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Cálculo I – Limite de uma função Sartori, C. S. 01

1

Revisão - Funções:

- Definição:

Lembrando que uma função é uma relação

entre dois conjuntos que obedecem às restrições:

1) Esta relação envolve um elemento do

primeiro conjunto, chamado domínio da função f em

apenas um elemento do outro conjunto denominado

contra-domínio.

2) Uma vez definido o conjunto X (domínio)

todos elementos deste devem ser relacionados.

Notação: f X Y:

Classificação:

Sobrejetora: Uma função é sobrejetora,

quando seu conjunto imagem é igual ao seu contra

domínio.

Injetora: Uma função é injetora quando todos

os elementos de seu domínio possuem imagens

distintas.

{ x1,x2 Dom f(x) (x1 x2) f(x1) f(x2)}

Bijetora: Quando for injetora e sobrejetora.

Classificação quanto á Paridade:

Função Par:

Uma função é quando f(+x)=f(-x)

O gráfico da função par é simétrico em

relação ao eixo Oy.

Exemplo 1 - Esboce o gráfico de f(x) = 1/x2

Função Ímpar

Uma função é quando f(+x)=-f(-x)

O gráfico da função ímpar é simétrico em

relação à origem.

Exemplo 2 - Esboce o gráfico da função:

f(x) = 1/x.

I - Funções Elementares:

I.a - A Função Linear:

A função linear é definida, em sua forma reduzida, por:

y = ax + b.

O valor de a é denominado de coeficiente angular e

relaciona-se com a inclinação da reta com o eixo x. Já o valor de

b é a interceção da reta com o eixo Oy, ou seja o ponto de

coordenadas (0,b). Sejam dois pontos por onde a reta passa:

P x y P x y1 1 1 0 0 0( , ); ( , )

y ax b

ay

x

y y

x x

1 0

1 0

É útil também sabermos a equação do feixe de retas que

passa pelo ponto P x y0 0 0( , ) :

)()()( 00 xxaxfxf

Graficamente, quando a > 0, a reta tem inclinação

aguda com o eixo x, quando a < 0, a reta possui inclinação

obtusa:

a) a > 0

b) a < 0

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 -2 -1 1 2 3

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 2

2

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Tente encontrar, a partir do gráfico, as

equações destas retas. Observe que o domínio é o

conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem

(Im f = R).

I.b. Função módulo.

A função módulo é definida por:

y xx x

x x

;

;

0

0

a) Domínio: R; conjunto imagem: y [ 0 , ).

b) Gráfico:

c) Propriedades:

i) ii)

iii)

iv)

v)

x x R x y x y

x a a R x a x a

x a a R a x a

x x

0

2

; ;

;

I.c - A Função Quadrática:

A função quadrática é toda expressão do tipo:

F A B f x ax bx c a: ; ( ) ;2 0

Raízes: Ao resolvermos a equação:

f x ax bx c( ) 2 0; teremos como solução:

xb b ac

a

b

a

b ac

2

2

4

2 2

4

(Equação de Báscara)

Dependendo do valor do delta teremos os

seguintes casos:

I. > 0 f(x) possui 2 raízes reais e distintas.

II. = 0 f(x) possui 1 única raiz real.

III. < 0 f(x ) Nenhuma raiz real.

A função quadrática, ou parábola, poderá ter um ponto

de máximo ou de mínimo, conforme o sinal de a:

IV. a > 0 Concavidade para cima - Ponto de

mínimo em yv.

V. a < 0 Concavidade para baixo - Ponto de

máximo em yv.

VI. f(x) = ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2)

Onde x1 e x2 são raízes de f(x)

As coordenadas do vértice da parábola são dadas por:

V x y xb

ay

av v v v( , ); ;

2 4

VI. Conjunto Imagem:

Se a > 0 Im f = [ yv , )

Se a < 0 Im f = (- , yv ]

- VII. Relação entre coeficientes e raízes: Soma e

Produto

:

S x xb

a

P x xc

a

1 2

1 2.

VIII. Gráficos:

a > 0 > 0

a < 0 > 0

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-2 2 4 6

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-2 2 4 6

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8


3

I.d - A Função exponencial:

A função exponencial é definida

nida por: f R R f x a a ax: ; ( ) , ;0 1.

Quando a for maior que 1 , a função é crescente;

quando 0 < a < 1 a função é dita decrescente. O

Domínio da função exponencial é o conjunto dos

números reais (Dom f = R). Já o conjunto imagem é o

intervalo: {y R y > 0} , ou seja, a função

exponencial é extritamente positiva, tanto a crescente

como a decrescente.

I. Gráficos:

Note que a reta y = 0 nunca intercepta o

gráfico da função exponencial; ela é dita uma assíntota

à função.

II. Conjunto Imagem: {y R y > 0}

III. Domínio: x R .

IV - Propriedades: Seja a > 0 e a 1. Sejam

x e y R. As seguintes propriedades são válidas:

yxaaa

yxaaa

aaa

aaaa

a

aaaaa

yx

yx

x

x

x

y

x yyx

y

x

yxyxyxyx

1<0 e Se viii)

1 e Se vii)

1 ) vi 1 v)

iv) ii)

)( iii) . i)

0

.

I.e - A Função logarítmica:

A função logarítmica é definida por :

f R y x x a

x a a

ay:( , ) ; log

,

0

0 0 1

Condições de Existência:

e

.

Assim, temos para que a função logarítmica seja

definida, deve-se satisfazer sempre as condições de existência. x

é chamado de logaritmando e a de base.

I. Domínio: x (0, )

II. Imagem: y R.

III. Propriedades: A função logarítmica é a função

inversa da função exponencial de mesma base.

i) ii)

iii)

iv)

v)

vi) Se e

vii) Se 0 < e

vii) Seja e

viii)

log log

log log log ( . )

log ( ) log log

log log

log log

log log

, , loglog

log

log

ay

a

a a a

a a a

an

a

a a

a a

ba

a

x

x y x a a

x x x x

x

xx x

x n x

a x x x x

a x x x x

a b a b xx

b

a xa

1 0

1

1

0 0 1

1 2 1 2

1

21 2

2 1 2 1

2 1 2 1

iv) Gráficos:

A função logarítmica pode ser crescente (a > 1) ou

decrescente (0 < a < 1).

O gráfico abaixo ilustra cada caso.

Notar que a assíntota à função logarítmica é a reta x=0

-4 -2 0 2 4

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

-4 -2 0 2 4

0

2.5

5

7.5

10

12.5

15

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


4

II - Funções Trigonométricas

II.a - Triângulo Retângulo: Relações

Métricas:

a

b

c

tgc

btg

sena

c

a

bsen

1

cos

cos

tgb

cctg

senb

a

c

a

1

1seccos

cos

1sec

Estudo de sinais: Círculo Trigonométrico:

cosx

senx

tgx

x

I QII Q

III Q IV Q

0

90

180

270

/2

3

2

2

Quadrante senx cosx tgx

I Q (0 < x < 90)0) + + +

I IQ (900 < x < 1800) + - -

I Q (1800 < x < 2700) - - -

I Q (2700 < x < 3600) - + -

Tabela de Conversão:

Seja x I quadrante e um ângulo qualquer:

Podemos encontrar as funções trigonométricas

desse ângulo a partir do correspondente ângulo do

primeiro quadrante, fazendo a chamada conversão ao

primeiro quadrante.

Então:

Quadrante: sen cos tg

II Q

900< < 1800

sen( - ) -cos ( - ) - tg ( -x)

III Q

1800< < 2700

-sen ( - ) -cos ( - ) tg ( - )

IV Q

900 < < 3600

-sen (2 - ) cos (2 - ) -tg(2 - )

II.b) Relações Fundamentais:

sen x x

x tg x

x ctg x

2 2

2 2

2 2

1

1

1

cos

sec

cossec

Observação:

2cos sen

Valores particulares:

sen cos tg

0 0 1 0

6

21

23

33

4

22

22

1

3

23

21 3

2

1 0

0 -1 0

23

-1 0

2 0 1 0

II.c) Gráficos:

IIc.1) Função seno:

-10 -5 0 5 10

-1

-0.5

0

0.5

1


5

Domínio: {x }

Imagem: {y [-1.1]}

Período: 2

IIc.2) Função cosseno:

Domínio: {x }

Imagem: { y [-1.1]}

Período: 2

IIc.3) Função tangente:

Domínio: {x x k + /2 ;k }

Imagem: {y }

Período:

IIc.4) Função secante:

Domínio: {x x k + /2 ;k }

Imagem: {y (- ,-1)(1, )}

Período:

IIc.5) Função Cossecante:

Domínio: {x x k ; k }

Imagem: {y (- ,-1)(1, )}

Período: 2

IIc.3) Função Cotangente:

Domínio: {x x k ; k }

Imagem: {y }

Período: 2

II.d) Relações: Soma e subtração de arcos, arco

duplo, arco metade:

1) Soma e Subtração:

sen( ) sen .cos sen .cos

cos( ) cos .cos sen .sen

( ).

a b a b b a

a b a b b a

tg a btga tgb

tga tgb

1

-10 -5 0 5 10

-1

-0.5

0

0.5

1

-6 -4 -2 0 2 4 6

-30

-20

-10

0

10

20

30

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5

-20

-10

0

10

20


6

2) Arcos Duplos:

sen a sena a

a a sen a

tag atga

tg a

( ) .cos

cos( ) cos

( )

2 2

2

22

1

2 2

2

3 ) Transformação Soma-Produto:

sen A B sen A B A B

sen A B A B sen A B

A B A B A B

A B sen A B sen B A

( ) ( ) cos ( )

( ) cos ( ) ( )

cos( ) cos ( ) cos ( )

cos( ) ( ) ( )

21

2

1

2

21

2

1

2

21

2

1

2

21

2

1

2

II - Introdução à teoria de Limite Vizinhança de um ponto:

Como os números reais são representados por pontos de

uma reta, através de suas abcissas, é costume utilizar a palavra

“ponto” em lugar de número”.

Dizemos que um número real x é ponto interior a um

conjunto dado C se esse conjunto contém um intervalo (a,b), que

por sua vez contém x, isto é :

x (a,b) C

Segundo essa definição, todos os elementos de um

intervalo aberto são pontos interiores desse intervalo. O interior

de um conjunto C é o conjunto de todos seus pontos interiores.

Logo, o intervalo (a,b) é seu próprio conjunto interior. Também

é o interior do intervalo fechado [a,b].

Dizemos que o conjunto C é aberto, se todo ponto de C

é interior a C, isto é, se o conjunto coincide com seu interior. O

conjunto vazio é aberto pois coincide com seu interior, que é

vazio.

Denomina-se vizinhança de um número ou ponto a a

qualquer conjunto que contenha a interiormente. Se esse

conjunto estiver simetricamente distribuido, com a no centro, e à

distância de + e - de a; dizemos que temos uma vizinhança

de centro a e de raio . Podemos representar da seguinte

maneira:

V (a-,a+)

Representamos na reta real:

a- a a+ x

Podemos considerar uma vizinhança de a excluindo o

próprio valor de a:Denominamos V’(a):

V’(a)= V(a)-{a}={x 0 < ax0 }

Diz-se que o número a é ponto de acumulação de um

conjunto C se toda vizinhança de a contém infinitos elementos

de C. Equivale-se dizer que: toda vizinhança de a contém algum

elemento de C diferente de a. Ou: Dado > 0 :V’(a) contém

algum elemento de C.

Um ponto de acumulação de um conjunto pode ou não

pertencer ao conjunto. Exemplo: os pontos a e b de um intervalo

aberto (a,b) são pontos de acumulação desse conjunto, mas não

pertencem a ele. Todos os pontos do intervalo também são seus

pontos de acumulação e pertencem a ele.

Dizemos que um ponto x é ponto de aderência de um

conjunto C, ou ponto aderente a um conjunto C, se qualquer

vizinhança de x contém algum elemento de C. Isso significa que

x pode ser um elemento de C ou não, se não for será ponto de

acumulação de C. O conjunto dos pontos aderentes a C é

chamado de fecho ou aderência de C, denotado pelo símbolo C

. Observe que C é a união de C com o conjunto C’de seus

pontos de acumulação.

CCC


7

Diz-se que um conjunto é fechado quando ele

coincide com sua aderência: CCCC , ou

seja, quando ele contém todos seus pontos de

acumulação: CC . Esse é o caso de um intervalo

[a,b], do tipo que já se conhecia como “fechado”.

Como exemplo citamos o conjunto:

,...},...,,,{14

332

21

nnA

discreto, pois seus pontos são todos isolados, e

seu único ponto de acumulação é o número 1, que não

pertence ao conjunto. Se o incluirmos ao conjunto A,

teremos a aderência de A, que é o conjunto:

,...},...,,,,1{}1{14

332

21

nnAB

Observamos que esse conjunto C é fechado.

Isso acontece sempre que juntarmos o conjunto C com

o C’ de seus pontos de acumulação, a aderência

CCC não terá outros pontos de acumulação

além dos que já estavam em C’. Assim veremos alguns

teoremas que confirmam isso:

Teorema: A aderência C de qualquer

conjunto C é um conjunto fechado.

Teorema:

a) A interseção de um número finito de

conjuntos abertos é um conjunto aberto.

a) A união de uma família qualquer de

conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Teorema: Um conjunto F é fechado se e

somente se seu complementar A = FC=R-F é aberto.

Teorema: A união de um conjunto finito de u

conjuntos fechados é um conjunto fechado.

Exercícios:

1. Dada o centro a e o raio , represente na

reta as vizinhanças dadas V (a-,a+):

a) = 0,1 e a =1

b) = 0,2 e a =2

c) = 0,1 e a =-2

d) = 0,1 e a =1/2

e) = 0,03 e a =1/5

f) = 0,025 e a =4

g) = 0,005 e a =-5

2. Escreva na forma de intervalo aberto as vizinhanças

do problema anterior.

3. Dê 2 pontos de acumulação das vizinhanças do

problema 2.

II.q - O Limite de uma Função:

Significação intuitiva:

No cálculo e suas aplicações, é importante explorar

valores e comportamento de funções próximos a determinados

números a de seu domínio, ou de valores que não estão

definidos em seu domínio.

Considere a função :

63

2)(

23

x

xxxf

Vamos explorar seu comportamento em torno de a = 2.

Veja que ela não é definida em x = 2 pois torna-se nulo o

denominador. Cuidado! Divisão por zero não é definida!

Com o auxílio do programa Excel construimos a tabela

(x,f(x)) .( Faça: Coluna A1 idêntica à mostrada e digite na

B1:= (A1^3-2*A1^2)/(3*A1-6))

Parece que quanto mais próximo de 2 está x, mais

próximo de 4/3 está f(x); entretanto não podemos ter certeza

disto pois calculamos apenas alguns valores da função para x

próximos de 2. Para obtermos um valor mais convincente

fatoramos o numerador e o denominador de f(x):

)2(3

)2()(

2

x

xxxf

Se x2 podemos simplificar e vemos que:

3)(

2xxf

Veja que o ponto )3

4,2( deve ser omitido para essa

função. Assim, quanto mais próximo de 2 estiver x, mais

próximo de 4/3 estará f(x).

Em geral, se uma função f é definida em todo um

intervalo aberto contendo um número real a, exceto

possivelmente no próprio a podemos perguntar:

1,9000000000 1,2033333333

1,9900000000 1,3200333333

1,9990000000 1,3320003333

1,9999000000 1,3332000033

1,9999900000 1,3333200000

1,9999990000 1,3333320000

1,9999999000 1,3333332011

1,9999999900 1,3333333333

1,9999999990 1,3333333333

1,9999999999 1,3333333333


8

1. A medida que x está cada vez mais

próximo de a (mas x a) o valor de f(x)

tende para um número real L?

2. Podemos tornar o valor da função f(x) tão

próximo de L quanto queiramos,

escolhendo x suficientemente próximo de

a (mas x a)?

Caso seja possível isso escrevemos:

Lxfax

)(lim

Dizemos que o limite de f(x), quando x tende

para a é L, ou que f(x) se aproxima de L quando x se

aproxima de a.

Exemplo 1 - Outro comportamento

interessante ocorre com a função:

x

senxxf )(

Veja a tabela abaixo: (Construa no Excel).

x

x

senxxf )(

2,0000000000 0,4546487134

1,0000000000 0,8414709848

0,5000000000 0,9588510772

0,4000000000 0,9735458558

0,3000000000 0,9850673555

0,2000000000 0,9933466540

0,1000000000 0,9983341665

0,0100000000 0,9999833334

0,0010000000 0,9999998333

0,0001000000 0,9999999983

0,0000100000 1,0000000000

0,0000010000 1,0000000000

Observe que quanto mais x se aproxima de 0,

tanto atravéz de valores positivos como através de

valores negativos, o valor de x

senxxf )( se aproxima

de 1. Assim dizemos que esse limite, denominado de

limite trigonométrico fundamental, vale:

1lim0 x

senx

x

Mais tarde demonstraremos tal relação.

Exemplo 2 – Considere agora a função:

x

xxf )1()( 1

Vamos tomar valores bastante grandes de x.

De novo construa uma tabela no Excel, nos tempos de

hoje isso é facil e barato.

x x

xxf )1()( 1

1 2,0000000000

10 2,5937424601

100 2,7048138294

1000 2,7169239322

10000 2,7181459268

100000 2,7182682372

1000000 2,7182804692

10000000 2,7182816940

100000000 2,7182817864

1000000000 2,7182820308

Veja que há uma certa convergência nas casas decimais.

Provaremos mais tarde que esse limite dessa função, quando x

torna-se incrivelmente grande; diz-se x tende a infinito,

aproxima-se do número de Napier e 2.71828, que é um

número irracional.

1) Definição:

Seja f uma funçãoError! Bookmark not defined.

definida em todo número de algum intervaloError!

Bookmark not defined. aberto I, contendo a, exceto

possivelmente no próprio número a. O limite de f(x) quando x

aproxima-seError! Bookmark not defined. Error!

Bookmark not defined.de a é L, que pode ser escrito por:

lim ( )x a

f x L

se para qualquer > 0 , mesmo pequeno, existir um >

0 tal que:

f x L x a( ) sempre que 0

Isto significa que os valores da função f se aproximam-

se de um limite Error! Bookmark not defined.L quando x

aproxima-se de um número a se o valor absoluto da diferença

entre f(x) e L puder ser tão pequeno quanto desejarmos,

tomando x suficientemente próximo a a mas não igual a a.

É importante notar que nada é mencionado sobre o

valor da função quando x=a. Isto é, não é necesssário que a

função seja definida em a para que exista o limite.

Exemplo 3: Seja a função definida por :f(x)=4x-1.

dado que

lim ( ) .

( ) .

xf x

f x x

311 0 01

11 0 01 0 3

encontre um para tal

que sempre que

Solução:

f x x x x

x x

x x

x

x

( ) ( )

.

.

. ( ) .

.

11 4 1 11 4 12 4 3

4 3 0 01 0 3

3 0 0025 0 3

0 0025 4 1 11 0 01

0 3 0 0025

sempre que ou

sempre que

sempre que

Teorema 1: Se m e b são constantes quaisquer:

lim( )x a

mx b ma b


9

Teorema 2: Se c é uma constante, então:

lim ;x a

c c a

Teorema 3: Se:

lim ( ) ;lim ( ) lim( ( ) ( ))x a x a x a

f x L g x M f x g x L M

Teorema 4: Se:

MLxgxf

MxgLxf

ax

axax

.))().((lim

)(lim;)(lim

Teorema 5:

Se:

lim ( ) ; ; lim[ ( )]x a x a

n nf x L n Z f x L

Teorema 6:

Se:

lim ( ) ; ; lim[ ]x a x a

n nf x L n Z Lf (x)

Teorema7:

SeMLxgxf

MMxgLxf

ax

axax

/))(/)((lim

0,)(lim;)(lim

Exemplo 4: Encontre os limites:

a) lim

)lim

)( )

( )lim( )

x x x

x

x

x x x

xx x

3

3

3

2

3

227

3

3 3 9

33 9 27

( (

b) Seja a função definida por:

0 se 2

0 sex )(

x

xxf determine

x

f x0

lim ( )

x

f x0

0lim ( )

2) Limites Unilaterais:

Ao considerarmos o valor de

x a

f x Llim ( )

estamos interessados nos valores de x num intervalo

aberto contendo a , mas não no próprio, isto é, em

valores de x maiores ou menores do que a. Supomos

que x se aproxima de a pela direita e pela esquerda,

respectivamente.e denotamos por:

x a

f x Llim ( ) ;

x a

f x Llim ( ) .

Teorema:

x a

f x Llim ( ) se e somente se

existirem

x a

f xlim ( );

x a

f xlim ( )e:

x a x a x a

f x f x f xlim ( ) lim ( ) lim ( )

Exemplo 5 : Seja h definida por:

1 se 2

1 se 4)(

2

2

xx

xxxh Encontre os limites unilaterais:

lim ( ) lim ( )x x

h x x1 1

24 3

lim ( ) lim ( )x x

h x x1 1

22 3;

Portanto: lim ( )x

h x1

3

Exemplo 6 : Calcule os limites unilaterais em torno de 0 para a

função: x

xxf )(

Observe, lembrando da definição da função módulo,

que quando x tende a zero pela esquerda:

11limlimlim000 xxx x

x

x

x

11limlimlim000 xxx x

x

x

x

Exemplo 7: Determine os limites :

0lim)(limlim 2

000xxxxx

xxx

0lim)(limlim 2

000xxxxx

xxx

-4 -2 2 4

-20

-10

10

20

-4 -2 2 4

-1

-0.5

0.5

1


10

3) Limites no infinito

Definição: Seja f uma função definida em todo número

de um intervalo aberto (a,+ ) , o limite de f(x), quando

x cresce ilimitadamente é L, que pode ser transcrito como:

lim ( )f x Lx

Da mesma forma, se x tende a um número

negativo que cresce em módulo e possui no limite o

valor L, denotamos por:

lim ( )f x Lx

Teorema: Se r é um número inteiro e positivo,

então:

ix

iixx r x r

) lim ) lim1

01

0

Exemplo 8 : Encontre o limite abaixo:

lim lim( ) /

( ) /x x

x x

x x

x x x

x x x

2 5

3 5

2 5

3 5

2

2

2 2

2 2

lim

lim

limx

x

x

x x

x

x x

x

21 5

35

21 5

35

2

3

2 2

4) Limites Infinitos:

Definição: Seja f uma função definida em todo

número do intervalo aberto I contendo um número a,

exceto, possivelmente no próprio número a. Quando x

se aproxima de a, f cresce ilimitadamente, o que é

escrito como:

lim ( )f xx a

Caso x se aproxime de a e f(x) decresce

ilimitadamente, escrevemos como:

lim ( )f xx a

Definição: lim ( )f xx a

é equivalente a

lim ( )x a x a

f x

Teorema: Se r é um número inteiro positivo

qualquer, então:

i) limx rx0

1 ii) lim

x rx0

1 iii)

ímpar ér se

par ér se 1lim

0r

x x

Teorema: Se a é um número real qualquer e se

lim ( )f xx a

0 e lim ( )g x cx a

, onde c é uma constante não nula,

então:

(i) Se c > 0 e se f(x) 0, através de valores positivos de

x, lim( )

( )x a

g x

f x

(ii) Se c > 0 e se f(x) 0, através de valores negativos

de x, lim( )

( )x a

g x

f x

(iii) Se c <0 e se f(x) 0, através de valores positivos

de x, lim( )

( )x a

g x

f x

(iv) Se c <0 e se f(x) 0, através de valores negativos

de x, lim( )

( )x a

g x

f x

O teorema também é valido se "x a" for substituído

por x a x a x x; , ; .

Exemplo 9: Encontre:

a) lim lim( )( )x x

x x

x x

x x

x x3

2

2 3

22

2 3

2

3 1

O limite do numerador é 14 e no denominador é 0, o

que pode ser verificado por:

lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) .x x x

x x x x3 3 3

3 1 3 1 0 4 0

Verificamos que o denominador está se aproximando

de 0 através de valores positivos. Aplicando o terorema de

limite (i), teremos:

limx

x x

x x3

2

2

2

2 3

b) lim lim( )( )x x

x x

x x

x x

x x3

2

2 3

22

2 3

2

3 1

O limite do numerador é 14 e no denominador é 0, o

que pode ser verificado por:

lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) .x x x

x x x x3 3 3

3 1 3 1 0 4 0

Verificamos que o denominador está se aproximando

de 0 através de valores negativos. Aplicando o terorema de

limite (ii), teremos:

limx

x x

x x3

2

2

2

2 3

c) limx

x x

x x3

2

2

2

2 3 pois lim

x

x x

x x3

2

2

2

2 3

-4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

4

6


11

Teorema:

Se lim ( ) lim ( )x a x a

f x g x c e , onde c é

uma constante qualquer, então:

lim [ ( ) ( )]x a

f x g x

Teorema:


f x g x c e , onde c é

uma constante qualquer, exceto 0, então:

(i) Se c > 0 lim [ ( ). ( )]x a

f x g x

(ii) Se c < 0 lim [ ( ). ( )]x a

f x g x

Teorema:


f x g x c e onde c é

uma constante qualquer, exceto 0, então:

(i) Se c > 0 lim [ ( ). ( )]x a

f x g x

(ii) Se c < 0 lim [ ( ). ( )]x a

f x g x

O teorema também é valido se "x a" for

substituído por x a x a x x; , ; .

5) Assíntotas:

Definição: Diz-se que a reta x=a é uma

assíntota vertical do gráfico de uma função f se pelo

menos uma das afirmações seguintes for verdadeira:

(i)

x a

f xlim ( )

(ii) (ii)

x a

f xlim ( )

(iii)

x a

f xlim ( )

(iv)

x a

f xlim ( )

Definição: Diz-se que a reta y=b é uma

assíntota horizontal do gráfico de uma função f se

pelo menos uma das afirmações seguintes for

verdadeira:

(i) lim ( )x

f x b (ii) lim ( )x

f x b

Exemplo 10 : Encontre as assíntotas verticais

e horizontais da equação xy y x2 22 4 0 e trace

um esboço do gráfico:

Resolvendo a equação: yx

x2

2

Vemos que: f xx

x1 2

2( ) e f x

x

x2 2

2( )

Assíntotas verticais: limx

x

x22

2 e

limx

x

x22

2

Assíntotas horizontais:

lim limx x

x

x

x

x2

22 2

22

lim limx x

x

x

x

x2

22 2

22

A seguir representamos os gráficos de f xx

x1 2

2( ) e

f xx

x2 2

2( ) , observando suas assíntotas para:

f xx

x1 2

2( ) : y = 2 e x = 2 e para f x

x

x2 2

2( ) : y

= - 2 e x = 2

6) Continuidade de uma função:

Continuidade em um número:

Definição: Diz-se que uma função é contínua em um

número se, e somente se as seguintes condições são satisfeitas:

(i) Existe f(a)

(ii) Existe lim ( )x a

f x

(iii) lim ( ) ( )x a

f x f a

Se uma ou mais destas condições não for verificada em

a, dizemos que a função é descontínua em a.

Exemplo 6) A função do exemplo 5 é descontínua em

x=2, pois não é definida neste x.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x=2

y=-2

y=2

x

y

y=-[x/(x-2)]1/ 2

y=[(x/(x-2)]1 /2


12

Exemplo 11: Seja a função definida por:

3 se 2

3 se 3)(

x

xxxf Discuta sua

continuidade em x=3.

Observe que:

lim ( ) lim ( )x x

f x x f3 3

3 0 3 2. Portanto a

condição (iii) não é satisfeita; a função é descontínua

em x=3.

Exemplo 12: Discutir a continuidade da

função: f xx

( )1

2

Esta função não é contínua em x=2 pois seu

valor não é definido.

II.r - Teoremas sobre continuidade:

Teorema 1. Se f e g são funções contínuas em

um número a, então:

I) f+g é contínua em a II) f-g é contínua

em a

III) f.g é continua em a IV) f/g é contínua

em a desde que g(a) 0

Teorema 2. Uma função polinomial é

contínua em todo número.

Teorema 3. Uma função racional é contínua

em todo número do seu domínio.

Teorema 4. Se lim ( )x a

g x b e se a função f

é contínua em b,

lim ( ( )) ( ) lim ( ( ( ))) ( lim ( ))x a x a x a

fog x f b f g x f g x

Continuidade em um intervalo

Definição: Diz-se que uma função é contínua em

um intervalo aberto se e somente se ela for contínua em

todo número do intervalo aberto.

Definição: Dizemos que uma função cujo

domínio inclui o intervalo fechado [a,b] é contínua em

[a,b], se e somente se for contínua para todo c (a,b) e

se ela for contínua em a à direita e em b à esquerda e

também, para c (a,b) as condições abaixo forem

satisfeitas:

(i) Existe f(c)

(ii) Existe lim ( )x c

f x

(iii) lim ( ) ( )x c

f x f c

Definição: Dizemos que uma função f é contínua no

número a à direita se e somente se as três condições abaixo

forem satisfeitas:

(i) Existe f(a)


f x


f x f a

Definição: Dizemos que uma função f é contínua no

número a à direita se e somente se as três condições abaixo

forem satisfeitas:

(i) Existe f(a)


f x


f x f a

Observação: dizemos que a descontinuidade de uma

função é essencial quando não existir o limite da função no

ponto; é removível quando existir o limite da função.

Trataremos agora a descontinuidade com um puco de

rigor.

Seja a um ponto de acumulação do domínio D de uma

função f; dizemos que f é descontínua em x = a se, ou f não tem

limite unilateral em a, ou esse limite existe e é diferente de f(a)

ou f não está definida em a. Analogamente define-se

descontinuidade à esquerda e descontinuidade à direita. De

acordo com essa definição, estamos admitindo que um ponto

possa ser descontinuidade de uma função mesmo que ele não

pertença ao domínio de f. A rigor, não deveríamos assim admitir,

só deveríamos aceitar descontinuidades em pontos pertencentes

ao domínio de f. Mas é natural considerar o que se passa nas

proximidades de pontos de acumulação do domínio de uma

função, mesmo que tais pontos não pertençam ao domínio.

Como exemplo observe que as funções:

xsenxt

xxh

x

xxg

x

senxxf

1)(;

1)(;)(;)(

são todas contínuas em seu domínio: x -{0} e

embora x = 0 não pertença a esse domínio é natural considerar o

que acontece com essas funções quando x tende a zero, tanto

pela esquerda como pela direita. Identifique as curvas nos

gráficos abaixo:


13

De acordo com a nossa definição, a primeira

funçáão f(x) seria classificada como descontínua em x =

0 simplesmente por não estar aí definida. Atribuindo o

valor 1 em x = 0 ela será definida e será contínua em

todo x. Por isso dizemos que sua descontinuidade é

removível. A segunda, g(x), tem limites laterais

diferentes quando x tende a 0. Ela será contínua à

direita se impusermos g(0)=1 e contínua à esquerda se

impusermos g(0)=-1. A terceira função tende a

quando x tende a 0.Não há pois, como remover a

descontinuidade, o que acontece com a função t(x) por

não apresentar limite.

A descontinuidade é de primeira espécie ou do

tipo salto quando a função possui, no ponto

considerado, limites à direita e à esquerda porém

distintos. É o caso da função g(x). A descontinuidade é

de segunda espécie quando, a função tende a no

ponto considerado (caso da função h(x)), ou não tem

limite neste ponto (caso da função t(x)).

Teorema – Os pontos de descontinuidade de

uma função monótona f num intervalo I (limitado ou

não) só podem ser do tipo salto; e formam um conjunto

no máximo enumerável.

Definição:

Chama-se conjunto compacto a todo

conjunto C que seja limitado e fechado.

Um conjunto C diz-se compacto se toda

sequência xn C possui uma

subsequência convergindo para um ponto

de C.

Teorema: Todo conjunto compacto C possui

máximo e mínimo.

Teorema : Se f é uma função contínua num

domínio compacto D, então f(D) é um conjunto

compacto.

Teorema (de Weierstrass):

Seja f uma função com domínio compacto D.

Então f assume valores máximo e mínimo em D, isto é,

existem pontos a e b em D tais que:

f(a) f(x) f(b)

Para todo x D.

Teorema (Do valor intermediário)

Seja f uma função contínua num intervalo I=[a,b], com

f(a) f(b). Então, dado qualquer número d compreendido entre

f(a) e f(b), existe c (a,b) tal que f(c) = d. Em outras palavras,

f(x) assume todos os valores compreendidos entre f(a) e f(b),

com x variando entre (a,b).

Teorema :

Se f é uma função contínua num intervalo I = [a,b] ,

então f(I) é também um intervalo [m,M] , onde m e M são os

valores mínimo e máximo respectivamente, da função f.

Teorema :

A imagem de qualquer intervalo por uma função

contínua f é um intervalo.

Teorema :

Toda função f , contínua e injetiva num intervalo I é

crescente ou decrescente. Sua inversa também é contínua.

Teorema do Confronto ou Sanduíche:

Suponhamos que f(x) h(x) g(x) para todo x em um

intervalo aberto contendo a , exceto possivelmente para o

próprio a . Se:

)(lim)(lim xgLxfaxax

Então:

Lxhax

)(lim

Como aplicação desse teorema vamos demonstrar que

1lim0 x

senx

x, que é o limite trigonométrico fundamental.

É possível mostrar que, para x pequeno ocorre uma

ordem entre algumas funções de acordo com:

Senx<x <Tgx

Isso é ilustrado no gráfico a seguir:

-10 -5 0 5 10

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


14

senx

tgx

senx

x

senx

senx

Simplificando, invertendo e trocando a

ordenação, consequentemente obteremos:

1cosx

senxx

Observamos que:

11limcoslim00 xx

x

e portanto, aplicando o teorema do confronto,

teremos:

1lim0 x

senx

x

Aplicações:

A velocidade média é definida como sendo a

razão entre a variação da posição num certo intervalo de

tempo:

t

sv

Para definirmos velocidade instantânea

necessitamos que o intervalo de tempo tenda a zero, ou

seja a velocidade instantânea é o limite quando o

intervalo de tempo vai a zero da razão entre a variação

da posição e o intervalo de tempo:

t

sv

t 0lim

Exercícios:

1) Encontrar os limites indicados:

a) limx

x x

x x3

2

2

5 6

12 b) lim

x

x x

x x1

2

2

2

2

c) limx

x

x1 2

1

1 d) lim

x

x

x1

3 1

1

e) limx

x

x2

3 8

2 f) lim

x

x

x x3

2

2

9

2 7 3

g) limx

x

x0

2 2 h) lim

t

t

t0

2 4

i) limx

x

x0

3 1 1 j) lim

x

x x x

x x x3

3 2

3 2

2 5 2 3

4 13 4 3

2) Se x

xxF

39)( encontre seu limite quando

x tende a 0.

3) Dada 2 se 3

2 se 3)(

xx

xxxf Encontre:

a) lim ( )x

f x2

b) lim ( )x

f x2

4) Dada 1 se 1

1 se)(

2

xx

xxxf

Encontre: a) lim ( )x

f x1

b) )(lim1

xfx

5) Dada f x x( ) 3 2 4 encontre:

a) lim ( )x

f x2

b) lim ( )x

f x2

c) lim ( )x

f x2

6) Dada f xx

x( ) encontre:

a) lim ( )x

f x0

b) lim ( )x

f x0

c) lim ( )x

f x0

7) Discutir a continuidade das funções dos problemas

4), 5) e 6).

8) Determine os limites:

a) limx

x

x

2 1

5 2 b) lim

x

x

x

4 3

2 1

2

2

c) limx

x

x

2 4

4 d) lim

x

x x

x x

4 2 5

8 2

3 2

3

e) limx

x x2 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1


15

f) limx

x

x4 4 g) lim

t

t

t2 2

2

4

h) limt

t

t2 2

2

4 i) lim

t

t

t2 2

2

4

j) limx

x

x0

23 k) lim

x

x

x0

23

l) limx

x

x0

23 m) lim

x

x

x3

2 9

3

n) limy

y

y

2 4

5 3

3

o) lim ( )x x x0 2

1 1

p) lim ( )x x x2 2

1

2

3

4

q) limx

x

x3

5

3

9) Nos problemas abaixo, encontre as

assíntotas verticais e horizontais e trace um esboço do

gráfico.

a) f xx

( )4

5 b) f x

x( )

( )

3

2 2

c) f xx x

( )1

5 62 d) f x

x

x( )

4

9

2

2

e) f x

x

( )2

42 f) f x

x

x

( )3

32

g) f xx

x

( )4

2

2

2 h) f x

x

x

( )2 9

10) Nos exercícios abaixo, encontrar as

assíntotas verticais e horizontais e faça um esboço do

gráfico:

a) 3 2 4 3 0xy x y

b) x y x y2 2 2 24 0

c) ( )( )y x2 1 3 6

11) Determine se a função é contínua ou

descontínua nos intervalos indicados:

a) f xx

( ) ;( , );[ , ];( , )2

53 7 6 4 0

b)

f x x( ) ;( , ),( , ],( , ),[ , )2 9 3 3 3 3 3

c)

)1,2[);1,2();,2();1,(;

1 se 3

12 se 5

2 se 32

)(

xx

xx

xx

xf

d) f xx

x( ) ( , ),[ , ]; ( , );[ , )

2

22 2 2 2 2 2

12) Nos exercícios abaixo determine o valor das

constantes de k e c que fazem com que a função f seja

contínua em (- ,+ ) e trace um esboço da função resultante:

a) 4 se 1

4 se 73)(

xkx

xxxf

b) 2 se

2 se 1)(

2 xkx

xkxxf

c)

4 se 2

41 se

1 se

)(

xx

xkcx

xx

xf

13) Trace um esboço do gráfico e discuta a

continuidade das funções abaixo:

a) f xx

x( )

2 4

2 b) h x x x( ) ( )( )3 4


16

II - RESUMOS

Y = Secx

1. Áreas

A= r2 A = bh/2

r h

b

A = b.h

A = r2

/2 (s=r )

r

s r

)(2

2

senA r

Funções trigonométricas e Identidades

trigonométricas

sen =y/r cos =x/r y

tg =y/x cotg =x/y

csc =r/y sec = r/x

x

cos)2

(sen

sen)2

cos(

cos

sentg

1cos 22 sen 22 1sec tg

22 cot1sec gc

cos22 sensen

121cos2cos2cos 2222 sensen

sensensen coscos)(

sensencoscos)cos(

tgtg

tgtgtg

1)(

)(cos)(221

21 sensensen

)(cos)(cos2coscos21

21

)()(2coscos21

21 sensen

Triângulos

C

b a

A B D

c

c

senC

b

senB

a

senA

Cabbac cos2222

D=A+C

Teorema Binomial

)1...(!2

)1(

!111 2

2

xxnnnx

xn

)1...(!2

)1(

!111 2

2

xxnnnx

xn

Expansões em séries

0

32

!...

!3!21

n

nx

n

xxxxe

)1...(32

)1ln(32

xxx

xx

...!5!3

53

sen

...!4!2

1cos42

isenei cos

2cos

ii ee

i

eesen

ii

2

Funções Hiperbólicas

2

xx eesenhx

2cosh

xx eex

1cosh 22 xsenhx

x

senhxtghx

cosh

senhxhx

xhx

tghxghx

1seccos;

cosh

1sec;

1cot


17

Volumes

Cilindro: V= r2h Paralelepípedo: V=abc

Prisma: V = Sb.h

Pirâmide: V = Sb.h/3

Cone:

V= r2h/3

Vetores

1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii

0ˆˆˆˆˆˆ ikkjji

0ˆˆˆˆˆˆ kkjjii

jikikjkji ˆˆˆ;̂ˆˆ;ˆˆˆ

Qualquer vetor pode ser escrito como CL de }ˆ,ˆ,ˆ{ kji ,

que formam uma base ortonormal do R3

kajaiaa zyxˆˆˆ

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

abba

ˆˆˆ

Produtos especiais e fatoração:

1)

2)

3)

4)

5)

( )

( )

( )( )

( )( )

( ) ...

x y x xy y

x y x x y xy y

x y x y x y

x y x y x xy y

x y xn

x yn

x yn

nyn n n n n

2 2 2

3 3 2 2 3

2 2

3 3 2 2

1 2 2

2

3 3

1 2

Números Binomiais:

n

p

n

n p pn n n

!

( )! !; ! ! ( )... 0 1 1 1

Alfabeto Grego:

alfa ( , beta

gama ( delta (

épsilon ( zeta (

eta ( teta (

iota ( capa (

lambda ( mu (

nu ( csi (

ômicron ( pi (

ro ( sigma (

tau ( upsilon (

fi ( chi (

psi ( omega (

Propriedades: Funções Logarítmicas e Exponenciais:

xa

b

xxbaba

xxxxa

xxxxa

xnx

xxx

x

xxxx

aaxyx

x

a

a

b

aa

aa

a

n

a

aaa

aaa

a

y

a

alog

1212

1212

21

2

1

2121

viii)

log

loglog1, e 0,0 Seja vii)

loglog e 1<0 Se vii)

loglog e 1 Se vi)

loglog v)

loglog)(log iv)

).(logloglog iii)

01log ii) log i)

i) iii ) (

ii ) iv )

v) vi )

vii ) Se e

viii ) Se e 0 <

a a a a a

a

aa a a

a aa

a a a x y

a a a x y

x y x y x y x y

x

y

x y yx

y

x

x

x

x y

x y

. ) .

0 11

1

1


18

Referências:

“Matemática”, Astor e Remo, Volume 1,

Volume 2 e Volume 3. Editora Scipione.

"O Cálculo com Geometria Analítica",

Swokovski, Volume 1.

"O Cálculo com Geometria Analítica", L.

Leithold, Volume I.

"Introdução à Análise Matemática", Geraldo

Ávila. Editora Edgard Blücher

"Mathematica", Stephen Wolfram, A System

for doing Mathematics by computer. Addison Wesley

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