i

UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS ESTOCÁSTICOS PARA A

AVALIAÇÃO DA CONFIABILIDADE DE TURBINAS EÓLICAS

OFFSHORE

Lucas Rego Monteiro Barreto

Projeto de Graduação apresentado ao Curso

de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte

dos requisitos necessários à obtenção do título de

Engenheiro.

Orientador: Prof. Thiago Gamboa Ritto

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

FEVEREIRO DE 2014

ii

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Departamento de Engenharia Mecânica

DEM/POLI/UFRJ

UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS ESTOCÁSTICOS PARA A

AVALIAÇÃO DE ESTRUTURAS DE TURBINAS EÓLICAS

OFFSHORE

Lucas Rego Monteiro Barreto

PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO

DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECÂNICO.

Aprovado por:

________________________________________________

Prof. Thiago Gamboa Ritto

________________________________________________

Prof. Lavínia Maria Sanábio Alves Borges

________________________________________________

Prof. Albíno J.K. Leiroz

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

FEVEREIRO DE 2014

iii

Barreto, Lucas Rego Monteiro

Utilização de métodos estocásticos para avaliação de

turbinas eólicas offshore.

XII, 33 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Thiago Gamboa Ritto, DSc.

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso

de Engenharia Mecânica, 2013.

Referências Bibliográficas: p. 32-33.

1. Introdução. 2. A Energia Eólica. 3.Modelagem. 4.

Simulações. 5. Análise de Resultados. 6. Conclusões e

Observações para Análises Futuras I. Ritto, Thiago. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica,

Curso de Engenharia Mecânica. III. Utilização de métodos

estocásticos para avaliação da confiabilidade de turbinas

eólicas offshore.

iv

“Cada um faça por si para receber o que é seu.”

José Gabriel da Costa.

v

DEDICATÓRIA

Aos meus pais, que fizeram de tudo para que eu tivesse em mãos as ferramentas

para construir o meu futuro. Deram-me a mão enquanto caminhávamos por um mundo

desconhecido em meio à minha inocência e hoje andam ao meu lado, na medida em que

dou os meus próprios passos. Dedico esta coroação a vocês junto com a minha sincera

gratidão.

vi

AGRADECIMENTOS

À minha família pelo apoio que me deram e dão até hoje.

A todos os meus amigos da faculdade, que estiveram comigo durante toda essa

jornada e com certeza tem a parcela de contribuição deles no meu conhecimento, mas

especialmente ao Marcus Vinicius Sena Casagrande, David Cruz e João Caminada que

estiveram junto comigo no início disso tudo e marcaram esta minha travessia.

Ao meu orientador, Prof. Thiago Ritto, sem o qual não seria possível a

realização deste trabalho.

Ao Prof. Atila Pantaleão Silva Freire pela oportunidade de estágio em seu

laboratório, que com certeza contribuiu para minha formação.

À fundação CAPES, que pôde me oferecer a bolsa CAPES-BRAFITEC, que me

permitiu passar um ano na França complementando a minha formação com uma

experiência pessoal e acadêmica que estará guardada por toda minha vida.

E ao Gabriel Monroy pelo trabalho de revisão.

vii

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica / UFRJ como

parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.

Utilização de métodos estocásticos para a avaliação da confiabilidade de

turbinas eólicas offshore

Lucas Rego Monteiro Barreto

Fevereiro/2014

Orientador: Thiago Gamboa Ritto

Curso: Engenharia Mecânica

As turbinas eólicas offshore são hoje uma das mais interessantes opções de

fontes alternativas de energia, especialmente no Brasil. A energia do vento é ainda

pouco explorada e não produz qualquer tipo de poluição material. A eficiência das

turbinas eólicas offshore tende a ser maior do que as turbinas onshore devido a

qualidade do vento que chega em cada uma das mesmas. No entanto a estrutura da

turbina eólica offshore está sujeita a condições imprecisas de difícil avaliação, já que o

mar possui correntes e ondulações de frequência e amplitude variáveis. Logo é

necessário mensurar de forma probabilística a resistência da estrutura ao mar e ao vento,

para que o projeto seja feito de forma adequada. Neste trabalho é utilizada a

metodologia de Monte Carlo e Amostragem por importancia para avaliar a

probabilidade de falha da estrutura de uma turbina eólica offshore, modelada como uma

haste rígida presa a uma base flutuante por uma mola torcional.

Palavras-chave: Turbina eólica offshore, Monte Carlo, Importance Samplig,

Probabilidade de Falha

viii

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial

fulfillment of the requirements for the degree of Engineer.

Using stochastic methods to evaluate offshore wind turbine structures

Lucas Rego Monteiro Barreto

Fevereiro/2014

Advisor: Thiago Gamboa Ritto

Course: Mechanical Engineering

Offshore wind turbines are today one of the most interesting options for

alternative energy resources, especially in Brazil. Wind energy is still underused in the

world and has as a characteristic the lack of material pollution in energy generation. The

efficiency of offshore wind turbines tend to be higher than onshore turbines due to the

quality of wind that is available to each of them. However, the offshore wind turbine’s

structure is subject to conditions of difficult evaluation, since the sea waves and currents

have variable frequency and amplitude. Therefore it is necessary to evaluate the strength

of the structure when subject to the sea and the wind in terms of probability in order to

get the project done properly. In this paper the methodology of Monte Carlo and

Importance Sampling are used to assess the probability of failure of the structure of an

offshore wind turbine. This structure is modeled as a rigid bar connected do a floating

base through a torsion spring.

Key-words: Offshore Wind Turbines, Monte Carlo, Importance sampling

ix

Sumário

1 Introdução ....................................................................... 1

2 A Energia Eólica ............................................................. 2

2.1 História .................................................................................................... 2

2.2 Tipos de Turbinas Eólicas ....................................................................... 4

2.3 Onshore VS. Offshore ............................................................................. 6

3 Modelagem ....................................................................... 8

3.1 Introdução ............................................................................................... 8

3.2 A fronteira entre os estados de falha e não falha .................................. 15

3.3 Amostragem por importancia ............................................................... 21

3.4 Avaliação do Modelo ............................................................................ 23

4 Simulações ..................................................................... 26

4.1 Sensibilidade das variáveis ................................................................... 26

4.2 Primeiro critério de Falha ..................................................................... 32

4.3 Segundo critério de falha ...................................................................... 34

4.4 Dois critérios sobrepostos ..................................................................... 36

5 Análise de resultados ..................................................... 36

6 Conclusões e observações para análises futuras ......... 38

7 Referências .................................................................... 40

8 Anexo ............................................................................. 42

8.1 Código de programação Monte Carlo e Amostragem por importancia 42

8.2 Função Sub_edoPEN4 .......................................................................... 46

8.3 Tabela de distribuição normal ............................................................... 47

x

Lista de Figuras

Figura 1 - Linha de tempo dos moinhos de vento[14] .......................................... 2

Figura 2 - Turbina eólica de Smith-Punam [9] ..................................................... 3

Figura 3-Comparação das afluentes de Sobradinho com a média mensal da

geração elétrica [4] ............................................................................................... 4

Figura 4– VAWT de Darrieus [16] ....................................................................... 5

Figura 5 - VAWT de Savonius [16] ..................................................................... 5

Figura 6 - Turbina eólica off-shore flutuante[18] ................................................. 6

Figura 7 - Tipos de fixação[18] ............................................................................ 8

Figura 8 - Diagrama do Modelo adotado ............................................................ 10

Figura 9 - Barra engastada [7] ............................................................................ 12

Figura 10 - Força Distribuida ............................................................................. 13

Figura 11 - Relação força-momento ................................................................... 15

Figura 12 - Fronteira linear de Falha/não falha .................................................. 17

Figura 13 - Convergência por Monte Carlo ........................................................ 18

Figura 14 - Fronteira de estado falha/não-falha não linear ................................ 20

Figura 15 - Convergência não linear por Monte Carlo ....................................... 20

Figura 16 - Deslocamento do espaço amostral para a região de interesse .......... 22

Figura 17 - Comparação de Monte Carlo com Amostragem por importancia ... 23

Figura 18 - Resultados de referencia .................................................................. 27

Figura 19 - Variação da amplitude (0.5 m para 1.4 m) ....................................... 28

Figura 20 - Variação da frequência (0.01 Hz para 0.016 Hz) ............................. 29

Figura 21 - Variação da Rigidez (5.89e+07 N/rad para 5.59e+07 N/rad) ......... 30

Figura 22 - Variação do momento do vento 40.000 Nm para 160.000 Nm ....... 31

Figura 23 - Monte Carlo no modelo de Turbina eólica ...................................... 33

Figura 24 - Probabilidade de Falha por I.S. critério numero 1 (Probabilidade x

Tempo) ................................................................................................................ 34

Figura 25 - Probabilidade de falha I.S. critério numero 2 .................................. 35

Figura 26 - Probabilidade de falha I.S. dois critérios sobrepostos ..................... 36

xi

Lista de Tabelas

Tabela 1 - Constantes do Problema .................................................................... 24

Tabela 2 - Exemplo de resultado (Teta) do modelo matemático ........................ 25

Tabela 3 - Exemplo de resultado (delta Teta) do modelo matemático ............... 26

Tabela 4 - Variáveis aleatórias............................................................................ 32

Tabela 5 - Novo espaço amostral para I.S. ......................................................... 33

xii

Lista de Símbolos

� Aceleração

A Referencial Inercial fixo ao solo

� Referencial fixo a base

C Referencial fixo a torre

ct Amortecimento

E Módulo de elasticidade

� Força pontual

� Gravidade

� Momento angular

� Inércia

k1 Rigidez da viga engastada com força pontual

k2 Rigidez da viga engastada com força distribuída

l Comprimento da torre

� Massa

� Coeficiente da força distribuída

�� Valor máximo da força distribuída

� Índice de confiabilidade

δ Flecha d e deslocamento da barra engastada

� Ângulo da torre

� Ângulo da base

∆� Ângulo da torre menos ângulo da base

∅ Ângulo de flexão da barra engastada

� Função de distribuição cumulativa normal padrão

� Desvio padrão

1

1 Introdução

Desde a primeira fogueira, o homem transforma o seu meio para gerar calor e

luz, preparar alimentos e fazer tudo que é preciso para viver. A lei da conservação da

energia nos garante a necessidade de interagir com o meio já existente para obter

energia. No entanto de uns anos para cá o homem começou a se questionar quanto ao

impacto deste processo de perturbar o equilíbrio da natureza ao seu entorno para gerar

energia.

“Quais são os efeitos das nossas formas de lidar com o meio em que vivemos e

qual é a extensão destes impactos?”

São perguntas de difícil resposta que o homem moderno busca entender.

Existem extremistas que dizem que o mundo tem que parar todo o crescimento, todo

desenvolvimento, para que o meio-ambiente possa se recuperar, porque o dano causado

já foi grande demais, enquanto outros dizem que o impacto do homem é irrelevante e

que o homem é incapaz de desviar a rota da natureza.

Sem adentrar na polêmica o que fica claro é que o tema hoje se faz presente em

todos os meios de comunicação, no âmbito político e econômico, e está ai para ficar.

Desde Chernobyl até Fukushima, passando por Belo Monte o mundo quer saber de onde

vem a energia elétrica, e assim cria-se espaço político (e econômico) para as chamadas

fontes alternativas de energia serem desenvolvidas.

A energia eólica é uma destas fontes alternativas de energia de grande promessa,

podendo atender aos anseios da população mundial pelo baixo impacto no meio que ela

produz, sendo assim uma ferramenta de grande valia na busca por uma menor pegada

ecológica. No entanto ainda há muitos estudos e muita engenharia a serem

desenvolvidos para viabilizar economicamente esta tecnologia no Brasil e no mundo.

2

2 A Energia Eólica

2.1 História

A ideia de utilizar a energia do vento para produzir trabalho é tão antiga que não

é possível dizer quando ela teve início, ou quem foi o autor. Existe registro que em 5000

A.C. barcos a vela já eram encontrados, e em 200 A.C [11], já haviam moinhos

bombeando água na china, assim como trabalhando grãos na pérsia[12] e no oriente

médio[9][10]. No início do século XVII, os holandeses desenvolveram moinhos para

drenar lagos e pântanos, e assim transformar as regiões excessivamente molhadas em

fazendas. Com o passar do tempo, essa tecnologia foi cada vez mais desenvolvida e

melhorada.

Figura 1 - Linha de tempo dos moinhos de vento[14]

O final do século XIX foi marcado pelo inicio da utilização da energia dos

ventos para a produção de energia elétrica. Se, por um lado, com a industrialização na

Europa e nos Estados Unidos a utilização dos moinhos de vento como fontes de

trabalho mecânico caiu, por outro lado, na cada vez mais importante busca de produzir

energia elétrica ela se manteve presente. Durante a Segunda Guerra Mundial, foi

desenvolvida a turbina eólica de Smith-Punam que tinha um rotor de 53.3 m de

diâmetro, uma torre de 33.3 metros e duas pás e chegava a produzir 1.25 MWatts de

3

energia em ventos de 30 mph (Figura 2). Ela era interligada diretamente com a rede

elétrica.

Figura 2 - Turbina eólica de Smith-Punam [9]

O interesse nesse tipo de geração de energia, historicamente, sempre foi

dependente dos preços do barril do petróleo. Assim, quando o preço do barril caiu, junto

com ele foi o investimento nas turbinas eólicas. No entanto, nos anos 70, quando o

preço do barril de petróleo atingiu alturas nunca antes vistas, o interesse mundial em

fontes alternativas de energia voltou mais uma vez. Havia nesta época 50 produtores de

turbinas eólicas para serem compradas pela população nos Estados Unidos [13]. As

velhas ideias que tinham sido deixadas de lado foram trazidas mais uma vez à tona,

refinadas e trabalhadas. No entanto, era a energia nuclear, e não a eólica, que estava sob

os holofotes, devido à constância e à quantidade de energia que podia ser produzida de

forma controlada. Porém, após Chernobyl, houve uma despopularização das usinas

nucleares, e a energia eólica ganhou ainda mais espaço na mídia e nos planos de

pesquisa e desenvolvimento dos diversos países e comunidades internacionais.

Já hoje, mais especificamente no Brasil, onde grande parte da energia elétrica

vem de usinas hidrelétricas, a energia eólica é de grande interesse, pois não é uma fonte

de energia que contrapõe-se à hidrelétrica, mas a complementa. Existe uma relação

4

inversamente proporcional entre o fluxo dos rios e dos ventos ao longo do ano, (de

acordo com o artigo publicado por Manoel Henrique da Nóbrega Marinho da POLI-

UPE ref[4]). Assim, uma das grandes dificuldades da energia eólica, que é a

inconstância na produção de energia por conta das flutuações dos ventos, se soluciona

de forma quase automática pela própria natureza. Quando o fluxo de ventos é alto, o

fluxo de águas é reduzido e vice-versa. O investimento em energia eólica complementa

todo o investimento já feito nas hidrelétricas no país.

Figura 3-Comparação das afluentes de Sobradinho com a média mensal da geração elétrica [4]

2.2 Tipos de Turbinas Eólicas

Ao longo da trajetória de evolução das tecnologias eólicas, diversas soluções

foram encontradas para extrair a energia do vento. As duas categorias mais amplas são

as chamadas HAWT (Horizontal Axis Wind Turbines), que são turbinas eólicas de eixo

horizontal, e as VAWT (Vertical Axis Wind Turbines), que são as turbinas eólicas de

eixo vertical.

5

Figura 4– VAWT de Darrieus [16]

As VAWT possuem a vantagem de que o maquinário pesado da turbina (o

gerador, engrenagens etc..) fica colocado à altura do solo, o que facilita a instalação e

manutenção da torre. Além disso, não precisam ser colocadas na direção do vento,

sendo acionadas independentemente da direção dele. As mais conhecidas são as VAWT

de Darrieus (Figura 4) e Savonius (Figura 5).

Figura 5 - VAWT de Savonius [16]

As HAWT tradicionais são o tipo de turbina eólica mais utilizada hoje em dia.

Elas têm um princípio de operação simples. A energia do vento gira a hélice de três

(podendo também ser de duas) pás em torno de um rotor. O rotor está ligado ao eixo

principal, o qual aciona um gerador para gerar eletricidade. As turbinas eólicas são

montadas no alto de uma torre para maximizar a captura de energia. A partir dos 30

6

metros de altura, as pás são empurradas por um vento de melhor qualidade, ou seja,

mais rápido e menos turbulento. Nesse tipo de turbina, as pás já precisam ser

direcionadas contra a direção do vento mecanicamente, usando sistemas de controle

computadorizados.

2.3 Onshore VS. Offshore

Existem duas outras categorias amplas de turbinas eólicas: as Onshore e as

Offshore.

A produção de energia eólica onshore é a opção de energia limpa mais barata da

atualidade, podendo chegar a ser mais barata até mesmo do que a nuclear em termos de

custo por kWh, e as previsões são de que o preço caia ainda mais no futuro próximo [8].

No entanto, existem alguns outros problemas associados a ela. O primeiro trata do

terreno que as torres ocupam. Existe uma distância mínima entre duas torres para que

uma não perturbe o escoamento de ar que chega na outra ao lado. Por isso, esses

sistemas tendem a se espalhar sobre amplos espaços. Dependendo da região, um grande

terreno pode ter um alto valor comercial por si só. Há também a questão estética, já que

essas turbinas destoam da paisagem ao seu entorno. Juntamente com isso existe a

questão da poluição sonora.

Figura 6 - Turbina eólica off-shore flutuante[18]

7

O giro das pás gera um ruído bastante alto, que pode chegar a infringir as leis de

poluição sonora, dependendo também da quantidade de turbinas eólicas colocadas em

um parque e as distancias entre elas. Outro ponto que precisa ser levado em conta é a

dificuldade de encontrar lugares onde os ventos sejam ideais para a geração de energia,

já que uma série de fatores geográficos influenciam na velocidade e na qualidade do

vento que chega até as pás.

A alternativa offshore (Figura 6) soluciona boa parte dos problemas das turbinas

onshore: no mar há espaço de sobra e não há um senso de valor de mercado daquele

“terreno” sendo ocupado pelas turbinas. As turbinas podem ser colocadas

suficientemente distantes da costa de uma tal forma a não causar nenhuma poluição,

nem visual, nem sonora. Além de tudo, o vento sobre os mares tende a ser mais rápido e

menos turbulento do que o vento disponível sobre a terra, aumentando, dessa forma, a

eficiência das turbinas.

No entanto, existem dificuldades. A energia produzida offshore precisa ser ou

armazenada ou transmitida para a terra. A transmissão implica na instalação de cabos

que estarão ou sujeitos às condições adversas do mar (meio aquoso salino, correntes

constantes que geram fatiga etc.) ou então serão enterrados. De um jeito ou de outro, o

acesso em caso de problemas e manutenção é difícil. Também existe a questão da

dificuldade da instalação e de manutenção da torre, e das condições de mar e vento que

podem fazer fortes solicitações à torre e às suas estruturas periféricas.

8

Figura 7 - Tipos de fixação[18]

Em regiões rasas, as torres são fixadas ao solo usando diversos tipos de

estruturas rígidas. No entanto, a busca por regiões de mar com melhores condições de

vento tem levado engenheiros a desenvolverem as torres flutuantes, que são fixadas em

uma base flutuante presa por cabos de aço ao solo marítimo. São essas turbinas eólicas

flutuantes a base do estudo aqui proposto.

3 Modelagem

3.1 Introdução

Devido a falta de experiência no mercado em turbinas eólicas offshore é preciso

primeiro investir nas avaliações de confiabilidade destas tecnologias. Existem períodos

que devido às condições do mar e do vento fica impossível fazer qualquer intervenção

nas turbinas, sem contar com o custo destas intervenções. Assim a confiabilidade desta

tecnologia é de grande importância, para a viabilização econômica de projetos deste

tipo.

Já existem artigos publicados usando Monte Carlo para fazer este tipo de

análise, como o artigo de J.L. Phillips que avaliou a probabilidade de falha das turbinas

[5] e a tese de mestrado de Georgious Takoudis [6] que usou Monte Carlo para avaliar a

probabilidade de falha dos cabos que ligam as turbinas até a costa, fazendo um

levantamento do quanto poderia ser economizado mantendo redundâncias no sistema de

9

transmissão. Aqui queremos avaliar a probabilidade de falha da própria estrutura da

turbina, sujeita a diversas condições de mar e vento.

Neste trabalho pretende-se avaliar a confiabilidade da estrutura da turbina eólica

offhore flutuante, tipo HAWT. Para isso, é preciso primeiramente estabelecer como será

feita a modelagem da turbina, sua estrutura, e as interações dela com o meio. No

primeiro momento, foi considerada a possibilidade da montagem de um modelo

tridimensional, avaliado por elementos finitos, mas a complexidade desta análise vai

alem do problema aqui proposto. Assim, optou-se por um modelo dinâmico

simplificado, que consequentemente convergiria de forma mais rápida, usando análises

estatísticas para gerar resultados que descrevessem o comportamento da estrutura, de

forma semelhante as referências [5] e [6].

As cargas a que essas estruturas estão sujeitas são oriundas de fenômenos

naturais, como ondulações e o vento, os quais possuem caráter probabilístico, com

frequências e períodos determinados, e não momentos específicos para ocorrerem. Por

isso, uma análise probabilística se torna ainda mais adequada para esse problema.

Neste modelo simplificado será avaliada a dinâmica em somente duas

dimensões. Haverá uma base rígida que terá um movimento de rotação e translação

vertical imposto pela movimentação do mar, de forma idealizada onde a movimentação

da base acompanhará perfeitamente as ondulações. É claro que, no caso real, a base está

fixada ao solo através de cabos e por isso a torre não vai acompanhar perfeitamente o

balanço imposto pelas ondulações, mas isso será levado em conta na definição das

amplitudes de onda que terão o seu valor reduzido por essa razão. Presa a essa base

teremos a torre, que será modelada como uma haste rígida de massa distribuída fixada

no centro de massa da base, ligada à mesma por uma mola torcional, com

amortecimento. Os esforços produzidos pelo vento serão modelados, primeiramente,

10

por uma força distribuída de forma linear sobre a torre e, adicionalmente, como uma

força pontual aplicada no topo da torre.

Figura 8 - Diagrama do Modelo adotado

O ponto Q marcado na Figura 8 na bola laranja é o ponto onde se encontra a

mola torcional e as reações das interações entre a torre e a base. O momento resultante

será calculado com relação a esse ponto. O Referencial A é inercial e fixo ao solo,

representado pelas direções A1 e A2 na figura. Os referenciais B e C também são

representados na figura de forma semelhante, porém fixos à base e à torre,

respectivamente.

O momento de inércia será considerado constante, apesar da rotação das pás, que

causaria uma variação nessa grandeza e, consequentemente, na quantidade de

movimento angular.

�������

�

Q

11

����� = � ! �" +�$! �" × &�

�''�() = * &+

�'''�&� = *,&+

�'-�$! �" = �.+

Logo:

�-��/ �" = �І�, − �� sin �*, �&5 Assim calculando o momento gerado pelas forças externas (a força do vento

sobre as pás representada por uma força pontual no centro de massa e a força do vento

distribuída sobre o conjunto), usando as hipóteses anteriormente descritas e sabendo que

� é o ângulo entre o referencial C e o referencial inercial A, que � é o ângulo entre o

referencial B e o referencial A e definindo ∆� = � − � chegamos à seguinte

formulação:

(-')�/ �" = (−6�∆� − 7�∆� − ������� + ��� sin � −89:(� + ∆�);3 )&5

onde Wmax é o valor da força distribuída causada pelo vento (por unidade de

comprimento) máxima e L é a distancia da base ao centro de massa.

Juntando as expressões (v) e (vi) temos:

(vii) І�, − �� sin �*, = −6�∆� − 7�∆� − ������� + ��� sin � − =>?@(AB∆A)C;

No entanto, para utilizarmos essas equações precisamos mensurar o valor da

constante 6, a rigidez torcional da mola. Para isso, a rigidez da mola foi estimada pela

rigidez da flexão de uma barra engastada, sujeita aos mesmos esforços que a torre. Esse

12

problema foi dividido, então, em duas partes que serão somadas para obtermos o

resultado final.

Figura 9 - Viga engastada [7]

Para aproximar o comportamento de uma barra engastada ao de uma mola

torcional, temos que considerar que a relação entre o deslocamento D (causado pela

força F) e a própria força F são proporcionais de acordo com a seguinte expressão:

�-'''�� = ED

Neste primeiro caso, o momento fletor numa dada seção da barra vale:

�'�F = ��G − � Assim, resolvendo para o deslocamento na ponta da barra obtemos a seguinte

relação:

��HIDHI = FJ�

HIDHI =

��G − �J�

Com as condições de contorno ∅�0� = 0LD�0� = 0 chegamos a

DM�G� = �G;3J�

Agora vamos avaliar o segundo efeito do vento sobre a torre, associado à força

distribuída:

13

Figura 10 - Força Distribuida

O momento fletor em qualquer ponto x é dado por:

F = N ��O + �′H′�QR:�

S

Onde � é a distribuição linear da força sobre a barra, medida em T �I" .

�'�F = ��G − �;3 + �(G − )I

2 + 7VWXY.

Sabendo a condição de contorno M(L) = 0 temos que a constante de integração vale

zero.

∅ = NFH

('')∅ = −�(G − )[12 + �IGI

4 − �;G3 + �[

4 + 7

Condição de contorno é ∅(0) = 0 logo:

7 = �G[12

Integrando ∅ ∶

DJ� = N∅H

14

�'''�D��J� = ��G − �_60 + �;GI

12 − �[G12 + �_

20 + �G[12 + 6

D�0� = 0 → 6 = −�G_60

DI�G� = 7�G_60J�

Pelo princípio da superposição sabemos que o deslocamento máximo é igual a:

D = DM + DI Assim:

D89: =�G;

3J� +7�G_60J�

Para que possamos estimar uma rigidez para essa barra, sabendo que a relação entre a

força aplicada e a deformação deve ser linear, vamos dividir cada termo da expressão

anterior pela força aplicada.

E = � D"

�M = �

�I = �GI2

logo:

EM = �M D1c

EI = �I D2c

E�de EM + EI2

�'-�E�de G;6J� +

7G;60J�

Agora aproximando a relação entre força e deslocamento para a relação entre

momento e ângulo temos:

15

Figura 11 - Relação força-momento

Com o valor da rigidez da mola estabelecido, podemos então seguir com o

desenvolvimento da equação diferencial em �, que pode ser resolvida usando métodos

computacionais. Agora é preciso de alguma forma tratar esse sistema levando em conta

os fenômenos probabilísticos a que ele está sujeito.

3.2 A fronteira entre os estados de falha e não falha

Para cada sistema que faz uso de variáveis aleatórias, podemos quantificar os

modos de falha do sistema usando equações de estado limite, ou condições máximas

que garantem a integridade to sistema. Essas equações são escritas de tal forma que

valores negativos representam falha e valores positivos representam a integridade (ou

não falha) do sistema avaliado. A forma mais simples desse sistema é o caso linear, em

que temos duas variáveis aleatórias, independentes do tempo. Chamaremos de R a

�-�

16

variável aleatória de resistência e de S a variável aleatória da solicitação, onde a

equação de contorno passa a ser [2]:

�-'� G=R-S

Onde G descreve o estado do nosso sistema. Se G for positivo o sistema está

integro. Caso contrário ele quebra. Esse pode ser o caso, por exemplo, de quando vamos

avaliar a resistência de uma tábua de uma ponte. Existe uma aleatoriedade ou, ao

menos, uma distribuição de probabilidade correspondente ao peso das pessoas, carros e

cargas que passaram por cima de cada tábua, solicitando-a. Da mesma forma, cada

tábua tem a sua resistência, dependendo da espessura do seu corte, da forma com que

foi pregada, das falhas na própria formação da madeira etc.

Para resolver este problema, se considerarmos que tanto a resistência R quanto a

solicitação S seguem distribuições normais, a solução analítica se torna bastante

simples. R possui valor médio de 4.5 e variância de 1 e S com valor médio de 3.0 e

variância de 1:

G= R(4.5 , 1) – S(3.0 , 1)

Calculando o índice de confiabilidade � temos:

� = �4.5 − 3)h(1 + 1)

� = 1.5√2

� = 1.06066017

Jogando � na função de distribuição cumulativa normal padrão Φ (tabela em

anexo):

Φ(−�) = 1 − 0.8554

17

Φ�−�� = 0.1446

Assim chegamos à probabilidade de falha analítica de 14.46%

Agora vamos avaliar a probabilidade de falha usando o método de Monte-Carlo.

O método Monte Carlo é definido como “uma classe de métodos estatísticos que se

baseiam em amostragens aleatórias massivas para obter resultados numéricos, isto é,

repetindo sucessivas simulações em um elevado numero de vezes, para calcular

probabilidades heuristicamente”[17]. No caso geraremos valores de R e S

aleatóriamente de acordo com as suas distribuições e plotaremos os resultados em um

gráfico, marcando de verde os pares de valores que não produzem falha, e em vermelho

os que falham.

Figura 12 - Fronteira linear de Falha/não falha

Como pode ser visto no gráfico, é estabelecida uma curva (no caso uma reta) que

define a região de falha com clareza. Aqui foi arbitrado que se G, a expressão da força

resultante, for negativa, o sistema falha. Ao avaliarmos ao longo das simulações o

18

número de falhas divididas pelo numero de iterações, quantificamos a probabilidade de

falha do sistema. Nesse caso, como estamos usando duas distribuições normais,

podemos facilmente comparar o resultado analítico com o resultado obtido pela

simulação.

Figura 13 - Convergência por Monte Carlo

Pode-se observar no gráfico acima que o valor encontrado pelo modelo é

validado pela metodologia analítica a partir de aproximadamente 10,000 iterações,

chegando ao valor exato quando o número de iterações tender ao infinito. No caso,

encontramos o valor de 0.1452 ou 14.52% de probabilidade de falha, um erro de 0.0006

quando comparado com o valor analítico.

No entanto, existem casos onde a solução analítica do problema se torna muito

mais difícil, requerendo diversas aproximações e recursos. Quando as distribuições de

probabilidade não são mais normalizadas e a relação entre variáveis é não linear, torna-

19

se muito mais complicado chegar a um valor de probabilidade de falha analiticamente.

Usando Monte Carlo, podemos resolver esses problemas com uma razoável facilidade.

Para ilustrar, temos aqui o caso da análise de falha de um sistema que tem seu

comportamento descrito pela função:

� = 6;k

Onde F é uma função normal de média 100 e desvio padrão de 40, e K possui

distribuição uniforme entre 1.5 e 3. Assim, abaixo temos a fronteira de estados,

considerando que se X for maior que 10 o sistema falha.

Uma alternativa proposta na literatura para resolver problemas em casos como

esse é o Método de Confiabilidade de Primeira Ordem. Esse método faz uso da

transformação de Hassofer e Lind [2], normalizando as variáveis aleatórias usadas. Com

as variáveis aleatórias normalizadas, busca-se encontrar a região de menor distância

entre a curva limite e a origem e, na sequência, faz-se uma aproximação linear da região

de estado limite. Essa seria a alternativa analítica para se resolver esse nosso exemplo,

mas já é um método mais complexo e, por não ser o foco deste trabalho, não será

explicitado.

Seguem abaixo os gráficos para a análise do sistema � = 6;k de acordo com o

método de Monte Carlo. No caso, vemos que a probabilidade de falha do sistema tende

a 41.23%

20

Figura 14 - Fronteira de estado falha/não-falha não linear

Figura 15 - Convergência não linear por Monte Carlo

Vimos claramente que, fazendo uso de pouco esforço computacional, chegamos

ao valor da probabilidade de falha e traçamos a região de estado limite não linear. No

entanto, existem duas questões que aceleram as análises nesses exemplos.

21

Primeiramente, esses modelos foram montados com probabilidades de falha

altas, de tal forma que o sistema convergisse mais rapidamente. Quanto menor for a

probabilidade de falha, mais demorada será a simulação para poder encontrá-la. Em

segundo lugar, eles ainda são bastante simples. Na medida em que o sistema se torna

mais complexo, encontrar a curva do estado limite passa a ser um processo bem

demorado. Por exemplo: o tempo necessário para se avaliar o comportamento da

estrutura da turbina eólica para uma única amostragem das variáveis aleatórias, no

modelo simplificado anteriormente descrito, leva aproximadamente 5 segundos. Se

considerarmos que é necessário plotar cem mil pontos para termos a convergência da

probabilidade de falha, serão necessários 500 mil segundos ou 138.9 horas para resolver

esse problema, ou seja, rapidamente o método de Monte Carlo simples pode se tornar

inviável.

3.3 Amostragem por importancia

Amostragem por importancia é uma variação do método Monte Carlo que busca

estimar propriedades de uma distribuição probabilística, gerando valores usando uma

outra distribuição, diferente da de interesse [3].

No caso do método comum, o valor médio da função f(x) calculado a partir de

amostras é dado pela seguinte expresão:

Jlm�k�n = Nm��o��H ≈ 1Wqm(r)

�

reM

Onde cada valor de r foi gerado de acordo com a mesma distribuição que a

variável aleatória k, a densidade de probabilidade que chamaremos de o. A ideia do

amostragem por importancia é escolher uma outra distribuição s diferente de o para

selecionar os valores de r e assim conseguir uma convergência mais rápida para o

nosso problema. Assim:

22

Jlm�k�n = Nm��o��H

Multiplicando por d�:t�d�:t�

Jlm�k�n = N um�� o��s��v s��H ≈ 1Wq

m(r)s(r) s(r)

�

reM

Figura 16 - Deslocamento do espaço amostral para a região de interesse

Neste segundo caso, os valores de r são escolhidos de acordo com a densidade de

probabilidades(r). O termo �() = w(:)d(:) é chamado de “importance weight” e

funciona como o fator de ponderação nessa nova expressão. O gráfico acima

exemplifica a metodologia de forma mais clara. Enquanto os valores tirados de acordo

com a distribuição p (em verde) estão bem distantes da região de interesse, ou seja, na

região onde f(x) possui valores mais significantes, os valores tirados de acordo com a

distribuição q descreverão o valor de f(x) mais rapidamente e, consequentemente,

levarão a uma convergência mais rápida ao valor da função: m(k)xxxxxx = ym()o()H. No

23

entanto é e importante lembrar que quanto melhor a distribuição q for escolhida mais

rápida será a convergência [15]

Figura 17 - Comparação de Monte Carlo com Amostragem por importancia

Na prática, ao comparar os resultados do método Monte Carlo tradicional e o mesmo

com a amostragem por importancia fica clara a eficiência do método exemplificado em

mais um problema do tipo R-S>0. No entanto, é preciso lembrar que se deve ter atenção

na seleção dessa distribuição de probabilidade q, porque se for mal escolhida, ela pode

piorar a convergência ao invés de acelerar.

3.4 Avaliação do Modelo

Para testar o modelo usamos como referência para os dados de entrada o livro

Wind Power Plants [1]. A frequência média das ondulações escolhida para os testes é

de 0.01 Hz e a amplitude média é de 0.5 metro.

24

Constantes Valores estabelecidos

Gravidade 9,8 m/s2

Massa 40 ton

Comprimento da torre 40 m

Módulo de Elasticidade 80x109 Pa

Raio da torre 2 m

Inércia do pendulo

invertido 2.137x107 kg.m2

Tabela 1 - Constantes do Problema

Com esses valores o nosso modelo foi testado e os primeiros gráficos gerados. O

resultado (nos gráficos abaixo) é de acordo com o esperado, com duas frequências de

oscilação podendo ser observadas no comportamento da estrutura. A primeira, a

frequência natural de oscilação da nossa estrutura z� = {6 �" que é a maior das duas, e

uma segunda que corresponde a frequência de oscilação imposta pelas ondas. Pode-se

notar também que o valor médio da oscilação é aproximadamente -1º. Esta média

ligeiramente negativa deve-se ao efeito dos ventos impostos sobre a estrutura. Também

pode-se perceber a diminuição na amplitude das oscilações com o passar do tempo

devido ao amortecimento. Este efeito se dá porque no gráfico estamos observando

somente a região transiente, onde o sistema ainda não atingiu o equilíbrio. Esta região

será levada em conta nestas análises porque as estruturas estão sujeitas a rajadas de

ventos e aqui não estamos avaliando a vida em fadiga das estruturas.

25

Tabela 2 - Exemplo de resultado (Theta) do modelo matemático

Esses resultados obtidos são bastante coerentes com o esperado pelas condições

impostas pelo mar e vento e, assim, gráficos desse tipo serão usados para avaliar a

primeira condição de falha do sistema, onde, se o angulo de inclinação da torre (theta)

ultrapassar de 15 graus, consideraremos que a torre colapsou, e que a estrutura como um

todo caiu.

Haverá também um segundo gráfico que será levado em conta nas nossas

análises, que mostrará o ângulo da torre relativo ao ângulo da base. Já nesse gráfico

temos o resultado mostrado no gráfico anterior porem subtraído o comportamento

oscilatório da base. Assim, chegamos ao nosso segundo critério de falha, onde, se o

ângulo entre a base e a torre ultrapassar 7 graus, consideraremos que a torre rompeu da

base e assim houve o colapso da estrutura.

26

Tabela 3 - Exemplo de resultado (delta theta) do modelo matemático

4 Simulações

4.1 Sensibilidade das variáveis

Também foi testada a sensibilidade de cada uma das variáveis, levando-se em

conta o desvio padrão que foi escolhido para cada uma delas. Todas as variáveis do

problema foram fixadas e foi somado um incremento de 3 sigma a cada uma delas, já

que este valor corresponde ao pior caso possível em 99.7% das tentativas de acordo com

a chamada regra de 3 sigmas. As variáveis foram testadas independentemente, para

avaliar o efeito delas individualmente na amplitude de oscilação da torre, e na amplitude

relativa da torre e da base.

Segue aqui o resultado que será tido como referência de comparação para a

variação das variáveis:

27

Figura 18 - Resultados de referencia

28

Figura 19 - Variação da amplitude (0.5 m para 1.4 m)

29

Figura 20 - Variação da frequência (0.01 Hz para 0.016 Hz)

30

Figura 21 - Variação da Rigidez (5.89e+07 N/rad para 5.59e+07 N/rad)

31

Figura 22 - Variação do momento do vento 40.000 Nm para 160.000 Nm

32

Com esses valores de desvio padrão fica claro que os parâmetros que mais

influenciam a amplitude de oscilação da torre (theta) são:

1. A amplitude 2. A frequência 3. A força do vento 4. A rigidez

4.2 Primeiro critério de Falha

Nesta primeira análise, só um dos critérios de falha foi levado em conta. Se o

ângulo da oscilação da torre for maior que 15 graus, a estrutura falha. A análise de

Monte Carlo levou ao seguinte resultado para 600 iterações usando as seguintes

condições:

Variavel Média Desvio padrão

Amplitude de Onda 0.5 metros 0.3

Frequência de Onda 0.01 Hz 0.002

Momento do Vento

Força pontual -40.000 Nm 40.000

Rigidez da Mola 5.8905 107 106

Tabela 4 - Variáveis aleatórias

33

Figura 23 - Monte Carlo no modelo de Turbina eólica

Apesar da demora para gerar os resultados ( aproximadamente uma hora) vemos

que tivemos apenas 7 falhas em 1400 iterações. Com certeza haverá demoras

significativas para obter uma convergência usando o método de Monte Carlo simples.

Avaliando o mesmo caso, mas usando a metodologia da amostragem por importancia e

assim deslocando a curva para que haja um maior número de falhas, acelerando a

convergência temos:

Variavel Média Desvio padrão

Amplitude de Onda 1.1 metros 0.3

Frequência de Onda 0.014 Hz 0.002

Momento do Vento -50.000 Nm 40.000Nm

Rigidez da Mola 5.6905 107 106

Tabela 5 - Novo espaço amostral para I.S.

Tempo

Pro

babi

lidad

e de

Fal

ha

34

Figura 24 - Probabilidade de Falha por I.S. critério numero 1 (Probabilidade x Tempo)

Neste caso, fica claro que, para o mesmo tempo de processamento e para o

mesmo número de iterações, a metodologia da amostragem por importancia chega a

uma convergência muito mais rápida no valor de aproximadamente 0.2%.

4.3 Segundo critério de falha

Tempo

Pro

babi

lidad

e

35

Figura 25 - Probabilidade de falha I.S. critério numero 2

Já o segundo critério de falha, o qual leva em conta a movimentação relativa

entre a torre e a base por si só, converge para um valor muito maior do que o do

primeiro critério, levando a falha da estrutura a aproximadamente 2% dos casos.

Pro

babi

lidad

e

Tempo

36

4.4 Dois critérios sobrepostos

Figura 26 - Probabilidade de falha I.S. dois critérios sobrepostos

Ao observarmos o modelo rodado levando-se em conta ambos os critérios,

vemos que o nosso gargalo de projeto, com essas distribuições, é o segundo critério de

falha, já que quando os dois critérios são sobrepostos o resultado é praticamente

idêntico ao resultado do segundo critério sozinho.

5 Análise de resultados

Resumindo os resultados encontrados nessas análises, vemos que as variáveis

que mais influenciam a probabilidade de falha são as condições de mar. Quando

testamos a sensibilidade da flutuação da amplitude e a frequência da onda incidente nas

amplitudes de oscilação da torre (tanto a absoluta quanto a relativa), vemos que

qualquer variação causa forte impacto. Nos piores casos de projeto com 99% de

probabilidade, cada uma dobrou ou triplicou a amplitude de oscilação. Isso demonstra a

necessidade de se conhecer bem o comportamento ondulatório da região onde serão

instaladas as turbinas, para garantir a integridade física da estrutura.

Pro

babi

lidad

e

Tempo

37

A força do vento não aparentou ter grande influência na amplitude de oscilação

perante o efeito causado pelo mar. O valor do momento gerado pela força pontual do

vento foi de 40.000 Nm, podendo chegar a um valor máximo de 160.000 Nm. Muito

possivelmente, esses valores da força gerada pelo vento estão muito pequenos, já que

foram estimados de forma arbitrária. De qualquer forma, por ser um esforço constante a

cada iteração, o valor da força só irá deslocar o valor médio de do ângulo de inclinação

da torre, sem influenciar diretamente no comportamento oscilatório (i.e., na amplitude

ou frequência de oscilação).

A rigidez da mola torcional foi estimada de acordo com o modelo anteriormente

descrito de uma barra engastada, aproximando a flexão da barra com a rotação da torre

e, por isso, deve representar de forma aproximada a realidade. No entanto, é bastante

difícil estabelecer o valor do desvio padrão mais adequado para esta variável sem

conhecer especificamente a metodologia construtiva, o material utilizado, e a estrutura

do projeto em si. Como esse é um parâmetro estrutural crucial na análise, foi decidido

que ele teria um desvio padrão baixo, na crença de que isso representaria a realidade de

forma mais próxima.

O primeiro critério de falha que foi avaliado usando a metodologia da

amostragem por importancia apresentou probabilidade de falha bastante baixa, em torno

de 0.2%. Já o segundo apresentou uma probabilidade de falha uma ordem de grandeza

maior, em torno de 2%. O segundo critério representa o maior risco de falha, por conta

do comportamento relativo entre a base e a torre. É mais uma demonstração de que os

parâmetros mais importantes no projeto dessas turbinas são os relativos às ondulações

incidentes.

No entanto, esses critérios precisam ser reavaliados à luz do projeto real para

sabermos de fato qual é a angulação que causaria falha do sistema, mantendo mais uma

38

vez em mente os parâmetros construtivos que vão contribuir na definição da

probabilidade de falha.

Agora, o que isso quer dizer quando falamos da construção das turbinas eólicas

offshore? A nossa capacidade de mensurar a probabilidade de falha de uma estrutura

que está sujeita a esforços aleatórios, com agilidade é de grande utilidade. O construtor

da turbina tem sob o controle dele a forma com que será projetada a base e a torre, logo,

ele controla a “rigidez da mola” no nosso modelo. Assim, sabendo-se também o desvio

padrão do seu processo, ele pode chegar ao valor da probabilidade de falha de um tipo

de turbina eólica, dadas as condições de mar e vento no local. Assim, diferentes

produtos, com diferentes preços e diferentes probabilidades de falha, podem ser

projetados reduzindo o custo de fabricação e adicionando competitividade ao produto

no mercado.

6 Conclusões e observações para análises futuras

Conclui-se que a metodologia de Amostragem por importancia acelera muito a

convergência das análises do tipo Monte Carlo. Podemos mensurar a confiabilidade de

uma estrutura vendo a probabilidade de falha dela diante das condições aleatórias

impostas. Vemos uma poderosa ferramenta para garantir a eficiência do projeto,

podendo, assim, reduzir fatores de segurança, fornecendo projetos mais baratos, porém

sem aumentar a periculosidade do projeto.

Neste trabalho, tanto o modelo da turbina eólica como os critérios de falha foram

bastante simplificados. Todos os efeitos das pás foram desprezados, e o modelo foi

reduzido para só duas dimensões. Para uma descrição mais fidedigna dos fenômenos,

seria necessário aplicar um modelo dinâmico mais elaborado, de três dimensões, que

leve em conta a movimentação das pás.

39

Também é sabido que a movimentação da base não acompanhará perfeitamente

a movimentação das ondas, então muito possivelmente estes resultados das oscilações

são exagerados, já que a onda marítima não conseguiria impor tamanha amplitude de

oscilação à base da torre.

Neste modelo, também só foi variada a força do vento pontual, enquanto o efeito

da força distribuída foi mantido constante. Essa modelagem pode ser melhor

desenvolvida, já que os ventos não necessariamente variam de forma linear com a

altura. Da forma com que este modelo foi estabelecido, a velocidade do vento aumenta

indefinidamente de forma linear com a altura. Então, a força pontual se mantém

constante independentemente da altura da torre e a força distribuída aumenta

indefinidamente com a altura.

Esses pontos podem ser levados em conta em trabalhos futuros, melhorando o

modelo utilizado.

40

7 Referências

[1] GASCH, R.; TWELE, J. Wind Power Plants. 2nd Edition. Berlin. Springer. 2011.

[2] BECK, A.T. Método de confiabilidade de primeira ordem. 2002. Artigo técnico –

Engenharia de Estruturas, EESC, USP, 2002.

[3] ANDERSON, E.; Monte Carlo Methods and Importance Sampling.

<http://ib.berkeley.edu/labs/slatkin/eriq/classes/guest_lect/mc_lecture_notes.pdf>.

Acesso em 4 Jan. 2014.

[4] MARINHO, M.H.N.; AQUINO, R. R. B. Oferta de energia através da

complementaridade sazonal hidro-eólica. 2011. Artigo técnico presente na Revista PCH

Notícias & SHP NEWS - Número 40.

[5] PHILLPIS J.L.; MORGAN, C.A.; JACQUEMIN, J.; Evaluating O&M strategies for

offshore wind farms through simulation – the impact of wave climatology. Artigo

técnico da Garrad Hassan and Partners.

[6] TAKOUDIS, G. Development of a Monte Carlo model for assessing offshore Wind

farm cable reliability and the worth of redundance. 2004. 123 f. Dissertação de

Mestrado – Department of Mechanical Engineering, University of Strathclyde,

Galsgow, U.K. 2004.

[7] MARVIN SC. Disponível em: <http://www.angelfire.com/planet/marvinsc/cme/

node23.html>. Acesso em: 13 Dez. 2013 .

[8] RENEWABLE ENERGY SOURCES. Disponivel em: <http://www.renewable-

energysources.com/>. Acesso em 4 Jan. 2014.

[9] CBC. Disponivel em: <http://www.cbc.ca/doczone/features/timeline1>. Acesso 6

Jan. 2014.

41

[10] ENERGY. Disponivel em: < http://energy.gov/eere/history-wind-energy>. Acesso

6 Jan. 2014.

[11] WIND ENERGY FOUNDATION. Disponivel em: < http://energy.gov/eere/

history-wind-energy>. Acesso 6 Jan. 2014.

[12] TELOS NET. Disponivel em: < http://telosnet.com/wind/early.html>. Acesso 6

Jan. 2014.

[13] IOWA ENERGY CENTER. Disponivel em: < http://www.iowaenergycenter.org/

wind-energy-manual/history-of-wind-energy/>. Acesso 6 Jan. 2014.

[14] CRESESB. Disponivel em <http://www.cresesb.cepel.br/index.php?

link=/tutorial/tutorial_eolica.htm>. Acesso 6 Jan. 2014

[15] CORNELL. Disponivel em: <http://mpdc.mae.cornell.edu/

Courses/UQ/ImportanceSampling.pdf>. Acesso em 15 Dez. 2013.

[16] WIKIPEDIA. Disponivel em: <http://en.wikipedia.org/wiki/Wind_turbine/>.

Acesso 6 Jan 2014.

[17] WIKIPEDIA. Disponivel em:

<http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Monte_Carlo >. Acesso 6 Jan. 2014

[18] CALFINDER. Disponivel em:< http://solar.calfinder.com/blog/wind-

power/despite-controversy-first-us-offshore-wind-farm-approved/>. Acesso 6 Jan 2014

42

8 Anexo

8.1 Código de programação Monte Carlo e Amostragem por

importancia

clear all close all clc pause on %-------------------------------------------------- ----------------------- % Declaração de variaveis globais %-------------------------------------------------- ----------------------- global P I l k c Fv Fd f m omega nsMC= 2500; %---------------- % % Direct Monte Carlo simulation % m=40000; %massa equivalente % g=9.8; %gravidade % l=40; %comprimento % c=100000; %amortecimento % gr=15; %graus iniciais % E=80*10^9; %módulode elasticidad e % r=2; %raio % i=pi*r^4/4; %inércia da secção % I=m/3*l^2+m/4*r^2; %Inércia de pendulo i nvertido % P=m*g; %Força peso % % % mf=0.5; % sf=0.3; % mfrq=0.01; % sfrq=0.002; % mk=5.8905e+07; % sk=10e+5; % mFv=-1000*l; % sFv=1000*l; % mFd=-25*(l)^3/3; % sFd=10000; % %initializing the STATE of the random variables % randn('state',0) % rand('state',0) % for cont_i=1:nsMC % f=normrnd(0.5,0.3); %Amplitude da ond ulação % frq=normrnd(0.01,0.002); %frequencia % omega=2*pi*frq; %frq. em radianos % k=normrnd(mk,sk); % rigidez, considerando mass a concentrada em x=L % Fv= normrnd(-1000*l,1000*l); %Força do vento pontual % Fd=mFd; %Força do vento distribuida % % fc(cont_i)=f; % frqc(cont_i)=frq; % kc(cont_i)=k; % Fvc(cont_i)=Fv; % Fdc(cont_i)=Fd;

43

% %------------------------------------------------ ----------------- % %------------------------------------------------ ---------------- % graus=0; % y_0 = graus*pi/180; % deslocamento % dy_0 = 0; % velociadade 1 1.2 1.5 2 % % Tempo de integração % tspan=0:.002:300; % %------------------------------------------------ ------------------------- % % % % %------------------------------------------------ ------------------------- % % Calculo da dinâmica usando função ode45 % [t,y] = ode45('sub_edoPEN4',tspan,[y_0;dy_0]); % x=y(:,1); % deslocamento % dx=y(:,2); % velocidade % % %------------------------------------------------ ------------- % % resultados % temp=0:0.002:300; % y=atan(f*2*pi*frq*cos(2*pi*frq*temp)); % % if sqrt(max(x)^2)>=sqrt(min(x)^2) % % if max(x)*180/pi>15 % h(cont_i)=1; % else % h(cont_i)=0; % end % % else % if min(x)*180/pi<-15 % h(cont_i)=1; % else % h(cont_i)=0; % end % end % % ns(cont_i) = cont_i; % pF(cont_i) = sum(h)/cont_i; % % end % % figure % % plot([0 20],[0 20],'r') % % hold on % % plot(r,s,'.k') % % xlabel('r (resistence)','fontsize',16) % % ylabel('s (solicitation)','fontsize',16) % % legend('s=r',2) % % figure % plot(ns,pF) % % % % %---------------- % Importance Sampling simulation clear r s h ns m=40000; %massa equivalente g=9.8; %gravidade

44

l=40; %comprimento c=100; %amortecimento gr=15; %graus iniciais E=80*10^9; %módulode elasticidade r=2; %raio i=pi*r^4/4; %inércia da secção I=m/3*l^2+m/4*r^2; %Inércia de pendulo invertido P=m*g; %Força peso mf=0.5; sf=0.3; mfrq=0.01; sfrq=0.002; mk=5.8905e+07; sk=10e+5; mFv=-1000*l; sFv=10000; mFd=-25*(l)^3/3; sFd=10000; % initializing the STATE of the random variables randn( 'state' ,1) rand( 'state' ,1) m1=1.1; s1=0.3; m2=0.014; s2=0.002; m3=-1000*l-10000; s3=10000; m4=5.8905e+07-2*10^6; s4=10e+5; %m5=-25*(l)^3/3-10000; %s5=10000; m11=0.5; s11=0.3; m22=0.01; s22=0.002; m33=-1000*l; s33=10000; m44=5.8905e+07; s44=10e+5; m55=-25*(l)^3/3; %s55=10000; for cont_i=1:nsMC f=normrnd(m1,s1); %Amplitude da ondulação frq=normrnd(m2,s2); %frequencia omega=2*pi*frq; %frq. em radianos k=normrnd(m4,s4); % rigidez, considerando massa concentrada em x=L Fv=normrnd(m3,s3); %Força do vento pontual Fd=m55; %Força do vento distribuida fc(cont_i)=f; frqc(cont_i)=frq; kc(cont_i)=k; Fvc(cont_i)=Fv; %Fdc(cont_i)=Fd; %-------------------------------------------------- ---------------

45

%-------------------------------------------------- -------------- graus=0; y_0 = graus*pi/180; % deslocamento dy_0 = 0; % velociadade 1 1.2 1.5 2 % Tempo de integração tspan=0:.002:200; %-------------------------------------------------- ----------------------- %-------------------------------------------------- ----------------------- % Calculo da dinâmica usando função ode45 [t,y] = ode45( 'sub_edoPEN4' ,tspan,[y_0;dy_0]); x=y(:,1); % deslocamento dx=y(:,2); % velocidade A(1,cont_i)=max(x); A(2,cont_i)=min(x); %-------------------------------------------------- ----------- % resultados temp=0:0.002:200; Q=atan(f*2*pi*frq*cos(2*pi*frq*temp)); if sqrt(max(x)^2)>=sqrt(min(x)^2) if max(x)*180/pi>20 h(cont_i)=1; else h(cont_i)=0; end else if min(x)*180/pi<-20 h(cont_i)=1; else h(cont_i)=0; end end if max((Q-x')*180/pi) >= 12 h(cont_i)=1; else h(cont_i)=0; end if min((Q-x')*180/pi)<= -12 h(cont_i)=1; end ns(cont_i) = cont_i; % likelihood da distrbuicao original ff=normpdf(fc(cont_i),m11,s11); %Amplitude da ondulação ffrq=normpdf(frqc(cont_i),m22,s22); %frequencia

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fk=normpdf(kc(cont_i),m44,s44); % rigidez, considerando massa concentrada em x=L fFv= normpdf(Fvc(cont_i),m33,s33); %Força do vento pontual %fFd= normpdf(Fdc(cont_i),m55,s55); %Força do ven to distribuida % likelihood da distrbuicao proposta hf=normpdf(fc(cont_i),m1,s1); %Amplitude da ondulação hfrq=normpdf(frqc(cont_i),m2,s2); %frequencia hk=normpdf(kc(cont_i),m4,s4); % rigidez, considerando massa concentrada em x=L hFv= normpdf(Fvc(cont_i),m3,s3); %Força do vento pontual % hFd= normpdf(Fdc(cont_i),m5,s5); %Força do ve nto distribuida %fr=exp(-.5*(r(cont_i)-m1)'*((s1^2)\(r(cont_i)-m1)) ); %hr=exp(-.5*(r(cont_i)-m3)'*((s3^2)\(r(cont_i)-m3)) ); w(cont_i)=(ff*ffrq*fk*fFv)/(hf*hfrq*hk*hFv); pF2(cont_i) = sum(h.*w)/cont_i; end % % % figure % % plot([0 20],[0 20],'r') % % hold on % % plot(r,s,'.k') % % xlabel('r (resistence)','fontsize',16) % % ylabel('s (solicitation)','fontsize',16) % % legend('s=r',2) % figure %subplot(1,2,1) %plot(ns,pF) %subplot(1,2,2) plot(ns,pF2) % %axis([0 nsMC 0 0.04]) %

8.2 Função Sub_edoPEN4

function dy = sub_edoPEN4(t,y) global P I l k c Fv Fd f m omega G=f*sin(omega*t); Gp=f*omega*cos(omega*t); Gpp=-f*omega^2*sin(omega*t); Tb=atan(Gp); Tbp=(Gpp)/(Gp^2+1); dy= [ y(2); (P+m*Gpp)*sin(y(1))*l/I-k*y(1)/I-(c)*y(2)/I+k*Tb/I+c*Tbp/I] + [0;(Fv+Fd)/I]; end

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8.3 Tabela de distribuição normal