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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA TÓPICOS DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA A

GERSON VALENCIO JORGE MELO

PAULO FLORES SARA CASTRO

UMA PROPOSTA DIDÁTICA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA PLANA: A QUESTÃO DO CONCEITO DE PERÍMETRO E ÁREA

NO ENSINO FUNDAMENTAL

PORTO ALEGRE

2009

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Gerson Valencio

Jorge Melo Paulo Flores Sara Castro

UMA PROPOSTA DIDÁTICA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA PLANA: A Questão Do Conceito De Perímetro e Área No Ensino Fundamental

Trabalho para conclusão da disciplina de Tópicos de Educação Matemática A, apresentado como requisito parcial para aprovação na disciplina do curso de mestrado na Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

Orientadora: Prof. Dra. Vera Clotilde Garcia

Porto Alegre

2009

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO................................................................................................................ 3 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA....................................................................................... 6 2.1 Comentário dissertação Nelson Arbach.......................................................................... 6 2.2 Comentário dissertação Anderson Secco........................................................................ 9 2.3 Comentário dissertação Ronaldo Antonio Braguim....................................................... 11 2.4 Comentário dissertação Loreni Aparecida Ferreira Baldini........................................... 13 3 ANÁLISES PRÉVIAS..................................................................................................... 15 3.1 Análise das propostas atuais para mudar e melhorar o ensino do tema......................... 15 3.2 Análise das dificuldades dos alunos............................................................................... 18 3.3 Análise didática.............................................................................................................. 20 3.4 Análise das possibilidades do uso de metodologias diferenciadas para ensino do tema 22 3.4.1. Softwares Educativos.............................................................................................. 22 3.4.2. Metodologia da Resolução de Problemas.............................................................. 23 3.4.3. Metodologia da Resolução de Problemas............................................................... 24 4 CONSTRANGIMENTOS QUE EMERGEM DAS ANÁLISES PRÉVIAS.............. 26 5 PLANO DE ENSINO...................................................................................................... 29 6 A EXPERIÊNCIA DIDÁTICA E SUAS ANÁLISES................................................. 33 6.1 O relato do professor – Gerson Valencio....................................................................... 33 6.1.1. 1º momento............................................................................................................... 33 6.1.2. 2º momento............................................................................................................... 35 6.1.3. 3º momento............................................................................................................... 36 6.2. Relato do observador – Paulo Flores............................................................................ 37 6.2.1. Uso do computador (1º momento).......................................................................... 37 6.2.2. Uso de material concreto (2º momento)................................................................. 38 6.2.3. Avaliação (3º momento).......................................................................................... 39 6.3. Análises de materiais coletados.................................................................................... 40 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS.......................................................................................... 44 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................. 47 ANEXO A – Email de pesquisa........................................................................................... 50 ANEXO B – Fotos da prática .............................................................................................. 51 ANEXO C – Produções dos alunos ..................................................................................... 57 ANEXO D – Avaliações dos grupos.................................................................................... 60

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1 INTRODUÇÃO

Este trabalho trata do ensino de geometria plana focalizando a questão do conceito de

perímetro e área no Ensino Fundamental e tem objetivos de:

a) detectar e descrever dificuldades no processo de ensino-aprendizagem;

b) propor uma mudança na prática didática usual, que pode ser muito pequena, mas

que contribua para a melhoria do cenário encontrado.

A escolha do tema baseou-se na sua importância e nas dificuldades detectadas no

processo de ensino-aprendizagem.

O ensino de geometria, especificamente os conceitos de perímetro e área, nas séries

finais do Ensino Fundamental, adquire grande importância quando percebemos como a

geometria está inserida em nosso dia-a-dia, ao nosso redor, nas formas da natureza, nos

instrumentos que usamos, nos objetos que vemos e manuseamos. A Geometria é considerada

como um instrumento em que o indivíduo pode: descrever, interagir e compreender o espaço

onde vive (ICMI, 1995). Neste sentido seu estudo adquire relevância como instrumento de

desenvolvimento de habilidades na resolução de situações e problemas do cotidiano, como na

orientação para dirigir um carro, na utilização de um mapa, na criação e manuseio de objetos.

O estudo de Geometria ajuda no desenvolvimento de raciocínios espaciais que serão

utilizados em outras áreas do conhecimento, ajuda no aprimoramento da capacidade de

análise-dedutiva, na formulação de hipóteses, na comparação de figuras, no trabalho com

medidas. Conforme Moreira :

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Observa-se que a Geometria é uma disciplina que oferece ao aluno possibilidades, frente a situações-problema, para desenvolver suas potencialidades. [...] ela é um dos ramos da matemática mais propícia ao desenvolvimento de capacidades e habilidades, a saber: a criatividade, a percepção espacial, o raciocínio hipotético-dedutivo, conduzindo a uma “leitura interpretativa” do mundo. (2007, p.1).

Num primeiro momento, antes do início dos estudos, já podemos identificar, na nossa

própria experiência, algumas dificuldades dos alunos, que se manifestam em não entender os

conceitos de perímetro e área de figuras planas, pois apresentam, não raro, cálculos de

perímetro como resposta a indagações sobre área e vice-versa. Vários alunos perguntam se “é

pra somar as medidas ou é pra multiplicar?” mostrando nitidamente a confusão conceitual e

prática no que se refere a perímetro e área. Tanto na leitura de problemas, quanto na

visualização das figuras, a idéia de perímetro e área não se mostra entendida. Um simples

problema como: Determine o perímetro da figura abaixo, é respondido com a multiplicação

dos dois valores apresentados.

Figura 1.01 – Exemplo para cálculo de perímetro

A resposta de uma boa parcela dos alunos para a pergunta do valor do perímetro da

figura acima é 10cm x 5cm = 50 cm.

Vamos desenvolver uma pesquisa para orientar uma prática de ensino que pretende

trazer alguma inovação para o ensino de Geometria, focando o conceito e a resolução de

exercícios que envolvem perímetro e área de figuras plana, nas séries finais do Ensino

Fundamental.

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A prática será desenvolvida na Escola Municipal de Ensino Fundamental Emília de

Oliveira, na sétima (7ª) série, no dia dois (2) de junho de 2009, em dois períodos, pelo

professor Gerson Valencio.

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2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1. Comentário dissertação Nelson Arbach

Nelson Arbach (2002) apresenta uma dissertação em que trata do ensino de geometria

plana: o saber do aluno e o saber escolar nas séries finais do Ensino Fundamental.

O objetivo do trabalho consiste em desenvolver uma proposta de ensino que leve em

conta “a necessidade de um contrato didático que priorize a argumentação dos alunos, em um

processo heurístico de provas e refutações, e, por outro lado, o uso das demonstrações como

sistema de validação privilegiado da matemática”(Arbach.2002.p 15). Duas questões dão

origem ao estudo. A primeira é: “Quais as características do contrato didático, relacionadas ao

ensino de ‘conteúdo’ de Geometria favoreça aceitar e/ou refutar as tentativas de aproximação

entre o saber produzido pelos alunos e o saber escolar? Nesta perspectiva, que tipo de

atividades seriam eficazes para propor aos alunos?” (p.31) A segunda questão proposta é: “

Que sistemas de validação poderiam ser utilizados no ensino de Geometria Plana no nível

fundamental, que pudessem favorecer a aproximação do saber produzido pelos alunos e o

saber escolar, adequados aos conhecimentos dos alunos e às operações de raciocínio aceitas

pela lógica formal como, por exemplo, a dedução?” (p.34).

O trabalho se desenvolveu seguindo a metodologia experiência de ensino, onde o autor

propõe uma atividade extra, paralela às desenvolvidas em sala de aula, para dois grupos de

alunos com cinco elementos em cada grupo. O autor da pesquisa quer demonstrar que o

ensino de geometria, baseado em argumentações desenvolvidas por um processo de

descoberta de provas e refutações, aliado a um contrato pedagógico construído com os alunos,

que privilegie o uso das demonstrações como validação matemática, pode contribuir para uma

melhor compreensão da Geometria pelos alunos, tornando este estudo mais atraente e

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facilitando sua aprendizagem. Nelson Arbach realizou pesquisas sobre o tema Ensino de

Geometria e observou que, além de existirem poucas produções acadêmicas sobre o assunto,

elas evidenciam o abandono do ensino de geometria no nível fundamental, apontando como

causas as ideologias vigentes, má formação e qualificação dos professores, abandono do

trabalho de geometria nos livros didáticos e as lacunas deixadas pelo movimento Matemática

Moderna, entre outros. Baseado nas teorias de Balacheff(1987) e Polya(1954) com relação a

demonstrações e apoiado nas idéias de noção de contrato didático de Brousseau(1986) citados

na página dez da referida obra, o autor da pesquisa escolheu, de forma aleatória duas classes,

da mesma instituição, mas de regiões diferentes e sujeitos de práticas pedagógicas, no ensino

de matemática, diferentes. De cada classe escolheu, de forma aleatória, cinco alunos para

comporem dois grupos que resolveriam atividades de geometria, de forma coletiva, com a

proposta de resolverem suas atividades através de mecanismos de provas, demonstrações,

análise e generalizações, baseados somente em seus conhecimentos, sem consulta a livros,

apenas com algumas orientações do pesquisador. Foram apresentados dois problemas aos dois

grupos, ambos resolveram, mas por mecanismos de validação diferentes. Enquanto o primeiro

grupo, acostumado com demonstrações que validem conjecturas, conseguiram resolver as

atividades e generalizar de forma ampla, o segundo grupo, que era acostumado a validar suas

conjecturas através de exemplos, não conseguiu produzir uma generalização ampla, ficando

numa generalização mais restrita. Estas análises feitas pelo autor da pesquisa têm como base

as apresentações dos resultados pelos alunos, a participação de cada membro do grupo, suas

hipóteses levantadas, a capacidade de argumentação de cada um e o conhecimento escolar já

evidenciado.

Nelson Arbach conclui que uma prática docente que tenha como base a participação e

a argumentação do aluno nas produções em Geometria, pode favorecer um novo contrato

didático que privilegie a demonstração como sistema de validação; que o uso de

demonstrações como mecanismos de prova torna a Geometria atraente para os alunos; e que o

abandono, por parte dos professores, do uso das demonstrações, em detrimento da utilização

de exemplos como mecanismos de validação, podem dificultar que os alunos produzam

generalizações.

Ao final do texto, encontra-se a resposta à pergunta inicial do seguinte modo:

“Processos heurísticos de provas e refutações, estabelecidos no contrato didático, mesmo

quando implicitamente, podem facilitar a produção de saberes pelos alunos, aproximando este

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saber ao saber escolar”(p.83). “A elaboração pelo professor de material didático como o

utilizado nessas atividades (em forma de desafios) pode contribuir para suprir uma falta nos

livros didáticos.” (p.84).

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2.2. Comentário dissertação Anderson Secco

Anderson Secco (2007) apresenta uma dissertação em que trata do ensino do conceito

de área através do uso da composição e decomposição de figuras planas, no nível

fundamental.

O objetivo do trabalho consiste em investigar através do uso da composição e

decomposição de figuras planas, até a demonstração das fórmulas, como o conceito de área

pode ser apresentado de maneira significativa e motivadora aos alunos da 8ª série do Ensino

Fundamental. A questão que deu origem ao estudo foi “Como o processo de reconfiguração

de figuras poligonais planas contribui para a apropriação do conceito de um polígono? Como

esse processo favorece a passagem do empírico para o dedutivo?” (Secco, 2007, pg.31).

O trabalho se desenvolveu seguindo a metodologia de pesquisa da engenharia didática,

a qual se divide em: análises preliminares, concepção da seqüência didática e análise a priori

das atividades, experimentação e, por fim, análise a posteriori das atividades. Da confrontação

entre a análise a priori e a análise a posteriori, valida-se ou não a questão da pesquisa.

Seguindo as etapas da pesquisa o autor organizou um estudo matemático do tema – “Área”-

através de um breve histórico, para o qual consultou obras de diversos autores desde os

primeiros registros sobre o cálculo de área até a análise de livros didáticos atuais (PNLD),

verificando como o assunto é abordado atualmente. Em seguida traz a concepção da

seqüência didática de ensino criada para auxiliar o aluno na construção do significado do

conceito de área de figuras planas, através da composição e decomposição de figuras. Estas se

apóiam na operação de reconfiguração através da qual se espera que os alunos consigam

entender o conceito de área como uma medida de comparação entre superfícies onde uma

figura possui área maior, menor ou igual a outras. A seqüência se divide em três blocos:

� Atividades concretas- neste bloco trabalha-se com material concreto

usando de transformações geométricas para resolver as atividades e

através da percepção chega-se ao conceito de área;

� Atividades com o uso do software Cabri-Gèométre – neste bloco

utilizam-se as construções geométricas e suas propriedades através

da geometria dinâmica, além da percepção;

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� Justificativa das fórmulas – neste bloco o objetivo é introduzir as

fórmulas para o cálculo de área, procurando sistematizar o que foi

verificado anteriormente.

Em cada bloco o autor faz uma análise a priori de todas as atividades relatando a atividade, os

objetivos a serem alcançados, as possíveis dificuldades ou interferências que o professor-

pesquisador deve fazer e as respostas que poderão ser dadas pelos alunos. A prática foi

realizada com alunos da 8ª série do Ensino Fundamental, organizados em duplas de trabalho

em cinco encontros de 2h cada.

Secco (2007) conclui que as produções dos alunos mostraram que eles conseguiram

fazer comparações, estimativas, medições por contagem e adição e subtração de partes

elementares – reconfiguração de figuras. E também conseguiram deduzir e justificar as

fórmulas das principais polígonos sem dificuldades após o processo de reconfiguração.

Ao final do texto, encontra-se a resposta à questão inicial: “Os resultados obtidos

sugerem que o processo de reconfiguração de figuras poligonais planas contribuiu para que os

alunos se apropriassem melhor do conceito de área de um polígono e favoreceu a passagem

do empírico para o dedutivo”.

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2.3. Comentário dissertação Ronaldo Antonio Braguim

Ronaldo Antonio Braguim(2006) apresenta uma dissertação em que trata do ensino de

perímetros e áreas no nível fundamental.

Os objetivos do trabalho consistem em contribuir com a formação inicial e continuada

de professores. A pergunta que deu origem ao estudo foi “A partir da perspectiva do

professor e do aluno, quais seriam os limites e possibilidades das abordagens metodológicas:

expositiva tradicional, oficinas, aulas com o auxílio do computador e aulas com projetos

temáticos para o ensino de perímetros e áreas?” (Braguim,2006, pg. 5).

O trabalho se desenvolveu seguindo a metodologia: desenvolver experiências de

ensino como fonte de informações para pesquisa qualitativa.

O autor coloca em prática quatro abordagens para desenvolver o conteúdo proposto:

a) aulas expositivas tradicionais: uso de quadro, giz, exercícios no

caderno e livro didático, tendo o professor com o papel de

detentor do conhecimento e os alunos como assimiladores;

b) aulas oficina: uso de materiais manipuláveis, com o intento de

fazer medições, tendo o professor como mediador e os alunos

como construtores do conhecimento;

c) aulas com o auxílio do computador: uso do computador como

ferramenta didática, tendo o professor como mediador e os

alunos como construtores do conhecimento;

d) aulas com projeto temático: uso de materiais manipuláveis, com

o intento de construir pipas, tendo o professor como mediador e

os alunos como construtores do conhecimento.

Antes de colocar em prática seus planos de ensino Braguim buscou, com diversos

autores, fundamentação teórica para cada abordagem metodológica, formando assim, uma

fonte de informações para consulta de professores, um dos objetivos de seu trabalho, o intento

de contribuir para formação.

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Sua prática foi realizada com alunos da 8ª série de uma escola municipal da periferia

de São Paulo, sendo realizada inicialmente uma avaliação diagnóstica e, após realizar as aulas

planejadas, novas avaliações seguidas de entrevistas, preenchimento de questionários e auto-

avaliações dos alunos a respeito do método utilizado no ensino.

Os dados, incluindo as notas de aulas realizadas durante o processo, foram

organizados em tabelas e gráficos para melhor visualização.

Ronaldo Antonio Braguim concluiu que, mesmo não sendo o objetivo inicial da

pesquisa, a prática com os computadores mostraram melhores resultados, além de todas as

metodologias possuírem limites (tempos, equipamentos, espaços) e gerarem possibilidades,

desde que os professores se proponham a fazer uso adequado dos erros e escutarem os alunos.

Ao final do texto, encontra-se a resposta à pergunta inicial do seguinte modo: colocando a

necessidade da constante atualização dos professores que, ao acompanharem as mudanças do

mundo, propiciem um ensino mais significativo formando assim, cidadãos capazes de

interagirem com o meio e mudarem a sua realidade.

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2.4. Comentário dissertação Loreni Aparecida Ferreira Baldini

Loreni Aparecida Ferreira Baldini apresenta uma dissertação de mestrado em que trata

do ensino de geometria plana no Ensino Fundamental.

Os objetivos do trabalho consistem em verificar se a informática, através do software

Cabri Géomètri II, contribui para a construção de conceitos em geometria plana, neste caso,

mais especificamente, na construção dos conceitos de área e perímetro. A questão que dá

origem ao estudo foi a preocupação de buscar subsídios para a melhoria do ensino e

aprendizagem de geometria e pelo interesse em utilizar a informática como apoio pedagógico,

uma vez que a autora percebeu as grandes dificuldades apresentadas pelos alunos que não

conheciam conceitos importantes de geometria.

O trabalho se desenvolveu seguindo uma abordagem qualitativa, pois seu interesse era

verificar aspectos do processo de ensino e aprendizagem na construção dos conceitos de área

e perímetro, por meio de software dinâmico. Assim, adotou-se a metodologia da Engenharia

Didática, que trabalhava tanto a dimensão teórica, quanto a dimensão experimental dos

procedimentos metodológicos da pesquisa. Nessa teoria, a validação da pesquisa é feita com a

confrontação entre a análise a priori e a posteriori dos resultados. Finalmente, a autora seguiu

as quatro fases da Engenharia Didática, ou seja, análise prévia, concepção e análise a priori,

de experimentação, e análise a posteriori e validação.

A autora realizou estudos sobre os PCN de 6º ao 9º anos do Ensino Fundamental,

estudos sobre livros didáticos do 6º ao 9º anos do Ensino Fundamental, bem como a proposta

Curricular do Ensino Fundamental vigente no Estado do Paraná (1992). Em seguida, fez um

teste de sondagem, referente aos conceitos de área e perímetro, onde foram obtidos, segundo

Loreni (2004, p. 88) “resultados bastante indesejáveis com relação a estes conceitos”. O teste

foi aplicado a 68 alunos do 1º ano do Ensino Médio, do Colégio Estadual Luiz Izidoro

Ceváralo, da cidade de Apucara-PR, e seus resultados foram tabelados e analisados

estatísticamente.

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Mais adiante, foi apresentado aos alunos 21 alunos com pior desempenho no pré-teste

o software Cabri Géomètri II e propostas atividades que deveriam ser desenvolvidas com o

auxílio desse programa de computador.

Por fim, foi aplicado um pós-teste, sobre conceitos envolvendo área e perímetro, com

a utilização de lápis e papel e novamente seus resultados foram tabelados e analisados

estatísticamente. Assim, a autora considerou o desempenho dos alunos nessa segunda

avaliação muito superior ao desempenho anterior.

Loreni concluiu que, primeiramente, os alunos que participaram da pesquisa, de modo

geral, ficaram muito entusiasmados e adquiriram rapidamente habilidades relacionadas ao

software Cabri Géomètri II. E, o estudo constatou e confirmou as deficiências no ensino e

aprendizagem de geometria.

Por outro lado, o software Cabri Géomètri II mostrou-se agradável e dinâmico, o que

possibilitou a observação mais detalhada de algumas propriedades das figuras planas,

contribuindo para a construção dos conceitos de área e perímetro.

Ao final do texto, encontra-se a resposta à pergunta inicial do seguinte modo, segundo

Loreni (2004, p. 171):

Tendo em vista o bom desempenho dos alunos na realização da seqüência didática, acredita-se que a mesma atingiu o seu objetivo. O software Cabri Géomètri II, com sua geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades experimentais, satisfez as expectativas e a hipótese de auxiliar a construção dos conceitos de área e perímetro. Pode-se constatar, no presente trabalho, que o Cabri Géomètri II oferece uma alternativa para o ensino de geometria, pois os resultados apresentados neste estudo mostram vantagens na aprendizagem do aluno.

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3 ANÁLISES PRÉVIAS

3.1. Análise das propostas atuais para mudar e melhorar o ensino do tema

A organização desta análise teve como base as dissertações de mestrado de Anderson

Secco (2007) e de Loreni Baldini (2004) e o trabalho de Elaine Oliveira e Maria Morelatti

(2006), os quais versam sobre geometria e mais especificamente sobre o ensino-aprendizagem

do conceito de área de figuras planas no nível fundamental. Tem-se aqui o objetivo de expor

algumas críticas ao ensino usual do tema área bem como relatar as propostas dos autores para

modificar o quadro atual do ensino deste tema.

Segundo Oliveira e Morelatti (2006), os professores, de um modo geral, ainda

abordam os conceitos geométricos partindo do estudo do ponto, reta e plano para depois os

sólidos geométricos, invertendo a seqüência proposta nos Parâmetros Curriculares Nacionais

– PCN (BRASIL, 1997), o qual sugere a necessidade de se partir do tridimensional e chegar

ao bidimensional e unidimensional, “Os alunos ao entrarem em contato com a geometria, da

forma linear e abstrata que está sendo apresentada, adquirem dificuldades de aprendizagem

por não conseguirem dar sentido ao conteúdo abordado e relacioná-los a sua vida e a outros

conceitos matemáticos” (Oliveira e Morelati, 2006, pg. 5).

A pesquisa realizada por Baldini (2004) traz uma reflexão importante sobre como os

professores estão trabalhando os conceitos de área e perímetro de figuras planas.

Primeiramente o autor organizou um estudo em três coleções de livros didáticos de 5ª a 8ª

séries e concluiu: “Nas três coleções, um mesmo conteúdo aparece distribuído nos volumes e,

às vezes, em capítulos distintos com enfoques diferentes. O uso de material de desenho, das

embalagens, de dobraduras, do tangram, etc, nos fez perceber uma opção por um ensino

dinâmico da geometria” (Baldini,2004,pg. 79). E sobre área e perímetro, especificamente,

verificou

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Tem-se uma abordagem experimental que induz à descoberta e oportuniza a participação do aluno; os conceitos vão sendo introduzidos no decorrer dos estudos em direção à formalização; explora e aplica esse conceito ao longo do percurso escolar; várias atividades e exercícios, que trabalham “área e perímetro”, são numa mesma figura ou numa mesma situação (Baldini, 2004, pg. 79).

Apesar disso os alunos chegam ao final do Ensino Fundamental sem vários conhecimentos

sobre área e perímetro, como mostra os resultados do pré-teste realizado por Baldini com

alunos 1º ano do Ensino Médio, no qual muitos alunos demonstraram grandes dificuldades na

resolução de questões relacionadas a estes conteúdos. Baldini (2004) também realizou uma

entrevista com alguns professores do Ensino Fundamental de 5ª a 8ª séries e, segundo Baldini

(2004, pg. 88)

Diante dos baixos rendimentos dos alunos no pré-teste, questiona-se sobre que fatores levam a esses resultados tão insatisfatórios. Estariam os professores como disseram, trabalhando “medida” interligada com geometria e outros campos da matemática? Os livros didáticos seriam uma fonte de formação continuada de professores?

Com a motivação de que a informática, através de seus softwares educativos, permite

um aprendizado dinâmico e mais participativo por parte dos alunos, Baldini (2004) organizou

uma sequência didática utilizando o software Cabri Géomètri e obteve resultados positivos

para a construção dos conceitos de área e perímetro.

Secco (2007) organizou, no início de seu trabalho, um teste com alunos da 8ª série

sobre área de figuras planas e constatou que até então os alunos não tinham construído o

conceito de área de uma forma significativa, o que o levou a organizar um estudo e elaborar

uma seqüência didática baseada no processo de reconfiguração de figuras poligonais planas

para proporcionar aos alunos uma aprendizagem significativa do conceito de área.

A partir dos trabalhos consultados evidencia-se o fato de que os alunos concluem o

Ensino Fundamental sem terem aprendido conceitos de geometria, em particular, o conceito

de área. Apesar de os livros didáticos terem sofrido alterações no sentido de distribuir os

conteúdos de geometria ao longo das coleções e de estarem fazendo mais relações entre

geometria e conteúdos da vida e outros campos da matemática. Segundo Oliveira e Morelati

(2006, pg. 5)

“(...) nos cursos de formação de professores de Ensino Fundamental e Médio os conceitos geométricos não são priorizados; a falta de preparo do professor para

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trabalhar com este assunto; uma parcela considerável de professores ainda não conhece a real importância deste conteúdo para o desenvolvimento cognitivo”.

Após estas reflexões os professores pesquisadores nos trazem alternativas diferenciadas para

proporcionar aos alunos uma aprendizagem significativa em geometria que são sempre

realizadas através de estudo e com planejamento detalhado e organizado mostrando que é

possível modificar o quadro desfavorável da aprendizagem de geometria.

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3.2. Análise das dificuldades dos alunos

Esta análise procurou responder a seguinte pergunta: Quais são as principais

dificuldades dos alunos com relação ao tema Geometria Plana – área e perímetro?

Ao analisarmos as dificuldades e erros cometidos por nossos alunos a respeito desse

tema, seria apropriado inicialmente apresentarmos os significados dados ao erro, segundo

algumas visões vigentes. Por exemplo, nos PCNs para o Ensino Fundamental, “o erro é

inevitável e, muitas vezes, pode ser interpretado como caminho para buscar o acerto” (1998.

pg. 55). Já em uma matéria publicada pela Revista Nova Escola, sobre a didática de Guy

Brousseau, em sua teoria das Situações Didáticas temos uma concepção inovadora do erro,

que “deixa de ser um desvio imprevisível para se tornar um obstáculo valioso e parte da

aquisição de saber. Ele é visto como o efeito de um conhecimento anterior, que já teve sua

utilidade, mas agora se revela inadequado ou falso.”(Revista Nova Escola, 2009, p.29).

Porém, a concepção mais usual de erro é a que está nos dicionários: erro é um engano, um

equívoco, inexatidão (Dicionário on-line Michaelis). Ao analisarmos os principais erros

cometidos por nossos alunos, estamos nos referindo a respostas que não estão de acordo com

as que queremos que nossos alunos nos apresentem. Neste sentido, as respostas dadas pelos

colegas pesquisados e pelos próprios alunos, estão refletidas numa concepção de erro que não

está levando em conta a construção do pensamento lógico-matemático, nem a bagagem

cultural trazida pelo aluno, mas avalia apenas o resultado final, que, neste caso, deve ser o

esperado pelo professor.

Para esta análise questionei junto a cinco colegas que lecionam tanto no ensino

fundamental quanto no ensino médio, quais eram os erros que costumeiramente os alunos

apresentavam no ensino de área e perímetro de figuras planas. A resposta de todos foi

unânime: os alunos confundem os conceitos, calculando área ao invés de perímetro e vice-

versa. Dois dos entrevistados também citaram que “os alunos erram na transformação das

unidades de medida de área e comprimento”. Quando perguntados sobre as principais

dificuldades observadas no ensino deste tema, as respostas versaram sobre o problema de

relacionar a fórmula adequada a figura apresentada, dúvidas quanto as transformações de

unidades de medida e a confusão de conceitos, confundindo área com perímetro e perímetro

com área.

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Do ponto de vista dos alunos, solicitei a três alunos do ensino médio, um do primeiro

ano e dois do terceiro ano, que conceituassem área e perímetro de figuras planas e

calculassem o perímetro e a área de um retângulo de 7 cm por 3 cm. O aluno A e B (os dois

do terceiro ano) definiram o perímetro como “a soma de todos os lados”. O aluno B

conceituou área como sendo “a multiplicação dos lados”. O único que tentou calcular a área, o

aluno A, acertou o valor, mas calculou o perímetro como “7 + 3 = 10”, ou seja, tendo

conceituado perímetro como a soma de todos os lados, apenas somou dois destes lados,

aqueles que estavam com as medidas, esquecendo o conceito de retângulo e os outros dois

lados.

O que pude observar, com relação às dificuldades dos alunos no ensino de área e

perímetro, tanto pela pesquisa com os colegas professores, quanto pela atividade desenvolvida

com os alunos, é que os conceitos estão confusos entre os alunos, não sabendo eles o que

realmente fazer quando confrontados com atividades relacionadas. Como não entendem o

conceito, não realizam os cálculos de forma adequada. Além disso, também apresentam

dificuldades no trabalho com unidades de medidas, não sabendo como usá-las

adequadamente.

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3.3. Análise didática

Nos últimos anos o ensino de geometria vem sendo negligenciado:

“Apesar de a Geometria configurar de forma relevante em dois

dos quatro eixos estruturadores dos Parâmetros Curriculares

Nacionais de matemática do ensino fundamental, ela ainda vem

sendo vítima de um abandono gradativo nas últimas décadas no

Brasil”. (DUARTE e SILVA, 2006 apud DIAS e SANTOS,

2007, p.1)

Esta negligência se reflete nos livros didáticos como podemos ver nas análises abaixo:

Bigode (2000, p.248,5ª) aborda o tema perímetro mostrando exemplos da necessidade

de se fazer medições com a quantidade de arame, que um sitiante utiliza, para “cercar” um

sítio ou a quantidade de material, que uma bordadeira utiliza, para ornamentar as “beiradas”

de uma toalha e questiona, posteriormente, como o leitor faria para determinar a medida da

cerca de um jardim (retangular), formando assim o conceito de perímetro como sendo à

medida do contorno de uma figura.

Em sua obra Bigode (2000, p.251,5ª) define área como medida de superfície e, a partir

da apresentação do metro quadrado como unidade padrão para medir superfície utiliza, a

partir daí, apenas o termo área apresentar as fórmulas de algumas figuras planas.

Talvez na busca de evitar que o leitor (aluno) confunda área com perímetro, BIGODE

(2000, p.256 - 257) monta algumas figuras com palitos para calcular área e perímetro.

Muitos autores de livros didáticos apresentam o que chamam de currículo helicoidal,

ou seja, o conteúdo é visto em diversos níveis sendo mais aprofundado em cada fase, neste

caso, o assunto área é apresentado novamente, no livro da 7ª série do BIGODE (2000, p.77-

90), como se o conceito já tivesse sido absorvido e é feita uma “dedução” de mais fórmulas.

Já IEZZI, DULCE e MACHADO (2000, p.235-242) apresentam a definição de

perímetro de um polígono como soma dos comprimentos de todos os lados e a área como uma

comparação de superfícies com peças do tangram.

Em ambos os casos percebe-se uma concepção de ensino que influência os

educadores: “(...) professores de matemática, apoiados nos livros didáticos, introduzem o

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conceito de área como um número associado a uma superfície e rapidamente passam ao

cálculo da área, utilizando fórmulas.” (FACCO, 2003, p.31 apud DIAS e SANTOS, 2007,p.4)

Há professores que, embora utilizem o livro didático como fontes de exercícios,

buscam apresentar a teoria de forma diferente da forma encontrada nos mesmos, chamando

esta maneira de tradicional de ensino. A professora Fernanda Rosa, da Escola Estadual

Gabriela Mistral, apresenta a definição de área, antes de definir perímetro, após comparar

diversas figuras planas, de forma muito semelhante aos livros didáticos, diferenciando-se

apenas pela ordem da apresentação dos assuntos.

De forma geral, percebe-se um ensino de área desarticulada do ensino de perímetro,

como se a superfície de uma figura não tivesse uma relação com o seu contorno (Perrotta e

Perrotta, 2005).

Outra forma de se ensinar estes assuntos é fazer uma abordagem histórica. Pode-se

mostrar como era importante o conhecimento de geometria, em especial área e perímetro, para

resolver problemas do cotidiano dos Egípcios, na demarcação de terras, construção de

templos, cálculo de impostos (de acordo com a quantidade de terras). Esta forma oportuniza

fazer a passagem da geometria empírica para demonstrativa (Rocha, Pessoa, Silva Filho e

Pereira, 2007).

É notória a necessidade de se buscar uma maneira diferente de se ensinar geometria

(área e perímetro), uma forma que realmente dê significado ao conteúdo. Quais seriam as

dificuldades de colocar em prática outra forma de se ensinar este assunto? As dificuldades são

justamente as formas tradicionais de ensinar que engessam os professores, bloqueando o

pensamento inovador.

22

3.4. Análise das possibilidades do uso de metodologias diferenciadas para ensino do tema

A geometria, não somente como ramo da matemática, por sua beleza e harmonia,

desperta naturalmente o interesse de todas as pessoas. Sua vivência é diária, constante e,

sobretudo, permeável a todos os níveis da interação entre homem e meio ambiente.

Apesar disso, e embora a geometria seja de extrema utilidade prática, sua abordagem

vem ao longo das últimas décadas sofrendo um progressivo abandono ou tratamento de pouco

interesse e puramente superficial. De acordo com Carneiro e Déchen (2007, pág. 3, apud

Lorenzato, 1995):

Muitas são as causas para esse abandono, mas os principais são: a má formação dos

professores, que sem os conhecimentos de Geometria tendem a não ensiná-la e a

dependência dos livros didáticos que trazem esses conteúdos no final, portanto

ficando para serem ensinados no fim do ano letivo. Além disso, os livros trazem a

Geometria com uma abordagem euclidiana, ou seja, um conjunto de definições,

propriedades e fórmulas.

Sendo assim, abrem-se algumas tendências de perspectivas de ensino de geometria,

através do uso de metodologias diferenciadas, tais como:

3.4.1. Softwares Educativos

Com a evolução da informática e o acesso facilitado aos computadores, verifica-se

uma ampla possibilidade de aplicação dessa poderosa ferramenta à educação.

A informática, através dos seus softwares educativos, permite um aprendizado

dinâmico e mais participativo por parte dos alunos, evidenciando no discente a figura central

do processo ensino e aprendizagem.

Entretanto, verificam-se algumas deficiências nessa metodologia, sobretudo na

capacitação de profissionais que conheçam razoavelmente suas ferramentas e aplicações.

23

Por outro lado, a geometria dinâmica permite grande exploração de construções de

conceitos geométricos, onde se destacam, segundo Santos e Martinez (2000): “a precisão e

visualização, a exploração e a descoberta, as provas de teoremas, as transformações e lugares

geométricos e a simulação e micro mundos”.

Entre os softwares educacionais mais utilizados para o ensino de geometria destacam-

se: o Cabri Géomètri, o Sketchpad e o Geogebra, além da linguagem LOGO de programação.

Além desses softwares educativos, específicos para aplicação em geometria,

ressaltamos os chamados “pacotes CAD 3D”, inicialmente desenvolvidos para utilização nos

diversos ramos da engenharia, mas com poderoso aproveitamento em animações de terceira

dimensão na geometria espacial. Temos ainda, o “Macromedia Flash”, interessantíssimo

software de animação, que pode facilmente ser aplicado em geometria, especialmente em

transformações, reflexões e construções, aliando a matemática à visualização dos seus

conceitos.

3.4.2. Metodologia da Modelagem Matemática

Segundo Bassanezi (2004, p.16), “a modelagem matemática consiste na arte de

transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando

suas soluções na linguagem do mundo real”.

Sendo assim, constata-se uma grande necessidade da aplicação dessa metodologia,

uma vez que ela aproxima a realidade do aluno à sala de aula, garantindo maior motivação e,

consequentemente, maior e melhor qualidade de aprendizagem.

Entretanto, faz-se necessária a aplicação da metodologia da modelagem matemática

com elevado senso de reflexão e liberdade de solução e posicionamento. Dessa forma, é

imprescindível incentivar a criatividade e a autonomia dos alunos para que, aliados a

aplicação da matemática, possam criticar e transformar suas realidades pessoais,

relacionando-as com outros contextos, não somente ligados à matemática.

24

Assim, a modelagem matemática, especialmente na geometria, possibilita aos alunos

constatar e enxergar significativamente o seu emprego no dia a dia, tornando os alunos muito

mais participantes do processo ensino e aprendizagem.

3.4.3. Metodologia da Resolução de Problemas

Na metodologia da resolução de problema, tem-se inicialmente uma situação problema

como partida inicial para a orientação do processo de ensino e aprendizagem.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, pág. 39):

Em contrapartida à simples reprodução de procedimentos e ao acúmulo de

informações, educadores matemáticos apontam a resolução de problemas como

ponto de partida da atividade matemática. Essa opção traz implícita a convicção de

que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações

desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução.

Sendo assim, verifica-se a real necessidade de melhor desenvolvimento e divulgação

dessa metodologia entre os professores para que tal ferramenta seja amplamente explorada e

aproveitada em maior profundidade.

Por outro lado, encontramos na literatura atual três tipos de concepções sobre o ensino

de resolução de problemas: ensino de matemática sobre resolução de problemas, ensino de

matemática para a resolução de problemas e ensino de matemática através da resolução de

problemas.

Nesse contexto, destacamos a experiência da Professora Rosane Ratslaf, do Colégio

Militar de Porto Alegre, onde a docente propõe em uma de suas atividades de introdução ao

estudo de áreas de figuras planas a seguinte atividade:

A professora propôs aos alunos, divididos em grupo, verificar qual a sala de aula seria

mais adequada para cada uma de suas turmas de 8º ano, considerando o número diferente de

alunos por turma e a dimensão, também diferente, das salas de aula.

25

Sendo assim, a idéia seria relacionar de modo, inicialmente intuitivo, a noção de área

de um retângulo, fazendo relação com o número de alunos.

Portanto, a partir de uma necessidade real - uma situação problema - o conteúdo área

seria apresentado, desenvolvido e formalizado, a fim de contextualizar a matemática e

orientar o processo de ensino aprendizagem.

26

4 CONSTRANGIMENTOS QUE EMERGEM DAS ANÁLISES PRÉVIAS

Constatamos que o ensino usual do tema está centrado numa metodologia dita

tradicional com uma abordagem descontextualizada e muitas vezes superficial. Não explora o

fato de a geometria estar expressa no mundo real (tridimensional) e é pouco relacionada com

outros campos da matemática ou das ciências.

Percebemos que as pesquisas sugerem um método inovador com uma abordagem mais

interessante ao aluno proporcionando assim, na manipulação de materiais concretos ou no uso

de recursos computacionais, a construção dos conceitos de forma mais significativa. Assim,

decidimos delinear o objeto deste trabalho: estudar a viabilidade de uma abordagem mais

satisfatória para o ensino de geometria, especificamente os conceitos de área e perímetro.

Para isto, identificamos e descrevemos os constrangimentos que se opõem à melhoria

do ensino, neste quadro. Buscamos, nas análises prévias, as razões da manutenção do ensino

usual predominante, listando os constrangimentos que dificultam a mudança de estado. Pela

modificação de pelo menos um destes constrangimentos, pode-se ter o sistema estabilizado

em outro ponto de equilíbrio que se julga mais satisfatório.

Neste caso, podemos resumir os principais constrangimentos responsáveis pela

tradição do ensino de geometria em 5 níveis:

1) Dificuldades inerentes ao conceito e à história do conceito.

Uma das dificuldades inerentes ao conteúdo está no fato da geometria se apresentar

em diferentes categorias: intuitiva, analítica, dedutiva/euclidiana (formal) e ainda, outras

geometrias, não euclidianas. Sua origem é historicamente intuitiva prática – relacionada

com compreensão das formas presentes no mundo e com medidas, no entanto, problemas

de medidas tornam-se, na escola, puramente aritméticos perpassados por situações

pseudo-práticas.

27

2) Dificuldades inerentes aos professores, seus hábitos, sua didática tradicional.

Formas tradicionais de ensino, de área e perímetro, limitam os professores,

bloqueando o pensamento inovador, ficando a prática apenas num conjunto de definições,

propriedades e fórmulas.

Esta dificuldade poderia ser sanada através de uma efetiva formação continuada que

capacitaria o professor podendo vislumbrar um leque de dinâmicas para o ensino de

geometria, em especial área e perímetro.

3) Dificuldades inerentes aos alunos, suas dificuldades de compreensão do conceito.

Os alunos confundem os conceitos de área e perímetro e também se atrapalham ao

resolverem atividades de cálculo de áreas, pois muitas vezes não sabem qual fórmula

utilizar. Estas situações ilustram claramente a falta de conhecimento dos alunos, ou seja,

eles não se apropriaram significativamente dos conceitos, em especial, o de área. Para esta

apropriação é necessário colocar o aluno numa situação em que ele construa os

conhecimentos por conta própria.

4) Dificuldades às sugestões dos pesquisadores.

De acordo com os materiais consultados existem alternativas para o ensino do tema e

também relatos de professores que oferecem resultados satisfatórios como a sequência

didática que se desenvolve através da composição e decomposição das figuras até se

chegar as fórmulas, a atividade de construção de metros quadrados para fazer as

comparações com a área do pátio da escola, entre outras. É difícil implementar tais

sugestões, na escola, pois é preciso que o professor veja a necessidade de fazer diferente, é

necessária uma organização e disponibilidade do professor (tempo) e a questão da

formação continuada.

5) Dificuldades inerentes às metodologias disponíveis.

A utilização de softwares educativos é uma poderosa ferramenta à educação com

resultados positivos, pois permite um aprendizado dinâmico e mais participativo por parte

dos alunos. Entretanto, é difícil implementar essa metodologia pela falta de capacitação

dos professores no sentido de conhecerem razoavelmente essas ferramentas e suas

28

aplicações e também pela estrutura material que demanda uma sala com computadores

para acesso dos alunos.

29

5 PLANO DE ENSINO

Após a análise dos constrangimentos levantados pelo grupo na tarefa 4, constatamos

que existem várias oportunidades de melhorias e inovações relativas aos assuntos de

geometria, em especial, a construção dos conceitos de área e perímetro.

Sendo assim, nossa atividade prática docente será realizada na semana de 1º a 5 de

junho de 2009, sendo ministrada pelo Professor Gerson Valêncio, na 7ª série do Ensino

Fundamental, na turma 73, no turno da tarde, na Escola Municipal de Ensino Fundamental

Emília de Oliveira, no Município de Alvorada, com duração prevista para 05 (cinco) tempos

de aula, ou seja, 01 (uma) semana.

Visando maior interação e colaboração entre os alunos, nossas aulas serão

desenvolvidas através de atividades em grupos, privilegiando sempre o discente como centro

do processo de ensino e aprendizagem. O objetivo mais amplo da experiência consiste em

desenvolver os conceitos de área e perímetro, tratando-os, inicialmente, de maneira

construtiva e, ainda, posteriormente, formalizando-os com a devida precisão.

Nossas aulas serão divididas em três momentos. No primeiro deles, previsto para 02

(duas) aulas, no laboratório de informática da Escola, utilizaremos o software para criação de

desenhos simples e manipulação de imagens chamado “PAINT BRUSH” ou simplesmente

“PAINT”, disponível em sistema operacional Windows ou Linux. Esse programa é de fácil

operacionalidade e de domínio comum entre a maioria dos usuários de computador. Sendo

esse, portanto, o domínio básico desse programa de computador, o único pré-requisito do

aluno para sua participação efetiva na aula. Com esta ferramenta, os alunos serão orientados a

construir algumas figuras geométricas, tais como quadrados, retângulos, triângulos e

circunferências. O que desejamos com estas construções é destacar o “contorno” e,

30

posteriormente o “preenchimento” dessas figuras, levando os discentes, de maneira

experimental e participativa, a distinguir área e perímetro.

No segundo momento, em sala de aula, com previsão para 02 (duas) aulas, serão

distribuídos aos alunos canudinhos de plástico e papel quadriculado. Assim, os discentes

serão convidados a construir livremente figuras com os canudinhos, a fim de manipularem a

idéia do contorno (perímetro). Mais adiante, os alunos construirão, colando sobre as linhas do

papel quadriculado, quadriláteros (quadrados e retângulos) de várias formas.

Com essas atividades, será apresentada a idéia da unidade de medida de área, seu

cálculo experimental e intuitivo, culminando com a formalização dos conceitos e

generalizando os formulários básicos para cálculo de área e perímetro. Assim, partiremos do

concreto, construtivo e manipulado, chegando a compreensão, aplicação e formalização

matemática.

Finalizando nossas aulas, no pátio da escola, com previsão de 01 (uma) aula, divididos

em grupos de até 04 (quatro) elementos e de posse de instrumentos de medidas (trenas e fitas

métricas), os alunos serão desafiados a realizar medidas de várias figuras presentes na Escola,

tornando a aprendizagem significativa e contextualizada. Dessa forma, aplicaremos, bem

como avaliaremos, através de tarefas que serão entregues aos alunos, as hipóteses

inicialmente levantadas, ou seja, se os conceitos de área e perímetro foram corretamente

apreendidos.

Destacamos que, durante os três momentos de nossa prática docente, serão realizadas

anotações, gravações de áudio e vídeo, diário de classe, bem como aplicação de tarefa de

avaliação aos alunos, todos com o objetivo de colher subsídios para a mais ampla e possível

avaliação das hipóteses inicialmente levantadas.

Nesse contexto, de forma especial, procuramos atingir e enfrentar dois dos

constrangimentos levantados pelo grupo, a saber, a correta apropriação dos conceitos de área

e perímetro, bem como a utilização de tecnologia, neste caso, o software “PAINT”, que

dinamiza e valoriza a participação do aluno na construção do seu próprio conhecimento.

31

HIPÓTESES: a) esperamos, durante a aplicação dess atividade prática docente, que os

discentes aceitem de maneira satisfatória o desenvolvimento dos trabalhos, demonstrando

entusiasmo e interesse; b) pressupomos que o software PAINT seja de uso e conhecimento de

alguns; c) que o tempo destinado à experiência seja suficiente; d) que as atividades propiciem

a correta apropriação dos conceitos de área e perímetro; e) que os alunos dominem as

operações entre números inteiros; f) que saibam usar régua e trena; g) que saibam multiplicar

números decimais; h) que conheçam o sistema métrico decimal (metros e centímetros); i) que

saibam fazer uso da calculadora.

Nossas coletas de dados serão realizados através das seguintes maneiras:

a) observações de todas as atividades;

b) gravações de áudio e vídeo;

c) figuras construídas no software PAINT; e,

d) resultados das tarefas de medição.

32

TABELA 1: PLANEJAMENTO DE AÇÕES (Tempo estimado: 5 horas/aula)

MOMENTO OBJETIVO AÇÃO RECURSOS DIDÁTICOS

MOMENTO A TEMPO: 02 horas/aula

Que o aluno diferencie de forma intuitiva e experimental os conceitos de área e perímetro.

Com a utilização do software “PAINT”, construção de figuras, destacando o “contorno” (perímetro) e o “preenchimento” (área).

Computador e software “PAINT”.

MOMENTO B TEMPO: 02 horas/aula

Que o aluno reforce e formalize os conceitos de área e perímetro.

Com a utilização de canudinhos de plástico, construção de figuras, valorizando o “contorno” (perímetro). E, com a utilização de canudinhos plásticos e papel quadriculado, construção da unidade de área e do “preenchimento” interno (área). Apresentação dos formulários básicos para cálculo de área e perímetro.

Canudinho plástico, cola, papel quadriculado, quadro e giz, projetor multimídia.

MOMENTO C TEMPO: 01 hora/aula

Que o aluno aplique e calcule corretamente os conceitos de área e perímetro.

Com a utilização de instrumentos de medida (trenas e fitas métricas), tarefa de realização de medidas e cálculos de figuras presentes no pátio da escola. Neste momento, será feita a validação das hipóteses inicialmente levantadas, através do recolhimento das tarefas de medição e cálculo de área e perímetro.

Instrumentos de medidas (trenas e fitas métricas) e Calculadora.

33

6 A EXPERIÊNCIA DIDÁTICA E SUAS ANÁLISES

6.1. O relato do professor – Gerson Valencio

6.1.1. 1º momento

No primeiro dia de atividade, quanto tocou o sinal para a troca de períodos, saí da

turma 82 (oitava série) e me dirigi à secretaria para pegar o data-show, o note book e a tela,

para levar a sala da turma 73. O professor Paulo me ajudou no transporte deste material.

Chegando a sala, cumprimentei os alunos, apresentei o professor Paulo, relatando que ele iria

observar as atividades que iríamos realizar e pedi que aguardassem enquanto ligávamos os

aparelhos. Qual não foi minha surpresa ao verificar que nenhuma das tomadas da sala estavam

funcionando. Era estranho, pois a mesma sala é utilizada no turno da noite e frequentemente

os professores usam os mesmos recursos tecnológicos e não há relatos de problemas.

Verifiquei em outra sala de aula que o problema era realmente naquela sala. Como já estava

de posse da chave da sala do Laboratório de Informática para onde iríamos no segundo

período de atividade, resolvi transferir a turma para o Laboratório. Resultado disso foi um

atraso de 20 minutos, visto que tivemos que pegar mais cadeiras nas salas vizinhas. Instalados

os equipamentos eu conversei inicialmente com os alunos sobre o uso do Laboratório, já que

eles não haviam usado este espaço antes. Salientei que estávamos ali com a permissão da

Diretora, pois o ambiente de informática estava sofrendo alteração de local e de equipamentos

e não deveríamos estar usando o Laboratório. Só o fizemos com a autorização da Diretora e

com a expressa recomendação de não danificarmos nada. Recomendei, então muita cautela e

prudência aos alunos na utilização dos computadores.

Iniciei por perguntar ao alunos se eles se lembravam da definição de Perímetro e Área,

pois já era conteúdo visto em outras séries. Uma surpresa agradável foi ver que uma aluna

aponta para o quadro verde e diz:” O perímetro á a linha branca e a área é a parte verde”. Ela

fazia referência ao quadro de giz que tinha uma borda branca e sua superfície verde. Alguns

alunos concordaram e então eu disse que a atividade que estávamos iniciando tinha como

34

propósito fazer a diferenciação entre perímetro e área de figuras planas, especificamente

retângulos. Feito isso, mostrei no telão, através do note book figuras de edifícios que

utilizavam estruturas retangulares e outras, para que fizessem a diferenciação de formas e

salientei, em cada figura, o contorno da mesma, nas partes em que haviam retângulos.

Também questionei-os sobre se havia maneira de medirmos estes contornos, ao que a grande

maioria afirmou que sim.

Partimos então para a atividade no computador, que já estava ligado, apenas desligado

o monitor. Pedi que ligassem o monitor e orientei-os no sentido de abrir o programa Tux Paint

do Linux, software semelhante ao Paint Brusch do Windows, porém com mais recursos. Não

houve problemas em abrir o software, porém alguns não encontravam as ferramentas de

desenho semelhantes as do Paint Brusch. Minhas intervenções foram no sentido de ajudá-los a

encontrarem as ferramentas de desenho e de colorir. Deixei-os manipular o programa a fim de

se familiarizarem com o mesmo e então pedi para que fizessem algumas figuras geométricas

como retângulos, triângulos e circunferências, pedindo inicialmente que os alunos não

pintassem as figuras, apenas que fizessem o contorno das mesmas. Depois que todos os

grupos conseguiram realizar a tarefa, mostrei a todos, no telão, um arquivo meu do Paint em

que apareciam retângulos. Informei então ao grupo de alunos que o que eles fizeram era o

“contorno da figura”, que chamaríamos de Perímetro da figura.

Em seguida solicitei que eles preenchessem a parte interna da figura com alguma cor.

Todos conseguiram, mas alguns grupos precisaram de minha intervenção para acharem as

ferramentas que faziam o preenchimento com cor. Alguns incrementaram os desenhos com

molduras e outras figuras,. Não quis tolher a criatividade da gurizada e deixei que salvassem

assim mesmo seus desenhos. Voltando para o telão, mostro, com o preenchimento de um

retângulo, que agora o que temos em destaque é a parte colorida que chamaríamos de Área da

figura. Busquei em indagações ao grupo, se tinha ficado para eles intuitivamente a idéia de

“contorno” e “parte preenchida”, ou seja Perímetro e Área, o que, numa avaliação oral foi

confirmado.

Ao final, como havia sobrado 8 minutos do período, deixei que explorassem este

software e fizessem os desenhos que quisessem.

Neste primeiro dia só faltaram 3 alunos dos trinta e um que freqüentam regularmente

esta turma.

35

6.1.2. 2º momento

No segundo dia de atividade, iniciei retomando o que tínhamos feito na aula anterior,

ou seja, relembrei que havíamos trabalhado com o software TuxPaint no computador,

desenhando figuras geométricas e destacando o que era contorno e o que era o preenchimento

da figura. Em seguida disse-lhes como seria a atividade do dia: todos receberiam canudinhos e

com eles tentariam fazer algumas figuras geométricas, preferencialmente retângulos. Assim

aconteceu. Distribuí os canudos de suco em número de 10 para cada aluno. Expliquei também

como deveriam inserir um canudo no outro, fazendo um pequeno corte em forma de bico nas

pontas do canudo. Alguns sentiram dificuldade em colocar um canudo no outro.

Enquanto explicava uma maneira, o professor Paulo mostrou para alguns uma outra

maneira : dobrar a ponta do canudo. Esta maneira pareceu-me mais fácil e de menor risco, já

que não precisa usar a tesoura. Fiquei circulando pela sala, ajudando um ou outro aluno na

execução de sua atividade. A maioria levou um tempo razoável, mas conseguiram fazer dois

ou três retângulos, alguns fizeram também triângulos. Um aluno mais “rebelde”, resolveu

fazer um círculo com os canudos. Incentivei-o a seguir a fazer um retângulo, mas não tive

muito sucesso. Depois de que a grande maioria já estava acostumada com a manipulação dos

canudos, distribuí uma folha milimetrada para cada aluno com a seguinte orientação: todos

deveriam fazer um retângulo de 6 cm por 8 cm na folha com os canudos distribuídos ou com

novos canudos, utilizando estes canudos como o “contorno” do retângulo, ou seja, o desenho

dos lados do retângulo deveriam ser feitos com o próprio canudo que deveria ser colado na

folha milimetrada. A orientação era a de que utilizassem as linhas mais escuras (fortes), ao

invés das linhas mais claras, já que representavam os milímetros. A idéia era que se

apoiassem na utilização da régua, o que aconteceu com todos, ou seja, utilizaram a régua para

medir o tamanho de cada lado do canudo e então colaram na folha. Alguns alunos colaram nas

linhas mais claras, e como a espessura do canudo era maior que a da linha, estes retângulos

ficaram de difícil medida de sua área. Então solicitei que fizessem outro retângulo, de 10 cm

por 15 cm. Os alunos fizeram agora com uma melhor visualização da parte interna do

retângulo, sendo possível verificar a área destes retângulos.

Neste momento pedi que parassem o que estavam fazendo e pensassem nas relações

que eu iria fazer. Lembrei-lhes do contorno da figura que definimos anteriormente como

perímetro e recordei-lhes que na aula anterior lá no laboratório de informática havíamos

36

entendido que a parte interna do retângulo, ou seja a parte colorida era a área da figura. Então

indaguei se haveria como medir a área, já que o Perímetro nós conseguíamos medir. A

maioria dos alunos disse que sim, que era possível medir a parte interna. Perguntei-lhes como

seria possível fazer isso? Então alguns disseram que seria com a régua. Mas não sabiam me

dizer exatamente como. Alguns insistiram que a medida da área deveria ser feita com a régua

medindo por dentro do canudinho, ou seja, dispensando o contorno do retângulo, deveria se

medir por dentro da figura. Então fiz uma intervenção, lembrando-os que o que queríamos

era preenchimento da figura (área) toda e não somente as medidas dos lados da figura por

dentro dela. Neste momento então indaguei se era possível contar os quadradinhos por dentro

da figura e se o somatório deles preencheria toda a figura por dentro. Eles disseram que sim e

então solicitei que, num primeiro momento, contassem os quadradinhos internos do retângulo,

ou seja, a parte quadriculada. Pedi que contassem os quadradinhos maiores, mas pensei que

eles iriam contar de um em um centímetros, porém, eles contaram os quadradinhos de 0,5 cm.

Neste caso, a resposta para a área do retângulo de 6 cm por 8 cm vinha dobrada, ou seja, os

alunos davam como resposta 96 quadradinhos na parte interna do retângulo. Foi então que eu

vi que eu deveria ter trabalhado com eles no quadro negro a área de 1 cm por 1cm no papel

quadriculado. Foi que fiz em seguida, dizendo que eles deveriam então contar o quadrado

maior da folha milimetrada. Aí sim eles conseguiram contar 48 quadrados dentro do

retângulo.

Como o período já ia acabar, tentei fazer um fechamento, relembrando-os do objetivo

com o trabalho que seria diferenciar Área e Perímetro. Indaguei sobre esta diferença e eles, na

sua maioria, disseram que o Perímetro era o contorno e que a área era a parte de dentro do

contorno. Neste instante deu o sinal de saída do período e solicitei que para a próxima aula

eles trouxessem trenas para uma atividade externa.

6.1.3. 3º momento

No último período deste trabalho, como não havia conseguido desenvolver com os

alunos no quadro negro, a fórmula da área do retângulo, figura que estávamos trabalhando,

resolvi relembrar a diferença entre Perímetro e Área e mostrar-lhes a fórmula que nos dá a

área do retângulo: bxh, definindo como base a medida de comprimento e altura como a

37

medida de largura da figura. Feito isso relembrei as medidas dos retângulos feitos na última

aula e calculei as respectivas áreas com a utilização da fórmula e fiz a diferenciação entre esta

maneira e a maneira anterior que era a de contar toda aparte quadriculada. A reação de alguns

alunos foi de dizer que já conheciam aquela fórmula de outras séries.

Então apresentei a proposta da aula de hoje que era a de irmos para o pátio da escola e

medirmos retângulos em objetos que se apresentam no pátio, como a quadra de esportes, a

goleira, bancos, paredes, portas, etc. A idéia era, com trenas, fazer a medição de três

retângulos, calcular o perímetro e a área destas figuras. Distribuí os alunos em seis grupos e

distribuí a cada grupo uma folha com três questões: a primeira pedia para que medissem os

três objetos retangulares que encontrassem no pátio da escola. A segunda questão era para que

respondessem se haviam gostado da atividade e que justificassem. A terceira questão

solicitava que respondessem, com suas palavras o que era Perímetro e o que era Área.

Como tínhamos somente um período, e o tempo me parecia curto para esta atividade,

como estímulo para que fizessem mais rápido, disse que o primeiro grupo a entregar toda a

atividade ganharia uma caixa de bombom. É claro que todos gostaram e realmente não

perderam tempo no trabalho no pátio. Mas ao entregarem as atividades, acabavam deixando

de fazer tudo, ou seja, esqueciam alguma coisa. Então entregava de novo e pedia para que

completassem a tarefa. Infelizmente, o tempo foi pequeno para a atividade e deu o sinal para o

recreio. Tivemos que parar por ali retornando para a sala. Todos os grupos entregaram as

atividades, mas faltando alguma coisa.

6.2. Relato do observador – Paulo Flores

6.2.1. Uso do computador (1º momento)

1ª aula – 02/06/2009 – 2 períodos – 29 alunos ( 15 meninos e 14 meninas )

Quando o professor perguntou “ – O que lembram sobre o assunto área e perímetro?”,

as respostas que mais surgiram foram “ – Não vou chutar.” e “ – Não aprendi.”, mas um aluno

38

respondeu “ – Perímetro é o branco do quadro e a área é o verde.”, fazendo referência ao

quadro-negro com moldura branca que estava na sala.

A idéia de que o programa escolhido facilitaria o trabalho se confirmou, nenhum aluno

perguntou como se usava o programa, apenas na hora de preencher a figura surgiram dúvidas

que foram facilmente sanadas.

Acredito que o uso do programa Tux Paint, disponível no Linux, mais atrapalhou do

que ajudou pois possui mais ferramentas que o Paint, do Windows, sendo assim os alunos se

desconcentraram desenhando e colocando outras figuras fora do objetivo proposto.

Um grupo colocou o nome das figuras.

A maioria dos grupos queria pintar (preencher) as figuras já no início do trabalho.

Quando foi perguntado aos alunos sobre como poderiam medir a área das figuras, um

aluno sugeriu medir o retângulo de lado a lado, com a régua, desconsiderando as linhas

laterais. Acredito que faltou tempo para se trabalhar a idéia de área como preenchimento.

No final da aula os alunos responderam bem que perímetro é o contorno e a área é a

parte de dentro, mas tenho minhas dúvidas no que eles se referem quando dizem “parte de

dentro”.

6.2.2. Uso de material concreto (2º momento)

2ª aula – 03/06/2009 – 2 períodos – 24 alunos ( 13 meninos e 11 meninas )

Muitos alunos construíram triângulos com os canudos, embora tenha sido pedido a

eles para fazer retângulos.

Foi observado uma aluna usar régua para fazer os lados opostos de um retângulo,

buscando igualar os lados paralelos.

Foi solicitado aos alunos para medirem o perímetro de um dos retângulos construídos.

Ao questionar um grupo sobre a medida recebi a resposta de 68 metros e, quando pedi para

39

repetir, mudou a resposta para 68 centímetros. Pedi então para o aluno mostrar como chegou

a resposta e ele mediu apenas um lado do retângulo.

Quando foi pedido para construírem um retângulo de lados sete e nove centímetros,

muitos alunos usaram régua mas, uma aluna, percebeu que poderia usar o papel milimetrado

para realizar as medições, descartando régua.

Nesta atividade ficou clara a dificuldade de alguns grupos, para construir o retângulo,

pela espessura que o canudo apresenta.

Outra dificuldade que surgiu foi no uso do papel milimetrado: ao usarem o centímetro

quadrado confundiam com o meio centímetro quadrado.

Só se teve tempo para contar os centímetros quadrados nos retângulos, mas faltou

tempo para se trabalhar como se encontra esta resposta de forma mais rápida, base vezes

altura, ou seja, como se calcula a área de retângulos usando fórmula.

6.2.3. Avaliação (3º momento)

3ª aula – 05/06/2009 – 1 períodos – 24 alunos ( 13 meninos e 11 meninas )

O início da aula teve que ser utilizado para formalizar a medida da área dos retângulos

com a fórmula usual, pois faltou tempo na aula anterior.

Os alunos estavam bem animados quando saíram ao pátio para medir área e perímetro

de objetos retangulares de livre escolha.

Foi observado que mesmo alguns alunos sugerindo medir objetos quadrados, a maioria

dizia que não era para medir estes objetos, só retângulos.

Na atividade de avaliação, embora prejudicada pelo pouco tempo, os grupos

apresentaram, além da boa vontade e animação de realizar as tarefas, domínio no manuseio

dos materiais de medição e manuseio de calculadoras.

40

6.3. Análises de materiais coletados

Análises das hipóteses:

a) esperamos, durante a aplicação dessa atividade prática docente, que os discentes aceitem

de maneira satisfatória o desenvolvimento dos trabalhos, demonstrando entusiasmo e

interesse;

Foi observado que todos os alunos participaram efetivamente das atividades com

empenho e entusiasmo e responderam que gostaram da proposta na avaliação (em anexo).

Na figura 6.01, um grupo exprime sua opinião.

Figura 6.01 – Opinião de um grupo

Também um aluno, foto 01, falou da sua satisfação em realizar as atividades em uma

entrevista (gravado).

Foto 01 – Entrevista com aluno

b) pressupomos que o software PAINT seja de uso e conhecimento de alguns;

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O conhecimento dos alunos com o software superou as expectativas. O único

momento de dúvidas foi no preenchimento das figuras que foi resolvido com poucas

explicações. Na figura 6.02 aparece uma produção autônoma de um dos grupos.

Figura 6.02 – Produção de um grupo

O grande problema da atividade foi no uso do Tux Paint do Linux, disponível no

laboratório de informática, no lugar do Paint Brusch do Windows, que sendo um

programa com mais recursos os alunos perderam um pouco do foco brincando com suas

ferramentas.

c) que o tempo destinado à experiência seja suficiente;

O tempo para aplicar as atividades propostas foi insuficiente, o segundo momento teve

que ser complementado antes do último período de atividade, deixando menos tempo para

avaliação, lançando dúvidas quanto à precisão dos resultados. Será que se os alunos

tivessem mais tempo não responderiam melhor as atividades propostas na avaliação?

d) que as atividades propiciem a correta apropriação dos conceitos de área e perímetro;

É percebível a apropriação do conceito de perímetro, como mostra os resultados das

avaliações ( em anexo), já o conceito de área, embora o aluno percebam que se trata da

“parte de dentro”, conforme resposta do aluno na figura 6.03, não se confirma com os

cálculos. Os alunos podem não ter dominado o conceito de área refletindo assim nos

resultados dos cálculos.

42

Figura 6.03 – Resposta do aluno

Acreditamos que as atividades precisam de mais tempo para que os alunos trabalhem

mais a idéia de área e assim formar o conceito de forma adequada.

e) que os alunos dominem as operações entre números inteiros;

Durante as atividades os alunos mostraram, de maneira geral, dominar os cálculos com

números inteiros o que ficou registrado nas avaliações, mostrado em parte na figura 6.04.

Figura 6.04 – Operações com números inteiros

f) que saibam usar régua e trena;

Foi observado claramente no segundo momento, no trabalho com material concreto,

que os alunos dominavam o uso da régua, foto 02.

Foto 02 – Uso da régua

43

Já o manuseio da trena os alunos mostraram dominar durante a avaliação na atividade

externa, conforme foto 03.

Foto 03 – Uso da trena

g) que saibam multiplicar números decimais;

Alguns alunos utilizaram números decimais de forma correta, mas não foi o suficiente

para se tirar alguma conclusão.

h) que conheçam o sistema métrico decimal (metros e centímetros);

Os alunos mostraram saber que existe mais de uma unidade de medida, mas usaram na

sua maioria os centímetros, não tendo oportunidade de demonstrar domínio sobre o

sistema métrico.

Em alguns momentos da observação, mostraram confundir metros com centímetros.

i) que saibam fazer uso da calculadora.

Os poucos alunos que utilizaram calculadoras não tiveram dúvidas no seu uso.

Acreditamos ter tido êxito na proposta de trabalho com área e perímetro. As

atividades propostas precisam de ajustes e uma melhor adequação ao tempo disponível para

sua implementação, mas os resultados nos mostram que estamos no caminho certo, dando um

maior significado ao ensino de conteúdos como este.

44

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste trabalho tratamos do ensino de perímetro e área de figuras planas, mais

precisamente da figura retângulo, que consideramos como problemático. Pela nossa

experiência didática, por pesquisa realizada com alguns alunos e professores do ensino médio,

e por uma revisão bibliográfica a respeito do assunto, constatamos que os alunos confundem a

idéia de perímetro e área, não fazendo a devida distinção entre uma e outra.

O objetivo foi propor alguma mudança positiva no ensino usual de perímetro e área,

buscando deixar mais clara a idéia do que seja perímetro e a idéia do que seja área, dentro de

uma proposta pedagógica que contempla a manipulação de objetos, o trabalho em grupo e o

desafio como mola propulsora para um ensino mais atrativo.

Das nossas análises, concluímos que existem constrangimentos para esta mudança:

1. Dificuldades inerentes ao conceito e à história do conceito;

2. Dificuldades inerentes aos professores;

3. Dificuldades inerentes aos alunos;

4. Dificuldades inerentes às sugestões dos pesquisadores;

5. Dificuldades inerentes às metodologias disponíveis.

Optamos por alterar os itens 3 e 5, pois consideramos estes tópicos de relevância, visto

que ainda no ensino médio verificamos a incorreta apropriação destes conceitos. Além disso,

acreditamos que estes constrangimentos estejam diretamente relacionados às dificuldades

encontradas dos alunos e professores, e acreditamos ser de possível operacionalização uma

proposta diferente das usuais mesmo com o pequeno espaço de tempo disponível .

Nosso plano de ensino teve o propósito de criar oportunidades para o aluno diferenciar

de forma intuitiva e experimental os conceitos de área e perímetro, formalizando-os, além de

resolver problemas e de efetuar cálculos corretamente, com esses conceitos. O plano e se

desenvolveu com o foco na observação da diferença entre os conceitos propostos e numa

45

metodologia que privilegiou a manipulação de objetos, a utilização de software educacional e

atividades práticas.

As hipóteses foram elaboradas a partir de nossas expectativas. Esperamos que:

a) durante a aplicação dessa atividade prática docente, que os discentes aceitem de

maneira satisfatória o desenvolvimento dos trabalhos, demonstrando entusiasmo e interesse;

b) o software PAINT seja de uso e conhecimento de alguns; c) o tempo destinado à

experiência seja suficiente; d) as atividades propiciem a correta apropriação dos conceitos de

área e perímetro.

Quanto aos conhecimentos prévios, pressupomos que os alunos dominem as operações

entre números inteiros; saibam usar régua e trena; saibam multiplicar números decimais;

conheçam o sistema métrico decimal (metros e centímetros); e que saibam fazer uso da

calculadora.

Após a experiência de ensino, conseguimos validar as seguintes hipóteses: aceitação

satisfatória das atividades pelos alunos, confirmação do conhecimento do software PAINT,

uma melhor apropriação do conceito de perímetro e área. Percebemos também que os alunos

dominam as operações com números inteiros e utilizam adequadamente régua e trena, além de

saberem utilizar a calculadora.

Não conseguimos validar as hipóteses da multiplicação de números inteiros e do

conhecimento do sistema métrico porque, em nossa opinião, o tempo para prática foi

insuficiente.

Acreditamos que esta experiência contribuiu de várias formas para nossa formação

como professores de ensino básico, uma vez que, além da aplicação prática docente da

atividade, nos levou a refletir e identificar um problema de aprendizagem.

Nesse contexto, acreditamos que a identificação de um problema específico de

aprendizagem tenha sido um dos maiores ganhos durante o desenvolver do trabalho, pois nos

possibilitou rever, inicialmente, conteúdos, metodologias e didáticas desenvolvidas pelos

docentes. Com estas reflexões e utilizando nossas experiências profissionais, identificamos,

através de discussões em grupo, deficiências de aprendizagem vistas sob vários aspectos, ou

seja, sob a ótica do aluno, do professor e sob a dinâmica do processo de ensino aprendizagem.

46

Por outro lado, a oportunidade de desenvolver o trabalho com profissionais

experientes e competentes, professores/colegas e professora/orientadora, nos garantiu um

valioso crescimento na orientação, troca de informações e vivências, onde as decisões foram

tomadas de maneira coletiva e após profunda análise do melhor caminho e estratégias a serem

seguidos.

Especificamente no tocante à experiência prática didática no ensino da geometria – a

diferenciação entre os conceitos de área e perímetro – o trabalho nos despertou para a

necessidade da importância de um correto e criterioso planejamento, com etapas bem

definidas e prazos previstos. Ressaltamos aqui, a relevante e participação da professora

orientadora que, com seu conhecimento e experiência, conduziu de maneira valiosa nossos

passos e decisões, realizando importantes intervenções para o bom desenvolvimento do

trabalho.

Assim, constatamos a real possibilidade da utilização de materiais e recursos

acessíveis e de baixo custo (software “Paint”, canudinho, cola, trena, etc.) para o

desenvolvimento de uma prática docente diferenciada da abordagem tradicional.

Além disso, constatamos, também, a importância da análise pós atividade, quando

verificamos e refletimos sobre as hipóteses levantadas inicialmente, bem como suas

verdadeiras ou falsas confirmações.

Enfim, esse trabalho teve grande importância na nossa formação continuada como

docentes, visto que nos possibilitou: parar e discutir, identificar coletivamente um problema,

buscar possíveis soluções e, mais importante, planejar, aplicar e analisar os resultados obtidos.

47

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARBACH, Nelson. O ensino de geometria plana: o saber do aluno e o saber escolar. Dissertação de mestrado. Mestrado em Educação Matemática. PUC/SP. São Paulo. 2002. 95f. Disponível em <http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao_nelson_arbach.pdf> Acessado em : 30 de março de 2009. BALDINI, Loreni Aparecida Ferreira. Construção do conceito de área e perímetro: uma seqüência didática com auxílio de software de geometria dinâmica. 2004. 211 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática), Universidade Estadual de Londrina, 2004. Disponível em: <http//200.189.113.123 /diaadia/diadia/modules/mydownloads_01/viewcat.php?cid=4&min=65&orderby=titleD&show=5&PHPSESSID=90d99411e51dd83c874c005291476fb6>. Acesso em: 27 mar. 2009. BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 2. ed. São Paulo: Contexto, 2004.

BIGODE, Antonio José Lopes. Coleção matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000. Obra em quatro volumes para alunos de 5ª a 8ª séries. BRAGUIM, Ronaldo Antonio. Abordagens Metodológicas no ensino da matemática: Perímetros e áreas. Dissertação de Mestrado. PRPGP - Ensino de Ciências e Matemática, Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo. 2006. Disponível em: <http://200.136.79.4/mestrado/dissertacoes/Ronaldo_Antonio_Braguim.pdf>. Acessado em: 30 mar. 2009.3 BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais – 5ª a 8ª séries: Matemática. Brasília, 1998 BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais (1ª a 4ª séries) : matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. CARNEIRO, Reginaldo Fernando; DECHEN, Tatiane. Tendências no Ensino de Geometria: um olhar para os anais dos Encontros Paulista de Educação Matemática. In: 16º Congresso de Leitura do Brasil - No mundo há muitas armadilhas e é preciso quebrá-las, 2007, Campinas. 16º Congresso de Leitura do Brasil, 2007. p. 1-10. Disponível em: <www.alb.com.br/anais16/sem15dpf/sm15ss03_03.pdf>. Acesso em: 18 abr 2009.

48

COMISSÃO INTERNACIONAL DE INSTRUÇÃO MATEMÁTICA (ICMI). Boletim nº 39, Dezembro de 1995. Disponível em:<http://www.mathunion.org/ICMI/bulletin/39/index.html> Acesso em: 01 abr. 2009. DIAS, Marlene Alves; SANTOS, Cíntia Ap. Bento dos. Uma análise da proposta de ensino aprendizagem das noções de perímetro e área segundo os níveis de conhecimento esperado dos estudantes. In: ANAIS DO CONGRESSO BRASILEIRO DE LEITURA, 16º, 2007. São Paulo. ALB. Campinas: Universidade de Campinas, 2007. Disponível em: < http://www.alb.com.br/anais16/sem15dpf/sm15ss03_02.pdf>. Acesso em: 22 abr. 2009. Dicionário On-Line Michaelis. Disponível em < http://michaelis.uol.com.br > Acesso em 03 de maio de 2009. IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Coleção matemática e realidade. 4ª ed. São Paulo: Atual, 2000. Obra em quatro volumes para alunos de 5ª a 8ª séries. LORENZATO, Sérgio. Porque não ensinar Geometria? A Educação Matemática em Revista. Blumenau: SBEM, Ano III, n. 4, 1995. O Pai da Didática da Matemática. Revista Nova Escola, São Paulo, Ano. XXIV, n. 219, p.29, Jan./Fev. 2009. OLIVEIRA, Eliane Moreira. Uma metodologia para aprendizagem da Geometria baseada em perfis intelectuais de alunos no Ensino Fundamental. In: ANAIS DO ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9, 2007. Belo Horizonte. SBEM. Belo Horizonte: Universidade de Belo Horizonte, 2007. Disponível em: <http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/Trabalhos/PO23230037391T.doc >. Acesso em: 02 abr. 2009. OLIVEIRA, Elaine de Almeida; MORELATTI, Maria Raquel Miotto. Os conhecimentos prévios dos alunos da 5ª série do ensino fundamental: um caminho para a aprendizagem significativa de conceitos geométricos. In: III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática III SIPEM, 2006, Águas de Lindóia/SP. Anais III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, 2006. p. 1-16. Disponível em: http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.jsp?id=T466295 PERROTTA, Roberto Camillo; PERROTTA, Suzete Geraldi Montenegro. Considerações sobre o ensino de área e perímetro. Dialogica, São Paulo, v. 4, p. 81-88, 2005. Disponível em: <http://www4.uninove.br/ojs/index.php/dialogia/article/viewFile/874/748>. Acesso em: 22 abr. 2009. ROCHA, Cristiane de Arimatéa et al. Uma discussão sobre o ensino de área e perímetro no ensino fundamental. In: ANAIS DO ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9, 2007. Belo Horizonte. SBEM. Belo Horizonte: Universidade de Belo Horizonte, 2007. Disponível em: < http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Minicurso/Trabalhos/MC70705321487T.doc>. Acesso em: 22 abr. 2009.

49

SECCO, Anderson. Conceito de Área: da composição e decomposição de figuras até as fórmulas. 2007. 198f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 2007.

50

ANEXO A – Email de pesquisa

----- Original Message ----- From: Fernanda Rosa To: pccgaucho@gmail.com Sent: Sunday, April 19, 2009 7:06 PM Subject: respostas

Olá colega,abaixo seguem as respostas do questionário que me deste e qualquer apoio

que quiseres,pode contar com minha ajuda.

-A maneira mais usual que ensino área é mostrando o desenho no quadro de

algumas figuras planas, dou sua definição e após deduzimos as fórmulas (mas isso

depois que eles entenderam bem a definição com exemplos práticos).E perímetro dou a

definição direta e eles deduzem se possi uma fórmula para cada figura geométrica (as

mais utilizadas) ou não.

-As dificuldades dos alunos não aparecem na hora,mas noto que tanto pra área ou

perímetro ou outro conteúdo eles não lembram a longo prazo,ou seja,não há um

aprendizado real.As vezes sinto que é falta de interesse ou a não utilização dos conceitos

no cotidiano (pois antigamente,por exemplo,nossos pais ajudavam em casa cedo,tiravam

as medidas de alguma parede ou de algum local para a compra de azulejos ou outra obra

em casa,se cercava locais,etc. e tudo isso seria uma forma de aprendizado de área e

perímetro).Hoje em dia os jovens não realizam esses trabalhos, e nem pensam em como

poderia ser feito e no qu a matemática ajudaria nisso.

-Para uma abordagem diferente digo alguns exemplos práticos de como podemos

calcular a área de uma parede ou de algum lugar da casa e para perímetro uso o

exemplo de um arame para cercar um sítio ou o rodapé da sala.Teve uma aula em que

fomos pro pátio medir a quadra de volei e foi bem divertido.

Bom prof. acho que é isso pois na verdade esse ano não estou trabalhando com esses

assuntos e me lembro mais ou menos do que respondi. Ah, se quiseres algumas

informações como :

nome:Fernanda Reis da Rosa

escola:E.E.F.Gabriela Mistral

Abraços e manda uma resposta dizendo se chegou ou não o email.

Fernanda

51

ANEXO B – Fotos da prática

Preparando o projetor

Descobrindo que as tomadas não funcionam

Nova sala – laboratório de informática

Começando novamente

Alunos trabalhando no “Tux Paint”

Autonomia dos alunos no processo

52

Momento criação

Aluno concentrado no trabalho

Mostrando a obra

Trabalhando com prazer

Mostrando a obra 2 Já parou?

53

Uso de régua

Uso de régua

Não era retângulo?

Mania de grandeza

Dois ta bom?

Será que ta quadrado?

54

Posso fazer uma bandeira?

Não era retângulo?

Pausa para o perímetro

Mesma obra, outro ângulo

Vamos ao perímetro

Vai dar trabalho medir o perímetro

55

Medindo a porta

Área dos retângulos

Medindo o mural

Medindo o tijolo

Medindo o banco

Trabalho em grupo

56

Medindo...

Medindo...

Medindo...

Calculando

Entrevista

Entrevista 2

57

ANEXO C – Produções dos alunos

58

59

60

ANEXO D – Avaliações dos grupos

Avaliação – Grupo 01

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Avaliação – Grupo 02

62

Avaliação – Grupo 03

63

Avaliação – Grupo 04

64

Avaliação – Grupo 05

65

Avaliação – Grupo 06