com fortíssima variação de velocidade, de modo a testar a preci-

são do método e a influência da interpolação com polinômios diferentes para cada

variável do sistema.

Considere agora o modelo heterogêneo regido pela seguinte distribuição de ve-

locidade





Incremento do comprimento de arco ( )







com distribuição de velocidade dada por .

A tabela descreve os parâmetros utilizados na implementação do método.

Neste caso é fixado um intervalo de espaço ( ) e os mesmos números de

pontos ( ) para cada variável do sistema. Na figura são apresentados o traçamen-

to dos raios através do método de Galerkin descontínuo usando os parâmetros

expostos na tabela .

54

Observe pela figura que neste modelo de velocidade os raios não conseguem

atingir o fundo do modelo, isso é causado devido a forte variação de velocidade imposta

pela função velocidade .

Figura : Traçamento de raios obtidos pelo método de Galerkin descontínuo com pa-

râmetros descritos na tabela com distribuição de velocidade dada por .




55



(e) Variável


todo de Galerkin descontínuo para o raio , com ângulo inicial

.

Observa-se na figura que as variáveis e são aproximadas com menor pre-

cisão que as demais. Dessa forma, será fixado o número de pontos por elemento das

56

variáveis , e e o número de pontos por elemento para as variáveis e , será

enriquecido conforme apresenta a tabela .

Parâmetro Valor

Tabela : Número de pontos por elemento de cada variável.

O resultado encontrado para as variáveis e do sistema de traçado de raios é

exposto na figura , nota-se que a aproximação é melhor após a interpolação com

polinômios de grau cinco. No entanto, observa-se que a precisão não é significadamente

melhorada em relação à interpolação por polinômios lineares para o último ponto da

malha de cada elemento.


Figura : Erro absoluto entre a solução analítica e a solução numérica obtida pelo

método de Galerkin descontínuo com enriquecimento diferenciado nos graus de liber-

dade como descrito pela tabela .

A possibilidade de utilizar uma aproximação polinomial diferente em cada grau

de liberdade do sistema é uma das grandes vantagens do método de Galerkin descontí-

57

nuo. Isto permite uma redução do esforço computacional, uma vez que é possível esco-

lher diferentes aproximações por elemento em cada uma das variáveis do sistema.

Figura : Ampliação de uma região do traçado dos raios obtidos pelo método de

Galerkin descontínuo com diferentes aproximações polinomiais nas variáveis e para

o raio , com ângulo inicial


Na figura , observa-se o traçamento do mesmo raio pelo método de

Galerkin descontínuo utilizando aproximações com polinômios de grau um, dois, três,

quatro e cinco para as variáveis e do sistema. Quanto maior é o número de pontos

em cada elemento, melhor aproximada é a trajetória do raio, vide figura . Contudo,

58

destaca-se o fato do método de Galerkin descontínuo aproximar precisamente sempre o

último ponto da malha de cada elemento independente do número de pontos utilizados.

Isto significa que não importa o grau do polinômio adotado para fazer a interpolação, ou

seja, usando uma aproximação com polinômio de grau linear obtém-se um resultado

semelhante à aproximação com polinômio de grau cinco para o último ponto da malha,

com uma economia de tempo de execução do programa com poucas perdas de precisão.

(a) Polinômios de grau um e dois. (b) Polinômios de grau um e três.

(c) Polinômios de grau um e quatro. (d) Polinômios de grau um e cinco.

Figura : Comparação entre o traçado dos raios obtidos pelo método de Galerkin

descontínuo utilizando polinômios de grau um com polinômios de maior grau, para o

raio , com ângulo inicial


Por outro lado, o refinamento da malha mostrou resultados melhores do que o

aumento dos graus dos polinômios de interpolação para o cálculo do último ponto da

59

malha de cada elemento. Utilizando para o mesmo raio analisado anteriormente o valor

, os resultados encontrados com são expostos na

figura . Observa-se uma melhora significativa nos resultados obtidos, em especial

nas variáveis , e , com o refinamento da malha de elementos finitos descontínuos.



(e) Variável

Figura : Erro absoluto entre a solução analítica e a solução numérica obtida pelo

método de Galerkin descontínuo para o raio , com ângulo inicial

.

60

5.1.3 Modelo com Interfaces Planas

O próximo exemplo, envolvendo modelo com interfaces planas, tem a finalidade

de apresentar a influência do refinamento da malha de elementos na obtenção dos pon-

tos de incidência dos raios na interface do modelo para determinar as novas

componentes do vetor vagarosidade , que controlam a direção do raio.

Considere o modelo com interfaces planas, como apresentado na seção ,

composto por sete camadas regidas por distribuições de velocidade homogêneas distin-

tas, ilustrado na figura . Note que, intencionalmente é adicionada ao modelo de

velocidade uma camada com forte variação de velocidade, , com intuito

de analisar o comportamento dos raios que irão incidir com esta anomalia.

Figura : Modelo composto por sete camadas e nove interfaces planas.

Na tabela constam os parâmetros para o traçamento de raios pelo método

de Galerkin descontínuo. Inicialmente, será fixado um intervalo de espaço

com um aumento do número de pontos por elemento das variáveis e do sistema de

traçado de raios para uma melhor aproximação da trajetória do raio. O resultado é apre-

sentado na figura . Observe que apenas um grupo de raios (destacado pela cor

preta) conseguiu atingir o fundo do modelo, a outra parte dos raios não cruzou todas as

interfaces do modelo, isto já era esperado, uma vez que os ângulos de incidência destes

61

raios eram maiores que a condição de ângulo crítico , portanto, não existe raio

transmitido e apenas o raio refletido.












com interfaces planas apresentado em .

Figura : Traçamento de raios obtidos pelo método de Galerkin descontínuo com

parâmetros descritos na tabela no modelo de velocidade ilustrado em .

62

Considerando os raios que alcançaram o fundo do modelo de velocidade ,

será realizada uma comparação do último ponto obtido no traçado destes raios, isto é, o

ponto de chegada , com os pontos obtidos analiticamente através da solução

para meios homogêneos e aplicação da Lei de Snell (Apêndice ). Primeiro,

serão obtidos estes pontos fixando o valor de para toda malha de elementos

descontínuos como exposto na tabela . Em seguida, são obtidos os pontos através do

traçamento destes mesmos raios por meio de uma malha adaptada com na

maior parte do modelo de velocidade, sendo refinada apenas por nas pro-

ximidades do raio com as interfaces do modelo de velocidade, com finalidade de obter

mais precisamente os pontos de incidência para aplicação das novas condições iniciais

do sistema de traçado de raios, vide a figura .

Figura : Traçamento de raios obtido pelo método de Galerkin descontínuo,

com ângulo inicial

, utilizando malha de elementos adaptada.

Os pontos finais obtidos utilizando malha fixa e adaptada são apresentados na

tabela juntamente com pontos finais analíticos. Note a maior precisão alcançada

pela malha adaptada, uma vez que os pontos de incidência em cada interface são obtidos

com maior exatidão do que a malha fixa, devido ao refinamento nas proximidades das

63

interfaces. Com isso consegue-se além da maior precisão, um ganho computacional,

uma vez que não é necessário utilizar intervalos de comprimento de arco pequenos para

meios homogêneos, como se observa na seção , para obter uma boa precisão.

Ângulo Inici-

al do Raio

(Graus)

Distância aproximada

pelo MGD com interva-

lo fixo


pelo MGD com inter-

valo adaptado

Distância calculada

analiticamente

com a lei de Snell

73° 720,75561426 722,21126984 722,21280282

74° 589,87208737 590,31110204 590,31115324

75° 516,87121799 516,75078361 516,75077479

76° 461,88590885 461,79774448 461,79775931

77° 415,76671189 415,82952947 415,82943308

78° 375,03055563 375,13270264 375,13234837

79° 338,42044290 337,89920997 337,89924210

80° 303,23967769 303,11293188 303,11302490

81° 270,16615887 270,14003431 270,13984667

82° 238,58485973 238,55296126 238,55307416

83° 208,08033737 208,04753623 208,04738408

84° 178,37967512 178,39292933 178,39283054

85° 149,44918846 149,40846930 149,40843076

86° 121,05230626 120,94593462 120,94601485

87° 92,80856683 92,87976205 92,87979401

88° 65,10503023 65,09931324 65,09925433

89° 37,50499261 37,50404843 37,50403620

Tabela : Pontos de chegada dos raios analíticos e dos raios obtidos pelo

método de Galerkin descontínuo com malha fixa e adaptada.

64

5.2 Traçando Raios em Modelos Não-Analíticos

Para modelos não analíticos, será utilizada a distribuição de velocidade

que depende linearmente da profundidade e distância do modelo. Os resultados obtidos

pelo método de Galerkin descontínuo serão comparados com os resultados calculados

pelo simulador de traçado de raios do consórcio CREWES (vide apêndice ). Para rea-

lizar esta comparação, optou-se em aplicar o método de Galerkin descontínuo tanto ao

sistema de equações de traçado de raios cinemático em função do comprimento de arco

como ao sistema de equações de traçado de raios cinemático em função do

tempo de trânsito , com intuito de utilizar ométodo de Galerkin descontínuo

com um mesmo intervalo temporal que o simulador de traçado de raios CREWES, que

usa somente o sistema de traçado de raios em relação ao tempo de trânsito para obten-

ção dos raios.

Vale ressaltar que da mesma forma que o sistema , o sistema de traçado

de raios cinemático em função do tempo de trânsito para meios com distribui-

ções de velocidade lineares, foi reescrito como um sistema linear de equações

diferenciais ordinárias (Apêndice ) e resolvido numericamente através da metodologia

desenvolvida no capítulo .











Tabela : Parâmetros utilizados pelo MGD na resolução do sistema de traçado de

raios para distribuição de velocidade ( ).

65

Para realizar as comparações será considerado um modelo regido pela seguinte

distribuição de velocidade

utilizada para obtenção dos raios através dos sistemas de equações de traçado de raios

cinemático e através do MGD e também pelo simulador de traçado de

raios CREWES. As tabelas e apresentam os parâmetros utilizados pelo MGD e

o simulador de traçado de raios CREWES, para resolver o sistema de traçado de raios

.





Incremento do tempo de trânsito ( )





Tabela : Parâmetros utilizados pela MGD na resolução do sistema de traçado de

raios para distribuição de velocidade ( ).





Incremento do tempo de trânsito ( )

Tabela : Parâmetros utilizados pelo simulador de traçado de raios CREWES para

distribuição de velocidade ( ).

66

Figura : Traçado dos raios obtidos pelo método de Galerkin descontínuo e o simu-

lador CREWES para os respectivos parâmetros expostos nas tabelas , e .

O traçamento dos raios obtidos através das três metodologias consideradas é

apresentado na figura . Note que é muito difícil distinguir os raios obtidos grafica-

mente, pois os resultados alcançados foram muitos próximos. Logo, uma região do

modelo é ampliada de modo que seja possível visualizar com maiores detalhes a dife-

rença entre os raios obtidos pelos três procedimentos utilizados. Como esperado, o

traçado do raio pelos sistemas e através do MGD são praticamente iguais,

pois independente do parâmetro ao longo da trajetória do raio escolhido , o re-

sultado, teoricamente, deve ser o mesmo. Note também, que os resultados se

comparados com o simulador de traçado de raios CREWES são bastante próximos, o

67

que indica que a formulação do método de Galerkin descontínuo para os sistemas de

equações de traçado de raios cinemáticos e está coerente.

A tabela lista os últimos pontos alcançados pelos raios da figura , atra-

vés das três metodologias utilizadas. Os resultados obtidos pelo MGD se apresentam

muitos próximos do simulador de traçado de raios do consórcio CREWES, no geral, a

diferença entre as duas metodologias está em torno de duas casas decimais. Contudo,

não é possível afirmar qual resultado é o mais próximo da solução real, uma vez que a

mesma não é conhecida para este caso.

Ângulo Inici-

al do Raio

(Graus)


pelo MGD com


pelo MGD com

Distância aproxima-

da pelo simulador

CREWES com

73° 996,25427561 996,25425877 996,250619026

76° 867,97296511 867,97298571 867,971422829

79° 755,79497954 755,79492951 755,792198463

82° 652,75669559 652,75668630 652,755836659

85° 554,40853926 554,40854226 554,407876883

88° 457,32143866 457,32148638 457,320981902

91° 358,27824576 358,27826318 358.277174711

94° 253.56764387 253.56762859 253,567287045

97° 137,95389864 137,95382610 137,954747924

100° 2,31735633 2,31734383 2,31921693

Tabela : Pontos de chegada dos raios obtidos através das três metodolo-

gias consideradas.

68

CAPÍTULO 6

CONSIDERAÇÕES FINAIS

6.1 Conclusões

Neste trabalho foi desenvolvida uma nova metodologia, uma formulação Galer-

kin descontínuo com enriquecimento diferenciado nos graus de liberdade, para resolver

numericamente os sistemas de equações de traçado de raios cinemático em modelos de

velocidades contínuos e descontínuos, com a finalidade de obter o traçamento de raios e

os cálculos do tempo trânsito.

Ressalta-se que para aplicação do método de Galerkin descontínuo, foi desen-

volvido um esquema iterativo para resolver o sistema de traçado de raios como um

sistema linear em cada iteração (vide Apêndice ), e pelos resultados obtidos no capítu-

lo observa-se que a não linearidade do sistema pode ser considerada recuperada.

As análises realizadas no capítulo através de exemplos com modelos de velo-

cidade que admitem soluções analíticas (seção ) mostram que a precisão dos

resultados obtidos via a metodologia desenvolvida no capítulo é muito satisfatória.

Apesar de estes exemplos serem úteis somente para avaliar o método, acredita-se que a

metodologia utilizada alcançou um bom desempenho. Estes exemplos possibilitaram

também verificar algumas vantagens do método de Galerkin descontínuo, como a flexi-

bilidade de poder aumentar o grau do polinômio de interpolação das variáveis mais

sensíveis do sistema, com intuito de alcançar melhor precisão e custo computacional.

69

Nos exemplos estudados as variáveis que apresentaram ser um pouco “mais sen-

síveis” que as demais foram as relacionadas ao traçamento dos raios, ou seja, as

variáveis e do sistema de traçado de raios. Por isso, foi utilizado nestas variáveis

um enriquecimento diferenciado, isto é, uma aproximação com polinômios de graus

maiores dos usados nas demais variáveis. Contudo, os resultados obtidos não tiveram

diferenças significativas na aproximação do último ponto da malha do elemento entre os

testes realizados com a formulação de Galerkin descontínuo utilizando polinômios de

grau um, dois, três, quatro ou cinco. Somente no modelo de velocidade hipotético, com

fortíssima variação de velocidade, esse enriquecimento obteve uma leve melhora no

resultado, porém não muito significativa. Portanto, não importou o grau do polinômio

adotado para fazer a interpolação, isto é, utilizando uma aproximação com polinômio de

grau linear obteve-se resultados semelhantes aos encontrados pela aproximação com

polinômio de grau cinco para o último ponto da malha, com uma economia de tempo de

execução do programa com poucas perdas de precisão. Melhores resultados foram obti-

dos somente quando a malha de elementos finitos descontínuos foi refinada. Uma das

conclusões que se pode tirar deste fato é que os polinômios de interpolação utilizados

(polinômios de Lagrange) talvez não sejam a melhor função de interpolação a ser ado-

tada para aproximar estas variáveis. Isto destaca uma grande vantagem do método de

Galerkin descontínuo, que além de poder mudar o grau do polinômio de interpolação

para cada variável do sistema, pode-se também pesquisar qual a melhor função de inter-

polação para aproximar determinada variável do sistema. Tudo isto indica a

potencialidade do método utilizado neste trabalho.

Outra vantagem do método de Galerkin descontínuo foi aproveitada na seção

, onde se realizou um refinamento da malha de elementos finitos descontínuos em

algumas regiões do modelo de velocidade, onde era necessária uma melhor precisão.

Acredita-se que a flexibilidade de poder refinar determinadas regiões da malha de ele-

mentos descontínuos seja alvo de muitas pesquisas posteriores.

No geral, a resolução numérica do sistema de traçado de raios pelo método de

Galerkin descontínuo parece ser muito significativa, como mostra a comparação reali-

zada no exemplo da seção com o simulador de traçado de raios do consórcio

CREWES, uma ferramenta utilizada por muitas indústrias parceiras deste grupo. Os

resultados obtidos pelas duas metodologias foram muito semelhantes, no entanto, não

foi possível estabelecer qual dos métodos estava mais próximo da solução real do pro-

70

blema, uma vez que este simulador de traçado de raios CREWES não permite realizar

testes em modelos que possuem solução analítica.

Algo que não foi considerado neste trabalho foi o tempo computacional total

gasto para construção dos raios nos modelos de velocidades apresentados, uma vez que

não haveria nenhuma contribuição para o mesmo, já que a rapidez com que o método

resolveu os problemas atende às expectativas. Por exemplo, para traçar um raio, mesmo

utilizando uma malha relativamente refinada ou , o tempo

gasto por uma CPU de um computador pessoal não ultrapassou alguns segundos.

6.2 Trabalhos Futuros

Uma vez que a formulação de Galerkin descontínuo para os sistemas de equa-

ções de traçado de raios cinemático apresenta boas expectativas, devido aos bons

resultados obtidos nos modelos de velocidade propostos, sugere-se como trabalhos futu-

ros duas abordagens, a saber:

i) quanto ao método de Galerkin descontínuo:

1) Utilização de outras funções de interpolação que não sejam polinômios

de Lagrange, com intuito de melhorar ainda mais os resultados.

2) Criar uma interface gráfica em C++ para facilitar a geração de modelos

de velocidade e o traçamento dos raios no mesmo pelo usuário do pro-

grama.

3) Desenvolvimento de um algoritmo adaptativo que ajuste automaticamen-

te o tamanho da malha de acordo com a curvatura do raio, isto é, em

regiões de forte gradiente no campo de velocidade, com intuito de obter

um melhor custo computacional sem nenhuma perda de precisão numéri-

ca.

ii) quanto à aplicação da formulação desenvolvida:

1) Avaliação do traçado de raios em modelos de velocidade mais comple-

xos, isto é, com geometrias mais complicadas, modelos com camadas

inclinadas, curvas (utilizando splines cúbicas), etc., simulando assim de

maneira mais próxima uma situação real.

71

2) Extensão da metodologia desenvolvida para meios anisotrópicos.

3) Realizar comparações com os resultados obtidos pelo pacote Seis88 de-

senvolvido por ČERVENÝ e PŠENČÍK (1988), uma das principais

referências na literatura em se tratando de traçado de raios.

4) Adaptar e implementar toda a teoria exposta para resolução do sistema

de equações de traçado de raios cinemático em modelos tridimensionais.

5) Resolver também a parte dinâmica oriunda da equação eiconal, com in-

tuito de obter solução geral da mesma.

6) Utilizar os resultados obtidos pelo sistema de traçado de raios em aplica-

ções na sismologia e prospecção sísmica. Como exemplos das principais

aplicações podem-se citar:

Na migração reversa no tempo (BAYSAL et al., 1983; SILVA,

2002) para melhor imagear o campo de velocidades sísmicas.

Na migração e modelagem sísmica do tipo Kirchhoff, que neces-

sitam dos tempos de trânsito de um raio para o cálculo da função

de Green.

Nos métodos sísmicos de refração e reflexão.

72

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BAYSAL, E., KOSLOFF, D. D., SHERWOOD, J. W. C., 1983, “Reverse Time

Migration”, Geophysics, v. 48, pp. 1514-1524.

BLEISTEIN, N., 1984, Mathematical Methods for Wave Phenomena. New York, Aca-

demic Press.

BOTELHO, M. A. B., 1986, Modelamento Sísmico na Bacia do Recôncavo usando a

Técnica de Traçamento dos Raios. Tese de Doutorado, Universidade Federal

da Bahia, Salvador-BA, Abril.

BOTTCHER, K., RANNACHER, R., 1996, Adaptive error control in solving ordinary

differential equations by the discontinuous Galerkin method, Report, Institute

of Applied Mathematics, University of Heidelberg.

ČERVENÝ, V., 1985, “Ray Synthetic Seismograms for Complex Two- and Three-

Dimension Structures”, J. Geophysic, v.58, pp 2-26.

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76

APÊNDICE A

LINEARIZAÇÃO DO SISTEMA DE

EQUAÇÕES DE TRAÇADO DE RAIO

CINEMÁTICO

Neste apêndice é descrita à técnica de linearização para alguns sistemas não linea-

res de equações de traçado de raios cinemático, definidos no capítulo 2 deste trabalho.

Esta técnica é baseada na hipótese de que um sistema não-linear se comporta como um

sistema linear na vizinhança de um determinado ponto, chamado de ponto de operação.

A técnica de linearização permite que o sistema linear resultante seja avaliado de manei-

ra simples e eficiente pelo método de elementos finitos de Galerkin descontínuo

apresentado no capítulo 4. Exposições mais detalhadas sobre linearização de sistemas de

equações diferenciais podem ser encontradas, por exemplo, em KWAKERNAAK e

SIVAN (1972).

A.1 Linearização do Sistema de Traçado de Raios em Função

do Comprimento de Arco

Considere o sistema de equações de traçados de raios cinemático , apresen-

tado no capítulo 2, o sistema não-linear de equações diferenciais ordinárias dado por

77

onde, é o vetor posição; o vetor vagaro-

sidade, indica a direção e o sentido da propagação; é o tempo de trânsito ao longo

do comprimento de raio; e o parâmetro é o comprimento de arco, em que

é dado; com as seguintes condições iniciais para :

onde, .

Teoricamente pode-se definir a função em como qualquer função

dependente do vetor posição . Entretanto, neste trabalho, com objetivos de

estudos práticos, serão utilizadas funções velocidades dadas por

onde , e são valores constantes

A primeira função de velocidade é uma escolha muito comum e importan-

te, capaz de simular de modo bem simples diversas situações geológicas. A função de

velocidade é muito útil também, uma vez que permite obter soluções analíticas

fechadas para o sistema de equações de traçado de raios cinemático .

A seguir será aplicada a técnica de linearização ao sistema em meios regi-

dos pelas funções velocidades e .

78

A.1.2 Distribuição de Velocidade dependendo linearmente de e

Seja a função velocidade dada em , portanto pode-se reescrever o sistema

como

onde .

Para uma aproximação de 1ª ordem (aproximação linear) do sistema em

torno de um ponto de operação

é aplicada uma expansão em

série de Taylor de funções:

Após algumas operações matemáticas, é obtido o seguinte sistema linearizado

onde

79

Assim, pode-se reescrever o sistema como um sistema de equações dife-

renciais ordinárias lineares dado por

onde,

e ; é a matriz

identidade; é uma matriz, com elementos constantes reais, de ordem e

um vetor constante, dados, respectivamente, por

A.1.2 Distribuição de Velocidade Analítica

Considere agora a função velocidade dada em , logo pode-se reescrever o

sistema como

onde .

80

Fazendo uma aproximação de 1ª ordem (aproximação linear) do sistema

em torno de um ponto

, através da expansão em série de

Taylor de funções dada em e realizando algumas operações matemáticas, é obtido

o seguinte sistema linearizado

onde,

Note que também se pode reescrever o sistema como um sistema de e-

quações diferenciais ordinárias lineares da mesma maneira que .

A.2 Linearização do Sistema de Traçado de Raios em Função

do Tempo de Trânsito

Seja o sistema de equações de traçados de raios cinemático , apresentado

no capítulo , o sistema de equações diferenciais ordinárias não-lineares, dado por

onde é o vetor posição; é o vetor vagaro-

sidade, indica a direção e o sentido de propagação; e o parâmetro é o tempo de

trânsito, onde é dado.

81

As seguintes condições iniciais do problema, para , são dadas por

onde, .

Considerando a função velocidade dada em , pode-se reescrever o sistema

como

onde .

Através de uma aproximação de 1ª ordem (aproximação linear) para o sistema

em torno de um ponto

, será aplicada uma expansão em

série de Taylor de funções, e após algumas operações matemáticas, consegue-se obter o

seguinte sistema linearizado

Observe que o sistema pode ser reescrito como um sistema de equações

diferenciais ordinárias lineares semelhante ao apresentado em .

82

APÊNDICE B

PRINCÍPIO DE FERMAT E LEI DE

SNELL

É apresentado neste apêndice o princípio de Fermat e a Lei de Snell, importantes

para compreender alguns conceitos desenvolvidos no capítulo .

B.2 Princípio de Fermat

O princípio de Fermat, formulado por Pierre Fermat, um princípio bastante utili-

zado para descrever a teoria de raios, foi usado inicialmente para resolver problemas de

raios da óptica geométrica, no entanto este princípio é perfeitamente válido para raios

das ondas sísmicas, tanto para reflexão quanto refração. Este princípio estabelece que de

todos os possíveis caminhos para uma propagação ondulatória que parte de um ponto

inicial e deve atingir um ponto final , aquele caminho mais curto não corresponde

à chegada em menor tempo entre esses dois pontos. O princípio de Fermat propõe que o

caminho real entre dois pontos tomados por um feixe de luz é aquele que for percorrido

em menor tempo. Portanto, a trajetória efetiva do raio será tal que o funcional que mede

o tempo de trânsito ao longo do percurso,

83

tenha um valor estacionário (mínimo). Aqui, é denotado como o comprimento infini-

tesimal da curva ao longo do caminho e uma distribuição de velocidade.

B.1 Lei de Snell

A Lei de Snell é uma conseqüência imediata do princípio de Fermat, uma vez

que o traçado de raios satisfaz os tempos de trânsito estacionários. No caso acústico, a

Lei de Snell é uma relação que controla os ângulos de incidência e transmissão da frente

de ondas compressionais (ondas ) ao atravessar uma interface que separa dois meios

com propriedades acústicas distintas.

A figura exemplifica a aplicação do princípio de Fermat no caso da refra-

ção, onde se quer encontrar qual curva fornece o tempo de trânsito mínimo com

relação à variável para um raio que parte do ponto ao ponto , ou seja:

Pela figura , sabe-se que e ,

logo, é encontrado

Obtem-se o tempo de trânsito mínimo na equação quando

portanto,

Por outro lado, observando a figura novamente, tem-se

e

84

Figura : Princípio de Fermat aplicado à refração.

Deste modo, chega-se a Lei de Snell

Observe que a Lei de Snell relaciona os ângulos de incidência e transmissão

do raio de forma que os senos dos mesmos são diretamente proporcionais às velocida-

des dos respectivos meios. Dessa forma, se um raio viaja do ponto ao ponto no

menor tempo possível, ele deve atender a Lei de Snell.

A figura apresenta um meio composto por camadas, cada uma com velo-

cidade constante diferente, neste caso o tempo de trânsito de até será dado por

Aqui e denotam a distância percorrida e a velocidade, respectivamente, associadas

com a -ésima camada.

85

Vale ressaltar que quando é usada uma distribuição de velocidade contínua, o

tempo de trânsito de um raio sísmico é dado pelo funcional de Fermat .

Figura : Raio se propagando em um meio composto por camadas.

Foi analisado até o presente momento somente o caso para onda refratada.

Contudo, é importante notar que quando uma onda sísmica atinge um limite entre dois

meios com distribuição de velocidades distintas são geradas também ondas refletidas.

Também pode-se utilizar o princípio de Fermat para calcular a condição de tempo de

trânsito mínimo para uma onda refletida, veja figura . A geometria do caminho do

raio é regida pela Lei de Snell , portanto para onda refletida vale

Logo,

86

Figura : Onda sísmica incidente em uma interface que separa meios com velocida-

des distintas.

Vale notar que se a velocidade da camada inferior for maior que a velocidade da

camada superior ( ) o ângulo de incidência e transmissão devem satisfazem a

seguinte condição . Por outro lado, da Lei Snell , sabe-se que

Portanto, existe algum ângulo (ângulo crítico) tal que a seguinte condição

é satisfeita

isto é,

O ângulo define uma onda sísmica criticamente refratada, chamada de “head-

wave”, que viaja na horizontal, paralela à interface. Esse tipo de onda (vide figura )

possui a propriedade de transmitir a energia da onda de volta para o meio superior, uma

vez que a mesma viaja ao longo da interface.

87

Figura Ilustração geométrica das ondas criticamente refratadas (“head-wave”).

88

APÊNDICE C

SOLUÇÕES DE REFERÊNCIA

Neste apêndice, será apresentado o simulador de traçado de raios do consórcio

CREWES, ferramenta que é utilizada no capítulo com intuito de comparar os resulta-

dos obtidos pelo método de Galerkin descontínuo ao sistema de equações de traçado de

raios cinemático, em modelos regidos por distribuições de velocidade variando linear-

mente com a profundidade e distância, uma vez que o mesmo não possui solução

analítica. Para mais informações sobre esse simulador recomenda-se MARGRAVE

(2003), que descreve detalhadamente o funcionamento de todas as rotinas do mesmo.

C.1 Simulador Traçado de Raios CREWES

O simulador de traçado de raios CREWES (CREWES, 2011) foi criado a partir

do consórcio Consortium for Research in Elastic Wave Exploration Seismology, que é

um grupo de investigação de geofísica aplicada concentrado na aquisição, análise e in-

terpretação de dados sísmicos, com diversos parceiros da indústria, realizando pesquisas

avançadas na exploração de recursos e desenvolvimento. Este simulador de traçado de

raios faz parte de uma coleção de rotinas geofísicas incluídas em uma biblioteca do

software MATLAB, chamada de biblioteca CREWES, descritas no livro de

MARGRAVE (2003). A biblioteca CREWES está disponível em CREWES (2011), ao

público em geral para uso apenas em pesquisas sem fins comerciais, não sendo possível

utilizá-la em contexto comercial por empresas que não são patrocinadoras do CREWES.

89

O simulador de traçado de raios CREWES resolve numericamente o sistema de

equações de traçado de raios cinemático definido no capítulo em para

distribuições de velocidade lineares, dado por

onde é o vetor posição; é o vetor vagaro-

sidade, que indica a direção e o sentido de propagação; e o parâmetro é o tempo de

trânsito, onde é dado. A distribuição de velocidade dependendo linearmente de

é dada por , para , e constantes reais.

As condições iniciais do problema, para , são dadas por

onde .

Para resolver o sistema de equações diferenciais ordinárias , o si-

mulador CREWES utiliza o método de Runge-Kutta de quarta ordem, de acordo com o

algoritmo apresentado por PRESS et al. (1992), integrado nas funções shootrayvxz e

shootrayvxz_g implementadas no MATLAB. Nestas funções, o raio é testado em cada

passo de tempo para determinar se ele está dentro dos limites do modelo de velo-

cidade considerado. Segundo MARGRAVE (2003), para menores a precisão é

melhorada, mas consequentemente o custo computacional é aumentado. MARGRAVE

(2003) também afirma que a função shootrayvxz é bem mais rápida no traçamento dos

raios, no entanto, para maior precisão, é recomendado utilizar a função shootrayvxz_g,

que utiliza uma interpolação bi-linear em cada passo de tempo. Portanto, optou-se por

utilizar nas comparações realizadas somente a função shootrayvxz_g, devido à maior

precisão dos resultados. Toda a sintaxe para traçar um raio com o programa é descrita

com detalhes em MARGRAVE (2003).

A seguir serão apresentados os termos de licença de uso do simulador de traçado

de raios CREWES em sua forma original como exibido em CREWES (2011).

90

BEGIN TERMS OF USE LICENSE

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and Geophysics of the University of Calgary, Calgary, Alberta, Canada. The copyright

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profit organization is expressly forbidden.

END TERMS OF USE LICENSE

aplicaÇÃo do mÉtodo de galerkin descontÍnuo...

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