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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

CARLOS ANDRES MILLAN PARAMO

ABORDAGEM METAHEURÍSTICA PARA OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL

TESE

CURITIBA

2020

CARLOS ANDRES MILLAN PARAMO

ABORDAGEM METAHEURÍSTICA PARA OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL

Tese apresentada como requisito parcial à obtenção

do título de Doutor em Engenharia Civil, do

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, do

Departamento Acadêmico de Construção Civil, da

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

(UTFPR).

Área de concentração: Construção Civil

Linha de pesquisa: Materiais, Estruturas e Geotecnia

Orientador: Prof. João Elias Abdalla Filho, Ph.D.

CURITIBA

2020

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação

___________________________________________________________________________________

Millan Paramo, Carlos Andres

Abordagem metaheurística para otimização estrutural [recurso

eletrônico] / Carlos Andres Millan Paramo. -- 2020.

1 arquivo texto (126 f.): PDF; 5,38 MB.

Modo de acesso: World Wide Web.

Título extraído da tela de título (visualizado em 18 mar. 2020).

Texto em português com resumo em inglês.

Tese (Doutorado) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná.

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Curitiba, 2020

Bibliografia: p. 118-126.

1. Engenharia civil - Teses. 2. Otimização estrutural. 3.

Algoritmos heurísticos. 4. Espaços topológicos. I. Abdala Filho, João

Elias, orient. II. Universidade Tecnológica Federal do Paraná -

Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, inst. III. Título.

CDD: Ed. 23 -- 624

Biblioteca Ecoville da UTFPR, Câmpus Curitiba Bibliotecária: Lucia Ferreira Littiere – CRB 9/1271

Aluna de Biblioteconomia: Josiane Mangueira

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação

TERMO DE APROVAÇÃO DE TESE Nº13

A Tese de Doutorado intitulada: ABORDAGEM METAHEURÍSTICA PARA OTIMIZAÇÃO

ESTRUTURAL, defendida em sessão pública pelo Candidato Carlos Andres Millan Paramo, no dia

11 de março de 2020, foi julgada para a obtenção do título de Doutor em Engenharia Civil, área de

concentração: Construção Civil, linha de pesquisa: Materiais, Estruturas E Geotecnia, e aprovada em

sua forma final, pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil.

BANCA EXAMINADORA:

Prof. Dr. João Elias Abdalla Filho- Presidente - UTFPR

Prof. Dr. Jucélio Tomás Pereira - UFPR

Profª. Drª. Viviana Cocco Mariani - PUCPR

Prof. Dr. Leandro Dos Santos Coelho - PUCPR

Prof. Dr. Wellington Mazer - UTFPR

A via original deste documento encontra-se arquivada na Secretaria do Programa, contendo a

assinatura da Coordenação após a entrega da versão corrigida do trabalho.

Curitiba, 11 de março de 2020.

A Deus

À minha esposa Carmen Meliza

Às minhas filhas Carla e Sofia

Aos meus pais Euriel e Irma

AGRADECIMENTOS

A Deus, por me permitir alcançar este ponto e ter me dado saúde para alcançar meus objetivos.

À minha filha Carla e minha esposa Carmen Meliza pelo apoio, compreensão, carinho e

inspiração.

À Organização dos Estados Americanos (OEA) e ao Grupo Coimbra de Universidades

Brasileiras (GCUB) por ter sido escolhido como uns dos beneficiários da bolsa de estudo do

Edital OEA GCUB 2015.

À Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) e ao Programa de Pós-graduação em

Engenharia Civil (PPGEC) pela oportunidade.

À Universidad de Sucre pelo apoio neste tempo de estudo.

A meu Orientador, o Prof. João Elias Abdalla Filho, pela confiança e ajuda durante o

desenvolvimento desta pesquisa.

Por fim, aos membros da Banca de Defesa: Profa. Viviana Cocco Mariani, Prof. Jucélio Tomás

Pereira, Prof. Leandro dos Santos Coelho e Prof. Wellington Mazer. Agradeço muito pelas

correções, comentários e sugestões.

RESUMO

MILLAN PARAMO, Carlos Andres. Abordagem metaheurística para otimização

estrutural. 2020. 126 f. Tese (Doutorado em Engenharia Civil) ‒ Programa de Pós-Graduação

em Engenharia Civil, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, Brasil, 2020.

A otimização estrutural visa projetar estruturas sob certas restrições para alcançar um melhor

comportamento. No entanto, minimizar o peso das estruturas pode ser considerado um

problema complicado de resolver devido à satisfação das restrições de projeto. Em geral, estas

restrições são não lineares, não convexas e implícitas em relação às variáveis do projeto.

Portanto, isso tem dificultado o uso de otimizadores baseados em gradientes. Sob tais

circunstâncias, as metaheurísticas de otimização podem servir como alternativas adequadas

devido à capacidade de encontrar mínimos globais em espaços modais e multidimensionais.

Embora várias metaheurísticas de otimização tenham sido desenvolvidas nas últimas décadas,

a maioria delas é baseada de população e passa por muitas etapas com diversos parâmetros que

dificultam o projeto. Além disso, existem os mesmos procedimentos nas metaheurísticas

recentes, que as tornam semelhantes. Por outro lado, de acordo com o teorema No Free Lunch

no campo da otimização, não há algoritmo para resolver todos os problemas de otimização. Isso

indica que um novo algoritmo adaptado tem potencial para resolver um grupo de problemas

(por exemplo, projeto de estruturas) melhor do que os algoritmos atuais. Ao contrário de outros

estudos, este trabalho visa implementar e adaptar um algoritmo de solução única denominado

Algoritmo Simulated Annealing Modificado (ASAM) para resolver problemas de otimização

estrutural. Para validar o algoritmo são analisados problemas de referências encontrados na

literatura e os resultados são comparados com os obtidos por meio de várias metaheurísticas

existentes. Estes problemas são: (i) otimização dimensional de treliças com restrições de

tensões e deslocamentos; (ii) otimização dimensional e de forma de treliças com restrições em

frequências naturais; e (iii) otimização topológica de modelos no estado plano de tensões que

representam problemas de viga empregando elementos finitos desenvolvidos na Notação Strain

Gradient. Adicionalmente, é proposta uma versão aprimorada do ASAM para resolver

problemas de otimização estrutural. Nos dois primeiros conjuntos de problemas os resultados

numéricos indicaram que o ASAM produz resultados competitivos, em comparação com as

outras metaheurísticas de otimização, em termos de projeto ótimo, número de iterações e desvio

padrão dos dados. Nos problemas de otimização topológica, os resultados demonstraram que

os problemas otimizados com elementos corregidos e o ASAM convergiram ao valor ótimo em

menor tempo.

Palavras-chaves: Otimização dimensional, otimização de forma, otimização topológica,

Algoritmo Simulated Annealing Modificado.

ABSTRACT

MILLAN PARAMO, Carlos Andres. Metaheuristic approach for structural optimization.

2020. 126 p. Doctoral Thesis (Ph.D. in Civil Engineering) ‒ Postgraduate Program in Civil

Engineering, Federal University of Technology- Paraná. Curitiba, Brazil, 2020.

Structural optimization aims to design structures under certain constraints to achieve better

behavior. However, minimize the weight of structures can be considered as a difficult problem

to solve because it makes design constraints difficult to satisfy. These constraints are non-linear,

non-convex and implied with respect to the variables of design. Therefore, this has led to

difficulty in the use of gradient-based optimizers. Under such circumstances, the metaheuristic

algorithms can serve as appropriate alternatives due to the ability to search global minima in

modal and multidimensional spaces. Although several metaheuristics have been developed in

the last decades, most of them are population-based, undergo many steps along with several

parameters that make them hard to code. In addition, there are same procedures in recent

metaheuristics which make them similar. On the other hand, according to the No Free Lunch

Theorem in the field of optimization, there is no algorithm to solve all optimization problems.

This indicates that a new adapted algorithm has potential to solve a group of problems (e.g.

structures design) better than the current algorithms. Contrary to previous studies, this work

aims to implement and adapt a single-solution algorithm called Modified Simulated Annealing

Algorithm (MSAA) to solve problem of structural optimization. To validate the algorithm,

benchmark problems found in the literature are analyzed and the results are compared with

previous results obtained through various existing metaheuristics. These problems are: (i) size

optimization of truss structures with stresses and displacements constraints; (ii) size and shape

optimization of truss structures with natural frequency constraints; and (iii) topological

optimization of plane stress state models representing beam problems using finite elements

developed in Strain Gradient Notation. Additionally, an improved version of MSAA is

proposed to solve structural optimization problems. In the first two sets of problems, numerical

results indicated that MSAA produces competitive results, compared to the other optimization

metaheuristics, in terms of optimal design, number of iterations, and standard deviation of the

data. In topological optimization problems, the results showed that optimized problems with

corrected elements and MSAA converged to the optimal value in less time.

Keywords: Size optimization, shape optimization, topological optimization, Modified

Simulated Annealing Algorithm.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 ‒ Tipos de otimização estrutural: (a) dimensional, (b) de forma e (c) topológica. .... 22

Figura 2 ‒ Exploração no espaço de busca (Schwefel Function) ............................................. 27

Figura 3 ‒ Passo de busca ......................................................................................................... 28

Figura 4 ‒ Diagrama de fluxo ASAM ...................................................................................... 30

Figura 5 ‒ Treliça plana de 10 barras ....................................................................................... 34

Figura 6 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras com variáveis contínuas.

(a) Caso 1, (b) Caso 2 ............................................................................................................... 38

Figura 7 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo

obtido pelo ASAM na treliça de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 1). (a) Valores de

restrição de deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão ................................................. 39


obtido pelo ASAM na treliça de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 2). (a) Valores de

restrição de deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão ................................................. 40

Figura 9 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras com variáveis discretas .. 43


obtido pelo ASAM na treliça de 10 barras com variáveis discretas. (a) Valores de restrição de

deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão..................................................................... 44

Figura 11 ‒ Treliça plana de 52 barras ..................................................................................... 45

Figura 12 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 52 barras ...................................... 48

Figura 13 ‒ Valores de restrição de tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo ASAM

na treliça de 52 barras ............................................................................................................... 48

Figura 14 ‒ Treliça plana de 200 barras ................................................................................... 50

Figura 15 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 200 barras .................................... 53

Figura 16 ‒ Valores de restrição de tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo ASAM

na treliça de 200 barras ............................................................................................................. 53

Figura 17 ‒ Treliça espacial de 25 barras ................................................................................. 54

Figura 18 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 25 barras com variáveis

contínuas ................................................................................................................................... 58

Figura 19 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 25 barras com variáveis discretas

.................................................................................................................................................. 58


obtido pelo ASAM na treliça de 25 barras com variáveis contínuas. (a) Valores de restrição de






Figura 23 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras com varieis contínuas

.................................................................................................................................................. 65

Figura 24 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras com varieis discretas 65


obtido pelo ASAM na treliça de 72 barras com variáveis contínuas. (a) Valores de restrição de







Figura 29 ‒ Treliça plana de 200 barras ................................................................................... 75



Figura 32 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras .................................. 80

Figura 33. Treliça espacial de 120 barras ................................................................................. 81

Figura 34 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 120 barras ................................ 83








Figura 42 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 120 barras ................................ 99

Figura 43 ‒ Viga biapoiada .................................................................................................... 108

Figura 44 ‒ Viga em balanço .................................................................................................. 111

Figura 45 ‒ Viga em balanço com duas cargas ...................................................................... 113

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 ‒ A lista dos principais trabalhos na OD com restrições de tensões e deslocamentos

.................................................................................................................................................. 32

Tabela 2 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras com variáveis

contínuas (Caso 1) .................................................................................................................... 36


contínuas (Caso 2) .................................................................................................................... 37


discretas .................................................................................................................................... 42

Tabela 5 ‒ Lista de áreas transversais disponíveis do código AISC ........................................ 46

Tabela 6 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 52 barras ....................... 47

Tabela 7 ‒ Variáveis de projeto no problema da treliça plana de 200 barras. .......................... 51

Tabela 8 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 200 barras ..................... 52

Tabela 9 ‒ Condições de carregamento para a treliça espacial de 25 barras (variáveis

contínuas). ................................................................................................................................ 54

Tabela 10 ‒ Tensões admissíveis nos grupos de elementos para a treliça espacial de 25 barras

.................................................................................................................................................. 55

Tabela 11 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 25 barras com

variáveis contínuas ................................................................................................................... 56

Tabela 12 ‒ Condição de carregamento para a treliça espacial de 25 barras (variáveis

discretas) ................................................................................................................................... 57


variáveis discretas ..................................................................................................................... 57

Tabela 14 ‒ Condições de carregamento para a treliça espacial de 72 barras .......................... 62


variáveis contínuas ................................................................................................................... 63


variáveis discretas. .................................................................................................................... 64

Tabela 17 ‒ A lista dos principais trabalhos na otimização dimensional e de forma de treliças

com frequências naturais .......................................................................................................... 69

Tabela 18 ‒ Propriedades do material, limites de área de seção transversal e restrições de

frequência para diferentes problemas ....................................................................................... 71

Tabela 19 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras. .................... 73

Tabela 20 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 200 barras ................... 76

Tabela 21 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras ................. 79

Tabela 22 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 120 barras ............... 82

Tabela 23 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 37 barras ..................... 84

Tabela 24 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 52 barras. ................ 87

Tabela 25 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras. .................... 92

Tabela 26 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 200 barras ................... 94

Tabela 27 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras ................. 96

Tabela 28 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 120 barras ............... 98

Tabela 29 ‒ Comparação de resultados obtidos para a viga biapoiada .................................. 110

Tabela 30 ‒ Comparação de resultados obtidos para a viga em balanço ............................... 112

Tabela 31 ‒ Comparação de resultados obtidos para a viga em balanço com duas cargas .... 114

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS

ASAM Algoritmo Simulated Annealing Modificado

ASAM-M Algoritmo Simulated Annealing Modificado Melhorado

CO Critério de otimalidade

DP Desvio padrão

MHs Metaheurísticas

NI Número de iterações

NSG Notação Strain Gradient

OD Otimização dimensional

OE Otimização estrutural

OF Otimização de forma

OT Otimização topológica

OTE Otimização topológica estrutural

RAM Random-access memory

SA Simulated Annealing

SLP Programação linear sequencial

SQP Programacao quadrática sequencial

WWO Water Wave Optimization

tp Tamanho da população

Tinicial Temperatura inicial

Tfinal Temperatura final

npmax Número de perturbações na mesma temperatura

L Comprimento do elemento

δ Deslocamento nos nós

σ Tensões do elemento

ρ Densidade do material

d Vetor dos deslocamentos nodais

f Frequência natural da estrutura

c Energia de deformação

fv Fração de volume

E Modulo de elasticidade

K Matriz de rigidez

u, v Deslocamento nas direções X e Y

U Energia de deformação

ν Coeficiente de Poisson

ε Vetor de deformações elásticas

C Matriz constitutiva

Ω Volume do elemento

Ф Matriz de transformação entre coordenadas nodais e coordenadas Strain

Gradient

ε, Vetor gradiente de deformação

T Matriz de transformação entre gradientes de deformações e deformações

elásticas

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 16

1.1 OBJETIVOS .............................................................................................................. 18

1.1.1 Objetivo Geral .................................................................................................... 18

1.1.2 Objetivos Específicos ......................................................................................... 18

1.2 MOTIVAÇÃO ........................................................................................................... 18

1.3 ESCOPO DO TRABALHO ....................................................................................... 19

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO .............................................................................. 19

1.5 TRABALHOS PRODUZIDOS PELA PESQUISA .................................................. 19

2 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL ................................................................................... 21

3 ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO (ASAM) .................... 25

3.1 EXPLORAÇÃO PRELIMINAR ............................................................................... 27

3.2 PASSO DE BUSCA .................................................................................................. 28

3.3 PROBABILIDADE DE ACEITAÇÃO ..................................................................... 28

4 ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO PARA PROJETO

ÓTIMO DE TRELIÇAS COM RESTRIÇÕES DE TENSÕES E DESLOCAMENTOS31

4.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 31

4.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ......................................... 32

4.3 PROBLEMAS E DISCUSSÕES ............................................................................... 33

4.3.1 Treliça plana de 10 barras ................................................................................... 34


4.3.3 Treliça plana de 200 barras ................................................................................. 49

4.3.4 Treliça espacial de 25 barras .............................................................................. 54


5 OTIMIZAÇÃO DIMENSIONAL E DE FORMA DE TRELIÇAS COM

RESTRIÇÕES DE FREQUÊNCIA NATURAIS USANDO O ALGORITMO

SIMULATED ANNEALING MODIFICADO ...................................................................... 68

5.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 68

5.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL .............. 69





5.3.4 Treliça espacial de 120 barras ............................................................................ 80



6 EXPORTANDO CONCEITOS DE OTIMIZAÇÃO DE ONDAS DE ÁGUA PARA

O ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO PARA OTIMIZAÇÃO

DIMENSIONAL DE TRELIÇAS COM RESTRIÇÕES DE FREQUÊNCIA NATURAIS

88

6.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 88

6.2 MELHORIA NO ASAM ........................................................................................... 89

6.3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL .............. 90





6.4.4 Treliça espacial de 120 barras ............................................................................ 97

7 OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS

EMPREGANDO ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO E

ELEMENTOS FINITOS NA NOTAÇÃO STRAIN GRADIENT .................................... 100

7.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 100

7.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT ........................................................... 103

7.3 DESENVOLVIMENTO DA NOTAÇÃO STRAIN GRADIENT (NSG) ................ 103

7.4 PROBLEMAS E DISCUSSÕES ............................................................................. 107

7.4.1 Viga biapoiada .................................................................................................. 108

7.4.2 Viga em balanço ............................................................................................... 111

7.4.3 Viga em balanço com duas cargas .................................................................... 112

8 CONCLUSÕES, CONTRIBUIÇÕES E TRABALHOS FUTUROS ....................... 115

8.1 CONCLUSÕES ....................................................................................................... 115

8.2 CONTRIBUIÇÕES ................................................................................................. 116

8.3 TRABALHOS FUTUROS ...................................................................................... 116

REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 118

16

1 INTRODUÇÃO

A ação de fazer o melhor ou mais efetivo uso de uma situação ou recurso é chamada de

otimização. A importância da otimização está aumentando permanentemente no mundo atual

devido às limitações de recursos disponíveis e ao aumento da população humana. Os

engenheiros sempre se esforçam para projetar sistemas estruturais eficientes, que devem ser tão

econômicos quanto possível, porém fortes o suficiente para suportar os requisitos funcionais

mais exigentes que surgem durante sua vida útil. A abordagem tradicional de projeto estrutural

de tentativa e erro não é suficiente para alcançar projetos que satisfaçam os critérios econômicos

e de segurança simultaneamente. A otimização oferece uma técnica para resolver esse tipo de

problema.

O termo "otimização" refere-se ao estudo de problemas nos quais se busca minimizar ou

maximizar uma função escolhendo sistematicamente os valores das variáveis dentro de um

conjunto permitido. Por um lado, uma quantidade de pesquisas foi conduzida nessa área de

conhecimento, na esperança de desenvolver algoritmos de otimização eficazes e eficientes. Por

outro lado, a aplicação dos algoritmos existentes a projetos reais tem sido o foco de muitos

estudos.

Os problemas de otimização são estudados em diferentes campos e as características do

problema precisam ser identificadas para obter uma solução ótima. Essas características são as

seguintes: os parâmetros do problema, que podem ser contínuos ou discretos; as funções

objetivo e as restrições do problema. No final, um otimizador adequado deve ser escolhido e

empregado para resolver o problema.

A Otimização Estrutural (OE) visa projetar estruturas sob certas restrições para alcançar

um melhor comportamento (HARE; NUTINI; TESFAMARIAM, 2013). Devido aos seus

benefícios, este campo recebeu considerável atenção de muitos engenheiros e pesquisadores

durante as últimas décadas.

No passado, as técnicas de otimização mais usadas eram os algoritmos baseados em

gradientes que utilizavam informações de gradiente para explorar o espaço de busca próximo à

solução inicial. Em geral, os métodos baseados em gradiente convergem mais rapidamente em

comparação com abordagens estocásticas. No entanto, a aquisição de informação de gradiente

pode ser dispendiosa ou mesmo impossível de obter. Além disso, um bom ponto de partida é

essencial para uma execução bem-sucedida desses métodos. Em muitos problemas de

otimização, devem ser levadas em consideração regiões não viáveis, limites estabelecidos e

17

funções não convexas. Como resultado, esses problemas de otimização não convexa não podem

ser resolvidos facilmente por esses métodos. Várias abordagens típicas destas técnicas podem

ser listadas como: critério de otimalidade (CO) (KHOT et al., 1979; KO; WANG, 1991),

programação linear sequencial (SLP) (LAMBERTI; PAPPALETTERE, 2000, 2004),

programação quadrática sequencial (SQP) (SPELLUCCI, 1998) e método de força (KAVEH;

KALATJARI, 2003; SEDAGHATI, 2005), dentre outras.

Por outro lado, outros tipos de métodos de otimização, conhecidos como metaheurísticas

(MHs), não sofrem as restrições acima mencionadas. As MHs são métodos de busca e

otimização muito adequadas e eficazes para encontrar a solução de problemas de otimização

combinatória. Não requerem a informação de gradiente ou a convexidade da função objetivo e

restrições, e usam regras de transição probabilísticas, não regras determinísticas. Em vez disso,

baseiam-se em estratégias de busca estocástica que as tornam eficazes e versáteis para combater

a explosão combinatória das possibilidades. As propriedades fundamentais dos algoritmos MHs

são que eles imitam certas estratégias tomadas da natureza, cultura social, biologia ou leis da

física que direcionam o processo de busca. Seu objetivo é explorar com eficiência o espaço de

busca usando esses mecanismos de controle, a fim de encontrar soluções quase ótimas, se não

o ótimo global. Os algoritmos MHs são técnicas aproximadas, e não há prova matemática de

que a solução ótima obtida é a global. No entanto, não são específicos de um dado problema e

provaram ser muito eficientes e robustos na obtenção de soluções de problemas práticos de

otimização do projeto de engenharia com variáveis de projeto contínuas e/ou discretas (YANG;

KOZIEL, 2011). Os trabalhos apresentados por de Boussaïd et al. (2013), Mahdavi et al. (2015),

Salcedo-Sanz (2016) e Dokeroglu et al. (2019) fornecem uma revisão detalhada das principais

metaheurísticas descritas na literatura.

Os métodos MHs são geralmente considerados como algoritmos iterativos, em que cada

iteração envolve a busca por uma nova solução que pode ser melhor do que a melhor solução

encontrada anteriormente. Depois de um tempo razoável quando o algoritmo é finalizado, a

solução que ele fornece é a melhor que foi encontrada durante todas as iterações. Neste processo

de geração iterativo, a metaheurística combina inteligentemente conceitos diferentes para

explorar (busca global ‒ exploration) e intensificar (busca local ‒ exploitation) o espaço de

busca. A diversificação (exploração) assegura, geralmente por randomização, uma exploração

eficiente do espaço de busca, enquanto que a intensificação visa identificar a melhor solução e

selecionar durante o processo uma sucessão de melhores soluções (CHENG et al., 2016).

18

Em geral, os problemas de OE são não lineares com uma geometria complexa do domínio

factível, conformada pelas restrições do projeto. Além disso, o número de variáveis de projeto,

o tamanho do espaço de busca e o número de restrições são fatores que influenciam no tempo

que os projetistas precisam para encontrar estruturas otimizadas (LI; MA, 2015). Por isto os

métodos MHs se apresentam como opções promissoras para solucionar o problema de OE,

como mostrado neste trabalho.

1.1 OBJETIVOS

1.1.1 Objetivo Geral

O objetivo geral desta tese é validar e aprimorar a metaheurística Algoritmo Simulated

Annealing Modificado (ASAM) na resolução de problemas de otimização estrutural.

1.1.2 Objetivos Específicos

• Analisar problemas de otimização dimensional de treliças (minimização de peso)

sujeitas a restrições de tensões e deslocamentos.

• Analisar problemas de otimização dimensional e de forma de treliças (minimização de

peso) sujeitas a restrições de múltiplas frequências naturais.

• Analisar problemas de otimização topológica de estruturas planas em forma de viga

empregando elementos finitos desenvolvidos no campo da Notação Strain Gradient.

1.2 MOTIVAÇÃO

Os projetos de engenharia têm a crescente necessidade de otimização com o objetivo de

obter um melhor comportamento de um dado sistema. Por outro lado, em geral, esse tipo de

problemas apresenta espaços de busca multidimensionais e elevado número de restrições, sendo

necessária uma poderosa ferramenta de otimização. Por tais razões, uma das motivações deste

trabalho está em aplicar o ASAM, para resolver problemas de OE.

Com relação aos problemas de otimização topológica, esta tese introduz, pela primeira

vez, o uso de elementos finitos desenvolvidos na Notação Strain Gradient (NSG) para resolver

esse tipo de problemas. A NSG, uma notação fisicamente interpretável, permite corrigir os erros

de modelagem que contaminam as expressões polinomiais causando cisalhamento parasítico.

Por fim, de acordo com o teorema No Free Lunch (WOLPERT; MACREADY, 1997),

pode-se afirmar que não é possível desenvolver uma estratégia geral para resolver diferentes

19

tipos de problemas de maneira igualmente eficiente. Por outro lado, a literatura carece de

métodos eficientes para melhorar a velocidade de convergência e a explotação dos algoritmos

(TEJANI et al., 2018). Nesse contexto, surge a necessidade de desenvolver novos algoritmo de

otimização. Isso motivou a propor uma versão melhorada do ASAM. O algoritmo acopla

conceitos da metaheurística Water Wave Optimization e é aplicado na resolução de problemas

de OE.

1.3 ESCOPO DO TRABALHO

Os algoritmos implementados neste trabalho podem ser usados para otimizar estruturas

com diferentes restrições. As estruturas treliçadas analisadas neste trabalho foram tomadas da

literatura e são chamadas de problemas de referência. Nos problemas de otimização topológica,

as análises foram feitas com elementos finitos retangulares planos no regime elástico. A

validação dos algoritmos é realizada por meio do confronto com dados encontrados na

literatura.

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO

Esta tese está baseada nos artigos que foram publicados a partir dos resultados obtidos

nesta pesquisa. O trabalho está dividido em 8 capítulos, incluindo a presente introdução. O

Capítulo 2 faz uma breve introdução à Otimização Estrutural. O Capítulo 3 apresenta as

formulações da metaheurística usada neste trabalho. No Capítulo 4 é apresentada a

implementação e validação do ASAM para resolver problemas de otimização dimensional em

treliças com restrições de tensões e deslocamentos. O Capítulo 5 apresenta a implementação e

validação do ASAM na resolução de problemas de otimização dimensional e de forma de

treliças com restrições de frequências naturais. No Capítulo 6 é proposto o aprimoramento do

ASAM e a sua aplicação na resolução de problemas de otimização de treliças com restrições de

frequências naturais. No Capítulo 7 é apresentada a aplicação do ASAM para resolver

problemas de otimização topológica empregando elementos finitos desenvolvidos na Notação

Strain Gradient. O Capítulo 8 apresenta as conclusões, contribuições e trabalhos futuros.

1.5 TRABALHOS PRODUZIDOS PELA PESQUISA

• MILLAN-PARAMO, Carlos; ABDALLA FILHO. João Elias, Exporting water wave

optimization concepts to modified simulated annealing algorithm for size optimization

20

of truss structures with natural frequency constraints, Engineering with Computers

(2019).

• MILLAN-PARAMO, Carlos; ABDALLA FILHO, João Elias. Size and shape

optimization of truss structures with natural frequency constraints using modified

simulated annealing algorithm, Arabian Journal for Science and Engineering (2019).

• MILLAN-PARAMO, Carlos; ABDALLA FILHO, João Elias. Modified simulated

annealing algorithm for optimal design of steel structures, Revista Internacional de

Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 35, (1), (2019).

• MILLAN-PARAMO, Carlos; ABDALLA FILHO, João Elias. Topology optimization

of continuum structures using Modified Simulated Annealing Algorithm and finite

elements developed in Strain Gradient Notation. (em elaboração)

21

2 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL

A OE ganhou importância quando Schmit (1960) combinou pela primeira vez a análise

de elementos finitos com métodos de otimização numérica não linear para criar o que ele

chamou de Síntese Estrutural (Structural Synthesis). Este novo ramo da engenharia estrutural

formula o problema do projeto estrutural como um problema de tomada de decisão. A tomada

de decisão é um processo cognitivo em que se tenta selecionar a melhor ação entre várias

alternativas. A pesquisa operacional é uma disciplina pós-Segunda Guerra Mundial que faz

uso de modelagem matemática, simulação, análise estatística e otimização matemática para

determinar as soluções de problemas de tomada de decisão.

Os problemas de tomada de decisão podem ser modelados de forma a minimizar ou

maximizar uma função objetivo que representa a qualidade da solução sob determinadas

limitações. As variáveis de decisão representam a quantidade de um recurso a ser usado ou

o nível de alguma atividade. Existem sempre certas limitações, as quais são chamadas de

restrições, que se devem satisfazer quando se obtém a solução de um problema de tomada de

decisão. A solução ideal de um problema de tomada de decisão identifica os melhores valores

das variáveis de decisão, de modo que a função objetivo no problema de tomada de decisão

atinja seu valor extremo e as restrições do problema sejam todas satisfeitas.

A aplicação dos métodos operacionais ao projeto estrutural causou o surgimento da

OE. Na OE os problemas podem ser classificados dependendo da natureza das variáveis do

projeto (Figura 1):

• Otimização Dimensional (OD), onde as variáveis de busca são definidas como

parâmetros dimensionais do domínio, como por exemplo áreas de seções transversais,

densidades, dentre outros.

• Otimização de Forma (OF), onde as variáveis do projeto influenciam na geometria

do domínio, como por exemplo coordenadas nodais.

• Otimização Topológica (OT), onde o objetivo é retirar material de regiões

subutilizadas de um dado domínio cheio, de modo a aumentar a eficiência do modelo

resultante.

22

Figura 1 ‒ Tipos de otimização estrutural: (a) dimensional, (b) de forma e (c) topológica.

(a)

(b)

(c)

Fonte: Bendsøe e Sigmund (2004)

Na prática, normalmente os projetistas usam o método de tentativa e erro para encontrar

as seções necessárias para os membros das estruturas. Particularmente, se a estrutura é

estaticamente indeterminada, o projetista tem que selecionar arbitrariamente as propriedades

da seção transversal dos membros para que a resposta da estrutura possa ser determinada

através da análise estrutural. Isso se deve ao fato de que os métodos disponíveis para análise

estrutural necessitam de dados para as propriedades de seção transversal de seus membros.

Esta não é uma tarefa fácil, particularmente para aqueles que são inexperientes no projeto de

estruturas.

Outra dificuldade surge quando é necessário atribuir as seções transversais a partir de

um conjunto discreto de seções disponíveis no mercado. Existem muitas combinações de

seções disponíveis, cada uma das quais pode ser atribuída a um grupo de membros da

estrutura. Pode ser possível eliminar algumas das combinações usando a experiência prática

e a intuição do projetista. No entanto, essa redução será bastante pequena e o grande número

restante de combinações exigirá um grande tempo de computação para determinar a

combinação ideal de seções. Deve ser lembrado que para estruturas de grande escala, o

número de grupos de membros aumenta ainda mais, o que significa que o número total de

testes é tão grande que nenhum projetista tem tempo para avaliar todas essas combinações

possíveis. Em geral, o que é realizado é que, após alguns testes, é adotada a combinação que

fornece um projeto viável de acordo com as disposições do código de projeto. É evidente que

essa combinação geralmente não é o projeto mais conveniente, desde o ponto de vista ótimo.

23

Portanto, a aparência da OE foi bem recebida pelos projetistas de estruturas porque permite

formular o processo de projeto como um problema de tomada de decisão e obter uma solução

ótima.

Tradicionalmente, vários métodos matemáticos, tais como programação linear, não

linear e dinâmica, foram desenvolvidos para resolver problemas de otimização estrutural

(SAKA; GEEM, 2013). No entanto, esses métodos representam uma abordagem limitada e

nenhum método é completamente eficiente e robusto para todos os tipos de problemas de

otimização. Além disso, esses métodos tornam-se ineficientes ao procurar o projeto ótimo de

estruturas grandes devido à grande quantidade de cálculos de gradiente necessários.

Geralmente, essas técnicas buscam uma solução na vizinhança do ponto de partida. Se houver

mais de um ótimo local no problema, o resultado dependerá da seleção do ponto inicial e a

solução não corresponderá necessariamente ao ótimo global. Além disso, quando a função

objetivo e as restrições têm picos múltiplos ou pronunciados, a busca por gradientes se torna

difícil e instável. Uma revisão de artigos publicados que faz uso de técnicas de programação

matemática na literatura de otimização estrutural revela que estes só poderiam tratar

pequenas estruturas (SAKA; GEEM, 2013).

As desvantagens computacionais dos métodos matemáticos (isto é, derivadas

complexas, sensibilidade a valores iniciais e a grande quantidade de memória de enumeração

requerida) forçaram os pesquisadores a confiar nos algoritmos MHs graças à capacidade que

eles têm de explorar eficientemente o espaço de busca para encontrar soluções ótimas ou

quase ótimas.

Embora várias MHs tenham sido desenvolvidas nas últimas décadas, a maioria delas

são baseadas em populações, passam por várias etapas e apresentam diversos parâmetros que

as tornam difíceis de entender e codificar. Além disso, existem os mesmos procedimentos

nas MHs recentes que as tornam semelhantes. Portanto, os pesquisadores geralmente ficam

confusos ao selecionar uma metaheurística e não conseguem encontrar nenhuma

superioridade. Por esse motivo, os pesquisadores ainda usam os algoritmos antigos em vez

dos recentes. Por outro lado, de acordo com o teorema No Free Lunch (NFL) (TEJANI et al.,

2018) no campo da otimização, não há algoritmo para resolver todos os problemas de

24

otimização. Isso indica que um novo algoritmo adaptado tem potencial para resolver um

grupo de problemas (por exemplo, projeto de estruturas) melhor do que os algoritmos atuais.

Ao contrário dos trabalhos anteriores, este estudo tem como objetivo implementar e

adaptar um algoritmo de solução única chamado de Algoritmo Simulated Annealing

Modificado (ASAM), recentemente proposto por Millán et al. (2014), para resolver

problemas de OE. Além disso, este estudo propõe um algoritmo para melhorar a velocidade

de convergência do ASAM e sua aplicação na resolução de problemas de OE. No Capítulo

3, o ASAM será explicado em detalhe junto com os parâmetros que o controlam.

25

3 ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO (ASAM)

Antes de resumir as características do ASAM, o funcionamento do Simulated

Annealing (SA) (KIRKPATRICK et al., 1983) é brevemente descrito. Os conceitos básicos

de SA são originários do processo de resfriamento de metais fundidos através do

recozimento. Um recozimento ocorre quando um metal é aquecido a um estado líquido com

uma temperatura alta e depois é resfriado lentamente. Em alta temperatura, os átomos no

metal fundido são distribuídos aleatoriamente em um estado quase líquido e podem se mover

livremente um em relação ao outro, mas, à medida que a temperatura é reduzida

gradualmente, o movimento dos átomos é restrito e ficam dispostos em um estado de baixa

energia, formando um cristal. O estado de energia dos cristais formados depende da taxa de

resfriamento. Se a temperatura for reduzida rapidamente, o estado cristalino pode não ser

alcançado e, em vez disso, o sistema pode terminar em um estado policristalino, que pode ter

um estado de energia mais alto que o estado cristalino. Portanto, para alcançar o estado

absoluto de energia máxima, a temperatura precisa ser reduzida a uma taxa lenta.

O algoritmo SA imita o processo de recozimento para encontrar o valor mínimo da

função em um problema de otimização. A função objetivo corresponde à função energia, que

deve ser minimizada por uma série de movimentos aprimorados. A programação de

resfriamento é simulada através do controle de um parâmetro semelhante à temperatura T

introduzido no conceito da função de distribuição de probabilidade Boltzmann.

Um algoritmo típico de SA é descrito a seguir. Um único estado vizinho da solução

atual S é gerado aleatoriamente em cada iteração. A diferença (Δf) entre a qualidade da nova

solução S' e a qualidade da solução atual S é calculada para avaliar a aceitação desta nova

solução S', por meio da equação (3.1):

∆f = f(S′) − f(S) (3.1)

Em um problema de minimização, se o valor de Δf for menor que 0, a nova solução S'

será aceita automaticamente e poderá substituir S. Caso contrário, a aceitação da nova

solução S' depende da probabilidade estabelecida pelo critério de Boltzmann

(KIRKPATRICK et al., 1983), que é calculada pela equação (3.2):

26

p = exp (−∆f

T). (3.2)

Para calcular a probabilidade, um parâmetro chamado Temperatura (T) é usado. Como

a temperatura diminui à medida que o processo avança, há uma probabilidade maior de

aceitar novas soluções nas etapas iniciais. Essa probabilidade diminui ao longo do processo

e, finalmente, atinge um ponto (quando a temperatura está próxima de 0), na qual apenas os

movimentos que melhoram a função objetivo são aceitos. O pseudocódigo do SA é o

seguinte:

Definir a temperatura inicial (Tinicial)

Definir a temperatura final (Tfinal)

Definir o número máximo de perturbações na mesma temperatura

(npmax)

Gerar Solução Inicial (S) escolhida aleatoriamente

T=Tinicial

Enquanto (T>Tfinal) // Ciclo de temperatura

Para np=1 a npmax // Ciclo de Metropolis

Gerar S' escolhido aleatoriamente

Obter diferença (Δf) entre S' e S

Se (Δf<0) então

Aceitar S'

Senão

Probabilidade de Boltzmann, p=exp(-Δf/T)

Se (P> random (0, 1)),

Aceitar S'

fim se

fim se

terminar para

Diminuir T pela função de resfriamento Tk+1=Tk·α

terminar enquanto

Mostrar melhor solução (Sbest)

Quando existem funções altamente modais e não-convexas, a geração dos estados

(aleatoriamente) gera tempos de busca mais longos e um alto custo computacional para o

algoritmo. Além disso, a probabilidade de aceitação de uma solução pior está em um

intervalo entre 0 e 1, o que faz com que nas temperaturas iniciais o algoritmo aceite muitas

soluções de menor qualidade, aumentando o risco de ficar preso em um ótimo local e que o

algoritmo apresente uma taxa de convergência lenta.

27

Portanto, o ASAM proposto por Millán et al. (2014) apresenta três modificações que

permitem que o algoritmo tenha um equilíbrio entre exploração (diversificação) e explotação

(intensificação). Primeiro, uma exploração preliminar é realizada para gerar o estado inicial.

Logo, a transição do estado inicial para o estado vizinho é feita por um passo de busca.

Finalmente, o intervalo de probabilidade de aceitar uma solução pior é reduzido.

3.1 EXPLORAÇÃO PRELIMINAR

Nesta fase, o algoritmo executa uma varredura em todo o espaço de busca (Figura 2) e

é dado pela seguinte matriz:

XPxN = IPxNXmin + randPxN(Xmax − Xmin), (3.3)

onde, P é o número de pontos (estados) desejados no espaço de busca; N é o número de

dimensões (variáveis) do problema; I é uma matriz unitária de tamanho PxN; Xmin é o limite

inferior do problema; Xmax é o limite superior do problema e randPxN é uma matriz PxN de

números gerados com distribuição uniforme no intervalo [0, 1].

Figura 2 ‒ Exploração no espaço de busca (Schwefel Function)

Fonte: Autor

Para iniciar o processo de otimização com ASAM, todos os pontos gerados com a

equação (3.3) são avaliados na função objetivo do problema e aquele com o valor mais baixo

(no caso de procurar o valor mínimo da função) é escolhido como ponto inicial da busca.

28

3.2 PASSO DE BUSCA

A partir do ponto inicial determinado na etapa anterior, um passo de busca é gerado

para determinar o estado do vizinho. Este passo depende de um raio de ação (R) que diminui

gradualmente à medida que a temperatura do sistema diminui (Figura 3). Isto significa que

quando o algoritmo está a uma determinada temperatura, com o raio de ação definido pela

equação (3.4) para essa temperatura, a transição do ponto inicial para o novo ponto (passo de

busca) é feita adicionando ao ponto inicial números aleatórios que estão entre [-R, R]. Isso

permite que o algoritmo realize uma varredura global em altas temperaturas e uma varredura

local em baixas temperaturas, fornecendo um equilíbrio entre a diversificação e a

intensificação.

Ri+1 = Ri ∙ α, (3.4)

onde Ri é o raio inicial do ciclo e α é o coeficiente de redução do raio.

Figura 3 ‒ Passo de busca

Fonte: Autor

3.3 PROBABILIDADE DE ACEITAÇÃO

Neste algoritmo, a probabilidade de aceitação de uma solução pior (estado) é dada pela

equação (3.5):

X2

X1

Ri

Ri+1

29

P =1

1 + exp (∆fT ). (3.5)

Esta probabilidade está em um intervalo entre 0 e ½, o que permite que o algoritmo tenha um

intervalo mais baixo de aceitação de soluções piores.

Estas 3 modificações têm como objetivo melhorar a exploração inicial, permitir um

equilíbrio entre a exploração inicial e final, e controlar a convergência na fase final da busca.

Em resumo, o algoritmo ASAM tem 4 parâmetros que devem ser definidos: tamanho da

população para a exploração preliminar; temperatura inicial (Tinicial); temperatura final (Tfinal)

e número de perturbações na mesma temperatura (npmax). O pseudocódigo do ASAM é o

seguinte e a Figura 4 mostra o diagrama de fluxo:

Definir a temperatura inicial (Tinicial)

Definir a temperatura final (Tfinal)

Definir o número máximo de perturbações na mesma temperatura (npmax)

Gerar Solução Inicial (S) por equação (3.3)

T=Tinicial

Enquanto (T>Tfinal) // Ciclo de temperatura

Para np=1 a npmax // Ciclo de Metropolis

Gerar S' escolhido por equação (3.4)

Obter diferença (Δf) entre S' e S

Se (Δf<0) então

Aceitar S'

Senão

Probabilidade de Boltzmann, p=1/(1+(exp(Δf/T)) equação (3.5)

Se (P> random (0, 1)),

Aceitar S'

fim se

fim se

terminar para

Diminuir T pela função de resfriamento Tk+1=Tk·α

terminar enquanto

Mostrar melhor solução (Sbest)

30

Figura 4 ‒ Diagrama de fluxo ASAM

Inicio

Definir parâmetros do ASAM

tp; npmax; Tinicial ; Tfinal

Gerar solução inicial S ‒ Eq. (3.3)

Gerar nova solução S’ ‒ Eq. (3.4)

S’ < S

=1

1+ ∆ ‒ Eq. (3.5)

Gerar r entre [0,1) aleatoriamente

com distribuição uniforme

S = S’

r < P

np = npmax

Diminuir a Temperatura

T < Tfinal

Fim

Sim

Sim

Não

Não

NãoSim

Não

Sim

Fonte: Autor

31

4 ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO PARA PROJETO

ÓTIMO DE TRELIÇAS COM RESTRIÇÕES DE TENSÕES E

DESLOCAMENTOS

4.1 INTRODUÇÃO

A OE visa projetar estruturas sob certas restrições para obter um melhor

comportamento. Devido a seus benefícios, esse campo recebeu atenção considerável de

muitos pesquisadores nas últimas décadas.

Um grande número de técnicas de otimização foi proposto e aplicado com sucesso. Em

geral, essas técnicas podem ser categorizadas em dois principais grupos a: (i) métodos

baseados em gradiente e (ii) métodos não baseados em gradiente. Várias abordagens típicas

do primeiro grupo podem ser listadas como critério de otimalidade (CO) (KHOT et al., 1979),

programação linear sequencial (SLP) (LAMBERTI; PAPPALETTERE, 2000), programação

quadrática sequencial (SQP) (SEDAGHATI, 2005) e método de força (FARSHI; ALINIA-

ZIAZI, 2010). Embora a taxa de convergência dessas abordagens seja bastante rápida, um

requisito de análises de sensibilidade das funções objetivo e restrições é sempre necessário.

Seu desempenho em análises matemáticas é caro e complexo, até impossível em muitos

casos. Além disso, as soluções obtidas geralmente ficam presas nas regiões locais, pois a

capacidade de busca se concentra apenas nas informações derivadas fornecidas nas análises

de sensibilidade. Para superar as limitações acima, métodos não baseados em gradiente no

segundo grupo, também conhecidos como abordagens MHs, foram desenvolvidos.

As primeiras MHs de otimização usadas na OD de treliça e ainda são amplamente

utilizados foram os Algoritmos Genéticos (AG) com os trabalhos de Rajeev e

Krishnamoorthy (1992) e Adeli e Cheng (1993) e SA com os trabalhos de Balling (1991) e

Bennage e Dhingra (1995). Na Tabela 1 estão listados os trabalhos mais relevantes da

literatura em que MHs são utilizadas para resolver este tipo de problemas e que tem relação

direta com o contexto deste capítulo. Em todos estes trabalhos, a principal tarefa é encontrar

uma seção transversal ótima dos elementos, minimizando o peso da estrutura.

32

Tabela 1 ‒ A lista dos principais trabalhos na OD com restrições de tensões e deslocamentos

Autor Método

Schutte e Groenwold (2003) –

Perez e Behdinan (2007) Particle Swarm Optimization (PSO)

Camp e Bichon (2004) Ant Colony Optimization (ACO)

Lee e Geem (2004) Harmony Search (HS)

Camp (2007) Big Bang–Big Crunch (BB–BC)

Sabour et al. (2011) Imperialist competitive ant colony algorithm (ICACO)

Sonmez (2011a) – Sonmez

(2011b) Artificial Bee Colony (ABC)

Degertekin (2012) Efficient Harmony Search (EHS) - Self Adaptive Harmony Search

Algorithm (SAHS)

Sadollah et al. (2012) Mine Blast Algorithm (MBA)

Degertekin e Hayalioglu (2013) Teaching-Learning-Based Optimization (TLBO)

Camp e Farshchin (2014) Modified Teaching-Learning-Based Optimization (MTLBO)

Bekdaş et al. (2015) Flower Pollination Algorithm (FPA)

Kaveh e Bakhshpoori (2016a) –

Kaveh e Bakhshpoori (2016b) Water Evaporation Optimization (WEO)

Cheng e Prayogo (2014) Symbiotic Organisms Search (SOS)

Kaveh e Mahdavi (2014a) –

Kaveh e Mahdavi (2014b) Colliding Bodies Optimization (CBO)

Hasançebi e Azad (2015) Adaptive Dimensional Search (ADS)

Gholizadeh e Poorhoseini

(2015) Dolphin echolocation (DE)

Kaveh et al. (2015) Improved Magnetic Charged System Search (IMCSS)

Ho-Huu et al. (2016) Adaptive elitist Differential Evolution (aeDE)

Moez et al. (2016) Natural Forest Regeneration Algorithm (NFR)

Cheng et al. (2016) Hybrid Harmony Search (HHS)

Maheri e Talezadeh (2017) Enhanced Imperialist Competitive Algorithm (EICA)

Do e Lee (2017) Modified Symbiotic Organisms Search (mSOS)

Degertekin et al. (2017) Heat Transfer Search Algorithm (HTS)

Vezvari et al. (2018) Numbers Cup Optimization (NCO)

Jalili e Hosseinzadeh (2018) Hybrid Biogeography-Based Optimization (BBO-DE)

Le et al. (2019) Firefly Algorithm (FA)

Degertekin et al. (2019) Discrete advanced Jaya algorithm (DAJA)

Fonte: Autor

Neste capítulo, o ASAM é proposto, pela primeira vez, para resolver o problema de

OD de treliças com restrições de tensões e deslocamentos. Para mostrar a validade do

algoritmo, cinco problemas de otimização de treliça de referência (benchmark problems) são

considerados. Os resultados numéricos são comparados com os encontrados por outras

metaheurísticas da literatura especializada.

4.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

O objetivo é minimizar o peso da estrutura enquanto satisfaz algumas limitações de

tensões e deslocamentos. A formulação matemática desses problemas pode ser expressa da

seguinte maneira:

33

Minimizar: W(A) =∑AjLjρj

n

j=1

Sujeito a: {δmin ≤ δj ≤ δmax , j = 1,2, …m

σmin ≤ σj ≤ σmax , j = 1,2, … n

(4.1)

onde Aj é a área da seção transversal do elemento j; Lj é o comprimento do elemento j; ρj é

a densidade do material do elemento j; W(A) é o peso total da treliça; n é o número total de

elementos. O vetor A representa o vetor da seção transversal do elemento que pode ser

selecionado de um conjunto de variáveis discretas ou contínuas. δj é o deslocamento do nó j,

m é o número de nós; σj é a tensão (tração/compressão) que ocorre no elemento j. Os

subíndices “min” e “max” são os valores mínimo e máximo que as restrições podem atingir.

4.3 PROBLEMAS E DISCUSSÕES

Nesta seção, cinco problemas de referência de otimização de treliças são usados para

investigar o desempenho do ASAM. As propriedades do material, os limites das variáveis de

projeto e as restrições estruturais de cada problema são apresentados em cada descrição do

problema. O sistema de unidades utilizado é o mesmo da formulação original do problema,

para evitar erros de arredondamento durante as comparações. Cem execuções independentes

do algoritmo foram feitas para cada problema. Os resultados estatísticos são apresentados em

termos do melhor peso, peso médio, desvio padrão (DP) e número de iterações (NI); e são

comparados com as soluções de outros métodos para demonstrar a eficiência da presente

abordagem. O algoritmo e a análise das estruturas pelo método da rigidez direta são

codificados no programa Matlab e executados usando um sistema Intel Core i7-3630QM de

2,4 GHz com 8 GB de RAM.

Para todos os exemplos, o tamanho da população (exploração preliminar), a

temperatura inicial (Tinicial) e a temperatura final (Tfinal) são definidos como 200, 1 e 1x10-3,

respectivamente. A análise de sensibilidade do ASAM sobre esses parâmetros são

investigadas em Millan-Paramo (2018) e Millan et al. (2014). De acordo com Millan-Paramo

(2018), o número máximo de perturbações (npmax) na mesma temperatura pode ser escolhido

na faixa de 100 a 300. Neste estudo, o ASAM é usado considerando npmax como 230 para as

treliças de 10, 52, 25 e 72 barras e 300 para a treliça de 200 barras. Esses números de

34

perturbações foram obtidos neste trabalho após várias tentativas para encontrar um equilíbrio

entre precisão e custo computacional para cada um dos problemas. O processo iterativo é

finalizado quando o algoritmo atinge a temperatura final. O NI máximo é obtido

multiplicando os ciclos de temperatura pelo npmax. Todos os projetos obtidos pelo ASAM são

viáveis.

4.3.1 Treliça plana de 10 barras

A treliça plana de 10 barras (Figura 5) é um problema comum no campo da otimização

estrutural, sendo muito usado para verificar a eficiência de um novo algoritmo de otimização

proposto (KAVEH et al. 2015). Existem 10 variáveis de projeto neste exemplo e podem ser

selecionadas de 0,1 a 35,0 pol2. A densidade do material é de 0,1 lb/pol3 e o módulo de

elasticidade é de 10000 ksi. Os deslocamentos dos nós livres não devem exceder ±2 pol nas

direções vertical e horizontal. Além disso, as tensões admissíveis, tanto de tração como de

compressão, não devem exceder 25 ksi. Neste problema dois casos de carregamento são

considerados: Caso 1: P1=100 kips e P2=0; Caso 2: P1=150 kips e P2=50 kips.

Figura 5 ‒ Treliça plana de 10 barras

Fonte: Degertekin (2012)

As Tabelas 2 e 3 apresentam uma comparação com os resultados de estudos anteriores

para o Caso 1 e Caso 2, respectivamente. No Caso 1 (Tabela 2), os resultados mostram que

35

o peso do projeto ótimo obtido com ASAM (5060,87 lb) é menor do que outros métodos

(5062,39 lb para EHS, 5061,42 para SAHS, 5086,90 para MCSS, 5064,60 para IMCSS,

5063,58 para NFR e 5065,99 lb para NCO). Além disso, o ASAM requer menos NI que o

HS, EHS, TLBO, MCSS, IMCSS, NFR e NCO (7130 para ASAM, 20000 iterações para HS,

9791 para EHS 16872 para TLBO, 8875 para MCSS, 8475 para IMCSS, 62950 para NFR e

8400 para NCO) para convergir à solução ótima. Em termos de estabilidade da solução, o

ASAM é mais estável que EHS, SAHS e TLBO com o menor DP (0,11 lb para ASAM, 1,98

lb para EHS, 0,71 lb para SAHS e 0,79 lb para TLBO).

No Caso 2 (Tabela 3), o peso obtido por ASAM foi de 4677,05 lb sendo apenas

superado pelo HS com um peso de 4668,81 lb. No entanto, ASAM precisou de menos NI

para conseguir o ótimo. (7130 iterações para ASAM e 15000 para iterações HS). A

velocidade de convergência do IMCSS e do NCO é mais rápida do que a do ASAM (6625

análises para IMCSS e 6510 para NCO), porém o ASAM tem um valor de DP de 0,95 lb, o

que mostra a estabilidade do algoritmo. A Figura 6 apresenta as curvas de convergência dos

melhores projetos alcançados com ASAM para cada caso. Os valores de deslocamento e

tensão obtidos pelo ASAM satisfazem todas as restrições permitidas, como mostram as

Figuras 7 e 8.

36

Tabela 2 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 1)

Variáveis

(pol2)

Lee e Geem

(2004) Degertekin (2012)

Degertekin e

Hayalioglu

(2013)

Kaveh et al. (2015) Moez et al.

(2016)

Vezvari et

al. (2018) ASAM

HS EHS SAHS TLBO MCSS IMCSS NFR NCO

1 A1 30,150 30,208 30,394 30,429 29,577 30,026 30,6206 31,1567 30,451

2 A2 0,102 0,100 0,100 0,100 0,114 0,100 0,1058 0,1004 0,1000

3 A₃ 22,710 22,698 23,098 23,244 23,806 23,628 23,1368 22,3469 23,236

4 A4 15,270 15,275 15,491 15,368 15,888 15,973 15,3435 14,9622 15,262

5 A5 0,102 0,100 0,100 0,100 0,114 0,100 0,1017 0,1011 0,1000

6 A6 0,544 0,529 0,529 0,575 0,100 0,517 0,5517 0,4386 0,552

7 A7 7,541 7,558 7,488 7,440 8,605 7,457 7,5205 7,6323 7,452

8 A8 21,560 21,559 21,189 20,967 21,682 21,437 21,0745 21,6152 21,044

9 A9 21,450 21,491 21,342 21,533 20,303 20,744 21,3645 21,2733 21,522

10 A10 0,100 0,100 0,100 0,100 0,112 0,100 0,1 0,1 0,100

Peso (lb) 5057,88 5062,39 5061,42 5060,96 5086,90 5064,60 5063,58 5065,99 5060,87

Média (lb) – 5063,73 5061,95 5062,08 – – – – 5060,99

DP (lb) – 1,98 0,71 0,79 – – – – 0,11

NI 20000 9791 7081 16872 8875 8475 62950 8400 7130

Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.

Fonte: Autor

37

Tabela 3 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 2)

Variáveis

(pol2)

Lee e Geem

(2004) Degertekin (2012)

Degertekin e

Hayalioglu

(2013)

Kaveh et al. (2015) Moez et al.

(2016)

Vezvari et

al. (2018) ASAM

HS EHS SAHS TLBO MCSS IMCSS NFR NCO

1 A1 23,25 23,589 23,525 23,524 22,863 23,299 23,33621 24,0446 23,493

2 A2 0,102 0,100 0,100 0,100 0,120 0,100 0,1 0,1026 0,100

3 A₃ 25,73 25,422 25,429 25,441 25,719 25,682 25,7048 25,5745 25,080

4 A4 14,51 14,488 14,488 14,479 15,312 14,510 14,5081 13,8881 14,312

5 A5 0,1 0,100 0,100 0,100 0,101 0,100 0,1 0,1030 0,100

6 A6 1,977 1,975 1,992 1,995 1,968 1,969 1,9698 1,9771 1,970

7 A7 12,21 12,362 12,352 12,334 12,310 12,149 12,2653 12,3192 12,434

8 A8 12,61 12,682 12,698 12,689 12,934 12,360 12,6900 12,6078 12,881

9 A9 20,36 20,322 20,341 20,354 19,906 20,869 20,3477 20,4504 20,450

10 A10 0,1 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,1 0,1012 0,100

Peso (lb) 4668,81 4679,02 4678,84 4678,31 4686,47 4679,15 4677,43 4680,23 4677,05

Média (lb) – 4681,61 4680,08 4680,12 – – – – 4680,33

DP (lb) – 2,51 1,89 1,02 – – – – 0,95

NI 15000 11402 7267 14857 7350 6625 108100 6510 7130

Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.

Fonte: Autor

38

Figura 6 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras com variáveis contínuas. (a) Caso 1,

(b) Caso 2

(a) Caso 1

(b) Caso 2

Fonte: Autor

5050

5070

5090

5110

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(lb

)

Ciclos de temperatura

4676

4678

4680

4682

4684

4686

4688

4690

4692

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(lb

)


39

Figura 7 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo

ASAM na treliça de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 1). (a) Valores de restrição de

deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão

(a) Valores de restrição de deslocamento

(b) Valores de restrição de tensão

Fonte: Autor

-3

-2

-1

0

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Desloca

mento

(pol)

Número do nó

Deslocamento permitido

Deslocamento ótimo

-30

-20

-10

0

10

20

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tensã

o (

ksi)

Número do elemento

Tensão permitida

Tensão ótima

40


ASAM na treliça de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 2). (a) Valores de restrição de

deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão



Fonte: Autor

-3

-2

-1

0

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Desloca

mento

(pol)

Número do nó


Deslocamento ótimo

-30

-20

-10

0

10

20

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tensã

o(k

si)

Número do elemento

Tensão permitida

Tensão ótima

41

Esta mesma treliça também tem sido otimizada usando variáveis discretas e com o

estado de carregamento do Caso 1. As variáveis discretas são selecionadas do conjunto

A=[1,62 - 1,80 - 1,99 - 2,13 - 2,38 - 2,62 - 2,63 - 2,88 - 2,93 - 3,09 - 3,13 - 3,38 - 3,47 - 3,55

- 3,63 - 3,84 - 3,87 - 3,88 - 4,18 - 4,22 - 4,49 - 4,59 - 4,80 - 4,97 - 5,12 - 5,74 - 7,22 - 7,97 -

11,50 - 13,50 - 13,90 - 14,20 - 15,50 - 16,00 - 16,90 - 18,80 - 19,90 - 22,00 - 22,90 - 26,50 -

30,00 - 33,50] in2.

Os melhores resultados do ASAM são comparados com os obtidos com outros

algoritmos e resumidos na Tabela 4. A partir desta tabela, pode ser visto que o peso ótimo

adquirido pelo ASAM (5490,74 lb) concorda bem com aqueles obtidos pelo TLBO, HHS,

aeDE, mSOS, FA, EF e EFA, enquanto o ASAM resulta em uma solução melhor que o

algoritmo MBA (5507,75 lb).

Considerando o NI, ASAM é mais eficaz que outros métodos (7280 para o mSOS, 7860

para o FA, 7980 para o EM e 7130 para ASAM). Embora a convergência do MBA, TLBO,

HHS, aeDE e EFA seja mais rápida que a do ASAM (3600 iterações para o MBA, 5183 para

TLBO, 3533 para o HHS, 2380 para o aeDE e 2050 para o EFA), o ASAM é mais estável

que estes algoritmos com um menor DP (1,32 lb para ASAM, 11,38 lb para MBA, 20,33 para

TLBO, 10,46 lb para HHS, 20,78 lb para aeDE e 18,37 para EFA).

A Figura 9 mostra a curva de convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM

para este problema. Os valores de deslocamento e tensão obtidos pelo ASAM satisfazem

todas as restrições permitidas, como mostra a Figura 10.

42

Tabela 4 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras com variáveis discretas

Variáveis

(pol2)

Sadollah et

al. (2012)

Camp e

Farshchin (2014)

Cheng et

al. (2016)

Ho-Huu et

al. (2016a)

Do e Lee

(2017) Le et al. (2019)

ASAM

MBA TLBO HHS aeDE mSOS FA EF EFA

1 A1 30 33,50 33,50 33,5 33,5 33,5 33,5 33,5 33,5

2 A2 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62

3 A₃ 22,9 22,90 22,90 22,9 22,9 22,9 22,9 22,9 22,9

4 A4 16,9 14,20 14,20 14,2 14,2 14,2 14,2 14,2 14,2

5 A5 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62

6 A6 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62

7 A7 7,97 22,90 7,97 7,97 7,97 7,97 7,97 7,97 7,97

8 A8 22,9 7,97 22,90 22,9 22,9 22,9 22,9 22,9 22,9

9 A9 22,9 1,62 22,00 22,0 22,0 22,0 22,0 22,0 22,0

10 A10 1,62 22,00 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62

Peso (lb) 5507,75 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74

Média (lb) 5527,30 5503,21 5493,89 5502,62 5490,74 5536,94 5542,72 5528,23 5490,87

DP (lb) 11,38 20,33 10,46 20,78 0,00 34,03 52,38 18,37 1,32

NI 3600 5183 3533 2380 7280 7860 7980 2050 7130

Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.

Fonte: Autor

43

Figura 9 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras com variáveis discretas

Fonte: Autor

5450

5500

5550

5600

5650

5700

5750

5800

5850

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(lb

)


44


ASAM na treliça de 10 barras com variáveis discretas. (a) Valores de restrição de deslocamento, (b)

Valores de restrição de tensão



Fonte: Autor

-3

-2

-1

0

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Desloca

mento

(pol)

Número do nó


Deslocamento ótimo

-30

-20

-10

0

10

20

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tensã

o (

ksi)

Número do elemento

Tensão permitida

Tensão ótima

45


Neste problema, todos os membros da estrutura da treliça, como mostrado na Figura

11, estão divididos em 12 grupos correspondentes a 12 variáveis de projeto, como segue: (1)

A1-A4, (2) A5-A10, (3) A11-A13, (4) A14-A17, (5) A18-A23, (6) A24-A26, (7) A27-A30, (8) A31-

A36, (9) A37-A39, (10) A40-A43, (11) A44-A49 e (12) A50-A52. O módulo de elasticidade e a

densidade do material são 2,07x105 MPa e 7860 kg/m3, respectivamente. A tensão permitida

nas barras é de ± 180 MPa. Esta estrutura é submetida às cargas de Px=100 kN e Py=200 kN

conforme identificado na Figura 11. As variáveis de projeto discretas são selecionadas do

código do ASIC, como mostrado na Tabela 5.


Fonte: Le et al. (2019)

46

Tabela 5 ‒ Lista de áreas transversais disponíveis do código AISC

No, pol2 mm2 No, pol2 mm2 No, pol2 mm2 No, pol2 mm2

1 0,111 71,613 17 1,563 1008,385 33 3,840 2477,414 49 11,500 7419,340

2 0,141 90,968 18 1,620 1045,159 34 3,870 2496,769 50 13,500 8709,660

3 0,196 126,451 19 1,800 1161,288 35 3,880 2503,221 51 13,900 8967,724

4 0,250 161,290 20 1,990 1283,868 36 4,180 2696,769 52 14,200 9161,272

5 0,307 198,064 21 2,130 1374,191 37 4,220 2722,575 53 15,500 9999,980

6 0,391 252,258 22 2,380 1535,481 38 4,490 2896,768 54 16,000 10322,560

7 0,442 285,161 23 2,620 1690,319 39 4,590 2961,284 55 16,900 10903,204

8 0,563 363,225 24 2,630 1696,771 40 4,800 3096,768 56 18,800 12128,008

9 0,602 388,386 25 2,880 1858,061 41 4,970 3206,445 57 19,900 12,838,684

10 0,766 494,193 26 2,930 1890,319 42 5,120 3303,219 58 22,000 14193,520

11 0,785 506,451 27 3,090 1993,544 43 5,740 3703,218 59 22,900 14774,164

12 0,994 641,289 28 3,130 2019,351 44 7,220 4658,055 60 24,500 15806,420

13 1,000 645,160 29 3,380 2180,641 45 7,970 5141,925 61 26,500 17096,740

14 1,228 792,256 30 3,470 2238,705 46 8,530 5503,215 62 28,000 18064,480

15 1,266 816,773 31 3,550 2290,318 47 9,300 5999,988 63 30,000 19354,800

16 1,457 939,998 32 3,630 2341,931 48 10,850 6999,986 64 33,500 21612,860


A comparação dos resultados ótimos para este exemplo é fornecida na Tabela 6. Nesta

tabela, pode-se perceber que o peso estrutural ótimo obtido pelo ASAM (1902,605 kg) é o

mesmo com aqueles de outros métodos, como MBA, WCA, IMBA, HHS, aeDE e EFA. O

melhor peso é 1899,654 kg, que é encontrado pelo mSOS; no entanto, este resultado viola

ligeiramente a restrição de tensão em algumas barras.

Como visto, a velocidade de convergência (NI) do MBA, WCA, aeDE e o EFA é mais

rápida do que a do ASAM (7130 para ASAM, 5450 para o MBA, 7100 para WCA, 4750,

3720 para o aeDE e 2710 para o EFA), mas o ASAM é sempre mais estável que que estes

com um melhor valor do DP (1,71 kg para ASAM, 4,09 kg para MBA, 7.09 kg para WCA,

6,68 kg para aeDE e 3,05 kg para EFA).

Os algoritmos IMBS e HHS têm uma velocidade de convergência mais rápida e maior

estabilidade do que o ASAM, no entanto, deve ser destacada a capacidade do algoritmo para

resolver este problema que apresenta múltiplos ótimos locais. A Figura 12 mostra a curva de

convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM para este problema. Os valores de

tensões obtidos pelo ASAM satisfazem todas as restrições permitidas, como mostra a Figura

13.

47

Tabela 6 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 52 barras

Variáveis

(mm2)

Sadollah et

al. (2012) Sadollah et al. (2015)

Cheng et al.

(2016)

Ho-Huu et

al. (2016a)

Do e Lee

(2017)

Le et al.

(2019) ASAM

MBA WCA IMBA HHS aeDE mSOS EFA

1 A1-A4 4658,06 4658,055 4658,055 4658,055 4658,055 4658,06 4658,055 4658,055

2 A5-A10 1161,29 1161,288 1161,288 1161,288 1161,288 1161,29 1161,288 1161,288

3 A11-A13 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193

4 A14-A17 3303,22 3303,219 3303,219 3303,219 3303,219 3303,22 3303,219 3303,219

5 A24-A26 940,00 939,998 939,998 939,998 939,998 940,00 939,998 939,998

6 A24-A26 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 506,451 494,193 494,193

7 A27-A30 2283,71 2238,705 2238,705 2238,705 2238,705 2283,71 2238,705 2238,705

8 A31-A36 1008,39 1008,385 1008,385 1008,385 1008,385 1008,39 1008,385 1008,385

9 A37-A39 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 388,386 494,193 494,193

10 A40-A43 1283,87 1283,868 1283,868 1283,868 1283,868 1283,87 1283,868 1283,868

11 A44-A49 1161,29 1161,288 1161,288 1161,288 1161,288 1161,29 1161,288 1161,288

12 A50-A52 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 506,451 494,193 494,193

Peso (kg) 1902,605 1902,605 1902,605 1902,605 1902,605 1899,654 1902,605 1902,605

Média (kg) 1906,076 1909,856 1903,076 1904,587 1906,735 1901,003 1904,775 1903,48

DP (kg) 4.09 7,09 1,13 1,31 6,68 1,56 3,05 1,71

NI 5450 7100 4750 4523 3720 7950 2710 7130

Fonte: Autor

48

Figura 12 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 52 barras

Fonte: Autor

Figura 13 ‒ Valores de restrição de tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo ASAM na treliça

de 52 barras

Fonte: Autor

1800

2300

2800

3300

3800

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(kg)


-200

-170

-140

-110

-80

-50

-20

10

40

70

100

130

160

190

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52

Tensã

o(M

Pa)

Número do elemento

Tensão permitida

Tensão ótima

49


Na Figura 14 é apresentada a treliça que consiste em 200 barras. A densidade do

material é de 0,283 lb/pol3 e o módulo de elasticidade é de 30 ksi. As tensões em todos os

membros da treliça não podem exceder ±10 ksi. Esta estrutura está sujeita a três condições

de carga, como segue: (1) 1 kip no eixo X positivo nos nós 1, 6, 15, 20, 29, 43, 48 57, 62 e

71; (2) 10 kips no eixo Y negativo nos nós 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19,

20, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 50, 52, 54, 56,

58, 59, 60, 61, 62, 64, 66, 68, 70, 71, 72, 73, 74 e 75, e (3) casos 1 e 2 ao mesmo tempo.

Os 200 membros estruturais desta estrutura espacial são categorizados em 29 grupos

descritos na Tabela 7. Valores discretos de áreas transversais foram selecionados a partir do

seguinte conjunto: D = [0,1 - 0,347 - 0,44 - 0,539 - 0,954 - 1,081 - 1,174 - 1,333 - 1,488 -

1,764 - 2,142 - 2,697 - 2,8 - 3,131 - 3,565 - 3,813 - 4,805 - 5,952 - 6,572 - 7,192 - 8,525 - 9,3

- 10,85 - 13,33 - 14,29 - 17,17 - 19,18 - 23,68 - 28,08 - 33,7] (in2).

A Tabela 8 compara os resultados obtidos pelo ASAM e outros métodos de otimização.

Pode-se observar que o resultado obtido pelo ASAM (27540,79 lb) é menor que outros

métodos (27901,58 para DE, 27858,50 para aeDE, 27544,19 para SOS, 27544,19 para mSOS

e 28250,57 para FA). Além disso, o ASAM requer menos NI do que o DE, SOS, mSOS e

FA (9300 para ASAM, 41475 para o DE, 12325 para aeDE, 300000 para SOS, 20700 para

mSOS e 20220 para FA). Observe que o ASAM ainda é mais estável do que o HHS, aeDE,

FA e EFA com o menor desvio padrão (1149,91 lb para HHS, 481,59 lb para aeDE, 1150,25

lb para FA, 749,08 lb para EFA e 462,36 para ASAM). Os algoritmos HHS e EFA

apresentam melhores projetos do que o ASAM (27163,59 lb para HHS e 27421,94 lb para

EFA) mas o ASAM é mais estável que estes algoritmos. Neste problema, o algoritmo DAJA

foi o otimizador mais eficiente com um peso de projeto ótimo de 27282, 57 lb e DP de 282,88

lb. A Figura 15 mostra a curva de convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM para

este problema. Os valores de tensões obtidos pelo ASAM satisfazem todas as restrições

permitidas, como mostra a Figura 16.

50



51

Tabela 7 ‒ Variáveis de projeto no problema da treliça plana de 200 barras.

Variáveis Número de membros da treliça

A1 1, 2, 3, 4

A2 5, 8, 11, 14, 17

A3 19, 20, 21, 22, 23, 24

A4 18, 25, 56, 63, 94, 101, 132, 139, 170, 177

A5 26, 29, 32, 35, 38

A6 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 27, 28, 30, 31, 33, 34, 36, 37

A7 39, 40, 41, 42

A8 43, 46, 49, 52, 55

A9 57, 58, 59, 60, 61, 62

A10 64, 67, 70, 73, 76

A11 44, 45, 47, 48, 50, 51, 53, 54, 65, 66, 68, 69, 71, 72, 74, 75

A12 77, 78, 79, 80

A13 81, 84, 87, 90, 93

A14 95, 96, 97, 98, 99, 100

A15 102, 105, 108, 111, 114

A16 82, 83, 85, 86, 88, 89, 91 92, 103, 104, 106, 107, 109, 110, 112, 113

A17 115, 116, 117, 118

A18 119, 122, 125, 128, 131

A19 133, 134, 135, 136, 137, 138

A20 140, 143, 146, 149, 152

A21 120, 121, 123, 124, 129, 127, 129, 130, 141, 142, 144, 145, 147, 148, 150, 151

A22 153, 154, 155, 156

A23 157, 160, 163, 166, 169

A24 171, 172, 173, 174, 175, 176

A25 178, 181, 184, 187, 190

A26 158, 159, 161, 162, 164, 165, 167, 168, 179, 180, 182, 183, 185, 186, 188, 189

A27 191, 192, 193, 194

A28 195, 197, 198, 200

A29 196, 199


52


Variáveis

(pol2)

Cheng et

al. (2016) Ho-Huu et al. (2016a) Do e Lee (2017)

Degertekin et

al. (2019) Le et al. (2019)

ASAM

HHS DE aeDE SOS mSOS DAJA FA EFA

1 A1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

2 A2 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954

3 A3 0,1 0,347 0,347 0,1 0,1 0,347 0,954 0,347 0,1

4 A4 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

5 A5 2,142 2,142 2,142 2,142 2,142 2,142 2,142 2,142 2,142

6 A6 0,347 0,539 0,347 0,347 0,347 0,347 0,44 0,347 0,347

7 A7 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

8 A8 3,131 3,565 3,131 3,131 3,131 3,131 3,565 3,131 3,131

9 A9 0,1 0,347 0,347 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

10 A10 4,805 4,805 4,805 4,805 4,805 4,805 4,805 4,805 4,805

11 A11 0,44 0,539 0,539 0,44 0,44 0,44 0,44 0,44 0,44

12 A12 0,347 0,1 0,347 0,1 0,1 0,347 0,1 0,347 0,1

13 A13 5,952 5,952 5,952 5,952 5,952 5,952 5,952 5,952 5,952

14 A14 0,347 0,347 0,1 0,1 0,1 0,1 0,954 0,347 0,1

15 A15 6,572 6,572 6,572 6,572 6,572 6,572 7,192 6,572 6,572

16 A16 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954

17 A17 0,347 0,347 0,44 0,347 0,347 0,1 0,1 0,347 0,347

18 A18 8,525 8,525 8,525 8,525 8,525 8,525 8,525 8,525 8,525

19 A19 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,539 0,1 0,1 0,1

20 A20 9,3 9,3 9,3 9,3 9,3 9,3 10,85 9,3 9,3

21 A21 1,081 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954

22 A22 0,347 1,333 1,081 1,174 1,174 0,1 0,954 1,333 1,174

23 A23 13,33 13,33 13,33 13,33 13,33 13,33 13,33 13,33 13,33

24 A24 0,954 0,347 0,539 0,44 0,44 0,1 0,954 0,347 0,44

25 A25 13,33 13,33 14,29 13,33 13,33 13,33 13,33 13,33 13,33

26 A26 1,764 2,142 2,142 2,142 2,142 0,954 2,142 2,142 2,142

27 A27 3,813 3,813 3,813 3,813 3,813 5,952 3,565 3,813 3,813

28 A28 8,525 8,525 8,525 8,525 8,525 10,85 8,525 8,525 8,525

29 A29 17,17 17,17 17,17 17,17 17,17 14,29 17,17 17,17 17,17

Peso (lb) 27163,59 27901,58 27858,50 27544,19 27544,19 27282,57 28250,57 27421,94 27540,79

Média (lb) 28159,59 28470,11 28425,87 27768,29 27629,82 27878,27 29871,91 28434,60 28422,49

DP (lb) 1149,91 457,47 481,59 297,12 90,25 282,88 1150,24 749,08 462,36

NI 5000 41475 12325 300000 20700 4693 20220 6110 9300

Fonte: Autor

53


Fonte: Autor

Figura 16 ‒ Valores de restrição de tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo ASAM na treliça

de 200 barras

Fonte: Autor

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(lb

)


-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

1 21 41 61 81 101 121 141 161 181

Tensã

o(k

si)

Número do elemento

Tensão permitida

Tensão ótima C1

Tensão ótima C2

Tensão ótima C3

54

4.3.4 Treliça espacial de 25 barras

A Figura 17 mostra a geometria da estrutura a ser analisada. O intervalo das áreas de

seção transversal é de 0,01 a 3,4 pol2, A densidade do material é de 0,1 lb/pol3 e o módulo

de elasticidade é de 10000 ksi. A estrutura está sujeita às duas condições de carga

independentes listadas na Tabela 9.

Os deslocamentos dos nós livres não devem exceder ±0,35 pol em todas as direções.

Por causa da simetria estrutural, as barras são divididas em oito grupos e os valores de tensão

permitidos para todos os grupos estão listados na Tabela 10.

Figura 17 ‒ Treliça espacial de 25 barras

Fonte: Degertekin et al. (2017)

Tabela 9 ‒ Condições de carregamento para a treliça espacial de 25 barras (variáveis contínuas).

Condição 1 (kips) Condição 2 (kips)

Nó Fx Fy Fz Fx Fy Fz

1 0,0 20,0 -5,0 1,0 10,0 -5,0

2 0,0 -20,0 -5,0 0,0 10,0 -5,0

3 0,0 0,0 0,0 0,5 0,0 0,0

6 0,0 0,0 0,0 0,5 0,0 0,0


55

Tabela 10 ‒ Tensões admissíveis nos grupos de elementos para a treliça espacial de 25 barras

Variáveis (pol2) Compressão admissível (ksi) Tensão admissível (ksi) A1 35,092 40,0 A2-A5 11,590 40,0 A6-A9 17,305 40,0 A10-A11 35,092 40,0 A12-A13 35,092 40,0 A14-A17 6,759 40,0 A18-A21 6,959 40,0 A22-A25 11,082 40,0


Os resultados obtidos pelo ASAM e outras metaheurísticas de otimização são

comparados na Tabela 11. ASAM encontrou um projeto ótimo com um peso de 545,18 lb

semelhante aos fornecidos na literatura. No entanto, o NI requeridos pelo ASAM para obter

a solução ótima é o menor entre os algoritmos metaheurísticos comparados neste estudo

(300000 para ABC-AP, 10391 para EHS, 9051 para SAHS, 15318 para TLBO, 13326 para

HPSSO, 19750 para WEO, 7653 para HTS, 13600 para BBO-DE e 7130 para ASAM). O DP

obtido com ASAM mostra que é mais estável em comparação com os outros algoritmos

metaheurísticos. WEO e BBO-DE alcançaram um DP menor do que o ASAM (0,08 e 0,36

lb versus 0,41 lb), mas com um custo computacional consideravelmente maior (19750 e

13600 NI versus 7130 NI). Por outro lado, este problema também foi resolvido na literatura

utilizando variáveis discretas. As variáveis são selecionadas do conjunto A={0,1‒0,2‒0,3‒

0,4‒0,5‒0,6‒0,7‒0,8‒0,9‒1,0‒1,1‒1,2‒1,3‒1,4‒1,5‒1,6‒1,7‒1,8‒1,9‒2,0‒2,1‒2,2‒2,3‒2,4‒

2,6‒2,8‒3,0‒3,2‒3,4} pol2. As cargas aplicadas à estrutura estão listadas na Tabela 12. As

tensões admissíveis de tração e compressão são de ± 40 ksi. A comparação entre os resultados

obtidos pelo ASAM e outros algoritmos está resumida na Tabela 13. O peso ótimo adquirido

pelo ASAM concorda bem com os dos outros com um valor de 484,5 lb. Da tabela, pode ser

visto que o ASAM requer apenas 7130 NI para obter a solução ótima, enquanto o HPSO e

SOS requerem 25000 e 78300 NI, respectivamente. Além disso, o ASAM é mais estável que

o aeDE e o HHS com um melhor valor de desvio padrão (0,18 lb para ASAM, 0,27 para

aeDE e 0,37 para HHS). O melhor DP para este problema foi o obtido com a metaheurística

DAJA (0,0 lb) e além disso, precisou de 511 NI para convergir ao ótimo. As Figuras 18 e 19

mostram a curva de convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM para cada

problema. As Figuras 20 e 21 mostram que nenhuma restrição de deslocamento e tensão dada

pelo ASAM é violada.

56

Tabela 11 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 25 barras com variáveis contínuas

Variáveis

(pol2)

Sonmez

(2011b) Degertekin (2012)

Degertekin

e Hayalioglu

(2013)

Kaveh et al.

(2014)

Kaveh e

Bakhshpoori

(2016b)

Degertekin

et al. (2017)

Jalili e

Hosseinzadeh

(2018) ASAM

ABC EHS SAHS TLBO HPSSO WEO HTS BBO-DE

1 A1 0,011 0,010 0,010 0,0100 0,0100 0,0100 0,0100 0,0101 0.0100

2 A2-A5 1,979 1,995 2,074 2,0712 1,9907 1,9184 2,0702 2,0256 1.9381

3 A6-A9 3,003 2,980 2,961 2,9570 2,9881 3,0023 2,97003 3,0560 2.9989

4 A10-A11 0,010 0,010 0,010 0,0100 0,0100 0,0100 0,0100 0,0100 0.0100

5 A12-A13 0,010 0,010 0,010 0,0100 0,0100 0,0100 0,0100 0,0100 0.0100

6 A14-A17 0,690 0,696 0,691 0,6891 0,6824 0,6827 0,6707 0,6839 0.6844

7 A18-A21 1,679 1,679 1,617 1,6209 1,6764 1,6778 1,6171 1,6126 1.6778

8 A22-A25 2,652 2,652 2,674 2,6768 2,6656 2,6612 2,6981 2,6602 2.6600

Peso (lb) 545,19 545,49 545,12 545,09 545,16 545,16 545,13 545,09 545,17

Média (lb) – 546,52 545,94 545,41 545,55 545,22 545,17 545,34 545,41

DP (lb) – 1,05 0,91 0,42 0,43 0,08 0,476 0,36 0,41

NI 300000 10391 9051 15318 13326 19750 7653 13600 7130

Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.

Fonte: Autor

57

Tabela 12 ‒ Condição de carregamento para a treliça espacial de 25 barras (variáveis discretas)

Cargas (kips)

Nó Fx Fy Fz

1 1,0 -10,0 -10,0

2 0,0 -10,0 -10,0

3 0,5 0,0 0,0

6 0,6 0,0 0,0

Fonte: Do e Lee (2017)

Tabela 13 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 25 barras com variáveis discretas

Variáveis

(pol2)

Li et al.

(2009)

Sadollah et

al. (2012)

Camp e

Farshchin

(2014)

Ho-Huu et

al. (2016a)

Cheng et al.

(2016) Do e Lee (2017)

Degertekin

et al. (2019) ASAM

HPSO MBA TLBO aeDE HHS SOS mSOS DAJA

1 A1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0.1

2 A2-A5 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0.3

3 A6-A9 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3.4

4 A10-A11 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0.1

5 A12-A13 2,1 2,1 2,1 2,1 2,1 2,1 2,1 2,1 2.1

6 A14-A17 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1.0

7 A18-A21 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0.5

8 A22-A25 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3.4

Peso (lb) 484,85 484,85 484,85 484,85 484,85 484,85 484,85 484,85 484,85

Média (lb) – 484,89 484,91 485,01 484,95 484,87 484,86 484,85 484,51

DP (lb) – 0,07 0,17 0,27 0,37 0,06 0,04 0,0 0,08

NI 25000 2150 4910 1440 5000 78300 4200 511 7130

Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.

Fonte: Autor

58

Figura 18 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 25 barras com variáveis contínuas

Fonte: Autor

Figura 19 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 25 barras com variáveis discretas

Fonte: Autor

540

545

550

555

560

565

570

575

580

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(lb

)


480

485

490

495

500

505

510

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(lb

)


59


ASAM na treliça de 25 barras com variáveis contínuas. (a) Valores de restrição de deslocamento, (b)




Fonte: Autor

-0,5

0,0

0,5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Desloca

mento

(pol)

Número do nó


Deslocamento ótimo C1


-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

1 5 9 13 17 21 25

Tensã

o (

ksi)

Número do elemento

Tensão permitida

Tensão ótima C1

Tensão ótima C2

60






Fonte: Autor

-0,5

0,0

0,5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Desloca

mento

(pol)

Número do nó


Deslocamento ótimo

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

1 5 9 13 17 21 25

Tensã

o(k

si)

Número do elemento

Tensão permitida

Tensão ótima

61


Este problema, mostrado na Figura 22 também foi resolvido usando variáveis contínuas

e discretas. Para o caso de variáveis contínuas, o módulo de elasticidades é de 10000 ksi e a

densidade do material dos membros da treliça é igual a 0,1 lb/pol3. Os membros da treliça

são classificados em 16 grupos de elementos por causa da simetria estrutural: (1) A1-A4, (2)

A5-A12, (3) A13-A16, (4) A17-A18, (5) A19-A22, (6) A23-A30, (7) A31-A34, (8) A35-A36, (9) A37-

A40, (10) A41-A48, (11) A49-A52, (12) A53-A54, (13) A55-A58, (14) A59-A66, (15) A67-A70, (16)

A71-A72.

A estrutura está sujeita às duas condições de carga independentes listadas na Tabela

14. Os membros da estrutura estão sujeitos à limitação de tensão de ± 25 ksi. Além disso, os

deslocamentos nodais de todos os nós livres são limitados a ± 0,25 pol. Os valores máximo

e mínimo permitidos para as áreas de seção transversal são de 0,1 e 3,4 pol2, respectivamente.


Fonte: Jalili e Hosseinzadeh (2018)

62

Tabela 14 ‒ Condições de carregamento para a treliça espacial de 72 barras

Condição 1 (kips) Condição 2 (kips)

Nó Fx Fy Fz Fx Fy Fz

17 5,0 5,0 -5,0 0,0 0,0 -5,0

18 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -5,0

19 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -5,0

20 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -5,0

Fonte: Jalili e Hosseinzadeh (2018)

Os resultados de comparação do ASAM com os métodos de metaheurística existentes

são apresentados na Tabela 15. Pode-se observar que o melhor projeto obtido pelo ASAM

(379.69 lb) é semelhante aos algoritmos metaheurísticos considerados neste estudo. No

entanto, o ASAM requer menos NI para convergir ao ótimo (7130 NI para ASAM, 13200 NI

para HBB-BC, 15044 NI para EHS, 13742 NI para SAHS, 19778 NI para TLBO, 15600 NI

para CBO, 13166 NI para HTS e 11600 NI para BBO-DE). Ao examinar a Tabela 15 em

termos de resultados estatísticos, observa-se que os valores do peso médio e desvio padrão

obtidos pelo ASAM são menores que HBB-BC, EHS, SAHS, TLBO e HTS. Embora o

ASAM tenha um desvio padrão ligeiramente maior que o método CBO e o BBO-DE é mais

eficiente que estes em termos de esforço computacional.

Para o caso de variáveis discretas, as áreas transversais devem ser selecionadas a partir

do conjunto discreto disponível listado na Tabela 5. A Tabela 16 compara os resultados

obtidos pelo algoritmo ASAM e outros métodos de otimização. Pode-se observar que o

melhor resultado obtido pelo ASAM (389,33 lb) é o mesmo que o do WCA, MBBO, aeDE,

BBO-DE e EFA, mas menor que o do MBA (390,73 lb) e CBO (391,07 lb). Por outro lado,

a velocidade de convergência do CBO, WCA, aeDE, BBO-DE e EFA é mais rápida que a do

ASAM (7130 NI para ASAM, 4500 NI para CBO, 4600 NI para WCA, 4160 NI para aeDE,

5480 NI para BBO-DE e 2700 NI para EFA), mas o ASAM é mais estável que estes com um

melhor valor de DP (1,02 lb para ASAM, 24,8 lb para CBO, 1,43 lb para WCA, 1,16 lb para

aeDE, 1,43 lb para BBO-DE e 1,38 lb para EFA). Finalmente, observa-se que os valores do

peso médio e desvio padrão obtidos pelo ASAM são menores que os demais algoritmos

listados, o que mostra a robustez do algoritmo. As Figuras 23 e 24 mostram a curva de

convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM para este problema com variáveis

contínuas e discretas. As Figuras 25 e 26 mostram que os projetos obtidos pelo ASAM não

violam as restrições em nenhum dos dois problemas.

63

Tabela 15 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras com variáveis contínuas

Variáveis

(pol2)

Kaveh e

Talatahari

(2009c)

Degertekin (2012)

Degertekin e

Hayalioglu

(2013)

Kaveh e

Mahdavi

(2014b)

Degertekin et

al. (2017)

Jalili e

Hosseinzadeh

(2018) ASAM

HBB-BC EHS SAHS TLBO CBO HTS BBO-DE

1 A1-A4 1,9042 1,967 1,860 1,9064 1,9028 1,9001 1,9018 1.8807

2 A5-A12 0,5162 0,510 0,521 0,5061 0,5180 0,5131 0,5114 0.5142

3 A13-A16 0,100 0,100 0,100 0,100 0,1001 0,1000 0,1000 0.1000

4 A17-A18 0,100 0,100 0,100 0,100 0,1003 0,1000 0,1001 0.1000

5 A19-A22 1,2582 1,293 1,293 1,2617 1,2787 1,2456 1,2766 1.2711

6 A23-A30 0,5035 0,511 0,511 0,5111 0,5074 0,5080 0,5129 0.5151

7 A31-A34 0,100 0,100 0,100 0,100 0,1003 0,1000 0,1000 0.1000

8 A35-A36 0,100 0,100 0,100 0,100 0,1003 0,1000 0,1001 0.1000

9 A37-A40 0,5178 0,499 0,499 0,5317 0,5240 0,5550 0,5178 0.5317

10 A41-A48 0,5214 0,501 0,501 0,5159 0,5150 0,5227 0,5174 0.5134

11 A49-A52 0,100 0,100 0,100 0,100 0,1002 0,1000 0,1000 0.1000

12 A53-A54 0,1007 0,100 0,100 0,100 0,1015 0,1000 0,1000 0.1000

13 A55-A58 0,1566 0,160 0,168 0,1562 0,1564 0,1566 0,1567 0.1565

14 A59-A66 0,5421 0,522 0,584 0,5493 0,5494 0,5407 0,5428 0.5429

15 A67-A70 0,4132 0,478 0,433 0,4097 0,4029 0,4084 0,4055 0.4081

16 A71-A72 0,5756 0,591 0,520 0,5698 0,5504 0,5669 0,5711 0.5733

Peso (lb) 379,66 381,00 380,62 379,63 379,69 379,73 379,63 379,69

Média (lb) 381,85 383,50 382,42 380,20 379,90 382,26 379,89 379,95

DP (lb) 1,20 1,92 1,38 0,41 0,08 1,94 0,18 0,22

NI 13200 15044 13742 19778 15600 13166 11600 7130

Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.

Fonte: Autor

64

Tabela 16 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras com variáveis discretas.

Variáveis

(pol2)

Sadollah et al.

(2012)

Kaveh e

Mahdavi

(2014a)

Sadollah et al.

(2015)

Jalili et al.

(2016)

Ho-Huu et al.

(2016a)

Jalili e

Hosseinzadeh

(2018)

Le et al.

(2019) ASAM

MBA CBO WCA MBBO aeDE BBO-DE EFA

1 A1-A4 0,196 1,620 1,990 1,990 1,990 1,990 1,990 1,990

2 A5-A12 0,563 0,563 0,442 0,563 0,563 0,563 0,442 0,442

3 A13-A16 0,442 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111

4 A17-A18 0,602 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111

5 A19-A22 0,442 1,457 1,228 1,228 1,228 1,228 1,228 1,228

6 A23-A30 0,442 0,442 0,563 0,563 0,442 0,442 0,563 0,563

7 A31-A34 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111

8 A35-A36 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111

9 A37-A40 1,266 0,602 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563

10 A41-A48 0,563 0,563 0,563 0,442 0,563 0,563 0,563 0,563

11 A49-A52 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111

12 A53-A54 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111

13 A55-A58 1,800 0,196 0,196 0,196 0,196 0,196 0,196 0,196

14 A59-A66 0,602 0,602 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563

15 A67-A70 0,111 0,391 0,391 0,391 0,391 0,391 0,391 0,391

16 A71-A72 0,111 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563

Peso (lb) 390,73 391,07 389,33 389,33 389,33 389,33 389,33 389,33

Média (lb) 395,43 403,71 389,94 390,78 390,91 390,62 391,376 390,45

DP (lb) 3,04 24,8 1,43 1,61 1,16 1,43 1,38 1,02

NI 11600 4500 4600 9600 4160 5840 2700 7130

Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.

Fonte: Autor

65

Figura 23 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras com varieis contínuas

Fonte: Autor

Figura 24 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras com varieis discretas

Fonte: Autor

375

380

385

390

395

400

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(lb

)


388

390

392

394

396

398

400

402

404

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(lb

)


66


ASAM na treliça de 72 barras com variáveis contínuas. (a) Valores de restrição de deslocamento, (b)




Fonte: Autor

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

1 11 21 31 41 51

Desloca

mento

(pol)

Número do nó




-30

-20

-10

0

10

20

30

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71

Tensã

o (

ksi)

Número do elemento

Tensão permitida

Tensão ótima C1

Tensão ótima C2

67






Fonte: Autor

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

1 11 21 31 41 51

Desloca

mento

(pol)

Número do nó




-30

-20

-10

0

10

20

30

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71

Tensã

o (

ksi)

Número do elemento

Tensão permitida

Tensão ótima C1

Tensão ótima C2

68

5 OTIMIZAÇÃO DIMENSIONAL E DE FORMA DE TRELIÇAS COM

RESTRIÇÕES DE FREQUÊNCIA NATURAIS USANDO O ALGORITMO

SIMULATED ANNEALING MODIFICADO

5.1 INTRODUÇÃO

As frequências naturais e os modos de vibração de uma estrutura são parâmetros

dinâmicos importantes que devem ser controlados para manter o comportamento estrutural

desejado (GRANDHI, 1993; ZUO et al., 2011). Estes parâmetros dependem principalmente

das configurações de massa (ou peso) e rigidez da estrutura. Desta forma, o problema de

otimização estrutural com restrições de frequência surge como um problema de engenharia.

Otimizar o peso de estruturas com restrições de frequência pode ser considerado um

problema difícil de resolver, pelo fato de que a redução de peso gera conflito com as

restrições de frequência (TALBI, 2009). Além disso, estes tipos de problemas representam

espaços de busca não lineares e não convexos com vários ótimos locais e são conhecidos

como um problema de otimização desafiador (GRANDHI, 1993). Portanto, abordagens

determinísticas são difíceis e demoradas para serem aplicadas a esses problemas de

otimização. Além disso, um bom ponto de partida é vital para esses métodos obterem

resultados bem-sucedidos. Sob tais circunstâncias, as metaheurísticas de otimização podem

servir como alternativas apropriadas devido à capacidade de pesquisar mínimos globais em

espaços modais e multidimensionais.

A otimização dimensional é um tipo fundamental de otimização de treliça, em que o

objetivo final é obter as melhores seções de barra, enquanto a otimização de forma trabalha

para encontrar as melhores posições nodais dos nós predefinidos da estrutura. O primeiro a

resolver esse problema foi Bellagamba e Yang (1981) e, desde então, vários pesquisadores

vêm introduzindo diferentes algoritmos de otimização, porém essa área de pesquisa ainda

não foi totalmente investigada até o momento. A Tabela 17 lista os trabalhos mais

importantes que envolvem métodos de otimização (programação matemática e

metaheurísticas de otimização) para resolver esse tipo problema.

69

Tabela 17 ‒ A lista dos principais trabalhos na otimização dimensional e de forma de treliças com

frequências naturais

Autor Método

Lin et al. (1982) Bi-factor algorithm based on the Kuhn-Tucker criteria

Grandhi e Venkayya (1988)

Wang et al. (2004) Optimality Criterion (OC)

Sedaghati et al. (2002) Sequential Quadratic Programming (SQP)

Lingyun et al. (2005) Niche Hybrid Parallel Genetic Algorithm (NHPGA)

Wei et al. (2011) Parallel Genetic Algorithm (PGA)

Gomes (2011) Particle Swarm Optimization (PSO)

Kaveh e Zolghadr (2011) Charged System Search (CSS)

Miguel e Fadel Miguel (2012) Harmony Search (HS)

Firefly Algorithm (FA)

Kaveh e Zolghadr (2012) Hybridization of the Charged System Search and the Big Bang-Big

Crunch algorithms (CSS-BBC)

Kaveh e Zolghadr (2014) Democratic Particle Swarm Optimization (DPSO)

Khatibinia e Naseralavi (2014) Orthogonal Multi-Gravitational Search Algorithm (OMGSA)

Kaveh e Ilchi Ghazaan (2015) Hybridization of the Particle Swarm Optimization with an Aging

Leader and Challengers (ALC-PSO and HALC-PSO)

Gonçalves et al. (2015) Search group algorithm (SGA)

Farshchin et al. (2016) School-Based Optimization (SBO)

Kaveh e Zolghadr (2017a) Tug of War Optimization (TWO)

Kaveh e Zolghadr (2017b) Cyclical Parthenogenesis Algorithm (CPA)

Kaveh e Ilchi Ghazaan (2017) Vibrating Particles System (VPS)

Ho-Huu et al. (2018) Novel Differential Evolution (ReDE)

Tejani et al. (2018) - Tejani et

al.(2016a) - Kumar et al. (2019) Symbiotic Organisms Search (SOS)

Lieu et al. (2018) Adaptive Hybrid Evolutionary firefly Algorithm (AHEFA)

Fonte: Autor

Neste capítulo, o ASAM é proposto para resolver o problema de otimização

dimensional e de forma de treliças com restrições de frequências naturais. Para mostrar a

validade do algoritmo, seis problemas de otimização de treliça de referência (benchmark

problems) com restrições de frequência são considerados. Os resultados numéricos são

comprados com os encontrados por outras metaheurísticas da literatura especializada.

5.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL

O objetivo do problema de otimização estrutural é minimizar o peso da treliça,

alcançando as coordenadas nodais ótimas e as áreas transversais ótimas dos elementos,

satisfazendo algumas restrições de frequências naturais. Todos os seis problemas de exemplo

resolvidos neste trabalho foram resolvidos anteriormente por outros autores e, portanto, são

considerados problemas de referência. Em todos esses problemas, as massas adicionadas são

massas externas que não são parte intrínseca da estrutura a ser otimizada (por exemplo, uma

torre de transmissão teria os efeitos de cabos e acessórios representados como massas

70

adicionadas). Portanto, essas massas não são parte integrante do peso da estrutura e não são

incluídas na formulação. A formulação matemática para esse problema pode ser expressa por

Encontrar, X = {A, NC}, onde A = {A1, A2, . . . , An} e NC = {NC1, NC2, . . . , NCm}

(5.1)

Minimizar W(X) =∑ρiAiLi

n

i=1

Sujeito a

{

fq − fq

min ≥ 0

fr − frmax ≤ 0

Aimin ≤ Ai ≤ Ai

max

NCjmin ≤ NCj ≤ NCj

max

onde W(X) é o peso total da treliça minimizada; n é o número total de membros da estrutura;

ρi, Ai e Li representam a densidade do material, a área da seção transversal e o comprimento

do membro i, respectivamente; NCj são as coordenadas nodais (xj, yj, zj) do nó j; fq e fr são as

frequências naturais da estrutura, respectivamente e os subíndices “max” e “min” denotam

os limites máximos e mínimos permitidos, respectivamente.


Nesta seção, seis exemplos numéricos mais usados, incluindo quatro sobre otimização

dimensional (treliça plana de 10 barras, treliça plana de 200 barras, treliça espacial de 72

barras e cúpula de 120 barras) e os demais sobre otimização dimensional e de forma ( treliça

plana de 37 barras e cúpula de 52 barras) são explorados para avaliar a viabilidade e validade

do ASAM. Os principais dados de entrada dos problemas são apresentados na Tabela 18.

Cem execuções do algoritmo são feitas para cada problema devido à natureza estocástica das

metaheurísticas de otimização.

Para todos os exemplos, o tamanho da população (exploração preliminar), a

temperatura inicial (Tinicial) e a temperatura final (Tfinal) são definidos como 200, 1 e 1x10-3,

respectivamente. A análise de sensibilidade do ASAM sobre esses parâmetros são

investigadas em Millan-Paramo (2018) e Millan et al. (2014). De acordo com Millan-Paramo

(2018), o número máximo de perturbações (npmax) na mesma temperatura pode ser escolhido

na faixa de 100 a 300. Neste estudo, o ASAM é usado considerando npmax como 230 para a

treliça plana de 10 barras, treliça espacial de 72 barras e treliça espacial de 52 barras; 200

para treliça planar de 200 barras; e 100 para a treliça espacial de 120 barras e a treliça plana

71

de 37 barras. Esses números de perturbações foram obtidos neste trabalho após várias

tentativas para encontrar um equilíbrio entre precisão e custo computacional para cada um

dos problemas. Se 300 perturbações fossem usadas em todos os problemas, bons resultados

seriam garantidos, no entanto, sempre com um alto custo computacional. O processo iterativo

é finalizado quando o algoritmo atinge a temperatura final. O NI máximo é obtido

multiplicando os ciclos de temperatura pelo npmax. Também é importante observar que todos

os projetos obtidos com ASAM são viáveis. O algoritmo é codificado no Matlab e o elemento

de barra linear de dois nós é utilizado para a análise. Os resultados estatísticos são

apresentados em termos do melhor peso, peso médio, desvio padrão (DP) e o número de

iterações (NI). Os resultados e discussões dos problemas são explicados nas seguintes seções.

Tabela 18 ‒ Propriedades do material, limites de área de seção transversal e restrições de frequência

para diferentes problemas

Problema

Módulo de

elasticidade

E (N/m2)

Densidade

do material

ρ (kg/m3)

Limites áreas

seção

transversal

(cm2)

Deslocamentos

permitidos nos

nós (m)

Restrições de

frequência

(Hz)

Treliça plana de 10

barras 6,98x1010 2770

0,645 ≤ Ai ≤

50 –

f1 ≥ 7

f2 ≥ 15

f3 ≥ 20

Treliça plana de

200 barras 2,1x1011 7860 0,1 ≤ Ai ≤ 30 –

f1 ≥ 5

f2 ≥ 10

f3 ≥ 15

Treliça espacial de

72 barras 6,98x1010 2770

0,645 ≤ Ai ≤

30 –

f1 = 4

f3 ≥ 6


120 barras 2,1x1011 7971,81 1 ≤ Ai ≤ 129,3 –

f1 ≥ 9

f2 ≥ 11

Treliça plana de 37

barras 2,1x1011 7800 0,1 ≤ Ai ≤ 10 0.1≤y≤3

f1≥20

f2≥40

f3≥60


52 barras 2,1x1011 7800 0,1 ≤ Ai ≤ 10

todos os nós livres

podem deslocar ±

2 m de maneira

simétrica

f1≤15.9155

f2≥28.6479

Fonte: Autor


A Figura 27 mostra a geometria da treliça plana de 10 barras considerada como um

problema de referência no campo do projeto estrutural com múltiplas restrições de frequência

72

(KAVEH; ZOLGHADR, 2014). Os parâmetros de projeto são fornecidos na Tabela 18. Uma

massa concentrada de 454 kg é adicionada em cada um dos nós livres (nós 1-4) conforme

indicado na mesma figura.

A Tabela 19 mostra uma comparação dos resultados ótimos obtidos pelo ASAM com

diferentes abordagens. Pode-se ver que o peso ótimo alcançado pelo ASAM (532,04 kg) é

semelhante que o do DPSO (532,39 kg) e SBO (532,05 kg). Por outro lado, o ASAM requer

7130 NI que são inferiores à SBO (10000 NI), VPS (30000 NI) e ReDE (8300 NI). Embora

a velocidade de convergência do DPSO, ISOS e AHEFA seja mais rápida que a do ASAM

(6000 NI para DPSO, 4000 NI para ISOS e 5860 para AHEFA), o ASAM é mais estável que

estes métodos com o menor DP (0,01 kg para ASAM, 4,02 kg para DPSO, 3,48 kg para ISOS

e 1,92 para AHEFA). Os valores de frequências ótimos indicam a viabilidade do projeto

obtido. A Figura 28 mostra a curva de convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM

para este problema.


Fonte: Lieu et al. (2018)

73

Tabela 19 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras.

Variáveis

(cm2)

Kaveh e

Zolghadr

(2014)

Farshchin et

al. (2016)

Kaveh e

Ilchi

Ghazaan

(2017)

Ho-Huu

et al.

(2018)

Tejani et

al.

(2018)

Lieu et

al. (2018) ASAM

DPSO SBO VPS ReDE ISOS AHEFA

1 A1 35,944 35,5994 35,1471 35,1565 35,2654 35,1714 32,9710

2 A2 15,53 14,9956 14,6668 14,7605 14,6803 14,7203 15,5925

3 A₃ 35,285 35,4806 35,6889 35,1187 34,4273 35,1074 32,8514

4 A4 15,385 14,7646 15,0929 14,7275 14,9605 14,6986 15,5942

5 A5 0,648 0,6450 0,645 0,6450 0,6450 0,6451 0,6454

6 A6 4,583 4,6305 4,6221 4,5558 4,5927 4,5593 4,6552

7 A7 23,61 24,3272 23,5552 23,7199 23,3417 23,7330 26,1179

8 A8 23,599 23,8528 24,468 23,6304 23,8236 23,6795 26,1350

9 A9 13,135 12,6797 12,7198 12,3827 12,8497 12,3987 11,9983

10 A10 12,357 12,6375 12,6845 12,4580 12,5321 12,4231 11,9339

Peso (kg) 532,39 532,05 530,77 524,45 524,73 524,45 532,04

f1 (Hz) 7,0000 7,0000 7,0000 7,0000 7,0001 7,0000 7,0000

f2 (Hz) 16,1870 16,1660 16,1599 16,1924 16,1703 16,1920 15,8458

f3 (Hz) 20,0000 20,0000 20,0000 20,0000 20,0024 20,0000 20,0000

Média (kg) 537,80 533,45 353,64 524,76 530,03 525,16 532,06

DP (kg) 4,02 2,20 2,55 1,11 3,48 1,92 0,01

NI 6000 10000 30000 8300 4000 5860 7130

Fonte: Autor


Fonte: Autor


A segunda treliça de referência, ilustrada na Figura 29, é considerada como um

problema dimensional em grande escala. A Tabela 18 lista as propriedades do material, as

530

531

532

533

534

535

536

537

538

539

540

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(kg)


74

restrições de frequência e os limites das variáveis do problema. Uma massa concentrada de

100 kg é adicionada a todos os nós superiores (nós 1 a 5). As barras são agrupadas em vinte

e nove grupos por meio da simetria da estrutura (Tabela 7).

A Tabela 20 lista os resultados do ASAM em comparação com outros projetos

publicados. O melhor peso obtido pelo ASAM é de 2157,28 kg que é menor que o dado pelo

CSS-BBBC (2298,61 kg), SOS (2180,32 kg), ISOS (2169,46 kg) e AHEFA (2160,74 kg), e

ligeiramente maior do que o HALC-PSO (2156,73 kg) e SBO (2156,51 kg).

Com relação à velocidade de convergência, o ASAM (6200 NI) é o primeiro entre os

algoritmos considerados. Observe que, embora os melhores pesos fornecidos pelo HALC-

PSO e SBO sejam menores que o do ASAM, o NI para o desempenho de convergência é

maior do que o do ASAM (13000 NI para HALC-PSO e 23000 NI para SBO). Do ponto de

vista estatístico, o ASAM é mais estável que o SOS e o ISOS com um menor DP (2,86 kg

para ASAM, 83,59 kg para SOS e 43,48 kg para ISOS).

As frequências naturais ótimas da treliça indicam que todas as restrições não são

violadas. O histórico de convergência do melhor peso obtido pelo ASAM para esta estrutura

é mostrado na Figura 30.

75



76


Variáveis

(cm2)

Kaveh e

Zolghadr (2012)

Kaveh e Ilchi

Ghazaan (2015)

Farshchin et al.

(2016)

Tejani et al.

(2016a)

Tejani et

al. (2018)

Lieu et al.

(2018) ASAM

CSS-BBBC HALC-PSO SBO SOS ISOS AHEFA

1 A1 0,2934 0,3072 0,3040 0,4781 0,3072 0,2993 0,3034

2 A2 0,5561 0,4545 0,4478 0,4481 0,5075 0,4508 0,5177

3 A3 0,2952 0,1000 0,1000 0,1049 0,1001 0,1001 0,1000

4 A4 0,1970 0,1000 0,1000 0,1045 0,1000 0,1000 0,1000

5 A5 0,8340 0,5080 0,5075 0,4875 0,5893 0,5123 0,5699

6 A6 0,6455 0,8276 0,8219 0,9353 0,8328 0,8205 0,8187

7 A7 0,1770 0,1023 0,1003 0,1200 0,1431 0,1011 0,1000

8 A8 1,4796 1,4357 1,4240 1,3236 1,3600 1,4156 1,4361

9 A9 0,4497 0,1007 0,1001 0,1015 0,1039 0,1000 0,1000

10 A10 1,4556 1,5528 1,5929 1,4827 1,5114 1,5742 1,4599

11 A11 1,2238 1,1529 1,1597 1,1384 1,3568 1,1597 1,1381

12 A12 0,2739 0,1522 0,1275 0,1020 0,1024 0,1338 0,1205

13 A13 1,9174 2,9564 2,9765 2,9943 2,9024 2,9672 2,9032

14 A14 0,1170 0,1003 0,1001 0,1562 0,1000 0,1000 0,1006

15 A15 3,5535 3,2242 3,2456 3,4330 3,4120 3,2722 3,7168

16 A16 1,3360 1,5839 1,5818 1,6816 1,4819 1,5762 1,5246

17 A17 0,6289 0,2818 0,2566 0,1026 0,2587 0,2562 0,2056

18 A18 4,8335 5,0696 5,1118 5,0739 4,8291 5,0956 5,1494

19 A19 0,6062 0,1033 0,1001 0,1068 0,1499 0,1001 0,1021

20 A20 5,4393 5,4657 5,4337 6,0176 5,5090 5,4546 5,3291

21 A21 1,8435 2,0975 2,1016 2,0340 2,2221 2,0933 1,9882

22 A22 0,8955 0,6598 0,6794 0,6595 0,6113 0,6737 0,6782

23 A23 8,1759 7,6585 7,6581 6,9003 7,3398 7,6498 7,9359

24 A24 0,3209 0,1444 0,1006 0,2020 0,1559 0,1178 0,3222

25 A25 10,9800 8,0520 7,9468 6,8356 8,6301 8,0682 8,9235

26 A26 2,9489 2,7889 2,7835 2,6644 2,8245 2,8025 2,5618

27 A27 10,5243 10,4770 10,5277 12,1430 10,8563 10,5040 10,4026

28 A28 20,4271 21,3257 21,3027 22,2484 20,9142 21,2935 21,3538

29 A29 19,0983 10,5111 10,6207 8,9378 10,5305 10,7410 10,6476

Peso (kg) 2298,61 2156,73 2156,51 2180,32 2169,46 2160,74 2157,28

f1 (Hz) 5,010 5,000 5,000 5,0001 5,0000 5,0000 5,0000

f2 (Hz) 12,911 12,254 12,2141 13,4306 12,4477 12,1821 12,3405

f3 (Hz) 15,416 15,044 15,0192 15,2645 15,2332 15,0160 15,0001

Média (kg) – 2157,14 2156,79 2303,30 2244,64 2161,04 2161,74

DP (kg) – 0,24 0,21 83,59 43,48 0,18 2,96

NI – 13000 23000 10000 10000 11300 6200 Fonte: Autor

77


Fonte: Autor


O terceiro exemplo tem como objetivo otimizar uma treliça espacial de 72 barras cuja

representação em geometria e elementos é representada na Figura 31. Este problema é

considerado como um problema dimensional em grande escala (TEJANI et al., 2018). A

Tabela 18 apresenta os parâmetros de projeto para este problema. Os elementos da treliça são

categorizados em dezesseis grupos de membros considerando a simetria estrutural (KAVEH;

ILCHI GHAZAAN, 2017). Uma massa concentrada de 2770 kg é adicionada a todos os nós

superiores (nós 1 a 4) como mostra a Figura 31.

Na Tabela 21 são fornecidos os resultados ótimos obtidos com ASAM e diferentes

algoritmos. O projeto ótimo alcançado pelo ASAM tem um peso de 324,97 kg que é menor

que os resultados relatados por CSS-BBBC (327,51 kg), DPSO (327,65 kg), SBO (327,55

kg), VPS (327,65 kg) e ISOS (325,01 kg) e 0,72 kg mais pesado que os relatados por ReDE

e AHEFA.

Em termos de velocidade de convergência, observa-se que o NI utilizados pelos

algoritmos DPSO, SBO, VPS, ReDE e AHEFA é significativamente maior quando

comparado ao ASAM (20000 NI para DPSO, 15000 NI para SOB, 30000 para VPS, 10840

NI para ReDE, 8860 NI para AHEFA e 7130 para ASAM). Por último, pode-se observar a

2100

2200

2300

2400

2500

2600

2700

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(kg)


78

partir dos resultados que o ASAM obtém melhor resultado em peso médio e DP que outras

metaheurísticas. Figura 32 mostra a curva de convergência do melhor resultado obtido pelo

ASAM para este problema.



79

Tabela 21 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras

Variáveis

(cm2)

Kaveh e

Zolghadr

(2012)

Kaveh e

Zolghadr

(2014)

Farshchin et al.

(2016)

Kaveh e Ilchi

Ghazaan

(2017)

Ho-Huu et

al. (2018)

Tejani et al.

(2018)

Lieu et al.

(2018) ASAM

CSS-BBBC DPSO SOB VPS ReDE ISOS AHEFA

1 A1-A4 2,854 3,5498 3,4917 3,5017 3,5327 3,3563 3,5612 3,4927

2 A5-A12 8,301 7,8356 7,9414 7,9340 7,8303 7,8726 7,8736 7,8573

3 A13-A16 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6453 0,6450 0,6450 0,6450

4 A17-A18 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6459 0,6450 0,6451 0,6474

5 A19-A22 8,202 8,1183 8,1154 8,0215 8,0029 8,5798 7,9710 7,8897

6 A23-A30 7,043 8,1338 8,0533 7,9826 7,9135 7,6566 7,8928 8,0057

7 A31-A34 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6451 0,7417 0,6450 0,6450

8 A35-A36 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6451 0,6450 0,6451 0,6454

9 A37-A40 16,328 12,6231 12,8569 12,8175 12,7626 13,0864 12,5404 12,6034

10 A41-A48 8,299 8,0971 8,0425 8,1129 7,9657 8,0764 7,9639 7,9616

11 A49-A52 0,645 0,6450 0,6451 0,6450 0,6452 0,6450 0,6459 0,6451

12 A53-A54 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6450 0,6937 0,6462 0,6450

13 A55-A58 15,048 17,3908 17,2136 17,3362 16,9041 16,2517 17,1323 17,1604

14 A59-A66 8,268 8,0634 8,0804 8,1010 8,0434 8,1703 8,0216 8,0368

15 A67-A70 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6451 0,6450 0,6450 0,6450

16 A71-A72 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6473 0,6450 0,6451 0,6450

Peso (kg) 327,51 327,65 327,55 327,65 324,25 325,01 324,24 324,97

f1 (Hz) 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000

f3 (Hz) 6,0040 6,0000 6,0000 6,0000 6,0001 6,0008 6,0000 6,0000

Média (kg) – 327,76 327,68 327,67 324,32 329,47 324,41 325,13

DP (kg) – 0,06 0,07 0,02 0,05 2,66 0,24 0,18

NI – 20000 15000 30000 10840 4000 8860 7130

Fonte: Autor

80

Figura 32 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras

Fonte: Autor


A Figura 33 mostra o domo de 120 barras. Os membros são categorizados em sete

grupos por causa da simetria. As considerações de projeto estão tabuladas na Tabela 18. Os

nós livres têm as seguintes massas concentradas: 3000 kg no nó 1, 500 kg nos nós 2 a 13 e

100 kg nos demais nós livres.

A Tabela 22 apresenta os resultados obtidos usando o algoritmo proposto e outras

metaheurísticas. Pode ser visto que o melhor projeto do ASAM dá benefícios de peso de

338,95 kg, 183,09 kg, 182,57 kg, 181,35 kg e 2,67 kg em comparação com aqueles obtidos

pelos algoritmos CSS-BBBC, DPSO, HALC-PSO, VPS e ISOS respectivamente. Por outro

lado, o projeto do ASAM é 0,07 kg e 0,13 kg ligeiramente mais pesado quando comparado

aos algoritmos ReDE e AHEFA respectivamente.

Em relação à velocidade de convergência, o ASAM (3100 NI) ocupa o primeiro lugar

entre as metaheurísticas consideradas. Por último, pode-se observar a partir dos resultados

que o ASAM obtém melhor resultado em peso médio e DP que outras metaheurísticas, apenas

sendo superado pelos algoritmos ReDE e AHEFA. Finalmente, pode ser visto que nenhuma

das restrições de frequência é violada. A Figura 34 mostra a história de convergência do

melhor projeto obtida usando o ASAM.

322

324

326

328

330

332

334

336

338

340

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(kg)


81

Figura 33. Treliça espacial de 120 barras


82


Variáveis

(cm2)

Kaveh e

Zolghadr

(2012)

Kaveh e

Zolghadr (2014)

Kaveh e Ilchi

Ghazaan

(2015)

Kaveh e Ilchi

Ghazaan

(2017)

Ho-Huu et

al. (2018)

Tejani et al.

(2018)

Lieu et al.

(2018) ASAM

CSS-BBBC DPSO HALC-PSO VPS ReDE ISOS AHEFA

1 A1 17,478 19,607 19,8905 19,6836 19,5131 19,6662 19,5094 20,0425

2 A2 49,076 41,290 40,4045 40,9581 40,3914 39,8539 40,3867 39,4775

3 A3 12,365 11,136 11,2057 11,3325 10,6066 10,6127 10,6033 13,6425

4 A4 21,979 21,025 21,3768 21,5387 21,1415 21,2901 21,1168 20,4928

5 A5 11,190 10,060 9,8669 9,8867 9,8057 9,7911 9,8221 9,0488

6 A6 12,590 12,758 12,7200 12,7116 11,7781 11,7899 11,7735 15,2658

7 A7 13,585 15,414 15,2236 14,9330 14,8163 14,7437 14,8405 12,9846

Peso (kg) 9046,34 8890,48 8889,96 8888,74 8707,32 8710,06 8707,26 8707,39

f1 (Hz) 9,000 9,0001 9,000 9,0000 9,0000 9,0001 9,0000 9,0000

f2 (Hz) 11,007 11,0007 11,000 11,0000 11,0000 10,9998 11,0000 11,0000

Média (kg) – 8895.99 8900,39 8896,04 8707,52 8728,56 8707,56 8709,96

DP (kg) – 4,26 6,38 6,65 0,15 14,23 0,25 3,43

NI – 6000 17000 30000 5080 4000 3560 3100

Fonte: Autor

83


Fonte: Autor


A treliça de 37 barras, ponte simplesmente apoiada, é apresentada na Figura 35. Esse

problema considera a otimização simultânea dimensional e forma. Uma massa de 10 kg é

adicionada em cada nó inferior, como mostra a Figura 35. As barras inferiores tem área de

seção transversal fixa e pré-definida de 0,4 cm2 (Lieu et al., 2018). Os elementos restantes

estão categorizados em 14 grupos por meio da simetria da estrutura em relação ao plano

vertical médio (usando-se simetria ao longo do dos nós 10 e 11 centrais). Os nós superiores

podem se mover verticalmente, enquanto os nós inferiores são fixos. Portanto, esse problema

tem 14 variáveis de tamanho e 5 variáveis de forma.

A Tabela 23 apresenta uma comparação dos melhores resultados obtidos pelo ASAM

e outras metaheurísticas. Os resultados indicam que o ASAM obtém o melhor peso, sem

violação de restrições, como 359,91 kg. O benefício de peso é 17,29, 0,49, 0,02, 0,03 e 0,83

kg em comparação com PSO, DPSO, HALC-PSO, VPS e ISOS, respectivamente. O ASAM

é superado apenas pelos resultados de ReDE e AHEFA com 359,81 kg. Em relação à

velocidade de convergência, o ASAM ocupa o primeiro lugar entre as metaheurísticas

consideradas. O ASAM requer apenas 3100 NI para obter a solução ótima, enquanto PSO,

8600

8800

9000

9200

9400

9600

9800

10000

10200

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(kg)


84

DPSO, HALC-PSO, VPS, ReDE, ISOS e AHEFA precisam 12500, 6000, 10000, 30000,

13740, 13740, 4000 e 8640 NI, respectivamente.

A tabela também indica que o ASAM é mais estável que PSO, DPSO, HALC-PSO,

VPS, ReDE e ISOS com o menor DP (0,10 kg para MSAA, 4,26 kg para PSO, 1,68 kg para

DPSO, 0,24 kg para HALC-PSO, 0,22 kg para VPS, 0,15 kg para ReDE e 1,57 kg para ISOS).

A Figura 36 mostra a história de convergência para este problema.




Variáveis

(cm2)

Gomes

(2011)

Kaveh e

Zolghadr

(2014)

Kaveh e

Ilchi

Ghazaan

(2015)

Kaveh e

Ilchi

Ghazaan

(2017)

Ho-Huu

et al.

(2018)

Tejani et

al.

(2018)

Lieu et al.

(2018) ASAM

PSO DPSO HALC-PSO VPS ReDE ISOS AHEFA

1 y3, y19 0,9637 0,9482 0,9750 0,9042 0,9533 0,9257 0,9589 0.9413

2 y5, y17 1,3978 1,3439 1,3577 1,2850 1,3414 1,3188 1,3450 1.3393

3 y7, y15 1,5929 1,5043 1,5520 1,5017 1,5319 1,4274 1,5355 1.5434

4 y9, y13 1,8812 1,6350 1,6920 1,6509 1,6528 1,5806 1,6668 1.6744

5 y11 2,0856 1,7182 1,7688 1,7277 1,7280 1,6548 1,7397 1.7571

6 A1, A27 2,6797 2,6208 2,9652 3,1306 2,9608 2,6549 2,8210 2.9344

7 A2, A26 1,1568 1,0397 1,0114 1,0023 1,0052 1,0383 1,0019 1.0256

8 A3, A24 2,3476 1,0464 1,0090 1,0001 1,0014 1,0000 1,0001 1.0095

9 A4, A25 1,7182 2,7163 2,4601 2,5883 2,5994 3,0083 2,5308 2.5838

10 A5, A23 1,2751 1,0252 1,2300 1,1119 1,1949 1,0024 1,2210 1.1569

11 A6, A21 1,4819 1,5081 1,2064 1,2599 1,2165 1,4499 1,2429 1.2548

12 A7, A22 4,6850 2,3750 2,4245 2,6743 2,4303 3,1724 2,4718 2.5104

13 A8, A20 1,1246 1,4498 1,4618 1,3961 1,3644 1,2661 1,4018 1.4626

14 A9, A18 2,1214 1,4499 1,4328 1,5036 1,5548 1,4659 1,5061 1.5245

15 A10, A27 3,8600 2,5327 2,5000 2,4441 2,5247 2,9013 2,5604 2.4586

16 A11, A15 2,9817 1,2358 1,2319 1,2977 1,1946 1,1537 1,2146 1.1888

17 A12, A15 1,2021 1,3528 1,3669 1,3619 1,3163 1,3465 1,3605 1.3765

18 A13, A16 1,2563 2,9144 2,2801 2,3500 2,4465 2,6850 2,3992 2.2341

19 A14 3,3276 1,0085 1,0011 1,0000 1,0003 1,0000 1,0000 1.0007

Peso (kg) 377,20 360,40 359,93 359,94 359,81 360,74 359,81 359,91

f1 (Hz) 20,0001 20,0194 20,0216 20,0002 20,0005 20,0119 20,0000 20,0051

f2 (Hz) 40,0003 40,0113 40,0098 40,0005 40,0004 40,0964 40,0001 40,0047

f3 (Hz) 60,0001 60,0082 60,0017 60,0000 60,0022 60,0066 60,0002 60,0078

Média (kg) 381,2 362,21 360,23 360,23 359,99 363,40 359,92 359,98

DP (kg) 4,26 1,68 0,24 0,22 0,15 1,57 0,09 0,10

NI 12500 6000 10000 30000 13740 4000 8640 3100

Fonte: Autor

85


Fonte: Autor


A Figura 37 indica uma estrutura de treliça de cúpula de 52 barras. Os parâmetros de

projeto são fornecidos na Tabela 18. Essa estrutura é considerada para otimização simultânea

dimensional e forma. Uma massa de 50 kg é adicionada a todos os nós livres da estrutura. As

barras são agrupadas em oito grupos considerando a simetria em relação ao eixo z, enquanto

os nós livres podem se mover ± 2 m em cada direção do plano vertical para manter a cúpula

simétrica. Portanto existem 13 variáveis de projeto (8 dimensionais e 5 de forma).

A Tabela 24 compara os resultados do ASAM com outros métodos de otimização.

Pode-se observar que, o projeto produzido pelo ASAM (194,81 kg) é relativamente menor

que o de quase todos os outros algoritmos, mas um pouco pesado que o dos métodos ReDE

(193,20 kg) e AHEFA (193,20 kg). Em termos de velocidade de convergência, o ASAM

requer apenas 7130 NI que são menos do que o PSO (11270 NI), HALC-PSO (7500 NI),

ReDE (16200 NI) e AHEFA (12120 NI). Embora a velocidade de convergência do ISOS

(4000 NI) seja mais rápida que a do ASAM, o ASAM é mais estável que o ISOS com o

menor DP (2,12 kg para o ASAM e 8,74 kg para o ISOS). Em relação ao DS, o ASAM ocupa

o primeiro lugar entre as metaheurísticas consideradas. A Figura 38 mostra o histórico de

convergência do melhor projeto para este problema

350

370

390

410

430

0 5 10 15 20 25 30 35

Pse

o (

kg)


86



87

Tabela 24 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 52 barras.

Variáveis

(cm2)

Gomes

(2011)

Kaveh e

Zolghadr

(2012)

Kaveh e

Ilchi

Ghazaan

(2015)

Ho-Huu

et al.

(2018)

Tejani et

al.

(2018)

Lieu et al.

(2018) ASAM

PSO CSS-BBBC HALC-PSO ReDE ISOS AHEFA

1 ZA 5,5344 5,3310 5,9362 6,0188 6,1631 5,9953 5.9649

2 XB 2,0885 2,1340 2,2416 2,2976 2,4224 2,3062 2.3239

3 ZB 3,9283 3,7190 3,7309 3,7417 3,8086 3,7308 3.7003

4 XF 4,0255 3,9350 3,9630 3,9996 4,1080 4,0000 3.9636

5 ZF 2,4575 2,5000 2,5000 2,5001 2,5018 2,5000 2.5001

6 A1-A4 0,3696 1,0000 1,0001 1,0000 1,0074 1,0000 1.0001

7 A5-A8 4,1912 1,3056 1,1654 1,0852 1,0003 1,0832 1.1797

8 A9-A16 1,5123 1,4230 1,2323 1,1968 1,1982 1,2014 1.210

9 A17-A20 1,5620 1,3851 1,4323 1,4503 1,2787 1,4527 1.4799

10 A21-A28 1,9154 1,4226 1,3901 1,4216 1,4421 1,4212 1.3978

11 A29-A36 1,1315 1,0000 1,0001 1,0001 1,0000 1,0000 1.0229

12 A37-A44 1,8233 1,5562 1,6024 1,5614 1,4886 1,5570 1.6747

13 A45-A52 1,0904 1,4485 1,4131 1,3878 1,4990 1,3904 1.3033

Peso (kg) 228,38 197,31 194,85 193,20 194,75 193,20 194,81

f1 (Hz) 12,751 12,987 11,4339 11,6107 12,5459 11,6629 11,8993

f2 (Hz) 28,649 28,648 28,6480 28,6482 28,6518 28,6480 28,6479

Média (kg) 234,30 – 196,85 195,43 207,55 198,73 195,32

DP (kg) 5,22 – 2,38 3,86 8,74 4,41 2,12

NI 11270 – 7500 16200 4000 12120 7130

Fonte: Autor


Fonte: Autor

180

230

280

330

380

430

480

530

580

630

680

730

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(kg)


88

6 EXPORTANDO CONCEITOS DE OTIMIZAÇÃO DE ONDAS DE ÁGUA PARA

O ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO PARA

OTIMIZAÇÃO DIMENSIONAL DE TRELIÇAS COM RESTRIÇÕES DE

FREQUÊNCIA NATURAIS

6.1 INTRODUÇÃO

De acordo com o teorema No Free Lunch no campo da otimização, não há algoritmo

para resolver todos os problemas de otimização (TEJANI et al., 2016b). Ainda, a literatura

carece de métodos eficientes para melhorar a velocidade de convergência e a explotação

(TEJANI et al., 2018) dos algoritmos. Isso motivou a melhorar o desempenho do Algoritmo

Simulated Annealing Modificado (ASAM) e adaptá-lo a problemas de projeto de estruturas.

Independentemente da aplicação bem-sucedida do ASAM, este algoritmo estima o

ótimo global de um determinado problema em duas fases: exploração preliminar e passo de

busca. Primeiramente, é realizada uma exploração preliminar para escolher o ponto de partida

da busca. Em segundo lugar, a transição do ponto inicial para o novo ponto é feita por um

passo de busca.

Na fase do passo de busca, a nova solução é gerada adicionando ao ponto inicial

números aleatórios que estão compreendidos dentro de um raio definido. Essa fase funciona

principalmente para melhorar as capacidades de explotação do processo de busca. A natureza

altamente heurística da fase leva a solução a saltar para regiões não visitadas (exploração) e

permite a busca local das regiões visitadas (explotação) também. No entanto, a capacidade

de explotação desta fase é consideravelmente baixa em comparação à capacidade

exploratória. Isso faz com que o algoritmo consuma um grande número de avaliações de

funções (NI) a baixas temperaturas afetando a velocidade de convergência.

Para superar esta desvantagem, investiga-se se os conceitos básicos subjacentes à

metaheurística Water Wave Optimization (WWO) (ZHENG, 2015) podem ser exportados

para melhorar o ASAM. Essa variação pretende permitir um bom equilíbrio entre explotação

e exploração durante o processo de otimização. Quatro problemas de referência de

otimização dimensional com restrições de frequência são explorados para a validade do

algoritmo proposto.

89

6.2 MELHORIA NO ASAM

A capacidade de equilibrar intensificação e diversificação durante o processo de

otimização determina a eficiência de um algoritmo metaheurístico específico. A

diversificação (exploração) garante, geralmente por randomização, que o algoritmo explora

o espaço de pesquisa com eficiência. A intensificação (explotação) visa identificar a melhor

solução e selecionar durante o processo uma sucessão de melhores soluções. Na fase da etapa

de busca do ASAM, a nova solução é gerada pela adição de números aleatórios definidos

dentro de um raio (Figura 3). Essa fase trabalha principalmente para melhorar os recursos de

explotação do processo de busca. Embora o ASAM tenha demonstrado sua capacidade de

encontrar regiões globais próximas em um prazo razoável, é necessário implementar novos

mecanismos para melhorar a fase de explotação e por conseguinte a velocidade de

convergência. Este trabalho propõe o ASAM-M como uma variante do algoritmo ASAM

para melhorar as capacidades de busca local do algoritmo ASAM e equilibrar os

componentes de intensificação e diversificação associados. O algoritmo proposto introduz

um conceito extraído da metaheurística WWO (ZHENG, 2015) para substituir a fase da etapa

de busca.

A WWO foi introduzida por Zheng (2015) e é inspirada em modelos de ondas de águas

superficiais. A WWO tem três fases importantes para encontrar soluções ótimas: fase de

propagação, ruptura e refração. Na fase de propagação, a onda é propagada para uma posição

aleatória. Se uma onda atinge uma profundidade mais baixa do mar (para minimização), ela

quebra em ondas solitárias que são formadas na fase de ruptura. Assim, a ruptura é usada

para a busca intensiva (explotação) nos espaços de soluções, produzindo ondas solitárias

aleatórias em torno da melhor posição atual. Enquanto na fase de refração, o algoritmo

explora o espaço de pesquisa para qualquer outra melhor solução e evita a inatividade da

busca. Como o interesse do trabalho é melhorar a explotação do ASAM, a fase de ruptura

usada na WWO é implementada no ASAM-M.

De acordo com Zheng (2015), quando uma onda se move para uma posição em que a

profundidade da água é inferior a um valor limite, a velocidade da crista da onda excede à

aceleração da onda. Consequentemente, a crista se torna cada vez mais íngreme e, finalmente,

a onda se quebra em um trem de ondas solitárias.

90

Na WWO, é realizada a operação de ruptura em uma onda x que encontra uma nova

melhor solução e realiza uma pesquisa local em torno de x para simular a quebra de ondas.

Em detalhes, é escolhido aleatoriamente k ondas (onde k é um número aleatório entre 1 e um

número predefinido kmax) e, em cada dimensão, gera uma onda solitária x’ como:

x′(d) = x(d) + N(0,1) ∙ βL(d), (6.1)

onde β é o coeficiente de ruptura; N(0,1) é um número aleatório gaussiano com média 0 e

desvio padrão 1 e L(d) é o comprimento da dimensão d do espaço de busca. De acordo com

Zheng (2015), recomenda-se definir β como 0,001-0,01 e kmax como min (12, D/2), onde D

é a dimensão do problema.

Este conceito é exportado para o ASAM. Assim, a fase do passo de busca do ASAM é

substituída pela fase de ruptura para melhorar a capacidade de convergência e estabelecer um

bom equilíbrio entre exploração e exploração.

6.3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL

O objetivo do problema é encontrar as seções transversais da estrutura, para que seu

peso seja minimizado enquanto satisfaz algumas restrições nas frequências naturais. Cada

variável deve ser escolhida dentro de um intervalo permitido. A formulação matemática para

esse problema pode ser expressa da seguinte maneira:

Encontrar, X = {A}, onde A = {A1, A2, . . . , An}

(6.2)

Minimizar W(X) =∑ρiAiLi

n

i=1

Sujeito a {

fq − fqmin ≥ 0

fr − frmax ≤ 0

Aimin ≤ Ai ≤ Ai

max

onde W(A) é o peso total da treliça minimizada; n é o número total de membros da estrutura;

ρi, Ai e Li representam a densidade do material, a área da seção transversal e o comprimento

do membro i, respectivamente; fq e fr são as frequências naturais da estrutura,

respectivamente e os subíndices “max” e “min” denotam os limites máximos e mínimos

permitidos, respectivamente.

91


Para avaliar a viabilidade e validade do ASAM-M, os seguintes problemas clássicos de

otimização dimensional de treliça (Figura 27, Figura 29, Figura 31 e Figura 33) são

otimizados e os resultados são comparados com resultados anteriores obtidos por várias

metaheurísticas existentes: (i) treliça plana de 10 barras; (ii) treliça espacial de 72 barras; (iii)

treliça espacial 120 barras e (iv) treliça plana de 200 barras. As considerações de projeto dos

problemas são fornecidas na Tabela 18.

Em todos os problemas, os parâmetros usados no ASAM-M são: (i) o tamanho da

população (exploração preliminar), temperatura inicial (Tinitial) e temperatura final (Tfinal) são

definidos como 200, 1, 1x10-3, respectivamente; (ii) de acordo com Zheng (2015), β e kmax

são definidos como 0,001 e min(12,D/2), respectivamente; (iii) de acordo com Millan-

Paramo (2018), o número máximo de perturbações (npmax) na mesma temperatura pode ser

escolhido na faixa de 100 a 300. As evidências coletadas na análise de sensibilidade levaram

a definir npmax como 200. Esses números de perturbações foram obtidos neste trabalho

examinando seu efeito para encontrar um equilíbrio entre precisão e custo computacional

para cada um dos problemas.

Os resultados estatísticos, obtidos para 100 corridas independentes, são apresentados

em termos de melhor peso, peso médio, desvio padrão (DP), número de iterações

correspondentes (NI) e respostas de frequência. O processo iterativo é finalizado quando o

algoritmo atinge a temperatura final. O NI máximo é obtido multiplicando os ciclos de

temperatura pelo npmax. O algoritmo proposto ASAM-M e a análise de elementos finitos são

codificados no programa Matlab e executados usando um sistema Intel Core i7-3630QM de

2,4 GHz com 8 GB de RAM. É importante ressaltar que todos os projetos apresentados por

ASAM-M são viáveis. Os resultados e discussões dos problemas são explicados nas seções

a seguir.


Os resultados indicam (Tabela 25) que o ASAM-M (529,75 kg) atinge um projeto

ótimo com um peso menor que os algoritmos DPSO, SBO, VPS e ASAM, mas um projeto

ligeiramente mais pesado que o ReDE, ISOS e AHEFA. No entanto, o algoritmo proposto

92

requer menos NI do que o ReDE (6200 NI para ASAM-M e 8300 NI para ReDE) para chegar

à solução final. Pode-se observar que a velocidade de convergência do DPSO, ISOS e

AHEFA é mais rápida que a do ASAM-M (6000 NI para DPSO, 4000 NI para ISOS, 5860

para AHEFA); no entanto, o ASAM-M é mais estável do que o DPSO, ISOS e AHEFA

através do melhor valor de DP (0,11 kg para ASAM-M, 3,48 kg para ISOS, 1,92 kg para

AHEFA e 4,02 kg para DPSO). Finalmente, em relação ao DP, o ASAM-M ocupa o segundo

lugar entre as metaheurísticas consideradas, sendo superado apenas pelo ASAM (0,01 kg).

As frequências naturais ideais obtidas pelo ASAM-M mostram que nenhuma das restrições

de frequência é violada. A Figura 39 mostra a curva de convergência do melhor projeto

obtido com ASAM-M para este problema.

Tabela 25 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras.

Variáveis

(cm2)

Kaveh e

Zolghadr

(2014)

Farshchin

et al.

(2016)

Kaveh e

Ilchi

Ghazaan

(2017)

Ho-Huu

et al.

(2018)

Tejani et

al.

(2018)

Lieu, Do e

Lee (2018) ASAM ASAM-M

DPSO SBO VPS ReDE ISOS AHEFA

1 A1 35,944 35,5994 35,1471 35,1565 35,2654 35,1714 32,9710 32,5584

2 A2 15,53 14,9956 14,6668 14,7605 14,6803 14,7203 15,5925 15,4787

3 A₃ 35,285 35,4806 35,6889 35,1187 34,4273 35,1074 32,8514 32,7556

4 A4 15,385 14,7646 15,0929 14,7275 14,9605 14,6986 15,5942 15,5750

5 A5 0,648 0,6450 0,645 0,6450 0,6450 0,6451 0,6454 0,6454

6 A6 4,583 4,6305 4,6221 4,5558 4,5927 4,5593 4,6552 4,6612

7 A7 23,61 24,3272 23,5552 23,7199 23,3417 23,7330 26,1179 26,1090

8 A8 23,599 23,8528 24,468 23,6304 23,8236 23,6795 26,1350 26,2576

9 A9 13,135 12,6797 12,7198 12,3827 12,8497 12,3987 11,9983 11,7470

10 A10 12,357 12,6375 12,6845 12,4580 12,5321 12,4231 11,9339 11,8823

Peso (kg) 532,39 532,05 530,77 524,45 524,73 524,45 532,04 529,75

f1 (Hz) 7,0000 7,0000 7,0000 7,0000 7,0001 7,0000 7,0000 7,0000

f2 (Hz) 16,1870 16,1660 16,1599 16,1924 16,1703 16,1920 15,8458 15,8235

f3 (Hz) 20,0000 20,0000 20,0000 20,0000 20,0024 20,0000 20,0000 20,0000

Média (kg) 537,80 533,45 353,64 524,76 530,03 525,16 532,06 530,11

DP (kg) 4,02 2,20 2,55 1,11 3,48 1,92 0,01 0,11

NI 6000 10000 30000 8300 4000 5860 7130 6200

Fonte: Autor

93


Fonte: Autor


A Tabela 26 fornece uma comparação dos melhores resultados obtidos pelo ASAM-M

e diferentes metaheurísticas. Pode-se observar que o peso do projeto obtido pelo ASAM-M

(2156,83 kg) é menor do que o dado pelo AHEFA (2160,74 kg), CSS-BBBC (2298,61 kg),

ISOS (2169,46 kg), SOS (2180,32 kg) e ASAM (2157,28 kg). O projeto do ASAM-M é um

pouco mais pesado do que o SBO (2156,51 kg) e o HALC-PSO (2156,73 kg), no entanto, a

velocidade de convergência do ASAM-M é mais rápida que esses algoritmos (6200 NI para

ASAM-M, 23000 NI para SBO e 13000 NI para HALC-PSO). Os resultados também indicam

que o ASAM-M é mais estável que o SOS, ISOS e ASAM com o menor DP (1,13 kg para

ASAM-M, 83,59 kg para SOS, 43,48 kg para ISOS e 2,96 para ASAM). Os valores de

frequências mostram que todas as restrições da treliça plana de 200 barras são atendidas pelo

ASAM. A Figura 40 mostra a curva de convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM-

M para este problema.

528

530

532

534

536

538

540

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(kg)


94


Variáveis

(cm2)

Kaveh e

Zolghadr (2012)

Kaveh e Ilchi

Ghazaan (2015)

Farshchin et al.

(2016)

Tejani et al.

(2016a)

Tejani et

al. (2018)

Lieu et al.

(2018) ASAM ASAM-M

CSS-BBBC HALC-PSO SBO SOS ISOS AHEFA

1 A1 0,2934 0,3072 0,3040 0,4781 0,3072 0,2993 0,3034 0,3181

2 A2 0,5561 0,4545 0,4478 0,4481 0,5075 0,4508 0,5177 0,4603

3 A3 0,2952 0,1000 0,1000 0,1049 0,1001 0,1001 0,1000 0,1000

4 A4 0,1970 0,1000 0,1000 0,1045 0,1000 0,1000 0,1000 0,1000

5 A5 0,8340 0,5080 0,5075 0,4875 0,5893 0,5123 0,5699 0,5271

6 A6 0,6455 0,8276 0,8219 0,9353 0,8328 0,8205 0,8187 0,8066

7 A7 0,1770 0,1023 0,1003 0,1200 0,1431 0,1011 0,1000 0,1009

8 A8 1,4796 1,4357 1,4240 1,3236 1,3600 1,4156 1,4361 1,5387

9 A9 0,4497 0,1007 0,1001 0,1015 0,1039 0,1000 0,1000 0,1001

10 A10 1,4556 1,5528 1,5929 1,4827 1,5114 1,5742 1,4599 1,6293

11 A11 1,2238 1,1529 1,1597 1,1384 1,3568 1,1597 1,1381 1,1467

12 A12 0,2739 0,1522 0,1275 0,1020 0,1024 0,1338 0,1205 0,1318

13 A13 1,9174 2,9564 2,9765 2,9943 2,9024 2,9672 2,9032 2,8387

14 A14 0,1170 0,1003 0,1001 0,1562 0,1000 0,1000 0,1006 0,1000

15 A15 3,5535 3,2242 3,2456 3,4330 3,4120 3,2722 3,7168 2,7781

16 A16 1,3360 1,5839 1,5818 1,6816 1,4819 1,5762 1,5246 1,5820

17 A17 0,6289 0,2818 0,2566 0,1026 0,2587 0,2562 0,2056 0,1409

18 A18 4,8335 5,0696 5,1118 5,0739 4,8291 5,0956 5,1494 5,7784

19 A19 0,6062 0,1033 0,1001 0,1068 0,1499 0,1001 0,1021 0,1015

20 A20 5,4393 5,4657 5,4337 6,0176 5,5090 5,4546 5,3291 4,8444

21 A21 1,8435 2,0975 2,1016 2,0340 2,2221 2,0933 1,9882 2,0156

22 A22 0,8955 0,6598 0,6794 0,6595 0,6113 0,6737 0,6782 0,4538

23 A23 8,1759 7,6585 7,6581 6,9003 7,3398 7,6498 7,9359 6,4039

24 A24 0,3209 0,1444 0,1006 0,2020 0,1559 0,1178 0,3222 0,6062

25 A25 10,9800 8,0520 7,9468 6,8356 8,6301 8,0682 8,9235 9,2760

26 A26 2,9489 2,7889 2,7835 2,6644 2,8245 2,8025 2,5618 2,8030

27 A27 10,5243 10,4770 10,5277 12,1430 10,8563 10,5040 10,4026 11,6835

28 A28 20,4271 21,3257 21,3027 22,2484 20,9142 21,2935 21,3538 21,2372

29 A29 19,0983 10,5111 10,6207 8,9378 10,5305 10,7410 10,6476 9,7778

Peso (kg) 2298,61 2156,73 2156,51 2180,32 2169,46 2160,74 2157,28 2156,83

f1 (Hz) 5,010 5,000 5,000 5,0001 5,0000 5,0000 5,0000 5,0000

f2 (Hz) 12,911 12,254 12,2141 13,4306 12,4477 12,1821 12,3405 12,3482

f3 (Hz) 15,416 15,044 15,0192 15,2645 15,2332 15,0160 15,0001 15,0028

Média (kg) – 2157,14 2156,79 2303,30 2244,64 2161,04 2161,74 2157,94

DP (kg) – 0,24 0,21 83,59 43,48 0,18 2,96 1,13

NI – 13000 23000 10000 10000 11300 6200 6200 Fonte: Autor

95


Fonte: Autor


Os resultados ótimos obtidos pelo ASAM-M e outras MHs de otimização publicados

na literatura são apresentados na Tabela 27. Pode-se observar que o peso do projeto ótimo

obtido pelo algoritmo proposto (324,43 kg) é menor que os outros métodos (327,51 kg para

o CSS -BBBC, 327,65 kg para o DPSO, 327,55 kg para o SBO, 327,65 kg para o VPS, 325,01

kg para o ISOS e 324,97 kg para o ASAM). Além disso, o ASAM-M requer menos NI do

que o DPSO, SBO, VPS, ReDE, AHEFA e ASAM (6200 NI para ASAM-M, 20000 NI para

DPSO, 15000 NI para SOB, 30000 para VPS, 10840 NI para ReDE, 8860 NI para AHEFA

e 7130 para ASAM). O benefício do peso médio para o ASAM-M é 3,24, 3,16, 3,15, 4,95 e

0,61 kg, em comparação com os obtidos com DPSO, SBO, VPS, ISOS e ASAM,

respectivamente. Finalmente, o ASAM-M obtém um baixo DP (0,07 kg) que evidencia a

estabilidade do algoritmo proposto. As frequências naturais indicam a viabilidade do projeto

obtido pelo ASAM-M. A curva de convergência do melhor projeto do ASAM-M para este

problema é mostrada na Figura 41.

2100

2200

2300

2400

2500

2600

2700

2800

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(kg)


96


Variáveis

(cm2)

Kaveh e

Zolghadr

(2012)

Kaveh e

Zolghadr

(2014)

Farshchin et

al. (2016)

Kaveh e

Ilchi

Ghazaan

(2017)

Ho-Huu et

al. (2018)

Tejani et al.

(2018)

Lieu et al.

(2018) ASAM ASAM-M

CSS-BBBC DPSO SBO VPS ReDE ISOS AHEFA

1 A1-A4 2,854 3,5498 3,4917 3,5017 3,5327 3,3563 3,5612 3,4927 3,3524

2 A5-A12 8,301 7,8356 7,9414 7,9340 7,8303 7,8726 7,8736 7,8573 7,7448

3 A13-A16 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6453 0,6450 0,6450 0,6450 0,6450

4 A17-A18 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6459 0,6450 0,6451 0,6474 0,6450

5 A19-A22 8,202 8,1183 8,1154 8,0215 8,0029 8,5798 7,9710 7,8897 7,5541

6 A23-A30 7,043 8,1338 8,0533 7,9826 7,9135 7,6566 7,8928 8,0057 7,8746

7 A31-A34 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6451 0,7417 0,6450 0,6450 0,6450

8 A35-A36 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6451 0,6450 0,6451 0,6454 0,6450

9 A37-A40 16,328 12,6231 12,8569 12,8175 12,7626 13,0864 12,5404 12,6034 12,5877

10 A41-A48 8,299 8,0971 8,0425 8,1129 7,9657 8,0764 7,9639 7,9616 8,0790

11 A49-A52 0,645 0,6450 0,6451 0,6450 0,6452 0,6450 0,6459 0,6451 0,6450

12 A53-A54 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6450 0,6937 0,6462 0,6450 0,6450

13 A55-A58 15,048 17,3908 17,2136 17,3362 16,9041 16,2517 17,1323 17,1604 17,8079

14 A59-A66 8,268 8,0634 8,0804 8,1010 8,0434 8,1703 8,0216 8,0368 8,0575

15 A67-A70 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6451 0,6450 0,6450 0,6450 0,6450

16 A71-A72 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6473 0,6450 0,6451 0,6450 0,6486

Peso (kg) 327,51 327,65 327,55 327,65 324,25 325,01 324,24 324,97 324,43

f1 (Hz) 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000

f3 (Hz) 6,0040 6,0000 6,0000 6,0000 6,0001 6,0008 6,0000 6,0000 6,0000

Média (kg) – 327,76 327,68 327,67 324,32 329,47 324,41 325,13 324,52

DP (kg) – 0,06 0,07 0,02 0,05 2,66 0,24 0,18 0,07

NI – 20000 15000 30000 10840 4000 8860 7130 6200

Fonte: Autor

97


Fonte: Autor


A Tabela 28 compara os resultados do ASAM-M com outros métodos de otimização.

Como observado, o ASAM-M fornece o melhor resultado com 8707,01 kg, enquanto os

outros fornecem pesos maiores, como CSS-BBBC (9046,34 kg), DPSO (8890,48 kg), CBO

(8889,13 kg), HALC-PSO (8889,96 kg), VPS (8888,74 kg), ReDE (8707,32 kg), ISOS

(8710,06 kg) e ASAM (8707,39 kg). Além disso, o ASAM-M requer 6200 NI para convergir

a solução ótima, enquanto o HALC-PSO e VPS precisam 17000 e 30000 NI,

respectivamente. A partir dos pesos médios obtidos (8707,42 kg) e DP (0,08 kg) pelo método

proposto, pode-se observar que o ASAM-M é estável. O DP obtido com o ASAM-M ocupa

o primeiro lugar entre as metaheurísticas consideradas. A curva de convergência do melhor

projeto do ASAM-M para este problema é mostrada na Figura 42.

322

324

326

328

330

332

334

336

338

340

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(kg)


98


Variáveis

(cm2)

Kaveh e

Zolghadr

(2012)

Kaveh e

Zolghadr

(2014)

Kaveh e Ilchi

Ghazaan

(2015)

Kaveh e Ilchi

Ghazaan

(2017)

Ho-Huu et

al. (2018)

Tejani et al.

(2018)

Lieu et al.

(2018) ASAM ASAM-M

CSS-BBBC DPSO HALC-PSO VPS ReDE ISOS AHEFA

1 A1 17,478 19,607 19,8905 19,6836 19,5131 19,6662 19,5094 20,0425 19,6068

2 A2 49,076 41,290 40,4045 40,9581 40,3914 39,8539 40,3867 39,4775 40,5483

3 A3 12,365 11,136 11,2057 11,3325 10,6066 10,6127 10,6033 13,6425 13,4167

4 A4 21,979 21,025 21,3768 21,5387 21,1415 21,2901 21,1168 20,4928 20,2411

5 A5 11,190 10,060 9,8669 9,8867 9,8057 9,7911 9,8221 9,0488 9,1521

6 A6 12,590 12,758 12,7200 12,7116 11,7781 11,7899 11,7735 15,2658 15,8831

7 A7 13,585 15,414 15,2236 14,9330 14,8163 14,7437 14,8405 12,9846 12,9856

Peso (kg) 9046,34 8890,48 8889,96 8888,74 8707,32 8710,06 8707,26 8707,39 8707,01

f1 (Hz) 9,000 9,0001 9,000 9,0000 9,0000 9,0001 9,0000 9,0000 9,0000

f2 (Hz) 11,007 11,0007 11,000 11,0000 11,0000 10,9998 11,0000 11,0000 11,0000

Média (kg) – 8895.99 8900,39 8896,04 8707,52 8728,56 8707,56 8709,96 8707,42

DP (kg) – 4,26 6,38 6,65 0,15 14,23 0,25 3,43 0,08

NI – 6000 17000 30000 5080 4000 3560 3100 6200

Fonte: Autor

99


Fonte: Autor

8600

8800

9000

9200

9400

9600

9800

10000

10200

0 5 10 15 20 25 30 35

Peso

(kg)


100

7 OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS

EMPREGANDO ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO E

ELEMENTOS FINITOS NA NOTAÇÃO STRAIN GRADIENT

7.1 INTRODUÇÃO

A Otimização Topológica Estrutural (OTE) de componentes estruturais busca obter a

localização e distribuição ótima do material em uma estrutura para certas condições de carga

e atendendo a uma determinada função objetivo (por exemplo, a minimização da energia de

deformação). A OT é um campo de pesquisa relativamente novo, mas em rápida expansão,

com interessantes implicações teóricas em matemática, mecânica, física e ciência da

computação, mas também importantes aplicações práticas pelas indústrias de manufatura (em

particular, automotiva e aeroespacial) e provavelmente terá um papel significativo nas micro

e nanotecnologias (ROZVANY, 2009).

Nas últimas décadas, a OTE para estruturas contínuas foi extensivamente explorada.

Vários métodos de otimização, como o método de homogeneização (Homeganization

method) (BENDSØE; KIKUCHI, 1988), o método de otimização estrutural evolutiva

(Evolutionary Structural Optimization ‒ ESO) (XIE; STEVEN, 1993) e o método SIMP

(Solid Isotropic Material with Penalization ‒ SIMP) (BENDSØE, 1989) foram

desenvolvidos.

No método de homogeneização, presume-se que o domínio estrutural seja totalmente

ocupado por um material compósito. O material é não homogêneo com uma microestrutura

ajustável que muda entre sólido e vazio no processo de otimização. Portanto, a fim de moldar

uma nova distribuição de material no domínio, o material será movido de uma parte do

domínio estrutural para o outro. Essa nova distribuição levará a uma distribuição de material

ótima que forneça o projeto ótimo de uma estrutura. Este método produziu resultados

promissores incentivando a investigação de novas técnicas e abordagens na otimização

estrutural e tem sido aplicado com sucesso na otimização de estruturas linearmente elásticas

(OLHOFF; BENDSØE; RASMUSSEN, 1991; SOTO; DÍAZ, 1993; SUZUKI; KIKUCHI,

1991). As vantagens gerais do método de homogeneização são sua base teórica precisa e

bom comportamento de convergência. No entanto, o uso das técnicas tradicionais de

101

computação (métodos determinísticos) como o CO e a programação matemática (PM)

dificultam atingir o ótimo global. Recentemente, as abordagens de homogeneização caíram

em desuso, dando lugar à abordagem SIMP para OT.

Com a análise de elementos finitos, o método ESO foi proposto inicialmente,

removendo gradualmente material ineficiente até que uma solução ótima desejada seja

alcançada. Uma versão estendida desse método é chamada de método ESO bidirecional

(BESO). O BESO permite que o material seja adicionado ao domínio do projeto (QUERIN

et al., 2000; YANG et al., 1999). Como as variáveis de projeto podem ser removidas durante

o processo de otimização, os parâmetros de ajuste devem ser otimizados. Os métodos do

ESO/BESO são métodos heurísticos que são usados para encontrar a melhor solução dentre

as muitas soluções geradas no processo de otimização (ROZVANY; QUERIN, 2002).

Aplicações recentes deste método no projeto de estruturas e materiais avançados são

resumidas no trabalho de Xia et al. (2018). Segundo Rozvany (2009), a desvantagem do ESO

é que é totalmente heurístico portanto não existe nenhuma prova rigorosa de que as

eliminações dos elementos, forneçam uma solução ótima. Além disso, o ESO geralmente

requer um número muito maior de iterações e pode produzir uma solução totalmente não

ótima.

O método SIMP é outro método de otimização de topologia amplamente utilizado.

Nesse método, o domínio de projeto é discretizado em elementos finitos e uma determinada

quantidade de material é uniformemente distribuída no domínio do projeto minimizando ou

maximizando a função objetivo. A densidade do material de cada elemento é tratada como a

variável de projeto. Isso pode variar continuamente de 0 (vazio) a 1 (sólido) para ausência de

material e presença de material. Enquanto isso, as características das densidades

intermediárias são artificialmente penalizadas na função objetivo. O principal benefício de

empregar a função de penalização é que apenas expressões para deformação de elementos e

energias cinéticas são necessárias para análise de sensibilidade. Além disso, qualquer pacote

comercial de elementos finitos pode ser utilizado diretamente em problemas de OT. Vários

trabalhos têm sido publicados empregando esta técnica. Por exemplo, Sigmund (2001), usou

o SIMP e o Critério de Otimalidade (CO) como otimizador para analisar vigas

bidimensionais. Suresh (2010), desenvolveu um procedimento baseado no SIMP e aplicando

102

a Eficiência de Pareto para gerar topologias ótimas para várias frações de volume de uma

maneira altamente eficiente. Challis (2010), implementou o método de Superfície de Nível

como otimizador para resolver problemas de OT em vigas. Andreassen et al. (2011),

continuou o trabalho clássico de Sigmund (2001) e empregou um filtro de densidade,

alcançando uma melhoria considerável na eficiência do algoritmo. Atualmente, o SIMP ainda

é usado como método base para desenvolver novas metodologias OT (AMIR; AAGE;

LAZAROV, 2014; ANSOLA LOYOLA et al., 2018; BRUGGI; DUYSINX, 2012; LIU et

al., 2018; TALISCHI et al., 2012; ZUO; SAITOU, 2017). Apesar das diversas aplicações do

método e de sua simplicidade e versatilidade (ZARGHAM et al., 2016), uma desvantagem

do SIMP é que não é possível garantir uma solução global ótima para problemas altamente

complexos e não convexos (ROZVANY, 2009) devido a que o problema de otimização é

resolvido através do método Critério de Otimalidade (CO). Além disso, o número de

iterações para convergir ao ótimo pode ser grande (HUANG; XIE, 2010; SIGMUND;

MAUTE, 2013).

A maioria dos problemas de OT são não convexos, ou seja, dentro do espaço de solução

existem muitos mínimos locais, o que leva a diferentes soluções ótimas para o mesmo

problema, o que abre o caminho para que as metaheurísticas de otimização sejam usadas para

sua solução. Além disso, é uma alternativa para melhorar a capacidade de convergência das

abordagens descritas acima. Neste capítulo, o problema de OT é resolvido com a metodologia

SIMP junto com o ASAM. Utilizar o ASAM como otimizador pretende garantir uma solução

global ótima para problemas complexos com uma velocidade de convergência rápida. Por

outro lado, o elemento finito (quadrilátero de quatro nós) utilizado na discretização dos

elementos estruturais, é desenvolvido no campo da Notação Strain Gradient (NSG) (DOW,

1999; DOW; ABDALLA, 1994), para que o analista possa interpretar fisicamente as

capacidades e deficiências de modelagem durante o processo de formulação (ABDALLA

FILHO et al., 2017). Portanto, o cisalhamento parasítico geralmente encontrado no elemento

é identificado como causado por termos espúrios que aparecem em expansões polinomiais

na distorção angular. Esses termos espúrios identificados são removidos a priori de modo

que o cisalhamento parasitário não afete a análise numérica. Nas seguintes seções o problema

de OT é formulado, o elemento quadrilátero de quatro nós é descrito na NSG e os problemas

e discussões são apresentados.

103

7.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT

O objetivo do problema de otimização é encontrar a distribuição de material ótima, em

termos da minimização da função objetivo, com uma restrição na quantidade total de material

(ANDREASSEN et al., 2011). Neste trabalho a metodologia SIMP implementada por

Andreassen et al. (2011) é usada. O domínio de projeto é discretizado por elementos finitos

e a cada elemento e é atribuído uma densidade xe que determina o seu módulo de elasticidade

Ee:

Ee(xe) = Emin + xep(E0 − Emin), (7.1)

onde E0 é a rigidez do material, Emin é uma rigidez muito pequena atribuída a regiões vazias

para evitar que a matriz de rigidez se torne singular, e p é um fator de penalização introduzido

para garantir soluções preto e branco.

A formulação matemática do problema de otimização é a seguinte:

minimizar: c(x) = UTKU =∑Ee(xe)ueTk0ue

N

e=1

sujeito a: {V(x) V0 = fv KU = F0 ≤ x ≤ 1

(7.2)

onde o objetivo é minimizar a energia de deformação c; U e F são os vetores de deslocamentos

e forças globais, respetivamente; K é a matriz de rigidez global; ue é o vetor deslocamento

do elemento; k0 é a matriz de rigidez do elemento para um elemento com módulo de

elasticidade unitário; x é o vetor de variáveis de projeto (isto é, as densidades dos elementos);

N é o número de elementos usados para discretizar o domínio de projeto; V(x) e V0 são o

volume do material e o volume do domínio de projeto, respectivamente; e fv é a fração de

volume prescrita.

7.3 DESENVOLVIMENTO DA NOTAÇÃO STRAIN GRADIENT (NSG)

A NSG é uma notação fisicamente interpretável que relaciona explicitamente os

deslocamentos às quantidades cinemáticas do continuo (ABDALLA FILHO et al., 2017).

104

Tais quantidades cinemáticas são os movimentos de corpo rígido, deformações e a suas

derivadas, e são geralmente referidos como gradientes de deformação. As relações entre os

componentes de deslocamento e gradientes de deformação são obtidas por meio de um

procedimento algébrico no qual são determinados os conteúdos físicos dos coeficientes das

funções de aproximação. O procedimento é totalmente descrito e os resultados são tabulados

em Dow (1999). Outras referências relacionadas à NSG e suas aplicações são: Dow et al.

(1985), Dow e Byrd (1988), Dow e Byrd (1990), Dow e Abdalla Filho (1994), Abdalla Filho

e Dow (1994), Abdalla Filho et al. (2006), Abdalla Filho et al. (2008), Abdalla Filho et al.

(2016), Abdalla Filho et al. (2017), Abdalla Filho et al. (2020).

Devido ao caráter fisicamente interpretável da NSG, as características de modelagem

do elemento finito são evidenciadas desde os primeiros passos da formulação. Isso permite a

identificação de termos espúrios que causam o enrijecimento artificial inerentes às

formulações tradicionais. A NSG é descrita nesta seção através da formulação do quadrilátero

de quatro nós para a análise do estado plano. O campo de deslocamento para esse elemento

é

u(x, y) = a1 + a2x + a3y + a4xy (7.3)

v(x, y) = b1 + b2x + b3y + b4xy

Os dois termos de ordem zero, a1 e b1, podem ser avaliados imediatamente em termos

dos deslocamentos do corpo rígido, (urb)0 e (vrb)0. Isto é conseguido avaliando as equações

(7.3) na origem do elemento. Todos os termos, exceto os termos constantes principais, são

eliminados porque são funções de x e y. Quando esta substituição é feita e os deslocamentos

na origem são reconhecidos como os deslocamentos do corpo rígido, as constantes principais

dos polinômios de deslocamento são:

a1 = (urb)0 (7.4)

b1 = (vrb)0

Os termos de primeira ordem (lineares) são avaliados em função da rotação e dos três

componentes da deformação na origem. A rotação ao redor do eixo z é a relação rotação-

deslocamento da teoria da elasticidade do pequeno deslocamento:

105

rrb =1

2(∂v

∂x−∂u

∂y) (7.5)

Da mesma forma, as relações de deformação-deslocamento são

εx =∂u

∂x

(7.6) εy =∂v

∂y

γxy =∂u

∂y+∂v

∂x

Avaliando as equações (7.5) e (7.6) na origem resultam em:

(rrb)0 =1

2(b2 − a3)

(7.7) (εx)0 = a2

(εy)0= b3

(γxy)0= a3 + b2

Resolvendo (7.7) para os coeficientes, obtém-se:

a2 = (εx)0

(7.8)

a3 = (γxy

2− rrb)

0

b2 = (γxy

2+ rrb)

0

b3 = (εy)0

Calculando as derivadas εx,y e εy,x, denominadas gradiente de deformações, encontra-

se a4 e b4:

a4 = (εx,y)0

(7.9) b4 = (εy,x)0

As representações aproximadas de deslocamento para o elemento de quatro nós são:

106

u(x, y) = (urb)0 + (εx)0x + (γxy

2− rrb)

0y + (εx,y)0

xy

(7.10)

v(x, y) = (vrb)0 + (γxy

2+ rrb)

0x + (εy)0

y + (εy,x)0xy

Quando as aproximações de deslocamento para o elemento são substituídas nas

definições de deformação, as representações de deformação contidas neste elemento são

consideradas

εx = (εx)0 + (εx,y)0𝑦

(7.11) εy = (εy)0+ (εy,x)0

x

γxy = (γxy)0+ (εx,y)0

x+(εy,x)0y

O uso da NSG torna evidente que a representação da distorção angular γxy para este

elemento contém dois termos de deformação normal errôneos, (εx,y)0 e (εy,x)0

. O efeito

desse erro pode ser descrito da seguinte maneira. Quando a energia de deformação é

calculada, esses dois termos são transportados para o componente de distorção angular,

adicionando energia de deformação ao elemento, o que faz com que o elemento fique

excessivamente rígido (DOW; ABDALLA, 1994). Este erro de modelagem é conhecido

como de cisalhamento parasítico.

A equação (7.11) pode ser escrita em forma de matriz como:

{ε} = [T]{ε,}

(7.12)

{ε}T = {εx εy γxy}

{ε,}T= {(urb)0 (vrb)0 (𝑟rb)0 (εx)0 (ε𝑦)0 (γxy)0

(εx,y)0(εy,x)0}

[T] = [

0 0 0 1 0 0 y 00 0 0 0 1 0 0 x0 0 0 0 0 1 x y

]

Os termos espúrios estão contidos no componente de deformação de cisalhamento da

equação (7.12) pelos termos x e y que estão sublinhados. O cisalhamento parasitário pode ser

removido do elemento pela remoção desses dois termos.

107

O próximo passo é obter uma relação entre os deslocamentos nodais e a base SG que

governa as deformações do elemento

{d} = [Ф]{ε,}

(7.13)

{

u1v1u2v2u3v3u4v4}

=

[ 1 0 −y1 x1 0 y1 2 x1y1 0

0 1 x1 0 y1 x1 2 0 x1y11 0 −y2 x2 0 y2/2 x2y2 0

0 1 x2 0 y2 x2 2 0 x2y21 0 −y3 x3 0 y3/2 x3y3 0

0 1 x3 0 y3 x3 2 0 x3y31 0 −y4 x4 0 y4/2 x4y4 0

0 1 x4 0 y4 x4 2 0 x4y4]

{

(urb)0(vrb)0(rrb)0(εx)0(εy)0(γxy)0(εx,y)0(εy,x)0}

A energia de deformação na NSG é obtida através da expressão seguinte (DOW, 1999):

U =1

2{ε,}

T[∫ [T]T

Ω

[C][T]dΩ] {ε,}

(7.14)

U =1

2{ε,}

TU̅{ε,}

onde Ω é o volume do contínuo e C a matriz constitutiva do material.

Agora pode-se formar a expressão de energia de deformação em termos de

deslocamentos nodais

U =1

2{d}T[Ф]−TU̅[Ф]−1{d} (7.15)

A matriz de rigidez do elemento finito pode ser extraída da equação (7.15) de acordo

com o princípio da energia potencial mínima (DOW, 1999):

[K] = [Ф]−TU̅[Ф]−1 (7.16)


Nesta seção, o elemento cuja formulação foi descrita na Seção 7.3 é aplicado na solução

de três problemas de referência de OT. Os problemas foram analisados por quatro

metodologias:

108

• Metodologia de Andreassen et al. (2011) que emprega o método SIMP, com o Critério

de Otimalidade como otimizador e elemento finito com termos espúrios (CO-CTE).

• Metodologia de Andreassen et al. (2011) que emprega o método SIMP, com o Critério

de Otimalidade como otimizador e elemento finito sem termos espúrios (CO-STE).

• Metodologia de Andreassen et al. (2011) que emprega o método SIMP, com o ASAM

como otimizador e elemento finito com termos espúrios (ASAM-CTE).

• Metodologia de Andreassen et al. (2011) que emprega o método SIMP, com o ASAM

como otimizador e elemento finito sem termos espúrios (ASAM-STE).

Para os 3 exemplos, foi considerando módulo de elasticidade unitário; coeficiente de

Poisson ν=0.3 e as forças aplicadas com valores unitários. Os parâmetros do ASAM para

todos os exemplos, o tamanho da população (exploração preliminar), a temperatura inicial

(Tinicial), a temperatura final (Tfinal) e número máximo de perturbações (npmax) são definidos

como 2, 1, 1x10-3 e 5, respectivamente Os resultados, enquanto a topologias (Top), energia

de deformação (c), número de iterações (NI) e tempo de execução (t) são apresentados nas

Tabelas 29, 30 e 31.

7.4.1 Viga biapoiada

O primeiro exemplo analisado é uma viga biapoiada (MBB beam). O domínio de

projeto e as condições de contorno da viga biapoiada estão representadas na Figura 43. A

carga é aplicada verticalmente no canto superior esquerdo e há condições de contorno

simétricas ao longo da borda esquerda e a estrutura é suportada horizontalmente no canto

inferior direito. A viga foi discretizada em três tipos de malha: 75x25, 150x50 e 300x100.

Neste problema foi adotada uma fração de volume prescrita de 0.5 (ANDREASSEN et al.,

2011), isto é, um volume final de 50% do volume inicial.

Figura 43 ‒ Viga biapoiada

Fonte: Andreassen et al. (2011)

109

A Tabela 29 mostra as topologias, valores de energia de deformação, números de

iterações e tempo de execução obtidos com as quatro metodologias. Em geral, pode ser visto

que as topologias e valores de energia de deformação obtidas por as quatro metodologias não

apresentam diferenças significativas. A grande diferencia encontra-se na velocidade de

convergência.

Comparando as metodologias que envolvem o CO como otimizador observa-se que os

resultados obtidos com os elementos finitos sem termos espúrios (CO-STE) converge mais

rápido do que os elementos com termos espúrios (CO-CTE). Por exemplo, no refino de malha

150x50 o CO-STE atinge o valor ótimo em 169 NI (30,9 s) enquanto CO-CTE precisa de

362 NI (67,3 s). O mesmo acontece com o refino de malha de 300x100.

Quando o problema é otimizado com ASAM as metodologias ASAM-CTE e ASAM-

STE não apresentam grandes diferenças nos valores de número de iterações e tempos de

execução. Por exemplo, para a malha 300x100, ASAM-CTE consegue o valor ótimo em 58

NI (38,7 s) e o ASAM-STE necessita 57 NI (37,7 s).

Quando os otimizadores são comparados observa-se que o ASAM converge mais

rápido do que o CO para todos os casos. Por exemplo, para a malha 300x100 o CO-STE

precisa de 329 NI (424,2 s) enquanto o ASAM-STE necessita 57 NI (37,7 s). O mesmo

acontece ao comparar CO-CTE e ASAM-CTE.

110

Tabela 29 ‒ Comparação de resultados obtidos para a viga biapoiada

CO-CTE CO-STE ASAM-CTE ASAM-STE M

alh

a 7

5x

25

Top

c 232,23 233,01 234,13 234,64

NI 169 107 79 80

t(s) 10,4 7,8 9,7 10,0

Ma

lha

15

0x

50

Top

c 235,73 236,78 240,83 240,76

NI 362 169 48 47

t(s) 67,3 30,9 9,9 9,8

Ma

lha

30

0x

10

0

Top

c 238,31 239,08 241,77 241,74

NI 625 329 58 57

t(s) 813,6 424,2 38,7 37,7

Fonte: Autor

111

7.4.2 Viga em balanço

A Figura 44 mostra o domínio de projeto e as condições de contorno para a viga em

balanço. A viga foi discretizada em três tipos de malha: 80x50, 160x100 e 320x200. O

problema foi otimizado com uma fração de volume prescrita de 0.4 (ANDREASSEN et al.,

2011).

Figura 44 ‒ Viga em balanço


A Tabela 30 mostra os valores de energia de deformação, números de iterações, tempo

de execução e topologias obtidos com as quatro metodologias. Como no exemplo anterior,

as topologias e valores de energia de deformação não apresentam grandes diferenças.

Comparando as metodologias que envolvem o CO como otimizador observa-se que os

resultados obtidos com CO-STE converge mais rápido do que o CO-CTE. Por exemplo, no

refino de malha 320x200 o CO-STE obtém o valor ótimo em 497 NI (982,3 s) enquanto CO-

CTE precisa de 872 NI (1421,4 s).

Quando o problema é otimizado com o ASAM a metodologia que elimina os termos

espúrios converge mais rapidamente do que a que contém termos espúrios. Por exemplo, para

a malha mais refinada, o ASAM-CTE consegue o valor ótimo em 57 NI (83,9 s) enquanto o

ASAM-STE precisa de 45 NI (68,7 s).

Em relação aos otimizadores observa-se novamente que o ASAM converge mais rápido

à solução ótima do que o CO em todos os problemas. Por exemplo, para a malha 160x100 o

CO-STE precisa de 318 NI (132,6 s) enquanto o ASAM-STE necessita 37 NI (13,6 s). O

mesmo acontece ao comparar o CO-CTE e o ASAM-CTE.

112

Tabela 30 ‒ Comparação de resultados obtidos para a viga em balanço

CO-CTE CO-STE ASAM-CTE ASAM-STE

Ma

lha

80

x5

0

Top

c 63,07 63,44 63,83 64,36

NI 202 165 76 63

t(s) 17,8 14,7 10,7 9,4

Ma

lha

16

0x

10

0

Top

c 64,76 65,17 65,51 66,27

NI 590 318 61 37

t(s) 235,1 132,6 21,7 13,6

Ma

lha

32

0x

20

0

Top

c 66,34 66,62 66,86 67,54

NI 872 497 57 45

t(s) 1421,4 982,3 83,9 68,7

Fonte: Autor

7.4.3 Viga em balanço com duas cargas

O terceiro problema analisado é a viga em balanço com duas cargas (Figura 45). A viga

foi discretizada em três tipos de malha: 50x50, 100x100 e 200x200. O problema foi

otimizado com uma fração de volume prescrita de 0.4 (ANDREASSEN et al., 2011).

113

Figura 45 ‒ Viga em balanço com duas cargas


A Tabela 31 apresenta os valores obtidos para este problema. Os resultados numéricos

indicam que a remoção dos termos espúrios tem pouca influência nos valores de energia de

deformação e topologias. No entanto, vale ressaltar que a remoção dos termos espúrios, leva

a que as metodologias convirjam mais rapidamente.

Das quatro metodologias estudadas, o ASAM-STE é a que obtém o ótimo no menor

tempo. Note-se que, à medida que o problema se torna mais refinado, essa metodologia

mostra sua grande capacidade de convergência (para a malha 200x200, 39 NI para ASAM-

STE, 57 NI para ASAM-CTE, 97 NI para CO-STE e 109 para CO-CTE).

Finalmente, pode-se concluir que a metodologia que envolve o algoritmo ASAM e os

elementos corrigidos (ASAM-STE) é a mais eficiente. Nos três problemas analisados neste

trabalho, sempre obteve a solução ideal com menos NI. Além disso, é evidenciada sua

capacidade de resolver problemas com malhas refinadas.

114

Tabela 31 ‒ Comparação de resultados obtidos para a viga em balanço com duas cargas

CO-CTE CO-STE ASAM-CTE ASAM-STE

Ma

lha

50

x5

0

Top

c 68,17 68,98 70,50 71,01

NI 71 47 25 24

t(s) 5,2 3,8 3,9 3,7

Ma

lha

10

0x

10

0

Top

c 71,37 72,06 72,22 73,31

NI 81 65 39 31

t(s) 18,2 15,3 10,1 8,3

Ma

lha

20

0x

20

0

Top

c 74,41 75,07 75,10 75,69

NI 109 97 57 39

t(s) 190,7 129,8 56,1 36,2

Fonte: Autor

115

8 CONCLUSÕES, CONTRIBUIÇÕES E TRABALHOS FUTUROS

8.1 CONCLUSÕES

Neste trabalho foi implementado o Algoritmo Simulated Annealing Modificado

(ASAM), um método de otimização metaheurístico desenvolvido recentemente, na resolução

de problemas de otimização estrutural. As principais vantagens desta metaheurística é sua

alta precisão e estabilidade e com poucos parâmetros para ajustar. O algoritmo apresentado

tem duas etapas importante (exploração preliminar e passo de busca) que permitem explorar

o espaço de busca de maneira eficiente e escapar de ótimos locais.

Os experimentos numéricos foram classificados em três conjuntos: (i) na primeira

parte, foi realizada a otimização dimensional (minimização do peso) de treliças planas e

espaciais sujeitas a restrições de tensões e deslocamentos; (ii) na segunda parte, otimização

dimensional e de forma (minimização do peso) de treliças planas e espaciais sujeitas a

restrições de múltiplas frequências naturais; e finalmente (iii) na terceira parte, otimização

topológica de estruturas planas empregando elementos finitos desenvolvidos no campo da

Notação Strain Gradient.

Nos dois primeiros conjuntos de problemas os resultados numéricos indicaram que, na

maioria dos casos, o ASAM produz resultados competitivos com alta precisão, confiabilidade

e menos números de iterações em comparação com as outras metaheurísticas apresentadas

na literatura especializada. Adicionalmente, os pesos médios e desvio padrão dos dados,

obtidos da análise estatística, comprovaram a robustez do algoritmo implementado neste

trabalho.

Nos problemas de otimização topológica, foram analisados problemas com elementos

finitos que contem erro e corregidos. Os resultados demonstraram que a remoção dos termos

espúrios não influenciam nas topologias e valores ótimos de energia de deformação. No

entanto, a grande diferença é notada no tempo de convergência. Quanto mais refinada a

malha, os problemas que foram resolvidos com elementos finitos corregidos e o ASAM como

otimizador (metodologia ASAM-STE), convergiram ao valor ótimo em menor tempo. Por

outro lado, nos problemas que foram otimizados com ASAM convergiram mais rápidos do

116

que os otimizados com CO. Isto indica a capacidade que tem o algoritmo implementado neste

trabalho para obter ótimos globais de maneira mais eficiente.

Por fim, nesta tese foi proposto um algoritmo chamado Algoritmo Simulated Annealing

Modificado Melhorado (ASAM-M) e introduzido na otimização dimensional de treliças com

restrições de frequências. O ASAM-M introduz um conceito tomado da metaheurística Water

Wave Optimization com o objeto de aprimorar a capacidade de explotação e a velocidade de

convergência do ASAM. Os resultados indicaram que, o ASAM-M sempre obtém um projeto

similar que o ASAM, mas com menor NI. Além disso, os resultados numéricos mostram a

capacidade desse algoritmo de produzir resultados competitivos em comparação com as

outras metaheurísticas de otimização apresentadas na literatura em termos de melhor peso,

DP e NI. Os dados obtidos sobre peso médio e DP comprovam a robustez do algoritmo

proposto.

8.2 CONTRIBUIÇÕES

A seguir estão descritas as contribuições originais resultantes dos estudos e simulações

numéricas realizadas neste trabalho:

• Implementação e validação do ASAM na resolução de problemas de otimização

estrutural.

• Formulação de elementos finitos desenvolvidos na NSG junto com o ASAM para

resolver problemas de otimização topológica.

• Desenvolvimento de um algoritmo (ASAM-M) para a otimização de treliças com

restrições de frequências naturais.

8.3 TRABALHOS FUTUROS

Como futuros trabalhos pretende-se:

• Aplicar o ASAM e o ASAM-M na otimização de outros problemas de engenharia

como a otimização de placas compostas, estruturas laminares e projetos baseados em

confiabilidade (LIEU et al., 2018; LIEU; LEE, 2017, 2019a, 2019b), onde o custo

computacional é sempre uma preocupação. Além disso, poderão ser implementadas

futuras aplicações em outras áreas de otimização.

117

• Realizar mais pesquisas para esclarecer a eficiência do ASAM na resolução de

problemas de otimização em larga escala.

• Nos problemas de OE de treliças, considerar características das seções transversais

como dimensões, para evitar diferenças significativas das barras que concorrem em

um mesmo nó.

• Implementar os algoritmos em problemas de otimização topológica em 3D

empregando elementos finitos desenvolvidos no campo da NSG.

• Implementar uma interface gráfica.

118

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