UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOINSTITUTO OE FÍSICA

SOBRE A NATUREZA DA TRANSIÇÃO DE FASES

EM MODELOS DE ISING COMPRESSÍVEIS

ANDRÉ TSUTOMU OTA

Dissertação apresentada ao

Instituto de Física da USP

para obtenção do título de

Mestre em Ciências.

SAO PAULO1 985

R E S U M O

O fenômeno da transição de fases é ^

lisado em um modelo de Ising ferromagnético compre^

sível, a campo nulo, através da aproximação de cam-

po médio. 0 modelo analisado é d-dimensional sob o

ponto de vista magnético e unidimensional sob o pon

to de vista elástico. Isto se consegue mantendo-se

as interações compressivas entre os ions e despre

zando-se totalmente as forças de cisalhamento. 0 pa_

râmetro de troca J é linear e o potencial elástico

quadrático em relação aos deslocamentos microscópi-

cos da rede. No caso unidimensional, este modelo

n3o apresenta nenhuma transição de fase. No caso de

duas dimensões, o papel do spin S. do i-ésimo íon é

crucial: a) para spin ) as transições são de segun-

da ordem; b) para spin 1, além das transições de se

gunda ordem temos um ponto tricritico e uma linha

de transições de primeira ordem.

Í N D I C E

I. INTRODUÇÃO 1

II. MODELOS MAGNÉTICOS COMPRESSÍVEIS 4

II. 1 - A SOLUÇÃO DE GBI EM UMA DIMENSÃO 8

II.2 - A SOLUÇÃO DE GBI EM DUAS OU MAIS DIMENSÕES. 11

III.O MODELO DE BAKER-ESSAM COM SPIN 1 16

IV. CONCLUSÕES 2k

APÊNDICE A. O MODELO DE DOMB 27

A.1 - O MODELO DE DOMB UNIDIMENSIONAL 27

A.2 - MODELO DE DOMB PARA d 21 2 32

APÊNDICE B. O MODELO DE BEG 35

B.I - Hamiltoniano de tentativa incluindo apenas

um campo livre 36

B.2 - Hamiltoniano de tentativa incluindo o termo

de campo cristalino 39

REFERÊNCIAS 43

C A P Í T U L O I

I - INTRODUÇÃO

Para analisar fenômenos ferromagnéticos,o mo

delo mais simples que apresenta resultados nao triviais é

o de Ising* ', que é definido em uma rede cristalina rígi_

da com cada ion "congelado" em um sítio da rede. Os íons

interagem devido ao mecanismo de troca, de natureza cou-

lombiana, que depende apenas do valor dos spins. No mode-

lo de Ising usual os spins assumem os valores •! ou -1.

Num sólido real, entretanto, deve haver uma

interação entre os spins e as vibrações térmicas dos íons

na rede. Neste sentido, Dombv ' propôs um modelo que leva

em conta as vibrações da rede cristalina de uma forma mé-

dia, através da dependência do parâmetro de troca com o

volume. No apêndice A mostramos que este modelo, com para

metro de troca linear e a parte elástica quadrática no vo

lume, sempre apresenta uma instabilidade mecânica, condu-

zindo a uma transição de primeira ordem.

0 modelo de Domb sofreu muitas críticas por-

que não leva em conta as interações locais, microscópicas,

dos ions da rede cristalina, Baker e Essam*3' apresenta-

ram um modelo com interações microscópicas bidimensionais

magneticamente e unldimensionais do ponto de vista elásU

co, abandonando completamente as forças de cisalhamento.

Originalmente, Baker e Essam fixaram as condições d2 con-

torno definindo a forma e o volume do sistema de spins. A

solução, que é feita no ensemble canõnico, tem os result£

dos escritos de forma pouco transparente. Cunther,Bergman

e Imry*4' simplificaram o problema ao considerarem o en-

semble A, com as condições de contorno livres. Os resulta.

-2-

dos sSo idênticos, pois a energia livre de Helmholtz de

Baker e Essam está ligada à energia livre de Gibbs de

Gunther, Bergman e Imry através de uma transformação de

Legendre. No ensemble X, este modelo, no caso de spin $,

tem o hamiltoniano efetivo de spins reduzido ao modelo de

Ising usual. Em duas dimensões vale a solução de Onsager,

com uma transição de segunda ordem. Em três dimensões ain

da é possível estabelecer que a transição é.de segunda ojr

dem. .

No nosso trabalho vamos analisar o modelo de

Baker e Essam seguindo uma linha semelhante h de Gunther,

Bergman e Imry. Inicialmente integramos os graus elásti-

cos de liberdade e obtemos um hamiltoniano efetivo de

spins que poderá ser tratado pelas técnicas usuais da me-

cânica estatística. Vamos admitir apenas que o spin S do

i-ésimo íon seja arbitrário. Nosso interesse é estudar o

efeito de um valor maior do spin sobre a natureza da trari

sição de fase. Será que ela continua sendo de segunda or-

dem? Ou poderá surgir um ponto tricrítico induzido pelas

flutuações de spin?

No capítulo II.1 estudamos o modelo de Baker

e Essam segundo Gunther, Bergman e Imry em uma dimensão.

Independente do valor do spin este modelo não apresenta

nenhuma transição de fase, servindo o caso unidimensional

como uma ilustração do método seguido. No capítulo II.2

apresentamos a solução de Gunther, Bergman e Imry em duas

ou mais dimensões. 0 hamiltoniano efetivo envolve intera-

ções quadráticas e também biquadráticas, No caso de spínj

a transição é de segunda ordem. Para spin 1 o hamiltonia-

no efetivo se torna um caso particular do modelo de BIume,

-3-

Emery e Griffiths . No apêndice B analisamos este mode-

lo na aproximação de campo médio através da desigualdade

de Bogoliubcv. Mostramos que o termo de campo cristalino

no hamiltoniano de tentativa é crucial para se obter os

resultados do trabalho de Blume,Emery e Griffiths. 0 obje

tivo deste apêndice é apontar para o fato de que uma alt£

raç3o no hamiltoniano de tentativa, no caso destes mode-

los, pode levar a resultados qualitativamente diferentes.

No capítulo III obtemos uma solução aproximada para o mo-

delo de Baker e Essam com spin 1 usando técnicas de campo

médio e determinamos a curva critica e o ponto tricrítico.

Nesta solução, o hamiltoniano de tentativa não precisa

conter o termo de campo cristalino porque este não apare-

ce no hamiltoniano efetivo de spins. A curva de transi-

ções de primeira ordem é obtida numericamente. Concluímos

que no modelo de Baker e Essam maiores flutuações de spin,

na aproximação de campo médio, conduzem a um ponto tricr.1

tico e a transiçOes de primeira ordem. Resta, no futuro,

verificar se estas características permanecem num cálculo

mais sofisticado.

C A P Í T U L O I I

-4-

II - MODELOS MAGNÉTICOS COMPRESSÍVEIS

O modelo de Ising do ferromagnetismo - que

fornece o exemplo mais simples de um comportamento não

trivial - é definido sobre um rede cristalina rígida,em

que os ions magnéticos não estão submetidos a vibrações

térmicas. 0 hamiltoniano de Ising é normalmente escrito

na forma

J I t (2.1)Cl j) i

onde o = ti, Vi, a primeira soma é sobre vizinhos mais

próximos, J é o parlmetro de troca, e h o campo magnéti-

co em unidades convenientes. A função de partição canôni^

ca é dada por

Zj » Tr exp ( -pU ) (2.2)

onde 0 = (ko T ) "1 , k_ é a constante de Boltzmann e T a

temperatura absoluta, e o traço representa uma soma so-

bre todas as configurações dos spins. 0 parâmetro J é

uma constante, de natureza coulombiana, proveniente da

justaposição das funções de onda eletrônicas.

No passado foram feitas várias tentativas de

incluir as vibrações elásticas no modelo de Ising. t cia

ro que num sólido real os ions estão vibrando termicamen

te e seria justo, portanto, supor que o parâmetro J re-

fletisse estas vibrações. Uma das tentativas mais sim-

ples de incluir graus elásticos de liberdade no modelo

-5-

de Ising resulta no chamado modelo de Oomb, que pode ser

expresso pelo hamiltoniano

-3(v) l<rv a.- h[<rt • « < l á . t u . (2.3)Uj) 1

onde 3 é uma função do volume V da rede cristalina e

y representa a parte elástica do hamiltoniano. A

função canônica de partição pode então ser escrita na

ma

onde fica evidente a separação entre os graus de liberda-

dade magnéticos e elásticos. Na medida em que seja possí-

vel calcular 7 , também será possível obter Z e, portan-

to, uma solução exata do modelo. No entanto, é fácil mos-

trar (ver Apêndice A) que o hamiltoniano (2.3), para for-

mas razoáveis de J(V) e M ...... , conduz sempre a umaelástico

instabilidade mecânica e, portanto, a uma transição de

primeira ordem.

0 modelo de Oomb sofreu várias criticas,

pois na realidade só leva em conta as vibrações de uma

forma média, através da dependência de J com v. Seria in.

teressante considerar um modelo em que estivessem real-

mente incorporadas as vibrações locais, microscópicas,

dos ions da rede cristalina. Por exemplo, é possível re-

solver exatamente um modelo unidimensional da forma

M-1

** " EJ(*ui"VrU«rl " h E Ti*M»li»t,C (2.5)i*o i

-6-

onde

- J,

(2.7)

ou seja, J é linear e o potencial elástico é quadrático

nos deslocamentos x .É claro que uma solução unidimensio

nal é pouco interessante, pois não exibe nem o fenômeno

de transição de fase. No entanto, vale a pena apontar que

o modelo de Domb, com 3 linear e a parte elástica qua-

drática em v, continua exibindo uma instabilidade mecân_i

ca mesmo em uma dimensão.

No intuito de incluir as vibrações -nicroscó

picas dos íons, Baker e Essam propuseram um modelo que

não é verdadeiramente realista, mas que certamente evita

qualquer média prévia sobre os deslocamentos. 0 modelo

de Baker e Essam (BE) é bidimensional sob o ponto de vi^

ta magnético, mas continua sendo unidimensional sob o

ponto de vista elástico. Isto se consegue mantendo-se as

interações compressivas entre os íons e abandonando-se

completamente o cisalhamento. Em duas dimensões, com J

linear e potenciais elásticos quadráticos, o modelo de

Baker e Essam pode ser resolvido exatamente e exibe ape-

nas uma transição de segunda ordem, sem qualquer instab_i

lidade. Temos então dois casos extremos: (1) no modelo

de Domb as flutuações da refe são levadas em conta de ma

-7-

neira global, média, e a transiçio é de primeira ordem;

(2) no modelo de Baker e Essam as flutuações sSo levadas

em conta microscopicamente, mas s8o exageradas devido ao

abandono das forças de cisalhamento; neste caso a transi-

çSo é de segunda ordem.

No seu trabalho pioneiro Baker e Essam con-

sideram o sistema de spins com condições de contorno fi-

xas, com uma forma e um volume bem definidos. A solução

do problema, que é feita no ensemble canônico,envolve uma

integração de ponto de sela, com os resultados finais es-

critos de maneira pouco transparente. Uma considerável

simplificação deste problema foi obtida por Gunther,Berg-

man e Imry (GBI), que consideraram o sistema no chamado

ensemble-X, com condições de contorno livres, É claro que

os resultados são idênticos, pois a energia livre canõnica

de Baker e Essam deve estar ligada à energia livre de

Gibbs de Gunther, Bergman e Imry através de uma simples

transformação de Legendre. Em nosso trabalho vamos então

partir diretamente da formulação de GBI, admitindo apenas

que o spin S do i-ésimo ion pode ser arbitrário.0 nosso

interesse se concentra no efeito de um spin maior,sujeito

portanto a maiores flutuações, sobre a natureza da trans_i

ção de fases. Vamos seguir uma linha semelhante aos cálcij

los de GBI - inicialmente serão integrados os graus elás-

ticos de liberdade; ficaremos então com um hamiltoniano

efetivo de spin que poderá ser tratado com as técnicas

usuais da mecânica estatística.

-8-

II.1 - A SOLUÇÃO OE GBI EH UHA DIMENSÃO

A titulo de ilustração é interessante consi-

derar o problema em uma dimensão. De acordo com GBI, de-

vemos fixar o primeiro spin e aplicar uma força X sobre o

último (ver figura abaixo)

Fig.i:N*i osciladores unidinensionais coi o primeiro fixoe coa ui força A aplicada ao últiao.

A campo nulo, o hamiltoniano do sistema, incluindo o

balho da força elástica, fica então escrito como

onde x designa a posição do i-ésimp ion e x =0. O termo

de troca e o potencial elástico são dados por

(2-9)

(2.10)

onde JQ, J e 9 têm sinais arbitrários, mas 9 é positivo.

-9-

No ensemble X ( que, no caso unidimensional

corresponde ao conhecido ensemble das pressões) a função

de partição é dada r>

Y(T,X,H) « TT J 4* r. . J dxH expt-0* ) (2.11)

Devido às condições de contorno que estamos adotando, fi-

ca muito fácil realizar as integrais sobre as posições.

Basta observar que

(2.12)

e fazer a mudança de variáveis

Temos assim uma integral totalmente fatorizada,

I • ^

Como estamos considerando apenas pequenas vibrações, a i£

tegral em y é uma simples gaussiana, dada por

-10-

(2.15)

Frente a este resultado podemos escrever Y na forma

,-»"r

onde f (X) é uma função regular de X . Qualquer anomalia

termodinâmica será então provovada pelo hamiltoniano efe-

tivo de spin no ensemble X,

(2. .7)

No caso de spin }, ou seja, quando o = ti, Vi, o segundo

termo é uma mera constante e o problema se reduz à solu-

ção do modelo de Ising usual. Como sabemos, em uma di-

mensão n3o há qualquer anomalia termodinâmica. Com spin

arbitrário, ainda podemos utilizar o argumento de Landau

para provar que não há transição. Portanto, o caso unidi-

mensional serve apenas como uma ilustração do nosso méto-

do.

- 1 1 -

I I . 2 - A SOLUÇÃO DE 6BI EH DUAS OU MAIS DIMENSÕES

\

Fig.2: M*x N* oscilarfores acopiados aagneticamnte. O aco-palacnto elástico, no entanto,é unidiatnslonal.

'S//Y///////////Vamos inicialmente considerar um caso bidi-

mensional, com as condições de contorno indicadas na figtj

ra acima. Um sitio da rede será indicado pelo par de cooj_

denadas (i,j), nas direções x e y respectivamente. No mo-

delo de BE só se levam em conta os termos compressivos. A

interação entre os pares (i,j) e (i+1,j) será então dada

por

M8)

A interaçSo entre (i,j) e (i, j+1) será dada por

onde a posição do sitio genérico (i,j) é dada por

An,X (2.20)

-12-

( ft e 9 sSo os versores unitários nas direções x e y res-

pectivamente). No hamiltoniano ainda comparece o trabalho

das forças X, dado por

( 2 2 1 )

Í..Í

onde x = y = O, Vi. Podemos então escrever o hamilto-

niano

•J•J,.,)«uM«u - 3(yiiit,-y..) V A .

onde

J(t) = JQ - Ji (t - a p), (2.23)

* *?2 (t - a 0)' (2.24)

c o m t . x 1 O J - x l J o u t . y 1 J 1 - y â J . ( 2 . 2 5 )fJ o u t . y 1 > J + 1 - y â >

- 1 3 -

A função de part ição é dada por

Y - TrTT j dx^ «ày- «*y [rf*\ (2.26)

Levando em conta apenas as interações compressivas, as ir»

tegrais nas posições podem ser tratadas de forma idêntica

ao caso unidimensional. Sob o ponto de vista elástico ca-

da linha ou coluna não interage com os seus vizinhos e p£

de ser tratada separadamente. Como no caso unidimensional,

o problema se fatoriza e acabamos com um hamiltoniano ef£

tivo da forma

onde

J, « J ^ • «i (2.28)

* • Q

- & ,A " 7<D ' (2.29)

1 designa agora um sitio da rede e (t,t ) indica um par

de vizinhos mais próximos. Pode-se facilmente verificar

que uma forma deste tipo acaba sendo obtida para um mode-

lo definido sobre uma rede hipercúbica simples de dimensi^

onalidade arbitrária. Fica então mais claro adotar a notai

Ç9o da Eq.(2.27), sem dar grande importância à dimensão eu

clidiana em que estamos trabalhando.

No caso de spin \ o termo biquadrático é

-14-

uma constante e o cálculo da função de partição Y é bem

mais simples. Em d=2 temos a solução exata de Onsager.com

uma transição de segunda ordem para

(2.30)

onde c= ) ln(1 • / 5 ) . Portanto, no plano X x T o diagrama

de fases será dado pela figura abaixo. Há apenas uma li-

nha do tipo A,de transiçOes de segunda ordem.

-tt

F E R R O

P A R A

rig.3: 01agram* de fases no plano A * T t*d«2 para o aodtlo da BE. A linha datranslçlo é da sagunda ordta, sepa-rando as fasas ferroaagnétlca a pa-raaagnétlea.

-15-

Em três dimensões, embora nSo se disponha de uma solução

exata, é possível , através de expansões em séries es tab es

lecer que a transição é de segunda ordem e obter a cons-

tante c com vários significativos. Isto significa que,

qualitativamente, temos o mesmo tipo de diagrama de fases.

A situação fica interessante para um valor

arbitrário do spin, quando não podemos desprezar as inte-

rações biquadráticas. Na próxima secção vamos considerar

o caso mais simples possível, em que o spin pode assumir

os valores +1, 0 ou -1. Na realidade o hamiltoniano (2.27)

neste caso não passa de um caso particular do chamado mo-

delo de Blume-Emery-Griffiths, proposto inicialmente num

contexto completamente diferente.

C A P Í T U L O I I I

-16-

III - O MODELO DE BAKER - ESSAh COM SPIN 1

Vamos considerar nesta secção o hamiltoniano

efetivo correspondente ao modelo de Baker-Essam no ensem-

ble X,

(3.1)

IT.TV

onde a soma (1,1*) é sobre vizinhos mais próximos e esta-

mos adicionando um termo de campo. Com spin .1, o hamilto-

niano (3.1) é um caso particular do modelo de Blume-Emery

-Griffiths (BEG), dado por

Estamos, portanto, considerando o modelo BEG com A=H =0.

No apêndice B vamos fazer algumas observações sobre o tra

balho original de BEG, que se concentra no caso H «0, com

J muito pequeno ou nulo.

A solução de campo médio do nosso problema

pode ser obtida através da desigualdade de Bcgoliubov

-17-

(3.3)

onde F(M) é a energia livre correspondente ao he-niltonia-

no M , F0(M_) é a energia livre correspondente ao hamilto

niano de tentativaHQ, e o valor esperado < M - H # ) Q deve

ser tomado com respeito a um ensemble definido porH . 0£

vido à estrutura do hamiltoniano (3.1), é natural consid£

rar um hamiltoniano de tentativa da forma

onde o* = +1, 0, -1, v l . Assim temos:

(3.6)

onde q é o número de coordenação da rede e as funções m

e n»2 sSo dadas por

í — (3-7)

.18-

l* = 1 L (3.8)

Temos,portanto, o lado direito da desigualdade (3.3), • ,

como função do parâmetro n. A aproximação de campo médio

consiste em minimizar • com respeito a n e tomar o míni-

mo de • como a energia livre do sistema. Alternativamente,

podemos escrever • como função da magnetização m. ao in-

vés do parâmetro n (pois m e n estão relacionados atra-

vés da Eq.(3.7)). Neste caso é interessante, ao invés de

minimizai: • com respeito a m , obter inicialmente uma s£

rie de potências para • no estilo da expansão de Landau

para transições de segunda ordem. Assim, a campo nulo

(H=O), o nosso objetivo consiste em escrever:

4- AH-m* • 814-mJ • C » -m? •» ...

Para A=0 com B>0 temos uma transição de segunda ordem.Por

outro lado, para A=B=0, com C>0 temos um ponto tricrí-

tico.

Com um pouco de trabalho algébrico é possí-

vel escrever • na forma (3.9) com os coeficientes

(3.10)

-19-

A 3. Vt T - i-^-L - - <\\ (3.11)

(3.12)

C = ü k . T .- 3. * JA (3.i3)155 *

A linha crítica será dada por A=0, isto é,

£.?*. *i- (3.14)

9 J, 3

com B > 0, ou seja,

> i-^ (3.15)

Introduzindo as definições

*i*Z s t (3.16)

(3.17)

-20-

te&os um linha de pontos críticos

92.3

(3.18)

que, para 3 >0, termina no ponto tricritico

P=3

Para p>3, a transição de primeira ordem só pode ser de-

terminada numericamente (ver figura 4)

43

a

rig.4 :01agraü« de rases no plano t x p para

o «odeio BEC co*A«H «H>0. Para p >3

ttnos una linha da transiçSes de pri-

•clra ordefi (tracejada).A linha cheia

é de segunda ordeu.

-21-

Exceto nas vizinhanças do ponto tricritico.a

linha de primeira ordem só pode ser obtida numericamente.

Neste caso a expansão de Landau é de pouca valia. Vamos

entSo minimizar • com respeito a n . É fácil verificar qje

i*-0 eqüivale à equação3n

X s *» a ^ n ^ l ^ r : ^ ' * (3.19)

onde x=6n- Pode-se notar que x=O é uma solução sempre (so

lução trivial ou paramagnética). No entanto, dados t e p

poderá haver uma ou mais soluções diferentes de zero.Quari

do houver duas ou mais soluções diferentes de zero temos

que verificar qual delas é que corresponde a um mínimo de

• . A curva de primeira ordem é obtida quando a solução pa_

ramagnética e duas soluções ferromagnéticas correspondem

ao mesmo valor de •. Desta forma é que obtivemos a linha

tracejada da figura 5.

Utilizando as expressões (2.28) e (2.29) pa-

ra J e J é fácil obter o diagrama de fases no plano

X x T. A linha crítica, Eq.(3.i4), será dada por

com

-22-

(3.21)

O ponto tricrítico será então dado por

T -9 fA

(3.22)cr,

0 diagrama X x T está esboçado na figura 5.

i*.

fig.5: Dlagrana de fate» no piano A * TLINHA CHEIA t* curva de 2» orde*LINHA TRACEJADA K curva de 1« orde*TT/, H ponto tricrítico

-23-

Verificamos, portanto, que no modelo de BE maiores flutu£

çOes de spin podem conduzir, na aproximação mais simples

de campo médio, a um ponto tricrltico e a transições de

primeira ordem. Resta, no futuro, verificar se estas ca-

racterísticas permanecem num cálculo mais sofisticado.

C A P Í T U L O IV

IV - CONCLUSÕES

Para transformar o modelo de Ising num mode-

lo mais realista é necessário incluir as vibrações elásti_

cas dos íons. Neste sentido, duas linhas de trabalho fo-

rati> seguidas. Uma, a proposta por Oomb, na qual as vibra-

ções ria rede cristalina são tomadas de uma forma média,

atrav. da dependência da constante de acoplamento J com

o volume V. Como vimos no apêndice A,esta maneira de abo£

dar o problema conduz, no caso do modelo de Ising, a uma

instabiiidade mecânica, gerando sempre uma transição de

primeira ordem. A outra linha de trabalho foi a proposta

por Baker e Essam, que evitaram tomar qualquer média pré-

via sobre os deslocamentos, considerando as vibrações lo-

cais, microscópicas, dos íons da rede cristalina, mas

abandonando totalmente as forças de cisalhamento; neste

caso, a transição é de segunda ordem.

Gunther, Bergman e Imry simplificaram consi-

deravelmente o problema de Baker e Essam ao utilizarem o

chamado ensemble A, com condições de contorno livres. Ba-

ker e Essam, ao fixarem as condições de contorno, com uma

forma e um volume bem definidos, usaram o ensemble canôní^

co. Dada a equivalência dos resultados nos dois ?nsembles,

partimos diretamente da formulação de Gunther, Bergman e

Ii*fyf admitindo apenas que o spin S do i-ésimo íon pode

ser arbitrário, porque nosso interesse é o de analisar o

papel que desempenham as flutuações dos spins sobre a na-

tureza das transições de fase.

Quando integramos o hamiltoniano original

nos graus elásticos de liberdade, obtemos um hamiltoniano

-25-

efetivo de spins que pode ser tratado pelas técnicas usu-

ais da mecânica estatística. Consideramos o acoplamento

dos spins linear e o potencial elástico quadrático nos

deslocamentos. Nesta condições, em uma dimensão, o hamil-

toniano efetivo de spins é dado pela equação (2.17)

v -No caso de spin }, isto é, at- ±1,V i, o segundo termo é

uma constante e o problema se reduz ao modelo de Ising

usual, que em uma dimensão não possui nenhuma anomalia

termodinâmica. Com spin arbitrário, podemos utilizar o ar;

gumento de Landau para mostrar que não há transição de fa

se, servindo o caso unidimensional apenas como ilustração

do método que usamos.Em duas dimensões, o hamiltoniano

efetivo é dado pela equação (2.27)

t fácil verificar que se obtém um hamiltoniano efetivo

com a mesmo forma para um modelo definido sobre uma rede

hipercúbica simples de dimensionalidade arbitrária, Para

o caso de spin }, o termo quadrático é uma constante. Em

duas dimensões, a solução i exata. No plano \ x T o dia-

grama de fases apresenta uma única linha do tipo xde tran

-26-

sições de segunda ordem. Em três dimensões, a solução não

é exata, mas com técnicas de expansões em séries pode-se

estabelecer que a transição é de segunda ordem. Temos,qu£

litativamente, o mesmo tipo de diagrama de fases.

0 spin arbitrário mais simples é quando ele

toma valores +1, 0, -1. 0 hamiltoniano efetivo de spins

correspondente ao modelo Baker e Essam no ensemble A com

este valor de spin é um caso particular do modelo de Blu-

me, Emery e Griffiths. Inicialmente, obtivemos a energia

livre • na forma de série de potências da magnetização,

nos moldes da expansão de Landau para transições de segun

da ordem, a campo externo nulo. Obtivemos a linha critica

dada pela equação (3.18)

J4 kB T

com ps-^ e t=—í—. Esta linha crítica termina no ponto

tricrítico dado por t=j e p=3. A curva de transição de

primeira ordem foi determinada numericamente.

Assim, concluímos que no modelo de Baker e

Essam, maiores flutuações no spin podem conduzir, na apr£

ximação de campo médio, a um ponto tricritico e a transi-

ções de primeira ordem. Resta agora saber se uma análise

mais rigorosa do hamiltoniano de Baker e Essam continua

apontando nesta direção.

A P Ê N D I C E A

APÊNDICE A - O MODELO DE DOHB

O modelo de Ising é definido sobre uma rede

cristalina rígida - os spins são produzidos por Ions mag-

néticos rigidamente associados aos sítios da rede crista-

lina. Num sólido real, no entanto, é mais correto supor

que os ions estejam vibrando termicamente em torno de uma

posição média de equilíbrio. Oomb inclui estas vibrações

elásticas no parâmetro de troca J, através da sua depen-

dência com o volume V. Neste sentido, Oomb leva em conta

as vibrações de uma forma global, desprezando os movimen-

tos locais, microscópicos,dos íons da rede. Vamos mostrar

que o hamiltoniano de Oomb, dado pela Eq.(2.3), com J(V)

linear e a parte elástica, 3^ e l 4 s t l c o» quadrática nos vo-

lumes, conduz a uma instabilidade mecânica e, portanto, a

transições de primeira ordem. Inicialmente vamos resolver

o modelo de Domb em uma dimensão; a seguir vamos tratá-lo

em duas ou mais dimensões.

Al - O MODELO DE DOMB UNIDIMENSIONAL

Em uma dimensão o hamiltoniano (2.3) pode

ser escrito na forma

3t - -Jc«> X<r

com

(A'2)

-28-

(«.3)

A campo nulo, a função de partição é dada por

Z = (A

onde Zj(K) é a função de partição do modelo de Ising rígj_

do em uma dimensão,

(2 cosk K) (A.5)

A p a r t i r da Eq. (2 .4 ) temos a energia l i v r e

F - N W - UbTl4 V-n 2 cosWl^lU^ ^ (A.6)

donde podemos obter uma equação de estado para a pressão:

(A.7)

A Eq.(A.7) pode ser resolvida graficamente - isto é, da-

dos p e T, podemos calcular a (ver a figura 6)

-29-

Fig.6: Resolução gráfica Cm equaçSo A.7

Dependendo dos valores de p e T podemos ter apenas uma

solução ou então três soluções. Quanto tivermos três solu

ções precisaremos substitui-las na Eq.(A.6) para verifi-

car qual delas produz a menor energia livre. Este proces-

so, que deve ser feito numericamente, corresponde à co-

nhecida construção de Maxwell que se utiliza para estudar

as soluções múltiplas da equação de Van der waals. A tran

sição se verifica quando duas soluções forem idênticas

(coexistência de fases) - isto só pode ocorrer quando a

função p +9_(a - a ) se anular para a • aQ • 3 1 • E°tão

temos uma linha de coexistência de fases dada por

ou seja

h.3,

-30-

(A.8)

(A.9)

Por outro lado, quando a tangente da reta p + ?2(a - aQ)

for superior b tangente da curva -J, tanh I 6J(a)j no

ponto a s ao + "3 " * s° naver^ uma solução trivial

( a a +o )• Temos então um temperatura crítica:

ou seja,

Tc (A.11)

Estas considerações nos levam ao diagrama de fases da fi-

gura 7

- 3 1 -

Fig.7: Diagraaa lie fases no plano p x T.A linha cheia representa vm "locus"de transiçBes de priaeira ordea queterainaa no ponto cr i t ico C.

A instabilidade mecânica no modelo de Domb

também pode ser facilmente constatada pela análise da de-

rivada |-f£| . Assim temos:'T

(A.12)

0 segundo termo da equação é positivo e, para temperatu-

ras suficientes baixas, pode ser maior do que 9,, gerando

desta forma uma instabilidade mecânica no sistema. Para

qualquer valor de spin, superior a j, todas as nossas con

clusões permanecem essencialmente inalteradas.

-32-

A2 - NOOELO DE 00M8 PARA d > 2

0 haniltoniano de Domb a campo nulo pode ser

escrita na foraa

(A.

onde

w- 1 9 >

onde V representa o hipervolume na dimensão considerada,

N é o número de spin, e a somatória é feita sobre os pa-

res de primeiros vizinhos.

A função canônica de partição será dada por

(V- Vof) ZT(K> CA.16)2 N

onde K > 0J(V), e Zf(K) é a função de partição do modelo

de Ising rígido numa rede hipercúbica de dimensão d. A

energia livre é dada por

-33-

F = -A- cçt(V-v.f - k,T WZxCYO (A.17)

donde calculamos a pressão

(A.18)

e a compresslbilidade isotérmica,

Ife - ,i_cp + 13! Jgri^ZTiKi (A.i9)

Para estudar o sinal desta última expressão, basta consi-

derar a função de partição do modelo de Ising rígido,

Tr e*p f J 5] c.ff.l (A.20)L up J

A energia interna será dada por

Ent3o, o calor especifico é

-34-

" l = K 9Tw o o

(A.22)

Substituindo na Eq. (A. !9) temos

(A.23)

Como C (K) é positivo e diverge na temperatura crítica,

K s K , vamos sempre ter uma faixa de temperaturas em

que v£ se torna positivo e o sistema fica mecanicamente

instável.

A P Ê N D I C E B

-35-

APÊNDICE B - O MODELO BEG

O hamiltoniano estudado no trabalho de Blume,

Emery e Griffiths é dado pela expressão

(B.1)

onde o-» = +1, O, -1, V 1, e a soma (l,!1) deve ser feita

sobre os vizinhos mais próximos de uma rede cúbica sim-

ples.

A solução do modelo de BEG na aproximação

de campo médio pode ser obtida através da chamada desi-

gualdade de Bogoliubov,

onde F(34) é a energia livre do sistema e F (Ho) é uma

energia livre correspondente ao hamiltoniano de tentativa

3"1Q. Inicialmente nós utilizamos uma hamiltoniano de ten-

tativa do tipo

-36-

e verificamos, com surpresa, que nSo é possível obter um

ponto tricritico no espaço £1 x â- (com J = h = 0 ).

Refizemos depois os cálculos, com um hamiltoniano de ten-

tativa mais sofisticado, incluindo o termo de campo cris-

talino,

(B'4)

e obtivemos os resultados do trabalho de Blume, Emery e

Griffiths. Este apêndice tem o propósito de apontar este

fato e evidenciar o papel crucial do hamiltoniano de ten-

tativa. No caso do modelo de Baker-Essam ( em que A = 0)

isto n3o é importante. Entretanto, é preciso ter em men-

te que, no caso destes modelos, uma alteração no hamilto-

niano de tentativa pode levar a resultados qualitativamen

te distintos.

B.1 - HAMILTONIANO DE TENTATIVA INCLUINDO APENAS UM CAMPO

LIVRE

Vamos considerar |0 dado pela Eq.(B.3).Então

temos

(B.5)

-3?-

(B.6)

com

.% Z S (B.7)

e u 4 c + 1

+ e (B.8)2 ' &n -c 4 e

Oefinindo • s Fo( Mo) * (±\ - J4O)0 , podemos obter,a cam

po nulo, o desenvolvimento em série

j 4. A »i W. • Bt4-m^ 4C»i-mf + ... (B.9)

onde

-W%T

-38-

-4- 3A + ± A - I a.J (B.11)

C s2S6O 128 A 512

A linha critica será dada por A=0 (com B, C, > 0), ou

seja,

9 Jz

com

- i . cj.JA •¥ -L ^ Jz > O . (B.15)

Vemos, portanto, que, com J = 0, a condição de estabili-

dade da linha de pontos críticos é satisfeita para qual-

quer valor de A. Isto também fica claro se fizermos B = 0,

ou seja,

K.T s L 4.X - JL A (B.16)9 * * 5

A intersecçío das curvas definidas pelas equações (B.14)

e (B.16), que define o ponto tricrítico, será dada por

-39-

ou seja,

( B 1 8 )

isto é,

independentemente do valor de A . Estes resultados, em

contradição com o trabalho original de Blume, Emery e

Griffiths, são corrigidos quando tomamos um hamiltoniano

de tentativa que inclui o termo de campo cristalino.

B.2 - HAMILTONIANO DE TENTATIVA INCLUINDO 0 TERMO DE CAM-

PO CRISTALINO

Agora vamos tomar o hamiltoniano de tentati-

va dado pela Eq.(B.4). Então temos

(B.20)

-40-

(B.21)

onde

(B.22)

± e (B.23)

A campo nulo, novamente podemos escrever • na forma

4 s Kl4 • AMinJ ^ 4 . . . (B.24)

com os coeficientes

- k.T UC2+ (B.25)

- / l i -

A = J±S^ . IÇLJ - ,f ** ttJ. (B.26)

(B.27)

7680 f>

C 2 ^ 7 6 í H ^ ! l (B.28)

Para A = O, estes resultados reproduzem os coeficientes

dados pelas equações (3.10) a (3.13). Por outro lado, no

limite BA •*• 0, eles reproduzem em ordem dominante as

equações (B.10) a (B.13).

Quando J = 0, a linha de pontos críticos

(A=0) será dada por

" "" (B.29)

que corresponde ao resultado do trabalho de Blume,Emery e

Griffiths. Agora é fácil verificar que existe um ponto

tricrítico, correspondente a AaB*0, com C>0, dado por

(B.30)

-42-

com

L4 ' e (B.31)

ou seja,

= I e A.-.2.U2 , (B.32)

que também concorda com o trabalho de Blume, Emery e

Griffiths.

-43-

R E F E R Ê N C I A S

(1) S.G.Brush, Rev. Mod. Phys. 39, 883(1 967).

(2) S.R.Salinas, J.Phys.C:Sol.State Phys. 7, 241 (1 974)

(3) G.A.Baker Jr. e J.W.Essam, Phys.Rev.Lett.24, 447(1 970)

(4) L.Gunther, D.J.Bergman e Y.Imry, Phys.Rev.Lett.Z7, 558

(1 971).

(5) M.Blume, V.J.Emery e R.B.Griffiths, Phys.Rev.A ^, 1 071

(1 971).