vera lúcia sinjeb da silva machadovera lúcia sinjeb da silva machado tese submetida ao corpo...

ESTUDO ENERGÉTICO DA FLAMBAGEM DE HASTES

ASSOCIADAS LONGITUDINALMENTE

Vera Lúcia Sinjeb da Silva Machado

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS OE

POS-GRAOUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE

JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENÇAD DO

GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M. Se. J.

Aprovada por:

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

Novembro de 1980

ii

Machado, Vera Lúcia Sinjeb da

Estudo Energético da Flambagem de Hastes Associadas Longit!:!_

dinalmente Rio de Janeiro [ 1980.

xiv, 129 p. 29,7 cm (COPPE-UFRJ), M.Sc. Engenharia Civil, 1980.

Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro. Faculdade de

Engenharia.

1. Estudo de Hastes de Seção Espessas e Delgada.

I. COPPE-UFRJ II. Título (Série)

iii

Ao meu esposo e a meus pais,

pois sem a colaboração,

lo e abnegação, esse

não seria possível.

estímu

trabalho

i \/

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Sidney M. G. dos Santos, Professor

Catedrático da UFRJ, pela orientação, dedicação e incentivo.

Ao Departamento de ESTRUTURAS DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO PARA, pela oportunidade.

Ao Prof. HILDEGARDD SENTES FORTUNATO, Prof.

TITULAR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA, pela minha indicação.

À todos os amigos da CDPPE/UFRJ, pelo ' conv1

vio e amizade.

V

RESUMO

O estudo da flambagem de hastes associadas long~

tudinalmente e abordado em duas parte distintas, corresponde~

do à geometria da seção transversal. Na parte I, em que abor

damas peças maciças, instituem-se as equaçoes de flambagem,

sem maiores requisitos concernentes às constantes de massa. (com

exclusão dos bi-momentos). Na parte II, faz-se pequena aprese~

tação da geometria das massas, que tem no caso peculiares no

vas. Após esse estudo, abordam-se as associações que

em o objetivo específico do trabalho. Condições de

des distintas são examinadas e considerações de ordem

constitu

extremida

prática

colocadas no final comentam os resultados apresentados.

vi

ABSTRACT

The study of buckling of longitudinally assoei

ated bars is developed in two different parts, according to the

cross section geometry. In part I, where compact pieces were

studied, buckling equations have been derived, without further

mass constants considerations (no bi-moment -actuations). In part

II, a necessaire mass geometry presentation has been made, which

in the case, has new peculiarities. 'After this study, assoei

ations have been analysed which constitute the specific target

of this work.

vii

ÍNDICE

CAPÍTULO 1 INTRDDUÇAO

1.1 Considerações Gerais

1.2 Objetivo do Trabalho .

CAPÍTULO 2 HASTES MACIÇAS OU DE PAREDES ESPESSAS .

2.1 Formulação das Equações de Energia .

2.1.1 -

2. 1. 2 -

2. 1. 3 -

2. 1. 4 -

2. 1. 5 -

2. 1. 6 -

2.1.7 -

Peças com Eixos Principais da Seção

Transversal em Planos Distintos

Expressão do Potencial para a Prancha nao

Carregada

Obtenção das Equações de Euler-Lagrange e

Condições de Contorno para a peça nao

Carregada

Expressão do Potencial para a Prancha

Carregada

Obtenção das Equações de Euler-Lagrange para

a peça Carregada

Sistemas para Obtenção da Carga Crítica

Casos Particulares

Pág.

1

1

1

3

3

4

5

g

11

13

16

17

2.1-7.1

2.1-7.2

2.2

2.2-1 -

2.2-2 -

2.2-3 -

2.2-4 -

2.3

2.3-1 -

2.3-2 -

2.3-3 -

viii

Peças num mesmo Plano . 17

Peças em Planos Perpendiculares . 18

Associação Longitudinal com 3 Pranchas, num

mesmo Plano, sendo a Extrema Carregada


Carregada


Intermediária •


Extrema Não Carregada

Sistemas para Obtenção da Carga Critica •

Associação Longitudinal de 3 Pranchas,

19

19

20

20

23

num mesmo Plano sendo a Central Carregada 23


Extrema (1)


Central


Extrema (3)

23

25

25

2.3-4 -

2.4

2.4-1 -

2.5

2.6

CAPÍTULO 3

3. 1

3 . 2

3.3

3.3-1 -

3.3-2 -

3.3-3 -

3.3-4 -

ix

Sistemas que Levarão a Carga Crítica 27

Generalização do Problema: Caso de "n 11

Hastes Associadas num mesmo Plano e uma

Onica Peça Carregada 29

Sistemas que Levarão a Carga Crítica

Outros Casos de Associações em Planos

Distintos

Casos Particulares Analizadas quanto as

Condições de Extremidades

HASTES DE PAREDES DELGADAS

Considerações e Hipóteses Simplificadoras .

0Rterminação das Grandezas de Geometria

das Massas

Estudo da Flambagem para Peça Isolada .

Determinação da Energia Interna de

Deformação devido ao Bimomento

Expressão do Potencial

Obtenção das Equações de Euler-Lagrange .

Sistema que levará à Carga Crítica

30

31

37

40

41

42

47

56

57

59

60

3.4

3 . 5

3.5-1 -

3. 5-2 -

3.5-3 -

3.5-4 -

3.6

CAPÍTULO 4

CAPÍTULO 5

CAPÍTULO 6

6 . 1 -

6.2 -

BIBLIOGRAFIA

X

Flambagem das Peças de Seção Retangular .

Associação Longitudinal de Duas Peças de

Seção Aberta

Expressão da Energia Potencial para a

Peça Não Carregada


Carregada

Sistema que Levará a Carga Crítica

Caso Particular .

Associações de Peças Retangulares de

Paredes Delgadas

PARTE APLICADA DO CAPITULO 2

PARTE APLICADA DO CAPÍTULO 3

Conclusões

Conclusões para Hastes Espessas

Conclusões para Hastes de Paredes

Delgadas

61

65

67

70

74

75

76

80

91

124

124

125

128

xi

LISTA DE S!MBDLDS

a J HASTES MACIÇAS

b Distância de eixo a eixo das articulações de uma peça

1 Comprimento total da haste

y Eixo principal da seçao transversal na direção da menor

inércia

z = Eixo principal da seçao transversal na direção da maior

inércia

x Eixo longitudinal da haste

~ Angulo de torção

a Angulo caracterizante das associações em planos distintos

n

Eixo principal da seçao transversal da peça inclinada

direção da menor inércia

Eixo principal da seção transversal da peça inclinada

direção da maior inércia

G Módulo de Elasticidade Transversal

E Módulo de Elasticidade Longitudinal

J = Momento de inércia de Torção t

I Momento de inércia

na

na

V Forças de ligação que surgem com as associações longitudi

nais

TI= Energia potencial p

xii

íl = Trabalho das forças externas

N Carga critica considerando-se a associação

N = Carga crítica da peça isolada 1

b) HASTES DE PAREDES DELGADAS

b Distância de eixo a eixo das articulações de uma peça

t Comprimento total da haste

y

X

Eixo principal da seçao transversal na direção de

inércia

Eixo principal da seçao transversal na direção de

inércia

z = Eixo longitudinal da haste

maior

menor

x*= Eixo paralelo a x passando pelo centro de cizalhamento

y*= Eixo paralelo a y passando pelo centro de cizalhamento

Coordenada do baricentro direção de relação * X = na X em a X A

Coordenada do baricentro direção de relação * y = na X em a y A

I Momento de inércia relação * * em a X

X

I = Momento de inércia em relação a X X

I Momento de inércia relação * y* em a y

I = Momento de inércia em relação a y y

Jt Momento de inércia de torção

u = empenamento

xiii

s = Comprimento da linha média da seçao transversal o

S = Areada Seção Transversal

t Espessura da haste

A Distância do baricentro ao centro de cizalhamento

w Coeficiente de empenamento

E= Momento setorial estático w

; = Deslocamento do baricentro na direção de x

n Deslocamento do baricentro na direção de y

$ Angulo de torção

m = Momento de torção t

J = Momento setorial de inércia w

B = Bimomento

V= Energia interna de deformação devido ao bimomento B

a= Tensão normal devido ao bimomento B

~ = Energia potencial p

íl = Energia potencial das cargas externas

CA= Centro de Cizalhamento

N Carga crítica considerando-se a associação

; = Deslocamento do ponto m na direção de x m

n = Deslocamento do ponto m na direção de y m

xiv

ESTUDO ENERGÉTICO DA FLAMBAGEM DE HASTES

ASSOCIADAS LONGITUDINALMENTE

1

CAPÍTULO 1

1. INTROOUÇ/\0

1.1 Considerações Gerais

Ao se executarem cortinas de estacas - pranchas,

sempre se adotam no projeto charneiras longitudinais que art i

culam as peças entre si. Nessas condições, se uma delas, ou

várias, é solicitada longitudinalmente, teremos de

essa vinculação.

considerar

No presente trabalho, em que diversas associa

çoes serao analizadas, o método energético foi escolhido,

possibilita uma formulação Única para a totalidade dos

em estudo ..

pois

casos

Quanto a disposição ver-se-a que as peças sao

dispostas formando entre si ângulos arbitrários, de tal sorte

que o tratamento adotado tornou-se assim bastante abrangente.

1. 2 - Objetivo do Trabalho

Inicialmente trataremos das hastes maciças de

paredes espessas e posteriormente das hastes de paredes delg~

das. Apresentaremos dois quadros comparativos dos resultados.

No primeiro, para as hastes maciças ou de paredes espessas, va

2

rias associações longitudinais foram analizadas; no segundo co~

param-se os resultados obtidos considerando-se a peça

ora como espessa, ora como de paredes delgadas, a fim de

sarmos a influência do empenamento.

São inúmeras as aplicações práticas de

singela

anali

hastes

com associações longitudinais; podemos citar como exemplo as

cortinas metálicas, em que a flambagem pode ocorrer durante e

depois a cravaçao; outro exemplo; o caso de cortinas localiza

das nas divisas das construções, em que sobre elas correm-se vi

gas de amarraçao, de onde nascem os pilares da estrutura.

Nas instalações portuárias, e em solos fracamen

te resistentes, a cortina permanece como peça frequentemente 1~

vre de contenção, recebendo cargas que a plataforma lhes

mite, de grandeza sempre elevada.

Nessas condições há todo interesse em se

trans

deter

minar as cargas críticas, objetivando economia, o que se conse

guirá com a orientação que a seguir se apresenta.

3

CAPITULO 2

2. HASTES MACIÇAS OU OE PAREDES ESPESSAS

2. 1- Formulação das Equações de Energia

Consideremos inicialmente o caso da Figura 1.

z ( N)

y

FIGURA

Designamos:

V Energia interna de deformação a compressao n

V Energia interna de deformação a flexão na direção do eixo y y

V Energia interna de deformação a flexão na direção do eixo z z

VT Energia interna de deformação a torção

íl Energia potencial das cargas externas na direção de y y

íl Energia potencial das cargas externas na direção dez z

4

ílT Energia potencial das cargas externas a torção

Sabemos que:

V y

V z

V n

VT

y" 2 dx

fi EI y z" 2 dx

o 2

ri N

J- dx o 2 ES

ri GJ J _t cj,' 2 dx o 2

2.1.1 - Peças com Eixos Principais da Seção Transversal em

Planos Distintos

~------3 --- 8

®

FIGURA 2

.z

5

Representando apenas os eixos transversais e su

pondo a peça (1) carregada axialmente de N, no instante da flam

bagam podemos ter a configuração da Figura 2.b.

( N) CD 4------------ FIGURA 2a

y

Y1

FIGURA 2b

22

2.1.2- Expressão do Potencial para a Prancha Não Carregada

Sabemos que a energia potencial de um

que designamos n, e a soma da sua energia interna de p

sólido,

deforma-

çao com a energia potencial das cargas externas, podemos então

escrever para a prancha (2).

V + + Yz

Ao ser carregada a peça (1) de N, surgirá no con

6

tacto da prancha (1) com a (2), uma reaçao "v" que na prancha

(2) terá componentes vi; e v , segundo os eixos I; e n . n

Admitindo-se pequenos deslocamentos faremos:

sen <P - <P e CDS <j, - 1 ;

teremos então a disposição da Figura 3.

FIGURA 3

logo:

fi[ E:n 2 E II; 2 GJt 2

TT '' '1 ' p I; + n + <P 2 -vl;.I;- V

2 2 2 2 2 n o

b <P 2 J dx + - V/;

2

. n +

( 1 )

As coordenadas I; e n em função de y e z, es

crevem-se:

Derivando E;

n

V = t;

V = n

V y

V y

7

e os a.

s en a +

CDS O.

sena. +

e n duas vezes:

"

" n

y" 2

y" 2

CDS O. -

sen a +

V z

V z

z" 2

z" 2

sena

e os a.

sena

CDS 0.

se n a

e os a

Levando ao funcional teremos:

Jl o

Ein

2 ( y"

2

CDS 0. - z" 2

2 E I t; sena.) + --

2

2 y" sena.+ z" cosa) +

2 2

' 2 <P +

b

2 y co s Cl - z sen Cl )

2 2 2 2

vy cosa - v2

sen Cl ) - (vy sen Cl + v2

cosa l (y2

sena+ z2

cosa)Jdx

( 2 )

8

É um funcional do tipo:

7f p IR,

r ( y z y" z" q, q,' 2 2 2 2 2 2 2 ) o

Na configuração de flambagem, teremos para o conjunto:

Minimização do funcional:

07fp 2 ô Yz +

o

ar ar + -- +

aq,2

ô z + 2

' ô q, 2 dx

ar êly"

2

o y" 2

ô r +

Sabemos que, mediante integração por partes:

9,

f ar

dy" o

9,

f a r o a z"

f o

i ar

a</>'

ô y" dx dr

a Y ..

õz" dx 3 I

a z"

ôq,' dx ar d q, ' .

9,

ô y' 1

o

9,

º z. \ o

i

ôq, 1

o

d

dx

d

dx

r2 d

J~ o

9, 9, 2

ar I r d (-) ôy +J -" 2 ay o dx

o

(~) liz a z"

( 3 r -)

d q,' ôq, dx

dx

07f o P2

+

( 3 )

ôz dx

9

O desenvolvimento completo conduz pois a:

t

ª" J 1~ 6 y 2 cl r

6<)>2 cl r p = + +

2 3<)>2 az2 o cly2

d2 ( .B_) 6 z - d ar 6<)> 2 +--

dx2 dz" 2 dx à<)>' 2 2

9, 9, d ( .i!_)

1

ar ' 1 -

6y2 + ó z2 dx dy" dz"

2 2 o o

t ar

6<)>2 1 o + --

clcj>' 2 o

Resultam para o problema proposto:

2.1.3- Equações de Euler-Lagrange

3 r -- +

2 d

2 ar d -- +

2 dx

dy" 2

L__E_l

dz" 2

o

o

6z2

dx +

d dx

2 d (~) 6 y + +

dx2 ày" 2 2

t 3 r 6 y' 1

1 dy" 2

2 o

t a r

1

) ó z2

+

àz" 2 o

( 4 )

d

dx

Condições de Contorno:

a I dy"

2

ar 3z"

2

ar acp,

2

d

dx

d ---dx

oy' 2

oz' 2

t

1

o

t

1

o

t

1

o

[ ~)

3y" 2

(~)

a z" 2

10

__l!_) a <P'

2

o

o

o

t

o y2 1

o

t

o z2 1

o

o

o

o

Desenvolvendo o funcional e aplicando as equaçoes acima vem:

EI IV 2 IV E I i; IV IV __ ri [ 2 Y2 CDS CI. -z

2 sen 2a.) + ( 2 Y2 sen 2 a.+ z2 sen 2 a. l - V

2 2 y

E Ifl IV 2 IV EI i; IV 2 IV ( 2 z2 sen a.-y

2 sen 2a.J + (2 z CDS O. + Yz sen 2 a. l - V

2 2 2 z

[ 5)

[ 6 )

o

[ 7)

= o

" b cj,2

11

(v CDS a -y

v sena J z

Analisemos isoladamente a prancha (1), carregada.

A reaçao ''v'' provocada pela prancha (2), tentan

do impedir o deslocamento da prancha (1), terá componentes v e y

v segundo os eixos y e z. z

+ íl N

2.1.4-

onde

(N)

y,

z,

FIGURA 4

Expressão do potencial para a prancha (1):

+ V + Tl

+ íl Tl

e o potencial externo devido a carga axial N.

+

O abaixamento sofrido na direção de N durante a

flexão e dado por:

I!. = /!,y + 11z e analizando a flexão segundo os

eixos y e z, podemos escrever:

/1y

1T p 1

V y

+

12

_Q, _Q,

1

2 f [--9.L i2

dx dx e 11z =-l-f(_cg_)2

2 dx dx

o

_Q,

f [ o

b

2

_Q,

J [ o

ar az•

1

o

A expressao da energia potencial, sera pois:

Er Er 2 GJt z 2 _Y 2 N 2

y" + z" + -- + <P • + V y + V z -1 y 1 z 1

2 1 2 1 2ES 2

( 8 )

N 2 N z ~ 2] <jJ 1 - y' dx

2 1 2

É um funcional do tipo:

( r (yl, 2 1' <j,l, Yi•

o

z I rh' y" z" ) dx 1 ' '+' 1 ' 1 • 1

Portanto:

Óz' + 1

oy • 1

ar a z "

1

ar a Y.

1

Oz" + 1

oy. • 1

ar d y"

1

+

ô y" + 1

ô I

a cb • . 1

Com marcha análoga teremos:

+

o

( g )

OTT p l

J/,

J o

d - --

+

dx

2

d

dx 2

a r + --

az" 1

ar

1

ar oyl

ar +

ayl azl

(l.l_) oz d 1 az• dx 1

(l.l_) ozl I dx + dz"

o z' 1

1

J/,

1 o

Donde:

d

dx

o

13

ozl ar + --

ª</li

[ ...i_!._) o </ll a </l,

1

J/,

ar s , 1 --uy 1

av" 1 1 o

o

2.1.5- Equações de Euler-Lagrange

ar

d

dx

d

dx

(~) + ay,

1

az• 1

i 2

dx

2 dx

d o</J 1 --- [ l.l_) ov -

+ d

dx

d

dx

av• 1

dz" 1

dx av· 1 1

2

( -ª---!_ ) o y + 2 a " i Y1

Q,

(~lov f + av" i

o

1 o

o

o

az• 1

o

[ 9 . a l

1

d

dx

14

Condições de contorno

1

ar ay•

1

d

dx

(__i_!_ a y"

1

a I d

az' dx 1

ar ây"

1

ar a,p '

1

9,

o y' 1 = 1 o

o

o

o

o

o

a I 19, oz' dz" 1 o

1

Aplicando as equaçoes acima:

EI IV N y" o yl + + V

z 1 y

IV " EI zl + N zl + V o y z

Vy b

q, " 1

ZGJt

( 1 1 )

o

( 12 )

/ 02

15

Das elásticas podemos tirar:

y

y

Z 2

~cos P.,

y -1

y + 2

b

2

b

2

É..cos.,1,, 2

y

} cos ílll

FIGURA 5

cjJ 1

s en a b

2

Igualando as expressoes (13 e 13,a), e

do duas vezes, resulta:

( 13 l

(13.a)

derivan

y" -1

b 2

cp " 1

y" 2

b "'" a -2- "'2 cos mas temos as expressões de

cp" 1

e cp; obtidas das equ~

çoes de Euler-Langrange,logo:

16

- 4 S (y" - y" ) 1 2

V y

+ ( V CDS CI. V y z

G\ sena ) cosa, onde B = --2 ;

b

e ainda

z

z b

2 e os a + z -

2 b

2

( 14 )

CDS (Ci. + cj,2

) (14.a)

Igualando (14) e (14.a), derivando 2 vezes e

substituindo <!> 2, resulta:

e

46(z" - z") 1 2

(v sena - v cosa ) sena (15) z y

2.1.6- Sistemas para Obtenção da Carga Crítica:

-4S(y"-y"l 1 2

(v cosa - v sena) casa+ v y 2 y

( 1 6 J

- 4 B (z" - z") 1 2

(v sena - v cosa) sena 2 y

EI IV 2 __ Tl_ [2 y

2 CDS CI. IV

- 22

s en 2 a) + EI e IV

s [ 2 IV sena + 2

2 sen 2 a) - vy

2 o

2 2

EI ~-Tl IV 2 [ 2 z

2 sen a -

2

IV EIS y

2 sen2al +

2

Y2

IV 2 IV [2 z

2 cos CI. + y

2 sen 2a) V

2 o

17

EI IV

N " o yl + Y1 + V z y

IV N z i o

EI zl + + V y z

De (16), tiramos as expressoes de V y

e V , z

( 1 7 l

que

levadas em (17), conduzem a um Único sistema de equações em fun

ção d e z , y e suas derivadas. bem como da carga crítica. Ado

tando expressões para y e z, que satisfaçam as condiçoes de e~

tremidades do problema, chegaremos ao valor da carga crítica.

2.1.7- Casos Particulares

2.1.7-1 - Peças num Mesmo Plano, a o.

Podemos admitir que os deslocamentos na direção

dez sao desprezíveis em presença dos deslocamentos de y.

Resulta:

V - 2S(y"- y" ) y 1 2

EI IV o Yz V z y

IV " EI yl + N Y1 + V o z y

( 18)

18

Y2 y y,

02

FIGURA 6

2.1.7-2 7 Peças em planos perpendiculares, a 909:

11' 2

-4S(y"-y") v 1 2 y

EI z

(N)

V y

+ N y" 1

o

+ V y

o

( N)

·177;771/11111111 •

FIGURA 7 FIGURA 7a

( 1 9 )

19

2.2 - Associação Longitudinal com 3 pranchas, sendo a ex

trema carregada conforme a Figura 11.

2.2-1 - A expressao da energia potencial para a prancha (1):

virá:

9,

J 1 o

N

2

EI

2

2 y'

1

2 y"

1

dx,

IV EI yl

cj)" 1

+

G)

1~ FIGURA 8

2 N

2ES +

GJt

2

2

cj)' 1

+ y -1

aplicando as equaçoes de Euler - Lagrange,

" + N yl + vl o

(20)

v 1 b

ZGJt

2.2-2

Q, (

J o

2.2-3

b 2

20

Para a Prancha (2):

EI

2

FIGURA 9

2 y" +

2

d X , e virá:

EI IV

y2 vl + v2

cj," b

(vl v2) + 2

2GJt

Para a Prancha (3):

FIGURA 10

®

o

21

FIGURA li

'TTp 3

2 y"

3 + --

2

2 e/>'

3

22

também:

EI IV o Y3 - v2

cj)" V2b

3 2GJt

Das elásticas tiramos:

0, Ya

y -1

y -2

b

2

b

2

FIGURA 12

+ b

2

b + --

2

derivando duas vezes e substituindo os

suas expressões, virá:

b

2

Y,

e/>" 1 e e/>"

2

e

( 2 2)

pelas

23

2.2-4 Sistemas que Levarão a Carga Crítica:

4S(y"-y"l 2 1

4S(y"-y"l 3 2

e os já encontrados

IV EI y 1 + N yl

V + 2v 1 2

+ V 1

- V + V 1 2

- V 2

o

o

o

( 2 3)

(24)

2.3 - Associaçção de 3 pranchas, sendo a central carregada

2.3-1

conforme Figura 13. Considerando a deformada a

guir, podemos escrever para a prancha (1):

{I o

EI

2

2 y"

1 2

aplicando as equaçoes de Euler-Lagrange, virá:

se

24

FIGURA 13

e

2.3-2

{I o

b

2

2.3-3

9,

J 1 o

cj>" 1

25

o

Expressão do Potencial para a Prancha Carregada:

EI

2

EI

2

2 y" +

2

+

IV EI Y2

c!>2

b

2

+

2 cj>' +

2

" N Y2 +

b(v2

- vl)

2GJt

N

2

vl

2 N

-- +

2ES

+

2 y'

2

v2

+

dx, bem como:

o

( 2 5 )

Expressão do Potencial para a Prancha Extrema (3):

2 y"

3 +

2 cj>'

3 dx,

teremos:

ct>'' 3

- V 2

26

o

Das elásticas podemos tirar:

y + 1

y -2

b 2

b 2

FIGURA 14

y + 2

y -3

b 2

b

2

q, 2

( 2 6 J

y,

derivando duas vezes e substituindo pelas expressoes de q,~ ,q,;

e <P" já encontradas, vem: 3

27


4 S (y" - y") - 2 v + v O 1 2 1 2

4B(y"-y"l 2 3

com o já encontrado

EI IV

Y1 - vl

EI IV

N Y2 +

EI IV Y3

nos permite determinar N.

o

y" + 2

+ 2 V 2

vl +

v2

v2

o

o

Para a deformada a seguir (Figura 15)

mos os mesmos sistemas, o que significa:

( 27)

o ( 2 8)

encontra

As hastes associadas longitudinalmente, para as

condições de extremidade compatíveis, no instante da flambagem,

apresentam configuração de equilíbrio indiferente, coerente as

sim com a teoria.

28

FIGURA 15

29

2.4- Generalização do Problema: n hastes associadas e

uma Única qualquer (i) carregada.

--~--N

/ n g i ti # i i-1 ' 2 -9 1 /

1

' .-

1/ // g I/

o)

y, yi+1 yi-1 y, Y2 YI

b)

FIGURA 16

'

Com procedimento análogo obteremos:

30


413[y"-y")-2v -1 2 1

4 l3 [y" - y") - V - 2 V 2 3 1 2

- V 3

4 13 [y': - y':l 1-1 l

413[y': -y·:) l 1+1

4 13 [y': - y': ) 1+1 1+2

EI IV Yz

IV EI yi-1

EI IV

Yi+l

EI IV

yn

- V 1

+ V - V 1 2

+ V i-1

-v.2

-zv.1

+v. 1- 1- l

-v +2v.+v1.+l i-1 1

+

Vi. + vi+l

- V n-1

o

o

o

o

= o

( 2 g )

o

o

o [ 3 D J

o

o

o

31

Esses dois sistemas podem ser utilizados

qualquer haste carregada, observando apenas que quando n

(i+l), = V • n sendo v

1 a Última reação. n-

para

for

Quaisquer que sejam as condições de extremidades,

resolvendo o primeiro sistema. determinamos as expressoes de v

em função das derivadas de y, que levadas a outro sistema nos

permitirão determinar a carga crítica, adotando expressões para

y, que satisfaçam as condições do problema em análise.

2 . 5 Outros casos de Associação em Planos Distintos

8 (N)

Y2I ,__--y, _j-1!3 --m,

® FIGURA 17

Para a prancha (1) teremos: , _____ _

G) (N) 1v2 -=--------'

FIGURA 18

e

b

2

EI z

2

2 y" +

1

EI z

<j," 1

2ES

+

+

dx,

N y" 1

32

2 <j,' -

1

+ V + V 1 2

Para a prancha (2):

EI IV y Y2

(2) ~I

FIGURA 19

)!,

J 1 o

- V 1

EI __ Y_

2

o

N

2

o

o

virá:

dx virá:

33

Para a prancha (3):

0

l V2

FIGURA 20

t EI

f 1

2

1 dx TTp3 __ Y

y" + v2 . Y3 2 3

vi rã:

o

+ V 2

o

Das elásticas temos:

b <!> 1 y" y" b

b(v1

-v2

)

Yz yl + -

2 2 1 2 2G\

b <!> 1 y" y"

b b(v

1-v

2J

Y3 Y1 - -

2 3 1

2 2GJt

logo:

4S(y"+y"-2y"l o 2 3 1

(-y"+y"l4S 3 2

mas

Resulta então o sistema:

EI z

34

EI y

+ N y" + 1

+

o

4 S (-y" + y") - 2 EI (yI2V + Y3IVJ 3 2 y

o ( 31)

4S(-2y" +y"+y"l o 1 2 3

b) . 0 (N)

y, Y2

01 .---==--''-- - - - - -

@

FIGURA 21

Para a prancha (1) teremos:

0 (N)

FIGURA 22

y,

0

Reação da prancha ( 2 )

com a (l);

Reação da prancha ( 3 )

quanto ao deslocamento

de (1) e (2) na direção

de y.

e

JI,

f 2

EI

o

z 2 y" + 1

- (V + V ) 1 2

b

2

EI

cj," 1

z

Para a prancha (2)

f l EI z

o

virá:

e

2 y" +

2

EI z

cj," 2

IV Y2

b

2 N

2ES +

+ N y" 1

35

cj,. 2 -1

virá:

+ V + V 1 2

®

FIGURA 23

- vl + v2 o

( V 1 - v2)

2GJt

N

2

o

36

Para a prancha (3):

Q,

f 1

o

FIGURA 24

2 EI y"-2v y y 3 2 • 3

Das elásticas tiramos:

y -2

y -1

b

2

b

2

cj,2

virá o

derivando 2 vezes e substituindo .<P 1 e q, 2 pelas suas expre~

soes vem:

4S(y"-y"l 3 2

4S(y"-y"J 3 1

ficamos então com o sistema:

EI z

EI z

37

+ 4 B (y" 3

IV y + 4S(y" - y"l

2 3 2

- y" ) 1

o

IV EI y -4S(2y" -y"-y"l o

y 3 3 2 1

o

( 3 2)

2.6 - Casos Particulares analisados quanto as condições de

Extremidade

(N) ( N)

o) b)

FIGURA 2 5

Apresentaram a mesma carga critica, através da (18)

N 1 + 1

onde (33)

+ 1

38

N1

e a carga de Euler para prancha isolada:

( N)

2 ) ®

Para o caso (a)

N

Para o caso ( b)

N

© ®

o) b)

1 +

1 +

FIGURA 26

1

+ 16

1

+ 1

16

( N)

©

(33.a)

(33.b)

onde N1

representa para cada caso a carga crítica da peça carre

gada isoladamente

39

3)

o) b)

FIGURA 27

As condições de extremidades das Figuras 27 .a e

27.b, para a prancha extrema carregada, apresentaram a

carga crítica.

mesma

As condições de extremidades das Figuras 27. a e

27 .b, para a prancha central carregada, levaram à mesma

crítica.

carga

- '

40

CAPITULO 3

Para melhor confronto com a bibliografia existe~

te sobre o assunto, no presente capítulo passamos a adotar os

seguintes eixos.

z = Eixo longitudinal da peça

y Eixo paralelo a maior dimensão

x Eixo paralelo a menor dimensão

z

y

FIGURA 28

41

HASTES DE PAREDES DELGADAS

3.1 Considerações e Hipóteses Simplificadoras

No presente trabalho analisaremos as hastes longas.

Seja a peça:

FIGURA 29

Urna haste e considerada longa, quando a rela

çao entre a menor dimensão do menor retângulo que envolver a

sua seçao tranversal e o seu comprimento for inferior a 0,10:

a

e < 0,10.

Urna haste e considerada de paredes delgadas qua~

do a relação entre a espessura e a menor dimensão do menor re

tângulo que envolver a sua seçao transversal for inferior a 0,10:

42

t < 0,10. a

HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS

ll Após a deformação da haste a seçao transver

sal projeta-se indeformada no seu plano.

2) A superfície média da seçao transversal nao

apresenta distorções.

3.2- Determinação das Grandezas de Geometria das Massas

Seja uma peça e um par de eixos ortogonais de

polo qualquer o.

t

l---71 i ,101

FIGURA 30

43

Temos então as já conhecidas expressoes da geom~

triadas massas.

Areada seçao transversal para espessura t constante.

f t ds

a Momentos de 1. ordem.

a Momentos de 2. ordem

I X f

I y f

I yx f

2 y ds

x 2 d s

yx ds

Representando a seçao transversal pela linha me

dia: teremos a situação da Figura 31, com o baricentro G e

pólo o.

I(yl 2 1)

44 ...

\ \

n

G

1 O( Yo'o)

z z (O)

FIGURA 31

l. GO

y

\ y (O)

Se ligarmos esse ponto O as extremidades de um

elemento infinitesimal ds da linha média, delimitaremos uma

área infinitesimal dA

r dA ds

2

Fazendo dw 2 dA, teremos a grandeza:

s

w I r d s que e designada coeficiente

o de empenamento.

A area A obtida e chamada superfície setorial,

45

e o diagrama que se obtém marcando w sobre a normal a cada po~

to do contornos é denominada diagrama setorial ou dos coefici

entes de empenamento. Assim podemos definir as grandezas:

Momento setorial estático

Produtos setorias de inércia

s

E y U)

f X uJ dS

E dS xw

Momento setorial de inércia

Se escolhermos convenientemente os eixos x e y

como principais de inércia baricêntricos. teremos:

E E o y X

e

E O yx

46

Sendo a origem 110'

1, qualquer. podemos impor-lhe

condições para que o momento estático setorial e os produtos s~

toriais de inércia em relação à ele sejam nulosª

mando de ''A'' essa posição teremos:

Portanto, cha

E wy ( A l E wx ( A J o

sejam xA e as suas coordenadas em relação ao baricentro.

Fazendo:

ds e notando que:

r G

Go CDS ijJ + r podemos escrever:

w = G

+ w Go n + w sendo n

a projeção do arco s sobre a normal a Go. Essa expressao, de gra~

de utilidade, per~ite calcular o coefic.iente de emprenamento re

lativo a um p6lo o, quando se conhece o referente a G.

E (A) wx

As expressoes E wy(A) f

podem ser escritas,

( A l X w dS

notando que

e

47

A• -r---~--

s

E (A) = J xw ds wy

X

o

com a conveviente escolha da origem do arcos podemos por:

s

f w ds = o

virá:

I X

de modo análogo:

I y

O ponto com essas coordenadas e chamado

de cizalhamento, ou centro de torção.

centro

3-3 Estudo da Flambagem de Hastes de Paredes Delgadas

48

Peça Isolada

Se o plano principal em que estão agindo as for

ças, nao e um plano de simetria da peça, a flexão, e comumente

acompanhada de torção. O centro de cizalhamento é, como demons

tra a teoria o ponto pelo qual deve passar o plano de

das cargas, para se eliminar essa torção.

atuação

Admitamos que carga crítica se distribua unifor

memente na peça:

o N

s

N /

I

•

49

Compondo as tensões em faixas longitudinais, Fi

gura 33, podemos escrever:

dpy =

dpx

N

s

N

s

t ds

t ds

n " m

é; " m

mas os deslocamentos do ponto m sao:

50

r:--=-----= =--=-- .• li , , , ,

, 1 , , , , r, ,,

L~~

FIGURA 34

T] +

y * m sen <jl

X * m sen <jl

y * <jl m

X * <jl m

' ' ' 1

(34.a)

(34.b)

51

admitindo

sen <j, -

CDS q> - 1 vem:

Derivando duas vezes:

logo:

onde:

i; " m

T) " rn

dp y

T) "

N

s

y * <j," rn

+ X * <f," m

t ds ( n" +

X * A - X rn rn

x*<P'r), m

sendo x a coordenada do ponto m da seçao transversal, em rela m

çao a eixos baricêntricos, e A, a distância do centro de cisa-

lhamento ao centro de gravidade.

Cálculo de py

N

s

so

J e n" + A <j," - X <j,") ds rn

N

s n .. + N

s

52

A <j>"

N ( n" + A q,"l

Cálculo de px

dp X

= N

s

N s"

t ds [ !::" - y *<j>") m

- _N_ <)>"

s

50

J X

m ds

(35)

[36)

Ao transportarmos p y

e para o centro de ci

salhamento, surgirá um momento torçor:

dp . y* X m

•"

FIGURA 13\5

dp y

x* m

=

so

J (dp y* X m

dp X

X*) m

53

ds

N

s tds(i;" -y*</J")y

m m

N

s y*

m ds - N

s

Considerando que x* m

-N TJ"A

Passando r* para I X· X

o Teorema dos eixos paralelos vem:

I * I X X

* 2 I I + A S y y

- N n" A - N

s

_!:!_ t ds s

(TJ" + x* </>"l x* m m

N

s

so

ds - _!:!_ TJ" f x* S m

ds - </>"

= A - resulta:

(I* + I*l </>" X y

ds

so

J X~ 2

dS

( 37)

e r* y

para I ' y aplicando

( I + I ) </>" - N A 2

</J" ( 37. a J X y

Consideremos então, no cálculo da carga crítica,

a seguinte disposição, Figura 36.

'' '

54

P_y

:.---y

[ ~ - 1(1

FIG,ORA 3$

Isto posto mostremos que, na tensão normal total

que atua na peça, teremos uma parcela ocasionada pelo

de torção.

Consideremos a seçao S de uma haste.

atuação dp momento torçor, teremos:

momento

Quando da

mos:

donde:

integrando vem:

logo:

55

Como na superficie média a distorção e nula, te

y

LI

sz

3u

3z

3u

as +

3e

3z

FIGURA 38

- r q,

s

u0

- q, I rds

w qJ JI

E /; z E

du

dz

O equilibrio exige que:

s

o

LI - q>W o LI - q>'W

o

- Ewq,"

s

f Ewq,"w ds -E q, "J w2

d s

56

mas como já vimos que JS W 2 d S e o momento setorial de inér

eia Jw, portanto:

Bimomento.

3.3-1

mas

; E <j," Jw , que \Jlassov denominou

Determinação da energia interna de deformação devido

ao Bimomento.

\J B Energia interna de deformação devido ao bi

momento:

V

VB 1 f o du dv ;

2

t s 1

J (

VB ; J (-Ew<j,"l (-w<j,"l d s dz

2 O

t s

VB ;

1

J E q> 11 2 J w2

ds dz 2

o

s

J w2 ds Jw

t

VB ;

1

J E J w </>" 2 dz ( 38) 2

o

57

Podemos então calcular a carga crítica da peça

isolada, através da energia, acrescentando essa parcela, que

não existe nas peças maciças.

3.3-2 A expressao do Potencial e, pois:

TTp V + V + V + V + íl y x T B

onde:

V Energia interna de deformação a flexão na y

direção de y

V Energia interna de deformação a flexão na X

direção de x

VT = Energia interna de deformação a torção

v8

Energia interna de deformação ao bimomento

íl Energia potencial das cargas externas

TTp

9,

f ' EI

y + EI

X

2

EJ $'2 + __ w_ <t>"2 +

2 2 o

p + __ Y_

2 Tl +

p X

2 <j, J dz (39)

58

ou, introduzindo as expressoes de p , p e mt. X y

+

+

N

2

N

s

EI Er y l; IJ 2 + __ x_n"2+

2 2

( N n " + N A <J>" 1 + 2

(r +I )<j>" X y

dz

GJt

2

N /;'' +

EJ <!> ,2 +

(J) +

2

2 <P2 N A.<j>" + -- (N" A +

2

l3 9. a l

No instante da flambagem temos oTip = o, cumpre

pois proceder à minimização do funcional:

resulta:

Q,

ÔTip = J 1

o

ar + --

ou

Tip

ar ô s

a ç;

as" +

Q, (

J o

+

ar

on"

r ( s , l; " J n ' n" ~ <!> ' <!> ' ' <P " ) dz;

ar on + ar

o<J> + ar

o<P ar o<P" +-- +

an a <j> a <j>' ª<P''

ôn" dz

59

9,

o11p J 1

a1 ó!; + d2 a1 ) o!; + ;

a!; dz 2 a!;" o

ar ó <P d (~) o <P +

d2 + -

a <P dz cl<j,' dz2

!l !l d [~) ó!;

1 + a1 on'

1 dz a!;" a n" o o

!l !l

+ õI o<J> 1 a I o<J>, 1

d 1

+

a,p• a <P .. dz o o

o que nos leva a:

3.3-3 Equações de Euler-Lagrange

a1 a <P

+

d (~) + d2

d z a ,p• d z 2

o

o

a1 on + d2 (~) on +

an dz2 3n"

!l

(~) ô <P 1 dz + l!_ ó!;' 1 a <P" d/;" o

!l d (--ª1..._) ó n

1 +

dz dn" o

!l

( ___l!__) o<J> 1

o d <P" o

o

( 4 O l

60

Condições de contorno:

ar aq,"

d

dz

d

dx

d

dz

oq,'

[~)

ai;"

(~)

dn"

Q, ar Iª o

ai;" o

Q,

oi; 1

o o

Q,

on 1

; o o

; o o

Q,

oi; ' 1

o

a I a n"

que aplicadas ao funcional, permitem escrever:

3.3-4 Sistema que Levará a Carga Crítica:

E I i; IV y

EI X

IV n

+ N i;"

+ N n"

+ cj," 1

+

N

s

; o

NA cj," o

o

(40.a]

Q,

' 1

o n ; o

o

( 41 )

o

Adotanto expressoes convenientes para cj,, i; e n,

6 1

chegaremos a carga crítica.

3.4 Flambagem das Peças de Seção Retangular de Parede Del

gada.

CDU de:

CA-CG m

X * ym

FIGURA 39

O ponto m pertencente ao elemento ds se

E;m E; - y* m

derivando duas vezes vem:

" E; "

" nm n"

y * cp" m

deslo-

cisalhamento e:

62

Da tensão normal devido a flexão temos:

dpx

N

s

N

s

N

s

t ds

N

s

Tl" m

i; " m

t ds

t ds ( Tl " )

integrando vem

N i;"

N n"

( i; " - y* m

<P " )

O momento de torção que dpx provoca no centro de

d dp y* mt X m

dmt N t ds i; " y* s m m

mas como i; " m

i;"-y <P" m

vem:

o LJ

9, EI

I __ Y 'ITp

2 o

N " i;

+ i;

2

e virá:

mt

N

s

63

fº N t ( i; " s

ro y*2 cp " ds m

N

s I * <j)"

X

y* -m

N

s

cp" ) y* m

ds

I cj," X

Teremos então a expressao da energia

EI GJt ,; "2 X n''2 cj, ,2 N

+ + +

2 2 s

+ N n" n

1

dz; Ó'ITp para 2

potencial

cp " cp +

I X 2

o

Chegaremos as equaçoes de Euler-Lagrange:

ar d2 ( ----ª--l) o +

ai; dz 2 ai;" L 4 2 l

ar d ( ..11_) d 2 (~) o +

a cp dz a cp. dz 2 a cp ..

ar --- +

EI /;IV y

64

+ N I;"

IV EI n + N n"

X

</>" (-N- I s X

- G J l t

o

o

o ( 4 3 l

o

observamos que no caso em que temos 2 eixos de simetria as flam

bagens em cada plano de flexão e torção são independentes entre

s i :

A primeira carga crítica e a de Euler

+ N EI y

A segunda carga crítica e a de Euler

+ N EI X

A terceira e a carga crítica por torção

A terceira equaçao ausente nas peças maciças e

resultante da consideração do empenamento.

65

3 .5 - ASSOCIAÇÃO LONGITUDINAL DE DUAS PEÇAS DELGADAS DE SEÇÃO ABERTA

A,

A

G, C

o(

b/2

G2

A2

FIGURA 40

A'2

r.:::r::::,1 / ,_, li 'I I

I 1

V~ •

V.,,. VI.

"'

e

66

G2

'"

52

-", 1

Ir-~; li L._J

/1 11 ;!

L 1 11 ~-- 1 / - ---------~--s----1.

02 / ----/

F I G U R A 41

67

e

CDS 0. - v sena. T)

sena.+

[ íl e À os eixos indicados na Figura 41).

3. 5-1 A expressao da energia potencial sera:

Q, EIÀ E I íl

f 1

íl" 2 7fPz +

2 2 2 o

V íl íl2 VÀ

por conseguinte:

Q,

f 1

o

GJt À" 2 <P ' 2 +

2 2 2

À2 b

víl <Pz +

2

senZa.+

EJ w <P "2 +

2 2

+ VÀ C sen Y <Pz l dz

n"2 sen2 a.) 2

+

( t'' 2 sen 2 a+ t'' 2 2 T) "

2 sen 2 a + n .. 2

2 cos 2 CX) +

GJ __ t <P'2 +

2 2 2

EJ + w q,22 -

2

+ V CDS O:) 11

com:

J!,

e

(vi; CDS a - V 11

v cosa) 11

sen y q, + 2

68

sena l ( /;2 CDS a

b

2 q, 2 ( vi; cosa -

11p2

J I ( /;. 11, /;", 11". q,. q,', q,") dz

o

V 11

sena l

sen a) 1 dz

( 4 4 )

para o • chegaremos as equaçoes de Euler-Lagrange e

condições de contorno já apresentadas, e que aplicadas ao fun

cional conduzem a:

EIÀ IV ( 2 /;

2 2

EI À IV e 2 11

2 2

cos 2 a - I.V sen 2a) 112

EI +_E (2 /; IV

2 2

2 IV cos a +11 2 sen 2 a l - vi; o

Eiíl IV +-- (2 11

2 2

o

J "'IV E w "'2

- GJ q," + v (-b- cos a - e s en y t 2 i;

sena )-v (~sena+ 11 2

2

+ e sen y cosa l o ( 4 5)

Análise da prancha (1) isolada.

füJ_

G,

r v.

n, ' 1 ~--"'AI 1

r;=---~-- --r---_-- -=~ / I 1 01 1 11 1 u

1/

1

\' li 1 : 1 \ 1 1

FIGURA 42 Temos:

p N (ri + A cj, J y XX XX

m + m' t t

b V -- - V

/; 2 Tl e sen y - N n" A - N cj, (

XX XX

I + I _x_~Y-J _ N cj, A2

XX s

70

3.5-2 A Expressão da Energia Potencial para a Prancha Carre

gada, e:

{I EI EI GJt EJ 2 p

__ Y l; 112 + X n"2 q,'2 +

__ w _ Q)" + _Y_

T1 1 + 1T p 1 + 1 1 2 1 2 1 2 2 2

o

p N2 b X

i; 1 q, + + i; 1 + V T) T11 + V ç + - V --

2ES i; 2 1 2

~ I + I

</> 1 N + N A2 </> 1 1 ( N ri" A X y dz V s en y </> 1 + + + T1 2 1 s

(46)

OBSERVAÇÃO:

gem,

A energia devido a N, na deformação por flamba

está explicitada pelas açoes equivalentes de p , X

( i; ' o

No instante da flambagem temos órrp1

O e como

q," 1 ) d z' já conhecemos as

equaçoes para o caso, que aplicadas fornecem:

EI s IV y 1

+

EI + X

N n" 1

+ NA</>" 1

o

+ o

,,_IV EJW "'l +

b

2 V f; +

N A 11" 1

+ N <j," 1

v11

e sen y

71

I + I X y

s

o

GJ <j," t 1 +

N

2

(47)

com as tres (3) já encontradas para a prancha (2) e consideran

do I

EI __ Y_ ( 2 !;IV

2 2

EI __ Y

z

I conduzem a: y X

EI CDS

2 a - sen 2 a J + X ( 2 ~IV sen2a+ IV ) s2

112

s en Za - v F; = O

,IV J ç,2

sen Z a +

2

EI X

z

b cJ>" + V (- CDS ct. -z F; 2

C sen y sen a J b -v11 [_Jsena+C senycosa)= O 2

( 48)

Precisamos pois, de mais duas equaçoes para ter

mos o sistema solucionável.

Das elásticas temos:

A,

5,

n,

1

1

Is

~ 1 " .

"" 1 '\,_,

"" 1 "'

FIGURA 43

72

A2

\ 'E

e \

E; + C sen (a+ y + rp2

J = t;2

+ C sen (a+ y J

E; i;1

- ( C sen Y - C sen ( Y - rp1

J

---

\ \

E; 1;2

+ e sen C a+ Y l - C sen ( Y +a+ rp2

J

E; t;1

- ( C sen y - C sen ( Y - rp1

J

73

Pela prancha (2) temos:

11 + e c os ( ex + Y + c/J2

l 11 + e cos [ex + y J 2

11 112 + C CDS (ex+ Y l - C cos [cx+Y +q,2)

e pela prancha [l):

11 + e cos y

11 111 + C CDS [ Y - c/Jl J - C cos y

Igualando as duas expressoes de ~ e as de 11 vem:

derivando duas vezes:

11" - 11" + C c/J" sen Y - C c/J" sen (cx+yJ o 1 2 1 2

ç::11 _ r" 2 s 1 e"'" cos y - e c/J" CDS [ Cl + y)

~ 1 2 o

74

De (47 l vem:

( E I l;I V + N A I;" l y 1 1

V Tj (EI X

IV n +Nn"+NArh")

1 1 "'1

que levadas nas demais equaçoes permitem-nos escrever:

3.5-3 Sistema que Levará a Carga Crítica

EJ q,IV + N A Tl" w 1 1

b EI l;IV + --

2 y 1

J ,,_IV _ GJ E w "'2 t

EI

+

+

q," -2

_Y (2 l;IV 2

CDS2 Cl -

2

EI l;IV + y 1

NA I; " 1

q," 1

b

2

( N

N A I;" 1

q, " ) 1

I X

+ I y

GJt + N A

2 - N A C se n Yl + -

s 2

EI c X

s en y IV

Tll N C sen y T) " o -1

b (-- cosa - C sen C! senY) + 2

(-b- sen C! + C sen y 2

EI

CDS C!) o

IV n2

sen2a)+ X

2

( 2 l;IV 2

IV n2

sen 2a) +

o

EI __ Y (2 IV

n2 2

EI IV

N n• + nl + X 1

n" n" + e 1 2

+

75

i;IV sen 2 Cl) + 2

N A cp" 1

sen Y </i" e 1

o

sen

EI X

2

( IV 2 ~ IV 2 n

2 cos cr + .,.

2 sen 2crl +

( 4 9 l

(Cl+y) </i" 2 o

i; " 2 i; "

1 + e CDS Y cp"

1 C CDS ( Cl + Y ) cp"

2 o

que satisfaçam às condições de contorno do problema, uma vez

que na flambagem o equilíbrio é indiferentes, podemos avaliar

a carga crítica.

EJ

b

2

w

3.5-4 Caso Particular

1 ) Cl

cp IV + N A cp" 1 1

+ cp" ( N 1

NA i;, 1 - e sen y (EI X

o

I

IV n

1

X

e

+ I y

s

+ N n" 1

y 1" o (Ver Figura 40)

- GJ t

+ NA

+ _N_ A2) + 2

cp " ) 1

.~ EI ç,IV + 2 y 1

o

r/>IV 2

+ N n " 1

EI y

EI X

n" - n" 1 2

t;," - ç," 2 1

+

+

+

+

+

NA

r/>" 2

r/> " ) 1

o

+

N n" 1 +

e sen y rp 1

e cos y r/>" 1

NA

b

2 EI

76

y /;IV

1

NA E; " 1

r/>" 1

+ EI

e sen y

e co s y

X

__ b_NAI;" 2 1

o

IV ll 2

r/>" 2

r/>" 2

o

o

o

+ e sen y( EI X

IV ll +

1

( 5 O l

3.6 Associações de Peças de Seção Retangular de Paredes

Delgadas

•

x•

~I

L ___ _

FIGURA 44

virá:

e

'!Tp 1

V y

9,

f 1 o

9,

f o

f;l

EI _:j_

2

1 E:y

V y

\ J

77

N b(I"

s

FIGURA 45


q, " 2

V y

V b y

o

- V y


GJt f::"2 + q,' 2 +

q, 1 N 1

2 1

2 s

b q, 1 dz

2

I

b

2

X <j," +

1

dz

I; 1 + • N l;l

2

( 5 1 )

e

mas

e

78

Portanto, para 01fp1

EI i;IV y 1

cp " ( 1

N

s

+

I X

N i;" 1

+

o'

V y

Mas das elásticas temos:

i; + 2

b

2

b

2

virá:

·o

b

2

derivando duas vezes virá:

E:" - l;" 2 1

cp " 2

cp " 1

b + --

2

V b y

cp " 2

V b y

2 [_N_ I

s X

+ b

2 cp "

1

o

o

logo:

resulta o sistema:

EI SIV y 1

+

V y

N

79

E;" 1

1

+ EI sIV y 2

N s

o

I

1

X

SIV 1 1 4 8 (E"-s" EI ---)+ 2 -1 1 y

N -s- I - GJt GJt X

adotando expressoes para s2

e s1

teremos o valor da

crítica.

o

( 52 J

) o

carga

80

CAPÍTULO 4

PARTE APLICADA REFERENTE AD CAP. 2

Para o confronto entre o comportamento da haste

isolada e o da mesma haste nas associações longitudinais, faç~

mos algumas determinações numéricas.

Seja uma haste com as seguintes características:

E Módulo de elasticidade longitudinal 21 X 1 ÜS t / m2

G = módulo de elasticidade transversal 9 X 1 OS t / m2

Seção retangular: b 0,60 m eh= 0,15 m

Condições de extremidades: Bi-rotulada.

Temos então:

I bh 3

12

- 4 1,687 X 10 m4

z

Carga

b h 3

3

( 1 - 0,63 ~h-) = b

_4

5,68 X 10 m4

crítica da peça isolada:

97,13 t

81

Com duas pranchas associadas longitudinalmente teremos, con

forme (33.a)

N Nl 1 1

+ N1

1 + ---28

onde B GJt

" 1420 b2

logo:

N 191,04 t e a'= l, 9 67

Caso de 3 pranchas com a extrema carregada.

l(N)

•

FIGURA 46

Com as equaçoes 23 e 24 e adotando:

1T X sen

sen

sen

virá o determinante

resulta:

- N + N - -2-S

1 3

4 f3 3

4 f3

N 272,09 t

a'

82

1fX

1fX

+ 4 f3

-N - 8f3 1

4 f3

2, 8 O 1

4 - -s 3

+ 4 f3 o

Caso de 4 pranchas associadas, sendo carregada a da extremi

de. De 29 e 30 vem:

+ N y" + S ( - 3y 11 + 5y" - 3y" + y") 1 1 2 3 4

o

IV EI y

2 + f3 ( 5y l - 11 y 2 + 9 y"-3y")

3 4 o

para:

resulta:

83

IV Eiy

3 +S(-3y"+9y"-lly"+Sy"l o

1 2 3 4

I IV + B ( E y4

y" 1

sen

sen

sen

sen

N 326,80 t

a:. 1 = 3,36

'ITX

'ITX

'!TX

'ITX

3 y li + 2

5y"-3y") 3 4

o

Caso de 3 pranchas~ sendo a intermediária carregada.

Resolvendo o determinante,

84

-N - _8_ s 4 S - _4_ s 1 3 3

4 S -N 1 N+~

3 4 S o

4 s 4 S -N -~s 3 1 3

N 289,35 t

Resolvendo a mesma haste, com outras condições de extremi

des:

y a ( 1 - CDS ~)

2,Q,

FIGURA 47

Caso de 2 pranchas:

N 48,30 t

a' 1,991

Caso de 3 pranchas, sendo a da extremidade carregada:

N 71,37 t

a' 2,95

EI z

2

2

85

Caso de 4 pranchas, sendo a da extremidade carregada:

N 88,90 t

a.' 3,66

Caso de 3 pranchas, sendo a intermediária carregada:

IV Y2 +

+

N 71,88 t

a' 2,965

PEÇAS COM EIXOS PRINCIPAIS EM PLANOS DISTINTOS

EI y

2

EI y

2

Para a.' 4 5 9 e hastes bi-rotuladas

(N)

G)

0

FIGURA 48

Teremos o sistema, conforme (16) e (17):

IV Y2 + 4 B ( y'' - y'' + z'' - zn)

l 2 l 2

+ 4 B ( y'' - y'' + 3z'' - 3z'') l 2 l 2

o

o

EI z

2

EI y

2

fazendo:

e virá:

+ N y" 1

+ N z" 1

yl

Y2

z 1

z2

86

4 S ( y" - y" + z" - 2 11 )

1 2 1 2

4 S ( y" - y" + 3z" - 3z" ) 1 2 1 2

1TX

ª1 sen 9,

1Tx

ª2 sen 9,

1T X

ª3 sen 9,

1TX

ª4 sen 9,

N 2261, 8B t

N 808,9 t

o menor dos dois valores, logo:

N 808,9 t

ct' 8,33

o

o

87

No caso de haste engastada numa extremidade e livre na ou

tra, vem:

N 220,56 t

N 580,96 t

o menor dos dois valores, logo:

e

N 220,56 t

a' 9,09

No caso de a' 90 9 , o sistema sera:

EI z

(N)

(i)

©

FIGURA 49

+ N y" + V 1

- V o

- 4 B ( y" 1

y" ) 2

o

V

88

No caso de hastes bi-rotuladas, encontramos:

N 1316, 55 t

a' 13,55

No caso de hastes engastadas numa extremidade e livres na ou

tra:

N 387,19 t

a' 15,96

89

--==~~-QUADRO l

HASTES B 1- ROTULADAS HASTES ENGASTADAS NUMA EXTREMIDADE E LIVRE NA OUTRA_

,, N,, 97, 13 t N1, 24,261

1 N

• Nc 191,041 Nc48,30t

oc': 1,967 oc', 1,990

I" N, 272,091 Nc71,37t

OC.: 2,801 oc': 2,95

I" N, 326,801 Nc80,90t

' 3, 36 o/:3 1 66 º"

1" N, 289,35! Nc71,88t

' 2, 97 -·= 2,97 º"

lN

·~ N, 808,901 N, 220,56 t

, '

/ <><' 8,33 o.':9,09

- •• ººp N, 1316,551 N, 387,191

, '

V ~, 13,55 ~·=15,96

o

90

GRÁFICO 1 - DEMONSTRATIVO DOS VALORES ENCONTRADOS NO QUADRO I PARA PEÇAS 81 - ROTULADAS

xN1 1 1

xN ~ 1,967

xN1 2

x ( N) ~ H 2,801

x( N1) 3

@

x(N) ~ H ~ 3,36

X ( Ni) 4

91

CAPÍTULO 5

PARTE APLICADA 00 CAPÍTULO 3

Escolhemos o tipo Estaca Larssen. N 9 IV do catá

logo.

OBSERVAÇ/10:

No presente capitulo, para facilidade de cálcul~

tomamos a aproximação do perfil definido pela Figura 50.

2 5 X 2 0

2

9 X 34

9 X 41

Determinação do centro de gravidade:

Para S1 :

250 mm 2 e

Para s2

:

306 mm 2 8

Para s3

:

369 mm 2 e

2

3

34

2

g

2

X 2 5 + 9 -25,67 mm

- 17, O mm

- 4, 5 O mm

~ 320

=l -ij-1;-----------~, ( '

t 29 1

{ ... / 1 1 4 r., i.1

L 344

444

FIGURA 50

1 1

J.j " 1

"" "'

,n,

"'

... ...

(D

N

li 149

41

t-__ _.::Y

X

FIGURA 51

<D w

94

10 X (177 - (15,5 + 9))

( - 9 + 17 7 . (15,5 + 9) J

11 X 15,5

2

149 X 15,5

2

Para s5

:

85,25 rnrn 2 e

Para s6

:

2.309,50 rnrn 2 e

Determinação de x:

1.525,0 rnrn 2

· - 8 5 , 2 5 mm

15,5

3

177 -

+ 161, 50

15,5

2

- 166,70 mm

- 169,25 mm

X 545377,74

4844,75 - 113,20 mm

Considerando o perfil a seguir corno a linha me

dia da Seção Transversal, Figura 52.

Determinação de WG

so

J r g

ds

N•

"' O>

t 149 t 0~---------------------::-'-1

/' ,-. 1 / ''" 81 \ I ; ~ \ / i \

I ::, \ I ; :;; 1

~· I \ = I ~. N, \

5 / /!l "' \ -ft / \ 1,/ /"li / \ \

,:- ( /- I \ 1 -:_ L.:: __ :!J ~ 1 \..:: __ :_i

1 41 1 176~ !

Fl6URA 52 - ADOTADO COMO LINHA MÉDIA DO PERFIL

CD u,

+

+

+

y

L

FIGURA Ili - DIASAAIIIA DOS X

(.O

"'

FIGURA 54 - GRÁFICO AUXILIAR PARA O CÁLCULO E TRACADO DOS DIAGRAMAS DE we

w ~-.J

98

No Ponto 1:

- 2

No ponto 2:

56,05 =-8351, 45 ~14:!_~9,___:,0~x;--_

2

mas . do A2 dividin em áreas

teremos:

OB

logo:

5,5 mm

7.75 mm

+

5 15 4 -

,l~---"~.·~ I ~.~ I ~.·~. I I

FIGURA 55

1 54, 5 7.75 X 5 X 56,05 5. 5.5 X 7.75

2 +

2 2

21 <D

"'

G

7 31, 52

( 4175, - 2 l 52 l 73 + 73 ' - 9814,50

2 mm

/ (

99

No Ponto 3:

O A ' sr~------------1º

/ 1

I I I I I

A3 G

I

/ /

I I I I

L -·---;,c'.___ ______________ _jc

FIGURA 56

A O' 03 C A' A

3 - DAB

(165,50 X 164,75) - 21,31 -

A3

17652,05

- 2 X 17652,05 - 35304,09

No Ponto 4:

+ 2 A 4

176,50 X 108,70

2

wG 4

WG 5

100

Cálcul o de A . 4·

1 ~-"-

, vV º t 41 - \

~2~17~ _ _J_j

FIGURA 57

41 X 1 08, 7 o 2228,35

2

- 35304,09 + 2 X 2228 , 3 5 - 30.847,39

No Ponto 5:

w4 G + 2 A 5

- 30 .847,39

- 27 149,89

+ 2 X

No Ponto 6:

17 X 217,50

2

"' ' "' ('J r:::

t g (1

tg (1

14~

7 9, 2 O

203,0

DE

14, 5

A6 6.84 X 217,50

2

6 27 149,89 WG -

101

í-----------1 I I I I I I I 1

0,39015

203

217~

FIGURA 58

DE 0,39015 X 14,5 = 5,66

6.84 X 14, 5 O 743,85 4 9, 5 9 -

2

+ 2 X 694,26 - 25.761,37

694,26

9814,50

I I I I I I I I I I I

83151,4!5 ~-~-:--=--=-_:::-:.:-::.::::::.1---------~'I 1

t" \

._.,_ _____ -1--r--~

30847,39

35304,09

FIGURA 59 -D1A611AMA DE we

\ 1 \ \ 1 ' \ ", L __ J

.... o N

176,50- 27,50, 149

1!14,!!0 /

~~~~1---------~, 1 1 1

217,50

I I I

I I -I

203 /

I I I

.....__...,..... __ - -,-,.--.J

217,50-----1 176,50

.----•Y \

\ 1

•

flGURA 60-0IAGRAMA DOS Y

\ \ \ \ ',

' L __ J

104

Cálculo do momento de inércia da peça em relação ao eixo

passando pelo centro de gravidade.

utilizando as tabelas usuais de integração chegaremos a:

I 4392,28 cm 4

y

Por metro linear de Cortina e em relação ao eixo

passando pelo eixo da articulação teremos:

I 12 540,50 X 2,5 31 351,25 cm 4

y

OBSERVAÇ/10:

Na tabela Lcrssen encontramos I 31.579 cm 4, há

portanto uma diferença de 227,75 cm 4 devido a aproximação fei

ta do perfil.

Cálculo do momento setorial de inércia.

J w

(

J w2

ds t ( w2 ds

Aplicando as tabelas usuais de integração teremos:

1

3

1

6

105

Trecho 0.1:

149 o

X 149 X 8351,45 X 8351,45 X 15, 5

Trecho 1.2:

149

+ ' 5369334,77 X 10

:~-) ~ "' ::

<D

2 9,50 1

o

xllx9,50 (2 X 9814,50 + 8351,45) 9814,5 + (9814,50 +

+ 2 X 8351,45) 8351,45 285.512,48 + 385707,31 +<

671219,79 X 10

Trecho 2.3:

"' º-q o " o o " (-) " (-) " "

.; .; .; "' "' "'

3 158,44 2 3 158,44 2

106

1

6 X 10 X 158,44 1 (2 X 35304,09 + 9814,50) 35304,09 + ( 3504,09 +

+ 2 X 9814,50) 9814,501 = 74975116,00 + 14236911,70

Trecho 3.4:

- -.. .. q .. º· .. "' o (-) ..: .. (-) "' .. o

"' O) "' ,n "' o

" "'

4 41 3 4 41 3

.. "' ..: .. O)

o "'

+4 89212027,70 X 10

1

6 X 9 X 41 (2 X 25304,09 + 30847,39) 35304,09 + (2 X 30847,09+

+ 35304,09) 30847 ,391 22028048,93 + 18401796,13

Trecho 4.5:

.. .. " ..

"' .. ..: O) ..: O) .. (-) .; (-) O) .. "' o .. O) .. "' ;:: o ;::

N " N

4 17 5 4 17 5

+4 40 429 845, 06 X 10

107

1

6 X 12,5 X 17 1 (2 X 30847,39 + 27149,89) 30847,39 + (2 X 27149,89+

+ 30 847,39( 27149,891 9 706.384,41 + 8187399,39

Trecho 5.6:

O> O> ., "

., ,,;

"' .; " (-) iõ " (-) ;:

" ;: "' " "' "'

5 19,14 6 5 19,14 6

" "' iõ " .., "'

+4 1 789 3783,80 X 10

1

6 X 24 X 19,14 1 (2 X 27149,89 + 25 761,37) 27148,89+(2x 25761,37+

+ 27149,89) 25 761,371

logo:

16641475,24 + 15516527,97 +4

3215.8003,21 X 10

JW (67 ,13 + 8921,20 + 4042,99 + 1789,38 + 536,94)2 X 10 8=

8 Jw = 3 0 7 1 5, 2 8 X 1 0

G

6 mm

Cálculo do Centro de Cisalhamento:

3071528 6 cm

108

I X

Determinando I através das tabelas usuais de in X

tegração chegaremos à:

I 21 539,52 cm" X

Cálculo de EwG x

t

s

f WG . y ds

efetuando essa integração com os diagramas das Figuras 59 e 60.

Chegaremos à:

- 260 592,07

21 539,52

FIGURA 61

12, 1 cm.

109

Determinação de w em relação ao centro de cisa

1 hamento, com o auxílio da Figura 6Ll.

w 1

w 1

154~

No Ponto 1 temos:

2 X 154,50 X 64,90

2

No Ponto 2 temos:

FIGURA 63

+ A 1

154~ l

FIGURA 62

+ 1 O. O 2 7, 5 8 mm 2

To 154,50

OCA= 64,90

tg CJ. = 7, 7 5

5, 5

CJ. 54,63 9

"'"" .. - "''"º '"""'• "" o''""" Do DIAGRAMA Dos w.

111

tg a= y

y 217,70 154, 5

logo

h 152,80 CDS CX 88,46 mm

- 2 A 2

9,5 X 88,46 - 840,40 mm 2

+ 10.007,58 - 840,40 + 9167,18 mrrf=9186,65

No Ponto 3 temos:

da peça.

logo

1

1 1

1 ... ,, ';,,/ !!21

t

112

ha

/ / / .

· __ _j -----/

/ L_ - _ILJ_L _______ ---J--

FIGURA 65

Já conhecemos a 82,879, pelas características

tg s

y

2 34, 1 5

176, 50

82,27 - 52,99

s 52,99 9

29,28 9

113

X / 176,5 2 + 234,15 2 293,22 mm

293,22 sen y 143,41

158,44 X 143,41 22 721,88

+ 9167,18 - 22 721,88 - 13 554,70 mm 2

- Determinação de A4

, A5

e temos A6 ~ O

CA

41 ! 176~

FIGURA 66

114

+ (41 X 234,15) + 9600,15 mm 2

- 13 554, 70 + 9 600,15 - 3 . 9 5 4 , 5 5 mm 2

No Ponto 5 temos:

17 X 217,50 + 3.697,50 mm 2

- 3954,55 + 3.697,50 - 257,05 mm 2

A 'v 6

o

Teremos o seguinte diagrama de w em relação ao

centro de cisalhamento, Fig. 67.

Cálculo do momento setorial de inércia

Usando as tabelas de integração para a Figura 67

e hegaremos

J 3 85610, 22 cm 6

w

logo:

lada:

115

Determinação de Jt

ab 3

3

c d 3

3

ef 3

3

Gh 3

3

160 X 15,5 + 162,94 X 10 3 + 41 X 9 3 + 23 X 19 3

1.892.812 ~ O mm4 1.892.812

3

4 cm 63,09 cm 4

946.406

Determinação da carga crítica para a peça iso

E 21 X 10 6 t/m 2

G 8xl0 6 t/m 2

116

- 4 s 48,45 X 10 m2

X 2 4 845 X 2

96,90 m2 - 4 96,90 X 10 m2

A 0,121 m

I 2,154 X 10-4

m4

X

I y

-4 4 0,4392 X 10 m

63,C9 X -8

10 m4

-6 Jw 0,39 x 10 m6

i 6 m

D·sistema a ser resolvido e:

EI /; IV y

+ N i;" o

EI IV

N 11 " N A cjl" 11 + + X

o

9 6 9 O mm 2 =

cjJIV I I

+ NA2 1 + NA11" X + y

EJ + cjl" N - GJ = o w s t

levando os dados numéricos ao sistema e adotando para

vem:

T]

ç "=

n"=

<t> "=

IV T]

a3

sen

- a 1

117

7T X

7T X

7T X

7T X sen

7T X sen

7T X sen

7T X sen

7T X sen

7T X sen

9,

118

252,8 o o

o 1240,2-N -0,121N o

o O, 121 N 7, 3 O - O, 0414 N

o que resulta as raízes:

N 252,08 t + Carga crítica no plano de simetria;

N 2.168,20 t + Carga crítica no plano perpendicular a si

metria;

N 164,90 t Carga crítica por torção.

Verificamos que a carga crítica por torção sim

plesmente e:

l

I + I A + -'-x'-------'y'-

S

portanto maior que a carga crítica quando temos torção

nhada por flexão.

176,0 t,

acomp~

10007~8

9167 l!!

257~

CA

FIGURA 67 - DIAGRAMA DE W EM RELAÇÃO AO CENTRO DE CIZALHAMENTO

,u

120

Adotanto 9. 3 m chegaremos as raizes~

N 1.014, t

N 7.876,1 t

N 331,34 t

e a carga crítica pela simples torção:

NT 338,67 t

Caso de duas pranchas associadas com a= O

-O sistema conforme [5) e:

EJ w

cpIV + N A 1

q)" + <P" 1 1

I ( N X

e (Eix IV

N n" - sen y n1 + 1

EJ cpIV -w 2

+ N n" + 1

EI sIV + y 2

GJt cp" b EI SIV -2

2 y 1

NA cp " ) 1

o

EI sIV +NAI;" y 1 1

+

+ I y

s

N A

b

2

o

- GJ + t

cp" ) + 1

NA s" 1

~ A2) +

2

_b_ NA s" 1 2

b

2

+ e s en y

EI S IV -y 1

o

CEI IV

n1 + X

121

EI TlIV + N Tl" X 1 1

+ NA QJ" + EI TlIV 1 X 1

o

Tl" 1

I; " 2

onde e

Tg y =

logo:

n11 + e senyq>" - e seny(l)" 2 1 2

o

I;" + e senycjJ" - e cosycjJ" 1 1 2

o

/ (-b-) 2 + ( A + X ) 2

2 / (ll,32 + 12,1) 2 + 20 2

X + A

b

2

b

2

49,50 9

0,20 m

e 0,3080

e s en y

C CDS y

0,2341

0,1999

Substituindo os dados numéricos adotamos:

I; 1 1T X

ª1 sen 9.

i; 2 1T X

ª2 sen 9.

30,80 cm

n1 ª3 sen

n2 ª4 sen

<P 1

122

TTx

J!,

TTX

J!,

TTX

J!,

TTX

J!,

Levando ao sistema essas expressoes e resolvendo

o determinante encontraremos:

N 1.743,43 t

N 4.091,47 t

N 354,76t

1 2 :J

QUADRO DO ESTUDO DAS HASTES DE PAREDES DELGADAS

L = 6m COMO PAREDES DELGADAS

N = 252,8 1 ~, '.O,,i

N= 2168,201

~/ ~

N=l64,91

N = 1743, 43 1 ~, //l;;;i;),. r= "

N = 4091,471

/' ' ~ -N = 354, 76 1

124

CAPITULO 6

CONCLUSÕES

6. 1 Hastes de Paredes Espessas:

1 ) Pelo gráfico ( 1), verificamos que para duas pra~

chas, o erra que se cometeria ao calcularmos a carga crítica e~

mo se elas formassem um conjunto monolítico é da ordem de 2%.

No caso de três pranchas e a extrema carregada o erro é de 7%.

2) Verificamos também que ao adicionarmos mais pra~

chas a direita da peça carregada a curva [Bl do gráfico [l), vai

se afastando da curva (A), o que significa dizer que o erro ao

se calcular a carga crítica como um conjunto monolítico vai se

tornando considerável.

Percebe-se também que a partir de um certo

rode pranchas colocadas à direita, com a adição de mais

praticamente não haverá mudanças apreciáveis no valor da

nume

peças

carga

crítica, o que importa em admitir que a curva tenderá para uma

assíntota.

3 ) Para a= 909, caso das pranchas de canto, teremos

valores elevados para a carga crítica, o que era de se esperar

pelo impedimento que a montagem então oferece ao fenômeno da

flambagem. Isso importa em observar que o comportamento da as

sociação A é praticamente idêntica, para fins de flambagem, ao

125

do L maciço.

6. 2 Hastes de Paredes Delgadas:

Para a haste isolada verificamos:

Para 3m e bi-rotulada, as raizes encontra

das foram:

N 1014,2 t

N' 7.B76,10 t

N' 331,34 t

que sao cargas críticas de pressão-flexão.

A carga crítica considerando-se simplesmente a

torção:

338,67 t

Para Q, 6 m

N no plano de simetria 252,8 t

N no plano _I_ a simetria 2.168,20 t

126

N devido a torção ]64,90 t

NT 176, 00 t

Podemos observar que quando a peça vai se tor

nando curta, a menor raiz encontrada se aproxima da carga críti

ca simplesmente por torção e se afasta muito dos valores encon-

trados pela equaçao de Euler. Com isso a forma flambada se

aproxima da flambagem por torção simples.

À medida que alongamos a peça, já nao existe tan

ta diferença entre o valor encontrado da carga crítica por tor

çao e o valor obtido pela expressão de Euler, que coincide com

uma das raízes do sistema.

Cumpre portanto, levarmos sempre em consideração

o estudo das hastes de paredes delgadas, principalmente

a peça vai se tornando curta. Verificamos que para 9, =

valor adotado para carga crítica no caso em estudo e da

de 65% do valor dado pela fórmula de Euler.

quando

6 m, o

ordem

No caso das equaçoes 43, em que há 2 eixos de

simetria, além da independência das equaçoes, verifica-se que

a 3~ equação independe de 9.. Isso decorreu do desaparecimento

do termo em EJ w

por ser nulo o momento de inércia setorial em

face da consideração simplificada de concentrar a área da seção

transversal na linha média.

127

As estacas Larssen recomendam no cálculo de uma

cortina a adotação do momento de inércia de flexão calculado p~

ra o eixo médio da parede quando cada duas estacas se acham em

oposição. A propósito transcrevemos a justificativa seguinte

encontrada na Ref. 1' 3 1, Pág. 2,

., Teoricamente é inadmissível que nao haja escorr~

gamento no encaixe de dois ferros; portanto, rigorosamente o

cálculo do momento de resistência da parede deveria ser feito

. ~ em relação ao eixo de gravidade de cada ferro.

A citação acima vem pois em abono do encaminha

menta que demos ao assunto, calculando as flexões em relação aos

eixos baricêntricos de cada estaca-prancha isoladamente consid~

rada; nao obstante para simples problemas de dimensionamento da

flexão de cortinas muito extensas parecem-nos bem fundamentada

a recomendação da Larssen, que a seguir ao texto transcrito ain

da acrescenta vários outros argumentos favoráveis.

J

1 1

1 2

128

B.IBLIDGRAFIA

L. Elsgoltz, ''Fcua~iones Diferenciales y Calculo Varia

cional 11;

a . -2. Ed1çao.

Kollbrunner - Hajdin, "DÜnnwandige Stabe", Volume l,

Edição.

1~

1 3 Kollbrunner/Meister, "Knicken Biegedrillknicken, Kippen,

a -1. Ediçao.

1 4

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- 1962.

5 1 Timoshenko, "Theory of Elastic Stability".

1 6

1 Crolland - Walker, "Method Energy".

1 7 Telemaco Van Langendonck, "Resistência dos Materiais

- Oeformaç6es II 1'.

1 e Sydney M. G. dos Santos, "Kippe", Edição 1950.

1 9

1 Sydney M. G. dos Santos, "Flambagem de Hastes Maciças

Associadas Longitudinalmente", Novembro de 1966, PUC.

l 10 1 a

Sydney M. G. dos Santos, 2. Jornadas Luso - Brasileiras

de Engenharia Civil - III Volume, 1967.

129

l 1 1 I Jaime Mason e Jorge de Mel lo e Souza, "Métodos de Energia

com Aplicaç6es a Problemas Elásticos"

l 1 2 I Roark, "Fórmulas for Stress and Strain", 4~ Edição

1 1 3 1 Dr. Stecher, de Essen, "D Emprego das Ensecadeiras Met á

licas, tipo Larssen na construção de Portos. Suplemento

da Revista Jahrbuch der Hafenbautexchnischen Gesellschaft,

1924

114

1 Larssen Handbuch , Edição 1935, Dortmund

115

1 Tablestacas Metálicas (Larssen, Edição 1929), Dortmund

Steel Sheet Piling, 3~ Edição, Paris.

vera lúcia sinjeb da silva machadovera lúcia sinjeb da silva machado tese submetida ao corpo...

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