PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

AO FINAL DESTA AULA SERÁ IMPORTANTE ENTENDER:

Conjunto dos números reais.

O que é uma sequência numérica?

Como determinar uma sequência finita ou infinita?

Como determinar os termos de uma sequência?

O que é uma sucessão aritmética e soma dos termos de uma P.A.?

O QUE É UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA?

São elementos cujos números pertencem ao conjunto

dos números reais, esses elementos estão dispostos

em uma certa ordem, um conjunto assim é chamado de

sequência numérica.

Quando uma sequência tem infinitos termos ela se

chamara infinita; caso contrário, é uma sequência finita.

EXEMPLOS

Sequências infinitas:

Sucessão dos números pares (2, 4, 6, 8 ,...)

Sucessão dos números impares (1, 3, 5, 7,...)

Sequências finitas:

Sucessão dos números (1, 2, 3, 4, 5)

Sucessão dos números (10, 20, 30, 40, 50)

O QUE É UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA?

É toda sequência numérica na qual, a partir do

segundo, cada termo é igual à soma de seu

antecessor com uma constante chamada de

razão, essa constante é indicada pela letra r.

DETERMINAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA

Determinar uma sequência é saber qual a imagem de

n para todo n lN , e podemos fazê-lo aplicando a lei

de recorrência ou o termo geral.

O que é lei de recorrência?

É uma lei que permite calcular cada termo da

sequência, apartir do termo anterior.

*

É necessário também, para determinação da

sequência, que o primeiro termo seja dado.

91811

81711

71611

61511

5:

1

5

55455

44344

33233

22122

1

1

1

AAAAnA

AAAAnA

AAAAnA

AAAAnA

ALogo

nA

A

n

Onde :

é o primeiro termo.

é o segundo termo.

é o terceiro termo. é o quarto termo.

é o quinto termo.

1A

2A

5

4

3

A

A

A

EXEMPLOS

1) (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7,...) é P.A. de razão r = 2.

2) (8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,...) é P.A. de razão r = 0.

3) (20, 16, 12, 8, 4, 0) é P.A. de razão r = -4.

Então uma P.A. pode ser:

Crescente: quando r é maior que zero (r > 0).

Constante: quando r é igual a zero (r = 0).

Decrescente: quando r é menor que zero (r < o).

AGORA VAMOS ALGUNS EXEMPLOS DE EXERCÍCIOS

Exemplo 1: Escreva os quatro primeiros termos de uma P.A sabendo que:

= -3 e r = 4. r = -

= + r = -3 + 4 = 1

= + r =1 + 4 = 5

= + r = 5 + 4 = 9

= + r = 9 + 4 = 13

1A 1A2A

2A1A

2A 3A

4A

5A

2A

3A

3A

4A

4A 5A

Exemplo 2: Escreva uma P.A. de cinco termos sabendo que:

= e r = 3.

= + r = + 3

= + r = + 6

= + r = + 9

= + r = + 12

1A

2

2A 3A

4A5A

1A2A

3A4A

2A

3A

4A5A

2

2

2

2

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.

Determinar o termo geral de uma P.A. é calcular o valor de uma termo qualquer. Essa fórmula permite que encontremos, dados três dos quatro elementos.Sendo:

termo geral

n números de termos

primeiro termo

r razão

nA

nA

1A

Questão 1: Calcule na P.A.: (2, 5, 8,...)

= + (n – 1). r

= 2 + (20 – 1). 3

= 2 + 19. 3

= 2 + 54

= 5920A

nA 1A20A

20A

20A

20A

325

3

20

2

12

1

20

rrAAr

onde

r

n

A

AAn

Questão 2: Determine a razão, sabendo que = 14 e = 0.

= + ( n – 1 ). r

= 0 + (8 – 1). r

14 = 0 + 7 . r

14 = 7r

r = 14 / 7

r = 2

8A 1A

nA

1AnA

?

8

0

14

1

8

r

n

A

AAn

AGORA TENTE FAZER SOZINHO.

Determine o sexto termo de uma P.A. onde = - 3 e r = 5

Só para relembrar é o primeiro termo e r é a

razão.

1A

1A

SUBSTITUA NA FÓRMULA OS TERMOS QUE VOCÊ POSSUI

= - 3

r = 5 n = 6, pois é o sexto termo dessa P.A.

= ?

= + ( n – 1 ). r

= - 3+ ( 6 – 1 ). 5

= - 3+ 5 . 5

= - 3 + 25

= 22

1A

nAnA

1AnAnAnAnA

INTERPOLAÇÃO

Agora um outro exercício de P.A. que se chama interpolação.

Este tipo de problema consiste em descobrir a razão, para podermos determinar os elementos dessa P.A., onde são dados dois valores (que são as extremidades) e a quantidades de termos que ficam entre essas extremidades, chamamos de interpolar.

Exemplo:

Faça a interpolação de cinco meios aritméticos entre - 8 e 22.

Neste caso devemos descobrir cinco números entre - 8 e 22 que formem juntamente com estes a seguinte P.A.

6 RAZÕES

5 meios

O problema fica resolvido com a determinação da razão da P.A. Como = - 8 e = 22, então: = + 6 . r 22 = - 8 + 6 . r r = 5

Os números procurados são - 3, 2, 7, 12, 17 e a P.A. é (- 8, - 3, 2, 7, 12, 17, 22)

22,,,,,,8 65432 AAAAA

1A 7A

1A 7A7A 1A

Obs: Entre – 8 e 22 existem 6 razões, por isso na montagem da expressão multiplicamos 6. r.

O número que se multiplica pela razão irá varias de acordo com a quantidades de termos.

1 2 3 4 5 6

22,,,,,,8 65432 AAAAA

AGORA TENTE FAZER ESTE EXERCÍCIO.

 1 - (FATES) - Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 e escrever a P. A. correspondente com primeiro termo igual a 2.

Lembre-se que é preciso determinar a

razão!

11 RAZÕES

10 meios

(são 10 termos entre as extremidades que são 2 e 57)

= + 11 . r

57 = 2 + 11 . r

57- 2 = 11r

r = 55/11

r = 5

57,,,,,,,,,,,2 111098765432 AAAAAAAAAA

1A 12A

12A 1A

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA

Podemos definir a soma dos termos de uma P.A. finita através da fórmula:

Onde:

soma dos termos de uma P.A. finita

primeiro termo

termo geral

n número de termos

2

).( 1 nAAS nn

nS

1A

nA

EXEMPLO Calcule a soma dos doze primeiros termos da P.A. (- 3, -1, 1, 3, ...).

Neste caso devemos primeiro determinar o valor de através da fórmula do termo geral.

r = -

r = (-1) – (-3)

r = 2

nA

rnAAn ).1(1 2A 1A

19

223

2).112(3

).1(1

n

n

n

n

A

A

A

rnAA

Agora podemos utilizar a fórmula de somatória dos termos da

P.A. , já que temos os elementos necessários:

962

1922

12.162

12).193(2

).( 1

n

n

n

nn

S

S

S

nAAS 19nA

31 A

12n

AGORA TENTE FAZER SOZINHO!

2 - (PUC-SP) - Determine uma P.A. sabendo que a

soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que = 79.8A

Solução:

28

16

8632648

)6328(648

)6328(2.3242

8).79(324

2

).(

1

1

1

1

1

1

A

A

A

A

A

nAAS nn

11

7/77

777

7279

).18(279

).1(1

r

r

r

r

r

rnAAn

SENDO ASSIM OS ELEMENTOS DESSA P.A, SÃO

(2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79)

Poderemos calcular qualquer termo das fórmulas gerais desde de que

sejam conhecidos três desses quatro valores!

BIBLIOGRAFIA

FACCHINI,Walter. Matemática Volume Único. Editora Saraiva, 2007. BACCARO, Nelson. Matemática; 2ºgrau. Editora Ática,1995.