UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

VIBRAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS

Fundamentos de Vibrações

Histórico, Importância do Estudo das Vibrações, Movimento Harmônico, Classificação das Vibrações e Tópicos Essenciais.

N O T A S D E A U L A S

Virgílio Mendonça da Costa e Silva

Janeiro – 2018

1. Fundamentos de Vibração 1.1 Observações Preliminares

Este capítulo introduz o assunto de vibrações de maneira relativamente

simples. Começa com um breve histórico do assunto e continua com uma

explanação de sua importância. Em vários passos envolve análise de vibrações

de um sistema de engenharia onde são introduzidas definições especificas e

conceitos básicos de vibrações. Segue com a apresentação de conceitos de

analise harmônica geralmente usada para análise de movimentos vibratórios,

sem tratamento exaustivo. Concluímos com tópicos essenciais para modelagem

de sistemas mecânicos.

1.2 Breve Histórico de Vibrações

Os povos, de uma maneira geral, se tornaram interessados em vibrações

quando da descoberta do primeiro instrumento musical, provavelmente um

instrumento de sopro ou tambor. Mais tarde, vários instrumentos musicais

(percussão, cordas, metais, etc.) foram concebidos, aproveitando movimentos

vibratórios, geradores de ondas sonoras. Desde então surgiram às primeiras

investigações para estudos de fenômenos vibratórios.

O desenvolvimento da teoria da vibração resultou dos avanços das

ciências básicas das quais deriva: matemática e mecânica geral.

A origem, em termos históricos, encontra-se nos registros dos antigos

filósofos gregos do primeiro milênio antes de Cristo. O primeiro interessante do

envolvimento de um filósofo grego com um problema de natureza vibratória é

registrado em um incidente envolvendo Pitágoras (cerca de 570-497 A.C.)

Pitágoras estava passando por uma espécie de fundição e/ou forjaria e

percebeu uma certa harmonia entre os diversos sons produzidos pelos

martelos. Entrando no local ele suspeitou que a diversidade de sons fosse

originada pelas diferentes forças empregadas no uso dos martelos, concluindo,

entretanto, que a causa era o peso dos martelos. Pitágoras, então, estabeleceu

um método racional de medir frequências sonoras (origem do diapasão)

podendo ser considerado como o fundador da acústica.

Ele realizou experiências com martelos, cordas, tubos e placas criando o

primeiro laboratório de pesquisas em vibrações conhecido. O fato que existem

frequências que podem produzir movimento harmônico já era conhecido por

músicos quando foi estabelecido como uma lei natural por Pitágoras. Além

disso, ele provou com suas experiências com martelos que as frequências

naturais são propriedades dos sistemas e não dependem da magnitude da força

atuante. Ele provou ainda que:

1. A frequência natural de uma corda é inversamente proporcional ao seu

comprimento e diâmetro; ela cresce quando cresce a tensão “com outras

proporções” (não especificadas). É bastante provável que Pitágoras tenha

conhecido a regra correta de dependência da frequência natural com a

tensão.

2. A frequência natural da vibração longitudinal de uma coluna é

inversamente proporcional ao comprimento da mesma.

3. A tese anterior também é válida para recipientes. Pitágoras mudava a

frequência natural colocando água dentro deles.

4. Pitágoras também testou discos, mas não existem registros de

resultados. Existe um relato em Phaedon de Platão, que Hipasos (um

discípulo de Pitágoras que diz-se tenha sido morto por revelar segredos

pitagóricos) testou quatro discos de bronze e encontrou frequências

naturais inversamente proporcionais às espessuras

As pesquisas sobre o movimento do pêndulo se originaram nas culturas

grega e chinesa, encontrando-se indicações que tenha sido utilizado como

medidor de tempo (portanto sendo conhecido o seu isocronismo – período

constante) nos tempos de Aristófanes (450-388 A.C. ).

O primeiro texto sobre acústica, On Acoustics, foi escrito por Aristóteles,

tendo sido o termo utilizado pela primeira nesta época. Os instrumentos de

medição de vibrações se originam na Grécia e China antigas.

Heródoto (cerca de 484 a 425 A.C.) registra a existência de um

transdutor de vibração (um escudo coberto com uma fina camada de bronze)

que era encostado ao solo produzindo som quando este apresentava qualquer

movimento vibratório. Foi utilizado no sexto século A.C. para detectar a

escavação de túneis subterraneos em Barca, norte da África, atual Líbia, então

sob dominação persa.

Vários outros instrumentos podem ser citados, mas um merece especial

atenção: um sismógrafo construído na China por volta do ano de 132 D.C. O

governo imperial desejava detectar antecipadamente terremotos, para que

pudessem se preparar. O cientista e matemático Zhang Heng inventou um

instrumento que era constituído por um pêndulo de 3 m de comprimento,

usando bolas para registrar a direção e, talvez, a magnitude. Com 2 metros de

largura, parecia um jarro de bronze. Oito cabeças de dragão circundavam a

parte superior. Debaixo de cada uma havia um sapo de bronze. Quando o jarro

sentia um tremor de terra, mesmo ínfimo, uma bola caía de um dragão na boca

de um sapo. A genialidade desse ancestral de todos os sismógrafos estava no

fato de que a bola caía na direção de onde vinha o tremor graças a um

mecanismo no interior do jarro.

Alguns engenheiros supõem que se tratava de um pêndulo suspenso por

um cabo com oito alavancas ligadas às oito bocas de dragão. Quando um tremor

vinha do sul, por exemplo, fazia com que a parte inferior do pêndulo oscilasse

para o norte. Assim a parte superior inclinava-se para o sul, acionando a

alavanca ligada ao dragão do sul. Sua boca abria-se e a bola caía. Desse modo,

Zhang Heng podia informar à corte quando ocorria um terremoto, indicando a

direção da área atingida.

Este instrumento instalado no Departamento de Astronomia e

Calendário, da cidade de Luoyang, então capital da Dinastia Han (de 206 A.C. a

220 D.C.), registrou um terremoto ocorrido a cerca de 600 km de distância, não

sensível ao ser humano o que convenceu a todos da utilidade do mesmo.

Registro da National Geographic Brasil, fevereiro de 2004.

Registros da Era Moderna 1590 Galileu Galilei (*) Ele escreveu o primeiro tratado em dinâmica moderna. Seu trabalho em

oscilações de um pêndulo simples e vibrações de uma corda foram de

fundamental significância na teoria de vibrações.

� Descobriu a relação entre comprimento de um pendulo e sua frequência.

� Descobriu a ressonância entres corpos conectados.

� Descobriu a relação entre densidade, tensão e frequência de uma corda vibrante.

Físicos Wallis e Sauveur.

� Observaram, em trabalhos independentes em cordas vibrantes, o

fenômeno de forma dos modos de vibração com pontos estacionários

chamados nós.

� Descobriram que a frequência do segundo modo é o dobro da frequência

do primeiro e que a frequência do terceiro modo é três vezes a do

primeiro.

Físico Sauveur

� Criou o termo de frequência fundamental para representar a frequência

mais baixa e harmônicos para as demais frequência de um movimento

vibratório.

� Matemáticos Taylor, Bernoulli, D’Alembert, Euler, Lagrange e Fourier

Deram grandes contribuições para o desenvolvimento da teoria das vibrações

(*)(1564 -1642) Astrônomo italiano, filósofo, e professor de matemática da universidade de Pisa e Pádua, em 1609 se tornou o primeiro homem a apontar um telescópio para o céu.

Matemático Bernoulli

� Foi quem primeiro propôs o principio de superposição de harmônicos e

descobriu que qualquer configuração geral de vibrações livres é composta

das configurações de harmônicos, atuando independentemente da

variação de forças.

1676 Lei de Hook’s da Elasticidade

1744 Euler e 1751 Bernoulli � Determinaram a equação diferencial que representa a vibração de um

barra prismática e investigaram sua solução para pequenas deflexões.

1784 Coulomb

� Apresentou estudos teóricos e experimentais de oscilações torcionais de

um cilindro metálico suspenso por fios.

1802 Chladni

� Desenvolveu um método de colocação de areia sobre uma placa vibrante

para encontrar as formas dos modos de vibrações e observar a beleza e a

complexidade das formas modais de placas vibrantes.

1816 Sophie Germain

� Foi premiado com 3000 francos por uma academia francesa pela

derivação da equação diferencial do movimento para as placas vibrantes

estudadas por Chladni, concorrendo sozinho, após ter sido desclassificado

por Lagrange (jurado) em 1811 devido a erro na derivação da equação e

em 1813 por falta de justificativa física para as suposições admitidas no

seu modelo. Premio concedido por Napolean Bonaparte, que estava

presente a um dos encontros onde Chladni apresentou o seu

experimento, para premiar a primeira pessoa que desse um tratamento

matemático satisfatório para a teoria de vibrações em placas.

� O fato é que mais tarde se descobriu que sua equação diferencial estava

correta, mas as condições de contornos estavam erradas.

1850 Kirchhoff

� Determinou as corretas condições de Contorno para placas vibrantes. 1877 Lord Rayleigh

� Publicou seu livro sobra a teoria do som considerado até hoje um clássico

no assunto de vibrações.

� Uma das mais notáveis contribuições de Rayleigh é o método para

encontrar a frequência fundamental de vibrações de sistemas

conservativos usando o principio de conservação de energia, conhecido

como Método de Rayleigh.

1902 Frahm

� Investigou a importância do estudo de vibração torcional no projeto de

eixos de hélices de navios.

1909 Frahm

� Propôs o absorvedor dinâmico de vibração, composto da adição de um

segundo sistema massa-mola para eliminar a vibração do sistema

principal.

Após 1909: Stodola

� Desenvolveu um método para analise de vibrações em vigas também

aplicado a pás de turbinas.

Timoshenko e Mindlin

� Aprimoraram importantes resultados para a teoria de vibrações de vigas e placas.

Após 1909

� Deu-se mais atenção a sistemas não lineares. Já há algum tempo tinha-se

observado que muitos problemas básicos da mecânica, incluindo

vibrações eram não lineares e que o tratamento linear comumente

adotado na época eram completamente satisfatórios para algumas

finalidades, mas não tão adequados para todos os casos, ou seja, em

sistemas não lineares frequentemente ocorrem fenômenos que são

teoricamente impossíveis de serem tratados como sistemas lineares.

No final do último século Poincaré e Lyapunov

� Já vinha utilizando a teoria matemática de vibrações não lineares nos

seus trabalhos.

Mas só após 1920 Duffing e Van der Pol

� Apresentaram a primeira solução definitiva da teoria de vibrações não

lineares e atraíram a atenção para a sua importância na engenharia.

A partir desta época

A atenção se voltou para vibrações aleatórias. Observou-se que as

características aleatórias estavam presentes em diversos fenômenos tais

como terremotos, ciclones, transporte de mercadoria em veículos de

rodas, mísseis e ruídos de turbinas a jato, etc. Se tornou necessário

desenvolver conceitos e métodos de análise de vibrações desses efeitos

aleatórios.

Embora em meados de 1905 Einstein

Ter considerado movimento Brawniano, um particular tipo de vibração

aleatória, nenhuma aplicação foi investigada até 1930.

1930 Taylor

� Desenvolveu a função de correlação. 1930 Wiener and Khinchin

� Desenvolveram a densidade espectral. 1943 Lin e 1945 Rice

� Publicaram artigos mostrando uma maneira para aplicações de vibrações

aleatórias em problemas práticos de engenharia.

Nesta época, contando com os avanços significativos da ciência, os estudos

de vibrações mesmo que relacionados com complexos sistemas de engenharia

eram feitos usando modelos grosseiros com poucos graus de liberdade.

1950 O advento de computadores digitais de alta velocidade

� Se tornou possível o tratamento de sistemas complexos e a geração de

soluções de forma semi-fechadas contando com métodos clássicos de

soluções usando avaliação numérica de certos termos que não podem ser

expresso de forma fechada.

Hoje em dia os desenvolvimentos de simulação pelo método de elementos

finitos habilitam engenheiros a usarem computadores digitais para detalhar

numericamente o comportamento da análise de vibrações de sistemas

mecânicos complexos, tais como veículos e estruturas com a exibição de

milhares de graus de liberdade.

1.3 Importância do estudo das vibrações

A vibração está tão intimamente ligada a nós que raramente paramos

para analisar suas características. Muitas das atividades humanas envolvem de

uma ou outra forma movimentos vibratórios. Exemplos:

� Nós ouvimos porque nossos tímpanos vibram.

� Nós vemos porque as ondas luminosas passam vibrando.

� A nossa respiração está associada com a vibração dos pulmões.

� Nossa caminhada envolve movimentos oscilatórios periódicos das pernas

e das mãos.

� Nós falamos devido o movimento oscilatório da laringe (língua).

Muitas instituições de ensino concentram seus esforços no conhecimento

de fenômenos naturais e desenvolvimento de teorias matemáticas para

descrever as vibrações de sistemas físicos.

Muitas investigações têm sido motivadas em engenharia por aplicações

de vibrações em projeto de máquinas, fundações, estruturas, turbinas, sistemas

de controle, etc.

Alguns problemas de vibrações

� Muitos sistemas mecânicos têm problemas vibracionais devidos o

desbalanceamento inerente das partes rotativas. O desbalanceamento

pode ser devido às falhas de projeto ou defeitos de fabricação.

� O desbalanceamento em motores diesel, por exemplo, pode causar ondas

terrestres suficientemente poderosas para criar perturbações em áreas

urbanas.

� As rodas de algumas locomotivas podem elevar mais que um centímetro

dos trilhos em altas velocidades devido o desbalanceamento.

� Em turbinas, as vibrações causam enormes falhas mecânicas. Muitas

vezes os engenheiros não são capazes de prever as falhas que resultam

da vibração de pás e discos em turbinas.

� Naturalmente as estruturas projetadas para suportarem pesadas

máquinas rotativas, tais como motores e turbinas ou maquinas

alternativas tais como motores a vapor e a gás e bombas alternativas

estão também sujeitos as vibrações. Em todas essas situações a estrutura

ou componentes das máquinas sujeitos as vibrações podem falhar por

causa da fadiga do material resultando de numa variação cíclica de

tensões induzidas. Além disso, as vibrações causam mais rapidamente

desgaste em partes de máquinas tais como mancais e engrenagens e

também causam excessivos níveis de ruído.

� Em máquinas, as vibrações causam afrouxamento dos parafusos de

fixação deixando as máquinas soltas.

� Em processo de usinagem de metais a vibração pode causar trepidações

que levam a um péssimo acabamento da superfície usinada.

� Sempre que a frequência natural de vibração de uma máquina ou

estrutura conhecide com a frequência de excitação ocorre um fenômeno

conhecido como ressonância o qual leva a excessiva deflexão e falha.

� A literatura está repleta de casos de falhas em sistemas devido à

ressonância e excessos de vibrações em componentes e sistemas.

� Por causa do poder de destruição da vibração em máquinas e estruturas,

teste de vibrações tem se tornado procedimentos padrão nos projeto e

desenvolvimento de muitos sistemas de engenharia.

� Em muitos sistemas de engenharia, o homem atua com parte integral do

sistema. A transmissão da vibração para o homem resulta em desconforto

e perda de eficiência do trabalho. As vibrações em painéis de

instrumentos podem causar mal funcionamento ou dificuldades em

leitura dos medidores. Assim uma das mais importantes propostas de

estudos em vibrações e reduzir a vibração na fase de desenvolvimento do

próprio projeto da máquina e em seguida em suas instalações. Neste

sentido o engenheiro mecânico tenta projetar o motor ou máquina de

modo a minimizar o desbalanceamento enquanto o engenheiro de

estruturas tenta projetar a estrutura de suporte de modo a assegurar que

o efeito do desbalanceamento não causara danos.

1.4 Estudos das Vibrações

No mundo tecnológico atual o homem está sujeito a efeitos dinâmicos

não naturais, com grande frequência. Isto pode ser verificado em elevadores,

automóveis e, mais recentemente em veículos aeroespaciais, para citar alguns

exemplos práticos, onde o homem está sujeito a excessivas acelerações. Caso

de excessos de vibrações também é muito frequente, por exemplo, em

maquinas ferramentas e perfuradoras pneumáticas.

Na maioria dos casos a vibração é um subproduto indesejável de sistemas

mecânicos. É claro, que se a vibração ou seu efeito, a aceleração, não pode ser

eliminada pela adoção de um diferente principio de trabalho, precisam ser

adotadas medidas de contra atuação ou então é preciso introduzir nos projetos

arranjos dinâmicos para controlar ou isolar o efeito dentro de limites aceitáveis.

As vibrações de Sistemas Mecânicos podem ser analisadas sob dois

pontos de vistas:

� Do ponto de vistas de Engenharia Mecânica, movimento de máquinas, ela

provoca fadiga dos órgãos mecânicos (elementos de máquinas) levando-

os a ruptura do material. Neste caso é fundamental a seguinte pergunta:

Qual é o objetivo da análise? Em geral a análise recai sobre três

categorias

� Pesquisa e Desenvolvimento de Produtos/Máquinas

� Produção e Controle de Qualidade

Severidade � Manutenção e Monitoramento em Operação

Diagnóstico

� Do ponto de vistas de Engenharia de Segurança ela provoca desconforto

humano ou dor como também pode aparecer na forma de ruído. Este

último pode levar o ser humano à morte.

� Quando um ser humano é exposto a um campo excessivamente

ruidoso, o seu organismo pode apresentar diversos distúrbios,

como mostra a Figura 1.

Figura 1 – Efeitos do Ruído no Homem

Além disso, pode ocorrer:

� Perda parcial ou total da audição.

� Perda na eficiência de Trabalho.

� Risco de vida, devido a problemas envolvendo comunicação.

� Perda na capacidade concentração na operação de máquinas.

� Risco de ter um filho com mal deformações físicas (no caso

de mulheres gestantes nos três primeiros meses de

gravidez).

1.5 O Movimento Harmônico

Vibração é em casos mais simples, e na sua maior parte, o movimento

periódico de corpos que se repetem após um determinado intervalo de tempo T,

chamado período, como mostra a Figura 2.

Figura 2 – Movimento Vibratório

Matematicamente, podemos escrever:

( ) ( )X t = X t T+ (1.1)

O Movimento Harmônico é o tipo mais simples de movimento periódico,

Figura 3, onde a relação deslocamento e tempo pode ser representada por:

Figura 3 – Movimento Harmônico Simples

Considera um sistema harmônico representado pela equação (1.2) e

Figura 4

( ) ( ) ( )X t = A sen = A sen t⋅ θ ⋅ ω (1.2)

onde:

ω é a frequência angular em rad/s

A é a amplitude do movimento em mµ

T

A

Figura 4 – Movimento Harmônico Simples Deslocamento em µM

A Frequência Natural de Vibração é o Número de Oscilações por unidade

de Tempo, ou seja:

1f = Hz

T (1.3)

No caso do movimento harmônico tem-se:

Amplitude do Movimento - A mµ

Frequência Angular - rad/sω

Frequência Natural - f Hz

Tempo - T s

Substituindo a equação (1.2) na equação (1.1) tem-se:

( ) ( )( )A sen t = A sen t + T⋅ ω ⋅ ω (1.4)

Resolvendo a equação (1.4) chega-se a:

( ) t + T = t + 2 n ω ω π (1.5)

onde n é o número de ciclos.

Para um ciclo, n 1= , tem-se:

T = 2 ω π ⇒ 2

T = π

ω (1.6)

Substituindo a equação (1.6) na equação (1.3) tem-se:

f = 2

ωπ

(1.7)

ou

= 2 fω π (1.8)

1.6 Classificação dos Movimentos Vibratórios

Um sistema vibratório para ser bem definido, é necessário que se

classifique pelas condições a seguir.

1. Sistema Linear ou Não Linear

No sistema linear a relação causa/efeito pode ser analisada pela teoria de

sistemas lineares, ou seja: Causa/Efeito = constante.

2. Número de Graus de Liberdade - GL

Número mínimo de coordenadas independentes necessário para se

estudar o comportamento do sistema.

Exemplo: Uma partícula no espaço: 3 GL

Um corpo rígido no espaço: 6 GL

Um corpo elástico no espaço: ∞ GL

3. Coeficientes da Equação Diferencial do Movimento

Paramétrica: Parâmetros do sistema dinâmico variando com o tempo.

Não Paramétrica: Parâmetros do sistema dinâmico não variando com o

tempo.

4. Classe da Vibração (Mecanismo de Surgimento)

Livre: O sistema oscila sob a ação de forças que lhe são inerentes e na

ausência da ação de qualquer força externa.

No caso de vibração livre o sistema poderá vibrar com uma ou mais de

suas frequências naturais, que são peculiares ao sistema dinâmico estabelecido

pela distribuição de suas massas e rigidez.

Forçada: O sistema oscila sob a ação de forças externa.

Quando a excitação é harmônica o sistema é obrigado a vibrar na

frequência de excitação. Se a frequência de excitação coincidir com uma das

frequências naturais do sistema, forma-se um estado de ressonância, dai

podendo resultar em amplas e perigosas oscilações.

Auto-excitada: Vibrações sem amortecimento sustentada por forças

externas, cujo caráter de influência determina-se pelo próprio processo

vibratório.

Exemplo: Motor a vapor alternativo ordinário de um cilindro, cujo pistão,

obviamente executa um movimento alternado.

5. Cinemática das Vibrações

Periódica: ( ) ( )X t X t T= +

Não Periódica: ( ) ( )X t X t T≠ +

Quase Periódica: ( ) ( )X t T X t+ − ≤ ξ onde 1ξ <<

6. Balanço Energético

Sistema Conservativo: Só atuam forças conservativas.

Sistema Não Conservativo: Existe pelo menos uma força não conservativa

7. Aplicação Técnica

Sistemas Elétricos – Composto de componentes elétricos.

Sistemas Mecânicos – Composto de componentes mecânicos.

1.7 Modelos de Sistemas Mecânicos

Todo sistema que possui massa (ou inércia) e elasticidade é capaz de

vibrar. Adiciona-se ainda a influência de amortecedores e forças externas.

Parâmetros de um sistema vibratório:

Obrigatório: Massa ou Inércia ( M ) ou ( I )

Mola (Elasticidade) ( K )

Não Obrigatório: Amortecedor: ( C )

Força de Excitação: ( F )

Procedimento de uma análise dinâmica:

1. Escolher um modelo físico que seja representativo para o tipo de

análise desejada. Este modelo deve ser formado por uma associação dos

quatros parâmetros acima, levando-se em consideração o número de graus de

liberdade do sistema.

2. Montar um modelo matemático para o sistema físico.

A descrição matemática (modelo) de um sistema mecânico é feita através

de um modelo idealizado, associado ao sistema real por qualquer dos métodos a

seguir:

- Sistemas Discretos de Vários Corpos

- Elementos Finitos

- Sistemas Contínuos

- Sistemas Híbridos

3. Resolver o modelo matemático (Equação diferencial do Movimento -

EDM)

De posse da solução do modelo matemático observa-se a influência dos

parâmetros do sistema. A resposta é função do tipo de excitação e do

amortecimento presente. Pode-se a partir desta etapa alterar alguns

parâmetros (os mais convenientes) de modo a obter-se a solução otimizada, ou

seja, sem comprometer o projeto da máquina (Resistência dos Materiais) e a

segurança e conforto do homem.

Exemplos de alguns modelos físicos:

Figura 5 - Modelo de uma Máquina Desbalanceada de 1GL

Figura 6 - Modelo de um Veículo com 1GL

Figura 7 - Modelo de um veículo com 5 GL

Figura 8 - Modelo de uma Turbina Kaplan

Figura 9 - Modelo de um Veículo Espacial por Elementos Finitos

Figura 10 - Modelo de uma Motocicleta de 2 1GL

Figura 11 - Modelo Mecânico do Corpo Humano

1.8 Tópicos Essenciais ao Estudo das Vibrações de Sistemas Mecânicos

Antes de iniciamos com os estudos de vibrações apresentamos

preliminares sobre alguns tópicos essenciais à modelagem matemática de

sistemas mecânicos, que incluem:

A equação de Lagrange de segunda espécie para vibrações de

sistemas e as vantagens de seu uso em sistemas com um grau de

Liberdade com ou sem amortecimento;

O cálculo das formas exatas e aproximadas de energia cinética em

sistemas mecânicos oscilatórios;

A linearização de sistemas com uma e várias variaveis;

O cálculo das formas exatas e aproximadas de energia potencial em

sistemas mecânicos oscilatórios;

O cálcular a energia potencial gravitacional;

A influência da pré-carga de uma mola no cálculo de sua

energia potencial, ou seja, no cálculo da energia potencial de uma

mola com deformação estática;

Os detalhes no cálculo da energia potencial de uma mola

considerando suas deformações em duas direções ortogonais;

1.8.1 A Equação de Lagrange para Sistemas Mecânicos Oscilatórios

Existem várias maneiras que se pode usar para determinar as equações

diferenciais de movimento de sistemas mecânicos. Por exemplo, na mecânica

newtoniana, os principais papéis são desempenhados pelas quantidades

vetoriais: forças e acelerações expressas em termos de certas coordenadas.

Assim, os diagramas de corpo livres precisam ser formados, e aparecem forças

de restrição e reação. Essas forças são a princípio desconhecidas e algumas

equações adicionais são muitas vezes necessárias para tornar o número de

desconhecidos e de equações disponíveis iguais. Consequentemente, em alguns

casos, este procedimento pode ser complicado ou menos atraente.

Por outro lado, na base de mecânica analítica ou lagrangiana, três

quantidades escalares têm específicas importâncias: energia cinética, energia

potencial e trabalho virtual (ou resultante das forças generalizadas).

Independentemente do número de graus de liberdade, as equações de

movimento são derivadas dessas três quantidades. Além do mais, não há

necessidade de construir diagramas de corpo livres uma vez que o sistema é

considerado como um todo, e as restrições e reações das forças ideais não

aparecem na formulação. O número de equações de Lagrange coincide com o

número de graus de liberdade, e não são necessárias equações adicionais uma

vez que todos as quantidades precisam ser expressas em termos de

coordenadas generalizadas. O desenvolvimento para obtenção da equação de

Lagrange é omitido aqui neste capitulo. O foco está em seu uso para obter as

equações de movimento de certos sistemas mecânicos. Assim, apenas os

conceitos básicos necessários para este propósito são apresentados. Sua

derivação pode ser obtida a partir de princípios de trabalho virtual e princípios

integrais, como detalhado e apresentada no Capitulo V. Observe também que o

termo Equação de Lagrange refere-se apenas à equação de Lagrange de

segunda espécie. A Equação de Lagrange foi desenvolvida e apresentada pelo

matemático italiano Joseph Louis Lagrange (1736–1813) na sua obra-prima

Mechanique. A Equação de Lagrange é muito utilizada nos estudos de vibrações

de sistemas mecânicos com múltiplos graus de liberdade.

Comecemos por um sistema que tenha N graus de liberdade. Então, é

descrito por N coordenadas generalizadas qk (k = 1, ... , N). Essas coordenadas

generalizadas são mutuamente independentes e sem restrições, e definem de

forma exclusiva a configuração do sistema. Assim, para este sistema existem N

associadas equações de Lagrange, que têm a seguinte forma:

kk k k k

d T T D U - + + = Q

d t q q q q& &

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

(1.9)

onde:

. o ponto aqui representa a derivada em relação ao tempo t;

d()/dt denota derivada no tempo total;

k()/ q∂ ∂ denota derivada parcial com relação a coordenada generalizada

kq ;

k()/ q∂ ∂ & denota derivada parcial com relação a velocidade da coordenada

generalizada;

T é a energia cinética do sistema;

U é a energia potencial do sistema;

D é a energia dissipada do sistema;

kQ é a k-éssima força externa não conservativa generalizada aplicada ao

sistema, que é obtida das considerações de trabalho virtual;

kq é a k-éssima coordenada generalizada do sistema

Se o sistema executa pequenas oscilações em torno da posição de

equilíbrio estável, Kq 0= , estas equações de Lagrange podem ser simplificadas

para:

kk k k

d T D U + + = Q

d t q q q& &

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

(1.10)

enquanto as formas de energia cinética, função de dissipação, energia potencial

e as forças generalizadas serão discutidas a seguir.

Se um sistema possui um grau de liberdade ele é descrito apenas pela

coordenada generalizada q X= . Neste caso, há apenas uma equação de

Lagrange:

d T T D U - + + = Q

d t X X X X& &

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

(1.11)

A sua simplificação também acompanha para o caso quando o sistema

executa pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio estável, q 0= .

A equação de Lagrange agora se torna:

d T D U + + = Q

d t X X X& &

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

(1.12)

enquanto a energia cinética, a função de dissipação, a energia potencial e

as forças generalizadas também podem ser obtidas de forma simplificada e

aproximada com respeito às suas formas exatas existentes nas Equações (1.9)

e (1.11). Nas seções a seguir apresentamos princípios básicos teóricos para

essas simplificações, onde observa-se que o termo "pequenas oscilações"

assume que apenas existem termos lineares na equação de movimento

representada pelas Equações (1.10) e (1.12).

1.8.2 A Energia Cinética em Sistemas Mecânicos Oscilatórios

A energia cinética dos sistemas mecânicos, em geral, depende do tempo,

das coordenadas generalizadas e suas velocidades,

( )K KT = T t, q , q& (1.13)

e em caso de restrições escleronomicas (que não dependem exclusivamento do

tempo) podem ser representadas pela seguinte forma quadrática

n n

ij i ji 1 j 1

1T = T qq

2 = =∑∑ % & & (1.14)

onde os chamados coeficientes inerciais ijT% dependem das coordenadas

generalizado, isto é, ij ij i jT = T (q ,q )% % .

Sem perda de generalidade, esta forma e suas transformações adicionais

serão mostrado nos sistemas com dois graus de liberdade (n = 2, e coordenadas

generalizadas q1 e q2). Neste caso, a energia cinética Equação (1.14) é agora

dada por:

( )2 211 1 12 1 2 22 2

1T = T q + 2T q q + T q

2% % %& & & & (1.15)

De particular interesse aqui é mostrar como essa formuláção muda se o

sistema realiza pequenas oscilações sobre a posição de equilíbrio estável q1=0 e

q2=0. Para esse fim, os coeficientes inerciais podem ser desenvolvidos em série

como:

ij ijij i j ij 1 2

1 2(0,0) (0,0)

T TT (q ,q ) = T (0,0) + q + q +

q q

∂ ∂ ∂ ∂

% %% %

L (1.16)

Dado o requisito de que apenas os termos lineares aparecem nas

equações do movimento, deve-se realmente simplificar esta expressão apenas

para o primeiro termo:

ij 1 2 ijT (q ,q ) T (0,0)≈% % (1.17)

o que nos leva a uma conclusão muito importante quanto ao modo como a

energia cinética pode ser calculada em um sistema que realiza pequenas

oscilações sobre uma posição de equilíbrio estável: não há necessidade de

considerá-lo em uma posição arbitrária, mas apenas na posição quando o

sistema passa pela posição de equilíbrio ou é presumido que está passando por

esta posição.

Se o sistema tiver apenas um grau de liberdade, a análise análoga é

válida. Partindo da seguinte forma de energia cinética:

2ij ij

1T (q,q) = T q

2%& & (1.18)

pode-se desenvolver o coeficiente inercial na série e truncar a primeiro termo

apenas:

T(q) T(0) = constante≈% % (1.19)

levando a

21T = T(0)q

2% & (1.20)

que corresponde ao caso quando o sistema passa pelo posição de equilíbrio, de

modo que a coordenada generalizada seja igual a zero e a velocidade

generalizada é diferente de zero. A forma dada pela Equação (1.20) é a razão

pela qual o termo T / q∂ ∂ não aparece na Equação (1.12).

É interessante notar que a Equação (1.20) corresponde completamente à

energia cinética de um bloco de massa m deslizando ao longo de uma superfície,

como mostra a Figura 12 a seguir.

21T = mX

2& (1.21)

Figura 12 – Sistema Massa-Mola com 1 GL e Movimento na Horizontal

onde a coordenada generalizada é escolhida para ser a coordenada X.

A mesma forma pode ser reconhecida na energia cinética do pêndulo da

Figura 13 a seguir.

Figura 13 – Sistema de Um Grau de Liberdade - O Pendulo Simples

2 21T = ml

2ϕ& (1.22)

onde a coordenada generalizada é escolhida para ser o ângulo φ. Ambos

coeficientes inerciais em (2.21) e (2.22) são obviamente constantes. Estes dois

exemplos mostrados, representam paradigmas para osciladores harmônicos

simples, e serão analisados detalhadamentes no próximo Capítulo. Também, em

ambos os casos, a forma exata da energia cinética tem a mesma forma quando

o sistema passa pela posição de equilíbrio, que é nem sempre é o caso.

1.8.3 A linearização de Sistemas com Uma e Duas Variáveis

Antes de abordarmos sobre a Energia Potencial em Sistemas Mecânicos

Oscilatórios, tratamos sobre a representação de funções em séries de Uma e

Duas Variáveis. A motivação para representação de funções em séries deve-se

ao fato de que quando deparamos com alguns sistemas reais ou fenômenos

reais da natureza, e precisamos descrevê-los de formas analíticas, os mesmos

apresentam relações matemáticas muito complexas que envolvem funções

complexas cujo cálculo extrapola muitas vezes o nosso conhecimento. Diante

dessas limitações, as representações por série dessas funções podem ser

aproximadas a funções mais simples, lineares, ou mesmo quadráticas.

Começaremos com funções de uma variável e estenderemos a seguir para duas

variáveis.

Considera uma função f(x) continua diferenciavel, representada pela

série de potências a seguir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 n

0 1 2 3 nf x = c + c x - a + c x - a + c x - a + + c x - a + L L

(1.23)

Fazendo suas derivadas, obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( )2 n-1'1 2 3 nf x = c + 2c x - a + 3c x - a + + nc x - a + L L

( ) ( ) ( ) ( )n-2''2 3 nf x = 2c + 6c x - a + + n n-1 c x - a + L L (1.24)

L

( ) ( )n

nf x = n!c + L

onde ( ) ( )nf x representa a derivada enésima da função ( )f x .

Se substituímos x=a em cada uma das equações (1.24), obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( )n' ''1 2 nf a = c , f a = 2c , , f a = n!c L L (1.25)

Se explicitamos os coeficientes nc das equações (1.25) e substituímos na

função f(x) representada pelo polinômio da equação (1.23), no ponto a, obtém-

se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n' '' '''

2 3 n

0

f a f a f a f af x = c + x - a + x - a + x - a + + x - a +

1! 2! 3! n!L L

(1.26)

ou

( )( ) ( ) ( )n

n

n 0

f af x = x - a

n!

∞

=∑ (1.27)

onde: 0! = 1 e ( ) ( )0f x = f x .

A função f(x) representada pela série de potências da Equação (1.26) ou

(1.27), é conhecido como Polinômio ou Série de Taylor.

Para o caso especial a = 0 a série de Taylor tem a forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n' '' '''

2 3 n

0

f 0 f 0 f 0 f 0f x = c + x + x + x + + x +

1! 2! 3! n!L L(1.28)

ou

( )( ) ( ) ( )n

n

n 0

f 0f x = x

n!

∞

=∑ (1.29)

A função f(x) representada pela série de potências da equação (1.28) ou

(1.29), é conhecido como Polinômio ou Série de Mclaurin. A Série de Mclaurin é

utilizada para aproximações de funções de Sistemas Mecânicos com um grau de

liberdade em funções lineares ou em formas de grau superior mais simples.

Exemplo 1:

Encontar a série de Mclaurin da função f(x) = f(θ) = sen(θ) e linearizar

para pequenos valores de θ.

Solução:

As derivadas da função f(θ) = sen(θ) no ponto θ = 0 são:

( ) ( )(0)f = senθ θ ⇒ ( ) ( )(0)f 0 = sen 0 = 0

( ) ( )'f = cosθ θ ⇒ ( ) ( )'f 0 = cos 0 = 1

( ) ( )''f = - senθ θ ⇒ ( ) ( )''f 0 = - sen 0 = - 0

( ) ( )'''f = - cosθ θ ⇒ ( ) ( )'''f 0 = - cos 0 = - 1

L

Substituindo os resultados das derivadas da função f(θ) = sen(θ) no ponto

θ = 0, na equação (1.28), tem-se:

( )3

sen = 0 + - 0 - + 6θθ θ L

Considerando pequenos valores de θ, a função f(θ) = sen(θ) pode ser

aproximada (linearizada) para ( )sen θ ≈ θ .

Exemplo 2:

Encontrar a série de Mclaurin da função f(x) = f(θ) = cos(θ) e,

considerando pequenos valores de θ, aproximar para segunda ordem.

Solução:

As derivadas da função f(θ) = cos(θ) no ponto θ = 0 são:

( ) ( )(0)f = cosθ θ ⇒ ( ) ( )(0)f 0 = cos 0 = 1

( ) ( )'f = - senθ θ ⇒ ( ) ( )'f 0 = - sen 0 = - 0

( ) ( )''f = - cosθ θ ⇒ ( ) ( )''f 0 = - cos 0 = - 1

( ) ( )'''f = senθ θ ⇒ ( ) ( )'''f 0 = sen 0 = 0

L

Substituindo os resultados das derivadas da função f(θ) = cos(θ) no ponto

θ = 0, na equação (1.29), tem-se:

( )2

cos = 1 - 0 - + 0 + 2θθ L

Considerando pequenos valores de θ, a função f(θ) = cos(θ) pode ser

aproximada para forma quadrática ( )2

cos 1 - 2θθ ≈ .

Quando abordamos o polinômio de Taylor para uma variável os

representamos por

( ) ( )n

nn 0

f x = c x - a∞

=∑ (1.30)

e desenvolvemos até chegarmos na equação (1.28) ou (1.29).

Fica induzido, portanto, que para duas variáveis a séria de Taylor passa a

ser:

( ) ( ) ( )n? n?

nn 0

f x, y = c x - a y - b∞

=∑ (1.31)

Por limitações de tempo, não iremos desenvolver a formulação

matemática do Polinômio de Taylor para função de duas variáveis, mas

apresentamos a sua formatação a seguir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 0 0 0 0 0 0

2 2 22 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2

nnn - j j

0 0 0 0n - j jj - 0

f ff x, y = f x , y + x , y x - x + x , y y - y

x y

1 f f f+ x , y x - x + 2 x , y x - x y - y + x , y y - y

2! x yx y

n1 f+ + x , y x - x y - y

n! x yj

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂

∑L

(1.32)

Assim, para funções de duas variáveis a Série de Taylor será:

( ) ( ) ( ) ( )nn

n - j j

0 0 0 0n - j jn = 0 j - 0

n1 ff x, y = x , y x - x y - y

n! x yj

∞ ∂ ∂ ∂

∑ ∑ (1.33)

Fazendo o ponto ( ) ( )0 0x , y = 0, 0 chegaremos a Série de Mclaurin

para funções de duas variáveis, ou seja

( ) ( ) ( ) ( )nn

n - j j

n - j jn = 0 j - 0

n1 ff x, y = 0, 0 x y

n! x yj

∞ ∂ ∂ ∂

∑ ∑ (1.31)

1.8.4 A Energia Potencial em Sistemas Mecânicos Oscilatórios

A energia potencial dos sistemas mecânicos, em geral, depende do tempo

e das coordenadas generalizadas,

( )KU = U t, q (1.32)

e em caso de restrições escleronomicas podem ser representadas no seguinte

forma quadrática

n n

ij i ji 1 j 1

1U = U qq

2 = =∑∑ % (1.33)

onde ijU% representa os chamados coeficientes elásticos (rigidez equivalente).

Como no caso da energia cinética, a consideração da energia potencial

dos sistemas escleronomicos e suas aproximações para pequenas oscilações em

torno da posição de equilíbrio estável será relacionada à sua forma

correspondente a sistemas com dois graus de liberdade i jU= U(q ,q ). Agora, ele

pode ser desenvolvido em série da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 21 2

2 2 22 21 1 2 22 2

1 21 2

U UU q , q = U 0, 0 + 0, 0 q + 0, 0 q

q q

1 U U U+ 0, 0 q + 2 0, 0 q q + 0, 0 q +

2! q qq q

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

L

(1.34)

Observe que a série está truncada apenas nos termos quadráticos, pois

isso resultará na existência de termos lineares nas equações de movimento.

É sempre possível calibrar a energia potencial para que seja igual a zero

na posição de equilíbrio. Mesmo que isso não tenha sido feito, o termo U(0, 0) é

constante e será perdido durante o processo de formação das equações do

movimento, uma vez que será diferenciado. Além disso, o sistema oscilará em

torno da posição de equilíbrio, que corresponde ao mínimo de energia potencial,

isto é:

( )1

U0, 0 = 0

q∂∂

e ( )2

U0, 0 = 0

q∂∂

(1.35)

Assim, a energia potencial (1.34) tem a forma:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 21 2 1 1 2 22 2

1 21 2

1 U U UU q , q 0, 0 q + 2 0, 0 q q + 0, 0 q

2! q qq q

∂ ∂ ∂≈ ∂ ∂∂ ∂

(1.36)

ou, pode ser expresso como

( ) ( )2 21 2 11 1 12 1 2 22 2

1U q , q U q + 2 U q q + U q

2!≈ % % % (1.37)

Para sistemas com um grau de liberdade, a forma (1.36) torna-se:

( ) 21U q Uq

2≈ % (1.38)

onde U% é uma constante.

1.8.4.1 Energia Potencial Gravitacional

A energia potencial gravitacional Ug é a energia que um objeto maciço

possui por sua posição em um campo gravitacional. O uso mais comum de

energia potencial gravitacional é para objetos próximos da superfície do terra,

onde a aceleração gravitacional g pode ser assumida como constante.

Existem várias maneiras pelas quais ela pode ser obtida, mas é sempre

proporcional ao peso mg. O primeiro método é apresentado na Figura 14 (a),

quando depende da coordenada z em um sistema de coordenadas fixo:

g cU mgz= (1.39)

Figura 14 – Formas de Energia Potencial Gravitacional

Se o eixo tiver a direção oposta, Figura 14 (b), a energia potencial será:

g cU - mgy= (1.40)

Além disso, é possível defini-lo em relação ao zero de energia potencial

gravitacional, gU 0≡ , que pode ser escolhida como uma horizontal através de

qualquer ponto fixo (como a escolha do zero de um sistema de coordenadas).

Dois destes são mostrados na Figura 14 (c). Neste caso, a energia potencial

depende da distância vertical em relação a cada uma destas linhas zero:

g 1U + mgh= (1.41)

ou

g 2U - mgh= (1.42)

O sinal de mais é usado quando o centro de gravidade está acima do zero

de energia potencial gravitacional e o sinal de menos quando está abaixo desse

nível. Na formulação Lagrangeana, a altura/distância vertical do zero da

energia potencial gravitacional é a função de coordenadas generalizadas

ih h(q )= .

Para as considerações em sistemas que realizam pequenas oscilaçõe em

torno de uma posição de equilíbrio, isso deve ser desenvolvido em uma série

truncada aos termos quadráticos de coordenadas generalizadas, como veremos

mais adiante.

1.8.4.2 Energia Potencial de uma Mola (Energia Potencial Elástica)

Uma mola é um componente elástico fundamental encontrado em muitas

sistemas. Uma mola também é usada como modelo físico para representar

certas propriedades de materiais elásticos. Suas características básicas são a

rigidez, constante elástica da mola – K, e a deflexão total ∆l. Eles são de

particular importância uma vez que definem a força de restauração

correspondente F e a energia potencial U.

Para molas lineares, elas são respectivamente dadas por:

TF K l= ∆ (1.43)

( )2

T

1U K l

2= ∆ (1.44)

A deflexão total, ver Figura 15 a seguir, é dada por:

T 0l = l - l∆ (1.45)

onde l é o comprimento da mola em uma posição arbitrária e l0 é o comprimento

da mola não deformada.

Figura 15 – Sistema Massa Mola com Deformação Colinear com a Direção da Mola

Esta deflexão também pode ser expressa como a soma da deflexão

estática da mola stl∆ e a deflexão medida a partir da posição de equilíbrio

estático X, isto é,

T stl = l + X∆ ∆ (1.46)

Como pode ser visto na Figura 15 a deflexão adicional X é a diferença

entre o comprimento da mola l e o comprimento da mola na posição de

equilíbrio estática lst

stX = l - l (1.47)

Deve-se enfatizar que o procedimento para a obtenção da deflexão da

mola usando as equations (1.45) ou (1.46) é fácil e direto para mola que se

deforma axialmente, isto é, colinearmente com a direção da mola na posição de

equilíbrio estático, independente da mesma está na posição vertical ou

horizontal. No entanto, em muitos sistemas reais, este não é o caso, pois as

molas exibem deformações no plano. Então, a deflexão da mola leva à

consideração de não linearidade geométrica. Neste caso, a expressão

correspondente pode ter uma formulação inadequada para exibições na forma

análitica, o que nós leva a fazer um desenvolvimento direto em forma de série

polinomial com relação a(s) coordenada(s) generalizada(s).

A pergunta que surge naturalmente é: Como pode-se determinar

facilmente a deflexão e a energia potencial, alternativamente, para evitar

cálculos longos relacionado à deflexão total exata e levando-se em

consideração a deflexão estática (se existir)? A seção a seguir tem como

objetivo responder esta pergunta apresentando um método original para

determinar aproximações para a deflexão de uma mola e sua energia potencial

de forma conveniente. Este método foi desenvolvido originalmente, a priori,

para molas lineares e estendido posteriormente para molas não-lineares.

1.8.4.3 Aproximação Linear para Deflexão de Molas no Plano

Considere uma mola A0B0 na posição de equilíbrio estático, conforme

mostra a Figura 16 a seguir. De acordo com a figura, o seu comprimento nesta

posição é representado por lst. Quando deformada, a mola assume a posição

A1B1=l. Para encontrar a diferença entre os comprimentos l e lst, as deformações

em duas direções características são consideradas. A primeira é a direção u, que

é colinear com a direção da mola na posição de equilíbrio estático. Quando a

mola é estendida, mantém-se u>0, e quando é comprimido, considera-se u <0.

A segunda direção de interesse é a direção v, que é ortogonal à direção u, como

mostrado na Figura 16.

Figura 16 – Mola com Deformação no Plano

De acordo com a equação (1.47) e com base na Figura 16, a deflexão

adicional X agora pode ser expressa como:

( ) ( )2 2st stX X u,v = l u + v - l≡ + (1.48)

A deflexão adicional X é uma função de duas variáveis, u e v, e pode ser

desenvolvida em uma série Maclaurin, que, truncado para a quinta ordem, nos

leva a:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 4 3 2 42 3 3 4 4

st st st st st st

1 1 1 1 1 3X u,v u + v - uv + u v - v - u v + uv +

2l 2 l 2 l 8 l 2 l 8 l≈ L

(1.49)

Esta expressão mostra que é preciso determinar a deflexão nas direções

u e v, mas a questão da importância aqui é a ordem de truncamento da série

(1.49), bem como a ordem das expressões para u e v em termos da(s)

coordenada(s) generalizada(s). Isso é discutido posteriormente para molas

lineares que estão deformadas ou não deformadas na posição de equilibrio

estático.

I - Mola linear deformada na posição de equilíbrio estática em um sistema que

executa pequenas oscilações

Consideremos primeiro uma mola linear e pré-deforçada na posição de

equilíbrio estático, em torno da qual oscila realizando pequenas oscilações.

Usando as equations (1.44) e (1.46), obtem-se para a energia potencial:

2st

1U = K l X + KX + Constante

2∆ ou 2

st

1U = K l X + KX

2∆ (1.50)

onde o terceiro termo constante na primeira expressão pode ser omitido uma

vez que a energia potencial não depende da constante, conforme discutido

anteriormente.

Agora, a série (1.49) deve ser substituída na equação (1.50). No entanto,

sabendo que para o caso de pequenas oscilações (lineares), a energia potencial

tem uma forma quadrática em relação à coordenada generalizada. Assim, pode-

se concluir que a série que representa a deflexão adicional X deve ser truncada

para ordem quadrática, isto é,

( ) 2

st

1X u,v u + v

2l≈ (1.51)

Além disso, à medida que a deflexão adicional (1.51) aparece na energia

potencial (1.50) em um termo linear e quadrático, segue-se que você deve

conter o termo u até a ordem quadrática, enquanto v deve incluir apenas um

termo linear, isto é,

21 1u = A q + B q (1.52)

e

2v = A q (1.53)

onde 1A , 1B , 2A são constantes. Então, para encontrar a deflexão e a energia

potencial da mola linear pré-deforçada, deve-se procurar deflexões (1) na

direção u, truncando-o para os termos quadráticos do coordenada generalizada

e (2) na direção v, expressando-a como uma função linear da coordenada

generalizada.

II - Mola linear não deformada na posição estática de equilíbrio em um sistema

que executa pequenas oscilações

Se a mola linear considerada não estiver deformada na posição de

equilíbrio estático, stl 0∆ = . De acordo com a equação (1.46), a energia

potencial (1.44) torna-se:

21U = KX

2 (1.54)

Usando novamente o fato de que, para o sistema considerado, a energia

potencial é uma função quadrática da coordenada generalizada, conclui-se que

1X u = A q≡ (1.53)

Assim, para encontrar a deflexão e a energia potencial de uma mola

linear que não está pré-deforçada, pode-se ignorar a deflexão na direção v,

determinar a extensão/compressão na direção do u e truncar para um termo

linear em relação à coordenada generalizada.