Validação da equação de Torricelli e determinação do coeficiente

de arrasto para um objeto esférico Kauê Silva, Lucas Fabrício, Marlon Brodwolf, Monitchelie Braz, Vinícius Francioni

Resumo

Tendo em vista a dificuldade dos alunos em visualizar um problema físico, com o

aprendizado mecânico, como afirma Macêdo (2001), esse artigo tem como objetivo mostrar

os resultados da tentativa de validar empiricamente o modelo matemático da equação de

Torricelli, além de determinar experimentalmente o coeficiente de arrasto de esferas com

massas diferentes e volumes iguais. Para realizar esse experimento foi necessária a

construção de uma torre de madeira, capaz de medir o tempo de queda de um objeto no qual

houvesse alturas fixas pré-estabelecidas e que não alterasse o movimento do objeto em queda.

Considerando os dados encontrados durante o experimento, é possível descobrir a velocidade

utilizando alguns cálculos. A partir da velocidade, espera-se encontrar a aceleração da

gravidade e por fim, com todos os valores obtidos, determinar a coeficiente de arrasto das

esferas. Utilizando a ferramenta da correlação linear é viável apurar a veracidade dos valores

medidos.

Fundamentação Teórica:

Resgate histórico

Evangelista Torricelli, nasceu na Itália (1608-1647). Vindo de uma família muita

pobre, não possuía dinheiro para os estudos, no entanto seus pais observaram que sua aptidão

para a ciência era notória. Não podendo lhe proporcionar uma boa educação, eles o enviaram

para seu tio Jacobo, um monge Camaldulense. Seu tio, bastante influente, conseguiu uma

vaga no Collegio della Sapienza, como afirma Ribeiro (2014), onde Torricelli pode concluir

seus estudos de forma exemplar.

Nesse momento Torricelli foi apresentado às ideias de Galileu Galilei (1564-1642)

através de seu amigo Benedetto Castelli (1578-1643). Torricelli acaba demonstrando

profundo conhecimento sobre a matemática e inspirado por Galileu, publica em 1644 a

“Opera Geometrica composta por três partes, sendo que a segunda contém o De Motu

Gravium Naturaliter Descendentium e Projectorum”(Macêdo, 2001). Nessa obra, Torricelli

(1644), utilizando seus conhecimentos em geometria, demonstra no De Motu Aquarum

através de um fluxo de água que escoa por um orifício fino o que viria a se tornar a famosa

Equação de Torriceli:

Daqui segue a doutrina de Abade Casttelli, relativa à quantidade de água que sai

através da abertura C para a quantidade de água que sai através de D (quando as

aberturas fossem iguais) é como CE para DF. Isto é, as águas que se precipitam de

aberturas iguais estão sob a raiz quadrada da razão das sublimidades ou das alturas.

(BISTAFA, Sylvio, 2014)

Figura 1: Ilustrações que auxiliam o texto original.

Fonte: BISTAFA, Sylvio, 2014.

Sabe-se que Torricelli morreu em 1647, em Florença (atual itália) com febre tifóide no

auge da sua carreira e que muitos de seus conhecimentos foram perdidos na história, sendo

que grande parte deles foi descoberta apenas em 1919. Por esse motivo é muito importante

enfatizar a história desse grande cientista, pois além de manter o reconhecimento do

matemático, mostra que a famosa equação de Torricelli não é apenas uma forma de

solucionar um problema de física em que não se conhece o tempo e sim uma semelhança

entre dois fenômenos como afirma Macêdo (2001).

Introdução

Este trabalho trata da validação empírica do problema físico baseado no modelo

matemático da equação de Torricelli juntamente com a determinação experimental do

coeficiente de arrasto de esferas com massas e volumes diferentes. Problemas físicos são

vistos por alunos do ensino superior com certa complexidade, o que torna o ensino difícil. É

nesse contexto que este artigo propõe uma análise crítica dos resultados apresentados pelo

experimento prático facilitando a compreensão do ensino de conceitos físicos importantes

para a formação de estudantes de engenharia. Acredita-se que o aprendizado adquirido até o

presente módulo do curso de Engenharia Elétrica possibilite a execução do projeto proposto.

Matérias como Cálculo, Eletrônica Digital, Estatística, além de Física, oferecem base

suficiente para a conclusão da proposta apresentada e já foram cursadas pelos alunos.

A comprovação empírica do problema proposto tornou necessária a construção de

algo semelhante à uma torre para o lançamento das esferas definidas pelos alunos. Para o

dimensionamento correto da torre, e seu desenho em software específico, foram aplicados

conhecimentos adquiridos na matéria de desenho técnico. A partir das informações

registradas no desenho digital da torre será possível iniciar sua montagem conforme desejado.

Os conhecimentos adquiridos nas matérias de eletrônica digital foram suficientes para

a montagem de um circuito capaz de contar o tempo de deslocamento da esfera de massa

definida pela equipe. Serão utilizados os conceitos adquiridos durante as aulas sobre o

funcionamento e utilização de circuitos integrados, geração de sinais e sensores. O circuito

eletrônico será desenhado e testado em software, possibilitando, então, a montagem em

protoboard e o teste integrado com a torre de madeira. Após o registo dos dados adquiridos a

partir do circuito montado será possível dar início aos cálculos matemáticos necessários para

a validação do modelo proposto.

A validação empírica do modelo matemático de Torricelli, objetivo principal do

trabalho, é parte fundamental dos estudos de Física I. Utilizando conhecimentos adquiridos

em cálculo I e a equação básica que define um movimento uniformemente variado é prático

encontrar uma equação a partir da derivação, onde será possível conhecer a velocidade de um

objeto sem que o tempo de movimento seja conhecido. Conhecendo a equação de Torricelli e

todas as suas variáveis, é possível confrontar a realidade do lançamento da esfera com o que

foi matematicamente calculado para validar a lei física em questão. Como as esferas estão em

movimento e não possuem massa zero é possível calcular a energia cinética gerada durante o

movimento, para que em seguida seja possível comparar os resultados empíricos com os

adquiridos matematicamente. Com o auxílio de mais algumas aplicações físicas e dos

resultados obtidos será possível determinar o trabalho gerado em cada um dos movimentos

para que em seguida o coeficiente de arrasto durante a queda das esferas seja encontrado

utilizando a equação de Lorde Rayleigh.

É imprescindível que várias quedas de esferas com massa diferente sejam feitas e suas

variáveis encontradas. Assim que adquiridos todos os valores dessas variáveis, como

conhecemos a massa e o volume das esferas, é factível a utilização de conhecimentos

estatísticos para a montagem da equação capaz de determinar a relação entre duas variáveis.

Essa correlação retornará um modelo matemático que descreve o fenômeno, que por sua vez

pode ser comparado com as fórmulas já estabelecidas na física.

Na exposição dos resultados da investigação, a primeira seção busca definir

teoricamente o modelo matemático de Torricelli priamente dito. No segundo tópico é descrito

o processo montagem e funcionamento do circuito eletrônico definido para a aplicação. A

terceira seção descreve os testes e experimentos, assim como identifica as dificuldades

encontradas durante a execução do trabalho e aponta as medidas tomadas pelos alunos para

superar os problemas enfrentados durante o semestre. E por último, são apresentados os

resultados da análise proposta.

Explicação física:

Partindo de uma velocidade inicial Vo, (quando a esfera ainda não foi lançada) e

chegando com uma velocidade final Vf, podendo assumir que a distância da torre de madeira

é fixa, consegue-se chegar na aceleração do objeto a partir da equação 1.1 também chamada

de equação de Torricelli:

Vf ² = Vo ² + 2a S (1.1)Δ

Obtendo a velocidade também, é possível descobrir a energia cinética através da

equação 1.2

Ec = (1.2)2mv²

Utilizando um modelo matemático que não considera a resistência do ar, ele chegará

com uma energia cinética , enquanto o experimento empírico, que possui resistência do cE

ar, deve chegar com a energia cinética final Ecf. Considerando que haja uma diferença entre

as duas energias cinéticas devido a resistência do ar e sabendo que a diferença da energia

cinética é trabalho (W) devido a equação 1.3 e que a distância entre as duas é a mesma,

chega-se na equação 1.5 como é mostrado abaixo:

(1.3)c cf W = E − E

(1.4)F = dW

Substituindo a equação 1.3 na equação 1.4 temos que:

Fd = (1.5)dEc−Ecf

Podendo assim, determinar a força de arrasto, considerando a massa específica do ar

como e substituindo o valor de Fd na equação 1.6 também conhecida como , 93 Kg/m³ ρ = 1 2

equação de Lorde Rayleigh, conseguimos encontrar o coeficiente de arrasto :xC

Fd = (1.6)2−Cxρv²A

Vale ressaltar que para o presente experimento foi utilizado uma esfera para facilitar o

cálculo, tendo em vista que a área da equação 1.6 é a área da projeção do objeto. Caso o A

objeto não fosse esférico, uma possível rotação na queda mudaria a área projetada, tornando

inviável prever o resultado do experimento com o movimento do objeto.

Cálculo

Para encontrar a equação do movimento retilíneo uniforme (2.1) integramos.

(2.1)(t) o tv = v + a

Resolvendo a integral:

atdtSΔ = (t) dt (vo t)dt odt ∫

v = ∫

t

0+ a = ∫

t

0v + ∫

t

0

S o dt dt voΔ = v ∫t

0 1 + a ∫

t

0t = ∫

t

0dtt0 + a ∫

t

0t dt1

+S S o oΔ = − S = v 10+1 t0+1

a 11+1 t1+1

→ (2.2)o ot S − S = v + 21 ta 2 o vot atS = S + + 2

1 2

Desenvolvimento:

Ideia original do funcionamento do circuito eletrônico:

A frequência de contagem é determinada pelo circuito de controle dos contadores, este

controle é feito por um circuito de CI 555 configurado na forma astável, forma em que a

tensão de saída alterna entre +Vcc e 0V de maneira cíclica. Tal ciclo é determinado pela

associação entre os resistores R1 e R2, juntamente com um valor de capacitância. Estes

valores são calculados pela fórmula:

f = 1,44(R1 + 2R2) C

Em que calculamos R1 e R2 à partir de um valor comercial de capacitor (visto que é

mais fácil adequar um conjunto de resistência equivalente contra um capacitor de valor não

comercial). Para este projeto, utilizamos um capacitor de 100nF, assumindo R1=R2 podemos

facilmente calcular o valor de R equivalente desta fórmula.

0001 = 1,443R × 0,0000001

R 4400Ω 3 = 1

800ΩR = 4

Portanto, cada resistor deve ter valor, teoricamente de 4800Ω, porém, por conta da

dificuldade de encontar esses valores comercialemnte, utilizando valores proporcionais

chegamos nos valores de R1 = 12k Ω e R2 = 1,2k Ω.

f = 1,44(12000 + 2 × 1200) × (100× 10 )−9

Hz 1000 f =

A frequência gerada pelo 555 fica “retida” na porta and do circuito integrado 7408,

enquanto o sensor A não enviar o seu sinal para a entrada 4 (pre-set) do flip-flop. Assim que

o sensor é acionado, o estado lógico da saída Q do flip-flop é comutado e a porta and permite

que a onda quadrada gerada pelo bloco do LM555 chegue aos contadores.

Assim que a onda quadrada chega nos circuitos integrados 7490 que atuam como

contadores, eles fazem a contagem dos pulsos de borda de subida e converte esse sinal para o

sistema binário, que é disposto em quatro saídas, A, B, C e D, onde a saída D é o bit mais

significativo. Essas saídas, estão ligadas em circuitos decodificadores 7447, que estão ligados

aos displays de sete segmentos de anodo comum, esses por sua vez fazer o papel de interface

homem máquina, para mostrar ao usuário o tempo decorrido entre o disparo e a queda do

objeto em estudo.

Quando o sensor B, que fica posicionado na base da torre, detecta o objeto, ele manda

um sinal para o flip-flop que o faz mudar o nível lógico da sua saída Q, que por consequência

deixa a porta and em nível baixo, impedindo a passagem do sinal da onda quadrada do

circuito gerador de onda, fazendo com que a contagem pare.

Assim que o usuário tiver concluído o seu teste, ele pode apertar o botão S2 para

reiniciar o contador, e consequentemente todo processo.

Funcionamento do Sensor

O sensor utilizado no nosso projeto se trata do modelo S-50MA-5C01-PP da

DATASENSOR, sendo este um sensor fotoelétrico difuso, este sendo que este trabalha

emitindo um feixe de luz infravermelho e quando existindo um objeto em seu alcance o

mesmo vira um refletor fazendo com que parte da luz emitida retorne para o sensor fazendo

com que o mesmo comute, conforme a figura 2.

Figura 2: Funcionamento Sensor Fotoelétrico Difuso. Fonte: BALLAST, 2017

Funcionamento Final do Circuito Eletrônico

Inicialmente, o rascunho do circuito eletrônico foi desenvolvido no software Circuit

Maker 2000, por questões de praticidade e até de estética, posteriormente o esquemático do

circuito eletrônico foi refeito no software de desenvolvimento Eagle. Por ser um software

mais moderno e robusto, o procedimento nesse software teve um workflow melhor. Durante o

desenvolvimento virtual do circuito não houveram restrições quanto aos modelos de

componentes utilizados, porém ao finalizar a etapa de desenvolvimento do circuito e iniciar a

montagem do circuito, alguns componentes não estavam disponíveis.

Figura 3: Circuito em estágio inicial.

Fonte: Os Autores, 2017 O funcionamento do circuito, como um todo, se manteve o mesmo desde o início,

porém, com modificações. A troca de componentes, como citado anteriormente, foi a

principal delas. O bloco do flip-flop na versão final do circuito é composto pelo CI7476, um

flip-flop JK com set e reset, um resistor pull-down e um botão na entrada de clock. Os pinos

J, K, set e reset estão todos ligados no VCC, pois a função que se deseja extrair do flip-flop é

a de comutação. No bloco que faz a função de gerar uma frequência com o CI 555, apenas os

valores dos resistores foram alterados, ficando com R1 = 12000 e R2 = 1200 Ω . Ω

O sistema visual, que mostra a contagem de pulsos, permaneceu o mesmo, com

resistores fazendo o papel de pull-down, um botão para o reset da contagem, os CIs 7490

fazendo a contagem dos pulsos e codificando esses pulsos para BCD. Os CIs 7447

decodificando o sinal BCD enviado pelo 7490 e finalmente mandando o sinal para os

displays de sete segmentos.

Figura 4: Circuito Final

Fonte: Os Autores, 2017

A sequência de funcionamento é, o sensor SI deve ser acionado para que o flip-flop

comute de estado e a saída Q fique em nível lógico alto, fazendo com o que o sinal de saída

da porta AND dependa somente da sua entrada “2” que está conectada ao gerador de sinal no

bloco do circuito integrado 555, ou seja, quando o sensor detectar o objeto, a frequência irá

chegar até o bloco de contagem. Assim que a frequência chega, os contadores disparam e

começam a contar em sequência, passando pelo decodificador BCD - Decimal e acendendo

os displays de sete segmentos. Quando o sensor que está na parte de baixo detecta o objeto

ele dispara e comuta novamente o flip-flop impedindo que o sinal da frequência passe da

porta AND e chegue até os contadores, dessa maneira o contador para. Assim o usuário pode

fazer as devidas anotações e resetar o contador no botão B1. Por fim, o circuito está pronto

para um novo teste.

Testes e experimentos

Durante a montagem do circuito eletrônico surgiram algumas dificuldades. Uma das

primeiras adversidades encontrados foi a falta de alimentação dos circuitos integrados, pois

as conexões e pinos não apareciam no software de desenho por se tratar de conexão

fundamental. A solução foi encontrada consultando o datasheet do circuito integrado em

questão.

Os primeiros jumpers utilizados para a montagem do circuito foram feitos a partir de

cabos de rede velhos, o que causou um pequeno transtorno durante a montagem, pois os

mesmos já possuíam um longo de tempo de uso. Muitas vezes foi impossível perceber que

estavam rompidos, o que fez com que algumas conexões passassem a não existir. Isso foi

resolvido utilizando cabos de rede de melhor qualidade. A primeira proto-o-board utilizada

durante a montagem também apresentou falhas de conexão em alguma trilhas.

Por fim, após diversas tentativas de montagens, de várias maneiras e fazendo

pequenas modificações no circuito, como, mudar o valor dos resistores de pull down ou o

estado inicial do flip-flop, a montagem do circuito eletrônico não foi concluída.

Optou-se por fazer a aferição do tempo de queda por vídeo. Assim que detectado o

movimento de queda, era inserido um cronômetro no editor de vídeo, até o momento que a

objeto passa na frente do segundo sensor. Para se ter mais clareza do movimento, as quedas

foram filmadas em uma taxa de 240 quadros por segundo, o que possibilita que o vídeo possa

ser reproduzido oito vezes mais lento. Após a gravação dos vídeos, todo o processo foi

transferido para um o editor de vídeos, onde o cronômetro e outras informações foram

inseridos para auxiliar e facilitar o entendimento do que foi feito em cada teste, como

diâmetro das esferas e seu peso.

Foram feitos quatro testes com quatro bolas distintas, onde duas possuíam diâmetro

30mm e outras duas de 50mm. Cada uma das esferas possuiam massa 3g vazio, 10g com

material, 8g vazio e 43g com material. Com essas esferas como base para os testes, cinco

testes foram realizados. Foram cinco lançamentos com cada uma das esferas, sendo as alturas

de queda: 50cm, 40cm, 30cm, 20cm e 10cm, respectivamente. Os valores resultantes dos

testes realizados foram registrados na tabela 1.

Tabela 1 – Resultado testes

A partir do registro e de dados, é possível seguir os estudos com uma pequena

validação de resultados.

Validação dos dados

Na física experimental muitas vezes é recorrido o uso das técnicas estatísticas para a

validação de dados. No projeto proposto foram utilizadas as correlações e regressões, pois

havia necessidade de verificação da existência de um grau de correlação entre a altura e o

tempo da queda na aplicação.

Tabela 2 – Série de teste 1

Como já descrito, na tabela 1 são apresentados os resultados do primeiro teste..

Inicialmente as análises seguiram os conceitos de regressão linear, a fim de demonstrar a

correlação existente entre os valores trabalhados. A correlação é dada pelo resultado de r,

onde quanto mais próximo for o valor de 1, mais perfeito será a correlação entre os eixos.

Gráfico 1 – Gráfico Dispersão Com Regressão Linear Teste 1

Embora fosse possível adquirir um valor linear equivalente, o ideal para a análise e

verificação dos dados é a utilização dos resultados adquiridos a partir da correlação

polinomial. A correlação linear adquirida foi de r ≅ 0,94, considerada uma correlação forte,

mas através da análise da fórmula abaixo (fórmula da queda livre) a relação existente entre o

tempo e a distância é uma correlação Polinomial e não linear como proposta inicialmente

para análise de dados.

h = 2gt²

Sendo assim, o método da correlação polinomial de segundo grau é considerado o método

mais eficaz para a comprovação estatística dos resultados.

Gráfico 2 – Gráfico Dispersão Com Regressão Polinomial Teste 1

Analisando os dados adquiridos é possível aferir que houve correlação entre os eixos

X e Y com a análise de correlação polinomial de grau 2. O resultado obtido foi r ≅ 0,987,

resultado estatístico de correlação quase perfeita. No gráfico é possível encontrar a equação

da regressão polinomial utilizada para prever os próximos valores, caso necessário. Através

da análise dos resultado é possível concluir que estatisticamente é possível validar as formas

propostas para estudo.

Conclusões

Validar a veracidade da equação de Torricelli teve como finalidade definir o

coeficiente de arrasto para um objeto esférico, além de ser utilizado para aulas práticas de

física em qualquer uma das etapas de estudo. Após os experimentos práticos e a análise dos

resultados atingidos foi possível notar que a precisão de dados é extremamente importante

para garantir o sucesso do processo de validação do modelo matemático de Torricelli e a

determinação do coeficiente de arrasto de cada um dos objetos lançados. Teoricamente todas

as técnicas adotadas para a obtenção do objetivo especificado seriam suficiente para a

validação completa do objeto proposto

O conhecimento adquirido em todas as matérias relacionadas à obtenção do objetivo

principal do trabalho foram postas em prática com a execução do projeto escolhido. Durante

todo o semestre foram feitas diversas alterações no caminho pré-determinado para o alcance

do objetivo estipulado. A torre construída inicialmente sofreu várias alterações a fim de

adaptar suas características físicas com as esferas adquiridas para a validação do modelo

proposto e facilitar a medição do tempo de queda de cada um dos objetos. O circuito

eletrônico determinado pela equipe como o ideal para a aplicação foi adaptado considerando

os componentes disponíveis no instituto. Os cálculos matemáticos passaram por poucas

adaptações ou correções e foram importantes para a validação final do modelo matemático de

Torricelli. Ao final, foi possível verificar que estatisticamente há relação entre o tempo de

queda do objeto lançado e a altura de lançamento.

As principais dificuldades encontradas durante a execução do projeto surgiram após a

montagem do circuito eletrônico pensado para a definição do coeficiente de arrasto e a

validação do modelo matemático proposto. A primeira principal dificuldade encontrada foi o

funcionamento do circuito montado em protoboard. O circuito foi inicialmente desenhado em

software específico e, após seu funcionamento de acordo com o desejado, montado para

início dos testes. Quando iniciados os testes com o circuito montado de acordo com o modelo

projetado, o mesmo não funcionou de acordo. Foram realizadas várias tentativas de correção

a fim de garantir o funcionamento correto do circuito, mas fisicamente o circuito não

funcionou como esperado. Como solução temporária para validação do problema proposto,

recursos de vídeo foram utilizados. A contagem do tempo se deu, em um primeiro momento,

a partir do tempo de duração da queda considerando o tempo de filmagem de cada um dos

testes.

Ao concluir, verifica-se que matérias que dão a possibilidade aos alunos de utilizar

seus conhecimentos teóricos são importantes em cursos de engenharia. Matérias práticas dão

proporcionam aos alunos o contato com possíveis áreas de atuação, assim como, unem o que

foi aprendido em sala de aula com a prática em conjunto com outras disciplinas. O

conhecimento adquirido em matérias isolados, quando posto em prática com outras matérias,

facilita o conhecimento, a interpretação e a solução de diversos problemas práticos. É

possível que um profissional recém-formado com boa capacidade prática tenha mais

facilidade em compreender e solucionar as dificuldades do dia-a-dia do profissional da área.

Referências:

MACÊDO, Marcos Antonio Rodrigues. A equação de Torricelli e o estudo do movimento

retilíneo uniformemente variado (MRUV). 2001. Disponível em:

<http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172010000400007>.

Acesso em: 15 maio 2017.

RIBEIRO, Daniel. Evangelista Torricelli. 2014. Disponível em:

<https://www.fc.up.pt/pessoas/jfgomes/pdf/vol_2_num_4_93_art_evangelistaTorricelli.pdf>.

Acesso em: 16 maio 2018.

FOX, W. (1912). Evangelista Torricelli. Na Enciclopédia Católica. Nova Iorque: Robert

Appleton Company. Recuperado 16 de maio de 2017 do Novo Advento:

http://www.newadvent.org/cathen/14784a.htm

BALLAST. Sensores Fotoelétricos, Funcionamento E Uso Na Indústria. Disponível em:

<https://www.ballast.com.br/sensores-fotoeletricos-funcionamento-e-uso/>. Acesso em: 22

maio 2017.

BISTAFA, Sylvio R. Revista Brasileira de História da Ciência, Rio de Janeiro.

Disponível em: <www.sbhc.org.br/arquivo/download?ID_ARQUIVO=1939> Acesso em 29 de

junho de 2017