, [email protected] sbrt.pdf · É como se, "de repente", no meio de uma seqüência de fotos 3...

Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE

1

Hélio Magalhães de Oliveira, [email protected]

Departamento de Eletrônica e Sistemas

Universidade Federal d

e Pernambuco

Cidade Universitária -- Recife – PE.

URL: http://www2.ee.ufpe.br/codec/deOliveira.html


2

Wavelets:

Uma Evolução na Representação de Sinais

• A análise espectral constitui uma das ferramentas clássicas

mais poderosas.

• Uma teoria m

ais potente e geral foi introduzida nos anos 80:

A Transform

ada de W

avelet

• Ela inclui:

Série de Fourier, a Transform

ada de Fourier, a

Transform

ada de Gabor de Tempo Curto, Espectrogramas...

• Wavelets constituem hoje uma das ferramentas potentes em

PDS.


3

A ond

a. M

anuel B

andeira, in

: Estrela da Tarde.

A O

ND

A

a o

nda a

nda

aonde anda

a o

nda?

a o

nda a

inda

ain

da o

nda

ain

da a

nda

a

onde?

aonde?

a o

nda a

onda.

Em Boa Viagem, boa onda a todos os visitantes do Recife.


4

ORIGEM- Escola Francesa

(Morlet, Grossmann, Meyer, Battle, Lemarié, Cohen, Mallat,

Coifm

an, Rioul, etc.)

... Pacotes de ondas acústicas sísmicas.

Em 1909, a primeira m

enção: tese de doutorado de A

lfred

Haar, análise escalonada.

As Wavelets de H

aar, embora de suporte compacto não são

continuamente diferenciáveis.


5

Década de 80, Alex Grossmann (Université de M

arseille) e Jean P.

Morlet (Elf Acquitaine) introduziram o conceito de wavelets.

Morlet recebeu: prêmio Reginald Fessenden Award 1997.

P

rix Chreau-Lavet 2001.

Jean Morlet (1931-2003) (ecce ho

mo!)

(© crédito de foto da Association Marius LAVET, cortesia).


6

Em 1985, Stéphane M

allat (França) estabeleceu a ligação

desta teoria com o processamento digital de sinais.

Yves M

eyer (França) construiu uma das primeiras Wavelets

não triviais, continuamente diferenciáveis.

Ingrid Daubechies (Bélgica) construiu o m

ais usado conjunto

de wavelets ortogonais de suporte compacto (tempo-limitada).


7

Gama de aplicações:

• geologia sísmica

• visão computacional e humana

• radar e sonar

• computação gráfica

• predição de terremotos e maremotos

• turbulência

• distinção celular (norm

ais vs patológicas)

• modelos para trato auditivo

• compressão de im

agens


8

• descontaminação de sinais (denoising)

• detecção de rupturas e bordas

• análise de tons musicais

• neurofisiologia

• detecção de curtos eventos patológicos

• análise de sinais médicos

• espalhamento em banda larga

• modelagem de sistemas lineares

• óptica e microscopia

• modelagem geométrica


9

• caracterização de sinais acústicos

• reconhecimento de alvos

• transitório e falhas em linhas de potência

• Metalurgia (rugosidade de superfícies)

• visualização volumétrica

• Telecomunicações

• previsão em mercados financeiros

• Estatística

• solução de equações diferenciais ordinárias&

parciais


10

Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1822:

"La T

héo

rie Analy

tique de la

Chale

ur"

Jean Fourier (1768-1830).

<<Fou

rier descobriu que as on

das seno

idais constituem

os elem

entos

irredu

tíveis de vibrações e on

das periód

icas – verdadeiros átomos das

flutuações e do flux

o.>>

Os sinais passaram a ser analisado

s no

dom

ínio de Fou

rier, i.e., no

domínio da freqüência.


11

Por

que

wave

lets? Em que esta ferram

enta pode ser mais potente

que a análise espectral clássica de Fourier?

De

onde

surg

iram

as

wave

lets?

Análise Espectral P/ Sinais Não-Estacionários

Os

sinais devem ser tratados

não no domínio t ou

domínio f, mas

em ambos

(espaço conjunto tempo-

freqüência)!


12

Conceito de estacionaridade

Uma das deficiências da análise de F

ourier é que ela não

apresenta um caráter local.

Todo o sinal, desde o começo dos tempos (-∞) até o fim

dos

tempos (+∞) é levado em consideração.

A transform

ada de Fourier representa um "comportamento

global m

édio" do sinal.


13

Figura Ilustração de um trecho

de um

sinal (po

ssivelmente) estacion

ário,

Figura. Ilustração de um

trecho

de um

possível sinal não estacionário.


14

O sinal estacionário apresenta um comportamento "m

ais ou

menos" semelhante em qualquer trecho analisado...

Primeiro passo na direção das wavelets: a introdução de um

caráter local.

Sinal "fatiado" em trechos, e em cada trecho, a contribuição

espectral fosse analisada, resultando em um espectro local.

seqü

ência de "fotos" do espectro:

... F

(w,t -

1),

F(w, t

0),

F(w,t 1), F

(w,t 2) .... evo

luindo

tempo

ralm

ente.


15

Sinais

práticos

"bem

comportados"

com

relação

à

estacionaridade: sinais periódicos.

Não é à toa que a análise clássica de Fourier

é

freqüentemente restrita a esta classe de sinais.


16

FOTOS:

Os

não-estacionários

trazem

variações

substanciais

e

significativas

de padrão e comportamento,

dependendo do

instante de tempo considerado.


17

É como se, "de repente", no m

eio de uma seqüência de fotos 3×4

de fotos

humanas

semelhantes, surgisse uma foto de algum

animal completamente diferente (e.g., girafa).


18

Diferentes níveis de "estacionaridade":

� Seqüência de fotos sempre de uma mesma pessoa em diferentes tempo

s;

� Seqüência de fotos de pessoas diferentes em

tem

pos diferentes, po

rém de

uma mesma raça (origem

);

� Seqüência de fotos de pessoas diferentes em

tem

pos diferentes, po

rém de

origens diferentes;

� Seqüência de fotos de diferentes anim

ais em

tem

pos diferentes (levand

o em

conta algu

m aspecto da classificação de Lineu);

� Seqüência d

e fotos arbitrárias diferentes em tem

pos diferentes, incluind

o ob

jetos, paisagens etc.

Quand

o o espectro de Fou

rier passa a não ter sentido? A respo

sta não é fechada.


19

A Transform

ada de Gabor

Embora capaz

de determ

inar

o conteúdo de freqüências

presentes

em um sinal,

não há noção de quando (em que

intervalo de tempo) elas ocorrem.

Transform

ada de Fourier de Tempo Curto (STFT–Short Tim

e Fourier

Transform

) também conhecida como a Transform

ada de Gabor.

A idéia da STFT: introduzir parâmetro local como se a "Transform

ada

de Fourier Local" observasse o sinal através de uma curta "janela" na

qual o sinal perm

anece aproximadamente estacionário.


20

A transform

ada local observa f(t) "através" de uma janela W

(t) centrada

no instante de tempo τ e de extensão "lim

itada", antes do cálculo do

espectro.

Form

almente,

dt

τ) e

(tt)W

f(STFT(w

jwt

*−

+∞ ∞−−

=∫

:),τ

. Representação bidimensional

F(w,τ,) do sinal f(t), composta por

características espectrais dependentes do tempo.

Janela: a mais comum é janela Gaussiana.


21

Figura. A

nálise com

Transform

ada de Fou

rier clássica e em

tempo

curto.

As próximas perguntas:

� Por que a STFT não é suficiente?

� O que seria mais apropriado, além de uma transform

ada

local (wavelets também são locais)?


22

A Guisa de uma Análise de Wavelets

A análise visualizada como um banco de filtros. R

esolução no tempo

deveria aumentar com o aumento da freqüência central dos filtros, ou

∆f/f=cte (ou fator Q constante).

Figura. A

nálise Espectral com

banco de Filtros: (a) STFT e (b) W

T.


23

O comportamento das respostas ao im

pulso dos filtros de análise,

oscilatório (rápido) e amortecido, gerando "ondinhas".

Figura. Exemplo de uma ondinha: ondelette de Morlet (M

atlab).

As wavelets podem ser interpretadas como as transform

adas

lineares

locais geradas

por um banco de filtros

de fator de

qualidade constante.


24

domínios tempo

e freqü

ência (f × t)

domínios escala e deslocamento (a × b).

Interpretação: "m

apas".

Uma m

udança de escala pode perm

itir, numa escala m

aior,

ter uma visão m

ais global, mas com m

enor precisão. Já em uma

escala menor, vê-se detalhes, mas

perde-se em estudar o

comportamento global.

1: 15.000.000 idéia do Brasil como um todo

1: 3.500.000, analisar Pernambuco, perdendo-se a noção do

Brasil como um todo.


25

Quem já usou mapas sabe qu

e depend

e fund

amentalm

ente do qu

e se quer

investigar! A análise via w

avelets perm

ite, por assim

dizer, visualizar

tanto a floresta quanto às árvores.

Na Transform

ada C

ontínua de W

avelet CWT, todas as respo

stas

ao impu

lso no

banco

de

filtro

s são versões (exp

andidas ou

com

prim

idas)

da m

esma ψ(t), chamada de w

ave

let básica.

Assim

,

ta

bt

tf

ab

a)d

()

(1

:),

CWT(

*

∫∞+ ∞−

−=

ψ.


26

É claro que ao focalizar nu

m nível m

ais detalhado, perde-se a no

ção do

tod

o.

Esse

é exatam

ente o

mecanismo

comum

nas análises (geografia física ou

humana, m

apas, telescópios, m

icroscóp

ios etc.)

Ver-se-á que a análise m

oderna de sinais, com base em decomposição

de wavelets, perm

ite esta abordagem de modo natural.

Uma das “fraqu

ezas” da análise de Fou

rier vem

do fato de ela não explorar a

noção de resolução e m

ultiescala. A análise de wavelets veio exatamente sup

rir

essa lacuna...


27

Introdução a Transformada Contínua de Wavelet

A Transform

ada

de Wavelet foi desenv

olvida como

uma

alternativa à STFT para solucion

ar o p

roble

ma d

a res

olu

ção.

Fixada a janela para a STFT, a resolução no tempo

(t) e na freqüência (f)

perm

anecem

con

stante em to

do o plano

t-f.

CWT:

� Alta resolução tempo

ral e baixa freqü

êncial para freqüências mais altas

� A

lta resolução freqüêncial e baixa resolução tempo

ral p

ara freqüências

mais baixas.


28

Freqü

ência

F

reqü

ência

Tem

po Tem

po

Figura. R

esolução no plano

t-f pela análise: S

TFT e W

avelet.


29

A Transformada de Wavelet Contínua CWT

ψ(t) wavelet-m

ãe

ψ(t) ∈ L2 (ℜ). ∫+∞ ∞−

+∞<

dt

t)(2

ψ

Operações:

a) escalon

amento

=at

at

aψ

ψ|

|1)

(,

a≠0

.

b) deslocamento

)(

)(

bt

tb

−=ψ

ψ.

c) deslocamento com

escalon

amento

=−

=)

()

(,

bt

ta

ba

ψψ

− a

bt

aψ |

|1.

)}(

{)}

({

,t

tb

aψ

ψ→

(∀a, a

≠0) (∀

b∈ℜ).


30

O ajuste na am

plitud

e do

sinal escalonado

foi introd

uzido

visand

o

garantir a isom

eria: tod

as as ondel

ette

s têm a m

esma energia!

Portanto, a escolha das w

avelets como send

o versões

− a

bt

aψ |

|1 garante a

mesma energia para qualquer wavelet!

Define-se

CWT(a,b):=∫+∞ ∞−

dt

tt

fb

a)

()

(,

*ψ

=< f(

t),ψ

a,b>.

Analogia com Fou

rier:

F(w)=∫+∞ ∞−

−dt

et

fjw

t)

(=< f(

t),e

jwt >.


31

� Fourier F(w), em cada w:

Projeção de f(t) na direção das ond

as {

}ℜ

∈w

jwt

e que con

stituem uma

"base" do espaço de sinais.

Esta "base" de Fou

rier é com

posta po

r sinais oscilatórios perpétuos

- traduzindo

o fato qu

e Fou

rier está associado a um

com

portam

ento não-

local n

o tempo

, mas de - ∞

a +∞.

� Wavelets:

decompo

sição de f(t) em

sinais {

}ℜ

∈ℜ

∈+b

ab

at

,

*)

(ψ

que con

stitui um

novo

con

junto de análise do espaço de sinais.


32

Esta

nova "base" é

compo

sta

por sinais oscilatórios de curta

duração - e não sinais ab æ

tern

o.

A com

binação de oscilatório (daí o term

o onda) e de curta duração

(inha) gera o termo

ondin

has, o

ndale

tas, o

ndel

ette

s no

original, ou

de forma já con

sagrada, w

ave

lets.

Um critério para definir wavelets:

• Oscilatória (ond

a=wave), ou

melho

r, qu

e seu

valor médio no

do

mínio tempo

ral é nulo. ∫+∞ ∞−

=0

)(

dt

tψ


33

• Condição de adm

issibilidade,

Dado o par transformada de Fou

rier:

)(

)(

ωψ

Ψ↔

t,

+∞<

Ψ=∫∞+ ∞−

ζζζ

ψd

C|

|

|)(

|:

2

=>

0)

(

0

lim

=Ψ

→ζ

ζ.

0)0(=

Ψ => ∫+∞ ∞−

=0

)(

dt

tψ

. Caráter passa-faixa das wavelets:

0)0(=

Ψ (pela adm

issibilidade)

0)

(=

±∞Ψ

(po

is ψ

é de energia finita).


34

Dado ε >0

arbitrário, ∃ α, β

∈ ℜ

, 0 < α < β < +∞ tal q

ue

|Ψ(w)| < ε p

ara |w| <

α e |w

| > β.

Existe um

a band

a passa-faixa na qual Ψ

é essencialmente não nula.

Figura. C

ompo

rtam

ento de

)(w

Ψ tipo

passa-faixa.


35

Uma wavelet

)(

,t

ba

ψ é definida po

r um

mapeamento afim unitário. Esta

Wavelets são versões transladadas (

b) e dilatadas/comprim

idas (

a) de

uma mesma on

da protótipo

, chamada wavelet-m

ãe ψ(t).

Figura. A

Wavelet-m

ãe S

ymm

let 8

em diferentes escalas e localizações.


36

Uma Transform

ada inversa de W

avelet pod

e ser ob

tida via

2)

(1

),

(1

)(

a

dadb

a

bt

ab

aCW

TC

tf

∫∫

∞+ ∞−

∞+ ∞−

−

=ψ

ψ.

A

Transform

ada

Inversa

(CWT-1)

e

a

Condição

de

Admissibilidade

Sejam

f(t)∈ L2 (ℜ) e

ψa,b(t) ∈ L2 (ℜ-{0}

× ℜ). Sob

qu

e cond

ições é

possível "pegar um

a on

da"? (catch the wave...)

Escolher um

a wavelet protótipo

tal q

ue

ψ(t) ↔

Ψ(w) e

+∞<

Ψ=∫∞+ ∞−

ζζζ

ψd

||

|)(

|C

2

.


37

Fórmula de in

versão sob

con

dições m

enos restritivas.

Definição (W

ave

lets diá

dic

as). Uma

wavelet ψ(t)

∈ L2 (ℜ), ψ(t)

↔Ψ(w), é d

ita ser um

a wavelet d

iádica se e somente se satisfaz a

cond

ição de estabilidade, i.e., ∃ A,B ∈

ℜ 0<A≤B

<+∞

tais que

∑ ∈

−≤

Ψ≤

Zm

mB

wA

|)

2(|

.

Estas w

avelets não

obedecem

à con

dição

de adm

issibilidade (po

rém

obedecem

as cond

ições de estabilidade, m

enos restringentes) e não são

wavelets ortogo

nais.


38

Exemplos: Um m

ar de W

avelets

Nom

e da fam

ília de Wavelets

'haar'

Haar wavelet.

'db'

Daubechies wavelets.

'sym

'

Sym

lets.

'coif' Coiflets.

'bior' Biortho

gonal w

avelets.

'rbio'

Reverse biortho

gonal w

avelets.


39

'meyr' Meyer wavelet.

'dmey' D

iscrete approx

imation of M

eyer wavelet.

'gaus' Gaussian wavelets.

'mexh' M

exican hat wavelet.

'morl' M

orlet w

avelet.

'Mal'

Malvar wavelets.

'shan' Shann

on wavelets.

'deO

' de Oliveira wavelets.

'legd

' Legendre wavelets.

'mth'

Mathieu wavelets.

'cheb'

Chebyshev wavelts.

'beta'

Beta wavelets.

'geg'

Gegenbaur wavelets.

'hart'

Hartley-like wavelets.

'fbsp' Frequ

ency B-Spline wavelets.

'cmor' C

omplex M

orlet w

avelets.


40

Wavelet de Haar

Por sim

plicidade, con

sidera-se um

sinal con

stante por partes. B

ases de

sinais con

stantes po

r partes (e.g. Haar) pod

em ser m

ais adequadas.

contrário

caso

1t

0

0t

1-

02121

:)()

(≤

<≤

<

−

=t

Hψ

.

Estas são versões do tipo

"wavelet digital".


41

Figura. A

s Wavelets de Haar (oito wavelets).


42

Wavelet Sombrero

Assum

indo

um

a ρ(

t) Gaussiana, segu

e-se qu

e )

('')

(t

tρ

ψ−

= é

a wavelet som

brero (chapéu mexicano), p

or razões ób

vias.

3

)1(2

)(

4/

1

2/

2)

(

2

πψ

tM

hat

et

t−

−=

.

Figura. W

avelet Som

brero. M

atlab

.


43

Wavelet complexa de Morlet

Morlet p

ropô

s um

a das prim

eiras wavelet na análise de sinais.

Em sua

investigação de sinais geofísicos (exp

loração

de petróleo),

empregou

a wavelet com

plexa:

tjw

tM

or

ee

t0

22

/4

/1

)(

1)

(−

−=π

ψ.

Figura. W

avelet com

plexa de M

orlet. (parte real e parte im

aginária).


44

Wavelet de Shannon

A análise

correspo

ndente aos

filtros

passa-faixa

ideais define um

a

decompo

sição usando

wavelets conh

ecidas com

o wavelets de Shann

on.

Espectro da W

avelet real:

∏∏

++

−

=Ψ

ππππ

2/3

2/3

)(

ww

w.

Tom

ando

a transformada inversa:

=23

cos

2)

()(

tt

Sa

tSha

ππ

ψ.


45

No caso da wavelet com

plexa, pod

e-se usar

tj

CSha

et

Sin

ct

πψ

2)

()

()

(−

=.

(a) (b)

Figura. (a) W

avelet de Shann

on. (b) A wavelet com

plexa de Shann

on.

Sup

orte in

finito: ∃ /M tal q

ue |ψ

(t)|=

0 ∀|t|>M).


46

Wavelet de Meyer

A wavelet de Meyer é definida no

dom

ínio freqü

encial com

o:

≤≤

−

≤≤

−

=Ψ

contrário.

caso

0

/3

8|

w|/3

4

14

||

3

2cos

21

/34

|w|

/32

1

2

||

3

2sen

21

)(

2/

2/

ππ

πυ

ππ

ππ

πυ

ππ

jw

jw

ew

ew

w

.

Figura. W

avelet de Meyer: (a) fun

ção de escala (b) wavelet. M

atlab®

.


47

Wavelets de Daubechies

Detentora dos prêmios: IEEE Info

. Theo

ry S

oc. Jubilee

Med

al,

Ste

ele-

Prize

fro

m A

m.

Math

. Soc.,

National

Aca

dem

y of

Sci

ence

M

edal,

Basic

Rea

searc

h Award

from

Eduard

-Rhei

n

Foundation.

As 1a

s wavelets ortogo

nais o

btidas, (M

eyer, Battle-Lem

arié), n

ão

apresentam

sup

orte com

pacto.

Haar

são

ortogo

nais e

de supo

rte

compacto, po

rém não

são

diferenciáveis.


48

Um dos m

aiores desafios da teoria de w

avelets foi a construção de um

a família de wavelets ortogo

nais de supo

rte compacto.

Figura. W

avelets db

N de Daubechies (N=2,3,4, ...): A

s Daublets

Matlab

.


49

Figura. V

ersões de um

a db

2. Estas formas de on

da são ortog

onais (!).

• dB

2 é conh

ecida com “barbatana de tu

barão”

( cuidado

se vo

cê se banh

a nas praias do Recife!)


50

Wavelet Sym

mlets e W

avelet Coiflets

Coiflets

e Sym

mlets são

wavelets

mais

simétricas

as qu

ais

foram

projetadas para garantir m

omentos nu

los tanto na fun

ção de escala

)(tφ

quanto na wavelet-m

ãe

)(t

ψ.

(Fun

ção de escala?) (mom

entos nu

los?)

Elas foram criadas D

aubechies sob demanda de R. Coifm

an em 198

9.

São também wavelets de sup

orte com

pacto.


51

Figura. Coiflets e Sym

mlets (coifn e sym

n);

n é núm

ero de m

omentos nu

los.


52

Wavelet de "de Oliveira"

• Fam

ília de wavelets

ortogo

nais complexas: não

são

de supo

rte

compacto.

Possuem

espectro típico passa-faixa

ideal (plano

), com regiões

de

"rolam

ento" assimétricas, m

antend

o a filosofia da análise a Q-con

stante.

Basta escolher

)w

(Φ

(raiz de cosseno elevado).

()

πα

πα

πα

πα

πα

απ

π

)1(

||

)1(

||

)1(

)1(

||

0

0

)1(

||

41cos

2121

)(

+>

+<

≤−

−<

≤

−−

=Φ

w

w

w

ww

.


53

Mostra-se que:

{}t

tt

tt

Sa

tdeO

)1(

sen

.4

)1(

cos

)4(

1

1.

4 .21

])

1[(

).1.(

21)

(2

)(

απ

αα

πα

παπ

πα

απ

φ−

++

−+

−−

=

42

02

40.10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

alpha=

0.1

alpha=

0.2

alpha=

0.3

0.435

0.087

−φt0.1

,(

)

φt0.2

,(

)

φt1 3,

55

−t

Figura. F

unção escala de "d

e O

live

ira". (esbo

ço para α=0,1, 0

,2 e 0,3).


54

Figura. M

ódulo da W

avelet de "d

e O

live

ira"


55

Figura. W

avelet

)(

)(

tdeO

ψ: P

arte real e parte im

aginária.


56

Wavelets com ritmo: as W

avelets de Malvar

Um sinal de variações não estacion

árias deve ser examinado em

janelas de

tempo

curto, tal como acon

tece na transformada janelada de Fou

rier ou em

wavelets.

O sinal, cuja dinâm

ica é revelado

ra, po

de ser segmentado

de um

mod

o não

uniforme no

tempo

.

Esta técnica constitui o

principio

de M

alvar (Henrique Malvar, U

nB). Y.

Meyer redescob

riu

e generalizou-a através de w

avelets com env

elop

e qu

e

começa

por

um “ataqu

e”, segu

e em

form

a de “platô”

e term

ina

num

“decrescendo

” e cunh

ou o term

o wavelets de M

alvar.


57

Wavelets Discretas

A CWT essencialmente mapeia um sinal unidimensional (no

tempo) em uma representação bidimensional (tempo, escala) que

é altamente redundante.

Nas palavras de Y

ves Meyer: Uma transformada contínua é ciceron

iana,

onde tu

do é dito e redito aprox

imadam

ente dez vezes.

As

wavelets agora não são transladadas

nem escalonadas

continuamente, mas sim em intervalos discretos.


58

−=

⇒

=

m

m

o

mb

aa

anb

t

a

ta

b

at

0

0

0

nm,

,

1)

(

-t1

)(

ψψ

ψψ

em que m e n são inteiros, a

0 >1 é um parâmetro de dilatação fixo,

b0 é o fator de translação fixo e b depende agora do fator de

dilatação.

A Transform

ada Discreta de W

avelets:

As Séries W

avelet de tempo contínuo (CTWS)

Form

as discretas são atraentes do ponto de vista:

i) im

plementação e ii) computacional.


59

A discretização da W

T

1) ocorre apenas no domínio dos parâmetros (variáveis de

escala e translação),

2) não na variável independente do sinal a ser analisado

(tempo ou espaço).

Retículado 2D no plano escala-translação:

A grade é in

dexada por dois inteiros m e n:

m => p

ass

os na esc

ala

discr

eta

n => p

ass

os das translaçõ

es d

iscr

etas.


60

Fixam

-se do

is valores dos passos, a

0 e b0.

Escala discreta (logarítm

ica):

a=a0m

m=1,2,3,...

Translações discretas:

b=nb0a

0m n=1,2,3,... dado

m.

Diferentemente da CWT(a,b), as CTWS(m

,n) são definidas apenas para

valores po

sitivo

s de escala (a

0>0), p

orém

esta restrição não é severa.

Assim

, a DWT con

siste em

um m

apeamento do tipo

CTWS: L

2 (ℜ) →

l2(Ζ

+ -{0} × Ζ)

f(

t) a

CTWS(m

,n)


61

Enu

nciado

de ou

tra form

a: sinais contínuo

s de energia finita são

mapeado

s em

uma grade bidimension

al de coeficientes de wavelet.

Interessante observar qu

e a DWT é m

ais análog

a a um

a representação em

série de Fou

rier ao invés de uma DFT:

• Série ∑+∞ −∞=n

tjn

w

ne

F0

representação de tem

po con

tínu

o, com

coeficientes

discretos

• DFT ∑− =

1 0

2

)(

N k

Nnk

j

ek

f

π

representação

em tempo

discreto, com espectro

discreto.


62

Reticulado: A

escolha da grade.

Os coeficientes da CWTS correspon

dem a pon

tos nu

m retículo no

domínio escala-translação.

O reticulado un

iforme no

plano

escala-deslocam

ento é exp

resso po

r:

{}

Zn

mb

anb

ma

∈=

∆,

00

,)

,(

00

. Já o reticulado definido

pelas w

avelets no

plano

escala deslocam

ento é o

reticulado

hiperbó

lico

{}

Zn

m

mm

ba

bna

a∈

=∆

,0

00

,)

,(

00


63

Caso diádico: a

0=2 e b0=1 e

{}

Zn

m

mm

n∈

=∆

,1,2

)2

,2(

. m (escala)

n (deslocam

ento)

Figura. Resolução de transform

adas wavelets:

plano translação-escala.


64

A Transform

ada Discreta de W

avelets:

Séries W

avelets de Tempo Discreto (DTWS)

Além da discretização do plano escala-translação, a variável

independente do sinal pode também ser discretizada.

Neste caso, define-se:

∑+∞

−∞=

−=

=k

m

m

ma

anb

kk

fa

nm

DTW

Sb

aW

T0

00

0

)(

1:)

,(

),

(ψ

.


65

Assim, as DTWS consiste em um mapeamento do tipo

DTWS: l

2 (Ζ) → l2 (

Ζ+ -{

0} × Ζ)

f(

k) a

DTWS(m

,n).

A DTWS é m

ais análoga a uma representação DFT que em série

de Fourier.

Wavelets diádicas:

()

∑+∞ −∞=

−−

−=

k

mm

nk

kf

nm

DTW

S2

)(

2)

,(

2/ψ

.


66

Em resumo:

CWT(a,b)=

∫∞+ ∞−

−−

dt

a

bt

tf

a)

(*

)(

2/1

ψ

()

∫+∞ ∞−

−−

−=

dt

nt

tf

nm

CTW

Sm

m2

)(

2)

,(

2/ψ

()

∑+∞ −∞=

−−

−=

k

mm

nk

kf

nm

DTW

S2

)(

2)

,(

2/ψ

.


67

A Análise de Multirresolução de Mallat

A Função de Escala

A fun

ção de escala (LPF), denotada aqui por

)(tφ

, foi introd

uzida po

r

Mallat em

198

9.

O princípio

fund

amental

é analisar o

sinal

através

de um

a

combinação de uma função de escala

)(tφ

e wavelets

)(t

ψ.


68

• 19

90 “IE

EE B

est paper” Processam

ento Digital de Sinais

• 19

97

“Outsta

ndin

g

Ach

ieve

men

t Award”

da

SPIE

Optical

Eng

ineering

Society

• 19

93 “Alfre

d S

loan fel

lowsh

ip” em

Matem

ática

• 20

02 4o concurso nacion

al de ajud

a a

criação

de em

presas de

tecnolog

ias inov

adoras na França.

• 20

04 Prêmio ISI-CNRS:

pesquisado

r Francês mais

citado

em

Ciências, Eng

enharia e Inform

ática no

s últimos 20 anos.

• 20

07 Prêmio Blaise Pascal em M

atem

ática (academia de ciências)

• 20

07 Prêmio EADS (ciência da in

form

ação).


69

Análise de Multirresolução Ortonorm

al

Métod

o de construção de wavelets ortogo

nais, (M

allat e

Meyer): a

análise de m

ultirresolução.

Este métod

o perm

ite construir a maioria das wavelets ortogo

nais.

Notação:

U m

mA

clos

denota a un

ião do

s conjun

tos A

m , incluindo

tod

os

os pon

tos limites em L

2 (ℜ).

( ∀m∈Z), cria-se um sub

espaço fechado

Vm ⊂

L2 (ℜ) form

ado po

r sinais

aproximados na escala 2

m.


70

Definição (AMR).

Uma análise de m

ultirresolução em L

2 (ℜ) consiste num

a seqü

ência de

subespaços fechados V

m ⊂ L2 (ℜ), m ∈Z, satisfazendo

as segu

intes

relações:

(AMR1)

Vm ⊂ V

m-1 (∀m).

(AMR2)

f(t) ∈ V

m ⊂ L2 (ℜ) ⇔

f(2t) ∈ V

m-1.

(AMR3)

=∈U

Zm

mV

clos

L2 (ℜ).

(AMR4)

IZ

m

mV

∈

=}0{.

(AMR5) ∃

)(tφ

∈ V

0 tal q

ue {

}Z

nn

t∈

−)

(φé um

a base orton

ormal para V

0.


71

Equação Básica de Dilatação (refinamento)

Con

siderand

o como espaço de referência V

0 ⊂ V

-1, qu

alqu

er sinal nele

contido po

de ser decom

posto em

term

os das fun

ções de um

a base de V-1.

Em particular, isto deve ser válido

para a função de escala

)(tφ

∈ V

0.

Sub

espaço

Base

V0

{

}Z

nn

t∈

−)

(φ

V-1

{

} Znn

t∈

−)

2(2φ

.


72

Assim

, existe um

a seqü

ência {h

n} tal q

ue

∑ ∈

−=

Zn

nn

th

t)

2(2

)(

φφ

com

+∞

<∑ ∈

Zn

nh2 |

|.

Esta é a principal equ

ação da AMR.

Ela tem

solução única, de forma qu

e os coeficientes {h

n} po

dem ser

usados para determ

inar univo

camente a fun

ção de escala

)(tφ.

Os coeficientes {

hn}

são

cham

ados d

e "coeficientes do

filtro

passa-

baixa", o

u coeficientes do filtro de escala.


73

Análise de multirresolução de Haar aplicada à im

agem "Lena" (M

atlab)

Em 1988, Lena concedeu entrevistas para Revistas Suecas em Computação e

teve o prazer de descobrir o que acontecera com sua foto capa da Playboy, que

tornou-se padrão de referência para imagens em todo o m

undo. Foi quando ela

soube do uso da foto em Processamento de Imagens.


74

Lena (The First Lady of Internet) durante a 50th Anual Conference of the Society

for Im

aging Science in Technology.


75

Estudo de Caso: Decomposição via Daubechies db2 para ECG

ECG

Figura. A

MR usand

o db

2 para ECG, com

seis níveis de decompo

sição.


76

A decom

posição explicita visualmente, n

o nível 6

, a wavelet m

ãe db2

. Lem

bra decomposição em

série de Fourier: O

s "harmônicos" aqui não

são senoidais perpétuas, m

as versões de um

a wavelet (e.g., o

ndas não

perpétuas).

Uma característica diferente: A

6=S6 (versão grosseira ou passa-baixa), a

qual deve ser adicionada aos detalhes (versão wavelet ou passa-faixa)

para com

por a aproximação.


77

D1 D2 D3 D4 D5 D6 nos subespaços W

A1 → →→→ A2 → →→→ A3 → →→→ A4 → →→→ A5 → →→→ S6 nos subespaços V.

Maior grau de liberdade é conferido à análise, pois o m

esm

o sinal

pode ser decomposto via um grande número de diferentes

wavelets, ao invés de sempre ser decomposto em componentes

senoidais.


78

Filtros su

avizad

or e de detalhes (H e G)

As seqü

ências

Zn

nh

∈}

{ e

Zn

ng

∈}

{, (

+∞<

∑ ∈Z

n

nh

2 ||

,+∞

<∑ ∈

Zn

ng

2 ||

) po

dem

ser exploradas com

o definind

o um

processo de filtragem

.

Condiç

ões

de norm

aliza

ção:

∫+∞ ∞−

=1

)(

dt

tφ

⇒

2=

∑ ∈Z

n

nh

;

∫+∞ ∞−

=0

)(

dt

tψ

⇒

0=

∑ ∈Z

n

ng

.

{hn} Filtro suavizador ou filtro de escala

{gn} Filtro de detalhe ou filtro wavelet.


79

A relação de escala dup

la estabelece qu

e

∑ ∈

−=

Zn

nn

th

t)

2(2

)(

φφ

.

Aplicando

-se Fou

rier em ambo

s os m

embros, com

)(

)(

wt

Φ↔

φ, tem-

se:

∑ ∈

−ℑ

=Φ

Zn

nn

th

w)

2(2

)(

φ=

2/

)2/(

212

jwn

Zn

ne

wh

−

∈∑Φ

.

Assim

,

=Φ

)(w

)2/(

212

/w

eh

jwn

Zn

nΦ

−

∈∑.

Definindo

o "espectro" do

filtro {h

n} pela relação:

=−

∈∑jw

n

Zn

ne

hw

H:)

(.


80

Φ

=Φ

22

21)

(w

wH

w.

De mod

o análog

o, partind

o-se de:

∑ ∈

−=

Zn

nn

tg

t)

2(2

)(

φψ

,

Definindo

o "espectro" do

filtro {g

n} pela relação:

=−

∈∑jw

n

Zn

ne

gw

G:)

(,

chega-se a

Φ

=Ψ

22

21)

(w

wG

w.

As duas equações centrais da AMR no domínio freqüencial são,

portanto, (Equações de escala dupla):


81

Φ

=Φ

2.

221

)(

ww

Hw

,

Φ

=Ψ

22

21)

(w

wG

w.

Construção de AMR Ortogonal - QMF

A construção de uma AMR ortogonal pode ser estabelecida

impondo as condições de ortogonalidade:

{}

Zn

t∈

)(φ

⊥ {

}Z

nn

t∈

−)

(φ ⇔

n

nt

t,

0)

(),

(δ

φφ

>=−

<

{}

Zn

nt

∈−

)(φ

⊥ {

}Z

nt

∈)

(ψ

⇔

n

tn

t,

0)

(),

(δ

ψφ

>=−

<

{}

Zn

t∈

)(

ψ ⊥ {

}Z

nn

t∈

−)

(ψ

⇔

nn

tt

,0)

(),

(δ

ψψ

>=−

<


82

em que

n,0δ

representa o símbo

lo de Kronecker.

Estas condições podem ser "versadas" para o domínio Fourier:

Proposição. (Escolha QMF):

)w

(G.

e)

w(

H*

jwπ

+−

=−

)(

.)

(*

π−

=−

wH

ew

Gjw

.


83

Um par de filtros

G(w) e

H(w) verificand

o cond

ições acim

a (filtros

espelhados

em

quadratura

Quadra

ture

M

irro

r Filte

rs)

=>

ortogo

nalidade.

As cond

ições de ortog

onalidade sobre os filtros correspon

dem a:

0)0(=

H e

2)

(=

πH

2

|)

(|

|)

(|

22

=+

+π

wH

wH

, )(

)(

*π

+−

=−

wG

ew

Hjw

.


84

Estas cond

ições

podem ser conv

ertidas

para o

domínio do

tempo

,

obtend

o as relações sobre os coeficientes

Zn

nh∈

}{

e

Zn

ng

∈}

{.

0,*

2m

Zn

nn

mh

hδ

=∑ ∈

+.

0,*

2m

Zn

nn

mg

gδ

=∑ ∈

+ g

n=(-1)

n h

1-n.

Codificação em Sub-Bandas

wavelets

discretas

=> um

a série

de coeficientes wavelet, também

cham

ada de Série de Decom

posição de W

avelet.

É possível

implementar

uma WT sem im

plementar

explicitamente as wavelets!


85

O m

odo de análise para wavelets discretas consiste em projetar filtros

passa-alta (HPF) e passa-baixa (LPF) de tal m

odo qu

e “particion

e” o

espectro do sinal exatamente ao meio.

Figura. B

anco de filtros / C

odificação em Sub

-bandas.


86

A Codificação em sub-bandas.

Mud

ança de no

tação (aprop

riada p/ filtragem

digital)

dm[n]:=d

m,n e c

m[n]:=c m

,n; h

[l]:=h

l. � Avaliação dos coeficientes de escala c m[n]

∑ ∈+

−=

Zk

NN

]k

[c

].n

k[

h]

n[

c2

1.

Os coeficientes da decompo

sição (versão aproximada) pod

em ser

obtido

s iterativam

ente

uma filtragem discreta; sem

necessitar um

a fórm

ula explicita para φ(.).

Apenas os coeficientes do filtro suavizador {

hk} são requeridos.


87

� Avaliação dos coeficientes de escala d

m[n].

Os

coeficientes da decompo

sição

wavelet (d

etalh

es), i.e.,

os

coeficientes da transformada de wavelets, são obtidos via:

∑ ∈+

−=

Zk

NN

]k

[c

].n

k[

g]

n[

d2

1.

Assim

, os coeficientes da decom

posição (versão detalhada) pod

em

ser ob

tido

s iterativam

ente

uma filtragem discreta; sem

necessitar um

a fórm

ula explicita para ψ(.).

Apenas os coeficientes do

filtro de detalhes {g

k} são requerido

s.


88

Figura. P

rocedimento de codificação em

sub-banda:

Decom

posição de uma escala para a próxim

a.


89

Figura. Cálculo do

s coeficientes da Transform

ada

de Wavelet po

r filtragem e sub-a

mostra

gem

.


90

Os valores de

g[n] e h[n] correspo

ndem

a LPF e HPF, respectivam

ente.

� W

avelets de sup

orte infinito (e.g. wavelets de M

eyer, Battle-Lem

arié

...) po

ssuem in

finitos valores não nu

los de h[n] e g[n] im

plem

entada

com IIR.

� Já wavelets de sup

orte finito (e.g., Haar, D

aubechies) só po

ssuem um

número finito de coeficientes de filtros não nu

los implem

entada

com FIR.


91

Algoritm

o cascata

Aproximações numéricas para uma função de escala ϕ(

t) e para a

função wavelet ψ

(t), podem ser construídas com base em h e g.

A idéia é calcular

)(

)(

tk

ϕ como a iteração de ordem k, determ

inada a

partir de uma versão anterior da iteração de acordo com:

)2(

2]

[)

()

()1

(n

tn

ht

k

k

k−

=∑+∞ −∞=

+ϕ

ϕ e

)2(

2]

[)

()

()1

(n

tn

gt

k

k

k−

=∑+∞ −∞=

+ϕ

ψ.

Se o algoritmo converge para um ponto fixo, esta é a solução da

equação de dupla escala, a qual é independente da solução inicial

arbitrada

)(

)0(

tϕ

(ou

)()

0(t

ψ).


92

IMPORTÂNCIA

PRÁTICA

• No caso de seqüências

finitas

(de comprimento N), a complexidade

multiplicativa para o cálculo de uma DFT usando a força bruta é O

(N2 ).

• Algoritmos

rápidos

(FFT)

resultam numa complexidade multiplicativa

O(N.lo

g2N).

O algoritmo piramidal (19

83) para o cálculo da DWT é ainda m

ais rápido

que as

FFTs: A transformada pode ser calculada usando apenas O(N)

multiplicações.

NOTA: “desconfio, escreveu um dos revisores do artigo, que ninguém jamais utilizará este

algoritmo”.


93

Aplicações de Wavelets

Provocações... (!)

Wavelets em

Desco

ntaminação

de Sinais

Infelizm

ente,

descon

taminação é

um prob

lema

difícil

não

há

fron

teiras de distinção entre o sinal e o ruído

.

Mét

odos

de

des

conta

min

açã

o:

suprim

ir

"alg

um

as"

co

mponen

tes

"inco

eren

tes"

com

o sin

al de in

form

açã

o.


94

“ENGENHARIA” DA DESCONTAMINAÇÃO PARA RUÍDOS ADITIVOS

OU

DE COMO CEIFAR AS ERVAS DANINHAS POUPANDO AS MARGARIDAS

A breve discussão que se segue elucida, sem m

aior rigor, porém de m

odo

intuitivo, os alicerces da m

aioria das técnicas adotadas na descontaminação de

sinais.

Embora grosseira,

a ilustração é suficiente para propósitos

de

compreensão do mecanismo.

David Donoho


95

Sinal f(t) contaminado por ruído aditivo n(t).

O sinal contaminado é f(t)+n(t).

Para uma transform

ada linear, o espectro do sinal é superposto, de form

a

aditiva, ao espectro do ruído.

Há trechos da banda em que o sinal “domina” largamente o ruído, enquanto que

há partes em que o ruído é praticamente de mesm

a ordem do sinal.

A idéia central da descontaminação consiste em estabelecer um lim

iar sobre o

espectro contaminado.

Trechos do espectro abaixo do limiar são elim

inados (assassinados).


96

Nas zonas abaixo do limiar, pode haver algum sinal presente (provavelmente

haverá), porém a intensidade do ruído é “comparável” ao sinal e a inform

ação

encontra-se comprometida – um espectro “sujo”.

O mecanismo lembra de como tratar maçãs

bichadas: para aproveitá-las,

extirparem-se as partes que se encontram podres.

A elim

inação de trechos

substancialmente ruidosos

do sinal fornece um

“espectro descontaminado”, o qual é então usado para obter uma versão “mais

limpa” do sinal, via a transform

ada inversa.


97

Isso p

ode ser realizado e

m q

ualquer domínio d

e transform

ação, desde q

ue o

ruído seja aditivo e a transform

ada seja linear.

• Razão do sucesso frente a outras transform

adas: As transform

adas de

wavelet perm

item um maior grau de liberdade na decomposição.

w

02

46

810

120

0.51

1.52

2

9.42

7106−

×Fw()

12110

3−×

w

05

10012

2 0

Nw()

()

12110

3−×

w0

24

68

1012

0

0.51

1.52

2 0

Sw()

12110

3−×

w

2

(a) Sinal original; (b) ruído aditivo; (c) sinal contaminado.

B2

B1


98

As wavelets têm se mostrado ferram

entas im

portantes na rem

oção de

ruído.

• sinal o

riginal f

k

• ruído aditivo

nk v.a. - ruído

branco gaussiano.

• ob

servações

kk

kn

fy

σ+

=, k=0,1,2,...,K-1,

Matricialmente, y=f+

σn .

Aplicando

-se

a transformada

de

wavelets,

obtém-se

)(

)(

)(

nf

yD

WT

DW

TD

WT

σ+

=.

Os

coeficientes wavelet do ruído

superpõem-se

aos

coeficientes

wavelets do sinal.


99

Ilustração (Matlab) da descontaminação de um sinal com ruído gaussiano.

Efeito do w

aveshrink nos coeficientes da decomposição e no sinal recuperado.


100

Domínio wavelet

Domínio tempo

(a)

(c)

(b)

(d)

Figura. (a) Coeficientes wavelet para o sinal contaminado (b) Coeficientes

wavelet após waveshrink (c) sinal contaminado e (d) sinal descontaminado.


101

Análise de Turbulência

Marie Farge (Ecole Normale Supérieure) 1986


102

Compressão via wavelets

A título de destacar a relevância das w

avelets como mecanismos de

compressão:

� Inclusão no

padrão internacional JPEG 200

0.

� padrão do FBI

(Fed

eral

Bure

au

of

Inve

stig

ations) para o

armazenam

ento de im

pressões digitais.


103

Figura. D

emonstrativo do JPEG 2000 [Fonte:

http://www.cmla.enscachan.fr/Utilisateurs/ymeyer/jpeg2000Demo/jpeg2Dem.html].

Wavelets biortogo

nais de Coh

en-D

aubechies-Feauv

eau.


104

Em 1993, o FBI desenvolveu padrões para digitalização e compressão

de im

pressões digitais.

O padrão de compressão de imagens adotado pelo FBI (U

S Federal

Bureau of Investigations) para a digitalização de imagens em níveis de

cinza de impressões

digitais é chamado de WSQ, "Padrão de

Compressão W

avelet/Q

uantização escalar" (do Inglês: W

avelet/Scalar

Quantization standard).

O m

étod

o de com

pressão envo

lve três passos principais:

i) Uma decompo

sição DWT da im

agem

fon

te da im

pressão digital;

ii) Uma qu

antização escalar (quantizador uniform

e) dos coeficientes DWT;

iii) Cod

ificador de fonte sem perdas do

s índices qu

antizado

s.


105

O W

SQ adota uma quantização para uma decomposição da im

agem em

64 sub-bandas

usando a DWT. As

imagens

são produzidas

com

qualidade de arquivamento e com taxas de compressão em torno de

20:1

• As imagens de im

pressão digital são digitalizadas via scanner com

resolução de 500 pixel/polegada e com 8 bits (256 níveis de

cinza).

• Uma impressão digital adquirida com esta qualidade requer

700.000 pixels e necessita 0,6 M

bytes para arm

azenagem. Duas

mãos, requerem quase 6 Mbytes, sem compressão.


106

(a)

(b)

Figura. Diagram

a simplificado

do S

istema WSQ (Padrão FBI) para Im

pressões

Digitais (a) Com

pressão

de Im

pressões com codificação

em 64-subbandas (b)

Reconstrutor da im

agem

a partir da seqüência binária com

prim

ida.


107

Wavelets em

Compressão

de Im

agen

s A compressão de imagens com base em transform

adas vem sendo

usada a longo tempo com sucesso.

A compressão com wavelets consiste essencialmente em três etapas:

� A transform

ada, �

a Q

uantização e �

a Codificação.

Trata-se de um esquema similar ao clássico PCM (Pulse Code M

odulation).


108

Figura. Princípio da codificação de imagens com base em transform

adas de

wavelet: Transform

ada wavelet direta, quantização e codificação binária.

� As wavelets norm

almente adotadas nestes esquemas são as de Daubechies

com N=3 momentos nulos e as Biortogonais com N=2 momentos nulos.

� A etapa de codificação pode envolver uma codificação binária de comprimento

fixo ou de comprimento variável.

� N

o esquema de quantização, o grau de perda é controlado escolhendo o

número de níveis de quantização e a geometria das células de Voronoi.


109

A form

a m

ais usual de compressão é a "compressão com perdas", na qual

elim

ina-se um grande número de coeficientes wavelets sem grande perda na

qualidade da im

agem.

Figura. Efeito progressivo da Compressão W

avelets.

(a)

Imagem original 100% dos coeficientes,

(b)

19% dos coeficientes wavelets retidos,

(c)

3% dos coeficientes wavelets retidos,

(d)

1% dos coeficientes wavelets retidos.


110

Potencial das wavelets na compressão de im

agens [D. Lemire e A. Béliveau].

Original 26

1 kB

JEPG 28 kB

wavelet CIRA

5kB


111

Wavelets na Análise de Sinais Méd

icos

As

wavelets constituem uma ferramenta extremamente valiosa na

(Engenharia) Biomédica.

• análise de sinais fisiológicos tradicionais (eletrocardiogramas ECG,

eletroencefalogramas EEG, etc.)

• imagens biomédicas (Biomedical Im

aging)

• modelos de percepção (sistema visual, sistema auditivo etc.).

redução de ruído, realce de imagens para diagnóstico (radiografias,

mamografias, ultrassom etc.), detecção de microcalcificações

em

mamografias, Imagens

de Ressonância Magnética MRI,

Tomografia

computadorizada


112

Wavelets de D

aubechies na detecção de arritm

ias, p.ex., VLP (ventricular late

potential).

Figura. A

nálise de um eletrocardiograma via wavelets dbn. A

energia associada com

a contração ventricular prematura é explicitada nas escalas 6, 7 e 8 (D6, D

7 e D8).


113

Mam

ografia e radiologia. Microcalcificações sempre refletem alguma patologia nos

seios, seja benigna ou m

aligna. Em m

uitos casos elas não são visíveis devido ao ruído e

blur que ocorrem em sistemas de raios-X e na câmera digitalizadora. Técnicas baseadas

em wavelets tem sido usadas com sucesso na detecção de microcalcificações.

Figura. Realce em Mamografia digital com wavelets: Imagem original e Imagem

com Realce e descontaminação.


114

RMN - Com

pressão 10

:1


115

2D-W

avelet via Análise de Multiresolução para Im

agens

A implementação bidimensional da transform

ada discreta de w

avelet (2D-

DWT) pode ser realizada pela aplicação de 1-D-DWT para a imagem,

primeiro na direção horizontal e então na direção vertical.

sub-im

agens: L

ow-L

ow, Low-H

igh, H

igh-L

ow e H

igh-H

igh na escala 1.

2D

-DWT é aplicada apenas nas sub

-imagens Low-L

ow gerando

Low-L

ow, Low-H

igh, H

igh-L

ow e H

igh-H

igh na escala 2.

....

Original

Decom

posição 2D

- Wavelet M

ascara de iteração

Figura. Decom

posição Diádica da im

agem

"de

Olive

ira" e máscara de iteração

empregada para a decom

posição em

níveis mais elevados.


116

Wavelets em Telecomunicações

• Óptica

• Sincronização

• Modulação

• Identificação de modulações digitais

• Combate a ruído intencional (anti-jamming)

• Codificação de voz e na quantização (linear ou vetorial)

• Radar

• Modelos para o sistema auditivo

• Sistemas com diversidade em canais com desvanecimento

• Multiplex e CDMA

• Sistemas Multiportadoras Ortogonais (multitom tipo OFDM).


117

Seqüências de espalhamento espectral u

tilizando wavelets FF-Haar

sobre GF(7)

Wavelets Ortog

onais po

dem ser usadas como as seqüências de espalhamento

espectral.

Projeto de seqü

ências ortogo

nais de espalham

ento espectral de

comprim

ento N

=8. A

Wavelets

FF-H

aar sobre GF(p) po

de ser u

sada p

ara

derivar as seqüências.

Cada usuário tem uma seqüência que corresponderá a uma versão

escalonada/transladada de uma mesm

a wavelet-mãe.


118

Figura: S

istema Multiplex utilizando wavelets FF-Haar.


119

Modulação por Chaveamento de W

avelets – WSK

Sinalização M-ária W

SK para transm

issão de dados.

A modulação W

SK é definida escolhendo-se o número M

de escalas.

Versões

escalonadas

da wavelet mãe são transm

itidas

em cada intervalo-

símbolo.

O fator de escala em cada “slot” depende dos dados binários da entrada.

O sinal m

odulado sem superposição (n-W

SK) baseado em wavelet

)t

(ψ

é

())

mt

()

t(

)m

(n

m

)m

(n

WSK

n−

=∑+∞

−∞=−

22

2 ψϕ

em que m

determ

ina a índice do símbolo a uma taxa de 1 baud e n(m

) ∈

{0,1,2,...,M-1}.


120

Duração efetiva de

)t

(ψ

é unitária. Versões escalonadas

)t

()

m(

n2

ψ, n(m

)≠0 são

mais curtas que

)t

(ψ

e

)t

(W

SK

ϕ é uma seqüência de wavelets não superpostas.

Dados são segmentados em blocos de log2M bits. O bloco especifica o fator de

escala n da wavelet que será transm

itida no slot particular.

Figura. Modulador WSK. A notação ×1, ×2, ..., ×M especifica o fator de escala da wavelet.


121

Outro caso consiste em W

SK superpostas (o-W

SK) sobre uma wavelet:

() )

mt

()

t(

)m

(n

m

)m

(n

WSK

o−

=−

+∞

−∞=

−−

∑2

22 ψ

ϕ.

02

46

810

210121.718

1.384

−φnon

t()

101

−t

05

1015

0.2

0.10

0.1

0.2

0.255

0.174

−φovert()

152

−t

Figura. Form

as de onda típicas (norm

alizadas a 1 baud) com M=4 escalas:

Esquema W

SK deO-W

SK (de O

liveira wavelet com α=0.2) sem superposição e

com superposição.


122

Multiplexação por Divisão em Multirresolução – MRDM

De acordo com a decomposição heterogênea de Mallat, dado um

sistema wavelet {

}j

kk

,,ψ

ϕ, um sinal

)(t

f pode ser escrito como

∑∑

∑=

+≅

k

J j

jkk

j

k

Jkk

td

tc

tf

1,

)(

)(

)(

ψϕ

,

em que

kc e

jkdsão os coeficientes de aproximação e de detalhes.

Ao invés de usar a decomposição de Mallat na análise de um único

sinal, esta abordagem gera o sinal m

ultiplexado de diferentes usuários.

A idéia é usar a AMR para sintetizar o sinal m

uxed.


123

Seja

)(t

f i o sinal analógico do usuário i. Se as amostras de cada sinal

são atribuídas a uma dada escala, p.ex.

][

0k

fc k

= e

][k

fd

jjk=

,

um sinal contínuo muxed pode ser gerado de acordo com

∑∑

∑=

+≅

k

J j

jkj

k

JkM

UX

tk

ft

kf

t1

0)

(]

[)

(]

[)

(ψ

ϕϕ

.

Nesta expressão, diferentemente da AMR padrão, cada coeficiente vem

de um usuário diferente.


124

CONCLUSÕES

• AS APLICAÇÕES NÃO PARAM POR AI...

• IMPORTANTE E PODEROSA FERRAMENTA NA ANÁLISE DE

SINAIS

• NUMEROSAS APLICAÇÕES E PERSPECTIVAS

• ENTREM NA onda E BOM USO ☺

(espero!)

Obrigado!!

, [email protected] sbrt.pdf · É como se, "de repente", no meio de uma seqüência de fotos 3...

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