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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO

GRANDE DO SUL – UNIJUÍ

ODAIR MENUZZI

MODELAGEM MATEMÁTICA DA NÃO LINEARIDADE DE FOLGA

EM UMA TRANSMISSÃO MECÂNICA TIPO FUSO

Ijuí, RS – BRASIL.

2011

Dissertação apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em Modelagem Matemática da

Universidade Regional do Noroeste do Estado do

Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), como requisito

parcial para obtenção do título de Mestre em

Modelagem Matemática.

ODAIR MENUZZI

MODELAGEM MATEMÁTICA DA NÃO LINEARIDADE DE FOLGA EM UMA

TRANSMISSÃO MECÂNICA TIPO FUSO

Orientador: Doutor Antonio Carlos Valdiero

Ijuí, RS - BRASIL

2011

UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO

SUL

DeFEM - DEPARTAMENTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA

DeTec - DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA

MODELAGEM MATEMÁTICA DA NÃO LINEARIDADE DE FOLGA EM UMA

TRANSMISSÃO MECÂNCIA TIPO FUSO

Elaborada por

ODAIR MENUZZI

Como requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática

Comissão Examinadora

Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero – DETEC/UNIJUÍ (Orientador)

Prof. PhD. Wang Chong - UNIPAMPA

Prof. Dr Manuel Martín Pérez Reimbold – DETEC/UNIJUÍ

Ijuí, RS, 28 de Março de 2011.

AGRADECIMENTOS

A Deus.

A minha família, em especial meus pais, Vilson e Maria Lourdes, irmãos Eder e Cesar e a

cunhada Scheila pelo incentivo e apoio em todas as horas.

A Sandra Micheli, pela paciência e pelo amor a mim dedicados, e estar sempre ao meu lado.

Ao meu orientador Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero, pelos ensinamentos transmitidos, pela

seriedade e dedicação e pela amizade ao longo de todo o desenvolvimento das aulas e

orientações.

Aos meus professores e colegas do curso de Modelagem Matemática pela ajuda nos

momentos de necessidade e pela amizade. Também aos funcionários do DEFEM pelo carinho

e atenção dedicados.

Aos professores e bolsistas do Laboratório de Automação do campus Panambi em especial ao

Prof. Luis Antonio Rasia, pela receptividade e dedicação e ajuda nas atividades

experimentais, todos sempre prontos a ajudar.

Ao amigo e colega Eduardo Padoin pela convivência, companheirismo e pelas idéias trocadas,

pelas viagens a Panambi e congressos, estando sempre pronto.

A todos que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho.

Aos meus pais, Vilson e Maria Lourdes.

"A mente que se abre a uma nova

ideia jamais voltará ao seu tamanho

original".

(Albert Einstein)

RESUMO

Este trabalho trata do problema da modelagem matemática da não linearidade de folga

no acionamento com transmissão mecânica do tipo fuso, muito comum em juntas prismáticas

e utilizado na transformação do movimento angular em movimento linear. Tais juntas

prismáticas têm grande potencial de aplicações na robótica, como por exemplo, em robôs do

tipo Gantry. Além da modelagem matemática, realiza-se a identificação experimental dos

parâmetros do modelo proposto, a simulação computacional e propõe-se uma estratégia de

controle para compensação da não linearidade de folga. Um dos problemas que dificultam o

controle preciso dos movimentos de uma junta prismática é a não linearidade de folga no

acionamento, principalmente nas transmissões mais simples e baratas do tipo fuso roscado. A

modelagem matemática de sistemas mecânicos é importante no projeto de máquinas

industriais, pois é utilizada para fins de simulação, de projeto de controladores e no estudo do

comportamento das variáveis do sistema. A modelagem matemática dessa não linearidade da

folga e a utilização de técnicas de controle podem contribuir para resolver este problema,

sendo a base para estratégias de compensação de tais imperfeições. Para a descrição do

comportamento dinâmico do acionamento da junta prismática é utilizado um modelo

matemático não linear, que apresenta a combinação do modelo da dinâmica do fuso com a

dinâmica da massa e inclui a não linearidade da folga entre as duas dinâmicas. Foi montada

uma bancada experimental para testes do acionamento da transmissão mecânica do tipo fuso e

desenvolvida uma metodologia para identificação experimental dos parâmetros da não-

linearidade de folga. Os resultados obtidos nas simulações computacionais ilustram as

características do modelo proposto. Pretende-se assim contribuir para a melhoria do

desempenho e precisão de robôs de baixo custo.

ABSTRACT

This paper adresses the problem of backlash nonlinearity mathematical modeling in

driven with mechanical transmission type power screws, very common in prismatic joints

used in the angle to linear motion transformation. Such prismatic joints have big powerful of

applications in robotics, as for example the Gantry type robots. Besides the mathematical

model, carried out the parameters experimental identification, the simulation and proposes a

control strategy to compensate for the backlash nonlinearity. A problems that make dificult

the precise control of motion of a prismatic joint is the nonlinearity of baclash in driven,

mainly in the transmissions more simple and cheapest as type power screws. The

mathematical modeling of mechanical systems is important in the design of industrial

machinery, because it is used for simulation , of the controller design and in the study of the

behavior of the system variables. The mathematical modeling of backlash nonlinearity and a

use of control techniques can to contribute to solve this problem, being the basis for strategies

to compensate of such imperfections. For the describe the dynamic behavior of the driven of

the joint prismatic is used a mathematical model not linear, that presents a combination of the

model of the dynamics of the power screws with a dynamics of the mass, and includes

backlash nonlinearity of the between the two dynamics. Was set a experimental bench of the

driven by power screw and developed a experimental methodology to identify the parameters

of the backlash nonlinearity. The results obtain in the simulation computational illustrate the

characteristics of the proposed model. We intend so contribute to improving the performance

and accuracy of low cost robots.

SUMÁRIO

RESUMO ................................................................................................................................... 7

ABSTRACT ............................................................................................................................... 8

LISTA DE FIGURAS .............................................................................................................. 11

LISTA DE TABELAS ............................................................................................................. 15

LISTA DE SÍMBOLOS ........................................................................................................... 16

1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 19

1.1 Generalidades ............................................................................................................. 19

1.2 Descrição de uma Junta Prismática e Aplicações ...................................................... 21

1.3 Revisão Bibliográfica Relacionada à não Linearidade de Folga ................................ 24

1.4 Objetivos, Metodologia e Organização do Trabalho .................................................. 26

2 MODELAGEM MATEMÁTICA ................................................................................... 28

2.1 Introdução ................................................................................................................... 28

2.2 Modelo Matemático da Dinâmica de uma Junta Prismática Tipo Fuso ..................... 29

2.3 Modelo Matemático da não Linearidade de Folga ..................................................... 33

2.4 Modelo Matemático da Inversa da não Linearidade de Folga ................................... 35

2.5 Modelo Dinâmico de uma Junta Prismática em Espaço de Estados Incluindo a Folga .

.................................................................................................................................... 36

2.6 Discussões .................................................................................................................. 37

3 IDENTIFICAÇÃO EXPERIMENTAL DAS CARACTERÍSTICAS DA NÃO

LINEARIDADE DE FOLGA .................................................................................................. 38

3.1 Introdução ................................................................................................................... 38

3.2 Descrição da Bancada Experimental .......................................................................... 38

3.3 Metodologia de Identificação Experimental da Não Linearidade de Folga ............... 43

3.4 Discussões .................................................................................................................. 46

4 RESULTADOS ............................................................................................................... 47

4.1 Introdução ................................................................................................................... 47

4.2 Resultados dos Testes Experimentais de Validação do Modelo de Folga ................. 49

4.3 Resultados de Simulação Computacional do Modelo da Junta Prismática em Malha

Aberta .................................................................................................................................... 51

4.4 Trajetórias Desejadas ................................................................................................. 55

4.5 Descrição dos Controles Clássicos (P, PD, PI, PID) .................................................. 58

4.6 Resultados de Simulação do Controle Proporcional com Trajetória Senoidal .......... 61

4.7 Estratégia Proposta para Compensação da Folga Utilizando a Inversa ..................... 68

4.8 Resultados de Simulação Computacional com Trajetória Polinomial ....................... 73

4.9 Discussões .................................................................................................................. 80

5 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS .......................................................... 82

REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 83

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 - Manipulador robótico Gantry (PAATZ, 2008). .................................................... 23

Figura 1.2 – Transmissão tipo fuso utilizada no acionamento de juntas prismáticas em

manipuladores robóticos. .......................................................................................................... 23

Figura 1.3 – Acionamento tipo fuso de uma junta prismática do robô. ................................... 24

Figura 2.1- Esquema do conjunto fuso e porca considerado na modelagem matemática. ....... 29

Figura 2.2. Desenho esquemático com a representação dos torques atuantes no fuso. ........... 30

Figura 2.3 – Forças atuantes na dinâmica porca-massa............................................................ 31

Figura 2.4. Não linearidade de folga: a) Desenho esquemático e b) Representação gráfica do

modelo proposto. ...................................................................................................................... 34

Figura 2.5 - Representação gráfica do modelo proposto para a inversa da folga ..................... 35

Figura 3.1 – Foto da bancada experimental para testes do acionamento com transmissão

mecânica do tipo fuso. .............................................................................................................. 39

Figura 3.2 - Microcomputador com placa de aquisição de sinais dSPACE. ............................ 40

Figura 3.3 – Transdutor de deslocamento linear BALLUFF. .................................................. 41

Figura 3.4 – Posicionador, braçadeira e suporte, partes do transdutor de deslocamento linear42

Figura 3. 5 – Foto do encoder incremental 1000 ppr (pulsos por rotação)............................... 42

Figura 3.6 - Especificações do fuso roscado. ........................................................................... 43

Figura 3.7 - Foto da bancada em funcionamento. .................................................................... 44

Figura 3.8 - Teste realizado e a aquisição de sinais................................................................ 465

Figura 3.9 - Gráficos comparativos das saídas com folga e sem folga (caso ideal) no fuso. ... 46

Figura 4.1 - Sistema de controle em malha aberta ................................................................... 47

Figura 4.2 – Sistema de controle em malha fechada. ............................................................... 48

Figura 4.3 - Diagrama de blocos utilizado na simulação computacional do modelo matemática

da folga. .................................................................................................................................... 49

Figura 4.4 - Validação experimental do modelo matemático da não linearidade de folga. ..... 50

12

Figura 4.5 - Diagrama de blocos do modelo matemático da não linearidade de folga para uma

transmissão tipo fuso. ............................................................................................................... 51

Figura 4.6 – Resultado de simulação computacional do modelo da folga. .............................. 52

Figura 4.7 – Diagrama de blocos do modelo dinâmico de uma junta prismática de um robô

Gantry com a não linearidade de folga ..................................................................................... 53

Figura 4.8 – Diagrama de blocos da dinâmica do fuso. ........................................................... 54

Figura 4.9 – Diagrama de blocos da dinâmica da massa. ......................................................... 54

Figura 4.10 – Resultado de simulação computacional do modelo matemático da junta

prismática do robô Gantry incluindo-se a não linearidade de folga. ........................................ 55

Figura 4.11 – Trajetória desejada senoidal, com período de 6 segundos. ................................ 56

Figura 4.12 – Trajetória desejada polinomial. .......................................................................... 58

Figura 4.13 – Diagrama de blocos utilizado na implementação do controle proporcional antes

da folga. .................................................................................................................................... 60

Figura 4.14 – Diagrama de blocos utilizado na implementação do controle proporcional

depois da folga. ......................................................................................................................... 61

Figura 4.15 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada

(rad) e (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros). ................. 62


(rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (c) torque do

motor (rad) e (d) erro entre posição medida e posição desejada (metros). ............................... 63


(rad) e (b) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros). ............... 64


(rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (c) erro

entre posição medida e posição desejada (metros). .................................................................. 64


(rad) e (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros) e (c)

trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros). ................................ 65



trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros). ................................ 66


(rad) e (b) erro da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros) e (c)

erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros). .................... 66

13


(rad) e (b) torque da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (N/m) e (c)

torque da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (N/m). .................... 67

Figura 4.23 - Diagrama de blocos utilizado na implementação do controle proposto ............. 68

Figura 4.24 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória

desejada, (b) trajetória realizada com o uso da inversa da folga. ............................................. 69


desejada, (b) trajetória realizada com o uso da inversa da folga e (c) erro entre posição medida

e posição desejada. ................................................................................................................... 70


(rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (c) trajetória

realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d) trajetória realizada com o

uso da inversa da folga (metros). .............................................................................................. 71

Figura 4.27 – Gráfico ampliado do comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a)

trajetória desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga

(metros), (c) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d)

trajetória realizada com o uso da inversa da folga (metros). .................................................... 71


(rad), (b) erro da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (c)

erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d) erro da

trajetória com o uso da inversa (metros). ................................................................................. 72

Figura 4.29 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) erro da trajetória

realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (b) erro da trajetória realizada

com controle proporcional depois da folga (metros) e (c) erro da trajetória com o uso da

inversa (metros). ....................................................................................................................... 73

Figura 4.30 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) trajetória

desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros). .... 74


desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros). .. 75


desejada (rad), (b) trajetória com o uso da inversa (metros). ................................................... 76


desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (c)

14

trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d) trajetória

realizada com o uso da inversa (metros). ................................................................................. 77

Figura 4.34 – Gráfico ampliado do comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a)



trajetória com o uso da inversa (metros). ................................................................................. 78


desejada (rad), (b) erro da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga

(metros), (c) erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e

(d) erro da trajetória realizada com o uso da inversa da folga (metros). .................................. 79

Figura 4.36 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) erro da

trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (b) erro da trajetória

realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (c) erro da trajetória realizada

com o uso da inversa da folga (metros). ................................................................................... 80

15

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 - Descrição dos parâmetros e das variáveis do modelo do eixo-fuso ..................... 31

Tabela 2.2 - Descrição dos parâmetros e das variáveis do modelo da porca-massa ................ 32

Tabela 2.3 – Variáveis para o Modelo da Folga. ...................................................................... 35

Tabela 3.1 - Principais componentes da bancada experimental. .............................................. 41

Tabela 3.2 – Especificações técnicas do encoder incremental. ................................................ 42

Tabela 4.1 - Parâmetros do modelo do sistema com folga. ...................................................... 50

Tabela 4.2- Parâmetros do Robô Gantry considerando o movimento de uma junta prismática. .

......................................................................................................................................... 53

LISTA DE SÍMBOLOS

Alfabeto Latino

0a Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada

polinomial

1a Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória polinomial dos

testes experimentais


polinomial


polinomial


polinomial


polinomial


polinomial


polinomial

Bo Coeficiente de atrito viscoso do eixo do Motor [ mNs / ]

By Coeficiente do Atrito Viscoso da Massa [N.m]

cl Posição inicial lado Esquerdo [rad]

17

cr Posição inicial lado Direito [rad]

pD Distância percorrida sobre a trajetória polinomial [ m ]

e Erro atuante

Fu Força de Reação da Massa Mola Deslocada

J Momento de Inércia do Eixo Motor

m Relação de transmissão

M Massa do fuso [ kg ]

p Passo do fuso

dk Ganho derivativo

ik Ganho integral

pk Ganho do controlador proporcional

ptk Ganho do controlador proporcional antes da folga

yk Ganho do controlador proporcional depois da folga

inP Posição inicial do atuador [ m ]

t Variável tempo [ s ]

TTatr , Força de atrito [N.m]

pt Tempo de deslocamento da trajetória polinomial [ s ]

mT Torque no fuso [N.m]

st Período da trajetória senoidal [ s ]

u Sinal de controle do sistema [V ]

vr e vl Eixos de Projeções

x1, x2, x3 e

x4

Variáveis em espaço de estado

y Deslocamento linear da junta prismática [ m ]

18

dsy Vetor função da trajetória do sistema

Alfabeto Grego

θm

Deslocamento Angular [rad]

Símbolos

(~) Erro ou diferença

(.) Derivada primeira

(..) Derivada segunda

(...) Derivada terceira

1 INTRODUÇÃO

1.1 Generalidades

Este trabalho trata do problema da modelagem matemática da não linearidade de folga

(backlash) de transmissões mecânicas do tipo fuso, tipicamente utilizada em manipuladores

robóticos de estrutura tipo Gantry de baixo custo e em outras aplicações no projeto de

máquinas. O tema está relacionado com a linha de pesquisa de modelagem matemática de

sistemas não lineares e controle de sistemas dinâmicos.

Neste capítulo, procura-se definir alguns termos e conceitos específicos do trabalho,

justificar a importância da modelagem da não linearidade de folga nos sistemas mecânicos,

sua compensação via estratégias de controle para melhorar a precisão da resposta do sistema,

e também ressaltar um breve resumo histórico da utilização da robótica que é potencial área

de aplicação da pesquisa, além de mencionar os objetivos e as propostas de contribuições

desta dissertação.

O termo robô foi originalmente utilizado em 1920 pelo dramaturgo tcheco Karel Capek,

na peça teatral “Os Robôs Universais de Russum (R.U.R.)” como referência a um autômato

que acaba rebelando-se contra o ser humano. Robô deriva da palavra "robota" de origem

eslava, que significa "trabalho forçado". O termo robótica foi criado por Asimov para

designar a ciência que se dedica ao estudo dos robôs e que se fundamenta pela observação de

três leis básicas (SCHIAVICCO e SICILIANO, 1995):

1ª. Um robô não pode fazer mal a um ser humano e nem consentir, permanecendo inoperante,

que um ser humano se exponha a situação de perigo;

2ª. Um robô deve obedecer sempre às ordens de seres humanos, exceto em circunstâncias em

que estas ordens entrem em conflito com a primeira lei;

20

3ª. Um robô deve proteger a sua própria existência, exceto em circunstâncias que entrem em

conflito com a primeira e segunda leis.

A partir da Revolução Industrial ou mais recentemente em meados da década de 70 o

uso de robôs industriais tornou-se aceitável, principalmente na indústria de engenharia

mecânica, elétrica e automobilística, devido ao avanço tecnológico e a busca pela

minimização dos custos de produção através da adoção de modelos de produção, no qual os

robôs industriais têm sido muito utilizados nos processos de automação (GOMES 2000).

Um robô é um manipulador controlado automaticamente, programável para realizar

tarefas de forma automática. Estas tarefas geralmente insalubres, perigosas e/ou que exigem

grande esforço, ou também que necessitam de controle de precisão. De maneira geral um robô

tem grande potencial de utilização nas indústrias, como por exemplo, no setor metal

mecânico, nos transportes, na siderurgia, na agricultura de precisão, entre outros. E tem como

aplicação específica a solda, a pintura, empacotamento, corte, transporte de materiais, etc.

Valdiero (2005).

O uso de alta tecnologia advinda do avanço da Revolução Industrial trouxe muitos

benefícios, como reduzir custos dos produtos fabricados, através de diminuição do número de

pessoas envolvidas, aumento produtividade, melhor utilização de matéria-prima, aumento da

competitividade, melhor condições de trabalho do ser humano, por meio da eliminação de

atividades perigosas ou insalubres, controle eficaz de processos, entre outros (GOMES 2000).

Contudo o alto custo destes equipamentos impede que empresas de pequeno e médio

porte consigam competir em um mercado cada vez mais competitivo. Diante disso a busca por

tecnologias de construção de máquinas mais baratas com a mesma potencialidade é

fundamental para a manutenção dessas empresas.

Um dos problemas que dificultam o controle preciso dos movimentos de um robô

Gantry de baixo custo com transmissão do tipo fuso é a não linearidade de folga,

principalmente com estas transmissões mais simples e baratas. Conforme Valdiero (2005) as

não linearidades são um empecilho para o controle dos sistemas mecânicos, pois trazem

limitações no desempenho de tarefas que necessitam de precisão. Portanto precisam ser

previstas ou compensadas adequadamente para reduzir seus efeitos, sendo o principal foco de

estudo desta dissertação.

Na próxima seção, descreve-se de forma breve a transmissão mecânica considerada

nesta dissertação e com aplicação no acionamento de manipuladores robóticos de estrutura

cinemática do tipo Gantry. Na seção 1.3 realiza-se a revisão bibliográfica abordando autores

21

que pesquisaram a não linearidade da folga. Por fim na seção 1.4 trata dos objetivos, da

metodologia e da organização do trabalho.

1.2 Descrição de uma Junta Prismática e Aplicações

Um robô manipulador industrial se caracteriza pela integração de alguns componentes,

dentre eles o mecanismo (elos, juntas, efetuador ou garra); o acionamento (atuadores e

transmissões) que são responsáveis pela aplicação de torques e forças no mecanismo; e o

sistema de controle (hardware, software, sensores, unidades de controle).

Os elos constituem as partes rígidas de um robô, as quais se assemelham à anatomia do

braço de uma pessoa. As juntas são as partes responsáveis por uma conexão móvel entre dois

elos de um manipulador robótico. Os principais tipos de juntas encontrados em robôs

industriais são:

• Juntas prismáticas: movem-se em linha reta sem girar. São compostas de duas hastes

que deslizam entre si de forma telescópica.

• Juntas rotativas (ou de revolução): giram em torno de uma linha imaginária

estacionária chamada eixo de rotação. Elas giram como uma cadeira giratória e abrem e

fecham como uma dobradiça.

Outros tipos de juntas funcionam basicamente como a combinação de juntas rotativas

e/ou prismáticas.

A escolha da transmissão depende da potência, do tipo de movimento do robô, são

características importantes a rigidez, eficiência e custo. Dentre os componentes de

transmissão mais utilizados tem-se as engrenagens (dentes retos, helicoidais, cremalheira e

pinhão, cônicas), fusos, correias e polias dentadas, correntes, cabos, fitas de aço, engrenagens

planetárias e harmônicas.

O acionamento é responsável pela aplicação de torques e/ou forças nos elos do

mecanismo, causando-lhes o movimento necessário para realização da tarefa programada. Os

acionamentos podem ser elétricos, hidráulicos ou pneumáticos, cujas principais características

são:

• Atuador Elétrico: São os atuadores mais utilizados, geralmente motores de corrente

continua e para robôs pequenos e baratos motores de passo.

• Atuador Hidráulico: Se caracteriza pela grande capacidade de força e alta razão de

potência por peso ou por tamanho.

22

• Atuador Pneumático: São usados em manipuladores simples e realizam movimentos

não controlados dentro dos dispositivos mecânicos limitados de curso.

Atualmente há duas formas de acionamento das juntas de robôs industriais. Uma é o

acionamento direto (direct-drive), onde o motor é montado diretamente no eixo da junta e que

de acordo com Turner et al. (2001) não é o ideal para motores elétricos, pois a ausência de

uma relação de redução do movimento leva à necessidade de motores elétricos especiais com

menor rotação e maior torque, além de sujeitá-lo aos efeitos dinâmicos do acoplamento. A

outra forma de acionamento, que é a mais tradicional e simples, é a utilização de transmissões

por engrenagens entre os motores e as juntas, as quais possuem como vantagens a menor

carga no motor, maiores rotações no motor e a facilidade de seu posicionamento no braço do

robô. A desvantagem deste tipo de acionamento é a presença de atrito e a folga nas

transmissões de engrenagens.

De acordo com Ross et al. (2006), na seleção ótima de uma transmissão por

engrenagens para aplicações em mecatrônica, a escolha do tipo depende de muitos fatores,

onde os mais importantes são velocidade de entrada, folga, eficiência e custo. Em geral a

transmissão de custo menor tem a maior folga, então ou se aumenta o custo ou se compensa a

não linearidade de folga no esquema de controle. O importante é se chegar a uma solução de

compromisso (trade-off), equilibrando os custos de fabricação e os custos de implementação

de controle com compensação das não linearidades.

Sensores são dispositivos cuja finalidade é obter informações sobre o ambiente em que

se encontram, e são utilizados como componentes do sistema de controle de realimentação do

robô.

Conforme PAATZ (2009) o manipulador robótico de estrutura cinemática tipo Gantry,

cujo desenho característico é mostrado na Figura 1.1 é considerado o tipo de manipulador

mais robusto. Tem a cinemática mais simples entre os tipos comuns de robôs industriais por

utilizar três juntas prismáticas (J1, J2 e J3) com eixos perpendiculares e, em alguns casos,

uma junta rotativa (J4) para a orientação do efetuador final (garra robótica ou ferramenta),

resultando num movimento composto de três translações, cujos eixos de movimento são

coincidentes com um sistema de coordenadas de referência cartesiano. O volume de trabalho

gerado é retangular.

Tais robôs têm grande potencial de aplicação nas indústrias do setor metal mecânico,

principalmente devido à sua estrutura rígida, seu amplo espaço de trabalho em mesas e a

facilidade de programação proveniente do desacoplamento dinâmico entre o movimento de

seus elos.

23

Figura 1.1 - Manipulador robótico Gantry (PAATZ, 2008).

Um tipo de transmissão muito utilizada em juntas prismáticas é o conjunto de fuso e

porca (ou também chamado parafuso de potência), mostrado na Figura 1.2. Este tipo de

transmissão apresenta alta capacidade de carga, sendo comum em manipuladores robóticos do

tipo Gantry e é o objeto de estudo da não linearidade de folga neste trabalho. As transmissões

de um robô têm papel muito importante na precisão de posicionamento do manipulador,

muitas vezes é preciso reduzir ou amplificar o movimento nos atuadores, visando-se obter a

resposta desejada e requerida na realização das tarefas programadas. A transmissão mecânica

tipo fuso utilizada neste trabalho tem rosca de perfil quadrada e, conforme ilustrado na Figura

1.3 transforma movimento angular para movimento linear.

Figura 1.2 – Transmissão tipo fuso utilizada no acionamento de juntas prismáticas em

manipuladores robóticos.

24

Existem diversas características não lineares na dinâmica desses sistemas de

transmissão mecânica que dificultam o controle preciso e prejudicam seu desempenho, entre

as quais destacam-se o atrito dinâmico e a não linearidade de folga.

A Figura 1.3 mostra um desenho esquemático do acionamento de uma junta prismática.

O motor elétrico (1) aplica um torque Tm no fuso (2) resultando num deslocamento angular

θm, medido por um encoder incremental (3). Ao girar o fuso o movimento de rotação do

mesmo se converte no deslocamento linear y de uma massa M.

Figura 1.3 – Acionamento tipo fuso de uma junta prismática do robô.

1.3 Revisão Bibliográfica Relacionada à não Linearidade de Folga

O uso da modelagem matemática consiste em transformar problemas da realidade em

problemas matemáticos aos quais é dada uma interpretação e/ou solução. Contudo não é fácil

formular estes modelos. Diante disso uma boa revisão bibliográfica é importante, pois analisa

o que está sendo estudado e trabalhado sobre o mesmo tema, para ter-se então embasamento

em formulações existentes.

Em vista disso busca-se o que se trabalhou sobre modelagem matemática da não

linearidade da folga (backlash) em transmissões mecânicas do tipo fuso (parafuso de

potência), comuns no acionamento das juntas prismáticas de robôs Gantry (HUNT, 1983;

SCIAVICCO & SICILIANO, 1996; CUPIDO et al., 1996, PAATZ, 2008).

Alguns trabalhos trataram de não linearidades presentes em sistemas mecânicos, tais

como a zona morta em Bavaresco (2007), a dinâmica do atrito em Miotto (2008), a dinâmica

da vazão mássica de servoválvulas pneumáticas em orifícios (ENDLER, 2009), e a

combinação dessas não linearidades em Ritter (2009), com aplicações em mecanização

25

agrícola e robótica. Esta dissertação também está focada na modelagem matemática de não

linearidades de sistemas mecânicos, avançando no estudo da não linearidade de folga na

dinâmica de acionamento de juntas com transmissões mecânicas tipo fuso de um robô

manipulador de estrutura cinemática tipo Gantry.

Valdiero (2005) aponta a importância do estudo das não linearidades dos sistemas

mecânicos, os quais causam limitações no desempenho do controle preciso, destacando-se a

zona morta, o atrito, histerese e a folga (backlash). Dentro deste contexto, vários trabalhos

(NORDIN & GUTMAN, 2002; DONG & TAN, 2009; VORÖS, 2009; HÄGGLUND, 2007)

têm tratado da modelagem, identificação e compensação da não linearidade de folga. Nordin e

Gutman (2002) comentam que a folga é uma das mais importantes não linearidades que

limitam o desempenho do controle de posição e velocidade em aplicações industriais e de

robótica. A revisão bibliográfica realizada por estes autores indica que ainda há muita

pesquisa a ser feita para síntese e análise da compensação de folga no controle de sistemas

mecânicos.

Vörös (2009) apresenta uma nova forma analítica de descrição do modelo matemático

da não linearidade de folga que utiliza funções de chaveamento e mostra resultados de

simulação computacional da identificação dos parâmetros.

Hägglund (2007) descreve um novo método para detecção e estimativa da não

linearidade de folga em válvulas de controle que sofreram desgaste. Ele utiliza como modelo

a função descritiva da folga e comenta que a facilidade de compensação desta não linearidade

depende de sua inversa.

Selmic e Lewis (2001) apresentam um esquema de compensação para folgas com

inversão da dinâmica utilizando a técnica do backstepping com redes neurais. Um modelo

geral da folga é usado e permite assimetria.

Cazarez-Castro et al. (2009) apresenta uma combinação de lógica fuzzy e algoritmos

genéticos na busca de resolver o problema de regulação da saída de servomecanismos com

não linearidade de folga. Os dados para simulação foram obtidos a partir de uma bancada

experimental de testes que envolve um motor DC ligado a uma carga mecânica por meio de

uma transmissão por trem de engrenagens com folga.

Giri et al. (2008) apresenta proposições para a identificação de sistemas lineares com a

presença da não linearidade de folga a partir da parametrização apropriada do sistema, a

estimativa dos parâmetros pela técnica dos mínimos quadrados e a especificação de padrões

de sinais de entrada.

26

Shahnazi et al. (2009) propõe um controlador adaptativo combinado com lógica fuzzy

para melhorar a robustez do controle feedback de sistemas com a presença de não linearidades

tais como sistemas mecânicos com folga no acionamento.

Da mesma forma que Morales-Velazquez et al. (2009) propõe melhorias do controle de

máquinas ferramenta com controle numérico computadorizado (CNC) utilizando plataformas

de baixo custo e a identificação dos parâmetros do modelo do servo sistema, o propósito deste

trabalho é apresentar uma proposta prática de modelagem e identificação dos parâmetros de

folga em transmissões mecânicas do tipo fuso (parafuso de potência) para futura aplicação no

controle e compensação de robôs Gantry.

O modelo para a não linearidade da folga adotado como base nesta dissertação é

baseado no modelo proposto por Tao e Kokotovic (1996).

1.4 Objetivos, Metodologia e Organização do Trabalho

Esta dissertação tem como objetivo desenvolver um modelo matemático das

características não lineares de um manipulador robótico tipo Gantry, que possibilite o estudo

do comportamento da folga com resultados teóricos e experimentais e também a

implementação da compensação desta não linearidade no controle. Neste sentido, podem-se

destacar os seguintes objetivos específicos:

Identificação da característica não linear da força em transmissões mecânicas do tipo

fuso importantes em um manipulador robótico do tipo Gantry de baixo custo;

Proposição de modelos matemáticos modificados para o acionamento por fuso de uma

junta do robô Gantry e sua simulação computacional aplicada a problemas de engenharia;

Validação experimental da modelagem matemática numa bancada com acionamento

por transmissão mecânica do tipo fuso de rosca quadrada.

Para tanto pretende-se a partir da construção da bancada experimental, identificar os

parâmetros da folga e realizar a simulação computacional do modelo dinâmico de uma junta

prismática com tal transmissão. Por fim, comparar os resultados dos testes experimentais com

os resultados obtidos nas simulações computacionais.

A metodologia utilizada no desenvolvimento deste trabalho ocorre com a revisão

bibliográfica pertinente ao tema. Seguida da formulação do modelo matemático para o

sistema mecânico e para a não linearidade da folga. Busca-se desenvolver uma metodologia

de identificação de parâmetros por meio de testes experimentais e para validação do modelo

27

comparam-se testes experimentais com as simulações computacionais utilizando o software

Matlab/Simulink.

Foi utilizada a infra-estrutura e os componentes disponíveis na UNIJUÍ dos Campi Ijuí e

Panambi (Laboratório de Informática, Biblioteca, Laboratório de Robótica, Núcleo de

Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas - NIMASS).

Este trabalho está organizado em 5 capítulos. O primeiro capítulo trata da revisão

bibliográfica do tema, a descrição de uma junta prismática tipo fuso e aplicações em robôs

Gantry, os objetivos, a metodologia proposta e a organização do trabalho. O capítulo 2

apresenta a modelagem matemática do sistema mecânico, bem como, a modelagem da não

linearidade da folga e sua inversa. A metodologia de identificação experimental dos

parâmetros da folga está apresentada no capítulo 3. O capítulo 4 aponta os resultados

experimentais, os resultados em malha aberta e em malha fechada, além de uma proposta de

estratégia de compensação da não linearidade de folga para aplicação no controle preciso de

juntas de manipuladores robóticos. Por fim, o capítulo 5 apresenta as conclusões e sugestões

para continuidade do trabalho.

2 MODELAGEM MATEMÁTICA

2.1 Introdução

Neste capítulo apresenta-se a modelagem matemática de transmissões mecânicas do tipo

fuso, muito comum nas juntas prismáticas de um manipulador robótico tipo Gantry e de

outros equipamentos tais como máquinas-ferramenta, considerando a não linearidade de

folga. A partir da combinação das diferentes dinâmicas presentes neste sistema mecânico,

dinâmica do fuso (parafuso de potência), dinâmica da massa deslocada (porca), acoplados

pelo modelo da não linearidade de folga que ocorre entre estas duas dinâmicas, obtém-se um

sistema de duas equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem cada uma. Além disso,

apresenta-se a modelagem da inversa da não linearidade de folga e a representação do modelo

proposto na forma de variáveis de estado.

A modelagem matemática é acima de tudo uma perspectiva, algo a ser explorado,

surge da necessidade do homem em compreender os fenômenos que o cercam para interferir

ou não em seu processo de construção.

A modelagem matemática é muito importante para fins de simulação e análise do

comportamento do sistema. As simulações ou respostas obtidas através desse modelo

permitem prever algum problema no comportamento da resposta do sistema dinâmico, como

por exemplo no caso de um manipulador tipo Gantry e também na busca por estratégias de

controle. Após o desenvolvimento do modelo, é parte importante a validação experimental

com a identificação dos parâmetros do sistema.

Na figura 2.1 apresenta-se um desenho esquemático do problema considerado na

modelagem matemática.

29

Figura 2.1- Esquema do conjunto fuso e porca considerado na modelagem matemática.

Tem-se como hipóteses simplificadoras na modelagem matemática deste sistema

dinâmico que:

• A folga (backlash) é considerada constante em toda extensão do fuso, podendo ser

resultado de imperfeições na fabricação e/ou na montagem da transmissão, e não se

considera a folga devido ao desgaste durante o uso do sistema;

• Atrito considerado é viscoso (amortecimento do sistema) e ocorre durante o

deslocamento angular do eixo e também no movimento linear da massa deslocada

(não se incorporam devido à folga);

• Não será considerado o Atrito Dinâmico;

• Os elementos da transmissão (fuso e porca) são corpos rígidos; (despreza-se a

elasticidade);

A seção 2.2 apresenta a modelagem matemática para as dinâmicas do movimento

angular do fuso e da massa deslocada (porca) de uma junta prismática, a seção 2.3 trata da

modelagem da não linearidade de folga a partir de um modelo proposto por Tao e Kokotovic

(1996). Na seção 2.4 tem-se o modelo da inversa da folga, na seção 2.5 o modelo dinâmico

completo da junta prismática incluindo a não linearidade de folga e na forma de variáveis de

estado e, por fim, na seção 2.6 esboçam-se algumas discussões acerca do capítulo.

2.2 Modelo Matemático da Dinâmica de uma Junta Prismática Tipo Fuso

A formulação do modelo matemático de uma junta prismática do tipo fuso de um robô

Gantry pode ser obtida pelo método Newton-Euler a partir do equilíbrio dinâmico nos

30

diagramas de corpo livre do eixo-fuso e da porca-massa deslocada. A Figura 2.2 mostra o

diagrama de corpo livre do eixo-fuso.

Os torques atuantes no fuso estão representadas na Figura 2.2.

Figura 2.2. Desenho esquemático com a representação dos torques atuantes no fuso.

Pela aplicação da lei do equilíbrio dinâmico, dada pela Equação (2.1), obtém-se as

relações matemáticas utilizadas na modelagem matemática.

∑ (2.1)

Conforme a Figura 2.2, tem-se um torque Tm, que é o torque do motor, aplicado ao fuso

e dois torques contrários de resistência Tatr, e T=

, e o deslocamento angular resultante ,

que é a saída, ou ângulo de giro do fuso.

Considerando o somatório da Equação (2.1) tem-se:

(2.2)

Isolando o torque obtém-se a Equação (2.3)

(2.3)

onde as variáveis estão descritas na Tabela 2.1, junto com as suas unidades de medida.

31

Tabela 2.1 - Descrição dos parâmetros e das variáveis do modelo do eixo-fuso.

Variável Descrição Unidade

Torque no Motor N.m

J Momento de Inércia do Eixo Motor kg.m2

Coeficiente de Atrito Viscoso do eixo do Motor N.m.s

Força de Reação da Massa Mola Deslocada N.m

Passo do Fuso m/rad

Ângulo de Giro do Fuso rad

O torque devido à força de reação da massa deslocada sobre o fuso é dado por:

(2.4)

Da mesma forma que foi formulado o modelo matemático para o eixo-fuso, pode-se

deduzir as equações da dinâmica do movimento linear da massa representada na Figura 2.3.

Figura 2.3 – Forças atuantes na dinâmica porca-massa.

32

Pela aplicação da lei do equilíbrio dinâmico, Equação (2.5), e considerando o somatório

das forças atuantes na massa, obtém-se a Equação (2.6).

∑ (2.5)

(2.6)

Isolando a força de reação (Fu) aplicada à massa pelo fuso, encontra-se a Equação (2.7)

(2.7)

onde os parâmetros e as variáveis são descritas na Tabela 2.2, junto as suas unidades de

medida.

Tabela 2.2 - Descrição dos parâmetros e das variáveis do modelo da porca-massa.


M Massa kg

By Coeficiente do Atrito Viscoso da Massa N.m

Fu Força de Reação da Massa Mola Deslocada N.m

Deslocamento Linear da Junta Prismática m

Se não houvesse a imperfeição da não linearidade de folga no sistema dinâmico, a

relação entre o deslocamento linear da junta prismática e o giro do fuso (eixo motor), poderia

ser escrita como:

(2.8)

Considerando o caso de não haver folga, pode-se substituir as derivadas da Equação

(2.8) em (2.7) e combinar este resultado com a Equação (2.3), resultando numa única equação

diferencial ordinária de segunda dada por:

(2.9)

33

Colocando-se e em evidência tem-se a Equação (2.10).

(

)

(

)

(2.10)

Considerando a não linearidade de folga no sistema, pode-se definir o modelo como o

conjunto de equações 2.3 e 2.7, ou seja, a dinâmica do fuso e a dinâmica da massa, onde falta

a relação do deslocamento angular do fuso com o deslocamento linear da massa deslocada,

cujo modelo será tratado na próxima seção.

(2.3)

(2.7)

2.3 Modelo Matemático da não Linearidade de Folga

Uma das não linearidades que limitam o desempenho dos sistemas de controle em

diversas aplicações mecânicas é a folga. Alguns modelos e métodos matemáticos vêm sendo

descritos com relação a essa não linearidade que, conforme Nordin (2002) está presente em

cada sistema mecânico em que um membro de condução (motor) não está diretamente ligado

com o membro acionado (carga).

Entretanto devido à existência da não linearidade de folga, cada uma das equações

diferenciais de segunda ordem, Equações (2.3) e (2.7), não podem ser combinadas e necessita-

se de uma relação matemática que represente a relação entre o deslocamento linear da junta, y,

em função do deslocamento angular do motor, θm, na presença da folga. A partir de uma

revisão bibliográfica na literatura recente que trata da não linearidade de folga, permitiu a

formulação desta relação matemática para a transmissão tipo fuso. Adaptando-se o modelo

proposto por Tao e Kokotovic (1996), descreve-se a folga a partir das seguintes equações

{

(2.11)

34

onde m é a relação de transmissão, cl e cr são constantes, e vl e vr são funções de projeções

dadas pela Equação (2.12).

(2.12)

A Figura 2.4 mostra um desenho esquemático da não linearidade de folga e a

representação gráfica do modelo matemático dado pela Equação 2.11.

a) b)

Figura 2.4. Não linearidade de folga: a) Desenho esquemático e b) Representação gráfica do

modelo proposto.

As variáveis para o modelo da Equação 2.11 estão descritas na Tabela 2.3 a seguir.

35

Tabela 2.3 – Variáveis para o Modelo da Folga.


Ângulo de Entrada no Sistema Radianos

Deslocamento Linear da Junta

Prismática = saída no sistema

Metro

Posição inicial lado Esquerdo Radianos

Posição inicial lado Direito Radianos

Relação de Transmissão metro/radianos

Funções de Projeções Radianos

2.4 Modelo Matemático da Inversa da não Linearidade de Folga

Um dos efeitos danosos da folga no desempenho dos sistemas é o atraso correspondente

ao tempo para percorrer um segmento. Outro efeito indesejável é a perda de informação que

ocorre em um segmento. Uma das principais características desejadas da inversa da folga é

que ela possa anular a folga, com isso a ideia é que a inversa da folga instantaneamente

minimize os efeitos no desempenho da trajetória planejada.

A inversa da folga de um segmento horizontal é caracterizada por um salto vertical

definido por uma função integral. O efeito do salto deve eliminar o atraso causado pelo

segmento.

Figura 2.5 - Representação gráfica do modelo proposto para a inversa da folga

36

Para o modelo exato da inversa da folga, tem-se

{

(2.13)

onde os parâmetros do modelo matemático da inversa da folga são iguais aos apresentados na

Tabela 2.3 da seção anterior e serão utilizados nas simulações computacionais.

2.5 Modelo Dinâmico de uma Junta Prismática em Espaço de Estados Incluindo

a Folga

Nesta seção apresenta-se o modelo dinâmico de uma junta prismática tipo fuso com a

não linearidade de folga descrita na forma de representação em variáveis de estado.

O modelo não linear descrito pelas Equações (2.3) e (2.7), pode ser escrito como um

sistema de equações diferenciais na forma de variáveis de estado:

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

Onde e são e sua derivada respectivamente, e são deslocamentos lineares

do fuso e sua derivada respectivamente e .

37

2.6 Discussões

Este capítulo tratou da modelagem matemática de uma junta prismática com

transmissão mecânica tipo fuso (parafuso de potência) com a presença da não linearidade de

folga, muito comum em um manipulador robótico Gantry de baixo custo e em máquinas onde

há a necessidade de transformar um movimento de rotação em movimento de translação de

uma carga. A partir da combinação das equações que modelam os principais componentes do

sistema dinâmico, obteve-se um modelo de 4ª ordem representado por um sistema de

equações diferenciais ordinárias. Se não houvesse a não linearidade de folga, tal sistema

poderia ser reduzido para um sistema de 2ª ordem. Assim, pode-se dizer que a presença da

não linearidade de folga aumenta a ordem do sistema.

Prevendo a possibilidade de compensação da folga por meio de sua inversa, foi também

proposto um modelo matemático de representação da inversa da não linearidade de folga.

Os resultados desta seção foram publicados em Menuzzi et al. (2010a) e foram de

grande valia para o estudo e aprendizado da modelagem matemática do acionamento por

transmissões mecânicas do tipo fuso.

38

3 IDENTIFICAÇÃO EXPERIMENTAL DAS CARACTERÍSTICAS DA NÃO

LINEARIDADE DE FOLGA

3.1 Introdução

Na realização deste trabalho, constatou-se a necessidade de construção de uma bancada

experimental que permitisse estudar o efeito da folga em transmissões mecânicas tipo fuso.

Para a aquisição dos dados da bancada experimental foi utilizado um sistema de aquisição de

dados e controle da marca alemã dSPACE, como mostrado neste capítulo.

Neste capítulo descreve-se a bancada experimental que foi utilizada no estudo do

sistema dinâmico e na validação experimental do modelo matemático proposto. Descreve-se o

funcionamento da bancada e também as especificações dos componentes que foram utilizados

para os testes. É desenvolvida uma metodologia para a identificação dos parâmetros da não

linearidade de folga em transmissões mecânicas tipo fuso (parafuso de potência, power

screw).

Na seção 3.2 descreve-se os principais componentes da bancada experimental utilizada

nos testes, na seção 3.3 é proposta uma metodologia de identificação experimental dos

parâmetros da não linearidade da folga e na seção 3.4 são feitas as discussões dos resultados

da validação experimental do modelo.

3.2 Descrição da Bancada Experimental

A bancada de testes foi construída para estudo e identificação experimental dos

parâmetros da não linearidade de folga em transmissões do tipo fuso, e é descrita nesta seção,

bem como os seus principais componentes e características. Os resultados obtidos nesta

bancada também são utilizados na validação do modelo matemático.

39

A Figura 3.1 mostra a bancada de testes do acionamento com transmissão mecânica tipo

fuso de uma junta prismática de um manipulador robótico cartesiano tipo Gantry. O

mecanismo é composto por um fuso construído numa estrutura fixa (mesa). O motor elétrico é

montado em uma das extremidades (1) do fuso e aplica um torque Tm no fuso (2) resultando

num deslocamento angular θm, medido por um encoder incremental (3), e provocando um

deslocamento linear de uma carga (6) que é medido pelo transdutor de deslocamento linear

(4) com o deslocamento do posicionador (magneto) (5) fixo na carga.

Figura 3.1 – Foto da bancada experimental para testes do acionamento com transmissão

mecânica do tipo fuso.

A metodologia proposta utiliza os resultados experimentais obtidos na bancada e de

procedimentos para ajuste dos parâmetros da não linearidade de folga cujo modelo foi

apresentado na seção 2.

Os sinais obtidos pelo encoder incremental e pelo transdutor de deslocamento linear são

lidos por uma placa de aquisição e controle de sinais (dSPACE, modelo DS1104) montada

num microcomputador conforme mostrado na Figura 3.2.

40

Figura 3.2 - Microcomputador com placa de aquisição de sinais dSPACE.

A dSPACE é uma ferramenta para o desenvolvimento de controladores em varias áreas

de atuação, tais com em robótica e engenharia aeroespacial. A placa é projetada para alta

velocidade e é muito utilizada em testes reais em empresas e laboratórios de universidades.

Utiliza a tecnologia PowerPC e usa processador de sinais digitais (DSP – Digital Signal

41

Processor). Além disso, possui blocos do Simulink/Matlab para configuração de entradas e

saídas.

A Tabela (3.1) apresenta os principais componentes da bancada experimental mostrados

na Figura 3.1.

Tabela 3.1 - Principais componentes da bancada experimental.

Componente Fabricante Código Principais Especificações

Transdutor de

deslocamento linear

BALLUFF BTL6-A110-

M0500-A1-5115

Faixa de medição de 200 mm,

saída analógica de 0 a 10 V

Fuso Roscado (rosca

quadrada)

Laboratório

de Projeto -

UNIJUÍ

Material

Alumínio

Diâmetro maior 24 mm, passo

5mm, diâmetro interno de 20mm.

Encoder incremental Hohner 7510-0622-1000 1000 pulsos por rotação

O Transdutor de deslocamento linear faz a medição de deslocamentos lineares sendo de

fundamental importância no campo da engenharia moderna, principalmente porque tem muita

aplicação como, por exemplo, medir movimentos em máquinas ferramentas, robôs industriais,

etc.. E também é importante porque através de pequenos deslocamentos pode-se usar uma

técnica de controle por realimentação. A Figura (3.3) mostra a imagem do transdutor

utilizado.

Figura 3.3 – Transdutor de deslocamento linear BALLUFF.

O posicionador (magneto) é mostrado na Figura 3.4 e pode ser utilizado a distâncias de

4 à 8 mm a partir da parte superior do corpo do transdutor. A instalação mecânica esta em

conjunto com os suportes de montagem e a braçadeira de montagem da Figura 3.4.

42

Figura 3.4 – Posicionador, braçadeira e suporte, partes do transdutor de deslocamento linear

Os encoders incrementais são muito utilizados, pois é possível converter movimentos

angulares em informações para um sistema, permitindo assim saber qual a posição atual do

eixo do fuso (eixo motor). A Tabela 3.2 mostra as especificações do encoder incremental

utilizado.

Tabela 3.2 – Especificações técnicas do encoder incremental.

Fabricante

Modelo

HOHNER

Encoder incremental de eixo vazado cód. 7510-0622-1000

Saída 5-30 V, proporcional à tensão de alimentação

Resolução 1000 ppr (pulsos por Rotação)

Figura 3. 5 – Foto do encoder incremental 1000 ppr (pulsos por rotação).

43

O fuso do tipo roscado especificado na Figura 3.6 é um componente com muitas

aplicações como, por exemplo, no torno, na fresadora e como uma transmissão em um

pórtico, pois resiste a grandes esforços, o tipo de rosca utilizado na bancada é com rosca

quadrada e possui apenas uma entrada, tendo como diâmetro externo d = 24 mm, diâmetro

interno dr = 20 mm e passo p = 5 mm.

Figura 3.6 - Especificações do fuso roscado.

Na Figura 3.6 pode-se entender a relação descrita pela Equação 2.8 no capítulo 2, onde

tem-se a regra de três simples que uma volta de giro completo de radianos corresponde a

um deslocamento linear de um passo p , logo o deslocamento angular de equivale a y,

obtendo-se a seguinte relação:

(2.8)

3.3 Metodologia de Identificação Experimental da Não Linearidade de Folga

A metodologia proposta consiste da utilização dos resultados experimentais obtidos na

bancada descrita na seção 3.2 e de procedimentos para ajuste dos parâmetros da não

linearidade de folga cujo modelo foi apresentado no capítulo dois. A Figura 3.7 mostra a

bancada construída pelo Laboratório da UNIJUI Campus Panambi.

O primeiro passo foi realizar o deslocamento angular do fuso (entrada da não

linearidade) de tal forma a se ter uma inversão de movimento e produzir os efeitos

característicos no posicionamento da carga (saída da não linearidade), ou seja, o sistema entra

em funcionamento quando o motor gera um sinal elétrico, causando um movimento angular

no fuso, esse movimento é convertido em movimento linear pela porca acoplada ao fuso esse

44

movimento linear é medido pela régua sensorial enquanto o movimento do fuso é medido por

um encoder incremental conforme mostrado na Figura 3.7.

Figura 3.7 - Foto da bancada em funcionamento.

Na Figura 3.8 tem-se a aquisição dos sinais experimentais e percebe-se que esses

resultados são muito parecidos com a entrada .

45

Figura 3.8 - Teste realizado e a aquisição de sinais.

O segundo passo é realizar o cálculo da saída para o caso ideal em que não há a não

linearidade de folga. Para isto utiliza-se a Equação 2.10 e faz-se o cálculo para o mesmo sinal

de entrada dos resultados experimentais da Figura 3.8.

A Figura 3.9 mostra os gráficos comparativos das saídas com folga e sem folga no

fuso em relação à entrada e em relação ao tempo. Além disso pode-se observar a relação de

transmissão (m), e o vão de folga dado por (cr - cl).

5 10 15 20 25-5

0

5

10

15Resultados Experimentais

Entr

ada (

rad)

5 10 15 20 250.16

0.165

0.17

0.175

Said

a (

m)

Tempo (s)

46

a) b)

Figura 3.9 - Gráficos comparativos das saídas com folga e sem folga (caso ideal) no fuso

a) Comparativo entre a entrada e a saída b) Comparativo da saída em relação ao tempo.

3.4 Discussões

Neste capítulo apresentou-se a descrição da bancada de testes experimentais e seus

componentes para identificação da não linearidade de folga no fuso. Desenvolveu-se uma

metodologia para a identificação experimental de seus parâmetros e a validação do modelo

para a não linearidade da folga.

Os testes experimentais do protótipo do acionamento tipo fuso de uma junta robótica

prismática ilustraram o comportamento da não linearidade de folga. Os resultados mostraram

a importância da compensação da folga, ressaltando os seguintes aspectos: os erros e atrasos

são significativos e esta não linearidade tem efeitos que podem comprometer a precisão de

posicionamento.

Os resultados deste capítulo foram publicados em MENUZZI (2010), e serão utilizados

nas simulações computacionais tratadas no capítulo seguinte.

4 RESULTADOS

4.1 Introdução

Este capítulo apresenta os resultados da simulação computacional em malha aberta e

malha fechada do modelo matemático para o acionamento de uma junta prismática tipo fuso

com aplicação em um robô Gantry com a presença da não linearidade de folga, incluindo uma

descrição detalhada da implementação computacional e dos parâmetros adotados para o

sistema.

O controle de um sistema pode ser classificado como controle em malha aberta ou

controle em malha fechada. No controle em malha aberta a variável de entrada não é

influenciada pela variável de saída, como pode ser observado na Figura 4.1, ou seja, dado um

sinal de controle espera-se que após determinado tempo o sistema apresente um determinado

comportamento relativo ao sinal dado.

Figura 4.1 - Sistema de controle em malha aberta.

No controle em malha fechada, Figura 4.2, a entrada do sistema é modificada em função

do comportamento da saída, ou seja, o sinal de controle é obtido a partir da avaliação do erro

entre o sinal de saída e o sinal de referência, tendo por objetivo corrigir este erro.

48

Figura 4.2 – Sistema de controle em malha fechada.

Os parâmetros do modelo para a folga, utilizados nas simulações computacionais foram

determinados a partir de uma bancada experimental apresentada no capítulo 3. O modelo do

acionamento de uma junta prismática por fuso foi desenvolvido no capítulo 2, está

representado pelas equações (2.3), (2.7), (2.11) e (2.12) e será implementado na forma de

diagrama de blocos.

A simulação numérica do modelo proposto foi implementada com o auxílio da

ferramenta computacional MatLab/Simulink, utilizando-se o método de integração Runge-

Kuta com passo de 0,0001 segundos. O MatLab é um software para solução numérica de

problemas científicos que integra ferramentas de análise numérica, cálculo matricial,

processamento de dados e geração de gráficos. O Simulink é uma ferramenta do MatLab, no

qual a representação do modelo matemático é realizada através de diagramas de blocos, sendo

apropriado para a simulação numérica de sistemas dinâmicos, possibilitando ao usuário a

representação dos mais variados sistemas lineares e não lineares.

Na seção 4.2 apresenta-se os resultados dos testes experimentais, na seção 4.3

apresenta-se a implementação e os resultados do modelo em malha aberta. A seção 4.4

descreve as trajetórias desejadas utilizadas na simulação computacional do modelo

matemático em malha fechada, e em seguida na seção 4.5 é feita a descrição dos

controladores clássicos (P, PD, PI, PID). Na seção 4.6 são mostrados os resultados do

controle proporcional com a trajetória senoidal. Na seção 4.7 é utilizada a inversa do modelo

da folga como uma estratégia para a compensação da folga, pois a inversa minimiza o efeito

danoso da folga no desempenho do sistema. A seção 4.8 traz os resultados da simulação

computacional com trajetória polinomial e por fim apresentam-se as discussões na seção 4.9.

49

4.2 Resultados dos Testes Experimentais de Validação do Modelo de Folga

Nesta seção são apresentados os resultados dos testes experimentais realizados na

bancada do robô descrita na seção 3.3, mostrada na Figura 3.7 do capítulo anterior, buscando

definir algumas contribuições para a melhoria ou solução de problema da folga em

transmissões mecânicas do tipo fuso.

Para isso estimou-se os parâmetros da não linearidade de folga, dados no modelo da

Equação (2.11), a partir destes resultados experimentais e da metodologia proposta no

capítulo anterior. A relação de transmissão m é facilmente estimada obtendo-se a inclinação

da reta entre as saídas e a entrada no gráfico da Figura 3.9. O vão de contato (cr – cl) também

é facilmente estimado e está representado na Figura 3.9.

Os intervalos de folga à direita e à esquerda são ajustados através da simulação

computacional do modelo matemático, dado pelas Equações (2.3), (2.7) e (2.11), e

implementado por meio do diagrama de blocos mostrado na Figura 4.3.

Figura 4.3 - Diagrama de blocos utilizado na simulação computacional do modelo matemática

da folga.

A simulação foi feita com o auxilio da ferramenta Matlab/Simulink, utilizando o

método ODE4(Runge kutta). Os parâmetros do sistema ajustados nas simulações

50

computacionais estão apresentados na Tabela 4.1 a partir das características mecânicas do

acionamento da junta robótica e dos resultados experimentais.

Tabela 4.1 - Parâmetros do modelo do sistema com folga.

Descrição dos Parâmetros Valores

Passo do fuso p 5 mm = 5 x 10-3

m

Relação de transmissão m 7,957 x 10-4

m/rad

Intervalo de folga à direita cr 1,57 rad

Intervalo de folga à esquerda cl -1,57 rad

Entrada posição angular θm Variando

Posição inicial da carga y(t=0) 1,6 x 10-3

m

A Figura 4.4 é resultado da validação experimental do modelo matemático da seção 3

ao qual foram usados os parâmetros detalhados na Tabela 4.1. Nesta figura estão identificados

problemas nos resultados experimentais provenientes da mal fixação do magneto do

transdutor de deslocamento linear da carga, o qual oscilava nas partidas e inversões de

movimento conforme foi observado experimentalmente.

Figura 4.4 - Validação experimental do modelo matemático da não linearidade de folga.

51

4.3 Resultados de Simulação Computacional do Modelo da Junta Prismática em

Malha Aberta

Esta seção apresenta uma descrição detalhada do procedimento utilizado na

implementação da simulação computacional em malha aberta do modelo matemático para

uma junta prismática descrito no capítulo 2.

Os parâmetros deste capítulo foram publicados em MENUZZI et al. (2010) e estão

descritos no capítulo 4, seção 4.2. Estes dados foram obtidos na bancada experimental

utilizada no Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS) da

UNIJUI Campus Panambi.

Inicialmente foi realizada apenas a simulação do modelo de folga, dado pela Equação

2.11 e implementado por meio do diagrama de blocos apresentado na Figura 4.5, com

interesse de observar as características da não linearidade de folga da saída do movimento (y)

em relação às posições de entrada (θm).

O primeiro bloco da Figura 4.5 representa o sinal de entrada do sistema, caracterizando

um sinal de controle em malha aberta u, que permite o estudo do comportamento das

variáveis de estado do sistema. O bloco dois representa a não linearidade de folga e o bloco

três é a saída do sistema.

Figura 4.5 - Diagrama de blocos do modelo matemático da não linearidade de folga para uma

transmissão tipo fuso.

O terceiro bloco da Figura 4.5 representa o modelo matemático da não linearidade de

folga que é uma imperfeição causada pela fabricação, problemas de montagem ou no desgaste

no parafuso e porca durante o uso, causando fortes variações das parcelas dinâmicas

52

resultando em efeitos de degradação do desempenho do seguimento de trajetória, conforme as

Equações 2.11 e 2.12, onde tem-se uma entrada u(t) em θm e saída y em posição (metros), o

qual foi mostrado na seção 4.2 deste capítulo.

A Figura 4.6 é resultado da simulação computacional do modelo matemático

implementado no diagrama de blocos da Figura 4.5 sob às condições iniciais e parâmetros da

Tabela 4.1. A Figura 4.6 apresenta os gráficos da entrada θm, do comportamento do sistema,

saída com e sem folga e o erro resultante, onde se pode constatar o comportamento da folga e

a necessidade do controle da mesma.

Figura 4.6 – Resultado de simulação computacional do modelo da folga.

Em seguida foram realizadas as simulações computacionais do diagrama de blocos da

Figura 4.7 que representa o acionamento de uma junta prismática tipo fuso de um robô

Gantry. Neste diagrama de blocos foram implementadas as Equações (2.3), (2.7), (2.11) e

(2.12) e especificadas nos diagramas de blocos detalhados a seguir. Na simulação

computacional foram utilizados os parâmetros da folga, dados pela Tabela 4.1, e da junta

prismática com transmissão mecânica do tipo fuso, dados pela Tabela 4.2.

0 2 4 6 8 10 12 14 16-15

-10

-5

0

5

10

15

Tempo (s)

teta(rad)

y(m)*1e3: sem folga

y(m)*1e3: com folga

erro(m)*1e3

53

Tabela 4.2- Parâmetros do Robô Gantry considerando o movimento de uma junta prismática.

Descrição dos Parâmetros Valores

Momento de Inércia do eixo motor J 9,331 x 10-5

kg.m2

Massa da carga M 0,5 kg

Coeficiente de amortecimento viscoso do eixo motor 1 N.m.s

Coeficiente de amortecimento viscoso da massa By 1 N.s/m

Torque do motor Tm Variando linearmente e de

forma alternada

O primeiro bloco da Figura 4.7 representa o sinal de entrada do sistema u(t), o segundo

bloco representa a dinâmica do fuso dada pela Equação 2.3, o bloco três já explicitado

representa a folga e o bloco quatro representa a dinâmica da massa dado pela Equação 2.7.

Figura 4.7 – Diagrama de blocos do modelo dinâmico de uma junta prismática de um robô

Gantry com a não linearidade de folga.

A Figura 4.8 representa a dinâmica do fuso dada pela Equação 2.3, onde J é o momento

de inércia do Eixo Motor, é o coeficiente de atrito viscoso do eixo do fuso (eixo motor) e

tem-se uma entrada angular θm.

torque do motor

torque

posição da carga

y

Sine Wave 1

Folga

Tetam y

Dinâmica do Fuso

torque

Fu

Tetam

Dinâmica da Massa

y Fu

Deslocamento angular

do Fuso

Tetam

54

Figura 4.8 – Diagrama de blocos da dinâmica do fuso.

A Figura 4.9 representa a dinâmica da massa dada pela Equação 2.7, onde M é a massa;

By é o Coeficiente do Atrito Viscoso da Massa e tem-se uma entrada angular θm e saída dada

em y (posição).

Figura 4.9 – Diagrama de blocos da dinâmica da massa.

Os resultados numéricos da simulação dos movimentos da junta robótica são

apresentados na forma do gráfico da Figura 4.10. Na Figura 4.10 tem-se os gráficos da

entrada θm, o comparativo do comportamento da saída com e sem folga e o erro resultante,

onde se pode constatar o diferença resultante quando tem-se um sistema com a não

linearidade da folga.

Fu

1velocidade

du /dt

amortecimento

By

aceleração

du /dt

Massa

M

y

1

55

Figura 4.10 – Resultado de simulação computacional do modelo matemático da junta

prismática do robô Gantry incluindo-se a não linearidade de folga.

Os resultados mostrados nas Figuras 4.6 e 4.10 permitem a observação de algumas

características importantes da não linearidade de folga. Note que diante da periocidade da

entrada (θm), a saída do movimento (y) apresenta as características fundamentais de atraso de

fase e de perda de movimento nos trechos de pico da entrada.

Diante dos resultados destas simulações do sistema dinâmico em malha aberta, percebe-

se a importância da modelagem matemática e da identificação da folga em transmissões

mecânicas. O conhecimento das características desta não linearidade nos sistemas mecânicos

permite a elaboração de esquemas de compensação nas estratégias de controle e

consequentemente a melhoria do desempenho nas tarefas industriais que exigem precisão e

repetitividade.

4.4 Trajetórias Desejadas

As simulações computacionais do sistema dinâmico controlado foram realizados para as

trajetórias desejadas senoidal e polinomial de sétima ordem. A primeira trajetória escolhida é

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Tempo (s)

Posiç

ão(r

ad)

teta(rad)

y(m)*1e3: sem folga

y(m)*1e3: com folga

erro(m)*1e3

56

a senoidal, em que a amplitude é de 4 unidades e o período de 6 segundos que é descrita pela

equação (4.5). O objetivo do uso da trajetória senoidal é analisar o desempenho do

controlador quando tem-se inversão do movimento.

(4.5)

Na Figura 4.11 mostra o gráfico da trajetória desejada senoidal com período de 6

segundos.

Figura 4.11 – Trajetória desejada senoidal, com período de 6 segundos.

A segunda trajetória escolhida é a trajetória polinomial de 7ª ordem que possibilita a

existência de derivadas contínuas até a terceira ordem, que representam à velocidade,

aceleração e derivada da aceleração. O objetivo do uso desta trajetória é testar os sinais

quanto tem-se inversão do movimento e analisar com isso o posicionamento nos trechos de

parada. Para que a trajetória escolhida apresente suavidade é preciso que sejam reguladas

condições iniciais e finais compatíveis para a trajetória e suas derivadas até a terceira ordem.

Para a trajetória polinomial de 7ª ordem é utilizada a Equação (4.6)

(4.6)

0 2 4 6 8 10 12 14 16-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tempo(s)

Posiç

ão

Trajetória

Senoidal

57

tem-se as condições iniciais dadas por:

, (4.7)

e

( ) , ( ) ( ) ( ) (4.8)

Onde, é a posição inicial do fuso , é o tempo de deslocamento da trajetória

polinomial e é o deslocamento percorrido pelo fuso seguindo a trajetória polinomial.

A trajetória polinomial desejada (4.9) considera inicialmente uma parada em

rad, seguido de um trecho de deslocamento em função de até a posição 0 rad

onde é feita uma nova parada respeitando o tempo de parada de , e posteriormente um novo

deslocamento até a posição 2,25 rad, fazendo ali uma outra parada e retornando através da

função - . Os trechos de parada e deslocamento têm duração de segundos, sendo utilizado

o valor de = 5 segundos. Os trechos de subida ou descida são caracterizados pelo polinômio

de 7ª ordem, representado pelas Equações (4.9) e (4.10), para os respectivos valores de

.

{

( )

( )

( )

( )

(4.9)

{

(4.10)

Na Figura 4.12 pode-se observar a trajetória desejada resultante do polinômio de 7ª

ordem com tempo de parada e deslocamento de 5 segundos.

58

Figura 4.12 – Trajetória desejada polinomial.

A seguir são descritos alguns controladores clássicos e apresentada algumas estratégias

para a compensação da não linearidade da folga, inicialmente através da inserção de um

controle proporcional antes da folga, depois tem-se um ganho proporcional depois da folga e

por fim aliando as duas estratégias iniciais mais a compensação da folga pela inversa.

4.5 Descrição dos Controles Clássicos (P, PD, PI, PID)

Esta seção tem por objetivo fazer a descrição dos controladores clássicos. Serão

apresentados o controlador proporcional (P) e suas variações: proporcional-derivativo (PD),

proporcional-integral (PI) e proporcional-integral-derivativo (PID).

Em um controlador proporcional, a relação entre a saída do controlador u(t) e o sinal de

erro atuante e(t), que é a entrada do controlador, é dada por

(4.1)

onde e(t) = (y – yd), e kp é o ganho proporcional.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo(s)

Posiç

ão D

eseja

da(m

)

trajetória polinomial

59

No controle proporcional-integral (PI), onde a saída u(t) é a soma de um sinal

diretamente proporcional ao erro de posição com um sinal proporcional à integral do erro

∫

(4.2)

onde ki é o ganho integral.

O controle proporcional-derivativo (PD) tem caráter antecipativo, soma-se à parcela

proporcional uma parcela derivativa e a saída do controlador é um sinal diretamente

proporcional ao erro de posição somado com uma parcela diretamente proporcional ao erro de

velocidade. Portanto

(4.3)

onde kd é o ganho derivativo.

Somando as parcelas proporcional, integral e derivativa, temos o controle proporcional-

integral-derivativo (PID), utilizado tanto na melhoria em regime transitório quando em regime

permanente de sistemas mecânicos, que é dado por:

∫

(4.4)

Com o objetivo de comparar a importância do controle da não linearidade da folga foi

proposto o uso de um controlador proporcional. No controle proporcional, o sinal de controle

é diretamente proporcional o erro de posição . Este erro é considerado a diferença

algébrica entre a posição medida e a posição desejada.

Na primeira estratégia conforme mostra a Figura 4.13 testa-se um controle proporcional

antes da não linearidade da folga, no segundo caso testa-se um ganho proporcional

depois da folga conforme apresenta a Figura 4.14. Os diagramas de blocos referentes ao

modelo do sistema são os mesmos descritos na seção 4.1, e são acrescidos dos blocos

referentes às estratégias de controle testadas nas simulações computacionais.

60

Figura 4.13 – Diagrama de blocos utilizado na implementação do controle proporcional antes

da folga.

61

Figura 4.14 – Diagrama de blocos utilizado na implementação do controle proporcional

depois da folga.

Os ganhos utilizados nos controladores foram escolhidos por tentativas, a partir de

inúmeras simulações e comparações, até chegar-se a um valor que seja satisfatório. Para o

ganho utilizado no controle antes da folga, utiliza-se um valor igual a 20 e para o ganho

utilizado no controle depois da folga, utiliza-se um valor igual a 20*103.

Os resultados das simulações computacionais do modelo em malha fechada foram

realizadas com trajetória senoidal e trajetória polinomial, conforme mostrado nas próximas

seções.

4.6 Resultados de Simulação do Controle Proporcional com Trajetória Senoidal

As simulações do sistema usando-se a trajetória senoidal, descrita na seção 4.3, permite

observar o efeito da não linearidade de folga na inversão do movimento do fuso. Estas

simulações têm o objetivo de analisar o uso do controle proporcional antes e depois da não

linearidade de folga.

62

As Figuras 4.15 e 4.16 são obtidas do diagrama de blocos da Figura 4.13 na seção 4.5,

onde realiza-se realimentação antes da folga. Conforme as Figuras 4.16 e 4.18 percebe-se que

a utilização de um ganho ( ) antes da folga apresenta um bom seguimento de trajetória e

observa-se um erro pequeno.

Na Figura 4.15 foi comparada a trajetória desejada com a trajetória realizada com

controle proporcional antes da folga.


(rad) e (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros).

A Figura 4.16 apresenta o gráfico do segmento de trajetória desejada, da trajetória

realizada com controle proporcional antes da folga e do erro resultante.

0 2 4 6 8 10 12 14 16-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tempo (s)

Posiç

ão(R

ad)

a

b

63


(rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (c) torque do

motor (rad) e (d) erro entre posição medida e posição desejada (metros).

As Figuras 4.17 e 4.18 são resultado da implementação do diagrama de blocos da

Figura 4.14 onde são apresentados os resultados com a utilização de um ganho proporcional

(kpy) depois da não linearidade de folga.

Na Figura 4.17 foi comparado o segmento de trajetória desejada com a trajetória

realizada utilizando controle proporcional depois da folga. A Figura 4.18 apresenta o gráfico

do segmento de trajetória desejada, a trajetória realizada com controle proporcional depois da

folga e o erro resultante, onde se pode observar que esta estratégia consegue ser tão eficaz

quanto a primeira, contudo precisa-se de um ganho muito grande para obter um resultado

satisfatório.

0 2 4 6 8 10 12 14 16-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

c

64


(rad) e (b) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros).


(rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (c) erro

entre posição medida e posição desejada (metros).

0 2 4 6 8 10 12 14 16-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

0 2 4 6 8 10 12 14 16-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

c

65

Na Figura 4.19 são apresentados os resultados para seguimento de trajetória senoidal do

sistema ao longo do tempo comparando a simulação dos controles proporcionais antes e

depois da folga e da trajetória desejada, com isso observamos que o uso do controle antes da

folga faz com que o sistema se aproxime mais da trajetória desejada, se comparada ao

controle depois da folga.



trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros).

Embora os resultados da compensação com controle proporcional antes e depois da

folga pareçam semelhantes, na Figura 4.20 é uma ampliação da Figura 4.19 onde observa-se a

diferença no segmento das duas trajetórias.

0 2 4 6 8 10 12 14 16-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

c

66



trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros).

A Figura 4.21 apresenta o comparativo entre a entrada desejada, o erro de posição do

controle proporcional antes da folga e o erro do controle proporcional depois da folga. Nessa

figura podemos perceber que os erros são muito semelhantes.


(rad) e (b) erro da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros) e (c)

erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros).

7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8 8.1 8.2 8.33.5

3.55

3.6

3.65

3.7

3.75

3.8

3.85

3.9

3.95

4

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

c

0 2 4 6 8 10 12 14 16-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tempo (s)

Err

o d

e P

osiç

ão

a

b

c

67

Na Figura 4.22 apresenta o comparativo entre a entrada desejada, o torque do controle

proporcional antes da folga e o torque do controle proporcional depois da folga.


(rad) e (b) torque da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (N/m) e (c)

torque da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (N/m).

O uso de controladores clássicos como (P), (PD), (PI) e (PID) é muito comum em

diversos segmentos industriais, devido a fácil implementação e pelos resultados significativos

no controle de mecanismos de acionamento. Contudo nem sempre o uso de controladores

clássicos, no controle de sistemas mecânicos com a presença de não linearidades como a folga

entre transmissões produz resultados satisfatórios, em diversas situações nas quais se requer

desempenho mais preciso eles podem ser combinados com outras estratégias de compensação,

tais com o uso da inversa da folga que podem trazer melhorias do seguimento de trajetória.

0 2 4 6 8 10 12 14 16-6

-4

-2

0

2

4

6

Tempo (s)

a

b

c

68

4.7 Estratégia Proposta para Compensação da Folga Utilizando a Inversa

Esta seção apresenta a descrição de uma nova estratégia de controle. Foi utilizada a

inversa da folga e realizado o acoplamento de um controlador clássico proporcional explicado

na seção 4.4, com os parâmetros da Tabela 4.1 e Tabela 4.2.

Foram comparados os resultados do modelo com o uso de diferentes ganhos para o

controlador a fim de observar o comportamento da trajetória para os diferentes ganhos e a

eficiência da inversa da folga.

A Figura 4.23 representa o controle proposto para o modelo matemático descrito no

capítulo 2.

Figura 4.23 - Diagrama de blocos utilizado na implementação do controle proposto

O gráfico da Figura 4.24 é o resultado da simulação do seguimento de trajetória

senoidal com controle proporcional (P) para uma entrada kpt = 20 e kpy = 20*103 com o uso da

inversa da folga.

69


desejada, (b) trajetória realizada com o uso da inversa da folga.

Na Figura 4.25 foi comparada a trajetória desejada com a trajetória realizada com

controle proporcional com o uso da inversa, mostrando ainda o erro, onde se pode observar

que esta estratégia três consegue ser mais eficaz comparada as estratégias anteriores que

utilizam apenas controle proporcional.

0 2 4 6 8 10 12 14 16-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

70


desejada, (b) trajetória realizada com o uso da inversa da folga e (c) erro entre posição medida

e posição desejada.

Na Figura 4.26 são apresentados os resultados do comparativo do seguimento de

trajetória desejada, do controle proporcional antes da folga, do controle proporcional depois

da folga e do controle com o uso da inversa da folga. Mostrando-se nesse gráfico que o uso da

inversa na compensação da folga é muito eficiente.

0 2 4 6 8 10 12 14 16-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

c

71




realizada com o uso da inversa da folga (metros).

Figura 4.27 – Gráfico ampliado do comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a)



trajetória realizada com o uso da inversa da folga (metros).

0 2 4 6 8 10 12 14 16-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

c

d

7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8 8.1 8.2 8.33.5

3.55

3.6

3.65

3.7

3.75

3.8

3.85

3.9

3.95

4

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

c

d

72

Na Figura 4.28 apresenta o comparativo do seguimento de trajetória desejada, do erro

de posição do controle proporcional antes da folga, do erro do controle proporcional depois da

folga e do erro do controle com o uso da inversa da folga.


(rad), (b) erro da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (c)

erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d) erro da

trajetória com o uso da inversa (metros).

Para visualizar melhor a Figura 4.29 apresenta o comparativo entre o erro no

seguimento de trajetória das três estratégias, o erro da trajetória realizada com controle

proporcional antes da folga, o erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da

folga e o erro da trajetória realizada com o uso da inversa da folga.

0 2 4 6 8 10 12 14 16-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tempo (s)

Err

o d

e P

osiç

ão

a

b

c

d

73

Figura 4.29 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) erro da trajetória

realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (b) erro da trajetória realizada

com controle proporcional depois da folga (metros) e (c) erro da trajetória com o uso da

inversa (metros).

4.8 Resultados de Simulação Computacional com Trajetória Polinomial

A simulação do controle em malha fechada foi realizada com a utilização de três

diagramas de blocos mostrados pelas Figuras 4.13, 4.14 e 4.23, o primeiro usando controle

proporcional antes da folga, o segundo usando controle proporcional depois da folga e o

terceiro usando a inversa da folga junto com o controle proporcional antes e depois da não

linearidade da folga.

Nessa seção são apresentados os resultados de seguimento de trajetória polinomial

obtidos na simulação dos três controladores, o comparativo entre eles, e também o

comparativo entre os erros. Foi escolhida esta trajetória devido a analise do comportamento

do posicionamento do sistema nos trechos de parada. A trajetória desejada polinomial de 7ª

ordem obedece as Equações 4.9 e 4.10 descritas anteriormente, com trechos de parada e

deslocamento de 5 segundos. O tempo de simulação foi de 45 segundos.

0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Tempo (s)

Err

o d

e P

osiç

ão

a

b

c

74

A Figura 4.30 apresenta o gráfico do seguimento de trajetória do controle proporcional

antes da folga. Observa-se que ao usar-se um controle proporcional com um kpt = 20 obtém-se

uma curva muito próxima a trajetória desejada.


desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros).

A Figura 4.31 mostra o gráfico do seguimento de trajetória do controle proporcional

depois da folga. Observa-se que a curva fica muito próxima a trajetória desejada, contudo

nesse caso temos um ganho kpy de 20*103.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

75


desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros).

A Figura 4.32 apresenta o gráfico do seguimento de trajetória do controle proporcional

com o uso da inversa da folga. Observa-se nesse caso que não há defasagem considerável

entre a posição desejada e a realizada com o uso da inversa, sendo que os ganhos kpt e kpy são

os mesmos das estratégias anteriores, ou seja, os resultados com o uso da inversa são

melhores quando comparados as outras estratégias.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

76


desejada (rad), (b) trajetória com o uso da inversa (metros).

O gráfico da Figura 4.33 traz uma comparação do seguimento de trajetória polinomial

com o uso do controle antes da folga, depois da folga e com o uso da inversa, com isso

percebe-se que o uso da inversa melhora o desempenho da trajetória como esperado, pois o

resultado fica muito perto da trajetória desejada.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

77




realizada com o uso da inversa (metros).

Na Figura 4.34 observa-se o gráfico ampliado do comparativo entre a trajetória

desejada, a trajetória realizada com controle proporcional antes da folga, a trajetória realizada

com controle proporcional depois da folga e com a trajetória realizada com o uso da inversa,

percebendo-se que o uso da inversa aproxima muito a curva da trajetória desejada.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

c

d

78

Figura 4.34 – Gráfico ampliado do comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a)



trajetória com o uso da inversa (metros).

Na Figura 4.35 apresenta o comparativo entre o erro de posição do controle

proporcional antes da folga, controle proporcional depois da folga e controle com o uso da

inversa.

18.7 18.8 18.9 19 19.1 19.2 19.32.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.2

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

c

d

79


desejada (rad), (b) erro da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga

(metros), (c) erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e

(d) erro da trajetória realizada com o uso da inversa da folga (metros).

A Figura 4.36 apresenta o comparativo apenas entre os erros cometidos nas três

estratégias propostas, o erro da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga, o

erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga e o erro da trajetória

realizada com o uso da inversa da folga. Para melhor visualizar a diferença entre as estratégias

o gráfico foi ampliado na mesma figura.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-3

-2

-1

0

1

2

3

Tempo (s)

Posiç

ão

a

b

c

d

80

Figura 4.36 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) erro da

trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (b) erro da trajetória

realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (c) erro da trajetória realizada

com o uso da inversa da folga (metros).

Os resultados mostrados permitem observar algumas características importantes da

compensação da não linearidade de folga. Note que o erro é muito pequeno e apresenta as

características fundamentais de diminuir ou quase anular a perda de movimento nos trechos

de pico da entrada da não linearidade de folga.

Diante dos resultados destas simulações do sistema dinâmico em malha fechada,

percebe-se a importância da compensação da não linearidade da folga em transmissões

mecânicas.

4.9 Discussões

Neste capítulo apresentou-se os resultados experimentais, a implementação e simulação

computacional em malha aberta e malha fechada e por fim algumas estratégias para controle

do modelo matemático para o acionamento de uma junta prismática tipo fuso com a presença

5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Tempo (s)

Err

o d

e P

osiç

ão

a

b

c

81

da não linearidade de folga. Os resultados da validação experimental mostram que o modelo

adotado é adequado e a metodologia proposta para a implementação do diagrama de blocos

permitem observar o comportamento dinâmico do fuso que confirma o modelo adotado.

Foi apresentado o planejamento das trajetórias desejadas para a simulação em malha

fechada e feita a analise do desempenho do controle. Também foi descrito os controladores

clássicos P, PD, PI, PID, utilizados na simulação em malha fechada.

Os resultados de simulação em malha fechada apresentados foram obtidos com a

utilização do controlador proporcional antes da folga, do controlador proporcional depois da

folga e com o acoplamento do controle proporcional ao uso da inversa da folga.

Os resultados das simulações computacionais do controlador proporcional com o uso da

inversa da folga mostram a eficiência do mesmo quando comparado as outras estratégias do

controle proporcional podendo-se observar uma redução significativa (cerca de 50%) dos

erros de posição. Mesmo assim, pode-se observar que ainda existe um erro de posição e a

necessidade de um controlador baseado em modelo que preveja as dinâmicas modeladas nas

juntas (inércia dos eixos e atrito viscoso).

82

5 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS

Esta dissertação apresenta a modelagem matemática do acionamento de uma junta

prismática com a presença da não linearidade de folga em transmissões do tipo fuso. Foi

realizada uma revisão bibliográfica sobre a não linearidade de folga que evidenciam os efeitos

prejudiciais da mesma no desempenho de seguimento de uma trajetória, causando limitações

no controle preciso.

O modelo utilizado é um modelo não linear, composto pela equação da dinâmica do

fuso, pela equação da não linearidade de folga e pela equação da dinâmica da massa,

resultando em um sistema dinâmico de 4ª ordem.

Descreve-se uma bancada para identificação experimental dos parâmetros dessa não

linearidade em transmissões fuso, tornando possível também a observação do comportamento

do sistema dinâmico e dos efeitos causados pela presença da não linearidade.

Os resultados da identificação experimental foram obtidos utilizando-se uma placa

dSPACE e o software Matlab/Simulink e mostram as características do modelo da folga. A

identificação dos parâmetros da não linearidade de folga em transmissões por fuso mostrou-se

bastante importante para minimizar os erros de trajetória. Os resultados em malha aberta

mostram a validade do modelo proposto para uma junta prismática. Os resultados em malha

fechada mostram a importância da compensação da folga e contribuem para um melhor

comportamento dinâmico do sistema visando minimizar erros e melhorar o controle preciso.

Os resultados obtidos foram parcialmente publicados em congressos científicos e pretende-se

elaborar um artigo com os resultados finais.

Sugere-se como continuidade deste trabalho os seguintes tópicos de pesquisa:

a formulação de um modelo matemático que inclua a dinâmica do atrito tal como em

Ritter (2010);

a implementação dos testes experimentais das estratégias de controle em malha fechada;

o estudo e a proposição de novas estratégias de controle que prevejam as outras

dinâmicas presentes na junta prismática do tipo fuso.

83

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