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UNIVERSIDADE VALE DO RIO DOCE

DISCIPLINA: GEOMETRIA DESCRITIVA

FAENGE – FACULDADE DE ENGENHARIA

CURSOS - ENGENHARIA CIVIL - ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

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SUMÁRIO - Apresentação Pag 3 - Noções de Projeções Pag. 3 - Classificação das Projeções Pag. 4 - Projeções Cônicas Pag. 4 - Projeções Cilíndricas Pag. 4 - Projeção Cilíndrica Obliqua Pag. 5 - Projeção Cilíndrica Ortogonal Pag. 5 - Estudo do Ponto Pag. 6 - Diedros de Projeção Pag. 6 - Épura Pag. 7 - Posições do Ponto no espaço Pag. 8 - Coordenadas Pag.12 - Planos Bissetores Pag.12 - Simetria de pontos Pag.13 - Estudo da Reta Pag.16 - Determinação de uma Reta Pag.17 - Posições de Reta Pag.18 - Situações de Reta Pag.22 - Traço de Reta Pag.24 - Bibliografia Pag.25

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APRESENTAÇÃO

A Geometria Descritiva é a parte da matemática aplicada que tem como objetivo representar sobre o plano as figuras do espaço, ou seja, resolver problemas de três dimensões em duas dimensões. Para conseguir esse objetivo, são usados processos construtivos que permitem representar, no plano, a figura espacial de tal maneira que todo problema relativo a essa figura se possa interpretar sobre sua representação plana.

A Geometria Descritiva foi criada por Gaspar Monge (matemático francês), que viveu no século XVIII e servia nas tropas de Napoleão na campanha do Egito. Ele projetava construções bélicas (fortes militares) e necessitava representar graficamente seus projetos para que pudessem ser construídos, independente do local ou pais.

A Geometria Descritiva é importante na formação de profissionais que trabalham com espaço e forma. E, portanto, base para desenho de maquinas, arquitetura e engenharia. Os estudos feitos a partir da obra de Monge provocaram a sua evolução e também a descoberta de novas propriedades da geometria plana.

Podemos então entender a Geometria Descritiva como sendo: “Uma ciência que estuda métodos de representações de figuras espaciais sobre um plano”.

NOÇÕES DE PROJEÇÕES

A palavra projeção vem do latim - "projectione". Projeção é o processo pelo qual se incidem raios sobre um objeto em um plano chamado plano de projeção. A projeção do objeto é sua representação gráfica no plano de projeção.

O estudo das projeções se propõe a possibilitar a representação gráfica sobre planos, de figuras situadas no espaço, de maneira que possamos resolver os problemas relativos à sua forma, dimensão e, em alguns casos, de posição.

“A operação geométrica” projeção supõe a existência de quatro elementos básicos: - O objeto; - O plano de projeção (a superfície onde se realiza a projeção); - O centro de projeção (representando o observador); - Os raios projetantes (retas que partem do centro de projeção e se dirigem para os diversos pontos do espaço a serem projetados). A Projetante é a reta que a partir do centro de projeção, passa pelos pontos do objeto e intersecta o plano de projeção.

Pode ser oblíqua ou ortogonal ao plano de projeção, dependendo da direção adotada. Centro de Projeção é o ponto fixo de onde partem ou por onde passam as projetantes.

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CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES: Os sistemas de projeções são classificados de acordo com a posição ocupada pelo centro de projeção. Esse centro pode ser finito ou infinito, determinando:

1-. Sistema Cônico ou central: o centro de projeção está a uma distância finita da superfície.

2-. Sistema Cilíndrico ou paralelo: centro de projeção a uma distância infinita da superfície.

1- Projeção cônica: A projeção cônica, também chamada de projeção central é o tipo de projeção cujos raios que incidem no objeto e no plano de projeção são todos concorrentes no ponto O, gerando assim a forma de um cone. O centro de projeção O, ocupando uma posição finita, as projetantes resultam convergentes, razão pela qual este sistema é denominado de sistema de projeção central, cônica ou perspectiva. Este sistema representa os objetos como são vistos e não como realmente são (perspectiva exata). Na projeção cônica, quanto mais próximo o objeto estiver do centro de projeção, mais ampliada será sua projeção.

2- Projeção Cilíndrica: A projeção cilíndrica, também chamada de projeção paralela, é o tipo de projeção cujos raios projetantes que incidem no objeto e no plano de projeção são todos paralelos entre si, gerando a forma de um cilindro. O centro de projeção O está situado no infinito (ponto impróprio) e as projetantes são retas paralelas à direção. Este sistema representa as linhas que caracterizam o objeto como ele realmente é. Este tipo de projeção é a usada no desenho técnico.

Podemos ter dois tipos de projeção cilíndrica: 2.1- Projeção cilíndrica oblíqua; 2.2- Projeção cilíndrica ortogonal.

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2.1 - Projeção Cilíndrica Oblíqua:

Os raios projetantes estão oblíquos (inclinados) ao Plano de Projeção.

2.2 - Projeção Cilíndrica Ortogonal:

Os raios projetantes estão perpendiculares ao Plano de Projeção. Neste tipo de projeção o objeto é representado em verdadeira grandeza. Este último sistema foi adotado por Gaspar Monge.

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ESTUDO DO PONTO

Diedros de Projeção

Uma única projeção ortogonal não é suficiente para localizar um determinado ponto no espaço, pois diversos pontos situados na mesma prumada terão sua projeção ortogonal no plano horizontal no mesmo lugar.

Desta forma, Gaspar Monge criou o Método de dupla projeção cilíndrico ortogonal ou “Método Mongeano”. Este sistema possui dois planos de projeção: um Vertical (π’) e outro Horizontal (π), perpendiculares entre si, que se interceptam numa reta chamada linha de terra (LT) ou (π π’). Estes planos delimitam quatro regiões denominadas de diedros e quatro semi-planos.

- Plano Horizontal Anterior (A) ou PHA

- Plano Horizontal Posterior (P) ou PHP

- Plano Vertical Superior (‟S) ou PVS

- Plano Vertical Inferior (‟I) ou PVI

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No Brasil a ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) admite a representação tanto no 1° Diedro, como no 3° Diedro, sendo o mais utilizado a do 1° Diedro. A representação no 3° diedro é comum em indústrias estrangeiras, principalmente nas americanas. Voltando ao Método de dupla projeção cilíndrica ortogonal ... As duas projeções ortogonais: a vertical A e a horizontal A‟ e sua projeção na linha de terra O(A), identificam perfeitamente o ponto (A).

- Representamos os pontos no espaço com LETRA MAIUSCULA entre parênteses. Ex: (A). - Representamos a projeção horizontal de um ponto com a letra maiúscula/linha. Ex: A‟ - Representamos a projeção vertical de um ponto com a letra maiúscula apenas. Ex: A. - Chamamos de Cota de um ponto, a distância dele ao plano horizontal de projeção; - Chamamos de Afastamento de um ponto, a distância dele ao plano vertical de projeção; - Linha de Terra LT é a linha de interseção entre os planos vertical e horizontal; - Linha de projeção ou chamada é linha perpendicular à LT, que une as projeções de um mesmo ponto. - A distância entre a projeção do ponto (A) na linha e o ponto O (origem) é chamada de Abscissa.

Épura

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Para representar e interpretar as figuras no espaço é necessário que os dois planos de projeção sejam representados em uma mesma superfície plana. Para tanto, faz-se o rebatimento do plano horizontal rotacionando-o 90° no sentido horário em torno da LT, de modo que o (π‟S) venha a ficar em coincidência com o (πP) e conseqüentemente o (π‟I) também em coincidência com o (πA). Seria a planificação de uma figura no espaço.

Ao rotacionar o plano, obtemos a épura conforme o desenho abaixo. A linha de terra pode ser representada por LT ou dois traços no inicio e final e abaixo da linha.

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Posições do Ponto no espaço e a representação de sua Épura

1- Ponto no 1° Diedro

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Quando um ponto se encontra no 1° Diedro, sua cota e seu afastamento são positivos. Quando se rotaciona o plano horizontal e se forma a Épura verificamos sempre que a cota positiva é representada acima da LT e o afastamento positivo representado abaixo da LT. Esta regra se aplica a representação de todos os pontos independente do diedro a que pertence.

2- Ponto no 2° Diedro

Quando um ponto se encontra no 2° Diedro, sua cota é positiva e seu afastamento negativo. Quando se rotaciona o plano horizontal e se forma a Épura verificamos que a cota positiva é representada acima da LT e o afastamento negativo também está acima da LT.

3- Ponto no 3° Diedro

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Quando um ponto se encontra no 3° Diedro, sua cota e seu afastamento são negativos. Quando se rotaciona o plano horizontal e se forma a Épura verificamos que a cota negativa é representada abaixo da LT e o afastamento negativo é representado acima da LT.

4- Ponto no 4° Diedro

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¶

Quando um ponto se encontra no 4° Diedro, sua cota é negativa e seu afastamento positivo. Quando se rotaciona o plano horizontal e se forma a Épura verificamos que a cota negativa e o afastamento positivo são representados abaixo da LT.

Existem alguns casos especiais em que um ponto pertence a mais de um diedro ao

mesmo tempo. Neste caso, dizemos que o ponto pertence não a dois diedros, mas ao plano.

5- Ponto no Plano Horizontal

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Quando um ponto no espaço pertence a um plano horizontal, sua cota =0. Então sua projeção horizontal, coincide com o próprio ponto e sua proteção vertical está localizada na linha de terra. Isto independe se ele está no PHA ou PHP. Nestes casos, na épura, o afastamento será representado abaixo da LT (como no exemplo) ou acima da LT respectivamente, mas a cota sempre estará representada na linha de terra.

6- Ponto no Plano Vertical

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¶

Quando um ponto no espaço pertence a um plano vertical, seu afastamento =0. Então sua projeção vertical, coincide com o próprio ponto e sua proteção horizontal está localizada na linha de terra. Isto independe se ele está no PVI ou PVS. Nestes casos, na épura, a cota será representada abaixo da LT (como no exemplo) ou acima da LT respectivamente, mas o afastamento sempre estará representado na linha de terra.

7- Ponto na Linha de Terra

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Quando um ponto no espaço pertence à linha de terra, seu afastamento e sua cota são = 0. Então sua projeção vertical e sua projeção horizontal coincidem com o próprio ponto e todos estão localizados na linha de terra. Em épura acontecerá o mesmo, ou seja, todos serão representados na linha de terra.

Em resumo, no estudo do ponto, de acordo com a posição dele no espaço, deve-se considerar os sinais dos diedros conforme a tabela abaixo:

COORDENADAS Quando queremos localizar um ponto no espaço, são necessárias três medidas. Uma no eixo x, uma no y e outra no eixo z. Estas medidas são chamadas de coordenadas. O conhecimento do afastamento (comprimento, distancia horizontal=y) e da cota (altura ou distancia vertical=z) e de um ponto determinam com precisão as distâncias do ponto aos planos de projeção (π) e (π„), mas na prática, o ponto necessita de mais outra medida - a abscissa – que posiciona o ponto no eixo x ou linha de terra, a partir de um ponto de origem (o) qualquer. Este ponto de origem necessariamente está localizado na LT e a abscissa é positiva quando um ponto está à direita do “o” e negativa quando um ponto está à esquerda (ou antes) do ponto “o”. As coordenadas de um ponto são, pois: abscissa, afastamento e cota, nessa ordem. A(x,y,z)

Exemplo: (A) [1; 2; 1]

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¶

PLANO BISSETOR Plano bissetor é o plano que divide o diedro em duas regiões iguais. Só existem dois planos bissetores:

o 1º bissetor cortando os diedros ímpares (1º e 3º) chamado de plano bissetor ímpar representado pela letra do alfabeto grego beta (β) juntamente com os números 1 e 3 ou com a letra i (β1,3 ou βi) ou ainda PBI.

o 2º bissetor cortando os diedros pares (2º e 4º) chamado de plano bissetor par representado pela letra do alfabeto grego beta (β) juntamente com os números 2 e 4 ou com a letra p (β2,4 ou βp) ou ainda PBP.

O ponto quando está situado no plano bissetor tem grandezas de afastamento e cota iguais, mas dependendo do diedro que está localizado seu sinal poderá estar invertido: - Um ponto situado no PBI, 1° diedro possui cotas e afastamento com medidas iguais e sinais igualmente positivos. - Um ponto situado no PBI, 3° diedro possui cotas e afastamento com medidas iguais e sinais igualmente negativos. - Um ponto situado no PBP, 2° diedro possui cotas e afastamento com medidas iguais, mas a cota será positiva e o afastamento negativo. - No entanto, um ponto situado no PBP, 4° diedro possui cotas e afastamento com medidas iguais, mas o afastamento será positivo e a cota negativa.

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Bp ¶ B

i

¶

SIMETRIA DE PONTOS

Dois pontos (A) e (B) são simétricos em relação a um plano, quando este plano é o mediador do segmento formado pelos dois pontos, isto é, quando o plano é perpendicular ao segmento formado por esses dois pontos e contendo o seu ponto médio (M), onde o segmento (A)(M) é igual ao segmento (M)(B).

¶

A

B

M

Mas então um ponto pode ser simétrico ao plano horizontal, ao plano vertical, aos planos bissetores e até a própria linha de terra. Vejamos como isto acontece:

Pontos simétricos em relação aos planos de projeção: Horizontal

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¶

Os pontos possuem a mesma abscissa, o mesmo afastamento em grandeza e sentido (sinal) e a cota da mesma grandeza, porém de sentido contrário (sinal inverso). Vertical

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¶

Os pontos possuem a mesma abscissa, a mesma cota em grandeza e sentido (sinal) e o afastamento da mesma grandeza, porém de sentido contrário (sinal inverso).

Pontos simétricos em relação aos planos bissetores Plano bissetor ímpar

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¶

¶'

βi

Seja o ponto (A) e a reta que representa o 1º bissetor (βi). Verifica-se que a figura (A)A‟MA é um retângulo igual ao formado por (B)B‟MB, e, como (A) e (B) são simétricos (portanto mesma abscissa), a cota de um dos pontos é igual ao afastamento do outro e vice-versa. A épura se caracteriza por abscissas iguais; afastamento e cota de um dos pontos iguais respectivamente a cota e afastamento do outro, isto é, as projeções de nomes contrários simétricos em relação à linha de terra. Plano bissetor par

¶'

βp

¶

Seja o ponto (A) e a reta que representa o 2º bissetor (βp). Verifica-se que as abscissas são iguais e que a cota de um é simétrica ao afastamento do outro e reciprocamente. A épura se caracteriza por abscissas iguais e cota de (A) igual ao afastamento de (B) e cota de (B) igual ao afastamento de (A), portanto, as projeções de nomes contrários são coincidentes.

Pontos simétricos em relação à linha de terra

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Seja a linha de terra ‟ a mediatriz do segmento (A)(B). Então são iguais os retângulos que se observam na figura e os pontos simétricos em relação à linha de terra possuem abscissas iguais e cotas e afastamentos simétricos. A épura é caracterizada pelas projeções de mesmo nome dos dois pontos (A) e (B), simétricos em relação à linha de terra.

ESTUDO DA RETA

Uma reta é formada por infinitos pontos. A projeção destes pontos no plano forma a projeção da reta no plano. Então a projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre esse plano. Mas dois pontos são suficientes para determinar uma reta, logo às projeções de qualquer segmento pertencente a uma reta ficam perfeitamente determinados quando são conhecidas as projeções dos seus pontos extremos.

Seja a reta (A)(C) e o plano (). A reta (A)(C), juntamente com as projetantes dos pontos

extremos (sempre perpendiculares ao plano) formam um plano () perpendicular ao plano

() denominado de plano projetante da reta ou plano projetante vertical.

A interseção entre estes dois planos forma a reta AC que a projeção da reta no espaço no plano horizontal.

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A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta, quando ela lhe for perpendicular, pois nesse caso a projeção será um ponto.

Quando uma reta for paralela a um plano a sua projeção sobre esse plano é igual e paralela à própria reta. Diz-se então que a reta se projeta em “Verdadeira Grandeza” (VG).

Quando uma reta for oblíqua a um plano, sua projeção sobre esse plano é sempre menor que a reta no espaço, pois o cateto adjacente de um triangulo retângulo é sempre menor do que a hipotenusa.

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Determinação de uma Reta De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as projeções dessa reta sobre dois planos ortogonais.

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Se o ponto (C) pertence a reta (A)(B) suas projeções também pertencerão às retas (A)(B).

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Regra geral – Um ponto pertence a uma reta, quando as projeções desse ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e projeção vertical também sobre a projeção vertical da reta.

POSIÇÕES DE RETA

1- Reta Qualquer - Chamamos uma reta de Reta Qualquer quando ela é oblíqua aos dois planos de projeção. - Suas coordenadas apresentam abscissas, cotas e afastamentos diferentes. - Sua épura é caracterizada por possuir ambas as projeções oblíquas à LT. - Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes.

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¶'

2- Reta Horizontal ou de Nível

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- Chamamos uma reta de Horizontal ou de Nível quando ela é paralela ao plano horizontal e oblíqua ao vertical. - Suas coordenadas apresentam cotas com mesmo valor e mesmo sinal. - Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical paralela à LT e a projeção horizontal oblíqua a essa mesma linha. - A projeção horizontal é representada em verdadeira grandeza (V.G.) - Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes.

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3- Reta Frontal ou de Frente - Chamamos uma reta de Reta Frontal ou de Frente quando ela é paralela ao plano vertical e oblíqua ao horizontal. - Suas coordenadas apresentam afastamentos com mesmo valor e mesmo sinal. - Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal paralela à LT e a projeção vertical oblíqua a essa mesma linha. - A projeção vertical é representada em verdadeira grandeza (V.G.) - Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes.

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4- Reta Frontal-Horizontal ou Fronto-Horizontal

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- Chamamos uma reta de Reta Fronto-Horizontal quando ela é paralela simultaneamente aos dois plano de projeção e conseqüentemente paralela a LT. - Suas coordenadas apresentam afastamentos e cotas com mesmo valor e mesmo sinal. - Sua épura é caracterizada por possuir ambas as projeções paralelas à L.T. - Ambas as projeções são representadas em verdadeira grandeza (V.G.) - Todos os seus pontos pertencem a um mesmo quadrante.

¶

¶'

5- Reta Vertical - Chamamos uma reta de Reta de Vertical quando ela é perpendicular ao plano horizontal. - Suas coordenadas apresentam abscissas e afastamentos com mesmo valor e mesmo sinal. - Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal reduzida a um ponto (chamada projeção pontual) e a vertical perpendicular à L.T. - A projeção vertical é representada em verdadeira grandeza (V.G.) - Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes.

¶

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6- Reta de Topo

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- Chamamos uma reta de Reta de Topo quando ele é perpendicular ao plano vertical. - Suas coordenadas apresentam abscissas e cotas com mesmo valor e mesmo sinal. - Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical reduzida a um ponto (chamada projeção pontual) e a horizontal perpendicular à L.T. - A projeção horizontal é representada em verdadeira grandeza (V.G.). - Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes.

¶'

¶

7- Reta de Perfil - Chamamos uma reta de Reta Perfil quando ela é oblíqua aos dois planos de projeção, mas perpendicular (ou ortogonal) à LT. - Suas coordenadas apresentam abscissas com mesmo valor e mesmo sinal. - Sua épura é caracterizada por possuir as projeções perpendiculares à LT. - Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes.

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Assim como nos pontos existem alguns casos especiais em que uma reta pertence ou

está contida nos semi-planos de projeção:

SITUAÇÕES DE RETA - (Retas contidas nos semi-planos):

Uma reta está contida no Plano, quando todos os pontos daquela reta também pertencem ao plano. Elas podem estar contidas no PVS, no PVI, no PHA, no PHP e na linha de terra. Para cada caso, estas retas apresentam algumas peculiaridades que iremos ver a seguir e também se assemelham as retas vistas anteriormente.

8- Plano Vertical Superior (PVS)

- Dizemos que uma reta está contida no PVS, quando os afastamentos de seus pontos são zero e suas cotas são positivas. - Apesar de afastamentos nulos, os pontos apresentam afastamentos com valores relativos iguais, então esta reta também pode ser considerada uma Reta Frontal. - Sua épura se caracteriza como na reta frontal, por projeção vertical em real grandeza e projeção horizontal sobre a linha de terra.

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9- Plano Vertical Inferior (PVI)

- Dizemos que uma reta está contida no PVI, quando os afastamentos de seus pontos são zero e suas cotas são negativas. - Esta reta também pode ser considerada uma Reta Frontal. - Caso as abscissas também forem iguais esta reta poderá ser considerada também Vertical. - Sua épura se caracteriza por projeção vertical em real grandeza e projeção horizontal sobre a linha de terra.

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10- Plano Horizontal Anterior (PHA)

- Neste caso, dizemos que uma reta está contida no PHA, quando as cotas de seus pontos são zero e os afastamentos são positivos.

- Apesar de cotas nulas, os pontos apresentam cotas com valores relativos iguais, então esta reta também pode ser considerada uma Reta Horizontal.

- Sua épura se caracteriza por projeção horizontal em real grandeza e projeção vertical sobre a linha de terra.

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11- Plano Horizontal Posterior (PHP)

Uma reta está contida no PHP, quando as cotas de seus pontos são zero e os afastamentos são negativos. - Esta reta também pode ser considerada uma Reta Horizontal, mas se por acaso as abscissas também forem iguais esta reta poderá ser considerada também de Topo. - Sua épura se caracteriza por projeção horizontal em real grandeza e projeção vertical sobre a linha de terra.

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¶'s

12- Reta contida na L.T.

- Uma reta está contida na LT quando as cotas e os afastamentos de seus pontos são nulos. - Esta reta também pode ser considerada uma Reta Fronto-Horizontal. - Sua Épura se caracteriza pelas projeções horizontal e vertical sobre a linha de terra.

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TRAÇO DE RETAS

- Traço de reta é o ponto onde uma reta fura ou atravessa um plano, portanto, quando uma reta for paralela a um plano, não haverá traço sobre esse plano. - O traço sobre o plano vertical (π‟) é chamado de traço vertical (V). - O traço sobre o plano horizontal (π) é chamado de traço horizontal (H).

Traço Vertical

Para se obter o traço vertical (V) de uma reta, determina-se o ponto da reta que tenha também afastamento nulo ou onde o prolongamento de uma reta toca o plano vertical.

- Em épura, para se obter o traço vertical da reta (A)(B) prolonga-se a projeção de nome contrário (horizontal) até a LT onde é determinado o ponto V, projeção horizontal de (V). A partir de V traça-se uma linha de chamada (perpendicular a LT) até cruzá-la com o prolongamento do da projeção vertical da reta. Defini-se ali o traço vertical (V). - Devemos observar que V‟ sempre irá coincidir com o ponto objetivo (V), pois é um ponto do prolongamento da reta (A)(B) que pertence ao plano vertical e seu afastamento é nulo.

Traço Horizontal

Para obter o traço horizontal (H) de uma reta, determina-se o ponto da reta que tenha também cota nula ou onde o prolongamento de uma reta toca o plano horizontal.

- Em épura para obter o traço horizontal da reta (A)(B) prolonga-se a projeção de nome contrário (vertical) até a LT onde é determinado o ponto H‟, projeção vertical do traço (H). A partir de H‟ traça-se uma linha de chamada (perpendicular a LT) até cruzá-la com o prolongamento do da projeção horizontal da reta. Defini-se ali o traço horizontal (H). - Devemos observar que H sempre irá coincidir com o ponto objetivo (H), pois é um ponto do prolongamento da reta (A)(B) que pertence ao plano horizontal e sua cota é nula.