Aula  de  hoje  

Vetores  

Vetores  

Velocidade  

Grandezas  Físicas  

27  oC  127  km/h  Rodovia  Dom  Pedro  Sen6do  São  José  dos  Campos  

Temperatura  

Módulo   Módulo+Direção+Sen@do  

Velocidade  

Grandezas  Físicas  

27  oC  127  km/h  Rodovia  Dom  Pedro  Sen6do  São  José  dos  Campos  

Temperatura  

Vetores  

Escalar   Vetor  

Temperatura   Velocidade  

Grandezas  Físicas  

Vetores  

Módulo   Módulo+Direção+Sen@do  

Escalar   Vetor  

Temperatura  Energia  Massa  Tempo  ....  

Velocidade  Força  Torque  Campo  elétrico  ...  

Grandezas  Físicas  

Vetores  

Módulo   Módulo+Direção+Sen@do  

direção

módulo sentido A

A também pode ser representado por A

O módulo de é representado por ⎪ ⎪ ou simplesmente por A

A A

Se dois vetores têm o mesmo módulo, direção e sentido, eles são iguais

B

B = A

Vetores  

Vetores  unidimensionais  

A  

x

y  Vetores  bidimensionais  

A  x

Vetores  tridimensionais  

A  

x

y  

z

1D 2D

Exemplos  de  vetores  Deslocamento  e  velocidade  

3D

Como  representar  vetores?  

Vetores  unidimensionais  

Resp:  Versores  

𝐴 =   𝐴↓𝑥 𝑥   

x0  𝑥   

𝐴↓𝑥   

|𝑥 |=1  

Vetores  bidimensionais  𝐴 =   𝐴↓𝑥 𝑥 + 𝐴↓𝑦 𝑦   

|𝑥 |=|𝑦 |=1  

x0   𝑥   

𝐴↓𝑥   

𝑦   𝐴↓𝑦   𝐴   

y

Vetores  tridimensionais  𝐴 =   𝐴↓𝑥 𝑥 + 𝐴↓𝑦 𝑦 + 𝐴↓𝑧 𝑧   

|𝑥 |=|𝑦 |=|𝑧 |=1  

x

𝑦   𝐴↓𝑥   

𝑧   

𝐴↓𝑦   

𝐴   

y

z

𝐴↓𝑧   

𝑥   

Como  representar  vetores?  

𝐴 =   𝐴↓𝑥 𝑥 + 𝐴↓𝑦 𝑦 + 𝐴↓𝑧 𝑧  𝐴 =(𝐴↓𝑥 , 𝐴↓𝑦 , 𝐴↓𝑧 )  

Generalizando:  

𝐴 =   𝐴↓𝑥 𝑥 + 𝐴↓𝑦 𝑦  𝐴 =(𝐴↓𝑥 , 𝐴↓𝑦   )  

𝐴 =   𝐴↓𝑥 𝑥   

3D  

2D  

1D  

𝐴 =6  𝑥 +3  𝑦 =(6,3)  

Exemplo  

x0  

𝐴   

y

1   2   3   4   5   6  

1  

2  

3  

Representação  de  módulo  e  ângulo  

x0  

𝐴↓𝑥   

𝐴↓𝑦   𝐴   

𝜃  

|𝐴 |=𝐴  

𝐴↓𝑥 =𝐴cos𝜃   𝐴↓𝑦 =𝐴sin 𝜃   

tan𝜃= 𝐴↓𝑦 /𝐴↓𝑥     

𝐴=√𝐴↓𝑥 ↑2 + 𝐴↓𝑦 ↑2    

Para  casa...  

x

𝐴↓𝑥   𝐴↓𝑦   

𝐴   

y

z

𝐴↓𝑧   

𝑥   

𝜃    

𝜑    

Como  escrever   𝐴↓𝑥 ,   𝐴↓𝑦   e   𝐴↓𝑧   em  termos  de    |𝐴 |=𝐴  e  do  ângulos  𝜃  e  𝜑?    

Soma  de  vetores  

𝐴    𝐵   

𝐴   𝐵   

𝑆 = 𝐴 + 𝐵   

𝐴   𝐵   

Soma  de  vetores  

Método  Geométrico  

𝐴   

Soma  de  vetores  

Método  Geométrico  

𝐵   

𝑆 = 𝐴 + 𝐵   

Propriedades  𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴   

𝐴   𝑆   

𝐵   𝑆   

𝐵   𝐴   

Soma  de  vetores  𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐵 + 𝐶 + 𝐴   

𝐴   

𝑆   

𝐵   

𝑐   𝐴   

𝑆   

𝐵   𝑐   

Soma  de  vetores  𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐶 + 𝐴 + 𝐵   

𝐴   

𝑆   

𝐵   

𝑐   𝐴   

𝑆   

𝐵   

𝑐   

𝐴   

Subtração  de  vetores  

− 𝐵   𝐴 − 𝐵 = 𝐴 +(− 𝐵 )  

𝐵   

𝐴   

Subtração  de  vetores  

− 𝐵   

𝑆 = 𝐴 − 𝐵   

𝐴 − 𝐵 = 𝐴 +(− 𝐵 )  

𝐴   𝑆    𝐵   

𝑐   𝑆   

x

𝑐   

𝐵   

𝐴   y

x

𝐴   

𝐵   

𝑆   

y

𝑐   

𝑆 =   𝑆↓𝑥 𝑥 + 𝑆↓𝑦 𝑦  𝑆↓𝑥 =∑↑▒𝑒𝑖𝑥𝑜  𝑥  𝑆↓𝑥 = 𝐴↓𝑥 + 𝐵↓𝑥 + 𝐶↓𝑥  𝑆↓𝑦 =∑↑▒𝑒𝑖𝑥𝑜  𝑦   𝑆↓𝑦 = 𝐴↓𝑦 + 𝐵↓𝑦 + 𝐶↓𝑦   

Mul@plicação  por  uma  constante  

0<𝑘↓1 <1  𝑘↓2 >1  𝑘↓3 <0  

A  

kA,  0<k<1  

kA,  k>1  

kA,  -­‐1<k<0  

Mul@plicação  de  vetor  por  um  vetor  

Produto  escalar  𝐴 ∙ 𝐵 =|𝐴 ||𝐵 |cos𝜑   

𝐴   

𝐵   

𝜑    

𝐴   

𝐵   

𝜑    

Projeção  de  |𝐴 |na  direção  de  |𝐵 |  

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴   

Se  os  vetores  são  colineares  

𝐴 ∙ 𝐵 =|𝐴 ||𝐵 |=AB  cos𝜑=1   

Se  os  vetores  são  perpendiculares  

𝐴 ∙ 𝐵 =0  cos𝜑=0   

Mul@plicação  de  vetor  por  um  vetor  

Produto  escalar  Em  termos  de  coordenadas  

𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑦 = 𝑧 ∙ 𝑧 =1  

𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑧 = 𝑦 ∙ 𝑧 =0  

𝐴 ∙ 𝐵 =( 𝐴↓𝑥 𝑥 + 𝐴↓𝑦 𝑦 + 𝐴↓𝑧 𝑧 )∙( 𝐵↓𝑥 𝑥 + 𝐵↓𝑦 𝑦 + 𝐵↓𝑧 𝑧 )  

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴↓𝑥 𝐵↓𝑥 + 𝐴↓𝑦 𝐵↓𝑦 + 𝐴↓𝑧 𝐵↓𝑧   

Produto  Vetorial  

Produto  vetorial  𝐴 × 𝐵 = 𝐶  |𝐶 |=|𝐴 ||𝐵 |sin 𝜑   

( 𝐴 × 𝐵 )=−( 𝐵 × 𝐴 )  

Regra  da  mão  direita  

𝐵   

𝐴   

𝜑    

𝐶   𝐵   

𝐴   

𝜑    

𝐶   

𝑥 × 𝑥 = 𝑦 × 𝑦 = 𝑧 × 𝑧 =0  

𝑥 × 𝑦 = 𝑧   

𝐴 × 𝐵 =( 𝐴↓𝑥 𝑥 + 𝐴↓𝑦 𝑦 + 𝐴↓𝑧 𝑧 )×( 𝐵↓𝑥 𝑥 + 𝐵↓𝑦 𝑦 + 𝐵↓𝑧 𝑧 )  

𝐴 × 𝐵 =(𝐴↓𝑦 𝐵↓𝑧 − 𝐵↓𝑦 𝐴↓𝑧 )𝑥 +(𝐴↓𝑧 𝐵↓𝑥 − 𝐵↓𝑧 𝐴↓𝑥 )𝑦 + +( 𝐴↓𝑥 𝐵↓𝑦 − 𝐵↓𝑥 𝐴↓𝑦 ) 𝑧   

𝑥   𝑦   

𝑧   Produto  Vetorial  

Alguns  exemplos  de    produto  escalar  e  vetorial  

Produto  escalar  

Produto  vetorial  

𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑   

𝑈=− 𝜇 ∙ 𝐵   

𝑃 = 𝐹 ∙ 𝑣   

𝑣 = 𝜔 × 𝑟   

𝜏 = 𝑟 × 𝐹   

𝐹 =𝑞𝑣 × 𝐵   

→  Trabalho  

→  Potência  

→  Energia  potencial  magné6ca  

→  velocidade  angular  

→  Torque  

→  Força  de  Lorentz  

Exercício  1  Seja  𝐴 =(5,2)  e   𝐵 =(−3,−5).  Determine   𝐶 = 𝐴 + 𝐵 :  a)  Na  notação  de  par  ordenado  b)  Na  notação  de  magnitude  de  ângulo  

Exercício  2  Um  avião  decola  de  um  aeroporto  e  um  dia  nublado  e  é  avistado  mais    tarde  a  215km  de  distância,  em  um  curso  que  faz  um  ângulo  de  22o    a  leste  do  norte.  A  que  distância  a  leste  a  ao  norte  do  aeroporto  está    o  avião  no  momento  em  que  é  avistado?  

Exercício  3  Uma  pessoa  se  afasta  de  você  em  linha  reta  (vetor  𝐴 ),  muda  de    direção,  caminha  novamente  em  linha  reta  (vetor  𝐵 )  e  pára.  Que    distância  você  deve  caminhar  e  linha  reta  (vetor  𝐶 )  para  chegar  até  ela?    Dados:  |𝐴 |=22,0𝑚  e  faz  um  ângulo  de  -­‐47,0  (sen6do  horário)  com  o  eixo  x  posi6vo.  O  vetor  |𝐵 |=17,0𝑚  e  faz  um  ângulo  𝜑(an6-­‐horário)  com  o    eixo  x  posi6vo.    

Derivada  Posição,  velocidade  e  aceleração  Leis  de  Newton  

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