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ENG1035 – Mecânica Vetorial Prof. Inácio B. Morsch

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Civil

Mecânica Vetorial – ENG01035

Prof. Inácio B. Morsch

LISTA DE PROBLEMAS DE PROVA EXERCÍCIOS DA 2a. ÁREA

CENTRO DE GRAVIDADE

1) A peça representada na figura (1) é fabricada empregando-se dois materiais A e B. Sabendo-se que o peso específico do material A vale 7850 kgf/m3 e o do material B vale 5000 kgf/m3 determine o baricêntro desta peça.

2) Determine as coordenadas do centro de gravidade de um corpo que tem forma de uma cadeira, figura (2), composta de varas de igual comprimento e peso. O comprimento de uma das varas vale 44 cm.

A B

10 100

50 100

20

10

30

(mm)

30

Figura (1)

y

z

x

Figura (2)


3) Uma chapa com formato de uma semi-parábola é composta por dois materiais, que estão representados na figura (3) pelos números 1 e 2. Os materiais 1 e 2 tem os pesos específicos iguais a 40 kN/m3 e 50 kN/m3 respectivamente. Considerando que a chapa é sustentada por dois cabos fixados nos pontos A e B, determine a força que atua em cada um dos cabos.

4) A fuselagem de um avião de carga, ilustrada na figura (4), é aproximada por uma circunferência de 2 m de raio. A porta do compartimento de carga é representada pelo arco de circunferência AB e pesa 500 N. Sabendo que esta porta permite um ângulo de abertura de 50º e que uma mola de torção aplica um momento de 200 Nm na porta do compartimento de carga, determine as reações na rótula A e a força que a barra bi-rotulada BC exerce na porta do compartimento.

40

60

55

40

15

Ø10

(cm)

A B

x

y

600375,0 2+−= xy

1

2

20°

20°

2 m

A

50°

B

C

200 Nm


5) Calcular as reações nos vínculos A e B da barra curva ilustrada na figura (1). Considere que a barra pesa 232 N.

6) Para o arame fino e homogêneo ilustrado na figura (2), determine o valor do ângulo a para que o centro geométrico do arame esteja localizado na origem do sistema de coordenadas dado.

x

y 1

2

(m)

22xy =

A

B

x

y

r

αα


CARGAS DISTRIBUÍDAS

1) Determine as reações nos apoios A e B para as estruturas representadas nas figuras (1), (2), (3) e (4).

2) A viga isostática representada na figura (5) está sob a ação de uma carga parabólica que é nula nos extremos da viga e tem valor máximo de 1 KN no centro da viga. Com estes dados determine as reações nos pontos A e B.

3) Calcule as reações em A para a viga isostática representada na figura (6).

4) Uma casca elíptica está submetida a uma carga distribuída )(θp

que é simétrica em relação ao eixo y, conforme ilustrado na figura ao lado. Explique como se pode determinar o valor da carga concentrada equivalente.

3 mA

B

1 kN/m2 kN/m

Figura (2) 2.5 (m)

2 kN/m

Figura (1)

A B

1

0.5

2.5

(m)

1 kN

2 kN/m

Figura (3)

1 kN/m

AB

3 mA B

Figura (4)

1 m 0,8 m

2 kN/m

3 m

A B

Figura (5)

3,5 mA

1 kN/m

0,5 kN/m

1,5 m

Figura (6)

x

y

6 m

4 m

6 m

)(θp


5) Calcule as reações para a viga bi-apoiada ilustrada na figura abaixo.

6) A carga aplicada sobre a placa varia linearmente ao longo dos lados da placa conforme ilustrado na figura abaixo. Determine o módulo da força resultante e as coordenadas do ponto onde a linha de ação da resultante intercepta a placa.

7) Calcular as reações nos vínculos A e B da viga ilustrada na figura abaixo.

2 m 3 m

4 kN/m

A B

2 kN/m

x

y

p

3 m

0,7 m

2

1,25 2,75

3 kN

3 kN

A B

(m)


8) Transforme as cargas distribuídas em cargas concentradas equivalentes e escreva as equações de equilíbrio necessárias para determinar as reações nos vínculos da estrutura ilustrada na figura (1).

9) Determine as reações no engaste da viga de seção variável ilustrada na figura (2). Considere que a viga é feita de concreto armado com 25 kN/m3 de peso específico.

10) Transforme as cargas distribuídas em cargas concentradas equivalentes e escreva as equações de equilíbrio necessárias para determinar as reações nos vínculos da estrutura ilustrada na figura (1).

4 m

2 m

1,5 m3,5 m

A

B

C

2 kN/m

4 kN/m

2 kN/m

x

yz

0,5

1

4

(m)

2,016

2−−=

xy

0,2

4 m

2 m

1,5 m3,5 m

A

B

C

16 kN/m

4 kN/m

2 kN/m

Parábola 2o grau


11) Um arco de circunferência é submetido a dois esquemas (A e B) de carga uniforme conforme figura (2). As forças resultantes equivalentes a essas cargas distribuídas são iguais? Justifique.

12) Determine as reações nos vínculos A e C da ponte em arco parabólico ilustrada na figura (2). Considere que as vigas são feita de concreto armado com 25 kN/m3 de peso específico e adote a profundidade da viga como 2m.

13) Calcule o valor da taxa de carga q para que a reação vertical no vínculo A do pórtico ilustrado na figura (1) seja igual a zero.

14) Calcule os valores das taxas de carga q1 e q2 para que ambas as cargas gerem forças resultantes iguais, mas com sentidos opostos.

R 10 m

2kN/m

R 10 m

2kN/m

AB

2kN/m

2kN/m

(m)

18

7

0,9

0,9

0,45

A

B

C

4 3

8 kN/m

5 kN/m

(m)

q

2,5

3

A

B

3 kN/m

q2

(m)q1

1,5 1,8 1


15) Determine as reações nos vínculos C e E, bem como as reações na rótula D para a estrutura ilustrada na figura (2).

16) Calcule as reações nos vínculos A e C do pórtico ilustrado na figura (1), bem como as forças na rótula interna B.

1,7 m 2 m 1,6 m

2 m

A

B

C

D

E

Tubo liso

2 kN/m

35°

engaste

4 kN/m

3 kN/m

4 m

2 m

1,5 m3,5 m

A

B

C

2 kN/m

4 kN/m

2 kN/m


CÁLCULO DE VOLUMES

1) Uma roda representada na figura (1) é construída com um material de peso específico de 7850 Kgf/m3. Sabendo que esta peça tem um custo de fabricação de 2 R$/Kgf calcule o custo total de fabricação de 1 roda.

2) Determine o peso do carvão contido na carvoeira, ilustrada na figura ao lado, quando esta está totalmente cheia. Considere o peso específico do carvão igual a 7,85 kN/m3 e admita que há 20% de volume perdido por vazios de ar. Aproxime a curva que define o formato da carvoeira pela parábola indicada na figura. Resolva o problema aplicando o Teorema de Pappus-Guldin.

3) Determine quantos litros de tinta são necessários para cobrir a superfície do tanque de água, ilustrado na figura ao lado, do ponto A até o C. Considere que um litro de tinta pode cobrir 12 m2

20

50

45

34

13

8

8

3 m

6 m

Y

X

2

3

2xy =

9 m

60°

30°

3 m

A

B

C


4) Uma correia circular em V tem um raio interno de 600 mm e a área de seção transversal ilustrada na figura abaixo. Determine o volume de material necessário para fabricar a correia.

5) Determine o volume do objeto gerado pela rotação da área ilustrada na figura (3) em torno do eixo de rotação. Empregue o teorema de Pappus-Guldinus correspondente.

75

25 2550

600

(mm)

15

15

R 5

25

20 (cm)

5


MOMENTOS DE INÉRCIA

1) Para o perfil Z representado na figura (1) determine:

a) a posição dos eixos baricêntricos Xg e Yg paralelos aos eixos X e Y indicados na figura (2);

b) os momentos de inércia em relação aos eixos Xg e Yg; c) localize os eixos principais centrais de inércia;

d) obtenha os momentos principais centrais de inércia.

2) A peça representada na figura (2) é formada por 2 perfis C (250x80x6) mm, dispostos simetricamente em relação ao eixo Y, e por uma chapa. Além disso, sabe-se que a área de um dos perfis C vale 23.88 cm e os momentos de inércia com relação aos eixos X1 e Y1 valem 2103.2 cm4 e 130.2 cm4 respectivamente. Com estes dados deve-se determinar os momentos de inércia em relação aos eixos X e Y ; para toda a peça representada na figura (2).

3) A peça representada na figura (3) é formada por 2 perfis C (250x80x6) mm, dispostos simetricamente em relação ao

eixo Y, e por uma chapa. Com estes dados deve-se determinar: a) As propriedades geométricas; área,

momentos de inércia e respectivos raios de giração; em relação a um par de eixos X1 Y1, que são baricêntricos e paralelos aos eixos X e Y, para um perfis C que formam a seção.

b) Prove que os eixos baricêntricos X1 e Y1 do perfil C são os eixos principais centrais de inércia.

c) As propriedades geométricas; área, momentos de inércia em relação aos eixos X e Y, momento de inércia polar e respectivos raios de giração; para toda a peça representada na figura (2). d) Prove que os eixos X e Y são eixos

principais centrais de inércia. 4) A peça representada na figura (4) é formada por 2 perfis cantoneira (150x150x7) mm, dispostos simetricamente em

relação ao eixo Y. Com estes dados deve-se determinar: a) As propriedades geométricas; área, momentos de inércia em relação aos eixos baricêntricos X1 e Y1, momento de

inércia polar em relação a intersecção dos eixos X1 e Y1, e os respectivos raios de giração; para um dos perfis cantoneira, figura (5), que formam a seção;

b) A orientação dos eixos principais centrais de inércia e os valores dos momentos de inércia máximo e mínimo para a seção da figura (5);

Y

X (mm)

Espessura = 4 mm

Figura (1)

200

80

As medidas nãosão de centro.

175 175

250

10

80 175 6

(mm)

X

Y

X1

Y1

Figura (2)

175 175

250

10

80 175 6

(mm)X

Y

X1Y1

Figura (3)


c) As propriedades geométricas; área, momentos de inércia em relação aos X e Y e o momento de inércia polar em relação a O; para toda a peça representada na figura (4).

d) Demonstre que os eixos X e Y, figura (5), são eixos principais centrais de inércia.

5) Para o perfil cartola representado na figura (6) determine:

a) a posição dos eixos baricêntricos Xg e Yg paralelos aos eixos X e Y indicados em (2);

b) os momentos de inércia em relação aos eixos Xg e Yg;

c) localize os eixos principais centrais de inércia; d) obtenha os momentos principais centrais de

inércia.

7) Calcule a distância a entre dois perfis T, figura (8), para que o valor do momento de inércia do conjunto em torno do

eixo X seja igual a 41269 cm4.

8) Para o perfil cantoneira de abas desiguais, figura (9) determine: os momentos de inércia retangular e polar em relação aos eixos centrais, a localização dos eixos principais centrais de inércia e os valores dos momentos principais centrais de inércia.

150

150

7

Figura (5)(mm)

X1

Y1

150(mm)

Y

150

150

7

XO

Figura (4)

Y

X

30

120

160

(mm)

Espessura = 2 mm

Figura (6)As medidas nãosão de centro.

a

20

15

1

0,6

x x

(cm)

Figura (8)

15

20

0,5

(cm)

Figura (9)


9) O conjunto representado na figura (11) é formado por 2 perfis cantoneira de dimensões 150 x 150 x 4 mm. Sabendo-se que os momentos centrais de inércia de um dos perfis valem Ix = 250.3 cm4 e Iy = 250.3 cm4, e que a área do perfil vale 11.84 cm2. Calcule o momento de inércia do conjunto em relação aos eixos Xc e Yc. Determine também os momentos de inércia máximo e mínimo para o conjunto.

Figura (11)

(mm)

4

150

150

Y

X

150

Y

X

150

4

XC

YC

400

400


10) Para o conjunto formado por um perfil C e um perfil cantoneira, representado na figura (14), localize os eixos centrais de inércia, representando eles no desenho. Calcule os momentos de inércia Ix e Iy em relação aos seus eixos centrais de inércia. Localizar os eixos principais centrais de inércia representando eles no desenho. Calcular os momentos principais centrais de inércia indicando os eixos de valor máximo e mínimo.

11) Escreva as expressões que permitem determinar os momentos principais centrais de inércia para o perfil U ilustrado na figura (15).

15

1

30

15

0.5

Figura (14)

h

b

tb

thFigura (15)


12) Para a peça representada na figura (16) determinar:

a) A posição do centroíde, indicando no desenho os eixos centrais Xc e Yc.

b) Os momentos centrais de inércia em relação aos eixos traçados em a).

π

π

3

4 ,

2

by

abA celipsesemi ==

Momentos de inércia em relação aos eixos centrais de uma elipse:

4 ,

4

33ba

Iab

I yx

ππ==

Momentos de inércia em relação aos eixos centrais de um triângulo

36 ,

36

33hb

Ibh

I yx ==

13) O carro ilustrado na figura repousa sobre 4 medidores de força, e nesta posição a leitura para as rodas dianteiras e traseiras é dada por FD e FT. Demonstre como determinar a posição do centro de gravidade do carro sabendo a distância entre eixos, o diâmetro da roda e que os elevadores podem posicionar os eixos traseiros e dianteiros em alturas distintas.

X

Y

G

16) Para a peça representada na Figura (4) determine:

a) A posição dos eixos centrais;

b) Determine os momentos centrais de inércia Ix e Iy;

c) Determine o produto de inércia em relação aos eixos centrais Ixy;

d) Localize os eixos principais centrais de inércia. Represente a orientação destes eixos no desenho da figura;

30

50

40

50

Elipse

10

(mm)

25

Figura (16)

y

x

y

x

yc


e) Determine os momentos principais centrais de inércia. Identifique os eixos de momento de inércia máximo e mínimo.

4

4R

IIcc yx

π==

π3

4Ryx ==

16

4

11

RII yx

π==

8

4

11

RI yx =

36 ,

36

33hb

Ibh

I ycxc == 72

22hb

I xcyc −=

17) Calcular os momentos centrais de inércia e o produto de inércia em relação aos eixos centrais de um quarto de círculo com a orientação definida na figura (3).

xc

yc

R 20

20

(mm)

100

Ø20

40

25

30

35

18

xc

yc

x1

y1

y

x

xc

yc

Yc

XcC

π34R

π34R


18) Para a seção transversal formado por um perfil C (30x15x0,8x1,27) cm e um perfil cantoneira (20x20x1,59) cm determinar:

- O centróide do conjunto. Indicar no desenho as posições dos eixos de referência e do centróide;

- Os momentos centrais de inércia em relação aos eixos Xc e Yc;

- O produto de inércia em relação aos eixos centrais Xc e Yc;

- Localizar os eixos principais centrais de inércia. Indicar a orientação no desenho;

- Os momentos principais centrais de inércia. Indicar no desenho o eixo correspondente ao momento de inércia máximo e o eixo correspondente ao momento de inércia mínimo.

19) Calcular o momento central de inércia IYc da seção representada na figura (3).

20) Calcular o momento central de inércia IXc para a peça ilustrada na figura (2).

15

30

1,2

7

0,8

4,5

Cx

c

yc

20

20

1,59

(cm)

(cm)

xc

yc

C

4,79

4,7

9

Propriedades do perfil C: A = 60 cm2

IXc = 9247 cm4

IYc = 973 cm4

Propriedades do perfil cantoneira: A = 61 cm2

IXc = IYc = 2357,6 cm4

IXcYc = - 1403 cm4

5

(cm)

X

Y

2

8

18 xy −=

8 c

m

8 cm

20

10

10 20

50

5

205,020 xy −=

X

Y

(cm)


21) Para a seção transversal formada por dois perfis cantoneira (20x20x1,59) cm determinar:

- O centróide do conjunto. Indicar no desenho as posições dos eixos de referência e do centróide;

- Os momentos centrais de inércia em relação aos eixos Xc e Yc;

- O produto de inércia em relação aos eixos centrais Xc e Yc;

- Localizar os eixos principais centrais de inércia. Indicar a orientação no desenho;

- Os momentos principais centrais de inércia. Indicar no desenho o eixo correspondente ao momento de inércia máximo e o eixo correspondente ao momento de inércia mínimo.

22) Para a peça representada na Figura (4) determine:

a) A posição dos eixos centrais (usar os eixos de referência indicados no desenho);





Propriedades do perfil cantoneira: A = 61 cm2

IXc = IYc = 9247 cm4

IXcYc = - 1403 cm4

70

45

(cm)20

20

1,59

(cm)

xc

yc

C

4,79

4,7

9

30

10

10

10

10

(cm) xref

yref


23) Para a peça representada na figura abaixo determine:

a) A posição dos eixos centrais (usar os eixos de referência indicados no desenho);





24) Para a peça representada na figura abaixo determine: a) A posição dos eixos centrais ; b) Determine os momentos centrais de inércia Ix e Iy ; c) Determine o produto de inércia em relação aos eixos centrais Ixy ; d) Localize os eixos principais centrais de inércia. Represente a orientação destes eixos no desenho da figura ; e) Determine os momentos principais centrais de inércia. Identifique os eixos de momento de inércia máximo e mínimo. .

10

55

10

20

10 (cm)

xref

yref

6,4

3,9

(cm)

11,25

18,3

(cm) 30

20

15

22,5

1,9

1,9

1,9

1,9

(cm)


25) Para a peça representada na figura abaixo determine: a) A posição dos eixos centrais ; b) Determine os momentos centrais de inércia Ix e Iy ; c) Determine o produto de inércia em relação aos eixos centrais Ixy ; d) Localize os eixos principais centrais de inércia. Represente a orientação destes eixos no desenho da figura; e) Determine os momentos principais centrais de inércia. Identifique os eixos de momento de inércia máximo e mínimo.

26) Para o conjunto ilustrado na figura abaixo, formado por dois perfis L determine a localização dos eixos principais centrais de inércia, bem como os momentos principais centrais de inércia.

A = 11,72 cm2

IXc = 87,5 cm4

IYc = 122,64 cm4

IXcYc = - 61,7 cm4

27) Para o conjunto ilustrado na figura abaixo, formado por dois perfis L determine a localização dos eixos principais centrais de inércia, bem como os momentos principais centrais de inércia.

A = 11,72 cm2

IXc = 87,5 cm4

IYc = 122,64 cm4

IXcYc = - 61,7 cm4

6,4

3,9

(cm)11,25

18,3

(cm)

Figura 5

6

10

(cm)xc

yc

3

2.3

(cm)

xc

yc

3

2.3

(cm)

6

10

(cm)


28) Para o conjunto ilustrado na figura abaixo, formado por um perfil L (102x89x6,35) mm e um perfil I (160x80x6,35) mm determine a localização dos eixos principais centrais de inércia, bem como os momentos principais centrais de inércia. Considere as seguintes propriedades para o perfil L: A = 11,72 cm2, IXc = 87,5 cm4, IYc = 122,64 cm4 e IXcYc = - 61,7 cm4 correspondentes ao esquema ilustrado abaixo. Considere as seguintes propriedades para o perfil I: A = 19,51 cm2, IXc = 768,8 cm4 e IYc = 54,5 cm4 correspondentes ao esquema ilustrado abaixo.

29) Para o conjunto ilustrado na figura abaixo, formado por um perfil L (102x89x6,35) mm e um perfil I (160x80x6,35) mm determine a localização dos eixos principais centrais de inércia, bem como os momentos principais centrais de inércia. Considere as seguintes propriedades para o perfil L: A = 11,72 cm2, IXc = 87,5 cm4, IYc = 122,64 cm4 e IXcYc = - 61,7 cm4 correspondentes ao esquema ilustrado abaixo. Considere as seguintes propriedades para o perfil I: A = 19,51 cm2, IXc = 768,8 cm4 e IYc = 54,5 cm4 correspondentes ao esquema ilustrado abaixo.

30) Determinar os momentos principais centrais de inércia para a seção transversal ilustrada na figura ao lado. Indique claramente no desenho as posições dos eixos de referência, dos eixos centrais e dos eixos principais centrais de inércia. Indique no desenho qual eixo corresponde ao momento de inércia máximo e qual eixo corresponde ao momento de inércia mínimo.

xc

yc

3

2.3

(cm)

16

xc

yc

8

(cm) 3,5 (cm)

xc

yc

3

2.3

(cm)

16

xc

yc

8

(cm)

2,8 (cm)

25

15

7,5

0,6

(cm)


31) Determine o momento de inércia da seção transversal da viga ilustrada na figura abaixo.

32) Demonstre que o produto de inércia calculado em relação aos eixos principais de inércia é sempre igual a zero.

33) Para a peça ilustrada na figura (4) determinar a localização dos eixos centrais de inércia (representar estes eixos no desenho), os momentos centrais de inércia, a localização dos eixos principais centrais de inércia (representar estes eixos no desenho) e os momentos principais centrais de inércia, identificando os eixos correspondentes ao momento de inércia máximo e mínimo.

Obs. Os valores usados na função

xxy 3125,0 2+−= devem estar em cm.

100 100

25

25

200

45o

45o

C

200

45o

45°xc

(mm)

Figura (4)

18

01

50

120

40

60

Ø40

xxy 3125,0 2+−=

yref

xref

(mm)


r

x

y

t

34) Deduza a expressão que fornece o momento de inércia central xcI de uma barra circular de pequena espessura

ilustrada na figura (3). Considere que r>>t.

35) Para a área representada na figura (5) determine os momentos principais centrais de inércia. Localize os eixos principais centrais de inércia, identificando o eixo correspondente ao momento de inércia máximo e o eixo correspondente ao momento de inércia mínimo. Calcule os raios de giração máximo e mínimo.

36) Determine os momentos de inércia e o produto de inércia da área ilustrada na figura (4) em relação aos eixos x e y.

30

30 15

30

(cm)

45°45°

R

x

y


37) Para a área representada na figura (5) determine os momentos principais centrais de inércia. Localize os eixos principais centrais de inércia, identificando o eixo correspondente ao momento de inércia máximo e o eixo correspondente ao momento de inércia mínimo. Calcule os raios de giração máximo e mínimo.

38) Determinar os momentos principais centrais de inércia para a seção transversal ilustrada na figura (4). Indique claramente no desenho as posições dos eixos de referência, dos eixos centrais e dos eixos principais centrais de inércia. Indique no desenho qual eixo corresponde ao momento de inércia máximo e qual eixo corresponde ao momento de inércia mínimo.

39) Determinar o momento central de inércia em relação ao eixo xc da área ilustrada na figura (5).

15

15

50

40 (cm)

15

27

15

35

1,2 1,2

20

1,7

(cm)

xref

yref

20

30

18

32

24 24

x

y

(cm)


40) Deduza a expressão para determinar o momento central de inércia xcI da área ilustrada na figura (2). Localize os

eixos principais centrais de inércia (representar na figura) e identifique os eixos correspondentes ao momento de inércia máximo e mínimo.

41) Determinar os momentos principais centrais de inércia para a seção transversal ilustrada na figura (3). Indique claramente no desenho as posições dos eixos de referência, dos eixos centrais e dos eixos principais centrais de inércia. Indique no desenho qual eixo corresponde ao momento de inércia máximo e qual eixo corresponde ao momento de inércia mínimo.

42) Determine os momentos principais de inércia correspondentes ao ponto O indicado na figura (4).

R

x

y

7,5 7,5

15

10

R 5

(cm)

50

50

x

y

O

xx

y 250

2

+−=

(cm)


43) Determine os momentos principais centrais de inércia da área representada na figura (5). Localize os eixos centrais e os eixos principais representando-os no desenho.

50

80

30

20

40

R 15

(cm)

x

y

universidade federal do rio grande do sulmorsch/mecanica/lista2.pdf · porta do compartimento de...

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