uso do modelo do erro de aproximaÇÃo para...
TRANSCRIPT
USO DO MODELO DO ERRO DE APROXIMAÇÃO PARA ESTIMATIVA DE
FLUXO DE CALOR NA USINAGEM POR BRUNIMENTO
Maycon Cesar Figueira Magalhães
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Mestre em
Engenharia Mecânica.
Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande
Rio de Janeiro
Outubro de 2014
USO DO MODELO DO ERRO DE APROXIMAÇÃO PARA ESTIMATIVA DE
FLUXO DE CALOR NA USINAGEM POR BRUNIMENTO
Maycon Cesar Figueira Magalhães
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA
(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Marcelo José Colaço, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Gilmar Guimarães, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
OUTUBRO DE 2014
iii
Magalhães, Maycon Cesar Figueira
Uso do Modelo do Erro de Aproximação para
Estimativa de Fluxo de Calor na Usinagem por
Brunimento/ Maycon Cesar Figueira Magalhães. – Rio de
Janeiro: UFRJ/COPPE, 2014.
XV, 82 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande
Dissertação (Mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Mecânica, 2014.
Referências Bibliográficas: p. 79-82.
1. Problemas Inversos. 2. Erro de Aproximação. 3.
Inferência Bayesiana. 4. Fluxo de Calor. I. Orlande,
Helcio Rangel Barreto. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III.
Título.
iv
Agradecimentos
Agradeço a Deus e a todos que me ajudaram neste trabalho.
v
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
USO DO MODELO DO ERRO DE APROXIMAÇÃO PARA ESTIMATIVA DE
FLUXO DE CALOR NA USINAGEM POR BRUNIMENTO
Maycon Cesar Figueira Magalhães
Outubro/2014
Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande
Programa: Engenharia Mecânica
Neste trabalho, investiga-se a aplicabilidade da abordagem Bayesiana com erro
de aproximação para compensar a discrepância entre modelos bidimensional e de
parâmetros concentrados, a fim de estimar o fluxo de calor gerado em ferramenta de
corte durante processo de brunimento. A técnica de transformada integral clássica
(CITT) é utilizada para resolver o problema Bidimensional de condução de calor. O
problema inverso de estimativa de fluxo de calor é resolvido pelo método de Monte
Carlo via Cadeias de Markov. A solução do problema inverso, com modelo reduzido
para o problema direto e o uso do modelo de erro de aproximação, apresenta custo
computacional baixo e excelente concordância com a função exata do fluxo de calor.
vi
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
USE OF APROXIMATION ERROR MODEL TO ESTIMATE THE HEAT FLUX IN
HONING PROCESS
Maycon Cesar Figueira Magalhães
October/2014
Advisor: Helcio Rangel Barreto Orlande
Department: Mechanical Engineering
In this work, we investigate the applicability of the Bayesian approximation
error approach to compensate the discrepancy between a two-dimensional and a lumped
model, to estimate the heat flux over a cutting tool during the process of honing. The
Classical Integral Transform Technique (CITT) is used to solve the two-dimensional
problem. The inverse problem of estimating heat flux is solved with the Markov Chain
Monte Carlo method. The solution of inverse problem, by using the reduced model for
the direct problem and approximation error model, is obtained with a quite reduced
computational cost and shows as excellent agreement with the exact functional form of
the heat flux.
vii
SUMÁRIO
1 Introdução.................................................................................................................. 1
2 Revisão Bibliográfica ................................................................................................ 3
2.1 Inferência Bayesiana .......................................................................................... 3
2.1.1 Problemas Inversos em Usinagem .............................................................. 5
2.1.2 Modelo do Erro de Aproximação ............................................................... 8
3 Problema Físico e Formulação Matemática ............................................................ 12
3.1 Problema Físico ............................................................................................... 12
3.2 Formulação Matemática .................................................................................. 13
3.2.1 Modelo Completo-Bidimensional ............................................................ 14
3.2.2 Grupos Adimensionais ............................................................................. 16
3.2.3 Modelo Reduzido –Parâmetros Concentrados ......................................... 17
4 Solução do Problema Direto ................................................................................... 19
4.1.1 Solução Analítica Problema Bidimensional-Modelo Completo .............. 19
4.1.2 Solução Analítica Parâmetros Concentrados-Modelo Reduzido.............. 22
5 Problema inverso ..................................................................................................... 23
5.1 Problema Inverso ............................................................................................. 23
5.1.1 Inversão Estatística ................................................................................... 23
5.1.2 Modelo de Erro Convencional .................................................................. 24
5.1.3 Modelo de Erro de Aproximação ............................................................. 25
5.1.4 Algoritmo Metropolis-Hastings- MCMC ................................................. 28
6 Resultados ............................................................................................................... 30
6.1 Problema direto ................................................................................................ 30
6.1.1 Comparação do Modelo Bidimensional com o Modelo de Parâmetros
Concentrados ........................................................................................................... 32
6.2 Análise de Convergência Estatísticas do Erro de Aproximação ...................... 35
6.3 Problema Inverso ............................................................................................. 39
6.3.1 Caso-teste 1- Estimativa de Função com Modelo Reduzido e Erro de
Aproximação ........................................................................................................... 40
6.3.2 Caso-teste 2 - Estimativa de Função com Modelo Completo e Erro
Convencional. .......................................................................................................... 52
6.3.3 Caso teste 3 - Estimativa de Função com Modelo Reduzido e Erro
Convencional. .......................................................................................................... 57
6.3.4 Caso-teste 4- Estimativa de Função com Modelo Completo e de Erro de
Aproximação Utilizando Fluxo Desconhecida. ...................................................... 59
6.3.5 Caso-teste 5 - Estimativa de Função com Modelo Completo e de Erro de
Aproximação Utilizando Fluxo Desconhecida com Alto de Desvio Padrão .......... 66
6.3.6 Caso-teste 6 - Estimativa de Função com Modelo Completo e de Erro de
Convencional. .......................................................................................................... 72
viii
7 Conclusões e Sugestões ........................................................................................... 77
ix
Índice de Figuras
Figura 3.1 Descrição do movimento do cabeçote de brunimento. [6] ............................ 12
Figura 3.2 Representação do problema físico: (a) Condição de contorno na ferramenta;
(b) Seção transversal da ferramenta; (c) Condição de simetria na ferramenta. [6] ........ 14
Figura 3.3 Posições que serão analisada ao longo da ferramenta. .................................. 15
Figura 3.4 Representação do Problema Físico por Parâmetros Concentrados. [6] ........ 17
Figura 6.1 Função Brunimento. ...................................................................................... 31
Figura 6.2 Diferença de temperatura entre modelos posição na (0.0) . .......................... 33
Figura 6.3 Diferença de temperatura entre modelos na posição (0, 0.5). ....................... 34
Figura 6.4 Diferença de temperatura entre modelos na posição (0,1). .......................... 34
Figura 6.5 Convergência da média do erro de aproximação na posição (0,0). .............. 36
Figura 6.6 Convergência das médias do erro de aproximação na posição (0,0.5). ........ 36
Figura 6.7 Convergência da média do erro de aproximação na posição (0,1). .............. 37
Figura 6.8 Convergência do traço da matriz de covariância na posição (0,0). ............... 37
Figura 6.9 Convergência do traço da matriz de covariância na posição (0,0.5). ............ 38
Figura 6.10 Convergência do traço da matriz de covariância na posição (0,1). ............. 38
Figura 6.11 Estimativa do fluxo de calor na posição (0,0). ............................................ 41
Figura 6.12 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 1,292 .................................... 41
Figura 6.13 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2,584. ................................... 42
Figura 6.14 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =3,876. .................................... 42
Figura 6.15 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =5,168. .................................... 43
Figura 6.16 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,0.5). ........................................ 44
Figura 6.17 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 1,292. ................................... 44
Figura 6.18 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2,584. ................................... 45
Figura 6.19 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 3,876. ................................... 45
Figura 6.20 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 5,168. ................................... 46
Figura 6.21 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,1). ............................................ 47
Figura 6.22 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 1,292. ................................... 47
Figura 6.23 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2,584. ................................... 48
Figura 6.24 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 3,876. ................................... 48
Figura 6.25 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 5,168. ................................... 49
Figura 6.26 Comparação entre medidas simuladas, exatas e estimadas na posição (0,0).
........................................................................................................................................ 50
x
Figura 6.27 Comparação entre as medidas simuladas, exatas e estimadas na posição
(0,0.5). ............................................................................................................................ 50
Figura 6.28 Comparação entre as temperaturas simuladas, exatas e estimadas na posição
(0,1). ............................................................................................................................... 51
Figura 6.29 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,0). ............................................ 52
Figura 6.30 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,0.5). ......................................... 53
Figura 6.31 Estimativa do fluxo de calor na posição (0,1). ............................................ 54
Figura 6.32 Comparação entre as temperaturas simuladas, exatas e estimadas na posição
(0,0). ............................................................................................................................... 55
Figura 6.33 Comparação entre as temperaturas simuladas, exatas e estimadas na posição
(0,0.5). ............................................................................................................................ 56
Figura 6.34 Comparação entre as temperaturas simuladas, exatas e estimadas na posição
(0,1). ............................................................................................................................... 56
Figura 6.35 Estimativa de fluxo de calor com modelo reduzido e modelo de erro
convencional. .................................................................................................................. 57
Figura 6.36 Comparação entre as temperaturas exatas, simuladas e estimadas com
modelo reduzido e modelo de erro convencional. .......................................................... 58
Figura 6.37 Função fluxo de calor desconhecido. .......................................................... 60
Figura 6.38 Convergência da média do erro de aproximação. ....................................... 60
Figura 6.39 Convergência do traço da matriz de covariância. ....................................... 61
Figura 6.40 Diferença de temperatura entre modelos completo e reduzido. .................. 61
Figura 6.41 Fluxo de calor estimado na posição (0,1).................................................... 62
Figura 6.42Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =1,292. ..................................... 62
Figura 6.43 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2.584. ................................... 63
Figura 6.44 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =3.876. .................................... 63
Figura 6.45 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 5.168. ................................... 64
Figura 6.46 Comparação entre as medidas de temperatura simuladas, exata e estimada.
........................................................................................................................................ 65
Figura 6.47 Convergência da média do erro de aproximação. ....................................... 66
Figura 6.48 Convergência do traço da matriz de covariância. ....................................... 67
Figura 6.49 Fluxo de calor estimado na posição (0,1).................................................... 68
Figura 6.50 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 1,292. ................................... 68
Figura 6.51 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2,584. ................................... 69
Figura 6.52 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 3.876. ................................... 69
xi
Figura 6.53 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 5,168. ................................... 70
Figura 6.54 Comparação entre as medidas de temperatura simuladas, exata e estimada.
........................................................................................................................................ 71
Figura 6.55 Fluxo de calor estimado na posição (0,1).................................................... 73
Figura 6.56 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 1,292. ................................... 73
Figura 6.57 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2.584. ................................... 74
Figura 6.58 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 3.876. ................................... 74
Figura 6.59 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 3.876. ................................... 75
Figura 6.60 Comparação entre as medidas de temperatura simuladas, exata e estimada.
........................................................................................................................................ 76
xii
Índice de tabelas
Tabela 6.1: Análise de convergência do Modelo Bidimensional - Equação 4.25
ϴ(X=0;Y=0,τ) ................................................................................................................. 32
Tabela6.2-Variação espacial da temperatura-Modelo Bidimensional-Equação 4.25..... 35
Tabela 6.3 Dados do problema inverso na posição (0,0). .............................................. 43
Tabela 6.4 Dados do problema inverso na posição (0,0.5). ........................................... 46
Tabela 6.5 Dados do problema inverso para a posição (0,1). ......................................... 49
Tabela 6.6 Dados do problema inverso para a posição (0,0). ......................................... 52
Tabela 6.7 Dados do problema inverso para a posição (0,0.5). ...................................... 53
Tabela 6.8 Dados do problema inverso para a posição (0.1). ......................................... 54
Tabela 6.9 Dados do problema inverso com modelo reduzido e modelo de erro
convencional. .................................................................................................................. 57
Tabela 6.10 Dados do problema inverso com modelo completo e modelo de erro de
aproximação.................................................................................................................... 64
Tabela 6.11 Dados do problema inverso com modelo completo e modelo de erro de
aproximação com 5 % de desvio padrão. ....................................................................... 70
Tabela 12 -Dados do problema inverso com modelo completo e erro convencional. .... 75
xiii
Lista de Símbolos
𝑇 - Temperatura dimensional
𝑡 - Tempo dimensional
𝑥 - Direção diensional
𝑦 - Direção dimensional
𝐿 - Dimensão lateral da ferramenta
𝑘 - Condutividade térmica
ℎ - Coeficiente de transmissão de calor
𝑇∞- Temperatura do fluido
ℎ𝑠𝑢𝑝- Coeficiente de transmissão de calor do suporte
𝑇𝑠𝑢𝑝-Temperatura do suporte
𝑋 -Coordenada adimensional no eixo “x”
𝑌 -Coordenada adimensional no eixo “y”
𝑞(𝑡)- Fluxo de calor
𝑄(𝜏) -Fluxo de calor adminensional
𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝 -Número de Biot no suporte
𝐵𝑖 -Número de Bio do fluido de cortet
𝑇𝑚𝑥 -Temperatura média na direção “x”
𝑇𝑚𝑥𝑦 -Temperatura média nas direções “x, y”
𝑐𝑝 -Calor específico da amostra
𝜌 -Massa específica da amostra
𝑁 - Integral de normalização
xiv
𝜒 -Auto função
Υ -Auto função
𝐴(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏)- Função fluxo de calor
𝐏 -Vetor de parâmetro
𝑒 - Erro aditivo
𝐘 - Temperatura simulada
M - Número de medidas
W - Matriz de covariância
𝑄𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 - Fluxo inicial
𝑈 - Número randômico
𝐷 - Matriz de diferenciação
w – Distribuição normal
xv
Letras gregas
𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙-Tempo adimensional final
𝜑𝑟𝑒𝑔 -Parâmetro de regularização
𝜔 -Razão de aceite do algoritmo de Metropolis-Hastings
𝜋 -Função densidade de probabilidade
𝛼 -Difusividade térmica
𝜃𝛿 -Modelo reduzido
𝜃𝑐-Modelo completo
𝜖- Diferença entre modelos
𝜂-Erro de aproximação
�̃̅� -Temperatura Transformada
�̅� -Temperatura Inversa
𝜏 -Tempo adimensional
𝜃 -Temperatura admensional
𝜃𝑚- Tempertura média admensional
𝛽𝑚-Auto valor na direção ‘x’
𝛾𝑛 -Auto valor na direção Y
1 INTRODUÇÃO
Indústrias de manufatura modernas exigem a otimização de todos os aspectos
envolvidos no processo de transformação da forma do material em peças úteis. Ao lidar
com corte de metal, por exemplo, o uso econômico de ferramentas de corte é
fundamentalmente baseado na sua taxa de desgaste. O desgaste da ferramenta depende
do calor produzido pela interação entre a ferramenta e o material da peça [1].
Medir a temperatura e prever a distribuição de calor em usinagem é
extremamente difícil, devido a uma estreita faixa de cisalhamento, obstáculos
fragmentados e a natureza dos fenômenos de contato onde os corpos, ferramentas, peças
e fragmentos, estão em contato contínuo e movendo-se entre si. A demanda cada vez
maior na redução de custos e melhoramento da qualidade dos produtos finais está
conduzindo a pesquisa em usinagem há novas áreas. Com isso, os temas transferência
de calor e distribuição de temperatura no metal de corte tem recebido considerável
atenção dos pesquisadores. Vários modelos analíticos foram desenvolvidos com base
em diferentes hipóteses simplificadoras, que afetam a precisão destes modelos. Métodos
numéricos também têm sido usados, o que permitiu a eliminação de muitas hipóteses
simplificadoras e consideração de parâmetros mais realistas, como as propriedades do
material que dependem da temperatura, fluxo de calor nos materiais, e condições de
contorno com [2].
Contudo, um dos processos de usinagem mais utilizados pela indústria vem
recebendo atenção especial de fabricantes e pesquisadores, o processo de brunimento.
Uma das aplicações deste processo pode ser vista na fabricação de motores de
combustão interna, onde o sistema pistão, anel, e camisa de pistão é um dos mais
importantes conjuntos tribológicos. Na fabricação de blocos de motores, o brunimento
define as características tribológicas da superfície do cilindro e seu domínio é de grande
importância para a indústria automobilística, em virtude da sua importância técnica para
o bom funcionamento e desempenho dos motores. As características da superfície
brunida dos cilindros têm forte influência na durabilidade do motor, no tempo de
amaciamento, no consumo de óleo lubrificante e de combustível [3]. Novos métodos e
processos de brunimento foram desenvolvidos visando diminuir as tolerâncias, tempo e
custo [4]. Apesar da grande relevância da superfície brunida dos cilindros e da
2
complexidade do processo de obtenção dessas superfícies, o brunimento do ferro
fundido vermicular é um campo de estudos ainda muito pouco explorado, o que se
verifica pelo reduzido número de desenvolvimentos e de publicações nessa área do
conhecimento [5] havendo ainda uma carência de estudo sobre tal processo.
Diante disso, este trabalho tem como objetivo dar continuidade ao trabalho de
[6], analisando o processo de usinagem por brunimento, ao utilizar a técnica de
problemas inversos em transferência através da abordagem do modelo de erro de
aproximação com o Método de Monte Carlo via Cadeia de Markov.
No capítulo 2 será apresentada uma revisão bibliográfica abordando trabalhos
relacionados à técnica de problemas inversos em transferência de calor e com aplicações
em processos de usinagem, e trabalhos relacionados a utilização de técnica de
problemas inversos com abordagem do modelo de erro de aproximação.
No capítulo 3 são apresentadas as formulações matemáticas do problema de
condução de calor bidimensional e por parâmetros concentrados, que são usadas aqui.
No capítulo 4 é apresentada a solução do problema direto bidimensional via
técnica de transformada integral clássica, e de parâmetros concentrados.
No capítulo 5 é apresentada da solução de problemas inverso por inferência
Bayesiana via construção de Cadeias de Markov através do Método de Monte Carlo,
para a solução do problema inverso com modelo de erro convencional e via modelagem
de erro de aproximação.
No capítulo 6 são apresentados os resultados da solução do problema direto bem
como os resultados para estimativa de temperatura e fluxo de calor com modelo de erro
convencional e com modelo do erro de aproximação.
No capítulo 7 são apresentadas as conclusões do presente trabalho e propostas
para trabalhos futuros.
3
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 Inferência Bayesiana
A seguir são apresentados alguns trabalhos encontrados na literatura que fazem
usa da técnica de problemas inversos por inferência Bayesiana.
Kaipio e Somersalo [7] apresentam um detalhado material da teoria dos métodos
estatísticos computacionais para problemas inversos, contendo uma ampla abordagem
da teoria de problemas inversos .
Mota [8],em sua tese, apresentou uma aplicação da abordagem estatística
Bayesiana para estimar simultaneamente propriedades termofisicas e o fluxo de calor
aplicado a um determinado material. Um experimento foi conduzido com objetivo de
reproduzir a situação real, onde uma amostra cilíndrica de grafite foi aquecida com um
maçarico de oxiacetileno. Medidas de temperaturas foram obtidas através de termopares
inseridos ao longo do cilindro. A solução do problema inverso foi obtida através da
minimização da função objetivo máximum a posteriori e do método de Monte Carlo via
Cadeia de Markov. Contudo, a magnitude do fluxo de calor se mostrou muito sensível a
posição do termopar e o maçarico. Já as propriedades termofisicas se mostraram
estáveis e não afetadas por isso.
Orlande et al. [9] utilizaram a abordagem Bayesiana para estimativa de
parâmetros para o problema proposto por [10], que consiste na estimativa de três
componentes de condutividade térmica de um material ortotrópico sólido em forma de
paralelepípedo. A solução do problema direto foi obtida através da técnica de
transformada integral clássica. O método de Monte Carlo via Cadeia de Markov
(MCMC) foi utilizado na solução do problema inverso para estimativa destas três
componentes da condutividade térmica. Os resultados obtidos apresentaram uma boa
concordância com os valores simulados mostrando-se estáveis para os níveis de ruídos
analisados.
Wang e Zabaras [11] apresentaram uma abordagem de inferência Bayesiana para
a solução de problemas inversos estocásticos em condução de calor. A função estimada
foi discretizada através do método de elementos finitos. A distribuição a posteriori foi
formulada utilizando o modelo de probabilidade Bayesiano, considerando o desvio
4
padrão das medidas de temperatura e o parâmetro de regularização como variáveis
randômicas. Foi utilizado o método de simulação MCMC como uma combinação da
técnica de amostragem de Metropolis-Hastings e da técnica de amostragem de Gibbs. O
algoritmo proposto obteve sucesso em exemplos numéricos de reconstrução do fluxo de
calor unidimensional transiente e de uma fonte de calor bidimensional.
Fudym et al. [12] aplicaram a técnica de inferência Bayesiana através do método
de Monte Carlo via Cadeia de Markov, com algoritmo de Metropolis-Hastings para
identificação de propriedades termofísicas espacialmente variáveis. O problema físico
consistia na transferência de calor unidimensional em uma placa composta por dois
materiais, que foi inicialmente aquecida e isolada nos contornos. Para a solução do
problema inverso a placa foi discretizada em nós, nos quais os parâmetros foram
estimados. Foi utilizada uma distribuição a priori de Campo Randômico de Markov
para a difusividade térmica e Gaussiana para a matriz de sensibilidade. Para os casos
estudados a técnica mostrou-se superior as técnicas de máxima verossimilhança e de
máxima distribuição a posteriori.
Nobrega et al. [13] usaram a inferência Bayesiana através do método de Monte
Carlo com Cadeia de Markov (MCMC) para estimativa de parâmetros em um
problema de condução de calor em filmes finos de metal, sujeitos a pulsos rápidos de
laser. Foram simultaneamente estimados o fator de acoplamento de elétron-fonon a
condutividade térmica e a capacidade térmica volumétrica do gás de elétron.
Salas et al. [14] aplicaram a técnica de inferência Bayesiana para estimar
simultaneamente as propriedades térmicas em problemas de condução de calor
envolvendo cabos de força. O problema direto foi formulado como sendo
unidimensional, separado em duas regiões diferentes devido ao alto custo
computacional. O método de Monte Carlo com Cadeia de Markov foi usado para a
emissividade térmica da superfície condutora,a condutividade térmica radial efetiva e a
capacidade térmica volumétrica de ambas as regiões do cabo.
Parthasaraty e Balaji [15] investigaram o efeito da informação a priori e dos
ruídos de medição na solução de problemas inversos de estimativa de parâmetros em
condução de calor por meio de inferência Bayesiana. Foram investigados modelos de
transferência de calor bidimensional transiente com condições de contorno convectivo e
convectivo- radiativo. A solução do problema direto foi obtida através do método de
5
diferenças finitas para o primeiro caso e através do método de elementos finitos para o
segundo caso. A solução do problema inverso foi obtida através do método de
amostragem de MCMC-Metropolis-Hasting.
2.1.1 Problemas Inversos em Usinagem
Santos et al. [16] apresentaram uma comparação entre as técnicas de problema
inverso, Seção Aurea, Especificação de Função, Simulated Annealing, e Observação
Dinâmica Baseada na Função de Green, para estimar o campo de temperatura e o fluxo
de calor gerado na interface cavaco-ferramenta, durante o processo de usinagem. O
modelo numérico baseado no método das diferenças finitas implícito apresentado por
Carvalho et al. [17] foi utilizado. Um experimento desenvolvido em laboratório foi
realizado a fim de serem comparados com os resultados estimados. Todas as técnicas
usadas apresentaram bons resultados para o fluxo de calor estimado. Já para o campo de
temperatura, os resultados apresentaram uma discrepância de até 5 % quando
comparados com os valores experimentais.
Brito et al. [18] propuseram uma estimativa do fluxo de calor e do campo de
temperatura em ferramentas de usinagem, utilizando a técnicas de problemas inversos,
em conjunto com o software COMSOL MULTIPHISYCS. Um experimento simulando
tal processo de usinagem foi realizado para obter-se o fluxo de calor e o campo de
temperatura. Para isso, foram utilizados transdutores de fluxo de calor, dois termopares,
e um aquecedor Kapton acoplados na ferramenta. Dois testes simulando diferentes
condições de usinagem foram realizados. No COMSOL, uma simulação do experimento
foi realizada com as mesmas condições de contorno e geometria do experimento real, e
a solução numérica foi obtida através do método de elementos finitos com malha
tetraedal. Em seguida, os resultados obtidos na simulação no COMSOL foram
utilizados na solução do problema inverso, através da técnica da especificação de
função. Esta técnica requer o cálculo de coeficientes de sensibilidade, feito através da
técnica do teorema de Duhamel. Os resultados obtidos para o fluxo de calor estimado
nos dois testes realizados foram então comparados aos resultados obtidos nos trabalhos
de Carvalho et al. [17]. Já as temperaturas estimadas nos dois testes são comparadas as
temperaturas estimadas, apresentando uma boa concordância.
6
Luchesi e Coelho [1] propuseram um método para a estimativa de uma fonte de
calor variável no tempo utilizando as técnicas de problemas inversos em condução de
calor. A técnica da transforma integral foi usada para resolver o problema
bidimensional, com condução de calor transiente, e termo fonte com variação temporal.
O método do gradiente conjugado (CGM) de minimização com problema adjunto foi
aplicado para a solução do problema inverso de estimativa de parâmetros. Este método
foi testado em uma placa com convecção de calor no contorno e com geração de calor.
A fim de se investigar a aplicabilidade deste método, foi desenvolvido um experimento
em um processo de usinagem na face desbastada de um aço AISI 4340. O ensaio
experimental foi organizado para seis diferentes condições, baseados nas distâncias dos
termopares velocidade de corte, tempo de corte.
Lazard e Remy [19] apresentaram uma estimativa do fluxo de calor e da
distribuição da temperatura na ponta de uma ferramenta durante o processo de usinagem
através do método de regularização de (future time steps regularization). Dois
termopares foram colocados na vizinhaça da ponta da ferramenta. Efeitos como número
de tempos futuros (future time steps), nível de perturbação, e geometria da ferramenta
também foram avaliados, sendo que o primeiro mostrou-se o mais importante.
Simulações dos experimentos foram realizadas no software FlexPDE, apresentando
bons resultados para as estimativas obtidas.
Woodbury et al. [20] apresentaram uma solução para o problema tridimensional
de condução de calor, utilizando o software FLUENT, com o objetivo de estimar o
fluxo de calor durante o processo de usinagem através de algoritmo genético, utilizando
medidas de temperatura medidas na superfície da ferramenta. Os resultados obtidos
foram comparados aos dados experimentais de temperatura, revelando uma boa
concordância entre ambos.
Ribeiro et al. [21] utilizaram a técnicas de problemas inversos, juntamente com
o software comercial ANSYS CFX®, com o objetivo de estimar o fluxo de calor e o
campo de temperatura, em regime transiente, numa ferramenta de corte de torneamento.
A técnica de problema inverso de função especificada foi utilizada para estimar o fluxo
de calor aplicado na ferramenta, a partir do histórico de temperatura experimental.
Conhecido o fluxo de calor, o software ANSYS CFX® foi usado para obter o campo de
7
temperatura na ferramenta de corte. Para o estudo do campo de temperatura em
ferramenta de corte, foram realizados 15 experimentos, sem alterações nas condições de
montagem e operação. Cada experimento teve a duração de 90s, com tomadas de
temperaturas a cada 0,5s, totalizando 180 valores de temperatura. O tempo de corte foi
de 60 segundos. A validação da metodologia foi feita comparando os resultados
numéricos de temperatura com dados experimentais. A diferença média entre as
temperaturas experimental e estimada foi menor que 5 %.
Yvonnet et al. [22], com o objetivo de se determinar o fluxo de calor na interface
cavaco ferramenta, minimizaram a função erro através da técnica iterativa de Newton-
Raphson, sendo este erro definido pela diferença entre as temperaturas experimentais e
calculadas. A solução do problema direto bidimensional foi obtida numericamente
através do método de elementos finitos. Um experimento foi conduzido utilizando
quatro ferramentas, com um termopar do tipo K colocado em cada uma, com o objetivo
de medir o perfil de temperatura na ferramenta. Estes termopares foram dispostos em
cavidades feitas em cada ferramenta com distancias de 0,35, 0,5 e 0,6 mm da ponta da
ferramenta. Os resultados obtidos foram comparados às temperaturas experimentais,
mostrando que o ponto com maior fluxo de calor foi o que se encontrava a 0,35 mm da
ponta da ferramenta.
Ming et al. [23] apresentaram um modelo de transferência de calor por condução
tridimensional e transiente, para calcular a distribuição de temperatura e o fluxo de
calor na interface peça-ferramenta no processo de fresamento de alta velocidade. O
modelo foi configurado através do método de elementos finitos baseado método inverso
proposto por Beck. Experimentos foram conduzidos com objetivo de se obter dados de
temperatura na superfície de peça de trabalho de parede fina, através de um termômetro
infravermelho, e também, obter a distribuição de temperatura na interface ferramenta-
peça por um termopar incorporado ao conjunto. Os resultados numéricos da simulação
demostraram uma boa concordância entre o valor da temperatura calculado e o valor da
temperatura medido na interface de corte, no fresamento de alta velocidade utilizando
uma liga de alumínio. O método inverso de transferência de calor pôde ser utilizado
para estimar o calor fluxo na ferramenta e a distribuição de temperatura na interface
peça-ferramenta, e permitiu algumas conclusões, como a existência de uma velocidade
8
de corte crítica na liga de alumínio de fresagem de alta velocidade, que varia para
diferentes condições, afetando também o fluxo de calor produzido.
2.1.2 Modelo do Erro de Aproximação
O modelamento Bayesiano do erro de aproximação foi proposto por [7]. Na
estrutura Bayesiana, todos os parâmetros desconhecidos são modelados como uma
variável randômica. Incertezas de medição e modelamento podem ser separadas e o
grau de incerteza pode ser avaliado separadamente. Isto significa, que as propriedades
estatísticas de ambos os erros podem ser estimados e usados no problema inverso. Em
outras palavras, um modelo reduzido pode ser usado no problema inverso, no qual as
incertezas do modelo completo foram levadas em conta. As propriedades estatísticas do
erro de aproximação são computadas antes da solução do problema inverso. Em [24], o
modelo do erro de aproximação foi introduzido para problemas inversos estacionários e
não estacionários. A aplicação desta técnica vem sendo reportada em diversos
problemas, tais como reconstrução de imagem, tomografia térmica por impedância,
tomografia térmica por condutância etc. A seguir são apresentados e discutidos alguns
destes trabalhos.
Em sua tese, Nissinen [25] aplicou a abordagem do erro de aproximação em
problemas de tomografia elétrica por impedância, com erros devido à discretização,
condições de contorno em um corpo desconhecido, desconhecida impedância de contato
dos eletrodos, e o truncamento do domínio computacional. Em [24], a modelagem do
erro de aproximação foi aplicada no estudo de erros devido à discretização reduzida, e
devido ao parcial desconhecimento da geométria. Um experimento foi construido a fim
de verificar os resultados. Em [26], foi empregada a abordagem do erro de aproximação
para compensar erros devido à discretização reduzida do modelo, erros de truncamento
computacional e erros devido a impedância de contato desconhecida. Em [27], erros
devido à discretização reduzida e a desconhecida forma de um corpo foram
compensados, empregando-se a abordagem do erro de aproximação. Dados
experimentais foram avaliados juntamente com dados simulados. Em [28] utilizou-se a
abordagem do erro de aproximação para reconstruir a condutividade e o forma do
contorno de um corpo.
9
Em sua tese, Huttenen [29] aplicou a abordagem do erro de aproximação a
problemas inversos não estacionários levando em conta erros relacionados à redução do
modelo e também à discretização espacial e temporal. As equações do filtro de Kalman
e do filtro de Kalman estendido foram adaptadas para o modelo de erro de aproximação,
com o objetivo de reduzir o custo computacional. Esta abordagem foi aplicada em [30]
para estimativa de estado e parâmetros em um problema inverso linear, e em [31] para
um problema inverso não linear. Em [32], a abordagem do erro de aproximação foi
aplicada para estimativa de parâmetros térmicos da pele, sendo o termo fonte conhecido.
O aquecimento da pele deu-se por meio de ultrassom e a evolução da temperatura foi
observada por meio de ressonância magnética. Além disso, um filtro híbrido foi
proposto e mostrou-se computacionalmente eficiente.
Huttenen et al. [33] propuseram um algoritmo para atualização das variáveis
estatísticas sequencialmente com as medições, utilizando uma técnica de amostragem de
importância baseada na verossimilhança entre as observações e as amostras do modelo
acurado. A média e a covariância do erro de aproximação foram então atualizadas pela
verossimilhança associada. Esta abordagem foi aplicada a um problema de
monitoramento da distribuição de concentração de um fluido em um canal
bidimensional, considerando o fluido espacialmente distribuído ao longo do canal com
viscosidade desconhecida, e especificando uma grande incerteza para esta viscosidade.
O filtro de Kalman estendido foi utilizado para solução do problema, com ou sem erro
de aproximação, e incluindo ou não amostragem de importância. O modelo do erro de
aproximação apresentou desempenho superior em relação a outras versões do filtro de
Kalman, incluindo o erro de aproximação por amostragem de importância.
Banasiak et al. [34] aplicaram a abordagem do erro de aproximação em um
problema de tomografia elétrica por capacitância, com o objetivo de obter a distribuição
da permissividade dielétrica em um objeto. Primeiramente, simulações bidimensional e
tridimensional foram feitas em um tubo no qual eletrodos foram colocados na parte
externa. Em seguida, simulações com objetos no interior do tudo foram realizadas.
Erros devido à descretização por meio de malha grosseira pelo método de elementos
finitos foram considerados. A solução do problema inverso foi obtida pelo método de
regularização de Tikhonov. Uma significativa redução no custo computacional foi
obtida na reconstrução da imagem devido ao modelamento do erro de discretização,
10
utilizando a abordagem do erro de aproximação Além disso, foi possível obter uma
excelente reconstrução das imagens com esta técnica.
Orlande et al. [35] examinaram o uso do método de Monte Carlo com Cadeia de
Markov (MCMC) para estimativa da variação espacial do fluxo de calor. O problema
físico consiste na condução de calor tridimensional em uma placa com propriedades
dependentes da temperatura. A solução do problema direto foi necessária para solução
do problema inverso. Porém, devido ao alto custo computacional um modelo reduzido
foi usado na solução do problema inverso baseado na formulação melhorada de
parâmetros concentrados, onde os gradientes de temperatura na placa não foram
desprezados, mas sim levados em conta de forma aproximada. Como o modelo reduzido
não reproduz bem o modelo completo, para melhorar o problema inverso utilizou-se o
algoritmo Delayed Acceptance Metropolis-Hastings (DAMH), onde o algoritmo de
Metropolis-Hastings foi aplicado com o modelo reduzido. Se o estado proposto for
aceito com o modelo reduzido, outro teste é realizado com o modelo completo para
finalmente decidir se tal proposta é aceita ou não. O outro método utilizado foi o de
modelo do erro de aproximação (Approximation error model )AEM. Duas prioris para o
fluxo de calor foram analisadas no problema inverso, uma priori não informativa do tipo
do campo aleatório de Markov, e uma Gaussiana baseada em um modelo com pouca
precisão. O DAMH e o AEM foram comparados para três casos de distribuição espacial
do fluxo. Em relação ao custo computacional, o algoritmo DAMH foi aproximadamente
50% do esperado se somente o modelo completo fosse analisado. Já o algoritmo AEM,
obtido somente com o modelo reduzido, apresentou uma drástica redução no tempo
computacional da ordem de 4 vezes, quando comparado com a solução obtida para o
problema inverso com o modelo completo. Contudo, os resultados obtidos através do
algoritmo DAMH não apresentaram nenhuma mudança significativa na precisão das
quantidades estimadas. Por outro lado, o AEM permitiu uma melhora na precisão da
solução do problema inverso para pequenos erros experimentais.
Lamien e Orlande [36], aplicaram a abordagem do erro de aproximação ao
método da sonda linear para estimativa dos parâmetros capacidade térmica volumétrica
e condutividade térmica. Um modelo bidimensional englobando a convecção natural do
fluido e um modelo de condução de calor simples unidimensional foram desenvolvido.
A abordagem de erro de aproximação foi então aplicada para compensar os efeitos
convectivos utilizando o modelo unidimensional de condução de calor e incluindo
11
incertezas ao termo fonte. Além disso, uma simulação através do software COMSOL
MULTIPHYSICS foi realizada, a fim de verificar e validar os dados experimentais. A
solução do problema inverso foi obtida através da técnica de inferência Bayesiana via
método de Monte Carlo com Cadeia de Markov (MCMC). Os resultados obtidos
mostram que o método mostrou-se eficaz, conseguindo obter resultados precisos das
propriedades térmicas analisadas.
Portanto a contribuição do presente trabalho é a estimativa do fluxo de calor
gerado durante processo de usinagem por brunimento, através da técnica de problemas
inversos via inferência Bayesiana, utilizando para isso a abordagem do erro de
aproximação. Como será observado ao longo deste trabalho, serão obtidos melhores
resultados quando comparados ao modelo de erro convencional, e com uma drástica
redução no custo computacional em comparação ao mesmo modelo completo
multidimensional.
12
3 PROBLEMA FÍSICO E FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
3.1 Problema Físico
O problema físico e a formulação matemática abordada neste trabalho foram
baseados na dissertação de Da Silva [6], onde foi analisada a confecção de cilindros de
motor de motocicleta 125cc, através do processo de brunimento. A figura 1 representa
os movimentos realizados pela peça-ferramenta durante o processo.
A confecção de cilindros de motor de motocicleta por meio de usinagem por
brunimento consiste no movimento do conjunto porta-ferramenta que gira em torno do
próprio eixo, realizando movimentos verticais ao longo do seu eixo. O contato da
ferramenta de corte com a parede do cilindro a ser usinada gera um fluxo de calor, que é
o objeto de estudo deste trabalho, além de provocar o desbaste da parede do cilindro,
realizando assim o processo de usinagem por brunimento, conforme descrito na figura
1.
Figura 3.1 Descrição do movimento do cabeçote de brunimento. [6]
13
Onde :
1. Conjunto porta-ferramenta;
2. Suporte da ferramenta;
3. Ferramenta de corte.
A formulação matemática deste problema foi desenvolvida segundo as
considerações propostas em [6], a saber:
A curvatura da face de contato com o cilindro não foi considerada. Adotou-se a
geometria da seção transversal da ferramenta na forma de um quadrado;
Desprezara-se os contatos irregulares dos grãos abrasivos da ferramenta sobre a
peça. O contato entre a peça e a superfície usinada foi considerado uniforme;
Apesar da não homogeneidade da ferramenta, que é composta por grãos
abrasivos, aglomerantes e vazios, considerou-se um material homogêneo para a
mesma;
As propriedades térmicas da ferramenta de corte foram consideradas constantes;
Considerou-se um modelo bidimensional, pois o comprimento da ferramenta na
direção longitudinal é suficientemente grande, em comparação a seção
transversal;
Assumiram-se conhecidos a temperatura e o coeficiente de transferência de calor
do fluido refrigerante e que os mesmos são constantes;
Adotou-se uma temperatura uniforme na ferramenta de corte no estado inicial;
A simetria da ferramenta foi utilizada para simplificar a formulação matemática.
3.2 Formulação Matemática
Apresenta-se nesta seção a formulação matemática do problema dito completo,
que supostamente reproduz adequadamente a física do problema e é baseado nas
hipóteses acima. Também é apresentada a formulação matemática do problema
reduzido que é usado neste trabalho. Para tal modelo reduzido, considerou-se que o
gradiente de temperatura na ferramenta possa ser desprezado e utiliza-se uma
formulação de parâmetros concentrados.
14
3.2.1 Modelo Completo-Bidimensional
Analisando a seção transversal da ferramenta de corte, o problema físico foi
modelado considerando um fluxo de calor na superfície de usinagem, com perda de
calor convectiva nas laterais, devido ao fluxo de óleo, e uma resistência térmica de
contato entre o suporte e a ferramenta, como pode ser visto na figura 3.2.
Figura 3.2 Representação do problema físico: (a) Condição de contorno na ferramenta;
(b) Seção transversal da ferramenta; (c) Condição de simetria na ferramenta. [6]
Em função da simetria do problema (ver figuras 3.2 b-c) trabalhou-se apenas
com a metade da geometria para redução do custo computacional. Considerou-se que
inicialmente a ferramenta encontra-se em equilíbrio térmico com seu suporte na
temperatura Tsup. Além disso, como será visto mais a frente no capítulo 6, o problema
bidimensional foi analisado tomando-se medidas de temperatura em três posições
diferentes ao longo da ferramenta conforme mostrado na figura 3.3. A primeira no
ponto (0,0) que representa o ponto de contato entre a ferramenta de corte e o suporte da
ferramenta. A segunda no ponto (0,0.5), que representa o ponto localizado no meio da
ferramenta de corte. E a terceira no ponto (0,1), que representa o ponto de contato entre
a ferramenta de corte e a parede do cilindro a ser usinado.
15
Figura 3.3 Posições que serão analisada ao longo da ferramenta.
Assim, a formulação do problema físico em questão é dada por:
1
𝛼
𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)
𝜕𝑡=𝜕2𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)
𝜕𝑥2+𝜕2𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)
𝜕𝑦2; 0 < 𝑥 <
𝐿
2; 0 < 𝑦 < 𝐿; 𝑡 > 0 (3.1)
Condições de contorno:
𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)
𝜕𝑥= 0; 𝑥 = 0; 0 < 𝑦 < 𝐿; 𝑡 = 0 (3.2)
𝑘𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)
𝜕𝑥+ ℎ𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡) = ℎ𝑇∞; 𝑥 =
𝐿
2; 0 < 𝑦 < 𝐿; 𝑡 > 0 (3.3)
−𝑘𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)
𝜕𝑦+ ℎ𝑠𝑢𝑝𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡) = ℎ𝑠𝑢𝑝𝑇𝑠𝑢𝑝; 0 < 𝑥 <
𝐿
2; 𝑦 = 0; 𝑡 > 0 (3.4)
𝑘𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)
𝜕𝑦= 𝑞(𝑡); 0 < 𝑥 <
𝐿
2; 𝑦 = 𝐿; 𝑡 > 0 (3.5)
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑇𝑠𝑢𝑝; 0 < 𝑥 <𝐿
2; 0 < 𝑦 < 𝐿; 𝑡 = 0 (3.6)
16
3.2.2 Grupos Adimensionais
Os grupos adimensionais dados pelas equações (3.7) a (3.13) são usados para
adimensionalização doo problema:
𝑋 =𝑥
𝐿 (3.7)
𝑌 =𝑦
𝐿 (3.8)
𝜏 =𝛼𝑡
𝐿2 (3.9)
𝑄(𝜏) =𝑞(𝑡)𝐿
𝑘(𝑇𝑠𝑢𝑝 − 𝑇∞) (3.10)
𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝 =ℎ𝑠𝑢𝑝𝐿
𝑘 (3.11)
𝐵𝑖 =ℎ𝐿
𝑘 (3.12)
𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏) =𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡) − 𝑇∞𝑇𝑠𝑢𝑝 − 𝑇∞
(3.13)
Assim, obtêm-se a seguinte formulação adimensional do problema direto:
𝜕𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)
𝜕𝜏=𝜕2𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)
𝜕𝑋2+𝜕2𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)
𝜕𝑌2; 0 < 𝑋 < 0.5; 0 < 𝑌 < 1; 𝜏 > 0 (3.14)
𝜕𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)
𝜕𝑋= 0;𝑋 = 0; 0 < 𝑌 < 1; 𝜏 > 0 (3.15)
𝜕𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)
𝜕𝑋+ 𝐵𝑖𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏) = 0; 𝑋 = 0.5; 0 < 𝑌 < 1; 𝜏 > 0 (3.16)
−𝜕𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)
𝜕𝑌+ 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏) = 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝; 0 < 𝑋 < 0.5 ; 𝑌 = 0; 𝜏 > 0 (3.18)
17
𝜕𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)
𝜕𝑌= 𝑄(𝜏); 0 < 𝑋 < 0.5; 𝑌 = 1; 𝜏 > 0 (3.19)
𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏) = 1; 0 < 𝑋 < 0.5; 0 < 𝑌 < 1; 𝜏 = 0 (3.20)
3.2.3 Modelo Reduzido –Parâmetros Concentrados
A formulação por parâmetros concentrados foi obtida desprezando-se a variação
espacial da temperatura, ou seja, desprezando variação de temperatura nas direções x e
y, e considerando apenas a variação temporal. Isto é feito devido às pequenas dimensões
da amostra e sua alta condutividade térmica, que resulta em baixo número de Biot.
Figura 3.4 Representação do Problema Físico por Parâmetros Concentrados. [6]
Temperatura média na direção X:
𝑇𝑚𝑥(𝑦, 𝑡) =2
𝐿∫ 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)𝑑𝑥
𝐿2
0
(3.21)
Temperatura média nas direções X Y dependente do tempo;
18
𝑇𝑚𝑥𝑦(𝑡) =1
𝐿∫ 𝑇𝑚𝑥(𝑦, 𝑡)𝑑𝑦 (3.22)𝐿
0
Temperatura média adimensional;
𝜃𝑚 =𝑇𝑚𝑥𝑦(𝑡) − 𝑇∞
𝑇𝑠𝑢𝑝 − 𝑇∞ (3.23)
Logo, a integração da equação (3.1) em x e y resulta em:
𝜌𝑐𝑝𝜕𝑇𝑚𝑥𝑦(𝑡)
𝜕𝑡=𝑞(𝑡)
𝐿+2ℎ[𝑇∞ − 𝑇(𝑥 =
𝐿2, 𝑦, 𝑡)]
𝐿+ℎ𝑠𝑢𝑝[𝑇𝑠𝑢𝑝 − 𝑇(𝑥, 𝑦 = 0, 𝑡)]
𝐿 (3.24)
Utilizando a hipótese de parâmetros concentrados e aproximando as temperaturas
𝑇 (𝑥 =𝐿
2, 𝑦, 𝑡) = 𝑇(𝑥, 𝑦 = 0, 𝑡) = 𝑇𝑚𝑥𝑦(𝑡) (3.25)
A equação (3.24) resulta em;
𝜕𝑇𝑚𝑥𝑦(𝑡)
𝜕𝑡=𝑞(𝑡)
𝜌𝑐𝑝𝐿+2ℎ[𝑇∞ − 𝑇𝑚𝑥𝑦(𝑡)]
𝜌𝑐𝑝𝐿+ℎ𝑠𝑢𝑝[𝑇𝑠𝑢𝑝 − 𝑇𝑚𝑥𝑦(𝑡)]
𝜌𝑐𝑝𝐿 (3.26 − 𝑎)
Com condição inicial 𝑇𝑚𝑥𝑦 = (0) , t = 0 (3.26 − b)
A formulação adimensional do problema (3.26) é dada por:
𝜕𝜃𝑚(𝜏)
𝜕𝜏+ 𝜃𝑚(𝜏)(2𝐵𝑖 + 𝐵𝑖sup) = 𝑄(𝜏) + 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝 (3.27)
𝜃𝑚(0) = 1 (3.28)
19
4 SOLUÇÃO DO PROBLEMA DIRETO
4.1.1 Solução Analítica Problema Bidimensional-Modelo Completo
A solução analítica do problema bidimensional foi obtida através do método de
transformada integral clássica, conforme realizado em [6], que consiste em definir um
problema de autovalor auxiliar em cada direção, que resulta da separação de variáveis
da versão homogênea do problema original, conforme estabelecido por [37].
O problema auxiliar na direção 𝑋 é dado por:
𝑑2𝜒(𝑋)
𝑑𝑋2+ 𝛽𝑚
2 𝜒(𝑋) = 0; 0 < 𝑋 < 0.5; 𝜏 > 0 (4.1)
𝑑𝜒(𝑋)
𝑑𝑋= 0; 𝑋 = 0; 𝜏 > 0 (4.2)
𝑑𝜒(𝑋)
𝑑𝜒+ 𝐵𝑖𝜒(𝑋) = 0; 𝑋 = 0.5; 𝜏 > 0 (4.3)
A solução do problema de autovalor auxiliar de acordo com [37] é:
𝜒(𝛽𝑚, 𝑋) = cos(𝛽𝑚𝑋) (4.4)
Com integral de normalização:
1
𝑁(𝛽𝑚)= 2
𝛽𝑚2 + 𝐵𝑖2
0.5(𝛽𝑚2 + 𝐵𝑖2) + 𝐵𝑖
(4.5)
E com autovalores obtidos da solução da seguinte equação transcendental [37];
𝛽𝑚 tan(𝛽𝑚0.5) = 𝐵𝑖 (4.6)
Definindo-se o par transformada-inversa com o uso do problema auxiliar temos:
�̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏) = ∫ 𝜒(𝛽𝑚0.5
0, 𝑋)𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)𝑑𝑋 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 (4.7)
20
𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏) = ∑𝜒(𝛽𝑚, 𝑋)
𝑁(𝛽𝑚)�̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏)
∞
𝑚=1
𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 (4.8)
Multiplicando o problema original por ∫ 𝜒(𝛽𝑚0.5
0, 𝑋)𝑑𝑋, realizando a integração por
partes e usando as condições de contorno, obtêm-se
𝜕�̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏)
𝜕𝜏=𝜕2�̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏)
𝜕𝑌2− 𝛽𝑚
2 �̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏); 0 < 𝑌 < 1; 𝜏 > 0 (4.9)
−𝜕�̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏)
𝜕𝑌+ 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝�̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏) =
𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝
𝛽𝑚𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑚0.5); 𝑌 = 0; 𝜏 > 0 (4.10)
𝜕�̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏)
𝜕𝑌= 𝑄(𝜏)
sin(𝛽𝑚0.5)
𝛽𝑚; 𝑌 = 0.5; 𝜏 > 0 (4.11)
�̅�(𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏) =sin(𝛽𝑚0.5)
𝛽𝑚; 0 < 𝑌 < 1; 𝜏 = 0 (4.12)
O problema auxiliar na direção Υ é dado por [37]:
𝑑2Υ(𝑌)
𝑑Y2+ 𝛾𝑛
2Υ(𝑌) = 0; 0 < 𝑌 < 1; 𝜏 > 0 (4.13)
𝑑Υ(𝑌)
𝑑𝑌+ 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝Υ(𝑌) = 0; 𝑌 = 0; 𝜏 > 0 (4.14)
𝑑Υ(𝑌)
𝑑𝑌= 0; 𝑌 = 1; 𝜏 > 0 (4.15)
A solução do problema de autovalor auxiliar de acordo com [37] é:
Υ(𝑌) = cos[𝛾𝑛(1 − 𝑌)] (4.16)
Com integral de normalização:
1
𝑁(𝛾𝑛)= 2
𝛾𝑛2 + 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝
2
(𝛾𝑛2 + 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝
2 ) + 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝 (4.17)
21
E com autovalores dados pela seguinte equação transcendental;
𝛽𝑚 tan(𝛽𝑚0.5) = 𝐵𝑖 (4.18)
Definindo-se a transformada-inversa com o uso do problema auxiliar teremos:
�̃̅�(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏) = ∫ �̅�(𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏)Υ(𝛾𝑛, 𝑌)𝑑𝑌;1
0
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 (4.19)
�̅�(𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏) = ∑Υ(𝛾𝑛, 𝑌)
𝑁(𝛾𝑛)�̃̅�(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏); 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎
∞
𝑛=1
(4.20)
Multiplicando o problema original por∫ Υ(𝛾𝑛, 𝑌)𝑑𝑌1
0,fazendo a integração por partes e
usando a condição de contorno do problema original obtêm-se;
𝜕�̃̅�(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏)
𝜕𝜏+ �̃̅�(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏)(𝛽𝑚
2 + 𝛾𝑛2) = 𝐴(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏) 𝑚 = 1, ,2,3… ; 𝑛 = 1,2,3… ; 𝜏 > 0
(4.21)
𝐴(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏) = 𝑄(𝜏)sin(𝛽𝑚0.5)
𝛽𝑚+ 𝐵𝑖 cos(𝛾𝑛)
sin(𝛽𝑚0.5)
𝛽𝑚 (4.22)
Com a equação (4.21) sujeita a condição inicial:
�̃̅�(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 0) =sin(𝛽𝑚0.5) sin(𝛾𝑛)
𝛽𝑚𝛾𝑛 (4.23)
Realizando a integração da equação (4.21) com a técnica do fator integrante, e impondo
a condição inicial (4.23) temos:
�̃̅�(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏) = 𝑒−(𝛽𝑚
2 +𝛾𝑛2) [sin(𝛽𝑚0.5) sin(𝛾𝑛)
𝛽𝑚𝛾𝑛+∫ 𝑒(𝛽𝑚
2 +𝛾𝑛2)
𝜏
𝜏′=0
𝐴(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏′)𝑑𝜏′] (4.24)
22
Aplicando as formulas da inversa em X e Y, dadas pelas equações (4.8) e (4.20), obtêm-
se a solução do problema que é dado por:
𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏) =
∑ ∑𝑒−(𝛽𝑚
2 +𝛾𝑛2)𝜏
𝑁(𝛽𝑚)𝑁(𝛾𝑛)∞𝑛=1
∞𝑚=1 𝜒(𝛽𝑚, 𝑋)Υ(𝛾𝑛, 𝑌) [
sin(𝛽𝑚0.5) sin(𝛾𝑛)
𝛽𝑚𝛾𝑛∫ 𝑒(𝛽𝑚
2 +𝛾𝑛2)𝜏𝜏
𝜏′=0𝐴(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏
′)𝑑𝜏′] (4.29)
Onde:
𝐴(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏) = 𝑄(𝜏)sin(𝛽𝑚0.5)
𝛽𝑚+ 𝐵𝑖 cos(𝛾𝑛)
sin(𝛽𝑚0.5)
𝛽𝑚 (4.26)
4.1.2 Solução Analítica Parâmetros Concentrados-Modelo Reduzido
A solução analítica do modelo reduzido é obtida integrando-se a equação (3.7) e
aplicando a condição inicial (3.8), ou seja:
𝜃(𝜏) = 𝑒−(2𝐵𝑖+𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝) [1 + ∫ 𝑒(2𝐵𝑖+𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝)𝜏
𝜏′=0
(𝑄(𝜏) + 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝)𝑑𝜏′] (4.27)
Neste trabalho, as soluções das equações (4.25) e (4.47) foram obtidas numericamente
utilizando o software MATLAB®, onde as integrais foram realizadas através da função quad.
23
5 PROBLEMA INVERSO
5.1 Problema Inverso
O problema inverso estudado neste trabalho tem o objetivo de estimar o fluxo de
calor resultante do processo de brunimento. Esta estimativa se dá sob duas formas:
Através do modelo completo (4.25) com modelo de erro convencional, e através do
modelo reduzido (4.27) utilizando a técnica do erro de aproximação.
Problemas inversos são classificados como mal postos. Para um problema ser
bem posto, sua solução deve atender as seguintes condições [38]:
Existir;
Ser única;
Ser estável em relação aos dados de entrada.
5.1.1 Inversão Estatística
O objetivo da teoria de inversão estatística é extrair informação e avaliar as
incertezas sobre as variáveis, baseado em todos os conhecimentos disponíveis do
processo de medição, bem como, sobre os parâmetros/funções da formulação do
problema antes das medições. A inversão estatística é baseada nos seguintes princípios
[7]:
Todas as variáveis da formulação matemática são modeladas como variáveis
aleatórias;
A aleatoriedade descreve o grau de informação sobre as suas realizações;
O grau de informação relativa a estes valores é codificado em termos de
distribuições de probabilidades;
A solução do problema inverso é a distribuição de probabilidade posteriori [39].
O teorema de Bayes é utilizado para relacionar as informações disponíveis com
as novas informações (medidas) da seguinte forma:
24
𝜋𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖(𝐏) = 𝜋(𝐏|𝐘) =𝜋𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖(𝐏)𝜋(𝐘|𝐏)
𝜋(𝐘) (5.1)
Onde 𝜋𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖(𝐏) é a densidade de probabilidade a posteriori, ou seja, a
probabilidade de obter os parâmetros dadas as medidas; 𝜋𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖(𝐏) é a densidade de
probabilidade a priori , ou seja, as informações conhecidas sobre os parâmetros antes de
realizar as medidas; 𝜋(𝐘|𝐏) é a função de verossimilhança, que representa a
probabilidade de se obter as medidas dados os parâmetros ; 𝜋(𝐘) o qual representa a
probabilidade marginal das medições, que desempenha o papel de uma constante de
normalização. Logo, o Teorema de Bayes torna-se:
𝜋(𝐏|𝐘) ∝ 𝜋𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖(𝐏)𝜋(𝐘|𝐏) (5.2)
5.1.2 Modelo de Erro Convencional
Assumindo que as medidas são modeladas com erros aditivos gaussiano temos
[25]:
𝐘 = 𝛉(𝐏) + 𝐞 (5.3)
Onde que 𝛉(𝐏) é a solução do problema direto em uma determinada localização
espaço/tempo para um vetor de parâmetros P e 𝐞 é um vetor de perturbação, supondo
com distribuição Gaussiana, média zero, e matriz de covariância W. A função de
verossimilhança definida por 𝜋(𝐘|𝐏) excluindo-se a constante de proporcionalidade é
então definida como [40] [7]:
𝜋(𝐘|𝐏) ∝ (2π)−𝑀2 |𝐖−1|−
12exp {−
1
2[𝐘 − 𝛉(𝐏)]T𝐖[𝐘 − 𝛉(𝐏)]} (5.4)
Onde M é o numero de medidas, e a matriz de covariância W é calculada da seguinte
forma, supondo-se medidas não correlacionadas com covariância constante.
25
𝐖 = [1/𝜎2 … 0⋮ ⋱ ⋮0 … 1/𝜎2
] (5.5)
Sendo σ o desvio padrão das medidas.
5.1.3 Modelo de Erro de Aproximação
Na abordagem Bayesiana do modelo de erro de aproximação proposto por [7] o
erro de modelagem é tratado como um ruído adicional ao modelo de erro convencional.
A ideia principal da abordagem do erro de aproximação é representar não somente os
erros de medição, mas também os efeitos do modelo de erro computacional e incertezas,
como um processo de ruído aditivo na observação do modelo [25]. O tradicional
modelo de observação (5.3) é, portanto inadequado para a situação de medição quando
os erros de modelagem estão presentes. A modelagem do erro de aproximação é dado
da seguinte forma [24]:
𝐘 = 𝛉𝛅(𝐏) + [𝛉𝐜(𝐏) − 𝛉𝛅(𝐏)] + 𝐞 (5.6)
Onde 𝛉𝐜(𝐏) representa a solução do modelo dito completo, que supostamente reproduz
perfeitamente a fisíca do problema e 𝛉𝛅(𝐏) é a solução do modelo reduzido. Definindo:
𝛜(𝐏) = [𝛉𝐜(𝐏) − 𝛉𝛅(𝐏)] (5.7)
A equação (5.6) torna-se:
𝐘 = 𝛉𝛅(𝐏) + 𝛜(𝐏) + 𝐞 (5.8)
Onde o termo 𝛜 é o erro de modelagem. Definindo:
𝛈(𝐏) = 𝛜(𝐏) + 𝐞 (5.9)
A equação (5.8) torna-se:
𝐘 = 𝛉𝛅(𝐏) + 𝛈(𝐏) (5.10)
26
O modelo completo (modelo bidimensional) é representado por 𝜽𝒄, e 𝜽𝜹
representa o modelo reduzido, ou seja, o modelo obtido através de parâmetros
concentrados. Logo a função de verossimilhança (5.4) pode ser reescrita, em termos do
erro de modelagem da seguinte forma [7][29] [36]:
𝜋(𝐘|𝐏) ∝ exp {−1
2[𝐘 − 𝛉𝛅(𝐏) − 𝛈∗|𝐏]
𝑇𝐖∗|𝐏
−𝟏[𝐘 − 𝛉𝛅(𝐏) − 𝛈∗|𝐏]} (5.11)
Onde [7] [36]
𝜼∗|𝑷 = 𝝐∗ + 𝒆∗ +𝐖𝜼𝑷𝐖𝑷−𝟏(𝑷 − 𝝁) (5.12)
𝐖∗|𝑷 = 𝑾𝝐 +𝑾−𝑾𝜼𝑷𝑾𝑷−𝟏𝑾𝑷𝜼 (5.13)
Onde 𝛜∗, 𝐞∗, 𝛍 são respectivamente as médias de 𝛜, 𝐞, 𝐏, enquanto 𝐖𝛈𝐏 = 𝐖𝐏𝛈 e,
𝐖𝛈𝐏,𝐖𝛜,𝐖𝐏, são as matrizes de covariância de 𝛈, 𝛜, 𝐏, respectivamente. As equações
(5.9-11) representam o erro de modelagem completo [7].
Considerando o fato dos erros de medição ter média zero, 𝐞∗ = 0, e também
desprezando a dependência linear entre 𝛈 𝐞 𝐏, isto é 𝐖𝛈𝐏 = 0, as equações (5.10-11)
são reduzidas para o que se chama de Enhanced Error Model. Uma limitação para esta
abordagem é que as funções de densidade de probabilidade a priori devem ter variância
limitada [36] [7].
Logo:
𝛈∗|𝐏 = 𝛜∗ + 𝐞∗ (5.14)
𝐖∗|𝑷 = 𝑾𝝐 +𝑾 (5.15)
Sendo:
𝛜∗ = 1
Ns∑ 𝛜𝐧(𝐏)
𝑁𝑠
𝑛=1
(5.16)
𝐖𝛜 =1
Ns − 1∑(𝛜𝐧(𝐏) − 𝛜∗)
𝑁𝑠
𝑛=1
(𝛜𝐧(𝐏) − 𝛜∗)𝑇 (5.17)
Onde 𝑁𝑠 é o número de amostras usadas na caracterização do erro de modelagem.
27
No caso de modelos lineares e Gaussianos expressões, analíticas podem ser
obtidas para as estatísticas do erro de aproximação [30]. No entanto, para este trabalho
as estatísticas do erro de aproximação foram obtidas da seguinte forma, usando o
método de Monte Carlo.
1. Gerar 𝑁 𝑠 amostras da distribuição do fluxo de calor com distribuição normal,
média zero, e com 5 % de desvio padrão, isto é;
𝑄(𝑡) = 𝑄(𝑡)𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙(1 + 𝑤) onde 𝑤 = 0,05 e 𝑅~𝑁(0,1)
2. Calculo das soluções dos problemas completos, 𝜃𝑐(𝑃), e reduzido, 𝜃𝑐(𝑃), nos
pontos de medidas, para cada uma das 𝑁𝑠 amostras de 𝑄(𝑡)
3. Gerar 𝑁𝑠 amostras do erro de modelagem;
𝛜(𝐏) = [𝛉𝐜(𝐏) − 𝛉𝛅(𝐏)];
4. Calcular a média e a covariância das amostras do erro;
𝛜∗ = 1
𝑁𝑠 ∑ 𝛜𝐧(𝐏)
𝑁𝑠
𝑛=1
; 𝐖𝛜 =1
𝑁𝑠 − 1∑(𝛜𝐧(𝐏) − 𝛜∗)
𝑁𝑠
𝑛=1
(𝛜𝐧(𝐏) − 𝛜∗)𝑇;
Repetir os passos 2,3,4 para n=1,....,N.
Neste trabalho, o parâmetro que se deseja estimar é o fluxo de calor durante o
processo de brunimento. Para tal, foi necessário utilizar uma priori não informativa, na
forma de um campo randômico de Markov RMF (Markov Random Fields) [7]. A
função da RMF correlaciona cada elemento com seu vizinho, suavizando a forma da
função estimada e melhorando a taxa de aceitação dos estados da cadeia de Markov [8].
A priori usada neste trabalho é dada por:
𝜋(𝐐) = exp (−1
2𝜑𝑟𝑒𝑔𝐐
𝐓𝐙𝐐) (5.18)
Onde 𝜑𝑟𝑒𝑔é um parâmetro escalar que está associado à regularização de Tikhonov, e
𝐙 = 𝐃𝐓𝐃, sendo D uma matriz de diferenciação definida como:
28
𝐃 =
(
−1 1 00 −1 1
⋯0 0 00 0 0
⋮ ⋱ ⋮0 0 00 0 0
⋯−1 1 00 −1 1)
(5.19)
Com isso, a distribuição a posteriori para o problema inverso com o Modelo de
Erro Convencional é defina como:
𝜋(𝐐|𝐘) ∝ exp {(−1
2[𝐘 − 𝛉𝛅(𝐐)]
𝑇𝐖[𝐘 − 𝛉𝛅(𝐐)])} 𝑒𝑥𝑝 {(−1
2𝜑𝑟𝑒𝑔𝐐
𝐓𝐙𝐐)} (5.20)
Já a posteriori para o problema inverso utilizando o Modelo de Erro de
Aproximação é dado da seguinte forma:
𝜋(𝐘|𝐏) ∝ exp {−1
2[𝐘 − 𝛉𝛅(𝐏) − 𝛈∗|𝐏]
𝑇𝐖∗|𝐏
−𝟏[𝐘 − 𝛉𝛅(𝐏) − 𝛈∗|𝐏]} 𝑒𝑥𝑝 {(−1
2𝜑𝑟𝑒𝑔𝐐
𝐓𝐙𝐐)} (5.21)
Com isso, a solução do problema inverso apresentado pelas equações (5.19-20)
será implementada com o Método de Monte Carlo via algoritmo de Metropolis-
Hastings (MCMC) cujo é apresentado no item seguinte.
5.1.4 Algoritmo Metropolis-Hastings- MCMC
O algoritmo de Metropolis-Hastings é usado para implementar o método MCMC. O
algoritmo pode ser descrito resumidamente nos seguintes passos [7] [8]:
1. Gerar uma amostra P* de uma distribuição de proposta q(P
*,P
(t-1));
2. Calcular 𝜔 = [1,𝛑(𝐏∗|𝐘)𝐪(𝐏(𝐭−𝟏),𝐏∗)
𝛑(𝐏(𝐭−𝟏)|𝐘)𝐪(𝐏∗,𝐏(𝐭−𝟏))];
3. Gerar um número randômico U, que seja distribuído uniformemente entre (0,1);
4. Se U ≤ 𝜔 , defina P(t)
= P* caso contrário defina P
(t) = P
(t-1);
5. Retorne ao passo 1 para de gerar a sequência {𝐏(𝟏), 𝐏(𝟐), … . . , 𝐏(𝐧)}
29
Assim, temos uma sequência que representa a distribuição a posteriori, e a
inferência sobre essa distribuição é obtida a partir da inferência sobre as
amostras{𝐏(𝟏), 𝐏(𝟐), … . . , 𝐏(𝐧)}. Além disso, os estados 𝐏(𝐧) que antecendem a
convergência da Cadeia de Markov devem ser desconsiderados, uma vez que esses
valores representam o aquecimento da cadeia.
30
6 RESULTADOS
Neste capitulo são apresentados os resultados obtidos neste trabalho.
Inicialmente são apresentadas as soluções numéricas do problema direto mostrado no
capitulo 4, realizando-se suas verificações. Em seguida, são apresentados os resultados
do problema inverso com modelo de erro aproximação e com modelo de erro
convencional, juntamente com as análises estatísticas, que foram apresentadas no
capitulo 5. Por fim, é feita uma comparação entre os resultados apresentados em ambos
os modelos propostos. Cabe ressaltar que todas as simulações foram desenvolvidas na
plataforma MATLAB®.
6.1 Problema direto
O problema direto foi modelado seguindo os dados apresentados por Da Silva
[6], que buscou informações disponíveis na literatura e aplicadas na indústria
automotiva. Essas informações são apresentadas a seguir:
Taxa de calor adotado (máximo) [41] [40] [42] = 52,57 W;
Temperatura do fluido de corte [43] = 28°C;
Coeficiente de transferência de com óleo de corte [43] = 113 W/m2K°C;
Temperatura inicial na superfície do suporte [40] = 35°C;
Coeficiente de transferência de calor no contato [37] = 395,49 W/m2K;
Tempo final de Brunimento = 20 segundos.
A forma funcional exata do fluxo de calor para o processo de brunimento foi
obtida por [6], a partir do avanço hidráulico das ferramentas de corte com redução da
pressão, conforme estabelecido por [44].Tal função é dada por:
31
Função Brunimento:
𝑓(𝜏) =
{
10
𝜏
𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙; 𝑠𝑒 0 < 𝜏 < 0,1𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
1; 𝑠𝑒 0,1𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 < 𝜏 < 0,5𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
3,5 − 5𝜏
𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙; 𝑠𝑒 0,5𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 < 𝜏 < 0,6𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
0,5; 𝑠𝑒 0,6𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 < 𝜏 < 0,9 𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
5 − 5𝜏
𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙; 𝑠𝑒 0,9𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 < 𝜏 < 𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
Onde é 𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 6,46.
Figura 6.1 Função Brunimento.
Na solução analítica do problema direto bidimensional, por se tratar de uma série
infinita, foi necessário o truncamento da série em um número finito de termos da
solução da equação 4.25, obtendo-se uma precisão com três dígitos. Esta análise de
convergência foi realizada variando o número de autovalores e o tempo adimensional. A
tabela 6.1 apresenta os valores obtidos na análise de convergência para posição X= 0 e
Y=0.
32
Tabela 6.1: Análise de convergência do Modelo Bidimensional - Equação 4.25
ϴ(X=0;Y=0,τ)
Os autovalores obtidos na solução da equação 4.25 foram comparados com os
obtidos por [37]. Estes apresentam valores altos, e consequentemente, a série converge
com poucos termos. Neste caso com 100 termos foi possível alcançar uma precisão da
ordem de 0,001.
6.1.1 Comparação do Modelo Bidimensional com o Modelo de Parâmetros
Concentrados
A seguir apresentam-se as comparações entre o modelo bidimensional e de
parâmetros concentrados, para o sensor em três diferentes posições. O tempo em que as
soluções foram comparados se refere ao tempo final de brunimento, que é de 𝜏 =
6.46 (𝑡 ≅ 20 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠). Conforme pode ser observado na figura 7, quanto mais
Nº de
termos
séries
τ= 10 τ= 50 τ= 100
10 26,4128 40,2318 40,3991
20 26,4172 40,2362 40,4443
30 26,4181 40,2370 40,4451
40 26,4184 40,2374 40,4455
50 26,4186 40,2376 40,4456
60 26,4187 40,2377 40,4457
70 26,4288 40,2377 40,4458
80 26,4188 40,2378 40,4459
90 26,4188 40,2378 40,4459
100 26,4188 40,2378 40,4459
33
próximo da superfície aquecida estiver o sensor, maior a temperatura obtida com
modelo bidimensional. A figura 6 mostra que, quando as temperaturas são medidas na
posição no meio da ferramenta, o modelo bidimensional e de parâmetros concentrados
apresentam pouca diferença. Já na figura 8, observa-se que quando as temperaturas são
obtidas próximas ao suporte da ferramenta, a temperatura obtida com o modelo
bidimensional é menor que a obtida com parâmetros concentrados. Isso como será visto
a frente, influenciará na estimativa da função fluxo de calor.
Quando o modelo bidimensional é substituído pelo modelo de parâmetros
concentrados na solução do problema inverso, as diferenças nas soluções dos dois
modelos podem influenciar significativamente o fluxo de calor estimado.
Figura 6.2 Diferença de temperatura entre modelos posição na (0.0) .
34
Figura 6.3 Diferença de temperatura entre modelos na posição (0, 0.5).
Figura 6.4 Diferença de temperatura entre modelos na posição (0,1).
Conforme pode ser observado na tabela 6.2, a temperatura adimensional
apresentou uma diferença significante em função da mudança de posição do sensor. Isso
se deve, ao fato do suporte da ferramenta absorver calor durante o processo de
usinagem, o que, como será visto mais a frente, interfere na solução do problema
35
inverso. Com isso, pode-se concluir que o problema de parâmetros concentrados, não
representa uma boa aproximação para solução do problema físico.
Tabela6.2-Variação espacial da temperatura-Modelo Bidimensional-Equação 4.25
Posição X Posição Y ϴ (X,Y,τ=6.46 )
0 0 14.0892
0 0,5 14,7269
0 1 15,2202
6.2 Análise de Convergência Estatísticas do Erro de Aproximação
A fim de gerar amostras para o cálculo das estatísticas do erro de aproximação, o
fluxo de calor com estado inicial determinístico, foi perturbado por um número
randômico com distribuição normal, média zero e desvio padrão de 5%. Este fluxo
perturbado, foi então aplicado às soluções do problema direto bidimensional (modelo
completo) e problema com parâmetros concentrados (modelo reduzido), para geração de
amostras do erro de aproximação, conforme descrito no capítulo 5.
Foram geradas 500 amostras para o cálculo das estatísticas do erro de
aproximação. Conforme pode ser observado nas figuras 6.5-10, a análise de
convergência da média dos erros de aproximação e a convergência do traço da matriz de
covariância amostral [45], que representa o determinante da matriz de covariância
gerada pelos erros de aproximação, foram verificadas com aumento do número de
amostras. Esse procedimento foi realizado para cada ponto analisado ao longo da
ferramenta, ou seja, nos pontos (0,0) (0, 0.5) e (0,1). Pode-se observar nas figuras 6.5-7
uma rápida convergência da média do erro de aproximação, enquanto nas figuras 6.8-
11, mais amostras são necessárias para uma melhor convergência do traço da matriz de
covariância. No entanto, com 500 amostras, foi possível obter esta convergência em
todas as posições.
36
Figura 6.5 Convergência da média do erro de aproximação na posição (0,0).
Figura 6.6 Convergência das médias do erro de aproximação na posição (0,0.5).
37
Figura 6.7 Convergência da média do erro de aproximação na posição (0,1).
Figura 6.8 Convergência do traço da matriz de covariância na posição (0,0).
38
Figura 6.9 Convergência do traço da matriz de covariância na posição (0,0.5).
Figura 6.10 Convergência do traço da matriz de covariância na posição (0,1).
39
6.3 Problema Inverso
Nesta seção serão analisados os problemas inversos para estimativa de função
com modelo de erro de aproximação e modelo de erro convencional. Seis casos-testes
foram propostos para estimativa da função fluxo de calor da seguinte forma:
1. Medidas simuladas de temperatura com modelo completo, e problema
inverso resolvido com modelo reduzido e erro de aproximação;
2. Medidas simuladas de temperatura com modelo completo, e problema
inverso resolvido com modelo reduzido e erro convencional;
3. Medidas simuladas de temperatura com modelo reduzido, e problema
inverso resolvido com modelo reduzido e erro convencional;
4. Medidas simuladas de temperatura com modelo completo, e problema
inverso resolvido com modelo reduzido e modelo de erro de aproximação
para um fluxo desconhecido para gerar as estatísticas;
5. Medidas simuladas de temperatura com modelo completo, e problema
inverso resolvido com modelo reduzido e erro de aproximação utilizando
um fluxo desconhecido com Alto de desvio padrão;
6. Medidas simuladas de temperatura com modelo completo, e problema
inverso resolvido com modelo completo e erro convencional.
A fim de se avaliar a concordância entre os valores estimados e os valores exatos
do fluxo de calor, foi calculado a Raiz do Erro Quadrático Médio (RMSE), também
chamado de erro padrão [46], que representa o desvio padrão entre o valor estimado e o
valor exato, ou seja, o quanto os valores estimados se afastam do valor exato. Sendo
assim, quanto mais próximo de zero for este valor, mais próximos dos valores exatos
estarão os valores estimados. A Raiz do Erro Quadrático Médio foi calculado como uma
média de 10 repetições, sendo definido da seguinte forma para cada repetição:
𝑅𝐸𝑄𝑀 = √∑ (𝑄(𝑡)𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜,𝑖−𝑄(𝑡)𝑒𝑥𝑎𝑡𝑜,𝑖)
2𝑛𝑖=1
𝑁 (6.1)
N=número de passos de tempo em que o fluxo é estimado.
40
As estatísticas de erro de modelagem obtidas foram incorporadas à solução do
problema de estimativa da função fluxo de calor como descrito no capítulo 5. Para
solução do problema inverso nas três posições analisadas, o estado inicial do fluxo de
calor foi de 75% do valor máximo do fluxo de calor adimensional. Foram adotadas
100.000 estados para estimativa do fluxo de calor. Porém, os primeiros 50.000 estados
foram descartados, pois se tratava do período de aquecimento da cadeia. Observou-se o
acompanhamento de algumas cadeias da função fluxo de calor, bem como a distribuição
a destas em alguns tempos adimensionais.
6.3.1 Caso-teste 1- Estimativa de Função com Modelo Reduzido e Erro de
Aproximação
Neste caso-teste, as medidas simuladas de temperaturas foram obtidas com
modelo completo, com desvio padrão de 1% da temperatura máxima obtida. Já o
problema inverso foi resolvido com medidas de temperatura utilizando o modelo
reduzido e o erro de aproximação.
1. Estimativas do fluxo de calor na posição (0,0).
A figura 6.1.1 é referente a estimativa do fluxo de calor na posição (0,0). No
início do processo o fluxo estimado não acompanha o fluxo real. Tal fato se deve a troca
de calor entre o porta-ferramenta e a ferramenta de corte, já que este ponto está
localizado na junção destes dois materiais. Devido à inércia térmica do porta-
ferramenta, este acaba absorvendo calor da ferramenta, e com isso, dificultando a
estimativa de fluxo nesta posição. Porém, no restante do processo, o fluxo estimado
reproduz bem o fluxo real, com os valores real e estimado ficando dentro da margem de
incerteza de 99%. Já as figuras 6.12-15 mostram a convergência da Cadeia de Markov
em vários tempos, e também como estas estão distribuídas. Conforme pode ser visto, se
aproxima de uma distribuição gaussiana. Por fim, encontra-se a tabela 6.3 contendo os
dados com custo computacional e a raíz do erro quadrático médio deste caso-teste, que
devido absorção de calor da ferramenta, ao qual foi relatado anteriormente, apresenta
um valor bem alto da REQM. Neste caso foi usado um parâmetro de regularização
𝜑𝑟𝑒𝑔 = 100, para todos os pontos analisados.
41
Figura 6.11 Estimativa do fluxo de calor na posição (0,0).
Figura 6.12 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 1,292
42
Figura 6.13 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2,584.
Figura 6.14 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =3,876.
43
Figura 6.15 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =5,168.
Tabela 6.3 Dados do problema inverso na posição (0,0).
Tempo de CPU 19.95 s
Estados Totais 100.000
Estados Aceitos 45129
Taxa de Aceitação 45,129%
Aquecimento 50.000
REQM 1,4661
2. Estimativas do fluxo de calor na posição (0,0.5).
A figura 6.16 representa a estimativa de fluxo de calor na posição (0,0.5). Este
ponto está localizado na metade do comprimento da ferramenta. Conforme pode ser
observado, o fluxo de calor estimado consegue reproduzir bem o fluxo real durante todo
o processo. Nota-se, que a influência da inercia térmica do porta-ferramenta é bem
menor, com os valores do fluxo real e estimado situando-se dentro da margem de
incerteza de 99%. Já as figuras 6.17-20 representam a convergência da Cadeia de
Markov em alguns tempos, bem como a distribuição destas, como pode ser visto a
posteriori se aproxima de uma Gaussiana. Na tabela 6.4 encontra-se os dados com custo
computacional, e a raiz erro médio quadrático (REQM) deste caso-teste. Este último
44
apresenta um valor bem menor que no caso anterior, pois como dito anteriormente,
nesta posição, a influencia da inércia térmica do porta-ferramenta é bem menor, com
valores estimados mais próximos dos valores exatos.
Figura 6.16 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,0.5).
Figura 6.17 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 1,292.
45
Figura 6.18 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2,584.
Figura 6.19 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 3,876.
46
Figura 6.20 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 5,168.
Tabela 6.4 Dados do problema inverso na posição (0,0.5).
Tempo de CPU 15.69 s
Estados Totais 100.000
Estados Aceitos 33088
Taxa de Aceitação 33.088%
Aquecimento 50.000
REQM 0,3016
3. Estimativas do fluxo de calor na posição (0,1).
A figura 6.21 representa o fluxo de estimado na posição (0,1), que representa a posição
na superfície da ferramenta. Como pode ser visto, novamente o fluxo estimado consegue
reproduzir bem o fluxo exato com ambos os valores situando-se dentro da margem de incerteza
de 99% durante todo o processo, apresentando uma pequena flutuação neste valores no final do
processo. Já as figuras 6.22-25 representam a convergência da Cadeia de Markov em
alguns tempos, bem como a distribuição destas, que como pode ser visto, se aproximam
de uma distribuição Gaussiana e encontra-se na tabela 6.5 o custo computacional, e erro
médio quadrático (REQM) deste caso-teste, que apresentou um valor um pouco superior
ao caso anterior, (caso 2), devido à divergência dos valores ocorridos no final do
processo.
47
Figura 6.21 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,1).
Figura 6.22 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 1,292.
48
Figura 6.23 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2,584.
Figura 6.24 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 3,876.
49
Figura 6.25 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 5,168.
Tabela 6.5 Dados do problema inverso para a posição (0,1).
Tempo de CPU 16,82 s
Estados Totais 100.000
Estados Aceitos 38508
Taxa de Aceitação 38.508%
Aquecimento 50.000
REQM 0,3475
Conforme descrito no capítulo 5, na solução do problema inverso com modelo
de erro de aproximação foi utilizado o modelo reduzido juntamente com as estatísticas
do erro calculadas anteriormente. As medidas de temperatura simuladas com modelo
completo foram calculadas com desvio padrão de 1% da temperatura máxima obtida. As
temperaturas estimadas foram calculadas a partir do fluxo de calor estimado. O
algoritmo MCMC foi então aplicado utilizando a função de densidade a posteriori (eq.
5-20).
As figuras 6.26-28 apresentam uma comparação entre as temperaturas
estimadas, simuladas, e exatas. Como pode ser visto, houve uma boa concordância entre
as temperaturas para todas as posições analisadas, apesar da diferença entre os modelos
50
usados na simulação e na estimativa. Estas temperaturas foram obtidas a partir do fluxo
de calor estimado nos ítens 1,2 e 3 respectivamente.
Figura 6.26 Comparação entre medidas simuladas, exatas e estimadas na posição (0,0).
Figura 6.27 Comparação entre as medidas simuladas, exatas e estimadas na posição
(0,0.5).
51
Figura 6.28 Comparação entre as temperaturas simuladas, exatas e estimadas na posição
(0,1).
52
6.3.2 Caso-teste 2 - Estimativa de Função com Modelo Completo e Erro
Convencional.
Neste caso teste, as medidas simuladas de temperatura foram realizadas com
modelo completo, com desvio padrão de 1% da temperatura máxima obtida. Já o
problema inverso foi resolvido com modelo reduzido e erro convencional.
O fluxo de calor estimado na posição (0,0) figura 6-29, devido a inércia térmica
do suporte da ferramenta não consegue reproduzir bem o fluxo exato no início e no final
do processo, porém entre estes instantes o fluxo é bem reproduzido situando dentro da
margem de incerteza de 99 %. A tabela 6.6 apresenta os dados deste problema, que
obtem um baixo valor de REQM.
1. Estimativas do fluxo de calor na posição (0,0).
Figura 6.29 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,0).
Tabela 6.6 Dados do problema inverso para a posição (0,0).
Tempo de CPU 26.92 s
Estados Totais 100.000
Estados Aceitos 70144
53
Taxa de Aceitação 70.144%
Aquecimento 50.000
REQM 1,53645
2. Estimativas do fluxo de calor na posição (0,0.5).
Na posição (0,0.5) o fluxo de calor estimado consegue reproduzir bem o fluxo
extado com pequenas divergências no início e final do processo situando-se dentro da
margem de incerteza de 99% entre estes instantes. A tabela 6.7 apresenta os dados
computacionais deste problema, onde se obteve um valor próximo ao do caso anterior
para o REQM. Neste caso foi usado um parâmetro de regularização 𝜑𝑟𝑒𝑔 = 100, para
todos os pontos analisados.
Figura 6.30 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,0.5).
Tabela 6.7 Dados do problema inverso para a posição (0,0.5).
Tempo de CPU 26.14 s
Estados Totais 100.000
Estados Aceitos 66880
Taxa de Aceitação 66.880%
Aquecimento 50.000
REQM 0.5284
54
3. Estimativas do fluxo de calor na posição (0,1).
Nesta posição, o fluxo de calor estimado permaneceu bem próximo ao
valor exato durante quase todo o processo, apresentando uma pequena
divergência no início e no final do processo como relatado nas posições
anteriores, porem em menor escala. Como pode ser visto na figura 6.31 o fluxo
exato e o fluxo estimado ficaram bem próximos permanecendo dentro da
margem de incerteza de 99% . A tabela 6.8 apresenta os dados computacionais
deste item, sendo que o REQM apresentou um valor inferior aos itens
anteriores.
Figura 6.31 Estimativa do fluxo de calor na posição (0,1).
Tabela 6.8 Dados do problema inverso para a posição (0.1).
Tempo de CPU 16,823574 s
Estados Totais 100.000
Estados Aceitos 61139
Taxa de Aceitação 61.139%
Aquecimento 50.000
55
REQM 0,40703641
As temperaturas simuladas foram realizadas com modelo completo, com desvio
padrão de 1% da temperatura máxima obtida. Já as temperaturas estimadas foram
obtidas a partir do fluxo estimado. Estas temperaturas foram obtidas a partir dos valores
estimados do fluxo de calor nos itens 1,2 e 3 respectivamente. Como pode ser visto nas
figuras 6.29-31, foi possível obter uma boa estimativa da temperatura em todos os
pontos analisados, mesmo utilizando modelos diferentes para simulação e estimativa.
Porem, na posição (0,5) houve maior concordância entre os valore estimados, exatos e
simulados. Já nas demais posições houve uma pequena variação entre os valores
estimados e exatos. Isso ocorreu, pois na posição (0,5) devido a inercia térmica do
suporte da ferramenta há uma menor diferença entre os dois modelos, já nas outras esta
diferença fica mais evidente.
Figura 6.32 Comparação entre as temperaturas simuladas, exatas e estimadas na posição
(0,0).
A comparação dos resultados obtidos neste caso teste e no anterior para REQM
revela o efeito do uso do erro de aproximação. De fato, no caso anterior, os valores de
REQM são menores que no presente caso, que não leva em conta os erros de utilização
do modelo reduzido na solução do problema inverso
56
Figura 6.33 Comparação entre as temperaturas simuladas, exatas e estimadas na posição
(0,0.5).
Figura 6.34 Comparação entre as temperaturas simuladas, exatas e estimadas na posição
(0,1).
57
6.3.3 Caso teste 3 - Estimativa de Função com Modelo Reduzido e Erro
Convencional.
A seguir são realizadas medidas simuladas com modelo reduzido com desvio
padrão de 1% da temperatura máxima obtida, utilizando o modelo de erro convencional,
cometendo assim crime inverso. Como esperado, o fluxo estimado conseguiu reproduzir
bem o fluxo extado, porém em alguns instantes como no início do processo de
brunimento, o fluxo estimado não consegue reproduzir bem o fluxo real. Contudo no
restante do processo, os valores estimados e reais são próximos situando-se dentro da
margem de incerteza de 99%. A tabela 6.9 apresenta os dados do problema inverso
analisado. Por fim, a figura 6.37 uma comparação entre as temperaturas simuladas,
exatas e estimadas. Já a temperatura estimada a partir do fluxo estimado conseguiu
acompanhar bem a temperatura exata, como esperado. Neste caso foi usado um
parâmetro de regularização 𝜑𝑟𝑒𝑔 = 10, para todos os pontos analisados.
Figura 6.35 Estimativa de fluxo de calor com modelo reduzido e modelo de erro
convencional.
Tabela 6.9 Dados do problema inverso com modelo reduzido e modelo de erro
convencional.
Tempo de CPU 11,46 s
58
Estados Totais 100.000
Estados Aceitos 63765
Taxa de Aceitação 63,765%
Aquecimento 50.000
REQM 0,36011
A figura 6.35 representa a temperatura simulada com o modelo reduzido, e
estimada com o modelo reduzido. Estas temperaturas estimadas foram calculadas
utilizando os valores estimados do fluxo de calor, e como era previsto, apresentaram
uma excelente concordância com a temperatura exata.
Figura 6.36 Comparação entre as temperaturas exatas, simuladas e estimadas com
modelo reduzido e modelo de erro convencional.
59
6.3.4 Caso-teste 4- Estimativa de Função com Modelo Completo e de Erro de
Aproximação Utilizando Fluxo Desconhecida.
Neste item, será analisado o problema com medidas de temperatura simulada a
partir do modelo completo, com desvio padrão de 1% da temperatura máxima obtida na
posição (0,1), e com problema inverso resolvido com modelo reduzido e erro de
aproximação. Nos casos teste 1,2 e 3 foram cometidos crimes inversos [7]. Porém, este
caso teste tem a função de responder a seguinte pergunta: Na pratica, o fluxo de calor
durante o processo de brunimento é desconhecido, então qual função utilizar para gerar
as amostras estatísticas do erro de aproximação?
Considerando a função fluxo de calor desconhecida, neste caso, será feita uma
análise crítica para mostrar a eficiência do erro de aproximação. As medidas simuladas
representam as medidas obtidas experimentalmente. Com isso, foi realizado o mesmo
procedimento do caso teste 2, em que o problema inverso foi resolvido com o modelo
reduzido e erro convencional, utilizando as medidas simuladas com modelo completo
na posição (0,1). A função fluxo de calor estimado a partir deste procedimento, como
pode ser visto na figura 6.37 não esta bem regularizada por se supor que sua forma é
desconhecida. Em seguida, utiliza-se esta função para gerar as amostras do erro de
aproximação, empregadas neste caso teste para resolução do problema inverso. Neste
caso foi usado um parâmetro de regularização 𝜑𝑟𝑒𝑔 = 100, para todos os pontos
analisados.
As figuras 6.38-39 apresentam a convergência das médias e do traço da matriz
de covariância, respectivamente, para um total de 500 amostras, enquanto a figura 6.40
mostra a diferença entre os dois modelos utilizando o fluxo desconhecido.
60
Figura 6.37 Função fluxo de calor desconhecido.
Figura 6.38 Convergência da média do erro de aproximação.
61
Figura 6.39 Convergência do traço da matriz de covariância.
Figura 6.40 Diferença de temperatura entre modelos completo e reduzido.
A figura 6.41 apresenta o fluxo de calor estimado com o modelo reduzido e erro
de aproximação utilizando o fluxo da figura 6.37 para gerar as amostras estatísticas.
Como pode ser visto, o fluxo estimado consegue reproduzir bem o fluxo exato com
ambos os valores situando-se dentro da margem de incerteza de 99% durante todo o
processo, mesmo utilizando um fluxo desconhecido bem diferente do fluxo exato na
geração das amostras do erro de aproximação. Já as figuras 6.43-46 representam a
62
convergência das Cadeias de Markov em alguns tempos, bem como a distribuição
destas, que se aproximam de uma Gaussiana. Encontra-se na tabela 6.10 os dados com
custo computacional e a raíz erro médio quadrático (REQM) deste caso-teste, sendo que
este ultimo apresentou um valor inferior ao caso-teste 2, analisado no mesmo ponto,
mostrando assim que o erro de aproximação realmente é uma ferramenta muito eficaz
para ser utilizada em problemas inversos.
Figura 6.41 Fluxo de calor estimado na posição (0,1).
Figura 6.42Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =1,292.
63
Figura 6.43 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2.584.
Figura 6.44 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =3.876.
64
Figura 6.45 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 5.168.
Tabela 6.10 Dados do problema inverso com modelo completo e modelo de erro de
aproximação.
Tempo de CPU 15.36s
Estados Totais 100.000
Estados Aceitos 30102
Taxa de
Aceitação 30.102%
Aquecimento 50000
REQM 0.28645
Por fim a figura 6.47 mostra uma comparação entre a temperatura simulada, que
representariam as medidas experimentais simuladas, temperatura exata e temperatura
estimada, obtida com fluxo de calor estimado neste caso (figura 6.42). Como pode ser
observado, a temperatura estimada consegue acompanhar bem a temperaturas simulada
e exata, apresentando uma pequena divergência em alguns pontos durante o final do
processo.
65
Figura 6.46 Comparação entre as medidas de temperatura simuladas, exata e estimada.
66
6.3.5 Caso-teste 5 - Estimativa de Função com Modelo Completo e de Erro de
Aproximação Utilizando Fluxo Desconhecida com Alto de Desvio Padrão
Neste caso será analisado o mesmo problema do caso 4, porém com medidas
simuladas com desvio padrão de 5% da temperatura máxima obtida. As figuras 6.47-48
representam a convergência das médias e do traço da matriz da covariância para um
total de 500 amostras, respectivamente. Neste caso foi usado um parâmetro de
regularização 𝜑𝑟𝑒𝑔 = 100, para todos os pontos analisados.
Figura 6.47 Convergência da média do erro de aproximação.
67
Figura 6.48 Convergência do traço da matriz de covariância.
A figura 6.49 apresenta uma comparação entre os valores dos fluxos estimados e
exato. Como pode ser visto, os valores estimados conseguem reproduzir bem o fluxo
exato até por volta da metade do processo. A partir daí, os valores estimados começam a
divergir bastante com os valores exatos ficando fora da margem de incerteza de 99%. Já
as figuras 6.50-53 representam a convergência da Cadeia de Markov em alguns tempos,
bem como a distribuição destas, que como pode ser visto, se aproximam de uma
Gaussiana. Encontra-se na tabela 6.11 os dados com custo computacional e erro médio
quadrático (REQM) deste caso-teste, sendo que este ultimo apresentou um valor
superior ao caso-teste 4, como era de se esperar, devido ao alto desvio padrão utilizado.
68
Figura 6.49 Fluxo de calor estimado na posição (0,1).
Figura 6.50 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 1,292.
69
Figura 6.51 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2,584.
Figura 6.52 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 3.876.
70
Figura 6.53 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 5,168.
Tabela 6.11 Dados do problema inverso com modelo completo e modelo de erro de
aproximação com 5 % de desvio padrão.
Tempo de CPU 40.6548 s
Estados Totais 100.000
Estados Aceitos 52114
Taxa de Aceitação 52.114%
Aquecimento 50000
REQM 1.284733
Por fim, a figura 6.49 apresenta uma comparação entre os valores de temperatura
estimados, exatos e simulados. Como pode ser visto, os valores simulados ficaram bem
afastados dos valores exatos. Porém, mesmo assim, os valores estimados conseguiram
acompanhar bem os valores exatos apresentando uma pequena divergência entre estes
no final do processo.
71
Figura 6.54 Comparação entre as medidas de temperatura simuladas, exata e estimada.
72
6.3.6 Caso-teste 6 - Estimativa de Função com Modelo Completo e de Erro de
Convencional.
O case teste 6 foi resolvido a fim de realizar uma comparação entre o custo
computacional e resultados do problema inverso com modelo reduzido e erro de
aproximação (caso-teste 1), e do problema inverso com modelo completo e erro
convencional.
Neste item, foram utilizadas as medidas de temperatura simuladas com modelo
completo na posição (0,1) e 1 % de desvio padrão da temperatura máxima obtida, e
problema inverso resolvido com modelo completo e erro. Como pode ser visto na figura
6.55, o fluxo de calor estimado tem a mesma forma do fluxo real, porem não consegue
reproduzi-lo bem, principalmente nos instantes iniciais e finais. Isto pode ter sido
causado por um parâmetro de regularização (𝜑𝑟𝑒𝑔 = 100), muito alto, que torna a
função estimada muito suave.
Contudo, como pode ser visto na tabela 12, o custo computacional deste caso teste é
muito superior ao do caso teste 1, cerca de 4000 vezes mais elevado. Por conta disso,
não foi calculado a raíz do erro médio quadrático (REQM) para este caso, já que isto
requer que este seja realizado 10 vezes. Além disso, os resultados obtidos para o fluxo
de calor no caso teste 1, são bem mais próximos aos valores exatos do que neste caso
teste, o que mostra o quanto o uso do erro de aproximação é eficiente.
73
Figura 6.55 Fluxo de calor estimado na posição (0,1).
Figura 6.56 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 1,292.
74
Figura 6.57 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2.584.
Figura 6.58 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 3.876.
75
Figura 6.59 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 3.876.
Tabela 12 -Dados do problema inverso com modelo completo e erro convencional.
Tempo de CPU 80356.52 s
Estados Totais 100.000
Estados Aceitos 45865
Taxa de Aceitação 45.865%
Aquecimento 50000
REQM 1.3846
76
Figura 6.60 Comparação entre as medidas de temperatura simuladas, exata e estimada.
77
7 CONCLUSÕES E SUGESTÕES
Este trabalho teve o objetivo de estimar o fluxo de calor gerado na ferramenta de
corte durante o processo de brunimento através da modelagem do erro de aproximação.
O problema físico foi modelado bidimensionalmente e resolvido através da
Técnica da Transformada Integral Clássica (CITT). Como modelo reduzido foi usada
uma formulação de parâmetros concentrados.
Seis casos-teste foram analisados para a solução do problema inverso estudados
neste trabalho. Nos dois primeiros casos, as medidas simuladas foram geradas a partir
do modelo bidimensional, e, no terceiro caso, com modelo reduzido. Nos três casos, as
soluções dos problemas inversos foram obtidas com o modelo reduzido, baseado na
formulação de parâmetros concentrados. No primeiro caso-teste foi usada a modelagem
de erro de aproximação. No segundo caso-teste foi usado o modelo de erro
convencional. Já no terceiro caso-teste, foi feito crime-inverso, onde as medidas foram
simuladas com o modelo de parâmetros concentrados, que também foi usado para a
solução do problema inverso.
Nos casos teste 4, 5, e 6, as medidas simuladas foram geradas com modelo
bidimensional. No quarto caso-teste, foi possível verificar que mesmo utilizando um
fluxo de calor bem diferente do exato, obtêm-se bons resultados com o modelo de erro
de aproximação, com a função estimada e exata ficando dentro do intervalo de
confiança 99%. Já no caso-teste cinco, devido ao alto desvio padrão, as medidas
simuladas de temperatura ficaram muito dispersas, e com isso, não possibilitando uma
estimativa tão boa quanto no caso anterior. Em ambos os casos teste 4 e 5, o problema
inverso foi resolvido com modelo reduzido e modelagem de erro de aproximação. Por
fim, no sexto caso-teste, foi possível realizar uma comparação tendo em vista o custo
computacional deste caso, e custo computacional dos outros casos. Neste caso teste, o
problema inverso foi resolvido com modelo bidimensional e modelagem de erro
convencional.
As estimativas de fluxo do calor obtidas com o modelo de erro de aproximação
apresentaram melhores resultados quando comparados as resultados obtidos com as
estimativas do fluxo de calor obtidos com modelo de erro convencional. Porém, na
posição (0,0), que representa o contato entre a ferramenta e seu suporte, nos tempos
iniciais os valores estimados não representam bem a função fluxo de calor exato.
78
Contudo, para o restante do tempo o fluxo estimado apresentou boa concordância,
ficando dentro do intervalo de confiança de 99 %.
Para trabalhos futuros sugere-se a realização dos experimentos para a se obter
medidas reais de temperaturas, bem como a otimização do aparato experimental em
relação ao numero de sensores e o posicionamento dos mesmos.
79
BIBLIOGRAFIA
[1]. LUCHESI, V. M.; COELHO, R. P. An Inverse Method to Estimate the Moving
Heat Source in Machine Process. Applied Thermal Engineering, v. 45 46, pp.
64-78, 2012.
[2]. ABUKHSHIM, N. A.; MATIVENGA, P. T.; SHEIKH, M. A. Heat Generation
and Temperature Prediction in Metal Cutting: A Review and Application for a
High Speed Machining. Journal of Machine Tool & Manufacture, v. 46, pp.
782-800, 2006.
[3]. PRIEST, M.; TAYLOR, C. M. Automobile Engine Tribology: Approaching the
Surface. WEAR, v. 241, n. 2, pp. 193-203, 2000.
[4]. ANDRETTA, C. Brunimento para Recuperação das Camisas de Pistão dos
Motores de Combustão Interna. Dissertação de M. Sc, Universidade Estadual de
Campinas,Campinas,SP,São Paulo. 2001.
[5]. MOCELLIN, F. Desenvolvimento de Tecnologia para Brunimento de
Cilindros de Blocos de Motores em Ferro Fundido Vermicular. Tese D.Sc.,
Universidade Federal de Santa Catarina,Florianópolis,SC, Santa Catarina,Brasil.
2007.
[6]. DA SILVA, N. P. Estimativa de Fluxo de Calor em Ferramentas de
Brunimento Método de Monte Carlo com Cadeia de Markov. Dissertação
M.Sc, Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE. Rio de Janeiro,RJ,Brasil.
2012.
[7]. KAIPIO, J.; SOMERSALO, E. I. Statistical and Computational Inverse
Problems. 1. ed. New York: Springer Science, 2004.
[8]. MOTA, C. A. A. Estimativa Simultânea de Fluxo de Calor e de Propriedades
Termofísicas de Materiais em Altas Temperaturas. Universidade Federal do
Rio de Janeiro. Tese de D. Sc., Universidade Federal do Rio de
Janeiro,COPPE,Rio de Janeiro, RJ, Brasil. 2007.
[9]. ORLANDE, H. R. B.; COLAÇO, M. J.; DULIKRAVICH, G. S. Bayesian
Estimation of the Thermal Conducitivity of Components of Orthotorpic Solids.
Internation Congress of Mechanical Engineering, Salvador, 2008.
[10]. MEJIAS, M. M.; ORLANDE, H. R. B.; OZISIK, M. N. Effects of the Heating
Process and Dimensions on the Estimation of the Thermal Conductivity
Components Orthotropics Solids. Inverse Probems in Engineering, v. 11, pp. 75-
89, 2003.
[11]. WANG, J.; ZABARAS, N. Spatial Statistics Models for Stochastic Inverse
Problems in Heat Conduction. In: Proceeding of the 9th ASCE Specialty
Conference on Probabilistic Mechanistic Structural Reliability.
[12]. FUDYM, O. et al. Bayesian Approach for Thermal Diffusivity Mapping from an
Infrared Images with Spatially Random Heat Pulse Heating. Journal of Physics :
Conference Series 135, 012042, 2008.
[13]. NÓBREGA, P. H. A.; ORLANDE, H. R. B.; BATAGLIA, J.-L. Bayesian
Estimation of Thermophysical Parameters of Thin Metal Films Heated by Fast
laser Pulse. International Communications in Heat and Mass Transfer, v. 38,
pp. 1172-1177, 2011.
[14]. SALAS, A. M. F. et al. Bayesian Estimation of Thermal Properties of Overhead
Eletric Power Cables. 21th Braziliam Congress of Mechanical Engineering,
80
Natal, RN, Outubro 2011.
[15]. PARTHASARATY, S.; BALAJI, C. Estimation of Parameters in Multimode Heat
Transfer Problems Using Bayesian Inference - Effect of Noise and Priori.
International Journal of Heat and Mass Transfer, v. 51, pp. 2113-2334, 2008.
[16]. SANTOS, M. R. et al. Comparison of the Inverse Methods in Determination of the
Heat Flux and Temperature in Cutting Tool Durong a Machine Process.
Internation Congress of Mechanical Engineering, COBEM, Brasilia-DF,
november 2007.
[17]. CARVALHO, S. R. et al. Temperature Determination at the Chip Tool Interface
Using a Inverse Thermal Model Considering the Tool Holder. Journal of the
Materials Processing Technology, v. 179, pp. 97-104, 2006.
[18]. BRITO, R. F.; CARVALHO, S. R.; LIMA E SILVA, S. M. M. The Use of
Comsol and Inverse Problems Technique to Estimate the Heat Flux on a Cutting
Tool. International Conference on Inverse Problems in Engineering, 2014.
[19]. LAZARD, M.; REMY, B. HEAT FLUX AND TEMPERATURE ESTIMATION
DURING CUTTING PROCESS THROUGH REGULARIZATION
TECHNIQUE. 5th European Thermal-Sciences Conference, 2008.
[20]. WOODBURY, K. A. et al. Use of Evolutionary Algorithms to Determine Tool
Heat Flux in Machining Operation. Internation Symposium on Inverse
Problems Design and Optimization (IPDO), Miami Beach, Florida, USA, April
2007.
[21]. RIBEIRO, C. A. C. et al. Estimativa de Fluxo de Calor e Temperatura numa
Ferramenta de Corte Usando Técnicas de Problemas Inversos e Ansys CFX. 7th
Congresso Brasileiro de Engenharia de Fabricação, Maio 2013.
[22]. YVONNET, A. J. et al. A Simple Inverse Procedure to Determine the Heat Flux
on the Tool in Orthogonal Cutting. Journal of Materials Processing and
Technology, v. 46, pp. 820-827, 2006.
[23]. MING, C. et al. Experimental Research onthe Dynamic Characteristic of the
Cutting Temperature in the Process of High-Speed Milling. Journal of Materials
Processing and Technology, Shangai, China, v. 138, pp. 468-471, 2003.
[24]. NISSINEN, A.; HEIKKINEN, L.; KAIPIO, J. The Baysian Approximation Error
Apporach for Electrical Impedance Tomography-Experimental Results.
Measurement Science and Technology, Kuopio, v. 19, pp. 015501, 2008.
[25]. NISSINEN, A. Modelling Errors in Electrical Impendance Tomography. Ph.D
Dissertation in Forestry and Natural Science. ed. Kuopio: University of Eastern
Finland, 2011.
[26]. NISSINEN, A. et al. Compensation of Errors due to Discretization, Domain
Trucation and Unknown Contact Impedances in Eletrical Impedance Tomography.
Measurement Science and Technology, v. 20, pp. 105504, 2009.
[27]. NISSINEN, A.; KOLEHMAINEN, K.; KAIPIO, J. P. Compensation of Modeling
Errors due to Unknown Domain Boundary in Eletrical Impedance Tomography.
IEEE transactions on Medical Imaging, v. 1, pp. 231-242, 2011a.
[28]. NISSINEN, A.; KOLEHMAINEN, V.; KAIPIO, J. P. Reconstrution of Domain
Boundary and Conductivity in Eletrical Impedance Tomography Using the
Approximation Error Approach. International Journal of Uncertainty
Quantification, v. 1, pp. 231-242, 2011b.
[29]. HUTTUNEN, J. M. J. Approximationand Modeling Errors in Nonstationary
81
Inverse Problems. University of Kuopio, Kupio, Finland. 2008.
[30]. HUTTUNEN, J. P. J.; KAIPIO, J. P. Approximation Error in Nonstationary
Inverse. Inverse Problems, v. 1, pp. 77-93, 2007 a.
[31]. HUTTENEN, J. Approximation Erros in Nonlinear State Estimation with an
Application to State-Space Identification. Inverse Problems, v. 23, pp. 2141-
2157, 2007 b.
[32]. HUTTENEN, J. M.; KAIPIO, J. P. Model Reduction in State Identification
Problems with an Aplication to Determination of Thermal Parameters. Applied
Numerical Mathematics, v. 59, pp. 877-890, 2009.
[33]. HUTTUNEN, J. et al. Importance Sampling Approach for the Nonstationary
Approximation Error Method. Inverse Problems, v. 26, 2010.
[34]. BANASIAK, R.; YE, Z.; SOLEMAIN, M. IMPROVING THREE-
DIMENSIONAL ELECTRICAL CAPACITANCE TOMOGRAPHY IMAGING
USING APPROXIMATION ERROR MODEL THEORY. Journal of
Electromagn. Waves and Applications., v. 26, pp. 411-412, 2012.
[35]. ORLANDE, H. R. B. et al. Accelerated Bayesian Inference for the Estimation of
Spatially Varying Heat Flux in a Heat Conduction Problem. Numerical Heat
Transfer,Part A Applications:An International Journal of Computation and
Methodology, v. 65:1, pp. 1-25, 2014.
[36]. LAMIEN, B.; ORLANDE, H. R. B. APPROXIMATION ERROR MODEL TO
ACCOUNT FOR CONVECTIVE EFFECTS IN LIQUIDS CHARACTERIZED
BY THE LINE HEAT SOURCE PROBE. 4th Inverse Problems, Design and
Optimization Symposium, Albi-France, Junho 2013.
[37]. OZISIK, M. N. Heat condution. 2. ed. Nova York: John Wiley & Sons, 1993.
[38]. HADAMARD, J. Lectures on Cauchy´s Problems in Linear Differential
Equations, Yale University Press, New Haven, 1923.
[39]. TAN, S.; FOX, C.; NICHOLLS, G. Inverse Problems, Course Notes for Physics
707, University of Auckland, 2006.
[40]. HOKOYAMA, K.; ICHIMIYA, R. Analyses of Thermal Deformation of Work-
Pieces in Honing Process: Temperature Distribution, Horning Force and
Expansion Pressure of Honing Stone. Japan Society of Precision Engineering, v.
17, n. 2, pp. 227-252, jullho 2003.
[41]. TRENT, E. M.; PAUL, K. Metal Cutting. 4. ed. Woburn: Butterworth-
Heinemann, 2000.
[42]. KLOCKE, F. Manufacturing Process 2: Griding, Honing, Lapping, Springer,
2009.
[43]. SALES, W. S. et al. Coolling Ability of Cutting fluids and Measurement of the
Chip-Tool Interface Temperatures,v. 54, pp. 57-68, 2002.
[44]. FLORES, G. http://www6.hs-essslingen.de/static/326/1_Honen.pdf. Honen-
Feinbearbeitung von Bohrung.
[45]. MABOUDOU-TCHAO, E. M.; HAWKINS, D. M. Algorithm for Sequential
Estimation of the Covariance Matrix and Some Applications. Proceedings of
International Workshop Sequential Methodologies, 2009.
[46]. CHAI, T.; DRAXLER, R. R. Root Mean Square Erro (RMSE) or Mean Absolute
Erro? Argument Against Avoiding RMSE in Literature. Geoscientific Model
Development, v. 7, pp. 1247-1250, 2014.
82
[47]. OZISIK, M. N.; ORLANDE, H. R. B. Inverse Heat Transfer: Fundamentals and
Applications. New York: Taylor and Francis, 2000.