v@r histórico
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1
Simulação HistóricaAnálise de Risco (6)
R.Vicente
2
Resumo
Simulação HistóricaMétodo BRW (Boudoukh-Richardson-Whitelaw)Volatilidade Ajustada (Método Hull-White)Bibliografia
3
-8,0%
-6,0%
-4,0%
-2,0%
0,0%
2,0%
4,0%
6,0%
1 51 101
151
201
251
301
351
401
451
501
551
601
651
701
751
801
851
A versão naïve da simulação histórica consiste na utilização do histórico de retornos para gerar cenários futuros para preços:
Simulação Histórica
1, ,..., ,...,t t t n t NR R R R− − −
( )1 ( )t nRn
t tV V S e −+ =
4
Simulação Histórica
A densidade resultante não é normal:
( ) ( )n nt t tV V VΔ = −
050
100150200250300350400450
-8,9
534%
-7,7
357%
-6,5
181%
-5,3
004%
-4,0
827%
-2,8
651%
-1,6
474%
-0,4
297%
0,78
79%
2,00
56%
3,22
33%
4,44
09%
5,65
86%
6,87
62%
8,09
39%
9,31
16%
10,5
292%
L N R e t
Freq
uenc
y
5
Simulação Histórica
( ){ }1
1( ; , ) 1 jt
N
V xj
P x t NN Δ ≤
=
= ∑A função distribuição cumulativa empírica é dada por:
( )inf (1) ( )inf { ,..., } | ( ; , )NVaR V V V P V t Nα α= Δ ∈ Δ Δ Δ ≥
( )sup (1) ( )sup { ,..., } | ( ; , )NVaR V V V P V t Nα α= Δ ∈ Δ Δ Δ ≤
( )inf sup
2VaR VaR
VaR α αα
+=
Massa de P&L até x
6
Simulação Histórica
Historical Simulation
-8,0%-6,0%-4,0%-2,0%0,0%2,0%4,0%6,0%8,0%
1 51 101
151
201
251
301
351
401
451
501
551
601
651
701
751
801
851
7
Prós e Contras
Prós ContrasNão é necessário estimar
volatilidades ou correlações.Cenários têm mesmo peso (1/N).
Nenhuma hipótese prévia sobre a densidade dos retornos é necessária.
Cenários com volatilidades diferentes são utilizados
simultaneamente.
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Método BRWBoudoukh,Rishardson,Whitelaw
( ){ }1
( ; , , ) 1 j
N
t j V xj
P x t N wλ − Δ ≤=
=∑
A função distribuição cumulativa empírica é dada por:
( )sup (1) ( )sup { ,..., } | ( ; , , )NVaR V V V P V t Nα λ α= Δ ∈ Δ Δ Δ ≤
11
1
1 1 ,1
Nj
t j t j t j t jNj
w w w wλ λ λλ
−− − − − −
=
⎛ ⎞− ⎟⎜= ⇒ = =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠− ∑
( )inf (1) ( )inf { ,..., } | ( ; , , )NVaR V V V P V t Nα λ α= Δ ∈ Δ Δ Δ ≥
9
Método BRW
1 2
1 11 1 1 1
1
... ...
... ...11
t t t n t N
n N
N
R R R R
w w w w
w
λ λ λλλ
− − − −− −
−=−
Probabilidade
0,00%
0,20%
0,40%
0,60%
0,80%
1,00%
1,20%
1 51 101 151 201 251 301 351 401 451
10
Método BRW: ResultadosComprado em SP500 VaR a 99%
11
Método BRW: ResultadosVendido em SP500 VaR a 99%
12
Método BRW: ResultadosComprado em SP500 VaR a 95%
13
Método BRW: ResultadosVendido em SP500 VaR a 95%
14
Método BRW: Resultados
sup sup sup( ) ( 1) ( )tR VaR t VaR t VaR tα α α> ⇒ + ≥
Proposição 1: O VaR aumenta somente após pelo menos uma violação, ou seja, a probabilidade de o VaR aumentar de um período ao próximo é de 1-
t-1
t
α
15
Método BRW: Resultados
{ }( 1) ( ) 31,73%P VaR t VaR tα α+ > =
Proposição 2: Se os retornos são descritos por um processo GARCH(1,1) e a volatilidade estiver em seu nível médio , então:σ
Demonstração:
2 2 20 1 1 1 1
t t t
t t t
R
R
σ εσ α α β σ− −
== + +
Seja o processo GARCH(1,1) definido por:
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Método BRW: Resultados
Demonstração:
2 0
1 11ασα β
=− −
A volatilidade que é ponto fixo da dinâmica no longo prazo é:
tσ σ=Quando , se e somente se1t tσ σ+ >2 2 2
0 1 1
2 2 2 20 1 1
2 22 20 1
21
1
t t t
t t t
Rα α β σ σα α σ ε β σ σα β σ σ ε ε
α σ
+ + >+ + >+ − > ⇒ >
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Método BRW: Resultados
Demonstração:
2 2 20 1 1
2 2 2 20 1 1
2 22 20 1
21
1
t t t
t t t
Rα α β σ σα α σ ε β σ σα β σ σ ε ε
α σ
+ + >+ + >+ − > ⇒ >
2( 1) ( 1) ( 1) 2 ( 1) 0,3173P P Pε ε ε> = > + <− = Φ −
QED
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Método BRW: Resultados
Proposição 3: Se os retornos são representados por um processo GARCH(1,1), a probabilidade de um aumento de VaR em t+1 maior que x% em relação a t não ser detectado pelo método BRW é:
1
1
2 ( ) ,0 ( , )% , detection
( ), ( , )( )z x kVaRP x no
z x kVaR tα
α
α α αα α
⎧ ⎫ ⎧ Φ − < <⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪>⎨ ⎬ ⎨⎪ ⎪ ⎪ Φ ≥⎪⎪ ⎪ ⎩⎩ ⎭
2
1
211 1 1
21
( , ) 1 ( )
x xz
k
α
α α α α α−
+=− +
⎡ ⎤= − + Φ⎢ ⎥⎣ ⎦
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Método BRW: ResultadosProposição 3: Se os retornos são representados por um processo GARCH(1,1), aprobabilidade de um aumento de VaR em t+1 maior que x% em relação a t não ser detectado pelo método BRW é:
20
Método BRW: Resultados
21
-5,0
-3,0
-1,0
1,0
3,0
5,0
1 51 101 151 201 251 301 351 401 451 501 551 601 651 701 751 801 851
São realizadas estimativas GARCH ou EWMA de volatilidades e os retornos são normalizados.
Método de Hull-White
1
1
, ,..., ,...,t t t n t N
t t t n t N
R R R Rσ σ σ σ
− − −
− − −
1( )1 ( )
t nt
t n
Rn
t tV V S eσ
σ−
+−
+ =
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Bibliografia
• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.
• RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com);
•Pritsker M., The Hidden Dangers of Historical Simulation.
Leituras Complementares
Hull, J. e White, A., Incorporating Volatility Updating into the Historical Simulation Method for Value at Risk