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VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.

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CACHOEIRO DE ITAPEMIRIM 2016


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Ficha catalografica


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COMISSÃO ORGANIZADORA

ANDRÉ NUNES DEZAN – IFES CARINA COSTA MACÊDO – IFES EDSON MACIEL PEIXOTO – IFES FERNANDO DA SILVA – IFES ELIZANGELA TONELLI – IFES FERNANDA SOARES DA SILVA BONATO – IFES GEOVANE CARLOS – IFES GIOVANI PRANDO – IFES JAIME PEREIRA REIS – IFES JORGE HENRIQUE GUALANDI – IFES/PUC-SP MARCELA AGUIAR BARBOSA – IFES MARIA APARECIDA SILVA DE SOUZA – IFES/PUC-SP MARIA LAUCINÉIA CARARI – IFES POLLYANA DOS SANTOS – IFES RAFAEL FARIA BOIA – IFES SHEILA SIQUEIRA DA SILVA – IFES THIARLA XAVIER DAL-CIN ZANON – IFES/UFES COMISSÃO CIENTÍFICA

ANA MARIA MARTENSEN ROLAND KALEFF – UFF ANA REBECA MIRANDA CASTILLO – FIPEN ANDRÉ FERNANDO UEBE MANSUR – IFF ANDRÉIA WEISS – UFES ÂNGELA MARIA DOS SANTOS – PUC SP CARLOS HENRIQUE MEDEIROS DE SOUZA – UENF EDSON MACIEL PEIXOTO – IFES EDSON RODRIGUES DA SILVA – PUC SP ELIANE SHEID GAZIRE – UFMG/PUC MG ELIZANGELA TONELLI – IFES FERNANDA SOARES DA SILVA BONATO – IFES GEOVANE CARLOS BARBOSA – IFES GIOVANI PRANDO – IFES IARA ZIMMER – CED/UFSC JAIME PEREIRA REIS – IFES JORGE HENRIQUE GUALANDI – IFES/PUC-SP JOSÉ CARLOS THOMPSON DA SILVA – IFES MARCELA AGUIAR BARBOSA – IFES MARIA AUXILIADORA VILELA PAIVA – UFES/IFES MARIA LAUCINÉIA CARARI – IFES NATHÁLIA COELHO SOARES – Colégio anglo-brasileiro – SP


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PAULO FERREIRA DO CARMO – SEE – SO POLLYANA DOS SANTOS – IFES REGINA THAISE FERREIRA BENTO – Centro Universitário Anhanguera – SP ROSELI ALVES DE MOURA – FEI SP SIMONE DAMM ZOGAIB – UFES SIMONE DE MELLO SESSA – IFES SIMONE MACHADO DE ATHAYDE – Centro Universitário São Camilo/PMCI THAMIRES BELO DE JESUS – IFES THIARLA XAVIER DAL-CIN ZANON –IFES/UFES

REVISÃO E EDITORAÇÃO

ELIZANGELA TONELLI GEOVANE CARLOS BARBOSA POLLYANA DOS SANTOS

DESIGNERS

ANDRÉ NUNES DEZAN WILLEN BORGES COELHO


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APRESENTAÇÃO

Dando continuidade às discussões das edições anteriores sobre formação de

professores de matemática, o VII SEMAT teve como tema “Matemática e Currículo:

perspectivas e desafios atuais na formação de professores”.

A percepção mais ampliada de currículo engloba desde a organização da

matriz curricular de uma escola, os conteúdos de matemática e as abordagens

metodológicas para o ensino de matemática, até as aprendizagens que acontecem no

cotidiano escolar, sistematizadas ou não, percebidas ou não, por professores e

estudantes. Desse modo, os temas desafiadores às práticas de professores de

matemática e as perspectivas em relação à formação de docentes perpassam as

reflexões acerca do currículo, entrecruzando-se a temas mais amplos relativos aos

contextos social, cultural, histórico e político em que se dão as práticas educativas

escolares.

Portanto, a escolha do tema teve sua relevância na ação formativa dos saberes

necessários ao ofício de educador, uma vez que as constantes transformações

sociais, as políticas públicas educacionais, a expansão e acesso às novas

Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC´s) têm seus reflexos diretos no

ambiente escolar.

Entende-se que a formação inicial e continuada de professores de matemática

demandam espaços para reflexão e socialização de produções científicas realizadas

sobre essas temáticas. Para tal, o evento se organizou, bem como esse caderno de

publicações, a partir de grupos de trabalho, a saber: currículos em educação

matemática; recursos didáticos e o uso das TIC’s na educação matemática; formação

de professores de matemática e políticas e experiências educativas no cenário na

educação brasileira, a fim de promover discussões envolvendo os saberes

necessários à formação e a prática docente de matemática, bem como sobre as

perspectivas e desafios diante das constantes transformações da sociedade.


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SUMÁRIO

Sumário A FORMAÇÃO DE PROFESSORES A PARTIR DA PESQUISA: A VOZ DE EVADIDOS

DE UMA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ...................................................................... 8

ACHADOS EM PESQUISAS DE MESTRADOS PROFISSIONAIS ACERCA DA ANÁLISE

COMBINATÓRIA: QUAIS TEMAS? QUAIS CONTRIBUIÇÕES? ....................................... 15

O ENSINO DOS NÚMEROS INTEIROS TENDO COMO CATALIZADOR DO

CONHECIMENTO O JOGO ...................................................................................................... 30

O USO DO GEOGEBRA NA CONSTRUÇÃO DE MOSAICO COM POLÍGONOS

REGULARES: UMA EXPERIÊNCIA NA FORMAÇÃO CONTINUADA DE

PROFESSORES .......................................................................................................................... 45

A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO CONTEÚDO FACILITADOR NA

COMPREENSÃO DO TEOREMA DE TALES ...................................................................... 600

NÚMEROS COMPLEXOS NO JOGO DA MEMÓRIA: UMA NOVA PRÁTICA DOCENTE.

..................................................................................................................................................... 73

LOCALIZAÇÃO EM COORDENADAS ESFÉRICAS ............................................................ 85

FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA: ENLACES

TEÓRICO-METODOLÓGICOS ................................................................................................ 94

A INSERÇÃO DE TECNOLOGIAS EDUCACIONAIS NAS AULAS DE MATEMÁTICA:

UMA PROPOSTA DIDÁTICA A PARTIR DO SOFTWARE SCRATCH............................... 109

A EDUCAÇÃO ESCOLAR MATEMÁTICA NA/DA SOCIEDADE CONTEMPORÂNEA 124

CRIANÇAS CONSTRUINDO CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS A PARTIR DO USO

QUE FAZ EM SUAS VIVÊNCIAS ....................................................................................... 1377

SOLUÇÕES GEOMÉTRICAS COM O USO DE TECNOLOGIAS ..................................... 1477

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA E SOCIOLOGIA EDUCACIONAL: UM ESTUDO

SOBRE EVADIDOS DO ENSINO SUPERIOR À LUZ DA SOCIOLOGIA DE PIERRE

BOURDIEU .............................................................................................................................. 158

ANÁLISE DE CONTEÚDO DAS QUESTÕES DE MATEMÁTICA DO ENEM E OBMEP

................................................................................................................................................... 171

O JOGO DE XADREZ COMO FERRAMENTA AUXILIAR NO PROCESSO DE ENSINO

APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA ÍTULO ................................................................... 185

PROPOSTA DE IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORITMO DE GAUSS-JORDAN EM

LINGUAGEM C PARA AUXILIAR O APRENDIZADO DE TÓPICOS DE ÁLGEBRA

LINEAR .................................................................................................................................... 194


7

A HISTORIOGRAFIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: UMA POSSÍVEL REFLEXÃO

SOBRE SUAS POTENCIALIDADES E OBSTÁCULOS ...................................................... 204

ENSINAR A ENSINAR MATEMÁTICA NAS OFICINAS DO PIBID: FORMAÇÃO

INICIAL DE PROFESSORES.................................................................................................. 219

A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ESTUDO DE ALGUNS CONCEITOS

DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ...................................................................... 231

INTERDISCIPLINARIDADE ENTRE MATEMÁTICA E FERRAMENTAS

TECNOLÓGICAS .................................................................................................................... 238

A REPERCUSSÃO DA DIFICULDADE MATEMÁTICA SOBRE O ENSINO DE CIÊNCIAS

NO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL ......................................................................... 248

DESAFIO DO USO DAS TIC´S NA REDE PÚBLICA NA PERCEPÇÃO DOS

PROFESSORES DE MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA........................................248


8

A FORMAÇÃO DE PROFESSORES A PARTIR DA PESQUISA: A VOZ DE

EVADIDOS DE UMA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Antonio Donizetti Sgarbi

Instituto Federal do Espírito Santo - Ifes

[email protected]

Erika Isabel Flores Autor n

Instituto Federal do Espírito Santo - Ifes

[email protected]

Fred Augusto Pulz

Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes

[email protected]

Thaciane Jahring Schunk


[email protected]

Andre Genuino Vianna


[email protected]

Fabiano Barbosa Santos


[email protected]

Resumo:

Trata-se de um breve relato de uma experiência vivenciada em uma turma de

Licenciatura em Matemática que estudava as bases sociológicas da educação. O

objetivo do trabalho é relatar e analisar a experiência da formação de professores a

partir de uma pesquisa sobre evasão escolar no curso superior. O método utilizado foi

de Pesquisa bibliográfica para preparar as primeiras reflexões e depois foi realizada uma

pesquisa qualitativa do tipo pesquisa participante. Empregou-se a técnica da observação

e do diário de bordo. A reflexão feita com o grupo de alunos da Licenciatura em

Matemática demonstra que pesquisar e educar são atividades estreitamente ligadas e que

é possível um alcançar os objetivos do ensino e da aprendizagem de ensino a partir

desta prática.

Palavras-chave: Formação de professores; Formação pela pesquisa; Relato de

experiência.


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1. Introdução

Este texto é um breve relato de experiência vivenciado em uma turma de

Licenciatura em Matemática, na disciplina Bases Sociofilosóficas da Educação, no

Instituto Federal de Educação – Ifes, Campus Vitória-ES. Ao estudar as bases

sociológicas da educação o professor fez a proposta de discutir as ideias do sociólogo

Pierre Bourdieu, a partir de uma pesquisa de campo. O objetivo do trabalho é relatar e

analisar tal experiência de formação de professores a partir de uma pesquisa sobre

evasão escolar no curso superior. O método utilizado foi de Pesquisa bibliográfica para

fundamentar a práxis pedagógica, num primeiro momento. E num segundo momento

utilizou-se a metodologia da pesquisa qualitativa do tipo participante. Empregou-se a

técnica da observação e do diário de bordo para a construção dos dados. A reflexão feita

com o grupo de alunos da Licenciatura em Matemática demonstra que pesquisar e

educar são atividades estreitamente ligadas e que é plenamente possível alcançar os

objetos de ensino a partir desta prática.

2. Bases teóricas da pesquisa

Partiu-se de duas premissas: a primeira é a de que ensinar exige pesquisa na esteira

de Paulo Freire que diz: Não há ensino sem pesquisa, nem pesquisa sem ensino.

Enquanto ensino continuo buscando, reprocurando. Ensino porque busco, porque

indaguei, porque indago e me indago. Educo e me educo. Pesquiso para conhecer o que

ainda não conheço para comunicar o novo (FREIRE, 2011). A segunda premissa foi

retirada de Pedro Demo que afirma: "educar pela pesquisa tem como condição essencial

primeira que o profissional da educação seja pesquisador, ou seja, maneje a pesquisa

como princípio científico e educativo e a tenha como atitude cotidiana" (DEMO. 1996,

p. 2).


10

A experiência se apoiou também no trabalho de Costa (2016) que desenvolveu uma

reflexão sobe a evasão escolar no ensino superior. Afirma o pesquisador:

A luta pelo ensino superior: com a voz, os evadidos é um estudo sobre a

expansão do ensino superior no Brasil. Tem como objeto as falas dos alunos

não concluintes provenientes, em sua maioria, das camadas desfavorecidas.

Entre os objetivos do trabalho está a perspectiva de se refletir sobre a

problemática da desistência a partir daquele que se evade, buscando, por

meio de seus relatos e da identificação de suas percepções e expectativas,

contribuir para o desenvolvimento de políticas institucionais, ações e atitudes

passíveis de se antecipar ao fenômeno da evasão (COSTA, 2016).

A partir dos próprios instrumentos utilizados por Costa para desenvolver a sua

pesquisa realizou-se o trabalho em tela. Todas as variáveis utilizadas por Costa foram

também utilizadas na pesquisa proposta, a saber: renda, escolaridade dos pais e parentes

próximos, ethos familiar, capital social. Passado escolar, valorização da cultura escrita.

Investimento pedagógico das famílias. Informações sobre o ensino superior, ethos

familiar: atitude em relação ao futuro. Capital Cultural: exigências próprias do ensino

superior, capital social. Contextos de exclusão, insegurança, precarização.

Desvalorização do diploma. Desesperança de si, futuro estreitado (não é para mim).

Inclusão, exclusão (COSTA, 2016).

3. A experiência relatada e comentada

Os sujeitos da experiência foram os estudantes de uma Licenciatura em Matemática

que estavam cursando o terceiro período. A turma estava estudando as bases

sociológicas da educação e foi proposta, para que todos pudessem perceber a

importância do estudo da sociologia da educação, o desenvolvimento de uma pesquisa

de campo sobre evasão escolar. Por se tratar de uma turma de um curso noturno sem

muito tempo para desenvolver pesquisa de campo o trabalho foi sendo desenvolvido

durante todo o semestre.

No “contrato pedagógico” desenvolvido pelo professor no início dos trabalhos já


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foi feita a proposta da pesquisa de campo. Os estudantes consideram a proposta viável

uma vez que o trabalho seria desenvolvido aos poucos e com a orientação e

acompanhamento do professor. Não havia, porém uma clareza do que se pretendia

realmente. Os estudantes deram um voto de confiança ao professor, pois não conheciam

a experiência.

Foram propostos alguns passos. Inicialmente os alunos formaram duplas e cada

dupla deveria encontrar uma pessoa evadida de um curso superior, de preferência do

próprio curso que estavam freqüentando (Licenciatura em Matemática do Ifes – Campus

Vitória) e fazer uma breve entrevista com tal evadido. A proposta foi de trabalhar com

um evadido que não voltou mais a estudar. No final da pesquisa havia uma proposta de

aprofundamento da conversa. Caso a pessoa estivesse disposta a dupla marcaria um dia

e horário para continuar a conversa.

Não foi tão fácil, como se pensou no início, encontrar os evadidos do próprio curso.

Assim sendo cada dupla fez a entrevista com evadidos de qualquer curso. O instrumento

de construção de dados foi construído pelo professor Silvio Luiz da Costa que

aprofundou a questão em seu estudo de doutoramento.

O primeiro questionário visava fazer um levantamento de dados gerais: identidade

do entrevistado; renda familiar; escolaridade dos pais; dados sobre a vida escolar antes

da entrada no ensino superior; dados sobre o ensino superior; principal razão da

desistência do ensino superior. Todas estas eram questões do tipo fechadas, onde o

entrevistado deveria apenas assinar uma das alternativas e no máximo explicitar algo

objetivo sobre a razão de sua resposta. Havia uma questão, porém que era aberta:

escreva sobre o que significou para você ter deixado a faculdade. Para encerrar a

entrevista era perguntado se a pessoa se disporia a participar de uma entrevista sobre seu

afastamento da faculdade. No caso da resposta ser positiva, a pessoa deveria deixar um

telefone para contato posterior.

Todos os estudantes da sala conseguiram alguém para entrevistar nesta fase, mas

nem todas as duplas conseguiram resposta afirmativa em relação a última questão. Em


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alguns casos a pessoa entrevistada aceitou fazer uma segunda entrevista, mas havia caso

em que a pessoa se distanciava do perfil escolhido. Por exemplo: a pessoa já estava para

voltar à faculdade ou já havia começado outro curso.

Enquanto os alunos faziam a pesquisa de campo estudavam os clássicos da

sociologia da educação. Durante os estudos o professor fazia algumas referências à

pesquisa, mas não havia clareza ainda do como seriam trabalhados os dados

construídos.

Apenas três duplas conseguiram efetivamente fazer a entrevista proposta para a

segunda fase. Nesta segunda fase, sempre se valendo dos instrumentos desenvolvidos

pelo pesquisador Costa (2016), eram aprofundadas as seguintes temáticas: 1) Casa.

Família. Participação social. Os entrevistados eram convidados a discorrerem sobre:

suas famílias, local de moradia, a escolaridade dos pais e irmãos; atividades culturais

em geral, hábito da leitura na família. 2) Percurso escolar. Vida estudantil: hábito de

leitura do entrevistado, hábitos de estudo, vida escolar anterior à faculdade (tipo de

escola, como eram as aulas e os professores), relação com os colegas, dificuldades de

acompanhamento em alguma área do estudo. 3) Como foi a motivação para o ensino

superior? Motivação na escola, preparação para o ENEM, como a propaganda para o

ensino superior o incentivou, a escolha do curso e da faculdade, ano do ingresso, tipo de

ocupação. 4) Relato da experiência no ensino superior: quanto tempo permaneceu na

faculdade, como foi a acolhida, como eram as aulas, os trabalhos individuais e em

grupo, a experiência da prova, diferença da faculdade com o ensino médio, o que havia

sido mais significativo no tempo em que esteve na faculdade. 5) A desistência. Como

foi a saída da faculdade, motivos, como foi a tomada da decisão, como foi a experiência

da saída, como é para o entrevistado falar sobre este assunto, com quem conversou antes

de sair, o que poderia ter sido feito para que não saísse. 6) Pós faculdade. Se mantém

algum contato com a faculdade, se pensa em voltar, o que esperava do ensino superior.

Como se pode notar era uma entrevista bastante exigente. Uma dupla conseguiu

concluir coleta de dados no tempo proposto. Esta dupla, com a ajuda do professor,

preparou uma análise dos dados e apresentou a todos os colegas. Durante a apresentação


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outras duplas foram preparando também a sua análise de dados. Quando não havia

dados construídos pela própria dupla o professor indicava um outro material de análise.

Este material poderia ser a partir de dados de outros colegas ou se isto não era possível

foi proposta a análise de filmes previamente escolhidos pelo professor.

Observou-se na sala um interesse pelo trabalho que estava sendo realizado.

Muitos dos estudantes se viam representados das respostas dos entrevistados e assim

completavam as discussões relatando experiências próprias ou de alguém de suas

famílias.

Esta atividade foi o fechamento da disciplina. Depois que as aulas terminaram

todos tiveram um tempo para entregar um texto sobre a análise que fizeram em duplas.

Foi, porém somente depois da apresentação do primeiro trabalho concluído que os

estudantes, como um todo, puderam perceber todos os passos de uma pesquisa. Ficou

ainda a dúvida se aqueles alunos que faltaram a algumas aulas conseguiram ter clareza

de todo o processo. Entre aqueles que acompanham todos os passos percebeu-se um

bom envolvimento com a pesquisa.

Os textos das duas duplas que conseguiram ir até a última etapa foram trabalhados

posteriormente gerando um trabalho que foi apresentado ao próprio autor que havia sido

o referencial teórico metodológico da experiência. O professor Silvio Luiz da Costa

completou o texto finalizando-o um trabalho de parceria com o professor da sala e com

os alunos. Este foi um ponto alto da experiência que agora acontecia já fora da

disciplina. O trabalho foi apresentado a um congresso que discutia entre outras

temáticas a formação de um professor de matemática.

4. Observações conclusivas

Esta experiência reforçou a ideia de que é possível utilizar a pesquisa como uma

forma de ensinar ou de educar. Reforçou ainda a ideia de que estas são atividades

estreitamente ligadas e que poderia fazer parte das atividades dos professores e dos

estudantes. Para que isto, porém seja possível é necessário esforço, planejamento e

acompanhamento por parte dos professores. É preciso também uma não acomodação


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dos estudantes, pois eles, na pesquisa, vão construindo a aprendizagem. Quando isto

acontece o ensino pela pesquisa deixa de ser privilégio de apenas alguns, mas uma

prática de muitos.

5. Referências

COSTA, Silvio Luiz. A luta pelo ensino superior: com a voz, os evadidos. Tese

(Doutorado). Faculdade de Educação, USP, São Paulo, 2016.

http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-18082016-155145/pt-br.php

DEMO, Pedro. Educar pela pesquisa. Campinas: Autores Associados, 1996.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 43

ed. São Paulo: Paz e Terra, 2011.


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ACHADOS EM PESQUISAS DE MESTRADOS PROFISSIONAIS ACERCA DA

ANÁLISE COMBINATÓRIA: QUAIS TEMAS? QUAIS CONTRIBUIÇÕES?

Thiarla Xavier Dal-Cin Zanon

IFES, Campus Cachoeiro de Itapemirim/UFES

[email protected]

Simone Damm Zogaib

UFS/UFES

[email protected]

Vânia Maria Pereira dos Santos-Wagner

UFRJ/UFES

[email protected]

José Carlos Thompson da Silva

IFES, Campus Linhares/UFES

[email protected]

Resumo

Neste artigo trazemos um recorte de pesquisa em educação matemática na forma de

estado de conhecimento na qual mapeamos, descrevemos e analisamos produções

brasileiras de mestrado e doutorado de 2000 a 2015 acerca da análise combinatória.

Aqui focalizamos em estudos de mestrado profissional da região sudeste. Ao realizar

uma pesquisa documental, nosso objetivo foi evidenciar temas investigados e

contribuições à pesquisa em educação matemática. Resultados mostraram que embora o

número de pesquisas tenha crescido, a maioria delas apresenta relatórios descritivos

com pouco enfoque à sala de aula. Concluímos que é preciso ampliar temas de

investigação, experimentar e apreciar pesquisas que indiquem roteiros/sequências de

atividades e refletir acerca dos resultados que possam melhorar processos de ensino,

aprendizagem e avaliação de análise combinatória na educação básica e formação de

professores.

Palavras-chave: educação matemática; análise combinatória; estado do conhecimento;

pesquisas de mestrado profissional.

mailto:[email protected]





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1. Introdução

Os processos de ensino, aprendizagem e avaliação em análise combinatória

ainda causam estranhamento a professores e alunos de educação básica e ensino

superior. Nossa experiência profissional aliada aos estudos e pesquisas que

desenvolvemos nos permite anunciar o pouco enfoque dado a análise combinatória na

educação básica e nos cursos de formação inicial e continuada de professores. As ideias

de combinatória passam praticamente invisibilizadas pelas práticas de professores e

aparecem na segunda série do ensino médio como algo novo e repleto de fórmulas.

Santos-Wagner, Bortoloti e Ferreira (2013), em estudo relacionado à análise

combinatória realizado com 198 estudantes de quatro universidades baianas,

evidenciaram informação semelhante. Informaram que ao estudarem combinatória no

ensino médio, o fizeram de forma mecânica, utilizando-se de fórmulas ou técnicas de

resolução de problemas o que pode não garantir a elaboração/construção de conceitos

com compreensão e significado.

Para nós, o pensamento combinatório é fundamental para a vida em sociedade à

medida que implica em escolhas e tomadas de decisões pelos sujeitos. Morgado,

Carvalho, Carvalho e Fernandez (1991) apontam que a análise combinatória é a parte da

matemática que analisa estruturas e relações discretas. Para eles, os dois tipos de

problemas que ocorrem frequentemente em análise combinatória incidem sobre

subconjuntos de elementos de um conjunto finito em determinadas condições dadas,

seja para demonstrar a existência, ou, contar ou classificar. Diante deste contexto e de

nossa intensa inquietação acerca da temática, apresentamos neste artigo temas

investigados por estudos de mestrado profissional na região sudeste do Brasil, no

período de 2000 a 2015. Além disso, delineamos possíveis contribuições desses estudos

à pesquisa em educação matemática e à sala de aula.


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2. A metodologia do estudo

Neste estudo documental (FIORENTINI, LORENZATO, 2007) do tipo “estado

do conhecimento” (ROMANOWSKI, ENS, 2006; PAGANI, ALLEVATO, 2004)

acerca de análise combinatória mapeamos a produção acadêmica de universidades

brasileiras no período de 2000 a 2015. Esta delimitação temporal tem por base a

publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN de matemática em 1998

enquanto política pública orientadora do ensino, aprendizagem e avaliação. Tem por

base também o primeiro estudo que temos conhecimento acerca da análise combinatória

de autoria de Sturm (1999) desenvolvido na UNICAMP – Universidade Estadual de

Campinas.

Com a finalidade de garantir rigor e densidade ao estudo, nos apoiamos

principalmente em Romberg (1992), Kilpatrick (1996) e em Fiorentini e Lorenzato

(2007). Dessa forma, definimos os seguintes procedimentos: (1) descrever questões

orientadoras; (2) estabelecer descritores; (3) selecionar as instituições e programas de

pós-graduação stricto sensu; (4) ler inicialmente o resumo das produções; (5) registrar

dados e informações; (6) ler e analisar os estudos com mais profundidade,

categorizando-os; (7) sintetizar as ideias e refletir acerca delas.

2. Alguns achados de pesquisas...

Encontramos na região sudeste 43 produções. Desse total, 32 são dissertações de

mestrado profissional. É característica destes estudos apresentar um produto que pode

ser um material de apoio a professores sejam roteiros de aulas, jogos, coletâneas de

problemas, módulos de ensino e até mesmo textos teóricos abordando o formalismo e o

rigor matemático no ensino deste conteúdo. A partir de nossas análises, sintetizamos no


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quadro 1 aspectos que consideramos relevantes ao leitor. Os estudos estão apresentados

em ordem alfabética por nome do programa de pós-graduação no qual foram

produzidos. As produções foram alocadas pelo ano de defesa em ordem crescente.

Quando havia mais de uma produção por ano, consideramos a inicial do sobrenome do

autor para situarmos os estudos em ordem alfabética. No entanto, identificamos estudos

produzidos no mesmo ano, em instituições distintas cujos autores possuíam o mesmo

sobrenome. Neste caso, usamos a inicial do primeiro nome do autor. No quadro

trazemos também o ano de publicação, número de páginas, instituição à qual estão

vinculados e uma pequena síntese dos temas de investigação.

Quadro 1 – Sínteses das produções de mestrado profissional Mestrado Profissional em Educação Matemática

AUTOR ANO PÁGINAS INSTITUIÇÃO TEMAS

Almeida 2010 166 UFOP Estudou o ensino e a aprendizagem de análise

combinatória com enfoque na comunicação

matemática a partir de atividades testadas com

alunos do ensino médio.

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

Vargas 2009 109 PUC/MG Estudou o ensino-aprendizagem de análise

combinatória através da resolução de problemas

com atividades investigativas aplicadas para

alunos do ensino médio.

Alves 2010 160 PUC/MG Averiguou estratégias de ensino para o

desenvolvimento do pensamento combinatório de

alunos nos anos finais do ensino fundamental.

Para isto propôs e testou um módulo de ensino. Evangelista

Sobrinho 2010 135 UNICSUL Focalizou no desenvolvimento do raciocínio

combinatório e probabilístico de alunos dos anos

finais do ensino fundamental mediado por um

jogo.

Carvalho 2011 93 CEFET/RJ Testou uma das formas de jogo do Role Playing

Games, como ferramenta didática para o ensino

de análise combinatória no ensino médio.

Lima 2011 149 PUC/MG Estudou o desenvolvimento do raciocínio

combinatório de alunos do ensino médio.

Elaborou e testou uma sequência com foco na

leitura, na resolução de problemas e na construção

de enunciados.

Santos 2011 231 UNICSUL Verificou o desenvolvimento do raciocínio

combinatório de alunos do ensino médio por meio

da resolução de problemas.

Sena 2013 126 PUC/MG Analisou contribuições da metodologia de

resolução de problemas e da atividade

investigativa para o ensino e a aprendizagem de


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análise combinatória no ensino médio.

Silva 2014 132 IFES Evidenciou conhecimentos de licenciandos em

matemática quando elaboraram e testaram um

jogo sobre análise combinatória para ser usado na

educação básica.

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas

Vasquez 2011 90 UFSCar Enfatizou o ensino de análise combinatória sem o

uso abusivo de fórmulas. Para isto, elaborou e

aplicou atividades orientadoras no ensino médio.

Silva 2012 117 UFSCar Discutiu a funcionalidade do ensino de análise

combinatória a partir de fichas de aula elaboradas

com base em sua experiência docente. As

atividades foram testadas no ensino médio.

Gerdenits 2014 170 UFSCar Confeccionou um material manipulável para

explorar o raciocínio combinatório. Pode ser

usado por professores em sequências de

atividades nos anos finais do ensino fundamental.

Mestrado Profissional em Ensino de Matemática

Pedrosa

Filho

2008 234 PUC/SP Centrou no desenvolvimento do raciocínio

combinatório de alunos dos anos iniciais do

ensino fundamental a partir do uso de materiais

manipuláveis em sequências de ensino.

Mendonça 2011 241 PUC/SP Desenvolveu uma sequência de ensino de análise

combinatória por meio da Trajetória Hipotética de

Aprendizagem (THA) com alunos do ensino

médio.

Trevizan 2015 137 USP Averiguou a funcionalidade de um planejamento

de ensino envolvendo situações adidáticas como

ferramenta para aprendizagem de alunos de

ensino médio.

Mestrado Profissional em Matemática

Assis 2008 68 UNICAMP Explorou o formalismo matemático para

fundamentar de maneira rigorosa os princípios

básicos da análise combinatória. Sua produção

destina-se aos interessados pelo assunto.

PROFMAT: Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional

Amorim

2013 49 IMPA Se preocupou em oferecer ao professor do ensino

fundamental material teórico compacto para

consulta e estudo. É composto de sequências

didáticas acerca da análise combinatória.

Caldato 2013 46 UNESP Verificou a funcionalidade da geometria do táxi

com o uso de um jogo para o ensino de análise

combinatória através da metodologia de resolução

de problemas. Destina-se ao ensino médio.

Costa 2013 47 IMPA Preocupou-se em oferecer ao professor de ensino

médio material teórico compacto de sequências

didáticas para consulta e estudo acerca da análise

combinatória.

Costa 2013 108 UFLA Apresentou uma proposta de ensino de análise

combinatória para o ensino médio. Constitui-se de

uma sequência com 08 atividades comentadas


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acompanhadas de sugestão de avaliação.

Fusel 2013 135 UFSCar Estudou o ensino e a aprendizagem dos conceitos

básicos da análise combinatória por alunos do

ensino médio. Utilizou folhas de atividades

contendo situações-problema no contexto de

telefonia.

Santos 2013 55 UFV Propôs atividades de análise combinatória sem o

uso abusivo de fórmulas. Estas atividades são

destinadas ao ensino médio e não foram testadas

em sala de aula.

Faustino

de Paula

2014 49 UERJ Representou conceitos de análise combinatória de

modo rigoroso para precisar conceitos

apresentados de maneira informal e intuitiva.

Destina-se aos interessados pelo assunto.

Freitas 2014 42

IMPA Trouxe uma possibilidade de ensinar matemática

integradamente. Apontou pontos de contato entre

combinatória e diferentes conteúdos de

matemática do 6o do ensino fundamental.

Gonçalves 2014 111 IMPA Apresentou uma sequência para o ensino de

análise combinatória no ensino médio. Utilizou-se

do princípio multiplicativo e da resolução de

problemas como ferramenta didático-pedagógica.

Mastropau

lo Neto

2014 81 UNICAMP Estudou a combinatória associada a probabilidade

com aplicações para o ensino de geometria no

ensino médio. O objetivo é que o material possa

ser um apoio aos professores de matemática.

Oliveira 2014 43 UFSJ Elaborou um texto no qual discutiu conceitos com

rigor matemático. Trouxe atividades que junto ao

texto podem servir como fonte de estudo e

pesquisa a alunos do ensino médio e graduação.

Paiva 2014 30 UFSJ Estudou o princípio das gavetas de Dirichlet e

suas aplicações em problemas geométricos e

aritméticos. Apresentou uma coletânea de

problemas que podem ser aplicados no ensino

básico.

Pinto 2014 59 PUC/RJ Elaborou um roteiro de exercícios resolvidos a

partir dos quais discute teoricamente conceitos de

análise combinatória associados a probabilidade.

Destina-se a professores de ensino médio.

Rimsa 2014 16 UFSJ Trouxe um texto de apoio teórico para professores

da educação básica a fim de auxilia-los na

compreensão do princípio das Permutações

Caóticas sobre Sequências Finitas.

Sampaio

Junior

2014 31 IMPA Associou o princípio das gavetas a grafos na

resolução de problemas de existência por alunos

de ensino médio. Acredita que esta é uma boa

maneira para se trabalhar tópicos de análise

combinatória.

Gomes 2015 50 UFES Trouxe uma proposta de sequência didática para o

ensino de análise combinatória. Esta traz

problemas na forma de jogos combinatórios.

Destina-se aos diferentes níveis de ensino.


21

Fonte: Elaborado pelos pesquisadores.

Quando analisamos esses estudos procurando identificar características que os

aproximavam, notamos estudos teóricos, práticos e teóricos/práticos simultaneamente.

Nomeamos de produções teóricas aquelas que transcreveram o conteúdo matemático

formal e instrumental como encontramos em livros didáticos ou em livros texto que

privilegiam o rigor matemático. Por produções práticas, nomeamos aquelas que

trouxeram roteiros/sequências de ensino testados ou não em sala de aula. Por fim,

identificamos as produções teóricas/práticas como aquelas apresentaram ambos os

aspectos. Vejamos:

Produções práticas com testagem de sequências/roteiros de ensino-

aprendizagem. Trazem roteiros/planos/sequências/jogos/módulos de ensino cujos

problemas decorrentes envolvem tópicos de análise combinatória e foram testados em

ambiente real de ensino. Aqui posicionamos os estudos de Pedrosa Filho (2008), Vargas

(2009), Alves (2010), Evangelista Sobrinho (2010), Carvalho (2011), Mendonça (2011),

Santos (2011), Sena (2013), Silva (2014) e Trevizan (2015).

Produções teóricas e práticas com testagem de sequências/roteiros de ensino-

aprendizagem. Mencionam uma discussão teórica/formal de tópicos de análise

combinatória e seguem com roteiros/planos/sequências/jogos/módulos de ensino cujos

problemas decorrentes foram testados em ambiente real de ensino. Nesta categoria estão

os estudos de Almeida (2010), Lima (2011), Vasquez (2011), Silva (2012), Caldato

(2013), Fusel (2013), Gerdenits (2014), Gonçalves (2014) e Mastropaulo Neto (2014).

Produções teóricas e práticas sem testagem de sequências/roteiros de ensino-

aprendizagem. Trazem uma discussão teórica/formal de tópicos de análise combinatória

e seguem com roteiros/planos/sequências/jogos/módulos de ensino. Entretanto, não

foram experimentados em ambiente real de ensino-aprendizagem de matemática. Fazem

parte desta categoria os estudos de Amorim (2013), Costa (2013), Costa (2013), Santos

(2013), Gomes (2015) e Oliveira (2015).

Produções teóricas e práticas com testagem de sequências/roteiros de ensino-

aprendizagem nas quais a análise combinatória aparece associada a outro conteúdo


22

matemático. O estudo de Sampaio Junior (2014) representa esta categoria. Trata de

maneira teórica/formal tópicos de análise combinatória associados a grafos. Descreve

uma sequência de ensino cujos problemas decorrentes foram testados em sala de aula.

Produções teóricas e práticas sem testagem de sequências/roteiros de ensino-

aprendizagem em sala de aula nas quais a análise combinatória aparece associada a

outro conteúdo matemático. Além dos conceitos de análise combinatória discutidos de

maneira teórica/formal, associam-nos aos conteúdos de matemática do sexto ano do

ensino fundamental e a problemas geométricos e aritméticos. Disponibilizam

roteiros/planos/sequências/jogos/módulos de ensino não testados em sala de aula, mas

que podem ser usados por professores de matemática. Atribuímos a esta categoria os

estudos de Freitas (2014) e Paiva (2014).

Produções teóricas em que a análise combinatória aparece associada a outro

conteúdo matemático. Tópicos de análise combinatória são desenvolvidos e

relacionados a outros conteúdos de matemática a partir da resolução de problemas de

maneira instrumental e formal. É representante desta categoria o estudo de Pinto (2014).

Produções teóricas. Abordam conceitos matemáticos de análise combinatória,

representando-os de modo instrumental e formal. Nesta categoria, situamos os estudos

de Assis (2008), Faustino de Paula (2014) e Rimsa (2014).

De maneira geral, é consenso entre os pesquisadores que suas propostas podem

auxiliar alunos e professores no ensino e na aprendizagem de análise combinatória

especialmente na educação básica. Grande parte das produções com roteiros de

atividades deriva da hipótese de que a análise combinatória deve ser estudada de forma

intuitiva. Partindo das percepções que o aluno traz do mundo e sem o uso abusivo de

fórmulas. Assim, acredita-se que alunos compreenderão com mais facilidade o tipo de

atividade/problema proposto e terão menos erros na resolução de problemas. Por isso,

os autores propõem roteiros/sequências de ensino.

Na maioria das produções do PROFMAT, é uma característica comum não

apresentar questão de pesquisa e partirem das motivações dos autores. Nem sempre há

fundamentação teórica e metodológica. Isto difere de programa para programa. As


23

dissertações seguem uma apresentação diversa: uma revisao sistemática e aprofundada

da literatura, um artigo, dentre outras possibilidades, o que talvez explique a disparidade

entre as produções e a variação de números de páginas. Acreditamos que isso se

relacione ao cumprimento do inciso I, Art. 3 da Portaria Normativa No 17 de

28/12/2009 do Ministério da Educação, ao mencionar que o mestrado profissional

possibilita a “incorporaçao do método científico, habilitando o profissional para atuar

em atividades técnico-científicas e de inovaçao”. Salvo algumas publicações, um

número significativo delas se constitui como um planejamento de ensino instrumental.

Decorrente desta observação, indagamos: Que impactos e retorno este tipo de produção

teve para a política nacional da educação básica e para melhoria do ensino nesta etapa

de escolarização? Sabemos que avaliações acerca deste metrado foram realizadas, mas

não observamos nos relatórios possíveis repostas a este questionamento. Os resultados

se mostraram mais genéricos e obtidos por meio de questionários eletrônicos.

Identificamos ainda que estas pesquisas de mestrado profissional mencionam,

dentre outros, que (1) há dificuldades, principalmente, com a interpretação de

enunciados de problemas que envolvem arranjo e combinação; (2) docentes afirmam

evitar o ensino de análise combinatória, pois se sentem inseguros e despreparados, uma

vez que não estudaram este conteúdo anteriormente. Ou consideram o conteúdo menos

importante dentre aqueles prescritos no currículo. Às vezes, quando ensinam, o fazem

de maneira superficial, privilegiando situações introdutórias e o uso de fórmulas; (3) há

necessidade de ensinar o conteúdo de uma forma diferente daquela tradicional.

3. Quais temas? Quais contribuições? Uma tentativa de concluir...

Em relação aos temas já investigados sobre análise combinatória, notamos

grandes temas e outros deles decorrentes. Informamos que tal classificação foi por nós

estabelecida a partir do enfoque dado a pesquisa. Ou seja, procuramos desvelar o que

aparecia em maior evidência na elaboração do instrumento e na análise dos dados. Em

alguns estudos, foi difícil delimitar, pois abordavam diversos tópicos acerca da análise

combinatória, metodologias de ensino, sujeitos de pesquisa dentre outros.


24

Para nós, os grandes temas emergentes das pesquisas foram o raciocínio

combinatório, ensino, aprendizagem, formação de professores e currículo. Os temas

decorrentes perpassaram pela elaboração e uso de materiais manipuláveis, jogos,

resolução de problemas, planejamento de ações didáticas e adidáticas, conhecimento

docente, produção de textos teóricos para estudo e aperfeiçoamento de professores e

aproximações entre análise combinatória e diferentes conteúdos de matemática do

currículo dos anos finais do ensino fundamental.

Acerca das contribuições à pesquisa em educação matemática e à melhoria dos

processos de ensino, aprendizagem e avaliação nos diferentes níveis de ensino, essas

investigações trouxeram alguns elementos importantes e alternativos ao ensino de

análise combinatória na educação básica. Além disso, evidenciaram fragilidades ao

proporem roteiros de ensino/sequências de atividades sem uma análise cuidadosa de sua

viabilidade. Acreditamos ser necessária a aplicação deles em sala de aula para termos

clareza de que auxiliam no processo de ensino, aprendizagem e avaliação em análise

combinatória. Ou para percebemos em quais aspectos podem ser melhorados e efetivos

nesse processo. Vemos também produções isoladas, não articuladas entre si em relação

ao uso dos estudos pregressos pelos pesquisadores. Pareceu-nos ainda que as produções

nem sempre são conhecidas e/ou não atingem, de imediato, professores em exercício,

autores de livros didáticos, gestores educacionais que elaboram políticas públicas

norteadores do ensino.

Verificamos a necessidade de novas pesquisas que focalizem ensino,

aprendizagem e avaliação de análise combinatória na educação infantil, nos anos

iniciais do ensino fundamental e formação inicial e continuada de professores de

matemática. Por fim, manifestamos nossa preocupação em relação ao estabelecimento

de critérios pelos programas de pós-graduação para produção de pesquisas que

apresentam produtos apenas descritivos. Preocupamo-nos ainda quanto ao uso desses

produtos pelos próprios autores das pesquisas, como chegam à sala de aula de outros

professores, como estão sendo incorporados aos livros didáticos e como auxiliam na

melhoria da qualidade do ensino.


25

4. Referências

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https://www.capes.gov.br/images/stories/download/legislacao/PortariaNormativa_17MP.pdf

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26

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Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro.

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Católica de Minas Gerais, Belo Horizonte.

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Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas) – Centro de Ciências

Exatas e Tecnologica, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos.


30

O ENSINO DOS NÚMEROS INTEIROS TENDO COMO CATALIZADOR DO

CONHECIMENTO O JOGO

Silvana Cocco Dalvi

Mestranda em Educação/ Ensino de Ciências e Matemática – IFES Campus Vitória

[email protected]

Mirelly Katiene e Silva Boone


[email protected]

Resumo:

O presente artigo tem por objetivo evidenciar e refletir as possibilidades do jogo como

recurso pedagógico com potencial para dinaminizar as aulas de matemática e promover

o protagonismo do aluno na construção do conceito de números inteiros. A atividade do

jogo: Sobe e desce foi aplicado com alunos do 7º ano do Ensino Fundamental na

Escola Municipal Centro Unificado Constantino José Vieira, localizada no município de

Castelo no ano de 2015. Por meio da análise qualitativa das produções textuais dos

alunos e das observações constatou-se que novos conteúdos matemáticos foram

assimilados bem como o desenvolvimento de competências democráticas via a

integração, a autonomia, a reflexão e o respeito entre os participantes. O trabalho realça

as significativas contribuições que o jogo educativo oferece a Educação Matemática que

se propõe a formar alunos críticos e reflexivos comprometidos com o desenvolvimento

humano.

Palavras-chave: Aprendizagem; Números inteiros; Jogos matemáticos

1. Introdução

A matemática faz parte das atividades humanas e influencia a vida das pessoas

assim como os avanços científicos e tecnológicos influenciam o processo educacional.

Muitos alunos encontram obstáculos na aprendizagem de matemática devido às

dificuldades de aprendizagem, mas também devido às falhas na construção do conceito

do objeto matemático. A ênfase em práticas educativas mecanicistas pode causar


31

desinteresse dos alunos e dificultam o desenvolvimento de uma postura investigativa

durante as aulas.

O processo educativo, complexo e dinâmico exige do educador uma nova postura

frente aos desafios impostos pela sociedade tecnológica em que vivemos. Nesse

contexto a matemática desempenha um papel importante, pois, por meio dela é possível

construir argumentos capazes de influenciar as tomadas de decisões dos indivíduos.

Embora haja estudos envolvendo uma concepção crítica da Educação Matemática ainda

encontramos muitas práticas onde a matemática estabelece regras e determina padrões

de verdade. Assim, temos o desafio de ampliar as discussões em Educação Matemática

buscando práticas educativas que contribuam com a formação emacipatória dos

estudantes.

O presente trabalho refere-se a uma experiência pedagógica envolvendo a

construção do conceito de Números Inteiros que ocorreu na Escola Municipal Centro

Unificado Constantino José Vieira, localizada no município de Castelo, com quatro

turmas, uma de cada vez, de alunos do 7º ano do ensino fundamental no ano de 2015. A

ampliação do conjunto dos Números Naturais para os Inteiros traz consigo novas

propriedades e generalizações como a ordem dos números negativos e sua relação com

quantidades exigindo metodologias adequadas e atenção do professor. Embora a ideia

de Números Inteiros esteja presente desde muito cedo no cotidiano das pessoas quando

abordado de forma incoerente provoca obstáculos na aprendizagem. Por isso temos por

objetivo evidenciar e refletir as possibilidades do jogo como recurso pedagógico com

potencial para dinaminizar as aulas de matemática e promover o protagonismo do aluno

viavilizando a construção do conceito de números inteiros.

2. Metodologia

Realizamos uma pesquisa qualitativa, conforme Bogdan & Biklen (1994), a partir dos

registros produzidos pela pesquisadora – e autora deste relato – durante a observação do


32

ambiente de aprendizagem e dos registros dos alunos realizados durante o

desenvolvimento da atividade. As regras foram discutidas e definidas com os alunos. O

primeiro momento da atividade aconteceu no pátio da escola com duração de duas aulas

de 50 (cinquenta) minutos cada uma e o segundo momento na sala com duração de uma

aula com o mesmo tempo anterior.

O jogo foi usado para iniciar o estudo com números inteiros. Optamos no primeiro

momento por organizar o jogo de forma que toda a turma participasse assim, todo o

diálogo produzido durante a atividade seria compartilhado. Entendemos que a questão

principal não se limita na escolha do material, mas nas intervenções pedagógicas que o

professor faz no decorrer da tarefa. Procuramos desenvolver por meio do jogo uma aula

dialógica e investigativa.

O material planejado e confeccionado pela pesquisadora/autora foi um tapete com

aproximadamente 6 (seis) metros de comprimento por 30 (trinta) centímetros de largura

dividido em 21 retângulos numerados de -10 a +10. Duas caixas encapadas com papel

nas cores vermelho e amarelo seguindo o formato e a numeração do cubo convencional

conforme ilustra a figura:

Figura 1: Material do jogo

Fonte: Acervo da pesquisadora/autora.

Após o momento de discussões, definimos as regras do jogo:

O ponto de partida é o número zero onde o jogador deve se posicionar sobre o

tapete antes da jogada;

O dado vermelho representa os números negativos indicando quantas casas o

jogador vai descer;


33

O dado amarelo representa os números positivos indicando quantas casas o

jogador vai subir;

Os dados são lançados simultaneamente. O jogador caminha no tapete

representando sua jogada. Quem ultrapassar a marca do -10 ou +10 volta ao

ponto de partida zero. Vence a partida quem subir mais próximo do topo ou

chegar ao topo +10.

Todas as jogadas deveriam ser registradas no caderno por todos os participantes.

E partimos para ação: vamos jogar. Apresentaremos a fundamentação teórica da

prática educativa relatada neste texto.

3. Referencial Teórico

Skovsmose (2001, p. 17-19), percussor da Educação Matemática Critica, considera

três pontos cruciais no ensino da matemática:

Relação entre professor e alunos mediada pelo diálogo onde se pretende

desenvolver uma competência democrática e a relação professora-aluno não

acontece por imposição.

O currículo crítico que se refere a aplicabilidade, interesses e pressupostos

escondidos em cada assunto. Os valores presentes no “currículo oculto” nao sao

neutros atendendo, geralmente, as classes dominantes.

As condições fora do processo educacional trata-se de questões fora da realidade

do aluno. Os assuntos de dentro da sala de aula devem ser relevantes para os

alunos aproximando de suas experiências e de questões sociais inerentes ao seu

contexto.

Para o autor a Educação Matemática com vistas à democracia passa pela

competência crítica dos estudantes, onde estes estão envolvidos no controle do processo

educacional e apresenta dois argumentos: o argumento social de democratização que

busca identificar assuntos relevantes a partir de reflexões e ações democrática

(SKOVSMOSE, 2001, p.39) e o argumento pedagógico de democratização que tem a


34

ver com o planejamento específico em educação matemática, ou seja, aquele

planejamento que considera o estudante, seus interesses, seus trabalhos e suas

experiências como aspectos principais da prática educativa (SKOVSMOSE, 2001,

p.47).

Skovsmose (2001) alerta para o que denominou de poder formatador da matemática

referindo-se ao papel que ela exerce na sociedade tecnológica não apenas como

construto social, mas estabelecendo regras e padrões de verdade. “[...] A matemática faz

uma intervenção real na realidade, não apenas no sentido de que um novo insight pode

mudar as interpretações, mas também no sentido de que a matemática coloniza parte da

realidade e a rearruma” (SKOVSMOSE, 2001, p.80). Assim, os resultados matemáticos

e os dados estatísticos são argumentos fortes e frequentemente fundamentam o debate

político que tem por objetivo convencer pessoas. A matemática vista como ciência

verdadeira, inquestionável e infalível dá origem à ideologia da certeza, entretanto,

desconsidera as variáveis qualitativas escondidas na construção de um modelo

matemático. O poder formatador da matemática e a ideologia da certeza são empecilhos

para a Educação Matemática Crítica e retratam a urgência em desenvolver competência

democrática nas aulas de matemática.

Uma forma de desafiar o poder formatador da matemática e a ideologia da certeza é

mergulhar em práticas pedagógicas que privilegiem a investigação, a descoberta, a

criação de estratégias acionando aspectos cognitivos que possibilite ampliar os

conhecimentos adquiridos. Ao direcionar o olhar para a alfabetização matemática nota-

se a importância da apreensão do conhecimento, mas também a necessidade de educar

criticamente para a tomada de decisões, para duvidar e questionar frente às ideias

apresentadas em debates sociais mesmo que embasados por argumentos matemáticos.

Queremos ressaltar que os ambientes das salas de aulas são espaços propícios para o

desenvolvimento de competência democráticas. Não podemos esperar uma atitude


35

democrática dos alunos na sociedade se as ações democráticas da escola estão renegadas

ao segundo plano.

Paulo Freire (1996) contribui com Skovsmose (2001) em várias ideias, dentre elas,

a formação crítica. Para Freire

Saber que ensinar não é transferir conhecimento, mas crias as possibilidades

para a sua própria produção ou a sua construção. Quando entro em uma sala

de aula devo estar sendo um ser aberto a indagações, à curiosidade, às

perguntas dos alunos, a suas inibições; um ser crítico e inquiridor, inquieto

em face da tarefa que tenho – a de ensinar e não a de transmitir conhecimento

(FREIRE,1996, p. 47).

Encontramos na prática do jogo educativo uma possibilidade de romper com a

visão da transmissão de conteúdo como forma de ensinar. O jogo bem planejado é

terreno fecundo a investigações, reflexões nas tomadas de decisões sobre as jogadas,

observações, interação entre os participantes. Ele permite explorar tanto habilidades

matemáticas quanto padrões democráticos.

O jogo como prática educativa requer uma intencionalidade (STAREPRAVO,

2009, p. 48-49) sem perder de vista seu caráter atraente e prazeroso. Não se trata de

considerar o “jogo pelo jogo”, mas de criar um ambiente promissor para a aquisiçao de

conhecimentos científicos bem como desenvolver competências democráticas. A

ludicidade dos jogos ajuda a abolir os entraves do medo que ronda as aulas de

matemática. Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN’s, 1998)

salientam que os jogos no ensino de matemática

Constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que

estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na

elaboração de estratégias de resolução de problemas e busca de soluções.

Propiciam a simulação de situações problema que exige soluções vivas e

imediatas, o que estimulam o planejamento das ações (BRASIL, 1998, p.47).

Os jogos como ferramenta educacional estão relacionados a aspectos importantes

do desenvolvimento do ser humano. Além de contribuir na aprendizagem de conceitos

matemáticos, algoritmos e toda representação própria da matemática apresenta-se como

viés para outros propósitos no contexto da aprendizagem. Um deles “[...] é a


36

possibilidade de construir-se a autoconfiança. Outro é o incremento da motivação. [...]

um método eficaz que possibilita uma prática significativa daquilo que está sendo

aprendido” (SILVEIRA, 1998, p.02). Assim, quando fazem parte da rotina das escolas,

contribuem com processo educacional encorajando e entusiasmando os alunos na busca

pela construção do conhecimento e transformações sociais, políticas e econômicas.

O ensino mecanizado baseado na repetição de exercícios descontextualizados,

padronizados, com resposta única que impossibilitam os debates e argumentações

geram ambientes de pouco ou nada dialógicos: o professor explica o conteúdo, ele é o

detentor do saber, os alunos ouvem e seguem suas instruções de forma passiva com uma

dormência intelectual. Tais atividades têm seu valor, mas não podem ser a única

estratégia de trabalho. As informações transmitidas muitas vezes não transformam em

crescimento isso quando não provocam obstáculos para a construção do conhecimento

(STAREPRAVO, 2009, p. 42-43). De maneira semelhante o jogo pelo jogo pode

sinalizar um desinteresse dos alunos à medida que não é desafiador. A autora adverte

que

[...] Muitas vezes os jogos são usados como um momento de descontração da

turma durante o qual os professores podem colocar em dia suas próprias

tarefas. [...] o jogo não deve ser escolhido ao acaso, mas fazer parte de um

projeto de ensino do professor, que possui uma intencionalidade com essa

atividade (STAREPRAVO, 2009, p. 48-49).

Ao planejar uma aula utilizando de jogo como recurso pedagógico o professor deve

se ater a alguns critérios importantes, como: considerar o nível cognitivo da turma, o

conteúdo abordado no jogo, jogar antes da sua execução com os alunos identificando as

possíveis dificuldades que precisarão de intervenções pedagógicas e como elas serão

feitas, se o material concreto está em boa condição de uso e é suficiente, e, estar atento

aos questionamentos e reflexões que podem desencadear novas situações de

aprendizagem. A mediação e orientação do professor são essenciais na prática do jogo

educativo.

Teoria e prática devem caminhar juntas na organização das práticas educativas. O


37

professor ao refletir sobre suas metodologias de ensino cria novas oportunidades tendo

no jogo uma ferramenta instrutiva para otimizar a aprendizagem. As relações

interpessoais e os fatores emocionais ficam evidenciados sendo canalizados para uma

convivência saudável entre os participantes. Há situações em que podemos notar um

envolvimento singular tanto do professor quanto do aluno, cada um com seus objetivos

próprios, mas ambos ativos no processo ensino-aprendizagem. Muitos são os benefícios

oferecidos pelos jogos educativos numa perspectiva de ensino que tem como suporte os

pressupostos da Educação Matemática Crítica apresentada por Skovsmose (2001). De

acordo com Fialho

A exploração do aspecto lúdico, pode se tornar uma técnica facilitadora na

elaboração de conceitos, no reforço de conteúdos, na sociabilidade entre os

alunos, na criatividade e no espírito de competição e cooperação, tornando

esse processo transparente, ao ponto que o domínio sobre os objetivos

propostos na obra seja assegurado (FIALHO, 2007, p.16)

Esta vasta gama de conexões e relações intrínsecas na prática educativa com auxílio

do jogo numa visão de educação emancipadora comprometida com a democracia

viabiliza explorar diversos conteúdos matemáticos, dentre eles os Números Inteiros,

nosso objeto de estudo neste texto.

Os números inteiros estão presentes nas mais diversas atividades cotidianas: no

extrato bancário assinalando débito ou crédito, nas situações de temperatura, nas

altitudes e/ou profundidades, e em muitos outros contextos. Estas informações são

utilizadas no dia-a-dia das pessoas como, por exemplo, estou em dívida e preciso pagar,

vou viajar e quero saber se vai esfriar, a qual temperatura asso o bolo. Matemática e

realidade definitivamente estão entrelaçadas. Os PCN’s confirmam;

É preciso levar em conta que os alunos desenvolvem, já nas séries iniciais,

uma noção intuitiva dos números negativos que emergem de situações

práticas, como perder no jogo, constatar saldos negativos, observar variações

de temperatura, comparar alturas, altitudes [...]. Essas noções intuitivas

permitem as primeiras comparações entre inteiros (BRASIL, 1998, p. 98).

É preciso reconhecer e usar os conhecimentos prévios dos alunos na apresentação

de um novo conjunto numérico. Quando o assunto é tratado na escola de forma

incoerente gera dificuldades na aprendizagem. A apresentação do conhecimento como


38

pronto e acabado é prejudicial ao desenvolvimento cognitivo do aluno à medida que não

lhe permite pensar, estabelecer relações, elaborar estratégias validando-as. A escola

[...] ao desenvolver um trabalho exclusivamente formal no trabalho com os

números inteiros, corre-se o risco de reduzir seu estudo a um formalismo

vazio, que geralmente leva a equívocos e facilmente é esquecido. Assim,

devem-se buscar situações que permitam aos alunos reconhecer alguns

aspectos formais dos números inteiros a partir de experiências práticas e do

conhecimento que possuem sobre os números naturais (BRASIL, 1998, p.

100).

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), “Os números inteiros

podem surgir como uma ampliação do campo aditivo, pela análise de diferentes

situações em que esses números estejam presentes” (BRASIL, 1998, p.66). Eles são

uma ampliação dos números naturais já que abrangem números positivos e negativos.

Essa ampliação do conjunto dos números naturais desencadeia novas propriedades e

generalizações que acompanharão os estudantes nos estudos futuros e nos contextos

diários.

Bigode (2013, p.107) trata o conjunto dos números inteiros como a reunião dos

números naturais com os números negativos e representa o novo conjunto com o

símbolo Ζ - onde Z é a inicial da palavra Zahlen, que em alemao, significa “números”.

O autor representa o conjunto da seguinte forma: Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,

5, ...}.

Pires, Curi e Campos apresentam algumas dificuldades que podem surgir na

aprendizagem dos números inteiros:

- quanto à ordem dos números negativos: -3 é maior que -4. Há uma

resistência por parte das crianças de aceitar essa ideia e considerar apenas o

valor absoluto do número. Mesmo quando associam a situações práticas, há

uma incongruência na linguagem: -4 representa mais pontos perdidos do que

-3 e tomam a ordem inversa dos negativos como a ordem crescente.

- a relação dos números inteiros com quantidade. Que quantidade representa -

8, +5, - (-2)? São estados, relações? Não é por acaso que pensar em

quantidades negativas foi inadmissível por muito tempo.

- a ideia de que a adição faz aumentar e a subtração diminuir. Tais ideias são

contrariadas em situações como: somar um número com 6 e obter 1. Subtrair

um número de 2 e obter 9.

- a multiplicação de dois números negativos resulta em um número positivo.

- a negação de uma negação corresponde a uma afirmação. (PIRES, CURI e


39

CAMPOS, 2001, p.33)

Além dessas considerações podemos citar o conceito mal entendido que os alunos

trazem em relação ao zero. Acredita-se que ele é sempre o menor número em qualquer

conjunto o que cai por terra quando a reta numérica inteira é organizada. A reta passa

agora a ter dois sentidos considerando o zero como ponto de origem: os números

positivos ficam do lado direito e os números negativos ficam do lado esquerdo da reta,

como mostra a imagem:

Figura 2: A Reta Numérica

Fonte: BIGODE, 2012, p.107

Muitos alunos aprendem cegamente que o zero não tem antecessor, mas isso dentro

do conjunto dos números naturais, pois no conjunto dos números inteiros o antecessor

de zero é -1. Operações ditas impossíveis como 3 tira 5 agora são realizadas numa

linguagem própria: +3 -5 = -2.

Conforme exposto os números negativos trazem muitas novidades, detalhes que o

professor deve estar atendo. A memorização de regras sem compreender os conceitos

conduz a uma falta de entendimento e significado do fazer matemático. Procuramos

então tratar o assunto de forma que os alunos vivenciassem uma experiência de jogo e,

de forma investigativa e reflexiva descobrissem essas especificidades do conjunto dos

números inteiros.

4. Resultados e discussões


40

No momento das discussões sobre as regras do jogo ficou claro que a atividade

proporcionaria à investigação de novos conceitos matemáticos que seria usado em aulas

futuras e, portanto, todos deveriam fazer suas jogadas e registrar no caderno as jogadas

dos colegas que posteriormente poderiam ser consultadas. O respeito mútuo seria

essencial para o sucesso da atividade. Na figura a aluna caminha sobre o tapete para

realizar a operação:

Figura 3: Prática do jogo usando o tapete

Fonte: Acervo da pesquisadora/autora

A figura 4 mostra os registros no caderno que uma aluna fez durante a atividade do

jogo. Os sinais de menos (-) e mais (+) estão relacionados as cores dos dados. Os alunos

Lucas, Saul e Luís fizeram uma operação com números simétricos. Nesse caso eles não

caminharam sobre o tapete

permanecendo no ponto de partida

zero.

Figura 4: Registro das jogadas


41

Fonte: Caderno dos estudantes.

Quando terminou a primeira rodada os alunos quiseram continuar no jogo. Uma

situação inesperada aconteceu. A pesquisadora/autora sugeriu que alterassem a regra

referente ao ponto de partida. Os alunos concordaram. O jogador se posicionou sobre o

número que representava os pontos da primeira rodada fazendo o deslocamento sobre o

tapete conforme o lançamento dos dados vermelho e amarelo. Essa rodada possibilitou

explorar somas algébricas de três parcelas envolvendo números inteiros.

Figura 5: Registro no caderno da segunda rodada do jogo: Sobe e desce

Fonte: Caderno dos estudantes.


42

Durante as jogadas realizaram-se reflexões do tipo: O que acontece se o jogador

marcar 3 pontos no dado vermelho e 3 pontos no dado amarelo? Há deslocamento?

Quais outras jogadas também não possibilitam deslocamentos? Quais jogadas terão

como resultado um número positivo? E um número negativo? Qual seria a melhor

jogada? E a pior? Se os dois dados fossem amarelos seria possível chegar ao topo?

Quem está mais próximo do topo: quem ocupa o número zero do tapete ou quem está no

-1? Qual a classificação final dos participantes? Quais situações do dia-a-dia podem ser

relacionadas com essa atividade? O que mais aprenderam nesse jogo? As discussões

foram essenciais na compreensão dos novos conhecimentos que estavam se

consolidando.

No segundo momento os alunos já tinham adquirindo conhecimentos suficientes

para jogarem em grupos menores, discutindo e tirando suas próprias conclusões. A

intervenção pedagógica limitava-se a observações e orientações e mediação de conflitos

que surgiram. Trocamos o tapete por tabuleiros com espaço para cinco crianças

jogarem e por dados menores. Nessa fase os alunos já realizavam o cálculo mental e

seus marcadores não deslizavam mais pelos tabuleiros, mas já se posicionavam no

resultado da operação. Conforme aconteceu na segunda rodada com o tapete os alunos

criaram novas regras chegando a operar somas algébricas com mais de três parcelas

considerando os resultados das rodadas anteriores.

Figura 6: Alunos jogando no tabuleiro

Fonte: Acervo as pesquisadora/autora


43

5. Considerações finais

O jogo trouxe alegria para a aula de matemática, foi um estímulo para os alunos se

envolverem na atividade sendo os protagonistas na construção do conhecimento e gostar

de aprender matemática. As normas e regras próprias do conteúdo de números inteiros

foram compreendidas por meio das reflexões e desenvolvendo o raciocínio lógico. Os

alunos se apropriaram do conhecimento matemático científico de forma lúdica.

O jogo tanto no grupo maior quanto em grupos menores fez com que os alunos

convivessem com pessoas diferentes com ideias, ações, reações e emoções próprias.

Observamos que os alunos aprimoram a habilidade de ouvir e respeitar a opinião de

seus pares bem como o de se posicionar, ter autonomia e decidir. A escola se torna

assim um espaço democrático. O aluno habituado a esse ambiente desenvolve também

aspectos democráticos que serão usados em suas decisões na sociedade.

Ao dinamizar as aulas de matemática por meio do jogo educativo o professor

demonstra compromisso com questões sociais. Sabe que sua mediação é indispensável

na Educação Matemática podendo contribuir para a inclusão ou exclusão dos alunos na

sociedade. O jogo no âmbito escolar é um recurso pedagógico que pode contribuir com

o desenvolvimento da Educação Matemática Crítica.

6. Referências bibliográficas

BRASIL, Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino

Fundamental. 5ª à 8ª série, Brasília, SEF, 1998.

FIALHO, N. N. Jogos no Ensino de Química e Biologia. Curitiba: IBPEX, 2007

FREIRE, P. Pedagogia da Autonomia: Saberes necessários à prática educativa. São

Paulo: Paz e Terra, 1996.

BIGODE, A. J. L. Projeto Velear: Matemática. 1. Ed. – São Paulo: Scipione, 2012.

PIRES, C. M. C; CURI, E; CAMPOS, M. M. Transformando a prática das aulas de


44

matemática/Tânia Maria Mendonça Campos, Célia Maria Carolino Pires, Edda Curi;

Tânia Maria Mendonça Campos (Coordenadora). – São Paulo: PROEM, 2001.

SILVEIRA, R. S; BARONE, D. A. C. Jogos Educativos computadorizados

utilizando a abordagem de algoritmos genéticos. Universidade Federal do Rio

Grande do Sul. Instituto de Informática. Curso de Pós-Graduação em Ciências da

Computação. 1998.

SKOVSMOSE, O. Educação Matemática Crítica: A questão da democracia.

Campinas, SP; Papirus, 2001

STAREPRAVO, A. R. Mundo das ideias: jogando com a matemática, números e

operações. Curitiba: Aymará, 2009.


45

O USO DO GEOGEBRA NA CONSTRUÇÃO DE MOSAICO COM

POLÍGONOS REGULARES: UMA EXPERIÊNCIA NA FORMAÇÃO

CONTINUADA DE PROFESSORES

Mirelly Katiene e Silva Boone

Instituto Federal do Espírito Santo – Campus Vitória

Email: [email protected]

Silvana Cocco Dalvi



Alex Jordane



Resumo:

Este artigo apresenta algumas reflexões a partir do uso do GeoGebra em um curso de

formação de continuada de professores de Matemática no município de Castelo/ES. A

formação surge a partir da necessidade de se trabalhar com as tecnologias em sala de

aula, uma vez que o livro didático escolhido pelos professores da Rede Municipal de

Educação de Castelo, no Espírito Santo, propõe o desenvolvimento de atividades

intituladas “Acessando Tecnologias”. A formaçao foi organizada em 8 (oito) encontros

e dois deles foram destinados à reflexão da teoria e prática pedagógica por meio do uso

de computadores e optou-se em trabalhar a construção de mosaicos regulares com

auxílio do GeoGebra.

Palavras-chave: Reflexões; GeoGebra; Tecnologias; Formação de Professores.


46

1. Introdução

O século XX foi marcado por um grande avanço tecnológico que impulsionou o

desenvolvimento da Ciência especialmente no campo das comunicações. O que

acontece em qualquer ponto do globo terrestre é rapidamente informado pela mídia em

questão de segundos. Avanços fantásticos ocorrem em todas as áreas do conhecimento

transformando o modo de produção da sociedade e o jeito de viver das pessoas exigindo

novos conhecimentos e determinando outras necessidades.

O desenvolvimento da Ciência trouxe progresso e muitos benefícios, mas também

tem construído o legado de desesperança, de incerteza no futuro por consequência das

guerras, de falta de consciência sobre o desenvolvimento sustentável, de crescimento

desordenado colocando em risco a sobrevivência da humanidade. A crença que a

Ciência resolveria todos os problemas humanos não se confirmou e a situação de

emergência planetária se agrava.

A educação baseada na memorização e reprodução de conhecimentos não atende às

expectativas desse século marcado por conflitos sociais, políticos e econômicos que

precisam ser superados para que o desenvolvimento sustentável atinja seu ápice.

Diante do desenvolvimento exacerbado da Ciência e da tecnologia, dos vários

artefatos tecnológicos utilizados surge o desafio de construir uma educação reflexiva

que realmente esteja comprometida com aspectos socioculturais e socioambientais. A

matemática se constitui uma ferramenta intelectual imprescindíveis nesse processo

contínuo de transformações ocorridas ao longo da evolução humana, pois a Ciência e a

tecnologia avançam e os modelos matemáticos estão presentes neste processo.

Nessa perspectiva o conhecimento está sendo construído por meio dos artefatos

disponíveis atualmente. Quando se associa conhecimentos construídos em tempos


47

passados aos recursos tecnológicos tem-se o objetivo de inovar a concepção de

Educação.

Conforme Martins (2003)

Diferenciar o ensino na contemporaneidade consiste utilizar todos os

recursos disponíveis, para organizar as interações e as atividades de modo

que cada indivíduo vivencie, tão frequentemente quanto possível, situações

fecundas de aprendizagem (MARTINS, 2003, p. 91)

É pertinente ressaltar que a forma como os recursos tecnológicos são usados no

processo ensino e aprendizagem pode contribuir para aguçar a curiosidade do aluno,

desenvolver sua criticidade e autonomia. Cabe à escola orientar os jovens e adolescentes

para que sejam seletivos e utilizem as tecnologias a seu favor, ou seja, desenvolvendo

competências que contribuam seu crescimento intelectual e social, promovam

desenvolvimento humano e que sejam coerentes com as novas demandas da era da

informação.

Para Freire (1995, p.98), o uso de computadores na educaçao “[...] em lugar de

reduzir, pode expandir a capacidade crítica e criativa de nossos meninos e meninas”.

Depende de quem o usa, a favor de que e de quem e para quê. A atuação do professor

como mediador do processo educativo é fundamental nessa escolha e decisão de fazer

uso do computador como possibilidade de libertação e inserção social dos estudantes.

Dessa forma, é importante pensar na formação de professores que possam atuar como

mediadores do processo educativo.

Temos claro que a formação do professor não acaba com a conclusão da graduação,

mas acontece de forma permanente. Segundo Pimenta (2000) a formação docente

abrange a formação inicial e contínua, em redes de auto formação e em parceria com

outras instituições devendo ser valorizada como uma forma de mediar a superação do

fracasso escolar. É um processo de reelaboração permanente da própria prática.


48

Diante do exposto, buscamos refletir o uso do GeoGebra na construção de

mosaicos1 numa abordagem construcionista a partir de uma experiência com a formação

continuada de professores de matemática no município de Castelo, Espírito Santo.

2. Metodologia

Procedemos a uma análise qualitativa descritiva a partir de Bogdan & Biklen

(1994) das reflexões e das atividades realizadas pelos professores que participaram da

formação.

Em 2013 a Rede Municipal de Educação de Castelo fez a opção por trabalhar com

o livro didático intitulado Vontade de Aprender Matemática (SOUZA e PATARO,

2012), dos autores Joamir Souza e Patrícia Moreno Pataro. O material escolhido traz, ao

final de alguns capítulos, a sessão intitulada: Acessando Tecnologias e essa sessão

mostra como explorá-las conforme o conteúdo daquela unidade.

O trabalho com material didático, a partir de 2014, motivou o início de um curso de

formação continuada, no período de 04/10/2014 a 04/11/2014, com um grupo de 23

professores com graduação em Matemática atuando no Ensino Fundamental. O curso

organizado em oito encontros de formação com duração 2h30min. Dentre outros temas,

destinou-se dois encontros para a reflexão da teoria e prática por meio do uso de

computadores e optou-se em trabalhar com GeoGebra. Relataremos a seguir como

aconteceram os encontros:

1º Encontro: a discussão teórica. Usamos os textos “Tendências Metodológicas no

Ensino de Matemática” (MENDES, 2008) de Iran Abreu Mendes e “A Educaçao na

Cidade” de Paulo Freire. Também se discutiu o ensino de geometria que segundo os

Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) contribuem para compreender,

descrever e representar o mundo estimulando a observação. Trabalhamos também com

Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), que assinalam que as atividades de geometria

1 Neste texto nao apresentamos a distinçao entre mosaico e pavimentaçao. Utilizamos o termo “mosaico”

conforme apresentado na sessao “Acessando Tecnologias” do livro didático que motivou o curso de

formação de professores.


49

viabilizam contextos de descoberta e criação possibilitando fazer formulações e testar

conjecturas a procura de demonstrações e generalizações. Após os debates deste

momento, iniciamos a atividade prática usando o GeoGebra.

2º Encontro: a construção de mosaicos com polígonos regulares. A atividade

contou com o auxílio de dois técnicos em informática que trabalhavam na Secretária de

Educação. Foram eles os responsáves por instalar o software GeoGebra nos

computadores. Contamos também com a monitoria de uma professora de matemática na

condução das atividades. Após apresentação das ferramentas a monitora deu os

comandos e foi necessário deixar um tempo livre para o grupo desenvolve-los.

3. Referencial Teórico

3.1 Instrucionismo e Construcionismo: a busca por uma abordagem adequada

Quando discutimos o uso do computador como ferramenta pedagógica podemos

tomar como referência duas abordagens: a abordagem instrucionista e a abordagem

construcionista. Essas ideias foram desenvolvidas pelo educador matemático Seymour

Papert (1985-1994) inspirado por pensadores como Dewey, Freire, Piaget e Vygotsky.

Papert (1994) propõe o trabalho com as tecnologias com base na segunda abordagem, o

construcionismo, mas não deixa de considerar a importância do instrucionismo. Vamos,

rapidamente, traçar um pouco do perfil de cada uma dessas abordagens.

Na abordagem instrucionista se fundamenta no uso da instrução programada. A

atividade é direcionada e o aluno é instruído a seguir alguns passos, caminhos, que o

conduzirá à conclusão da tarefa. A proposta é baseada em etapas, ou fases. No final de

cada módulo de ensino o aluno resolve a questão programada para passa a fase seguinte.

A novidade, nesta perspectiva, está na forma como a informação é apresentada servindo

muitas vezes como motivação, mas o processo de aprendizagem está engessado, pois a

programação está pronta para ser usada. Nesta abordagem o uso do computador vem

reforçar o currículo tradicional e sem a preocupação de promover reflexões e

aprendizagens significativas (ALMEIDA, 2000, p.15). A transmissão do conhecimento

acontece por meio de programações do tipo CAI (Instrução auxiliada por computador)


50

onde o aluno fica passível diante das informações que lhe são oferecidas. Para Almeida

(2000, p.16-17) “o computador funciona como uma máquina de ensinar otimizada e o

software pode ser do tipo tutorial, exercício-e-resposta, jogos educacionais ou mesmo

simulações”. A programaçao é fechada limitando-se aos pensamentos e conceitos do

programador. Segundo Almeida (2000, p.17) “os softwares do tipo CAI, quando

permitem a manipulação de diferentes situações podem ser usados de forma criativa

[...]”, mas nao podemos desconsiderar que o uso criativo depende do planejamento do

professor.

Com o tempo, os softwares do tipo CAI evoluíram buscando considerar as

necessidades dos alunos, entretanto, consideraram um aluno ideal e inexistente. As

programações do tipo ICAI (Instrução inteligente auxiliada por computadores) são

elaboradas a partir de recurso da inteligência artificial (ALMEIDA, 2000, p.18). O

instrucionismo reproduz os princípios da corrente comportamentalista de Skinner onde

o conhecimento se dá por meio da repetição e memorização das respostas esperadas.

Apesar do uso de recursos tecnológicos atuais se mantém a concepção da educação

tradicional.

A abordagem construcionista foi proposta por Seymour Papert inspirado por

pensadores como Dewey, Freire, Piaget e Vygotsky. Papert (1994) elaborou uma

proposta para o uso do computador organizada pelo ciclo descrição-execução-reflexão-

depuração conforme mostra a figura 1 construída a partir das ideias de Almeida (2000,

p.19).

Figura 1: Ciclo descrição-execução-reflexão-depuração

Fonte: Almeida (2000, p. 19)


51

O professor pode intervir no processo de representação do estudante, orientar

quanto aos erros, propor questionamentos, buscar outras informações para formalizar a

construção de novos conceitos. O ambiente virtual é explorado numa perspectiva

investigativa, criadora e problematizadora motivando os estudantes a vivenciarem o

ciclo descrição-execução-reflexão-depuração.

Para Papert (2001, p. 02), a “[...] tecnologia nao é a soluçao, é somente o

instrumento. Logo, a tecnologia por si não implica uma boa educação, mas a falta de

tecnologia implica em uma má educaçao”. No cenário atual, as práticas pedagógicas que

considerem a necessidade do uso dos recursos tecnológicos na perspectiva

construcionista representam um avanço no diz respeito ao uso de softwares

educacionais.

3.2 O Uso dos Computadores na Sala de Aula

Muitos são os desafios a serem superados no sentido que ocorra realmente a

implementação do uso de tecnologias, principalmente do computador, numa abordagem

construcionista nas salas de aula. Para que esta prática se concretize, não basta apenas

adquirir máquinas é preciso investir na formação continuada dos professores.

Para Borda e Penteado (2001) o conhecimento é construído historicamente por uma

dualidade entre o coletivo formado por seres humanos e tecnologias e não por apenas

um conjunto de seres humanos. Ao interagirmos com as mídias surge uma nova faceta

da linguagem e o pensamento é novamente reorganizado. A máquina não substitui a

prática docente, mas a interação da máquina com o professor e aluno pode produzir um

cenário para investigações. Os autores destacam essa relação quando afirmam que

A docência, independentemente do uso de TI, é uma profissão complexa.

Nela estão envolvidas as propostas pedagógicas, os recursos técnicos, as

peculiaridades da disciplina que se ensina, as leis que estruturam o

funcionamento da escola, os alunos, seus pais, a direção, a supervisão, os


52

educadores de professores, os colegas professores, os pesquisadores, entre

outros (BORBA & PENTEADO, 2001, p.54).

Vivemos um avanço tecnológico real, presente na vida cotidiana das pessoas,

estabelecendo novas tendências. A escola não pode viver no enclausuramento do

passado onde os recursos tecnológicos atuais ainda não estavam disponíveis. Os

Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2000, p. 11-12) alertam sobre essa

questão

Os sistemas tecnológicos, na sociedade contemporânea, fazem parte do

mundo produtivo e da prática social de todos os cidadãos, exercendo um

poder de onipresença, uma vez que criam formas de organização e

transformação de processos e procedimentos.

D'Ambrosio (1993, p.16) afirma que “ignorar a presença de computadores e

calculadoras na educação matemática é condenar os estudantes a uma subordinação

total aos subempregos". Se o desenvolvimento tecnológico molda a sociedade, emerge,

então, algumas questões: Como conectar essa realidade com a escola? Entrelaçar teoria

e prática? Cabe ressaltar a importância do professor no processo pedagógico que vive o

desafio de integrar a prática docente aos recursos tecnológicos indispensáveis numa

visão de educação emancipadora.

Uma formação de qualidade envolve o conhecimento, as estratégias para ensiná-lo

e a experiência docente. Esta formação é alcançada quando associa-se formação inicial

à formação continuada, pois atualizar-se deve ser uma preocupação permanente. A

educação evolui e se moderniza de acordo com as incessantes transformações

socioculturais e tecnológicas. Pimenta (2000) destaca que o conhecimento é algo mais

que a simples transmissão de informações e que

[...] não basta produzir conhecimento, mas é preciso produzir as condições de

produção de conhecimento. Ou seja, conhecer significa estar consciente do

poder do conhecimento para a produção da vida material, social e existencial

da humanidade (PIMENTA, 2000, p.22).

A competência para utilizar pedagogicamente as novas tecnologias pressupõe um

trabalho colaborativo entre os professores, aliando teoria e prática com foco na reflexão

sobre o fazer docente. É necessário desmistificar a concepção de cursos de formação


53

continuada limitados apenas a aspectos técnicos e operacionais como suficientes para

democratizar o ensino. Freire ressalta que

Ninguém começa a ser educador numa certa terça-feira às quatro horas da

tarde. Ninguém nasce educador ou é marcado para ser educador. A gente se

faz educador, agente se forma, como educador, permanentemente, na prática

e na reflexão sobre a prática. (FREIRE, 1995, p.32)

Em consonância com essa visão a formação continuada deve tratar de temas atuais

e desafiadores aos professores, dentre eles o uso da tecnologia, provocando novas

aprendizagens, estimulando reflexões sobre a concepção de conhecimento, de homem e

de mundo bem como o papel da educação na transformação da sociedade.

Embora as novas tecnologias constituam poderosas ferramentas intelectuais o

professor desempenha papel relevante no processo ensino-aprendizagem, atuando como

mediador, atento as necessidades de aprendizagem e as demandas da atualidade.

Neste trabalho, vamos enfatizar o uso do GeoGebra na formação continuada de

professores de matemática, por ser um software que possibilita a construção do

conhecimento matemática de forma investigativa.

a. O GeoGebra

O GeoGebra foi criado por Markus Hohenwarter para ser utilizado em ambiente de

sala de aula. O projeto foi iniciado em 2001, na Universität Salzburg, e tem prosseguido

em desenvolvimento na Florida Atlantic University e em colaboração com

pesquisadores e programadores de todo o mundo.

É um software livre, escrito em linguagem Java e disponível em múltiplas

plataformas. É um aplicativo popular de matemática dinâmica que combina ferramentas

de geometria, álgebra e cálculo. Permite construções que podem ser movimentadas e

alteradas e ainda assim retornar à posição e à forma iniciais. Permite a representação

gráfica de funções, sistemas de equações, gráficos estatísticos, tabelas, efetuar diversos

cálculos como área, perímetro e ângulos, explorar as propriedades das figuras


54

geométricas, os conceitos de reflexão, translação, homotetia, entre muitas outras

funções.


O desenvolvimento das atividades de construção dos mosaicos com auxilio do

GeoGebra foi dividido em quatro tarefas, como segue:

1ª Tarefa: Desenhar um mosaico com triângulos e hexágonos regulares.

1º Comando: Desenhe um hexágono regular e marque os vértices do polígono.

Figura 2: Execução do 1º comando/1ª tarefa.

Fonte: Acervo dos autores

2º Comando: Desenhe um triângulo regular com vértices em C e B, nessa ordem e outro

triângulo regular, agora com vértices em D e C.



55


3º Comando: Continue desenhando hexágonos e triângulos seguindo o padrão.

Clicando sobre os polígonos uma janela abrirá com outras ferramentas e clicando em

propriedades temos novas opções como, por exemplo, mudar as cores.



2ª Tarefa: Usando a ferramenta marque o ângulo interno de cada polígono:

Figura 5: Execução da 2ª tarefa.


56


3ª Tarefa: Usando outra combinação de polígonos regulares, crie outro mosaico.



4ª Tarefa: Em todas as combinações de polígonos regulares acontece o encaixe? Tente

construir um exemplo de combinação em que os polígonos regulares não se encaixam.




57

Após algumas construções fica evidente que é possível construir mosaico com

triângulos regulares, quadrados e hexágonos regulares. Mas não é possível encaixar

pentágonos e octógonos regulares. A distribuição dos polígonos regulares ao redor de

cada vértice é sempre a mesma, isto é, é necessário que o ângulo interno desse polígono

seja um divisor exato de 360º o que acontece com o triângulo equilátero (60º), quadrado

(90º) e hexágono regular (120º).

O desenvolvimento das atividades embasou as discussões sobre os conceitos

geométricos aplicados e das dificuldades no uso do GeoGebra na construção do

mosaico com polígonos regulares. No final do encontro todos receberam uma apostila

com o passo a passo da atividade e novas sugestões de como o GeoGebra pode ser

utilizado no ensino da geometria e da álgebra.

5. Considerações Finais

Diante do desenvolvimento tecnológico na sociedade contemporânea e do mundo

globalizado em que vivemos um novo olhar recai sobre o uso dos computadores no

ambiente escolar. Essa tecnologia surge das relações sociais produzindo artefatos

tecnológicos que fazem parte do cotidiano das pessoas. É preciso adentrar-se não

somente nos benefícios, mas também nas consequências do uso indevido desses

recursos na escola.

O GeoGebra se configura como um recurso pedagógico viável no ensino da

matemática por proporcionar a criatividade, autonomia, criação e validação de

estratégias de procedimentos e reflexão dos estudantes contribuindo para a construção

do conhecimento. O aluno não é passivo diante do computador mas, interagi com ele e

com o professor. Muitos conceitos matemáticos são melhores assimilados quanto

abordados dessa forma, entretanto, dentro da perspectiva construcionista além da

aprendizagem dos conteúdos busca-se contribuir com a formação cidadã dos estudantes

desenvolvendo o senso crítico e reflexivo.


58

Embora o GeoGebra seja um software livre, nem sempre os professores sentem-se

seguros para usá-lo na elaboração das atividades e com os alunos. A associação entre

teoria e prática contribuiu para ampliar as reflexões e promover novas aprendizagens

sobre esse assunto. O curso de formação continuada de professores possibilitou a

descoberta de recurso pedagógico que pode ser instrumento para desenvolver o aspecto

cognitivo dos alunos e sua estreita relação com a inserção social. Cabe ressaltar a

importância da formação continuada para a aquisição de novas práticas docentes, em

especial no que se refere ao uso da tecnologia como recurso pedagógico visando

acompanhar as contínuas transformações sociais que ocorrem com a evolução da

humanidade.

6. Referências

ALMEIDA, M. E. Informática e formação de professores. Brasília: Ministério da

Educação, SEED.2000.

BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo

Horizonte: Autêntica Editora, 2001.

BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros

Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais -

Ensino Médio. Brasília: MEC/SEF, 2000

D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: arte ou técnica de explicar e conhecer.

2.ed. São Paulo: Editora Ática, 1993.FREIRE, Paulo. A Educação na cidade. 2. ed.

São Paulo, Cortez, 1995.

MARTINS, M.C. Criança é Mídia, “Diversamente” em ação em contextos

educacionais. Tese (Doutorado em Multimeios) – UNICAMP, Campinas, 2003

MENDES, Iran Abreu. Tendências metodológicas no ensino de matemática /Belém:

EdUFPA, v.41, 2008.


59

PAPERT, S. Education for the knowledge society: a Russia oriented perspective on

technology and school. IITE Newsletter. UNESCO, No. 1, janeiro-março 2001.

PAPERT, S. A máquina das crianças: repensando a escola na era da informática.

Porto Alegre-RS: Artes Médicas, 1994.

PIMENTA, Selma Garrido (Org.). Saberes pedagógicos e atividade docente. 2 ed.

SãoPaulo: Cortez, 2000.

PONTE, João P., BROCARDO, Joana, OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas

na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2006

SOUZA, J.R.de ; PATARO, P.R. M. M. Vontade de saber Matemática, 7º ano, 2 ed.

São Paulo : FTD, 2012


60

A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO CONTEÚDO FACILITADOR NA

COMPREENSÃO DO TEOREMA DE TALES

Ayandara Pozzi de Moraes Campos

IFES – Campus Cariacica

[email protected]

Jorge Henrique Gualandi

IFES – Campus Cachoeiro

[email protected]

Resumo:

Usualmente a disciplina de Matemática é aplicada sem ser aferida como ciência

decorrente da construção humana. Apesar dos profissionais da educação perceberem a

Matemática como parte da construção humana, em geral, não utilizam desse facilitador

em suas aulas. Relacionar os registros históricos ao entendimento da matemática é

forma de promover a compreensão e aprendizagem significativa. Este estudo tem intuito

de apontar a contribuição da História da Matemática como recurso metodológico para o

ensino do Teorema de Tales. Foi realizado levantamento bibliográfico e aplicação de

questionário com professores do nono ano de matemática da Rede Estadual e Municipal

de ensino da cidade de Cachoeiro de Itapemirim, sul do Estado do Espírito Santo, sobre

uso contínuo dos tópicos da História da Matemática nas aulas. O trabalho com

conteúdos da História da Matemática é percebido como metodologia facilitadora na

construção do conhecimento, bem como representação de elo nítido entre aprendizado

escolar e cotidiano.

Palavras-chave: história da matemática; orientações metodológicas; teorema de tales.


61

1. Introdução

A definição, usualmente aplicada à disciplina Matemática remete ao estudo das

propriedades dos números, figuras e medidas, e normalmente, esses tratamentos são

desenvolvidos sem referir-se à Matemática como ciência, que tem seu desenvolvimento

correlacionado com o processo da evolução humana, sendo considerada parte desta

construção.

Apesar dos profissionais da educação perceberem a Matemática como parte da

construção humana, de modo geral, é pouco provável que não utilizam desse

pensamento no momento de planejarem suas aulas.

A História da Matemática, mesmo tendo uma relação concomitante ao

desenvolvimento do homem, a maioria dos profissionais da educação não estabelece tal

correlação de importância qualitativa e quantitativa em suas metodologias de ensino,

mesmo quando sucintas nos livros didáticos, e acabam deixando esse conteúdo por

conta dos educandos, ou seja, somente a leitura do trecho em questão em casa ou, antes

de desenvolverem os exercícios.

Nessa perspectiva, (MIGUEL; MIORIM, 2005, p.16) trazem que “o

conhecimento histórico da Matemática despertaria o interesse do aluno pelo conteúdo

matemático que lhe estaria sendo ensinado”, por ser uma forma de compreensao dos

conhecimentos matemáticos atuais com base na sua origem, ou seja a relação com os

registros históricos para o entendimento da matemática atual.

D’Ambrósio (Apud BICUDO, 1999, p. 97) cita ser “praticamente impossível

discutir a educação sem recorrer a esses registros e a interpretação dos mesmos [...]. em

especial da Matemática, cujas raízes se confundem com a história da humanidade.”

A escola, por meio dos professores, tem a função de desenvolver um processo

de ensino que efetive a aprendizagem e que possibilite o aluno a aprender a pensar, a

construir e a usar a informação e o conhecimento a favor da sua convivência com a

sociedade e com o mundo.

O ato de ministrar aulas de Matemática, pautadas na História da Matemática,

possibilita demonstração da matemática atual ser resultado de erros, dúvidas, tentativas


62

e acertos e ainda que mesmo nos parecendo estagnada, até hoje apresenta enigmas,

teoremas e possibilidades a serem desenvolvidos.

Portanto, relacionar os registros históricos ao entendimento da matemática

atual, seria também uma forma de facilitar a compreensão dos conhecimentos

matemáticos e proporcionar uma aprendizagem significativa. Essa temática foi o que

motivou a realização deste estudo, com intuito de apontar a contribuição da História da

Matemática como recurso metodológico para o ensino do Teorema de Tales, com uma

abordagem histórica sobre a vida de Tales de Mileto em consonância com os estudos

por ele desenvolvidos, com enfoque na história do cálculo da altura das pirâmides do

Egito, objetivando fazer desse conteúdo um campo interessante de real compreensão e

visualização.

O objetivo está em investigar de que forma a História da Matemática contribui

como recurso metodológico facilitador na compreensão do Teorema de Tales

desmitificando a dificuldade do aprendizado atribuída à disciplina, apontando a

contribuição da História da Matemática como recurso metodológico para o ensino do

Teorema de Tales, com intuito de estabelecer relação entre a História da Matemática e o

desenvolvimento do homem, além de descrever a aplicação da sua história.

2. Parâmetros legais

A Lei nº 9.394, de 20 de dezembro de 1996, estabelece as diretrizes e bases da

educação nacional,

“A educaçao abrange os processos formativos que se desenvolvem na vida

familiar, na convivência humana, no trabalho, nas instituições de ensino e

pesquisa, nos movimentos sociais e organizações da sociedade civil e nas

manifestações culturais”.

A partir deste artigo da LDB, faz necessário refletir sobre a necessidade de

desenvolvimento competências e habilidades para inserção produtiva, ativa e

participativa do indivíduo na sociedade.


63

Pautados nesta legalização temos os Parâmetros Curriculares Nacionais –

PNC’s, que sao referências e diretrizes para os Ensinos Fundamental e Médio,

relacionadas à estruturação e reestruturação dos currículos escolares de todo o Brasil,

podendo ser adaptados às peculiaridades locais que abrangem desde a organização de

conteúdo até as possibilidades de práticas, divididos em disciplinas.

Na 1ª parte do volume 3 dos Parâmetros Curriculares Nacionais– PNC’s temos a

abordagem sobre o recurso à História da Matemática, com a explicitação desta importância, em

que educandos precisam transcender a memorização de fórmulas, e estarem habilitados a

desenvolverem interpretação dos diversos problemas propostos. Utilizando-se como recurso a

História da Matemática, que “pode esclarecer ideias matemáticas que estao sendo construídas

pelo aluno, especialmente para dar respostas a alguns “porquês” e, desse modo, contribuir para a

constituiçao de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento”. (BRASIL, 1997,

p.34).

Os PCN’s apresentam também a História da Matemática como instrumento de resgate

da própria identidade cultural,

“a Matemática como uma criaçao humana, ao mostrar

necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos

históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos

matemáticos do passado e do presente” (BRASIL, 1997, p.34).

Essas analogias possibilitam que os profissionais desenvolvam nos alunos

atitudes e percepção de conhecimento matemático vivo e resultante de construção

humana. No Estado do Espírito Santo, o Currículo Básico da Escola Estadual, disserta

sobre o que é a Matemática e explica a questão da construção histórica e humana desta,

“é um campo cientifico em permanente evoluçao, que se constituiu

ao longo da evolução histórica pela necessidade do homem intervir no meio

que o cercam de organizar e ampliar seus conhecimentos. Ela não é algo que

diz respeito somente aos números, mas sim à vida, que nasce do mundo em

que vivemos”. (SEDU, 2009, pg. 107).

3. Importância do conhecimento sobre a história da matemática

O ensino contemporâneo traz a concepção de ensinar como a construção de um

indivíduo pleno, crítico e formador de opinião. A credibilidade e a identidade da escola


64

perante a comunidade se consolidam pela qualidade do ensino que se oferece,

decorrente da consistência de seu projeto pedagógico.

A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional de 1996 tem a proposta

pedagógica como documento de referência, sem, entretanto, constituir-se com rigidez

em seu processo criativo. A organização dos educadores deve possibilitar a reflexão e a

estruturação de uma prática pedagógica coerente com seu projeto educativo, de

formação para a cidadania, utilizando-se de constantes recursos pedagógicos que

efetivem e motivem a aprendizagem.

O profissional da educação fica com o comprometimento de desenvolver os

caminhos reais que levem ao aluno à compreensão do seu meio, sendo a escola, lugar de

mediação, onde ocorrem a apropriação e a sistematização do conhecimento, sendo a sala

de aula o laboratório, no qual o processo discursivo propicia o desenvolvimento de

novos conhecimentos.

O importante é levar o aluno para um campo interessante e real de

compreensão, de modo que o conteúdo apresentado, não seja esquecido. As aulas de

matemática por meio de sua história prevê que o aluno perceba a necessidade que os

povos antigos tiveram em levantar dados numéricos de seus pertences, além de levar a

clara compreensão da sua utilização prática na vida cotidiana.

Freire (1996) afirma que a realidade agregada ao ensino cria laços e desperta a

curiosidade do aluno, pois ele estará enxergando ali o seu mundo. A aprendizagem é um

caminho para a tomada de consciência. Não basta apenas ao educando ter acesso às

informações e ao conhecimento, é necessário que o educador faça com que o cidadão

tome consciência de que é pessoa com a possibilidade de conhecer e se apaixonar pelo

saber, mergulhando inteiramente no processo de aprendizagem.

4. História da matemática como recurso metodológico

A educação prevê a emancipação e, por isso, ensinar exige bom senso do

educador, para que respeite a autonomia, a dignidade e a identidade do educando; exige

amor pela profissão e aceitação de que também tem muito a aprender.


65

É válido dizer que o processo de ensino e aprendizagem é facilitado por algumas

condições e métodos de ensino que tem como objetivo transformar o espaço escolar em

um lugar mais prazeroso e agradável, tais como, experimentações individuais e

coletivas que geram troca de experiências para aprimoramento de capacidades.

Os tópicos sobre a História da Matemática são utilizados como meio de

introdução, fixação ou avaliação de um conteúdo e ainda existem possibilidades de

projetos participativos como, debates e exercício prático referente à análise de

ilustrações, suplementos de informações históricas, vinhetas, pesquisas investigativas na

internet e bibliográficas em fontes originais e secundárias, apresentações teatrais

envolvendo o desenvolvimento de problemas históricos.

Segundo Freire (1996), a aprendizagem deve ser significativa, onde haja a

compreensão de significados, relacionando-se às experiências anteriores e vivências

pessoais dos alunos, permitindo a formulação de problemas de algum modo desafiantes

que incentivem o aprender mais, o estabelecimento de diferentes tipos de relações entre

fatos, objetos, acontecimentos, noções e conceitos, desencadeando modificações de

comportamentos e contribuindo para a utilização do que é aprendido em diferentes

situações.

“inventar permanentemente novas situações de aprendizagem, investir sua

energia na busca de demonstrações mais eficazes e de mediações que

permitam ao aluno ter acesso à cultura que o livrará de seus preconceitos

[...]”. (FREIRE, 1996, p.26).

A matemática, em especial, merece uma visão mais ampla de seus docentes

para que estes encontrem formas de quebrar o tabu e tornar a disciplina uma aliada para

a vida toda, e não uma temível matéria repleta de fórmulas e gráficos. As questões de

ordem prática devem sempre se fazer presentes, ensejando que isso já acontecera há

milhares de anos, possibilitando a disseminação da ideia dos grandes nomes ao longo da

história.


66

5. Tales de mileto e seus estudos sobre o cálculo da altura das pirâmides do Egito

Com História da Matemática temos a possibilidade de promover o ensino e

aprendizagem dos conceitos matemáticos por meio da compreensão e vivencia histórica.

A apreensão do conceito do Teorema de Tales é um dos conteúdos

matemáticos que dispõe dessa relação histórica para explicitação da conceituação

matemática, podendo contribuir na minimização das dificuldades de aprendizagens

devido a possibilidade contextualização histórica com o conteúdo a ser desenvolvido

matematicamente. Como proposta didática, abordaremos sobre razão e proporção na

história.

O estudo dos povos antigos revela através do Papiro Ahmes (ou papiro de

Rhind) e o Papiro Golonishev (ou papiro de Moscou), que a Matemática dos Babilônios

e Egípcios era principalmente indutiva e empírica, voltada para as suas necessidades

práticas (HARUNA, 2000).

Já para os Gregos, a Matemática é descrita como Ciência, através do

desenvolvimento da geometria dedutiva e não apenas vinculado a inquietação de

atendimento as aplicações imediatistas. Como fonte de informação sobre a matemática

da Grécia, existe o Sumário Eudemiano de Proclo (sec. V d.C.) e as tradições por meio

dos doxógrafos2. As informações sobre a vida e a obra de Tales são poucas, contudo

Tales é considerado por tradiçao “... homem de rara inteligência e como o primeiro

filósofo – por acordo geral o primeiro dos Sete Sábios” (BOYER, 2010, p.31).

De ascendência fenícia, sendo natural da Jônia, na Ásia Menor, Tales teria

vivido no período entre o final do século VII e meados do século VI a.C. Tales começou

sua vida como mercador, tornando-se rico o bastante para dedicar a parte final de sua

vida ao estudo e a algumas viagens. Diz-se que ele viveu por algum tempo no Egito, e

2 citação literal das palavras de um autor por outro


67

que despertou admiração ao calcular a altura de uma pirâmide por meio da sombra.

(EVES, 2004, p.95)

EVES (2004) relata a existência de duas versões para o cálculo da altura da pirâmide

egípcia por Tales, primeiramente com Hierônimos, discípulo de Aristóteles. Tales teria

anotado o comprimento da sombra no momento em que esta era igual a altura da

pirâmide que a projetava; depois com Plutarco com o relato de que Tales teria fincado

verticalmente uma vara e fez uso da semelhança de triângulos para obter as medidas.

Sugere-se que Tales tenha observado que quando a sombra de certo objeto é

igual a sua altura, existe a mesma relação para todos demais objetos que projetam uma

sombra, considerando o mesmo movimento do sol e posição da sombra, assim, consta

que Tales mediu a altura de uma pirâmide do Egito observando o comprimento das

sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual á sua altura.

A descoberta de Tales de que num mesmo momento, a razão entre a altura de

um objeto e o comprimento da sombra que esse objeto projetava no chão era sempre a

mesma para quaisquer objetos comparados se refere a ideia de proporção utilizada pela

Matemática atual.

6. Métodos e materiais

Para o desenvolvimento deste estudo, primeiramente foi feito o levantamento

bibliográfico acerca da História da Matemática e o Teorema de Tales.

Em seguida, foi elaborado questionário, com perguntas estruturadas e não

estruturadas relevantes à questão problema, ou seja, a forma como são desenvolvidos os

tópicos da História da Matemática nas aulas.

A pesquisa de caráter quanti-qualitativo e do tipo intencional, teve como

sujeitos 18 professores de matemática do 9º ano de 23 escolas da Rede Estadual e

Municipal de ensino da cidade de Cachoeiro de Itapemirim, sul do Estado do Espírito

Santo, que responderam os questionários no período de 02 a 21 de outubro de 2013.


68

7. Análise dos dados e discussão

Dentre os 23 profissionais da educação abordados, efetivamos 18 aplicações de

questionários. Com relação a atuação destes como professores de Matemática, segue

dados extraídos.

No que se refere ao tempo de atuação como professor de Matemática, apurou-

se que a maioria do grupo, ou seja, 7 (aproximadamente 38,89%) dos entrevistados

possuem mais de 15 anos de docência.

TABELA 1: Atua como professor de Matemática há quanto tempo?

TEMPO DE

ATUAÇÃO

FREQUÊNCIA DE

PROFESSORES

PERCENTUAL

menos de 5 anos 3 16,67%

de 5 a 10 anos 4 22,22%

de 11 a 15 anos 4 22,22%

mais de 15 anos 7 38,89%

TOTAL 18 100,00%

Ao questionamento sobre área de graduação, os entrevistados são 50%

Licenciados em Matemática e 50% cursaram Ciências para 1º grau com

complementação na área de exatas.

Entre os entrevistados com mais de 15 anos de atuação, todos possuem curso

de Ciências para 1º grau com complementação na área de exatas. Extraímos desta

informação a transição dos cursos de Ciências para 1º grau com complementação na

área de exatas para Licenciatura plena.

Com relação a maior formação acadêmica, todos os profissionais entrevistados,

informaram ter especialização, sendo que 2 deles são mestrandos.

Sobre o estudo de tópicos sobre a História da Matemática durante a formação

acadêmica, 11%, respectivamente, responderam “nao” e nao lembro. Entre os

entrevistados, 78%, abordaram que o estudo aconteceu especificamente, na disciplina de

História de Matemática, porém a carga horária fora insuficiente para aprendizagem e

compreensão forma a possibilitar o ensino e a inserção deste tópico em suas práticas

docentes.


69

Gráfico 1: Durante sua formação, os Tópicos sobre a História da Matemática eram

abordados?

FONTE: Autoria Própria.

Como abordado por (MIGUEL; MIORIM, 2005) a utilização da História da

Matemática é meio de promover nos alunos o interesse pela Matemática, entretanto ao

verificarmos que 78% dos entrevistados detalharam que o estudo aconteceu somente na

disciplina de História de Matemática e os demais não se lembram ou não receberam

essa formação, podemos ter o motivo o qual a História não é amplamente utilizada

como conteúdo facilitador dos conceitos matemáticos.

Analisando os livros didáticos adotados pelas escolas, Vontade de saber

Matemática - Autor: Pataro, Patricia Moreno; Souza, Joamir - Editora: Ftd; A Conquista

da Matemática - Autor: Giovanni, Jose Ruy; Castrucci, Benedito; Giovanni Jr., José

Ruy - Editora: Ftd e Matemática Bianchini 8º ano - Autor Edwaldo Bianchini - Editora

Moderna, destacamos que estes estão em conformidade com o Programa Nacional do

Livro Didático (PNLD), em consenso com a equipe pedagógica e apresentam os tópicos

da História da Matemática, porém o gráfico 2 demonstra que 28% dos profissionais não

percebem essa abordagem no livro.

78%

11% 11%

Sim

Não

Não lembro


70

Gráfico 2: O livro didático adotado pela escola em que você trabalha, aborda os tópicos

da História da Matemática?


Aos 72% que responderam que o livro faz abordagem sobre História da

Matemática. Disseram que desenvolvem as seguintes atividades a partir dos tópicos:

introdução do conteúdo com exposição dos tópicos, origem e definições, leitura e

interpretação de textos do livro, pesquisa no Laboratório de Informática, apresentação

de trabalhos em feira cultural. Comentou-se também sobre a contextualização de

exercícios, utilização do lúdico e materiais concretos.

Os entrevistados também foram questionados sobre a participação em algum

curso específico sobre História da Matemática, apenas um professor entrevistado

realizou curso específico sobre História da Matemática e assinalou que contribuiu para

um melhor ensino da matemática, mas não descreveu de que forma.

Este cenário de não participantes em cursos específicos sobre a História da

Matemática infelizmente revela que a proposta da educaçao brasileira, conforme PCN’s

de ser a História da Matemática apresentada como meio de desenvolvimento do

conhecimento matemático decorrente da construção humana fica a margem da sala de

aula. Sem uma formação específica, os tópicos históricos acabam por não estar

constantemente presentes nas aulas de Matemática.

Com relação ao questionamento sobre a aplicação do conteúdo em sala de aula

sobre o Teorema de Tales, gráfico 3, observamos que, 56% dos professores

descreveram que utilizam da História da Matemática em exposição e leitura das

descrições contidas no livro, vida e obra de Tales de Mileto, demonstração do teorema

28%

72%

Não

Sim


71

de Tales no quadro e no pátio e, para verificação da aprendizagem, aplicam atividades

de fixação e situações problema com acontecimentos do dia a dia

Gráfico 3: Você já trabalhou o Teorema de Tales neste ano?


8. CONCLUSÃO

Os professores de matemática entrevistados abordaram o entendimento sobre a

importância da História da Matemática como facilitador de conteúdos matemáticos.

Porém, o uso dessa referência é simplificado, devido ao fato de que os livros didáticos

utilizados em sala de aula trazem uma abordagem suscinta sobre o conteúdo histórico,

além disso, o estudo da História da Matemática no período de graduação é descrito

como insatisfatório para garantir o desenvolvimento de aulas permeadas por tópicos

históricos.

A ampliação da oferta de cursos específicos sobre a História da Matemática ou

até mesmo obrigatoriedade de aumento carga horária desta disciplina na graduação são

um dos meios de propiciar a inserção da História da Matemática na sala de aula.

Por meio deste estudo, percebemos que ao abordar historicamente a vida e obra

de Tales, bem como a descrição do teorema, o professor poderá propor reflexão sobre os

sucessos e insucessos do processo, posteriormente apresentando as aplicações do

teorema estudado nas ações e necessidades atuais e assim exposição de ligação entre

passado e presente.

Faz-se importante destacar que, o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos

44%

56% Não

Sim


72

através da História da Matemática se põe como metodologia facilitadora na construção

do conhecimento sobre o Teorema de Tales ao apontá-lo com elo nítido entre o

aprendizado na escola, a vivência da época e as aplicações no cotidiano do aluno.

9. Referências

BICUDO, Maria Aparecida Viggiani. Pesquisa em Educação Matemática. Concepções

e Perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999.

BOYER, Carl B. A História da Matemática. Resumos Literários – Conhecimento

Específico 1. Tradução: Elza F. Gomide. 3ª edição. São Paulo, 2010.

BRASIL. Ministério da Educação. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional.

Brasília: MEC, 1996.

________. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:

Matemática. Brasília: Mec, 1997. Disponível em <

http://www.slideshare.net/vancrecci/pcn-matematica> Acesso em Maio/ 2013.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas, SP. Editora da

UNICAMP, 2004.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da Autonomia: saberes necessários à prática docente.

São Paulo: Paz e Terra, 1996.

HARUNA, Nancy Cury Andraus. Teorema de Talhes: Uma abordagem do processo

ensino aprendizagem. PUC – SP, 2000. Disponível em:

<http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/nancy_cury_haruna.pdf> Acesso em

Maio/2013.

MIGUEL, Antônio; MIORIM, Maria Ângela. História da Matemática: propostas e

desafios. Coleção Tendências em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica,

2005.

SEDU. Currículo Básico da Escola Estadual do Espírito Santo. Vitória: ES, 2009.

Disponível em: <http://www.educacao.es.gov.br/> Acesso em Maio/2013.

http://www.slideshare.net/vancr

http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/nancy_cury_haruna.pdf

http://www.educacao.es.gov.br/


73

NÚMEROS COMPLEXOS NO JOGO DA MEMÓRIA: UMA NOVA PRÁTICA

DOCENTE.

COSTALONGA, Tercio Ravera.

Centro Universitário são Camilo-ES.

[email protected].

PEÇANHA, Alexandre Lugão.


[email protected].

MOULON, Herculano Cassiano.


[email protected].

MARETTO, Ana Carla.


[email protected].

TORRES, Herbert.

Centro Universitário São Camilo-ES

[email protected]

Resumo

O artigo em questão pretende abordar a respeito de um novo método de ensino para o

conteúdo de números complexos por meio de um jogo nomeado Jogo da Memória com

Números Complexos. Visando a necessidade e a demanda de novas práticas de ensino, a

utilização do método permite que o professor trabalhe os conteúdos de forma aprazível,

deixando-a mais acessível ao aluno, sem que a mesma perca a sua complexidade. Ao

abordarmos sobre a eficácia do mecanismo apresentado, demonstraremos métodos de

resoluções e procedimentos a serem adotados a possíveis eventos do jogo.

Palavras-chave: Jogo da Memória; Números Complexos; Prática Pedagógica.


74

1. Introdução

A educação encontra-se em constantes mudanças que põe a questionar os

métodos de processo ensino-aprendizagem, transformações que requerem aos docentes

novas táticas didáticas que atendam a atual geração de alunos. Exercer tais mudanças

através de intervenções com jogos, que trabalhe conceitos protuberantes com objetivos

didaticamente definidos, torna-se um método profícuo.

Apresentar novas idéias ou diferentes estratégias didáticas sobre o ensino da

Matemática para graduandos em Licenciatura é uma atitude qualitativa para suprir as

dificuldades deles em buscar recursos para o ensino da mesma e despertar a curiosidade

em buscar ou criar outras formas de se trabalhar conteúdos matemáticos.

É importante refletir maneiras que impulsionam os alunos a exercitarem os

conceitos matemáticos, pois é normal hoje encontrar uma grande maioria que não

consegue entender o que o professor quer passar no decorrer de sua aula,

impossibilitando para os alunos na resolução de exercícios, contudo os desanimando,

mas que podem ser dominadas a partir de jogos relacionados com o conteúdo, que bem

orientadas forçam o desenvolvimento do raciocínio do aluno, agregando bons resultados

(FERREIRA, 2007).

Segundo o autor supracitado, a didática é fundamental para o ensino. O

professor deve além de ser carismático e ter bagagem de conteúdo, ser criativo e

disposto a buscar novas formas de aplicar conteúdo.

Sendo assim, o presente artigo, além de proporcionar aos docentes a

compreensão sobre a eficácia de jogos no processo ensino-aprendizagem em

matemática, tem como objetivo abordar uma pratica didática que atende a atual geração

de discentes de forma dinâmica e atrativa.

2. Material e métodos


75

O projeto foi realizado no 5° período do curso de licenciatura em matemática do

Centro Universitário São Camilo, Cachoeiro de Itapemirim – ES. Este foi posto em

prática em um seminário proposto pelo professor da disciplina de Números Complexos.

A exposição do jogo foi realizada através do data-show, visando expor de

maneira rápida e direta as regras que conduz o mesmo. Logo após, para melhor fixação,

realizou – se a simulação de uma partida por meio de apresentação de PowerPoint,

demonstrando a todos os possíveis eventos e soluções que seriam típicos do jogo da

memória com números complexos.

Em seguida, foi solicitado aos futuros professores que sentassem em grupo de

quatro pessoas e em seguida, distribui – se as cartas para que os mesmos pudessem

fazer uso do jogo simultaneamente.

3. Jogos no processo ensino-aprendizagem

Com a finalidade de tornar a matemática mais dinâmica sem perder sua

complexidade, a utilização de jogos no processo ensino-aprendizagem torna-se

eficiente. Jogos como forma de ensino permite que o aluno aplique conhecimentos e

conceitos matemáticos e simultaneamente, trabalhe o seu raciocínio lógico em grupo.

Como afirma Agranionih e Smaniotto (2002) apud Selva (2009, p.2) o jogo matemático

é:

Uma atividade lúdica e educativa, intencionalmente planejada, com objetivos

claros, sujeita a regras construídas coletivamente, que oportuniza a interação

com os conhecimentos e os conceitos matemáticos, social e culturalmente

produzidos, o estabelecimento de relações lógicas e numéricas e a habilidade

de construir estratégias para a resolução de problemas.

Pode – se perceber que essa ferramenta aplicada de forma planejada e didática,

fornece ao docente inúmeras possibilidades lúdicas de transmitir conhecimentos

tradicionais da matemática de uma forma mais acessível ao aluno.


76

4. Jogo da memória com números complexos

O jogo da memória com números complexos permite que o aluno exercite

cálculos algébricos, plano de Argand-Gauss, transformação de equações trigonométricas

para sua forma representativa em horas e entre outras variedades de identificação e

representações de números complexos.

Numa abordagem didática, o jogo oportuniza o professor a lidar, de uma só

forma, com vários conceitos e conhecimentos do conteúdo e ao mesmo tempo

proporciona ao aluno uma nova experiência: Exercitar o conceito ensinado pelo

professor sem que seja no “cuspe e giz”. A aula torna-se atualizada na interpretação do

aluno, cumprindo uns dos requisitos para uma educação de qualidade. Como afirma

Moran:

O que deve ter uma sala de aula para uma educação de qualidade? Precisa

fundamentalmente de professores bem preparados, motivados e bem

remunerados e com formação pedagógica atualizada. Isto é incontestável.

(2004, p.15)

A metodologia desta ferramenta segue o mesmo raciocínio de uso de um jogo da

memória tradicional. Ao selecionar uma carta, o êxito se obtém quando posteriormente

a próxima carta selecionada é o seu par semelhante. Tratando-se de números complexos,

a familiaridade entre as cartas são dadas em formas algébricas diferentes e para atingir o

objetivo, o jogador tem que aplicar conhecimentos específicos do conteúdo para

transformar a equação encontrada em sua recíproca complexa.

A aplicação do jogo pode ser feitas através de cartas, como ilustra a figura (1), e

por meio do Power Point, figura (2), que ao utilizar recursos oferecidos pelo software é

possível a construção do jogo.


77

Figura (1) - do Jogo da Memória com Números Complexos com cartas.

Fonte: arquivo pessoal dos pesquisadores.

Figura (2) – Construção do Jogo da Memória com Números Complexos com software Power Point.

Fonte: Arquivo pessoal dos pesquisadores.

5. Métodos para comprovação de congruência das cartas

Nesta parte do Presente Artigo, demonstra – se situações que são convenientes

do jogo. A seguir serão expostos os métodos de resoluções que comprovam a

congruência das cartas por meio de cálculos e conceitos trigonométricos e complexos,

considerando o domínio e conhecimento do leitor sobre o conteúdo.


78

Considerando as seguintes cartas:

𝑍 = 4𝑖 𝑒 𝑊 = −√3 − 1

(1)

(2)

Para comprovar a congruência, transformaremos a carta que contém duas formas

algébricas dos números complexos em sua representação em forma de relógio, para

verificar se as cartas são pares entre si. Nomeando respectivamente os números

complexos 𝑍 e 𝑊 em I e II.

Considerando I, transformaremos em sua forma trigonométrica

𝑍 = ⍴ ∗ (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)

𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝑍 = 0 + 4𝑖

⍴ = √𝑎2 + 𝑏2

⍴ = √(0)2 + (4)2

⍴ = 4

Conhecendo o ⍴ (Rô), pode –se determinar o ângulo em questão, através das

relações trigonométricas seno e cosseno:

𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑏

⍴=

4

4= 1

1 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑛(𝜋

2)


79

𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑎

⍴=

0

4= 0

0 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑐𝑜𝑠(𝜋

2)

𝒁 = 𝟒𝒊 em sua forma trigonométrica tem a seguinte expressão:

𝑍 = 4 ∗ (𝑐𝑜𝑠𝜋

2+ 𝑖𝑠𝑒𝑛

𝜋

2)

Repetindo o mesmo procedimento na expressão II.

𝑊 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝑊 = −√3 − 1

⍴ = √𝑎2 + 𝑏2

⍴ = √(−√3)2

+ (−1)2

⍴ = 2

Novamente conhecendo ⍴ (Rô), pode - se determinar o ângulo em questão,

através de seno e cosseno:

𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑏

⍴=

−1

2

−1

2𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑛(

7𝜋

6)

𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑎

⍴=

−√3

2

−√3

2𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑐𝑜𝑠(

7𝜋

6)

𝑊 = −√3 − 1 em sua forma trigonométrica tem a seguinte expressão:


80

𝑊 = 2 ∗ (𝑐𝑜𝑠7𝜋

6+ 𝑖𝑠𝑒𝑛

7𝜋

6)

Representando as duas expressões complexas no ciclo trigonométrico, obtém –se

:

Ao relacionar o círculo trigonométrico com um relógio tradicional, é possível

notar que 7𝜋

6 alinha-se com o ponteiro relacionado às 8h e

𝜋

2 ao ponteiro de 0 min. Em


81

um relógio, o ⍴ que apresenta a menor medida refere-se ao ponteiro das horas e, o

maior, dos minutos. Comprovou - se assim, a congruência das cartas.

A seguir será comprovado por outro método, se são pares as seguintes cartas:

𝑇 =3+𝑖

1+2𝑖

(3)

𝐺 = 1 − 𝑖

(4)

Para verificar as congruências das cartas (3) e (4), aplicar –se a regra de divisão

de números complexos na carta (3), como segue abaixo:

𝑻 =𝟑 + 𝒊

𝟏 + 𝟐𝒊=

(3 + 𝑖)

(1 + 2𝑖)∗

(1 − 2𝑖)

(1 − 2𝑖)=

3 − 6𝑖 + 𝑖 − 2𝑖2

1 − 2𝑖 + 2𝑖 − 4𝑖2

=3 − 5𝑖 + 2

1 + 4=

5 − 5𝑖

5=

5

5−

5𝑖

5= 𝟏 − 𝒊

Com o resultado é certo afirmar que as duas cartas são congruentes.

Supondo agora as seguintes cartas (5) e (6) para comprovação de semelhança,

utilizando outro método:

𝑃 = 2 + 3𝑖 (5)


82

(6)

Para todo número complexo 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖, é possível relacionar a um ponto P no

plano de Argand-Gauss, sendo sua parte real representada no eixo horizontal e a

imaginária no eixo vertical.

𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖

De forma análoga podemos realizar o mesmo processo de identificação no plano

a seguir.


83

Nota-se que o eixo horizontal, real, contém duas unidades e, o vertical,

imaginário três, ou seja, 𝑎 = 2 e 𝑏 = 3. Escrevendo na forma 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 conclui-se

que 𝑃 = 2 + 3𝑖, afirmando assim sua congruência gráfica com a sua forma algébrica.

É notado que em um único jogo esta disponível diversos pontos importantes do

conteúdo com diversas formas de calcular e comprovar a semelhanças de suas cartas,

possibilitando que o aluno trabalhe conceitos protuberantes de forma mista.

6. Resultados e discussão

Os resultados obtidos foram satisfatórios, podendo alcançar o resultado

almejado: Proporcionar aos futuros professores uma experiência didaticamente

atualizada e eficaz através do jogo. A ferramenta proposta foi considerada pelos

docentes de fácil manuseio para os mesmos e de seus futuros alunos, como uma forma

bem diferenciada de desenvolver uma atividade em sala de aula.


84


A presente estratégia de ensino possibilita que o docente aplique conhecimentos

específicos da disciplina de forma cativante para o discente, o envolvendo com mais

facilidade a prática que o conduzirá a uma melhor fixação do conteúdo proposto. O

Jogo da Memória com Números Complexos torna-se uma pratica didática inovadora

que atende as necessidades de transformações presentes no âmbito escolar.

O professor de Matemática como orientador e um dos maiores responsáveis no

processo ensino aprendizagem dela têm em suas mãos a autonomia de aplicar esse e

outros recursos para o desenvolvimento de uma aula que traga bons resultados, pois

todo processo adotado está vinculado a sua ação transformadora, o que difere é a atitude

dotada de cada um em sua prática profissional.

8. Referências

FERREIRA, S.M.M. Os recursos didácticos no processo de ensino-aprendizagem.

Cidade da Praia CV, 2007. Universidade Jean Piaget de Cabo Verde. UJPCV.

GRANDO, R. C.A. O Conhecimento Matemático e o Uso dos Jogos na Sala de

Aula. Campinas SP, 2000. Tese de Doutorado. Faculdade de Educação, UNICAMP.

MORAN, José Manuel. Os novos espaços de atuação do professor com as

tecnologias. Revista Diálogo Educacional, Curitiba, v. 4, n. 12, p.13-21, Mai/Ago 2004.

Quadrimestral.

PUHL, C. S. NÚMEROS COMPLEXOS: RUMO A UMA APRENDIZAGEM

SIGNIFICATIVA, Canos - RS, ULBRA, 2013.

SELVA, K.R,GT 01–O jogo matemático como recurso para a construção do

conhecimento- Trabalhos X EGEM X Encontro Gaúcho de Educação Matemática

Comunicação Científica 02 a 05 de junho de 2009, Ijuí/RS.

SERAFIM, T. Jogo da Memória. <https://rachacuca.com.br/passatempos/jogo-da-

memoria/>. Acesso em agosto de 2016.


85

LOCALIZAÇÃO EM COORDENADAS ESFÉRICAS

Rafael Silva Ribeiro

Instituto Federal do Espírito Santo

[email protected]

André Oliveira Souza


[email protected]

Resumo:

Este trabalho tem como objetivo principal, trazer uma noção mais fiel à realidade de

localização. No ensino básico, é muito comum o estudo de coordenadas geográficas em

mapas planos como conceito de localização. Nossa proposta visa trazer essa localização

em coordenadas tridimensionais, ou melhor, coordenadas esféricas, uma vez que a

forma que mais se aproxima da realidade que vivemos, como nos dados

georreferenciados. Para isso, serão necessários conceitos matemáticos como as relações

métricas e trigonométricas de um triângulo. Espera-se mostrar que cada ponto da

superfície terrestre de nosso planeta pode ser representado por coordenadas cartesianas

esféricas.

Palavras-chave: geometria analítica; plano cartesiano; coordenadas geográficas;

coordenadas esféricas.


86

1. Introdução

A Europa, no século XVII, passou por uma grande transformação em todos os

setores da sociedade. Nas ciências em geral, há um grande avanço, que hoje é

facilmente identificado por uma pesquisa científica. E com a Matemática não foi

diferente. Nessa época, a geometria ainda era altamente influenciada por Euclides e seus

elementos. Começou a haver uma consciência de que esta geometria deveria ser

aplicada às necessidades do momento.

Um dos personagens desta transição matemática foi o francês René Descartes.

Inicialmente de forma filosófica, ele introduziu o princípio da dúvida e do

questionamento, formando uma boa base para uma pesquisa científica. Um dos grandes

desafios dele era resolver problemas encontrados na natureza, explorados de uma nova

forma, integrando conceitos de lógica, álgebra e geometria. Roque e Pitombeira (2012)

mostram que em sua mais brilhante obra, O Discurso do método, Descartes postula uma

série de estudos em que a geometria não ficava só em demonstrações consideradas

estéreis, mas que poderiam ser aplicadas e serem úteis para a sociedade, como por

exemplo, a descrição algébrica de curvas.

O desenvolvimento dessa geometria, não é bem o que temos hoje como

geometria analítica. Para se ter uma ideia, nem o plano cartesiano estava consolidado.

Outros cientistas posteriores a Descartes, como Leibniz e Newton por exemplo,

desenvolveram seus métodos e desenvolveram novas técnicas matemáticas. Hoje, a

geometria analítica está presente em praticamente todas as séries do ensino médio.

O plano cartesiano transformou-se tão útil, que hoje ele é entendido também

como sistema de localização. Devido às suas propriedades, costumeiramente a

localização de qualquer lugar de nosso planeta é dada em mapas planos, onde cada

ponto tem sua respectiva latitude e longitude. Além disso, conceitos como paralelos e

meridianos, estão altamente relacionados com a matemática.

Em meados do século XIX começaram a surgir publicações de uma nova

geometria. Boyer (1974) nos mostra que, simultaneamente, o russo Lobachevski, o


87

húngaro Bolyai e o alemão Gauss desenvolveram teorias sobre uma nova geometria. Em

1829, Lobachevski publicou um artigo em que ele mostrava uma negação ao quinto

postulado de Euclides, o axioma das paralelas, o que marcou oficialmente o inicio da

geometria não euclidiana. Muitas dessas descobertas desse período são até evidentes

para os dias de hoje, principalmente na geometria do nosso planeta. Entretanto,

considerando a Terra esférica, é possível representá-la de maneira plana?

Este questionamento é o objetivo principal de nossa pesquisa. Como o mundo

em que vivemos é tridimensional, entende-se que a localização de qualquer ponto de

nosso planeta deva também ser em coordenadas tridimensionais. Através de conceitos

geográficos, que na verdade são matemáticos, busca-se então transformar as

coordenadas geográficas, dadas em latitude e em longitude, em coordenadas esféricas.

Com isso, pretende-se trazer um sentido de localização mais próximo a realidade e

encaminhar uma possível atividade conjunta com a geografia.

2. Aspectos teóricos e metodológicos

Pontos, retas e planos são os elementos básicos para o estudo da geometria

analítica. Uma reta é dita orientada, quando se estabelece um sentido para ela.

Estabelecendo um ponto O numa reta orientada, ela passa a ser um eixo. Com um par de

eixos ortogonais, sendo eles OX e OY, situado em um plano, tendo o ponto O como

origem, é possível estabelecer uma correspondência entre pontos no plano e números

reais, contidas nos eixos orientados. Essa correspondência é representada por pares

ordenados (x,y). Utilizar coordenadas no plano é uma ferramenta muito útil na

Matemática. Lima (2007) afirma que “recorre-se a elas a fim de resolver problemas da

Geometria”.

Esta correspondência é vista em representações planas, que são utilizadas nos

mapas. Facilmente é possível ver, como na projeção de Mercator, que cada ponto da

superfície terrestre possui uma projeção na horizontal, que é chamada de longitude, e

outra na vertical, que é chamada de latitude. Essas grandezas são medidas em graus.


88

Figura 1: Representação de mapa de projeção de Mercator

Fonte: http://brasilescola.uol.com.br/geografia/projecao-mercator.htm. Acesso em 12 de outubro de 2016.

Entretanto, essa representação gera dois questionamentos. O primeiro é que a

forma da Terra, apesar de indefinida, assemelha-se muito com uma esfera. Dessa forma,

como representar de forma plana, algo que é esférico? E a outra dúvida que surge é

quanto a latitude e longitude. Assim como os ângulos, a unidade de medida delas é o

grau. Fica difícil de observar esses ângulos ao localizar um ponto qualquer no mapa.

Para tentar dar uma representação mais próxima a realidade, entende-se que

seria mais eficaz se a localização de cada ponto do nosso planeta fosse dada no espaço e

não no plano, uma vez que vivemos em um espaço tridimensional.

O estudo das coordenadas no espaço se faz de modo similar às coordenadas no

plano. Conforme Lima (2007), fixando um ponto O como origem, estabelecemos os

eixos orientados OX, OY e OZ ortogonais entre si. O sistema OXYZ determina uma

correspondência que a cada ponto do espaço associa-se um terno (x; y; z) de números

reais que serão suas coordenadas. Quando um conjunto de pontos no espaço possui a

mesma distância para o centro da Terra, forma-se uma esfera, como mostra a figura 2.


89

Percebe-se que os pontos A, B e C são equidistantes ao ponto O.

Figura 2 – Pontos no espaço e esfera de centro O

Nesta representação, fica mais fácil de definir as linhas imaginárias presente nos

mapas planos, que são denominados de paralelos e meridianos. O paralelo máximo é

conhecido como linha do Equador e divide a esfera terrestre em dois hemisférios iguais,

sendo eles norte e sul. Da mesma forma o meridiano de Greenwich também separa a

Terra em duas partes, mas em leste e oeste. A medida do arco do meridiano que passa

por um P e está entre o paralelo que contém P e a linha do Equador é chamada de

latitude. A longitude é a medida do arco do paralelo que passa pelo ponto P e está entre

o meridiano que possui o ponto P e o meridiano de Greenwich. Tomando um desses

pontos do espaço tridimensional que compõem uma esfera, como por exemplo o ponto

P, vê-se que suas coordenadas é o terno (x, y, z), como mostra a figura 3, onde também

é possível ver que a latitude é representada pelo ângulo θ e a longitude pelo ângulo φ.


90

Figura 3 – Coordenadas tridimensionais e sua relação com a latitude e a longitude

O grande desafio é transformar as coordenadas geográficas em coordenadas

esféricas. Para isso, as coordenadas serão estipuladas em função de sua latitude e

longitude, pois estes dados são facilmente retirados de um mapa plano. Para essa

transformação, basta observar que OP é o raio da Terra, OC é a coordenada x, AC é a

coordenada y e AP é a coordenada z. No triângulo retângulo AOP, observa-se as

relações trigonométricas do ângulo θ. Retira-se que sen θ = 𝐴𝑃

𝑂𝑃 , logo AP = OP . sen θ.

E retira-se também que cos θ = 𝐴𝑂

𝑂𝑃 , que implica em AO = OP . cos θ.

Fazendo agora o mesmo exercício no triângulo retângulo AOC, chega-se na

relação sen φ = 𝐴𝐶

𝐴𝑂 , onde se conclui que AC = AO . sen φ. Mas encontrou-se no

triângulo AOP que AO = OP . cos θ. Desta forma AC = OP . cos θ . sen φ.

Analogamente ainda no triângulo AOC, tem-se que cos φ = 𝑂𝐶

𝑂𝐴 . Assim, OC = AO . cos

φ, que equivale dizer que OC = OP . cos θ . cos φ. Com tudo isso, pode-se exprimir

agora, as coordenadas cartesianas em função da latitude, sua longitude e também por

OP que é o raio R da Terra. Conclui-se que x = R . cos θ . cos φ, y = R . cos θ . sen φ e

que z = R . sen θ, ressaltando que θ é a latitude e que φ é a longitude.


91

3. Resultados

Para um entendimento maior dessa pesquisa, escolhe-se aleatoriamente uma

cidade de um mapa plano para que possa ser aplicado as definições encontradas.

Tomando a cidade capital da Argentina, Buenos Aires, nota-se que sua latitude é de –

34º e que sua longitude é de – 58º. Além disso, o raio da Terra é estipulado em

aproximadamente 6400 km. Assim, substituindo esses valores nas fórmulas deduzidas

anteriormente, as coordenadas esféricas da cidade de Buenos Aires serão x = 6400 .

0,83 . 0,53 = 2815,36, y = 6400 . 0,83 . (- 0.85) = - 4515,20 e z = 6400 . (- 0,56) =

3584,00.

O maior resultado neste estudo são os encaminhamentos que eles indicam. Um

deles, está em um questionamento muito interessante feita por Alves (2015).

A distância entre dois pontos A e B é, essencialmente, o menor dos

comprimentos das trajetórias ligando A e B. No plano, a trajetória de menor

comprimento é o segmento de linha reta AB e o seu comprimento é a

distância entre A e B. Sobre uma superfície esférica, no entanto, não existe

um segmento de linha reta, uma vez que ela é curvada em todas as direções e

túneis através da Terra não são permitidos. Como medir a menor distância

entre dois pontos nesse caso?

Esta indagação torna-se pertinente à medida que na maioria das vezes, a

distância entre dois pontos na superfície terrestre é calculada por mapas planos e suas

respectivas escalas. Tomando qualquer outro ponto da Terra e fazendo o mesmo

procedimento que foi feito em relação a Buenos Aires, sempre é possível transformar as

coordenadas geográficas e escrevê-las como esféricas, conforme foi mostrado

anteriormente. Escolhendo New York, suas coordenadas esféricas serão (1351,36; -

4712,76; 4113,84). A figura 4 dá uma ideia de como as cidades estariam na Terra, onde

B representa Buenos Aires e N indica New York.


92

Figura 4 – Distância entre duas cidades na esfera terrestre

Ainda na figura 4, é possível perceber o questionamento que foi descrito nesta

seção. A menor distância entre dois pontos na superfície terrestre é um arco e não um

segmento retilíneo. A partir daqui abrem-se várias opções para continuar no estudo da

geometria analítica. Esta questão pode ser calculada com o uso de vetores e suas

propriedades, assim como outras que podem surgir a partir daqui.

4. Considerações e/ou conclusões

Não é possível afirmar que os mapas estão errados, mas os cálculos de distância

através de escalas de mapas planos traz resultados bem diferentes da realidade. Mas não

há erros nos mapas e sim na sua interpretação. Por isso indica-se fortemente trabalhar

com coordenadas no espaço como modelo ideal de localização de pontos de nosso

planeta.

Um encaminhamento que este trabalho mostra é trabalhar a pesquisa como

princípio pedagógico. Isto significa buscar situações de interesse que permitam

questionamentos. A partir destes, os estudantes poderão protagonizar investigações que

levem a um entendimento mais completo da situação questionada (BRASIL/CNE,

2001).


93

5. Referências

ALVES, S. Geometria no globo terrestre. Apostila 6 do 10º Programa de Iniciação

Científica da OBMEP. Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 2015.

Disponível em <http://www.obmep.org.br/docs/apostila6.pdf>. Acesso em 20 de maio

de 2016.

BOYER, Carl Benjamim. História da Matemática. São Paulo, Universidade de São

Paulo, 1974.

BRASIL/CNE. Diretrizes curriculares nacionais para a formação de professores da

educação básica, em nível superior, curso de licenciatura, de educação plena.

Brasília, 2001. Disponível em <portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/009.pdf>. Acesso

em 31 de agosto de 2016.

LIMA, E. L. Coordenadas no espaço. Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de

Matemática, 2007.

LIMA, E. L. Coordenadas no plano. Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de

Matemática, 2007.

ROQUE, T. M.; PITOMBEIRA, J. B. Tópicos de História da Matemática. Rio de

Janeiro: Coleção Profmat. Sociedade Brasileira de Matemática, 2012.

http://www.obmep.org.br/docs/apostila6.pdf


94

FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA:

ENLACES TEÓRICO-METODOLÓGICOS

ALTOÉ, Renan Oliveira Instituto Federal do Espírito Santo, campus Vitória-ES

[email protected]

FREITAS, Rony Claudio de Oliveira Instituto Federal do Espírito Santo, campus Vitória-ES

[email protected]

Resumo: O ensino de matemática deve, cada vez mais, ocorrer por meio de estímulo à reflexão

crítica dos educandos e de ações que despertem a sua criatividade e a Formulação de

Problemas tem se apresentado com um possível caminho para se alcançar tal

perspectiva. Este trabalho buscar apresentar, brevemente, discussões teórico-

metodológicas a respeito da prática de Formulação de Problemas. Trata-se de um

estudo bibliográfico de natureza qualitativa caracterizando parte de uma pesquisa de

mestrado que se encontra em andamento no Programa de Pós-graduação em Educação

em Ciências e Matemática no Instituto Federal do Espírito Santo. Dos estudos

concluímos que a Formulação de Problemas é uma prática inserida na abordagem

metodológica de Resolução de Problemas com a qual é possível despertar a criatividade,

desenvolver a escrita e a linguagem matemática, o raciocínio, o pensamento crítico-

reflexivo e contribui para a evolução da capacidade de resolver problemas.

Palavras-chave: formulação de problemas; ensino de matemática; educação básica.


95

1. Introdução

O ensino de matemática é constantemente (re)discutido à medida em que novas

perspectivas metodológicas efluem de pesquisas acadêmicas e relatos de experiências

em sala de aula. Em vista disso, colocam-se em jogo reflexões sobre a importância da

matemática na escola e suas implicações na vida dos estudantes.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (PCNEF) de

1997 apontam que a matemática é um componente importante na construção da

cidadania e, por isso, precisa estar ao alcance de todos, muitas vezes consistindo em

relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas, figuras)

com processos pautados na comunicação. Os PCNEF denotam ainda que deve-se

estimular os alunos a se comunicarem em sala de aula, levando-os a “falar” e a

“escrever” sobre matemática. A “Resoluçao de Problemas” tem sido apontada como

uma metodologia que pode ajudar os estudantes a desenvolverem tais competências,

ampliando o interesse pela matemática.

No núcleo dessa abordagem metodológica, resolver problemas se instaura como

um ponto chave. O professor propõe situações-problemas para as quais os discentes

buscam estratégias de resolução. Contudo, Pozo (1998) denota que uma mesma situação

pode representar um problema para uma pessoa e para outra não, seja porque não lhe

interessa ou já possui mecanismos evidentes para solucioná-la. Dante (2009), por sua

vez, afirma que o que é um problema para algumas pessoas pode não ser para outras, ou

o que é um problema num determinado contexto pode não ser em outro. Por

conseguinte, acreditamos ser importante que se façam novas reflexões referentes à

proposição de problemas em sala de aula, inserindo desta vez, a possibilidade dos

alunos elaborarem problemas3 o que estamos definindo por Formulação de Problemas.

3 Não referimo-nos a “problemas da vida” no seu sentido estritamente pessoal, embora esses

possam ser evidenciados nos problemas formulados pelos alunos, mas de situações-problemas elaboradas

sejam com dados reais ou fictício.


96

Este trabalho buscar apresentar, brevemente, discussões teórico-metodológicas e

trazer algumas reflexões a respeito da prática de Formulação de Problemas. É um

estudo bibliográfico de natureza qualitativa caracterizando parte de uma pesquisa de

mestrado que se encontra em andamento no Programa de Pós-graduação em Educação

em Ciências e Matemática no Instituto Federal do Espírito Santo.

2. Formulação de Problemas no Ensino de Matemática

O National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), a partir de 1980,

contribuiu positivamente para que a Resolução de Problemas fosse hoje considerada

importante no ensino de matemática. Segundo Onuchic e Allevato (2011), muitas

publicações pelo NCTM aconteceram no final dos anos 80 e durante os anos 90 com a

finalidade de auxiliar os professores destacando alguns aspectos substanciais para o

ensino da matemática. O motivo pelo qual iniciamos as discussões pela Resolução de

Problemas pauta-se no pressuposto de entendermos ser a Formulação de Problemas

uma prática inserida nessa abordagem metodológica de ensino. Adiante,

fundamentaremos referida afirmativa.

Posteriormente, por volta da década de 90, ocorreram as publicações intituladas

“Professional Standards for School Mathematics” (NCTM, 1991) e “Assessment

Standards for School Mathematics” (NCTM, 1995) que também contribuíram

significativamente para edificação e concretização da importância da Resolução de

Problemas como metodologia de ensino. Como tal, constitui-se de um conjunto de

estratégias para o ensino e o desenvolvimento da aprendizagem de matemática (DINIZ,

2001), tendo efetivamente seu destaque a partir de 2000 com a publicação do

“Principles and Standards for School Mathematics” (NCTM, 2000), por meio do qual

foram anunciados princípios, padrões de conteúdos e procedimentos a partir da

Resolução de Problemas.


97

Por se tratar de uma metodologia que tem por base discutir, refletir e resolver

situações-problemas, é importante afirmar que entendemos por problemas

[...] situações que não possuem solução evidente e que exigem que o

resolvedor combine seus conhecimentos e decida pela maneira de usá-los em

busca da solução (DINIZ, 2001, p. 89)

É nítida a preocupação em delinear que um problema é uma situação para a qual

não temos imediata percepção de como resolvê-la. Similarmente, Van de Walle (2009)

denota que um problema é qualquer tarefa ou atividade para a qual o educando não

possui métodos ou regras específicas para resolvê-lo e que nem a percepção de existí-la

seja instituído. Evidentemente, outras concepções para problema podem ser

identificadas, embora algumas apresentam caráter complementar as demais. Assim

acontece com a definição dada por Vila e Callejo (2006) ao utilizarem

[...] o termo problema pra designar uma situação, proposta com a finalidade

educativa, que propõe uma questão matemática cujo método de solução não é

imediatamente acessível ao aluno/resolvedor ou ao grupo de alunos que tenta

resolvê-la, porque não dispõe de um algoritmo que relaciona os dados e a

incógnita ou de um processo que identifique automaticamente os dados com

a conclusão e, portanto, deverá buscar, investigar, estabelecer relações e

envolver suas emoções para enfrentar uma situação nova (VILA; CALLEJO,

2006, p. 29, grifo nosso).

Para além disso, é importante ainda considerar problema como qualquer situação

capaz de envolver os educandos em investigação, na qual as estratégias de resolução

não são visíveis a primeiro momento e que propô-las é um ato criativo, curioso,

engenhoso, motivador e que desenvolve o pensamento crítico-reflexivo.

Van de Walle (2009) afirma que as experiências de resolver um problema é que

geram as ideias matemáticas e, dessa maneira, tal processo pressupõe que as crianças

estejam aprendendo matemática fazendo matemática. O autor coloca que os esforços em

se trabalhar nessa vertente são grandes, mas que benefícios são visíveis, como: a) fazer

os alunos concentrarem sua atenção nas ideias, dando sentido as mesmas; b) ajudar a

desenvolver a convicção de que os alunos são capazes de fazer matemática e de que

estudar matemática faz sentido; c) contribuir para a tomada de decisões educacionais,


98

por meio da geração de dados da aprendizagem dos alunos; d) mostrar que resolver

problemas é possível por todos; e) contribuir na melhoria da disciplina dos alunos,

envolvendo-os na aprendizagem; f) contribuir no desenvolvimento do potencial

matemático do aluno e g) ensinar e aprender de forma dinâmica e divertida.

Outras contribuições são apontadas por Onuchic e Allevato (2011, p. 81) ao

considerarem que quando o aluno resolve um problema ele se engaja na análise dos

próprios métodos e soluções obtidas para os problemas, sendo esse um trabalho da

consequência de seu pensar matemático, levando-o a elaborar justificativas e a dar

sentido ao que faz.

A resolução de problemas é inerente ao ensino de Matemática, mesmo que nem

sempre em uma perspectiva metodológica. Sabe-se, no entanto, que ainda há muito a

avançar nesse sentido, colocar o problema como ponto de partida das práticas

pedagógicas em sala de aula. Agir dessa maneira significa fazer uso de contextos

significativos para o estudante e para isso nada melhor do que ampliar o seu

protagonismo, permitindo-lhes uma ação efetiva também na elaboração dos problemas

que são propostos.

Inicialmente, concordamos com D’amore ao anunciar que “a Formulaçao de

Problemas é um modo de colocar-se no interior da Resolução de Problemas e que as

duas problemáticas nao sao oposta, mas muito perto” (D’AMORE, 2014, p. 29,

tradução nossa). Concordamos também com Silver (1994) quando aponta que a

Formulação de Problemas é uma prática que ocorre dentro do processo de resolução de

problemas, portanto, dentro da Resolução de Problemas. Assim, tomamos como

princípio que a Formulação de Problemas é uma prática inserida na abordagem

metodológica de Resolução de Problemas.

Vale salientar que as pesquisas nessa temática tiveram, sobretudo, início na

literatura internacional por meio de alguns autores (SILVER, 1994, 1997; SILVER et


99

al, 1996; ENGLISH, 1997, 1998; SILVER; CAI, 1996, 2005; SILVER; MAMONA,

1989; BROWN; WALTER, 1983; KILPATRICK, 1987) e, portanto, esse conceito

emerge como “Problem-Posing”. Formular problemas constitui prática curiosa e pode

despertar o interesse em resolver problemas em matemática e, nesse sentido, “aos

alunos deve ser dada a oportunidade para formular problemas de determinadas situações

e criar novos problemas quando modificando as condições de um determinado

problema” (NCTM, 1991, p. 95). O objetivo é dar espaço para que os discentes

formulem problemas que gostem de resolver, explicitando contextos de seus interesses,

tornando uma prática que antes era desinteressante, em momentos de inventividade e

descoberta.

A prática de formular problemas nas aulas de matemática é um possível

indicador da capacidade dos alunos em estabelecerem relações entre a matemática e

situações cotidianas reais ou imaginárias ou entre a própria matemática. English (1997)

relata que a Formulação de Problemas é um importante componente do currículo de

matemática, devendo ser considerada prática fundamental, pois a capacidade de

perceber e formular é necessária no processo de aprendizagem.

Para Silver, formular problemas “[...] refere-se tanto a produção de novos

problemas e a reformulação de determinados problemas” (SILVER, 1994, p. 19,

tradução nossa). No mais, Boavida et al (2008) reitera que é uma atividade de

importância inquestionável, pois contribui no aprofundamento dos conceitos de

matemática e na compreensão de sua resolução. Portanto, nas aulas de matemática “as

crianças podem inventar os próprios problemas. Isso as motivará a ler, compreender e

resolver os problemas, porque sao seus” (DANTE, 2009, p. 65). Formular um problema

requer, inicialmente, conhecer conceitos, refletir sobre situações-problemas e entender o

porquê do que estou pretendendo formular.

Não basta apresentar a importância da Formulação nas aulas de matemática, mas

também discutir os caminhos para sua concretização. Para Chica (2001) as primeiras


100

propostas de formular problemas necessitam ser cuidadosamente planejadas, uma vez

que as crianças demonstram dificuldades nessa prática decorrente do costume de

somente resolver problemas. Os estudos de Medeiros e Santiago (2013) apontam que os

educandos encaram a formulação como importante, porém difícil e, portanto, sugerem

que esteja mais presente nas aulas de matemática, potencializando assim as capacidades

críticas dos discentes.

Chica (2001, p. 153) relata que “os alunos devem ter contato primeiro com

diferentes tipos de problemas para resolver, antes de propormos que criem seus próprios

problemas”. O objetivo disso, segundo ela, é fazer com que conheçam modelos que

servirão como ponto de partida para criarem os seus. Concordamos com Boavida et al

(2008) ao considerar que esta prática de invenção sem um suporte prévio pode fazer

com que os alunos gerem problemas fantasiosos, sem aproximação com a matemática

ou tão difíceis que nem os próprios conseguem resolver.

Em vista disso, alguns autores sugerem diferentes maneiras de propor essa

prática na sala de aula (CHICA, 2001; DANTE, 2009; DINIZ, 2001; BOAVIDA et al,

2008). Nos estudos de Chica (2001), um problema pode ser elaborador a partir das

seguintes ideias:

Criar um problema a partir de um problema dado;

Criar um problema a partir de uma figura;

Criar um problema a partir de um problema iniciado;

Criar um problema parecido a partir de um problema dado;

Criar um problema a partir de uma pergunta;

Criar um problema a partir de uma palavra;

Criar um problema a partir de uma resposta dada;

Criar um problema a partir de uma operação matemática;

Criar um problema a partir de um tema;

Criar um problema com um determina tipo de texto.


101

Dante (2009) também apresenta algumas possibilidades para essa prática, uma

das quais destacamos “formular problemas por uma série de dados números”. As

demais são similares ou idênticas àquelas apresentadas por Chica (2001).

Diniz (2001) coloca que a Formulação de Problemas pode ocorrer quando

solicitamos aos alunos que alterem alguns dados de um problema existente e resolvido.

Essa perspectiva é aquela apontada por Silver (1994) ao tratar que Formulação de

problemas não é só inventar, mas reformular outros problemas. Por isto, a) inventar um

problema com o mesmo dado; b) inventar um problema com a mesma pergunta; c)

inventar um problema com as mesmas contas e d) inventar um problema com a mesma

história, mas que seja resolvido com outra operação matemática, são algumas das

propostas apresentadas por Diniz.

No espoco das ideias de Boavida et al (2008), duas estratégias são indicadas

para trabalhar a Formulaçao de Problemas e sao assim chamadas de “E se em vez de?” e

“Aceitando os dados”. A primeira relaciona-se com a modificação de um problema,

enquanto que a segunda, com a formulação de um novo problema. Em linhas, pontua a

possibilidade de utilizar situações presenciadas em sala de aula como instrumentos

geradores de problemas, como: o aniversário de algum aluno, uma visita de estudo ou a

celebração de um Dia Mundial.

Segundo Boavida et al, “encorajar os alunos a escrever, partilhar e resolver os

seus próprios problemas, é um contexto de aprendizagem muito rico para o

desenvolvimento da sua capacidade de resoluçao de problemas” (2008, p. 27).

Complementa dizendo que “ao colocarem problemas, os alunos apercebem-se da sua

estrutura desenvolvendo, assim, pensamento crítico e capacidade de raciocínio ao

mesmo tempo que aprendem a exprimir as suas ideias de modos mais preciso” (p. 27).

Outros aspectos são apontados por Dante (2009) ao afirmar que no ensino de

matemática


102

As crianças podem inventar os próprios problemas. Isso as motivará a ler,

compreender e resolver os problemas, porque são seus. Saber formular um

problema é tão importante quanto resolvê-lo. Nessa formulação, precisa-se

criar não apenas um texto adequado como também números coerentes e

perguntas pertinentes (DANTE, 2009, p. 65)

O exposto por Dante caminha estreitamente ao pensamento de Diniz (2001)

quando menciona que o processo de gerar problemas leva o discente a participa de um

fazer em matemática que desenvolve para a além da linguagem, o interesse e confiança

em seu modo de pensar. Assim, “quando o aluno cria seus próprios textos de problemas,

ele precisa organizar tudo o que sabe [...], dando-lhe sentido a estrutura adequada para

que possa comunicar o que pretende” (CHICA, 2001, p. 151). É um processo que tira do

educando seu papel de resolvedor de problemas, para um “propositor de problemas,

vivenciado o controle sobre o texto e as ideias matemáticas” (CHICA, 2001, p. 151).

No processo de formulação é necessário refletir as relações estabelecidas, bem

como criá-las de modo que o problema faça sentido e seja resolvível. Com isso, o aluno

ao formular problemas “percebe o que é importante na elaboraçao e na resoluçao de

uma situação dada; que relação há entre os dados apresentados, a pergunta a ser

respondida e a resposta” (CHICA, 2001, p. 152). Essa sequência de relações é

desafiadora e, ao mesmo tempo, motivadora.

É preciso estimular a capacidade inventiva e questionadora dos alunos,

desenvolvendo na sala de aula um clima de interação e respeito, onde se

possa fazer matemática através da possibilidade de questionar, levantar

hipóteses, comunicar ideias, estabelecer relações e aplicar conceitos (CHICA,

2001, p. 153).

A manifestação da capacidade inventiva acaba por desenvolver a criatividade,

habilidade que por vezes contribui nas relações que se estabelecem, seja na formulação

de problemas, que na resoluçao. Assim, Silver (1994, p. 20) afirma que “formular

problemas tem sido visto como uma característica de atividade criativa [...]”.

Em se tratando de Formulação de Problemas, todos os alunos são capazes de

participar dessa prática, mas Pinheiro e Vale (2013) salientam que, os alunos não estão


103

habituados a formular problemas e, na sua pesquisa, criara enunciados com escassez de

dados, desorganizados e, por vezes, de difícil compreensão. Nesse sentido, necessitamos

propor frequentemente a formulação de problemas para que nossos alunos consigam

avançar elaborando cada vez mais, problemas de melhor qualidade e coerentes.

E busca de critérios utilizados para medir o nível de criatividade dos problemas

formulados, temos o Teste Torrance do Pensamento Criativo (TTCT) (TORRANCE,

1966, 1974) e que têm sido frequentemente utilizado para avaliar o pensamento criativo

nesse processo. São apontados três componentes para análise: fluência, flexibilidade e

originalidade. O primeiro refere-se ao número de problemas gerados em consonância

com a tarefa; o segundo, corresponde a número de diferentes tipos de problemas

apresentados pelos alunos e, o terceiro a quantidade de problemas que únicos ou raros.

Diante dessas explanações teórico-metodológicas, formulamos nossa concepção

e entendimento para o que é Formulação de Problemas. Entendemos ser uma prática

dentro da abordagem metodológica de Resolução de Problemas que oportuniza os

alunos a (re)formularem problemas a partir de determinadas condições pré-

determinadas ou problemas dados. Tal prática envolver autenticidade, criatividade,

motivação intrínsecas ou extrínsecas, significados, contextos (reais ou imaginários) e

conceitos matemáticos. Nesse processo, espera-se desenvolver no aluno o pensamento

crítico-reflexivo, o raciocínio, a capacidade de comunicar ideias, de estabelecer

relações e significados, de observação e argumentação e de reflexão sobre suas ações e

seus processos de pensamento. Por fim, formular e resolver estão estreitamente

interligadas uma vez que um dos sentidos de se formular um problema é buscar a sua

resolução. Abaixo, apresentamos um esquema que representa o exposto pelo parágrafo

acima.


104

Figura 1: Esquema sobre Formulação de Problemas

Fonte - Os autores

Cremos ser necessário definir alguns conceitos inerentes ao esquema visto que

podem acarretar diferentes interpretações. Assim, definimos:

Criatividade: a capacidade de produzir diferentes ideias na relação

condição-contexto ou a partir da reformulação de uma situação

apresentada;

Significados: diz respeito ao estabelecimento de relações entre conceitos

matemáticos e as situações propostas no problema. Caso um educando

seja convidado a formular um problema que envolva a operação

matemática 3 x 2 e ao apresentar uma situaçao que envolve “possuir 3

camisas e 2 calças, quantas maneiras uma pessoa pode se vestir”,

mostrará uma compreensão de multiplicação como combinatória;

Autenticidade: trata-se de interesses intrínsecos. Temos assim, um

conceito de autenticidade direcionado a construção de problemas únicos


105

os quais diferem-se dos demais e que apresentam aspectos relacionais

unicamente pessoais;

Motivação Intrínseca ou Extrínseca: Quanto a motivação intrínseca,

trata-se de sentimentos e emoções singulares de cada indivíduo, como

por exemplo, gostar de matemática. Já a motivação extrínseca diz

respeito a uma ação externa que contribui para que o aluno se motive

intrinsecamente no processo de formulação, como por exemplo, o

professor explicar que formular problemas é interessante e divertido;

Contextos (reais ou imaginários): nos referimos a situações cotidianas

vividas (contexto real) ou não (contexto fictício) pelos educandos.


Com relação aos aspectos teóricos, pode-se concluir que a Formulação de

Problemas pode ser proposta nas aulas de matemática contribuindo no desenvolvimento

de capacidades tão importantes na aprendizagem. Destacamos, ainda, que é uma prática

que se encontra no interior da metodologia de Resolução de Problemas, portanto,

formular problemas é tão quanto necessário que resolver problemas. Por meio desse

prática é possível despertar a criatividade, a comunicação de ideias, o pensamento

crítico-reflexivo a partir do processo de estabelecer relações entre matemática e

situações-problemas, além de possibilitar que os educandos aprendam matemática de

forma divertida, interessante e desafiadora.

Na esfera das ações metodológicas, pode ser proposta a partir de diferentes

situações, desde a proposição de problemas para serem reformulados respeitando

determinadas condições, ou por meio de palavras, figuras, operação matemática,

pergunta, tema ou uma série de condições sequencialmente estabelecidas.

4. Referências

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental.


106

Parâmetros curriculares nacionais: primeiro e segundo ciclos do Ensino Fundamental.

Brasília, DF, 1997.

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Básico. Lisboa, 2008.

CHICA, C. H. Por que formular problemas? In: SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. (Org.)

Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. 1.

ed. reimp. São Paulo: Artmed, 2001. p. 87-97

DINIZ, M. I. Resolução de Problemas e Comunicação. In: SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.

(Org.) Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender

matemática. 1. ed. reimp. São Paulo: Artmed, 2001. p. 87-97.

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Digital Docet, 2014.

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KILPATRICK, J. Problem formulating: where do good problems come from? In A. H.

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MEDEIROS, K. M. de; SANTIAGO, M. S. Formulação e resolução de problemas

matemáticos na sala de aula: explicitando o intertexto. Atas do XXIV Seminário de

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Universidade de Minho. 2013.


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1980’s. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1980.

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Council of Teachers of Mathematics, 1991.

NCTM. Assessment Standards for School Mathematics. Reston, VA: National


NCTM. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: National


ONUCHIC, L. de la R.; ALLEVATO, N. S. G. Pesquisa em Resolução de Problemas:

caminhos, avanços e novas perspectivas. Bolema, v. 25, n. 41, p. 73-98, 2011.

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VAN DE WALLE, J. A. Matemática no ensino fundamental: formação de

professores e aplicação em sala de aula. Tradução de Paulo Henrique Colonese. 6. ed.

Porto Alegre: Artmed, 2009.


109

A INSERÇÃO DE TECNOLOGIAS EDUCACIONAIS NAS AULAS DE

MATEMÁTICA: UMA PROPOSTA DIDÁTICA A PARTIR DO SOFTWARE

SCRATCH

ALTOÉ, Renan Oliveira

Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Vitória – ES

[email protected]

GAIGHER, Vanessa Ribeiro


[email protected]

JORDANE, Alex


[email protected]

Resumo:

Este artigo apresenta uma sequência didática idealizada na disciplina de Tecnologias

Educacionais em Educação Matemática, ofertada no Programa de Pós-graduação em

Educação em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes),

Campus Vitória – ES. Com ela intencionamos a utilização do software Scratch na

criação de cenários virtuais animados, com intuito de identificar que conhecimentos de

matemática podem ser despertados/construídos durante essa prática. Para melhor situar

o leitor, discorremos, brevemente, a respeito de Tecnologias na Educação e sobre o

Scratch. As atividades foram aplicadas com alunos-professores da Segunda Licenciatura

em Matemática, do Plano Nacional de Formação de Professores da Educação Básica

(PARFOR) do Ifes, Campus Cachoeiro de Itapemirim - ES. Concluímos que a

sequência didática trouxe contribuições importantes à prática educativa e que o trabalho

com o Scratch pode tornar as aulas de matemática mais divertidas, investigativas e

proporcionar resgatar/construir conceitos de matemática, em especial os de Geometria.

Palavras-chave: ensino de matemática; geometria; Scratch; tecnologias.


110

1. Introdução

A popularização das tecnologias contribui para que a sociedade se torne cada

vez mais informatizada. Segundo Borba, Silva e Gadanidis (2015), o desenvolvimento

acelerado das inovações tecnológicas é uma das características marcantes da nossa

sociedade atual. Nesse escopo, as informações são processadas e acessadas de forma

cada vez mais ágil e ao alcance rápido da maior parte da população. Nossos alunos,

inseridos em meio a essa sociedade, desde crianças são frutos de uma geração que busca

e necessita da tecnologia. Com isso, a escola deve acompanhar essas transformações e

inserirem efetivamente em sua estrutura curricular o uso significativo das tecnologias

afim de promover um ensino mais atrativo para os discentes.

Com a evolução tecnológica, surgiram diferentes e interessantes ferramentas que

possibilitaram transformar nossas práticas pedagógicas e, por consequência, os olhares

para a didática da matemática. Borba, Silva e Gadanidis (2015), em seus estudos,

apresentam 4 (quatro) fases das tecnologias digitais em Educação Matemática, a qual

primeira teve início, segundo eles, no ano de 1985 com o surgimento do software

LOGO4. Apesar de considerarem esse ano como marco do início da primeira fase, os

mesmos retratam que em 1980 já se discutia, em educação matemática, o uso de

calculadoras simples e científicas e de computadores (BORBA; SILVA; GADANIDIS,

2015).

Mais recentemente, em 2007, foi criado pelo grupo MIT Media Lab denominado

Lifelong Kindergarten Group o Scratch que é um ambiente virtual desenvolvido para

introduzir de forma fácil e rápida, a linguagem de programação, para indivíduos que não

possuíam experiência sobre o assunto (Mélo et al, 2011). O Scratch tem

4 LOGO é um software criado, inicialmente, para fins de programação. Na ótica do seu uso pedagógico,

tem por base o construcionismo (Papert, 1985) e possibilita relacionar linguagem de programação e

pensamento matemático. Uma das primeiras atividades mais conhecidas para investigação matemática é a

construção de um quadrado. Para maiores detalhes sobre o LOGO, ver Borba, Silva e Gadanidis (2015).


111

funcionalidades bem próximas ao do LOGO, contudo, aos olhos de quem o utiliza,

parece ser uma ferramenta mais acessível e de fácil manuseio.

Com vista a difusão das potencialidades que o Scratch pode proporcionar ao

ensino de matemática, este artigo apresenta uma sequência didática idealizada na

disciplina de Tecnologias Educacionais em Educação Matemática, ofertada no

Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática do Ifes, Campus

Vitória – ES. Com ela intencionamos a utilização do software Scratch na criação de

cenários virtuais animados, com intuito de identificar que conhecimentos de matemática

podem ser despertados/construídos durante essa prática. A sequência foi aplicada com

alunos-professores da Segunda Licenciatura em Matemática do PARFOR, do IFES,

Campus Cachoeiro de Itapemirim – ES, cuja escolha pautou-se na facilidade de acesso

por terem sido alunos do primeiro autor deste artigo no período da aplicação.

Não direcionamos este estudo para a Formação de Professores para o uso de

tecnologias nas aulas de matemática e, portanto, não discutiremos teoricamente sobre

Formação de Professores. Contudo, por se tratarem de alunos-professores, esperamos

que essa experiência possa produzir reflexões a respeito do uso do Scratch nas aulas de

matemática, trazendo benefícios para a formação dos participantes.

2. Tecnologias na sala de aula: um caminho promissor

A presença das TIC é fundamental quando se pensa em promover o direito de

acesso às inovações tecnológicas, a começar dentro da escola. Por essa e outras razões,

“o acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas

e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual

inclua, no mínimo, uma “alfabetizaçao tecnológica”” (BORBA; PENTEADO, 2012, p.

17). Logo, o que se espera é um envolvimento dos alunos com as tecnologias para que

aprendam que as inovações tecnológicas estão a favor da sociedade, beneficiando a vida

e as práticas sociais nela vivenciadas. A informática passa, portanto, “[...] a ser parte da

resposta a questões ligadas à cidadania” (BORBA; PENTEADO, 2012, p. 17).


112

É importante salientar que a presença de tecnologias nas aulas de matemática ou

em quaisquer disciplinas, pode contribuir diretamente no processo de ensino-

aprendizagem. Apesar disso, Rolkouski (2011) afirma que dentro da disciplina de

matemática, que de certa forma possui uma afinidade natural com a informática,

percebe-se que pouco se tem feito em sala de aula para que as TIC tivessem sua

presença. Assim, a informática e a educação matemática não devem ser pensadas de

forma dicotômica, mas como uma transformação da prática educativa (BORBA;

PENTEADO, 2012). Engana-se quem crer que as tecnologias são somente meios para

tornar as aulas divertidas, dinâmicas ou interessantes. Utilizar a tecnologia informática

no ensino é um caminho que possibilita à compreensão de que ciência a ser estudada, ao

mesmo tempo que contribuiu/contribui na evolução tecnológica, pode ser estudada a

partir do fruto gerado por ela. Ou seja, a matemática, por exemplo, tem sua importância

na evolução do computador e este, por sua vez, contribui no estudo da própria ciência.

Em sala de aula, as tecnologias podem contribuir no processo de ensino aprendizagem.

Além disso, “[...] o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como

aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver

noções espaciais, etc.” (BORBA; PENTEADO, 2012, p. 17).

A afirmativa de Borba e Penteado (2012), sobre a inserção do computador na

sala de aula, é um tanto quanto interessante e ao mesmo tempo, indagável. Com outros

olhares, Rolkouski (2011, p. 18) diz que

Um dos argumentos mais comuns é acreditar que com a utilização do

computador o aluno se sentirá mais motivado para frequentar as aulas. É

possível que isso aconteça inicialmente, no entanto, passadas algumas

semanas, o computador, assim como qualquer outra novidade (recortes,

dobraduras etc.), será algo que pertencerá à rotina da escola e, dependendo do

uso que se faça, passará a pertencer ao quadro dos elementos desmotivadores

da escola (ROLKOUSKI, 2011, p. 18).

Com olhar crítico a respeito das implicações do uso de tecnologias na formação

sociocultural dos alunos, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental

(PCN), de 1997, pontuam que “é indiscutível a necessidade crescente do uso de


113

computadores pelos alunos como instrumento de aprendizagem escolar, para que

possam estar atualizados em relação às novas tecnologias da informação e se

instrumentalizarem para as demandas sociais presentes e futuras” (BRASIL, 1997, p.

67). Vemos uma preocupação para além dos propósitos básicos da educação (ensinar e

aprender conteúdos privilegiados das ciências) que é formar indivíduos capazes de se

integrarem socialmente perante a evolução tecnológica, ou seja, aprender a conviver

com as tecnologias.

É indiscutível o quanto as tecnologias podem beneficiar o ambiente escolar. Não

precisamos romper com tudo, mas implementar mudanças e supervisioná-las com

equilíbrio e maturidade”. Assim, cada professor pode e deveria refletir suas incertezas e

acreditar que o novo, que causa medo, pode tornar-se engenhoso aos olhos de quem

julga que mudanças são possíveis e podem trazer experiências encantadoras.

3. Conhecendo o Scratch

Desenvolvido em 2007, pelo grupo MIT Media Lab denominado Lifelong

Kindergarten Group, o Scratch é um ambiente virtual direcionado para introdução de

forma fácil e rápida da linguagem de programação para indivíduos que não possuíam

experiência sobre o assunto (MÉLO et al, 2011). É um software constituído de um

ambiente em que é possível utilizar a linguagem de programação visual, permitindo

utilizar mídias como músicas e imagens para criar jogos, animações e cenários

interativos. Além disso, objetiva também facilitar a introdução de conceitos de

matemática e de computação, promovendo o pensamento criativo, o raciocínio

sistemático e o trabalho colaborativo.

Ao criar um projeto no Scratch, o usuário conta com um quadro e diversos

objetos. Esse quadro é o ambiente no qual é possível criar os cenários e animações. Ao

escolher os objetos que participarão do projeto idealizado, é possível associar a eles

recursos como sons, imagens e variáveis que podem ser controladas utilizando

comandos de programaçao, disponibilizados em blocos que precisam ser “arrastados” e


114

deixados no campo de comando. Os diversos blocos podem ser encaixados e

combinados de maneira que possibilite os objetos executarem as funções e objetivos

almejados pelo usuário. O diferencial do Scratch é que os encaixes dos blocos de

comando orientam o uso corretos dos mesmos, facilitando a utilização para usuários

sem muito conhecimento sobre a linguagem de programação. Abaixo, apresentamos a

interface do Scratch, retirado da própria página de acesso.

4. A proposta didática e sua aplicação

O propósito desta seção é apresentar uma sequência didática que utiliza o

software Scratch na criação de cenários virtuais animados, com intuito de identificar

que conhecimentos de matemática podem ser despertados/construídos durante essa

prática. Aplicada com alunos da Segunda Licenciatura em Matemática, do PARFOR, do

Ifes, Campus Cachoeiro de Itapemirim - ES, constou de 3 (três) aulas distintas, mas

interligadas entre si. Os instrumentos de coleta de dados foram questionários,

observações e registros fotográficos. Nas próximas linhas, descrevemos em inteiro teor,

a sequência proposta. Cada aula teve duração de 50min, o qual tempo julgamos

suficiente para a execução.

1ª AULA:

Esta primeira aula consiste na apresentação do software Scratch

(https://scratch.mit.edu). Salientamos que pode ser utilizado na modalidade Online ou

Off-line, o que garante, pela segunda, sua utilização nas escolas que não possuem acesso

à internet. Em seguida, cada aluno deverá executar o Scratch e acompanhar a explicação

sobre: a história do software, com base no aporte teórico da seçao “Conhecendo o

https://scratch.mit.edu/


115

Scratch”; e a interface e funcionalidades5 dos principais comandos e da barra de tarefas

“Scripts, Fantasia e Sons”.

2ª AULA:

Este segundo momento é destinado à criação dos cenários virtuais. Para tanto, é

necessário definir como os alunos se organizarão (individualmente, em duplas, em trios,

etc.) para executarem a construção. Sugerimos, para melhor atender ao objetivo da aula,

que seja realizada individualmente ou em duplas. A escolha do cenário deve pautar-se

no interesse individual ou da dupla e nas imagens disponíveis no Scratch. Nele é

possível encontrar diferentes desenhos que podem ser utilizados na construção das

animações, mas é possível também desenhar o próprio plano de fundo para o cenário.

3ª AULA:

O professor deverá solicitar que os alunos registrem fotos dos seus cenários e

dos comandos utilizados na construção e os socializem durante um mini seminário na

própria escola, que acontecerá na 4ª aula. Peça-os que sintetizem os conhecimentos de

matemática despertados/construídos durante a elaboração dos movimentos.

4ª AULA:

Destinada a divulgação dos cenários construídos, é o momento de discutir e

refletir sobre as criações. As apresentações poderão acontecer por meio de exposição de

cartazes, vídeos ou apresentação oral pelos alunos. Incentive os autores de cada cenário,

durante a apresentação, a indagaram os ouvintes se eles sabem o que de matemática está

por traz de cada movimento. É um momento de discutir as construções, apontar

modificações e visualizar a presença do conhecimento de matemática na criação de

animações, jogos, etc.

5 Asseveramos ser importante um estudo aprofundado sobre o Scratch no que concerne os principais

comandos, acessos e outros recursos. Não é intenção, neste trabalho, descrevermos detalhadamente os

comandos e suas funcionalidades.


116

5. Resultados e discussão

Por se tratar de uma proposta didática desenvolvida em sala de aula,

apresentaremos, nas próximas linhas, os cenários construídos e a análise dos

questionários respondidos pelos participantes. Vale ressaltar que no término da 4ª aula,

os participantes foram convidados a responder um questionário com 5 (cinco) questões

abertas, as quais sintetizam as discussões das 3ª e 4ª aulas. No total, participaram da

execução 5 (cinco) alunos-professores, os quais foram divididos em duas duplas e um

aluno individualmente. Para manter o sigilo, esses participantes serão identificados com

siglas fictícias, a saber: AA, MP, AM, AL e DM. As respostas aos questionários serão

analisadas, quando possível, à luz dos referenciais teóricos que fundamentaram as

seções anteriores. As falas dos participantes serão destacadas em itálico e mencionadas

entre aspas, seguidas do mês e ano de registro.

Para melhor analisarmos os questionários respondidos, iniciamos apresentando

os cenários construídos. É importante lembrar que 2 (dois) deles foram construídos em

pares, enquanto que um terceiro, individualmente. Cada cenário está associado a seus

autores, conforme suas siglas.

Figura 1. Cenário construído por AL e DM

Fonte. Arquivo dos pesquisadores

Figura 2. Cenários construído por AA e MP



117

Figura 3. Cenário construído por AM


Dos cenários acima, percebemos um toque de criatividade em suas construções.

Alguns deles, inclusive, elaborados de maneira engenhosa, com mais de um objeto

(desenho) em situações divertidas e naturais. Vemos na Figura 1, a preocupação dos

autores em associar a vida do elefante em um ambiente similar ao seu habitat natural.

Da mesma forma, o que se apresenta na Figura 2 é uma representação do seu habitat por

meio da idealização da caverna criada por AL e MP. Não diferente, as formigas

escolhidas por AM estão em um ambiente seco e arenoso, ambiente no qual a maioria

desses insetos se fazem presente. São criações, a nosso ver, com olhares preocupados

em associar objeto e ambiente. Essa análise inicial é visível aos olhos e não é necessário

muita inferência para se chegar a essa conclusão.

Essas considerações iniciais foram apresentadas para mostrar que os autores,

para além da bela associação entre objetivo e ambiente, também se empenharam na

construção dos cenários colocando em jogo autenticidade e dedicação. Quando

indagados se conheciam o Scratch, todos responderam que nunca ouviram falar e,

portanto, não o conheciam.

Apesar de não terem conhecimento sobre o software, os participantes

apresentaram, por meio de suas construções, desempenho razoável diante do manuseio.

Na primeira aula, destinada a conhecer o Scratch e algumas de suas ferramentas, foram


118

discutidas outras ferramentas também importantes na criação dos cenários, mas

entendemos que a ausência da prática com o software pode também ter influenciado na

escolha dos ambientes e na criaçao dos movimentos. Assim, “foi um cenário criado na

própria aula “Floresta com Morcegos”, porque achamos o morcego na pasta e

criamos um cenário para ele” (AA; MP, junho/2016). Já para AM, “escolhi a natureza

e movimentos de ir e vir porque não tinha domínio do software” (Junho/2016). É

interessante notar que a elaboração partiu da escolha do objeto para depois se pensar em

qual cenário ele poderia melhor se encaixar. Apesar dessa ótica ser apresentada pela

dupla AA e MP, das nossas observações percebemos que os outros participantes

seguiam a mesma ideia.

Vimos que AM escolheu um cenário com movimentos de ir e vir por acreditar

não possuir domínio suficiente com o Scratch. Contudo, ao analisarmos sua construção

e comparação com os demais colegas, percebemos uma estrutura de movimentos mais

complexas que dos demais. A animação contou com a utilização de comandos de

“movimento”, “controle” e “aparência”. Entendemos que foram simples e possíveis

pelos outros criadores, mas a junção e conexão entre esses comandos reflete uma

organização mais complexa e que requer maior análise sobre o que se está em busca de

alcançar. Os demais cenários também apresentaram comandos interessantes, mas se

resumiam a utilização de passos. Vale comentar a Figura 3, na qual a dupla utiliza

“aponte para...” como um comando necessários e indispensável para que os morcegos

façam movimentos direcionados. Isso nos diz que a animação do cenário não acontece

sozinha, dependendo, portanto, da ação do sujeito que a visualiza. Outro ponto

interessante é que o autor identificou que para dar sentido ao voo do morcego e, para

que todos não estivessem sobrepostos, era necessário diferenciar o temporizador de

“movimento” e de “controle”.

Das observações em sala de aula, percebemos a satisfação dos alunos-

professores em participaram dessa experiência que, por sinal, trouxe relevantes

contribuições, seja para a própria formação enquanto professores que em conhecer, pela


119

primeira vez, um software que pode contribuir no ensino de matemática. Entretanto,

vivenciaram experiências positivas, negativas e algumas das potencialidades do Scratch

nas aulas de matemática. É possível reforçar essa afirmativa, no posicionamento de AL

e DM quando relatam que a experiência foi “gratificante e as dificuldades foram em

encontrar os comandos necessários para a montagem do cenário” (Junho/2016). Ainda

na esfera das dificuldades, temos AL e MP denotando que acharam “difícil, devido a

inexperiência com o programa, no entanto, o mesmo apresenta recursos que com

domínio de suas potencialidades podem proporcionar uma tarefa divertida”

(Junho/2016).

Nas falas apresentadas acima, há indícios de que as dificuldades encontradas no

manuseio do Scratch podem ser superadas a medida em que se identifica

potencialidades na sua utilização. Nessa ótica, evocamos as declarações do participante

AM o qual nos relata um pouco da sua experiência diante da prática vivenciada. Assim,

diz que foi

“Prazerosa, porém tive muitas dificuldades por não conhecer as ferramentas

do programa. Quanto à facilidade, ajuda bastante o fato do aplicativo ser

numa versão português e pelo fato do programa permitir muitas

possibilidades que vão da escolha do tema à diferentes movimentos. Pode

contribuir na aprendizagem de conteúdos matemáticos e raciocínio lógico”

(AM, junho/2016).

Diante do exposto, o participante AM já começa a identificar e expor,

claramente, que o Scratch pode contribuir na aprendizagem de matemática, destacando

também a possibilidade de desenvolver o raciocínio lógico.

Por falar em conhecimentos de matemática, nos direcionamos por sua vez a

verificar que conhecimentos de puderam ser despertados/construídos durante essa

prática. Para AA e MP, foi possível vivenciar conteúdos como: ângulos de figuras

geométricas, polígonos, comprimento de segmentos, dimensionalidade de tempo e

espaço, vetores, dentre outros. Para esses autores, o comprimento dos seguimentos está

relacionado à movimentação de passos e a dimensionalidade de tempo e espaço são


120

importantes para gerar os movimentos. Além disso, relata que com o Scratch

“aprendemos a produzir formas geométricas, ou seja, trabalhar com a Geometria e

Geometria na inclusão digital” (AA; MP, junho/2016).

Não distante, AL e DM também ressaltam os mesmos conhecimentos de

matemática apresentados por AA e MP, mas acrescentam que é possível trabalhar

medidas no espaço e outros elementos de Geometria. Similarmente, AM pontua a

existência do trabalho com espaços planos, cálculo de ângulos, medidas de

comprimento e geometria.

Em suma, percebemos que a Geometria é o conteúdo de matemática que mais se

visualiza no trabalho com construção de cenários animados no Scratch. Evidemente,

estamos certos que as potencialidades desse software também estão relacionadas ao

trabalho com medidas de figuras espaciais, como área e volume e, para além do estudo

de Geometria, é possível desenvolver o trabalho com sistemas lineares.

Diante dessa experiência gratificante e interessante, os participantes relataram

que pretendem utilizar o Scratch em suas aulas de matemática. Como discorrido

anteriormente, não era nosso intuito direcionar essa experiência para a formação de

professores de matemática para as tecnologias, mas por se tratarem de alunos-

professores, estamos esperando produzir algo no tocante da formação e da prática

pedagógica. De fato, cremos ter conseguido, uma vez que vemos nas falas dos

participantes sua satisfação diante da prática desenvolvida.

“Irei utilizar o software nas minhas aulas, pois o achei interessante e é

sempre bom aprender ou reforçar conteúdos de forma lúcida. O programa

ajudou a reforçar conceitos antes explicados e que com a utilização do

software, ficaram mais claros. Foi mais fácil para visualizar. Eu trabalharia

com o programa, pois assim como foi prazeroso para mim essa aula e rica

de conhecimentos, acredito que assim também seria para meus alunos” (AM,

junho/2016).

Nesse direcionamento, AL e DM afirmam que a experiência desenvolvida lhes

deu segurança em propor a utilização do software nas suas aulas, pois aprenderam a


121

manuseá-lo e com ele, os alunos poderiam aprender matemática com a utilização dos

comandos, enquanto que para AA e MP, a aula foi excelente uma vez que os deixou à

vontade para aprender mais e incentivar a pensar em outros cenários. Assim, afirmaram

que utilizariam o Scratch nas suas aulas de matemática.

É interessante notar que, apesar das dificuldades no desenvolvimento da

atividade, os professores sentiram provocados em sua própria maneira de pensar, ou

seja, de imaginar cenários, criar movimentos, testar argumentos, hipóteses e demais

conhecimentos. Assim, cremos como Moran (2004, p. 349) que “a escola pode ser um

espaço de inovação, de experimentação saudável de novos caminhos. Não precisamos

romper com tudo, mas implementar mudanças e supervisioná-las com equilíbrio e

maturidade”. Para além do objetivo previsto do estudo, esperamos provocar mudanças

na prática pedagógica dos envolvidos, frente a experiência compartilhada. Assim,

aproveitamos para ressaltar a importância de sensibilizarmos e capacitar os professores

para que possam agir de maneira inovadora, tomando maiores iniciativas, possibilitando

explorar novos meios, técnicas e tecnologias em busca de aprimorar sua atuação

didática (MORAN, 2004). Portanto, compreendemos que o professor deve se apropriar

das tecnologias e utilizá-las no processo de ensino-aprendizagem tornando os estudantes

críticos e agentes centrais na construção do próprio conhecimento.


O início desta conclusão, ao nosso ver, inicia-se na ótica dos cenários

construídos. Nesse sentido, não podemos deixar de mencionar a presença da

criatividade nas produções e preocupação, mesmo de forma indireta, em associar os

objetos escolhidos ao ambienta natural a qual pertencem. Essa relação foi possível por

meio da dedicação dos participantes, que aceitaram e abraçaram a atividade como um

espaço de discussão e aprendizado.

Das observações e dos dados dos questionários foi possível inferir que a

experiência de criar cenários virtuais animados configurou-se uma prática muito


122

interessante, na qual os alunos-professores puderam perceber a presença de conteúdos

de matemática. Nesse sentido, apontaram que o Scratch é um software que pode

potencializar o ensino e a aprendizagem da matemática. Mesmo não ter sido objetivo

central tratar da formação de professores para o uso das tecnologias, os participantes

relataram, por meio de suas falas, a satisfação em conhecer o Scratch e apontaram que

farão uso em suas aulas de matemática. Vemos, portanto, gerar frutos na esfera da

formação docente.

A fim de identificar que conhecimentos de matemática puderam ser

despertados/construídos durante a elaboração dos cenários, pudemos perceber que a

Geometria foi a mais citada pelos participantes. No entanto, vale ressaltar que alguns

tópicos desse ramo da matemática não estavam presentes na criação dos cenários, mas

não foi possível perceber que os alunos-professores enxergavam a potencialidade do

Scratch para trabalhar outros conhecimentos. Apesar disso, apontamos que as

dificuldades na realização da atividade centram-se, prioritariamente, a falta de domínio

com o software mesmo diante da explanação e momentos iniciais da 1ª aula da

sequência didática.

Diante disso, acreditamos que a sequência didática trouxe contribuições

importantes à prática educativa e que o trabalho com o Scratch pode tornar as aulas de

matemática mais divertidas, investigativas e proporcionar resgatar/construir conceitos

de matemática, em especial os de Geometria.

7. Referências

BORBA, M. de C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 5. ed.

Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2012. 104 p. - (Coleção Tendências em Educação

Matemática).

BORBA, M. de C.; SILVA, R. S. R. da.; GADANIDIS, G. Fases das tecnologias

digitais em Educação Matemática: sala de aula e internet em movimento. 1. ed. Belo

Horizonte: Autêntica Editora. 2015. - (Coleção Tendências em Educação Matemática).


123

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:

introdução aos parâmetros curriculares nacionais / Secretaria de Educação Fundamental.

– Brasília: MEC/SEF, 1997. 126p.

LIFELONG KINDERGARTEN GROUP. Reference Guide Scratch. MIT Media Lab,

2011. Disponível em:<http://info.scratch.mit.edu/Support/>. Acesso em 20 mai. 2016.

MÉLO, F. E. N, et al. Do Scratch ao arduíno: Uma proposta para o ensino introdutório

de programação para cursos superiores de tecnologia. In: XXXIX Congresso

Brasileiro de Educação em Engenharia. 2012. Disponível em

:<http://www3.fsa.br/LocalUser/cobenge2011/sessoestec/art1886.pdf>. Acesso em: 26

jun. 2016.

MORAN, J. M. A contribuição das tecnologias para uma educação inovadora. In:

Contrapontos - volume 4 - n. 2 - p. 347-356 - Itajaí, maio/ago. 2004.

PAPERT, S. M. Logo: Computadores e Educação. São Paulo, Editora, Brasiliense,

1985.

ROLKOUSKI, E. Tecnologias no ensino de matemática. Curitiba: Ibepex, 2011. -

(Série Matemática em Sala de Aula).


124

A EDUCAÇÃO ESCOLAR MATEMÁTICA NA/DA SOCIEDADE

CONTEMPORÂNEA

SOUZA, Gabriele Ribeiro de

Secretaria Municipal de Educação de Cachoeiro de Itapemirim

[email protected]

CANSI, Weberson

Centro Universitário São Camilo – Espírito Santo

[email protected]

PACHECO, Polyana Fim

Secretaria Municipal de Educação de Cachoeiro de Itapemirim

[email protected]

TEMPORIM, Patrícia Gama

Centro Universitário São Camilo – Espírito Santo

[email protected]

Resumo:

Este artigo traz reflexões sobre a educação matemática e a instituição escolar na

contemporaneidade. Considerando referenciais teóricos com intenção de refletir acerca

dos apontamentos pertinentes sobre a função da escola e formação de professores, suas

contribuições com a sociedade e as possíveis limitações e potencialidades no ensino de

Matemática para os alunos do Ensino Fundamental I. Baseadas em fundamentações de

uma educação libertadora de Isabel Alarcão e Paulo Freire, foram realizadas

ponderações sobre a importância do ato de planejar e o fazer pedagógico em

matemática, suas intencionalidades e objetivos, possíveis caminhos nesse processo para

que a aprendizagem da Matemática se torne mais atraente e interessante.

Palavras-chave: Formação de professores; Matemática; Sociedade; Escola.


125

1. Introdução

Muitas inquietações devem permear as ações dos sujeitos que compõem a

comunidade escolar, Isabel Alarcao no livro “Escola Reflexiva e Nova Racionalidade”

(2001), é categórica ao afirmar que a escola precisa em caráter de urgência sofrer

mudanças drásticas em toda sua organização, em função da atual realidade que a

sociedade está vivenciando. Nossa sociedade, na lógica ocidental, vive momentos de

avanços científicos, onde a tecnologia faz farte de uma organização global e

multifacetária, pesquisas identificam caminhos potenciais para cura de doenças e busca-

se incessantemente por uma qualidade de vida e bem estar. A sociedade mudou e a

escola não consegue se organizar nas novas configurações existentes. Porém na contra

mão destes apontamentos vivemos também um medo constante pela violência social,

um expressivo e incontrolável aumento do consumo de drogas, uma exclusão dos

sujeitos em estado de vulnerabilidade social e complexabilidade ideológicas e

discriminações de gênero e racial.

A violência manifestada no conjunto da vida social alcançou proporções da qual não se

tem controle. Sua banalização em todos os âmbitos sociais, na mídia, na rua, na escola,

na família, indica uma anomia social que imprime um novo paradigma da violência.

(FERREIRA, 2003, p. 45). A violência não se limita a força física, a possibilidade ou

ameaça de utilizá-la já é uma expressão de violência, as ameaças de poder em função,

em relações empregatícias, relações hierárquicas de trabalho, de nível de conhecimento,

cor da pele, da idade, na sociedade brasileira isso tudo é muito presente, atitudes e

expressões discriminatórias. É fato que estamos imersos em uma sociedade onde os

sujeitos são desqualificados enquanto sujeito de direitos, direito à justiça, à dignidade e

ao respeito. E assim como parte da sociedade, a educação não é apenas influenciada

pela violência, mas ela é também produtora de violência, é muitas vezes difícil esse

reconhecimento, por pensarmos a escola como um espaço educativo, mas infelizmente

nesses ambientes as práticas de violência se fazem presentes, pois a escola não é o único

espaço de aprendizagem e vivências de um indivíduo, portanto essa violência pode ser

vivida por eles para além dos muros da escola, e os alunos trazem consigo marcas desta


126

violência para dentro da escola.

Nesse sentido, como a escola e os professores no ensino da matemática tem se

posicionado frente às inúmeras práticas de violência? É possível pensar na formação de

professores que contribui para que a escola seja um espaço promotor de solidariedade,

respeito e paz? Quais alternativas e estratégias no ensino da matemática podem ser

pensadas para o trabalho pedagógico com esses alunos? Apesar dos inúmeros problemas

encontrados na escola, a mesma não pode ser invisibilizadas como um lugar onde as

práticas de solidariedade, de diálogo e de reciprocidade estejam presentes. Para um

ensino que traga resultados qualificados na aprendizagem dos alunos, o cotidiano da

educação deve ser um lugar tensionado a paz, é necessário trazer a fraternidade, o

respeito, a justiça, a paz para os relacionamentos humanos vividos entre nós.

2. Metodologia

Este é um artigo de produção coletiva, que partiu de discussões pertinentes sobre

a sociedade contemporânea e a função escola. Buscou-se referencias teóricas sobre a

temática e pesquisas de caráter bibliográfico foram realizadas. Espera-se que a partir

desta produção os autores que atuam como professores e pedagogos na rede municipal

de ensino de Cachoeiro de Itapemirim e ensino superior, estimulem inquietações na

equipe escolar com objetivo de potencializar a qualidade do ensino da matemática no

Ensino Fundamental I.

3. Desenvolvimento

A educação e a sociedade são parceiras de um conjunto de significados em

comum, uma não se faz sem a outra, é uma construção coletiva, sujeito, educação e

sociedade. Não podemos pensar em sociedade sem pensar em educação. Temos que

compreender que a natureza do homem é viver coletivamente. Neste contexto

compreendemos ser de suma importância o ensino da matemática, o aluno perceberá em

suas práticas sociais essa necessidade, quando se deparar com problemas e perguntas

em seu cotidiano. A matemática se define como ciência, sendo assim, deve ser vista


127

como um processo em permanente construção tanto para alunos como para os

professores. No âmbito escolar, a educação da matemática é vista como uma linguagem

capaz de traduzir a realidade e estabelecer suas diferenças. Na escola a criança deve

envolver-se com atividades matemáticas que a educam nas quais ao utilizá-las ele

construa a aprendizagem de forma significativa, pois o conhecimento matemático se

manifesta como uma estratégia para a realização das intermediações criadas pelo

homem, entre sociedade e natureza. A construção desse conhecimento pelos alunos

ainda está muito longe porque a prática desenvolvida por muitos professores ainda é

tradicional, esta prática não leva os alunos a construírem uma aprendizagem voltada

para a realidade na qual seus alunos vivenciam. Infelizmente o ensino da Matemática,

em muitas escolas e por muitos professores, ainda está direcionado para atuar como um

instrumento disciplinador e excludente. Uma grande maioria de professores tem como

único objetivo ensinar a Matemática sem se preocuparem em repassar para o aluno um

conhecimento matemático significativo. Isto é, considerar as vivências e sua realidade.

Quando estamos educando para uma sociedade devemos ter claro que os alunos

carregarão consigo suas experiências de vida de dentro e de fora da escola, por isso

nosso compromisso em fazer com que estes alunos entendam a vida social que o cerca e

que ele faz parte deste contexto de forma ativa, dentro desta sociedade ele aprende,

constrói, se refaz, e entende tanto de educação quanto de sociedade, compreende que

vive em um espaço coletivo, de construção coletiva, ao ir para a escola o indivíduo se

insere na sociedade e aprende a viver coletivamente. O que devemos incutir no aluno é

que ele perceba que a sociedade pode influenciá-lo e ele pode se adaptar a esse meio,

porém, o mais importante é fazer com que o aluno questione os padrões já existentes de

sua sociedade, seja crítico, ao mesmo tempo criativo. É necessário ter em mente que a

prática educativa é capaz de alimentar a sociedade assim como a própria sociedade é

capaz de transformar a prática educativa. Uma boa educação, atualmente, deve ser

capaz de oferecer ao aluno condições de analisar o conhecimento pelas mais diversas

formas e estimular sua reflexão e senso crítico de modo que ele seja capaz de formular

sua própria opinião sobre diversos assuntos, para que estes se tornem pensadores e


128

formulem novas ideias para a sociedade, este pensamento social e a educação caminham

juntos, um não se faz sem o outro, um alimenta o outro. Neste contexto, entendemos

hoje a tecnologia integrante na sociedade, muitos avanços ocorridos neste sentido pelo

crescimento tecnológico, isso influenciou e influencia diretamente a sociedade e a

educação, uma vez que culturalmente esta tecnologia faz parte do nosso dia a dia se

torna parte da educação também.

A tecnologia e a educação caminham juntas, as crianças e os adolescentes estão

imersos nessa realidade cultural, a escola é responsável por trazer um diferencial a essas

crianças, aceitar essa nova realidade onde crianças e adolescentes carregam o mundo em

suas mãos, e o professor mediante a essas situações o que tem ensinado às crianças? O

papel do professor é ensinar, mediar e interagir professor, aluno e conhecimento, sendo

assim, quais são esses conhecimentos? Professor tem que aprender e se reinventar a

todo instante, descobrir junto com seus alunos formas criativas de utilizar a tecnologia à

favor da aprendizagem, transcendendo assim conhecimentos já sabidos pelas crianças.

Temos que nos superar enquanto professores e principalmente superar as crianças e os

adolescentes, oferecendo conhecimentos novos. Para isso, é necessário e essencial que o

professor planeje suas práticas, de forma flexível, a palavra flexível neste contexto, vem

mostrar a necessidade desse ir e vir das práticas pedagógicas, ao mesmo tempo que

adentramos um assunto, um conteúdo, temos que ouvir os nossos ensinantes, saber de

suas necessidades e interesses, por isso a importância do professor avaliar e rever suas

práticas a todo instante, dando voz aos sujeitos e assim superar práticas engessadas.

Vasconcelos (2002), argumenta que três dimensões básicas que precisam ser

consideradas no planejamento: “a realidade, a finalidade e o plano de açao”. Nao é

possível realizar um processo de ensino aprendizagem sem um planejamento prévio,

porque o planejamento é uma coisa inerente ao ser humano. Quando falamos em

processo de ensino e aprendizagem, estamos falando de algo muito sério, que precisa

ser planejado, com qualidade e intencionalidade.

Planejar é antecipar ações para atingir certos objetivos, que vêm de necessidades

criadas por uma determinada realidade, e, sobretudo, agir de acordo com essas ideias


129

antecipadas. Como traz o autor, é utilizar destas três dimensões, a realidade, pois nesta

envolve o contexto no qual o indivíduo vive e quais são os conhecimentos prévios que

ele traz, quando o professor age sem levar em conta essa escuta, ou esse olhar sensível

aos conhecimentos prévios desse indivíduo, ele desconsidera sua cultura e seus

princípios. Portanto a necessidade de se ver a realidade para se ter uma finalidade e

assim concluir seu plano de ação a uma situação. Conceber um aluno numa perspectiva

histórico-cultural significa romper com as formas cristalizadas de trabalho que ainda

perpassam o cotidiano das escolas, não podemos fixar os indivíduos em práticas

rotineiras e repetitivas como se fossem modelos de organização, temos que valorizar o

universo cultural do indivíduo produzido dentro e fora da escola. Como traz o autor

Pino, “A corrente histórico-cultural de psicologia, cuja figura de proa é Lev S.

Vygotsky constitui uma exceção na história do pensamento psicológico, não só porque

introduz a cultura no coraçao da análise, mas, sobretudo porque faz dela a “matéria-

prima” do desenvolvimento humano que, em razao disso, é denominado

“desenvolvimento cultural” o qual é concebido como um processo de transformaçao de

um ser biológico num ser cultural” (PINO, 2005, p.52) De acordo com essa concepçao,

significa reconhecer o indivíduo como produtor de cultura e de história, um sujeito ativo

nas relações sociais. Realizar um trabalho que leve em conta o sujeito como categoria

social com formas peculiares de agir e interagir no mundo é nos tornar capazes de

ampliar as experiências culturais dos sujeitos sem desqualificá-los como sujeitos

culturais no espaço escolar. Essa prática requer que o agir pedagógico não seja algo

instituído ao indivíduo, mas construído a partir do indivíduo e com o indivíduo.

Sabemos que os indivíduos ensinantes são diferentes, possuem culturas diferentes, a

escola deve estar preparada para trabalhar com estas pessoas, de forma que não

desconsidere suas particularidades, e leve situações de aprendizagem interessantes,

novas e instigantes. É necessário ultrapassar ações pontuais, práticas rotineiras e

repetitivas, desfazer a ideia do caráter fragmentário do conhecimento, as experiências

vividas pelos sujeitos não podem se sobrepor à capacidade inventiva e criativa dos

mesmos, caso contrário dessa ideia estaríamos reforçando o sentido da educação apenas


130

como um espaço formador de hábitos e de atitudes.

ALARCÃO (2001), afirma que a sociedade vive uma “convulsao social”, onde

pelo contexto da globalização impera a lógica neoliberal, com ofertas explicitamente

mercadológicas, objetivos pragmáticos e descontinuidades de ações educacionais em

função da efemeridade do momento político ou econômico. E diante de todas essas

complexibilidades a escola “nao convence nem atrai” ALARCAO (2001), distanciando

os alunos do seu convívio ou trazendo a repulsa ou apatia pelo desejo pela busca do

conhecimento. Podemos dizer assim que a escola é um local onde se concentram várias

culturas, várias tradições, vários contextos e realidades, pensando dessa forma, podemos

afirmar o compromisso da educação em educar para sociedade, sabemos que o

indivíduo aprende em vários contextos, em casa com a família, na escola com aqueles

que interagem, em outros locais que também são permeados por uma cultura própria,

dessa forma então é preciso que a escola ensine o indivíduo a pensar melhor, a dialogar

melhor, a ser mais crítico e mais reflexivo. Quando educamos levamos em consideração

a escuta do outro? Sua realidade, suas vivências? Qual ponto de partida do professor no

que diz respeito a efetivação de seu currículo? É preciso considerar estas questões para

que o sujeito fique imerso nos seus conteúdos aprendidos, mas que estes também por

sua vez esteja de acordo com sua realidade.

A escola deve ser um lugar onde as crianças e adolescentes possam se sentirem

bem, se sentirem como se estivesse em casa, oferecendo um espaço acolhedor, com

estratégias inovadoras e interessantes. O ensino da matemática não deve restringir- se à

uma sala de aula, o professor deve mostrar o sentido e as aplicações da matemática no

cotidiano dos alunos, levando- os para diferentes espaços, para além dos muros da

escola, no sentido físico e intelectual ao passo que o pensar a matemática como

importante para a sociedade possam mensurar sua grandeza e É inadmissível a escola

ter uma concepção de ensino aprendizagem na posição cartesiana e arbórea sem

interações de formas rizomáticas onde todos possam se sentir sujeitos de um fazer pela

produção do conhecimento. Deve-se pensar em uma nova racionalidade na inserção

da/na contemporaneidade de com contexto profissional, pessoal e social. A escola é


131

também um lugar de formação e de trabalho, não apenas para os(as) alunos(as) como

também fundamentalmente os próprios professores se formam ao desenvolverem sua

função. Nesse sentido vemos que o professor no ensino da matemática pode considerar

sua formação acadêmica, como inicial para sua vida profissional, mas não estagnar- se

como se não houvesse nada de novo para aprender. Ao estar na sala de aula, pode atrelar

à prática e relacionar ao conhecimento adquirido anteriormente, ampliando com

pesquisa, especializações, formações continuadas para enxergar além de conteúdos

prescritos, considerando todo o contexto social, cultural, conhecimentos prévios dos

alunos e o que podem construir a partir das reflexões do ensino e acrescentar como

mudança no mundo a partir da aprendizagem da matemática.

Pensar na formação do professor na instituição escolar trata-se de sua

autoavaliação a todo instante, se sua prática está incluindo e considerando a pluralidade

dos sujeitos que o cerca refletir se suas ações pedagógicas abarcam conhecimentos para

além de seu conteúdo, se trazem o contexto social, os acontecimentos históricos que o

grupo vive, se lança mão de tecnologia e outros recursos que tornam as aulas criativas,

dinâmicas, se desperta curiosidade e a vontade de saber mais nos alunos, se provoca

questionamentos e discussões, se os envolvem num fazer que dê prazer. A autoavaliação

permite o professor identificar o que ainda precisa ser aprimorado para atingir a todos,

faz perceber o que não provoca interesse aos alunos. Os alunos não são meros

receptores, são produtores de cultura, possuem conhecimentos que interessam seus

pares, trazem contribuições acerca dos temas a eles apresentados na escola e que o

cercam no mundo, a partir de suas vivências sociais, culturais, conhecimentos prévio. O

professor que percebe isso utiliza todo esse acervo a seu favor, numa aula mais atraente,

que envolva o que interessa a turma, que faça com que os sujeitos pensem, discutam,

interajam, queiram participar, jogar, resolver os problemas matemáticos, formular

hipóteses, descobrir o novo, queiram aprender sempre mais. A aprendizagem não pode

ser vista simplesmente como transmissão ou reprodução de conhecimentos, conforme

Rinaldi (1994, p.13): (…) mas configura acima de tudo, como um processo de

construção da razão, dos porquês, dos significados, do sentido das coisas, dos outros, da


132

natureza, de realização, da realidade, da vida. É um processo de auto e socioconstrução,

um ato de verdadeira e própria construção.

Aulas em que os estudantes não são vistos como receptores, mas como

produtores são aulas significativas, que trazem uma aprendizagem com elaboração de

sentidos sobre o que aprende/vivenciam. A escola em que a equipe pedagógica trabalha

nessa vertente enxerga infinitas possibilidades de estar diretamente ligada ao aluno,

tendo este como protagonista do fazer totalmente interligado às propostas institucionais,

que passarão a ser propostas deles próprios, a medida que participam das produções,

idealizam, realizam. Um lugar onde possa ser proporcionado a interconexão,

interpessoalidade e interligação entre os sujeitos e aquisição do conhecimento.

Considerando fundamentalmente que práticas sociais é o caminho inicial para planejar

as práticas escolares e currículo deve ser pensado no cotidiano dos educandos e não

somente em listas de conteúdos prescritas de forma estáticas, prescritivas, engessadas,

limitando ações, pensamentos e articulações de professores e alunos(as). Falar de

formação de professor na escola é pensar em utilizar o tempo do planejamento com

qualidade, para estudo, pesquisa e mudança de prática. É se atualizar, compreender o

mundo e os alunos e avançar conforme eles se transformam.

A escola viva deve desnudar-se sempre para se permitir desejar o novo. Pensar

nas crianças e adolescentes que a caracterizam escola e não apenas seguir, mas romper

com o velho e reorientar o curso das coisas. A escola precisa pensar sobre a própria

escola, sua concepção, seus objetivos, sua missão e sua função. Precisa compreender

que de acordo com os novos paradigmas da sociedade a escola precisa também se

incluir na nova racionalidade para nao ficar “às margens” de maneira desconectada no

contexto social, sendo professores e alunos “alienígenas” (ALARCÃO, 2001). Preparar

seus alunos(as) para a plena interação no campo social, estabelecendo relações entre

teorias escolares, vida e sociedade. Desenvolvendo nas práticas pedagógicas ações que

considerem a prevenção no lugar da repressão, diálogos produzindo ações para a

coletividade e solidariedade, distanciando de posturas individualistas, competitivas,

extremistas e sexistas.


133

A escola é um tempo, um lugar e um contexto como afirma ALARCÃO (2001),

desenvolver discussões sobre cidadania e principalmente viver e oportunizar a cidadania

assim também como a ética e seus princípios pela construção de uma sociedade que

busca a integridade humana e equidade nas oportunidades pela busca do saber.

O professor com seu poder de cátedra é responsável pela eticidade e necessita

pesquisar para desenvolver e aprimorar estratégias, táticas metodológicas no ato de

ensinar. Ter intencionalidade e posicionamento político com e objetivo de levar

criticidade e o espírito de autonomia aos(as) estudantes. Avaliar suas práticas a partir

dos desejos, interesses e curiosidades das crianças e adolescentes. Dentro da

comunidade escolar todos são atores sociais, porém o professor pode ser considerado

um ator em primeiro plano devido à responsabilidade que possui diante aos desafios

frente a produção do conhecimento, um grande entusiasta, um encantador pela arte de

ensinar.

FARIAS (2009), no livro “Didática e Docência: Aprendendo a Profissao”, dedicou um

subcapítulo somente abordando as dificuldades e resistências encontradas pelos(as)

professores(as) no ato de planejar, inclusive compara o planejamento a um muro de

lamentações. Historicamente o ato de planejar, pontualmente na época da ditadura

militar, foi vinculado um ato burocrático formal, onde o professor se vê, até dias atuais,

pressionado pela obrigatoriedade de cumprir protocolo e apresentar formulários para

pedagogos. O percurso entre o registro escrito do plano de aula e a ação da aula pode ter

aproximações, imbricamentos ou distanciamentos consideráveis. Além de fazer parte da

função do licenciado docente, FREIRE (2002), considera imprescindível, fundamental,

necessário e potencial a intecionalidade ética do fazer pedagógico. O professor é

responsável pelo desenvolvimento cognitivo intelectual dos(as) alunos(as) e de forma

multifacetária envolve-se em diversas atribuições dentro do contexto do ato de ensinar.

Na obra clássica de Paulo Freire “A pedagogia do Oprimido” (2002), é

evidenciado reflexões complementares e associadas de ALARCÃO (2001), quando diz

que “nao há docência sem discência”, conduzindo discussões sobre a importância do

compromisso ético, político e pedagógico do professor mediante a formação intelectual


134

humana.

No propósito deste pensamento, por uma educação libertadora, distanciandose

dos interesses dominantes de uma sociedade capitalista, Leonardo Boff, aponta

caminhos para buscar a ética na vida humana entre os sujeitos e meio ambiente. A

preocupação por qualidade na educação para as classes populares evidencia a urgência

da contemplação das vivências do cotidiano e dos saberes dos(as) alunos(as). Esteban

(2004, p. 27), aponta que é fundamental: [...] Olhar atentamente para as pequenas

histórias do nosso cotidiano, refletir sobre elas, contá-las aos outros, compartilhar o

espanto e admiração, as dúvidas, certezas e surpresas. Entender essas historinhas, os

acontecimentos simples, os fatos corriqueiros, os erros, como pistas significativas dos

múltiplos processos que atravessam a construção de conhecimentos, indícios que

permitem ver além do imediatamente perceptível, sinais que trazem novas

possibilidades ainda não exploradas; enxergar o cotidiano como espaço / tempo plural

onde ocorrem interações diversas, onde o eu e o outro, ou eu e os muitos outros, com

seus erros e acertos, movidos tanto pelo que ―sabem quanto pelo que ―ainda nao

sabem se encontram simplesmente para dar continuidade à teia da vida.

Contextualizar conteúdos e conceitos a partir do que as crianças já sabem, já

conhecem, isto é, potencializar e ampliar o que já viram e através deste mecanismo a

possibilidade de despertar o interesse nas aulas, em um processo dialógico entre os

sujeitos envolvidos no ensino e na aprendizagem. Em uma ação conjunta e fraterna

entre os sujeitos que compõem a comunidade escolar torna-se essencial ações

pedagógicas que levem as crianças e adolescentes a se preparar para a sociedade

contemporânea, não no sentido da competitividade capitalista, mas na dimensão

humanizadora da resiliência e enfrentar as mazelas do mundo racional e individualista.

Conceber na escola com espaço vivo entre seus alunos, professores e

funcionários pensando em um currículo com ideias de sustentabilidade e cuidado com

as pessoas. Pensar e refletir e ALARCÃO (2001), ainda repreende “nao ficar só

pensando, mas agir também”. Agir porém baseados na racionalidade da sociedade

contemporânea desenvolvendo relações na escola entre os sujeitos através da


135

coletividade, diálogos, cooperação, alteridade e socialização. Concretizando ações que

por vezes são extintas nas relações humanas, evidenciando a humanidade como caráter

essencial nas relações das construções sociais. Apresentando-se como um grande

desafio para a escola uma vez que é necessário desnudar-se de uma educação

pedagógica tradicional liberal onde impera a fragmentação dos conteúdos, em posturas

individualistas, exaltando a lógica matemática, pragmática, artificial, cartesiana, onde

estudantes são apenas clientes e não sujeitos de direitos. E romper com este contexto

histórico imposto pela economia neoliberal requer mudanças de concepções sobre e

com a escola. É necessário que sujeitos que integram a comunidade escolar se sintam

responsável por uma nova construção do pensamento social coletivo.

A emoçao precisa permear a vida do professor “...nao é a razao o que nos leva à

açao, mas a emoçao” (MATURANA, 2002, p. 23), mas não uma emoção superficial e

sim pela vontade de ser instrumento de potencialização de pessoas. Ter empatia, ser

gentil, conquistar as crianças e adolescentes, envolvê-los em projetos interdisciplinares,

integradores com sentido para a vida, fazendo-os pertencentes da proposta pedagógica

da escola, como sugere Ferraço (2003), “pensar com eles e nao sobre eles”. Ter os

saberes do cotidiano dos discentes como ferramenta de introdução e desenvolvimento

de práxis pedagógicas é fundamental para integrar os conteúdos trabalhados, torna-as

criativas e interessantes, não somente para os discentes, mas também para os docentes.


Apesar da constatação que a contemporaneidade social não seja muito favorável

devido às ações políticas, pedagógicas e educacionais, precisamos lutar, trabalhar, nos

emocionar e principalmente ser feliz exercendo o papel de ser professor. Como seres

inconclusos, permaneceremos insistentemente buscando saídas, estratégias,

pensamentos, caminhos, trilhas e o que for necessário para lalcançar uma educação

pública e de qualidade. Acreditamos que cada um é responsável eticamente por sua

função na escola. Mas de maneira particular recorremos aos professores em sua

majestosa função de educar ou levar as crianças e jovens uma vontade de educar-se, que


136

esses docentes nunca percam a esperança e a vontade de contribuir com a formação

intelectual de muitos estudantes.

5. Referências

ALARCÃO, Isabel (org.). Escola reflexiva e nova racionalidade. Porto Alegre:

Artmed, 2001.

ARENDT, Hannah. A condição humana. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1993.

BARBOSA, Maria Carmem Silveira; HORN, Maria da Graça Souza. Projetos

Pedagógicos na educação infantil. Porto Alegra: Artmed, 2008

ESTEBAN, Maria Teresa. A avaliação no cotidiano escolar. In: ESTEBAN, Maria

Teresa (org.). Avaliação: Um prática em busca de novos sentidos. Rio de Janeiro:

DPet alii, 2004.

OLIVEIRA, I.B. Currículos praticados: entre a regulação e a emancipação. Rio de

Janeiro: DP&A, 2003.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa.

São Paulo: Paz e Terra, 2002. (coleção Leitura)

FERRAÇO, C.E. Eu, caçador de mim. In: GARCIA, R.L. (Org.). Método: pesquisa

com o cotidiano. Rio de Janeiro: DP&A, 2003.

FERREIRA, Fabiulla dos S. F. Os impactos da violência no cotidiano da educação

infantil. 2003. 135f. Dissertação (Mestrado em educação) – Programa de

Pós Graduação em Educação, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2003.

PINO, Angel. As marcas do humano: as origens da constituição cultural da criança

na perspectiva de LEV S. Vigostsky. São Paulo: Cortez, 2005.

VASCONCELLOS, Celso dos Santos. Planejamento: Projeto de

EnsinoAprendizagem e Projeto Político-Pedagógico – elementos metodológicos

para a elaboração e a realização. 16ª ed. São Paulo: Libertad, 2006 (1995). (Cadernos

Pedagógicos do Libertad; v.1).


137

CRIANÇAS CONSTRUINDO CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS A

PARTIR DO USO QUE FAZ EM SUAS VIVÊNCIAS

SILVA,Gislene Nara Dias

Centro de ensino Lauro Pinheiro

[email protected]

SAN’ANNA, Cynthia Schaydegger Gonçalves1

Prefeitura Municipal de Cachoeiro de Itapemirim

[email protected]

SILVA, Geisa Nara Dias

Prefeitura Municipal de Cachoeiro de tapemirim

[email protected]

Resumo:

A Matemática é uma ferramenta imprescindível para o desenvolvimento de outras

ciências, assim como para a resolução de problemas no cotidiano, o que requer do

professor ou mediador de atividades matemáticas o desafio de promover um

aprendizado voltado para o desenvolvimento da autonomia e cidadania dos discentes.

Os avanços e pesquisas sobre desenvolvimento e aprendizagem, assim como os novos

conhecimentos a respeito da didática da Matemática traz a luz que, crianças bem

pequenas já constroem seus conhecimentos sobre qualquer área a partir do uso que faz

dele em suas vivências. O objetivo deste estudo é descrever experiências realizadas com

alunos de séries iniciais da rede particular e pública, localizadas no município de

Cachoeiro de Itapemirim, ES, a partir dos estudos realizados por Hans Freudenthal

(1905-1990). As práticas que foram realizadas buscam evidenciar situações de

aprendizagem onde o ponto de vista da Matemática como um sistema fechado mudou

para a matemática como atividade humana, onde os discentes tem a oportunidade de

utilizar seus saberes do dia a dia para resolver situações matemáticas na escola. Dessa

forma utilizam os conteúdos matemáticos em situações informais antes da

aprendizagem formal. Nos momentos de brincadeiras, contação de histórias ou

realizando leitura de mapas geográficos, as crianças apresentavam saberes matemáticos

que foram construídos em suas relações com o meio que viviam. Refletir sobre o





138

conceito de matemática como atividade humana nos impulsiona a ter um olhar mais

amplo, não se contendo apenas aos algoritmos, fórmulas e definições implicadas no

currículo matemático mas, permitir que a criança observe, reflita, interprete, levante

hipóteses, procure e encontre explicações ou soluções, fale de suas ideias e sentimentos

e se relacione com os demais indivíduos. Adotar essa postura em sala de aula requer o

abandono na crença tradicional no que diz respeito ao aluno, ou seja, ele precisa deixar

de ser visto como um ser receptivo apenas do saber e ser compreendido como um

agente ativo e interativo no processo de construção do seu conhecimento. A mediação e

intervenção do professor continua sendo importante e necessária para avaliar possíveis

erros conceituais, assim como valorizar os acertos. A mediação é potencializada e

qualificada quando acontece o trabalho em rede do professor pedagogo que atua nas

séries iniciais com o professor de educação matemática especialista, pois criança ativa e

curiosa que é, não aprende matemática repetindo e memorizando, mas construindo,

desconstruindo, enfrentando obstáculos cognitivos e utilizando os conhecimentos que

adquiriu no espaço em que ocupa e que precisam ser valorizados.

Palavras-chave: Crianças; Vivência; Matemática.

1. Introdução

A proposta dessa atividade, surgiu enquanto discutíamos sobre a dificuldade que

alguns alunos têm de compreender conteúdos matemáticos. Reconhecendo que o

excesso de conteúdos focados em atividades repetitivas, maçantes e descontextualizadas

da realidade, são alguns dos motivos que contribuem para a visão deturpada pela qual a

Matemática é vista, descobrimos na proposta de Matemática como atividade humana, a

possibilidade de apresentar aos alunos, a matemática escondida em suas atividades

diárias. Para isso, nos reunimos com uma professora de Matemática especialista, que

atua com crianças do 6º ao 9º ano e buscamos juntos, os conhecimentos matemáticos

presentes nas atividades de rotina, nas brincadeiras, nas histórias e nas rodas de

conversa. Aprofundamos-nos na leitura sobre as ideias do autor pioneiro em defesa de


139

uma educação matemática como atividade humana e pensamos algumas atividades que

poderíamos explorar. A aplicação dessas atividades, ocorreram em salas de aula de uma

escola particular e outra pública, ambas com crianças de cinco e seis anos de idade.

Cada atividade que a criança realizava lhe era oferecido materiais de apoio para

executar a tarefa pedida, e desta forma, incentivar a curiosidade, a exploração, o

encantamento, a indagação e favorecer seu conhecimento em relação ao mundo físico e

social. Cada descoberta era socializada com o grupo em roda de conversa onde outra

criança tinha a oportunidade de também dar sua contribuição. Nesse momento o

professor fazia suas anotações buscando articular a experiência extraescolar, com os

conhecimentos matemáticos socialmente construídos. Vimos que ao recriar contextos

significativos para as crianças, esquemas mentais são acionados possibilitando-as

resolver situações problemas, desenvolvendo dessa forma a capacidade de realizar a

dedução e também a habilidade para calcular mecanicamente. Esse artigo apresenta

exemplos de como as situações cotidianas, podem ser usadas em sala de aula a fim de

servirem de instrumento para o aprendizado da Alfabetização Matemática.

2. Matemática como atividade humana

Hans Freudenthal (1905-1990), em suas pesquisas, realizadas primeiramente na

Holanda em meados dos anos 90, mudou o ponto de vista da matemática como um

sistema fechado para a perspectiva de matemática como atividade humana, como uma

atividade natural e social cuja evolução acompanha a do indivíduo. Para ele, todos os

alunos devem ter a oportunidade de vivenciar conteúdos matemáticos em situações

informais antes mesmo de aprender formalmente, ou seja, os alunos são orientados a

utilizar procedimentos e estratégias de solução informal para chegar a um lugar ou

resultado. Através de uma sequência de atividade organizada seguida de intervenção

qualificada, a criança transforma suas estratégias intuitivas para a etapa formalizada.

Para Hans Freudenthal, a matemática deverá está conectada com a realidade, nunca

apresentada aos estudantes como um produto pronto e acabado, ela deve estar próxima

dos estudantes, permitindo-os se tornarem participantes ativos do processo, a esse


140

estudante deve ser dada a oportunidade de reinventar a matemática por meio do

processo de matematização da realidade. Nessa perspectiva o aluno ao ter contato com

uma situação-problema do mundo real, acaba o explorando intuitivamente, ou seja,

organizando a estrutura do problema, identificando os aspectos matemáticos e

descobrindo regularidades. Pensar matemática como uma atividade humana é não se

limitar ao ensino do algoritmo, das fórmulas e definições impostas por um currículo.

Para D’Ambrósio ( 2009), o professor numa perspectiva realística deve atuar

como professor pesquisador, tornando a pesquisa um elo entre teoria e prática. Essa

pesquisa que instrumentalizará a mediação de forma qualificada diante das dúvidas ou

descobertas dos alunos. Ao ler matematicamente o mundo que os cerca, esses alunos

atingem níveis gradativos e cada vez mais complexos de raciocínio e pensamento

matemático, envolvidos num processo intuitivo e criativo.

Freudenthal e D´Ambrósio são criadores e militantes do movimento

internacional Matemática para Todos, consideram que todos podem aprender

matemática, que todos tem direitos de se apropriarem de conhecimentos matemáticos.

3. Atividades aplicadas seguida de resultados

As atividades propostas foram propícias a matematização e os alunos tiveram

um papel fundamental, eram considerados como protagonistas da aprendizagem e assim

reinventaram ferramentas, procedimentos e conceitos matemáticos. Coube ao professor

o papel de guia, orientador e mediador do processo de aprendizagem, orientando os

alunos na construção de seus conceitos de forma que eles consigam reconstruir o que

aprendeu.

As atividades com a rotina em sala de aula foram muito importantes para

conversas matemáticas. Em posse dos objetos inerentes a cada atividade, aconteciam as

anotações dos professores das falas das crianças e de suas teorizações. No momento do

calendário para reconhecermos o dia e fazermos a marcação, trabalhávamos

automaticamente quantos dias faltam para acabar o mês, como está o tempo e a


141

quantidade aluno presente e ausente. Para Kamii (1987), o número é construído por

cada criança à partir de todos os tipos de relações que ela cria entre os objetos.

Foto 1. Acervo pessoal autorizado - Organizando objetos da rotina

Na literatura, a Matemática não vista somente como números, regras, definições,

propriedades e um amontoado de cálculos. Ela possui relação com a história e

acontecimentos narrados que implicam em resolução de um conflito. A História

escolhida pela professora foi Cabritos, Cabritões. Nela Três cabritos querem pastar em

um campo de capim bem verde e apetitoso que fica do outro lado do rio, no fim de uma

ponte. Porém, embaixo da ponte mora um monstro malvado. Os Cabritos param para a

elaboração de um grande plano. Será que os cabritos conseguirão passar pela ponte sem

serem comidos pelo ogro? Nesse momento a professora pediu que através de desenhos

os alunos também elaborassem um plano. Durante a execução dos desenhos vimos o

quanto eles se apropriam de conhecimentos relacionados a distância, força e espaço.

Smole et al (2007) diz que:

Muitos livros trazem a matemática relacionada ao próprio texto,

outros servirão para relacionar a matemática com ouras áreas do

currículo; há aqueles que envolvem determinadas habilidades

matemáticas que se deseja desenvolver e outros, ainda, providenciam

uma motivação para o uso de materiais didáticos. Um livro às vezes

sugere uma variedade de atividades que podem guiar os alunos para


142

tópicos matemáticos e habilidades além daquelas mencionadas no

texto. Isto significa que “garimpando” nas entrelinhas podemos propor

problemas utilizando as ideias aí implícitas.

Os blocos lógicos foram trabalhados na sala para que as crianças reconhecessem

as formas geométricas e criassem figuras com as mesmas. Elas observaram através de

um passeio pelas ruas ao redor da escola que tudo tem espaço e forma, tarefas como

observar propicia a criança se relacionar com tudo que está a sua volta.

Foto 2. Acervo pessoal autorizado - Explorando o espaço observando as formas geométricas.

Nos jogos e brincadeiras, as crianças tinham a oportunidade de escolher o grupo

que iria jogar, nessa hora a quantidade de alunos presentes na sala era naturalmente

dividida por eles. Geralmente escolhiam os que consideravam mais espertos, situação

que sempre necessitava da mediação do professor. Foram oferecidas brincadeiras livres

no pátio da escola e jogos de pega varetas e Sudoku. No jogo de pega vareta vimos nos

registros feitos pelas crianças, estratégias que elas utilizam para somar as varetas e

contabilizar os pontos obtidos. Como o valor de cada cor estava exposto no quadro,

algumas crianças iniciaram agrupamentos apresentando noções de multiplicação. No

Sudoku era usado a memória e a inteligência espacial, a maioria das crianças tentavam

copiar amigos que tinham bons resultados e, quando lembravam usavam a mesma

estratégia


143

As escolas necessitam cultivar a espontaneidade, diálogo, convivência

em grupo, pois as crianças geralmente não brincam sozinhas, sendo

que o jogo proporciona oportunidades para ela pensar e falar, saber

combinar momentos de brincadeiras livres (lazer) e atividade

orientada. (KISHIMOTO,2008,p.56)

Foto 3. Acervo pessoal autorizado – brincadeiras livres

Foto 4. Acervo pessoal autorizado – jogoscom regras


144

Ao cuidar da horta na escola, as crianças se organizavam responsabilizando cada

colega para uma tarefa. Neste momento eles também desfaziam o combinado quando

percebia que tinha muita gente em determinado grupo. Conversavam sobre o tempo do

plantio e o tempo marcado para a colheita, Nesse momento, usavam os dedos da própria

mão e também os dos colegas. Identificavam qual criança pegou mais folha pelo volume

dos sacos plásticos. Em determinado momento contavam as mudas que já apareciam e

faziam estimativa do tempo que já poderiam colher. Freudenthal (1994) apresenta dois

argumentos pedagógicos em favor dessa política da “reinvençao guiada” utilizada pelas

crianças na horta. Primeiro, ele considera que se aprende “mais” e “melhor” como

resultado de sua própria atividade, segundo, ele considera que a descoberta pode ser

divertida e, terceiro, nutre uma atitude de experimentação matemática como uma

atividade humana.

Foto 5: Acervo pessoal autorizado – cuidando da horta


145

Foto 6: Acervo pessoal autorizado – cuidando da horta

4. Conclusão

Ao realizarmos as atividades com as crianças vimos potencializada toda sua

força criativa e investigativa. Vimos a importância de um professor pesquisador que,

constantemente faça uso de novas práticas para auxiliar o processo ensino aprendizagem

de seus alunos. Quando a matemática se relaciona com a realidade dos alunos, o

ambiente escolar se torna mais prazeroso e eles interagem de uma forma mais

significativa. Não há limites para explorar Matemáticas em contextos ricos de

significados e as possibilidades de envolver as crianças e desenvolver suas

potencialidades são enormes. Oportunizar a construção/elaboração do conhecimento

matemático, por meio do fazer matemática, a todos os alunos de uma sala de aula,

certamente requer mais do que revisar, explicar, mostrar, exercitar técnicas operatórias.

É necessário pensar o ensino de outra forma, de outro ponto de vista, se faz necessário

reinventar a Matemática

5. Referências

D’ AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: Da Teoria à Prática. 7.ed.

Campinas. SP: Papirus, 199

FREUDENTHAL, H. Revisiting mathematics education. 2 ed. Netherlands: Kluwer


146

Academic, 1994.

KAMII, Constance. A criança e o número: Implicações Educacionais da teoria de

Piaget por atuação com escolares de 4 a 6 anos. Campinas: 6 ed. Papirus, 1987.

KISHIMOTO, Tizuko M. Jogo,brinquedo,brincadeira e a educação. 11ª Ed. São

Paulo: Cortez, 2008.

SMOLE, Kátia Cristina Stocco; ROCHA, Glauce Helena Rodrigues; CÂNDIDO,

Patrícia Terezinha; STANCANELLI, Renata. Era uma vez matemática: uma conexão

com a literatura infantil. 6. ed. São Paulo: IME-USP, 2007.


147

SOLUÇÕES GEOMÉTRICAS COM O USO DE TECNOLOGIAS

Rafael Silva Ribeiro


[email protected]

André Oliveira Souza


[email protected]

Resumo:

Em vários tópicos no ensino da Matemática é comum ouvir-se questionamentos sobre o

porquê de estudar determinado assunto. Isso se dá devido ao sentido abstrato que a

Matemática tem. Na tentativa de responder a esse tipo de pergunta, o objetivo desse

trabalho é através de um problema, traçar diferentes estratégias de resolver o mesmo

problema. Para isso, será necessário apropriar-se de alguns conceitos matemáticos, mais

precisamente de geometria, para resolvê-lo. E para um melhor entendimento, propõe-se

o uso recursos tecnológicos, no caso o software GeoGebra, para uma maior precisão nos

resultados.

Palavras-chave: abstração; resolução de problemas; geometria; geogebra.

1. Introdução

Ao longo da história, a Matemática esteve presente nas principais civilizações

que são estudadas. Egito, Mesopotâmia, Grécia e tantas outras possuem vários registros

do desenvolvimento da Matemática. E muitas vezes era possível aplicar em resoluções

de problemas da época, que apareciam nas ciências em geral. Mas a partir do século

XIX ela começa a tomar uma forma mais abstrata, que causou uma certa separação

entre a matemática aplicada e uma matemática mais pura, carregada de abstrações.

Esse modo mais abstrato está presente até hoje em todos os níveis de ensino.

Geralmente, principalmente com alunos do ensino médio, acompanhados de

questionamentos sobre a utilidade de estudar certo assunto. Observe como Roque e



148

Pitombeira (2012) tratam este assunto.

Fala-se muito, hoje em dia, em inserir o ensino de um conceito matemático

em

um contexto. Justamente porque muitos alunos consideram a Matemática por

demais abstrata, ouvimos muitos pedidos para que ela se torne mais

“concreta”,

ligada ao “quotidiano”. Contudo, a Matemática é vista, ao mesmo tempo,

como

um saber abstrato por excelência. Diante disso, como seria possível torná-la

mais concreta?

A maneira sugerida para lidar com essa questão da abstração da matemática foi

através de uma atividade envolvendo a geometria. Por isso, opta-se em pesquisar e

sugerir uma atividade que possa enriquecer o aprendizado do aluno, seguindo

orientações de Brasil/Mec (2002).

A seleção das atividades a serem propostas deve garantir espaço para a

diversidade de opiniões, de ritmos de aprendizagem e outras diferenças

pessoais. O aspecto desafiador das atividades deve estar presente todo o

tempo, permitindo o engajamento e a continuidade desses alunos no processo

de aprender. Nesse sentido, a postura do professor de problematizar e

permitir que os alunos pensem por si mesmos, errando e persistindo, é

determinante para o desenvolvimento das competências juntamente com a

aprendizagem dos conteúdos específicos.

A geometria euclidiana plana não tem esse nome por acaso. Após a morte de

Alexandre, Boyer (1974) mostra que houve um esforço construtivo por parte de

Ptolomeu I e um grande centro de estudos foi levantado. Hoje, seria comparado a uma

universidade. Necessitando de professores para lecionar neste centro, que ficava na

cidade de Alexandria, Euclides acabou transferindo-se para lá, o que lhe proporcionou

escrever uma das maiores obras na área da geometria, Os Elementos.

A escrita desta obra é composta de uma série de definições e enunciados que em

algumas vezes usam elementos matemáticos não definidos previamente. Mas é em

seguida destas definições que Euclides lista cinco postulados que servem como base

para qualquer curso básico de geometria plana. Os cinco postulados são:


149

Existe uma única reta contendo dois pontos dados;

Todo segmento de reta pode ser estendido indefinidamente em todas as direções;

Existe uma circunferência com quaisquer centro e raio dados;

Todos os ângulos retos são iguais entre si;

Se uma reta intercepta outras duas retas formando ângulos colaterais internos

cuja

soma é menor do que dois retos, então as duas retas, se estendidas indefinidamente,

interceptam-se no lado no qual estão os ângulos cuja soma é menor do que dois retos.

Esta listagem forma um conjunto de postulados ou um sistema axiomático que

consiste num conjunto de verdades sobre a geometria. A partir deles, demonstrações de

teoremas e definições são feitas, até que se chegue nos conceitos básicos da geometria

que são utilizados nas aulas, sem muitos questionamentos dos alunos. Mas um material

axiomático dá condições de um aluno de ensino médio apropriar-se de conceitos e

propriedades de uma forma que ele possa utilizar na resolução de problemas?

Nesse sentido, a proposta deste trabalho é na forma de resolução de problemas,

mas que busca explorar a descoberta de conhecimentos por parte dos alunos ao

encontrar a solução de um problema. O maior desafio é mostrar que o mesmo problema

pode apresentar mais de uma resposta. O objetivo aqui é que eles usem a criatividade

para encontrar uma solução, baseada na experimentação e na descoberta do

conhecimento. Na sequência, espera-se que sejam necessários conceitos geométricos

para aprimorar as soluções.

Além disso, um outro fator que também tem bastante peso é o fato da não

inclusão de tecnologias digitais no ensino da Matemática. Segundo Brasil/Seb (2013) o

sujeito do ensino médio de hoje em dia, nasceu em uma outra geração, já acostumada

com outro tipo de comunicação. Acredita-se até que eles não conseguiriam visualizar

uma sociedade sem a internet ou algum equipamento tecnológico. E como os

professores são, em sua grande maioria, de outra época, há uma clara disputa entre o uso

de tecnologias e o papel do professor na sala de aula.


150

Ao invés então, da inserção da Matemática por conceitos e sua abstrações, parte-

se de uma situação real,(afinal, a Matemática desenvolveu-se assim), discute-se as

soluções e busca-se solucionar com ajuda de tecnologia, como régua, compasso e o

software de geometria GeoGebra. Após isso, espera-se que os conceitos matemáticos

sejam melhor entendidos em sua essência.

2. Aspectos teóricos e metodológicos

A primeira atividade deste trabalho é resolver o seguinte problema: Dadas três

casas, como mostra a Figura 1, pretende-se instalar um poço para uso comum das três

casas. Qual a melhor localização para este poço?

Figura 1 – Situação do problema proposto

Fonte: Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1074. Acesso em 12 de outubro de 2016.

A solução para um problema como este visa incentivar o aluno a pensar em uma

resposta e depois partir para sua execução. Uma discussão interessante que se abre aqui

é que a melhor localização depende das possibilidades que podem solucionar este

problema. Neste caso, em um levantamento feito com alunos que fizeram esta

atividade, a maioria respondeu intuitivamente que a melhor localização para o poço

seria no meio do triângulo. Outros mencionaram termos como bissetrizes, medianas,

ponto médio e termo as relacionados a triângulos. Na tabela 1, estão listadas as

respostas intuitivas dos alunos.

http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1074


151

Tabela 1 – Respostas iniciais dos alunos para o problema da localização do poço

Respostas intuitivas FA FR (%)

Meio do triângulo 22,00 57,89

Medianas 04,00 10,53

Bissetrizes 10,00 26,32

Outras/não responderam 02,00 5,26 Fonte: Os autores

Quase todas as respostas foram pertinentes, mas a partir daí lança-se a indagação

de como encontrar o meio ou os outros termos mencionados para a localização do poço.

Esse ponto que indicaria o meio da região é a mesma ideia de um ponto de equilíbrio.

Segundo Boyer (1974), o grego Arquimedes por volta de 250 a.C. desenvolveu muitos

estudos sobre alavancas e equilíbrio de corpos planos, onde ele descreve

matematicamente o centro de gravidade de um triângulo. Este ponto é denominado de

baricentro e particularmente no caso de um triângulo é o ponto de interseção entre as

suas medianas.

Considerando as três casas como os pontos A, B e C, temos um triângulo ao

traçarmos os segmentos AB, BC e AC. Com o auxílio de uma régua medimos o

segmento AB, onde localizamos o ponto D, de forma que AD = BD, ou seja, D é ponto

médio do segmento AB. De semelhante modo, encontramos os pontos médios E e F,

respectivamente localizados nos segmentos AC e BC. Os segmentos CD, BE e AF são

as medianas do triângulo ABC, que são segmentos de reta que encontramos ao ligar o

vértice de um triângulo com o ponto médio do lado aposto. Na Figura 2, o ponto de

interseção das três medianas está representado pelo ponto G. Este ponto é o baricentro

do triângulo, que neste problema seria a localização do poço.


152

Figura 2 – Baricentro de um triângulo feito com régua

Fonte: Os autores

Nota-se a quantidade de elementos que são definimos para definir um ponto de

localização. Neste exemplo, foram determinantes a construção de um triângulo e o uso

de segmentos, como as medianas, que foram construídos com auxílio de uma régua.

Neste sentido, a utilização de tecnologia também é um tema de muito debate no

ensino de geometria. Muitas vezes as escolas não estão preparadas com a infraestrutura

adequada, mas também alunos e professores não dominam o instrumento tecnológico

que possuem para melhorar o aprendizado. Além disso, muitos alunos e professores

entendem que um instrumento tecnológico deve ser necessariamente ligado a

computação ou a aparelhos modernos como tablets e telefones celulares. Na verdade, a

tecnologia é uma técnica empregada para solucionar algum tipo de problema. Aqui o

instrumento utilizado foi a régua.

Mas nada impede que também se faça uso de tecnologias digitais. Uma delas é o

software de geometria dinâmica GeoGebra, versão 4.2, que é livre pode ser encontrado

no site www.geogebra.org. Também é possível encontrar vários tutoriais na internet,

inclusive em vídeo. Uma sugestão é o site http://www.geogebra.im-u_.mat.br/ do

Instituto GeoGebra no Rio de Janeiro, que também fornece suporte técnico. O software

http://www.geogebra.im-u_.mat.br/


153

permite fazer construções geométricas, e no caso dos conceitos básicos que foram

pedidos, todos eles possuem o comando correspondente, bastando clicar e escolher a

opção pedida, como mostra a Figura 3.

Figura 3 – Escolha de elemento a ser construído pelo GeoGebra.

Com o auxílio do software, também é possível encontrar a mesma solução, só

que com o recurso do computador, as construções saem perfeitas e se houver algum erro

durante o processo, é mais fácil de fazer a correção. Realizando o mesmo procedimento

que foi feito com a régua, chega-se a construção mostrada na Figura 4.

Figura 4 – Baricentro de um triângulo feito com GeoGebra

Construindo geometricamente podemos perceber que as medianas se encontram

em um único ponto. Mas é possível mostrar isso matematicamente? Essa indagação


154

talvez seja o ponto equilíbrio entre a abstração e a prática. Para se ter esta resposta, o

professor deve estar preparado para também atuar no campo da abstração para mostrar

aos alunos o que muitas vezes somente a prática não conseguirá mostrar. Nesse caso

específico, o teorema de Cevas, pelo italiano Leonardo Cevas, mostra que realmente as

medianas de um triângulo encontram-se num único ponto interior ao triângulo.

Mas será que esta localização é a melhor possível? Mais uma vez procura-se

estimular a criatividade dos alunos na hora de sua resolução. Muitos dos que pensaram

que a melhor localização seria o meio do triângulo, deram esta resposta concluindo que

isto seria a mesma coisa que o poço estar à mesma distância de cada casa. É até uma

solução mais justa considerar que o poço deve ser equidistante às três casas. Basta que o

poço seja o centro de uma circunferência que passe pelas três casas.

Para isso, conta-se com o auxílio do compasso como outro instrumento

tecnológico que os alunos costumam não saber utilizá-lo. Com ele, serão construídas as

mediatrizes dos três segmentos do triângulo formado com as três casas do problema. A

mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a este segmento que passa pelo seu

respectivo ponto médio. Para encontrar a mediatriz relativa ao segmento AB, com um

compasso coloca-se a ponta seca no ponto A e traça-se a circunferência que passa pelo

ponto B. Analogamente e com a mesma abertura, fixando a ponta seca do compasso em

B traça-se a circunferência que passa pelo ponto A. As duas circunferências estão

tracejadas. Elas possuem dois pontos de interseção, G e H, como mostra a figura 6.

Unindo os pontos A; G; B e H forma-se um losango, pois os segmentos formados por

esses pontos tem a mesma medida. Assim, GH é a mediatriz do segmento AB, como se

vê na Figura 5.

Figura 5 – Mediatriz de um segmento


155

Repetindo o mesmo processo para os segmentos AC e BC, encontraremos as

outras mediatrizes deste triângulo. As três mediatrizes terrão um único ponto de

interseção, que

é denominado de circuncentro. O ponto O na Figura 6, é a localização do poço referente

ao triângulo ABC, que indicam as três casas do problema. Com a ponta seca do

compasso

no ponto O, constrói-se a circunferência que vai passar pelos pontos A;B e C.

Figura 6 – Circuncentro encontrado com compasso

Já na Figura 7, o circuncentro foi encontrado com a utilização do GeoGebra.

Como a mediatriz não é uma ceviana, não pode-se garantir que a localização do poço


156

será dentro do triângulo cujos vértices são as casas. Para exemplificar, a posição de

umas das casas foi alterada e colada no GeoGebra. Após a utilização dos comandos

corretamente, encontra-se o ponto D, que é a solução do problema.

Figura 7 – Circuncentro encontrado com o GeoGebra

Pela solução encontrada no Geogebra, pode se acrescentar o questionamento de

melhor localização. Embora a distância seja a mesma do poço para as três casas, é

evidente que ficará mais distante para todas as casas em relação a primeira solução. E

tantas outras situações podem ser exploradas por este problema, uma vez que os

triângulos possuem várias definições e propriedades.

3. Considerações e/ou conclusões

Estas atividades foram desenvolvidas nos anos de 2014 e 2016 com alunos do

ensino médio. Vale ressaltar que isso foi possível porque a escola possuía condições


157

físicas e tecnológicas adequadas para este objetivo. O laboratório de informática,

ambiente usado em grande parte de nosso trabalho, estava em boas condições de uso. A

função dele é apoiar no atendimento de aulas e outros fazeres que necessitem das

tecnologias. Infelizmente não é a realidade de todas as escolas.

As atividades propostas envolveram enriquecimento cultural, práticas

investigativas, novas metodologias, diferentes materiais de apoio e trabalho em equipe,

como indicam as diretrizes curriculares nacionais para a formação de professores da

educação básica. Também salientamos que as atividades que aplicamos foram uma

ótima oportunidade de fixar conteúdos que foram aprendidos ou que precisariam ser

reforçados, mas por outro lado exigiu muita determinação e paciência do professor.

Por fim espera-se que este trabalho contribua para qualificar tanto o ensinamento do

professor quanto o aprendizado do aluno, fazendo com que os aspectos qualitativos

prevaleçam sobre os aspectos quantitativos, seguindo orientações da lei de diretrizes e

bases da educação brasileira.

4. Referências

ALVES, R. S. O. A comunidade. M3 - Matemática Multimídia. Guia do professor.

Disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1074. Acesso em 14 de setembro de

2016.

BRASIL/MEC. PCN Ensino Médio: Orientações educacionais complementares aos

Parâmetros Nacionais Curriculares. Ciências da Natureza, Matemática e suas

tecnologias. Brasília, MEC/SENTEC, 2002.

BRASIL/SEB. Formação de professores do ensino médio. Etapa I. Caderno II: o

jovem como sujeito do ensino médio. Curitiba, Universidade federal do Paraná, 2013.

BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo, Universidade de São Paulo, 1974.

ROQUE, T. M.; PITOMBEIRA, J. B. Tópicos de História da Matemática. Rio de

Janeiro: Coleção Profmat. Sociedade Brasileira de Matemática, 2012.

http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1074


158

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA E SOCIOLOGIA EDUCACIONAL: UM

ESTUDO SOBRE EVADIDOS DO ENSINO SUPERIOR À LUZ DA

SOCIOLOGIA DE PIERRE BOURDIEU

Yasmim Giles Santana


[email protected]

Uberdan da Silva Plácido


[email protected]

Franciele Quaresma


[email protected]

Caroline da Silva Soares


[email protected]

Antonio Donizetti Sgarbi


[email protected]

Silvio Luiz da Costa

Universidade de Taubaté - UNITAU

Resumo:

Este texto tem como objetivo descrever e analisar, falas de evadidos de dois

cursos superiores, na cidade de Vitória – ES, à luz da Sociologia da Educação de

Bourdieu. Trata-se de uma pesquisa de cunho qualitativo, nos moldes de estudo de caso,

que utilizou como técnica a entrevista. Ao analisar os dados construídos na perspectiva

de Bourdieu percebe-se que a questão da evasão envolve a pessoa que não pode pagar,

que não consegue conciliar trabalho e estudo ou ainda que não tenha condições de um

bom acompanhamento nos estudos. Mas, envolve também outros aspectos como a

própria estrutura das instituições de ensino superior que deve acolher o novo estudante

ou políticas públicas que possibilitem, por exemplo, a adequação da vida estudantil e

vínculo empregatício. Concluí-se que o abandono dos cursos superiores não pode ser

apontado como fracasso dos indivíduos, mas sobre os mecanismos de seleção presente

ao longo do processo.

Palavras-chave: Evasão escolar; Sociologia da Educação;






159

1. Introdução

Nos últimos anos no Brasil houve uma expansão do ensino superior. Muitas

pessoas conseguiram entrar e permanecer na Faculdade. Muitos tiveram esta

oportunidade e se formaram sendo, em grande parte, os primeiros de suas famílias a

conseguirem um diploma universitário. Mas, também, tivemos aqueles que tentaram e

não conseguiram concluir. Este texto nasceu de um estudo introdutório do sociólogo

Pierre Bourdieu, feita por alunos da uma Licenciatura em Matemática, onde se propôs

uma pesquisa, tendo como objeto a evasão escolar analisando-a à luz da teoria do

sociólogo francês. A proposta discutir a importância da sociologia educacional na

formação de professores, a partir de uma pesquisa de campo.

Ao estudar o texto da Professora Maria da Graça Jacintho Setton Uma

introdução a Pierre Bourdieu, observamos que ela discute a questao do “gosto” na

cultura à luz da teoria do sociólogo francês. Considera a Setton (2008) que Bourdieu

construiu um referencial teórico valioso no campo das ciências Humanas. O autor

desenvolveu uma sociologia engajada, comprometida com a denúncia dos mecanismos

de dominação que existem na sociedade ocidental capitalista. Setton afirma ainda que

para Bourdieu a sociologia é uma ciência que incomoda, por interpretar os fenômenos

sociais de maneira crítica. Partindo também deste suporte teórico, pretendemos neste

texto fazer a leitura de uma realidade social, a evasão nos cursos universitários.

Explicitando o que chamou de “concepçao relacional e sistêmica do social” em

Bourdieu, afirma Setton (2008):

A estrutura social é vista como um sistema hierarquizado de poder e privilégio,

determinado tanto pelas relações materiais e/ou econômicas (salário, renda) como pelas

relações simbólicas (status) e/ou culturais (escolarização) entre os indivíduos. Segundo esse

ponto de vista, a diferente localização dos grupos nessa estrutura social deriva da desigual

distribuição de recursos e poderes de cada um de nós. Por recursos ou poderes, Bourdieu

entende mais especificamente o capital econômico (renda, salários, imóveis), o capital

cultural (saberes e conhecimentos reconhecidos por diplomas e títulos), o capital

social (relações sociais que podem ser revertidas em capital, relações que podem ser

capitalizadas) e por fim, mas não por ordem de importância, o capital simbólico (o que

vulgarmente chamamos prestígio e/ou honra). Assim, a posição de privilégio ou não-

privilégio ocupada por um grupo ou indivíduo é definida de acordo com o volume e

a composição de um ou mais capitais adquiridos e ou incorporados ao longo de suas


160

trajetórias sociais. O conjunto desses capitais seria compreendido a partir de um sistema de

disposições de cultura (nas suas dimensões material, simbólica e cultural, entre outras),

denominado por ele habitus.

O indivíduo para Bourdieu é alguém socialmente configurado. “Os gostos mais

íntimos, as preferências, as aptidões, as posturas corporais, a entonação de voz, as

aspirações relativas ao futuro profissional, tudo seria socialmente constituído”

(NOGUEIRA; NOGUEIRA, 2002, p. 19). Porém, Bourdieu não aceita as abordagens

estruturalistas, aquelas que defendem a posição de que a experiência subjetiva estão

subordinadas às relações objetivas e nem as subjetivistas, aquelas que afirmam uma

autonomia incondicional do indivíduo ante às determinações sociais. Desse modo, o

ator da Sociologia da Educaçao do pensador “nao é nem o indivíduo isolado,

consciente, reflexivo, nem o sujeito determinado, mecanicamente submetido às

condições objetivas em que ele age” (NOGUEIRA; NOGUEIRA, 2002, p 20).

Para Bourdieu a formação inicial do indivíduo no ambiente social e familiar

fazem com que o indivíduo adquira uma certa postura que ele chamará de habitus

familiar ou de classe, que acaba influenciando o indivíduo em todas as suas ações. Além

do mais, cada qual vai acumulando um capital (cultural, social, econômico, simbólico)

que poderá significar um conjunto de vantagens ou de desvantagens no seu percurso

escolar.

Nessa direção, tendo esta sociologia educacional de Bourdieu como referencia,

este texto tem como objetivo descrever e analisar, falas de evadidos de dois cursos

superiores na cidade de Vitória – ES. Nossa hipótese é que o abandono dos cursos

superiores não pode ser apontado como fracasso dos indivíduos, mas sobre os

mecanismos de seleção presente ao longo do processo.

2. Metodologia

Trata-se de uma pesquisa, realizada por estudantes de um curso de formação de

professores de matemática, de cunho qualitativo, nos moldes de estudo de caso, que

utilizou como técnica a entrevista elaborada à luz de categorias tiradas da sociologia de


161

Bourdieu, conforme instrumento elaborado por Costa (2016). Foram realizadas

inicialmente várias entrevistas preliminares com evadidos [...] e depois foram feitas

duas entrevistas mais longas com dois sujeitos que se dispuseram a participar da

pesquisa. As respostas destas pessoas foram analisadas à luz da teoria do sociólogo

francês.

As entrevistas eram preparadas, no sentido de marcar um horário com um

encontro com o participante. Dois pesquisadores participavam da entrevista, assim um

podia anotar as respostas enquanto o outro conversava com o participante. Buscou-se

fazer neste momento aquilo que Bourdieu denomina de “inventário de vida” do

participante.

A entrevista mais longa foi dividida em cinco partes, a primeira delas versava

sobre a “aproximaçao – casa família e participaçao social”. A segunda versava sobre

percurso escolar e vida estudantil, a terceira sobre a motivação para o ensino superior, a

quarta era um relato de experiência sobre o ensino superior e a quinta parte era sobre a

desistência.

As respostas não seguiram rigorosamente este roteiro. No entanto os

pesquisadores optaram por respeitar o ritmo de cada um dos entrevistados. Lembramos

que o nome dos mesmos aqui no texto são fictícios para que seja preservada a

identidade dos mesmos.

3. Descrição e discussão de alguns dados construídos

Participou da pesquisa uma pessoa evadida do Curso de Matemática do Instituto

Federal do Espírito Santo – Ifes, a Lígia, e outra do Curso de Comunicação da

Faculdade Estácio de Sá, o Cláudio. Os dois cursos estão situados na cidade de Vitória -

ES.

A primeira parte da entrevista versou, sobretudo sobre o capital econômico

(bens, serviços que o sujeito tem acesso), social (conjunto de relacionamentos sociais

influentes mantidos pela família) e o capital cultural institucionalizado, basicamente os


162

títulos escolares. Desta forma a primeira parte da entrevista privilegiou estes aspectos.

Lígia iniciou a licenciatura no ano de 2012 aos 19 anos no Ifes e deixou o curso

no 6º período. Quanto ao nível de escolaridade dos seus pais, Lígia afirma que

estudaram até a 7ª série, ou seja o 8º ano do Ensino Fundamental, e seus dois irmãos

possuem apenas o ensino fundamental completo. Seu pai trabalhou durante quase toda a

vida na mesma empresa especializada em vidros e sua mãe nunca teve emprego.

Atualmente ela trabalha com vendas numa empresa na Praia do Canto em Vitória. E a

renda familiar gira em torno de quatro salários mínimos.

Cláudio é filho de pais que completaram o ensino médio, estudou por quatro

semestres na faculdade e embora tivesse escolhido o curso de comunicação por ter

identificação com a área, foi obrigado a deixar o curso por problemas de ordem

financeira. Os pais de Cláudio completaram o ensino médio e seus irmãos chegaram a

entrar na faculdade, mas não conseguiram terminar.

Cláudio afirmou que na época da entrada na faculdade tinha 21 anos, disse que

uma das coisas que mais o incentivou fazer o ensino superior foram as propagandas da

televisão. Disse ainda que, escolheu a Faculdade que era mais próxima de sua moradia.

Perguntado sobre a escolha do curso Claudio respondeu que escolheu o curso por se

identificar com ele e que queria atuar no mercado com aquela formação.

Uma interpretação das trajetórias destes sujeitos indica primeiramente que

ambos reuniram condições vantajosas que lhes permitiram chegar ao ensino superior.

Suas falas revelam participarem de condições familiares estáveis, inclusive

financeiramente. Os pais de Cláudio concluíram o ensino médio e seus irmãos chegaram

ao ensino superior, embora não concluíssem. Já os pais de Lígia tem ensino

fundamental II incompleto, com destaque para os incentivos à leitura e

acompanhamento nos estudos por parte de sua mãe que não tinha vínculo empregatício.

Com este capital cultural acumulado Lígia relata sua gosto pela leitura e consegue ser

aprovada para cursar matemática em um Instituto Federal. Merece destacar as

informações referentes a presença da sua mãe na vida estudantil, embora esta não tenha

passado da 7ª série, este seu capital está disponível para os filhos, sobretudo em razão


163

desta não ter vínculo empregatício.

Estes dados além de confirmarem o papel da vida familiar no percurso escolar

dos filhos, destacado por Bourdieu, estão ainda em consonância com os estudos de

Lahire (1997), o qual revela em suas pesquisas, o fato de que uma mãe analfabeta, mas

disponível para o incentivo e acompanhamento da vida escolar de seus filhos, pode ser

muito mais significativo do que pais com escolaridade maior, mas que não conseguem

colocar este capital à disposição de seus filhos, entre outros, por ter jornadas de trabalho

que impossibilitam estar próximo da vida escolar de sua prole.

Claudio discorreu sobre as atividades culturais e de lazer. Disse que todas estas

atividades estão ligadas a programas em família ou com amigos. Gostam de freqüentar a

praias, cachoeiras, fazer trilhas e fazer algumas viagens. Quando foi perguntado sobre a

presença da leitura em casa, Cláudio respondeu: “Infelizmente nao tenho recordações

sobre leituras quando criança”. Discorrendo sobre a formaçao e a situaçao financeira

dos parentes próximos Cláudio diz que a média do salário dos parentes próximos é de 4

(quatro) salários mensais e em relação a escolaridade lembra-se que tem parentes que

fez “curso técnico”.

Quanto a trajetória do Cláudio embora com pouco apreço para a leitura,

podemos destacar sua boa relação com a escola: “tinha uma ótima relaçao com os

professores, sempre fui muito comunicativo e desinibido, sem dificuldades”. Nessa

direção Claudio revela ainda sua participação em atividades culturais e de lazer com a

família ou com amigos, os quais gostam de frequentar praias, cachoeiras, fazer trilhas e

algumas viagens. O conjunto destas relações compõe o que Bourdieu chama de capital

social com papel significativo na trajetória do sujeito, tanto na vida escolar quanto na

inserção no mercado de trabalho. Em consonância, este sujeito opta pelo curso de

comunicação social, e agora em função de suas atividades profissionais gostaria de

poder retornar aos bancos universitários para realizar o curso de administração.

Bourdieu indica que um grupo social mais popular tenderia a adotar o que chama

de “liberalismo” em relaçao à educaçao dos filhos. A vida escolar dos filhos não seria

acompanhada de modo muito sistemático e nem haveria uma cobrança intensiva em


164

relação ao sucesso escolar. Na família dos dois entrevistados a escolaridade é baixa. Os

pais dos de Lígia somente completaram o ensino fundamental, e os pais de Cláudio,

chegaram a completar o ensino médio. Fica subentendido que não houve muita

cobrança por parte dos pais em relação aos estudos tanto de Lígia como de Cláudio.

Especificando melhor a questão da vida estudantil, a segunda parte da entrevista

versou sobre o percurso escolar. Neste ponto tinham-se como variáveis o passado

escolar e a valorização da cultura escrita. Assim sendo foi perguntado aos entrevistados:

tem livros em casa? Existe o costume de outras leituras que não os livros escolares.

Perguntou-se ainda como é o uso de computador e internet em sua casa, ou de forma

geral como eles se mantêm informado.

Claudio afirmou que tem poucos livros em casa e que se mantêm informado

através de jornais e revistas. Quanto aos hábitos de estudo informou que no momento

nao está estudando. Sobre sua vida escolar anterior à faculdade Claúdio afirmou: “tinha

uma ótima relação com os professores, sempre fui muito comunicativo e desinibido,

sem dificuldades”.

Lígia ao responder esta questão disse que sua mãe sempre ajudou desde pequena

nos seus estudos, além de cobrar na leitura. Hoje ela é apaixonada pela leitura ate tem

um estante de livros. Não estendeu muito seus comentários.

Aprofundando um pouco mais esta questão a terceira parte da entrevista versou

sobre a motivação que o entrevistado teve para o ensino superior. A idéia era saber se

houve motivação por parte da escola, dos professores, dos colegas. Perguntou-se

também quantos, dos que terminaram o ensino médio com o entrevistado, entraram na

faculdade.

Lígia disse que entrou na faculdade influenciada por seus amigos e familiares.

Ela não teve incentiva pelos professores de estudar para o ENEM a não ser de se

inscrever, e somente com os conhecimentos adquiridos na escola onde cursou o ensino

médio conseguiu passar na prova de seleção para o Ifes.

Cláudio respondeu que a motivação para entrar na faculdade era puramente

profissional e que não teve mais contato com os colegas do ensino médio.


165

O olhar para a vida familiar e escolar da trajetória dos sujeitos desta pesquisa

permitiu registrar condições vantajosas que possibilitaram concluir o ensino médio e

adentrar no ambiente universitário. Entretanto na direção do foco deste texto pode-se

observar as condições desvantajosas que acabaram por culminar no abandono do curso

superior. À primeira vista destaca-se por parte dos próprios sujeitos as condições

financeiras, seja na necessidade de trabalhar apontada por Lígia, seja na dificuldade de

arcar com as mensalidades apontadas por Cláudio. No entanto, seguindo a compreensão

de Bourdieu que destaca ao lado do capital econômico, a importância do capital cultural

e social e, ainda, a pesquisa de Costa (2016), que também aponta nas trajetórias de

evadidos do ensino superior uma relativização do peso do fator econômico nos

processos de desistência dos bancos escolares, podemos observar nas falas dos sujeitos

desta pesquisa outros fatores condicionantes para a evasão.

Destacamos primeiramente, as motivações relacionadas ao ingresso no ensino

superior, em especial às condições da escolha. Uma primeira questão incide sobre o

papel da escola nas motivações para o ensino superior. Lígia destaca que teve

simplesmente incentivos para a inscrição no ENEM e uma preparação para a realização

da prova não aconteceu e Cláudio não fez qualquer manifestação nesse sentido. A

escolha do curso.

Quanto à escolha do curso, as falas de Cláudio revelam os incentivos advindos

da propaganda televisiva e que a motivação para entrar na faculdade era puramente

profissional. Cláudio traz ainda como um dos condicionantes foi realizar um curso

disponível próximo de sua moradia. Já Lígia revela a influência da família e de amigos.

Sobre a vida universitária Cláudio comenta a continuidade dos bons relacionamentos

com os professores e colegas, mas não revela um maior envolvimento com o curso.

Quanto a Lígia, que apesar de ter chego ao sexto período do curso de licenciatura em

matemática, afirma de forma mais direta que não se identificou com o curso e que

estava insatisfeita com as aulas e com a faculdade. Estes elementos sugerem, que ao

lado das limitações de ordem financeira, pesam a fragilidade no processo de escolha do

curso. A ausência de um maior envolvimento com o curso, ou uma insatisfação com o


166

mesmo, faz com que as dificuldades não se apresentem como obstáculos a serem

superados, mas como muros intransponíveis. Ambos os sujeitos já tinham alcançado a

metade ou mais dos cursos que realizavam, se tivessem motivados, entusiasmados com

os mesmos a busca por alternativas ante os obstáculos poderiam ser mais empolgantes

do que os relatados.

A quarta parte da entrevista privilegiou questões sobre a experiência no ensino

superior. Quanto tempo cursou? Quem mais apoiou o participante da pesquisa. Como

eram pagas as mensalidades, no caso de escola privada. Claudio disse que freqüentou a

faculdade por dois anos e que ele mesmo era responsável pelo pagamento da faculdade

e que não tinha bolsa.

Lígia estudou em escola pública, mas tinha seus gastos. Ela mesmo sempre

arcou com seus gastos como passagem de ônibus e alimentação.

Outra questão era relacionada a acolhida na faculdade, relações com os colegas,

envolvimento na sala de aula, participação em outras atividades além das aulas, relações

com os professores e coordenação. Claudio disse que sempre teve bom relacionamento

com todos e que até hoje cultiva as amizades do tempo da faculdade.

Sobre os estudos: acompanhamento das aulas, registros, leituras, trabalhos

individuais e em grupo, estudo em casa, tempo e lugar de estudo. Estudo para a prova,

como acontecia. Como foram as experiências com as provas, como eram as aulas e a

diferença que via em relação ao ensino médio, Claudio respondeu que percebia que as

aulas eram mais dinâmicas que as aulas do ensino médio. Disse também que estudava

na faculdade e em casa.

Outra questão: desse tempo que esteve na faculdade, o que foi mais

significativo? Perguntou-se o que foi bom, o que não foi bom e situações difíceis.

Claudio disse que foi importante ter conhecido o mercado de trabalho e que tudo tinha

sido muito bom, menos ter que deixar o curso pela metade.

A quinta parte da entrevista versou sobre a desistência. A primeira questão era:

como foi a saída da faculdade? Qual motivo foi mais importante para a desistência...

Claudio disse que a dificuldade foi financeira. Outra questão foi sobre a tomada de


167

decisão de deixar a faculdade: com quem conversou sobre o assunto? Disse ainda que

conversou com o irmao, mas que “nao houve decisao, pois não tinha outra opção. Era

inviável continuar”. Perguntado sobre como é falar sobre o assunto, Claudio disse que é

tranqüilo. Que já faz muito tempo que saiu e que teve oportunidade de fazer outros

cursos. Tudo indica que não foram cursos universitários. Ainda foi perguntado se antes

de sair o entrevistado falou com algum professor ou com a coordenação. Se houve

preocupação por parte de alguém da faculdade com sua saída e se a faculdade poderia

ter feito alguma coisa para evitar a sua saída. Cláudio respondeu: “foi conversado, mas

nao houve negociaçao”.

Quando perguntado sobre o que significou o abandono do curso disse: “na época

fiquei muito triste, pois adorava o curso e não queria ter desistido, mas infelizmente

não havia condições financeiras de continuar”.

Lígia disse que no momento que ela começou com curso estava trabalhando em

um shopping, então não havia sábado, domingo e feriado para estudar. Ela indica que

foi difícil conciliar os estudos com o trabalho já que saía do seu serviço direto para o

Ifes, assistia às aulas e quando chegava em casa, só queria dormir e descansar. “Nao

havia tempo pra livros, listas, cadernos, trabalhos e provas, apenas trabalho”.

Cabe destacar os relatos de Lígia sobre a relação trabalho e estudo. “Eu estava

sempre muito ocupada e os estudos foram ficando de lado, até que não foi mais possível

continuar. As provas me deixavam louca, porque raramente conseguia revisar a matéria

antes da aplicação. “Minha principal complicação foi o trabalho e a falta de tempo para

os estudos, isso me tirou do rumo totalmente (...)” “e não podia largar meu trabalho

naquele momento”. As falas revelam as prioridades do trabalho condicionando a vida

estudantil. Temos neste caso, como aponta Paula e Vargas (2011) a situação do

trabalhador estudante e não do estudante trabalhador, pois o estudo é pensado a partir

das exigências do trabalho. Sendo esta uma situação corriqueira, sobretudo para os

jovens das camadas desfavoridas que chegam aos bancos universitários, destacamos a

importância do apontado pelos autores supracitados no sentido de se desenvolver uma

legislação que crie condições favoráveis que possibilitem uma melhor adequação entre


168

trabalho e estudo.

A última parte de entrevista versava sobre o tempo pós-faculdade. Uma das

questões foi se o entrevistado pensa em voltar à faculdade, se há algum incentivo, se há

alguma dificuldade ou resistência. Porque voltaria e qual sua situação ocupacional no

momento. Cláudio respondeu que voltaria e que sua maior motivação é ter um diploma

de curso superior. Que é um sonho que trabalha na área da administração. Perguntado

sobre o ensino superior se era uma promessa de futuro, de emprego, de mudança de

vida. Qual sua opinião sobre este assunto e se considerava isto uma verdade e quais

eram seus sonhos. Claudio respondeu que o ensino superior era uma promessa de uma

vida profissional mais realizada que considera isto uma verdade e que pretende ainda

fazer uma faculdade.

No final da entrevista foi dito: quanto ao que conversamos, quer acrescentar

alguma coisa? Alguma pergunta. assunto que não apareceu. Claudio respondeu dizendo:

“tive que abandonar o curso apenas por motivos financeiros. Eu quem pagava as

mensalidades, mas infelizmente na época fique desempregada e não dava para

continuar. Tentei conversar e negociar esse problema com a faculdade, mas na época

não houve negociações. Ainda pretendo voltar a fazer faculdade, mas não mais o

mesmo curso. Agora pretendo cursar administração.

Lígia respondeu que são varias as razões pelas quais ela deixou de estudar: não

se identificou com o curso, teve dificuldade de conciliar a faculdade com o trabalho, e

também de acompanhar o conteúdo das aulas. Lígia ainda afirmou que se sentiu

insatisfeita com as aulas e faculdade. Falou da importância de obter um curso superior.

Indica que este daria uma qualificação e permitira melhorar sua vida e que não é uma

perda de tempo. Entre seus planos quer começar a estudar Arquitetura.

4. Considerações conclusivas

A riqueza dos dados levantados sobre as trajetórias dos sujeitos desta pesquisa

revelam a importância de uma pesquisa qualitativa, pois se pode no mergulho na

singularidade das experiências individuais realçar elementos condizentes com um


169

universo mais amplo. Desse modo, esta pesquisa sobre a evasão no ensino superior

destaca primeiramente as condições vantajosas do sujeito que possibilitaram superar os

degraus da vida escolar até chegar ao ensino médio, porém situações limitadoras

inviabilizaram a conclusão do ensino superior. Destas destacamos primeiramente na

análise dos dados, a fragilidade no processo de escolha, motivada pelo marketing,

influência de familiares e amigos e a inserção no mercado de trabalho. Destacou-se

também a ausência de um maior envolvimento e a insatisfação com o curso/faculdade.

Estes elementos permitem relativizar o peso das limitações financeiras, o qual ganha em

um primeiro momento maior visibilidade, até em função de ser mais fácil tanto para o

sujeito quanto para as instituições apontá-lo como o fator que causador da evasão.

Entretanto, em consonância com os estudos de Bourdieu, o desempenho na vida escolar

é acompanhado de outros fatores como o capital cultural e da forma como este é

acolhido na instituição escolar.

Desse modo, essa perspectiva permite olhar o fenômeno da evasão escolar não

apenas a partir do evadido: o que não pode pagar, que não consegue conciliar trabalho e

estudo ou ainda que não tenha condições de um bom acompanhamento nos estudos.

Mas, sugere-se um dividir as responsabilidades com as instituições escolares que

preparam ou não estes sujeitos para entrar na vida acadêmica, com as instituições de

ensino superior que os acolhe, e ainda pode-se falar de políticas públicas que

possibilitem, por exemplo, a adequação vida estudantil e vínculo empregatício.

Por fim percebeu-se que a experiência de licenciandos em matemática estudar

sociologia da educação a partir de uma pesquisa de campo envolvendo uma questão

social em que estão envolvidos foi muito significativa, embora não houvesse muito

tempo para aprofundar as questões. O que pode ser feito por ocasião da redação do texto

em tela.

5. Referências


170

COSTA, Silvio Luiz. A luta pelo ensino superior: com a voz, os evadidos. Tese

(Doutorado). Faculdade de Educação, USP, São Paulo, 2016.

http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-18082016-155145/pt-br.php

LAHIRE, Bernard. Sucesso escolar nos meios populares: as razões do improvável.

São Paulo: Ática, 1997.

NOGUEIRA, Claudio Marques Martins; Nogueira Maria Alice. A sociologia da

educação de Pierre Bourdieu: limites e contribuições. Educação e Sociedade, ano XXIII,

nº 78, p. 15-76, abril, 2002.

PAULA, Maria F. C. e VARGAS, Hustana Maria. Novas fronteiras na

democratização da educação superior: o dilema trabalho e estudo. Texto

apresentado na34a. Reunião Anual da Associação Nacional de Pós-Graduação e

Pesquisa em Educação,Natal, 2011. Educação e Justiça Social.

http://34reuniao.anped.org.br/images/trabalhos/GT11/GT11-418%20int.pdf

SETTON, Maria da Graça Jacintho. Uma introdução a Pierre Bourdieu. Revista Cult,

ed. 128. Disponível em: http://revistacult.uol.com.br/home/2010/03/uma-introducao-a-

pierre-bourdieu/ Acesso em 29 de junho de 2016.

http://34reuniao.anped.org.br/images/trabalhos/GT11/GT11-418%20int.pdf

http://revistacult.uol.com.br/home/2010/03/uma-introducao-a-pierre-bourdieu/

http://revistacult.uol.com.br/home/2010/03/uma-introducao-a-pierre-bourdieu/


171

ANÁLISE DE CONTEÚDO DAS QUESTÕES DE MATEMÁTICA DO ENEM E

OBMEP

Luzitânia Dall’Agnol

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul

[email protected]

Diogo Chadud Milagres


[email protected]

Gelson Franco dos Santos Júnior


[email protected]

Marina Peregrinelli Barboza


[email protected]

Resumo:

Neste trabalho foi feita uma investigação com as questões do ENEM e da OBMEP das

edições de 2011 e 2012, na área de Matemática, para que os dados obtidos –

basicamente, a que tópico(s) essas questões pertencem e em que momento elas podem

servir de instrumento de ensino, em qual ementa de qual semestre letivo – possam ser

utilizados nos conteúdos de Matemática e afins ministrados nas salas de aula do IFMS.

O objetivo é aplicar em sala de aula (o que já está sendo feito nos 6º semestres do IFMS

Aquidauana) e expandir essa análise para outras disciplinas que são abordadas no

ENEM, por meio de Grupo de Pesquisa. Para isso, lançamos mão dos seguintes

conceitos educacionais: Avaliação Formativa, Pedagogia Crítico-social dos Conteúdos,

Aprendizagem Significativa e Análise de Conteúdo.

Palavras-chave: Análise de Conteúdo; ENEM; OBMEP.

1. Introdução

O referido projeto tem como objetivo analisar as questões do Novo ENEM, no

que tange à Matemática e suas Tecnologias, para que em um futuro próximo esses

dados possam dar suporte à aplicação das questões dessa importante avaliação de

âmbito nacional nos conteúdos de Matemática e afins ministrados nas salas de aula do


172

IFMS, Câmpus Aquidauana, buscando reforçar alguns pilares do Exame Nacional do

Ensino Médio: democratização (do processo seletivo para o Ensino Superior),

contextualização e interdisciplinaridade. Além disso, os autores visam expandir essa

análise para outras disciplinas que são abordadas no ENEM, por meio de Grupo de

Pesquisa, e explorar o assunto de forma mais aprofundada em um Programa de

Doutorado a ser iniciado nos próximos semestres. O mesmo deve ocorrer com as provas

da OBMEP, outra avaliação de referência nacional em relação à qualidade de suas

questões. As teorias educacionais envolvidas são: Avaliação Formativa (ANTUNES),

Pedagogia Crítico-social dos Conteúdos (LIBÂNEO), Aprendizagem Significativa

(AUSUBEL) e Análise de Conteúdo (PASSOS).

O objetivo principal em curto prazo é criar um material didático, de acordo com

as TICs, que permita ao estudante do Ensino Médio estudar as questões por

competências, de acordo com as matrizes de referência de competências exigidas nas

avaliações investigadas. Outros objetivos surgem, a médio e longo prazo, como

expandir a análise para as demais áreas que abrangem o ENEM e outras Olimpíadas

importantes e agregadoras, desconstruindo-as e utilizando-as na construção de novos

paradigmas do saber, inserindo-as em seus tópicos específicos nas ementas e

estimulando o Grupo de Estudos correspondente a criar questões do mesmo tipo para

estimular a multicompetência, multidisciplinaridade e contextualização das mesmas.

A metodologia adotada teve a sequência: Análise empírica das questões

referidas para separá-las em conteúdo conforme Matriz de Referência do ENEM (INEP,

2013) ee parâmetros da OBMEP; Estudo das teorias educacionais dos autores citados ao

final da introdução, enfatizando os seguintes aspectos: ANTUNES e a pedagogia

crítico-social dos conteúdos; LIBÂNEO e a tendência pedagógica progressista crítico-

social dos conteúdos. Baseando-se nesses autores e seus respectivos conceitos, nós

fomos motivados a investigar essas avaliações a fim de criar um material sobre o

assunto e posteriormente cursos e grupos de pesquisa para analisar essas questões

elaboradas. Para tanto, lançamos mão dos seguintes conceitos: aprendizagem


173

significativa (AUSUBEL) e análise de conteúdo (PASSOS); Análise de conteúdo com

base na metodologia de PASSOS.

Análises dos resultados da classificação dos estudantes em relação ao orientador

apresentaram melhoras significativas, após o aprofundamento nas referências utilizadas

na metodologia de consolidação dos conceitos fragmentados. Observa-se que mais uma

vez nesse ponto foi aplicada a aprendizagem significativa com os próprios orientandos,

em relação à análise feita em investigações empíricas, demonstrando assim a eficácia

dos conceitos educacionais trabalhados pela equipe. Finalmente foi possível

desenvolver um material que inspira ao estudante buscar a metodologia proposta de

forma natural. A metodologia também gerou uma proposta de curso de extensão com

aulas voltadas para a análise de conteúdo, separadas por competência.

Acredita-se que o empenho na construção do conhecimento significativo é a

chave para inserirmos a mudança necessária nos métodos de ensino realizados

atualmente, ainda enraizados ao tecnicismo. Isso foi feito, na forma documental, em

uma metodologia que envolveu principalmente a Análise de Conteúdo, uma

metodologia já consolidada desde os anos 70 e definida por BARDIN, L. (1977) como:

“Conjunto de técnicas de análise das comunicações visando obter, por procedimentos

sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens, indicadores (quantitativos ou

não) que permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção/recepção

(variáveis inferidas) destas mensagens”.

Este trabalho será apresentado da seguinte forma: no capítulo 2 serão discutidos

os referenciais teóricos escolhidos a partir da motivação de desconstruir as avaliações de

referência na área de Matemática (no caso ENEM e OBMEP), de forma a aproveitar as

questões adequadamente, além da metodologia aplicada. No capítulo 3 estão

evidenciados os resultados obtidos e no capítulo 4 concluímos o assunto demonstrando

o potencial que esse estudo traz para o Ensino de Matemática e como utilizar o material,

além de evidenciar propostas para futuros trabalhos.


174

2. Referencial Teórico e Metodologia

Em resumo, o trabalho foi desenvolvido atentando-se para as seguintes

características: que enfatizasse o modelo de avaliação continuada e descentralizada,

estimulando assim uma releitura constante dos exercícios, competências e habilidades

envolvidas; observando-se as tendências pedagógicas atuais, contextualizadas com o

cotidiano dos estudantes – da mesma forma que as avaliações investigadas;

considerando esses pontos de partida, os consideramos como motivação causal e, a

partir de então, buscamos que ferramentas pedagógicas nos auxiliariam a explorar essas

avaliações da melhor maneira possível; baseado nas competências e habilidade das

Matriz de Referência ENEM e nos materiais de apoio à OBMEP, buscou-se traçar

mapas conceituais que levassem a classificar as questões por conteúdo a grosso modo;

refinamos a classificação com o método da análise de conteúdo, porém utilizando como

base um trabalho de aplicação, e não de base teórica, pois estamos lidando com uma

equipe de estudantes pesquisadores de ensino médio.

A metodologia e os respectivos referenciais teóricos em que nos baseamos

consta a seguir:

- Celso Antunes – A avaliação da aprendizagem escolar: Para ANTUNES

(2002) e seus precursores (Piaget, Freire, Comênius), a avaliação da aprendizagem vai

muito além das temidas provas bimestrais, que mais parecem um teste de memorização

do que uma avaliação do aprendizado. Avaliar significa captar em sua essência o que o

educando está absorvendo como aprendizado. Isso envolve um processo de avaliação

continuada que abrange ferramentas muito mais diversificadas e dinâmicas, como

acompanhamento do desempenho nas tarefas diárias, trabalhos em grupo, investigações

em aulas diagnósticas. Somente dessa forma – através de um processo de avaliação

continuada e formativa – pode-se dizer com menos chance de erros se o educando está


175

apto ou não para prosseguir para a próxima etapa, podendo ser a próxima série na escola

ou o mercado de trabalho.

Paulo Freire também defendia o processo de aprendizado focado no “fazer”, nao

somente no “transcrever”. Fica claro, dessa maneira, que os processos nao só avaliativos

como também de ensino-aprendizagem envolvam conceitos e ações práticas. No

Instituto Federal esses objetivos são alcançados mais plenamente, devido ao Ensino

Médio integrado aos Cursos Técnicos de naturezas diversas.

- Libâneo – Pedagogia Crítico-social dos Conteúdos: LIBÂNEO (1982) faz

duras críticas à Pedagogia tradicional, em particular a uma tendência que ainda não foi

superada desde os tempos de ditadura militar, que é a Pedagogia Liberal Tecnicista,

altamente voltada aos métodos avaliativos e não no aprendizado em si. Por isso o autor

ressalta a importância da escola pedagógica progressista, que são defendidas nas

palavras do próprio autor:

“...partindo de uma análise crítica das realidades sociais, sustentam implicitamente as finalidades

sociopolíticas da educação. Evidentemente a pedagogia progressista não tem como

institucionalizar-se numa sociedade capitalista; daí ser ela um instrumento de luta dos

professores ao lado de outras práticas sociais”.

Em particular, o autor mostra sua preferência pela pedagogia crítico-social dos

conteúdos, onde, diferentemente de outras tendências pedagógicas progressistas

(Libertadora, de Paulo Freire, e libertária, que defende uma autogestão pedagógica –

uma pedagogia de dentro para fora), ressalta o aprendizado baseando-se na realidade

social.

Se formos fazer uma extensão desse conceito, podemos utilizar na Matemática

os elementos cotidianos dos educandos: um arado, uma construção civil, objetos do dia-

a-dia, contas para economizar no supermercado, gráficos e tabelas que inundam nossas

TVs e a Internet.


176

Nesse contexto pedagógico, envolvendo o processo de ensino-aprendizagem e o

processo avaliativo, notou-se que as avaliações de referência no Brasil, na área de

Matemática, que envolvem o IFMS – ENEM e OBMEP – seguem essas tendências

defendidas por Celso Antunes e José Carlos Libâneo. Tudo isso motivou-nos a

investigar essas avaliações a fim de criarmos um material sobre o assunto e

posteriormente cursos e grupos de pesquisa para analisar essas questões elaboradas e

que vão além dos métodos tecnicistas de fixação, mecânicos e contrários ao aprendizado

em si, somente mecanizando os algoritmos matemáticos, ao invés de inseri-los no meio

em que os fenômenos são observados: a natureza e a sociedade local.

- David Ausubel – Aprendizagem Significativa: Esse trabalho foi investigado

com o objetivo de criarmos uma metodologia de aplicação dos cursos preparatórios para

OBMEP e ENEM. Em resumo, o foco da metodologia que queremos adquirir,

colocando em prática a consolidação de conceitos fragmentados a partir de mapas

conceituais modelados com o conhecimento prévio do educando aliado ao conteúdo

mediado pelo professor, é preparar os estudantes para essas Avaliações buscando nele

mesmo os conceitos iniciais que envolvem cada questão. Lembramos aqui que todos os

conceitos matemáticos nesse molde crítico-social são em sua grande maioria lapidados

nos estudantes durante sua vida como criança e pré-adolescente, seja na escola, seja no

seu dia-a-dia.

O psicólogo David Ausubel classifica duas correntes de aprendizagem: a

significativa e a memorística. A memorística delimita o aprendizado, pois não evoca

conexões entre o aprendizado contido no educando e o novo conceito que ele acabara de

aprender. Já a aprendizagem significativa proporciona um elo entre o novo conceito

aprendido e sua utilização no dia-a-dia do estudante.

Exemplos primários de como os novos materiais aprovados pelo PNLD

(Programa Nacional do Livro Didático) trabalham a aprendizagem significativa são os

exemplos enunciados ao longo do texto. Pelo menos é o que foi observado no livro


177

didático utilizado no IFMS, Câmpus Aquidauana (Dante, 2013). São exemplos

amplamente contextualizados com situações reais e cujos métodos de resolução

explorados sao mais do que somente proposições em “matematiquês”, mas que

envolvem uma linguagem mais coloquial, trazendo uma proximidade entre o enunciado

em língua pátria e a linguagem matemática.

No entanto, todo esse esforço em se gerar materiais de qualidade não vai auxiliar

sozinho na aprendizagem significativa. É preciso que os educadores tenham consciência

que devem se atualizar constantemente e devem insistir sem cessar em exercícios que

envolvam o cotidiano do educando. Em particular no IFMS, onde os cursos de ensino

médio são integrados um curso técnico, é importante que os Planos de Ensino sejam

diferenciados, mesmo que contendo a ementa aprovada pelo NDE do curso, focando a

parte significativa da aprendizagem no tema central do curso em questão.

Para se praticar um processo de ensino-aprendizagem significativo deve se

seguir três premissas básicas: entender o nível de conceitos prévios de cada aluno, ou da

turma como um todo e focando individualmente nos extremos (muito acima ou muito

abaixo da média); fazer aulas introdutórias bem estruturadas, que foquem na vinculação

dos conceitos fragmentados dos alunos, evitando assim os famosos exercícios de

fixação, repetitivos e tão voltados para a formulação matemática específica que desliga

completamente alguma possibilidade de conexão com os conceitos prévios; e por

último, e necessariamente importante para se aplicar a aprendizagem significativa,

modificar os esquemas de como o sujeito entende/media a conflito entre os conceitos

prévios, os conceitos consolidadores recentemente aprendidos e as conexões entre os

dois lados.

A metodologia citada pelo Dr. Ausubel são os mapas conceituais. Em resumo,

um mapa conceitual é formado por frases resumidas (proposições) sobre os conteúdos

que estão sendo trabalhados, fazendo-se relações entre elas (lógica ou simplesmente

estrutural), uma espécie de árvore onde os nós pais são os conceitos mais abrangentes e


178

gerais possíveis e as ramificações sejam cada vez mais particulares e específicas. Esse

conceito será explorado em etapas posteriores caso haja continuidade do Projeto.

Pode-se complementar o conceito de Ausubel aplicando também ferramentas

significativas, que envolvam mais utilização de softwares e ferramentas atuais que

fazem parte do dia-a-dia do estudante do século XXI, trazendo maior atratividade do

estudante em relação ao conteúdo proposto.

- Marinez Passos – Análise de Conteúdo: Marinez Passos et. al. realizaram uma

pesquisa investigando em qual(is) conteúdo(s) as questões de Matemática do ENEM

estavam inseridas, baseando-se em três pontos cruciais: As competências necessárias

para a resolução das questões; os conhecimentos necessários para a resolução das

questões; e os contextos dos enunciados das questões.

Passos et. al. (2012) seguiram a metodologia da análise de conteúdo e assim essa

etapa do projeto foi desenvolvida em três etapas: a pré-análise; a exploração do

material; e o tratamento dos resultados, a inferência e a interpretação. Sendo que a pré-

análise, ou análise empírica, já tinha sido feita por outro grupo de estudantes (LOPES

et. al., 2013), e foi realizada antes mesmo do estudo teórico, justamente para

verificarmos o contraste entre o estudante que recebe uma prova do ENEM,

interpretando-a de forma caótica com uma série de questões que a princípio não são

nada amigáveis a ele; e a mesma análise por outro grupo de estudantes sem nenhum

vínculo com os primeiros, mas com todo o embasamento teórico e a prática sistemática

da metodologia, prontos para explorar o seu potencial e auxiliar na passagem desse

potencial a outros estudantes a partir de cursos de extensão, grupos de estudo ou

palestras.

3. Resultados

No trabalho de LOPES et. al. (2013), uma análise empírica, sem nenhuma

instrução sobre análise de conteúdo ou outra técnica, a não ser a seguinte instrução:


179

“baseado na Matriz de referência ENEM e nas Provas ENEM 2011 e 2012, classifique

as questões quanto à sua competência respectiva”, os resultados obtidos foram os

seguintes: paridade de cerca de 5% entre docente e discentes. Isso demonstra o quanto

os estudantes desvinculam o que se aprende em sala de aula com o que se pede em uma

avaliação importante como o ENEM.

Nesse trabalho, no entanto, houve uma significativa melhora nessa correlação.

Vejamos a seguir os resultados obtidos com a pesquisa do estudante 1:


180

Tabela 1: resultados das análises da Prova Azul do ENEM 2011 – Matemática.

Questões Doc. Disc.

Q136 C1 C3

Q137 C5 C5

Q138 C3 C3

Q139 C6 C6

Q140 C2 C2

Q141 C4 C4

Q142 C7 C7

Q143 C3 C3

Q144 C2 C2

Q145 C4 C4

Q146 C3 C6

Q147 C2 C2

Q148 C3 C3

Q149 C5 C1

Q150 C5 C5


Q151 C2 C2

Q152 C6 C6

Q153 C4 C4

Q154 C7 C7

Q155 C2 C2

Q156 C5 C5

Q157 C1 C1

Q158 C4 C4

Q159 C5 C5

Q160 C4 C4

Q161 C4 C4

Q162 C1 C1

Q163 C7 C7

Q164 C4 C4

Q165 C2 C2


Q166 C4 C4

Q167 C2 C2

Q168 C7 C7

Q169 C6 C6

Q170 C7 C7

Q171 C7 C7

Q172 C2 C2

Q173 C6 C6

Q174 C1 C4

Q175 C4 C7

Q176 C4 C6

Q177 C1 C1

Q178 C5 C5

Q179 C6 C6

Q180 C5 C5

Q: Questão; Doc.: Docente; Disc.: Discente; C: Competência conforme Matriz de Referência

ENEM.

Tabela 2: resultados das análises da Prova Azul do ENEM 2012 – Matemática.


Q136 C3 C6

Q137 C2 C2

Q138 C4 C4

Q139 C7 C7

Q140 C1 C5

Q141 C5 C3

Q142 C1 C5


Q151 C6 C6

Q152 C2 C2

Q153 C2 C2

Q154 C1 C1

Q155 C1 C1

Q156 C6 C6

Q157 C1 C1


Q166 C5 C5

Q167 C4 C4

Q168 C5 C5

Q169 C5 C5

Q170 C6 C6

Q171 C4 C5

Q172 C1 C1


181

Q143 C5 C2

Q144 C1 C4

Q145 C3 C3

Q146 C7 C7

Q147 C1 C6

Q148 C6 C6

Q149 C2 C2

Q150 C1 C1

Q158 C2 C2

Q159 C2 C2

Q160 C2 C2

Q161 C1 C1

Q162 C6 C6

Q163 C6 C7

Q164 C4 C4

Q165 C2 C2

Q173 C4 C4

Q174 C7 C6

Q175 C1 C6

Q176 C7 C4

Q177 C1 C3

Q178 C7 C4

Q179 C7 C7

Q180 C4 C5

Q: Questão; Doc.: Docente; Disc.: Discente; C: Competência conforme Matriz de Referência ENEM.

O índice de correlação Docente vs. Discente nesse caso ficou em torno de 75%,

notoriamente superior ao trabalho de analise empírica realizado 3 anos antes. Isso

demonstra a importância dessa prática e de como é importante a desconstrução dessas

importantes questões meticulosamente criadas para que tenhamos um material de

qualidade para aplicar e criar mais materiais em sala de aula, mudando-se o ritmo aos

poucos de uma educação ainda tecnicista para uma prática crítico-social dos conteúdos.

Para a OBMEP criamos outros parâmetros de classificação. Baseado nos mapas

conceituais de Ausubel, os seguintes classificadores foram considerados: Aritmética

(A), Análise Combinatória e Probabilidade (B) e Geometria (C). Inserimos também uma

quarta classificação, denominada Sem Classificação (S).

Os resultados do estudante 2 estão na tabela a seguir:

Tabela 3: Resultados das análises da Prova da 1a Fase da OBMEP 2011 e 2012.

2011 2012

Q Doc. Disc.

Q1 A A

Q2 C C

Q3 S C

Q4 B A

Q5 A A

Q Doc. Disc.

Q11 A A

Q12 B B

Q13 C C

Q14 A A

Q15 B B

Q Doc. Disc.

Q1 A A

Q2 A B

Q3 A A

Q4 A B

Q5 S C

Q Doc. Disc.

Q11 A A

Q12 C C

Q13 A A

Q14 C C

Q15 S B


182

Q6 C A

Q7 C A

Q8 S B

Q9 B A

Q10 C C

Q16 C C

Q17 A A

Q18 A A

Q19 A S

Q20 B B

Q6 C C

Q7 A B

Q8 C C

Q9 A A

Q10 C C

Q16 S B

Q17 C C

Q18 B B

Q19 A A

Q20 B B

Q: Questão; Doc.: Docente; Disc.: Discente; A, B, C, S: classificadores explicados

no texto.

Nesse caso a correlação ficou em torno de 70%. Nada mal, considerando-se que

nesse caso não havia uma matriz de referência específica e que as questões da OBMEP

envolvem um nível maior de complexidade.

4. Conclusões e Propostas

Observando as Avaliações de Referência no Brasil na Área de Matemática, para

escolas públicas – ENEM e OBMEP – fomos motivados a desconstruí-las, afim de

extrairmos delas seus significados para que sejam inseridas adequadamente em sala de

aula e em cursos de extensão e ensino para não só preparar estudantes para o ENEM e

melhorar o desempenho em Matemática, mas criar uma cultura de evolução pedagógica

que envolve um modelo de ensino mais galgado na prática contínua, prática e

contextualizada dos conteúdos das ementas, que sabe até estimular em médio e longo

prazo uma reestruturaçao das ementas das disciplinas do “núcleo básico”.

Utilizando diversas técnicas e aprofundamento teórico, conseguimos resultados

satisfatórios e acreditamos que isso possa evoluir para práticas sistemáticas em sala de

aula, o que já vem ocorrendo parcialmente com alguns Professores de Matemática do

IFMS Câmpus Aquidauana, em módulos adaptados nos semestres finais dos ensinos

médios integrados aos técnicos.

A forma de utilização atual do material foi a seguinte:


183

i. O professor, a cada sequência de duas ou três aulas, relembrava e fazia o passo

de aprendizagem significativa com os estudantes, referentes a 2 Competências do

ENEM;

ii. O professor colocou os estudantes a tentar classificar as questões do ENEM

2015 (Prova Azul – 1ª Aplicação), estimulando com 1,0 ponto por grupo que fizesse

esse trabalho;

iii. O professor separou as questões desse ENEM de acordo com os conteúdos da

Matriz de Referência ENEM e aplicou como tarefas, a cada período de duas ou 3 aulas;

iv. As correções também foram selecionadas por conteúdo/competência;

v. O professor finalizou essa etapa de aplicação dos estudos aqui relatados

lançando um exercício em grupo, valendo 30% da Nota do 1º Bimestre, que em resumo

pedia para que grupos de até 5 estudantes criassem uma questão de Matemática do

ENEM, multicompetências e contextualizada.

Como ainda é um Projeto-piloto, não foram colhidos dados de feedback por

parte dos discentes.

Os próximos passos incluem utilizar a metodologia já aprendida para

sistematizar a classificação das questões e fazer isso com as edições do ENEM desde

2009 (Novo ENEM) e com a OBMEP, em todas as suas edições, 1ª fase e 2ª fase. Em

seguida, o objetivo é criar um banco de dados digital onde o estudante ou o educador

possa acessar esse banco de dados e procurar uma questão do ENEM de diversas

disciplinas ou de Olimpíadas de diversas áreas, de acordo com a ementa, semestre

letivo, tópico específico ou outra linha de raciocínio pertinente.

5. Referências

ANTUNES, C. A avaliação da aprendizagem escolar. Petrópolis, RJ: Ed.


184

Vozes, 2002.

AUSUBEL, D. P. A aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel.

São Paulo: Moraes, 1982.

BARDIN, L. Análise de Conteúdo. Lisboa: Edições 70, 1977.

DANTE, L. R. Matemática: contexto & aplicações – 2. ed. – São Paulo:

Ática, 2013. Obra em 3 v.

INEP. ENEM – INEP. Disponível em <http://inep.gov.br/web/enem/>.

Acessado em Set-2013.

LIBÂNEO, J. C. Tendências Pedagógicas na Prática Escolar. Revista da

ANDE (Associação Nacional de Educação), n.6, 1982.

LOPES T. S. et. al. Análise de Conteúdo das questões do Novo ENEM –

Matemática: Uma Abordagem Empírica. III ENIC – Encontro de Iniciação Científica –

IFMS, Câmpus Nova Andradina, 2013.

OBMEP. Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas.

Disponível em <http://www.obmep.org.br/>. Acessado em Abr-2015.

PASSOS, M. M. et. al. As questões de Matemática no ENEM: análise de

conteúdo. Disponível em <http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/

article/download/6113/4983>. Acessado em Out-2012.


185

O JOGO DE XADREZ COMO FERRAMENTA AUXILIAR NO PROCESSO DE

ENSINO APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA ÍTULO



[email protected]



[email protected]

Jeú Chaves Lima


[email protected]

Bruno Marcos Bedoia Gomes Arguelho


[email protected]

Fernando Araújo de Oliveira Massa


[email protected]

Resumo:

O xadrez é um jogo de tabuleiro de natureza recreativa, com ele é possível despertar no

discente um pensamento reflexivo e crítico além de ser usado como ferramenta no

ensino da matemática. O projeto visa relatar uma experiência do PIBIC do Instituto

Federal de Educação do Mato Grosso do Sul, que visa inserir o xadrez no âmbito

escolar e apresentar a matemática que está inserida neste jogo. Foi possível mostrar

através do jogo a interdisciplinaridade entre os componentes curriculares de matemática

e educação física. A metodologia usada foram oficinas das quais foi apresentada a lenda

do xadrez, aprendizagem do jogo e suas regras e, relacionando-o com a matemática. Os

docentes relataram que houve, de forma significativa, uma mudança com relação aos

interesses e produção escolar nos alunos participantes do projeto, conclui-se que é

possível trabalhar com interdisciplinaridade, para produção de conhecimentos. O

referencial teórico foi digital e bibliográfico.

Palavras-chave: Jogo de xadrez; educação matemática; Interdisciplinaridade.


186

1. Introdução

Os jogos podem ser utilizados como ferramentas para a aprendizagem em sala

de aula, proporcionando bons resultados como recurso pedagógico, pois estimula a

participação e criatividade dos discentes. O jogo de xadrez proporciona para os

discentes um estímulo na resolução de problemas, principalmente quando o conteúdo a

ser estudado for de características abstratas. Se apresenta como um veículo de

informações e tem como proposito estimular, compreender e analisar estratégias, onde

ocorre a evolução da capacidade expressiva, muito presentes no ensino e aprendizagem

da matemática. A Matemática é um componente curricular presente não apenas no

contexto escolar, mas também no contexto extraescolar. Este projeto objetiva

demonstrar a importância dos jogos no processo de ensino e aprendizagem, no ensino

médio. Proporcionar discussões relevantes, garantindo através de dinâmicas, a

construção de conhecimento. Sabe-se que, formas lúdicas contribuem para o raciocínio

logico, estimula o pensamento, da segurança, disposição, concentração, além de

melhorar a socialização dos discentes. Segundo Rezende (2005, p.15),

Por causa de sua natureza lúdica o homem criou e desenvolveu inúmeros

jogos e desportos que o acompanha seu desenvolvimento na sociedade.

Dentre todos os jogos, o xadrez tem certo prestígio no mundo por ser um

esporte voltado para o desenvolvimento de algumas funções do cérebro tais

como o raciocínio lógico, a concentração e a atenção (REZENDE, 2005,

p.15).

Os jogos em sala de aula podem estimular os discentes a desempenhar um papel

ativo, além de promover a aceitação de regras, exigindo que os alunos interajam, tomem

decisões e criem novas regras. Os jogos podem ser utilizados para introduzir,

amadurecer conteúdos e preparar o aluno para aprofundar os itens já trabalhados.

Devem ser escolhidos e preparados com cuidado para levar o estudante a adquirir

conceitos matemáticos de importância. Devemos utilizá-los como ferramentas e

facilitadores para uma aprendizagem significativa e relaciona-los com alguns conteúdos


187

matemáticos.

A ideia principal desse recurso é a participação coletiva, atingindo os objetivos

proposto dentro do planejamento de aula. Sendo assim, o discente aprende o conteúdo e

se torna apto a enfrentar desafios, uma vez que os jogos preparam o aluno motivando-o

a participar e socializar-se. Assim como qualquer material didático, o jogo de xadrez

deve ser visto como recurso importante para auxiliar o docente no ensino da

matemática. Sendo assim um auxilio nos conteúdos matemáticos, principalmente nos

estudos de plano cartesiano, área de um polígono, frações e simetria entre outros. O

jogo de xadrez é um jogo centenário, um recurso utilizado nas aulas, ele contribui para

atender aos anseios dos discentes e explorar conteúdos matemáticos. Lasker (1999,

p.32) acredita que “a história da invenção do xadrez e de suas migrações através da

terra, por si só, já é interessante” [...], “não se sabe ao certo onde o xadrez começou,

mas há muitas histórias, mitos e lendas a seu respeito”. De acordo com Giusti ( 2006,

p. 24), “o xadrez é um jogo muito antigo, e não se sabe ao certo sua origem” [...]

"conta-se que o rajá indiano Balhait, entediado com jogos em que a sorte acabava

prevalecendo sobre a perícia e a habilidade do jogador, pediu a um sábio de sua corte,

chamado Sissa, que inventasse um jogo que valorizasse qualidades nobres, como a

prudência, a diligência, a lucidez e a sabedoria” [...]. “Sissa se apresentou ao rajá com

sua invenção. Tratava-se de um tabuleiro quadriculado, sobre o qual se movimentavam

peças de diferentes formatos, correspondendo cada formato a um elemento do exército

indiano: Carros (Bispos), Cavalos, Elefantes (Torres) e Soldados (Peões), além de um

Rei e um vizir (Rainha). Sissa explicou que escolheu a guerra como tema porque é a

guerra onde mais pesa a importância da decisão, da persistência, da ponderação, da

sabedoria e da coragem. O rajá ficou encantado com o jogo e concedeu a Sissa o

direito a pedir o que quisesse como recompensa”. [...] “Sissa concordou em fazer um

pedido: - Desejo, como recompensa, um tabuleiro de Xadrez cheio de grãos de trigo,

sendo que a primeira casa deve ter um grão, a segunda deve ter dois, a terceira deve


188

ter quatro, a quarta deve ter oito, e assim sucessivamente, dobrando o número de grãos

na casa seguinte, até encher todas as casas do tabuleiro com o número de grãos

correspondentes. O rajá se recusou a satisfazer um pedido tão modesto, e tentou

persuadir Sissa a escolher uma recompensa mais valiosa. No entanto, Sissa disse que

para ele bastava que lhe fosse conferida aquela recompensa, e nada mais” [...] “Foi só

então que o rajá ordenou aos seus matemáticos que calculassem a quantia exata que

deveria ser paga, e descobriu, para sua consternação, que todo o trigo da Índia não era

suficiente” [...] “A quantia era 264

- 1 grãos de trigo, que corresponde à soma da série:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1.024 + 2.048 + 4.096 + ... +

9.223.372.036.854.775.808, isto é, 18.446.744.073.709.551.615 grãos de trigo! Para

alívio do rajá, Sissa disse que já sabia que sua recompensa não poderia ser paga, pois

aquela quantidade daria para cobrir toda a superfície da Índia com uma camada de

quase uma polegada de espessura”.

A relação entre a Matemática e os jogos oportuniza explorar e descobrir a

vivência dos discentes, dando oportunidade desafiadora para desenvolver a capacidade

cognitiva, estímulos para respostas de problemas, concentração, atenção, estratégias,

paciência, autocontrole, autoconfiança, instiga a imaginação, exige responsabilidade. Na

concepção Piagetiana, os jogos geram um sentimento de domínio e prazer para os

discentes, eles consistem em auxilio para assimilação funcional e contribui para

momentos de descontração. De acordo por Borin, (1996. P.20),

Outro motivo para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a

possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de nossos

estudantes que temem a Matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-

la. Dentro da situação de jogo, onde é impossível uma atitude passiva e a

motivação é grande, notamos que, ao mesmo tempo em que estes alunos

falam Matemática, apresentam também um melhor desempenho e atitudes

mais positivas frente a seus processos de aprendizagem. (BORIN, 1996, p.

20).

Os jogos são elementos que possuem importância neles próprios, são,


189

geralmente atividades agradáveis em que o sujeito pode agir com espontaneidade,

liberdade e emoção. Essas atividades também podem contribuir para o desenvolvimento

físico e psicológico. Kamii (2001, p. 63), destaca que os jogos em grupo sao “situações

ideais para a troca de opiniões entre crianças. Neles as crianças são motivadas a

controlar a contagem e a adição dos outros, para serem capazes de se confrontar com

aqueles que trapaceiam ou erram”. O jogo exige que o jogador pense e tome decisões.

Os jogos são educativos e importantes sua utilização para a aprendizagem de conceitos

matemáticos e suas soluções, registros e discussões sobre possíveis caminhos que

poderão surgir. O mesmo deve ser usado em aulas de matemática, pois servirão de

aporte para os educandos desenvolverem seu pensamento lógico-matemático. Os jogos

são educativos, sendo assim, requerem um plano de ação que permita aprendizagem de

conceitos matemáticos e culturais de uma maneira geral.

De acordo com Piaget (1987, p.146), “o jogo constitui o polo extremo da

assimilação da realidade no ego, tendo relação com a imaginação criativa que será

fonte de todo o pensamento e raciocínio posterior”. O trabalho com a matemática em

sala de aula representa um desafio para o professor na medida em que exige que ele o

conduza de forma significativa e estimulante para o aluno. Geralmente as referências

que o professor tem em relação a essa disciplina vêm de sua experiência pessoal. Muitos

deles afirmam que tiveram dificuldades com aquela matemática tradicionalmente

ensinada nas escolas, que tinha como objetivo a transmissão de regras por meio de

intensiva exercitação. Pimenta (2016), aborda esse assunto e ressalta ser do

conhecimento de todos, que o xadrez vem a enriquecer não só o nível cultural dos

indivíduos, mas também várias outras capacidades apontadas, e uma outra, não menos

essencial para o convívio social. Cabe então descobrir novas metodologias de trabalhar

com a matemática, de modo que os discentes percebam que pensamos matematicamente

o tempo todo, resolvemos problemas durante vários momentos do dia e somos

convidados a pensar de forma lógica cotidianamente. A matemática, portanto, faz parte

da vida e pode ser aprendida de uma maneira dinâmica, desafiante e divertida. Para


190

Dinello (2004), o jogo representa:

Um âmbito de socialização, com uma grande liberdade de inventar regras e

relações, possibilitada pelo fato de situar-se à distância de determinismos

convencionais [...] o jogo apresenta situações próprias para descobrir-se

“como” o outro ou muito “diferente” dos outros: ambas as percepções sao

necessárias para ir construindo suas próprias referências. (DINELLO, 2004 p.

19).

Os jogos funcionam como recursos, processos e resultados, também é um meio

eficaz de integração social. O objetivo desse projeto é fazer com que os alunos

participantes aprendam sobre o xadrez e a matemática que envolve o jogo, e que

desenvolvam a atenção, paciência e o raciocínio lógico, propor algo interessante e

desafiador aos discentes e de permitir que os mesmos possam auto – avaliar o seu grau

de conhecimento e de dificuldades de aprendizagem, utilizando jogos confeccionados a

partir dos conteúdos estudados e aplicados para tornarem as aulas mais atrativas e

participativas. Para Julião (2009, p.25) salienta que nesta busca por melhorias, o ensino

de xadrez, incorporado como disciplina regular, de modo sistemático surge como uma

ótima opção, unindo o espírito inovador das instituições educacionais e a forte imagem

de intelectualidade que esse esporte oferece.

2. Metodologia

A metodologia do projeto foi de caráter exploratório, descritiva e longitudinal.

Inicialmente foi aplicado algumas questões envolvendo raciocínio lógico como forma

de verificar conhecimentos prévios dos alunos. Após resultados desta análise de

investigação, foi feito uma nova aplicação de atividades envolvendo atividades

matemáticas relacionadas com o xadrez, com objetivo de verificar se o discente

consegui fazer relação da matemática com o jogo propriamente dito.

O referido projeto teve como ferramenta o tabuleiro do xadrez, com 64 casas,

onde é composto por Peças - 32 peças, 16 brancas e 16 pretas, 2 Torres; 2 Cavalos; 2

Bispos; 1 Dama; 1 Rei; 8 Peões, cada peça tem seu movimento determinado pelas


191

regras e é executado por dois participantes, com o intuito de impor o xeque-mate ao

adversário ou o seu rendimento.

Figura 1. Tabuleiro de xadrez - Posição Inicial das Peças

O projeto ofereceu oficinas, com duas horas de duração, duas vezes por semana,

para apresentar a lenda do xadrez, as regras do jogo e a forma de jogar. Sendo estas

oficinas conduzidas por discentes, com orientação da coordenadora do projeto. Dando

sequência aos encontros, os integrantes foram se familiarizando com o mesmo.

Após ensinar a regra do jogo aos participantes, foi apresentado os conteúdos

matemáticos aplicados no tabuleiro de xadrez. Os discentes trabalharam resolução de

frações e simetria, resolução de problemas, porcentagem, intersecção, geometria,

simetria, figuras geométricas planas, área, raciocínio lógico no tabuleiro de xadrez.

Após todo este processo, foram reaplicadas novas questões de matemática para que os

discentes pudessem relacionar a matemática com o xadrez, tendo êxito nesta etapa. O

projeto foi finalizado com interdisciplinaridade envolvendo os componentes curriculares

de Matemática e Educação Física, com um torneio de xadrez, envolvendo além dos

participantes das oficinas, foi aberto aos discentes do Instituto Federal do Mato Grosso


192

do Sul- IFMS.

Figura 2. Alunos na Oficina de Xadrez. Fonte: Arquivo pessoal (2016)

3. Conclusões

O jogo de xadrez estimula diversas característica como: raciocino lógico,

pensamento crítico, concentração, autoestima, autonomia e confiança. Ele oferece ainda,

aos discentes uma maneira simples de aprender matemática prazerosamente. Ao buscar

a melhor combinação de jogadas, o discente aprende a pensar de uma forma geral e

analisa o problema, para encontrar o melhor caminho para sua solução. Este jogo ainda

proporciona a articulação, a análise e compreensão do todo e não apenas o problema a

ser solucionado. Os jogos e as brincadeiras são de extrema importância para o

desenvolvimento cognitivo da criança. Este jogo ainda proporciona a articulação, a

análise e compreensão do todo e não apenas o problema a ser solucionado. O jogo

analisa as diversas formas de atacar, resolver, selecionar estratégias de defesas, que em

sala de aula torna-se indispensável na hora de resolver exercícios matemáticos.

Os Jogos, as atividades lúdicas podem auxiliar no desenvolvimento cognitivo da

criança, auxiliando na integração social, organização do pensamento.Com o auxílio do

xadrez o discente cria flexibilidade para aprender as diversas atividades

extracurriculares, principalmente nos conteúdos de plano cartesiano, área de um


193

polígono, frações e simetria, resolução de problemas, porcentagem, intersecção,

geometria, simetria, figuras geométricas planas, área, raciocínio lógico entre outras

atividades conceituadas em matemática. Foi possível promover a interdisciplinaridade

entre os componentes curriculares de Matemática e De acordo com os relatos dos

professores, o comportamento, a postura e até mesmo as notas dos discentes que

participaram do referido projeto tiveram alterações positivas.

4. Referências

BORIN,J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de

matemática. São Paulo: IME-USP;1996.

DINELLO, Raimundo Angel. Os jogos e as ludotecas. Santa Maria: Pallotti, 2004.

p.16.

GIUSTI, P. História ilustrada do xadrez. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006.

JULIÃO, Taís. Xadrez Escolar: Uma lição gostosa de aprender. In:

http://xadrezescolarecompeticao.blogspot.com/2008/05 (Acesso 14/08/2016)

KAMII, Constance. A criança e o número. Tradução: Regina A de Assis. 28ª edição.

Campinas, SP: Papirus, 2001.

LASKER, Edward. História do xadrez. Tradução de Aydano Arruda. 2 ed. São Paulo:

IBRASA, 1999.

PIAGET, J. Seis Estudos de Psicologia. 1. ed. Rio de Janeiro: Forense-Universitária,

1987. 146 p.

PIMENTA, Ciro José C. Xadrez: esporte, história e sua influência na sociedade. In:

www.cdof.com.br/xadrez.htm, (Acesso 21/09/2016)

REZENDE, Sylvio. Xadrez pré-escolar: uma abordagem pedagógica. Rio de Janeiro:

Editora Ciência Moderna Ltda, 2005.


194

PROPOSTA DE IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORITMO DE GAUSS-JORDAN

EM LINGUAGEM C PARA AUXILIAR O APRENDIZADO DE TÓPICOS DE

ÁLGEBRA LINEAR



[email protected]



[email protected]

Resumo:

O objetivo desse trabalho é criar um ambiente de aprendizado de Álgebra Linear para

exercícios que envolvam escalonamento de Matrizes e, consequentemente, operações

lineares. Os conceitos aprendidos nessa área se estendem ao estudo da inversão de

matrizes, solução de sistemas lineares e o cálculo de determinantes. No entanto, são

cálculos que tomam bastante tempo se forem feitos à mão, tornando esse rico conteúdo

de raciocínio lógico em algo enfadonho para os estudantes e também para o professor.

Assim, propõe-se com esse trabalho demonstrar um implementação dos algoritmos

principais dessa área da Álgebra Linear em Linguagem C, para auxiliar no ensino de

Álgebra Linear sem tomar tempo do professor e chamando a atenção dos estudantes de

hoje, cada vez mais ligados às tecnologias digitais.

Palavras-chave: Álgebra Linear; Algoritmo de Gauss-Jordan; escalonamento.

1. Introdução

Matrizes bidimensionais são representações matemáticas de tabelas (DANTE, L.

R., 2000.). A partir de sua definição matemática, é possível trabalha-la de diversas

formas, envolvendo determinantes e sistemas de equações lineares (BOLDRINI, 1980),

(DANTE, L. R., 2000.), (LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M., 2004). Uma forma eficaz de se

resolver diversos problemas de Álgebra Linear é o método do escalonamento

(LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M., 2004). Porém, como a ordem de complexidade

computacional desses algoritmos é de O(n3) (CORMEN, T. H. et al., 2009), quanto

maior a quantidade n de variáveis, maior o número de operações matemáticas


195

(BOLDRINI, 1980), e uma aula na lousa torna-se demorada e cansativa, tanto para o

docente como para o discente.

O Algoritmo de Eliminação de Gauss - AEG (BOLDRINI, 1980),

(LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M., 2004), também chamado de escalonamento, calcula os

valores das variáveis de sistemas lineares de forma parcial, porque encontra (caso o

sistema seja possível determinado) somente uma variável, em geral. As outras

dependem do método da substituição, ou de algoritmos do tipo SOLVE, no caso de

softwares computacionais (WOLFRAM, 2015). Mesmo assim, utilizaremos o AEG para

transformar uma matriz quadrada em uma matriz triangular equivalente, onde o cálculo

do determinante fica bastante simplificado (BOLDRINI, 1980), (LIPSCHUTZ, S.;

LIPSON, M., 2004).

O Algoritmo de Gauss-Jordan (AGJ), (BOLDRINI, 1980), (LIPSCHUTZ, S.;

LIPSON, M., 2004), é muito útil para se encontrar a matriz inversa de uma matriz

quadrada, se houver. Considerando a aplicação em Sistemas Lineares, é possível adaptar

o algoritmo de Gauss-Jordan para encontrar a solução de um Sistema Linear Possível

Determinado.

O objetivo deste trabalho é demonstrar aplicações possíveis dessa ferramenta

computacional, tornando-a didática para ensinar Álgebra Linear, a partir do trabalho

inicial, puramente científico (MILAGRES, D. C., 2016).

Nos capítulos a seguir descreveremos a fundamentação teórica envolvida, a

metodologia aplicada, alguns resultados em forma de exemplos e as conclusões,

opiniões e propostas para continuar o desenvolvimento dessa ferramenta.

2. Metodologia

Antes de aplicar a metodologia, deve-se conhecer bem os problemas que se

pretende resolver. Vejamos os três problemas que propusemos resolver neste trabalho:


196

Algoritmo de Gauss-Jordan e a inversão de Matrizes

O Algoritmo de Gauss-Jordan resolve completamente o problema de encontrar

as soluções de um sistema linear SPD. Ao aplicarmos esse algoritmo em uma matriz

qualquer encontramos como resposta sua forma canônica (BOLDRINI, 1980).

Podemos primeiramente entender com detalhes como proceder para aplicar o

Algoritmo de Gauss-Jordan em uma matriz dada A (LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M.,

2004).

Seja a matriz A:

Figura 1. Matriz A com m linhas e n

colunas.

i. Ida: Equivalente ao AEG, ou escalonamento de A.

Passo 1: Organizamos as linhas de forma que, quanto mais acima, o primeiro

elemento não nulo de cada linha, chamado de pivô, esteja na mesma coluna ou mais à

esquerda que o pivô da linha de baixo.

Passo 2: Seja aij o primeiro pivô. Para eliminar o próximo elemento não nulo

desta j-ésima coluna (seja a(i + k)j), fazeos uma conta denominada eliminação:


197

O coeficiente fracionário da linha i serve para tornar o elemento a(i + k)j nulo.

Vamos chama-lo de fator.

Passo 3: Repete-se os passos 1 e 2 até que todos os elementos abaixo do pivô da

primeira coluna que contém um pivô sejam nulos.

Passo 4: Para a próxima coluna, repita os passos 1 a 3. O pivô deve estar pelo

menos uma linha abaixo do pivô anterior. Observe que, para cada nova coluna, o

algoritmo da ida será aplicado em uma submatriz de dimensões menores que a aplicação

na coluna anterior. Ao final desse processo, obteremos a matriz escalonada equivalente

à matriz dada.

ii. Volta: Consiste em encontrar a hermitiana canônica de A, a partir da matriz

A escalonada pela etapa de ida. A matriz hermitiana canônica relacionada a uma matriz

dada é uma forma especial de matriz escalonada, onde os pivôs valem um, as possíveis

linhas nulas ficam ao final da matriz, na coluna onde há pivôs os outros elementos são

nulos e o pivô da linha i está sempre à direita da linha i – 1.

Observa-se que a “volta” é bastante similar à “ida”, invertendo-se o sentido do

escalonamento. O passo 1 se simplifica, somente para transformar os pivôs no número

1. Vamos fazer “de baixo para cima”:

Passo 1: Cada pivô deve valer 1 (vide hermitiana canônica), multiplicando-se

sua linha equivalente pelo inverso do referido pivô.

Passo 2: Seja aij o primeiro pivô. Para eliminar o próximo elemento não nulo

desta j-ésima coluna (seja a(i - k)j), executamos:


198

Passo 3: Repete-se os passos 1 e 2 até que todos os elementos acima do pivô da

última coluna à direita que contém um pivô sejam nulos.

Passo 4: Para a próxima coluna à esquerda, repita os passos 1 a 3. O pivô deve

estar pelo menos uma linha acima do pivô anterior. Observe que, para cada nova coluna,

o algoritmo da ida será aplicado em uma submatriz de dimensões menores que a

aplicação na coluna anterior. Ao final desse processo, obteremos a matriz na forma

canônica equivalente à matriz dada.

Solução de Sistemas de Equações Lineares

Lembrando que podemos representar um sistema de equações lineares de forma

matricial, é possível trabalhar um sistema linear com o Algoritmo de Gauss-Jordan.

Uma das propostas aqui é adaptar o modelo do AGJ para resolver sistemas lineares,

juntando a matriz de coeficientes das variáveis (aij) com o vetor coluna B.

Figura 2. Um sistema linear de m equações e n variáveis e sua equivalência na forma matricial.

Figura 3. Adaptação do AGJ para

sistemas lineares.


199

Assim, após a aplicação do AGJ, teremos a matriz quadrada hermitiana, à

esquerda, e as respostas à direita, caso o sistema seja SPD. No caso de o sistema ser SPI

ou SI, o algoritmo de Gauss-Jordan não traz vantagens para a programação, então para

essa análise classificatória utilizamos a Regra de Crammer, que não é objeto do estudo

mostrado aqui.

Determinante por triangulação

Seja A é uma matriz triangular, ou seja, uma matriz quadrada cujos elementos

abaixo ou acima da diagonal principal são todos nulos, seu determinante é dado pela

multiplicação dos elementos da diagonal principal (DANTE, L. R., 2000.),

(LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M., 2004). Observa-se, na figura 4, que uma matriz

triangular é uma matriz escalonada, que podemos obter pelo AEG.

Figura 4. Matriz triangular inferior.

3. Resultados

Vejamos alguns exemplos de aplicação:

i. Calcule a inversa de A =

3335

0011

4121

2232

:

O programa retorna a matriz inversa:


200

[-0.818 1.090 3.000 0.909 ]

[-0.818 1.090 4.000 0.909 ]

[1.550 -1.730 -5.000 -1.270 ]

[1.000 -1.000 -4.000 -1.000 ]

ii. Resolva o sistema S =

0

3235

12

zyx

zyx

zyx

:

O programa retorna a matriz do sistema linear, no formato da matriz hermitiana

concatena adaptada para sistemas lineares conforme figura 3, mostrando que à esquerda

se formou a matriz identidade (e o sistema é SPD).

Sistema resolvido:

[1 0 0 -1 ]

[0 1 0 0 ]

[0 0 1 1 ]

x_1 = -1

x_2 = 0

x_3 = 1

iii. Calcule o determinante de D =

3432

4520

2201

3212

:

O programa retorna a matriz triangular cujo determinante é igual ao da matriz D.


201

[2 1 2 3 ]

[0 0.5 3 -0.5 ]

[0 0 -7 6 ]

[0 0 0 -11.4 ]

Pressione qualquer tecla para continuar...

det(A) = 80

Os resultados podem facilmente ser comprovados manualmente ou executando-

se os algoritmos compilados (MILAGRES, D. C., 2016).

4. Conclusões e Propostas

A princípio, o cálculo puramente não é o objeto deste trabalho, uma vez que

existem inúmeros softwares e implementações caseiras para esses fins. O que se espera

é desenvolver ferramentas de acordo com as Tecnologias da Informação e Comunicação

(TICs), mostrando não só os resultados, mas o passo-a-passo como se o professor

estivesse escrevendo na lousa. Isso dispensaria o enorme tempo gasto e atrairia os

olhares dos estudantes da área de TI, interessados no desenvolvimento de algoritmos, e

assim estimulados a aprender não só o desenvolvimento da Álgebra Linear de forma

dinâmica como também desenvolver os algoritmos em forma de programação.


202

Figura 5. Programa DetTriang sendo executado com uma matriz quadrada de

ordem 2.

No exemplo da figura 5, utilizamos uma matriz de ordem 2 cujo determinante é

facilmente calculado por 1.4 – 2.3 = 4 – 6 = – 2. Na primeira etapa, o usuário digita os

elementos da matriz. Em seguida, o algoritmo tenta colocar as linhas em ordem de

modo que os pivôs fiquem sempre à direita do pivô da linha acima (vejam comando L1

<-> L1). Em seguida, observa na coluna 1 que a11 = 1 e que a21 = 3. Utilizará então a L1

para eliminar a21 na L2, fazendo L2 = L2 – (a21/a11).L1, onde – (a21/a11) é o fator. Esse

fator, da matriz acima, é – (3/1) = – 3. Assim, o professor limitar-se-á a explicar o novo

valor de L2, que aparecerá a seguir ao pressionar qualquer tecla. A nova matriz é

triangula, e seu determinante é dado pela multiplicação da diagonal principal: 1.(-2) = -

2.

Dessa forma, apesar da interface gráfica simples, os softwares, com a ajuda do

docente, tornam-se ferramentas de aprendizagem nos moldes das TICs. Os softwares

desenvolvidos (InvMatr, SistLin e DetTriang), que utilizam em sua composição os

algoritmos de Álgebra Linear aqui trabalhados, estão disponíveis online (MILAGRES,

D. C., 2016) para livre utilização.


203

Para próximas etapas, espera-se desenvolver essas ferramentas em uma

linguagem mais visual, como Java, e trabalhar o código-fonte com estudantes da área de

TI.

5. Referências

BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. São Paulo: Harper & Hall do Brasil. 3ª Ed.,

1980.

CORMEN, T. H. et al. Introduction to Algorithms, 3rd ed., MIT Press, Cambridge, MA,

2009

DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática, 2000. v 3. Obra

em 3 v.

LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Schaum’s Outlines of Theory and Problems of

Linear Algebra. McGraw-Hill. 3th

Ed., 2004.

MILAGRES, D. C. Programas de Álgebra Linear. Disponível em < https://

drive.google.com/drive/folders/0BxtRwC5Whq5-OEJ6ZHdZRU4xNG8?usp=sharing >.

Acesso em: set-2016.

MILAGRES, D. C.; FALLEIROS, E. L. S. Proposta de Implementação do Algoritmo

de Gauss-Jordan em Linguagem C para Auxiliar o Aprendizado de Tópicos de

Álgebra Linear. II Simpósio em Computação – SIMPOCOMP 2013. UEMS, Nova

Andradina – MS.

WOLFRAM. Wolfram Alpha Computacional Knowledge Engine. Disponível em

<http://www.wolframalpha.com/>. Acesso em: mai-2015.


204

A HISTORIOGRAFIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: UMA POSSÍVEL

REFLEXÃO SOBRE SUAS POTENCIALIDADES E OBSTÁCULOS.

Roseli Alves de Moura

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo

[email protected]

Ana Rebeca Miranda Castillo


[email protected]

Regina Thaise Ferreira Bento


[email protected]

Ângela Maria dos Santos


[email protected]

Resumo:

Este artigo trata da inserção da História na Educação Matemática e suas

decorrentes potencialidades e obstáculos. Buscamos refletir sobre as possíveis causas

desses obstáculos. Acreditamos que muitas vezes esses ocorrem no processo de

aprendizagem devido à forma como a História é apresentada nos livros didáticos e

paradidáticos, apresentando o evento de forma anacrônica e descontextualizada, fazendo

recortes na História de acordo com interesses pontuais. Acreditamos que um diálogo

com a nova historiografia possa permitir avanços nesse sentido. Assim, precisamos

articular as três esferas aqui propostas, já muito debatidas na História das Ciências,

sejam elas a epistemológica, contextual e historiográfica. Com isso, objetivamos

analisar o processo e não somente o resultado, contextualizando os acontecimentos e

buscando compreender as possíveis motivações com os olhos voltados para aquele

período, deixando assim, nosso olhar contemporâneo. Exemplificamos tal proposta em

uma pesquisa em andamento sobre Maria Gaetana Agnesi.

Palavras-chave: Educação Matemática; Historiografia; Livros didáticos; Maria

Gaetana Agnesi.


205

1. Introdução

Analisando as pesquisas em Educação Matemática percebemos grande presença

do discurso histórico em parte das publicações brasileiras destinadas à Matemática

escolar, como por exemplo, em livros didáticos e paradidáticos e propostas produzidas

por órgãos governamentais responsáveis pela elaboração de diretrizes para o ensino

fundamental, médio e superior.

A inserção e o uso da História na Educação Matemática tem sido objeto de

muitos estudos não somente por apresentar potencialidades pedagógicas, mas também

por enfrentar obstáculos na efetivação das mesmas. Miguel (1997) e Miguel e Miorim

(2004) elencam alguns argumentos que reforçam essas potencialidades pedagógicas e

outros que evidenciam as dificuldades e obstáculos em sua implementação.

Nos argumentos que as reforçam, os autores identificaram duas categorias

diferenciadas não necessariamente excludentes: os argumentos de natureza

epistemológica e os de natureza ética. Entre os pertencentes à primeira categoria estão o

trabalho com a História da Matemática como fonte de seleção de tópicos de ensino,

métodos e objetivos para esse ensino. Para essa seleção um critério utilizado seria o

fator motivação da aprendizagem. Ainda nessa categoria a História da Matemática

proporcionaria uma compreensão e significação do ensino-aprendizagem da matemática

escolar na atualidade, também seria uma fonte para identificar os obstáculos

epistemológicos e com isso poder enfrentar as dificuldades dos estudantes no processo

educativo da Matemática escolar.

Já nos argumentos de natureza ética os autores destacam entre outros, o trabalho

com a História da Matemática como uma “fonte que possibilita a desmistificaçao da

Matemática e a desalienaçao de seu ensino”, possibilitando a “construçao de atitudes

acadêmicas valorizadas” e um pensamento crítico que viabiliza uma tomada de

consciência enquanto os usos sociais da Matemática. Os autores ainda apontam os


206

problemas e objeções quanto à participação da História no processo de ensino e

aprendizagem,

O primeiro argumento afirma que o uso da história da Matemática por parte

do professor torna-se problemático devido à quase ausência de literatura

adequada sobre a história da Matemática anterior aos dois últimos séculos.

[...]

O segundo argumento que se coloca em continuidade direta com o primeiro,

afirma que a natureza da literatura histórica disponível a torna

particularmente imprópria à utilização didática. Isso porque é uma

característica específica das publicações matemáticas destacar unicamente os

resultados matemáticos e ocultar a sua forma de produção. [...]

Um terceiro argumento afirma que a introdução do elemento histórico no

ensino da matemática, em vez de facilitar a aprendizagem, acabaria por

complica-la ainda mais. Isso porque o estudante, quando confrontado com os

problemas originais e com as soluções que historicamente lhes foram dadas,

dispenderia um tempo e um esforço sem precedentes, tentando reconstituir

um contexto que não lhe é familiar. (MIGUEL & MIORIM, 2004, p.63-64,

grifo nosso)

Esses obstáculos podem ser observados, por exemplo, quando o educador expõe

a História da Matemática da forma que é apresentada em muitos livros didáticos

reforçando uma concepção linear do desenvolvimento do conhecimento, representação

em voga de uma vertente historiográfica tradicional, como explicam Dias e Saito (2009,

p.5)

(...) o conhecimento matemático é visto como uma sucessão de fatos,

organizados logicamente, por sua temporalidade, omitindo debates e outras

questões ‘extra matemáticas’ que, direta ou indiretamente, estiveram ligadas

no momento de sua formulação. (DIAS e SAITO, 2009, p.5)

Esta ideia ainda é reforçada quando observamos nos Parâmetros Curriculares

Nacionais, no Quadro atual do ensino de Matemática no Brasil, uma avaliação de como

o discurso histórico é tratado em nosso país:


207

Apresentada em várias propostas como um dos aspectos importantes da

aprendizagem matemática, por propiciar compreensão mais ampla da

trajetória dos conceitos e métodos da ciência, a História da Matemática

também tem se transformado em assunto específico, um item a mais a ser

incorporado ao rol dos conteúdos, que muitas vezes não passa da

apresentação de fatos ou biografias de matemáticos famosos. (BRASIL,

1998, p. 23)

A análise dos obstáculos que podem surgir devido esse posicionamento histórico

linear evidencia que a inserção do enfoque histórico deve ser cauteloso e nos faz

entender que é necessário aprofundar as reflexões e discussões no que diz respeito ao

trabalho com a História da Matemática, para que a construção de interface entre história

e ensino seja viável. Questões de natureza metodológica devem ser consideradas

também, mas não somente, ou seja, além das aplicações em sala de aula segundo uma

corrente pedagógica articulada a uma linha historiográfica, deve haver uma reflexão das

condições para que essas aplicações ocorram e do fundamento teórico que as sustenta.

Buscando minimizar esses obstáculos, acreditamos ser necessário aprofundar o

diálogo entre historiadores e educadores matemáticos para desta forma propiciar a

construção de interfaces entre história e ensino embasada nas novas tendências

historiográficas e metodológicas que buscam na escrita da história não somente os

resultados e sim o processo do qual emergiram. Assim, fundamentados nessas novas

tendências historiográficas buscamos discutir e refletir a respeito das potencialidades

pedagógicas da História da Matemática por meio de uma investigação das iniciativas de

educadores e suas abordagens, na pesquisa em educação matemática e nas práticas

docentes.

É importante destacar que uma proposta de interface entre a história e a

educação matemática, já conta com a valiosa ajuda dos pressupostos metodológicos e

teóricos da História da Ciência, área complexa e com muitas faces, porém com métodos

e processos que adaptam de forma harmoniosa conhecimentos variados provenientes de

diversas áreas como a Filosofia, Sociologia, Antropologia e de várias ciências humanas.

Esses métodos e processos podem ser considerados na constituição de propostas

para o trabalho com a História da Matemática que sugerem uma forma de escreve-la


208

distinta da comumente utilizada hoje, que segue uma perspectiva historiográfica

tradicional, não considerando esses diversos conhecimentos de outras áreas. Segundo

Bromberg e Saito (2010) a historiografia tradicional costuma ser feita considerando três

perspectivas: internalista, externalista e whig. A primeira mostra a matemática como

uma ciência descoberta, baseada no desenvolvimento de ideias. Esta escrita, geralmente

feita por matemáticos, considera apenas a coerência interna e lógica do discurso

matemático sem considerar outros que não este. A segunda, oposta à primeira, é escrita

geralmente por historiadores e defende que a matemática foi “inventada”. Nessa

perspectiva, são considerados outros aspectos que não o fazer matemático, e a

matemática é entendida como produto destinado a atender certas necessidades de

determinadas pessoas. Finalmente a terceira forma de escrever a matemática é chamada

de whig história, termo oriundo do inglês. Nesta forma de escrever, a história busca no

passado apenas o que é familiar deixando para trás o que é incompreensível

considerando-o um erro que tem que ser eliminado. Embora esta historiografia seja a

recorrente hoje, Dias e Saito (2009) destacam que a contribuição da História da

Matemática só poderá ser mais proveitosa para o ensino se houver uma revisão

historiográfica, porém diferentemente da História da Ciência essa revisão não foi feita,

como os autores destacam,

[...] podemos dizer que a História da Ciência transformou-se nos últimos

trinta anos renovando suas propostas historiográficas. Em contrapartida, a

História da Matemática esteve à margem das novas tendências

historiográficas e foram poucas as iniciativas que procuraram contextualizar

os objetos matemáticos. (p. 4)

Ao fazermos uma revisão historiográfica pautada em tendências atuais,

deixamos de ver o passado com os olhos de hoje, e de admitir que a ciência teria se

desenvolvido progressiva e linearmente como é defendido na historiografia tradicional.

Passamos a mapear e contextualizar os conhecimentos do passado, onde avaliamos os

critérios para escolhas teóricas, metodológicas e epistemológicas para a

institucionalização desses conhecimentos, procurando reformular suas questões.

Para a realização dos trabalhos sob essa perspectiva buscamos articular três


209

esferas de análise, a historiográfica, a contextual e a epistemológica, pois como observa

Alfonso-Goldfarb (2008, p.7-8),

Naturalmente qualquer historiador da ciência considera que a interligação (ou

interdependência) das três esferas de análise [...] é recomendável para um

bom trabalho. Todavia essa interligação nunca foi e continua não sendo

trivial. Porque são interligadas, os excessos ou faltas em qualquer uma delas

contaminam as demais. Por outro lado, a natureza distinta de cada uma delas

obriga a operações dignas de um polímata renascentista, mas que vive,

contraditoriamente, em plena época de super especialização dos

conhecimentos e de excesso de ruído informacional.

Figura 1 - Esferas de análise

Fonte: Alfonso-Goldfarb (2008)

Acreditamos que o trabalho com o auxílio desses fundamentos teóricos e

metodológicos da História da Ciência, traz uma nova forma de relacionar a História da

Matemática e o ensino, não necessariamente corroborando com os argumentos

levantados por Miguel e Miorim (2004) e até em alguns momentos contradizendo-os, já

que nessa perspectiva historiográfica e metodológica, não necessariamente podemos


210

estabelecer uma relação direta entre o passado e o presente. A este respeito Bromberg e

Saito (2010) explicam:

[...] a História da matemática escrita por historiadores da ciência procura

contextualizar o conhecimento matemático, reformulando suas questões. Por

exemplo, os irracionais já eram conhecidos desde a antiguidade, porém, não

foram sempre considerados um problema ou empecilho. Por quê? Para obter

tais respostas a História da Ciência procura analisar documentos (fontes

primárias) utilizando uma abordagem epistêmica, historiográfica e

contextual. Ou seja, busca reconstituir a história da matemática no seu

contexto, levando-se em consideração não só aspectos internos, mas também

externos ao desenvolvimento do conhecimento matemático. (p. 53)

É seguindo essa abordagem que buscamos desenvolver nossas pesquisas, com o

objetivo de fornecer ao meio acadêmico uma possibilidade de trabalho com a História

da Matemática que nos leve a compreender o processo da construção do conhecimento

matemático, que deve ser analisado no contexto social da época em que ocorreu.

Entendemos que a construção desse conhecimento teve como fator preponderante para o

seu desenvolvimento a própria evolução da ciência e é por meio da História da Ciência

que podemos entender os mecanismos de desenvolvimento da Ciência Moderna, que se

iniciou no mundo europeu, como aponta Alfonso-Goldfarb (1994, p. 16),

[...] foi no mundo europeu, cercado por todos os lados, onde começou a

fermentar as sementes da Ciência Moderna. Ninguém conseguiu até hoje

provar com certeza se essas sementes da Ciência foram o que ajudou os

europeus a arrebentarem seus muros e se expandirem por todo o planeta. Ou

se, ao contrário, por terem começado a arrebentar os muros, eles puderam

trazer, de outras partes para a Europa, as idéias (...) com que regaram e

fizeram brotar essas sementes.

Seria somente entre os séculos XVIII e XIX, acrescenta a autora, que a Ciência

iria adquirir “um perfil único, cada vez mais parecido com aquele que quase todos

conhecem agora” (ALFONSO-GOLDFARB,1994).

2. As três esferas em movimento: O exemplo da pesquisa sobre Maria

Gaetana Agnesi.


211

Um exemplo da articulação dessas esferas é a pesquisa sobre uma obra italiana

publicada em 1748, Instituzioni Analitiche ad Uso Della Gioventú Italiana, da autora

italiana Maria Gaetana Agnesi (1718-1799), buscamos investigar o enfoque dado a

alguns conteúdos matemáticos selecionados a partir da análise dessa obra e algumas

outras elencadas, de seus contemporâneos. No que diz respeito a esfera epistemológica,

analisamos a dimensão interna da obra de Agnesi, buscando verificar o diálogo que se

estabelecia entre outros tratados da época. Uma pesquisa assim norteada, requer uma

delimitação de enfoque, que pode ocorrer na esfera de seleção de conteúdos trabalhados

na obra, como também, pode haver um olhar direcionado ao modus operandi do autor a

ser analisado. Dependerá da questão de pesquisa.

No que diz respeito à esfera contextual, analisamos um conjunto de relações que

pôde ser detectado por meio de outros documentos (fontes secundárias), buscando

compreender em que medida movimentos que se imbricavam na época, sugerem

relacionar-se às escolhas de um autor, ao escrever sua obra. Sobre isso, a análise das

correspondências trocadas por Agnesi e outros estudiosos, foi necessária no sentido de

favorecer a análise do seu trabalho, e entender melhor os meandros, ao longo da

elaboração da obra Instituzione Analitiche.

Essas duas esferas foram ainda articuladas à outra, historiográfica. Apesar de

priorizarmos uma abordagem historiográfica atualizada, os estudos sobre a obra de

Maria Gaetana Agnesi, também foram submetidos a uma leitura da historiografia

tradicional. A própria seleção de documentos originais, bem como outras fontes, tanto

primária quanto secundária, levou em conta o que a própria autora afirmara na obra,

acerca dos propósitos de sua escolha.

Assim, uma análise que se sustente a partir desses aspectos, requer a utilização

de diferentes fontes de estudos. Por se tratar de um trabalho matemático, além da obra

original consultamos outros estudos a respeito da história da Análise e do Cálculo. Em

primeira instância de nossa pesquisa, recorremos à versão inglesa de Institutioni


212

Analitiche, publicada em 1801, que se encontra disponibilizada no site Archive6 e

somente após algum tempo pudemos consultar a obra original italiana, que atualmente

está disponibilizada no site Internet Culturale7, que foi cotejada com a obra traduzida.

Quando iniciamos uma pesquisa, não sabemos os percalços futuros e, ao final do

trabalho tivemos a satisfação de adquirir a obra original de Instituzioni Analitiche,

recentemente publicada e impressa nos Estados Unidos8, a qual também foi cotejada

com as versões anteriores.

No sentido de viabilizar a análise epistemológica, além de nossa fonte primária

de análise, consultamos também outros documentos, dentre os quais: Analyse

Demontrée ou la Methode de résoudre le problème des mathématique (1708) de Charles

René Reyneau (1656-1728); Elemens D’Algebre (1746) de Alexis Claude de Clairaut

(1713-1765); Elemens D’Algebre (edição de 1756) de Nicholas Saunderson (1682-

1739); e Elements of Algebra (tradução de 1828) de Leonhard Euler (1707-1783).

Estas obras são facilmente localizadas via internet e, especificamente em relação

à obra de Euler, utilizamos uma edição inglesa de 1828, visto que a mesma apresentava,

além de uma biografia do autor no início do oitocentos, alguns adendos e comentários

de Joseph Louis-Lagrange (1736-1813). Este critério de escolha pela rede de textos é de

fundamental importância, em função dos objetivos de pesquisa.

Especificamente em nosso trabalho, esta edição nos revelou ser significativa,

tendo em vista que Lagrange, foi um dos estudiosos setecentistas que buscou um

diálogo com a autora Maria Gaetana Agnesi, após o abandono da mesma, de seus

estudos matemáticos.

Outros estudos e documentos complementaram nossa pesquisa. Duas visitas à

Biblioteca Ambrosiana de Milão, foram necessárias, objetivando uma análise das

correspondências da autora, sobretudo às que se referem à elaboração de sua obra. Na

primeira visita à biblioteca, tomamos contato com o grande volume de estudos e

documentos originais que estão disponíveis aos estudiosos da vida e trabalho de Agnesi,

6 Vide: Agnesi (1801). https://archive.org/details/analyticalinstit00agnerich 7 Vide: Agnesi (1748). https://archive.org/details/BUSA298_184 8 Vide: Agnesi (1748)

https://archive.org/details/BUSA298_184


213

sobretudo às suas correspondências ao longo da elaboração de Instituzioni Analitiche,

como também às anotações de Agnesi ao longo de sua infância, enquanto tutorada9. Na

última visita à biblioteca, frente a um delineamento de investigação, afunilamos a

pesquisa na investigação de algumas correspondências específicas entre os estudiosos;

Jacopo Francesco Riccati (1676-1754), Ramiro Rampinelli (1697-1759) e Agnesi, pois

nos conduziu a uma melhor compreensão quanto às circunstâncias de elaboração de seu

tratado matemático, além de outros materiais que não foram encontradas em bibliotecas

brasileiras.

Estudos e documentos que nos permitissem ter uma ideia do contexto, bem

como do panorama intelectual de Milão no período em que viveu Agnesi foram

necessários. A maioria dos biógrafos de Agnesi são autores italianos10

sendo que a

primeira referência biográfica que se tem notícia data de 1753, na obra de Giammaria

Mazzuchelli. Frente o grande número de estudiosos, consideramos um recorte, a partir

de um estudo aprofundado do Elogio Storico Du Dona Maria Gaetana Agnesi Milanese

dell’Accademia dell’Instituto delle Scienze, e Lettrice Onoradia di Matematiche nella

Università di Bologna, de Antonio Francesco Frisi (1734-1817), impresso em Milão de

1799 e reimpresso em 1965, então com nove anexos, apêndices e comentários de

Arnoldo e Giusepina Masotti. O autor Frisi, era um religioso, além de historiador e

irmão mais novo de Paolo Frisi, amigo e correspondente de Agnesi.

Também destacamos a obra de Luisa Anzoletti (1863-1925), Maria Gaetana

Agnesi, de 1900, com quase 600 páginas incluindo genealogia e detalhes da vida de

Agnesi, que foram de grande auxílio para compreender sua realidade, no contexto de

sua época. Em paralelo, apesar de não representar nossa fonte primária mais importante,

9 Os documentos e manuscritos de Agnesi estão hoje quase todos em custódia da Biblioteca Ambrosiana

de Milão (BAM: códices 180-204 sup.). Mais a esse respeito: ttp://www.ambrosiana.eu 10 A. F. Frisi (1799), L. Anzoletti (1900), A. Masotti (1940). Mais a este respeito porém, não

referenciados nesse artigo: M.Cantor, Vorlesunger uber Gesachichte der mathematik, Leipzig, 1901,

zweite Auflage, IIIBand, p. 822-823, L’Hoefer, Hist.des Mathem, p. 530, J.Boyet, Revue Catholique des

Revues francaises et étrangères, 1897: La Mathématicienne Agnesi apud. B.Carrara, p. 4 (1918), J.F.

Montucla (1802), A. Amati (1899), B.Carrara (1918), C.Pasini (1999), C. Benazzoli (1939), E. Krammer

(1970-90), L. Olson (1974), G.Tilche (1984), P. Sessa (1999).


214

a leitura do trabalho intitulado Propositiones Philosophicae11

, publicado também por

Agnesi em 1738, ajudou-nos a conhecer um pouco mais da autora, por ela mesma. Na

ocasião, era usual o surgimento desse tipo de obra, com reflexões acerca dos debates

relacionados às ciências e matemáticas daquela época.

Necessário salientar que esses documentos foram organizados e analisados à luz

de diferentes estudos historiográficos atualizados; tais como os de Clifford Truesdell,

Massimo Mazzotti, Arnaldo Masotti, Franco Minonzio, Mazzone & Roero e Paula

Findlen, cada qual abordando diferentes especificidades do percurso de Agnesi, com

algumas intersecções. Como apontamos, apesar de nosso olhar estar direcionado para as

considerações de ordem historiográfica atualizada, também nos fundamentamos em

leitura de historiadores clássicos da história da matemática, a saber: C. B. Boyer, D. J.

Struik e Eves.

Assim, todos os documentos e estudos que selecionamos foram analisados e

balizados considerando três esferas que dimensionaram nossa análise suscitando uma

gama de questões no âmbito do conhecimento matemático, no contexto dos setecentos

italianos.


Ao analisarmos a inserção da História na Educação Matemática, nos deparamos

com suas possíveis potencialidades e também com seus obstáculos no que se refere à

aprendizagem. Porém, ao refletirmos sobre esses obstáculos, visando uma análise mais

justa, precisamos primeiramente indagar de qual forma a História está sendo aplicada na

Educação Matemática. Consideramos que a metodologia adotada por muitos autores, ao

retirarem fragmentos da história, de forma descontextualizada, tornam o ensino

anacrônico e muitas vezes sem sentido. Acreditamos que é necessária uma abordagem

mais significativa, que contribua efetivamente com o processo pedagógico e

11

Propositiones philosophicae, quas crebis disputationibus Domi habilis coram clarissimis viris

explicabat ex tempore, et ab obiectis vindicabat Maria Caietana de’Agnesis/MDCCXXXVIII. O trabalho

possui 191 teses que compôe um volume de 132 páginas, escrita em latim e versando sobre filosofia

natural e os embates do período em questão.


215

epistemológico envolvido e, para tanto, consideramos que o uso da história deva ser

trabalhado de forma mais complexa, deixando de olhar o passado com os olhos de hoje,

contextualizando os acontecimentos e assim reformulando as questões em estudo.

Precisamos propiciar reflexão em nossos discentes, permitindo que eles percebam que

antes de um resultado ser alcançado, houve um processo e, que este normalmente

envolve muitos fatores e muitas pessoas. Tal procedimento requer o envolvimento das

esferas aqui expostas (epistemológica, contextual e historiográfica). Acreditamos que

com esta metodologia, a História quando inserida no processo de aprendizagem da

Matemática, permitirá uma compreensão mais ampla e consequentemente formará

discentes mais críticos, como bem exemplifica o caso da pesquisa realizada sobre Maria

Gaetana Agnesi.

4. Referências

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Regia-Ducal Corte, 1748a. Disponível em https://archive.org/details/BUSA298_184

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Brasil Colônia e Brasil Reino”. In: Acervo, Rio de Janeiro, v. 26, nº 1, pp. 42-53,

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Science. Osiris, Chicago, 1994, v. 9, p.1-6.

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British Journal for the History of Science, Oxford, 1990, v. 23, p. 83-93


219

ENSINAR A ENSINAR MATEMÁTICA NAS OFICINAS DO PIBID:

FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES

Maria Aparecida Silva de Souza

IFES/PUC-SP

[email protected]

Saddo Ag Almouloud

PUC-SP

[email protected]

Resumo:

O presente trabalho visa apresentar o resultado de oficinas realizadas por alunos

bolsistas do Pibid do Ifes (Instituto Federal do Espirito Santo) Campus Cachoeiro de

Itapemirim para alunos não bolsistas do Curso de Licenciatura em Matemática como

contribuição para a formação inicial do professor. O Programa vem a cada dia

despertando o interesse dos alunos do Curso de Licenciatura em Matemática para o

desenvolvimento de atividades que visam facilitar a aprendizagem matemática dos

alunos das escolas parceiras do Programa. As atividades desenvolvidas têm como

objetivo principal socializar atividades realizadas pelos bolsistas Pibid ao longo do ano

de 2015; proporcionar integração dos bolsistas do Pibid e estudantes do curso de

Licenciatura em Matemática que não participam do programa e, estreitar as relações

entre o curso de formação de professores e o campo de atuação profissional do futuro

docente, realizando a articulação teoria e prática. Entendemos que se trata de uma

prática de fortalecimento da docência e da ressignificação do ensino da matemática.

Palavras-chave: docência; educação matemática; Pibid.

1. Introdução

As Oficinas realizadas no Ifes Campus Cachoeiro de Itapemirim objetivaram

socializar atividades realizadas pelos bolsistas Pibid (Programa Institucional de Bolsa

de Iniciação a Docência) ao longo do ano de 2015, proporcionar integração entre os

bolsistas do Pibid e os demais estudantes do curso de Licenciatura em Matemática que

não participam do programa, estreitando as relações entre o curso de formação de

professores e o campo de atuação profissional do futuro docente, realizando a

articulação teoria e prática.


https://plus.google.com/u/0/104634021605500936016?prsrc=4#_blank


220

O programa proporciona o entendimento sobre as principais dificuldades

enfrentadas pelos discentes com relação à matemática, acompanhado da possibilidade

do próprio bolsista buscar metodologias para facilitar o processo de ensinagem. Incluir

o aluno do curso de licenciatura na realidade da sala de aula no início de sua formação

contribui para que a sua formação seja pautada em vivências nas quais poderá avaliar a

sua escolha.

A observância dos resultados das oficinas apresentadas pelos licenciandos em

matemáticas está não apenas no aprendizado desenvolvido durante a aplicação dessas

atividades, mas no impacto causado entre os colegas do curso, entre os coordenadores e

supervisores do programa e em mim, observadora das atividades.

Quando da realização das inscrições dos trabalhos, no preenchimento das fichas

com informações sobre os trabalhos que seriam desenvolvidos, não se tinha dimensão

da riqueza dos trabalhos que foram apresentados. Foi um momento importante, propício

para socializar a prática desenvolvida nas escolas polos trazendo o desejo e a

empolgação da partilha mostrando os desafios e as possibilidades no desenvolvimento

das atividades. A atividade buscou mostrar ações facilitadoras para o processo de ensino

da matemática por meio das oficinas, que foram pautadas em temáticas que permitiram

a problematização e a aprendizagem de conceitos básicos em situações reais.

2. O Pibid

O Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à docência (Pibid) no Ifes está

vinculado à Pró-Reitoria de Ensino. Atualmente possui 12 cursos de licenciaturas

participantes e em média, 300 bolsistas passaram pelo Pibid/Ifes. O programa tem como

proposta estabelecer vínculos de solidariedade entre os espaços institucionais de

formação e os espaços institucionais de atuação do professor, na perspectiva de troca de

saberes e experiências curriculares e práticas pedagógicas bem-sucedidas e inovadoras;


221

além de fomentar a pesquisa e a investigação sobre os processos de ensino e

aprendizagem entre os professores que atuam nas escolas parceiras. No Curso Superior

de Licenciatura em Matemática do Ifes/Campus Cachoeiro de Itapemirim, o PIBID teve

início em 2011 com três escolas parceiras, sendo expandido para mais três em 2014.

Hoje são 6 (seis) escolas polos no município de Cachoeiro de Itapemirim, totalizando

36 (trinta e seis) bolsista atuantes.

As ações previstas no Pibid foram concebidas na perspectiva de proporcionar a

formação qualitativa do licenciando em matemática, oportunizando lhe a aquisição de

conhecimentos e preparando-o para o atendimento às novas exigências do sistema

educacional, desempenhando o papel de profissional da educação. Essas ações

contribuem para a práxis necessária à formação docente e permitem que os licenciandos

se insiram na cultura escolar por meio da apropriação de metodologias e saberes

necessários ao trabalho docente. Dessa maneira, a metodologia adotada no Pibid visa

inserir os futuros professores no cotidiano de escolas da rede pública da educação

básica, proporcionando-lhes vivências e experiências necessárias à formação docente e

úteis ao processo de ensino, de aprendizagem e de avaliação.

Nas escolas parceiras do Pibid, os alunos bolsistas (os Pibidianos) desenvolvem

atividades de docência, sempre supervisionados por um professor de matemática da

escola que tem a função de supervisionar o trabalho desses alunos no desenvolvimento

das atividades. São essas atividades desenvolvidas que trazem contribuições para a

prática dos alunos. As atividades são desenvolvidas com alunos do Ensino Fundamental

II e com alunos do Ensino Médio. No ano de 2015, na prática de sala de aula desses

alunos, foram desenvolvidas várias oficinas visando facilitar a aprendizagem

matemática dos alunos. Dentre essas oficinas, cada grupo, orientado por seu supervisor

e com o apoio da Coordenação local do Pibid no campus Cachoeiro de Itapemirim,

sistematizou com os demais alunos do Curso de Licenciatura em Matemática as

experiências vividas nas escolas parceiras, apresentando as oficinas por eles


222

selecionadas. Tratou-se de um momento rico de troca de experiência entre os alunos do

Curso como também dos bolsistas entre eles.

3. Docência

Quanto mais cedo for o contato do aluno licenciando com a realidade da sala de

aula mais cedo o aluno poderá vivenciar e qualificar seu processo de iniciação a

docência. Essa possibilidade de troca de experiências com realidades diferentes, com o

espaço da escola lidando com planejamento, pesquisas e novas metodologias, com os

supervisores, com os coordenadores e com os alunos é uma oportunidade para ensinar e

aprender matemática.

Levar o outro a compreender um determinado conteúdo pode não ser tarefa

simples. Exige pesquisa, estudo e conhecimento. Pimenta (2002) sustenta a importância

da teoria na formação do docente, a qual o dota de condições para uma ação

contextualizada, cujos “[...] saberes teóricos propositivos se articulam, pois, aos saberes

da prática, ao mesmo tempo ressignificando-os e sendo por eles ressignificado”.

Para Lorenzato (2003), a falta de compreensão dos alunos os conduz a

acreditarem que a matemática é difícil e que eles não são inteligentes, entre inúmeras

outras consequências maléficas. Pesquisas comprovam o que a experiência de vida já

mostrava: as causas, entre elas o professor, são esquecidas no tempo, mas as

consequências, sejam elas cognitivas ou afetivas, acompanharão os alunos para sempre.

Por razões éticas e de responsabilidade, independentemente de sua remuneração, todo

professor tem o dever de conhecer o que vai ensinar.

No Pibid, o licenciando tem a oportunidade de inovar frequentemente a sua

prática pedagógica, dinamizando o ambiente de sala de aula com conhecimento de que o

que vai ser ensinado deve ser objeto de preocupação do bolsista e o fato de estar em

formação faz com que possa assumir seu papel ativo com segurança pois, ainda pode

contar com a orientação do professor formador em sala de aula no curso de licenciatura.


223

Segundo Arroyo (2008) Uma vez que o ensino consiste em um fenômeno social e não

apenas metodológico, é importante a reflexão do professor sobre os fins e os valores que

envolvem a docência, a fim de que possa se situar diante dessa profissão e atuar

plenamente em sua área.

4. O olhar do Professor Supervisor

Os professores supervisores foram questionados a respeito dos trabalhos

realizados com a presença dos alunos do Pibid em sala de aula e sobre os problemas que

foram superados por intermédio das ações desenvolvidas por esses alunos. A seguir,

transcreveremos alguns relatos dos supervisores que atuam nas escolas parceiras.

Supervisor A: Quando estudava era bem diferente. Meus professores nunca me

ensinaram geometria, deixavam para o fim do ano e assim era tudo muito corrido. Era

ensinado apenas no quadro e no livro. Não tive a oportunidade que meus alunos estão

tendo. A presença dos meninos na minha sala de aula contribui para o desenvolvimento

das atividades contribui para o meu crescimento e principalmente para formação deles

que sendo ainda licenciandos, já tem a oportunidade de atuar em sala de aula. Meus

alunos questionam sobre o fato desses alunos ainda estarem estudando e já serem tão

bons. Eu lamento não ter tido essa oportunidade quando cursei a licenciatura. Na minha

época a professora de matemática era o “bicho papao” da escola. Minha escola passou a

receber as ações do Pibid em 2014. Desde essa época a presença desses alunos, me

permite trabalhar melhor, mais assessorada. Foi possível a partir da presença deles,

reforço para provas internas e externas como, por exemplo, Obmep, Paebes, Provas do

Ifes. Antes essas ações eram praticamente impossíveis, pois, o tempo que o professor

dispõe é muito restrito para dar conta de tanto conteúdo. Além de trazerem benefícios

para minhas aulas com inovações que aprendem na Universidade, as novas tendências e

correntes matemáticas, a escola como um todo ganhou muito. Eu enquanto supervisora,

tento faze-los participar de absolutamente tudo que acontece no contexto escolar desde

conversa com os responsáveis dos alunos na reunião de pais, conversas informais e

formais na sala dos professores até a correção de provas externas, organização e


224

supervisão de alunos. O relacionamento entre o supervisor e os alunos do Pibid precisa

ser de total confiança. Muito eles me ensinam e aprendem também. Não há desconforto

nem por minha parte nem por parte deles de certos ajustes e erros que ambos

cometemos. Deixamos isso claro para os alunos e os alunos confiam e gostam dos

alunos do Pibid. Estamos a cada dia mais deixando para trás aquele estereótipo do

estagiário que não tinha domínio e não contribuía em nada. Alguns alunos confiam mais

nos alunos do Pibid do que em mim. Comigo a relação parece que fica distante, pois,

sou a professora que pontua, que chamo a atenção e o aluno do Pibid é aquele que está

para ensinar, para contribuir com a aprendizagem.

Supervisor B: A presença do Pibid em minha sala de aula serve de motivação

para os meus alunos. Por serem tão jovens, despertam nos meus alunos o desejo de

continuar os estudos. Minha turma é de alunos adolescentes, do Ensino Médio, mas

gostam de trabalhar de forma lúdica, gostam de receber “agrados” quando acerta uma

atividade, eles aprendem mais. Eu gosto de matemática e tive a oportunidade de

aprender matemática de forma lúdica graças aos professores que tive o que me

motivaram a ser professora de matemática. Eu sempre procurei incluir matemática no

dia a dia dos meus alunos e isso é uma contribuição que eu venho somando junto aos

alunos do Pibid para o desenvolvimento das atividades. Temas atuais do interesse da

turma e viências diárias realizadas em oficinas. O Pibid é uma experiência única que

esses alunos estão tendo para chegar à sala de aula preparados para os diferentes tipos

de alunos que nós encontramos na escola hoje.

Supervisor C: Considero o trabalho dos alunos do Pibid positivo. No inicio os

alunos apresentam resistência em aceitar a ajuda dos alunos do Pibid, mas quando

conhecem a dinâmica do trabalho deles ficam mais a vontade. Hoje são tratados como

amigos e aprender para os meus alunos ficou mais prazeroso. Vejo que os alunos do

Pibid tem uma grande oportunidade, pois, já no segundo semestre do curso iniciam sua

experiência em sala de aula, aprendendo assim superar obstáculos conforme os

obstáculos que vão encontrando. Por estarem estudando e se atualizando, conseguem


225

visualizar problemas que eu não tinha detectado em sala de aula. Se tivesse tido uma

oportunidade dessas, teria sido diferente. Minha experiência enquanto estudante de

licenciatura era ficar “sentadinha”, observando o professor, sem participaçao nas aulas.

Supervisor D: Os alunos do Pibid contribuem com as minhas aulas. Com a

presença desses alunos em sala é possível auxiliar maior número de alunos durantes as

aulas. Os alunos do Pibid estão sempre atentos aos casos de desenvolvimento individual

dos alunos prestando atendimento nesse sentido. É com a participação e envolvimento

dos alunos do Pibid, que os alunos com baixo rendimento nas aulas conseguem

assimilar melhor o conteúdo ministrado pelo professor, que em algumas situações não

consegue fazer com que esse aluno entenda o conteúdo.

Supervisor E: Os alunos do Pibid contribuem para a aprendizagem dos meus

alunos com aulas inovadoras, aplicando os artigos e projetos que desenvolvem na

graduação, atendendo os educandos em suas dificuldades de assimilação dos conteúdos

e concretização da aprendizagem. Há problemas ainda em fase de superação, visto que a

demanda aumenta a cada ano, porém, as ações até aqui tiveram efeito impactante nos

resultados do Paebes de 2015. O índice melhorou, contudo, faz-se necessário a

continuidade dessas ações para que as melhoras continuem. Os meus alunos precisam

do Pibid para terem continuidade no processo da aprendizagem significativa e

relacional.

Assim, entendemos o papel que os alunos do Pibid desempenham nas escolas

parceiras e como o trabalho desenvolvido nessas escolas tem colaborado de forma

significativa com a formação inicial dos alunos do curso de Licenciatura em Matemática

do Ifes Campus Cachoeiro de Itapemirim. Esses depoimentos nos fazem crer que o

Pibid influencia na formação inicial do professor, tornando-o mais experiente e melhor

preparado em relação a docência. Os trabalhos e os métodos de ensino que utilizam para

o desenvolvimento dessas atividades demonstram a maturidade desses alunos para

futura atuação profissional.


226

5. As Oficinas

Os temas tratados no desenvolvimento das oficinas versaram sobre os mais

variados assuntos das aulas de matemática. Cada escola polo, em parceria com os

licenciandos procurou mostrar o melhor de cada trabalho.

Quadro 1: Relação das escolas parceiras e oficinas apresentadas.

Escola Polo Tema da Oficina Desenvolvida

EEEFM “Agostinho Simonato” Conceitos geométricos básicos utilizando massinha de

modelar

CEI “Áttila de Almeida Miranda” Descobrindo o Número de Ouro

EEEFM “Lions Sebastiao de Paiva

Vidaurre”

Atividades lúdicas

EEEFM “Liceu Muniz Freire” Logaritmos

EEEFM “Presidente Getúlio Vargas” Jujumetria

EEEFM “Professora Hosana Salles” Trigonometria, volume e área.

Algumas oficinas foram trabalhos desenvolvidos com alunos do Fundamental II

e outros com alunos do Ensino Médio. Para o desenvolvimento das oficinas, todo o

tempo a ludicidade e o uso de algum instrumento se fez presente, assim em cada

trabalho observamos que uma das formas de aprender matemática é de uma forma

lúdica com a utilização de algum instrumento nos quais os conceitos matemáticos

podem ser representados. Na oficina de Conceitos geométricos básicos utilizando

massinha de modelar, os alunos fizeram a massinha, puseram a mão na massa e com a

utilização de palitos de churrasquinho, objetivaram o ensino da geometria fora do

quadro negro e do livro didático, possibilitando, além do brincar com a geometria,

tornar possível a visualização das formas geométricas. Na oficina de Jujumetria,

aconteceu da mesma forma, porém, com o uso de balas jujuba, o que tornou a

participação na oficina bastante concorrida.


227

Na oficina Descobrindo o Número de ouro, os alunos trabalharam o conteúdo

razão e proporção. Nessa oficina os alunos apresentaram o filme "Donald no País da

Matemática". Logo após o vídeo, foi resolvido o "Problema dos Coelhos" relacionado à

sequência de Fibonacci. Ao término da resoluçao do “Problema dos Coelhos” eles

discutiram sobre os resultados encontrados. Após a discussão, com o auxilio de régua e

fita métrica, foram realizadas medições no corpo humano e em alguns objetos

específicos que os alunos possuíam, com o objetivo de encontrar a razão áurea, que é o

número de ouro. No final foram discutidos os resultados encontrados e a importância da

atividade para o ensino da matemática. Objetivaram levar os alunos a compreenderem

os conceitos de razão e proporção por meio de uma abordagem histórica.

A Oficina de Atividades Lúdicas objetivou a demonstração de como é possível

promover conhecimentos de Matemática de forma lúdica, com atividades diferenciadas

e no contexto de nossos alunos. O grupo propôs o ensino por meio de jogos conhecidos

dos alunos como maneira de tornar o ensino de matemática mais dinâmico e prazeroso.

Na oficina sobre Logaritmos foi trabalhado o ensino de propriedade operatórias

dos logaritmos; correspondência entre progressão aritmética e progressão geométrica.

Os alunos foram convidados a se reportarem ao ensino médio e se lembrarem do que

eles sabiam sobre esse tema e em seguida foi falado sobre a história do Logaritmo, e o

seu colaborador Joost Biirgi. Durante a oficina, os alunos conversaram sobre as demais

aplicações dos Logaritmos em outras áreas do conhecimento desmistificando assim que

se trata de um conteúdo difícil e desnecessário. Essa oficina objetivou compreender a

definição de logaritmo, bem como suas propriedades e operações, perceber, a partir de

uma perspectiva histórica, que os logaritmos são objetos matemáticos utilizados para

simplificar cálculos complicados, com muitas casas decimais ou com números grandes

e estabelecer uma pequena comparação entre as calculadoras de hoje e as tabelas de

logaritmo do século XVII, no sentido de avanço tecnológico e praticidade.


228

A Oficina de Trigonometria, volume e área também objetivou fortalecer o

aprendizado através do cotidiano e do lúdico. Para isso utilizou-se de materiais como

ladrilhos e cubos construídos por eles para trabalharem noções de área e volume.

Utilizaram também o Teodolito construído com materiais alternativos propondo o seu

manuseio por alunos de alturas diferenciadas de forma a relaciona-lo com as relações

trigonométricas.

As atividades basearam-se no seguinte referencial teórico: na abordagem

instrumental de Rabardel (1995 a) por ser, de acordo com Salazar (2009) uma teoria que

permite analisar as ações e as noções matemáticas que os estudantes mobilizam quando

resolvem uma situação problema. Ainda segundo essa autora, essa abordagem permite

analisar as ações dos estudantes quando resolvem uma situação problema. A abordagem

Instrumental de Rabardel (1995 a) descreve as relações que existem entre o sujeito, a

ferramenta denominada por Rabardel (1995 a) artefato, e os esquemas de utilização.

Nas atividades desenvolvidas nas oficinas observamos que os estudantes

utilizam os instrumentos para anteciparem os resultados, assim os alunos que

desenvolviam as atividades utilizando-se de instrumentos, chegavam primeiro ao

resultado da questão.


O subprojeto do Pibid em Matemática, coordenado no Ifes Campus Cachoeiro

de Itapemirim pelas professoras Maria Laucinéia Carari e Poliana dos Santos, tem por

objetivo potencializar a formação inicial de professores de Matemática por meio de

ações, experiências metodológicas e práticas inovadoras que ressignifiquem o ensino

Matemática, de modo a levar os futuros docentes a refletirem criticamente sobre a sua

prática na sala de aula e a optarem definitivamente pela carreira docente.

A realização das oficinas possibilitou troca de experiências, enriqueceu e

motivou os licenciandos, seus pares, coordenadores e supervisores do Pibid. Os


229

Pibidianos apresentaram metodologias diferenciadas para o ensino de conteúdos que são

considerados complexos para os alunos, utilizando-se de objetos confeccionados por

eles. Por meio das oficinas apresentadas.

Com o trabalho que desempenham nas escolas parceiras e como o trabalho

desenvolvido nessas escolas tem colaborado de forma significativa com a formação

inicial dos alunos do curso de Licenciatura em Matemática do Ifes Campus Cachoeiro

de Itapemirim o Pibid influencia na formação inicial do professor, tornando-o mais

experiente e melhor preparado em relação à docência. A troca de experiência a solução

de problemas e as discussões que utilizam para o desenvolvimento das atividades

demonstram a maturidade desses alunos para futura atuação profissional. Os trabalhos e

os métodos de ensino que utilizam para o desenvolvimento dessas atividades

demonstram a maturidade desses alunos para futura atuação profissional.

7. Referências

ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba: Ed UFPR,

2007.

ALMOULOUD, S. A; SILVA, Maria José Ferreira. Engenharia Didática: evolução e

diversidade. REVEMAT: Revista Eletrônica de Educação Matemática eISSN 1981-

1322. Florianópolis. V.07, n2, p 22-52, 2012.

ARROIO, A.; HONÓRIO, K.M.; MELLO, P.H.; WEBER, K.C. e SILVA, A.B.F. A

prática docente na formação do pós-graduando em Química. Química Nova, v. 31, n. 7,

p. 1888-1891, 2008.

ARTIGUE, M. Engenharia Didáctica. In: BRUM, J (Org) Didáctica das Matemáticas.

Lisboa: PIAGET, 1996.

CAPES, Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior. Programa

Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência – PIBID. Disponível em:

http://www.capes.gov.br/educacaobasica/capespibid Acesso em: 17/03/2016.

LORENZATO, Sérgio. Para Aprender Matemática. In: Coleção formação de

professores. 2° Ed. Ver. Campinas SP: Autores Associados. 2008.

PIBID: programa institucional de bolsa de iniciação à docência – PIBID/ Detalhamento

http://www.capes.gov.br/educacaobasica/capespibid


230

de SUBPROJETO (Licenciatura em matemática). Disponível em:

http://pibid.ifes.edu.br/?post_type=matematica-cachoeiro- Acesso em 14/03/2016.

PIMENTA, S.G. Professor Reflexivo: construindo uma crítica. In:______; GHEDIN, E.

(Org.). Professor reflexivo no Brasil: gênese e crítica de um conceito. São Paulo:

Cortez, 2002.

RABARDEL, P. Les hommes et les Technologies: approche cognitive des instruments

contemporains. Paris Armand Colin, 1995 a.

SALAZAR, J.V.F.. Gênese Instrumental na Interação com o Cabri 3D: um estudo de

transformações geométricas no espaço. 2009 319f. Tese (Doutorado em Educação

Matemática) PUC SP . 2009.

http://pibid.ifes.edu.br/?post_type=matematica-cachoeiro-


231

A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ESTUDO DE ALGUNS

CONCEITOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Gilson Abdala Prata Filho 1


[email protected]

Giovani Prando 2


[email protected]

RESUMO

Introdução: De acordo com MELCHIORS & SOARES (2013) “os primeiros registros

que temos sobre o cálculo diferencial e integral foi em 1800 a.C” e a partir daí as

diversas aplicações tem contribuído na evolução de outras ciências. Dentre os diversos

estudiosos que contribuíram para, o que hoje chamamos de cálculo diferencial e integral

(CDI), podemos citar Arquimedes, Barrow, Newton e Leibniz que trabalharam para

aperfeiçoar a ferramenta. Segundo Eves (2004, p.417) a diferenciação resultou de

problemas sobre tangentes e de questões de máximos e mínimos. Dentre os diversos

campos de aplicação, destaca-se neste trabalho, a utilização do cálculo na economia.

Nela tudo está em fluxo: aumento e queda de preços, inflação, demanda, custo e etc. O

ensino do cálculo diferencial e integral já esteve presente nos currículos das escolas no

ensino médio, porém nas décadas de 60 e 70, houve uma exclusão de alguns conteúdos,

dentre eles, o cálculo (SOARES, 2006). Para Ávila (1991), os conceitos de derivada

podem ser ensinados, logo na primeira série do ensino médio, ao lado do ensino de

funções. Porém, “na, maioria das vezes, nao sao ensinados, sob o pretexto de serem

difíceis e impróprias a esse segmento da educação (SOARES, 2006). Sendo assim,

porque não aplicar os conceitos de derivada, tais como o de tangente, taxa de variação e

otimização e estudar o esboço e o comportamento do gráfico por meio de softwares para

os alunos, como o intuito de facilitar a compreensão no estudo de funções? A utilização

de softwares, no contexto educativo, possibilita um aprimoramento no processo de

aprendizagem, visto que os mesmos tornam o processo dinâmico e oferecem condições

aos alunos de realizarem tarefas e resolverem problemas com o auxilio do dos

programas computacionais. Objetivos: O trabalho teve como objetivos, introduzir os

conceitos de reta tangente, de taxa de variação e de otimização de funções polinomiais,

sem rigor matemático, com o uso do software Geogebra e investigar quais contribuições

da aplicação do software no conteúdo de cálculo diferencial e integral no estudo e no

esboço de gráficos envolvendo situações voltadas para área de economia. Metodologia:

Para levantamento dos dados necessários para o estudo, foi feita uma pesquisa de campo

de caráter quali-quantitativo. A coleta de dados ocorreu com a aplicação de 2

questionários e oficinas. Além dos instrumentos de coleta, foram feitos estudos com

embasamento em artigos que abordavam esse tema. A pesquisa foi realizada com alunos


232

da 1ª e 2ª séries da educação profissional técnica de nível médio integrada ao ensino

médio, com intuito de investigar as contribuições do software no estudo de cálculo

diferencial e integral e de gráficos nos conteúdos de administração. Considerações e/ou

conclusões: Por meio dos questionários e oficinas aplicadas, notamos que a utilização

do software Geogebra contribuiu para a construção e compreensão do conhecimento.

Percebeu-se também que, é possível trabalhar os conceitos de CDI de uma forma

simplificada e dinâmica. Utilizar o software torna o processo de ensino-aprendizagem

menos teórico e mais prático.

PALAVRAS-CHAVE: cálculo diferencial e integral; ensino-aprendizagem; Geogebra.

1. Introdução

O trabalho teve como objetivos, introduzir os conceitos de reta tangente, de taxa

de variação e de otimização de funções polinomiais, sem rigor matemático, com o uso

do software Geogebra e investigar quais contribuições da aplicação do software no

conteúdo de cálculo diferencial e integral no estudo e no esboço de gráficos envolvendo

situações voltadas para área de economia.

Para levantamento dos dados necessários para o estudo, foi feita uma pesquisa

de campo de caráter quali-quantitativo. A coleta de dados ocorreu com a aplicação de 2

questionários e oficinas. Além dos instrumentos de coleta, foram feitos estudos com

embasamento em artigos que abordavam esse tema. A pesquisa foi realizada com alunos

da 1ª e 2ª séries da educação profissional técnica de nível médio integrada ao ensino

médio, com intuito de investigar as contribuições do software no estudo de cálculo

diferencial e integral e de gráficos nos conteúdos de administração.

2. Fundamentação teórica

A palavra cálculo é derivada da palavra calculus que significa pedrinha. O que

sabemos sobre o cálculo diferencial e integral hoje é resultado das contribuições, diretas

e indiretas, de diversos matemáticos, entre eles Arquimedes, Kepler, Barrow, Fermat,


233

Cavalieri. Juntamente com as ideias já conhecidas, o desenvolvimento e o

aperfeiçoamento de técnicas, Newton e Leibniz deram origem aos fundamentos mais

importantes do cálculo: o cálculo diferencial e integral. O conceito e o desenvolvimento

do cálculo diferencial e integral (CDI) estão diretamente ligados à busca das respostas

para problemas de áreas e tangentes. A diferenciação (derivada) resultou de problemas

sobre as tangentes e de questões sobre máximo e mínimo (EVES, 2004, p. 417).

Segundo Stewart (2010), a derivada de uma função é a taxa instantânea de variação de y

= f(x) em relação à x quando x = a. O conceito de derivada está associado à ideia de

limites. Representamos a taxa instantânea de variação como lim∆𝑥→𝑜∆𝑦

∆𝑥= lim

𝑥2→𝑥1

=

𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)

𝑥2− 𝑥1.

Souza (2001) afirma que as aplicações do cálculo diferencial e integral se

estendem desde a física até a economia e administração. Na física é utilizada para

calcular a velocidade (variação do deslocamento em relação ao tempo), aceleração

(variação da velocidade em relação ao tempo); na química, é importante para calcular a

taxa de reação instantânea; na biologia, a taxa de crescimento instantâneo num certo

período de tempo; nas áreas econômicas e administrativas é tida como a medida da

declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu. Por meio dela

existem vários artifícios para manipular os números de uma função, possibilitando

extrair diversas informações. Nesta área, uso da derivada auxilia o cálculo de: custos

mínimos, lucros máximos, produção entre outras funções de grande importância para

uma empresa.

Uma introdução ao cálculo diferencial e integral já fez parte do currículo das

escolas do ensino médio, porém nas décadas de 60 e 70, o ensino da matemática no

Brasil foi influenciado pelo movimento da Matemática Moderna e como consequência,

houve a exclusão de alguns conteúdos dentre eles o cálculo (BUSSE; SOARES, 2006,

apud SANTOS, 2006). Em alguns livros didáticos do ensino médio ainda são

apresentados os tópicos relativos ao cálculo diferencial e integral, porém, “na maioria

das vezes, não são ensinados sob o pretexto de serem difíceis e impróprios a esse


234

segmento da educaçao” (BUSSE; SOARES, 2006, apud SANTOS, 2006).

Com o avanço da tecnologia de informação muitos softwares foram

desenvolvidos e estes podem facilitar a compreensão e concretização no ensino

(introdução) ao cálculo diferencial e integral. Para Valente (1999), o computador pode

enriquecer ambientes educacionais e auxiliar o aprendiz no processo de construção do

seu conhecimento. Borba (1999) diz que “os ambientes gerados por aplicativos

informáticos dinamizam os conteúdos curriculares e potencializam o processo

pedagógico, promovendo o surgimento de novos conceitos e novas teorias matemáticas”

e possibilitando mudanças no sistema atual de ensino. Por meio deles (aplicativos

computacionais) os alunos criam, pensam, manipulam e interpretam os dados obtidos.

Dentre os diversos programas, um dos mais conhecidos e utilizados no âmbito da

educação matemática é o Geogebra, um software gratuito de matemática dinâmica,

desenvolvido para o ensino e aprendizagem nos vários níveis de ensino. Com a

utilização desse software a linguagem matemática tem mais sentido ao aluno, pois “cada

expressão na janela de Álgebra corresponde a um objeto na Zona de Gráficos e vice-

versa” (HOHENWARTER).

FIGURA 1. Janela de comando do Geogebra

FONTE: Google Imagens


235

3. Resultados alcançados

Para o levantamento dos dados necessários neste estudo, foi feita uma pesquisa

de campo de caráter qualitativo. Os dados foram coletados, com aplicação de

questionários e de oficinas. O questionário foi dividido em duas etapas (antes e depois

das oficinas). Apresenta uma linguagem clara com sete (7) perguntas, sendo seis (6)

destas com justificativa.

A pesquisa foi realizada em uma escola pública no município de Jerônimo

Monteiro, com alunos da educação profissional técnica de nível médio integrada ao

ensino médio (1ª e 2ª série), na área de administração nomeados com as letras de A a H.

As oficinas foram realizadas nos dias 10/08, 17/08, 31/08 e 14/09 de 2015. Nos dias

10/08 e 17/08 foi feito a aplicação do questionário e o estudo de funções polinomiais do

1º e 2º grau. Para ganharmos tempo, elaboramos uma nota de aula com o conteúdo de

funções e situações problemas. No dia 31/08 trabalhamos a função polinomial de grau

maior que 2 (n>2) para que pudessemos introduzir o Geogebra no auxilio da construção

e interpretação do gráfico desta função. No quarto e último dia (14/09) os alunos

apresentaram duas situações problemas e trouxeram as resoluções através do aplicativo

e por fim aplicamos o 2º questionário.

Com os questionários, percebemos que poucos alunos tinham utilizado

aplicativos no estudo da Matemática e apesar de estarmos inseridos numa era digital os

professores da disciplina da escola não utilizavam os softwares em suas aulas. Outro

ponto destacado é que os alunos conseguem aplicar os conteúdos matemáticos em

situações cotidianas à eles. No primeiro questinário perguntamos “a utilização de novos

recursos educacionais facilitariam a aprendizagem da Matemática? Porque?” os

alunos de forma unânime, destacaram que sim, utilizar esses recursos facilitam na

aprendizagem, e o uso de aplicativos despertam interesse nos alunos e tornam a

matemática mais atrativa, contribuindo não só à matemática, mas para as outras áreas do

conhecimento. O segundo questionário nos auxilou para identificar as contribuições do

uso do Geogebra.


236

Após a realização das oficinas, constatou-se que é possível associar os conteúdos

matemáticos de modo claro e objetivo ás situações empresariais e que o Geogebra

contribuiu na compreensão desses conteúdos e situações. No terceiro encontro

trabalhou-se a função polinomial de grau maior que 2. Para os alunos, esse tipo de

função não foi visto ainda, portanto determinar as raízes da função, a classificação

(crescente e decrescente) só foi possível com a utilização do Geogebra.

Dentre as perguntas foi questionado se a ferramenta tornaria as aulas mais dinâmicas no

curso, e todos responderam que sim. Para alguns, o aplicativo contribui na

compreensão, tornando a aula menos cansativa e proporcionando uma interação

significativa entre os alunos.

4. Conclusões

Neste trabalho notamos como o software Geogebra contribuirá na construção e

na compreensão do conhecimento. Vimos também que é possível trabalhar os conceitos

de cálculo diferencial e integral de uma forma mais simplificada e dinâmica. Como dito,

o ensino de CDI já foi trazido nos livros, mas por ser considerado algo difícil foi

retirado do currículo. Utilizar o software torna o processo de ensino-aprendizagem

menos teórico e mais prático, algo prazeroso não só aos alunos, mas também ao

professor. Com o mesmo, relacionamos os conceitos matemáticos a uma representação

gráfica que dá mais sentido aquilo que está sendo trabalhado teoricamente. Este

trabalho realizado com o Geogebra contemplou no estudo de funções polinomiais

abrangendo reta tangente a um ponto, taxa de variação, pontos de máximo, de mínimo,

de inflexão e esboço dos gráficos bem como sua análise e interpretação. Portanto,

entende-se que o Geogebra tem a contribuir na aprendizagem dos alunos e pode ser

usado nas escolas, visto que é um aplicativo gratuito.


BORBA, M. C. Tecnologias da informática na educação matemática e

reorganização do pensamento. In: BICUDO, M. A. V. (org). Pesquisa em educação


237

matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004.

SANTOS, Damiana. A inclusão do Cálculo Diferencial e Integral no Currículo

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2006.

SOUZA, Veriano C. A origem do Cálculo Diferencial e Integral. Monografia.

Universidade Candido Mendes Rio de Janeiro, 2001.

STEWART, James. Cálculo. V. 1. São Paulo: Cengage Learning, 2010.

VALENTE, José Armando. Informática na Educação: uma questão técnica ou

pedagógica? Revista Pátio, Ano 3, nº 9, maio/junho. Porto Alegre: Artes Médicas,

1999.


238

INTERDISCIPLINARIDADE ENTRE MATEMÁTICA E FERRAMENTAS

TECNOLÓGICAS



[email protected]



[email protected]

Thiago Rodrigues Dau


[email protected]

Alisson de Melo Gouveia


[email protected]

Luiz Fernando Botelho Margarejo


[email protected]

Resumo:

A disciplina de Matemática exige um nível de raciocínio maior que outras disciplinas.

Surgiu a ideia de adequar ferramentas de TI visando a interdisciplinaridade. Com o

auxílio da alfabetização tecnológica, foi gerado um compêndio contendo exercícios de

Matemática resolvidos com essas ferramentas. O objetivo deste trabalho é promover o

acesso do estudante à Matemática, utilizando ferramentas computacionais didáticas,

confeccionando um material de apoio conforme as TICs. Enquanto dois estudantes

ficaram encarregados de desenvolver o par tópico matemático vs. ferramenta

tecnológica, outro estudante foi o responsável por transformar a compilação dos

resultados “brutos” em um formato adequado, fazendo-se uma adaptação da

alfabetização tecnológica. O resultado da pesquisa foi a elaboração de um compêndio

impresso para utilização na Biblioteca do Câmpus Aquidauana do IFMS e também

disponibilizado online.

Palavras-chave: álgebra linear; cálculo diferencial e integral; interdisciplinaridade;

portugol; wolfram alpha.


239

1. Introdução

A Matemática, por si só, é um mito para muitos estudantes. Diante disso, o uso de

Tecnologias da Informação e Comunicação (TICs) podem auxiliar o processo de

ensino-aprendizagem da Matemática. Os Parâmetros Curriculares salientam a

importância de usar essa ferramenta como uma conexão entre a Matemática e a

tecnologia, ela pode contribuir para o aluno fazer simulações, experimentos e modelar

situações-problema. Mesmo diante dessa necessidade reconhecida do uso das TICs no

processo de ensino-aprendizagem da Matemática, nota-se que a efetiva utilização destes

ambientes é um grande desafio. Sendo assim para Richards (1991, p. 54),

É necessário que o professor de Matemática organize um trabalho

estruturado através de atividades que propiciem o desenvolvimento de

exploração informal e investigação reflexiva e que não privem os alunos nas

suas iniciativas e controle da situação. O professor deve projetar desafios

que estimulem o questionamento, a colocação de problemas e a busca de

solução. Os alunos não se tornam ativos aprendizes por acaso, mas por

desafios projetados e estruturados, que visem a exploração e investigação

(RICHARDS,1991, p.54).

Nesse contexto, o aparecimento de uma nova geração das TICs trouxe novas

oportunidades de introduzir as tecnologias da informação na educação e associá-la à

mudança do modo como se aprende e também à mudança das formas de interação entre

quem aprende e quem ensina Dessa forma, a importância da interdisciplinaridade entre

a Matemática e as disciplinas da área de TI se torna de grande valia, visto que nos

motivou a realização do trabalho descrito aqui, que visa resolver exercícios matemáticos

de referências utilizadas comumente na área de Matemática, utilizando ferramentas

computacionais educacionais próximas das disciplinas mais comuns dos cursos de TI.

De acordo com Fuck (2010, p.45) “existe uma gama diversificada de softwares livres


240

disponíveis na internet capazes de favorecer a integração desses recursos no ensino de

Matemática”. Nesse trabalho, a proposta foi criar um material específico para que o

estudante tenha contato com a Matemática, porém utilizando softwares, o que deve

motivá-lo, uma vez que tais ferramentas são muito utilizadas pelo estudante dessa área.

De acordo com Kaput (1992, p.515),

Pesquisadores de vários países tem se dedicado a pesquisa acerca do uso de

novas tecnologias no ensino de Matemática desenvolvendo investigações

valiosas de seu potencial no desenvolvimento de conceitos matemáticos da

álgebra, da geometria, do cálculo, entre outros. (KAPUT,1992, p.515).

Especificamente, duas áreas da Matemática foram elencadas para o referido trabalho:

Cálculo Diferencial e Integral; e Álgebra Linear.

No entanto, foi preciso que, para que houvesse essa interdisciplinaridade sendo

aplicada de forma eficaz, todo o objeto de estudo fosse compilado em um formato

didático e acessível aos estudantes de TI, que não sentem a necessidade da motivação

estudar Matemática para auxiliar no seu cotidiano profissional, o campo da informática,

que depende totalmente da Matemática (GAMMACK et. al., 2011).

Assim, com o auxílio de técnicas de alfabetização tecnológica, foi

confeccionado um compêndio didático e simplificado, contendo os exercícios de

Matemática resolvidos e comentados, com o objetivo de promover o acesso do

estudante de TI à Matemática, utilizando ferramentas computacionais educacionais,

como aplicativos web e programação de computadores, produzindo assim um material

de apoio de acordo com as Tecnologias da Informação e Comunicação – TICs. Para

Borba; Penteado (2012, p.104) as inovações educacionais pressupõem mudanças na

pratica pedagógica do professor, para tanto essas dependem da forma como o docente se

relaciona com esses artefatos tecnológicos. Dadas as duas áreas da Matemática que

foram escolhidas para promover a interdisciplinaridade, Cálculo e Álgebra, os


241

respectivos softwares foram escolhidos para consolidar o projeto: Wolfram Alpha®, um

aplicativo Web – também em versão para smartphones – e o Visualg, que é um

editor/interpretador de códigos computacionais em um texto da modalidade artigo

deverá apresentar uma ação ou conjunto de ações relacionado à temática do GT

submetido, por exemplo, uma prática de sala de aula, de formação de professores e de

desenvolvimento de produtos. O texto deve contemplar uma descrição detalhada do

desenvolvimento da experiência com observações e reflexões do autor. É importante

lembrar que no trabalho deverá conter, metodologia, referencial teórico, resultados da

experiência e relevâncias para a Educação ou Educação Matemática linguagem didática

para os estudantes em estágio inicial do curso, que são o público-alvo desse projeto.

Mais do que um projeto de pesquisa, esse projeto está relacionado ao Programa de

Acesso, Permanência e Êxito do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de

Mato Grosso do Sul – IFMS (CONTROLADORIA GERAL DA UNIÃO, 2016).

2. Metodologia

Os materiais utilizados para o desenvolvimento do projeto foram os

computadores do IFMS, computadores pessoais dos envolvidos (professores e

estudantes bolsistas), uma licença anual – versão estudante – do Wolfram Alpha Pro®,

versão Web, uma versão do Visualg, material de consumo, como resmas de papel A4 e

cartuchos para impressora, para impressão de exaustivas versões draft, e recursos para

impressão da primeira versão do material intitulado Interdisciplinaridade com as

disciplinas de Matemática e Ferramentas Tecnológicas: um compêndio sobre Cálculo

Diferencial e Integral, Álgebra Linear, Aplicativos Web e Linguagens de Programação

(DAU et. al., 2016).

A metodologia do projeto foi dividida em etapas paralelas, pois cada um dos três

estudantes envolvidos trabalhou com uma parte diferente do projeto. A ideia foi,

primeiramente, pesquisar sobre os softwares aplicativos para o Cálculo, que são pagos

caso se queira uma resposta “passo-a-passo”. Em seguida, foi feita uma investigação em


242

que tipos de problemas essas ferramentas podem resolver diretamente ou se há alguma

forma de adaptar a linguagem Matemática ao escopo do software. Terminada essa

investigação, a resolução passo-a-passo de um conjunto de exercícios pré-selecionados

das em Leithold (1994) e Iezzi et. al. (2004), comentários adequados para se entender

como um comando foi criado a partir das necessidades do problema matemático, e

recomendações da correta utilização das ferramentas a partir de técnicas da

alfabetização tecnológica, pretende-se montar um compêndio com as práticas de

laboratório voltadas para a Matemática, pelo menos na área de Cálculo e Álgebra

Linear, e com aplicação direta aos exercícios propostos em Leithold (1994) e Iezzi et.

al. (2004).

Para cada estudante, as etapas desenvolvidas foram:

Estudante 1: responsável pelo desenvolvimento da interdisciplinaridade Cálculo

vs. software. As etapas desenvolvidas foram: desenvolvimento dos algoritmos relativos

aos exercícios propostos; adequação do texto, sintaxe, detalhes, formatação do capítulo

específico ou Ensino de Matemática ou Matemática. do compêndio; e revisão

bibliográfica, adequação ao modelo proposto pela Alfabetização Tecnológica. O

estudante 1 explorou a ferramenta Wolfram Alpha® e sua versão paga Wolfram Alpha

Pro® para resolver problemas sobre limites, derivadas e integrais. As figuras abaixo

demonstram parte das soluções encontradas


243

Figura 1. Comandos utilizados para resolver exercícios selecionados de Leithold (1994) apud

Dau et.al. (2016), p. 5.

Figura 2. Utilizando o Wolfram Alpha Pro for students® para resolver exercícios selecionados

de Leithold (1994) apud Dau et.al. (2016), p. 19.

Estudante 2: responsável pelo desenvolvimento da interdisciplinaridade Álgebra

Linear vs. programação de computadores. As etapas desenvolvidas foram as mesmas do

estudante 1. O estudante 2 explorou a ferramenta Visualg® para resolver problemas

sobre matrizes e operações com matrizes. A ideia original era fazer um compêndio

envolvendo determinantes e sistemas lineares, mas o tempo destinado ao projeto não era

adequado ao desenvolvimento teórico da Matemática, uma vez que na época do início


244

da pesquisa, em 2015, a ementa da disciplina Fundamentos Teóricos ainda não

contemplava esses tópicos. As figuras abaixo demonstram parte das soluções

encontradas.

Figura 3. Parte da introdução teórica às operações com matrizes. Dau et.al. (2016), p. 22

Figura 4. Parte principal do código-fonte desenvolvido pelo estudante 2, acerca do exercício 193, de

Iezzi et. al. (2004), apud Dau et.al. (2016), p. 26.

Estudante 3: responsável pela compilação dos resultados em um compêndio,

contendo breves explanações sobre o tema abordado e uma biblioteca de comandos e

códigos-fonte necessários para obter o mesmo resultado que o exercício referido como

feito à moda tradicional, à mão, com linguagem Matemática, formal ou aproximada. As

etapas desenvolvidas foram: revisão bibliográfica; montagem do capítulo do compêndio


245

que versa sobre as ferramentas utilizadas e seu foco dado pelo ponto de vista de um

usuário de ferramentas computacionais Matemáticas; e proposta de um modelo para

formatar os capítulos específicos do compêndio. O estudante 3 deu vida à versão

didática e acessível aos estudantes, disponível online (DAU et. al., 2016),

desenvolvendo técnicas de acordo com a TICs e focando na técnica de alfabetização

tecnológica (ARAÚJO et. al. 2015). O resultado final – enquanto não se desenvolvem

novas versões mais completas – encontra-se disponível em Dau et. al. (2016).

O compêndio foi compilado, e sua primeira versão está disponível online (DAU

et. al., 2016).

Figura 5. QR Code do Compêndio.

3. Conclusões

Este trabalho teve como objetivo promover a interdisciplinaridade entre

Matemática e ferramentas computacionais educativas, para dar acessibilidade do

aprendizado de Matemática pelos estudantes de TI.

Esse projeto não é nada mais que a compilação de uma prática adotada em sala

de aula desde que o primeiro autor desse artigo leciona para cursos Técnicos Integrados

ao Ensino Médio, e Cursos Superiores de Tecnologia e Engenharia, em 2006. A

necessidade de se adaptar os fundamentos teóricos mais importantes da Matemática

para os referidos cursos a formas didáticas e atualizadas de trabalha-los levou o autor a


246

utilizar novas ferramentas destinadas ao aprendizado de Matemática em disciplinas que

não a utilizam diretamente, como é caso da maioria das disciplinas técnicas dos cursos

superiores de Engenharia e Tecnologia.

Enfim, o trabalho não foi fácil e imediato, pois no decorrer do desenvolvimento

notamos que os próprios estudante bolsistas desenvolvedores do projeto tinham

dificuldades com a Matemática envolvida, de forma que não conseguimos avançar o

desejado na área de Álgebra Linear. Está previsto, para as etapas seguintes do projeto

(temporada 2016-2017), o melhoramento ao compêndio, incluindo outras áreas da

Matemática e novas ferramentas tecnológicas educativas.

4. Referências

ARAÚJO, M. J. de A. et. al. Alfabetização Tecnológica. Disponível em

<http://www.webartigos .com/artigos/alfabetizacao-tecnologica/35398/>. Acesso em:

mai-2015

BORBA, M.C.; PENTEADO, M.G. Informática e Educação Matemática. 5. ed.Belo

Horizonte: Autêntica, 2012. 104 p

CONTROLADORIA GERAL DA UNIÃO. Plano de Desenvolvimento Institucional do

IFMS: 2014 – 2018. Disponível em

<http://www.consultaesic.cgu.gov.br/busca/dados/Lists/Pedido/Attachments/473565/RE

SPOSTA_PEDIDO_pdi_ifms_2014_2018_2edicao.pdf>. Acesso em: set-2016.

DAU, T, R. et. al. Interdisciplinaridade com as disciplinas de Matemática e Ferramentas

Tecnológicas: um compêndio sobre Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear,

Aplicativos Web e Linguagens de Programação. Disponível em

<https://drive.google.com/file/d/0BxtRwC5Whq5-

UkdkNlUxN2JHMXM/view?usp=sharing>. Acessado em: set-2016.

FUCK, R. S. A Integração das Tecnologias Informáticas no Contexto da Prática

Docente: um estudo de caso com professores de Matemática. 2010. 137f. Dissertação

(Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – Faculdade de Física, Pontifícia

Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Porto Alegre (RS), 2010

GAMMACK, J. G.; HOBBS, V.; PIGOTT, D. The Book of Informatics. Cengage

Learning. 1st ed. Boston, 2011.


247

KAPUT, J. J. Technology and Mathematics Education. In: GROUWS, Douglas A.

Handbook of research on Mathematics Teaching and Learning. NCTM, 1992, Cap. 21,

p.515-556.

IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de Matemática Elementar: Sequências, Matrizes,

Determinantes e Sistemas. 7ª Ed. Vol. 4. Atual Editora, 2004.

LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo. Harbra, 1994.

LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Schaum’s Outlines of Theory and Problems of Linear

Algebra. McGraw-Hill. 3th Ed., 2004.

MILAGRES, D. C.; FALLEIROS, E. L. S. Proposta de Implementação do Algoritmo de

Gauss-Jordan em Linguagem C para Auxiliar o Aprendizado de Tópicos de Álgebra

Linear. II Simpósio em Computação – SIMPOCOMP 2013. UEMS, Nova Andradina –

MS.

PATRÍCIO, P. Notas de Aula de Álgebra Linear em 2006. Disponível em:

<http://w3.math.uminho.pt/~pedro/>. Acesso em: set-2013.

PORTUGOL. Português estruturado. Disponível em

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Portugol>. Acesso em: set-2016.

RICHARDS, J. Mathematical Discussion. Dordrecht, The Nederlands: Kluwer, 1991.

VISUALG. Visualizador de Algoritmo. Disponível em

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Visualg>. Acesso em: set-2016.

WOLFRAM. Wolfram Alpha Computacional Knowledge Engine. Disponível em

<http://www.wolframalpha.com/>. Acesso em: mai-2015.


248

A REPERCUSSÃO DA DIFICULDADE MATEMÁTICA SOBRE O ENSINO DE

CIÊNCIAS NO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

RIBEIRO, Guilherme Augusto Maciel

Mestrando em Educação/ Ensino de Ciências e Matemática – IFES Campus Vitória

[email protected]

BOONE, Mirelly Katiene e Silva


[email protected]

BRAGA, Theophilo Rosa Rodrigues

Servidor do Instituto Federal do Espírito Santo –Campus Piúma

[email protected]

Resumo:

O presente artigo tem por objetivo estabelecer uma discussão sobre os impactos das

dificuldades matemáticas no processo de ensino-aprendizagem de alunos do 9º ano e as

repercussões sobre o ensino de ciências naturais. Procedeu-se a uma pesquisa qualitativa

descritiva a partir da análise dos processos de construção de conhecimentos científicos

em cinemática envolvendo alunos do 9º ano de uma escola pública municipal do sul do

estado do Espírito Santo. Foram analisadas algumas atividades desenvolvidas em

Ciências Naturais que abordaram o conteúdo velocidade média, cujas respostas dos

alunos aos exercícios propostos serviram de dados à interpretação e confecção deste

artigo. Observou-se que as dificuldades dos alunos em solucionar cálculos matemáticos

de transformações nas unidades de espaço e de tempo e em proceder às operações

matemáticas elementares – sobretudo aquelas relacionadas aos números decimais –

sinalizam a necessidade de maior diálogo entre as disciplinas de ciências naturais e

matemática ao longo de toda a Educação Básica.

Palavras-chave: dificuldades matemáticas; ensino de ciências naturais;

interdisciplinaridade.

1. Introdução


249

O ensino de ciências naturais no 9º ano é marcado pelo déficit no rendimento

escolar, dadas as dificuldades na solução de problemas envolvendo o estudo do assunto

cinemática. A operacionalização do conhecimento em cinemática exige uma postura

reflexiva do estudante, que se inicia com a leitura e a interpretação da problematização

que a ele é apresentada até o desenvolvimento do pensamento lógico-matemático

subjacente ao problema proposto. Não obstante, é perceptível, durante a prática

educativa, que os alunos apresentam dificuldades operacionais matemáticas que

confundem o desenvolvimento dos conhecimentos científicos em cinemática, o que

sugere a necessidade de nivelamento destes conhecimentos pelos professores de

ciências naturais em parceria com os professores de matemática, sob a perspectiva

interdisciplinar.

2. Metodologia

Procedeu-se à pesquisa qualitativa descritiva a partir de Bogdan & Biklen (1994),

através da observação e análise dos processos de construção de conhecimentos científicos

em cinemática por alunos do 9º ano de uma escola pública municipal do sul do estado

do Espírito Santo. Como fonte de dados para análise e discussões foram utilizadas

atividades propostas para o ensino sobre o conteúdo ‘velocidade média’, atividades

essas comumente desenvolvidas em Física, componente da disciplina de ciências

naturais no 9º ano do Ensino Fundamental.

Nesta ocasião, as referidas atividades foram planejadas pelo professor de Ciências

Naturais em consonância com as orientações da Lei de Diretrizes e Bases da Educação

Nacional (LDBEN, 1996), do Currículo Básico das Escolas Estaduais do Espírito Santo

(CBEE/ ES, 2009) e das Diretrizes Nacionais Curriculares da Educação Básica

(DCNEB, 2013). Desse modo, após as teorizações e demonstrações concernentes ao

conteúdo proposto, os alunos foram orientados a solucionar um conjunto de problemas

envolvendo o conteúdo ‘velocidade média’, sendo assistidos pelo professor de Ciências

Naturais.


250

O produto oriundo das resoluções feitas pelos alunos foi analisado e interpretado à

luz de um diálogo interdisciplinar entre profissionais que atuam neste segmento de

ensino (um professor de ciências naturais e uma professora de matemática),

acompanhados por um pedagogo. Além disso, houve uma interlocução com os

referenciais teóricos levantados como forma de situar os (des)caminhos da construção

de conhecimentos em física por ocasião das deficiências matemáticas diagnosticadas

durante a resolução das atividades, que podem constituir obstáculos epistemológicos

para os processos de ensino-aprendizagem em ciências naturais.

3. Referencial teórico

A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN, 1996), em seu

artigo 21, apresenta Educação Básica dividida em três fases: Educação Infantil, Ensino

Fundamental e Ensino Médio. As Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica

(DCNEB, 2013) é o documento oficial que estabelece orientações referentes à “[...]

organização, articulação, o desenvolvimento e avaliação das propostas pedagógicas de

todas as redes de ensino brasileiras” (DCNEB, 2013, p.04). O texto é claro e prioriza a

importância da articulação entre as etapas da Educação Básica como forma de

minimizar as dificuldades dos estudantes. Ao tratar do Ensino fundamental de nove

anos, as diretrizes anunciam que

Um desafio que se depara o Ensino Fundamental diz respeito à sua

articulação com as demais etapas da educação, especialmente com a

Educação Infantil e com o Ensino Médio. A falta de articulação entre as

diferentes etapas da Educação Básica tem criado barreiras que dificultam o

percurso dos alunos. (DCNEB, 2013, p.120).

Não obstante, este documento sinaliza que, para a superação das dificuldades

educacionais provocadas pela falta dessa articulação,

[...] é preciso que o Ensino Fundamental passe a incorporar tanto algumas

práticas que integram historicamente a Educação Infantil, assim como traga

para seu interior preocupações compartilhadas por grande parte dos

professores do Ensino Médio, como a necessidade de sistematizar

conhecimentos, de proporcionar oportunidades para a formação de conceitos

e a preocupação com o desenvolvimento do raciocínio abstrato, dentre outras.


251

(DCN’s, 2013, 120).

E não paramos por aqui. Além da necessidade de articulação entre as etapas que

antecedem e sucedem o Ensino Fundamental, há, ainda, a necessidade de articulação no

interior do próprio Ensino Fundamental, pois temos o ciclo de alfabetização que se

conclui ao final de 3º ano, os anos iniciais que se concluem ao final do 5º ano e os anos

finais que se concluem ao final do 9º ano. São muitos os momentos com papéis distintos

a serem cumpridos no processo de escolarização. Por isso, quando as falhas acontecem

e não são superadas, o estudante poderá carregar consigo muitas dificuldades que

comprometerão a continuidade dos seus estudos.

O 9º ano do Ensino Fundamental constitui a etapa de conclusão da segunda fase

da educação básica. Neste momento o estudante conclui a etapa do ensino fundamental

II e inicia o percurso formativo do ensino médio. Neste sentido, é fundamental que

alguns conceitos já estejam formados, de maneira que sirvam de base para a construção

dos próximos conceitos, sobretudo os conceitos matemáticos, que são imprescindíveis

ao início dos estudos da física. É comum, nesta fase, vermos alunos e professores se

queixando das dificuldades referentes a números e operações, álgebra, dentre outros,

seja na própria área de conhecimento da matemática ou em outras áreas que se valem

dela para prosseguir com suas atividades educativas, como é o caso das Ciências

Naturais, quando do estudo da fsica e da química, por exemplo.

O ensino de ciências naturais no 9º ano é, portanto, marcado pela dificuldade dos

alunos em solucionar cálculos matemáticos de transformações nas unidades de espaço e

de tempo e em proceder às operações matemáticas elementares – sobretudo aquelas

relacionadas aos números decimais. Tal constatação é evidenciada nas diferentes

situações de aprendizagem a que vivenciamos e estas sinalizam para a necessidade de

maior diálogo entre as disciplinas de ciências naturais e matemática ao longo de toda a

Educação Básica. Além disso, torna-se perceptível a dificuldade que os alunos exibem

em construir relações de racionalidade entre a distância percorrida por um corpo móvel

e o tempo gasto.


252

Se observarmos o diagnóstico das dificuldades, percebemos que elas estão

ligadas à formação do conceito de número racional. Caraça (2002) trata dos números

sempre ligados aos problemas reais da vida humana: os números naturais estão ligados

ao problema da contagem considerada pelo autor como uma “[...] operaçao elementar

da vida individual e social”. (CARAÇA, 2002, p.03). Os números racionais estão

ligados ao problema da medida e a partir da medição: o autor nos auxilia na construção

do campo racional (CARAÇA, 2002, p.29). Ainda de acordo com as ideias deste autor,

medir e contar são as operações cuja realização a vida de todos os dias exige com maior

frequência. Mas o que é medir? Em Caraça, temos que

[...] toda a gente, nas mais variadas circunstâncias, qualquer que seja a sua

profissão, tem necessidade de medir. Mas o que é medir? Todos sabem em

que consiste o comparar duas grandezas da mesma espécie – dois

comprimentos, dois pesos, dois volumes, etc. (CARAÇA, 2002, p.29).

O estudo das ideias apresentadas pelo autor nos sugere que desde o início da

construção de conhecimentos e significados matemáticos (que, por conseguinte,

poderão ser aplicados a outros contextos de aprendizagens), o número racional é

apresentado pela comparação entre grandezas. Neste sentido, o ato de medir apresenta-

se em “[...] três fases e três aspectos distintos – escolha da unidade; comparação com a

unidade; expressão do resultado dessa comparaçao por um número.” (CARAÇA, 2002,

p.30).

Entendemos que a operação da medição acompanha a vida humana desde antes

no nascimento de Cristo. Em sua obra Caraça (2002) faz uma relação entre a operação

de medição, a propriedade privada e o Estado: o proprietário precisa conhecer a medida

das dimensões da terra, seja para manejá-la, para estabelecer contrato de venda ou para

definir o valor do imposto devido ao Estado. Tais dimensões são utilizadas para definir

as áreas a partir de regras ensinadas pela Geometria. O mesmo autor ilustra a relação

medição, propriedade e Estado a partir das origens da Geometria escrita por Heródoto,

“[...] historiador grego que viveu no século V antes de Cristo, ao fazer a história dos

Egípcios [...]”. (CARAÇA, 2002, p. 32). Outrossim, refere-se às origens da Geometria


253

da seguinte maneira:

Disseram-me que este rei (Sesostris) tinha repartido todo o Egipto entre os

egípcios e que tinha dado a cada um uma porção igual e retangular de terra,

com a obrigação de pagar por ano um certo tributo. Que se a porção de algum

fosse diminuída pelo rio Nilo, ele fosse procurar o rei e lhe expusesse o que

tinha acontecido à sua terra. Que ao mesmo tempo o rei enviava medidores

ao local e fazia medir a terra, a fim de saber de quanto ela estava diminuída e

de só fazer pagar tributo o tributo conforme o que tivesse ficado de terra. Eu

creio que foi daí que nasceu a Geometria e que depois ele passou aos gregos.

(CARAÇA, 2002, p.32).

Diante das situações já expostas, vale questionar: será que o ensino de

matemática tem priorizado as ideias que deram origem ao novo campo numérico? O

campo racional surge a partir do momento em que os números inteiros não são

suficientes para representar certas medidas. Entretanto, os números racionais podem

aparecer em situações distintas. Onuchic e Allevato (2008) definem o campo racional da

seguinte forma:

Figura 1: Definição de Número Racional por Onuchic e

Allevato (2008).

Nesta relação, observa-se que todo número é racional quando pode ser escrito na

forma 𝑎

𝑏, com a e b inteiros e b ≠ 0, embora haja, em alguns livros didáticos, a exigência

adicional da irredutibilidade de a e b. Além de definir o campo racional Onuchic e

Allevato (2008) apresentam diferentes “personalidades” que podem ser assumidas por

um número racional, enumerando-as da seguinte forma:

O ponto racional [...] um ponto bem definido na reta[...].

Quociente[...] um número de objetos precisa ser repartido igualmente

num certo número de grupos [...].

Fração[...] a relação da parte com o todo [...].

Operador [...] com significado semelhante ao de reduzir ou ampliar, [...]

define uma estrutura de números racionais.


254

Razão é uma comparação entre duas grandezas [...].

Proporcionalidade [...] comparação multiplicativa [...]. (ONUCHIC e

ALLEVATO, 2008, p.87-99)

Onuchic e Allevato (2008) construíram as personalidades dos números racionais

a partir da metodologia de resolução de problemas. Segundo as autoras, envolvendo-se

em resolução de problemas, os alunos participam ativamente da construção desses

conceitos.

Como podemos observar, os números racionais podem aparecer de maneiras

diferentes dependendo da situação problema em que estão inseridos. Sem conhecer tais

personalidades os estudantes não serão capazes de reconhecê-las nem em problemas de

matemática e nem em problemas de física. Como podemos cobrar dos alunos que

resolvam questões de velocidade média se eles não são capazes de perceber que estamos

falando da relação de racionalidade entre distância percorrida por um corpo móvel e

tempo gasto por este em sua trajetória? Do mesmo modo, quais ações preliminares à

racionalidade são mobilizadas no intuito de possibilitar a operacionalização matemática

de conversão das medidas de espaço e de tempo que são fundamentais para o

desenvolvimento do estudo da cinemática?

Ubiratan D’Ambrósio (1994) denuncia que uma das possibilidades desta

inadequação teórico-prática no ensino de física em ciências naturais reside na repetição

mecânica dos conhecimentos adquiridos durante o processo educativo. E continua por

considerar que, por anos, a postura escolar dos alunos acerca da aprendizagem dos

conteúdos da física

[...] estavam relacionadas à resolução de problemas numéricos em que a

dificuldade não estava centrada no conceito Físico e, sim, nas relações

matemáticas exigidas, nas operações efetuadas e na criatividade em

desenvolver expressões algébricas para atingir resultados. (D’AMBRÓSIO,

1994, p.14)

Muitas podem ser as contribuições para o insucesso dos alunos durante as

atividades escolares dos conteúdos relativos à cinemática no 9º ano do ensino

fundamental. Diante destas considerações e questionamentos, torna-se evidente que as


255

dificuldades matemáticas relacionadas ao estudo do conteúdo ‘velocidade média’ não

constituem apenas um obstáculo epistemológico a ser transposto por professores de

matemática. É necessária uma articulação interdisciplinar entre ciências naturais e

matemática, de modo a situar o contexto científico da cinemática às possibilidades

reflexivas e resolutivas matemáticas, conforme sugerem Karam e Pietrocola (2009).


Durante o acompanhamento das resoluções das atividades sobre ‘velocidade

média’ por alunos do 9º ano do ensino fundamental, foi diagnosticado que, a priori, os

alunos demonstraram dificuldades em solucionar os cálculos matemáticos associados a

transformações nas unidades de espaço e de tempo. Tais operações matemáticas estão

contidas no Currículo Básico das Escolas Estaduais do Espírito Santo (CBEE/ ES,

2009), especificamente nas orientações referentes às competências e habilidades

desejáveis para o ensino da matemática aos alunos da 5ª série do ensino fundamental

(atual 6º ano) e que se estende por diferentes contextualizações e aplicações práticas ao

longo das séries subseqüentes da educação básica.

Quadro 1: Distribuição de competências/ habilidades e conteúdos

de Matemática para a 5ª série/ 6º ano propostos pelo CBEE/ ES, 2009 (p. 92)

Em


256

observação aos registros feitos pelos estudantes, foram diagnosticadas dificuldades em

proceder às operações matemáticas associadas à conversão de unidades de medida de

espaço, sobretudo aquelas relacionadas aos números decimais. Essas deficiências

matemáticas repercutem decisivamente para o fracasso destes sujeitos nos cálculos

cinemáticos de física em ciências naturais.

Além disso, torna-se evidente que tais dificuldades matemáticas apresentadas

pelos alunos comprometem o desenvolvimento dos conteúdos e cálculos cinemáticos.

Isso porque, na construção das relações de racionalidade entre distância percorrida por

um corpo móvel e tempo gasto por este em sua trajetória, é necessária a

operacionalização da matemática concomitante às especificidades conceituais das

ciências naturais. Por isso, há que se valer dos conhecimentos tácitos matemáticos para

que a aprendizagem científica sobre a ‘velocidade média’ se torne efetiva.


257

Quadro 2: Distribuição de competências/ habilidades e conteúdos de Ciências Naturais

para a 8ª série/ 9º ano propostos pelo CBEE/ ES, 2009 (p. 75)

Uma discussão necessária, paralela às (des)aprendizagens constatadas ao se

acompanhar a construção do conhecimento científico em cinemática, é o distanciamento


258

entre o estudo das conversões das medidas de espaço e de tempo na 5ª série/6º ano do

ensino fundamental e sua possibilidade de utilização em ciências naturais na 8ª série/9º

ano. Em entendimento, a estruturação curricular proposta para o ensino ciências naturais

merece um novo olhar.

Em Ribeiro (1987, p. 74), percebemos que tal organização curricular segue o

pensamento Comteano, já que este “nao recomendava o ensino das ciências senao após

os 14 anos. Até então a criança deveria receber uma educação de caráter estético,

baseada na poesia, na música, no desenho e nas línguas.” Isso justifica, em parte, o fato

de o aluno apenas ter acesso ao ensino de física ou de química nas séries finais do

ensino fundamental, constatação que poderá ser estudada em análises acadêmicas

posteriores.

É possível que estes dados sugiram interligações multifatoriais entre os diversos

aspectos da construção do conceito de número racional – que precisa envolver todas as

diferentes “personalidades” deste campo numérico – e de suas implicações nos

processos de ensino-aprendizagem, tanto no ensino de matemática quanto no ensino de

ciências naturais. Entendemos que estas sinalizações direcionam nossas análises para a

necessidade de um maior diálogo entre a matemática e as ciências naturais ao longo de

toda a educação básica, com vistas a minorar as possíveis lacunas que venham a

repercutir em dificuldades de aprendizagem nas diferentes áreas de conhecimento da

educação básica.


Acreditamos que as interlocuções entre as áreas de conhecimento de ciências

naturais e matemática sejam necessárias durante todas as seriações da educação básica,

uma vez que a interdisciplinaridade fomenta o uso de novas perspectivas pedagógicas

para a contextualização de todo conhecimento, promovendo permanente processo de


259

retroalimentação da construção de novas aprendizagens frente aos conteúdos

curriculares.

Além disso, é desejável que tais aproximações permitam a fluência da

dialogicidade entre as ciências naturais e a matemática, a fim de preencher as possíveis

lacunas existentes nas práticas pedagógicas desenvolvidas pelos profissionais dessas

diferentes áreas de conhecimento, minorando suas limitações e potencializando a

construção de significados mais complexos dos conteúdos científicos e matemáticos

trabalhado nas diversas situações de ensino-aprendizagem.


BOGDAN, Robert C. BIKLEN, Sari Knopp. Investigação Qualitativa em Educação:

uma introdução à teoria e aos métodos. Tradução: Maria João Alvarez, Sara Bahia dos

Santos e Telmo Mourinho Baptista. Portugal: Porto Editora, 1994.

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260

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Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro (IFRJ), Campus

Nilópolis, Nilópolis, RJ. 2012.


261

DESAFIO DO USO DAS TIC´S NA REDE PÚBLICA NA PERCEPÇÃO DOS

PROFESSORES DE MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA

CORADINI, Alef Barbosa

Graduando em Licenciatura em Matemática – Ifes

TONELLI, Elizangela

Professora do Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes

Resumo: Este artigo objetiva fazer um levantamento do acervo das Tic’s e suas condições de

funcionamento, disponibilizadas para o fazer docente bem como verificar de que forma os

laboratórios de informática têm sido usados para o ensino da matemática. Os resultados

preliminares obtidos por meio de uma pesquisa exploratória mostraram que alguns

equipamentos não funcionam e que a internet não atende satisfatoriamente as demandas

administrativas e pedagógicas. Esses fatores nos levam a hipótese, que os objetivos

governamentais de inclusão digital ainda se esbarram em desafios que podem comprometer o

efetivo aproveitamento das Tic’s no ambiente escolar.

Palavras-chave: Laboratório Proinfo; prática pedagógica; Ensino de Matemática.

1. Introdução

A informática educacional e os diversos recursos de mídia disponibilizados

direta ou indiretamente nas escolas visam tornar as aulas mais atrativas e

compreensivas, uma vez que nossos alunos da educação básica já nasceram integrados

nesse mundo digital.

O uso da tecnologia pode ser proveitoso no estudo interativo de conteúdo,

tornando-os mais motivador e fazendo com que o aluno adote uma postura mais

participativa. Em meio a diversas maneiras de ensinar, há de se considerar que os alunos

que hoje estão nas salas de aulas são chamados por Prensky (2001) como nativos

digitais, ou seja, nasceram em um contexto no qual o acesso à diversidade de recursos

digitais (onlines e offlines) tornou-se uma constante para a maioria deles. Por esta razão,

eles dominam esses recursos sem muitas dificuldades.

Contudo faz-se importante lembrar que de acordo com bases empíricas, alguns

professores ainda se mostram resistentes quanto ao seu uso seja pela falta de domínio de

algumas tecnologias ou porque algumas escolas ainda não conseguiram adaptar o uso

das tecnologias ao seu cotidiano educacional por falta de equipamentos que atendam ao


262

quantitativo de alunos ou disciplina/professor.

Partindo dessas inquietações este estudo tem buscado respostas para as seguintes

questões: Quais tecnologias de Informaçao e comunicaçao (Tic’s) as escolas públicas

disponibilizam para professores e alunos? De que forma esses recursos têm sido

utilizados no ensino de matemática? Esses questionamentos buscam fazer um

levantamento do acervo de recursos tecnológicos que o professor da rede pública de

ensino têm ao seu dispor e de que forma elas têm sido empregadas no ensino da

matemática.

Justifica-se a escolha desse tema porque as Tic’s estao cada vez mais presentes

no dia a dia dos professores e alunos, tendo em vista ainda que o uso dessas ferramentas

está de acordo com as preferências da maioria dos estudantes, e com os objetivos da

inclusão digital.

2. A inclusão digital por meio do espaço escolar

Analisando o crescimento da informatização dos serviços oferecidos à

sociedade, cada vez mais se busca a inclusão digital dos cidadãos nesse modo de vida.

Rebelo diz que (2005) a expressão Inclusão Digital surgiu a partir do termo digital

divide, que em inglês significa algo como "divisória digital", que hoje se pode

desprender do termo algo similar à democratização da informação, universalização da

tecnologia e outras variantes parecidas e politicamente corretas.

A inclusão digital significa também, antes de tudo, melhorar as condições de

vida de uma determinada região ou comunidade com ajuda da tecnologia que no espaço

escolar não é apenas "alfabetizar" alunos em informática, mas também melhorar os

quadros sociais a partir do manuseio dos computadores (REBELO, 2005).

As novas Tecnologias de Informaçao e Comunicaçao (Tic’s) surgiram na metade

da década de 1970 no contexto da Terceira Revolução Industrial e Revolução

Informacional. As Tic’s sao entendidas como um conjunto de recursos tecnológicos

integrados entre si, que proporcionam, por meio das funções de hardware, software e

telecomunicações, a automação e comunicação dos processos de negócios, da pesquisa


263

científica e de ensino e aprendizagem. Elas correspondem a todas as tecnologias que

interferem e medeiam os processos informacionais e comunicativos dos seres.

No contexto atual, a escola se apresenta como ambiente capaz de fazer imergir

as novas tecnologias a serviço de uma metodologia de ensino a favor da interação dos

alunos nesta sociedade da informação anulando, assim, as diferenças sociais não

pertinentes a este processo.

A esse respeito, o PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, p.

20) enfatiza que um dos objetivos do ensino é "saber utilizar diferentes fontes de

informaçao e recursos tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos”.

Ao se utilizar diferentes mídias que colaboram para a apropriação de um

ambiente de comunicação e atualização do conhecimento, o computador e seus

inúmeros recursos destacam-se como a principal ferramenta de acesso. Especificamente

falando das ferramentas computacionais no ensino da matemática, os PCN’s sugerem

ainda que,

“o computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino

(banco de dados, elementos visuais), mas também como fonte de

aprendizagem e como ferramenta para o desenvolvimento de

habilidades. O trabalho com o computador pode ensinar o aluno a

aprender com seus erros e a aprender junto com seus colegas, trocando

suas produções e comparando-as” (BRASIL, 1997, p.48).

Em relação ao uso das TIC´s no ensino de matemática os PCN também enfatizam que o

uso dos recursos tecnológicos para a aprendizagem é uma das possibilidades de

despertar no aluno o desejo pela conquista do saber das práticas sociais.

É esperado que nas aulas de Matemática se possa oferecer uma

educação tecnológica, que não signifique apenas uma formação

especializada, mas, antes, uma sensibilização para o conhecimento dos

recursos da tecnologia, pela aprendizagem de alguns conteúdos sobre

sua estrutura, funcionamento e linguagem e pelo reconhecimento das

diferentes aplicações da informática, em particular nas situações de

aprendizagem, e valorização da forma como ela vem sendo incorporada

nas práticas sociais (BRASIL, 1997, p. 46).

Conforme os PCN (BRASIL, 1998, p.44), o computador pode ser empregado de várias

maneiras nas aulas de matemática. Se for usado como fonte de informaçao “é um


264

poderoso recurso para alimentar o processo de ensino e aprendizagem e construir o

conhecimento. Se for usado para desenvolver a autonomia o uso dos softwares

possibilita pensar, refletir e criar soluções por meio das ferramentas como planilhas

eletrônicas, processadores de texto, banco de dados, etc.

A finalidade de seu uso está associada ao objetivo a ser alcançado com o

conteúdo. Os PCN (1998), em relação aos recursos de softwares, por exemplo,

argumentam que seu sucesso depende, em grande parte, da escolha feita pelo professor,

devendo – o software – ser apropriado ao que se pretende alcançar.

Valente (1993) que o computador tem de ser visto como uma nova mídia

educacional e nao somente como uma “máquina de ensinar”: é uma ferramenta

educacional de aperfeiçoamento, de complementação e de uma plausível modificação

na qualidade do ensino. Portanto, uma das soluções para estas mudanças poderia ser a

presença do computador, dando as condições para os discentes desenvolverem a

capacidade de buscar e selecionar a informação, solucionar problemas e aprender de

forma independente. Segundo Valente (1993) o computador deve ser empregado como

um catalisador de uma alteração do paradigma educacional, sendo que os responsáveis

pelo controle do processo de aprendizagem são os discentes. Por outro lado este novo

paradigma educacional contribui para que o docente compreenda que a educação não é

somente a transferência de conhecimento, mas todo um processo de construção do

conhecimento pelo estudante, um produto do seu engajamento intelectual ou do

educando.

Como forma de incentivo e inserçao das Tic’s no espaço escolar, governo tem

desenvolvido diferentes ações. Por meio da portaria 522 de 9 de abril de 1997, o

Ministério da Educação e do Desporto criou o Programa Nacional de Informática na

Educação (Proinfo) que em 2007, com o Decreto nº 6.300, foi ampliado, tornando suas

ações e objetivos mais específicos quanto ao uso pedagógico das Tic’s nas redes

públicas de educação básica, tais como: formação de professores, disponibilização de

conteúdos educacionais, provimento de infraestrutura para os laboratórios de


265

informática, suporte técnico e manutenção dos equipamentos do ambiente tecnológico

do Programa quando findar o prazo de garantia da empresa fornecedora contratada.

Para a efetiva inclusao digital por meio da inserçao das Tic’s nas escolas

públicas o Proinfo tem implantado vários programas e projetos educacionais como:

Portal Domínio Público, Linux Educacional, Banda Larga nas escolas, Um

Computador por Aluno (Prouca), Tablets Educacional, Portal do Professor, Projetor

Proinfo, Laboratório Proinfo.

Tendo esse estudo como foco especial o uso das ferramentas computacionais no

ensino da matemática, aprofundaremos um pouco mais sobre os programas Banda Larga

nas Escolas, tablet Educacional e Laboratórios Proinfo.

2.1 Programa Banda Larga nas Escolas

Resultado de acordo do Governo Federal com as operadoras, lançado em 2008, o

programa visa disponibilizar conexão à internet em banda larga para todas as escolas

públicas urbanas de educação básica e polos da Universidade Aberta do Brasil (UAB).

Tem como objetivo conectar todas as escolas públicas urbanas à internet por meio de

tecnologias que propiciem qualidade, velocidade e serviços para incrementar o ensino

público no País, conforme mostra a figura 1.

Figura 1:Painel de Estratégia escolas/banda larga

Fonte: MEC/Inep/DEED/Censo Escolar

A gestão do Programa é feita em conjunto pelo Ministério da Educação (MEC) e


266

pela Agência Nacional de Telecomunicações (ANATEL), em parceria com o Ministério

das Comunicações (MCOM), o Ministério do Planejamento (MPOG) e com as

Secretarias de Educação Estaduais e Municipais.

2.2 Laboratório Proinfo

Para fazer parte do Pronto Urbano e/ou Rural, o município ou o estado deve

fazer a adesão, o Cadastro e a Seleção das escolas que, seguindo os critérios adotados

pelo programa, receberão dos laboratórios. O MEC compra, distribui e instala

laboratórios de informática nas escolas públicas de educação básica. Em contrapartida,

os governos locais (prefeituras e governos estaduais) devem providenciar a

infraestrutura das escolas, indispensável para que elas recebam os computadores,

conforme a icartilha do Proinfo rural e Proinfo Urbano. Os laboratórios são compostos

de:

Proinfo Rural: Solução Multiterminal – 5 terminais de acesso com CPU,

monitor LCD, impressora jato de tinta, 266wireless. Sistema operacional Linux

Educacional 3.0, Garantia de 3 anos, Mobiliário (mesas e cadeiras) – enviados

pelo MEC.

Proinfo Urbano: Soluçao multiterminal com 8 CPU’s e 17 terminais de acesso,

1 servidor multimídia, 1 impressora laser, 10 estabilizadores, 1 access Point;

Linux Educacional 3.0; Garantia de 3 anos.

Seguindo as diretrizes do governo federal, o MEC incentiva à utilização de

softwares livres e produz conteúdo específico, voltado para o uso didático-pedagógico,

associados à distribuição Linux-Educacional, que acompanha os computadores do

laboratório.

Conforme ilustrado na figura 2, em anexo, em cumprimento ao PNE, o governo

prometeu universalizar, até o quinto ano da vigência, o acesso à rede mundial de

computadores em banda larga de alta velocidade e triplicar, até o final da década, a

relação computador/aluno nas escolas da rede pública de Educação Básica, promovendo

a utilização das tecnologias da informação e da comunicação. O PNE – Plano Nacional


267

de Educação é uma lei ordinária com vigência de 10 anos a partir de 26 de junho de

2014 e está prevista no artigo 214 da Constituição Federal, que estabelece diretriz,

metas e estratégias de concretização no campo da Educação.

Figura 2: Numero de alunos por computador

Fonte: MEC/Inep/DEED/Censo Escolar

2.3 Tablet Educacional

No intuito de incentivar o uso didático-pedagógico das TIC´s, em 2012, foram

distribuídos tablets para os professores de ensino médio da rede pública urbana, nos

quais já trazem instalados os conteúdos do Portal do Professor / MEC; Portal Domínio

Público; Khan Academy (Física / Matemática / Biologia / Química): tradução para

português com parceria da Fundação Lemann; Projetos de Aprendizagem Educacionais

(Banco Internacional de Objetos Educacionais – MEC); Coleção Educadores.

Modelo do Tablet tipo 1- Tela: LCD de 7 polegadas tipo touch multitoque

capacitivo, resolução de 1024 x, 600 pixels, formato 16:9, Sistema operacional: Android

4.0, Português Brasil, Processador: 1GHz, Armazenamento: 16GB (com possibilidade

de expansão de até, 32GB com cartão Micro SD Card); Conectividade: Rede sem fio

IEEE 802.11 b/g/n e Bluetooth 2.1 + EDR; Câmeras: Frontal VGA e traseira de 2,0MP;

Medidas: 196 x 120 x 11,4mm (LxAxP); Peso: 398g (sem a capa emborrachada).

Modelo do tablete tipo 2 - Tela: LCD de 9,7 polegadas tipo touch multi toque


268

capacitivo, resolução de 1024 x, 768 pixels, formato 4:3, Sistema operacional: Android

4.0, Português Brasil, Processador: 1GHz Armazenamento: 16GB (com possibilidade

de expansão de até 32GB com cartão Micro SD Card), Conectividade: Rede sem fio

IEEE 802.11 b/g/nTM e BluetoothTM 2.1 + EDR, Câmeras: Frontal VGA e traseira de

2,0MP; Medidas: 242 x 186,1 x 10,8mm (LxAxP), Peso: 606g (sem a capa

emborrachada).

3. Metodologia

Tendo em vista que o estudo ainda se encontra em andamento, o levantamento

dos dados tem sido obtidos por meio de uma pesquisa de campo de caráter

exploratório/descritivo e abordagem qualitativa com gestores e professores de

matemática de duas escolas urbanas de ensino médio, da rede pública estadual do

Espírito Santo as quais chamaremos de escola A e B.

A delimitaçao do campo empírico deu-se em funçao das escolas possuírem

características semelhantes e receberem recursos tecnológicos do Proinfo. Como

instrumento de coleta serao utilizados formulários e questionários semiestruturados a

fim de fazer um levantamento quantitativo e qualitativo do acervo tecnológico, estado

de conservaçao e funcionamento dos laboratórios de informática e de outros

equipamentos direcionados para a prática docente como: suporte técnico, procedimentos

de uso e agendamento e outros.

Em um segundo momento, será aplicado um questionários com perguntas

semiestruturadas aos professores de matemática das escolas selecionadas, a fim de

verificar como as TIC’s tem sido usada na prática docente, e qual a avaliaçao eles

fazem da proposta de inserçao, organizaçao e usabilidade dos recursos disponibilizados

para a fazer pedagógico tendo em vista os objetivos dos programas e projetos

governamentais. Os dados serao analisados de acordo com o referencial teórico

adotado, elegendo a pesquisa qualitativa como forma de tratamento das respostas dos

entrevistados, extraindo delas elementos significativos.


269

4. Resultados preliminares

Apresentaremos nesta seção os resultados preliminares obtidos na primeira etapa

da pesquisa. Esta etapa consistiu em visitar as escolas A e B e fazer um levantamento

junto aos seus gestores do acervo tecnológico direcionado ao ensino e aprendizagem das

disciplinas curriculares. Descreveremos inicialmente o perfil e as características das

escolas visitadas.

A escola A atende aos níveis de ensino médio, técnico integrado, técnico e EJA

– ensino médio. A escola atende 908 alunos distribuídos nos turnos matutino (560),

vespertino (362) e noturno (286). O corpo docente é composto de 106 professores.

A escola B atende anos níveis de ensino fundamental I e II, ensino médio e EJA

– II segmento e Médio. Ao todo são 560 alunos distribuídos nos turnos matutino (240),

vespertino (220) e noturno (100), com um corpo docente de 53 professores.

Para saber se o número de equipamento atende à demanda de professor/número

foi feito um levantamento em relação ao acervo tecnológico e o estado de conservação

dos equipamentos, conforme podem ser visualizados no quadro 1.

Quadro 1: Acervo tecnológico e estado de conservação dos equipamentos das escolas

EQUIPAMENTO QUANTIDADE QUANTOS

FUNCIONAM

PERFEITAMENTE?

QUANTOS

FUNCIONAM

REGULARMENTE?

QUANTOS NÃO

FUNCIONAM?

Escola

A

Escola

B

Escola

A

Escola

B

Escola

A

Escola

B

Escola

A

Escola

B

Impressora 3 4 3 1 - - - 3

TV 3 3 2 2 1 1 - -

DVD 1 - - - 1 - - -

Data Show 3 3 2 2 1 1 - -

Projetor Multimídia 1 3 - - - - - -

Computadores 10 6 6 4 4 1 - 1

Computadores do

Laboratório Proinfo

45 17 15 45 2

Notebook 1 4 1 3 - 1 - -

Micro System 0 3 - 2 - 1 - -

Caixa de som 2 0 2 2 - - - -

Calculadora p/alunos 0 0 0 0 - - - 3


270

Quadro digital 1 1 1 1

Fonte: da pesquisa

Em relação à conexão de internet, perguntamos se a velocidade disponibilizada

tem atendido às demandas escolares. A escola A, que atualmente utiliza uma

velocidade de 5 megabits, respondeu que atende regularmente e a Escola B, que utiliza

1 megabits, respondeu que atende precariamente.

A esse respeito, faz-se importante lembrar que a velocidade disponibilizada,

desde o inicio do programa “Banda Larga para Todos”, em 2008, é de

aproximadamente, 2,3 megabits por segundo para cada escola. Esta velocidade está

longe de ser o ideal para os objetivos do programa que é conectar todas as escolas com

banda larga de qualidade e alta velocidade. Essa velocidade não chega a 3% do que

seria adequado, neste caso 78 megabits por segundo (FOREQUE, 2016).

De acordo com o relato dos monitores dos laboratórios, a internet, quando

funciona, não é suficiente para o uso da secretaria e tampouco para se desenvolver

alguns atividades com os alunos nos computadores do laboratório.

Quanto à frequência em relação ao uso dos laboratórios de informática para a

aplicação de atividades de aula, os monitores informaram que os professores que mais

utilizam (semanalmente) na escola A são os professores de matemática e de

informática e na escola B são os professores de Língua Portuguesa, Biologia e

Ciências, conforme mostra o quadro 2.

Quadro 3: Frequência de uso do Laboratório por disciplina. Disciplina Semanal Mensal Bimestral Trimestral Semestral Nunca

A B A B A B A B A B A B

L. Portuguesa X x

L. Estrangeira x

Historia x x

Geografia x x

Matemática x x

Física x x

Química X x


271

Filosofia X x

Sociologia x X

Biologia X X

E. Física x x

Arte x x

Informática x X

Outras (ciências) X

Fonte: da pesquisa

Os dados expostos no quadro 2 teve o intuito de prover uma visão mais ampla da

frequência de uso do laboratório para as atividades pedagógicas. Nosso objetivo não é

verificar o uso das TICS em todas as disciplinas, e sim, somente na matemática. O fato

do professor de matemática, que é o foco da nossa pesquisa, utilizar o laboratório de

informática semanalmente, aponta que as TIC’s têm sido usadas nos processos de

ensino e aprendizagem mais efetivamente.

As formas de uso, bem como a avaliação das ferramentas é a próxima etapa da de nossa

pesquisa. Verificaremos também a opinião dos professores em relação às

funcionalidades do tablet educacional e a capacitaçao dos mesmos para o uso das TIC’s.

5 - Breves considerações

Baseando-se nas hipóteses para este estudo, formuladas a partir de bases

empíricas, e nos resultados preliminares, observamos que a inclusão digital a partir dos

ambientes escolares ainda enfrenta alguns desafios. Fatores como falta de estrutura

física da escola, quantitativo computador/alunos, computador/professor, internet de

qualidade, suporte técnico e pedagógico ou podem comprometer o efetivo

aproveitamento dos recursos digitais no ambiente escolar.

Quanto à prática docente, é importante que o professor tenha também como sala

de aula o laboratório de informática, pois é um recurso didático necessário aos dias

atuais e está de acordo com as preferências do público estudantil e a escola não pode

ficar alheia a isso porque cabe também à educação formar cidadãos aptos a usufruir de

tal tecnologia. Porém, faz-se importante salientar também que o computador não

garantirá lugar na escola se os professores não tiverem formação adequada e não


272

obtiverem um ambiente de trabalho apropriado a eles e aos alunos.

Sendo assim, acreditamos que, ao final desse estudo, os resultados obtidos

possam prover informações relevantes que faça com que o computador adentrem as

salas de aula, e contribua para a aprendizagem dos alunos e façam diferença em suas

vidas.

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http://www.marcprensky.com/writing/Prensky%20%20Digital%20Natives,%20Digital%20Immigrants%20-%20Part1.pdf

http://www.marcprensky.com/writing/Prensky%20%20Digital%20Natives,%20Digital%20Immigrants%20-%20Part1.pdf

https://www.fnde.gov.br/sigetec/upload/manuais/cartilhaurbano_2011.pdf

vii semat seminário da licenciatura em matemática issn ... · a turma estava estudando as bases...

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