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potenciação, radiciação, logaritmo e função logarítmica
SumárioRevisão Potenciação31 - Conceito inicial32 - Representação da potência e seus elementos43 - Propriedades de potência53.1 - Multiplicação de potências de mesma base53.2 - Divisão de duas potências de mesma base53.3 - Potências com expoente zero73.4 - Potência de potência83.5 - Potência de um produto83.6 - Potência de um quociente103.7 - Potência com expoente negativo114- Mapa mental potenciação13Revisão logaritmo141 - Equação exponencial142 - Conceito de logaritmo153 - Propriedades de Logaritmo173.1 - Consequências da definição173.2 - Logaritmo de potências183.3 - Logaritmo de um produto183.4 - Logaritmo de um quociente203.5 - Logaritmo como expoente213.6 - Mudança de base214 - Equação logarítmica225 - Logaritmo neperiano236 - Mapa mental logaritmo25Função Logarítmica301 - Forma geral302 - Gráfico e crescimento313 - Exponencial x Logaritmo344 - Inequação logarítmica36Questões comentadas39Função logarítmica39Lista de questões72Gabarito87
Revisão Potenciação1 - Conceito inicial
A potenciação é baseada no estudo das potências e toda potência em Matemática é simplesmente a multiplicação de fatores iguais. Vejamos alguns exemplos:
a) 2 . 2 . 2 . 2
b) 3 . 3 . 3 . 3 . 3
c) 5 . 5 . 5
d) 6 . 6
Note que todos os exemplos apresentam multiplicações de fatores iguais, isto é, a multiplicação de um número por ele mesmo. É bem simples concorda? Mesmo assim os alunos em geral cometem um erro muito comum referente a esse conceito, então vou te mostrar mais à frente.
Primeiro vamos encontrar os resultados das potências (multiplicações) acima para já aproveitarmos e treinarmos um pouco a multiplicação e tabuada, o que é sempre importante você estar "afiado". E aí, como você calcularia essas multiplicações? Uma ESTRATÉGIA que acho interessante é separar as multiplicações em blocos, desse jeito:
2 . 2 . 2 . 2 = 4 . 4 = 16
Seguindo esta mesma ideia vamos calcular os outros resultados:
3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 81 . 3 = 243
5 . 5 . 5 = 125
6 . 6 = 36
É claro que você tem liberdade para fazer da maneira que achar melhor, mas o que fica muito claro é que você precisa ESTAR SEMPRE afiado com a tabuada. Então se você não possui a tabuada na "ponta da língua" é bom dar uma praticada, ok?
2 - Representação da potência e seus elementos
Agora que lembramos o conceito de potência é importante conhecer a sua representação geral e as nomenclaturas utilizadas. Vejamos outro exemplo de potência:
1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1
Acredito que você já saiba o resultado da potência acima pois se trata do número 1 multiplicado por ele mesmo algumas vezes. Como sabemos que 1 . 1 = 1, não é difícil notar que o resultado da multiplicação acima é justamente igual a 1.
Mas na verdade eu quero que você observe que o número 1 aparece 12 vezes na multiplicação, isto é, são 12 fatores. Sendo assim podemos representar essa potência da seguinte maneira:
Essa é a representação geral de uma potência. O número que fica embaixo é chamado BASE e o número que fica em cima é chamado de EXPOENTE. Lemos a potência acima como "1 elevado a 12".
A BASE da potência é o número que devemos multiplicar por ele mesmo e o EXPOENTE indica quantos fatores terá a multiplicação.
Lembra de um erro comum cometido pelos alunos que eu mencionei? Um exemplo deste ERRO segue abaixo:
E aí, percebeu qual foi o erro cometido?
O erro foi multiplicar a base pelo expoente, o que não tem nada a ver com o conceito de potência certo? Muitos alunos olham os dois números e os multiplicam, então NUNCA FAÇA ISSO!
3 - Propriedades de potência
As propriedades de potência são recursos que utilizamos principalmente para simplificar os cálculos. Veja este exemplo:
Imagine resolvermos cada potência acima separadamente, para depois multiplicar e dividir, seria muito trabalhoso e levaria muito tempo não é mesmo? Para isso existem as propriedades.
Antes de conhecermos as propriedades vou te dar uma dica. A melhor maneira de memorizá-las (além da prática) é através de frases que indicam o que devemos fazer. Observe a seguir:
3.1 - Multiplicação de potências de mesma base
Na multiplicação de duas ou mais potências com a mesma base, podemos repetir essa base e somar os expoentes. A potência encontrada será equivalente ao resultado final. Por exemplo:
Destaco que nada nos impede de resolver as potências e separadamente, o que resultaria na multiplicação 4 . 32 = 128. O importante é você saber quais são os caminhos e ESTRATÉGIAS que pode adotar.
3.2 - Divisão de duas potências de mesma base
Na divisão de duas potências com a mesma base, podemos repetir a base e subtrair os expoentes. A potência encontrada será equivalente ao resultado final. Por exemplo:
Note que mais uma vez nada nos impede de calcular as potências e separadamente, mas agora fica bem nítido que o trabalho vai ser bem maior concorda? Então só devemos adotar esse caminho realmente em último caso.
Como sou um professor "chato" e gosto de fazer você pensar te faço a pergunta, será que daria pra simplificar o cálculo anterior de outra maneira?
A resposta é SIM! E não é difícil, é só lembrarmos do conteúdo de Frações, na parte de simplificação[footnoteRef:1]. Primeiro, você apenas vai expandir cada potência: [1: A simplificação de uma fração consiste em reduzir os valores dos seus termos, numerador e denominador, dividindo-os pelo mesmo número.]
Agora vamos aplicar o cancelamento de três fatores da parte de cima (numerador) com três fatores debaixo (denominador):
Portanto o que sobra é "3 . 3 . 3 . 3" cujo resultado é 81, que corresponde a . É importante destacar que a propriedade só vale para divisões de potências com base diferente de zero, já que não conseguimos calcular divisões por zero.
Agora que recordamos essas duas propriedades importantes de potenciação, você conseguiria resolver rapidamente o cálculo abaixo?
Vamos resolver juntos.
Primeiro aplicamos a propriedade 3.1 no numerador da fração, repetimos a base, somamos os expoentes e obtemos . Em seguida aplicamos a propriedade 3.2, repetimos a base, subtraímos os expoentes e obtemos
3.3 - Potências com expoente zero
Qualquer número (exceto zero[footnoteRef:2]) elevado ao expoente zero resulta em 1. Por exemplo: [2: A potência zero elevado a zero possui resultado indeterminado.]
Este resultado pode ser obtido de forma lógica e simples, por exemplo, fazendo a divisão da potência pela própria potência e aplicando a propriedade 3.2:
Obtemos como resultado a potência . Mas sabemos que = 32, portanto fazemos a divisão e obtemos
Então podemos concluir que
3.4 - Potência de potência
Podemos ter potências dentro de outras potências indefinidamente. Vejamos alguns exemplos.
a)
b)
c)
Note que nos exemplos acima temos uma potência dentro de parênteses, colchetes ou chaves e um ou mais, expoente externo. É exatamente isso que caracteriza a propriedade 3.4 e por isso podemos repetir a base e multiplicar os expoentes.
Agora vou te fazer uma pergunta IMPORTANTE, podemos aplicar a propriedade 3.4 no caso abaixo?
A resposta é NÃO! Note que a potência 2³ não está dentro de parênteses, colchetes ou chaves, o que significa que o 4 é expoente apenas do 3. Portanto o resultado da potência acima fica:
Multiplicar os expoentes no caso acima é outro erro bastante comum cometido pelos alunos, então fique atento, pois .
3.5 - Potência de um produto
Podemos ter uma multiplicação elevada a um expoente externo. Vejamos um exemplo:
Observe que todos os fatores dentro dos parênteses foram elevados ao expoente externo no resultado. Esta propriedade se faz necessária em diversos cálculos, um deles muito importante, segue abaixo:
Observe que, no exemplo acima, existe também uma raiz quadrada não exata[footnoteRef:3], que é a . Neste caso, no cálculo precisaremos também de conhecimentos sobre Radiciação[footnoteRef:4]. E aí, você saberia chegar no resultado final? [3: A raiz quadrada não exata ocorre quando o radicando não é um número quadrado perfeito. Exemplos de números quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.] [4: Radiciação é um conteúdo de matemática básica focado no estudo dos radicais e suas propriedades. ]
Vamos lá, vamos fazer juntos! Vou te mostrar duas formas bem simples e comuns de resolver a potência :
ÍNDICE
O produto de radicais com mesmo índice pode ser transformado num único radical, repetindo o índice e multiplicando os radicandos.
RADICANDO
Vejamos outra maneira.
Uma outra forma de calcular é utilizar a propriedade do cancelamento da radiciação.
= 3
Imagino que você pensou "essa segunda maneira é bem mais fácil!". Confesso que você tem razão, mas precisamos tomar cuidado. Note que "cortamos" o expoente da potência com o índice do radical, mas não podemos fazer isso sempre. Somente podemos aplicar o cancelamento em duas situações que seguem abaixo:
a) Quando radicando é positivo: se o índice do radical e o expoente forem iguais;
b) Quando radicando é negativo: SOMENTE se o índice do radical e expoente forem iguais e ÍMPARES.
Note que o expoente mencionado acima pode estar dentro ou fora do radical, não fazendo diferença. É extremamente comum muitos alunos memorizarem apenas o cancelamento como "quando expoente e índice são iguais, podemos cortar," porém isso está errado já que não podemos "cortar" sempre. O caso onde os alunos mais erram devido à essa memorização errada é:
Vejamos a forma correta.
(-3)² = (-3) . (-3) = + 9
3.6 - Potência de um quociente
Podemos ter uma divisão (quociente) elevada a um expoente externo. Vejamos um exemplo:
Equivale à uma fração elevada à um expoente, então elevamos ambos os termos da fração ao expoente. Observe que a fração deve estar dentro de parênteses, colchetes ou chaves.
3.7 - Potência com expoente negativo
Quando invertemos a base de uma potência consequentemente seu expoente troca de sinal. Esta propriedade é utilizada principalmente quando potências possuem expoente negativo. Afinal, você conseguiria calcular o resultado de uma potência com expoente negativo?
É claro que a princípio é estranho pensar no resultado de uma potência com expoente negativo, mas veja como esse cálculo pode ser lógico e simples observando a tabela abaixo:
16
8
4
2
1
Você seria capaz de calcular os resultados das potências e observando o comportamento dos resultados na tabela acima? Pode ficar mais fácil se observarmos os resultados no formato de sequência[footnoteRef:5]. [5: Sequência em matemática é todo conjunto ou grupo, no qual seus elementos seguem uma determinada ordem lógica.]
16 , 8 , 4 , 2 , 1 , .....
Então, quais são os próximos dois termos da sequência?
Conseguimos observar que a sequência avança sempre entre termos consecutivos, dividindo por 2:
16 , 8 , 4 , 2 , 1 , .....
: 2
: 2
: 2
: 2
Sendo assim, os próximos dois termos da sequência são e , então os resultados das potências e são:
Note que invertemos a base e o expoente troca de sinal.
Note que invertemos a base e o expoente troca de sinal.
Nos exemplos acima as bases são números inteiros, então é bom lembrarmos que todo inteiro equivale à uma fração simples como . Se a base for uma fração, a ideia é a mesma:
Note que invertemos a base e o expoente troca de sinal.
4- Mapa mental potenciação
2. Multiplicação potências de mesma base
7. Potência de um quociente
6. Potência de um produto
3. Potência de potência
5. Potência com expoente zero
8. Fração com expoente negativo
1. Definição
4. Divisão Potências de mesma base
POTENCIAÇÃO
9. Número inteiro com expoente negativo
Revisão logaritmo1 - Equação exponencial
Chegamos em logaritmo e agora vamos fazer uma revisão para você chegar totalmente preparado em Função Logarítmica.
É importante ressaltar que o logaritmo é uma ferramenta que utilizamos, principalmente, para resolver equações exponenciais mais complexas. Mas o que seria uma equação exponencial simples? Segue um exemplo.
A equação acima considera uma potência de base 2, com expoente "x", cujo resultado é igual à outra potência de base 2 e expoente 3. Então podemos afirmar que o expoente da primeira potência é igual ao expoente da segunda potência, portanto x = 3, já que não existe outra possibilidade para os resultados das potências serem iguais. Generalizando a equação exponencial temos:
sendo a e b números reais quaisquer. Basicamente consideramos equações exponenciais quando o expoente é uma incógnita.
O objetivo numa equação exponencial é sempre colocar as potências em ambos os lados da igualdade, com a mesma base, e se isso não for possível, aí precisaremos do logaritmo.
2 - Conceito de logaritmo
Todo número real[footnoteRef:6] pode ser representado por um ou mais logaritmos. Vejamos algumas representações: [6: Número real é todo elemento do conjunto dos números Reais, que contemplam os Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais.]
Conseguiu notar alguma relação entre os números na cor com os números na cor ?
Talvez você consiga enxergar, mas não consiga dizer exatamente como é. Vamos lá! Note que cada um desses logaritmos "esconde" uma potência. Por exemplo,
A potência "escondida" é: . Dizemos que 3 é o logaritmo de 8 na base 2. Então
Generalizando:
O logaritmo de um número real positivo b, na base a positiva e diferente de 1, é o número real x ao qual se deve elevar a para se obter b. Resumindo:
Condição de existência do logaritmo:
b: denominado LOGARITMANDO precisa ser positivo;
a: denominado BASE precisa ser positiva e diferente de 1.
Como podemos observar existe uma relação de "inversão" entre o logaritmo e a equação exponencial como se fossem "operações inversas". Por isso as funções exponencial e logarítmica são funções inversas.
É importante destacar que qualquer equação pode ser transformada em equação logarítmica (respeitando a condição de existência), sem que isso mude a solução. Podemos aplicar o "log" com base qualquer, em ambos os lados de qualquer equação.
; a , a > 0 e a ≠ 1
Vamos calcular mais alguns logaritmos:
a)
Portanto, .
b)
Portanto,
c)
Lembre-se que todo radical pode ser transformado em potência com expoente fracionário.
Portanto,
3 - Propriedades de Logaritmo
As propriedades de logaritmo nos ajudam a realizar cálculos como nos exemplos resolvidos acima, de forma mais simples e direta, além de serem extremamente necessárias em outras situações.
3.1 - Consequências da definição
Temos dois logaritmos cujos resultados são imediatos da definição, que são os logaritmos que possuem logaritmando igual a 1 ou possuem logaritmando e base iguais. Vejamos os resultados:
a) logaritmando igual a 1:
Portanto, , para qualquer valor da base "a" que satisfaça a condição de existência.
b) logaritmando e base iguais:
Portanto, , para qualquer valor da base "a" que satisfaça a condição de existência.
3.2 - Logaritmo de potências
Quando precisamos calcular logaritmos com potências no logaritmando temos um ótimo recurso que segue abaixo:
Portanto, o expoente do logaritmando pode "sair" e multiplicar o logaritmo. Portanto o resultado do logaritmo acima é:
Generalizando a propriedade 3.2:
3.3 - Logaritmo de um produto
Quando temos o logaritmo de um produto, podemos separá-lo na soma de logaritmos de mesma base. Preste muita atenção pois apesar de ser uma propriedade bem direta, muitos alunos fazem confusão. Vejamos um exemplo simples da aplicação desta propriedade.
Note que neste exemplo, não era totalmente necessário aplicar a propriedade para resolver o logaritmo, poderíamos também utilizar a definição.
Sendo qual valor do ?
Neste caso se utilizarmos a propriedade 3.3 fica bem mais rápido e direto. Sendo assim, vamos aplicá-la.
Mas qual seria então a confusão que os alunos fazem com essa propriedade? Observe o erro cometido abaixo.
Note que não se trata do logaritmo de um produto, mas do logaritmo de uma soma.
Então fique atento!
É importante destacarmos que as propriedades também podem ser aplicadas de forma inversa. Mas como assim? Por exemplo, nesta propriedade 3.3, a soma de logaritmos de mesma base pode ser transformada no logaritmo de um produto, conservando a base.
Note que neste momento seria inviável calcularmos os logaritmos e separadamente.
Generalizando a propriedade 3.3:
3.4 - Logaritmo de um quociente
O logaritmo de um quociente pode ser transformado na diferença de logaritmos de mesma base. Vejamos um exemplo simples de aplicação.
Sabendo que log 2 = 0,3, calcule o valor do log5.
(Quando a base do logaritmo é omitida, significa que a base é 10, e o logaritmo é chamado de logaritmo decimal).
Note que , já que . É exatamente essa mudança que nos possibilitará calcular o log5 sabendo que log 2 = 0,3. Observe agora a aplicação da propriedade 3.4:
Vejamos um exemplo desta propriedade sendo aplicada de forma inversa.
Generalizando a propriedade 3.4:
(MACK/SP) Qual valor da expressão é igual a:
a) 13/2
b) - 13/2
c) 0
d) 5/4
e) - 19/2
Rascunho
Comentários Mick Xavier: Somando os valores de cada logaritmo da expressão obtemos:
Gabarito: B
3.5 - Logaritmo como expoente
Em algumas potências, o expoente pode ser um logaritmo. Quando a base deste logaritmo é exatamente igual à base da potência, o resultado é o logaritmando. Vejamos um exemplo abaixo.
Base da potência e base do logaritmo iguais.
Generalizando a propriedade 3.5:
3.6 - Mudança de base
Essa é propriedade mais complicada e que exige mais conhecimento. Pois além de você precisar dominar as outras propriedades você precisa perceber o momento de aplicar a mudança de base.
Em geral, aplicamos a mudança de base para poder usar o valor de um logaritmo com uma base específica e calcular o valor de outro logaritmo com base diferente da base dada. A mudança de base funciona da seguinte maneira, um logaritmo qualquer pode ser transformado na divisão de logaritmos de mesma base.
É importante destacar que na divisão dos logaritmos, a base "c" é escolhida, ou seja, pode ser qualquer valor, dentro da condição de existência. Vejamos um exemplo.
Sendo log 2 = 0,3 e log 5 = 0,7 calcule .
Comentários:
Note que os dois logaritmos dados estão na base 10 mas o logaritmo que precisamos calcular está na base 2. Por isso precisamos fazer a mudança de base 2 para base 10, e aplicar as propriedades.
4 - Equação logarítmica
As equações logarítmicas possuem a incógnita no logaritmando ou na base, por isso precisamos estar atentos à condição de existência.
Vejamos um exemplo.
;
Observe que a equação acima indica uma igualdade entre dois logaritmos com a base 3. Neste caso precisamos apenas igualar os logaritmandos e verificar se a solução satisfaz a condição de existência para os logaritmos envolvidos.
Igualando os logaritmandos, neste caso obtemos uma equação simples do 1º grau:
Agora precisamos substituir a possível solução x = 4 nos logaritmandos dos logaritmos envolvidos na equação, que são (x + 4) e (- x + 12). Substituindo x = 4 obtemos que (x + 4 = 4 + 4 = 8) e (- x + 12 = - 4 + 12 = 8). Portanto em ambos os logaritmandos o resultado é igual a 8 que é positivo, e, portanto, satisfaz a condição de existência. Então a solução é x = 4.
Generalizando:
Sempre que dois logaritmos de mesma base são iguais, obrigatoriamente os logaritmandos são iguais.
Podemos igualar os logaritmandos na equação logarítmica, devido ao fato de o logaritmo representar uma relação de injeção[footnoteRef:7] significando que não existem dois logaritmos de mesma base e logaritmandos diferentes, com o mesmo resultado. Ou seja, se logaritmo de x na base 3 () é igual ao logaritmo de 5 na base 3 () então obrigatoriamente o valor de x é igual a 3. [7: Uma relação de injeção se refere às funções injetoras cujos elementos do domínio possuem imagens diferentes. Ou seja, se dois elementos possuem a mesma imagem, necessariamente eles são iguais.]
O mesmo fato não ocorre em equações quadráticas. Por exemplo, se x² = 2² não significa que o valor de x obrigatoriamente é igual a 2, pois se o valor de x for igual a (- 2) a igualdade continua verdadeira. Ou seja, a equação possui duas soluções.
5 - Logaritmo neperiano
O logaritmo neperiano ou também chamado de logaritmo natural é um logaritmo com base especial, a constante neperiana "e" que possui valor aproximadamente 2,7, ou seja, e ≈ 2,7. Todo logaritmo neperiano possui uma representação especial, veja alguns exemplos:
Portanto, o logaritmo neperiano é abreviado através da sigla " ln " e a base neperiana "e" fica omitida.
Dado um logaritmo qualquer , se invertermos as posições da base e logaritmando, isto é, , o resultado também será invertido. Observe abaixo a dedução do resultado onde utilizamos a mudança de base.
Portanto,
.
(CESPE) Julgue o próximo item, relativos a funções exponenciais.
Para a > 0 e a ... 1, a função pode também ser expressa como .
Comentários:
Pela propriedade de logaritmo sabemos que , portanto . Se elevarmos ambos os lados da igualdade anterior a "x" obtemos
Por propriedade de potência temos que
Então ou seja . Portanto a questão está correta.
6 - Mapa mental logaritmo
b: logaritmando
e
LOGARITMO
(CESPE - 2017) O número de Euler, nome dado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é um número irracional denotado por e, cuja representação decimal tem seus 4 primeiros algarismos dados por 2,718. Esse número é a base dos logaritmos naturais, cuja função f(x) = lnx = tem inúmeras aplicações científicas.
A respeito desse assunto, julgue o item a seguir.
A equação ln x = - 4 tem uma única solução.
Comentários:
Aplicando a definição de logaritmo na equação apresentada obtemos . Não precisamos nos preocupar em cálculo o valor de x mas apenas perceber que este valor é único. Portanto a questão está correta.
(FCC - 2015) O valor da expressão é igual a:
a) 5
b) 23/2
c) 37/6
d) 5/4
e) 41/8
Comentários:
Precisaremos calcular os três logaritmos da expressão separadamente e somar os resultados.
Sabemos que:
Somando os resultados obtemos
Gabarito letra C.
(CESPE - 2010) Os números positivos a e b são tais que seus logaritmos, na base 10, são 0,01 e 0,1, respectivamente. Acerca desses números, julgue o item subsequente.
A razão é igual a 10.
Comentários:
A questão informa que e . Então se aplicarmos a mudança de base temos:
Como , a questão está errada.
(CESPE - 2010) Os números positivos a e b são tais que seus logaritmos, na base 10, são 0,01 e 0,1, respectivamente. Acerca desses números, julgue o item subsequente.
O logaritmo na base 10 do número é igual a 4.
Comentários:
Vamos aplicar as propriedades de logaritmo de potências e logaritmo de produto.
Portanto, a questão está correta.
(CESPE - 2007) Com relação a equações e funções de 1º e 2º graus e logaritmos, julgue o item que segue.
A única solução da equação é x = 2.
Comentários:
Vamos aplicar a consequência da definição para logaritmo com base e logaritmando iguais e a definição.
Portanto, a questão está correta.
(FGV) O valor de x que satisfaz a equação log (2x + 7) = log 2x + log 7 é um número:
a) menor que 1/2
b) entre 1/2 e 1
c) entre 1 e 3/2
d) entre 3/2 e 2
e) maior que 2
Comentários:
Os logaritmos envolvidos são decimais. Vamos aplicar o logaritmo do produto no lado direito da equação e igualar os logaritmandos:
Portanto, temos:
Dividindo 7 por 12 obtemos 0,58333... que está entre 1/2 e 1. Portanto, gabarito letra b.
Função Logarítmica
Finalmente chegamos na função logarítmica e como recordamos tudo sobre potenciação, equação exponencial e logaritmo vai ficar bem mais fácil. Vamos pra cima!
Antes de estudarmos os detalhes da função logarítmica é importante destacarmos que toda função em matemática representa uma relação de dependência entre duas variáveis, sendo que esta relação pode ser representada graficamente no plano cartesiano ou através de uma expressão matemática.
É importante lembrar que toda função possui domínio e imagem.
· Domínio: é o conjunto onde a função está definida, isto é, onde ela existe e podemos realizar os cálculos com a sua expressão. Cada elemento do domínio possui uma imagem. Para função logarítmica, o domínio é similar à condição de existência do logaritmo.
· Imagem: é o conjunto formado por todas as imagens de todos os elementos do domínio.
· Gráfico: toda função pode ser representada através de um gráfico no plano cartesiano. O gráfico é formado por pares ordenados (x,y), sendo x um valor do domínio e y um valor da imagem. O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares. Os valores x do domínio são marcados no eixo horizontal X ou eixo das abcissas e os valores y das imagens são marcados no eixo vertical Y ou eixo das ordenadas.
1 - Forma geral
Toda função logarítmica possui a variável sempre no logaritmando e consequentemente o valor do logaritmo (ou valor da função), será variável. O padrão da função logarítmica é:
sendo que x representa os valores do domínio e f(x) ou y representam os valores das imagens.
Note que a base do logaritmo não é variável, ou seja, será sempre um valor constante. A condição de existência do logaritmo se estende é claro para função logarítmica então para a função acima temos:
· logaritmando sempre real positivo: x > 0
Daí definimos o DOMÍNIO da função logarítmica sendo:
· base real, positiva e diferente de 1: , e .
2 - Gráfico e crescimento
Vejamos alguns exemplos de funções logarítmicas e o comportamento de seus gráficos. Começaremos com uma função logarítmica com base maior que 1:
a)
x
y
(x, y)
Agora vamos colocar os valores dos pares ordenados (x,y) no plano cartesiano para conhecermos o gráfico e o comportamento dessa função.
Note que o gráfico possui um comportamento crescente, isto é, conforme aumentamos o valor de x, o valor de y também aumenta. Posso te garantir que esse comportamento sempre ocorre em funções logarítmicas que possuem a base maior que 1.
É importante destacarmos as seguintes características do gráfico:
· Domínio: . Note que os valores de x no gráfico percorrem apenas o lado direito do eixo horizontal (eixo X) o que representa apenas os valores reais positivos para o domínio.
· Interseção com eixo Y: O ponto ou par ordenado (x, y) que a função intercepta o eixo Y necessariamente possui o valor de x = 0, isto é, (0, y). Mas note que o gráfico da função não "corta" o eixo Y pois x = 0 não pertence ao domínio, logo não existe valor de y (imagem) para x = 0.
· Interseção com eixo X: O ponto ou par ordenado (x, y) que a função intercepta o eixo X necessariamente possui valor de y = 0, isto é, (x, 0). O gráfico da função "corta" o eixo X no ponto (1, 0). Podemos então afirmar que a raiz da função é x = 1 e, portanto, o gráfico da função sempre "corta" o eixo X no valor da sua raiz.
· Imagem: todo conjunto dos números reais, portanto Im (f) = . Note que o valor de y no gráfico percorre todo o eixo vertical (eixo Y), o que significa que a imagem não possui nenhuma restrição, incluindo todos os valores reais negativos, nulo e positivos.
b) Vejamos outro exemplo de função logarítmica, agora com base entre 0 e 1:
x
y
(x, y)
Agora vamos novamente colocar os valores dos pares ordenados (x,y) no plano cartesiano para conhecermos o gráfico e o comportamento dessa função.
É importante destacarmos as seguintes características do gráfico:
· Domínio: permanece . Portanto os valores de x no gráfico continuam percorrendo apenas o lado direito do eixo horizontal (eixo X) o que representa apenas os valores reais positivos para o domínio.
· Interseção com eixo Y: o gráfico continua não "cortando" o eixo Y pois x = 0 continua não pertencendo ao domínio, logo não existe valor de y (imagem) para x = 0.
· Interseção com eixo X: O par ordenado (x, y) que a função intercepta o eixo X continua sendo o ponto (1, 0) já que a raiz da função continuou sendo x = 1.
· Imagem: a imagem continua sendo todos os números reais, já que o gráfico continua percorrendo todo o eixo Y. Portanto Im (f) = .
Note que o gráfico possui um comportamento decrescente, isto é, conforme aumentamos o valor de x, o valor de y diminui. Posso te garantir que esse comportamento sempre ocorre em funções logarítmicas que possuem a base maior que 0 e menor que 1.
3 - Exponencial x Logaritmo
Lembra que mencionamos (equação exponencial e o logaritmo são "operações inversas") E que isso significa que as funções exponencial e logarítmica são inversas?
Quando duas funções são inversas isso significa que o domínio da inversa está contido na imagem da e a imagem da está contida no domínio da .
Através desse conceito é possível determinar a imagem da função inversa, por exemplo, utilizando a expressão da função original. Vale destacar que toda função logarítmica é bijetora[footnoteRef:8], isto é, injetora e sobrejetora[footnoteRef:9]. [8: Toda função bijetora possui domínio e imagem com a mesma quantidade de elementos.] [9: Toda função possui o conjunto imagem contido no contra - domínio. Quando a função é sobrejetora, esses conjuntos são iguais. ]
Os gráficos de duas funções inversas sempre são simétricos em relação ao gráfico da reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares). Vejamos a seguir o exemplo de duas funções inversas, uma sendo a função exponencial e a outra sendo a função logarítmica .
4 - Inequação logarítmica
As inequações logarítmicas ocorrem quando temos uma relação de desigualdade determinada pelos sinais < (menor), ≤ (menor ou igual), > (maior), ≥ (maior ou igual) e uma incógnita no logaritmando ou na base dos logaritmos envolvidos na inequação.
A lógica segue o mesmo princípio da equação logarítmica onde além de resolvermos a inequação devemos nos preocupar com a condição de existência do logaritmo. A inequação logarítmica se divide em dois casos, base maior que 1 e base entre 0 e 1:
a) base maior que 1:
Observe que em ambos os casos acima, o sinal da desigualdade foi preservado. Ou seja, em inequações deste tipo (base maior que 1), o sinal da desigualdade é sempre preservado.
b) base entre 0 e 1:
Observe que em ambos os casos acima, o sinal da desigualdade foi invertido. Portanto, em inequações deste tipo (base entre 0 e 1), o sinal da desigualdade é sempre invertido.
Resolva nos reais a inequação
Comentários:
Como a base do logaritmo é maior que 1, sabemos que o sinal da desigualdade vai ser preservado. Então começaremos resolvendo a inequação 2x - 4 ≤ 12:
Agora precisamos verificar a condição de existência, onde sabemos que o logaritmando precisa ser maior que zero. Neste caso, teremos outra desigualdade.
Portanto a solução final precisa necessariamente satisfazer as duas desigualdades encontradas, :
Solução final está neste intervalo
Bola fechada: 8 está dentro da solução!
Bola aberta: 2 está fora da solução.
Solução final na forma de desigualdade:
Solução final na forma de intervalo: ]2 , 8] ou (2,8]
Questões comentadasFunção logarítmica
1- (UNIRIO) Um médico, após estudar o crescimento médio das crianças de determinada cidade, com idades que variam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula , em que h é a altura, em metro, e i é a idade, em ano. Pela fórmula, uma criança de 10 anos dessa cidade terá a altura de:
a) 120cm
b) 123cm
c) 125cm
d) 128cm
e) 130cm
Comentários:
Para descobrir a altura h basta fazermos a substituição da incógnita i por 10 (i = 10), na fórmula apresentada, transformar o radical em potência, aplicar produto de potências e por fim, logaritmo de uma potência.
Como o enunciado informa que a fórmula indica a altura em metros, o resultado acima corresponde a 1,2m. Convertendo para centímetros obtemos 120 cm. Gabarito letra A.
2- (UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a liberação de um predador em seu ambiente, e expresso pela seguinte função:
.
Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual a:
a) 3
b) 4
c) 300
d) 400
Comentários:
Começaremos transformando a base do logaritmo em potência, em seguida substituiremos a incógnita x por 5 (x = 5) e aplicaremos a definição de logaritmo.
Obtemos uma equação exponencial cujo passo final é igualar os expoentes.
O enunciado informa que a fórmula indica as centenas de indivíduos, portanto o resultado encontrado acima representa 3 centenas de indivíduos que correspondem a 300 indivíduos. Gabarito letra C.
3- (UERJ) A relação entre as coordenadas x e y de um corpo em movimento no plano é dada por y = 10log x. O gráfico correspondente a esta relação é:
Comentários:
Aplicando a propriedade "logaritmo como expoente" na expressão dada obtemos:
A expressão y = x corresponde ao gráfico de uma reta que passa na origem (0,0). Pela condição de existência de logaritmo, sabemos que o x precisa ser maior que zero, portanto, o gráfico está definido apenas no lado direito do eixo horizontal. Portanto, gabarito letra A.
4- (UERJ) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir.
• A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.
• O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação:
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a:
(A) 30
(B) 32
(C) 34
(D) 36
Comentários:
Vamos indicar o nível de toxidez inicial por Ti. Como a questão informou, o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial, portanto . Vamos substituir então por na fórmula dada, e T(x) por Ti para encontrarmos o tempo x que levará para toxidez retornar ao valor inicial.
Aplicaremos o logaritmo em ambos os lados da equação final obtida para utilizarmos o dado que log 2 = 0,3:
Como obtemos como resultado para x a dízima periódica 33,333... que é maior que 33, significa que a menor quantidade de dias necessários serão 34. Gabarito letra C.
5- (UFAL) A fórmula para medir a intensidade de um dado terremoto na escala Richter é com I0 sendo a intensidade de um abalo quase imperceptível e I a intensidade de um terremoto dada em termos de um múltiplo de I0 . Se um sismógrafo detecta um terremoto com intensidade I = 32000 I0 , qual a intensidade do terremoto na escala Richter? Indique o valor mais próximo.
Dado: use a aproximação .
a) 3,0
b) 3,5
c) 4,0
d) 4,5
e) 5,0
Comentários:
Faremos a substituição de I = 32000 I0 na expressão dada:
Agora aplicaremos as propriedades de logaritmo no log32000 e a substituição do :
1,5 + 3 = 4,5
Gabarito letra D.
6- (UNEB-BA) Considerando-se as funções reais , e , pode-se afirmar que o valor de é:
a) 8
b) 2
c) 0
d) -2
e) -3
Comentários:
Faremos as substituições dos valores 26; 0,125 e 25 nas expressões das funções f, g e h respectivamente para calcularmos cada logaritmo individualmente.
Fazendo as operações indicadas temos 3 - (-3) + 2 = 3 + 3 + 2 = 8. Gabarito letra A.
7- (UFPA) As populações A e B de duas cidades são determinadas em milhares de habitantes pelas funções: e , nas quais a variável t representa o tempo em anos. Essas cidades terão o mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
Comentários:
Começaremos mudando os logaritmos para base 10 e igualando as expressões:
Podemos agora igualar os logaritmandos:
Gabarito letra E.
8- (UNIFESP) Uma droga na corrente sanguínea é eliminada pela ação dos rins. Admita que, partindo de uma quantidade inicial de Q0 miligramas, após t horas a quantidade da droga no sangue fique reduzida a Q(t) = Q0.(0,64)t. Determine o tempo necessário para que a quantidade inicial da droga fique reduzida à metade. (Utilize log 2 = 0,30).
a) 1h
b) 1,5h
c) 2h
d) 2,5h
e) 3h
Comentários:
Faremos a substituição de Q(t) por na expressão dada:
Aplicaremos agora o logaritmo em ambos os lados da equação obtida.
Gabarito letra B.
9- (FCC - 2006) Após a realização de uma campanha, o número de armas apreendidas em operações policiais passou a diminuir à razão de 10% ao ano. Se o número de armas apreendidas no ano anterior à campanha foi de 40.000, depois de quanto tempo, a partir dessa data, o número de armas apreendidas será igual a 25.000, mantida a taxa de diminuição anual?
Dados:
log2 = 0,30
log3 = 0,48
a) 2 anos e 6 meses
b) 3 anos
c) 3 anos e 6 meses
d) 4 anos e 3 meses
e) 5 anos
Comentários:
Reduzir 10% significa manter 90%, que corresponde a multiplicar por 0,9. Então se vamos sempre reduzindo 10%, significa que vamos multiplicando o valor inicial por 0,9. Isso nos dá a seguinte expressão:
Valor final = valor inicial x (0,9)t
Sendo t o tempo em meses, que corresponde a quantidade de vezes que multiplicaremos por 0,9. Então de acordo com os dados da questão temos a seguinte equação final para resolver:
Apliquemos o logaritmo na equação anterior:
Gabarito letra E.
10- (CESPE - 2006) Mesmo com todas as técnicas pedagógicas disponíveis, a experiência do professor em sala de aula é fundamental. Considere que a relação entre experiência do professor e o aproveitamento dos alunos em sala de aula possa ser modelada por uma função do tipo , em que N(t) é a porcentagem da aula que foi aproveitada pela classe, e t, medido em anos, é o tempo de experiência do professor. Com base nessas informações e considerando , julgue o item que se segue.
Escrevendo-se N(t) = y e com base no modelo apresentado, é possível obter-se uma nova expressão para o modelo em que o tempo t pode ser expresso por uma função de y, de acordo com a relação
Comentários:
Primeiro faremos a troca de N(t) por y na expressão dada e organizar para aplicar o logaritmo:
Agora aplicaremos o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação e isolaremos o t:
Questão está correta.
11- (CESPE) A modelagem matemática pode ser considerada tanto como um método científico de pesquisa quanto como uma estratégia de ensino aprendizagem da matemática. Segundo Bassanezi, ela consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando-se suas soluções na linguagem do mundo real.
Entre os modelos que podem ser utilizados para resolver problemas relacionados à estimativa do crescimento de determinada população, estão aqueles que envolvem funções exponenciais e logarítmicas, tal qual o apresentado a seguir, em que a população P(t) em determinada região de um país é expressa em termos de t anos a partir de 2005, ou seja, t = 0 corresponde ao ano 2005, t = 1, ao ano 2006 etc. Suponha que:
em que k é um número real.
Considerando-se ainda as informações do texto e sabendo-se que a população modelada por P(t), em 2006, era igual a 120.000 habitantes, então o valor de k na expressão apresentada é igual a:
c)
d)
Comentários:
Como em 2006 a população era de 120.000 habitantes, para t = 1 temos P(1) = 120.000. Fazendo a substituição na expressão e "cortando 4 zeros de cada lado" temos:
Vamos isolar o termo na equação acima para em seguida isolar o k:
Aplicando logaritmo neperiano na equação acima obtemos: k = 3ln2 - ln3. Gabarito letra D.
12- (CESPE) Um aparelho eletrônico é capaz de, após o registro de algumas medições, determinar a área A, em m² de uma região, fornecendo ao agrimensor o valor , o logaritmo na base 10 dessa área. Com base nessas informações, julgue o item subsequente.
Considere que a região a ser medida tem a forma de um triângulo retângulo com catetos a e b. Se a = 1 km e = 0, então b = 1 km.
Comentários:
A área de um triângulo retângulo sempre pode ser calculada pela metade do produto dos seus catetos, portanto, A = . Como = 0, aplicando a definição de logaritmo obtemos que A = 1m². Como a = 1km = 1000m e A = 1m², temos
Questão está errada.
13- (UFGD - MS) Certo componente eletrônico processa n bits em milissegundos. Sabendo que log (5) = 0,699, pode-se concluir que 64 bits serão processados em:
a) 1,398 milissegundos
b) 1,806 milissegundos
c) 2,398 milissegundos
d) 2,709 milissegundos
e) 1,866 milissegundos
Comentários:
Usando :
Gabarito letra B.
14- (UFMG) Seja . Então o valor de n é:
a) 52
b) 83
c) 25
d) 53
Comentários:
Gabarito letra D.
15- (MACK-SP) O valor de sabendo que a e b são raízes da equação , é:
a) 2
b) -1
c) -1/2
d) 1
e) 1/2
Comentários:
Antes de aplicarmos os conhecimentos sobre logaritmo precisamos lembrar da fórmula do produto das raízes de uma equação quadrática ax² + bx + c = 0. O produto das raízes é dado pela fórmula
Sendo "c" o termo independente e "a" o coeficiente do termo quadrático.
Com isso, conseguimos calcular o valor do produto "ab" das raízes da equação ficando P = 10. Substituindo este valor no logaritmo dado temos:
Gabarito letra B.
16- (UFC -CE) O valor exato da soma é:
a) 0
b) -1
c) -2
d) 2
e) 3
Comentários:
A soma de logaritmos de mesma base pode ser transformada no logaritmo do produto de todos os logaritmandos (conservando a base):
Note que aplicando o cancelamento no logaritmo final obtido, ficamos com o seguinte logaritmo final:
Gabarito letra C.
17- (UPE) Sabendo-se que e que log2 = m e log3 = n, é correto afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
Comentários:
O objetivo é isolar o x, então começaremos aplicando o logaritmo na base 10 em ambos os lados da equação dada:
Agora aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência, substituímos os logaritmos informados e isolamos o x.
Gabarito letra B.
18- (AV MOREIRA) Utilizando seus conhecimentos sobre Logaritmos, determine o valor da expressão log₂ 15. Sabendo que log₈ 225 = 𝑎.
b)
c)
d)
Comentários:
A questão quer o valor do log₂ 15 em função de a sabendo que log₈ 225 = 𝑎. Então precisaremos aplicar a mudança de base no log₈ 225, mudando para base 2:
Agora podemos igualar a expressão final obtida ao "a":
Gabarito letra C.
19- (CESPE) Julgue o próximo item, relativo a funções exponenciais.
Para x > 0, a função f(x) = lnx, em que a inversa é , é tal que .
Comentários:
Como f(x) = lnx, pela propriedade de logaritmo como potência, temos que . E como , pela propriedade de logaritmo de potências temos:
Portanto podemos garantir que . A questão está correta.
20 - (UFRR) Sejam a e b números reais positivos tais que . Então:
a)
b)
c)
d)
e)
Comentários:
Vamos aplicar as propriedades logaritmo de potências e logaritmo de produto no :
Por fim, vamos igualar à 5, o resultado final obtido acima:
Gabarito letra D.
21 - (FGV) Admita que a oferta S e demanda D de uma mercadoria sejam dadas em função de x real pelas funções e . Nessas condições, a oferta será igual à demanda para x igual a:
Comentários:
Precisamos igualar as expressões S(x) e D(x) e fazer uma mudança de variável, :
Precisamos calcular as raízes da equação quadrática acima. Neste caso, podemos usar as fórmulas de soma e produto:
Temos que a soma de dois números é - 3 e o produto desses números é - 40. Então esses números só podem ser 5 e (-8), que, portanto, são as raízes da equação quadrática. Por fim, vamos substituir esses valores em :
Note que a equação não tem solução. Gabarito letra D.
22 - (UEM - PR) Para a função f de uma variável real definida por , em que a e b são números reais, a ≠ 0 e x > b, sabe-se que f(3) = 0 e f(102) = -6. Sobre o exposto, é correto:
a) a + b = -1
b) a + b = -6
c) a + b = 105
d) a - b = 5
e) b - a = 2
Comentários:
Vamos substituir os valores de x = 3 e x = 102 na expressão da f(x) para utilizarmos os valores dados de f(3) e f(102).
f(3) = 0
O enunciado afirma que a ≠ 0, então
f(106) = -6
Então, a + b = - 1. Gabarito letra A.
23 - (UNESP) O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse resultado em altitude. Suponha que a altitude h acima do nível do mar, em quilômetros, detectada pelo altímetro de um avião, seja dada, em função da pressão atmosférica p, em atm, por . Num determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,4 atm. Considerando a aproximação log 2 = 0,3, a altitude h do avião nesse instante, em quilômetros, era de:
a) 5
b) 8
c) 9
d) 11
e) 12
Comentários:
Precisamos calcular h(0,4):
Gabarito letra B.
24- (UECE) A função inversa da função real de variável real definida por , onde x > 0, é definida por:
Comentários:
Para descobrir a expressão da inversa de qualquer função, sempre devemos trocar a posição de X e Y, e isolar o Y:
Gabarito letra D.
25- (FUVEST) Seja . Os valores de x, para os quais f está definida e satisfaz f(x) > 1, são:
Comentários:
Vamos primeiro começar resolvendo a inequação logarítmica f(x) > 1. Depois vamos avaliar a condição de existência de logaritmo envolvidos e por fim, faremos a interseção de todas as soluções.
Precisamos agora estudar o sinal da inequação quociente acima, avaliando o sinal individualmente de cada termo da fração e depois fazendo a interseção:
Numerador:
Por fim a divisão:
Sabemos agora que no intervalo real com temos . Então precisamos agora verificar quais "trechos" dos intervalos da condição de existência estão contidos no intervalo acima.
Fazendo a interseção final dos dois intervalos acima:
Por fim, a interseção final da solução e condição de existência:
O intervalo correspondente à solução final é . Gabarito letra C.
26- (Unimontes - MG) Acrescentando-se 16 unidades a um número, seu logaritmo na base 3 aumenta 2 unidades. Esse número é:
a) 3
b) 4
c) 2
d) 8
Comentários:
Vamos considerar que o logaritmo de um número qualquer x na base 3, tenha resultado y: Pela definição de logaritmo, temos que Agora vamos acrescentar as 16 unidades em x e aumentar 2 umidades em y:
Gabarito letra C.
27- (PUC - RS) A solução real para a equação , com a > 0, a ≠ 1 e b > 0, é dada por:
Comentários:
Primeiro começaremos passando a letra "a" na equação dada, que está dividindo, para o outro lado multiplicando.
Agora vamos aplicar logaritmo na base "a" na equação exponencial acima.
Gabarito letra E.
28 - (UEPB) Para que esteja definido, devemos ter:
a) 3 ≤ x ≤ 6
b) 3 < x < 6
c) 3 ≤ x ≤ 6 e x ≠ 4
d) 3 < x < 6 e x ≠ 4
e) 3 ≤ x < 6
Comentários:
Precisamos aplicar a condição de existência do logaritmo, no logaritmando e base do logaritmo dado. Lembre-se que logaritmando deve ser positivo e a base deve ser positiva e diferente de 1:
Logaritmando:
Esquematizando as 3 desigualdades acima:
Portanto para satisfazer a condição de existência, o valor de x precisa estar no intervalo (3,6) e precisa ser diferente de 4, ou seja, 3 < x < 6 e x ≠ 4. Gabarito letra D.
29 - (FGV) O valor é:
a) 1/3
b) 3
c) 7
d) 1/7
e) 1/5
Comentários:
Vamos aplicar propriedade de potência (potência de potência) e propriedade de logaritmo (logaritmo como expoente):
Gabarito letra D.
30 - (Uncisal - AL) Se e x + y = 81, então é igual a:
a) 4 + p
b) 2 + p
c) 4p
d) 2p
e) 81 + p
Comentários:
Primeiro vamos aplicar a definição no logaritmo dado:
Agora vamos expandir o logaritmo usando a fatoração pela diferença de dois quadrados no logaritmando, em seguida fazemos as substituições.
= = 4 + p
Gabarito letra A.
31 - (UFES) Sabe-se que log 3 = 0,477, aproximado até a terceira casa decimal. O número de algarismos do inteiro é igual a:
a) 43
b) 44
c) 45
d) 46
e) 47
Comentários:
Para descobrirmos a quantidade de algarismos de qualquer número, uma ótima ESTRATÉGIA é escrever este número como potência de 10, pois assim ficará fácil contar a quantidade de algarismos. Por exemplo, 10 possui 2 algarismos, 100 possui 3 algarismos, 1000 possui 4 algarismos e assim sucessivamente. Portanto precisamos transformar em potência de 10. Para isso vamos utilizar o log 3 = 0,477 informado:
Agora vamos desenvolver a potência até conseguimos utilizar o resultado encontrado acima e consequentemente determinar a quantidade de algarismos:
Como possui 45 algarismos (44 zeros e um algarismo 1), o resultado encontrado para N = permanece com 45 algarismos.
Gabarito letra C.
32 - (NC UFPR - 2017) Considerando que log 5 = 0,7, assinale a alternativa que apresenta o valor de .
a) 0,35
b) 0,50
c) 2,85
d) 7,00
e) 70,00
Comentários:
Aplicaremos a propriedade da mudança de base alterando para 10 a base do logaritmo solicitado:
Gabarito letra C.
33- (ADVISE - 2017) Em uma função logarítmica qualquer, o gráfico que a representa não irá interceptar o eixo:
a) das ordenadas
b) de simetria
c) das abcissas
d) apolar
e) congruente
Comentários:
As funções logarítmicas, , nunca interceptam o eixo Y das imagens, também conhecido como eixo das ordenadas já que não existe imagem para x = 0 (pois x = 0 não está no domínio), sendo exatamente neste ponto que o gráfico interceptaria o eixo Y. Vale lembrar que o eixo X dos valores do domínio é chamado de eixo das abcissas. Gabarito letra A.
34 - (BIO - RIO 2016) Uma população de bactérias cresce 5% a cada hora. Se usarmos os valores aproximados log 105 = 2,02 e log 2 = 0,30, o número aproximado de horas para que essa população de bactérias quadruplique de tamanho será igual a:
a) 30
b) 25
c) 20
d) 15
e) 10
Comentários:
Quando um valor aumenta 5%, ficamos com 105% desse valor que corresponde a multiplicá-lo por 1,05. Portanto se um número cresce indefinidamente 5% a cada hora, significa que ele será multiplicado indefinidamente por 1,05 a cada hora. E assim temos uma expressão para essa situação:
Valor final = valor inicial x (1,05)t
sendo t o número de horas.
Supondo nosso valor inicial de x, este valor precisa ser quadruplicado, ou seja, o valor final precisa ser 4x. Assim temos a seguinte expressão:
Aplicando logaritmo na base 10 na equação obtida acima e aplicando propriedade do logaritmo de quociente temos:
Gabarito letra A.
35 - (ACAPLAM - 2012) Uma professora mostrou a seus alunos um esboço, no plano cartesiano, do gráfico da função f(x) = log₃ x, com alguns pontos destacados. Veja a figura abaixo:
Pediu, então, aos alunos que fizessem uma afirmação incorreta a partir do gráfico, supondo que a abscissa do ponto A é igual a 9. Leia as afirmações abaixo e assinale qual o único dos alunos que conseguiu atender à solicitação da professora
a) Ana - A base b do logaritmo é igual a 3.
b) Patrícia - A abscissa de B é igual a 2.
c) Pedro - A abscissa de C é igual a 1.
d) Cláudia - f(x) < 0 para todo x ∈ ]0;1[.
e) Neide - f(x) é crescente.
Comentários:
a) A função f(x) = log₃ x é formada por um logaritmo com base 3, portanto essa afirmativa está correta.
b) O ponto B possui ordenada (corresponde à imagem) igual a 1. Significa que log₃ x = 1, então se aplicarmos a definição de logaritmo temos que x = 3¹ = 3. Ou seja, a abcissa neste ponto é 3. Portanto essa afirmativa está errada.
c) O ponto C corresponde à interseção do gráfico com o eixo X. Neste ponto a imagem sempre é igual a zero (y = 0). Então se substituirmos na expressão da função, temos log₃ x = 0 e, portanto, x = 30 = 1. Então a abcissa neste ponto é igual a 1 e assim a afirmativa está correta.
d) A função possui domínio x > 0 e apresenta imagem negativa à esquerda do ponto C, que possui abcissa x = 1, então a imagem negativa da função está definida no intervalo (0,1). Afirmativa correta.
e) Toda função logarítmica com base maior que 1 é crescente e podemos observar isso claramente pelo gráfico da função, que aumenta o valor da sua imagem na medida que aumentamos o valor do domínio. Portanto essa afirmativa é verdadeira.
Gabarito letra B.
36 - (FUVEST) A figura a seguir mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O valor de b é:
a) 1/4
b) 2
c) 3
d) 4
e) 10
Comentários:
Pelo gráfico apresentado podemos observar que a função é crescente, portanto, base maior que 1. Além disso temos dois pontos que pertencem à função que são (0,25, -1) e (1, 0).
Pelo ponto (1,0) podemos concluir que a função é do tipo pois para x = 1 temos que . Substituindo as coordenadas do ponto (0,25, -1) na expressão da função temos:
Gabarito letra D.
37 - (MACK) Na figura, temos o esboço do gráfico da função definida por . O valor de é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Comentários:
O gráfico da função passa pelos pontos (a, 0) e (3a, 2).
Faremos agora a substituição das coordenadas dos pontos do gráfico na expressão da função e aplicaremos a definição de logaritmo:
Para resolver a equação quadrática obtida acima precisamos lembrar da fórmula de Báskara:
Na equação a incógnita é o b e os coeficientes são a = 2, b = 1 e c = -1. Aplicando a fórmula temos:
Pela condição de existência do logaritmo, temos que .
Então,
Gabarito letra B.
38- (CETREDE) Para que exista o logaritmo 𝒍𝒐𝒈₍ₓ₊₁₎(𝒙²−𝟒), quais são os valores possíveis de x?
a) x ≥ 2
b) x ≥ 1
c) x > 2
d) x < 2
e) x ≤ 2
Comentários:
Aplicando a condição de existência:
Lembremos que a expressão corresponde a uma função quadrática com concavidade da parábola para cima. Neste caso, a função é positiva para valores de x menores que (-2) ou maiores que 2, sendo (-2) e 2 suas raízes.
Fazendo a interseção (parte comum) dos dois intervalos:
Solução final
Note que x = 2 não pertence ao primeiro intervalo, portanto não pode estar na interseção que representa a parte comum aos dois intervalos. Portanto o intervalo que satisfaz ambas as condições de existência é x > 2. Gabarito letra C.
39 - (CONPASS - 2016) Na figura está parte da representação gráfica da função ƒ, de domínio ℝ, definida por ƒ(x) = log₉ (x). P é o ponto do gráfico de ƒ que tem ordenada ½. Qual a abscissa do ponto P?
a) 2
b) 3/2
c) 9/2
d) 3
e) 1/2
Comentários:
Para encontrarmos a abcissa x do ponto P: (x, 1/2) precisamos resolver a seguinte expressão:
Aplicando a definição de logaritmo na equação acima temos:
Gabarito letra A.
40 - (CONPASS - 2016) O gráfico da função logaritmo em uma base b é dado na figura a seguir.
O valor do logaritmo de b na base 2 é igual a
a) 2
b) 1/4
c) 3
d) 4
e) 10
Comentários:
O gráfico corresponde à uma função logarítmica de base b, portanto . Substituindo as coordenadas do ponto (0,25, -1) na expressão da função e aplicando a definição de logaritmo conseguiremos descobrir o valor da base b:
0,25
Agora vamos calcular o logaritmo de b na base 2:
Gabarito letra A.
Lista de questões
1- (UNIRIO) Um médico, após estudar o crescimento médio das crianças de determinada cidade, com idades que variam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula , em que h é a altura, em metro, e i é a idade, em ano. Pela fórmula, uma criança de 10 anos dessa cidade terá a altura de:
a) 120cm
b) 123cm
c) 125cm
d) 128cm
e) 130cm
2- (UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a liberação de um predador em seu ambiente, e expresso pela seguinte função:
.
Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual a:
a) 3
b) 4
c) 300
d) 400
3- (UERJ) A relação entre as coordenadas x e y de um corpo em movimento no plano é dada por y = 10log x. O gráfico correspondente a esta relação é:
4- (UERJ) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir.
• A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.
• O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação:
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a:
(A) 30
(B) 32
(C) 34
(D) 36
5- (UFAL) A fórmula para medir a intensidade de um dado terremoto na escala Richter é com I0 sendo a intensidade de um abalo quase imperceptível e I a intensidade de um terremoto dada em termos de um múltiplo de I0 . Se um sismógrafo detecta um terremoto com intensidade I = 32000 I0 , qual a intensidade do terremoto na escala Richter? Indique o valor mais próximo.
Dado: use a aproximação .
a) 3,0
b) 3,5
c) 4,0
d) 4,5
e) 5,0
6- (UNEB-BA) Considerando-se as funções reais , e , pode-se afirmar que o valor de é:
a) 8
b) 2
c) 0
d) -2
e) -3
7- (UFPA) As populações A e B de duas cidades são determinadas em milhares de habitantes pelas funções: e , nas quais a variável t representa o tempo em anos. Essas cidades terão o mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
8- (UNIFESP) Uma droga na corrente sanguínea é eliminada pela ação dos rins. Admita que, partindo de uma quantidade inicial de Q0 miligramas, após t horas a quantidade da droga no sangue fique reduzida a Q(t) = Q0.(0,64)t. Determine o tempo necessário para que a quantidade inicial da droga fique reduzida à metade. (Utilize log 2 = 0,30).
a) 1h
b) 1,5h
c) 2h
d) 2,5h
e) 3h
9- (FCC - 2006) Após a realização de uma campanha, o número de armas apreendidas em operações policiais passou a diminuir à razão de 10% ao ano. Se o número de armas apreendidas no ano anterior à campanha foi de 40.000, depois de quanto tempo, a partir dessa data, o número de armas apreendidas será igual a 25.000, mantida a taxa de diminuição anual?
Dados:
log2 = 0,30
log3 = 0,48
a) 2 anos e 6 meses
b) 3 anos
c) 3 anos e 6 meses
d) 4 anos e 3 meses
e) 5 anos
10- (CESPE - 2006) Mesmo com todas as técnicas pedagógicas disponíveis, a experiência do professor em sala de aula é fundamental. Considere que a relação entre experiência do professor e o aproveitamento dos alunos em sala de aula possa ser modelada por uma função do tipo , em que N(t) é a porcentagem da aula que foi aproveitada pela classe, e t, medido em anos, é o tempo de experiência do professor. Com base nessas informações e considerando , julgue o item que se segue.
Escrevendo-se N(t) = y e com base no modelo apresentado, é possível obter-se uma nova expressão para o modelo em que o tempo t pode ser expresso por uma função de y, de acordo com a relação
11- (CESPE) A modelagem matemática pode ser considerada tanto como um método científico de pesquisa quanto como uma estratégia de ensino aprendizagem da matemática. Segundo Bassanezi, ela consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando-se suas soluções na linguagem do mundo real.
Entre os modelos que podem ser utilizados para resolver problemas relacionados à estimativa do crescimento de determinada população, estão aqueles que envolvem funções exponenciais e logarítmicas, tal qual o apresentado a seguir, em que a população P(t) em determinada região de um país é expressa em termos de t anos a partir de 2005, ou seja, t = 0 corresponde ao ano 2005, t = 1, ao ano 2006 etc. Suponha que:
em que k é um número real.
Considerando-se ainda as informações do texto e sabendo-se que a população modelada por P(t), em 2006, era igual a 120.000 habitantes, então o valor de k na expressão apresentada é igual a:
c)
d)
12- (CESPE) Um aparelho eletrônico é capaz de, após o registro de algumas medições, determinar a área A, em m² de uma região, fornecendo ao agrimensor o valor , o logaritmo na base 10 dessa área. Com base nessas informações, julgue o item subsequente.
Considere que a região a ser medida tem a forma de um triângulo retângulo com catetos a e b. Se a = 1 km e = 0, então b = 1 km.
13- (UFGD - MS) Certo componente eletrônico processa n bits em milissegundos. Sabendo que log (5) = 0,699, pode-se concluir que 64 bits serão processados em:
a) 1,398 milissegundos
b) 1,806 milissegundos
c) 2,398 milissegundos
d) 2,709 milissegundos
e) 1,866 milissegundos
14- (UFMG) Seja . Então o valor de n é:
a) 52
b) 83
c) 25
d) 53
15- (MACK-SP) O valor de sabendo que a e b são raízes da equação , é:
a) 2
b) -1
c) -1/2
d) 1
e) 1/2
16- (UFC -CE) O valor exato da soma é:
a) 0
b) -1
c) -2
d) 2
e) 3
17- (UPE) Sabendo-se que e que log2 = m e log3 = n, é correto afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
18- (AV MOREIRA) Utilizando seus conhecimentos sobre Logaritmos, determine o valor da expressão log₂ 15. Sabendo que log₈ 225 = 𝑎.
b)
c)
d)
19- (CESPE) Julgue o próximo item, relativo a funções exponenciais.
Para x > 0, a função f(x) = lnx, em que a inversa é , é tal que .
20 - (UFRR) Sejam a e b números reais positivos tais que . Então:
a)
b)
c)
d)
e)
21 - (FGV) Admita que a oferta S e demanda D de uma mercadoria sejam dadas em função de x real pelas funções e . Nessas condições, a oferta será igual à demanda para x igual a:
22 - (UEM - PR) Para a função f de uma variável real definida por , em que a e b são números reais, a ≠ 0 e x > b, sabe-se que f(3) = 0 e f(102) = -6. Sobre o exposto, é correto:
a) a + b = -1
b) a + b = -6
c) a + b = 105
d) a - b = 5
e) b - a = 2
23 - (UNESP) O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse resultado em altitude. Suponha que a altitude h acima do nível do mar, em quilômetros, detectada pelo altímetro de um avião, seja dada, em função da pressão atmosférica p, em atm, por . Num determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,4 atm. Considerando a aproximação log 2 = 0,3, a altitude h do avião nesse instante, em quilômetros, era de:
a) 5
b) 8
c) 9
d) 11
e) 12
24- (UECE) A função inversa da função real de variável real definida por , onde x > 0, é definida por:
25- (FUVEST) Seja . Os valores de x, para os quais f está definida e satisfaz f(x) > 1, são:
26- (Unimontes - MG) Acrescentando-se 16 unidades a um número, seu logaritmo na base 3 aumenta 2 unidades. Esse número é:
a) 3
b) 4
c) 2
d) 8
27- (PUC - RS) A solução real para a equação , com a > 0, a ≠ 1 e b > 0, é dada por:
28 - (UEPB) Para que esteja definido, devemos ter:
a) 3 ≤ x ≤ 6
b) 3 < x < 6
c) 3 ≤ x ≤ 6 e x ≠ 4
d) 3 < x < 6 e x ≠ 4
e) 3 ≤ x < 6
29 - (FGV) O valor é:
a) 1/3
b) 3
c) 7
d) 1/7
e) 1/5
30 - (Uncisal - AL) Se e x + y = 81, então é igual a:
a) 4 + p
b) 2 + p
c) 4p
d) 2p
e) 81 + p
31 - (UFES) Sabe-se que log 3 = 0,477, aproximado até a terceira casa decimal. O número de algarismos do inteiro é igual a:
a) 43
b) 44
c) 45
d) 46
e) 47
32 - (NC UFPR - 2017) Considerando que log 5 = 0,7, assinale a alternativa que apresenta o valor de .
a) 0,35
b) 0,50
c) 2,85
d) 7,00
e) 70,00
33- (ADVISE - 2017) Em uma função logarítmica qualquer, o gráfico que a representa não irá interceptar o eixo:
a) das ordenadas
b) de simetria
c) das abcissas
d) apolar
e) congruente
34 - (BIO - RIO 2016) Uma população de bactérias cresce 5% a cada hora. Se usarmos os valores aproximados log 105 = 2,02 e log 2 = 0,30, o número aproximado de horas para que essa população de bactérias quadruplique de tamanho será igual a:
a) 30
b) 25
c) 20
d) 15
e) 10
35 - (ACAPLAM - 2012) Uma professora mostrou a seus alunos um esboço, no plano cartesiano, do gráfico da função f(x) = log₃ x, com alguns pontos destacados. Veja a figura abaixo:
Pediu, então, aos alunos que fizessem uma afirmação incorreta a partir do gráfico, supondo que a abscissa do ponto A é igual a 9. Leia as afirmações abaixo e assinale qual o único dos alunos que conseguiu atender à solicitação da professora
a) Ana - A base b do logaritmo é igual a 3.
b) Patrícia - A abscissa de B é igual a 2.
c) Pedro - A abscissa de C é igual a 1.
d) Cláudia - f(x) < 0 para todo x ∈ ]0;1[.
e) Neide - f(x) é crescente.
36 - (FUVEST) A figura a seguir mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O valor de b é:
a) 1/4
b) 2
c) 3
d) 4
e) 10
37 - (MACK) Na figura, temos o esboço do gráfico da função definida por . O valor de é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
38- (CETREDE) Para que exista o logaritmo 𝒍𝒐𝒈₍ₓ₊₁₎(𝒙²−𝟒), quais são os valores possíveis de x?
a) x ≥ 2
b) x ≥ 1
c) x > 2
d) x < 2
e) x ≤ 2
39 - (CONPASS - 2016) Na figura está parte da representação gráfica da função ƒ, de domínio ℝ, definida por ƒ(x) = log₉ (x). P é o ponto do gráfico de ƒ que tem ordenada ½. Qual a abscissa do ponto P?
a) 2
b) 3/2
c) 9/2
d) 3
e) 1/2
40 - (CONPASS - 2016) O gráfico da função logaritmo em uma base b é dado na figura a seguir.
O valor do logaritmo de b na base 2 é igual a
a) 2
b) 1/4
c) 3
d) 4
e) 10
Gabarito
1. LETRA A
2. LETRA C
3. LETRA A
4. LETRA C
5. LETRA D
6. LETRA A
7. LETRA E
8. LETRA B
9. LETRA E
10. QUESTÃO CORRETA
11. LETRA D
12. QUESTÃO ERRADA
13. LETRA B
14. LETRA D
15. LETRA B
16. LETRA C
17. LETRA B
18. LETRA C
19. QUESTÃO CORRETA
20. LETRA D
21. LETRA D
22. LETRA A
23. LETRA B
24. LETRA D
25. LETRA C
26. LETRA C
27. LETRA E
28. LETRA D
29. LETRA D
30. LETRA A
31. LETRA C
32. LETRA C
33. LETRA A
34. LETRA A
35. LETRA B
36. LETRA D
37. LETRA B
38. LETRA C
39. LETRA A
40. LETRA A
2
(
)
i
h
.
10
log
7
,
0
=
(
)
4
5
5
x
log
)
x
(
f
3
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
0
10
log
I
I
R
30
,
0
2
log
10
=
)
1
(
log
)
(
3
+
=
x
x
f
x
x
g
2
log
)
(
=
x
x
h
4
log
)
(
=
)
25
(
)
125
,
0
(
)
26
(
h
g
f
+
-
(
)
5
4
2
log
)
(
t
t
A
+
=
45
log
15
log
2
2
2
8
-
=
n
÷
ø
ö
ç
è
æ
ab
1
log
0
10
7
2
=
+
-
x
x
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
100
99
log
...
4
3
log
3
2
log
2
1
log