Prof. Cesário

b

a + b = c

a(3)(3)

8 – OPERAÇÕES USANDO AS COMPONENTES

(i) ADIÇÃO

Sejam v1 = x1i + y1j +z1k e v2 = x2i + y2j + z2k dois vetores.

Atenção: a partir deste ponto usaremos a notação negrito-itálico para indicar uma grandeza vetorial. Isto é: a notação negrito-itálico substituirá a seta em cima da letra.

v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)k

Soma dos x, soma dos y, soma dos z.

(ii) MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR

r.v1 = (rx1)i + (ry1)j + (rz1)k

Multiplica-se o escalar “r” por cada uma das coordenadas.

(iii) SUBTRAÇÃO

v1 – v2 = (x1 – x2)i + (y1 – y2)j + (z1 – z2)k.

Subtrai-se as coordenadas.

(iv) PRODUTOS

Existem grandezas que, apesar de serem escalares, são definidas a partir de um produto de dois vetores. Como exemplo temos a grandezatrabalho que é definida como um produto do vetor deslocamento peloVetor força.Outras, também definidas, como um produto de dois vetores são grandezas vetoriais. É o caso de uma força sobre uma partícula eletrizada em movimento em um campo magnético.

Vejamos esses dois tipos de produto.

9 – PRODUTO ESCALAR

Dados dois vetores u e v, define-se o produto escalar de u por v, denotadou.v, como sendo o escalar:

u.v = |u|.|v|.cos Onde |u|, |v| são os módulos dos vetores u e v e o ângulo por eles formados.

Lembrete:Para indicar um vetorestamos usando asletras em negrito-itálico.

Se os vetores forem indicados naforma xi + yj + zk, ao multiplicar,teremos produtos obtidos a partirdos unitários i, j, k.

i.i = j.j = k.k = 1.1.cos 0º = 1.1.1 = 1i.j = i.k = j.i = j.k = k.j= k.i = 1.1.cos 90º = 1.1.0 = 0

Assim,

(x1i + y1j + z1k) . (x2i + y2j + z2k) = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2

Exemplo 2: O trabalho é definido pelo produto escalar r.F onde r é o vetor deslocamentoe F é a força. Determinar o trabalho realizado pela força F = 20i + 12j – 5k (N) enquanto ocorpo se desloca do ponto A = (1, 2, 0) ao ponto (5, 4, 3) (coordenadas dadasem metros).

O vetor r vai do ponto (1, 2, 0) ao ponto (5, 4, 3). Isto significa5 – 1 = 4 unidades para a direita;4 – 2 = 2 unidades para cima;3 – 0 = 3 unidades para fora. Portanto: r = 4i + 2j + 3k.

W = r.F = (20.4) + (12.2) + (-5.3) = 89 joules

Exemplo 1: Se u = 3i + 4j – 6k e v = 5i + 5j + 2 k, u.v = 3.5 + 4.5 + (-6).2 = 23

10 – PRODUTO VETORIALDados os vetores u e v, define-se o produto vetorial, que é indicado por u X v ou u v como sendo o vetor w com as seguintes características:

(i) Módulo de w: |w| = |u| . |v| . sen

Onde é o ângulo formado pelos dois vetores.

(ii) Direção de w: perpendicular ao plano formado por u e v.

(iii) Sentido de w: determinado pela regra da mão direita aberta (regra do tapa)

Com a mão direita aberta: Aponta com o polegar o primeiro vetor

Os demais dedos apontam o sentido do segundo vetor. A palma da mão indicará o produto.

F

r

Se você aplica a força F, a porca terá o

movimento indicado pelo vetor que é denominado torque.

F

Pode-se aplicar a força F à distância r ou a força 2F à distância r/2, para produziro mesmo efeito.

APLICAÇÕES FÍSICAS DO PRODUTO VETORIAL

O efeito de rotação devido a força é denominadoTorque.

Se P é o ponto de aplicação da força e O o centro de rotação, o torqueda força F em relação ao ponto O é definido por

= AO X F

(1) TORQUE

(2) MOVIMENTO DE CARGA ELÉTRICA EM CAMPO MAGNÉTICO

S

N

Q v

B

A força que age sobre a partículaeletrizada tem o sentido indicado é dada por

F = q.v X B

F

Se uma partícula atravessa um campomagnético ela sofre a ação de uma força.ímãs

Os ímãs criam um campo magnético.

EXERCÍCIOS

1 – Dados os vetores abaixo, decomponha-os e determine o módulo e a orientação do vetor soma ou resultante: v1 = 300 m, S40ºL; v2 = 200 m, O30ºN; v3 = 200 m, L40ºS; v4 = 500 m, N60ºL.

2 - Determine a soma dos vetores indicadosna figura (I).

3 - Sejam u = (1, 2, 3), v = (-4, 8, -3) e w = (4, -2, -1) três vetores. Calcule:     ( a ) u . v          ( b ) u x w          ( c )  (u . v) . w         ( d ) u x (v . w)               ( e ) (u x v) . w    ( f ) 2u x 3w            ( g ) u . 2w  + 3u . 4v       ( h ) u x (w x v)         ( i ) (u x w) x v               ( j ) 2u . 3w                 ( k ) u . (v . w)           ( l ) u x (v . w)

Observação: a notação (1, 2, 3) é equivalente a 1i + 2j + 3k.