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RESOLUO DA PROVA DE MATEMTICA VESTIBULAR UFMG_ ANO 2007

RESOLUO: PROFA. MARIA ANTNIA GOUVEIA.

UFMG 2007

QUESTO 01 Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4 200,00, j includos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agncia de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente s taxas de embarque, sobre o qual no haveria nenhum desconto.

Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem vista.

Ento, CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem

A) R$ 3 672,00. B) R$ 3 780,00. C) R$ 3 792,00. D) R$ 3 900,00.

RESOLUO:

Do valor do pacote de viagem excludo o valor das taxas de embarque obtemos (4 200 120) = 4 080 reais . Sobre este valor Francisco obteve, com o pagamento vista, um desconto de 10%. Logo a sua despesa foi ento de 4 080(1 0,10)+120 = 4 080 . 0,90+120 = 3 792.

RESPOSTA: Alternativa C.

QUESTO 02

Lanada em 1977, a sonda espacial Voyager 1 est, atualmente, a 1,5 .1010 km da Terra. Suponha que, dessa distncia, a Voyager 1 envie, para a Terra, um sinal de rdio que se propaga velocidade da luz, que de 300.000 km/s. Despreze o movimento da Terra, do instante em que o sinal foi enviado at o momento de sua chegada a ela. Ento, CORRETO afirmar que, para chegar Terra, o sinal enviado por essa sonda gastar

A) menos de 8 horas. B) entre 8 horas e 10 horas. C) entre 10 horas e 12 horas. D) mais de 12 horas.

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RESOLUO:

O total de segundos, desprezando-se o movimento da Terra, do instante em que o sinal foi enviado at o momento de sua chegada a ela, ser determinado pelo

quociente 000s 50s0,5.10km/s3.10

km1,5.10 55

10==

Cada hora formada de 3 600s. Logo, 50 000s correspondem a 9813

9125

36500

==

horas.

RESPOSTA: Alternativa D.

QUESTO 03

Quando estava viajando pelo Chile, Jorge, por no ter uma calculadora disponvel, tinha dificuldade em fazer a converso dos preos, dados em pesos chilenos, para o valor correspondente em reais. poca, a cotao era de 196,50 pesos para cada real. Assinale, entre as seguintes alternativas, aquela que apresenta a regra que Jorge deveria utilizar para efetuar essa converso com o MENOR erro.

A) Dividir o preo em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vrgula duas casas decimais para a esquerda. B) Dividir o preo em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vrgula duas casas decimais para a esquerda. C) Multiplicar o preo em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vrgula duas casas decimais para a esquerda. D) Multiplicar o preo em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vrgula duas casas decimais para a esquerda.

RESOLUO:

Consideremos como p o valor em moedas chilenas que Jorge deveria, na poca da viagem, converter em reais.

Pesos Chilenos Reais 196,50 1

p r Ao analisarmos as duas grandezas vemos que elas so proporcionais. Ento

196,50p

r = .

Analisando agora as alternativas dadas como opes de respostas

A) Dividir o preo em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vrgula duas casas decimais para a esquerda o mesmo que

200p

100 : 2p

=

.

3

B) Dividir o preo em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vrgula duas casas decimais para a esquerda, o mesmo que

500p

100 : 5p

=

.

C) Multiplicar o preo em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vrgula duas casas decimais para a esquerda, o mesmo que

50p

1002p

100 : 2p == .

D) Multiplicar o preo em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vrgula duas casas decimais para a esquerda, o mesmo que

20p

1005p

100 : 5p == .

Sendo 196,50

p r = , ento das quatro concluses, verificamos que a regra que Jorge

deveria utilizar para efetuar essa converso com o MENOR erro, a apresentada

na alternativa A, ou seja 200p

100 : 2p

r =

= .

RESPOSTA: Alternativa A

QUESTO 04 Neste grfico, esto representadas informaes referentes aos perodos de chuva (outubro a abril) de 2002-2003 a 2005-2006, em Belo Horizonte:

FONTE: Estado de Minas, 5 abr. 2006 (Adaptado)

Obs.: Os dados sobre aes preventivas no perodo 2002-2003 no foram disponibilizados. Considere estas afirmativas referentes aos dados contidos nesse grfico: I O nmero de famlias removidas de reas de risco foi proporcional precipitao pluviomtrica verificada nos perodos pesquisados. II A precipitao pluviomtrica foi superior a 1 700 mm no perodo 2002-2003. III O nmero de aes preventivas no perodo 2005-2006 foi, pelo menos, 30% maior que no perodo 2003-2004.

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1250 : 900 = 1,3888

IV O nmero de famlias removidas de reas de risco no perodo 2002-2003 foi, pelo menos, 10 vezes maior que no perodo 2005-2006.

Com base nessas informaes, conclui-se, CORRETAMENTE, que

A) apenas as afirmativas I e II so verdadeiras. B) apenas as afirmativas I e IV so verdadeiras. C) apenas as afirmativas II e III so verdadeiras. D) apenas as afirmativas III e IV so verdadeiras.

RESOLUO: Pela analise do grfico vemos que a afirmativa I verdadeira. O grfico nos informa que o nmero de aes preventivas no perodo 2005-2006 est prximo de 1250 e o do perodo de 2003-2004 fica em torno de 900. Temos que o quociente1250 : 900 = 1,3888. O que nos leva a concluir que a afirmao III: O nmero de aes preventivas no perodo 2005-2006 foi, pelo menos, 30% maior que no perodo 2003-2004 verdadeira.

RESPOSTA: Alternativa C

QUESTO 05

Seja P = (a,b) um ponto no plano cartesiano tal que 0 < a < 1 e 0 < b < 1. As retas paralelas aos eixos coordenados que passam por P dividem o quadrado de vrtices (0,0), (2,0), (0,2) e (2,2) nas regies I, II, III e IV, como mostrado nesta figura:

Considere o ponto ( )ab , baQ 22 += . Ento, CORRETO afirmar que o ponto Q est na regio

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A) I. B) II. C) III. D) IV.

RESOLUO: Multiplicando os membros da desigualdade 0 < a < 1 por b >0, temos 0 < ab < b. E multiplicando os membros da mesma desigualdade por a > 0, temos 0 < ab < a. Comparando os dois resultados conclumos que ab um nmero positivo ao mesmo tempo menor que a e que b. .

Como ab um nmero positivo ao mesmo tempo menor que a e que b, pela anlise da .figura ao lado chegamos concluso de que a abscissa 22 ba + do ponto Q est sobre a reta r e que a sua ordenada ab est no interior da regio destacada .

RESPOSTA:alternativa B.

QUESTO 06

Um carro bicombustvel percorre 8 km com um litro de lcool e 11 km com um litro do combustvel constitudo de 75% de gasolina e de 25% de lcool, composio adotada, atualmente, no Brasil. Recentemente, o Governo brasileiro acenou para uma possvel reduo, nessa mistura, da porcentagem de lcool, que passaria a ser de 20%. Suponha que o nmero de quilmetros que esse carro percorre com um litro dessa mistura varia linearmente de acordo com a proporo de lcool utilizada. Ento, CORRETO afirmar que, se for utilizado um litro da nova mistura proposta pelo Governo, esse carro percorrer um total de

A) 11,20 km . B) 11,35 km . C) 11,50 km . D) 11,60 km .

RESOLUO: Se o carro bicombustvel percorre 8 km com um litro de lcool, com 0,25l de lcool percorre 2 km. Se percorreu 11 km com um litro do combustvel constitudo de 75% de gasolina e de 25% de lcool, ento 2 dos 11km foram vencidos pelo lcool e 9km pela gasolina.

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Se para percorrer 9km o consumo de gasolina de 0,75l, com 1l percorrer (9:0,75) km = 12km. Ento com um litro de combustvel composto de 80% de gasolina e 20% de lcool percorrer 0,8.12km + 0,2.8km = 9,6km + 1,6km = 11,2km.

RESPOSTA: Alternativa A

QUESTO 07

Seja S o conjunto dos nmeros naturais maiores que 1 que so divisores de 360 e no possuem fatores primos em comum com 147. Ento, CORRETO afirmar que S contm

A) 6 elementos. B) 7 elementos. C) 8 elementos. D) 9 elementos.

RESOLUO:147 = 3.72 . Os fatores primos de 147 so 3 e 7. 7 no divisor de 360. Para encontrar os divisores de 360, maiores que 1, no mltiplos de 3, dividamos 360 por 9 e determinemos os divisores maiores que 1 do resultado 40. D(40) = ( 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}. .

RESPOSTA: Alternativa B.

QUESTO 08

Na Figura I, est representado um retngulo, cuja base mede 25 cm e cuja altura mede 9 cm. Esse retngulo est dividido nas regies , e . Sem que haja qualquer superposio delas, essas regies podem ser reagrupadas, formando um quadrado, como mostrado na Figura II.

Ento, CORRETO afirmar que a rea da regio mede

A) 24 cm2 . B) 28 cm2 . C) 30 cm2 . D) 32 cm2 .

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RESOLUO:

Ao interpretar a situao-problema pudemos construir a figura acima . Chegamos a duas concluses: 1a) O retngulo e o quadrado so equivalentes, tm a mesma rea (9.25)cm2 = 225cm2. 2a) O lado do quadrado mede 15cm, pois (15cm)2 = 225cm2. 3a) 9 + x = 15 e 25 y = 15 x = 6 e y = 10 4a) A regio sendo um tringulo retngulo de catetos 6cm e 10cm, a sua rea mede 30

2cm10 . cm6

= cm2

RESPOSTA: Alternativa C.

QUESTO 09

Sejam p(x) = 115)x(aax 2 ++ e q(x) = b13x2x 2 +

polinmios com coeficientes

reais. Sabe-se que esses polinmios possuem as mesmas razes. Ento, CORRETO afirmar que o valor de a + b A) 3. B) 6. C) 9. D) 12.

RESOLUO:

Como os polinmios possuem as mesmas razes, podemos escrever;

=

=

=

=

==

=

=+

3b6a

2b a2a303a

2b1

a

1x'.x"

23

a

15)(ax"x'

RESPOSTA: Alternativa C

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QUESTO 10 Nesta figura, esto representados o cubo ABCDEFGH e o slido OPQRST:

Cada aresta do cubo mede 4 cm e os vrtices do slido OPQRST so os pontos centrais das faces do cubo. Ento, CORRETO afirmar que a rea lateral total do slido OPQRST mede A) 8 2 cm2 . B) 8 3 cm2 . C) 16 2 cm2 . D) 16 3 cm2 .

RESOLUO:

Na figura ao lado, a congruncia dos tringulos retngulos nos mostram que todas as arestas do octaedro so iguais a a= 2244 =+ . Logo sua rea total, em cm2

S = ( ) 3164

38.8

2

=

RESPOSTA:Alternativa D.

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QUESTO 11

Em uma mesa, esto espalhados 50 pares de cartas. As duas cartas de cada par so iguais e cartas de pares distintos so diferentes. Suponha que duas dessas cartas so retiradas da mesa ao acaso. Ento, CORRETO afirmar que a probabilidade de essas duas cartas serem iguais

A) 100

1 B)

991

C) 501

D) 491

RESOLUO:

Como existem 50 pares de cartas iguais, a probabilidade pedida de 1/50

RESPOSTA: Alternativa C.

QUESTO 12

Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hbitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram: 82% do total de entrevistados gostam de chocolate; 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e 75% do total de entrevistados gostam de batata frita. Ento, CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita , pelo menos, de

A) 25%. B) 30%. C) 35%. D) 40%.

RESOLUO:

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No diagrama acima est representada a situao problema colocada na questo. Sabemos que o n(C) representa 82% do total de entrevistados e que o n(P) representa 78% deste mesmo total.

60%z x160%z)(x100%

160%z)(xw)zyxb(a78%wzxb

82%zyxa=+

=++

=+++++++

=+++

=+++

Sabemos que o n(BF) representa 75% do total de entrevistados. 35% x

135%(x)100%135%(x)z)wyx(c

60%zx75%wyxc

=

=+

=+++++

=+

=+++

RESPOSTA: Alternativa C.

QUESTO 13

Os irmos Armando, Bernardo e Caio decidiram ajudar na reforma do piso da casa de seus pais, dividindo igualmente, entre eles, o custo de 100 m2 de cermica. Armando e Bernardo compraram, respectivamente, 60 m2 e 40 m2 da mesma cermica, pagando o mesmo preo pelo metro quadrado. Para acertar sua parte nessa compra, Caio pagou a seus dois irmos um total de R$ 1 500,00. Sejam x a parte dessa quantia que coube a Armando e y a parte que coube a Bernardo. Ento, CORRETO afirmar que o valor de x - y

A) R$ 200,00. B) R$ 300,00. C) R$ 500,00. D) R$ 900,00.

RESOLUO: Considerando como p o valor do metro quadrado da cermica e que a parte que coube a cada irmo foi de R$ 1 500,00, temos 100p = 4 500 p = 45. Na compra Armando investiu 60p = 2.700 reais e Bernardo, 40p = 1.800 reais. Ento, CORRETO afirmar que o valor de x - y = 2 700 1 800 = 900

RESPOSTA: Alternativa D.

QUESTO 14

Em uma danceteria, h um aparelho com vrias caixas de som iguais. Quando uma dessas caixas ligada no volume mximo, o nvel R de rudo contnuo de 95 dB. Sabe-se que

R = 120 + 10.log10 Is , em que Is a intensidade sonora, dada em watt/m2; e a intensidade sonora Is proporcional ao nmero de caixas ligadas.

Seja N o maior nmero dessas caixas de som que podem ser ligadas,

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simultaneamente, sem que se atinja o nvel de 115 dB, que o mximo suportvel pelo ouvido humano. Ento, CORRETO afirmar que N

A) menor ou igual a 25. B) maior que 25 e menor ou igual a 50. C) maior que 50 e menor ou igual a 75. D) maior que 75 e menor ou igual a 100.

RESOLUO:

Como a intensidade sonora Is proporcional ao nmero de caixas ligadas, representando por N o nmero de caixas ligadas podemos considerar Is = kN com k Q+. Logo a igualdade R = 120 + 10.log10 Is pode ser substituda por R = 120 + 10.log10 (kN). Para N = 1 temos R = 95dB 95 = 120 + 10.log10 k 10.log10 k = 25 log10 k = 2,5 k = 102,5. Na expresso R = 120 + 10.log10 (kN), substituindo k pelo valor 102,5, temos: R = 120 + 10.log10 (102,5.N) R = 120 + 10.log10 102,5 + 10.log10 N R = 120 25 + 10.log10 N R = 95 + 10.log10 N. Sendo N o maior nmero dessas caixas de som que podem ser ligadas, simultaneamente, sem que se atinja o nvel de 115 dB, temos: 95 + 10.log10 N < 115 10.log10 N < 20 log10 N < 2 N < 100.

RESPOSTA: Alternativa D.

QUESTO 15 Raquel, Jlia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antnio divertem-se em uma festa. Sabe-se que

essas pessoas formam quatro casais; e Carolina no esposa de Paulo.

Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando est danando com o marido de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antnio, Paulo e Rita esto sentados, conversando. Ento, CORRETO afirmar que a esposa de Antnio A) Carolina. B) Jlia. C) Raquel. D) Rita.

RESOLUO:

FERNANDO (nd) PAULO (nd) GUSTAVO (dana)

ANTNIO (nd) Provveis esposas

Carolina (nd) Raquel Jlia (dana)

Rita (nd) Carolina (nd)

Raquel (dana) Carolina (nd)

Raquel

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A mulher de Fernando est danando com o marido de Raquel. Como Jlia no est sentada, ela quem dana com o marido de Raquel, que s pode ser Gustavo, nico homem que no est sentado. Ento ela a mulher de Fernando. Como Carolina no mulher de Paulo ela s pode ser mulher de Antnio.

FERNANDO PAULO GUSTAVO ANTNIO Esposas Jlia Rita Raquel Carolina

RESPOSTA: Alternativa A.