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8/3/2019 wooldridge_d

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Este apndice resume os conceitos de lgebra matricial, inclusive da lgebra de probabilidade,

necessria para o estudo de modelos de regresso linear mltipla usando matrizes, do Apndice E.Nada deste material usado no texto principal.

D.1 DEFINIES BSICAS

DEFINIO D.1 (MATRIZ)Uma matriz um arranjo retangular de nmeros. Mais precisamente, uma matriz m n tem m linhas e ncolunas. O inteiro positivo m denominado dimenso da linha, e n denominado dimenso da coluna.

Usamos letras maisculas em negrito para representar as matrizes. Podemos escrever, de formageral, uma matriz de ordem m n como

A [aij] ,

onde aij

representa o elemento na i-sima linha e na j-sima coluna. Por exemplo, a25

corresponde aonmero na segunda linha e na quinta coluna de A. Um exemplo especfico de uma matriz 2 3

A , (D.1)

onde a13

7. A forma abreviada A [aij] freqentemente usada para definir operaes de matrizes.

DEFINIO D.2 (MATRIZ QUADRADA)Uma matriz quadrada tem o mesmo nmero de linhas e colunas. A dimenso de uma matriz quadrada dada por seus nmeros de linhas e colunas.

DEFINIO D.3 (VETORES)

(i) Uma matriz 1 m chamada vetor linha (de dimenso m) e pode ser escrita comox (x1, x2, ..., xm).(ii) Uma matriz n 1 chamada vetor coluna e pode ser escrita como

241

570

a11a21

am1

a12a22

am2

a13a23

am3

a1na2n

amn

D

97

Resumo de lgebra Matricial


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y .

DEFINIO D.4 (MATRIZ DIAGONAL)Uma matriz quadrada A uma matriz diagonal quando todos os seus elementos fora da diagonalforem zeros, isto , a

ij 0 para todos i j. Podemos sempre escrever uma matriz diagonal como

A .

DEFINIO D.5 (MATRIZES IDENTIDADE E NULA)(i) A matriz identidade n n, chamada de I, ou algumas vezes I

npara enfatizar sua dimenso, a

matriz diagonal com a unidade (um) em cada posio diagonal, e zero nas outras posies:

I In .

(ii) A matriz nula m n, chamada de 0, a matriz m n com zero em todas as entradas. Elano precisa ser um matriz quadrada.

D.2 OPERAES COM MATRIZES

Adio de Matrizes

Duas matrizes A e B, cada uma de dimenso m n, podem ser somadas elemento a elemento: A B

[aij bij]. Mais precisamente,

A B .

Por exemplo,

.

Matrizes de ordens diferentes no podem ser somadas.

30

17

33

14

02

43

24

15

70

a11b11a21b21

am1bm1

a12b12a22b22

am 2bm 2

a1nb1na2nb2n

amn

bmn

10

0

01

0

00

0

00

1

a110

0

0a22

0

00

0

00

ann

y1y2

yn

98 Introduo Econometria Editora Thomson


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Multiplicao Escalar

Dado qualquer nmero real (freqentemente chamado de escalar), uma multiplicao escalar defi-nida como A [aij], ou

A = .

Por exemplo, se = 2, A a matriz na equao (D.1), ento,

.

Multiplicao de Matrizes

Para multiplicar a matriz A pela matriz B de maneira a formar o produto AB, a dimenso das colunasde A deve ser igual dimenso das linhas de B. Portanto, seja A uma matriz m n e seja B uma matrizn p. Ento, a multiplicao de matrizes ser definida como

AB = .

Em outras palavras, o (i,j)-simo elemento da nova matriz AB obtido pela multiplicao de cadaelemento na i-sima linha de A pelo elemento correspondente naj-sima coluna de B e somando-se essesn produtos. Um esquema pode ajudar a tornar esse processo mais transparente:

A B AB

i-sima linha ,

0

pj-sima coluna (i, j)-simo elemento

onde, pela definio do operador somatrio no Apndice A,

aikbkj ai1b1j ai2b2j ... ainbnj.

Por exemplo,

n

k1

n

k1

ai k

bkj

b1jb2jb3j

bnj

a

i1ai2ai3a

in

n

k1

aikb

kj

A4

8210

140

a11a21

am1

a12a22

am 2

a1na2n

amn

Wooldridge Apndice D Resumo de lgebra Matricial 99


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.

Tambm podemos multiplicar uma matriz e um vetor. Se A for uma matriz n m ey for um vetorm 1, Ay ser um vetor de ordem n 1. Se x for um vetor 1 n, xA ser um vetor 1 m.

A adio de matrizes, a multiplicao escalar e a multiplicao de matrizes podem ser combina-das de vrias maneiras, e essas operaes satisfazem vrias regras das operaes bsicas com nmerosque nos so familiares. Na lista de propriedades seguinte, A, B e C so matrizes com dimenses apro-priadas para aplicar cada operao, e e so nmeros reais. A maioria dessas propriedades pode serilustrada facilmente a partir das definies.

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAO DE MATRIZES: (1) (

)A

A

A; (2) (A

B) A B; (3) ()A (A); (4) (AB) (A)B; (5) A B B A; (6) (A B) C A (B C); (7) (AB)C A(BC); (8) A(B C) AB AC; (9) (A B)C AC BC; (10) IA AI A; (11) A 0 0 A A; (12) A A 0; (13) A0 0A 0; e (14) AB BA, mesmoquando ambos os produtos forem definidos.

A ltima propriedade merece um comentrio adicional. Se A for n m e B for m p, ento, AB serdefinida, mas BA somente ser definida se n p (a ordem de linha da A igual a ordem de coluna daB). Se A for m n e B for n m, ento, AB e BA sero ambas definidas, mas normalmente no seroa mesma matriz; de fato, elas possuem dimenses diferentes, a menos que A e B sejam ambas matri-zes quadradas. Mesmo quando A e B so quadradas, AB BA, exceto sob circunstncias especiais.

Transposta

DEFINIO D6 (TRANSPOSTA)Seja A [a

ij] uma matriz m n. A transposta de A, chamada de A (A linha), a matriz de ordem

n m, obtida intercambiando as linhas e colunas de A. Podemos escrev-la como A [aji].

Por exemplo,

A , A .

PROPRIEDADES DA TRANSPOSTA: (1) (A) A; (2) (A) = A para qualquer escalar ; (3) (A

B) A B; (4) (AB) BA, quando A for m n e B for n k; (5)xx x2i, ondex um

vetor n 1; e (6) se A for uma matriz n kcom linhas dadas pelos vetores 1 ka1, a2, ..., an, de

forma que possamos escrever

A ,

ento, A (a1 a2 . . . an). a1a

2

an

n

i1

21

7

45

0

24 15 70

1

1

0

2

12

24

1

10

13

120

600

010

2

4

1

1

0

0



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DEFINIO D.7 (MATRIZ SIMTRICA)Uma matriz quadrada A uma matriz simtrica se, e somente se, A A.

Se X for qualquer matriz n k, XX sempre definida e uma matriz simtrica, como poder ser vistopela aplicao das primeira e quarta propriedades da transposta (veja o Problema D.3).

Multiplicao de Matrizes Particionadas

Seja A uma matriz n kcom linhas dadas pelos vetores 1 ka1, a2, ..., an, e seja B uma matriz n mcom linhas dadas pelos vetores 1 m b1, b2, ..., bn;

A , B .

Ento,

AB ai bi,

onde para cada i, aibi uma matriz k m. Portanto, AB pode ser escrita como a soma de n matrizes,cada uma delas sendo k m. Como um caso especial, temos

AA aiai

ondeaiai uma matriz k kde todos os i.

Trao

O trao de uma matriz uma operao bastante simples definida somente para matrizes quadradas.

DEFINIO D.8 (TRAO)Para qualquer matriz A n n, o trao de uma matriz A, representado por tr(A), ser a soma dos ele-mentos de sua diagonal. Matematicamente,

tr(A) aii.

PROPRIEDADES DO TRAO: (1) tr(In) n; (2) tr(A) tr(A); (3) tr(A B) tr(A) tr(B); (4)tr(A) tr(A), para qualquer escalar ; e (5) tr(AB) tr(BA), onde A m n e B n m.

Inversa

A noo da inversa de uma matriz muito importante para matrizes quadradas.

n

i1

n

i1

n

i1

b1

b2

bn

a1

a2

an



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DEFINIO D.9 (INVERSA)Uma matriz A n n tem uma inversa, representada por A1, desde que A1A In e AA

1 In.

Nesse caso, A chamada de inversvel ou no singular. Caso contrrio, ela ser chamada de no inver-svel ou singular.

PROPRIEDADES DA INVERSA: (1) Se existir uma inversa, ela ser nica; (2) (A)1 (1/)A1,se 0 e A for inversvel; (3) (AB)1 B1A1, se A e B forem ambas n n e inversveis; e (4)(A)1 (A1).

No nos preocuparemos com a mecnica de clculo da inversa de uma matriz. Qualquer texto de lge-bra matricial contm exemplos detalhados de tais clculos.

D.3 INDEPENDNCIA LINEAR. POSTO DE UMA MATRIZ

Para um conjunto de vetores tendo a mesma dimenso, importante saber se um vetor pode ser expressocomo uma combinao linear dos demais vetores.

DEFINIO D.10 (INDEPENDNCIA LINEAR)Seja {x1, x2, ..., xr} um conjunto de vetores n 1. Eles sero vetores linearmente independentes se,e somente se,

1x1 2x2 ... rxr 0 (D.2)

implicar que 1 2 ... r 0. Se (D.2) se sustentar para um conjunto de escalares que nosejam todos zeros, ento, {x1, x2, ..., xr} ser linearmente dependente.

A afirmao de que {x1, x2, ..., xr} ser linearmente dependente equivalente a dizer que pelo menosum vetor no conjunto pode ser escrito como uma combinao linear dos demais.

DEFINIO D.11 (POSTO)(i) Seja A uma matriz n m. O posto de uma matriz A, denotada posto(A), o nmero mximo de

colunas linearmente independentes de A.(ii) Se A for n m e posto(A) m, ento, A terposto de colunas completas.Se A for n m, seu posto ser no mximo m. Uma matriz ter posto de colunas completas se suascolunas formarem um conjunto linearmente independente. Por exemplo, a matriz 3 2

poder ter no mximo posto 2. De fato, seu posto ser apenas um porqu a segunda coluna trs vezesa primeira coluna.

120

360



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PROPRIEDADES DO POSTO: (1) posto(A) = posto(A); (2) Se A for n k, ento, posto(A) min(n,k); e (3) Se A for k ke posto(A) k, ento, A ser no singular.

D.4 FORMAS QUADRTICAS E MATRIZES POSITIVAS DEFINIDAS

DEFINIO D.12 (FORMA QUADRTICA)Seja A uma matriz simtrica n n. A forma quadrtica associada matriz A ser a funo de valorreal definida para todos os vetoresx n 1:

f(x) xAx aiix2i 2 aijxixj.

DEFINIO D.13 (POSITIVA DEFINIDA E POSITIVA SEMIDEFINIDA)(i) Uma matriz simtrica A positiva definida (p.d.) se

xAx 0 para todos os vetoresx n 1, excetox 0.

(ii) Uma matriz simtrica A positiva semidefinida (p.s.d.) se

xAx 0 para todos os vetores n 1.

Se uma matriz for positiva definida ou positiva semidefinida, ela ser automaticamente assumida comosendo simtrica.

PROPRIEDADES DAS MATRIZES POSITIVAS DEFINIDAS E POSITIVAS SEMIDEFINIDAS:(1) Uma matriz positiva definida tem elementos diagonais que so estritamente positivos, enquantouma matriz p.s.d. tem elementos diagonais no negativos; (2) Se A for uma p.d., ento, A1 existe eser p.d.; (3) Se X for n k, ento, XX e XX sero p.s.d.; e (4) Se X for n ke posto(X) k, ento,XX ser p.d. (e, portanto, no singular).

D.5 MATRIZES IDEMPOTENTESDEFINIO D.14 (MATRIZ IDEMPOTENTE)Seja A uma matriz simtrica n n. Ento, A uma matriz idempotente se, e somente se, AA A.

Por exemplo,

uma matriz idempotente, como possvel verificar pela multiplicao direta.

100

000

001

n

i1

j i

n

i1



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PROPRIEDADES DAS MATRIZES IDEMPOTENTES: Seja A uma matriz idempotente n n. (1) posto(A) tr(A), e (2) A positiva semidefinida.

Podemos construir matrizes idempotentes de forma bem generalizada. Seja X uma matriz n kcom posto(X) k. Defina

P X(XX)1X

M In X(XX)1X In P.

Ento, P e M sero matrizes simtricas idempotentes, com posto(P) ke posto(M) n k. Os postosso obtidos com mais facilidade usando a Propriedade 1: tr(P) tr[(XX)1XX] (da Propriedade 5 do

trao)

tr(Ik)

k(pela Propriedade 1 do trao). Facilmente segue que tr(M)

tr(In)

tr(P)

n

k.

D.6 DIFERENCIAO DE FORMAS LINEARES E QUADRTICAS

Para um dado vetora n 1, considere a funo linear definida por

f(x) ax,

para todos os vetoresx n 1. A derivada defem relao ax ser o vetor 1 n das derivadas parciais,

que simplesmente

f(x)/x a.

Para uma matriz simtrica n n A, defina a forma quadrtica

g(x) xAx.

Ento,

g(x)/x 2xA,

que um vetor 1 n.

D.7 MOMENTOS E DISTRIBUIES DE VETORES ALEATRIOS

Para derivar o valor esperado e a varincia dos estimadores MQO usando matrizes, precisamos definiro valor esperado e a varincia de um vetor aleatrio. Como seu nome sugere, um vetor aleatrio sim-plesmente um vetor de variveis aleatrias. Tambm precisamos definir a distribuio normal multiva-riada. Esses conceitos so simples extenses daqueles tratados no Apndice B.



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Valor Esperado

DEFINIO D.15 (VALOR ESPERADO)(i) Sey for um vetor aleatrio n 1, o valor esperado dey, representado por E(y), o vetor dos valo-res esperados: E(y) [E(y1), E(y2),..., E(yn)].

(ii) Se Z for uma matriz aleatria n m, E(Z) a matriz n m dos valores esperados: E(Z)[E(zij)].

PROPRIEDADES DO VALOR ESPERADO: (1) Se A for uma matriz m n eb for um vetor n 1,onde ambos so no-aleatrios, E(Ay b) AE(y) b e (2) Se A for p n e B for m k, ondeambas so no-aleatrios, E(AZB) AE(Z)B.

Matriz de Varincia-Covarincia

DEFINIO D.16 (MATRIZ DE VARINCIA-COVARINCIA)Se y for um vetor aleatrio n 1, sua matriz de varincia-covarincia, representada por Var(y) definida como

Var(y) ,

onde 2j Var(yj) e ij Cov(yi,yj). Em outras palavras, a matriz de varincia-covarincia tem as

varincias de cada elemento de y em sua diagonal, com os termos de covarincia fora dela. ComoCov(yi,yj) Cov(yj,yi), segue imediatamente que uma matriz de varincia-covarincia simtrica.

PROPRIEDADES DA VARINCIA: (1) Se a for um vetor no-aleatrio n 1, ento, Var(ay) a[Var(y)]a 0; (2) Se Var(ay) 0 para todoa 0, Var(y) positiva definida; (3) Var(y) E[(y )(y )], onde E(y); (4) Se os elementos dey forem no-correlacionados, Var(y) uma matrizdiagonal. Se, alm disso, Var(yj)

2 para j 1, 2, ..., n, ento Var(y) 2In e (5) Se A for umamatriz no-aleatria m n eb for um vetor no-aleatrio n 1, ento, Var(Ay b) A[Var(y)]A.

Distribuio Normal Multivariada

A distribuio normal de uma varivel aleatria foi discutida em alguma medida no Apndice B.Precisamos estender a distribuio normal aos vetores aleatrios. No forneceremos uma expresso dafuno de distribuio de probabilidade, j que no precisaremos dela. importante saber que um vetoraleatrio normal multivariado totalmente caracterizado por sua mdia e pela matriz de varincia-covarincia. Portanto, sey for um vetor aleatrio normal multivariado n 1, com mdia e matriz devarincia-covarincia, escrevemosyNormal(,). Agora, apresentamos vrias propriedades teisda distribuio normal multivariada.

PROPRIEDADES DA DISTRIBUIO NORMAL MULTIVARIADA: (1) Sey Normal(,), ento,cada elemento dey normalmente distribudo; (2) Sey ~ Normal(,), ento, yi eyj, quaisquer doiselementos dey, sero independentes se, e somente se, eles forem no-correlacionados, isto ,

ij 0;

(3) Sey Normal(,), ento, Ay b Normal(A b,AA), onde A eb so no-aleatrios;(4) Sey Normal(0,), ento, para matrizes A e B no-aleatrias, Ay e By sero independentes se, esomente se, AB 0. Particularmente, se 2In, ento, AB 0 ser necessria e suficiente para

12

21

n1

12

22

n2

1n2n

n2



10/11


a independncia de Ay e By; (5) Sey Normal(0,2In), A uma matriz no-aleatria k n, e B uma matriz simtrica idempotente n n, ento, Ay eyBy sero independentes se, e somente se, AB 0; e (6) Se y Normal(0,2In) e A e B forem matrizes simtricas idempotentes no-aleatrias,ento, yAy eyBy sero independentes se, e somente se, AB 0.

DISTRIBUIO QUI-QUADRADONo Apndice B, definimos uma varivel aleatria qui-quadrada como a soma dos quadrados dasvariveis aleatrias normais padro independentes. Em notao vetorial, se u Normal(0,In), ento,uu ~ 2n

PROPRIEDADES DA DISTRIBUIO QUI-QUADRADO: (1) Se u Normal(0,In) e A for umamatriz simtrica idempotente n n com posto(A) q, ento, uAu 2q ; (2) Se u Normal(0,In) e

A e B forem matrizes simtricas idempotentes n

n de tal forma que AB

0, ento, uAu e u

Busero variveis aleatrias qui-quadradas independentes; e (3) SezNormal(0,C) onde C uma matriz

no singular m m, ento, zC1z 2m .

DISTRIBUIO tTambm j definimos a distribuiot no Apndice B. Agora adicionamos uma propriedade importante.

PROPRIEDADE DA DISTRIBUIO t: Se u Normal(0,In), c um vetor no-aleatrio n 1, A uma matriz no-aleatria simtrica idempotente n n com posto q, e Ac 0,ento,{cu/(cc)1/2}/(uAu)1/2 tq.

DISTRIBUIO fRecorde-se de que uma varivel aleatria F obtida tomando-se duas variveis aleatrias qui-qua-dradas independentes e encontrando-se a razo entre elas, padronizadas pelos graus de liberdade.

PROPRIEDADE DA DISTRIBUIO f: Se u Normal(0,In) e A e B forem matrizes simtricasidempotentes no-aleatrias n n com posto(A) k1, posto(B) k2 e AB 0, ento,(uAu/k1)/(uBu/k2) Fk

1,k

2.

RESUMO

Este apndice contm uma forma condensada das informaes bsicas necessrias ao estudo do modelolinear clssico usando matrizes. Embora o material aqui apresentado no dependa de outros, ele apresentado com a inteno de servir como uma reviso para os leitores familiarizados com lgebramatricial e estatstica multivariada, e ser amplamente usado no Apndice E.


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PROBLEMAS

D.1 (i) Encontre o produto AB usando

A , B .

(ii) BA existe?

D.2 Se A e B forem matrizes diagonais n n, demonstre que AB BA.

D.3 Seja X qualquer matriz n k. Mostre que XX uma matriz simtrica.

D.4 (i) Use as propriedades do trao para demonstrar que tr(AA) tr(AA) para qualquer matrizA n m.

(ii) Para A = , verifique se tr(AA) = tr(AA).

D.5 (i) Use a definio da inversa para provar o seguinte: se A e B forem matrizes no singularesn n, ento, (AB)1 B1A1.

(ii) Se A, B e C forem todas matrizes no singulares n n, encontre (ABC)1 em termos deA1, B1 e C1.

D.6 (i) Mostre que, se A for uma matriz positiva definida, simtrica n n, ento, A deve ter ele-mentos diagonais estritamente positivos.

(ii) Escreva uma matriz simtrica 2 2 com elementos diagonais estritamente positivos queno seja positiva definida.

D.7 Seja A uma matriz positiva definida, simtrica n n. Mostre que, se P for qualquer matriz nosingular n n, ento, PAP ser positiva definida.

D.8 Prove a Propriedade 5 das varincias dos vetores, usando a Propriedade 3.

20 03 10

013

180

600 24 15 70


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