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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia
GRADUAÇÃO BAYESIANA DE TAXAS DE MORTALIDADE E PROJEÇÃO DAS
TAXAS DE MORTALIDADE DOS PARTICIPANTES DA FUNDAÇÃO COPEL
Aluno: Guerino Pirollo Junior
Orientadora: Prof. PhD Paulo Justiniano Ribeiro Junior
Objetivo Geral
Obter com base nos dados da população exposta ao risco de morte da Fundação Copel, probabilidades de morte que melhor reflitam a mortalidade do grupo, auxiliando na adoção de Hipóteses de Mortalidade a serem usadas.
Objetivos Específicos
Graduar as taxas de mortalidade da população exposta ao risco através de um modelo Bayesiano não paramétrico, comparando-as com tábuas de mortalidade usuais.
Projetar as taxas de mortalidade futuras do grupo, utilizando o método de Lee-Carter e modelos Spline penalizados (P-spline).
Conceitos Iniciais
Estatística Bayesiana: trata-se de estimação de parâmetros desconhecidos, agregando aos dados conhecimentos iniciais (distribuição a priori) sobre os parâmetros.
MCMC: simulação estocástica de Monte Carlo via Cadeias de Markov.
JAGS: Just Another Gibbs SamplerBootstrap: geração de amostras aleatórias com
reposição a partir de uma amostra inicialForça de Mortalidade:
µx,t = P(x<X<x+∆x | X>x) = [F(x+∆x)-F(x)]/1-F(x)
Tábua de Mortalidade
É o instrumento destinado a medir as probabilidades de vida e de morte (George King).
Deve refletir a mortalidade da população exposta ao risco (aderência);
É utilizada nos cálculos atuariais - calculo de provisões, contribuições e prêmios;
Pode ser estática ou “geracional”, incorporando as melhorias na mortalidade (Retangularização e Expansão de s(x)).
Retangularização e Expansão
Graduação Taxas de Mortalidade
É o processo de suavização das taxas brutas de mortalidade (rx=dx/lx);
Normalmente feito através de modelos (paramétricos) – ajuste de rx ou µx a um modelo matemático: deMoivre, Gompertz, Makeham e Weibull.
Torna as probabilidades de mortes (qx) monotonicamente crescentes em relação às idades.
Graduação Taxas de Mortalidade
Graduação Bayesiana
Atribui-se distribuição de probabilidade (priori) aos parâmetros desconhecidos µx,t;
Taxas brutas graduadas em função de µx,t ;
Considera-se μx,t constante nos intervalos de idades, onde: qx = 1-exp(-µx,t) ou µx,t=-ln(1-qx) (Bowers,1997);
Assume-se que os indivíduos com mesma idade morrem independentemente e com mesma probabilidade;
O modelo Bayesiano adotado é não paramétrico.
Graduação Bayesiana
Verossimilhança Poisson:
(dx,t|µx,t) ~Poisson (lx,t.µx,t), com lx,t conhecido
Distribuição a priori do Parâmetro μx,t:
(µx,t|α,β) ~Gama(α,β) I(µx-1,t;µx,t)(µx,t), com α=β=0,001 e idades x=xl,...,xu
Distribuição a posteriori:
(µx,t|dx,t,α,β) α Gama(µx,t|α*,β*) I(µx-1,t;µx,t)(µx,t)
OBS:IR(µ) é a função indicadora, assumindo o valor 1 se µR e zero caso contrário.
Graduação Bayesiana
Dificuldade: restrição imposta pelo sub conjunto R ao vetor de parâmetros µ:
µ R = {µ:0<µ1<µ2<...<µk<B}
Especificação da priori viável computacionalmente (MCMC) – evita integração numérica complexa na estimação dos parâmetros µi.
Alteração em R e suposição para os µi:
1. µ R = {µ:0<µ1<µ2<...<µk<1};
2. µ1,µ2,...,µk i.i.d. Gama (α,β), com α conhecido e constante e β um hiperparâmetro ~ Gama (a,b).
Implementação Modelo - JAGS
Dados: população de assistidos (aposentados)Restrições:
1. Idade inicial x=48 anos, com intervalos de idade x+i-1 para i=1,...,37
2. Utilizou-se a quantidade de expostos ao risco (lx) em cada idade x, no inicio do ano;
lx Data lx Data lx Data
4425 01/2003 4425 01/2005 4569 01/2007
4437 01/2004 4432 01/2006 4606 01/2008
Implementação Modelo - JAGS
Obtenção das estimativas µi(r) e qx
(r), a partir de distribuição preditiva do número de mortes (di
(r)|µi)~Poisson(li.µi), i=1,...,37 e x=48, onde:
37,...,1),exp(1.2
37,...,1,.1
)()(1
)(
)()(
iq
il
d
ri
rix
ri
rir
i
Implementação Modelo - JAGS
Valores iniciais:
1. Valores iniciais (µ1(0),µ2
(0),...,µ37(0)) dos par. µi’s
restrito a R, calculados a partir das tábuas AT2000, AT83 e AT49, com µi=-ln(1-qx+i-1), i=1,...,37
2. 120.000 simulações (60.000 – burn in)
3. Intervalo entre observações (6 em 6)
4. 3 cadeias paralelas (para os µi’s das 3 tábuas)
5. Estimadores pontuais das probabilidades:
n
mr
rix
rix inmq
mnq
1
)(1
)(1 37,...,1,000.120,000.60,
1ˆ
Diagnóstico - CODA
Resultados e Comparação
Projeção Taxas de Mortalidade
Modelo de Lee-Carter:
log μx,t = a(x)+b(x)k(t)+ε(x,t)
a(x):descreve a forma geral do perfil de mortalidade por idade;
b(x):descreve o padrão de desvios do perfil da idade conforme o parâmetro k(t) varia;
k(t):descreve a mudança na mortalidade como um todo;
ε(x,t):termo de erro aleatório
Modelos P-spline
Spline: mecanismo usado para traçar curvas, é uma função polinomial que aproxima pontos em um determinado espaço.
Ajusta os pontos de forma “local”.Podem ser ajustadas usando-se qualquer modelo
de regressão (linear, sobrevivência, logístico etc).Nos modelos P-spline combina-se suavidade e
bondade de ajuste através de penalidades: Grande - preferência por suavidade nos coef. βi; Pequena – preferência por bondade de ajuste.
Modelos P-spline
Modelo proposto - variável preditora é Ex,t e a Variável resposta é Dx,t, com Dx,t~Poisson(Ex,t.Dx,t).
Para descrever a relação entre μx e as variáveis x e t, uma possibilidade é escolher um número de funções polinomiais base b1(x,t),b2(x,t),...,bn(x,t), representando μx como uma combinação linear:
μx ≈ β1b1(x,t)+β2b2(x,t)+...+βnbn(x,t)
BIBLIOGRAFIA
[1] BOWERS, N.L. el al. Actuarial Mathematics. The Society of Actuaries, 1997.
[2] EHLERS, R.S. Métodos Computacionalmente Intensivos em Estatísitca. Notas de Aula, Universidade Federal do Paraná, 2004.
[3] LEE, R.D.; CARTER, L. Modeling and Forecasting the Time Series of US Mortality. Journal of the American Statistical Association, v87, 419: 659-671, 1992.
BIBLIOGRAFIA
[4] NEVES, C.R. Graduação Bayesiana de Taxas de Mortalidade. Funenseg, Caderno de Seguros – Teses, v.10, 28, 2005.
[5] SANTOS, R.R Técnicas de modelagem do improvement para construção de tábuas geracionais. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Dissertação de Mestrado, 2007.
[6] SPIEGELHALTER, D.J. et al. Markov Chain Monte Carlo in Practice. Chapman & Hall, London, 1997.
AGRADECIMENTOS
Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Junior;Coordenador(a) do curso: Dra Liliana Madalena
Gramani Cumin;A todos os professores do PPGMNE