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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

BACHARELADO EM FÍSICA

Matheus Phellipe Brasil de Sousa

Expoentes Críticos numéricos na rede quadrada para

o modelo de Ising

Natal-RN

Novembro de 2017

Matheus Phellipe Brasil de Sousa

Expoentes Críticos numéricos na rede quadrada para o modelo

de Ising

Monografia de Graduação apresentada ao

Departamento de Física Teórica e Experimental do

Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universidade

Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial

para a obtenção do grau de bacharel em Física.

Orientador(a)

Professor Dr. João Medeiros de Araújo

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN

Departamento de Física Teórica e Experimental – DFTE

Natal-RN

Novembro de 2017

Sousa, Matheus Phellipe Brasil de. Expoentes críticos numéricos na rede quadrada para o modelode Ising / Matheus Phellipe Brasil de Sousa. - Natal, 2017. 56f.: il.

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grandedo Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Departamento deFísica Teórica e Experimental. Orientador: João Medeiros de Araújo.

1. Modelo de Ising. 2. Simulação. 3. Expoentes críticos. I.Araújo, João Medeiros de. II. Título.

RN/UF/CCET CDU 537.611.2

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET

Monografia de Graduação sob o título Expoentes Críticos numéricos na rede quadrada para o

modelo de Ising apresentada por Matheus Phellipe Brasil de Sousa e aceita pelo

Departamento de Física Teórica e Experimental do Centro de Ciências Exatas e da Terra da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da

banca examinadora abaixo especificada:

__________________________________________

Professor Dr. João Medeiros de Araújo

DFTE - Departamento de Física Teórica e Experimental

UFRN – Universidade Federal do Rio Grande do Norte

__________________________________________

Professor Dr. Dory Hélio Aires de Lima Anselmo



__________________________________________

Professor Dr. Francisco Alexandre da Costa



Natal-RN, 23 de novembro de 2017.

i

i

Dedico este trabalho à todos os familiares e amigos que sempre me incentivaram.

ii

Agradecimentos

Ao Professor João Medeiros, pela orientação. Aos demais professores do DFTE, que ao

longo do curso contribuíram para minha formação acadêmica. Aos meus grandes

amigos de curso, que sempre estiveram presentes nos mais diversos momentos da

graduação: Felipe, Rennan, Suzane, Isaac e outros. A minha mãe, irmão e esposa que

sempre me incentivaram durante a minha jornada na graduação em física.

iii

Resumo

Neste trabalho, apresentamos alguns resultados numéricos importantes associados ao

modelo de Ising para um rede quadrada 2D, tais como energia, magnetização, calor

específico e susceptibilidade magnética. Estudamos também o método de Monte Carlo e

algoritmo de metropolis, que são conceitos indispensáveis para a realização de uma

simulação computacional do modelo de Ising bidimensional. A partir da simulação

computacional, o objetivo principal será mostrar como podemos obter os expoentes

críticos associados a este modelo.

Palavras-chave: Modelo de Ising, Simulação, Expoentes críticos.

iv

Abstract

In this work, we present some important numerical results associated with the Ising

model for a 2D square network, such as energy, magnetization, specific heat and

magnetic susceptibility. We also study the Monte Carlo method and metropolis

algorithm, which are indispensable concepts for the computational simulation of the

two-dimensional Ising model. From the computational simulation, the main objective

will be to show how we can obtain the critical exponents associated to this model.

Keywords: Ising Model, Simulation, Critical Exponents.

v

A natureza é um enorme jogo de xadrez disputado por

deuses, e que temos o privilégio de observar. As regras do

jogo são o que chamamos de física fundamental, e

compreender essas regras é a nossa meta.

Richard Feynmann

vi

Lista de figuras

Figura 1 - Fluxograma representando o algoritmo de Metropolis. ....................................11

Figura 2 - Representação de uma rede de spins aleatória. ..............................................12

Figura 3 - Representação do primeiro sorteio. ....................................................................13

Figura 4 - Representação do segundo sorteio. ...................................................................14

Figura 5 - Representação do terceiro sorteio. .....................................................................15

Figura 6 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L=2...............................17

Figura 7 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L=6...............................17

Figura 8 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L=15. ...........................18

Figura 9 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L=35. ...........................18

Figura 10 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L=60. .........................19

Figura 11 - Comportamento da susceptibilidade magnética para os vários tamanhos de

rede. ..........................................................................................................................................20

Figura 12 - Ajuste linear para determinar o coefiente crítico associado a

susceptibilidade. ......................................................................................................................21

Figura 13 - Comportamento da magnetização para L=2. ..................................................22

Figura 14 - Comportamento da magnetização para L=6. ..................................................22

Figura 15 - Comportamento da magnetização para L=15. ................................................23



Figura 18 - Comportamento da magnetização para os vários tamanhos de rede. ........25

Figura 19 - Ajuste linear para determinar o coeficiente associado a magnetização. .....26

Figura 20 - Comportamento do calor específico para L=2. ...............................................27

Figura 21 - Comportamento do calor específico para L=6. ...............................................27

Figura 22 - Comportamento do calor específico L=15. ......................................................28

Figura 23 - Comportamento do calor específico para L=35. .............................................28

vii

Figura 24 - Comportamento do calor específico para L=60. .............................................29

Figura 25 - Comportamento do calor específico para diferente tamanhos de rede. ......30

Figura 26 - Ajuste linear para determinar o coeficiente crítico associado ao calor

específico. ................................................................................................................................31

Figura 27 - Comportamento da energia para L=2. .............................................................32

Figura 28 - Comportamento da energia para L=6. .............................................................32

Figura 29 - Comportamento da energia para L=15. ...........................................................33



Figura 32 - Comportamento da energia para os diferentes tamanhos de rede. .............35

viii

Lista de tabelas

Tabela 1 - Valores dos expoentes críticos para o modelo de Ising................................. 34

ix

Lista de abreviaturas e siglas

MMC – Método de Monte Carlo, p.22

NA – Número aleatório, p.26

x

Lista de símbolos

γ: Expoente crítico associado a susceptibilidade magnética

β: Expoente crítico associado a magnetização

α: Expoente crítico associado ao calor específico

υ: Expoente crítico associado ao comprimento de correlação

σ: Representação do spin

Ĥ: Hamiltoniano

NZ : Função de partição

𝐾𝐵: Constante de Boltzmann

𝑇𝐶: Temperatura crítica

χ: Susceptibilidade magnética

xi

Sumário

Resumo ............................................................................................................................ iii

Abstract ............................................................................................................................ iv

Lista de figuras ................................................................................................................ vi

Lista de tabelas .............................................................................................................. viii

Lista de abreviaturas e siglas ........................................................................................... ix

Lista de símbolos .............................................................................................................. x

1 Introdução ..................................................................................................................... 1

2 O modelo se Ising ......................................................................................................... 3

2.1 Resultados analíticos para uma rede bidimensional .............................................. 4

2.2 Expoentes críticos .................................................................................................. 5

3 Método de Monte Carlo (MMC) .................................................................................. 8

3.1 O algoritmo de Metropolis ..................................................................................... 9

4 Resultados e discussões .............................................................................................. 16

4.1 Susceptibilidade e o expoente ........................................................................... 16

4.2 Magnetização e o expoente ............................................................................. 21

4.3 Calor específico e o expoente ......................................................................... 26

4.4 Energia .................................................................................................................. 31

5 Conclusão ................................................................................................................... 36

Referências Bibliográficas .............................................................................................. 37

1

1 Introdução

A mecânica estatística é um ramo da física fundamentado nas teorias de

probabilidade com o intuito de descrever o comportamento termodinâmico de sistemas

macroscópicos, ou seja, sistemas nos quais existem um grande número de átomos ou

moléculas. Enquanto as leis da mecânica clássica não são capazes de explicar a

formulação de quantidades como entropia, calor e outras, a mecânica estatística

consegue nos trazer essa formulação naturalmente e ainda fazer a conexão com a

termodinâmica clássica. Ainda podemos dividir esse ramo da física em duas categorias,

que são a mecânica estatística de equilíbrio e a mecânica estatística de não-equilíbrio,

onde esta última trata de processos irreverssíveis tais como reações químicas. Para a

mecânica estatística de equilíbrio é de grande importância a apresentação da teoria dos

ensembles, onde um ensemble estatístico pode ser definido como distribuição de

probabilidade de um estado do sistema [1]. Dentro da teoria dos ensembles temos o

ensemble canônico que é caracterizado por um determinado conjunto de parâmetros

macroscópicos, e a partir deste podemos fazer a conexão com a termodinâmica clássica

através da função de partição, que nada mais é do que a soma sobre os estados.

Podemos estudar uma grande variedade de fenômenos com o conhecimento da

mecânica estatística. Os fenômenos mais relevantes para este trabalho são aqueles que

ocorrem em sistemas que possuem descontinuidades analíticas ou singularidades em

suas funções termodinâmicas, ou seja, sistemas que têm a ocorrência de vários tipos de

transições de fase. (Pathria, 2001, p.306). Ferromagnetismo, antiferromagnetismo,

transições de superfluidos são exemplos bastante conhecidos de fenômenos que

podemos encontrar em sistemas os quais apresentam transições de fase. Fluidos

clássicos também podem apresentar transições de fase tais como vapor – líquido.

Teorias clássicas como a de Pierre Curie, Pierre Weiss e van der Walls têm sido

utilizadas para descrever os vários tipos de transições de fase e seus aspectos, de modo

que estas teorias têm bastante relevância quando se trata de analisar as vizinhanças dos

pontos críticos. (Salinas, 2005, p.291). Como dito no parágrafo anterior, nessa região

crítica as funções termodinâmicas passam a apresentar descontinuidades analíticas ou

singularidades, de modo que tais descontinuidades são representadas por um conjunto

2

de expoentes críticos que apresentam caráter universal. Dentro de todo esse contexto

apresenta-se o modelo de Ising que consiste em um modelo ferromagnético que

apresenta variáveis discretas que podem representar momentos de dipolo magnéticos de

spin onde estes podem ser encontrados em dois estados.

Sendo assim, o objetivo deste trabalho é simular computacionalmente o modelo

de Ising, particularmente para uma rede quadrada 2D, com o intuito de reproduzir os

expoentes críticos. O método numérico mais conhecido para resolver problemas como o

modelo de Ising, é o Método de Monte Carlo juntamente com o algoritmo de

metropolis.

3

2 O modelo se Ising

O modelo de Ising consiste em um modelo ferromagnético que apresenta

variáveis discretas que podem representar momentos de dipolo magnéticos de spin onde

estes podem ser encontrados em dois estados 1 em uma rede de N stios. Cada sítio da

rede pode interagir com o campo magnético de sua vizinhança mais próxima e também

interagir com um campo magnético externo aplicado. Segundo Salinas (2005, p.316) “

O Hamiltoniano que descreve o modelo de Ising é dado por:

,=ˆ

1=

i

N

i

ji

ij

HJH (1)

onde i é uma variável que pode assumir os valores 1 ”. Onde ij

é uma soma

sobrepares ij mais próximos e J representa a energia de interação magnética entre os

vizinhos mais próximos ij . Quando a energia de interação magnética J é positivo e

0=H dizemos que a nossa rede está com seus spins todos orientados para cima ou

todos orientados para baixo, ou seja, produzimos um estado ferromagneticamente

ordenado, com ambos os casos igualmente equiprováveis. Se J é negativo e 0=H , a

configuração na qual os spins estão orientados em direções opostas em relação ao seus

vizinhos será favorecida. Neste último caso temos o antiferromagnetismo. Mas para

obter o comportamento das funções termodinâmicas presentes no modelo de Ising

devemos primeiramente definir sua função de partição canônica e a partir desta obter as

funções desejadas. Salinas (2005, p.316-317) diz que “a função de partição canônica

será

,ˆexp=),,(= HNHTZZ

i

N

(2)

4

,exp=1=

i

N

i

ji

iji

N HJZ

(3)

onde TKB1/= . O somatório da equação (3) é sobre todas as N2 configurações

possíveis na rede de spins. Logo após definir a função de partição canônica devemos

obter a energia livre por sítio”.

.ln1

lim=,=

N

N

ZN

HTgg

(4)

Já podemos antecipar que o modelo de Ising em uma dimensão e duas dimensões tem

solução analítica. Em uma dimensão a energia livre é uma função completamente

analítica, ou seja, não podemos observar nenhum tipo de transição de fase. Entretanto,

no caso de duas dimensões podemos observar o comportamento oposto. Já o caso em

três dimensões não possui solução analítica conhecida até o presente momento, sendo

esta uma das grande motivações do uso de métodos númericos para a resolução de

problemas físicos.

Salinas (2005, p.317) diz que “Segundo Onsager, quando a rede de spins não

está na presença de um campo externo, o calor específico diverge de forma assintótica

logarítmica”

,ln0= cH TTc (5)

para cTT , onde cT representa a temperatura crtica. Esta temperatura crítica é

definida por

21ln

2=

J

TK cB (6)

.O resultado para a magnetização espontânea de Onsager em rede quadrada nos fornece

o expoente crítico 1/8= .

2.1 Resultados analíticos para uma rede bidimensional

5

Neste seção apresentamos os resultados analíticos obtidos por Onsager para o

modelo de Ising em uma rede quadrada. A energia interna por spin no limite

termodinâmico obtida por Onsager é dada por

,2

12coth=

aKaJJu '

(7)

em que

,sin1

=22

/2

0

a

daK

(8)

é uma integral elíptica completa de primeiro grau. 21 aa ' é módulo elíptico

complementar e a é dado por

,2coth2cosh

2=

JJa

(9)

A magnetização espontânea vem a ser dada por

.2sinh1=8

1

4

1

Jm (10)

para cTT < e 0 . Para ,> cTT temos a indicação de uma transição de fase.

2.2 Expoentes críticos

As transições de fase podem ser caractezidas por um parâmetro de ordem, ou

seja, um parâmetro que mede o grau de ordem em um sistema o qual está sujeito a uma

transição de fase. Um exemplo típico de parâmetro de ordem no modelo de Ising é a

magnetização. Essas transições podem ser de primeira ou segunda ordem. No modelo de

Ising , em particular, temos

,=0=HH

gM

(11)

6

,=

0=

2

2

HH

g

(12)

onde g representa a energia livre. Na criticalidade a magnetização espontânea se anula

e a susceptibidade magnética apresenta um comportamento divergente.

As transições contínuas estão associadas diretamente aos expoentes críticos, pois

através destes podemos classificar a transição. No geral podemos descrevemos as

transições em termos de um conjunto de expoentes críticos , e , e outros. Nos

pontos críticos as funções termodinâmicas contém um termo regular em t (temperatura

reduzida), mais uma parte singular que depende de uma certa potência de t. Tais

potências de t são justamente os expoentes críticos. Em 0t e 0=H

os expoentes

estão relacionados com as seguintes funções termodinâmicas

,

tM (13)

,

t (14)

,

tC (15)

,

t (16)

,MH (17)

com a temperatura reduzida definida como

.=c

c

T

TTt

(18)

As funções acima são magnetização, suceptibilidade, calor específico,

comprimento de correlação e o campo. O expoente relacionado ao comprimento de

correlação é dito ser independente do tipo de rede que está sendo levada em

consideração, definindo então uma propriedade chamada de universalidade. Ou seja,

esta propriedade nos garante que alguns expoentes críticos possuem os mesmos valores

para diferentes tipos de rede.

Os expoentes críticos ,, e são indepentes entre eles mesmos, porém

estão relacionados através de certas relações tais como

7

2,=2 (19)

onde a equação (19) é conhecida como relação de Rushbrooke,

2,=1 (20)

a equação (20) é a relação de Griffiths

1).(= (21)

e a equação (21) é a relação de Widom.

Os expoentes críticos ainda podem ser relacionados com o tamanho da rede,

com o intuito de nos fornecer equações que facilite a obtenção do expoentes críticos

,

LtM (22)

,

Lt

(23)

,

LtC

(24)

.Lt

(25)

de modo que o valor do expoente é igual a 1 para uma rede bidimensional.

As equações acima são produzidas através da teoria de escala de tamanho finito.

(Santos, 2014). A teoria de escala de tamanho finito vem a ser bastante relevante em

simulações computacionais do tipo Ising, pois os expoentes críticos são obtidos quando

L , ou seja, quando temos redes infinitas. Entretanto, é impossível fazer esse tipo

de simulação computacional, pois as redes simuladas por maiores que sejam ainda tem

tamanho finito. Porém esta teoria nos permite estudar o comportamento crítico de

sistemas a partir do estudo dos observáveis do sistema, ou seja, variáveis

termodinâmicas em função de .L

8

3 Método de Monte Carlo (MMC)

No capítulo anterior foram apresentados alguns resultados analíticos obtidos por

Onsager para o modelo de Ising em duas dimensões, porém para o caso em três

dimensões não é conhecida nenhuma solução analítica para esta configuração. O

modelo de Ising em três dimensões é um dos inúmeros problemas encontrados na física

que não possuem solução exata conhecida, sendo esta a motivação para o uso de

métodos numéricos para a resolução de problemas. Em particular para resolver o

modelo de Ising, seja em uma, duas ou três dimensões, utiliza-se o Método de Monte

Carlo. O MMC em uma simulação do tipo Ising tem como objetivo principal calular o

valor médio A de um certo observável A , ou seja, uma variável dinâmica que pode

ser medida. Exemplos desses observáveis podem ser a energia interna de uma gás, ou a

magnetização em um modelo magnético. (Barkema, 1999). O cálculo do valor médio

de certas quantidades é bastante comum no ramo da física estatística, tais valores

médios podem ser obtidos através de

,

exp

exp

=

E

EA

A

(26)

ou seja, o valor médio do observável é a média do observável sobre todos os estados ,

onde cada estado tem energia E , e um peso dado pela distribuição de Boltzmann.

Para um sistema grande devemos incluir somente as M configurações mais

importantes para o sistema. Temos ainda que impor que essas M configurações sejam

selecionadas com uma determinada probabilidade p . Sendo assim, a média será dada

por

,

exp

exp

=1

1=

1

1=

jj

M

i

iii

M

i

Ep

EpA

A

(27)

quando M . Podemos ver que a escolha mais adequada para EZp exp= 1,

onde EZM

i exp=

1=

9

.1

=1=

i

M

i

AM

A (28)

de modo que os fatores de Boltzmann foram cancelados e ficamos apenas com a famosa

média aritmética . (Barkema, 1999). O método utilizado para escolher as configurações

mais importantes dentre todas as possibilidades encontradas, é chamada de amostragem

por importância.

Os observáveis termodinâmicos de interesse a serem calculados a priori são ⟨𝐸⟩, ⟨𝐸2⟩,

⟨𝑀⟩, ⟨𝑀2⟩ e ⟨|𝑀|⟩. E então calculamos a susceptibilidade magnética e o calor específico

que são dados respectivamente por

𝜒 =𝑑𝑀

𝑑𝑇=

(𝛥𝑀)2

𝑘𝑏𝑇=

⟨𝑀2⟩−⟨𝑀⟩2

𝑘𝑏𝑇, (29)

𝐶 =𝑑𝐸

𝑑𝑇=

(𝛥𝐸)2

𝑘𝑏𝑇=

⟨𝐸2⟩−⟨𝐸⟩2

𝑘𝑏𝑇2 . (30)

3.1 O algoritmo de Metropolis

O algoritmo de Metropolis foi introduzido por Nicolas Metropolis e seus

colaboradores em 1953. O algoritmo tem como princípio a escolha de um conjunto de

probabilidades de transição entre dois estados g , uma para cada possível

transição de um estado para o outro, , e então escolhe-se um conjunto de

probabilidades de aceitação A , de modo que a equação

,=

Ag

Ag

P

P (31)

a satisfazer a condição de balanço detelhado

.exp==

EE

p

p

P

P

(32)

Esta condição nos garante que a configuração que foi gerada após o equilíbrio é

a configuração de Boltzmann, em vez de uma outra qualquer. A condição de balanço

10

detalhado também deve conter o processo de Markov, ou seja, um processo no qual a

distribuição de probabilidade de um evento futuro dependa apenas do atual, e não de

todos que o precederam.

O algoritmo funciona escolhendo repetidamente um novo estado , e então

aceitando ou rejeitando este novo estado com a nossa probabilidade de aceitação. Caso

o estado seja aceito, o computador muda o estado para o novo estado . Caso contrário,

apenas deixamos como era, e o processo irá se repetir novamente.

A seleção das probabilidades g deve satisfazer a condição de

ergocidade, ou seja, o princípio de que cada estado seja acessível a partir de qualquer

outro em um número finito de passos. (Pinto, 1999). A probabilidade de transição é feita

de acordo com a seguinte condição

0,>se,exp= EEEEA (33)

contrário. caso1,= A (34)

A condição acima nos diz que se nós obtivermos um novo estado com energia

menor ou igual ao atual, devemos aceitar a transição para aquele novo estado. Porém, se

este novo estado tem energia maior que o atual podemos considerar a transição desde

que ela respeite a condição dada pelas equações acima.

Sendo assim, o Método de Monte Carlo usando o algoritmo de Metropolis deve

seguir os seguintes passos:

1 - Gerar uma configuração inicial para o sistema;

2 - Gerar uma nova configuração a partir da configuração inicial;

3 - Verifica-se uma possível variação dos parâmetros no sistema;

4 - calcula-se ;E

Se 0<E , aceitamos a variação do parâmetro;

Se 0>E , sorteamos um número aleatório NA entre 0 e 1, e calculamos

;exp E

11

Se 𝑒𝑥𝑝(−𝛽Δ𝐸) > 𝑁𝐴, voltamos ao passo 3;

Se 𝑒𝑥𝑝(−𝛽Δ𝐸) < 𝑁𝐴, aceitamos a variação do parâmetro e voltamos ao passo

1.

Este conjunto de passos pode ser representado pelo esquema abaixo

Figura 1 - Fluxograma representando o algoritmo de Metropolis.

Fonte: O autor

Apliquemos o algoritmo acima a um exemplo de rede bidimensional de

dimensão 55 . A rede foi gerada pseudo-aleatoriamente

12

Figura 2 - Representação de uma rede de spins aleatória.

Fonte: O autor

de modo que as setas para cima representam o spin 1 e as setas para baixo

representam o spin 1 . Após ter sido gerada a configuração dada pela figura acima,

sorteamos um spin aleatoriamente. Vamos supor que o spin sorteado aleatoriamente

esteja localizado na 4o

linha da 4o

coluna. Agora calculamos a variação de energia que

poderia ocorrer com a mudança do spin, lembrando que a energia a campo nulo é dada

pela equação

.=ˆji

ij

JH (35)

No caso spin sorteado na 4o

linha da 4o

coluna, a variação de energia E será

positiva. Neste caso sorteamos um número aleatório NA e calculamos .exp E

Dado que E exp seja maior que o número aleatório sorteado devemos então voltar

13

a escolha aleatória de um novo spin. Dessa vez o spin se encontra na 5 o linha da 3 o

coluna, e calculamos E mais uma vez, e observamos que a variação de energia será

mais uma vez positiva. Sorteamos outro número aleatório NA e calculamos mais uma

vez. Novamente encontramos que E exp é maior que NA, e então sorteamos um

outro spin, que desta vez se encontra na 3 o linha da 4 o coluna. Dessa vez a situação é

distinta das anteriores, pois a variação de energia será negativa, e então aceitamos a

mudança do spin.

Vale a pena ainda ressaltar que no caso de uma simulação que use o Método de

Monte Carlo, devemos nos preocupar com os erros associados ao método, ou seja, são

os erros estatísticos geredos pela média temporal feita sob um determinado tempo de

simulação. Outra preocupação que devemos ter é com a quantidade de amostras que

estamos utilizando para obter os resultados desejados. No exemplo citado acima

geramos apenas uma amostra, e para um resultado satisfatório devemos obter um

conjunto de N amostras e fazer a média sobre as amostras.

Figura 3 - Representação do primeiro sorteio.

Fonte: O autor

14

Figura 4 - Representação do segundo sorteio.

Fonte: O autor

15

Figura 5 - Representação do terceiro sorteio.

Fonte: O autor

16

4 Resultados e discussões

Para obter resultados satisfatórios neste trabalho foram feitas simulações

computacionais do modelo de Ising para diferentes tamanhos de rede quadrada, ou seja,

utilizou-se dimensões lineares de comprimentos L iguais 2, 6, 15, 35 e 60. O que

implica em matrizes de dimensões 3515,356,152,62 e 6060 . As simulações

foram feitas com 10^6 passos de monte carlo, um valor para o transiente (passos

descartados na inicialização do programa até que seja atingido o equilíbrio térmico) de

10^5 e com uma temperatura T variando de 0 a 5 , de modo que a temperatura foi

dividida em intervalos iguais a 0,1. A análise necessária para obtenção dos coeficientes

críticos deste trabalho se inicia com um estudo do comportamento da susceptibilidade

magnética, com o intuito de se obter as temperaturas pseudo-críticas. Estas temperaturas

pseudo-críticas são estimativas dos pontos onde teremos a ocorrência das transições de

fase. Na região próxima à região crítica foram diminuídos os passos a fim de estreitar o

gráfico na vizinhança da temperatura crítica e assim obter o que representaria uma

descontinuidade (um pico). Sendo assim, a temperatura pseudo-crítica foi encontrada

através da média dos picos da susceptibilidade magnética e do calor específico.

4.1 Susceptibilidade e o expoente

A susceptibilidade magnética é um parâmetro que nos informa o quanto que a

magnetização é sensível a um campo magnético. Será observado logo nas figuras abaixo

que no ponto de transição a magnetização irá decair rapidamente, ou seja, quando

cTT = . O comportamento da susceptibilidade no ponto crítico deve ser divergente

quando estamos tratando de redes infinitas, entretando computacionalmente só é

possível simular rede de tamanhos finitos, e isto implica que os pontos de divergência

da susceptilidade serão substituídos por picos. Sendo assim, como dito anteriormente,

iremos fazer uma análise da susceptibilidade magnética, ou seja, serão observados os

picos da susceptibilidade magnética para diferentes tamanho de rede. Abaixo podemos

observar os gráficos para os vários valores de L simulados computacionalmente neste

trabalho

17

Figura 6 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L=2.

Fonte: O autor


Fonte: O autor

18


Fonte: O autor


Fonte: O autor

19


Fonte: O autor

Observa-se que a medida que aumentamos o tamanho da rede o pico da

susceptibilidade magnetica aumenta, ou seja, a medida em L o comportamento

divergente irá surgir. Podemos observar melhor o aumento do tamanho do pico no

seguinte gráfico

20

Figura 11 - Comportamento da susceptibilidade magnética para os vários tamanhos de

rede.

Fonte: O autor

Com base nas figuras acima podemos identificar os picos da susceptibilidade

magnética e determinar as temperaturas pseudo-críticas para cada tamanho de rede. Ou

seja, para cada valor de L verifica-se o valor do pico da susceptibilidade magnética e a

que temperatura este pico foi observado. Uma vez que determinamos os valores da

susceptibilidade magnética em suas regiões críticas, a teoria de escala finita nos permite

obter o expoente crítico associado a susceptibilidade, ou seja, podemos recordar da

equação que relaciona com L

,

Lt

(36)

tomamos então o ln em ambos os lados da equação acima e obtemos a relação

).(ln=)(ln L

(37)

A equação acima nos permite construir um gráfico ln 𝜒 vs ln 𝐿, de modo que o

expoente crítico será dado pelo coeficiente angular da função acima

21

Figura 12 - Ajuste linear para determinar o coefiente crítico associado a susceptibilidade.

Fonte: O autor

onde o ajuste linear nos fornece um valor para o expoente crítico 0,061,76= . Sendo

o valor exato para 𝛾 dado por 1,75.

4.2 Magnetização e o expoente

Uma vez que já determinamos as pseudo-temperaturas críticas através da análise

dos gráficos e dados relacionados à susceptibilidade magnética, temos condições de

determinar o expoente crítico associado à magnetização de maneira semelhante. Para

cada tamanho de rede observamos mais uma vez a temperatura pseudo-crítica e

observamos o valor de M em CTT = . Antes de determinarmos o expoente crítico ,

podemos olhar o comportamento da magnetização para os diferentes tamanho de rede.

22

Figura 13 - Comportamento da magnetização para L=2.

Fonte: O autor


Fonte: O autor

23


Fonte: O autor


Fonte: O autor

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Fonte: O autor

;"";60.//;"0";"1";"1";"0";3.9583;5.2088;0;4.0075;5.265;"";"";;"";""60.04.00755.265 X N P E Up rop ertiesfilegp nã om a g n etiza çitivosd a d osd efinT C Cefilen a mcrop b ottomcrop rig h tcrop topcrop leftinh eig h torig in a linw id thorig in a lind ep thinh eig h tinw id thFileva lidU S E D E Fd isp la yra tioT R U Ea sp ectm a in ta inG R AP H ICtyp eW ordS cien tificep n g la n g u a ga çã oin m a g n etizinin itb p Ff

Podemos ver nos gráficos acima que no ponto de transição, ou seja, em CTT = a

magnetização espontânea desaparece. Ainda é observado que a medida em que

aumentamos o tamanho da rede o gráfico vai tomando um formato diferente. O

comportamento em altas temperaturas e a baixas temperaturas nos fornece o fato de que

houve o "flip" do spin, ou melhor, houve uma inversão em sua orientação. Abaixo

podemos verificar os diversos comportamentos para a curva de magnetização em um

único gráfico

25

Figura 18 - Comportamento da magnetização para os vários tamanhos de rede.

Fonte: O autor

Agora para determinarmos o expoente crítico iremos mais uma recorrer a lei

de escala finita e relacionar a magnetização com L . Logo

,

LtM (38)

tomando mais uma vez o ln em ambos os lados da equação obtemos

).(ln=)(ln LM

(39)

mas neste caso iremos utilizar o |)(|ln M . Temos então seguinte gráfico

26

Figura 19 - Ajuste linear para determinar o coeficiente associado a magnetização.

Fonte: O autor

este gráfico nos fornece um coeficiente angular, ou seja, um expoente crítico

0,0210,128= . De modo que o valor exato para o expoente crítico 𝛽 é dado por

0,125.

4.3 Calor específico e o expoente

Com o calor específico poderemos fazer uma segunda análise da temperatura

crtica observando seus picos, assim como no caso da susceptibilidade magnética.

Esperamos que no ponto de transição, ou seja, mais uma vez em CTT = o calor

específico apresente uma divergência. Entretanto, como já foi dito podemos apenas

simular redes finitas e este comportamento se apresenta em redes infinitas. O calor

específico irá nos informar o quanto que a enegia irá mudar com aumento da

temperatura do sistema. Abaixo podemos ver o comportamento deste observável para

diferentes tamanho de rede

27

Figura 20 - Comportamento do calor específico para L=2.

Fonte: O autor


Fonte: O autor

28

Figura 22 - Comportamento do calor específico L=15.

Fonte: O autor


Fonte: O autor

29


Fonte: O autor

Podemos ver que com o aumento do tamanho da rede o pico do calor especfico

se torna mais evidente. Os picos observados nos gráfico são os ponto de divergência, ou

seja, os pontos nos quais ocorrem a transição de fase.

30

Figura 25 - Comportamento do calor específico para diferente tamanhos de rede.

Fonte: O autor

Para determinar o expoente crítico associado ao calor específico iremos utilizar a

equação

.

LtC

(40)

que é fornecida pela lei de escala finita. Entretando, para o modelo de Ising em duas

dimensões o valor do expoente crítico deve ser igual a zero, pois valor de 𝛼=0 é uma

convenção que foi adotada para que houvesse uma consistência na teoria das transições

de fase e expoentes críticos. Já podemos observar que através do gráficos acima o

gráfico tipo ln vs ln para este caso irá nos fornecer um resultado diferente de zero.

Sendo assim é mostrado um gráfico logo abaixo de C vs ln )(L

31

Figura 26 - Ajuste linear para determinar o coeficiente crítico associado ao calor

específico.

Fonte: O autor

de onde obtivemos um valor para o coeficiente 0,0220,492=0 C . Esse resultado é

claramente diferente do que é esperado para o modelo de ising em duas dimensões, já

que o valor de α deve ser zero para o modelo de ising 2D. A alternativa para resolver

essa diferença é não interpretar um coeficiente α dado pela lei de escala finita, mas sim

adotar ele como zero.

4.4 Energia

Por fim iremos apresentar os resultado obtidos para a energia como função da

temperatura para os diversos tamanhos de rede

32

Figura 27 - Comportamento da energia para L=2.

Fonte: O autor


Fonte: O autor

33


Fonte: O autor


Fonte: O autor

34


Fonte: O autor

À medida em que aumentamos o valor de L a curva da energia vai tomando um

formato diferente. A derivada deste gráfico em torno do ponto central deve apresentar

uma divergência. Esta divergência nada mais é que o comportamento do calor

específico apresentado anteriormente.

Podemos ainda comparar os resultados dos expoentes críticos obtidos através da

solução numérica com os resultados calculados analicamente observando a seguinte

tabela.

Tabela 1 - Valores dos expoentes críticos para o modelo de Ising.

Ising 2D: Valores exatos Ising 2D: numérico

β 0,125 0,128±0,021

γ 1,75 1,76±0,06

35

𝐶0 0,500 0,492±0,022

Fonte: O autor

Figura 32 - Comportamento da energia para os diferentes tamanhos de rede.

Fonte: O autor

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5 Conclusão

Como pudemos ver na seção anterior os expoentes críticos obtidos através da

simulação numérica não são exatamente os mesmo quando comparados à tabela 1.

Muito fatores influenciaram neste resultado, como por exemplo, o tamanho da rede que

estamos trabalhando, o número de passos de monte carlo ou até mesmo a

implementação do código. Sendo assim, para obtermos um resultado mais próximo do

que encontramos na tabela devemos aumentar o tamanho da rede, de modo que nossa

rede seja extremamente grande, e junto a isto aumentar o número de passos de monte

carlo. Entretanto, quanto maior o tamanho da rede e o número de passos de monte

carlo, o esforço computacional aumenta significativamente, de modo que ficamos

limitados quando se trata de fazer simulações com parâmentros muito grandes. Ainda

podemos observar pontos não tão próximos ao ajuste linear quando observamos por

exemplo o gráfico para obtenção do expoente β ou até mesmo do expoente γ. Esses

pontos não tão próximos são consequência da falta de um estreitamento que deveria ser

estar mais evidente no gráfico do calor específico, por exemplo.

Contudo, apesar dos resultados obtidos para os expoentes críticos serem

ligeriramente diferentes dos dados da tabela 1, podemos ver que a simulação,

juntamente com o método utilizado para determinar as pseudo-críticas (método que

consistiu em determinar as temperaturas pseudo-críticas através dos picos da

susceptibilidade magnética) nos forneceu resultados satisfatórios quando fazemos uma

comparação com os resultados analícos para o modelo de Ising em duas dimensões, mas

também observamos a barra de erro da solução numérica.

37

Referências Bibliográficas

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2001. p.305-364.

[2] SÍLVIO R. A.SALINAS. Introdução à física estatística. 2.ed. São Paulo: edusp,

2005. p.291-334.

[3] FILIPA SUSANA CALDAS PINTO. Um estudo computacional do modelo de Ising.

1999. Tese (mestrado em Métodos Computacionais em Ciência e Engenharia) –

Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. UPORTO, Porto, 1999.

[4] KERSON HUANG. Introduction to statistical physics. 1.ed. Taylor & Francis, 2002.

p.45-54.

[5] M. E. J. NEWMAN AND G. T. BARKEMA. Monte Carlo Methods in Statistical

Physics. 1.ed. Oxford: Oxford university press, 1999. p.1-84.

[6] MURILO LACERDA SANTOS. Simulação de monte carlo no modelo de Ising na

rede quadrada.Dissertação (mestrado em física) – Universidade Federal de Minas

Gerais. UFMG, 2014.

universidade federal do rio grande do norte centro de ... · modelo de ising para um rede quadrada...

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