v@r: overview
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1
Value-at-Risk: Overview
Análise de Risco (1)R.Vicente mpmmf
2
ResumoObjetivosDefiniçãoEsquema GeralDinâmica de PreçosPasseio Aleatório DiscretoSomas de Variáveis AleatóriasTeorema Central do LimiteEstatística dos RetornosAuto-CorrelaçãoVolatilidadeMatrizes de CorrelaçãoBibliografia
3
Objetivos 1. Medida de exposição por transação, unidade de
negócios ou agregada;
2. Alocação de capital apropriada ao valor de mercado e risco;
3. Estabelecimento de limites de exposição;
4. “Disclosure” para acionistas, mercado e órgãos regulatórios;
5. Avaliação de “traders” e/ou unidades de negócio.
4
Definição Dado um horizonte de tempo T e um nível de confiança p, o VaR é a perda no valor de mercado no horizonte T que pode ser excedida com probabilidade 1-p.
BIS: p=0,99 e T = 10 dias
JPM: p=0,95 e T = 1 dia
O VaR é apenas um benchmark para decisões comparativas. Em situações adversas podem ocorrer problemas de liquidez que podem ampliar significativamente perdas potenciais.
5
Esquema Geral
Simulação de mudanças nos preços e taxas.(modelos estatísticos paramétricos ou bootstrap)
Base de dados com carteiras
Cálculo do valor de mercado de cada instrumento para cada cenário de preços e taxas.
(aproximações de 1a (delta) ou 2a (delta-gama) ordem, full valuation)
6
O que é necessário ?
1. Modelo para as mudanças aleatórios nos preços;
2. Modelo para preços e sensibilidades de derivativos
7
Dinâmica de Preços
1 1
1 1
11
1 1
var
0 var 1
μ σ ε
μ
σ
ε ε
− −
− −
−−
− −
= +⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
t t t t
t t t
t t t
t t t t
R
E R I
R I
E I I
“Plain vanilla model”: constantes.,μ σ(0,1)iid Nε
8
Passeio Aleatório Discreto 1
2 2 2
1 1~ ( ) ( ) ( ) . . .2 2
0
n n n
n
n n n j nj
S S
p s s i i d
s s
σε
ε ε δ ε δ ε
ε ε ε ε δ
−= +
= − + +
= = =
-10 0 10 20 30 40 50 60 70-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
9
Passeio Aleatório Discreto
1000S1
1
2 2 2
1
0
N
N jj
N
N jj
N
N jj
S
S
S Ns
ε
ε
ε
=
=
=
=
= =
= =
∑
∑
∑
10
Convolução
1
N
N jj
S ε=
=∑
1 2
1 2
1 2
~ ( )
( ) ( ) ( )
j j jX X X x p x
p x dx p x p x x
p p p
= +
′ ′ ′= −
= ∗∫
Qual é a distribuição de ?
11
Convolução
1
N
n jj
S ε=
=∑
1
1
1 1 1 1 1 ' 11
1 2
~ ( )
( ) ( ) ( ) ( )
N
j j j jj
N
j N N N Nj
N
X X x p x
p x dx p x p x p x x x
p p p p
=
−
− − −=
=
′ ′ ′ ′ ′= − −
= ∗ ∗
∑
∏∫
Qual é a distribuição de ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( )NN
N termos
p S p p p pε ε ε ε∗= ∗ ∗ =
12
Convolução no Espaço de Fourier
'1 ' 1
1
1 1 1 1 1 ' 11
1
ˆ ( ) exp( )
( ) ( ) ( )
ˆ ˆ( ) ( )
N
N
j N N N Nj
N
jj
p z dx izx izx izx
dx p x p x p x x x
p z p z
−
−
− − −=
=
′ ′= ± ±
′ ′ ′ ′ ′− −
=
∫∏∫
∏
( )
1 1
, ,1
ˆ ˆ ˆln ( ) ln ( ) ln ( )
ˆln (0)
NN
j jj j
l Nl
l N l jlj
p z p z p z
pc i cz
= =
=
⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎣ ⎦∂= − =
∂
∑∏
∑
Como conseqüência os
cumulantes se somam:
13
Cumulantes
( )1, ,1 2
,2,12
2,
ll N l
l N l
N
c cN
ccλ
−= =
, ,1l N lc Nc=Se as variáveis são i.i.d. os cumulantes de uma soma de N variáveis são:
Os cumulantesnormalizados são:
Em uma soma de N variáveis i.i.d. a assimetria (skewness) , a curtose e os cumulantes superiores decaem como:
33, ,
2,2
lN N l N
lN NN β
λ λκλ κ λ β −= = = =
14
Teorema Central do LimiteSeja uma seqüência de variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição comum. Suponha que estejam definidos os dois primeiros cumulantes.
Seja , então, para fixo:
1{ }Nk kX =
1kX cμ= = 2222k kX X cσ = − =
N
N kS X=∑ β1k=
2121
2x
NN
S NP dxeN
βμ βσ π
−
→∞−∞
⎧ ⎫−⎪ ⎪⎪ ⎪< ⎯⎯⎯→⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭∫
15
Teorema Central do Limite
16
Distribuições Estáveis
Se a distribuição de tiver a mesma forma
funcional, da distribuição de , a distribuição de
é dita estável.
1
N
N kk
S X=
=∑kX kX
Portanto, uma distribuição é estável se, no espaço de Fourier, sua função característica for
[ ]ˆ ˆ( ) ( ) nnp z p z=
tal que tenham a mesma forma funcional.ˆ ˆ( ) ( )np z e p z
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Distribuições Estáveis
Exemplo: A distribuição Lorentziana (Cauchy) é estável:
No espaço de Fourier:
2 2ˆ ( )
ixzzep z dx e
xγγ
π γ−= =
+∫
2 2
1( )p xx
γπ γ
=+
ˆ ( ) n znp z e γ−=
Retornando ao espaço original:
2 2
1 1( )2 ( )
n zixzn
np x dz e en x
γ γπ π γ
−−= =+∫
18
Distribuições Estáveis
A classe completa de distribuições estáveis é descrita pela seguinte família de funções características (Lévy e Khintchine):
1 tan , 12
ˆln ( )21 ln , 1
0 2 0 [ 1, 1]
zi z a z iz
p zzi z a z i zz
a
μμ
μ
μ
πλ β μ μ
λ β μπ
μ λ β
⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎢ ⎥⎜⎪ − − ≠⎟⎜⎪ ⎢ ⎥⎟⎟⎜⎝ ⎠⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎪=⎨⎪ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎪ − − =⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎪⎩< ≤ > ∈ ∈ − +
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Distribuições Estáveis
NORMAL
0μ→2μ→
Exponencial
Uniforme
LÉVY
Lorentziana
1μ=
Lévy-Smirnoff
1/ 2μ=
( 1)β =
20
Passeio Aleatório Contínuo 1
2 2 2
~ ( ) . . .
0
n n n
n
n n n j nj
S Sp i i d
s s
σεε ε
ε ε ε ε δ
−= +
= = =
22 2
0
( )
n t com n t tsS t ns t
t
→∞ Δ → Δ ≡
= =Δ
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Passeio Aleatório Contínuo:Difusão
2s D t= Δ
2 ( )S t Dt=DefinindoConstante de difusão
( )201( , ) exp22
x xp x t
DtDtπ
⎡ ⎤−⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
2
0 22p p D pxt x x
∂ ∂ ∂=− +∂ ∂ ∂
Equação de Difusão
22
Caudas Pesadas
23
Caudas Pesadas
24
Caudas Pesadas
25
Estatística dos Retornos: IBOV
0
5000
10000
15000
20000
jul-9
4
jan-
95
jul-9
5
jan-
96
jul-9
6
jan-
97
jul-9
7
jan-
98
jul-9
8
jan-
99
jul-9
9
jan-
00
jul-0
0
jan-
01
jul-0
1
jan-
02
jul-0
2-0,2-0,1
00,10,20,30,4
jul-94
jan-95jul-9
5jan-96jul-9
6jan-97jul-9
7jan-98jul-9
8jan-99jul-9
9jan-00jul-0
0jan-01jul-0
1jan-02jul-0
2
IBOVESPA
1 1lnt t t
t t t
S S SSS S S
+ +⎛ ⎞−Δ ⎟⎜ ⎟= ≈ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
26
Estatística dos Retornos: Leptocurtose no IBOV
1ln tt
t
Sx
S+
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠IBOVESPAMédia -0,0012
Assimetria -0,15Curtose 3,87
Um teste de Kolmoroff-Smirnoff rejeita a normalidade da amostra com p-value de 0,038 para um nível de significância de 5%.
27
Auto-correlação
IBOVESPA
( ) t L t t L tC L x x x x+ += −
99% de confiança
28
Leptocurtose e Heterocedasticidade
Retornos independentes e gaussianos mas com a volatilidade mudando com o tempo geram distribuições de retornos agregados leptocúrticas.
2
22
44 2 2
2 2
1[ ( )] ( ) exp22
3[ ][ ] [ ] [ ] 3 0[ ]
xp x d pσ σσπσ
σσ σ κσ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
≥ ⇒ = − ≥
∫
29
Leptocurtose e Jump DiffusionRetornos independentes e gaussianos mas com picos eventuais de volatilidade também geram distribuições de retornos agregados leptocúrticas.
30
Leptocurtose e Mistura de Normais
Qualquer curtose pode ser gerada via uma mistura de distribuições normais
Normal 1: probabilidade p
Normal 2: probabilidade 1-p
X Zα=X Zβ=
( )
2 2 2
2 2
44 4
4
var( ) (1 )
1
3 (1 )
X p p
pp
E Xp p
α β σ
σ αβ
κ α βσ
= + − =
−=−
⎡ ⎤⎣ ⎦= = + −
31
VolatilidadesAs volatilidades são bem descritas por um modelo GARCH e são altamente heterocedasticas.
32
Auto-correlação das Volatilidades
As volatilidades são bem descritas por um modelo GARCH e são altamente heterocedasticas e auto-correlacionadas.
33
Matriz de Correlações
RANDOM
MARKET
Espectro de Autovalores
34
Bibliografia
•Duffie e Pan, An Overview of Value at Risk
•Bouchaud e Potters, Theory of Financial Risk;
• Mantegna R.N. e Stanley E., An Introduction to Econophysics;
• Feller W., An Introduction to Probability Theory and Applications;
Leitura ComplementarSornette e Andersen, Increments of Uncorralated Time Series Can Be PredictedWith a Universal 75% Probability of Success;
http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/0001324