Wronskiano

Na matemática, Wronskiano é uma função aplicada especialmente no estudo de equações

diferenciais. O nome dessa função é uma homenagem ao matemático polonês Josef Wronski.

Dado um conjunto de funções f1, f2, ... fn, define-se o Wronskiano de acordo com o determinante:

.

Este determinante é construído pondo as funções na primeira linha, as primeiras derivadas de

cada função na segunda linha, assim procedendo até a derivada de ordem (n-1), formando

assim um arranjo quadrado denominado matriz fundamental.

Índice

. 1 Wronskiano e independência linear

2 Exemplos

3 Ver também

4 Ligações externas

Wronskiano e independência linear[editar]

O Wronskiano é utilizado para determinar se um conjunto de funções diferenciáveis são

linearmente dependentes ou independentes, em um dado intervalo. Caso o Wronskiano seja

diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes.

Este conceito é muito útil em diversas situações, por exemplo na verificação se duas funções

que são soluções de uma EDO de segunda ordem são linearmente dependentes ou

independentes. Um erro muito comum é falar que as funções são linearmente dependentes

quando W=0. Giuseppe Peano foi um dos primeiros a apontar a inconsistência desse fato ao

mostrar que as funções f(x) = x² e g(x) = x|x|, que são linearmente independentes, tem o W=0.

Algum tempo depois, Maxime Bôcher mostrou que existem infinitas funções que possuem essa

mesma propriedade. Uma mostra de tal é dada no exemplo 3.

Exemplos[editar]

Considere as funções e definido para o conjunto dos números reais. O

Wronskiano correspondente é:

Pode-se notar que W é diferente de zero para qualquer número real. Portanto, essas

funções certamente são linearmente independentes.

Considere as funções , e . Existe uma clara dependência linar

entre essas funções, já que Logo, o

Wronskiano associado deve ser igual a zero:

Como foi dito acima, W=0 não quer dizer que as funções são linearmente

dependentes. Considere as funções e (valor absoluto de ), que

pode ser escrita como:

Pode-se perceber que essas funções são linearmente independentes, pois não existem

constantes 'a' e 'b' tais que a. + b. = 0 para qualquer valor de x. Entretanto, seu

Wronnskiano é zero:

Equação diferencial ordinária

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Em matemática e em particular na análise, uma equação diferencial ordinária (ou EDO) é uma equação que envolve as derivadas de uma

função desconhecida de uma variável. Um exemplo simples de uma equação diferencial ordinária é

onde é uma função desconhecida, e a sua derivada.

Índice

[esconder]

1 Definição

2 Exemplos práticos

3 Equações diferenciais específicas

o 3.1 Equações diferenciais lineares

o 3.2 Outros casos

4 Solução de uma Equação Diferencial Ordinária

5 Métodos para resolução de EDO

6 Referências

7 Ver também

8 Ligações externas

Definição[editar]

Seja y uma função de x e que

denote as suas derivadas

.

Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que envolve

.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada na equação.

Uma solução de uma EDO é uma função y(x) cujas derivadas satisfazem a equação. Não está garantido que tal função

exista, e caso exista, normalmente ela não é única.

Quanto à linearidade de uma equação diferencial ordinária de ordem n pode ser vista como uma função

, dizemos que a equação diferencial é linear se for linear

em . 1

Ao que se refere aos coeficientes, uma equação diferencial pode ter coeficientes constantes ou funções da

variável independente.

Quando uma equação diferencial de ordem n tem a forma

é designada equação diferencial implícita, enquanto que a forma

é designada equação diferencial explícita.

Uma equação diferencial é autônoma se não depender de x, e homogênea se todos os termos da

equação diferencial dependem exclusivamente de x.

Exemplos práticos[editar]

Equações diferenciais são usadas muito frequentemente para descrever processos nos quais a

mudança de uma medida ou dimensão é causada pelo próprio processo.

Historicamente, as primeiras equações diferenciais foram as relativas à aceleração igual ou

desigual, que Galileo Galilei pôde medir, ainda que com métodos geométricos.

Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduziram o cálculo diferencial e, este último, as equações

diferenciais como as conhecemos hoje.

Por exemplo na Física, a lei da vida média prevê que o número de átomos que se decompõem por

unidade de tempo numa massa de átomos instáveis dependem do total N dos átomos existentes

(aqui é necessário considerar-se que, por ser N um número muito grande, pode-se considerar sua

variação contínua e determinística; no caso de N ser um número pequeno deve-se considerar sua

variação discreta e estocástica, e o método mais adequado é outro).

Desta forma, a diminuição do número de átomos é proporcional ao total de átomos:

Pelo cálculo da função nesta equação diferencial, torna-se possível determinar o

número total de átomos a cada momento no tempo.

Um outro exemplo simples é o oscilador inalterado harmónico com a equação diferencial

A função procurada aqui é a função , cuja segunda derivada em relação ao

tempo advém das leis do movimento.

Equações diferenciais específicas[editar]

Equações diferenciais lineares[editar]

Ver artigo principal: Equação diferencial linear

Uma EDO é linear quando os termos envolvendo a função a ser determinada

aparecem apenas de forma linear, ou seja, podemos escrever a EDO como

Esta equação é de grau n quando a função fn(x) não é identicamente nula.

Outros casos[editar]

Equação diferencial de Bernoulli

Equação de Clairaut

Equação diferencial de d'Alembert

Equação diferencial de Euler

Equação de Riccati

Solução de uma Equação Diferencial

Ordinária[editar]

Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz a

identidade da equação. A solução mais geral possível que admite uma equação

diferencial é denominada solução geral enquanto que outra solução é chamada

uma solução particular.2

Exemplo

Solução particular:

Solução geral: (C constante)

As soluções se classificam em:

Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n=ordem

da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser

escritas

Solução particular - obtida da geral, mediante condições dadas

(chamadas condições iniciais ou condições de contorno.3

Métodos para resolução de EDO[editar]

A habilidade em encontrar soluções exatas em geral depende da habilidade em

reconhecer certos tipos de equações diferenciais e da aplicação de um método

específico. Em outras palavras, o que funciona para um tipo de equações

diferenciais não necessariamente se aplica a outro tipo.4 Os métodos mais

conhecidos são:

Método do Fator Integrante

Equações Separáveis

Método da variação de parâmetros

Equação diferencial exata

Redução de Ordem

Coeficientes a determinar

Referências

1. ↑ E. BOYCE, William; Diprima, Richard C.. Equações Diferenciais

Elementares e Problemas de Valores de Contorno (em português).

oitava ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ISBN 978-85-216-1499-9

2. ↑ Equações Diferenciais Ordinárias (em português). Página visitada em

09 de outubro de 2012.

3. ↑ Equações Diferenciais (em português). Página visitada em 26 de

outubro de 2012.

4. ↑ Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis (em português).

Página visitada em 06 de novembro de 2012.

Ver também[editar]

Equação diferencial

Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)

Ligações externas[editar]

CEFET/RJ matéria de E.D.O.

EDO