UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRAPs-Graduao em Educao MatemticaCurso de Matemtica Discreta parte 1Prof. Ilydio Pereira de S

Material Disponvel em: www.magiadamatematica.com

Se teus projetos tm prazo de um ano, semeia trigo.Se teus projetos tm prazo de dez anos, planta rvores frutferas. Se teus projetos tm prazo de um sculo, ento educa o povo.

Kuan Tseu

1) Introduo: O que Matemtica Discreta?

A matemtica discreta, tambm chamada matemtica finita, o estudo das estruturas matemticas que so fundamentalmente discretas, ou sejam, no so compatveis com a noo de continuidade. A maior parte dos objetos estudados na matemtica discreta so conjuntos contveis, como o conjunto dos nmeros inteiros.A matemtica discreta tornou-se popular nas ltimas dcadas devido s suas aplicaes na cincia da computao. Conceitos e notaes da matemtica discreta so teis para o estudo ou a expresso de objetos ou problemas com algoritmos e linguagens de programao.

Vejamos alguns dos tpicos da rea da matemtica discreta:

A lgica e o estudo do raciocnio lgico;Tcnicas de demonstrao; Induo matemtica;Teoria dos Conjuntos;Funes geradoras;Relaes de Recorrncia;Teoria dos Nmeros e Criptografia; Matemtica Combinatria;Teoria dos grafos;Nmeros Binomiais e Binmio de NewtonClculo de probabilidades;Algoritmos; Ao longo de nosso curso, vrios desses tpicos sero abordados com prioridade para os mais importantes na rea de licenciatura, como: tcnicas de demonstrao, teoria dos nmeros (aplicaes da modularidade e criptografia), matemtica combinatria e clculo de probabilidades.

Podemos ainda destacar como modernas aplicaes da Matemtica Discreta: Teoria dos jogos; Teoria das filas; Teoria dos grafos; Programao linear; Criptografia.

2) Elementos Bsicos de Teoria da Deduo2.1) Introduo:

A Matemtica divide-se geralmente em partes chamadas teorias matemticas. O desenvolvimento de uma qualquer daquelas teorias constitudo por trs etapas fundamentais:

(1) a construo dos objetos matemticos da teoria;(2) a formao de relaes entre esses objetos;(3) a pesquisa daquelas relaes que so verdadeiras, ou seja, a demonstrao de teoremas.Objetos matemticos so, por exemplo, os nmeros, as funes ou as figuras geomtricas; a Teoria dos Nmeros, a Anlise Matemtica e a Geometria so, respectivamente, as teorias matemticas que os estudam.

As relaes entre os objetos matemticos so afirmaes (ou proposies ou sentenas), verdadeiras ou falsas, que podem enunciar-se a seu respeito e que, de algum modo, correspondem a propriedades hipotticas dos objetos reais que eles modelam. Para provar os seus resultados a matemtica usa um determinado processo de raciocnio que se baseia na Lgica; existe uma interligao profunda entre a Matemtica e a Lgica. Deve observar-se desde j que, embora existam outros tipos de Lgica, em nosso curso o termo deve entender-se no sentido da chamada Lgica bivalente que adota como regras fundamentais de pensamento os dois princpios seguintes:Princpio da no contradio: Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa (ao mesmo tempo).

Princpio do terceiro excludo: Uma proposio ou verdadeira ou falsa (isto , verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro).

A matemtica, como qualquer outra cincia, utiliza a sua linguagem prpria constituda por termos palavras ou smbolos e proposies que so combinaes de termos de acordo com determinadas regras. Numa teoria matemtica qualquer podem distinguir-se dois tipos de termos:(1) termos lgicos, que no so especficos daquela teoria e fazem parte da linguagem matemtica geral;(2) termos especficos da teoria que se est sendo considerada.Termos lgicos como, por exemplo, varivel, relao, etc. so comuns a todas as teorias matemticas. Pelo contrrio, ponto, reta e ngulo, por exemplo, so termos especficos da geometria, enquanto que nmero,

p: A,B,C so trs pontos no colinearesq: existe um e um s plano que passa por A,B e C

claro que, nesse caso, a implicao p q ter um sentido geomtrico, mas, se tivermos:p: 2 e primoq: 22 1 e primo

a implicao p q tem significado em teoria dos nmeros. Os termos lgicos do a forma a uma teoria matemtica; os termos especficos do-lhe o contedo. O papel principal da lgica em matemtica o de comunicar as idias de forma precisa evitando erros de raciocnio.

2.2) Conjecturas e TeoremasUma das etapas fundamentais no desenvolvimento de uma teoria matemtica a pesquisa de relaes verdadeiras entre os objetos da teoria. Ou seja, dada uma afirmao relativa aos objetos da teoria, necessrio demonstrar a sua veracidade ou falsidade; s depois deste processo que tal afirmao, sendo demonstrada a sua veracidade, adquire o status de teorema.Chama-se demonstrao formal a uma seqncia finita p1, p2, . . . , pn de proposies cada uma das quais ou um axioma (proposio cuja veracidade se admite priori) ou resulta de proposies anteriores por regras de inferncia (que so formas muito simples e freqentes de argumentaes vlidas, tradicionalmente designadas por silogismos). Cada uma das proposies pj , 1 j n, designada por passo da demonstrao. Neste sentido, teorema ser o ltimo passo de uma dada demonstrao, isto , demonstrar um teorema consiste na realizao de uma demonstrao cujo ltimo passo o teorema em questo.

As demonstraes formais raramente so praticadas fora dos livros de Lgica. Como uma demonstrao formal inclui todos os passos possveis (nada deixado por conta da imaginao) ento a demonstrao formal de um teorema, ainda que simples, normalmente longa (e cansativa). Assim, fora da Lgica raramente se fazem demonstrao formais rigorosas: o que em geral se faz estabelecer os passos fundamentais da demonstrao suprimindo todos os detalhes lgicos que, muitas vezes, no ajudam a esclarecer a verdadeira natureza da proposio que est sendo estudada. Estes procedimentos designar-se-o simplesmente por demonstraes (ou demonstraes matemticas) por contraposio a demonstraes formais. Uma afirmao ainda no demonstrada o que denominamos de conjectura.

Exemplo 1: Uma conjectura famosa, ainda no demonstrada at hoje, a conjectura de Goldbach.

Goldbach conjecturou o que ainda no foi demonstrado se falso ou verdadeiro que qualquer nmero par superior a 2 a soma de dois nmeros primos. Este um dos famosos problemas de matemtica, propostos por Hilbert e, at hoje, sem soluo. Existe um prmio de US$ 1 000 000, para quem resolv-lo.Exemplificando a Conjectura de Goldbach:4 = 2 + 26 = 3 + 38 = 3 + 510 = 5 + 512 = 5 + 7 e assim por diante.No link http://nautilus.fis.uc.pt/mn/goldbach/ voc vai encontrar um interessante jogo sobre essa conjectura

Essa conjectura foi sugerida por Goldbach numa carta que escreveu a Euler, datada de 7 de junho de 1742. E desde ento inmeros matemticos tentam demonstr-la, mas ainda sem xito at os dias de hoje.Atividade 1. Na tabela que se segue, para cada nmero natural n de 2 a 10, calculou-se o nmero 2n 1 obtendo-se os seguintes resultados:

Conjectura : Dado um nmero inteiro n superior a 1, se n for primo ento o nmero 2n 1 primo.

Ser tal conjectura verdadeira?Essa conjectura pode ser refutada imediatamente: para tal suficiente continuar a desenvolver a tabela para valores de n superiores a 10. Assim, para n = 11 teremos 2 11 1 = 2047 = 23 89, ou seja, um nmero composto. Assim, conseguimos um chamado contra-exemplo, que derruba a conjectura (11 primo e o resultado de 211 1 composto). Um simples contra-exemplo suficiente para mostrar que a conjectura falsa. Se continussemos a completar a tabela, outros contra-exemplos apareceriam, claro.Caso no encontrssemos logo o contra-exemplo poderamos ser levados a pensar que a conjectura seria verdadeira e, nesse caso, teramos que fazer, de alguma forma, a sua demonstrao.

Conjectura : Dado um nmero inteiro n superior a 1, se n for composto, ento o nmero 2n 1 composto.

Ser tal conjectura verdadeira?

A decomposio que fizemos nos mostra que 2n 1 pode ser decomposto num produto de dois nmeros inteiros e positivos, x e y, maiores que 1, provando que 2n 1 um nmero composto. Assim sento, a conjectura provada adquire status de Teorema, que pode ser enunciado:

Dado um nmero inteiro n, superior a 1, se n composto, ento 2n 1 tambm um nmero composto. OBSERVAO: Pelo que vimos na primeira conjectura, o fato de n ser um nmero primo no garante que 2n 1 seja tambm primo.Mas existem alguns casos, como vimos, que n primo pode gerar um resultado de 2n 1 que tambm seja primo. Nesse caso, os nmeros primos assim obtidos so denominados primos de Mersenne. Assim: 3, 7, 31, ....so primos de Mersenne, mas 5, por exemplo no um nmero primo de Mersenne.

At 23 de agosto de 2008 eram conhecidos 46 nmeros primos de Mersenne e o maior deles era constitudo de 12 978 189 algarismos.

E qual a importncia desse tema? que atualmente, para as mensagens da Internet e para a segurana e sigilo dos dados transmitidos usada a criptografia onde, muitas vezes, usa-se chaves constitudas de nmeros primos de Mersenne com milhares de algarismos.

Um exemplo interessante envolvendo nmeros primos a demonstrao criativa e simples encontrada por Euclides de Alexandria (sculo II a.C), em um de seus 13 volumes de sua famosa obra Os Elementos para demonstrar que o conjunto dos nmeros primos era INFINITO.Euclides usou o mtodo de reduo ao absurdo e sua demonstrao considerada uma das mais belas de todos os tempos. Vejamos como foi esta demonstrao:

Vamos partir da suposio de que existe um nmero finito de nmeros primos. Se isso for verdade, ento deve existir um ltimo nmero primo. Seja x este nmero. A seqncia de nmeros primos at o x a seguinte:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... x (SUPOSTO LTIMO)Depois disto Euclides imaginou um nmero composto muito grande formado pelo produto de todos os nmeros primos, do primeiro ao ltimo, ou seja:Verificamos que tal nmero, assim construdo, seria um nmero composto, j que seria divisvel por 2, por 3, por 5, por 7, ...Euclides imaginou ainda um outro nmero, maior do que N, e claro que maior do que x, definido por M = N + 1. claro que este nmero M no divisvel por qualquer dos nmeros primos de 1 at x, pois deixaria resto 1 ao ser dividido por 2, por 3, por 5, por 7, .....por x (que supostamente seria o ltimo primo). Temos ento aqui duas possibilidades: ou M primo (e maior que x) ou composto e seus fatores primos so maiores que x. Em ambos os casos temos uma contradio com o fato de x ser o ltimo nmero primo, o que comprova a nossa hiptese.

Assim, de forma relativamente simples e bastante criativa, Euclides provou, por reduo ao absurdo, que o conjunto dos nmeros primos infinito.Para alunos do Ensino Fundamental ou Mdio, seria interessante completar a demonstrao com alguns exemplos:Para x = 7, teramos: M = 2 . 3. 5. 7 + 1 = 211 (primo)Para x = 11, teramos: M = 2 . 3. 5. 7 . 11 + 1 = 2311 (primo)Para x = 13, teramos: M = 2 . 3. 5. 7 . 11 . 13 + 1 = 30031 (composto).Veja, 59 x 509 = 30031.Com esses exemplos, o aluno perceberia que a expresso criada por Euclides pode gerar nmeros primos (maiores que x) ou nmeros compostos que possuem fatores primos tambm maiores que x.

2.3) Mtodo de Induo MatemticaNas cincias em geral bastante comum tirarmos concluses de carter mais geral a partir da observao de alguns casos particulares. Na matemtica esse tipo de induo se mostra falho e at perigoso. Podemos ter uma propriedade que vlida para diversos valores de uma varivel, mas que no vale para algum outro valor. Veja, por exemplo, a funo f(n) = n - n + 41, com domnio natural. Se calcularmos alguns valores numricos, teremos:f(0) = 41 (nmero primo); f(1) = 41 (primo); f(2) = 43 (primo); f(3) = 47 (primo); ....f(40) = 1601 (primo)Aqui algum poderia inferir que tal funo s gera nmeros primos, o que seria precipitado, pois f(41) = 412 que um nmero composto. Para evitar tal tipo de erro que usamos o mtodo da induo matemtica.

Se queremos demonstrar que uma determinada propriedade valida em algum subconjunto do conjunto dos nmeros naturais, podemos comear mostrando que a propriedade vlida para o primeiro elemento do conjunto. Em seguida admitimos que a regra vlida para um determinado valor n = k e, a partir desse fato, temos que mostrar que ser tambm vlida para o elemento k + 1. Logo, se vale para n = 1, valer para n = 2, se vale para n = 2, valer para n = 3....e assim sucessivamente, cobrindo todos os elementos do conjunto considerado.O Mtodo de Induo Matemtica um mtodo de demonstrao elaborado com base no Princpio de Induo Finita, freqentemente utilizado para provar que certas propriedades so verdadeiras para todos os nmeros naturais.

Podemos fazer uma analogia do princpio da induo com as peas enfileiradas de um domin. Se uma pea cai, a seguinte tambm cair. Como a primeira caiu, isso gera que todas as peas cairo.Exemplo 1:Prove que 1 + 3 + 5 + 7 + ...+ (2.n 1) = n2 Vale para n = 1, pois 1 = 12 Supondo que vale para n = k, vejamos se valeria para n = k + 11 + 3 + 5 + ...+ 2k 1 + (2.(k + 1) 1) = 1 + 3 + 5 + ...+ 2k 1 + + 2k + 2 1 = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 Logo, verificamos que a propriedade vlida para todos os nmeros naturais.

O teorema visto anteriormente era visto pelos Pitagricos como uma seqncia de quadrados. O nmero de pontos desses quadrados era a soma dos n primeiros nmeros naturais mpares. Veja na figura abaixo.Esses tipos de nmeros representados por formas geomtricas so denominados nmeros figurados.

Exemplo 2: Prove, por induo finita, que:SOLUO:1) Fazendo n = 1, teremos:2) Supondo vlido para n = k, teremos:

3) Temos agora que, usando o fato admitido no item anterior, provar que vale para n = k + 1.O que completa a demonstrao, ou seja, mostra que a propriedade vlida para n = k, tambm ser vlida para n = k + 1. Com j era vlida para n =1, podemos inferir que vlida para todos os nmeros naturais.

O que vimos no exemplo anterior garante que se uma propriedade atendida pelo princpio da induo para um subconjunto S, dos nmeros naturais, ser atendida para todo o conjunto N.

Exerccio Resolvido:1) Prove que, para todo a, real, e positivo e para todo n natural, temos:1) Vale para n = 0, ou seja, log 1 = 0 . log a = 0Supondo vlido para n = k, temos que verificar se a propriedade vlida para n = k + 1.O que mostra que a propriedade tambm vale para k + 1, logo, est provada.

2.4) Argumentaes e Provas no Ensino FundamentalNormalmente, quando se fala em demonstraes e provas, os alunos e professores so levados a pensar em Geometria. A Escola em geral vem abandonando as demonstraes e, quando o faz, preocupa-se apenas com os famosos teoremas de Geometria. Agora vamos apresentar algumas sugestes de atividades, que podem ser desenvolvidas partir da 4 srie do Ensino Fundamental, e que tm sido aplicadas com muito sucesso no desenvolvimento da capacidade de representao e demonstrao dos nossos alunos. Para algumas delas mostraremos os encaminhamentos e questes surgidas na sua aplicao em classes do Ensino Fundamental.

ATIVIDADE 1: CONTEDO ENVOLVIDO: Conceito e representao de nmero par.SRIES INDICADAS: A partir do 6 ano do Ensino Fundamental.A soma de dois nmeros pares um nmero par. Diga se esta afirmao verdadeira ou falsa, justificando.Normalmente todos os alunos acertam essa questo mas justificam atravs de alguns exemplos e com nmeros iguais, como: 6 + 6, 30 + 30, etc. Isso talvez se justifique pelo uso comum da palavra par em nosso cotidiano.Raramente algum aluno faz uma demonstrao mais rigorosa, envolvendo a representao algbrica de nmero par. Isso pode ser provocado pelos professores lembrando aos alunos que um nmero par igual ao produto de 2 por algum nmero natural.Demonstrao: 2k + 2k, k e k nmeros naturais.= 2.(k + k) e, como o conjunto dos naturais fechado para a adio, estamos diante de 2q, com q tambm natural, o que um nmero par.

ATIVIDADE 2: Como voc demonstraria, formalmente, que a soma de dois nmeros mpares um nmero par?Soluo: Um nmero mpar pode ser representado por 2k + 1 ou 2k 1, com k e k naturais, logo, a soma de dois mpares ser do tipo: 2k + 1 + 2k + 1, ou 2(k + k) + 2 ou ainda 2 q + 2 = 2.(q + 1) que um nmero par.ATIVIDADE 3: CONTEDO ENVOLVIDO: Conceito e representao de mltiplo de um nmero.SRIES INDICADAS: A partir do 6 ano do Ensino Fundamental.A soma de trs nmeros naturais consecutivos um mltiplo de trs. Diga se esta afirmao verdadeira ou falsa, justificando.Tambm nessa atividade o que ocorre normalmente que os alunos vo tentar fazer atravs de alguns exemplos particulares. Se a turma estiver sendo habituada representao algbrica, poder chegar demonstrao.

Soluo: Podemos representar trs nmeros naturais consecutivos por k 1, k e k + 1, com k natural e maior do que zero. A soma dos trs nmeros ser igual a 3k, o que um mltiplo de trs.Comentrio: comum nessa atividade os alunos usarem representaes do tipo 1x, 2x, 3x ou 3x, 4x, 5x e cabe alertar que, nesses casos, s formaro naturais consecutivos no caso particular de x ser igual a 1.ATIVIDADE 4: CONTEDO ENVOLVIDO: Mltiplos e Divisores de um natural.SRIES INDICADAS: A partir do 6 ano do Ensino Fundamental.Seja ABC um nmero natural de trs algarismos. Prove que a diferena ABC CBA, se A > C, sempre um mltiplo de 9 e tambm de 11.

Soluo: Para atividades desse tipo o aluno dever estar dominando a representao de um nmero natural no sistema de numerao decimal, ou seja, o nmero ABC igual a 100A + 10B + C. Logo, a subtrao proposta igual a:ABC CBA = (100A + 10B + C) (100C + 10B +A) = 99A 99C == 99. (A C) = 9 . 11. k (k natural), ou seja, sempre um resultado mltiplo de 9 e tambm de 11.

Exerccios Lista 1

Classifique as afirmaes abaixo em verdadeiras ou falsas. Para as falsas apresente um contra-exemplo e para as verdadeiras faa uma demonstrao.a) Se p e q so nmeros irracionais, ento p + q um nmero irracional.Soluo: Falsa, contra-exemplo: -e; +e, que so irracionais, mas a soma zero, um nmero racional.

b) Se p e q so nmeros irracionais, ento p.q um nmero irracional.Soluo: Falsa, contra-exemplo: 1/e; e, so irracionais, mas o produto igual a 1, que um nmero racional.

c) Se p racional e q irracional, ento p + q um nmero irracional.

Soluo: Verdadeira, vejamos a demonstrao por reduo ao absurdo:

p racionalq irracionalp + q = S racional

Se p + q = S, teremos que q = S p, o que um absurdo, j que q irracional e S e p so racionais.

O conjunto dos racionais fechado em relao subtrao.

2) Demonstre, por induo finita, que o produto de dois nmeros naturais consecutivos par.

Soluo:Hiptese: n . (n + 1) par.

1) Vale para n = 1, pois 1 x 2 = 2 ( par)2) Supondo que vale para n = k, teremos que k . (k + 1) par. Vamos verificar se vale para n = k + 1.

(k + 1). (k + 2) = (k + 1). k + (k + 1). 2

Logo, est provado o teorema.

3) Demonstre, por induo, que para todo natural n, temos que 11n 4n mltiplo de 7.

Soluo:Vejamos se vale para n = 0. 110 40 = 1 1 = 0, que divisvel por 7.Supondo vlido para n = k, teremos que 11k 4k mltiplo de 7.Vejamos agora se vlido para n = k + 1 11k + 1 4k + 1 = 11.11k 4.4k = 7.11k + 4.11k - 4. 4k = 7.11k + 4.(11k 4k)Como obtivemos uma soma de duas parcelas, ambas mltiplas de 7, temos que o resultado mltiplo de 7.Dessa forma, est provado por induo finita que a propriedade vlida para todos os nmeros naturais.

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