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Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Física

Estudo de Gráficos da Cinemática com o Modellus

ATIVIDADES1

Ives Solano Araújo

Eliane Angela Veit

2002

1 Trabalho parcialmente financiado pelo CNPq, FAPERGS e PROPESQ-UFRGS. Este material faz parte do trabalho de mestrado de Ives Solano Araújo, sob orientação dos professores Marco Antonio Moreira e Eliane Angela Veit.

Araujo, I.S. & Veit, E.A. 2

Aula 1 - Atividades Exploratórias2 1) Gposhv.mdl

Movimente horizontalmente a esfera vermelha e observe o gráfico de x versus tempo.

a) Que tipo de trajetória a esfera vermelha descreve?

b) Em que circunstância o gráfico x versus tempo apresenta uma reta horizontal?

c) Descreva o movimento executado pela esfera vermelha, analisando o gráfico x versus tempo.

Movimente verticalmente a esfera azul e observe o gráfico de y em função do tempo.

d) Observe que a trajetória da esfera azul é retilínea. Por que o gráfico y x t não é uma linha reta?

e) Descreva o movimento executado pela esfera azul, analisando o gráfico y versus tempo.

2) Espiral.mdl

a) Imagine que o Papai Noel percorre a trilha branca, mantendo o mesmo valor para o módulo da velocidade. Esboce o gráfico de x versus t e y versus t.

2 Os modelos utilizados nestas atividades encontram-se na pasta gráficos deste CD.


b) Execute o modelo e conduza o Papai Noel para a Saída, movendo-o sobre a trilha branca.

c) O gráfico produzido na janela Animação se assemelha ao que você esboçou anteriormente? Como você pode obter um gráfico que reproduza a forma espiral da trilha?

d) Desproteja3 o modelo e crie uma nova animação (Janela => Nova animação) que possibilite a visualização da trilha seguida pelo Papai Noel.

3) Mov_h1.mdl

a) Execute o modelo e observe com atenção as grandezas e o gráfico. b) Descreva o movimento.

c) Como varia a velocidade ao longo do tempo?

d) Estenda a janela Animação para baixo com o mouse para observar o

movimento do carrinho.

e) Esboce o gráfico da velocidade em função do tempo.

f) Desproteja o modelo e crie um gráfico da velocidade versus tempo (Janela => Novo Gráfico). Compare com seu esboço.

4) Noel_bar.mdl

a) Execute o modelo e observe com atenção as grandezas e o gráfico. b) Que tipo de trajetória tem o Papai Noel, quando se move com o carro? E

quando está a pé?

3 Para desproteger o modelo: Arquivo => Senha => m


c) Qual a distância percorrida pelo Papai Noel 10 segundos após deixar o carro?

d) Qual é o valor da velocidade do Papai Noel, quando ele está no carro? E

a pé?

Esboce os gráficos de x versus t para o caso em que o Papai Noel: e) anda a pé e de carro com a mesma velocidade; f) anda a pé com velocidade maior do que de carro.

g) Na janela Animação 1 acione os botões verde e rosa (ao lado de

“casos:”) e compare os gráficos com os seus esboços.

h) É possível, apenas observando o gráfico da posição versus tempo, determinar em qual trecho o Papai Noel foi mais veloz? Como?

5) Incl_xt.mdl

A inclinação da reta tangente em um determinado ponto da curva de um

gráfico x versus t fornece a velocidade naquele instante. Observe a animação apresentada.

a) Em qual(is) instantes de tempo o módulo da velocidade é máximo? b) Em qual(is) instante(s) de tempo a variação da posição com o tempo é

máxima? 6) Vl_area1.mdl

a) Execute o modelo e observe com atenção as grandezas e os gráficos. Qual é o valor numérico da área azul e da área vermelha ao final de 20s?

b) Qual a relação existente entre a área do gráfico velocidade versus tempo

e a posição do corpo? c) Adicione um caso em que os valores da velocidade v1 e v2 sejam

respectivamente 7 m/s e 3.5 m/s. Compare com o caso anterior. O que acontece com a inclinação das curvas azul e vermelha no gráfico posição versus tempo? O que esta inclinação representa?

d) Ajuste os tempos máximos t1max e t2max de modo que as áreas tenham o mesmo valor. Qual a relação existente entre a variação da posição produzida nos dois corpos?


Atividade de Criação – Uma bola que se move4

Esta experiência tem como objetivo sua familiarização com algumas das principais características do Modellus, por exemplo, como se constrói uma simulação simples – a simulação do movimento retilíneo de uma bola (considerada como uma partícula), a partir de uma função matemática que descreve a posição da bola ao longo de um eixo, em função do tempo. Criar o modelo

1) Escreva na janela Modelo a seguinte função, em que x é a variável dependente e t é a variável independente (para escreveres o sinal de multiplicação é necessário utilizar o sinal “*” ou a barra de espaço).

2) Esta função x=10 x t nos diz que:

- para t= 0, x= 10 x 0 = 0; - para t= 1, x= 10 x 1 = 10; - para t= 2, x= 10 x 2 = 20; - etc.

Se t representar o tempo (em segundos) decorrido desde o início da

contagem do tempo e 10 corresponder a 10 metros por segundo (m/s), o valor de x vem sempre em metros (m). Por exemplo:

para t= 1 s, x= 10 (m/s) x 1 (s) = 10 sm x 1 s = 10 m

4 Extraído de Funções e descrição de movimentos no espaço: uma breve introdução com o Modellus;

Atividades Interdisciplinares para Matemática e Física do Ensino Secundário. V. D. Teodoro. Publicação interna da Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa.


Interpretar o modelo Sempre que se escreve ou altera o modelo, é necessário clicar no botão Interpretar para que o Modellus verifique se não há qualquer erro e possa efetuar cálculos. Criar um gráfico numa janela de gráficos

1) Vamos agora criar um gráfico numa janela. Selecione no menu Janelas a opção Novo Gráfico.

2) Execute o modelo, no botão começar da janela Controle.

3) Obteremos um gráfico como o seguinte:


4) Para ajustar o gráfico, clique no botão Ajustar:

5) A escala dos eixos pode ser modificada. Por exemplo, clique no botão Opções

da janela Gráfico e altere os valores mínimos e máximos de x e y:


6) Obteremos, então, um gráfico como o seguinte:

Criar uma animação do modelo

Representaremos agora um objeto se movendo. Para isso:

1) Escolha no menu Janelas a opção Nova Animação. Obteremos uma janela como a seguinte:


2) Selecione o primeiro botão do lado superior esquerdo da janela, . Clique em algum lugar do espaço destinado a animação, na janela Animação 1. Surgirá então a seguinte caixa de diálogo, solicitando informação sobre como a partícula deve se mover e o que será visto na tela:

3) Observe esta caixa de diálogo. Selecione a variável x na lista de variáveis para a opção Horizontal (isso indica que a coordenada horizontal do objeto vai ser calculada utilizando os valores de x). Clique em OK.

4) Clique no botão começar, na janela Controle, e observe como varia a posição da partícula. (Uma bola pode ser considerada uma partícula).


5) Se a partícula sair da parte visível da janela, redimensione a janela de modo a ficar visível todo o percurso ou mude a posição da origem.

Experimente

1) Altere a função para x = 5 x t. Observe a animação. 2) Altere a função para x = – 5 x t. Observe a animação. Se necessário, modifique a

posição onde a partícula se encontra, deslocando-a com o botão esquerdo do “mouse” para outro lado.

3) Altere a função para x = 2 x t. Observe a animação.

4) Utilize o menu Janelas para criar um gráfico (opção Novo Gráfico). Observe o gráfico de x em função de t para as várias funções.

5) Altere a função para x = 10 x t + 20. Observe a animação e explique o que acontece. Observe um gráfico de x em função de t.

6) Altere a função para x = 10 x t – 20. Observe a animação e explique o que acontece. Observe um gráfico de x em função de t.

7) Altere a função para x = – 10 x t – 20. Observe a animação e explique o que acontece. Observe um gráfico de x em função de t.


Uma sugestão útil…

Uma forma simples de comparar vários movimentos consiste em designar a abscissa dos diferentes objetos por nomes diferentes (note que os nomes das variáveis têm de começar por uma letra e só podem utilizar letras, números ou o caractere «underscore», «_».) A figura seguinte mostra um exemplo em que se estuda o movimento de três partículas diferentes:


Aula 2 - Atividades Exploratórias

7) Mov_h2.mdl a) Execute o modelo e observe com atenção as grandezas e o gráfico.

Descreva o movimento.

b) Esboce o gráfico da aceleração em função do tempo.

c) Desproteja5 o modelo e crie um gráfico da aceleração versus tempo (Janela => Novo Gráfico). Compare com seu esboço.

d) Crie um gráfico da posição versus tempo. Clique no botão Opções da

janela Gráfico 1 e marque “Tangentes (quando se repete)”. Repita o modelo e descreva o que se passa.

8) Areas.mdl

a) Execute o modelo e observe qual é a relação existente entre a área do

gráfico aceleração versus tempo e a velocidade do corpo. b) Adicione um caso em que o valor da aceleração seja 3.5 m/s². O que

acontece com a inclinação da curva azul no gráfico velocidade versus tempo? O que esta inclinação representa?

c) Adicione outro caso em que o valor da aceleração seja de -2 m/s² e Vo =

80 m/s. O que acontece com a inclinação da curva azul no gráfico velocidade versus tempo? Qual a relação existente entre a área compreendida entre a curva azul e o eixo do tempo e a posição do corpo?

5 Para desproteger o modelo: Arquivo => Senha => m


9) Acelera.mdl

Esboce os seguintes gráficos comparativos:

a) aceleração versus tempo para ambos os carrinhos; b) velocidade versus tempo para ambos os carrinhos;

c) posição versus tempo para ambos os carrinhos;

Crie no Modellus (Janela => Novo gráfico) os seguintes gráficos:

d) posição versus tempo para os dois móveis;

e) velocidade versus tempo para os dois móveis;

f) Adicione um caso em que os móveis estejam inicialmente em repouso,

separados por uma distância d, e em seguida movem-se com uma mesma aceleração para a direita. O que se pode prever para a curva v x t destes dois móveis? Confira sua resposta no gráfico.


Aula 3 - Atividades Exploratórias 10) Ac_incl.mdl

Um objeto está na origem do sistema de coordenadas com velocidade nula e aceleração de -1 m/s2 no sentido positivo do eixo. Varie na barra vertical sua aceleração e identifique qual é o correspondente gráfico para a posição, velocidade e aceleração em função do tempo. Em particular, procure produzir semi-retas nos gráficos:

a) velocidade versus tempo; b) posição versus tempo;

c) uma variação de velocidade positiva;

d) uma variação de velocidade negativa;

e) uma variação de velocidade nula.

f) Que conclusões você extrai de suas tentativas ?

11) Quant.mdl

a) Se o gráfico representa a velocidade (em cm/s) versus tempo (em s) para um determinado móvel, determine a aceleração em t = 36 s.

b) Se o gráfico representa a aceleração (em cm/s²) versus tempo (em s) para

um determinado móvel, obtenha a variação de velocidade entre o instante t1= 30 s e t2 = 40 s. )? (Dica: estenda a janela para a direita, execute o modelo e coloque a barra na posição “ON”)

c) Um outro objeto é submetido à aceleração constante de 55 cm/s² no

intervalo entre t1= 30 s e t2 = 40 s. A maior variação na velocidade será produzida no móvel do item b) ou c) ?


12) Revesam.mdl Observe o gráfico (a animação está inicialmente desabilitada) da posição versus tempo para um Papai Noel que se move sobre um carro amarelo e depois sobre um carro vermelho. a) A partir do gráfico posição versus tempo descreva detalhadamente o

movimento do Papai Noel. b) Estime quanto tempo o Papai Noel se move com velocidade constante

no carro amarelo? E no carro vermelho?

c) Arbitre o valor 1 para a variável “on” nas condições iniciais e execute o modelo. Compare com a sua descrição do movimento.


Atividades de Criação - Equações Paramétricas dos Movimentos6

O seguinte modelo mostra como se pode traçar um segmento de reta entre os pontos de coordenadas (20, 20) e (120, 20):

Criando uma animação de uma bola (tratada aqui como uma partícula) que se move de acordo com estas equações, obtém-se, na janela Animação:

onde assinalou-se Trajetória na janela de propriedades bola verde. Em termos físicos, este modelo corresponde a um movimento com velocidade constante, de módulo 5 unidades, segundo uma direção paralela ao eixo dos xx, e dirigida no sentido positivo de Ox, a partir do ponto de coordenadas x =20 e y =20, durante 20 unidades de tempo. As equações paramétricas utilizadas neste modelo são de grau 1. Vejamos o que acontece se utilizarmos uma equação paramétrica de grau 2. Um movimento acelerado numa direção paralela ao eixo dos xx Escreva o seguinte modelo:

Crie uma animação semelhante à anterior. Após a execução do modelo teremos:

Observando o movimento com atenção, podemos verificar que a bola vai cada vez mais depressa. Para visualizar esse aumento de rapidez, pode-se fazer um clique no campo Rastro na janela de propriedades da partícula:

6 Extraído de Funções e descrição de movimentos no espaço: uma breve introdução com o Modellus;

Atividades Interdisciplinares para Matemática e Física do Ensino Secundário. V. D. Teodoro. Publicação interna da Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa.


É muito importante não confundir a trajetória da bola com os gráficos das equações paramétricas. Na figura seguinte, estão representados esses gráficos, numa escala adequada (construa esta animação):


Experimente Construa modelos que permitam obter as seguintes animações (em alguns casos é necessário estimar alguns valores…): 1)

2)

3)


4)

5)

6)


Atividades de Criação – Movimento de Projéteis

1) Você dispõe das seguintes figuras de canhão (canhao30_d.bmp,

canhao30_e.bmp, canhao45_d.bmp, canhao45_e.bmp, canhao_Hd.bmp) e de alvo (alvo.bmp e alvo_inv.bmp):

Escolha um canhão e um alvo e coloque-os em dois pontos distantes um do outro na janela Animação. Admitindo g = 9.8 m/s² faça a animação da bala do canhão (use uma partícula como projétil) até atingir o alvo.


2) Dispondo da figura abaixo (chafariz.gif), crie uma partícula e faça com que ela reproduza a trajetória do jato d´agua.

Observações Gerais:

• Os enunciados das atividades também podem ser encontrados na Janela Notas de cada modelo.

• A senha para todos os Modelos protegidos é a letra “m”.

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