Exame N. 1 - vetores geomtricos

Usando vetores geomtricos. No trapzio ABCD da guraao lado, M e N so os pontos mdios das diagonais AC e BD,

respectivamente.

01. Mostre que!MN = 1

2

!AB !DC

Soluo:

Considerando que M e N so pontos mdios, temos que!AM +

!CM = ~0 e

!NB +

!ND = ~0. Usando

as operaes com vetores, encontramos:

!AB !DC = !AB +!CD = (!AM +!MN +!NB) + (!CM +!MN +!ND) =

= (!AM +

!CM) + 2

!MN + (

!NB +

!ND) = 2

!MN

e da segue o resultado.

Calculando a rea de um tringulo. Escolha trs pontos A; B e C do espao, no alinhados.02. Calcule

!AB e

!AC:

Soluo:

Consideremos os pontos A (0; 0; 0) ; B (1; 0; 0) e C (0; 1; 0). Temos que!AB = ~i e

!AC = ~j e como

!AB no mltiplo escalar de

!AC, segue que os pontos A; B e C no esto alinhados.

03. Calcule o produto vetorial!AB !AC:

Soluo:

Temos que!AB !AC =~i~j = ~k.

04. Calcule a rea do tringulo ABC:

Soluo:

A rea do tringulo ABC S = 12

!AB !AC

= 12

~k

= 1=2 Construindo uma base ortonormal a partir do vetor ~a =~i~j + 3~k.

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05. Verique se o vetor ~b = 2~i+ 5~j + ~k ortogonal ao vetor ~a:

Soluo:

Temos que ~a ~b = 2 5 + 3 = 0 e, portanto, os vetores ~a e ~b so ortogonais.06. Encontre um vetor ~c que seja ortogonal aos vetores ~a e ~b, simultaneamente.

Soluo:

O vetor ~c = ~a~b ortogonal aos vetores ~a e ~b: Um clculo simples nos d:

~a~b =

~i ~j ~k

1 1 32 5 1

= 16~i+ 5~j + 7~k:

07. Calcule as normas dos vetores ~a; ~b e ~c:

Soluo:

k~ak = p1 + 1 + 9 = p11; jj~bjj = p4 + 25 + 1 = p30 e k~ck = p256 + 25 + 49 = p330

08. Construa uma base ortonormal negativa f~u;~v; ~wg, de modo que ~u; ~v e ~w sejam colineares a~a; ~b e ~c; respectivamente.

Soluo:

Consideremos os vetores ~u =~a

k~ak ; ~v =~b

jj~bjje ~w =

~ck~ck . Esses vetores so unitrios e mutuamente

ortogonais e, sendo assim, formam uma base ortonormal.

Sejam ~u e ~v dois vetores ortogonais, sendo ~u unitrio e k~vk = p3:09. Calcule o produto interno (~u+ ~v) (~u ~v) :Soluo:

Sendo ~u e ~v dois vetores ortogonais, ento ~u ~v = 0 e ~v ~u = 0: Usando as propriedades do produtoescalar, obtemos:

(~u+ ~v) (~u ~v) = ~u ~u ~u ~v + ~v ~u ~v ~v = kuk2 k~vk2 = 1 3 = 2

10. Calcule k2~u+ ~vk :Soluo:

Mais uma vez usaremos os dados: k~uk = 1; k~vk = p3 e ~u ~v = 0. Temos que

k2~u+ ~vk2 = k2~uk2 + 2(2~u ~v) + k~vk2 = 4 k~uk2 + k~vk2 = 4 + 3 = 7

2

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